106409005-Analise-de-vibracoes.pdf

Mecânica das Vibrações - Capítulo 1 - Introdução

1

UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE VIBRAÇÕES 1.1 - A Vibração e a História A vibração está presente já nos primeiros tempos da História da Humanidade. Instrumentos rudimentares, como apitos e tambores, têm no seu princípio de funcionamento, um problema vibratório como essência. Estes instrumentos tiveram muita importância entre os povos primitivos como meios de comunicação. Mais tarde, vários instrumentos musicais (percussão, cordas, metais, etc.) foram concebidos, aproveitando movimentos vibratórios, geradores de ondas sonoras.

Figura 1.1 – Pitágoras observando os sons dos martelos (Hugo Sprechshart. 1488. Flores Musicae - reproduzido de

Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995)..

O desenvolvimento da teoria da vibração resultou dos avanços das ciências básicas das quais deriva: matemática e mecânica geral. A origem, em termos históricos, encontra-se nos antigos filósofos gregos do primeiro milênio antes de Cristo. O primeiro interessante envolvimento de um filósofo grego com um problema de natureza vibratória é registrado em um incidente envolvendo Pitágoras de Samos (cerca de 570-497 AC): Pitágoras estava passando por uma espécie de fundição e/ou forjaria e percebeu uma certa harmonia entre os diversos sons produzidos pelos martelos. Entrando no local ele suspeitou que a diversidade de sons fosse originada pelas diferentes forças empregadas no uso dos martelos, concluindo, entretanto, que a causa era o peso dos martelos. A Fig. 1.1 ilustra este incidente legendário. Pitágoras, então, estabeleceu um método racional de medir freqüências sonoras (origem do diapasão) podendo ser considerado como o fundador da acústica. Ele realizou experiências com martelos, cordas, tubos e placas criando o primeiro laboratório de pesquisas em vibrações conhecido (Fig. 1.2). O fato que existem freqüências que podem produzir movimento harmônico já era conhecido por músicos quando foi estabelecido como uma lei natural por Pitágoras. Além disso, ele provou com suas experiências com martelos que as freqüências naturais são propriedades dos sistemas e não dependem da magnitude da força atuante. Ele provou ainda que:

1. A freqüência natural de uma corda é inversamente proporcional ao seu comprimento e diâmetro; ela cresce quando cresce a tensão “com outras proporções” (não especificadas). É bastante provável que Pitágoras tenha conhecido a regra correta de dependência da freqüência natural com a tensão.

2. A freqüência natural da vibração longitudinal de uma coluna é inversamente proporcional ao comprimento da mesma.


2

3. A tese anterior também é válida para recipientes. Pitágoras mudava a freqüência natural colocando água dentro deles.

4. Pitágoras também testou discos, mas não existem registros de resultados. Existe um relato em Phaedon de Platão, que Hipasos (um discípulo de Pitágoras que diz-se tenha sido morto por revelar segredos pitagóricos) testou quatro discos de bronze e encontrou freqüências naturais inversamente proporcionais às espessuras.

Figura 1.2 – À esquerda experiências de Boécio com o monocórdio e à direita Pitágoras e suas experiências com

martelos e sinos em seu laboratório (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, Prentice Hall, 1995).

As pesquisas sobre o movimento do pêndulo se originaram nas culturas grega e chinesa, encontrando-se indicações que tenha sido utilizado como medidor de tempo (portanto sendo conhecido o seu isocronismo – período constante) nos tempos de Aristófanes (450-388 AC).

O primeiro texto sobre acústica, On Acoustics, foi escrito por Aristóteles, tendo sido o termo utilizado pela primeira vez então.

Figura 1.3 – Sismógrafo chinês do segundo século (Reproduzido de Dimarogonas, A., Vibration for Engineers,

Prentice Hall, 1995). Os instrumentos de medição de vibrações se originam na Grécia e China antigas. Heródoto (cerca de 484 a

425 a.C.) registra a existência de um transdutor de vibração (um escudo coberto com uma fina camada de bronze) que era encostado ao solo produzindo som quando este apresentava qualquer movimento vibratório. Era utilizado no sexto século a.C. para detectar a escavação de túneis subterraneos em Barca, norte da África, atual Líbia, então sob


3

dominação persa. Vários outros instrumentos podem ser citados, mas um merece especial atenção: um sismógrafo construído na China por volta do ano de 132 d.C. O governo imperial desejava detectar antecipadamente terremotos, para que pudessem se preparar. O cientista e matemático Zhang Heng inventou um instrumento que era constituído por um pêndulo de 3 m de comprimento, usando bolas para registrar a direção e, talvez, a magnitude. Com 2 metros de largura, parecia um jarro de bronze. Oito cabeças de dragão circundavam a parte superior. Debaixo de cada uma havia um sapo de bronze. Quando o jarro sentia um tremor de terra, mesmo ínfimo, uma bola caía de um dragão na boca de um sapo. A genialidade desse ancestral de todos os sismógrafos estava no fato de que a bola caía na direção de onde vinha o tremor graças a um mecanismo no interior do jarro. Alguns engenheiros supõem que se tratava de um pêndulo suspenso por um cabo com oito alavancas ligadas às oito bocas de dragão. Quando um tremor vinha do sul, por exemplo, fazia com que a parte inferior do pêndulo oscilasse para o norte. Assim a parte superior inclinava-se para o sul, acionando a alavanca ligada ao dragão do sul. Sua boca abria-se e a bola caía. Desse modo, Zhang Heng podia informar à corte quando ocorria um terremoto, indicando a direção da área atingida. Este instrumento instalado no Departamento de Astronomia e Calendário, da cidade de Luoyang, então capital da Dinastia Han (de 206 a.C. a 220 d.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distância, não sensível ao ser humano o que convenceu a todos da utilidade do mesmo (National Geographic Brasil, fevereiro de 2004). A Fig. 1.3 mostra uma reprodução deste sismógrafo.

Já nos primórdios da era moderna Galileu estabeleceu formalmente a relação entre o comprimento do pêndulo e o seu período de oscilação e observou a ressonância entre dois corpos, conectados por algum meio de transferência de energia e sintonizados em uma mesma freqüência natural. Galileu também observou as relações entre densidade, tensão, comprimento e freqüência de uma corda vibratória. A relação entre o som e a vibração de um elemento mecânico já era conhecida no seu tempo, mas foi Galileu quem achou a relação entre a tonalidade sonora e a freqüência da vibração do elemento mecânico. Quase ao mesmo tempo, Hooke demonstrou as mesmas relações entre tonalidade e freqüência. Wallis e Sauveur observaram, independentemente, o fenômeno das formas modais (com pontos estacionários, chamados nós) ao estudarem cordas vibratórias. Também descobriram que a freqüência do segundo modo é o dobro da freqüência do primeiro, a do terceiro é o triplo, etc. A Sauveur são creditados os termos fundamental para a freqüência do primeiro modo e harmônicas para as outras. Bernoulli foi o primeiro a propor o princípio da superposição linear de harmônicas: qualquer configuração da vibração livre é construída a partir das configurações das harmônicas individuais, agindo independentemente, com pesos variados. Após o enunciado da Lei da Elasticidade por Hooke em 1676, Euler (1744) e Bernoulli (1751) determinaram a equação diferencial que governa a vibração lateral de barras prismáticas e investigaram a sua solução para o caso de pequenas deformações. Coulomb (1784) realizou estudos teóricos e experimentais sobre as oscilações torcionais de um cilindro metálico suspenso por um arame. Há uma história interessante relacionada ao desenvolvimento da teoria de vibração em placas: Em 1802, Chladni desenvolveu o método de espalhar areia sobre uma placa vibratória para encontrar as suas formas modais, observando a beleza e a complexidade dos desenhos que se formavam sobre as placas em vibração. Em 1809, a Academia Francesa convidou Chladni para dar uma demonstração de suas experiências. Napoleão Bonaparte, comparecendo ao encontro, ficou muito impressionado e destinou uma soma de 3000 francos para a Academia premiar a primeira pessoa que apresentasse uma teoria matemática satisfatória sobre vibração de placas. Na data da competição, outubro de 1811, somente Sophie Germain se apresentou. Mas Lagrange, que era um dos julgadores, observou um erro na determinação das equações diferenciais do movimento. A Academia, então determinou uma outra competição em outubro de 1813. Sophie Germain novamente se apresentou com a forma correta da equação diferencial. A Academia, entretanto, não concedeu o prêmio porque os juizes exigiram uma justificativa física para as hipóteses utilizadas na demonstração da equação. Apenas na terceira edição da competição, em 1816, Sophie Germain conseguiu ganhar o prêmio, apesar dos juizes não estarem completamente satisfeitos com a sua teoria. Realmente, mais tarde descobriu-se que a equação diferencial estava correta mas as condições de contorno estavam erradas. As condições de contorno corretas foram apresentadas apenas em 1850, por Kirchoff. (É possível ver a demonstração da placa de Chladni no site www.youtube.com). Em 1877, Lord Rayleigh publicou seu livro A Teoria do Som, até hoje considerado um clássico no assunto. Dentre várias outras contribuições de Rayleigh, merece destaque o método de determinação da freqüência fundamental de vibração de um sistema conservativo utilizando o princípio da conservação da energia, conhecido como Método de Rayleigh. Em 1902, Frahm investigou a importância do estudo da vibração torcional no projeto de eixos propulsores de barcos a vapor. O absorvedor dinâmico de vibração, que envolve a adição de um sistema massa-mola secundário para eliminar as vibrações de um sistema principal, foi também proposto por Frahm em 1909. Modernamente, muitos outros pesquisadores contribuíram com o estudo de vibrações. Stodola apresentou um método de análise de vibrações em vigas que também se aplica a vibrações de lâminas de turbinas. Timoshenko e Mindlin contribuíram marcadamente com a melhoria das teorias de vibração em vigas e placas. Em vibrações não lineares a teoria começou a se desenvolver no final do século passado com Poincaré e Lyapunov. Após 1920, Duffing e van der Pol realizaram estudos (suas equações são paradigmas de sistemas


4

dinâmicos não-lineares) sobre a teoria de vibrações não lineares e concentraram atenção em sua aplicação a problemas de engenharia. Nos anos recentes, com o uso de computadores que permitem a realização de grandes quantidades de cálculos em tempos pequenos, cresceu muito o interesse por estudos em vibrações não-lineares, o que se reflete em uma grande quantidade de trabalhos publicados. O primeiro cientista a falar em vibrações aleatórias foi Einstein, em 1905, ao estudar o movimento Browniano (é o movimento aleatório de partículas macroscópicas num fluido como consequência dos choques das moléculas do fluido nas partículas). A introdução da função de correlação em 1920, por Taylor, e da densidade espectral, no início da década de 30, por Wiener e Khinchin, abriram novas perspectivas para o progresso da teoria de vibrações aleatórias. Lin e Rice publicaram trabalhos entre 1943 e 1945, abrindo o caminho para aplicação de vibrações aleatórias a problemas de engenharia. Atualmente, o estudo de vibrações está sendo altamente influenciado pelo advento dos computadores digitais que proporcionaram a realização de grandes quantidades de cálculos em tempos pequenos. Isto permitiu o desenvolvimento de métodos numéricos de análise de sistemas de vários graus de liberdade, permitindo a criação de modelos matemáticos para representar o comportamento de sistemas de grande porte e com grande precisão. Instrumentos de medição de alta tecnologia (lasers, por exemplo) também permitiram o desenvolvimento de métodos experimentais que, associados aos métodos computacionais, proporcionaram extraordinários avanços no estudo de problemas vibratórios.

1.2 - A importância do estudo da vibração A maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibração. Nós ouvimos porque o tímpano vibra, nós vemos porque ondas luminosas se propagam. A respiração está associada à vibração dos pulmões, os batimentos cardíacos são movimentos vibratórios, a fala se fundamenta na vibração das cordas vocais e os movimentos humanos envolvem oscilações de braços e pernas. Em muitos outros campos da atividade humana, fenômenos apresentam variáveis cujo comportamento é oscilatório (economia, biologia, química, física, etc.). No campo tecnológico, as aplicações de vibrações na engenharia são de grande importância nos tempos atuais. Projetos de máquinas, fundações, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questões relacionadas a vibrações sejam levadas em conta. Os primeiros estudos de vibrações em engenharia mecânica foram motivados pelo problema de balanceamento em motores. O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como fabricação e manutenção. O desbalanceamento em motores diesel, por exemplo, pode causar vibrações no solo de tal grandeza que criam desconforto ambiental em áreas urbanas. As rodas de locomotivas podem sair até um centímetro dos trilhos devido a desbalanceamento. Os engenheiros ainda não conseguem resolver uma grande parte dos problemas originados em pás e rotores de turbinas. As estruturas projetadas para suportar máquinas centrífugas pesadas (motores, turbinas, bombas, compressores, etc.) também estão sujeitas a vibração. É possível que partes destas estruturas sofram fadiga devido à variação cíclica de tensões induzidas. A vibração também causa desgaste mais rápido de mancais e engrenagens provocando ruído excessivo. Em máquinas, a vibração causa o afrouxamento de parafusos. Em processos de usinagem, a vibração pode causar trepidação, conduzindo a um pobre acabamento superficial, por exemplo. Sempre que a freqüência natural de vibração de uma máquina ou estrutura coincide com a freqüência da força externa atuante, ocorre um fenômeno conhecido como ressonância que ocasiona grandes deformações e falhas mecânicas. A literatura é rica de exemplos de falhas em sistemas causados por vibrações excessivas em virtude de ressonância. Um destes exemplos é o da ponte de Tacoma Narrows (Fig. 4), nos Estados Unidos, inaugurada em julho de 1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonância induzida pelo vento. De acordo com registro de câmeras de vídeo, a ponte Rio-Niterói também oscilou significativamente em algumas ocasiões. Quando o vento atinge determinada velocidade e direção, a estrutura começa a oscilar com maior amplitude. Em outubro de 1997, rajadas estimadas em 124 km/h fizeram o vão central oscilar com amplitudes de 30 cm. Embora estas oscilações não representem riscos à estrutura da ponte, o pânico causado pode ter conseqüências devastadoras. Nesse dia os motoristas saíram correndo dos carros e a ponte teve de ser fechada por duas horas. Hoje o trânsito é interrompido em caso de ventania forte. (National Geographic Brasil, abril de 2004). Em virtude dos efeitos devastadores que podem surgir em máquinas e estruturas, os testes vibratórios se tornaram um procedimento padrão no projeto e desenvolvimento da maioria dos sistemas em engenharia. Em muitos sistemas de engenharia, o ser humano atua como parte integrante do mesmo. A transmissão de vibração para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficiência. Vibrações de painéis de instrumentos podem produzir mal funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto um dos propósitos importantes do estudo de vibração é a redução dos níveis vibratórios através de projeto e montagem adequados de máquinas. Nesta interface, o engenheiro mecânico tenta projetar a máquina para que a mesma apresente níveis vibratórios pequenos enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da máquina de forma a assegurar que o efeito da vibração não se transmita.


5

Figura 1.4 – Ponte de Tacoma Narrows durante vibração induzida pelo vento (Reproduzido de Rao, S., Mechanical Vibrations, Addison Wesley, 1990).

A vibração também pode ser utilizada com proveito em várias aplicações industriais. Esteiras transportadoras, peneiras, compactadores, misturadores, máquinas de lavar, utilizam vibração em seu princípio de funcionamento. Vibração também pode ser utilizada em testes de materiais, processos de usinagem, soldagem. Os ultra-sons são largamente utilizados também em medicina (obstetrícia, destruição de cálculos renais, etc.). Também é empregada para simular terremotos em pesquisas geológicas e para conduzir estudos no projeto de reatores nucleares.

1.3 – Conceitos Básicos de Vibrações Vibração

É qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo. O movimento de um pêndulo e da corda de um violão são exemplos simples de vibrações no mundo real. Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de máquinas e nas estruturas, quando estes estão submetidos a ações dinâmicas.

Vibrações Livre e Forçada Vibração livre é aquela produzida por uma perturbação inicial que não persiste durante o movimento

vibratório. Como exemplo tem-se a vibração do pêndulo simples. Depois de deslocado de sua posição de equilíbrio, o pêndulo simples permanece em movimento oscilatório sem que nenhum efeito externo intervenha.

Vibração forçada é provocada por um efeito externo que persiste durante o tempo em que o movimento vibratório existir. O movimento de um rotor desbalanceado é típico de uma vibração forçada.

Vibração Amortecida e Não Amortecida Vibração amortecida é aquela em que a energia vibratória se dissipa com o transcorrer do tempo de forma que

os níveis vibratórios diminuem progressivamente. Vibração não amortecida é aquela em que a energia vibratória não se dissipa de forma que o movimento

vibratório permanece imutável com o passar do tempo. Os sistemas em que ocorre a vibração não amortecida são sistemas ideais, pois sempre alguma energia será dissipada em um sistema físico. Entretanto, em muitos casos, o amortecimento é tão pequeno que é possível desprezá-lo, pois os níveis vibratórios diminuem muito pouco durante o tempo em que o movimento é observado e a análise do problema se torna matematicamente mais simples. Em se tratando de um sistema real, as resistências passivas estão sempre presentes fazendo com que a energia oscilatória se dissipe. Esta dissipação de energia é representada pela característica chamada amortecimento. A Fig. 1.5 ilustra uma vibração não amortecida e uma amortecida. Alguns modelos típicos de amortecimento como viscoso, atrito seco (Coulomb) e atrito interno serão estudados nas seções seguintes.


6

O

x(t)

t

Amortecido

Não amortecido

x0

Figura 1.5 – Vibrações livres sem e com amortecimento.

Vibração Linear e Não Linear Vibração linear é aquela que ocorre em um sistema cujos componentes atuam linearmente (a força de mola é

proporcional ao deslocamento, a força de amortecimento é proporcional à velocidade e a força de inércia é proporcional à aceleração).

Vibração não linear é aquela em que um ou mais componentes do sistema não se comporta linearmente, ou seja a força produzida não apresenta uma relação linear com a variável cinemática a que se associa (relações quadráticas, cúbicas, logarítmicas, exponenciais, senoidais, etc.).

Vibração Determinística e Aleatória Vibração determinística é aquela em que se pode prever todas as características do movimento vibratório em

qualquer instante de tempo. Vibração aleatória ou não determinística é aquela em que não é possível prever o que irá acontecer no

movimento vibratório.

Graus de Liberdade É o número mínimo de coordenadas independentes necessárias a descrever completamente o movimento de todas as partes que compõem um sistema vibratório. A Fig. 1.6 mostra exemplos esquemáticos de sistemas com um, dois e três graus de liberdade. Se um sistema possui pelo menos um grau de liberdade, os valores das variáveis que descrevem o estado do sistema (posição, velocidade, aceleração) devem ser especificados. Para isto é necessário que se escolha um sistema de coordenadas. Esta escolha é arbitrária: pode-se escolher qualquer sistema de coordenadas para descrever um movimento. Na Fig. 1.7 o movimento do pêndulo é representado por dois sistemas de coordenadas. No primeiro, são necessárias duas coordenadas para determinar exatamente a posição do pêndulo (x e y), sua velocidade ( x& ) e sua aceleração ( x&& ). No segundo sistema apenas a coordenada θ, representa completamente a posição do pêndulo, θ& sua velocidade e θ&& sua aceleração. Nada impede que o sistema xy seja utilizado. Apenas o mesmo apresentará um número de equações maior do que o necessário. Nele deve ser incluída a equação de restrição (condição de contorno) x2 + y2 = l2. Já com a utilização de θ, apenas uma equação descreverá o movimento do sistema. Este sistema apresenta um número mínimo de coordenadas, igual ao número de graus de liberdade, necessárias a representar completamente o movimento do sistema. É chamado de sistema de coordenadas generalizadas. O número de graus de liberdade é sempre igual ao número de coordenadas utilizado menos o numero de equações de restrição. Assim sendo, um movimento descrito em um sistema de coordenadas generalizadas não apresenta equações de restrição.

Sistemas Contínuos e Discretos Sistemas que podem ser separados em partes de forma que cada uma delas possua um determinado número de

graus de liberdade e o sistema global tenha um número finito de graus de liberdade são sistemas discretos, sendo também chamados de sistemas com parâmetros concentrados. Um sistema contínuo não pode ser dividido, possuindo um número infinito de graus de liberdade sendo também conhecidos como sistemas com parâmetros distribuídos.


7

(a) Um grau de liberdade.

(b) Dois graus de liberdade.

(c) Três graus de liberdade

Figura 1.6 – Sistemas com um, dois e três graus de liberdade.

Figura 1.7 – Sistemas de coordenadas no movimento do pêndulo.


8

1.4 - Movimento Harmônico

x = A sen ωtωt

x A

π 4π ωtO

A

T

V

Figura 1.8 - Mecanismo de Scotch Yoke gerando um movimento harmônico

O movimento harmônico é a forma mais simples com que uma vibração se apresenta. A Fig. 1.8 ilustra a

geração deste movimento, representado matematicamente pela equação tAx ωsen= (1.1a)

ou, se a origem do movimento não coincidir com 0sen =tω

( )φω += tAx sen (1.1b)

A forma do movimento harmônico não muda se ao invés de seno se utilizar cosseno ou uma soma de seno e cosseno com o mesmo argumento. Estas formas apenas provocam um deslocamento da função no tempo, refletida no valor de φ .

As principais características do movimento harmônico são: • Amplitude - A - é o máximo valor atingido por x. A unidade utilizada é a mesma da variável x. Na literatura,

muitas vezes encontra-se os termos “amplitude de pico” significando o que aqui se chama simplesmente de amplitude e “amplitude pico a pico” significando a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo de x, sendo, para o movimento harmônico, o dobro da amplitude A.

• • Período - T - é o tempo transcorrido até que o movimento se repita (mesmos x, x& e x&& ). O período é expresso

por uma unidade de tempo, normalmente o segundo. • • Freqüência - f - é o número de repetições que ocorrem em uma determinada unidade de tempo. É definida

como o inverso do período,

• Tf 1= , (1.2)

• normalmente medida em ciclos por segundo (Hertz - Hz). Uma outra unidade de freqüência bastante comum em engenharia mecânica é a RPM (rotações por minuto) ou CPM (ciclos por minuto), freqüentemente utilizada para medir velocidade de rotação em sistemas rotativos.

• • Freqüência angular - ω - é a velocidade angular com que um vetor de amplitude A gira (Fig. 1.9), de forma

que suas projeções horizontal e vertical são movimentos harmônicos. Relaciona-se com a freqüência f por

• ω π= 2 f , (1.3)


9

• uma vez que um período de oscilação corresponde a uma volta completa do vetor o que equivale a um ângulo de 2π rad. É, portanto, medida em rad/seg.

AA sen ωt

A cos ωtωt

ω

Figura 1.9 – Vetor girante e freqüência angular.

• • Ângulo de fase - φ - é o ângulo inicial do argumento da função senoidal que descreve o movimento

harmônico. Deve ser normalmente representado em radianos. O ângulo de fase começa a se tornar importante quando se compara dois movimentos harmônicos não coincidentes no tempo. Ao se estabelecer um movimento como básico, uma escolha adequada do início da observação do movimento fará com que o ângulo de fase represente o quanto um movimento está adiantado ou atrasado em relação ao outro. O ângulo de fase é normalmente medido em radianos (outra unidade que permite a medição de ângulo também é possível).

t

x(t) v(t) a(t)

Figura 1.10 – Deslocamento, velocidade e aceleração.

A velocidade e a aceleração com que se movimenta verticalmente a haste do mecanismo de Scotch Yoke (Fig.

1.8) são obtidos derivando-se a expressão 1.1a, chegando-se a

tAxv ωω cos== & (1.4a)

tAxa ωω sen2−== && (1.4b)

A Fig. 1.10 mostra uma representação das três variáveis que descrevem o movimento vertical da haste do mecanismo da fig. 1.8.

Decibel A unidade técnica decibel é utilizada para expressar valores relativos da amplitude do deslocamento, da velocidade e da aceleração. É definida como dB = 20 log10 (z/z0), onde z é a quantidade em consideração e z0 um valor de referência para a mesma quantidade. Alguns valores de referência em uso são v0 = 10-8 m/s para a velocidade e a0 = 9,81 x 10-6 m/s2 para a aceleração e p0 = 2 x 10-5 N/m2 para pressão acústica, I0 = 10-12 W/m2 para intensidade acústica e W0 = 10-12 W para potência acústica. Estes últimos valores correspondem aos limiares de percepção do ouvido humano.


10

O significado do decibel é exemplificado observando alguns valores:

20 dB ==> a quantidade medida é igual a 10 vezes o valor de referência



Oitava É a medida relativa geralmente utilizada para a freqüência: se duas freqüências possuem a relação 2:1 se diz que estão separadas por uma oitava.

Valor rms Uma medida de vibração muito utilizada é o valor rms (root mean square = valor médio quadrático). É definido por

( )∫=T

rms dttxT

X0

22 1

Para funções harmônicas tAx ωsen= , AAX rms 707,022 == .

O valor rms veio a ser utilizado porque os instrumentos que medem vibrações convertem o movimento vibratório x(t) em um sinal elétrico V(t) = cx(t) medindo a sua potência que é dada por

( ) ( ) 22

0

22

0

21rms

TTXcdttx

TcdttV

T== ∫∫ .

1.4.1 - Representações Vetorial e Complexa A manivela do mecanismo de Scotch Yoke, pode ser interpretada como um vetor de módulo A cuja direção

muda constantemente segundo o ângulo ωt. As projeções horizontal e vertical do vetor são movimentos harmônicos (Fig. 1.9), dados por

tAx ωcos= (1.5a)

tAy ωsen= (1.5b)

Se x e y são movimentos harmônicos, então suas derivadas também serão movimentos harmônicos, dados pelas expressões

tAx ωω sen−=& (1.6a)

tAx ωω cos2−=&& (1.6b)

tAy ωω cos=& (1.6c)

tAy ωω sen2−=&& (1.6d)

A mesma representação vetorial pode ser expressa na forma de números complexos. O plano complexo é então utilizado para descrever o movimento. No mesmo movimento representado na Fig. 1.9 o vetor girante é representado por um fasor, que é uma quantidade complexa, com os eixos x e y sendo substituídos pelos eixos real e imaginário. O fasor que representa o movimento é expresso por

[ ]titAAe ti ωωω sencos +==Xr

(1.7a)

[ ]ttiAiAei ti ωωωωω ω sencos −=== XXr&r (1.7b)

[ ]titAAe ti ωωωωω ω sencos22 +=−=−= 2-XXr&&r (1.7c)

onde as componentes real e imaginária são movimentos harmônicos na forma de seno e cosseno. A Fig. 1.11 ilustra o resultado das expressões (1.7). Observa-se que o vetor velocidade é ortogonal ao vetor deslocamento e seu módulo é igual a ω A, ou seja, a amplitude da velocidade de um movimento harmônico é igual à amplitude do deslocamento multiplicada pela freqüência angular. Pelas expressões 1.7 pode-se observar também que se os deslocamentos representam movimentos harmônicos, então a velocidade e a aceleração também são harmônicos. O módulo da aceleração é ω2A e a mesma está em oposição de fase em relação ao deslocamento.

As representações vetoriais, seja na forma padrão ou na complexa, podem ser extremamente úteis quando se opera algebricamente com os movimentos harmônicos. Um dos casos em que isto é utilizado é no fenômeno do batimento, que é um típico caso de soma de movimentos harmônicos.


11

Im

Reπ/2

π/2

ωr r&X i X= ω

rX

r r&&X X= −ω 2

ω t

Figura 1.11 - Representação complexa de deslocamento, velocidade e aceleração.

1.5 – Pêndulo Simples O pêndulo simples, ou pêndulo matemático, constitui-se no exemplo mais simples de um sistema físico que exibe movimento harmônico quando oscila com pequenas amplitudes (até 30º). É formado por uma massa m, ligada à extremidade de uma haste de comprimento l de massa desprezível, que, em sua outra extremidade vincula-se a uma articulação de forma que seu movimento é uma oscilação no plano vertical. A Fig. 1.12a mostra o modelo de um pêndulo simples. A Fig. 1.12b apresenta um exemplo de um guindaste com uma carga pendurada que pode ser considerado como um pêndulo simples quando se estuda o movimento da carga. Em um determinado instante de tempo t, a haste forma um ângulo θ com a vertical. As forças que atuam sobre a massa m são o seu peso W e a tensão na haste T como ilustra a Fig. 1.12c. A massa apresenta uma aceleração com componentes radial ar e tangencial at e a haste possui uma velocidade angular t∂

∂θ e uma aceleração angular 2

2

t∂∂ θ .

Figura 1.12 – Pêndulo simples.

Aplicando a Lei de Euler (Segunda Lei de Newton para movimento de rotação) para o conjunto de forças mostrado no diagrama de corpo livre da Fig. 1.12c, na forma da soma de momentos em relação à articulação, obtém-se a seguinte relação

θθθ &&&& 2sen mlJmgl ==−

dividindo tudo por ml2 e arrumando os termos chega-se à conhecida equação do pêndulo simples

0sen =+ θθlg&& (1.8)


12

Para pequenas oscilações pode-se linearizar a equação (1.8) fazendo θθ ≅sen . Assumindo-se que a amplitude é pequena, a equação (1.8) pode ser escrita na forma

02 =+ θωθ&& (1.9)

onde ω2 = g/l. Esta é uma equação diferencial, ordinária, de segunda ordem, de coeficientes constantes, homogênea, cuja solução é uma função harmônica como

( ) tsenctct ωωθ 21 cos += (1.10)

onde c1 e c2 são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais do movimento. O pêndulo, portanto,

executa uma oscilação harmônica com freqüência angular (ou circular) constante lg=ω . O período das pequenas

oscilações do pêndulo é glT πω

π 22 == não dependendo da amplitude, sendo esta propriedade chamada de

isocronismo. Observa-se também que o período de oscilação não depende da massa do pêndulo.

Mecânica das Vibrações - Capítulo 2 - Vibrações Livres de Sistemas de Um Grau de Liberdade

13

UNIDADE 2 - VIBRAÇÕES LIVRES DE SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE

2.1 - Introdução A noção de vibração começa com a idéia do equilíbrio. Um sistema está em equilíbrio quando a resultante de

todas as forças atuantes sobre o mesmo é nula. Qualquer sistema que esteja sob esta condição somente sairá dela quando ocorrer alguma perturbação externa. A oscilação irá ocorrer quando, após a perturbação atuar, o sistema apresentar a tendência a retornar à sua posição de equilíbrio. Ao se conceder ao pêndulo um ângulo inicial o mesmo entrará em movimento tendendo a retornar à sua posição de equilíbrio inicial. Ao passar por ela o movimento não se interrompe porque a massa do pêndulo adquiriu energia cinética. Enquanto esta energia permanecer presente no sistema o movimento oscilatório continuará. Se, entretanto, a energia inicial concedida for muito elevada, o pêndulo entrará em movimento rotativo. Situação semelhante ocorre com uma bola rolando dentro de uma superfície circular. Uma balança, com dois pesos iguais, apresentará comportamento equivalente (Fig. 2.1).

Figura 2.1 – Equilíbrio nos sistemas físicos.

O estudo de sistemas vibratórios deve começar por sistemas simples que apresentam características básicas capazes de permitir a análise de uma série de fenômenos presentes em sistemas mais complexos. Sistemas de um grau de liberdade são sistemas ideais, capazes de representar uma reduzida parte dos sistemas reais presentes no mundo físico, assim mesmo com grande simplificação. Por outro lado, estes mesmos sistemas apresentam características que fundamentam o entendimento da maioria dos aspectos básicos que estão presentes em sistemas mais complexos. Problemas como ressonância, transmissibilidade, balanceamento e isolamento podem ser devidamente estudados em sistemas de um grau de liberdade com posterior extensão dos conceitos para problemas de ordem maior. Por outro lado estimativas de comportamento podem ser estabelecidas com relativa facilidade e simplicidade matemática quando se cria um modelo simples para um sistema complexo. Razões como estas justificam a introdução do estudo de sistemas de um grau de liberdade em cursos de vibrações em engenharia. A vibração livre, como já foi conceituada no Capítulo 1, ocorre quando o movimento resulta apenas de condições iniciais, não havendo nenhuma causa externa atuando durante o mesmo. O movimento de um pêndulo é um exemplo de vibração livre. Ao ser abandonado, com uma determinada condição inicial (ângulo inicial, por exemplo), o mesmo oscilará livremente.

2.2 – Modelos de Análise de Vibrações Um sistema vibratório é um sistema dinâmico para o qual as variáveis tais como as excitações (causas, entradas, inputs) e respostas (efeitos, saídas, outputs) são dependentes do tempo. A resposta de um sistema vibratório depende, geralmente, das condições iniciais e das ações externas. Isto faz com que seja necessário estabelecer um procedimento de análise que permita o entendimento das influências de cada um dos fatores. O procedimento geral é o que começa com o estabelecimento de um modelo físico, determinação das equações diferenciais que governam o movimento (modelo matemático), solução destas equações e interpretação dos resultados.


14

2.2.1 - Modelo Físico O propósito da modelagem física é representar todos os aspectos importantes existentes no sistema para a

determinação das equações matemáticas que governam o movimento do sistema. O modelo deve então traduzir as características físicas do sistema nos elementos vibratórios básicos, como ilustra a Fig. 2.2. O modelo pode ser mais ou menos complexo, de acordo com as necessidades e com a capacidade de solução das equações do movimento: modelos mais complexos (com mais elementos) produzem um maior número de equações, cuja solução necessita do auxílio computacional. Outro fator é que muitas vezes a análise a se realizar não exige um refinamento muito elevado sendo possível conseguir boas interpretações em sistemas razoavelmente simples.

Fundação

Punção

Matriz

Estrutura

Solo

Solo

Massa da Fundação

Massa da Matriz

(a)

(b)

Amortecimentodo Solo

Rigidezdo Solo

Rigidez doElementoElástico

Amortecimentodo Elemento

Elástico

Força doPunção

ElementoElástico

Figura 2.2 - Modelo de uma prensa.

Os elementos que compõem um sistema vibratório são de três tipos, relacionando forças com deslocamentos, velocidades e acelerações, respectivamente.

2.2.1.1 - Elemento Mola O elemento responsável por relacionar forças com deslocamentos é representado, nos sistemas vibratórios,

pela mola, como mostra a Fig. 2.3a. Assume-se que a mola não possui massa, de forma que uma força Fm atuando em uma extremidade deve ser equilibrada por outra força de igual magnitude mas de sentido contrário, atuando na outra extremidade. Pela atuação da força Fm, a mola se alonga (ou se contrai, se as forças atuarem com sentidos contrários). Esta deformação é igual à diferença entre os deslocamentos x2 e x1. A Fig. 2.3b mostra uma curva força/deformação típica de uma mola comum. Esta curva é não linear. Entretanto, para pequenas deformações, pode-se considerar que existe uma proporcionalidade entre a força e a deformação, sendo k a constante de proporcionalidade, conhecida como constante de mola ou rigidez. As unidades de k no Sistema Internacional (SI), são newton por metro (N/m). Fm é uma força elástica, conhecida como força de restauração, porque uma mola alongada ou comprimida tende sempre retornar à sua posição não deformada.


15

Faixa linear

Fm

x2 - x1

(b)

Fm Fm

x2

(a)

x1

Figura 2.3 - Elemento mola.

A relação entre força e deslocamento é expressa por

( )F k x xm = −2 1 (2.1)

O elemento mola representa a capacidade que o sistema físico tem em armazenar energia. Esta capacidade é, muitas vezes, expressa pela elasticidade presente. Em analogia com um sistema elétrico, a mola pode ser comparada a um capacitor sendo o elemento que armazena energia na forma de energia potencial em um determinado instante do movimento e depois a devolve para que o sistema vibratório a transforme em energia cinética ou a dissipe. A energia potencial armazenada pela mola é dada por

U kx=12

2 (2.2)

Associação de molas em paralelo

As molas podem ser associadas de várias formas. As associações em paralelo e em série, mostradas na Fig. 2.4a e 2.4b, respectivamente, são as mais comuns.

Fm Fm

x1 x2

k2

k1

(a)

Fm Fm

x1 x2k2k1

x0

(b) Figura 2.4 - Associação de molas

Para as molas em paralelo (Fig. 2.4a) a força atuante na mola se divide em duas, de forma que

F F Fm m m= +1 2

(2.3)

Cada uma das molas está submetida à relação

( )( )

F k x x

F k x xm

m

1

2

1 2 1

2 2 1

= −

= − (2.4)

Uma mola equivalente ao conjunto das duas molas deve possuir uma constante de forma que

( )F k x xm eq= −2 1 (2.5)

Introduzindo (2.4) em (2.3) e considerando (2.5) chega-se a


16

k k keq = +1 2 (2.6)

Generalizando, para um conjunto de n molas associadas em paralelo

k keq ii

n

==

∑1

(2.7)

Associação de molas em série

Observando a Fig. 2.4b, as seguintes relações podem ser escritas para molas em série:

( ) ( )F k x x k x xm = − = −1 0 1 2 2 0 (2.8)

que podem ser escritas na forma

x xFk

x xFk

m m0 1

12 0

2

− = − = e (2.9)

Como para uma mola única vale a expressão (2.5), tem-se que

( ) ( )Fk

x x x x x xFk

Fk

m

eq

m m= − = − + − = +2 1 2 0 0 12 1

o que conduz a

k

k k

eq =+

11 1

1 2

(2.10)

Para um conjunto de n molas associadas em série

k

k

eq

ii

n=

=∑

11

1

(2.11)

Sistemas elásticos Um elemento elástico pode ser deformado em várias direções. Cada relação entre uma força em uma direção e

uma deformação na mesma ou em outra direção produz uma diferente constante de mola. A equação (2.12) pode, portanto se apresentar na forma mais geral

jiji xkF = (2.12)

onde i e j podem indicar, por exemplo, translações e rotações ao longo ou em torno de três eixos de um sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, i e j podem assumir seis valores diferentes. Genericamente existirão 6x6 coeficientes independentes kij, relacionados com uma possível aplicação do esforço (força ou momento) e a direção do deslocamento produzido.

Figura 2.5 – Definição de constantes de mola para a viga engastada.

Considere-se, por exemplo, a viga engastada da Fig. 2.5, com o sistema de coordenadas xyz, como indicado. Se a viga possui uma seção transversal circular de diâmetro d, área A e momentos de inércia Ix, Iy, Iz, comprimento L, módulo de elasticidade E, módulo de elasticidade transversal G, e se u, v, w, são as deflexões e θ, φ, ψ as rotações da sua extremidade livre com relação ao sistema de coordenadas xyz, da Resistência dos Materiais, se tem


17

33

33

3,

3

3,

3

,

LEI

kL

wEIF

LEI

kL

uEIF

LEAk

LEAvF

xww

xw

zvv

zu

vvv

==

==

==

(2.13a)

LEI

kL

EIM

LEI

kL

EIM

LGI

kL

GIM

xx

zz

yy

==

==

==

θθθ

ψψψ

φφφ

θ

ψ

φ

,

,

,

(2.13b)

onde Ix = Iz = πd4/64 e Iy = πd4/32, para uma seção circular. Sistemas com um grau de liberdade possuem i = j = 1 e o sufixo da constante k é omitido.

Exemplo 2.1 - Um tambor, com um cabo de aço, é montado na extremidade de uma viga em balanço como mostra a Fig. 2.6(a). Determinar a constante de mola equivalente do sistema quando o comprimento suspenso do cabo é l. São conhecidos o comprimento da viga b, sua largura a e sua espessura t. Assumir que o diâmetro do cabo é d e os módulos de elasticidade da viga e do cabo são iguais a E.

Solução: A constante de mola da viga em balanço é dada por (2.13a)

k EIb

E at

bEat

bb = =

=3

312

43

3

3

3

3 (a)

A rigidez do cabo submetido a carregamento axial é

k EAl

E d

lE d

lr = =

=

ππ

2

244

(b)

A viga em balanço e o cabo podem ser considerados como molas combinadas em série, cuja constante de mola equivalente é dada pela equação (2.10)

k

k kb

Eatl

E d

E d atd b lateq

b r

=+

=+

=+

11 1

14 4 43

3 2

2 3

2 3 3

π

ππ

(c)

Exemplo 2.2 - A lança AB do guindaste mostrado na Fig. 2.7 é uma barra de aço uniforme de comprimento 10 m e área da seção transversal 2,5 x 10-3 m2. A massa de 1000 kg, suspensa pelo guindaste está parada. O cabo CDEBF é de aço e tem área da seção transversal de 0,1 x 10-3 m2. Desprezando o efeito do segmento do cabo CDEB, determinar a constante de mola equivalente do sistema na direção vertical. O módulo de elasticidade do aço é 2,07 x 1011 N/m2.

Solução: A Fig. 2.7b mostra a combinação de molas, assumindo que tanto a lança quanto o cabo estão submetidos exclusivamente a carregamento axial, o que é válido uma vez que a lança é articulada na base do guindaste e o cabo trabalha sob tração. Como não está evidente a associação das molas em série ou em paralelo, deve-se usar a equivalência de energia potencial para determinar a constante de mola equivalente. Um deslocamento vertical x do ponto B causará uma deformação x2 = x cos 45o na lança (constante k2). O cabo se deformará x1 = x cos(90o-θ). Pela Lei dos Cossenos, o comprimento do cabo FB, l1 é obtido por

( ) 22222

22

221 m151135cos1032103 angulocos2 =°×××−+=−+= lFAlFAlFAl (a)

A mesma Lei dos Cossenos, aplicada para determinar o ângulo θ resultará em

(b)


18

t

b

d

W

l a

W

(a)

(b)

W

keq

W

kb

kr

(c) Figura 2.6 - Sistema de elevação.

θ = 35,061ο

l1 = 12,306 m

A energia potencial total U armazenada nas molas é obtida por

( )[ ] ( )

( )( )

U k x k x k x k x

U k k x

= + = °− + °

= °− +

12

12

12

90 12

45

12

90 22

1 12

2 22

12

22

12

2

2

2

cos cos

cos

θ

θ (c)

onde

k E Al11 1

1

11 362 07 10 0 1 10

12 3061 682 10= =

× × ×= ×

−, ,,

, Nm (d)

e

k E Al22 2

2

11 362 07 10 2 5 10

1051 750 10= =

× × ×= ×

−, , , Nm (e)

Como a mola equivalente na direção vertical sofre uma deformação x, a energia potencial desta mola equivalente é dada por

U k xeq eq=12

2 (f)

Fazendo U = Ueq, das expressões (c) e (f), utilizando os resultados de (d) e (e), obtém-se a constante de mola equivalente como

( )( ) ( )( )k k k

k

eq

eq

= °− +

= °− ° × × + × ×

= ×

cos cos , , ,

,

90 22

90 35 061 1 682 10 12

51 750 10

26 430 10

2

1

2

22 6 6

6

θ

Nm


19

1000 kg

1,5 m 1,5 m

45o

10 m

AF

B

ED

C

1000 kg

45o

l2 = 10 m, k2

AF

B

l2, k1

x

3 m

(a) (b)

keq

1000 kg

(c) Figura 2.7 - Guindaste com carga.

2.2.1.2 - Elemento amortecedor O elemento que relaciona forças com velocidades é conhecido genericamente como amortecedor. O amortecedor é constituído por um pistão montado com folga dentro de um cilindro cheio de um líquido viscoso (óleo, água, etc.), de forma que o fluido possa passar através do pistão. A Fig. 2.8a apresenta um esquema deste elemento. Assume-se também que o amortecedor não possui massa, de forma que a força Fd, aplicada em uma de suas extremidades possa ser balanceada por uma outra força de mesma magnitude e sentido contrário, aplicada na outra extremidade. Se estas forças Fd, causam um cisalhamento suave no fluido viscoso, a curva Fd versus & &x x2 1− será aproximadamente linear, como mostra a Fig. 2.8b. A constante de proporcionalidade c, que é a inclinação da curva, é chamada de coeficiente de amortecimento viscoso. As unidades de c no SI são newton-segundo por metro (N.s/m).

Fd

v2 - v1

(b)

Fd Fd

v1 v2

(a) Figura 2.8 - Elemento amortecedor.

A relação entre força e velocidade é então, expressa por

( )F c v vd = −2 1 (2.14)

O amortecedor tem como função física em um sistema vibratório, representar a capacidade que o sistema possui de dissipar energia.

2.2.1.3 - Elemento massa O elemento que relaciona forças com acelerações é o que representa a inércia do sistema, sendo conhecido como massa. De acordo com o que estabelece a Segunda Lei do Movimento de Newton, a força Fi é proporcional à aceleração a quando medidos no mesmo referencial e a constante de proporcionalidade é m (Fig. 2.9). A unidade de massa é básica no SI: kilograma (kg).


20

Fi

a

(b)

Fi

(a)

m

a

Figura 2.9 - Elemento massa.

O elemento massa é aquele que representa a capacidade física do sistema em armazenar energia cinética. A vibração é o fenômeno físico que ocorre com a troca sistemática de energias cinética e potencial entre a massa e mola. Neste processo o amortecimento responde pela energia que é dissipada.

Exemplo 2.3 - Um mecanismo came-seguidor, mostrado na Fig. 2.10, é utilizado para converter movimento de rotação de um eixo no movimento alternativo de uma válvula. O sistema consiste de uma haste de massa mp, um balancim de massa mr e momento de inércia Jr em relação ao seu centro de gravidade C.G., uma válvula de massa mv, e uma mola de massa desprezível. Determinar a massa equivalente meq deste sistema came-seguidor assumindo a localização de meq como (a) ponto A, (b) ponto B. O deslocamento linear da haste é xp e da válvula é xv.

Solução: Devido ao deslocamento vertical da haste, xp, o balancim gira um ângulo θ rpx

l=1

em relação ao ponto de

pivotamento, a válvula se move para baixo x lx l

lv rp= =θ 2

2

1e o C.G. do balancim se move para baixo

x l x llr r

p= =θ 33

1. A energia cinética do sistema é igual à soma das energias cinéticas de cada elemento

T m x m x m x Jp p v v r r r r= + + +12

12

12

12

2 2 2 2& & & &θ (a)

onde &xp , &xr e &xv são as velocidades lineares da haste, C.G. do balancim e da válvula, respectivamente, e &θ r é a velocidade angular do balancim.

(a) Se meq é a massa equivalente do sistema, localizada no ponto A, com & &x xeq p= , a energia cinética total do sistema equivalente Teq é dada por

22

21

21

peqeqeqeq xmxmT && == (b)

Como

& & , &&

, &&

, &&

x x xx l

l xx l

lxlp eq v

eq

r

eq

r

eq= = = =

2

1

3

1 1

e θ (c)

igualando as expressões (a) e (b) resulta

m mJl

mll

mlleq p

rv r= + + +

12

22

12

32

12 (d)

(b) Da mesma forma, se a massa equivalente está localizada no ponto B, & &x xeq v= , e a expressão (b) se transforma em

T m xeq eq v=12

2& (e)

e igualando (a) com (e) resulta


21

m mJl

mll

mlleq v

rp r= + + +

22

12

22

32

22 (f)

Came

Eixo

Seguidor derolamento

Haste

Balancim

Mola daVálvula

Válvula

l3

l1 l2

GOA B

xp xr xvθr

Figura 2.10 - Sistema came-seguidor

Exemplo 2.4 - Determinar a massa efetiva de uma mola de massa total ms.

kdy

y

l

xm

Figura 2.11 - Massa efetiva da mola.

Solução: Sendo &x a velocidade da massa concentrada m, a velocidade de um elemento da mola, localizado a uma distância y de sua extremidade fixa, varia com y. Supondo que esta variação é linear, a mesma pode ser expressa na forma

& &y xyl

= (a)

Se a massa de um elemento de comprimento dy é dmml

dyx= , a energia cinética total da mola pode ser obtida

por integração


22

T x yl

ml

dym

xmolas s

l

=

=∫12

12 3

22

0& & (b)

Se a energia cinética equivalente é dada pela expressão (b) do exemplo 2.3, e & &x xeq = , comparando com a expressão (b) deste exemplo, a massa efetiva (ou equivalente) da mola é

mm

effs=

3 (c)

Muitas vezes, quando existem molas de massa considerável no sistema mecânico estudado, utiliza-se a expressão (c) para incluir o efeito da massa da mola.

2.2.2 - Modelo Matemático A partir do estabelecimento do modelo físico, são utilizados os princípios da dinâmica para determinar as

equações diferenciais do movimento. Estas são geralmente na forma de um conjunto de equações diferenciais ordinárias para sistemas discretos e equações diferenciais parciais para sistemas contínuos. As equações podem ser lineares ou não lineares, dependendo do comportamento dos componentes do sistema. Entre os métodos utilizados para determinar as equações do movimento, os mais freqüentemente encontrados são a 2a Lei de Newton, o Princípio de d’Alembert e as Equações de Lagrange (Princípio da Conservação da Energia).

Dependendo da natureza do problema, uma determinada técnica deverá ser usada para resolver as equações do movimento. As técnicas mais freqüentemente utilizadas são as seguintes: métodos de solução de equações diferenciais, método da Transformada de Laplace, métodos matriciais e métodos numéricos.

A solução das equações do movimento apresenta os deslocamentos, velocidades e acelerações das várias massas do sistema. Estes resultados devem ser interpretados segundo o propósito da análise que está sendo realizada e as possíveis implicações dos resultados. É nesta etapa que se inclui, por exemplo, o diagnóstico de vibrações em máquinas ou equipamentos industriais. A comparação entre as características das vibrações medidas com as soluções das equações diferenciais permite importantes conclusões sobre as causas das vibrações. Nesta etapa a utilização das Transformadas de Fourier é fundamental para a identificação de características nas vibrações medidas.

2.3 - Vibrações livres de sistemas não amortecidos 2.3.1 – Equações de movimento A Fig. 2.12a mostra um modelo simples de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento, o conhecido sistema massa-mola. Aplicando a Segunda Lei de Newton, pode-se construir o diagrama de corpo livre da massa m, mostrado na Fig. 2.12b. A equação do movimento é então

( )mx k x mgest&& = − + +δ

pela condição de equilíbrio estático quando o movimento não existe, sabe-se que mg k est= δ , podendo-se escrever a equação diferencial do movimento em sua forma conhecida

mx kx&&+ = 0 (2.15)

A mesma equação pode ser obtida utilizando o Princípio da Conservação da Energia. Como o sistema não possui amortecimento, toda a energia concedida inicialmente permanece invariável durante o tempo em que acontece o movimento. Isto é expresso por T + U = E = constante onde T é a energia cinética e U é a energia potencial associadas ao movimento. A conseqüência matemática da conservação da energia é

( )dEdt

ddt

T U= + = 0 (2.16)

A energia cinética é armazenada pela massa, dependendo da velocidade, sendo dada por T mx=12

2& , enquanto

que a energia potencial é armazenada pela mola, na forma de deformação, sendo U kx=12

2 . Introduzindo estes termos

na equação 2.16 tem-se

( )ddt

T U ddt

mx kx mxx kxx+ = +

= + =12

12

02 2& &&& &

resultando na mesma equação 2.15.


23

posição deequilíbrio estáticoposição final

x

mg + kx

(b)

m

k(δst + x)

mg

(c)

δst x

kxEnergia

Potencial

Posição de equilíbrioestático

Força demola

O

(d)

m

k L0 + δst

(a)

m

kδst

mg

Figura 2.12 - Sistema massa-mola em posição vertical

A equação 2.15 é uma equação diferencial ordinária, de segunda ordem (derivada de maior ordem), linear (todos os termos estão linearmente relacionados com x e suas derivadas), de coeficientes constantes (m e k não variam com o tempo) e homogênea ( o termo independente é igual a 0). A solução desta equação é dada por

( )x t A t A tn n= +1 2sen cosω ω (2.17)

onde A1 e A2 são constantes de integração. Derivando duas vezes (2.17) e substituindo em (2.15) encontra-se

( ) 0)cossen( 212 =+− tAtAmk nnn ωωω (2.18)

Para que a equação (2.18) seja satisfeita, é necessário que

( )k m kmn n− = =ω ω2 20 ou (2.19)

A solução (2.17) tem as mesmas características daquela obtida em Resistência dos Materiais, para a equação da linha elástica. Lá o problema é espacial (variável independente é a posição) conhecido como problema do contorno, e as constantes A1 e A2 são obtidas através de equações auxiliares geradas pelas condições de contorno associadas ao problema em estudo. No caso presente o problema se apresenta no domínio do tempo e é conhecido como problema do valor inicial e as constantes A1 e A2 dependem das condições iniciais do movimento. Se os valores iniciais do deslocamento e da velocidade (que representam a energia total introduzida para gerar o movimento livre), são conhecidos e dados por x0 e v0 tem-se

( )( )

x t x A

x t v An

= = =

= = =

0

00 1

0 2& ω

de forma que a solução da equação diferencial do movimento se torna

( )x t x t v tnn

n= +00cos senω

ωω (2.20)

O movimento representado em (2.20) é um movimento harmônico de freqüência igual a ωn. Esta é a freqüência com que o sistema oscila quando está livre sem amortecimento. Por este motivo é chamada de freqüência natural de oscilação. Esta freqüência natural terá muita importância quando se estudar a vibração forçada sendo ela uma das características mais importantes de um sistema do ponto de vista dinâmico. Tratando-se de uma oscilação harmônica, é importante representar a expressão (2.20) em uma forma mais simples, contendo um seno ou coseno apenas. Com o auxílio de relações trigonométricas (2.20) pode ser escrita como


24

( ) ( )x t X tn= +0 cos ω φ (2.21)

onde

X xv

vx

n

n

0 02 0

2

0

0

= +

ω

φω

e

=tan -1

XO

T

φ t

Figura 2.13 - Vibração livre sem amortecimento (movimento harmônico)

Exemplo 2.5 - Encontrar a freqüência natural de vibração na direção vertical do sistema de elevação mostrado na Fig. 2.6a

Solução: O sistema de elevação pode ser idealizado como um sistema de um grau de liberdade com duas molas associadas em série (viga em balanço e corda, são os elementos elásticos), cuja rigidez equivalente é dada por

kk k

k keqb r

b r

=+

(a)

onde kb é a rigidez da viga em balanço sob flexão e kr é a rigidez do cabo de aço sob tração.

k EIb

Eb

at Eatb

k EAl

El

d E dl

b

r

= =

=

= =

=

3 312 4

4 4

3 3

3 3

3

2 2

e

π π

resultando em uma rigidez equivalente

k E d atd b lateq =

+

4

2 3

2 3 3π

π

e a freqüência natural é dada por

ω ππn

eq eqkm

k gP

EgP

d atd b lat

= = =+

4

2 3

2 3 3 (b)

Exemplo 2.6 - Determinar a freqüência natural do sistema de polias mostrado na Fig. 2.14. Assumir que não há atrito entre cabo e polias e as massas das polias e do cabo são desprezíveis.


25

Polia 1

Polia 2

m

x

k1

k2

Figura 2.14 - Sistema de elevação com polias.

Solução: Idealizando novamente o sistema como um sistema de um grau de liberdade, a freqüência natural também pode ser obtida usando o conceito de rigidez equivalente. Como não há atrito entre polias e cabo e as polias não possuem massa, a tensão na corda é constante e igual ao peso P da massa m. Então a força que atua na polia 1, puxando-a para cima é 2P, e a força que atua na polia 2, puxando-a para baixo também é 2P. O centro da polia 1 se desloca 2P/k1 para cima, e o centro da polia 2 se desloca 2P/k2, para baixo. O deslocamento total da massa m é

2 2 2

1 2

Pk

Pk

+

A constante de mola equivalente do sistema é obtida

considerando peso da massaconstante de mola equivalente

deslocamento da massa= , portanto

( )

( )

Pk

Pk k

P k kk k

k kk k

eq

= +

=

+

=+

4 1 1 4

4

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

e

keq

Se a equação do movimento da massa é escrita como

mx k xeq&&+ = 0

então a freqüência natural é dada por

( ) ( )ωω

π πneq

nnk

mk k

m k kf

k km k k

= =+

= =+

1 2

1 2

1 2

1 24 21

4 rad / seg ou Hz (ciclos / seg)

Exemplo 2.7 – Um rolo compactador de solo consiste de um cilindro de massa m e raio r, que está conectado a um trator por uma mola de constante k como mostra a Fig. 2.15. Encontrar a equação diferencial do movimento. Assumir que o rolo está livre para rolar sobre a superfície horizontal, sem deslizamento.

Solução: Aplicando a 2ª Lei de Newton ao movimento do cilindro, usando como coordenada o movimento do centro de massa do mesmo,

F mx=∑ && (a)


26

ou

fmx kx F= − +&& (b)

onde Ff é a força de atrito, ainda desconhecida.

Figura 2.15 – Rolo compactador de solo.

Usando a equação, OM J θ=∑

O fJ F rθ = −&& (c)

ou

212 f

xmr F rr

= −

&& (d)

e, portando, 12fF mx= − && . Substitui-se esta expressão para Ff na equação das forças para obter

12

mx kx mx= − −&& && (e)

ou

3 02

mx kx+ =&& (f)

2.3.2 - Método da energia de Rayleigh Conforme foi dito no capítulo introdutório, uma das mais importantes contribuições de Lord Rayleigh no campo das vibrações foi o método apresentado para determinação da freqüência natural do sistema de um grau de liberdade. Mais tarde Ritz estendeu o método para determinação da primeira freqüência natural de um sistema de mais de um grau de liberdade. O Método de Rayleigh se fundamenta no Princípio da Conservação da Energia, se aplicando, portanto, apenas a sistemas conservativos (sem amortecimento). Como a energia total E é constante, a soma das energias cinética e potencial em dois instantes de tempo quaisquer são iguais

T1 + U1 = T2 + U2 = E (2.22)

onde T1 e U1 são as energias cinética e potencial no tempo 1 e T2 e U2 são as energias cinética e potencial no tempo 2. Estabelecendo-se a posição de equilíbrio estático como a posição referencial de energia potencial (a energia potencial depende do referencial, que pode ser escolhido arbitrariamente) e o tempo 1 for o tempo em que o sistema passa por esta posição, então U1 = 0 e, como a energia total é constante e igual à soma das energias cinética e potencial, a energia cinética neste tempo deve ser máxima, ou T1 = Tmax . Por outro lado, ao se escolher o tempo 2 como o tempo em que o sistema atinge seu máximo deslocamento, isto produz uma energia potencial máxima U2 = Umax e, como o movimento é oscilatório, a velocidade neste mesmo tempo é nula e T2 = 0 . Utilizando a expressão (2.22), isto se traduz em

Tmax = Umax (2.23)

que é a expressão fundamental do Método de Rayleigh.

Exemplo 2.8 – Resolver o problema do exemplo 2.7 utilizando o Método de Energia.

Solução: Energia cinética do movimento de translação do centro de massa do rolo

212tT mx= & (a)


27

Energia cinetica do movimento de rotação do rolo

212r OT J φ= & (b)

onde o momento de inércia do rolo é

212OJ mr= (c)

Pela condição de rolamento sem deslizamento

ou r x r xφ φ= =& & (d)

de forma que a energia cinética total é 2

2 2 21 1 1 32 2 2 4

xT mx mr mxr

= + =

&& & (e)

A energia potencial se concentra na mola, sendo

212

U kx= (f)

Aplicando o Princípio da Conservação da Energia

( ) 023

=

+=+ kxxmUT

dtd

&& (g)

Simplificando, chega-se à equação

3 02

mx kx+ =&& (h)

que é idêntica à eq. (f) do Exemplo 2.7.

Exemplo 2.9 – Estruturas compostas. Determinar a freqüência natural da vibração vertical de uma massa ligada a uma estrutura flexível como mostrado na Fig. 2.16. Solução: A estrutura da Fig. 2.16 é considerada como duas molas associadas em série. O modelo é mostrado na Fig. 2.16a. Para uma viba bi-apoiadaa constante de mola para a deflexão lateral no meio é

3

48EIkL

= (a)

Passo 1: O sistema possui um grau de liberdade. Seleciona-se a coordenada x.

Passo 2: Assume-se que a massa é deslocada x. As forças aplicadas são mostradas na Fig. 2.16d. F é ainda desconhecida. A compatibilidade dos deslocamentos exige que

1 212 1 2 3

1 2 3

1 212 3 3

1 2 3 1 2 3

2 2, , ,2

1 1 12 4 4 4 4

F F Fk k k

F F Fx Fk k k k k k

δ δδ δ δ δ

δ δδ δ δ

+= = = =

+= + = + = + + = + +

(b)

Então

1 2 31 4 1 4 1xF

k k k=

+ + (c)

Passo 3: A 2ª Lei de Newton estabelece

1 2 3

1 2 3

1 4 1 4 11 0

1 4 1 4 1

xmx Fk k k

mx xk k k

−= − =

+ +

+ =+ +

&&

&&

(d)


28

Figura 2.16 – Estrutura composta.

Passo 4: A freqüência natural é

1 2 3

11 4 1 4 1

nk k k

mω

+ += (e)

Exemplo 2.10 – Uma viga engastada, de aço, com comprimento igual a 1 m possui uma seção transversal retangular de 0,01 x 0,12 m2. Uma massa de 100 kg é anexada à sua extremidade livre como mostra a Fig. 2.17. Determinar a freqüência natural do sistema para vibração vertical.

Figura 2.17 – Viga engastada.

Solução: Assume-se que a massa da viga é pequena. mviga = 7800 x 1 x 0,01 x 0,12 = 9,36 kg, mas se sabe que a sua massa efetiva é cerca de 1/3 deste valor, 3,12 kg, o que representa 3,12 % da massa colocada na extremidade. A deflexão na extremidade livre da viga engastada, devida a uma força lateral P ali aplicada é δ = PL3/3EI. Portanto, para pequenas oscilações, a constante de mola é k = P/δ = 3EI/L3.

O momento de inércia da viga é I = bh3/12 = 0,12 x 0,013/12 = 10-8 m4, e o módulo de elasticidade do aço é E = 2,1 x 1011 N/m2. Portanto, k = 3 x 2,1 x 1011 x 10-8/13 = 6300 N/m.

A equação do movimento livre não amortecido é

0mx kx+ =&& (a)

Se a massa da viga não for considerada a freqüência natural será

6300 7,94 rad/s100n

km

ω = = = (b)

Se a massa efetiva da viga (1/3) for acrescida, a freqüência natural torna-se

rad/s82,712,3100

6300=

+==

eqn m

kω (c)

A diferença de 0,12 rad/s equivale a 1,51 % da freqüência natural, correspondendo a uma diferença de 9,36 % na massa total. Isto demonstra a importância em se considerar a massa efetiva da mola.


29

Exemplo 2.11 – A corda mostrada na Figura 2.18 está sob uma tensão T, que permanece constante para pequenos deslocamentos. Determinar a freqüência natural da vibração vertical da massa m considerando pequenas oscilações. Despreze os efeitos da gravidade e a massa da mola.

Figura 2.18 – Massa suportada por uma corda tensionada.

Solução: Assumir que a massa está deslocada x na direção vertical. A tensão na corda é a força de restauração. Como a tensão é constante, as componentes verticais da tensão sobre a massa resultam em ( )[ ]aLxaxT −+− . Aplicando a 2ª Lei de Newton, a equação do movimento é

0=

−++

aLx

axTxm && ou ( ) 0=

−

+ xaLa

TLxm && (a)

e

( )aLmaTL

n −=ω (b)

Exemplo 2.12 – Um cilindro sólido de raio r está imerso parcialmente em água destilada como ilustra a Fig. 2.19. Determinar a freqüência natural de oscilação do cilindro na direção vertical, assumindo que permanece na posição vertical. As densidades do cilindro e da água são ρc e ρw.

Figura 2.19 – Vibração de corpos flutuantes.

Solução: O deslocamento vertical do cilindro medido a partir de sua posição de equilíbrio é x. O peso da água deslocada (empuxo) é Agρwx. Esta é força restauradora, de acordo com o Princípio de Arquimedes. A massa do cilindro é Ahρc. Da 2ª Lei de Newton, a equação do movimento é

0c wAhx Ag xρ ρ+ =&& (a)

ou

0w

c

gx xh

ρρ

+ =&& (b)

portanto

wn

c

gh

ρω

ρ= (c)

Como parte da água se move junto com o cilindro, a freqüência natural real será um pouco menor. A massa de água acrescida é:


30

allongitudin eixoseu ao larmenteperpendicu se-movendo cilindro4

plana superfície à larmenteperpendicu se-movendo retangular forma com placa

4

disco3

esfera12

2

2

3

3

→

→

→

→

Ld

wLLw

d

d

πρ

πρ

ρ

πρ

Exemplo 2.13– Um corpo de massa m1 está suportado por uma mola de rigidez k (Fig. 2.20). Uma massa m cai de um altura h sobre o corpo ocorrendo um impacto perfeitamente plástico. Determinar a expressão da vibração resultante e a freqüência natural do sistema após o impacto.

equilíbrio

m

m1

kx0

m1

h

mm

x

ghu 2=

u0

Figura 2.20 – Vibração devida ao impacto.

Solução: Em primeiro lugar determina-se a velocidade da massa m no momento do impacto. A seguir, utilizando o princípio da conservação da quantidade de movimento, calcula-se a velocidade do conjunto após o impacto, que é a velocidade inicial do movimento das duas massas se vibrando como um corpo rígido.

Quando a massa m atinge o corpo m1, possui velocidade 2u gh= . O princípio da conservação da quantidade de movimento estabelece que ( )1 0mu m m u= + onde u0 é a velocidade das duas massas após o impacto.

Neste instante o sistema não estará na sua posição de equilíbrio estático. Se a massa m1 for carregada com uma carga adicional mg, a posição de equilíbrio estático estaria 0 mg kδ = abaixo da posição do impacto. Se o movimento é medido a partir desta posição (impacto), as condições iniciais são

0 01

, 2mg mx u ghk m m

−= = +

(a)

A equação do movimento é similar à Eq. (2.15)

( )1 0m m x kx+ + =&& (b)

com

1

nk

m mω =

+ (c)

A solução, em função das condições iniciais, é dada pela Eq. (2.20), resultando em

( ) ( )1

0 01

1

22cos sen cos sen sen cosn n n n n n

m ghm mmg gh mgx t x t u t t t m t t

k k m m kkm m

ω ω ω ω ω ω+−

= + = + = −+

+

2.4 - Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Viscoso O amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia. Como modelo mais simples de amortecimento se apresenta o amortecimento viscoso, assim chamado por representar a força dissipativa proporcionada


31

por um fluido viscoso. Esta força tem como característica principal ser proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento quando existe um fluido separando-as. Esta proporcionalidade garante que a equação diferencial do movimento não perderá nenhuma de suas características enunciadas na seção 2.3.1. A força de amortecimento viscoso Fa tem como expressão

F cxa = − & (2.24)

onde c é a chamada constante de amortecimento.

2.4.1 - Equação do movimento

k

(a)

kx

m m

.cxc

xSistema Diagrama de corpo livre

(b) Figura 2.21 - Sistema de um grau de liberdade com amortecedor viscoso

A Fig. 2.21a mostra o esquema de um sistema de um grau de liberdade com amortecimento. Se a força de amortecimento for de natureza viscosa, é igual à expressão (2.24), o diagrama de corpo livre da Fig. 2.21b, ao se aplicar a 2ª Lei de Newton, permite que se escreva a equação

mx cx kx&& &= − −

que pode ser escrita na forma

mx cx kx&& &+ + = 0 (2.25)

A solução da equação (2.25) tem forma ( )x t Cest= que, introduzida na equação, resulta em

( )ms cs k Cest2 0+ + =

que tem solução não trivial quando a equação característica

ms cs k2 0+ + = (2.26)

for satisfeita. Isto só é possível se as raízes forem

s c c mkm

cm

cm

km1,2

2 242 2 2

=− ± −

= − ±

− (2.27)

Como as duas raízes satisfazem a equação diferencial (2.25), a solução resultante será uma combinação linear das mesmas na forma

( )x t C e C es t s t= +1 21 2 (2.28)

2.4.2 - Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido. A forma funcional de (2.28) depende fundamentalmente da natureza das raízes (2.27): complexas ou reais. Para facilitar a notação, antes de estudar a influência da natureza das raízes na forma funcional, deve-se definir alguns parâmetros auxiliares.

Constante de Amortecimento Crítico

A constante de amortecimento crítico cc é definida como o valor de c que faz com que o discriminante ∆ da expressão (2.27) se anule. Isto porque, é do sinal deste discriminante que depende a natureza das raízes: ∆ > 0 implica


32

em raízes reais enquanto que para ∆ < 0 as raízes formarão um par complexo. ∆ = 0, se apresenta como o limite entre estas duas situações distintas. Tem-se então

cm

km

c

20

2

− =

de forma que

c m km

mc n= =2 2 ω (2.29)

Fator de Amortecimento

A constante de amortecimento c dá uma indicação da relação entre a força de amortecimento e a velocidade relativa entre as partes em movimento. Ela, porém não proporciona uma visão da quantidade de amortecimento que atua sobre o sistema real, uma vez que uma força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro, dependendo, fundamentalmente das massas envolvidas e da rigidez. Define-se, então o fator de amortecimento que é uma quantidade adimensional e não depende da ordem de grandeza dos parâmetros do sistema, indicando expressamente o quanto o sistema está sendo amortecido. O fator de amortecimento é definido como a relação entre a constante de amortecimento do sistema e a constante de amortecimento crítica

ζ =ccc

(2.30)

Com o valor de cc dado na expressão (2.29) tem-se que

ζω

=c

m n2 (2.31)

Considerando que mkn =2ω , com a expressão (2.31), as raízes (2.27) podem ser escritas na forma

( ) ( )s n n n n1,2

22 2 1= − ± − = − ± −ζω ζω ω ζ ζ ω (2.32)

Introduzindo (2.32) em (2.28), chega-se a

( )x t C e C en nt t= +

− + −

− − −

1

1

2

12 2ζ ζ ω ζ ζ ω (2.33)

A expressão (2.33) pode ser considerada como a expressão geral para o movimento vibratório de um sistema de um grau de liberdade. Pode-se se mostrar facilmente que, para ζ = 0 esta expressão se transforma em (2.17), que representa o movimento de um sistema de um grau de liberdade sem amortecimento. A forma do movimento representado por (2.33) depende expressamente dos expoentes presentes (ou da natureza das raízes (2.32) como já foi dito antes). A seguir serão apresentadas as possibilidades de movimento em função da natureza destes expoentes (reais, complexos ou nulos). E, como pode ser facilmente averiguado em (2.33), a natureza dos expoentes depende do fator de amortecimento ζ.

Caso 1: Sistema sub-amortecido - ζ<1

No primeiro caso analisado o sistema possui um fator de amortecimento menor que a unidade, o que significa que sua constante de amortecimento é menor que a constante de amortecimento crítico, como pode ser observado em (2.30). Como conseqüência tem-se que

ζ − <1 0

Então (2.33) pode ser escrita na forma

( )x t C e C ei t i tn n= +− + −

− − −

1

1

2

12 2ζ ζ ω ζ ζ ω (2.34)

que, considerando as fórmulas de Euler, e ii± = ±α α αcos sen , pode ser modificada para

( ) ( ) ( )[ ][ ]x t e C C t i C C tntn n= + − + − −−ζω ζ ω ζ ω1 2

21 2

21 1cos sen (2.35)

e, através das relações trigonométricas ( )cos cos cos sen sena b a b a b± = m , chega-se a

( ) ( )x t Xe tntn= − −−ζω ζ ω φcos 1 2 (2.36)


33

com ( ) ( ) ( )X C C C C C C

i C CC C

= + − − = =−+

−1 2

21 2

21 2

1 1 2

1 2

2 e φ tan .

X

φ

O

x1

τπ

ωdd

=2

x2

t1 t2

Xe nt−ζω

x(t)

ωd t

Figura 2.22 - Solução sub-amortecida.

As constantes de integração X e φ , são obtidas aplicando-se as condições iniciais ( ) ( )x t x x t v= = = =0 00 0 e & diretamente à expressão (2.36), resultando em

Xv x

xn

n

=+

−

+0 0

2

2

02

1

ζω

ζ ω (2.37a)

e φ ζω

ζ ω=

+

−

−tan 1 0 0

021

v x

xn

n

(2.37b)

O ζ

(ωd/ωn)

1

1

Figura 2.23 - Variação de ωd com o amortecimento.

A forma do movimento representado pela expressão (2.36) é mostrada na Fig. 2.22. Trata-se de um movimento harmônico com forma ( )cos 1 2− −ζ ω φn t , e amplitude decrescente exponencialmente segundo a

relação Xe nt−ζω . Observa-se que o efeito do amortecimento está presente na amplitude decrescente, representando a dissipação da energia vibratória. Para grandes valores de t o termo Xe nt− →ζω 0 .

O movimento continua sendo harmônico pois apenas uma freqüência está presente. A freqüência de oscilação agora não é mais a freqüência natural e sim a chamada freqüência da vibração livre amortecida, dada por

ω ζ ωd n= −1 2 (2.38) ωd se aproxima de ωn para pequenos valores de ζ. A variação de ωd com ζ está mostrada na Fig. 2.23.


34

Caso 2 - Sistema Criticamente Amortecido - ζ = 1

Quando ζ = 1, a constante de amortecimento c é igual à constante de amortecimento crítico cc, implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e iguais, a saber

s s n1 2= = −ω (2.39)

Para o caso de raízes reais repetidas, a solução da equação diferencial (2.25) assume a forma

( ) ( ) ( )x t C C t e C C t est tn= + = + −1 2 1 2

ω (2.40)

Aplicando-se as condições iniciais ( ) ( )x t x x t v= = = =0 00 0 e & diretamente à expressão (2.40), as constantes de integração são obtidas como C x C v xn1 0 2 0 0= = + e ω , resultando em

( ) ( )[ ]x t x v x t entn= + + −

0 0 0ω ω (2.41)

A Fig. 2.24 mostra o movimento criticamente amortecido, juntamente com os outros tipos de movimentos amortecidos. Em função do termo exponencial negativo o movimento tende a zero com o crescimento do tempo. Como o movimento não é mais harmônico, neste tipo de sistema não ocorrem oscilações completas: a massa retorna rapidamente à sua posição de equilíbrio.

Caso 3 - Sistema Super-Amortecido - ζ > 1

Quando ζ > 1 a constante de amortecimento c é maior que a constante de amortecimento crítico cc, implicando que as raízes dadas em (2.32) são reais e diferentes, a saber

( )s n1,22 1 0= − ± − <ζ ζ ω (2.42)

e a solução da equação diferencial retorna à forma dada em (2.33).

Introduzindo-se as condições iniciais ( ) ( )x t x x t v= = = =0 00 0 e & , em (2.33), determinam-se as constantes de integração, que se tornam

( )

( )

Cx v

Cx v

n

n

n

n

1

02

0

2

2

02

0

2

1

2 1

1

2 1

=+ − +

−

=− − − −

−

ω ζ ζ

ω ζ

ω ζ ζ

ω ζ

O movimento super-amortecido também está mostrado na Fig. 2.24 e se pode ver que não é oscilatório. Se pode comparar os três casos descritos acima e concluir que movimento oscilatório só acontece em sistemas sub-amortecidos (ζ < 1). Sistemas criticamente amortecidos e super-amortecidos apresentam como característica principal, o fato de que toda a energia vibratória inicial se dissipa antes que ocorra um ciclo vibratório. Conseqüência: não há vibração. Uma conclusão que se tira da observação da Fig. 2.24 é que o sistema retorna mais rapidamente à posição de equilíbrio quando está criticamente amortecido do que quando está super-amortecido. Portanto, quando se desejar fazer com que um sistema retorne rapidamente, sem vibrar, à sua posição inicial depois de deslocado dela, se deve escolher uma quantidade de amortecimento que torne o sistema criticamente amortecido. Na prática, como vai ser visto mais adiante, valores menores do que o amortecimento crítico (ζ = 0.7) permitem o retorno à posição de equilíbrio mais rapidamente ainda, permitindo-se que ocorra apenas uma oscilação. Este valor é usado em amortecedores de veículos, pois os mesmos, quando submetidos às irregularidades de ruas e estradas, devem retornar o mais rapidamente à sua posição original.


35

O

τπ

ωdd

=2

x(t)

ωd t

Superamortecidoζ > 1

Subamortecidoζ < 1

Não amortecidoζ = 0

Criticamenteamortecido

ζ = 1

τπ

ωnn

=2

x0

Figura 2.24 - Comparação entre movimentos com diferentes tipos de amortecimento.

2.4.3 - Decremento Logarítmico Um problema que se apresenta normalmente para quem estuda sistemas vibratórios é estimar o fator de amortecimento ζ. Quando se possui um registro, resultado de uma medição, de um movimento vibratório, é possível observar a queda exponencial da amplitude de vibração com o tempo. O método do decremento logarítmico se fundamenta na comparação entre duas amplitudes, consecutivas ou não, medidas de um movimento vibratório livre amortecido.

A Fig. 2.22 mostra o registro de um movimento vibratório livre, medido de um sistema de um grau de liberdade. Em se tratando de movimento oscilatório, então o sistema é sub-amortecido, e a expressão que descreve o movimento é a (2.36). Se x1 é o deslocamento medido no tempo t1 e x2 é o deslocamento medido no tempo t2, a relação entre x1 e x2 é

( )( )

xx

Xe t

Xe t

n

n

td

td

1

2

1

2

1

2=

−

−

−

−

ζω

ζω

ω φ

ω φ

cos

cos (2.43)

Se os dois deslocamentos são medidos em tempos separados por um período inteiro, então t2=t1+τd com τ π

ωdd

= 2 , de forma que

( ) ( ) ( )cos cos cosω φ π ω φ ω φd d dt t t2 1 12− = + − = −

o que torna (2.43)

( )xx

e

e ee e e

n

n d n d

n dn

n

t

t

1

2

2

11

1

2

2

1 21= = = = =

−

− + −− −

ζω

ζω τ ζω τζω τ

ζωπ

ζ ω

πζ

ζ

e o decremento logarítmico é definido então como

δπζ

ζ= =

−ln

xx

1

22

2

1 (2.44)

Para sistemas com amortecimento muito baixo (ζ<<1), a expressão (2.44) pode ser aproximada para

δ πζ= 2 (2.45)

A Fig. 2.25 mostra graficamente a relação entre δ e ζ de onde se pode ver que a curva (2.44) se aproxima da reta descrita por (2.45) quando ζ < 0.3.


36

0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

2

4

6

8

10

12

14

ζ =ccc

δ =

ln

xx

1

2

Eq. (2.44)

Eq. (2.45)

Figura 2.25 - Variação do decremento logarítmico com o amortecimento.

Basicamente, então, o método funciona a partir de duas medidas do movimento, x1 e x2 seguindo-se o cálculo do decremento logarítmico δ, por (2.44), e a seguir, o fator de amortecimento ζ é calculado por

( )ζ δ

π δ=

+2 2 2 (2.46)

Como, em uma grande quantidade de casos, é difícil distinguir entre dois deslocamentos separados por um único período, o decremento logarítmico, seguindo o mesmo raciocínio apresentado acima pode ser obtido a partir de duas medidas x1 e xm+1 . Tem-se

( )xx

xx

xx

xx

xx

xx e

m

m

m

m

m

mn d1

1

1

2

2

3

3

4

1

1+

−

+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ζω τ

de onde se obtém o decremento logarítmico

δ =

+

1 1

1mx

xm

ln (2.47)

2.4.4 - Energia Dissipada no Amortecimento Viscoso Como o amortecimento representa a capacidade do sistema em dissipar energia, é útil se estabelecer uma relação entre a energia dissipada e a constante de amortecimento (ou o fator de amortecimento) do sistema. Em se tratando de vibração livre, toda a variação de energia resulta da dissipação: o movimento possui inicialmente uma quantidade de energia que vai diminuindo progressivamente. A taxa de variação da energia com o tempo é dada por

( )dWdt

Fv cv v c dxdt

= × = − = −

força velocidade = 2

(2.48)

onde assumiu-se que a força responsável pela variação é a força de amortecimento viscoso. O sinal negativo representa a variação negativa da energia, em virtude do sistema ser dissipativo. Quando o fator de amortecimento é pequeno, pode-se considerar que a amplitude permanece constante em um ciclo da vibração sendo x(t) = X cos ωdt. A energia dissipada no ciclo de vibração é, portanto

( ) ( )∆W cdxdt dt c X t dt c X td td d d d d

dd

= −

= − − = −∫∫∫

22

2 2

0

2

0

2

0ω ω ω ω ω

ππωτ

sen sen

resultando em


37

2XcW dωπ−=∆ (2.49)

Da expressão (2.49) se conclui que a energia dissipada depende, além da constante de amortecimento c, também da freqüência da vibração livre amortecida ωd, e do quadrado da amplitude do movimento vibratório X. A capacidade específica de amortecimento do sistema é definida como a relação entre a energia que é dissipada durante um ciclo e a energia total que estava presente no início do referido ciclo. Escolhendo-se o início do ciclo, o instante de tempo em que o sistema possui a máxima energia cinética (também poderia ser potencial), esta pode ser dada por

( )W mv m Xmax d= =12

12

22

ω (2.50)

A capacidade específica de amortecimento é dada relacionando-se (2.49) e (2.50)

∆WW

c X

m X

cm

cm

d

dd n

= = =−

=

−=

π ω

ω

πω

π

ζ ωπζ

ζδ

2

2 2 2 212

2 41 2

41

2 (2.51)

O coeficiente de perda também é utilizado para representar a capacidade de amortecimento de materiais. É obtido a partir de (2.51) como

( )coeficiente de perda = =

∆W

W2π δ

π (2.52)

Exemplo 2.14 - Um absorvedor de choque é projetado para uma moto de massa igual a 200 kg (Fig. 2.26a). Quando o absorvedor é submetido a uma velocidade inicial devido a uma irregularidade no caminho, a curva resultante deslocamento x tempo é como a mostrada na Fig. 2.26b. Determinar as constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o absorvedor se o período de vibração amortecida é 2 seg e a amplitude x1 deve ser reduzida para ¼ em meio ciclo (x1,5=x1/4). Determinar também a velocidade inicial mínima que produz um deslocamento máximo de 250 mm.

Solução: Inicialmente deve ser determinado o fator de amortecimento ζ , que pode ser obtido a partir do decremento logarítmico δ . A constante de amortecimento pode então ser obtida. A rigidez é determinada através da freqüência da vibração livre amortecida. A velocidade inicial é obtida a partir da determinação do tempo correspondente ao máximo deslocamento.

k/2k/2c

m

(a)

O

x(t)

x1

x1,5

x2

x2,5

t

(b) Figura 2.26 - Absorvedor de choque para uma moto.

Se x1,5 = x1/4, então o deslocamento x2, correspondente a um período após x1 será x2 = x1,5/4 = x1/16. O decremento logarítmico é então

( )δ =

= =ln ln ,

xx

1

2

16 2 773

Através da expressão (2.46) determina-se o fator de amortecimento por


38

( )ζ

δ

π δ=

+=

20 404

2 2,

A freqüência natural é obtida a partir do período da oscilação amortecida τd = 2 seg.

ωω

ζ

πτ

ζn

d d=−

=−

=1

2

13 434

2 2, rad / seg

Sendo m = 200 kg constante de amortecimento crítico é obtida por

c mc n= = ×⋅2 1 374 103ω , N segm

A constante de rigidez é dada por

k m n= = ×ω 2 32 358 10, Nm

O tempo em que ocorre o máximo deslocamento é o mesmo tempo em que a velocidade se anula. A equação da velocidade é obtida diferenciando-se a expressão (2.36) em relação ao tempo, resultando

( ) ( ) ( )[ ]& cos senx t Xe t tntn d d d= − − − −−ζω ζω ω φ ω ω φ

que será nula se o termo entre colchetes se anular. Considerando as expressões (2.37), sendo o deslocamento inicial nulo, com, consequentemente, φ = π/2, e X = v0/ωd e as relações trigonométricas

( )( ) φωφωφω

φωφωφωsinsincoscoscossincoscossinsin

tttttt

ddd

ddd

m=±±=±

chega-se a

td

11

21 1=

−

=−

ωζ

ζtan 0,368 seg

A expressão (2.36), para o presente caso torna-se

( )x tv

e td

td

n= −0

ωωζω sen

Como este valor máximo é 0,25 m tem-se

10

max sen1 tevx dt

d

n ωω

ζω−=

e, substituindo os respectivos valores, chega-se a

v0 = 1,429 m/s

Exemplo 2.15 - O diagrama esquemático de um canhão é mostrado na Fig. 2.27. Quando a arma é disparada, gases a alta pressão aceleram o projétil dentro do cano até o mesmo atingir uma alta velocidade. A força de reação empurra o corpo do canhão na direção oposta à do projétil. Como é desejável trazer o corpo do canhão para a posição original no menor tempo possível, sem oscilar, coloca-se um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido no mecanismo de recuo. Em um caso particular o mecanismo de recuo e o corpo do canhão possuem uma massa de 500 kg com uma mola de rigidez 10000 N/m. O canhão recua 0,4 m após o tiro. Determinar: 1) o coeficiente de amortecimento crítico do amortecedor; 2) a velocidade inicial de recuo do canhão; 3) o tempo gasto pela arma para retornar à posição situada a 0,1 m de sua posição inicial. Solução: 1) A constante de amortecimento crítico é obtida pela expressão (2.29). Para tanto é necessário, inicialmente, determinar a freqüência natural

ω Nkm

= = =10000

5004 472, rad / seg


39

Projétil

Mecanismode recuo

Figura 2.27 - Canhão.

A constante de amortecimento crítico será, então

c mc n= = × × = ×⋅2 2 500 4 4721 4 472 103ω , , N segm

2) Para determinar a velocidade inicial de recuo é necessário recorrer à resposta do sistema criticamente amortecido, dada em (2.41). Se o sistema parte da posição de equilíbrio, x0 = 0, e (2.41) transforma-se em

( )x t v te nt= −0

ω

que deve ser derivada para se terminar o tempo em que ocorre o máximo deslocamento

( ) ( )dx tdt v e v t e t v en n nt

nt

nt= − = − =− − −

0 0 1 1 01 1 11 0ω ω ωω ω

que se verifica quando

t

x v t ev

e

n

maxt

n

n

1

0 1

0

1

0 4 1

=

= = =−

ω

ωω

e

,

de onde se chega a

v0 = 0,4 e ωn = 4,863 m/seg

3) O tempo gasto para o canhão voltar à posição original é determinado usando a expressão do deslocamento

0 1 0 22, = −v t e ntω

resultando em

t2 = 0,826 seg

2.5 - Vibração Livre com Amortecimento de Coulomb

O amortecimento de Coulomb aparece quando corpos deslizam em superfícies secas. Em muitos sistemas mecânicos, são utilizados elementos que provocam amortecimento por atrito seco. Também em estruturas, componentes frequentemente deslizam um em relação ao outro e o atrito seco aparece internamente. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabelece que quando dois corpos estão em contato, a força requerida para produzir deslizamento é proporcional à força normal atuante no plano do contato. A força de atrito F

F N= µ (2.53)

onde N é a força normal e µ é o coeficiente de atrito. A força de atrito atua em sentido oposto ao da velocidade. O amortecimento de Coulomb é, algumas vezes, chamado de amortecimento constante, uma vez que a força de amortecimento é independente do deslocamento e da velocidade, dependendo somente da força normal atuante entre as superfícies em deslizamento. A Fig. 2.28a, mostra um sistema de um grau de liberdade com amortecimento de Coulomb. A Fig. 2.28b apresenta os diagramas de corpo livre para as duas possíveis orientações do movimento. Em cada uma destas orientações a equação do movimento tomará uma forma diferente. O movimento se dá oscilatoriamente, portanto o sistema está ora em uma situação, ora em outra.


40

m

x

k

m

m

mg

.x

.x

mg

N

kx

N

kx

µN

µN

(a)

(b)

(c) Figura 2.28 - Sistema com amortecimento de Coulomb.

Primeira fase do movimento: Quando a velocidade tiver sentido positivo (segundo o referencial adotado), a força de atrito será negativa e a Segunda Lei de Newton aplicada resultará

mx kx N&& = − − µ ,

ou então

mx kx N&& + = −µ (2.54)

que é uma equação diferencial ordinária, linear, de segunda ordem, coeficientes constantes, não homogênea. A solução geral desta equação compõe-se de duas partes, uma chamada homogênea, que é a solução da equação (2.15),dada em (2.19a), e a outra chamada particular, que inclui o termo do lado direito da equação, resultando

( )x t A t A tNkn n= + −1 2cos senω ω

µ (2.55)

A equação (2.54) e, conseqüentemente, sua solução (2.55), valem somente enquanto a velocidade permanecer com o sinal positivo.

Segunda fase do movimento: Quando a velocidade troca de sinal, a força de atrito também muda de sinal resultando na equação

mx kx N&& + = µ (2.56) que tem solução análoga a (2.40), apenas com o sinal da solução particular invertido, resultando

( )x t A t A tNkn n= + +3 4cos senω ω

µ (2.57)

Em (2.55) e (2.57), o termo µN/k representa o deslocamento da mola devido à força de atrito estabelecendo uma nova posição de equilíbrio. Como a força de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (período em que a velocidade permanece com sinal inalterado), esta posição de equilíbrio também muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a Fig. 2.29. Solução: Para complementar a solução das equações (2.54) e (2.56), deve-se analisar o movimento a partir de condições iniciais. O sistema inicia o seu movimento a partir de um deslocamento inicial, com velocidade inicial nula, para caracterizar a inversão do sentido do movimento em cada meio ciclo. São, então, as condições iniciais

( )( )

x t x

x t

= =

= =

0

0 00

& (2.58)


41

2µ ωπNk

n

µNk

x(t)

x Nk0

4−

µ

x Nk0

2−

µ

µNk

πωn

2πωn

3πωn

4πωn

5πωn

6πωn

x0

t

Figura 2.29 - Movimento do sistema com amortecimento de Coulomb.

Se o movimento começa com um deslocamento inicial positivo e velocidade nula, o primeiro meio ciclo ocorrerá com velocidade negativa. A equação que descreve esta fase do movimento é (2.56), cuja solução é dada em (2.57). Introduzindo as condições iniciais (2.58) em (2.57), as constantes podem ser determinadas por

( )

( )

x t x ANk

x t An

= = = +

= = =

0

0 0

0 3

4

µ

ω&

resultando em

A x Nk3 0= −

µ e A4 = 0

A equação (2.43) se torna, portanto

( )x t xNk t

Nkn= −

+0

µω

µcos (2.59)

Esta solução é válida apenas para o primeiro meio ciclo, ou seja 0 ≤ ≤tn

πω . Quando t = π/ωn, a massa está

em sua posição extrema e a velocidade troca de sentido, e a equação que descreve o movimento é agora (2.54) cuja solução é (2.55). Para que ocorra a continuidade do movimento as condições finais (deslocamento e velocidade) em t = π/ωn, calculadas com (2.54), devem ser as condições iniciais para (2.55)

x t xNk

Nk x

Nk

x t xNk

n

nn

=

= −

+ = − −

=

= − −

=

πω

µπ

µ µ

πω ω

µπ

0 0

0

2

0

cos

& sen (2.60)

Aplicando as condições iniciais (2.60) em (2.54), resulta

A xN

kA

1 0

2

3

0

= −

=

µ

O deslocamento, neste segundo meio ciclo do movimento, é regido então por

( )x t x Nk

t Nkn= −

−0

3µω

µcos (2.61)

Ao final do segundo meio ciclo t2 = 2π/ωn, quando a velocidade novamente mudará seu sinal, o deslocamento e a velocidade atingirão os seguintes valores


42

x t xN

k

x t

n

n

2 0

2

2 4

2 0

=

= −

=

=

πω

µ

πω&

(2.62)

Os valores de (2.62) serão as condições iniciais do terceiro meio ciclo, quando, novamente, passa a valer a equação (2.56) e sua solução (2.57). O movimento prosseguirá desta forma, mudando de equação a cada meio ciclo até que no final de um determinado meio ciclo, o deslocamento seja tão pequeno que a força de mola seja incapaz de vencer a força de atrito estático. Isto acontecerá no final do meio ciclo de ordem r que pode ser determinado por

x r Nk

Nk

x Nk

Nk

0

0

2

2

− ≤

≥−

µ µ

µ

µ

ou

r

(2.63)

A característica principal do amortecimento causado por atrito seco, como já foi dito acima, é que a amplitude diminui sempre uma quantidade constante a cada ciclo (ou meio ciclo). Observando (2.59) e (2.61), ambas representam

movimentos harmônicos na freqüência ωn, com a amplitude caindo 2µNk

a cada meio ciclo e com a posição de

equilíbrio variando ±µNk

também a cada meio ciclo.

Como o movimento cessa quando a força de mola não mais superar a força de atrito, esta posição normalmente não coincide com a posição de equilíbrio, resultando que, por causa da força de atrito, geralmente a mola ficará com uma certa deformação no fim do movimento. Uma outra característica do sistema com amortecimento provocado por atrito seco é que o mesmo oscila na freqüência natural, ao contrário do sistema com amortecimento viscoso, cuja oscilação ocorre em uma freqüência que pode ser muito diferente da freqüência natural, dependendo do fator de amortecimento. Um outro aspecto que merece ser citado é que, enquanto o sistema com amortecimento viscoso, tem uma queda exponencial da amplitude, o mesmo, teoricamente continuará oscilando indefinidamente, mesmo que com amplitudes infinitesimalmente pequenas (na prática o movimento cessa devido a resistências passivas), o sistema com amortecimento de Coulomb encerra seu movimento em um tempo finito, mesmo teoricamente, quando os deslocamentos forem pequenos.

2.6 - Vibração Livre de Sistemas com Amortecimento Estrutural

O atrito interno que ocorre entre as fibras dos materiais quando as mesmas estão em movimento relativo, o que acontece quando há vibração, é responsável por uma parte da dissipação da energia vibratória. Isto implica então, em uma diminuição da amplitude da vibração livre. Este tipo de amortecimento, também chamado de amortecimento histerético, pode ser determinado verificando-se a energia dissipada durante o movimento. Observando o sistema da Fig. 2.30a, conclui-se que a força que causa o deslocamento x(t) é dada por

( )F t kx cx= + & (2.64)

Sendo o movimento harmônico, dado por x X t= senω

( )F t kX t c X t= +sen cosω ω ω

da trigonometria, pode-se retirar o seguinte artifício

( ) ( ) ( )X X t X t X t X X tx

2 2 2 2 2

2

= + → = ± −sen cos cos senω ω ω ω 1 24 34

resultando em

( )F t kx c X x= ± −2 2 (2.65)


43

k c

x(t) F(t)(a)

kx

F

xX

-X

cωX

-cωX

x

(b)

c X xω 2 2−

Figura 2.30 - Sistema com amortecimento estrutural.

A Fig. 2.30b mostra o gráfico de F(t) versus x que representa um ciclo. A área interna da elipse representa a energia dissipada em um ciclo de oscilação (diferença de trabalho realizado). Esta área é obtida pela integração

( )( )( )

∆W Fdx kX t cX t X t dt

dx dxdt

dtd X t

dtdt X tdt

= = +

= = =

∫∫ sen cos cos

sencos

ω ω ω ω ω

ωω ω

π ω

0

2

com

cujo resultado é

∆W cX= πω 2 (2.66)

O amortecimento causado pelo atrito entre fibras internas que deslizam entre si quando o material deforma é chamado estrutural ou histerético. Observa-se experimentalmente que se forma um ciclo de histerese na curva tensão-deformação, como mostra a Fig. (2.31a). A energia perdida em um ciclo é igual à área interna do ciclo de histerese. A similaridade entre as Figs. 2.30b e 2.30a pode ser usada para definir uma constante de amortecimento estrutural. Observa-se, também experimentalmente, que a energia perdida por ciclo devido ao atrito interno é independente da freqüência mas aproximadamente proporcional ao quadrado da amplitude. Para se atingir este comportamento na Equação (2.66), assume-se que o coeficiente de amortecimento c é inversamente proporcional à freqüência, na forma

c h=

ω (2.67)

onde h é chamada de constante de amortecimento estrutural ou histerético. A combinação de (2.66) e (2.67) resulta em

∆W hX= π 2 (2.68)

k h

x(t) F(t)

(b)

Tensão(Força)

(a)

Ciclo de histerese

Área

Deformação(deslocamento)

Figura 2.31 - Curva tensão deformação para carregamento cíclico.

2.6.1 - Rigidez Complexa Se o sistema da Fig. 2.30a, estiver executando um movimento na forma x Xei t= ω a força será dada por


44

( ) ( )F t kXe c iXe k i c xi t i t= + = +ω ωω ω (2.69)

Combinando (2.67) com (2.69), chega-se a

( ) ( ) ( )F t k ih x k i x= + = +1 β (2.70)

onde k(1+iβ) é chamada de rigidez complexa do sistema e

β ω= =

hk

ck

(2.71)

é uma medida adimensional do amortecimento conhecida como fator de perda.

2.6.2 - Resposta do Sistema Em termos de β a energia perdida por ciclo pode ser expressa como

∆W k X= π β 2 (2.72)

S

t

x(t)

Xj

Xj+0,5

Xj+1

P

Q

R

Figura 2.32 - Movimento do sistema com amortecimento histerético.

ob amortecimento histerético, o movimento pode ser considerado como aproximadamente harmônico (uma vez que ∆W é pequeno), e o decréscimo da amplitude por ciclo pode ser determinado usando um balanço de energia. Por exemplo, a diferença de energia nos pontos P e Q (separados por meio ciclo), na Fig. 2.32 pode ser dada por

kX kX k X k X

XX

j j j j

j

j

20 5

2 20 5

2

0 5

2 2 4 422

− = +

= +−

+ +

+

, ,

,

π β π β

πβπβ

ou (2.73)

Da mesma forma, a diferença de energia entre os pontos Q e R produz

XX

j

j

+

+

=+−

0 5

1

22

, πβπβ

(2.74)

Multiplicando (2.73) por (2.74)

constante12

2222

1

=+≈−

+−=

−+

=+

πβπβ

πβπβπβπβ

j

j

XX

(2.75)

O decremento logarítmico para o amortecimento estrutural pode ser definido como

( ) πβπβδ ≈+≈

=

+

1lnln1j

j

XX

(2.76)


45

Como assumiu-se que o movimento é aproximadamente harmônico, a freqüência correspondente é definida por

ω =km

(2.77)

O fator de amortecimento viscoso equivalente pode ser encontrado igualando-se as relações para o decremento logarítmico

kh

eq 22

22ln

12

2

==

−+

=−

=

βζ

πβπβ

ζπζδ

(2.78)

Então, a constante de amortecimento viscoso equivalente é dada por

c c mk mk k heq c eq= = = = =ζ β β β

ω ω2

2 (2.79)

A adoção de um coeficiente de amortecimento viscoso equivalente, é somente válida quando o movimento for harmônico. A análise efetuada acima assumiu que o sistema se movimente harmonicamente com freqüência ω.

2.7 - Vibrações Torcionais

Os conceitos desenvolvidos até aqui podem ser estendidos para sistemas submetidos a vibrações torcionais. Vibração torcional é entendida como a oscilação de um corpo em relação a um eixo de referência. O movimento é descrito por uma coordenada angular e os esforços atuantes se apresentam na forma de momentos. Desta forma o elemento elástico apresenta um momento de restauração, resultante da torção deste mesmo elemento. A Fig. 2.33 apresenta o esquema de um disco sustentado por um eixo em torção. A torção de eixos circulares apresenta a relação entre o momento torsor e a deformação produzida na extremidade dada por

M GJl

t

θ= (2.80)

Eixo

d

D

l

(a)

θ

Disco

J0

h

ktθ

J0

(b)

q q q, &, &&

Figura 2.33 - Vibração torcional de um disco.

Sendo Mt o momento torsor aplicado na extremidade do eixo, l o comprimento do eixo, G o módulo de

elasticidade transversal do eixo, J d=

π 4

32 o momento de inércia geométrico polar da seção transversal do eixo e θ a

deformação produzida na extremidade do eixo. A rigidez torcional, kt, pode então ser definida como


46

kM GJ

lGd

ltt= = =

θπ 4

32 (2.81)

2.7.1 - Vibração Livre de Sistemas Torcionais Vibração Livre sem Amortecimento

A vibração livre, gerada por uma condição inicial, é regida por uma equação resultante da aplicação da Segunda Lei de Newton ao movimento angular, em que os esforços atuantes estão mostrados no diagrama de corpo livre da Fig. 2.33b, resultando em

J kt0 0&&θ θ+ = (2.82)

em que J0 é o momento de inércia de massa do disco. A equação (2.82) tem a mesma forma da equação (2.15). A sua solução, portanto segue o mesmo caminho percorrido na seção 2.3. Trata-se portanto de uma equação que descreve um movimento oscilatório de freqüência igual à freqüência natural do sistema aqui igual a

ωπ

τ πn

t

nt

nt

kJ

fkJ

Jk

= →

=

=

0

0

0

12

2

(2.83)

Para eixos de seção não circular a constante de rigidez deverá ser calculada apropriadamente através dos métodos da Resistência dos Materiais. O momento de inércia de massa de um disco de pequena espessura é

J h D MD0

4 2

32 8= =

ρ π (2.84)

onde ρ é a densidade do material, h é a espessura, D é o diâmetro e M é a massa do disco. Seguindo o mesmo procedimento da seção 2.3, a solução da equação diferencial (2.82) tem a forma

( )θ ω ωt A t A tn n= +1 2cos sen (2.85)

Aplicando as condições iniciais ( ) ( )θ θ θ θt t= = = =0 00 0 e & & , as constantes de integração A1 e A2 são determinadas e (2.85) se transforma em

( )θ θ ωθω ωt t tn

nn= +0

0cos&

sen (2.86)

A equação (2.86) representa um movimento oscilatório de freqüência igual a ωn que depende, exclusivamente das condições iniciais.

Exemplo 2.16 - Qualquer corpo rígido pivotado em um ponto que não seja o seu centro de gravidade oscilará em torno do ponto de pivotamento, quando deslocado de sua condição de equilíbrio estático, em virtude da força gravitacional. Este tipo de sistema (Fig. 2.34) é conhecido como pêndulo composto. Determinar a sua freqüência natural. Solução: A Segunda Lei de Newton, aplicada ao movimento em relação ao ponto de pivotamento resulta em

J Pd0 0&& senθ θ+ =

que pode ser linearizada com senθ θ≅ , assumindo-se pequenas oscilações, resultando em

J Pd0 0&&θ θ+ =

que é uma oscilação com freqüência natural igual a

ω n

PdJ

mgdJ

= =0 0

Como a freqüência natural do pêndulo simples é dada por ω ng

l= é possível se estabelecer um pêndulo

simples equivalente ao pêndulo composto (com a mesma freqüência natural) que deverá ter um comprimento igual a


47

lJ

md= 0

d

O

θ

x

B

G

Amg

θ

y

Figura 2.34 - Oscilação de um pêndulo composto.

Se J mk0 02= onde k0 é o raio de giração em relação ao pivô O, a freqüência natural e o comprimento do pêndulo

simples equivalente são dados por

ω n

gdk

lkd

= =02

02

e

O teorema de Steiner (teorema dos eixos paralelos) permite que se relacione o raio de giração em relação ao pivô, k0 , e o raio de giração em relação ao centro de gravidade kG, na forma

k k dG02 2 2= +

usando a relação entre o raio de giração em relação ao pivô e o comprimento do pêndulo simples equivalente, este pode também ser dado por

lkd

dG= +2

Se a linha OG se estende até o ponto A, sendo GA uma distância dada por

GAkd

G=2

e o comprimento do pêndulo simples equivalente será

l GA d OA= + =

e sua freqüência natural pode ser dada por

ω n

gk

d

gl

gOA

=

= =02

O ponto A que é o ponto onde se deve concentrar toda a massa do corpo para que ele se transforme em um pêndulo simples de mesma freqüência natural é conhecido como centro de percussão, e tem algumas aplicações práticas, como por exemplo: 1. Um martelo deve ser construído de forma que o seu centro de percussão se localize na cabeça e o centro de rotação

na empunhadura para que a força de impacto não produza reação normal na empunhadura; 2. Uma máquina de ensaio de impacto deve ser projetada de forma que o ponto de impacto no corpo de prova seja o

centro de percussão do pêndulo para que seja reduzida a deformação por flexão do braço do pêndulo;


48

3. Se as rodas dianteiras de um automóvel passam por um buraco, os passageiros não sentirão este impacto se o centro de percussão se localizar próximo ao eixo traseiro. O ideal é que o centro de oscilação do veículo se localize em um eixo e o centro de percussão no outro.

Vibração Livre Amortecida

Disco, J0

Eixo, kt

Fluido, ct

θ

(a)θ θ θ, &, &&

ktθ ct&θ

J0

(b) Figura 2.35 - Sistema torcional com amortecimento viscoso.

Os resultados obtidos na seção 2.4 podem ser estendidos diretamente para vibrações torcionais de sistemas com amortecimento viscoso torcional. Considere-se um sistema torcional de um grau de liberdade com um amortecedor viscoso como mostra a Fig. 2.35a. O torque de amortecimento viscoso (Fig. 2.35b) é dado por

T ct= − &θ (2.87)

onde ct é a constante torcional de amortecimento viscoso, &θ é a velocidade angular do disco e o sinal negativo significa que o torque de amortecimento tem sentido contrário ao da velocidade angular. A equação do movimento pode ser obtida utilizando-se a 2a Lei de Newton, escrita para o movimento de rotação, como

J c kt t0 0&& &θ θ θ+ + = (2.88)

onde J0 é o momento de inércia de massa do disco, kt é a constante de rigidez torcional do sistema (torque de restituição por unidade de deslocamento) e θ é o deslocamento angular do disco. A solução da equação (2.88) pode ser obtida exatamente da mesma forma que, na seção 2.4, foi obtida a solução da equação (2.25). Por exemplo, no caso de vibração sub-amortecida, a freqüência da vibração amortecida é dada porω ζ ωd n= −1 2 , onde

ωntk

J=

0

(2.89)

e

ζω

= = =cc

cJ

ck J

t

tc

t

n

t

t2 20 0

(2.90)

onde ctc é a constante de amortecimento torsional crítico. Exemplo 2.17 - Vibração rotacional de sólidos. Um disco circular de raio R tem um furo de raio r a uma distância r do seu centro (Fig. 2.36). O disco está livre para girar no plano vertical em torno de um eixo perpendicular ao plano do disco e passando pelo seu centro. Determinar a freqüência natural de oscilação do disco.

Figura 2.36 – Disco circular com furo.


49

Solução: O sistema é dinamicamente equivalente a um disco I com dois furos e um disco II menor, de massa m preenchendo o furo inferior. O Princípio de D’Alembert é aplicado para determinar a equação do movimento. Estabelece que as forças de inércia mx−∑ && (também chamadas forças efetivas) estão em equilíbrio estático com as forças estáticas do sistema. Considere-se o disco deslocado de sua posição de equilíbrio por um ângulo θ. Considere-se as forças efetivas sobre o disco, isto é, os produtos mx&& (forças efetivas) e OJ θ− && (momentos efetivos). Além disso, assumir pequenos deslocamentos. O Princípio de D’Alembert exige que

( ) ( ) 0effO OM M+ =∑ ∑ (a)

ou, para pequenos ângulos,

( ) ( ) θθθ &&OJrmgrmg =−≅− sen (b)

Se M é a massa do disco sem furos, m a massa do material necessário para preencher um furo,

2 2 21 12 2OJ MR mr mr = − +

(c)

e

2 2 21 1 02 2

MR mr mr mgrθ θ − − + =

&& (d)

ou

2 2 21 1 02 2

M R r r grm

θ θ − − + =

&& (e)

Mas 2

2

M Rm r

= (f)

Portanto 4 2

2 1 1 02 2

R rr grr r

θ θ − − + =

&& (g)

Então

( ) ( )4 22 0,5 0,5n

gr

r R r r rω =

− −

(h)

Exemplo 2.18 – Uma serra para cortar tubulações em um processo de produção contínua consiste de um disco grande de raio r e massa M, podendo girar em torno do centro O ligado a uma barra leve, de comprimento l, em cuja extremidade é montado um motor de massa m contendo um disco de corte (Fig. 2.37). O sistema pode oscilar no plano em torno do ponto O.


50

Figura 2.37 – Pêndulo físico composto.

(a) Determinar o período da oscilação natural do sistema para pequenos ângulos, (b) Determinar a velocidade linear máxima do motor se o braço é deslocado inicialmente de um ângulo θ0 e depois

liberado.

Solução:

(a) Aplicando a 2ª Lei de Newton para a rotação em torno do ponto O tem-se

( ) sen OJ mg l rθ θ= − +&& (a)

Para θ pequeno

( ) 0OJ mg l rθ θ+ + =&& (b)

O momento de inércia em torno de O é

( )2 212O m MJ J J m L r Mr= + = + + (c)

O período da oscilação natural é

( )( )

2 2122 2eq

neq

m l r MrmT

k mg l rπ π

+ += =

+ (d)

(b) Como ωn=2π/Tn, tem-se que θ = θ0 cos ωnt. A velocidade angular é 0 sen n ntθ θ ω ω= −& . O seu valor máximo é

( )

( )max 0 0

2 212

n

mg l r

m l r Mrθ θ ω θ

+= =

+ +

& (e)

sendo que a velocidade linear máxima é ( )rl +maxθ& .

Exemplo 2.19 – Um medidor de nível de água consiste de uma haste leve B e uma bóia cilíndrica de diâmetro d = 50 mm (Fig. 2.38). Determinar o valor da constante de amortecimento c de um amortecedor que produz amortecimento crítico, sendo a massa do cilindro 0,2 kg, l = 75 mm, L = 250 mm e a densidade da água ρw = 1000 kg/m3.


51

Figura 2.38 – Medidor de nível de água.

Solução: O cilindro flutuante é equivalente a uma mola de rigidez k = Agρ. Os momentos em relação ao pivô O, para θ pequeno, estão mostrados na Fig. 2.38c. A 2ª Lei de Newton produz

2 2 2 2 2 2 ou 0mL cl kL mL cl kLθ θ θ θ θ θ= − − + + =&& & && & (a)

com nkm

ω = a constante de amortecimento crítico é

2 2 22 2nccl mL L kmω = =

ou

2

2cLc kml

=

(b)

Como a rigidez é

2 20,059,81 1000 98100 19,3 N/m

4 4wdk Ag π πρ ×

= = × × = × =

então

20,252 0, 2 19,3 43,6 N s/m

0,075cc = × × = ⋅

Exemplo 2.20 – Um automóvel pesando 15000 N está apoiado em quatro molas e quatro amortecedores (Fig. 2.39). A deflexão estática do carro é 0,20 m. Determinar a constante de amortecimento de cada um dos amortecedores para que se tenha amortecimento crítico. Assumir que o carro possui apenas um grau de liberdade com vibração na direção vertical.

Figura 2.39 – Suspensão automotiva.

Solução: Dois amortecedores em paralelo são equivalentes a um amortecedor com constante de amortecimento c1 + c2. Isto ocorre porque, a semelhança das molas, apresentam uma força reativa ( )1 2 1 2c x c x c c x+ = +& & & . O automóvel pode, então, ser modelado como um oscilador harmônico em vibração vertical com parâmetros meq = m, ceq = 4c e keq = 4k.

Como m = 15000/g = 1529 kg, tem-se


52

150004 75000 N/m0,20eq

st

wk kδ

= = = =

A constante de amortecimento crítico será

s/mN104,211529750002424 3 ⋅×=××=== kmcc ceq

e

cc = 5354 N.s/m

Exemplo 2.21 – Um instrumento eletrônico possui massa m = 1 kg estando montado sobre molas com constante de rigidez equivalente k = 2400 N/m e constante de amortecimento c = 2 N.s/m. O instrumento é deslocado 20 mm de sua posição de equilíbrio e liberado para oscilar. Determinar a amplitude de vibração após 5 oscilações e após 20 oscilações.

Solução: O fator de amortecimento é

2 0.020424002 2 1

1

ckmm

ζ = = =× ×

A oscilação amortecida possui

2 2

2400 49,0 rad/s e1

1 49,0 1 0,0204 49,0 rad/s

n

d n

km

ω

ω ω ζ

= = =

= − = × − ≅

O movimento será regido pela expressão (2.64) com as constantes calculadas pelas expressões (2.65)

0

2 2

0,02 = 0,02 m 1 1 0,0204

xXζ

= ≅− −

e

1 1

2 2

0,0204tan tan ~ 0,0204 rad1 1 0,0204

ζφζ

− − = = ≅

− −

com

( ) ( ) ( ) ( )2 0,0204 49 0,9996cos 1 0,02 cos 49 0,0204 0,02 cos 49 0,0204nt t tnx t Xe t e t e tζω ζ ω φ− − × −= − − = − = −

Como o período é 2 2 0,128 s49dT π π

ω= = = , após cinco períodos t5 = 5T = 0,641 s e

0,9996 0,6415 0,02 0,0105 mX e− ×= × =

e, após 20 períodos t20 = 20 T = 2,56 s e

0,9996 2,5620 0,02 0,00154 mX e− ×= × =

Exemplo 2.22 – Para medir o momento de inércia de um rotor pesado em relação ao seu eixo geométrico (de rotação), o mesmo é montado em dois mancais de rolamento B1 e B2, sendo o diâmetro do eixo d = 30 mm (Fig. 2.40). Em um dos furos do disco foi inserido um cilindro de aço de raio R. O rotor torna-se desbalanceado e quando é atribuído um ângulo de rotação inicial o sistema oscilará como um pêndulo físico até que o amortecimento o traga de volta ao repouso. A massa do rotor é M = 320 kg. O cilindro de teste possui massa de 10 kg e seu centro está localizado a uma distância radial R = 300 mm. Foi medido o período de oscilação e achou-se Tn = 3,5 s. Mediu-se também o ângulo de oscilação que diminuiu 6º a cada oscilação. a) Determinar o momento de inércia do rotor em relação ao seu eixo geométrico. b) Determinar o coeficiente de atrito nos mancais assumindo que as forças dinâmicas devidas ao movimento não

afetam a força de atrito, que é obtida através do carregamento estático.


53

Solução: JO = JR + mR2 é o momento de inércia do pêndulo físico em relação ao seu centro de rotação e JR é o momento de inércia do rotor sem a massa m inserida. A força de atrito é µ(M + m)g e o torque de atrito é, então, T0 = µ(M + m)gd/2. Portanto, a equação para o movimento do pêndulo é

( ) ( ) ( ) 02

sign2 =++

++ θµθθ mgRgdmMmRJ R&&& (a)

A freqüência natural é

2nR

mgRJ mR

ω =+

(b)

e, como Tn = 2π/ωn, o momento de inércia é obtido por

2 2

2 22 2

9,81 3,510 0,3 0,3 8,23 kg m4 4

nR

mgRTJ mR

π π ×

= − = × − = ⋅

Figura 2.40 – Vibração de um rotor com amortecimento de Coulomb.

A redução da amplitude de vibração por ciclo no atrito de Coulomb linear é 4µN/k, onde N no presente problema é (M + m)gd/2 e k o termo mgR. Portanto, para 6º de decaimento por ciclo

( )180

62

4 πµ×=

+mgR

gdmM

O coeficiente de atrito é obtido por

( ) ( ) 0159,003,010320

3,0106060

=×+

××=

+×=

ππµdmM

mR

Este pode ser entendido como o coeficiente de atrito do rolamento uma vez que os coeficientes estático e cinético são muito próximos nestes dispositivos. Exemplo 2.23 – Um rotor de turbina de alta velocidade possui massa m = 60 kg e momento de inércia polar JO = 7 kg.m2 e está conectado ao rotor do gerador, girando com uma velocidade angular constante, através de um eixo de duas seções com diâmetros 30 e 50 mm e comprimentos 500 e 400 mm respectivamente. O módulo de elasticidade torcional é G = 1,1 x 1011 N/m2 (Fig. 2.41). Determinar a sua freqüência natural.

Figura 2.41 – Vibração torcional de rotores.


54

Solução: As constantes de rigidez torcionais dos dois eixos são kT = IpG/L, onde o momento de inércia polar da seção é Ip = πd4/32. Consequentemente, para as duas seções

48 4

1

47 4

2

8 11

1

7 11

2

0,03 7,95 10 m320,05 6,14 10 m32

7,95 10 1,1 10 17500 N m/rad0,5

6,14 10 1,1 10 169000 N m/rad0, 4

p

p

T

T

I

I

k

k

π

π

−

−

−

−

×= = ×

×= = ×

× × ×= = ⋅

× × ×= = ⋅

Os dois eixos comportam-se como duas molas torcionais combinadas em série, de forma que a rigidez resultante é

1 212

1 2

17500 169000 15900 N m/rad17500 169000

T TT

T T

k kkk k

×= = = ⋅

+ +

E a freqüência natural torcional é

12 15900 47,6 rad/s7

Tn

O

kJ

ω = = =

Mecânica das Vibrações - Unidade 3: Vibrações Forçadas sob Excitação Harmônica

55

UNIDADE 3 - VIBRAÇÕES FORÇADAS SOB EXCITAÇÃO HARMÔNICA 3.1 - Introdução

Vibração forçada é aquela que ocorre quando o sistema sofre a ação de forças externas durante o movimento. As forças que atuam sobre o sistema podem ser determinísticas ou aleatórias, determinando uma característica do movimento vibratório. As forças determinísticas poderão se apresentar de diversas formas. As forças harmônicas e as forças periódicas são as que representam a maioria dos fenômenos responsáveis por vibrações em sistemas físicos. Como visto na Unidade 2, os sistemas que serão estudados são representados por equações diferenciais lineares. A resposta de um tal sistema, que é a solução da equação do movimento, sob a ação de forças, terá a mesma forma funcional que a força atuante. Isto significa que uma força harmônica produz uma vibração harmônica, uma força periódica produz uma vibração periódica, etc. A solução particular da equação diferencial é, então responsável por representar este movimento. Mas a solução geral é composta de uma solução homogênea e uma solução particular. A solução homogênea representa a parcela transitória da resposta do sistema, aquela que é produzida pelas condições iniciais do movimento. É também a solução homogênea que representa a resposta transiente que resulta da aplicação eventual de alguma força com tempo de duração finito, o que será visto na Unidade 4. A excitação harmônica é representada por uma função senoidal apresentando a forma

( )F t F t( ) sen= −0 ω φ ou

( )F t F t( ) cos= −0 ω φ

onde F0 é a amplitude da força (o valor da força quando a mesma é aplicada estaticamente), ω é a frequência com que a força é aplicada (igual a zero quando de aplicação estática) e φ é o ângulo de fase medido em relação ao referencial de tempo (atraso da resposta em relação à força).

Em forma complexa pode-se escrever também

( )F t F ei t( ) = −0

ω φ

Este tipo de força produzirá uma resposta harmônica que também terá a forma funcional senoidal. Neste capítulo, também será visto o fenômeno da ressonância, que ocorre quando a frequência com que a força é aplicada coincide com a frequência natural do sistema que sofre a ação da referida força. Este fenômeno é amplamente conhecido e pode produzir graves consequências à integridade estrutural do sistema.

3.2 - Equação Diferencial do Movimento

k

(a)

kx

m m

.cxc

x

Sistema Diagrama de corpo livre(b)

F(t) F(t)

Figura 3.1 - Sistema de um grau de liberdade sob esforço externo.

A Figura 3.1 mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama de corpo livre. O diagrama de corpo livre mostrado na Figura 3.1b ilustra as forças atuantes na massa m. Aplicando a 2a Lei de Newton, a equação diferencial do movimento é obtida como


56

( )mx cx kx F t&& &+ + = (3.1)

Esta equação diferencial possui uma solução geral constituída de uma solução homogênea associada a uma solução particular

( ) ( ) ( )x t x t x th p= + (3.2)

A solução homogênea é obtida fazendo F(t) = 0 resultando na vibração livre (dependente das condições iniciais) que foi estudada na Unidade 2. A solução particular representa a vibração de regime permanente do sistema, persistindo enquanto a força externa atuar. A Figura 3.2 ilustra a composição da solução da equação diferencial (3.1). A parcela do movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento é chamada transiente ou transitória e a rapidez com que ocorre esta diminuição depende dos parâmetros do sistema, m, c e k.

t

t

xh(t)

xp(t)

x(t) = xp(t) + xp(t)

t

Figura 3.2 - Soluções homogênea, particular e geral da equação diferencial do movimento.

3.3 - Sistema Não Amortecido Sob Força Harmônica Por simplicidade, estudaremos inicialmente o sistema sem amortecimento (c = 0) e com F(t) = F0 cosωt. A equação (3.1) assume a forma

mx kx F t&& cos+ = 0 ω (3.3)

A solução homogênea desta equação, estudada na seção 2.2.1, tem a forma

( )x t C t C th n n= +1 2cos senω ω (3.4)

A solução particular, por sua vez, é

( )x t X tp = cosω (3.5a)

Se (3.5a) é solução da equação (3.3), então deve verificar a mesma. Se a velocidade e a aceleração são obtidos por derivação direta

( )& senx t X tp = −ω ω (3.5b)

( )&& cosx t X tp = −ω ω2 (3.5c)


57

substituindo (3.5a) e (3.5c) em (3.3), resulta

− + =m X t kX t F tω ω ω ω20cos cos cos

Dividindo toda a expressão por cosωt, e rearranjando, chega-se a

XF

k m=

−0

2ω (3.6)

Substituindo (3.6) em (3.5a), a solução particular se torna

( )x tF

k mtp =

−0

2ωωcos (3.7)

A solução geral é obtida como a soma das expressões (3.4) e (3.7), sendo igual a

( )x t C t C tF

k mtn n= + +

−1 20

2cos sen cosω ωω

ω (3.8)

Introduzindo as condições iniciais ( )x t x= =0 0 e ( )& &x t x= =0 0 , as constantes de integração são calculadas, resultando em

C xF

k m1 00

2= −− ω

e Cx

n2

0=&

ω (3.9)

que introduzidas em (3.8) resultam na expressão

( )x t xF

k mt

xt

Fk m

tnn

n= −−

+

+

−00

20 0

2ωω

ωω

ωωcos

&sen cos (3.10)

0

1

1

-1

-2

-3

-4

-5

2

3

2 3

4

4

5

Xstδ

rn

=

ωω

Figura 3.3 - Fator de amplificação dinâmica.


58

Dividindo numerador e denominador por k em (3.6), sendo a deflexão estática δstF

k= 0 , a deformação sofrida pelo sistema quando a força é aplicada estaticamente, e considerando que a frequência natural do sistema é dada por ωn

km

2 = esta expressão (3.6) pode ser escrita na forma

X

st

n

δ ωω

=

−

1

12 (3.11)

que é chamado de fator de amplificação dinâmica. A Figura 3.3 mostra a função expressa em (3.11), que apresenta três domínios distintos, caracterizando comportamentos diferentes.

Caso 1 - Para 0 1< <ωωn

o denominador de (3.11) é positivo e a resposta de regime permanente do sistema é

dada pela equação (3.7). Diz-se que a resposta harmônica xp(t) está em coincidência de fase com a força externa, conforme mostra a Fig. 3.4.

F(t) = F0cosωt

xp(t) = X cosωt

F0

X

ωt

ωt

2π

2π

0

0

Figura 3.4 - Resposta harmônica em fase com a força externa.

Caso 2 - Para ωωn

> 1 o demonimador de (3.11) é negativo e a resposta de regime permanente do sistema é

dada por

( )x t X tp = − cosω (3.12)

em que a amplitude do movimento é redefinida como uma quantidade positiva, ou

X st

n

=

−

δ

ωω

2

1

(3.13)

Neste domínio a resposta harmônica xp(t) está oposição de fase com a força externa, conforme mostra a Fig. 3.5. Ainda na Fig. 3.3 observa-se também que, para ω

ωn→ ∞ , a amplitude X → 0 , de forma que o deslocamento de

um sistema sob excitação harmônica em frequências muito altas é muito pequeno.


59

F(t) = F0cosωt

xp(t) = X cosωt

F0

- X

ωt

ωt

2π

2π

0

0

Figura 3.5 - Resposta harmônica em oposição de fase com a força externa.

Caso 3 - Para ω

ω n= 1, a amplitude dada por (3.11) ou (3.13) é infinita. Esta condição, em que a frequência

com que a força é aplicada é igual à frequência natural do sistema, é chamada de RESSONÂNCIA. Para determinar a resposta nesta condição é necessário que a equação (3.10) seja escrita na forma

t0

xp(t)

2πωn

Figura 3.6 - Resposta harmônica na ressonância.

( )x t x tx

tt t

nn

n stn

n

= + +−

−

00

2

1

cos&

sencos cos

ωω

ω δω ω

ωω

(3.14)

O último termo desta equação vai a infinito quando ω = ωn, e para avaliar a função no limite é necessário aplicar a Regra de L’Hospital, resultando


60

( )

ω ω ω ω ω ω

ω ω

ωω

ωω ω

ωωω

ωω

ω

ωω

→ → →

−

−

=−

−

=

=n n n

t td

d t t

dd

t t ttn

n

n

n n

nnlim lim limcos cos cos cos sen

sen

1 12 22 2

2

De forma que (3.14), que é a resposta do sistema, se torna

( )x t x tx

t tnn

nt

nst n= + +0

02cos

&sen senω

ωω ω

δ ω (3.15)

representando um movimento cuja amplitude cresce indefinidamente com o tempo devido ao termo δ ωst n t

2ser sempre

crescente, como ilustra a Figura 3.6.

3.3.1 - Resposta Total A resposta total do sistema, expressa em (3.8), pode ser escrita na forma

( ) ( )x t A t tnst

n

= − +

−

cos cosω φδ

ωω

ω

12 ; para ω

ωn

< 1 (3.16)

( ) ( )x t A t tnst

n

= − −

−

cos cosω φ δ

ωω

ω2

1

; para ωω n

> 1 (3.17)

onde as constantes são determinadas a partir das condições iniciais. A Fig. 3.7a mostra o movimento produzido pela equação (3.16) em que a frequência excitadora é menor que a frequência natural do sistema e a Fig. 3.7b aquele produzido por (3.17) em que a frequência excitadora é maior que a frequência natural do sistema.

x(t) 2πω

A δ

ωω

st

n

12

−

t

t

0

0

x(t)2πω

2πωn

2πωn

δ

ωω

st

n

−

2

1

A

(a) ωωn

< 1

(b) ωωn

> 1

Figura 3.7 - Resposta total do sistema.


61

3.3.2 - Fenômeno do Batimento Quando a frequência da força externa é muito próxima da frequência natural, ocorre uma composição de

movimentos conhecida como batimento. Se, na equação (3.10) fizermos x x0 0 0= =& , a mesma se torna

( ) ( ) ( )x tF

k m t tF

m t t

Fm t t

nn

n

n

n n

=−

− =−

−

=−

+ −

02

0

2 2

0

2 2 2 2 2

ωω ω

ω ωω ω

ω ωω ω ω ω

cos cos cos cos

sen sen

(3.18)

Se a diferença entre as frequências é pequena, pode-se dizer que

ω ω εω ω ω

ω ω εωn

nn

− =+ ≅

− =22

42 2

e (3.18) se torna

( )x tF

m t t=

0

2εωε ωsen sen (3.19)

cujo movimento está representado na Fig. 3.8.

t0

xp(t)

2πε

2πω

Fm

0

2εω

Figura 3.8 - Fenômeno do batimento.

A Fig. 3.8 mostra o movimento composto de uma parcela de baixa frequência envolvendo outra de alta frequência. O movimento de baixa frequência tem período

τπε

πω ωb

n

= =−

22

2 (3.20)

conhecido como período de batimento. A frequência de batimento, consequentemente, também pode ser obtida por

ω ε ω ωb n= = −2 (3.21)

Exemplo 3.1 - Uma bomba alternativa, pesando 70 kg, está montada no meio de uma placa de aço de espessura igual a 0,0127 m, largura igual a 0,508 m, e comprimento igual a 2,54 m, engastada ao longo de dois lados, como mostra a Fig. 3.9. Durante a operação da bomba, a placa está sujeita a uma força harmônica F(t) = 220 cos 62,8t N. Encontrar a amplitude de vibração da placa. Solução: O momento de inércia é dado por

( )( )

I bh m= = = × −3 3

8 4

120 508 0 0127

128 67 10

, ,,

A rigidez da placa é obtida modelando-a como uma viga bi-engastada.


62

( )( )

( )k EI

lN m= =

× × ×= ×

−192 192 2 068 10 8 67 10

2 542 10 103

11 8

35

, ,

,, /

F(t), x(t)

2,54 m

0,0127 m

Figura 3.9 - Bomba sobre placa.

A amplitude é obtida aplicando-se (3.6), com F0 = 220 N e ω = 62,8 rad/s

( )( )X

Fk m

m=−

=× −

= − × −02 5 2

32202 10 10 70 62 8

3 33 10ω , ,

,

O sinal negativo indica que a frequência da força excitadora é maior que a frequência natural do sistema, uma vez que ocorre oposição de fase.

3.4 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Excitação Harmônica

Sob a atuação de uma força harmônica a equação do movimento amortecido se torna

mx cx kx F t&& & cos+ + = 0 ω (3.22)

A solução particular é

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x t X t

x t X t

x t X t

p

p

p

= −

= − −

= − −

cos

& sen

&& cos

ω φ

ω ω φ

ω ω φ2

(3.23)

Substituindo em (3.22) resulta

( ) ( ) ( )− − − − + − =m X t c X t kX t F tω ω φ ω ω φ ω φ ω20cos sen cos cos (3.24)

Colocando a amplitude X em evidência e reagrupando os termos

( ) ( ) ( )[ ] tFtsenctmkX ωφωωφωω coscos 02 =−−−− (3.25)

Usando as relações trigonométricas

( )( )

cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen

ω φ ω φ ω φ

ω φ ω φ ω φ

t t t

t t t

− = +

− = −

a expressão (3.25) torna-se

( )[ ] ( )[ ] X k m c t k m c t t F t− + + − − =ω φ ω φ ω ω φ ω φ ω ω2 20cos sen cos sen cos sen cos (3.26)

Igualando coeficientes de senωt e cosωt de ambos os lados da expressão

( )[ ]( )[ ]

X k m c F

X k m c

− + =

− − =

ω φ ω φ

ω φ ω φ

20

2 0

cos sen

sen cos (3.27)

De onde se obtém


63

( ) ( )X

F

k m c=

− +

0

2 2 2ω ω (3.28a)

e

φω

ω=

−−tan 1

2

ck m

(3.28b)

XF0

0

F(t), x(t)F(t)

x(t)

φ

φωt

ωt-φF(t)

x(t)

ω

2πω

2πω

t

Figura 3.10 - Representação gráfica de função excitadora e resposta.

Dividindo numerador e denominador de (3.28a) e (3.28b) por k tem-se

XF

kmk

ck

=

−

+

0

22 2

1 ω ω (3.29a)

e

φ

ω

ω=

−

−tan 1

21

ckmk

(3.29b)

Como ωn

km

= , ζζ ζ ω ζ

ω= → = = =

cc

ck

ck

mkc

c n

n

2 2 e δst

Fk

= 0 , tem-se

X st

n n

=

−

+

δ

ωω ζ

ωω1 2

2 2 2 (3.30a)

e

φζ

ωω

ωω

=

−

−tan 12

2

1

n

n

(3.30b)

ou ainda com rn

=ωω

= razão de frequências, pode-se escrever

( ) ( )X

r rstδ ζ=

− +

1

1 22 2 2 (3.31a)

e

φζ

=−

−tan 12

21

rr

(3.31b)

Na Fig. 3.11 são apresentadas as funções expressas em (3.31a) e (3.31b). As curvas são obtidas para as relações de X

stδ e φ em função de r, de onde podem ser extraídas algumas observações:


64

X

stδ

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

1,0

2,0

3,0

2,5

1,5

0,5

r(a)

ζ = 0,1

ζ = 2,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

45o

90o

135o

180o

4,0r

(b)

φ

ζ = 0,1

ζ = 0,3

ζ = 0,3

ζ = 0,5

ζ = 0,5

ζ = 0,7

ζ = 0,7ζ = 1,0 ζ = 1,0

ζ = 2,0

ζ = 5,0

ζ = 5,0ζ = 1,0

ζ = 2,0

ζ = 5,0

ζ = 0

ζ = 0

Figura 3.11 - Variação de X e φ com a relação de frequências r.

1 - Para ζ = 0 φ = 0 para r < 1 e φ = π rad para r > 1.

2 - O amortecimento reduz a relação de amplitudes para todos os valores da frequência de excitação.

3 - A redução da relação de amplitudes na presença do amortecimento é significativa na, ou perto da, ressonância.

4 - A máxima relação de amplitudes é obtida fazendo a derivada de Xstδ em relação a r se igualar a zero. O

correspondente valor de r é

r n d= − → = − <1 2 1 22 2ζ ω ω ζ ω

5 - O máximo valor de X, obtido de (3.31a) quando r = −1 2 2ζ , é

( )( ) ( ) ( )

X

st maxδ

ζ ζ ζ ζ ζ

=

− − + −=

−

1

1 1 2 2 1 2

1

2 122 2 2

2 (3.32)

A expressão (3.31) permite a obtenção experimental do fator de amortecimento a partir da medição do máximo valor da relação de amplitudes. Na ressonância, com ω =ωn ou r = 1 a relação de amplitudes (3.31a) se torna

X

st resδ ζ

=

12

(3.33)

6 - Para ζ > 12

(0,707), observa-se que a relação de amplitudes é menor que 1 para qualquer valor de r.

7 - O ângulo de fase φ não depende da magnitude da força excitadora F0.

8 - Para r << 1, φ 0 a resposta vibratória está em fase com a força excitadora. Para r >> 1, φ π, a resposta vibratória está em oposição de fase com a força excitadora. Na ressonância, para qualquer valor de ζ , o ângulo de fase φ é sempre igual a π/2, independente do fator de amortecimento. Isto é utilizado para determinação experimental da frequência de ressonância uma vez que, como foi visto acima, a amplitude máxima não ocorre na ressonância, de forma que a medição do ângulo de fase permite uma medida mais precisa da frequência natural do sistema.

3.4.1 - Resposta Total A resposta total é a solução geral da equação diferencial (3.22) cuja solução homogênea foi obtida no Cap. 2,

Eq. (2.22) e a solução particular é (3.23), resultando

( ) ( ) ( )x t X e t X tntd= − + −−

0 0ζω ω φ ω φcos cos (3.34)


65

As constantes X0 e φ0 são constantes de integração obtidas através das condições iniciais. Com ( )x t x= =0 0 e

( )&x t v= =0 0 , X0 e φ0 são obtidos como

( )[ ] ( )X v x X X x Xd

n d0 0 0

2

0

2 21= + − − + −

ωζω φ ω φ φ ωcos sen cos (3.35a)

e

( )( )φ

ζω φ ω φ

ω φ01 0 0

0

=+ − −

−

−tancos sen

cos

v x X X

x Xn

d

(3.35b)

onde X e φ são obtidos por (3.31a) e (3.31b), respectivamente.

3.4.2 - Fator de Qualidade e Largura de Banda

Para baixos fatores de amortecimento ζ < 0,05 a eq. (3.33) pode ser utilizada

X XQ

st stn

δ δ ζω ω

≅

= =

=

12

(3.36)

onde Q é chamado de fator de qualidade.

Q 1

Xδst

2ζ=

Q2

R1 R21,0ωωn

Figura 3.12 - Pontos de meia potência e largura de banda.

Na Fig. 3.12 os pontos R1 e R2 correspondentes a relações de frequência para as quais a razão de amplitudes é Q

2, são chamados de pontos de meia potência, pois a energia vibratória é proporcional ao quadrado da amplitude no

movimento harmônico. A diferença entre as frequências correspondentes a estes dois pontos, ω2 - ω1 , define o que se chama de largura de banda. Os valores das relações de frequência correspondentes a estes pontos podem ser obtidos

fazendo X Q

stδ

=

2 em (3.31a), usando (3.36)

( ) ( )X Q

r rstδ ζ ζ

= = =

− +21

2 21

1 22 2 2 (3.37)

que é resolvida para obter o valor de r, resultando em

r1,22 21 2 2 1= − ± +ζ ζ ζ (3.38)

Para ζ << 1 , ζ 2 0≅ e (3.38) se torna


66

r

r

n

n

12 1

2

22 2

2

1 2

1 2

= − =

= + =

ζωω

ζωω

(3.39)

Subtraindo-se as duas raízes de (3.39), tem-se

( )ωω

ωω

ω ωω

ζ ζ ζ2

2

1

2

22

12

2 1 2 1 2 4n n n

−

=

−= + − − = (3.40)

Abrindo o produto notável do numerador de (3.40), obtém-se

( ) ( )ω ωω

ω ωω

ζ1 2 2 1 4+ −

=n n

(3.41)

Como ωω ω ω ω

ωnn

≅+

→+

≅1 2 1 2

22 , tornando (3.41)

( )2 4 2

2 1

2 1

ω ωω

ζ ω ω ζω−

= → − =n

n (3.42)

e, considerando (3.36) chega-se a

Q n= =−

12 2 1ζ

ωω ω

(3.43)

onde se tem o fator de qualidade expresso em função da largura de banda ω2 - ω1. Um método experimental de determinação do fator de amortecimento se fundamenta nesta equação: medindo-se as frequências correspondentes às amplitudes iguais à amplitude ressonante dividida por 2 (ω1 e ω2), determina-se o fator de amortecimento por (3.43).

3.5 - Resposta de um Sistema Amortecido à Excitação Complexa

Considerando a equação do movimento na forma

mx cx kx F ei t&& &+ + = 0ω (3.44)

que tem solução particular na forma

( )x t Xepi t= ω (3.45)

que, substituída em (3.44), resulta

( )− + + =m ci k Xe F ei t i tω ω ω ω20 (3.46)

de onde se conclui que

( )

XF

k m ic=

− +0

2ω ω (3.47)

A eq. (3.47) pode ser escrita na forma ( ) ( )Z iFX

Z iω ω= →0 = impedância mecânica.

Multiplicando numerador e denominador de (3.47) pelo conjugado do denominador, chega-se a

( ) ( )

( )[ ]XF

k m ck m ic=

− +− −0

2 2 2

2

ω ωω ω (3.48)

ou ainda

( ) ( )

XF

k m ce i=

− +−0

2 2 2ω ωφ (3.49a)

e


67

φω

ω=

−

−tan 12

ck m (3.49b)

Substituindo (3.49a) em (3.45), chega-se à solução particular

( )( ) ( )

( )x tF

k m cep

i t=− +

−0

2 2 2ω ω

ω φ (3.50)

Resposta em Frequência

Realizando a mesma operação realizada em (3.30a), ou seja, dividindo numerador e denominador por k e

utilizando ωn

km

= , ck n

=2ζω

e rn

=ωω

, a expressão (3.45) pode ser escrita na forma

( )kXF r i r

H i0

2

11 2

=− +

=ζ

ω (3.51)

que é chamada de resposta em frequência complexa. O módulo da resposta em frequência complexa é

( )( ) ( )

H i kXF r r

ωζ

= =− +0 2 2 2

1

1 2 (3.52)

de forma que a resposta em frequência complexa pode ser escrita na forma

( ) ( )H i H i e iω ω φ= − (3.53a) onde

φζ

=−

−tan 12

21

rr

(3.53b)

A resposta de regime permanente (solução particular) pode também ser escrita na forma

( ) ( ) ( )x tFk H i ep

i t= −0 ω ω φ (3.54)

A resposta harmônica também pode ser representada pelas partes real e imaginária da resposta à excitação complexa. Se ( )F t F t= 0 cosω , tem-se de (3.23), considerando-se (3.28) e (3.29)

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

x tF

k m ct

Fk H i e

Fk H i e

p

i t i t

=− +

−

=

=

−

0

2 2

0 0

ω ωω φ

ω ωω ω φ

cos

Re Re

(3.55)

Se ( )F t F t= 0 senω , tem-se de (3.23), considerando-se (3.28) e (3.29)

( )( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

x tF

k m ct

Fk H i e

Fk H i e

p

i t i t

=− +

−

=

=

−

0

2 2

0 0

ω ωω φ

ω ωω ω φ

sen

Im Im

(3.56)


68

Representação Vetorial Complexa do Movimento Harmônico

mx + kx..mx..

cx.

kx

x(t)

F(t)

Im

Reωt

φ

ω

Figura 3.13 - Representação complexa do movimento harmônico.

Se o deslocamento é dado por (3.54), a velocidade e a aceleração são determinados por derivação como

( ) ( ) ( ) ( )&x t iFk H i e i x tp

i tp= =−ω ω ωω φ0 (3.57a)

e

( ) ( ) ( ) ( )&&x tFk H i e x tp

i tp= − =−ω ω ωω φ2 0 2 (3.57b)

concluindo-se que a velocidade está adiantada π/2 em relação ao deslocamento e a aceleração está em oposição de fase, também em relação ao deslocamento. O diagrama mostrado na Fig. 3.13 mostra a configuração de forças durante o movimento. O sistema está em equilíbrio dinâmico e a evolução no tempo possui o efeito apenas de girar o diagrama por inteiro sem mudar a posição relativa entre os vetores nem desfazer o equilíbrio de forças.

3.6 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Movimento Harmônico da Base

m

ck

m

x x

y(t) = Y sen ωt

baset

k(x - y) c(x - y)

x

. .

..

(a) (b) Figura 3.14 - Sistema com movimento na base.

O sistema da Fig. 3.14a, tem seu movimento provocado pelo movimento de sua base y(t). O diagrama de corpo livre, mostrado na Fig. 3.14b, apresenta as forças atuantes na massa m. A Segunda Lei de Newton é aplicada para determinar a equação do movimento que se torna

( ) ( )mx c x y k x y&& & &+ − + − = 0 (3.58)

Se y Y t= senω então & cosy Y t= ω ω e a eq. (3.58) se torna

mx cx kx kY t c Y t&& & sen cos+ + = +ω ω ω (3.59)

cuja solução particular é


69

( )( )

( ) ( )

( )( ) ( )

x tkY t

k m c

c Y t

k m cp =

−

− ++

−

− +

sen cosω φ

ω ω

ω ω φ

ω ω

1

2 2 2

1

2 2 2 (3.60)

Considerando ( ) ( ) ( )cos cos cos sen senω φ φ φ ω φ φ ω φt t t− − = − + −1 2 2 1 2 1 , (3.60) pode ser escrita na forma

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )x t X t Yk c

k m ctp = − − =

+

− +− −cos cosω φ φ

ω

ω ωω φ φ1 2

2 2

2 2 2 1 2 (3.61)

com a relação de amplitudes dada por

( )

( ) ( )( )

( ) ( )XY

k ck m c

r

r r=

+

− +=

+

− +

2 2

2 2 2

2

2 2 2

1 2

1 2

ωω ω

ζ

ζ (3.62a)

e os ângulos de fase

φω

ωζ

11

21

2

21

=−

=−

− −tan tanck m

rr

(3.62b)

φω ζ2

1 1 12=

=

− −tan tan

kc r (3.62c)

A eq. (3.62a) expressa o que se chama de transmissibilidade entre a base e o sistema. Na forma complexa, sendo ( ) [ ]y t Yei t= Re ω , a solução particular é dada por

( )x ti r

r i r Yepi t=

+− +

Re1 2

1 22

ζζ

ω (3.63)

e a transmissibilidade é dada por

( ) ( )XY

r H i= +1 2 2ζ ω (3.64)

3.6.1 - Força Transmitida

Como pode ser visto na Fig. 3.14b a força resultante que atua na base é a soma das forças atuantes na mola e no amortecedor, ou

( ) ( )F k x y c x y mx= − + − = −& & && (3.65)

Se a solução particular é ( ) ( )x t X tp = − −cos ω φ φ1 2 , a força será

( ) ( )F m X t F tT= − − = − −ω ω φ φ ω φ φ21 2 1 2cos cos (3.66)

onde FT é chamado de força transmitida, dada por

( )

( ) ( )FkY r

r

r rT =

+

− +2

2

2 2 2

1 2

1 2

ζ

ζ (3.67)

A Fig. 3.15 mostra curvas da força transmitida em função de r para vários valores do fator de amortecimento, onde se torna evidente que, para r > 2 o acréscimo de amortecimento aumenta significativamente a força transmitida. Isto nos faz concluir que acrescentar amortecimento quando a frequência vibratória é superior a 2ωn não é uma solução adequada para isolamento de vibrações transmitidas pela base do sistema.


70

0

1

1

2

3

4

4322r

FTkY

ζ = 0,35

ζ = 0,2

ζ = 0,1

ζ = 0

ζ = 0,5

ζ = 1,0ζ = 0

ζ = 0,1

ζ = 0,2

Figura 3.15 - Força transmitida.

3.6.2 - Movimento Relativo

Em muitas aplicações é interessante representar o movimento em relação à base. Sendo z x y= − , o deslocamento da massa em relação à sua base, a equação do movimento torna-se

( )m z y cz kz&& && &+ + + = 0 (3.65)

ou então

mz cz kz my m Y t&& & && sen+ + = − = ω ω2 (3.69)

cuja solução é

( )( )

( ) ( )( )z t

m Y t

k m cZ t=

−

− += −

ω ω φ

ω ωω φ

21

2 2 2 1

sensen (3.70)

e a relação de amplitudes é dada por

( ) ( ) ( ) ( )

ZY

m

k m c

r

r r=

− +=

− +

ω

ω ω ζ

2

2 2 2

2

2 2 21 2

(3.71)

A Fig. 3.16 apresenta a variação da relação de amplitudes com r para vários fatores de amortecimento.

20

1

1 3 4

4

3

2

5

6

7

ZY

MXme

r

ζ = 0,10

ζ = 0,15

ζ = 0,25

ζ = 0,50ζ = 1,00

ζ = 0,00ζ = 0,00

Figura 3.16 - Movimento relativo à base e desbalanceamento.


71

Exemplo 3.2 - A Fig. 3.17a mostra um modelo simples de um veículo que pode vibrar na direção vertical quando trafega por uma estrada irregular. O veículo tem uma massa de 1200 kg. O sistema de suspensão tem uma constante de mola de 400 kN/m e um fator de amortecimento de 0,5. Se a velocidade do veículo é 100 km/h, determinar a amplitude de deslocamento do mesmo. A superfície da estrada varia senoidalmente com uma amplitude de 0,05 m e um comprimento de 6 m.

Solução: O modelo adotado é de um sistema de um grau de liberdade com excitação pela base. A frequência excitadora é dada por

(a)

m

ck

y(t) = Y sen ωt

t

x(t)

m

x(t)

y(t) Y

um ciclo

k2

k2c

(b) Figura 3.17 - Veículo em movimento em um piso irregular.

f vl

Hz cps= = =100000

36006

4 63, ( )

com a frequência angular sendo

ω = 2πf = 2π (4,63) = 29,1 rad/s

A frequência natural é dada por

ωn

km

rad s= = =4000001200

18 3, /

A relação de frequências é obtida por

rn

= = =ωω

29 118 3

159,,

,

A amplitude é, então obtida utilizando a eq. (3.62a)

( )

( ) ( )( )

( ) ( )XY

r

r r=

+

− +=

+ × ×

− + × ×=

1 2

1 2

1 2 0 5 1 59

1 1 59 2 0 5 1590 849

2

2 2 2

2

2 2 2

ζ

ζ

, ,

, , ,,

consequentemente

X = 0,849 x 0,05 = 0,0425 m

Exemplo 3.3 - Uma máquina pesando 3000 N está apoiada em uma base deformável. A deflexão estática da base, devida ao peso da máquina é 7,5 cm. Observa-se que a máquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a base está sujeita à oscilação harmônica na frequência natural do sistema com amplitude de 0,25 cm. Achar: (1) a constante de amortecimento da base; (2) a amplitude da força dinâmica na base, e (3) a amplitude do deslocamento da máquina em relação à base.

Solução: (1) Para determinar a constante de amortecimento é necessário, em primeiro lugar, determinar a constante de rigidez

k W N mst

= = =δ

30000 075

40000,

/

O fator de amortecimento é obtido resolvendo-se a eq. (3.62a) na ressonância (r = 1)


72

( )( )

XY

=+

=1 2

21

0 25

2

2

ζζ ,

resultando em

ζ ζ2 160

0 129= ⇒ = ,

Com isto, a constante de amortecimento é obtida por

c m km N smn= = = × × × =⋅2 2 2 0 129 40000 3000

9 81903ζ ω ζ ,

,

(2) A força atuante na base é obtida de (3.67) com r = 1 resultando em

( )

( )F kY kX NT =

+= = × =

1 2

240000 0 01 400

2

2

ζ

ζ,

(3) A amplitude do movimento relativo é calculada a partir da expressão (3.71), que, para r = 1, torna-se

Z Y= =

×=

20 0025

2 0 1290 00968

ζ,

,,

Pode ser observado que, embora sendo a amplitude do movimento relativo definido como z x y= − , Z não é igual à diferença entre as amplitudes X e Y. Isto se dá porque existe um ângulo de fase entre os movimentos, de forma que não atingem os seus valores máximos no mesmo instante de tempo.

3.7 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Desbalanceamento Rotativo

No sistema mostrado na Fig. 3.18, o movimento é gerado pela componente da força centrífuga atuante na direção vertical. As componentes horizontais são sempre iguais e opostas, anulando-se a cada instante. Desta forma a força externa, de natureza harmônica, é dada por

( )F t me t= ω ω2 sen (3.72)

A equação diferencial do movimento é, então

Mx cx kx me t&& & sen+ + = ω ω2 (3.73)

eω2 senωtm2eω2 senωtm

2

eω2 cosωtm2 eω2 cosωtm

2

eω2m2 eω2m

2

em2

m2

ωt

eωω

ωt

x(t)

k2

k2

c

A

A

M

Figura 3.18 - Massas rotativas desbalanceadas.

A solução particular de (3.73) tem a forma

( ) ( ) ( )x t X tmeM H i ep

n

i t( ) sen Im= − =

−ω φωω

ω ω φ

2

(3.74)


73

Pela semelhança com a eq. (3.44) a solução pode ser obtida por analogia fazendo F me02= ω de forma que a

amplitude será obtida de (3.49a) como

( ) ( )

( )( ) ( )

Xme

k M c

meM H i

meM

r

r rn=

− +=

=

− +

ω

ω ω

ωω

ωζ

2

2 2 2

2 2

2 2 21 2

(3.75a)

com

φω

ωζ

=−

=−

− −tan tan12

12

21

ck M

rr

(3.75b)

obtido de (3.49b), sendo ωnk

M= .

O comportamento de X em função da relação de frequências r é mostrado na Fig. 3.16, de onde podem ser feitas algumas observações: 1 - Todas as curvas apresentam amplitudes nulas para frequências nulas. Isto acontece porque a força excitadora, que é uma força centrífuga, tem amplitude proporcional ao quadrado da frequência sendo, portanto, nula quando a frequência é zero. 2 - Em altas frequências (r >> 1) a relação MX

me → 1 para qualquer fator de amortecimento mostrando que, nesta faixa de frequências, o amortecimento não é eficiente em diminuir os níveis vibratórios em sistemas com desbalanceamento rotativo.

3 - O valor máximo MXme max

é obtido quando ddr

MXme

= 0 o que se verifica para r =−

1

1 2 2ζque é

sempre maior que a unidade, ao contrário do que acontece com os sistemas sob excitação harmônica com forças com amplitude independente da frequência.

Exemplo 3.4 - O diagrama esquemático de uma turbina de água tipo Francis está mostrado na Fig. 3.19, na qual a água flui de A para as lâminas B e caem no conduto C. O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5 kg.mm. A folga radial entre o rotor e o estator é 5 mm. A turbina opera na faixa de velocidades entre 600 e 6000 rpm. O eixo de aço que suporta o rotor pode ser assumido como engastado nos mancais (livre para girar). Determinar o diâmetro do eixo de forma que o rotor não entre em contato com o estator em todas as velocidades de operação da turbina. Assumir que o amortecimento é pequeno.

A A

C

BB

Mancal

Eixo

Rotor

Estator

Saida da água

l = 2 m

5 mm5 mm

Entradada água

Entradada água

Figura 3.19 - Turbina de água tipo Francis.

Solução: Como o amortecimento é desprezível, (3.75a) torna-se

( )X me

k Mme

k r=

−=

−

ωω

ω2

2

2

2 21

(a)

A frequência é determinada pela faixa de velocidades de operação da turbina


74

600 600 2

6020 62 8

6000 6000 260

200 628

rpm rad s rad s

rpm rad s rad s

⇒ = × = =

⇒ = × = =

ωπ

π

ωπ

π

/ , /

/ /

A frequência natural do sistema é

ωnkM

k= =

250 (b)

São duas soluções que satisfazem o problema apresentado. Em uma delas a faixa de frequências de operação se localiza inteiramente abaixo da frequência natural do sistema enquanto que na outra a faixa de operação está acima da frequência natural.

Caso 1 - Para que a faixa de frequências de operação fique abaixo da frequência natural é necessário que a maior frequência da faixa, ω = 200π rad/s, seja inferior a esta. Aqui vamos estabelecer um limite de segurança de 20%, ou seja, ω π πmax = × =1 2 200 240, rad/s. Aplicando a expressão (a) tem-se

( )( )

( ) ( )0 0050 005 240

250 2401 250 240 1 43 10

2

22 8,

,) , /=

×

− ×⇒ = + × = ×

π

ππ

kk N m

A rigidez do eixo sob flexão é

k EIl

E d

l= =

33

643

4

3

π

(c)

de onde se obtém o diâmetro

d klE

4364

3=

π (d)

que, para este caso, resulta

d m d m48 3

112 464 1 43 10 2 0

3 2 07 103 74 10 0 440=

× × ×× ×

= × ⇒ =−, ,,

, ,π

Neste caso, a frequência natural, dada na expressão (b), será igual a

ωnk rad s= =

×=

2501 48 10

250755

8, /

superior à maior frequência da faixa de operação.

Caso 2 - Para que a faixa de frequências de operação fique acima da frequência natural é necessário que a menor frequência da faixa, ω = 20π rad/s, seja superior a esta. Estabelecendo novamente um limite de segurança de 20%, ou seja, ω π πmin = × =0 8 20 16, rad/s. Para que a faixa de frequências fique acima da frequência natural deve-se trocar o sinal do denominador a expressão (a), para que a amplitude continue sendo positiva. Resulta, então em

Xme

M k=

−ω

ω

2

2 (e)

Aplicando a este caso

( )( )

( ) ( )0 0050 005 16

250 16250 1 16 6 29 10

2

22 5,

,) , /=

×

× −⇒ = − × = ×

π

ππ

kk N m

O diâmetro é obtido pela aplicação da expressão (d), resultando

d m d m45 3

114 464 6 29 10 2 0

3 2 07 101 65 10 0 113=

× × ×× ×

= × ⇒ =−, ,,

, ,π

Neste caso, a frequência natural, dada na expressão (b), será igual a


75

ωnk rad s= =

×=

2506 29 10

25050 2

5, , /

inferior à menor frequência da faixa de operação. Em ambos os casos as soluções encontradas atendem os requisitos dinâmicos apresentados. O valor escolhido para o diâmetro deve atender os demais requisitos de projeto.

Mecânica das Vibrações - Capítulo 4: Vibração Forçada sob Condições Gerais

Capítulo 4 - Vibração Forçada sob Condições Gerais

4.1 - Introdução No Capítulo 3, foi estudada a vibração forçada de sistemas de um grau de liberdade sob a ação de forças harmônicas. Neste capítulo, este estudo será estendido para forças de qualquer natureza. Inicialmente será estudada a atuação de forças periódicas que são combinações de forças harmônicas associadas através das Séries de Fourier que, em sistemas lineares, podem ser consideradas como várias forças harmônicas atuando sobre o sistema e a resposta pode ser obtida utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos. Para a determinação da resposta a forças não periódicas, conhecida como resposta transiente, serão utilizadas ferramentas matemáticas como a Integral de Convolução (ou Integral de Duhamel), a Transformada de Laplace e a Integral de Fourier. Em todos os casos o sistema será de um grau de liberdade com amortecimento viscoso.

4.2 - Resposta a Uma Força Periódica – Análise Harmônica 4.3.4 – Séries de Fourier

Uma função periódica pode ser expressa em Séries de Fourier na forma

( ) ∑∑∞

=

∞

=

++=11

0 sencos2 j

jj

j tjbtjaatf ωω (4.1)

com ( )∫=T

dttfT

a00

2 (4.2a)

( )∫ ==T

j jdttjtfT

a0

,2,1cos2Kω (4.2b)

( )∫ ==T

j jdttjtfT

b0

,2,1sen2Kω (4.2c)

onde ωπ2=T é o período da função.

Como cada um dos termos da função f(t) representada na expressão (4.1) é uma função harmônica o procedimento de desenvolvimento da função em Séries de Fourier é também chamado de análise harmônica. Consiste em, dada qualquer função periódica f(t) com período T, executar as integrações (4.2), inserir as constantes aj e bj na equação (4.1) e efetuar o truncamento. Como truncamento entende-se o número finito de termos da série que será necessário para representar a função com uma boa precisão. Não existe um número de termos previamente definido; o número adequado depende da função f(t). A Fig. 4.1 mostra uma onda quadrada e a sua representação com diferentes números de termos como truncamento mostrando que aumentando o número de termos a função representada se aproxima da função original, sendo que acima de um determinado valor as alterações são muito pequenas podendo-se truncar a série.

A frequência angular ωπ2=T é chamada de frequência fundamental e a função f(t) é considerada como uma soma de funções harmônicas com frequências iguais à fundamental e seus múltiplos inteiros (ω, 2ω, 3ω, 4ω ...). Estas últimas funções são chamadas de harmônicas. Através de uma simples transformação trigonométrica a equação (4.1) também pode ser escrita na forma

(4.3) ( ) (∑∞

=

−+=1

0 cosj

jj tjcctf ϕω )

onde 2

00

ac = (4.4a)

22jj bac j += (4.4b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

j

jj a

barctanϕ (4.4c)

77


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Série de Fourier - onda quadrada - harmônicas 1 e 3

tempo

f(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Série de Fourier - onda quadrada - harmônicas 1, 3 e 5

tempo

f(t)

(a) (b)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Série de Fourier - onda quadrada - harmônicas 1, 3, ... , 7

tempo

f(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


tempo

f(t)

(c) (d)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


tempo

f(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


tempo

f(t)

(e) (f) Figura 4.1 – Reconstrução de uma onda quadrada por Séries de Fourier. Em vermelho está representada a função exata, em preto a representação em Séries de Fourier e em azul estão desenhadas cada uma das harmônicas consideradas em cada uma das reconstruções: (a) harmônicas 1 e 3; (b) harmônicas ímpares de 1 a 5; (c) harmônicas ímpares de 1 a 7; (d) harmônicas ímpares de 1 a 9; (e) harmônicas ímpares de 1 a 19; (f) harmônicas ímpares de 1 a 39.

Espectro de frequência Pode-se construir um gráfico das funções harmônicas representando as amplitudes e os ângulos de fase das

harmônicas em função de suas frequências. Este gráfico é chamado de diagrama espectral ou espectro de frequência, como mostra a Fig. 4.2. Na Fig. 4.2a é mostrado o espectro de amplitude contendo os coeficientes da série de Fourier calculados pelas expressões 4.4a e 4.4b. Observa-se que os valores são representados como um gráfico de barras pois cada coeficiente está associado à sua correspondente frequência harmônica. Não é correto ligar os pontos e traçar uma curva pois não existem coeficientes associados às outras frequências que se encontram no intervalo entre duas

78


harmônicas consecutivas. Na Fig. 4.2b é mostrado o gráfico do ângulo de fase associado às suas frequências harmônicas, calculado pela expressão 4.4c.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Frequência

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Am

plitu

de

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Frequência

-180

-120

-60

0

60

120

180

Âng

ulo

de fa

se

(a) (b)

Figura 4.2 – Diagrama espectral de uma função periódica.

Funções pares e ímpares No exemplo 4.1 em que a função f(t) é uma onda quadrada, simétrica em relação à origem do sistema de

coordenadas, observa-se que todos os coeficientes dos cossenos aj são nulos. Apenas os coeficientes dos senos bj é que são não nulos. Isto é porque esta função é uma função ímpar, f(t) = - f(-t). Como o seno é uma função ímpar, toda a função ímpar será representada por uma série de senos enquanto que toda a função par, f(t) = f(-t) será representada por uma série de cossenos que também é uma função par. Qualquer outra função será representada por uma combinação de senos e cossenos.

Exemplo 4.1 – Representar em Série de Fourier a função onda quadrada mostrada na Fig. 4.3 considerada como: (a) uma função ímpar, (b) um função par e (c) uma função nem par nem ímpar.

Solução:

(a) Função ímpar

( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+<<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +<<−

=TmtTm

TmtmTtf

121 para1

21 para1

m = ...,-2, -1, 0, 1, 2, ...

com T = 2 seg e, consequentemente ω = π. O cálculo dos coeficientes da série de Fourier é efetuado com o uso das equações (4.2)

( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 012011122 2

110

2

1

1

00 =−+−−=+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= ∫∫ ttdtdta

0sen1sen1cos)1(cos)1(22

2

1

1

0

1

0

2

1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫ tj

jtj

jdttjdttja j π

ππ

πππ

( ) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫

K

K

6,4,2para0

5,3,1para4cos1cos1sen1sen1

22

2

1

1

0

1

0

2

1

j

jjtj

jtj

jdttjdttjbj ππ

ππ

πππ

79


f(t)

f(t)

f(t)

t

t

t-2 -1-3 0 1 2 3

1

-1

-2 -1-3 0 1 2 3

1

-1

-2 -1-3 1 2 3

1

-1

(a)

(b)

(c)

0,5 1,5 2,5

0,25 1,25 2,250

Figura 4.3 – Onda quadrada como uma função (a) par, (b) ímpar e (c) nem par nem ímpar.

A função é representada na forma

( ) ( )[ ]∑∞

=

−−

−=1

12sen12

14n

tnn

tf ππ

(b) Função ímpar

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=TmtTm

TmtTmtf

45

43 para1

43

41 para1

m = ...,-2, -1, 0, 1, 2, ...


( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 05,15,25,05,11122 5,2

5,15,15,0

5,2

5,1

5,1

5,00 =−+−−=+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= ∫∫ ttdtdta

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=−

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫

...,6,4,2para0

...,11,7,3para4

...,9,5,1para4

sen1sen1cos)1(cos)1(22

5,2

5,1

5,1

5,0

5,1

5,0

5,2

5,1

j

jj

jj

tjj

tjj

dttjdttja j π

π

ππ

ππ

ππ

( ) ( ) 0cos1cos1sen1sen122

5,2

5,1

5,1

5,0

5,1

5,0

5,2

5,1=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫ tj

jtj

jdttjdttjbj π

ππ

πππ

80A função é representada na forma


( ) ( ) ( )[ ]∑∞

=

−−

−−=

1

12cos12

14n

n

tnn

tf ππ

(c) Função qualquer

( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +<<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=TmtTm

TmtTmtf

89

85 para1

85

81 para1

m = ...,-2, -1, 0, 1, 2, ...


( ) ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 025,125,225,025,11122 25,2

25,125,125,0

25,2

25,1

25,1

25,00 =−+−−=+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−= ∫∫ ttdtdta

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫

...,6,4,2para0

...,5,3,1para22sen1sen1cos)1(cos)1(

22

25,2

25,1

25,1

25,0

25,1

25,0

25,2

25,1

j

jjtj

jtj

jdttjdttja j ππ

ππ

πππ

( ) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−= ∫ ∫

...,6,4,2para0

...,11,7,3para22

...,9,5,1para22

cos1cos1sen1sen122

25,2

25,1

25,1

25,0

25,1

25,0

25,2

25,1

j

jj

jj

tjj

tjj

dttjdttjbj π

π

ππ

ππ

ππ

A função é representada na forma

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞

=

∞

=

−−

−+−

−=

11

12sen12

12212cos12

122n

n

n

tnn

tnn

tf ππ

ππ

81

4.3.5 – Formulação Numérica das Séries de Fourier

Quando a função f(t) for simples, possível de ser expressa analiticamente ou de ser integrada, as séries de Fourier podem ser construídas através das equações (4.1) com os coeficientes calculados por (4.2). Se, por outro lado, a função não for conhecida analiticamente (resultado de uma medição experimental de uma determinada variável física, por exemplo), deve-se utilizar uma integração numérica através de um método adequado (regra do trapézio, Simpson, etc.) para se calcular os coeficientes.

Se f(t) for obtida de medições experimentais como uma série temporal (sequência de N valores x1, x2, ... , xN, correspondentes aos tempos t1, t2, ... , tN) impossível de ser definida analiticamente, sendo os tempos t1, t2, ... , tN não arbitrários, mas medidos em intervalos iguais (t2 – t1 = t3 – t2 = ... = tN – tN-1 = ∆t), os coeficientes aj e bj podem ser calculados numericamente, substituindo as integrais por somatórios nas equações (4.2) e o diferencial dt pelo intervalo finito ∆t = T/N, resultando em

( )∑=

=N

iitf

Na

10

2 (4.5a)

( ) ( )∑∑==

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

N

ii

N

iiij N

jitf

Ntjtf

Na

11

2cos2cos2 π

ω (4.5b)

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑∑== N

jitf

Ntjtf

Nb

N

ii

N

iiij

πω

2sen2sen 2

11

(4.5c)

Em aplicações práticas pode se tornar muito difícil determinar o início e o fim de um período (frequências altas apresentam várias oscilações em um pequeno intervalo de tempo). Neste caso toma-se uma amostra de um determinado número de períodos e como período considera-se o tempo total da amostra. O exemplo 4.2 ilustra esta situação. No caso de medições experimentais, onde funções reais estão sendo analisadas, é natural surgirem funções harmônicas (normalmente com coeficientes pequenos) em períodos superiores a T. Estas funções são chamadas de sub-harmônicas que estão presentes devidos a imprecisões numéricas e também ao fato que a função medida não é exatamente periódica (podem estar presentes ruídos de medição e imperfeições originadas pelo próprio sistema de que se origina a variável medida).


Exemplo 4.2 – A Fig. 4.4a mostra o diagrama de forças atuantes em um pistão de um motor alternativo operando a 4000 rpm, determinado através de medições de pressão. Os valores numéricos estão mostrados na Tabela 4.1.Executar uma análise de Fourier para determinar as componentes harmônicas da força, usando o programas MATLAB.

t (seg) 0.001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016

F (N)

0,0 20,3 17,5 3,0 1,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -1,0 -3,3 -2,7 0,0

Tabela 4.1 – Forças atuantes no pistão em uma volta de um motor alternativo de dois tempos.

0 0.005 0.01 0.015-5

0

5

10

15

20

25 Força atuante no pistão

Tempo (seg)

For

ça (

N)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5 Espectro de amplitude

Frequência (rpm)

For

ça (

N)

(a) (b)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-2

-1

0

1

2

3

4

5 Coeficientes a (dos cossenos) da série de Fourier

Frequência (rpm)

For

ça (

N)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

x 104

-1

0

1

2

3

4

5 Coeficientes b (dos senos) da série de Fourier

Frequência (rpm)

For

ça (

N)

(c) (d)

Figura 4.4 – Força atuante no pistão de um motor alternativo de dois tempos e seus respectivos coeficientes de Fourier.

(a) O código do programa fourier1 para o software MATLAB é apresentado a seguir

% Rotação do motor rpm=4000; % Frequência angular w=2*pi*rpm/60; % Período de uma rotação T=60/rpm; % Intervalo de tempo dt=0.001; % Vetor de tempo t=(0:dt:T); % Intervalo de frequência df=1/T; % Vetor de frequência f=(0:df:1/dt); % Frequência em rpm frpm=f*60; % Função g=[0 20.3 17.5 3 1.3 0 0 0 0 0 0 0 -1 -3.3 -2.7 0]; % Número de pontos da função N=length(g); % Gráfico da função figure plot(t,g,'k') title(' Força atuante no pistão')

82

xlabel(' Tempo (seg)') ylabel(' Força (N)')

Mecânica das Vibrações - Capítulo 4: Vibração Forçada sob Condições Gerais % Cálculo do coeficiente a0 a(1)=0; for i=1:N, a(1)=a(1)+g(i); end a(1)=a(1)*2/N; % Cálculo dos coeficientes a Ntermos=N/2; for n=1:Ntermos, a(n+1)=0; for i=1:N, a(n+1)=a(n+1)+g(i)*cos(n*w*t(i)); end a(n+1)=a(n+1)*2/N; end % Cálculo dos coeficientes b b(1)=0; for n=1:Ntermos, b(n+1)=0; for i=1:N, b(n+1)=b(n+1)+g(i)*sin(n*w*t(i)); end b(n+1)=b(n+1)*2/N; end % Gráficos dos coeficientes dos cossenos figure plot(frpm(1:length(a)),a,'k') title(' Coeficientes a (dos cossenos) da série de Fourier') xlabel(' Frequência (rpm)') ylabel(' Força (N)') % Gráficos dos coeficientes dos senos figure plot(frpm(1:length(b)),b,'k') title(' Coeficientes b (dos senos) da série de Fourier') xlabel(' Frequência (rpm)') ylabel(' Força (N)') % Espectro de amplitude figure c=sqrt(a.*a+b.*b); plot(frpm(1:length(c)),c,'k') title(' Espectro de amplitude') xlabel(' Frequência (rpm)') ylabel(' Força (N)') % Construção da série de Fourier h=zeros(1,N); h=h+a(1)/2; for i=1:Ntermos, h=h+a(i+1)*cos(i*w.*t)+b(i+1)*sin(i*w.*t); end % Gráfico da função representada por um série de Fourier figure plot(t,h,'k') title(' Força atuante no pistão - série de Fourier') xlabel(' Tempo (seg)') ylabel(' Força (N)')

Este progra necessários para reproduzir as equações (4.5) produzindo os coeficientes da série de Fourier que representa a função como uma combinação de funções harmônicas e a própria série. Para efeitos de comparação são mostrados na Fig. 4.5 a força original novamente (Fig. 4.5a) e a força reproduzida através das séries de Fourier. Os coeficientes calculados estão apresentados na Tabela 4.2.

ma realiza os cálculos

0 0.005 0.01 0.015-5

0

5

10

15

20

25 Força atuante no pistão

Tempo (seg)

For

ça (

N)

0 0.005 0.01 0.015-5

0

5

10

15

20

25 Força atuante no pistão - série de Fourier

Tempo (seg)

For

ça (

N)

(a) (b)

gura 4.5Fi – Força original e reconstruída pelas séries de Fourier.

83


84

Harmônica 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Freq (rpm) 0 4000 8000 12000 16000 20000 24000 28000 32000 aj 4,3875 3,2578 0,9253 -0,9082 -1,7405 -1,8188 -1,2855 -0,6239 -0,6239 bj 0 3,7387 4,9824 3,8141 1,9092 0,3789 -0,4029 -0,2866 0,2866 cj 4,3 5 87 4,9589 5,0676 3,9207 2,5835 1,8578 1,3472 0,6866 0,6866 φj 0 0,8540 1,3871 1,8046 2,3100 2,9362 -2,8379 -2,7110 2,7100

Tabela 4. icie érie ier.

Uma observação deve ser feita q ser utilizado quando do cálculo numér

2 – Coef ntes da s de Four

uanto ao número de termos da série que deveico dos coeficientes. Como o princípio que fundamenta a série de Fourier é o de representar as variações

(frequência) que ocorrem em um determinado intervalo de tempo. Como para identificar uma variação são necessários, pelo menos, três valores, são necessários dois intervalos de tempo mínimos para que se perceba a máxima variação presente (frequência). Este é o fundamento da chamada frequência de Nyquist. Esta frequência é tf nyq ∆= 21 . Assim sendo, o número máximo de termos da série de Fourier é igual à metade do número de termos original. Propõe-se aqui, que o aluno experimente trocar o número de harmônicas da série de Fourier reproduzindo o resultado com um intervalo de tempo, por exemplo, igual à metade do intervalo inicial. (Sugestão: fazer o número de termos igual ao número total de termos da função no tempo e reduzir o intervalo no tempo para metade do inicial).

4.2.3 – Formulação Complexa das Séries de Fourier

da função

As séries de Fourier podem ser expressas em forma complexa considerando as identidades de Euler

2cos

tijtij ee ωω −+tjω = e iee tijtij ωω −−tj

2sen ω = (4.6)

Inserindo as expressões trigonométricas (4.6) na série de Fourier, dada por (4.1), obtém-se

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∑∑∞∞ 11 aa=

−

=

−− ++−+=−−++=1

0

1

0

2222 j

tijjj

tijjj

j

tijtijj

tijtijj eibaeibaeeibeeatf ωωωωωω (4.7)

Introduzindo a notação

( ) ( )jjjjjj ibaFibaFaF +=−== − 21e

21,

20

0 (4.8)

a equação (4.1) se reduz a

( ) ∑−∞=

=j

tijjeFtf ω

∞

(4.9)

onde, considerando as equações (4.2), os coeficientes complexos são dados por

( ) ( ) ( ) ( )( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=−= ∫∫ ∫

TT T

jjj dttjitjtfT

dttjtfidttjtfT

ibaF00 0

sencos2

sencos22

ωωωω 111

( ) ...,2,1,0,1,2,...10

−−== ∫ − jdtetfT

FT tij

jω (4.10)

As equações (4.9) e (4.10) constituem a forma complexa ou exponencial das séries de Fourier. vel estender as

equaçõeTodos os resultados apresentados acima se aplicam a funções periódicas mas também é possí

s (4.9) e (4.10) a funções gerais fazendo com que ∞→T , de forma que o intervalo de frequência entre as harmônicas 1/T tende a zero e Fj se transforma em uma função contínua na forma

( ) ( )∞− tiω∫ ∞−

= dtetfF ω (4.11)

e a série (4.9) se transforma em

∞−

= ωω deFtf (4.12)

A expressão (4.11) é conhecida como transformada direta de Fourier e (4.12) como transformada inversa, rmand

.3 – Uma forma de regular a potência de saída de turbinas é por admissão parcial. É possível que o vapor

( ) ( )∞ ωti∫

fo o juntas um par transformado. Uma discussão mais completa sobre a transformada de Fourier será realizada na Seção 4.4.

Exemplo 4seja admitido somente em uma parte de um arco de 360o em um arranjo de orifícios. Um dos arranjos utilizados é quando os orifícios de injeção ocupam um quarto da periferia. Neste caso atua uma força F0, originada pelo vapor em


cada pá durante um quarto de rotação. Esta força, como uma função do tempo pode ser aproximada para a mostrada na Fig. 4.6a. Determinar a representação na forma de Fourier da força atuante nas pás da turbina se a velocidade angular da rotação é ω.

85

Solução: A força atuante é definida como

( )⎩⎨⎧

<<<<

=TtT

TtFtF

4para040para0

onde T é o tempo de duração de uma revolução (período). A sua expansão em série de Fourier, na forma da equação

(4.1), é obtida calculando-se os coeficientes por (4.2) da seguinte maneira:

( ) ( ) [ ]2

222 FTT TT ⎫⎧ 0 0400

4

0 4000 tF

TdtdtF

TdttF

Ta

T==

⎭⎬

⎩⎨ +== ∫ ∫∫

( ) ( ) [ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=−

=

=

==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +== ∫∫∫

...,6,4,2para0

...,11,7,3para

...,9,5,1para

2sensencos0cos2cos2

0

0

040

0

4

4

0 00

j

jjF

jjF

a

jjFtj

jFdttjdttjF

TdttjtF

Ta

j

TT

T

TT

j

π

π

ππ

ωπ

ωωω

( ) ( ) [ ]

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +== ∫∫∫

...,12,8,4para0

...,10,6,2para2

...,5,3,1para

2cos1cossen0sen2sen2

0

0

040

0

4

4

0 00

j

jjF

jjF

b

jjFtj

jFdttjdttjF

TdttjtF

Tb

j

TT

T

TT

j

π

π

ππ

ωπ

ωωω

Utilizando a expressão (4.8) os coeficientes complexos de Fourier são:

4200

0

FaG ==

( )

( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

±±±=

±±±=

±±±=±−

±±±=

==

...,12,8,4para0

...,10,6,2para2

...,5,3,1para1

...,9,5,1para1

0

0

0

j

jijF

jijF

jijF

ibaG jjj

π

π

π

m

m

m

O espectro de Fourier correspondente é mostrado na Figura 4.6c. A série de Fourier que representa a força é:

( ) ...5sen5

cos55

3sen3

cos33

2sensencos4

00000000 ++++−+++= tFtFtFtFtFFFF tttF ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

ou, em forma complexa

( ) ( ) ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧FF

±−

±−

±±+= ...5

13

12

14

53200 titititi eieieieitF ωωωω

πmmmm m

Pode-se observar que a função não possui qualquer simetria (não é par nem ímpar), possuindo, portanto, termos em cosseno e seno (reais e imaginários).


TT/4 T/2

F

F0

t

(a) (b)

b1, b2, G2G1

G3 b3

a1

G0

a3

y

x

2w

3w

w

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Harmônicas

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Amplitudedaforça

Espectro de

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Harmônicas

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Âng

ulo

de fa

se

Espectro de fase

(c) (d)

Figura 4.6 – Admissão parcial de turbinas. (a) Força. (b) Diagrama vetorial com os componentes complexos de Fourier. (c) Coeficientes de Fourier – módulo. (d) Coeficientes de Fourier – ângulo.

4.2.4 - Resposta de um Sistema de Um Grau de Liberdade a Uma Força Periódica Uma vez que uma força periódica pode ser expressa em Séries de Fourier na forma da equação (4.1), com os coeficientes obtidos em (4.2), a equação do movimento do sistema de um grau de liberdade que sofre a sua ação é

mx cx kxa

a j t b jjj

jj

&& & cos sen+ + = + +=

∞

=

∞

∑ ∑0

1 12 ω tω (4.13)

Utilizando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos a eq. (4.13) pode ser decomposta nas equações

mx cx kxa

mx cx kx a j t

mx cx kx b j t

jj

jj

&& &

&& & cos

&& & sen

1 1 10

2 2 21

3 3 31

2+ + =

+ + =

+ + =

=

∞

=

∞

∑

∑

ω

ω

(4.14)

e sua solução particular ( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x tp p p p= + +1 2 3 em que

( )

( )( ) ( )

(

( )

)

( ) ( )( )

x tak

x t

ak

j r jrj t

x t

bk

j r jrj t

p

p

j

jj

p

j

jj

10

22 2 2 2

1

32 2 2 2

1

2

1 2

1 2

=

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +−

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +−

=

∞

=

∞

∑

∑

ζω φ

ζω φ

cos

sen

(4.15)

86


com φζ ω

ωω

πτj

n

jrj r

r=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =−tan ,1

2 2

21

2e (frequência fundamental)

A solução completa, que resultará na resposta de regime permanente do sistema (ou solução particular da equação diferencial) é

( )( ) ( )

( )( ) ( )

(x tak

ak

j r jrj t

bk

j r jrj tp

j

jj

j

jj

= +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +−

=

∞

=

∞

∑ ∑0

2 2 2 21 2 2 2 2

12 1 2 1 2ζω φ

ζω φcos sen ) (4.16)

Os denominadores dos segundo e terceiro termos da eq. (4.16) se aproximam de zero quando o amortecimento é pequeno e jω = ωn o que implicará em grandes amplitudes de vibração. Isto descortina a possibilidade do fenômeno da ressonância acontecer não somente quando a frequência fundamental for igual à frequência natural do sistema mas, também, quando os múltiplos desta frequência fundamental (chamados de frequências harmônicas) forem também iguais à frequência natural do sistema de um grau de liberdade.

Exemplo 4.4 - No estudo de vibração de válvulas usadas em sistemas de controle hidráulico, a válvula e a sua haste elástica são modelados como um sistema massa-mola como mostra a Fig. 4.7a. Além das forças de mola e amortecimento, há uma força da pressão fluida na válvula que varia com a abertura da mesma. Encontrar a resposta de regime da válvula quando a pressão na câmara varia como indicado na Fig. 4.7b. Assumir que k = 2500 N/m, c = 10 N.s/m e m = 0,25 kg.

c

d

p(t)

m

k

x(t)

0 1 2 3 4

p(t) (N/m2)

t (seg)

50000

(a)

(b)

Figura 4.7 - Válvula sob pressão periódica.

Solução: A força exercida sobre a válvula, resultante da pressão fluida é dada por

( ) ( )F t A p t=

em que A é a área da seção vazada da câmara, dada por

( )A mm= = =π

π π504

625 0 0006252

2 2, m

Da Fig. 4.7b, τ = 2 seg e ω πτ

π π= = =2 22 rad seg/

A força atuante na válvula é obtida pela representação da função em Séries de Fourier, na forma

( )F ta

a j t b jjj

jj

= + +=

∞

=

∞

∑ ∑0

1 12 cos senω ωt

87


Da Fig. 4.7b, a força externa pode ser dada como

( )( )

F tAt t

A t t=

≤ ≤

− ≤

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

50000 02

50000 22

para

para

τ

τ τ≤

Os coeficientes aj são obtidos por

( )a At dt A t dt00

1

1

222

50000 50000 2 50000= + − =∫ ∫ A

( )a At j t dt A tj = + −∫ ∫22 50000 50000 2

0

1

1

2cos senπ πj t dt

onde as integrais são resolvidas por partes resultando em

aA

jj

jj =

−×⎧

⎨⎪

⎩⎪

2 10

0

5

2 2πpara impar

para par

A função mostrada na Fig. 4.7b é uma função par (f(t) = f(-t)), o que a caracteriza como uma função que é representada por uma série exclusivamente de cossenos. Desta forma os coeficientes bj são nulos. Uma função ímpar (f(t) = -f(-t)) é representada por uma série de senos e possui os coeficientes aj nulos. A força é, então, dada por

( )F t AA

jj t j

j

= −×

=

∞

∑250002 10 15

2 21π

ωcos para impar

A resposta de regime é

( )( ) ( )

( )x tA

kA

kj

j r jrj t jp j

j

= −×

− +−

=

∞

∑25000 2 101

1 2

5

2

2

2 2 2 21π ζ

ω φcos para impar

Se a frequência natural é

ωnkm

rad seg= = =25000 25

100,

/

A frequência fundamental da força periódica é ω = π rad/seg, então

rn

= = =ωω

π100

0 0314,

O fator de amortecimento é obtido a partir dos parâmetros do sistema por

ζω

= =× ×

=c

m n210

2 0 25 1000 2

,,

Os ângulos de fase podem ser obtidos por

( )φζ

j

jrj r

j

j

jj

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

× ×

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟− − −tan tan

, ,

,tan

,,

12 2

12 2

12

21

2 0 2 0 0314

1 0 0314

0 01261 0 000987

e a resposta de regime permanente do sistema será dada por

( )( )

( ) ( )x t

j t

j j jjp

j

j

= −−

− +=

∞

∑0 0196 0 01591 0 000987 0 0001582 2 2 2

1

, ,cos

, ,

π φpara impar

4.2.5 – Resposta a Uma Força Periódica Irregular

88


F(t)

F1 F2F3

FN-1

FN

tN-1 tNt1 t2 t3 t4

F4∆t

τ = N∆t

2τt

Figura 4.8 - Força periódica de forma irregular.

Quando a força atuante não possuir uma forma tal que possa ser expressa por uma relação matemática (quando resultado de uma medição, por exemplo), a determinação dos coeficientes da Série de Fourier deverá ser realizada numericamente. Neste caso a Série assume a forma

a N F

a N Fj t

j

b N Fj t

j

ii

N

j ii

N

j ii

N

01

1

1

2

2 21 2

2 21 2

=

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∞

=

=

=

∑

∑

∑

cos , ,...,

sen , ,...,

πτ

πτ

para

para

∞ (4.17)

Exemplo 4.5 - Encontrar a resposta de regime permanente da válvula do exemplo 4.4, se as flutuações de pressão na câmara são periódicas. Os valores da pressão medida em um ciclo são periódicas com intervalos de 0,01 seg e são dadas na Tabela 4.3.

tempo (seg) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12

p (kN/m2) 0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0 Tabela 4.3 - Pressão em uma válvula hidráulica.

Solução: Como as flutuações de pressão se repetem a cada 0,12 seg, o período é τ = 0,12 seg e a frequência fundamental da série de Fourier é ω = 2π/0,12 = 52,36 rad/seg. Como o número de valores observados em cada período é 12, da eq. (4.7) obtém-se os coeficientes

a N p p N m

a N pj t

pj t

j

b N pj t

pj t

j

ii

N

ii

j ii

N

ii

j ii

N

ii

01 1

122

1 1

12

1 1

12

2 212 68167

2 2 212

20 12 1 2

2 2 212

20 12 1 2

= = =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ∞

= =

= =

= =

∑ ∑

∑ ∑

∑ ∑

/

cos cos , , ,...,

sen sen , , ,...,

πτ

π

πτ

π

para

para

∞

As três primeiras harmônicas são dadas como

p(t) = 34083,3 - 26996,0 cos 52,36t + 8307,7 sen 52,36t + 1416,7 cos 104,72t + 3608,3 sen 104,72t - 5833,3 cos 157,08t - 2333,3 sen157,08t + ... N/m2

Sendo ωn = 100 rad/seg, então r = 52,36/100 = 0,5236, e ζ = 0,2, do exemplo 4.4. A área da câmara de pressão é também obtida do exemplo 4.4, como A = 0,000625 π m2. Os três primeiros ângulos de fase são dados por

89


φ ζ

φ ζ

φ ζ

11

2

21

2

31

2

21

0 281 16 1

41 4

180 103

61 9

2 74 157

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = −

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

−

−

−

tan , ,

tan ,

tan ,

rr

rad

rr

rad

rr

rad

°

°

°

A resposta de regime é

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

x t t t

t t

t t

p = − − + × −

+ × + + × +

− × + + × + +

−

− −

− −

0 0268 0 0281 52 36 0 281 8 64 10 52 36 0 281

2 59 10 104 7 1 34 6 59 10 104 7 1 34

2 87 10 157 1 0 405 115 10 157 1 0 405

3

6 3

3 3

, , cos , , , sen , ,

, cos , , , sen , ,

, cos , , , sen , , L

4.3 - Transformada de Fourier

Na seção 4.2 viu-se que uma função periódica pode ser representada por uma série de Fourier, que são séries infinitas de funções harmônicas de frequências jω onde ω π

τ= 2 é a frequência fundamental. Fazendo o período τ se

aproximar do infinito, de forma que o primeiro intervalo de tempo se alongue sem limites, a função se torna não periódica. Desta maneira, o intervalo de frequência tende para zero de forma que as frequências harmônicas, originalmente discretas se tornam contínuas. Nesta situação as séries de Fourier se tornam Transformadass de Fourier. Uma função periódica pode ser representada por séries de Fourier na sua forma complexa

(4.18) ( ) ∑∞

−∞=

=j

tijjeFtf ω

onde os coeficientes Fj são obtidos por

( ) L,2,1,0 para ,1 2

2

±±== ∫−

− jdtetfF tijj

τ

τ

ω

τ (4.19)

Introduzindo a notação jω = ωj, (j + 1)ω - jω = ω = ∆ωj, as equações (4.18) e (4.19) se tornam

( ) ( ) ( ) jj

tij

j

tij

jj eFeFtf ωτπ

ττ

ωω ∆== ∑∑∞

−∞=

∞

−∞= 211 (4.20)

( )∫−

−=2

2

τ

τ

ωτ dtetfF tijj (4.21)

Fazendo o período tender ao infinito τ → ∞ , a variável ωj se transforma na variável contínua ω e, levando ao limite, se substitui a soma pela integral e se obtém

( ) ( ) ( )∫∑∞

∞−

∞

−∞=→∆∞→

=∆= ωωπ

ωτπ

ωω

ωτ

deFeFtf tij

j

tij

j

j21

21lim

0

(4.22)

(4.23) ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

−

→∆∞→

== dtetfFF tij

j

ω

ωτ

τω0

lim

A equação (4.22) implica que uma função arbitrária f(t) pode ser descrita por uma integral representando contribuições de componentes harmônicos possuindo um espectro de frequência contínuo entre −∞ + ∞e . A quantidade F(ω) dω pode ser considerada como uma contribuição das harmônicas que estão no intervalo entre ω e ω + dω à função f(t). A equação (4.23) é conhecida como a Transformada de Fourier de f(t), de forma que as integrais

(4.24) ( ) ( )F f t e i tω ω= −

−∞

∞

∫ dt

( ) ( )f t F e di t=−∞

∞

∫1

2πω ω ω (4.25)

representam um par de transformadas de Fourier, onde f(t) é conhecida como a Transformada Inversa de F(ω). As equações (4.24) e (4.25) contém a informação sobre a composição em frequência da função f(t), que não é periódica.

90


Se a eq. (4.18) representa uma função excitadora, então a resposta de regime permanente do sistema pode ser escrita na forma

(4.26) ( ) ∑∞

−∞=

=j

tijjj eFHtx ω

onde Hj é a resposta em frequência complexa associada à frequência jω. Seguindo um procedimento similar ao utilizado para f(t), conclui-se que a resposta do sistema a uma excitação arbitrária também pode ser escrita na forma de um par de transformadas de Fourier, como segue

91

dt (4.27) ( ) ( )X x t e i tω ω= −

−∞

∞

∫ ( ) ( )x t X e di t=

−∞

∞

∫1

2πω ω ω

ω

(4.28)

onde a transformada de Fourier da resposta é

(4.29) ( ) ( ) ( )X H Fω ω=

que é simplesmente o produto da resposta em frequência complexa pela transformada de Fourier da função excitadora. Normalmente a transformada de Fourier não é muito utilizada para calcular a resposta do sistema pela equação (4.28), pois freqüentemente a sua solução exige integrações no plano complexo o que pode se tornar extremamente complicado. A integral de convolução e a transformada de Laplace são mais fáceis de se utilizar nestes casos. Entretanto, quando se pretende analisar o comportamento no domínio da frequência a integral (4.27) é normalmente fácil de ser obtida (quando a função cumpre as condições de existência da integral) e fornece uma ferramenta de análise muito útil. Existe um algoritmo para calcular a integral (4.27) de forma rápida conhecido como Fast Fourier Transform (FFT) de larga utilização na engenharia.

Exemplo 4.6 - Calcular a resposta de um sistema de um grau de liberdade não amortecido à excitação na forma de um pulso retangular mostrado na Fig. 4.9, usando o método da transformada de Fourier. Fazer o gráfico dos espectros de frequência das funções excitadora e de resposta.

F(t)

tΟ

F0

T- T

Figura 4.9 - Função pulso retangular.

Solução: A função excitadora pode ser escrita mostrada na Fig. 4.9 pode ser escrita como

(a) ( )f tF T t

t T t=

− < << − >

⎧⎨⎩

0

0 para

para ,T

T

Como f(t) possui apenas descontinuidades finitas no intervalo, a sua integral existe sendo possível escrever a sua transformada de Fourier na forma

( ) ( ) (F f t e dt F e dt F i e ei t i t

T

Ti T i Tω

ωω ω ω= = = −−

−∞

∞−

−

−∫ ∫0 0

1 )ω (b)

Para sistemas sem amortecimento, a resposta em frequência complexa, eq. (3.52), se torna

( )H

n

ωωω

=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

1

12 (c)


Inserindo as equações (b) e (c) na eq. (4.29) tem-se

( ) ( ) ( )X H FFk

e e

i

i T i T

n

ω ω ω

ωωω

ω ω

= =−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−0

2

1

(d)

Então a resposta pode ser escrita na forma da transformada inversa de Fourier como

( ) ( )x t X e dFk i

e ee di t

i T i T

n

i t= =−

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−∞

∞ −

−∞

∞

∫ ∫1

21

21

02π

ω ωπ

ωωω

ωωω ω

ω (e)

Antes de tentar calcular a integral acima, é conveniente considerar o seguinte desenvolvimento em frações parciais:

( ) ( )1

1

1 12

122

ω ωω

ω ω ω ω ω−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

= −−

−+

n

n n

(f)

de forma que a eq. (e) se torna

( ) ( ) ( )( ) ( )[x t F

k ie e d

n n

i t T i t T= −−

−+

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−+ −

−∞

∞

∫0 12

1 12

12π ω ω ω ω ω

ωω ω ] (g)

O cálculo das integrais envolvidas na eq. (g) exige a execução de integrais de contorno no plano complexo. Como isto requer conhecimento matemático superior (ao nível exigido para um engenheiro), aqui são apresentados apenas os resultados

e di

e di e

e di e

i

i

ni t

i

ni t

n

n

ωλ

ωλ

ω

ωλ

ω

ωω

λπ λ

ω ωω

λπ λ

ω ωω

λπ λ

−∞

∞

−∞

∞

−∞

∞

−

∫

∫

∫

=<<

⎧⎨⎩

−=

<

<⎧⎨⎩

+=

<

<⎧⎨⎩

0 02 0

0 02 0

0 02 0

para para

para para

para para

(h)

Da eq. (g), nota-se que λ assume os valores t + T e t - T. Deve-se, portanto, distinguir entre os domínios de tempos definidos por t + T < 0 e t - T < 0, t + T > 0 e t - T < 0, t + T > 0 e t - T > 0, que são os mesmo domínios definidos por t < T , -T < t < T, e t > T, respectivamente. Inserindo as integrais (h) com os valores apropriados de λ obtém-se

( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )

x t t T

x tFk i i i e i e

Fk t T T t T

x tFk i i i e i e i i e i e

i t T i t Tn

i t T i t T i t T i t

n n

n n n

= < −

= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= − + − < <

= − −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

− − −

+ − +

+ − + − − −

01

2 212 2

12 2 1

12 2

12 2

12 2 2

12 2

12 2

0 0

0

para

para π

π π π ω

ππ π π π π π

ω ω

ω ω ω ω

cos

( )n

( ) ( )[ ]

T

n n

Fk t T t T t T

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − − + >0 cos cosω ω para

(i)

O espectro de frequência associado a f(t) é dado pela eq. (b). Lembrando que ( )e ei T

i T i Tω ω

ω−

=−

2 sen , eq. (b) se torna

( )F Fk

Tω ωω

=2 0 sen (j)

A Figura 4.10a mostra o gráfico de F(ω) versus ω. O espectro de frequência associado a x(t) é dado pela eq. (d). De forma similar a eq. (d) pode ser reduzida a

92


( )X Fk

T

n

ω ω

ω ωω

=

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2

1

02

sen (k)

A Figura 4.10b mostra o gráfico de X(ω) versus ω. O método da integral de convolução é de aplicação mais simples, pois a transformação inversa de Fourier exige integração de contorno no plano complexo de difícil solução. A análise, porém, no domínio da frequência é de larga aplicação na engenharia, sendo a principal ferramenta de análise de vibrações.

F(ω)

ω

ω

X(ω)

(a) (b)

2πT

−2πT

−πT

πT

3πT

−3πT

πT

2πT

−πT

−2πT

2 0F Tk

2 0F Tk

F Tk0

F Tk0

ω=ωnω=−ωn

Figura 4.10 - Espectros de frequência.

4.4 - Resposta a Uma Força Não Periódica

Para a determinação da resposta de um sistema de um grau de liberdade sob a ação de uma força não periódica, os métodos analíticos utilizados são:

1. Integral de Convolução. 2. Transformada de Laplace.

4.4.1 - Integral de Convolução A Fig. 4.11b mostra uma força que tem uma determinada magnitude finita e é aplicada em um intervalo de tempo extremamente pequeno. Esta força é chamada de força impulsiva.

93


m

k c

F(t)

(a)

F(t)

F

t

F∆t = 1

∆t

Ο

x(t) = g(t)

Ο t

2πωn(b)

(c) Figura 4.11 - Resposta ao impulso de sistemas de um grau de liberdade.

O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento estabelece que

Impulso = F t mx mx∆ = −& &2 1

Em um intervalo de tempo ∆t o impulso é dado por

$F Fdt

t t=

+

∫∆

t

=

(4.30)

O impulso unitário é definido por

$ limf Fdt Fdtt t

t t= =

→

+

∫∆

∆

01 (4.31)

Resposta ao Impulso

A equação que descreve o movimento do sistema mostrado na Fig. 4.11a é

mx cx kx&& &+ + = 0 (4.32)

cuja solução é

( )x t e x tv x

tntd

n

dd= +

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−ζω ω

ζωω

ω00 0cos sen (4.33)

94


(a)

x(t)

Ο t

(b)

F(t)

F

t

F∆t = F

∆τΟ

τ

F g(t-τ)

τ

Figura 4.12 - Resposta a um impulso aplicado em t=τ.

Se, um instante antes do sistema sofrer a ação da força impulsiva, o mesmo estiver em repouso, pode-se dizer que em , e o Princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento permite dizer que, sob a aplicação de um impulso de magnitude unitária

( ) ( )t x t x t= → = = = =− − −0 0 0& 0

)−0 (4.34) ( ) ($ & &f mx t mx t= = = − =+1 0

e como , então ( )&x t v= =+0 0

$f mv vm

= = → =1 10 0 (4.35)

Como o movimento começou no repouso x0 = 0 a resposta do sistema se torna

( ) ( )x tem t g t

nt

dd=

−ζω

ωωsen = (4.36)

que é conhecida como função resposta ao impulso unitário. Como o sistema é linear, a resposta a um impulso de magnitude não unitária é obtida pela multiplicação da resposta ao impulso unitário pela magnitude do impulso, resultando

( ) ( )x tF e

m t F g tnt

dd= =

−$sen $

ζω

ωω (4.37)

Se o impulso for aplicado em um tempo t=τ, a resposta também ficará defasada no tempo, na forma

( ) ( )( )

(x t F g tF e

m tn t

dd= − = −

− −

$$

senτω

ωζω τ

)τ (4.38)

95


Resposta a Uma Força Geral Uma função geral pode ser considerada como uma superposição de impulsos, como mostra a Fig. 4.13.

F(t)

t

∆τ

Ο

τ

F(τ)

τ + ∆τt

Figura 4.13 - Função geral, não periódica.

A resposta de um sistema a uma força aplicada desta forma será a soma das respostas aos impulsos aplicados ao longo do tempo. Se a resposta ao impulso unitário aplicado no tempo t = τ é igual a , então, aplicando o Princípio da Superposição dos efeitos a resposta produzida pelo impulso F(τ)∆τ, aplicado em t = τ, é

(g t − τ )

( ) ( ) ( )∆ ∆τx t F g t= τ − τ (4.39)

A resposta geral é obtida pela soma das respostas parciais como

( ) ( ) ( ) ( )x t x t F g t= = −∑ ∑∆ ∆τ τ

τ

τ (4.40)

Levando ao limite para ∆τ 0 chega-se a

(4.41) ( ) ( ) ( )x t F g t dt

= −∫ τ τ0

que é conhecida como Integral de Convolução ou Integral de Duhamel. Para um sistema de um grau de liberdade com amortecimento viscoso, onde a resposta ao impulso unitário é dada na eq. (4.36), a equação (4.41) torna-se

( ) ( ) ( ) ( )x t m F e t dd

td

tn= − −∫

10ω

τ ωζω τ sen − τ τ (4.42)

Resposta à Excitação Impulsiva na Base

Em alguns casos (um carro passando por um buraco ou uma lombada, por exemplo), a excitação na base do sistema tem características gerais, e neste caso, a equação do movimento relativo (3.69) tem sua solução particular modificada para

( ) ( ) ( ) ( )x t y e t dd

td

tn= − −− −∫

10ω τ ωζω τ&& sen τ τ (4.43)

Exemplo 4.7 - Uma máquina de compactação, modelada como um sistema de um grau de liberdade, é mostrada na Fig. 4.14a. A força atuante na massa m (que inclui as massas do pistão, da plataforma e do material que está sendo compactado) devido a uma aplicação súbita da pressão, pode ser idealizada como uma força degrau como mostra a Fig. 4.14b. Determinar a resposta do sistema.

Solução: De acordo com o mostrado na Fig. 4.14b, a força externa é igual a

( )F Fτ = 0

Introduzindo na eq. (4.42) tem-se

96


( ) ( ) ( )x tm

F e t dd

td

tn= − −∫

10

0ωω τ−ζω τ sen τ

que é integrada por partes, resultando

F(t)

x(t)k/2 k/2c

(a)

Plataforma

Material sendocompactado

Cilindro

Pistão

m

F(t)

x(t)

x(t)

t

t

t(b)

(c)

(d)

F0

O

O

O

2 0FkFk

0

2 0FkFk

0

Figura 4.14 - Força degrau em uma máquina de compactação.

( ) ( )x tFk e tnt

d= −−

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−0

21

1

1 ζω φζω cos

onde φζ

ζ=

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−tan 1

21. O movimento produzido por esta expressão está mostrado na Fig. 4.14c e se caracteriza por

ser um movimento harmônico com a posição de equilíbrio deslocada da sua posição original em Fk

0 .

Se o sistema não possuir amortecimento, com ζ ω ω= =0 e d n a resposta transforma-se em

( ) [ ]x tFk tn= −0 1 cosω

em que o deslocamento máximo ocorre quando cosω n t = −1 sendo

x Fkmax =

2 0

o que pode ser claramente visto na Fig. 4.14d. O movimento é harmônico com amplitude Fk

0 e com a posição de

equilíbrio deslocada da posição de equilíbrio original também Fk

0 , de forma que o deslocamento máximo em relação ao referencial adotado, que é a posição de equilíbrio original, é o dobro deste valor.

Exemplo 4.8 - Achar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.14 quando a mesma está submetida à força mostrada na Fig. 4.15.

97


F(t)

tΟ

F0

t0 Figura 4.15 - Força degrau com tempo de atraso.

Solução: A solução é análoga à do exemplo 4.6, apenas substituindo t por t-t0 na eq. 4.42, resultando

( ) ( ) ( )[ ]x tFk e t tn t t

d= −−

− −⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪− −0

2 011

10

ζω φζω cos

e, quando o sistema for não amortecido (ζ ω ω= =0 e d n )

( ) ( )[ ] x tFk t tn= − −0

01 cos ω

Exemplo 4.9 - Se a máquina de compactação mostrada na Fig. 4.14a está submetida a uma força constante com tempo de duração limitado 0 0≤ ≤t t (Fig. 4.16a), determinar a resposta da máquina.

F(t)

tΟ

F0

t0

x(t)

Ο

t0 > τn/2

t

t0 < τn/2

(a) (b)

Figura 4.16 - Força pulso retangular.

Solução: Como o sistema é linear a força pode ser considerada como uma superposição de uma força degrau F0 aplicada em t = 0 e uma outra força degrau -F0, aplicada em t = t0. A resposta em t > t0 será a superposição das respostas a cada uma das forças quando aplicadas isoladamente. Estas respostas foram determinadas nos exemplos 4.7 e 4.8, resultando em

( ) ( )[ ] ( ) x tF e

ke t t t

n

n

tt

d d=−

− − − −−

0

2 01

0

ζωζω

ζω φ ωcos cos φ

98


com φ ζ

ζ=

−

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−tan 1

21

Para sistemas sem amortecimento a resposta é

( ) ( )[ ]x tFk t t tn n= − −0

0cos cosω ω

Exemplo 4.10 - Determinar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.17a quando for aplicada uma força que varia linearmente (Fig. 4.17b), devido ao movimento do came.

Solução: A equação da força aplicada, mostrada na Fig. 4.17b é

( )F Fτ δ= τ

onde δF é a taxa de crescimento da força na unidade de tempo. A equação (4.42), neste caso, torna-se

( ) ( ) ( )x tF

m e td

td

t

n= −− −∫δω τ ωζω τ sen

0

dτ τ

cuja integral é resolvida por partes, resultando

( )x t Fk

t e t tn

t

nd

d n

n dd

n= − + −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪−δ ζ

ωζ

ωω ω ζ ω

ω ωωζω2 2 2 2 2

2cos sen

Para sistemas sem amortecimento

( ) ( )x t Fk

t tn

n n= −δω

ω ωsen

F(t)

x(t)k/2 k/2c

(a)

Plataforma

Material sendocompactadom

x(t)

t

(c)

δF/k

O

Came

Seguidor

Movimento docame

1

F(t)

t(b)

δF

O

1

2πωn

4πωn

Figura 4.17 - Máquina de compactação sob força variando linearmente.

4.4.2 - Transformada de Laplace

Definição

99


O método da Transformada de Laplace pode ser aplicado a equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Apresenta como vantagens ser aplicável a qualquer tipo de excitação, tratar funções descontínuas sem dificuldades e levar em conta automaticamente as condições iniciais, o que é significativo quando se trata de resolver um problema do valor inicial. A definição da Transformada de Laplace é

L ( ) ( ) ( )x t x s e x t dtst= = −

∞

∫0

(4.44)

onde s é chamada de varável subsidiária, sendo uma quantidade complexa e é o núcleo da transformação. e st−

Transformação de Derivadas

A transformada da derivada é obtida através de uma integração por partes, na forma

L ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx t

dt edx t

dt dt e x t s e x t dt x s x sst st st= = − − = − +− − ∞∞

−

∞

∫ ∫00 0

0 (4.45)

onde x(0) é o valor inicial de x(t). A segunda derivada é obtida seguindo o mesmo caminho. Chega-se a

L ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x tdt

ed x t

dtdt x s x s x sst

2

2

2

20

20 0= = − −−

∞

∫ & + (4.46)

onde é o valor inicial da derivada de x(t). ( )&x 0

Transformação de Equações Diferenciais Ordinárias

A equação diferencial do movimento de um sistema de um grau de liberdade viscosamente amortecido é

( ) ( ) ( ) ( )md x t

dtc

dx tdt

kx t F t2

2 + + = (4.47)

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação (4.47) e utilizando os resultados de (4.45) e (4.46) tem-se

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )m s x s s x x c s x s x k x s F s2 0 0 0− − + − + =& (4.48)

Como cm n= 2ζω , k

m n= ω 2 , a equação (4.48) pode ser resolvida para se calcular a transformada de Laplace

da resposta ( )x s , na forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x sm s s

F s ss s

xs s

xn n

n

n n n n

=+ +

++

+ ++

+ +1

22

20 1

20

2 2 2 2 2 2ζω ωζω

ζω ω ζω ω& (4.49)

que é chamada equação subsidiária da equação diferencial. Para obter a resposta do sistema x(t), se deve calcular a transformada inversa de Laplace do resultado da equação (4.49).

Transformação Inversa de Laplace

A transformação inversa envolve uma integral de linha no domínio complexo de difícil solução. Por este motivo se procura transformar a função obtida na eq. (4.49) em funções que tenham a sua transformada inversa conhecida. Esta é a essência do método das frações parciais, descrito a seguir. As funções resultantes serão comparadas com funções que possuem transformadas conhecidas, relacionadas na Tabela 4.4. Consideremos o caso em que ( )x s pode ser escrita na forma

( ) ( )x sA sB s

=( )

(4.50)

onde tanto A(s) como B(s) são polinômios em s. Geralmente B(s) é um polinômio de maior ordem que A(s). Chamando de s = ak (k = 1, 2,..., n) as raízes de B(s), o polinômio pode ser escrito como

(4.51) ( ) ( )( ) ( ) ( ) (B s s a s a s a s a s ak nk

n

= − − − − = −=

∏1 21

L L )k

onde Π é o símbolo do produto. As raízes s = ak são conhecidas como polos simples de ( )x s . A expansão em frações parciais de (4.50) tem a forma

100


( ) ∑= −

=−

++−

++−

+−

=n

k k

k

n

n

k

k

asc

asc

asc

asc

ascsx

12

2

1

1 LL (4.52)

onde os coeficientes ck são dados pela fórmula

( ) ( )[ ] ( )( )

c s a x sA sB sk s a k

s ak

k

= − =′→

=

lim (4.53)

onde é a derivada de B(s) em relação a s. ( )′B s Como

L es a

a t

k

k =−1 (4.54)

segue-se que

L-1 1s a

ek

a tk

−= (4.55)

onde (4.54) e (4.55) constituem um par de Laplace. Considerando as equações (4.53) e (4.55) a transformada inversa de ( )x s , eq. (4.52), se torna

( )( )( )

( )( )x t

A sB s e

A sB s e

s a

a t

k

nst

s ak

n

k

k

k

=′

=′

== ==∑ ∑

1 1 (4.56)

Freqüentemente, é mais simples considerar a eq. (4.52) e escrever A(s) na forma

(4.57) ( ) ( ) ( ) ( ) (A s c s a c s a c s a c s ai iii

n

i

n

n ii

n

nii k

n

k

n

= − + − + + − = −=≠

= =

−

=≠

=∏∏ ∏ ∑1 2

12

2 2

1

11

L )i∏

Comparando os coeficientes de s j-1 (j = 1, 2, ... , n), em ambos os lados de (4.57), obtém-se um sistema de equações algébricas que podem ser resolvidas para a determinação dos coeficientes ck (k = 1, 2, ... , n).

Integral de Convolução

Considere-se duas funções f1(t) e f2(t), definidas para t > 0. Assuma-se, também, que f1(t) e f2(t) possuem transformadas de Laplace ( )f s1 e ( )f s2 , respectivamente, e considere-se a integral

(4.58) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t f f t d f f t dt

= − = −∞

∫∫ 1 2 1 200

τ τ τ τ τ τ

A função x(t), é chamada de convolução das funções f1 e f2 no intervalo . O limite superior das integrais em (4.58) são intercambiáveis porque f

0 < < ∞t2(t - τ) = 0 para τ > t, que é o mesmo que t - τ < 0. Transformando

ambos os lados da eq. (4.58), obtém-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

x s e f f t d dt f d e f t dt

f d e f t dt

st st

st

= −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= −

= −

−∞∞

−∞∞

−∞∞

∫∫ ∫∫∫∫

1 200

1 200

1 20

τ τ τ τ τ τ

τ τ ττ

(4.59)

onde o limite inferior da segunda integral mudou porque f2(t - τ) = 0 para τ > t. A seguir, se introduz a transformação t - τ = λ na segunda integral, e observando que para t = τ tem-se λ = 0, escrevendo-se

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

x s f d e f t dt f d e f d

e f d e f d f s f s

st s t

s s

= − =

= =

−∞∞

− +∞∞

−∞

−∞

∫∫ ∫∫∫ ∫

1 20

1 200

10

2 1 20

τ τ τ τ τ λ λ

τ τ λ λ

τ

τ

τ λ (4.60)

Das equações (4.58) e (4.60), segue-se que

x(t) = L-1

( )x s = L-1

( ) ( )f s f s1 2 (4.61)

então 101


102

τ (4.62) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t f f t d f t f dtt

= − = −∫∫ 1 2 1 200

τ τ τ τ τ

A segunda integral na eq. (4.62) é válida porque não importa de que maneira ocorre o acréscimo de tempo.

Teorema de Borel

A transformação inversa de Laplace do produto de duas transformadas é igual à convolução das suas transformadas inversas.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

( ) ( )f s f t e dtst= −∞

∫0 f(t)

1 ( ) ( )c f s c g s1 2+ ( ) (c f t c g t1 2+ )

2 f

sa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

( )f a t a⋅

3 ( ) ( )f s g s ( ) ( )f t g dt

−∫ τ τ0

τ

4 ( ) ( )

s f s sd f t

dtn n j

j

j

tj

n

− −−

−

==∑

1

1

01

( )d f t

dt

n

n

5 ( )1s

f sn

( )L Lf d dtt

τ τ τ00 ∫∫

6 ( )f s a+ ( )e f tat−

7 1 ( )δ t = degrau unitário aplicado em t = 0 8 e

s

as−

u(t) = impulso unitário aplicado em t=a

9 1sn

(n = 1,2, ...) ( )

tn

n−

−

1

1 !

10 1s a+

e at−

11

( )1

2s a+ te at−

12

( )1

s a n+

(n = 1,2, ...) ( )1

11

nt en at

−− −

!

13 ( )

1s s a+

( )1 1a

e at− −

14 ( )

12s s a+

( )1 12a

e atat− + −

15 12 2s a+

1a

atsen

16 12 2s a−

1a

atsenh

17 ss a2 2+

cos at

18 ss a2 2−

cosh at

19 ( )

12 2s s a+

( )1 12a

at− cos

20 ( )

12 2 2s s a+

( )13a

at at− sen


21

( )1

2 2 2s a+

( )12 3a

at at atsen cos−

22

( )s

s a2 2 2+

ta

at2

sen

23

( )s as a

2 2

2 2 2

−

+

t atcos

24 ( )

as s a+

1− −e at

25 s as+

2

1+ at

26 ( )a

s s a

2

2 + ( )at e at− − −1

27 ( )s b

s s a++

ba

ab

e at1 1− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−

28 ( )

as s a

2

2 2+

1− cosat

29 122 2s sn n+ +ζω ω

1

ωωζω

d

tde tn− sen

30 ss sn n

2 22+ +ζω ω ( )− −−ω

ωω φζωn

d

tde tn sen 1

31 ss s

n

n n

++ +

222 2

ζωζω ω

( )ωω

ω φζωn

d

tde tn− +sen 1

32 ( )

ωζω ω

n

n ns s s

2

2 22+ + ( )1 1− +−ω

ωω φζωn

d

tde tn sen

33 ( )

ss s s

n

n n

++ +

ζωζω ω2 22

( )e tntd

− +ζω ω φsen 1

Tabela 4.4 - Transformadas de Laplace.

Exemplo 4.11 - Achar a resposta da máquina de compactação do exemplo 4.9, assumindo ζ < 1, utilizando a transformada de Laplace.

Solução: A força aplicada pode ser escrita na forma

( )F tF t

t t=

→ ≤ ≤→ >

⎧⎨⎩

0 0

0

00

t

A transformada de Laplace de F(t) é obtida como

( ) ( ) [ ]F s e F t dt e F dt F e dt Fs

e es

Fst stt

st st tt s

= = = = − =−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−∞

− − −∞ −

∫ ∫ ∫00

00

000

0

0 001

Utilizando (4.37), a transformada da resposta será

( ) ( )( ) ( ) ( )x s

F ems s s

ss s

xs s

xt s

n n

n

n n n n

=−

+ ++

++ +

++ +

−0

2 2 2 2 2 2

12

22

0 12

00

ζω ωζω

ζω ω ζω ω&

A transformadas inversas do segundo e do terceiro termo da equação são obtidas utilizando diretamente os resultados 31 e 29 da Tabela 4.4. A transformada inversa do primeiro termo é obtida do resultado 32 da mesma Tabela 4.4 considerando que a multiplicação da transformada de uma função por e-as implica no deslocamento a da função no domínio do tempo. Então a transformada inversa torna-se

103


( )( )

( )[ ]

( )

x t Fm

e t

Fm

e t t

x e t

x x e

n

t

n

n

t t

n

n

nt

n

n n

n

n

n

n

n

( ) sen

sen

sen

&

= −−

− +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −−

− − +⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

−−

− −⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

−

− −

−

−

02 2

21

02 2

20 1

02

2

2

21

0 02 2

11

1

11

1

11

21

0

ω ζω ζ φ

ω ζω ζ φ

ωω

ζω ζ φ

ζω ω

ωζ

ζω

ζω

ζω

ζω ( )tn tsen ω ζ1 2−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

onde , e a resposta da máquina de compactação pode ser expressa na forma ( )φ11= −cos ζ

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )

x t Fm

e t e t t

x e tx x

e t

n

tn

t tn

n

tn

n

n

tn

n n

n n

( ) sen sen

sen&

sen

=−

− − + + − − +

−−

− −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

++

−−⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− − −

− −

0

2 2

21

20 1

0

2 2

21

0 0

2

2

11 1

11

2

11

0

ω ζω ζ φ ω ζ φ

ω ζω ζ φ

ζω

ω ζω ζ

ζω ζω

ζω ζω

104

Mecânica das Vibrações - Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade

Capítulo 5 - Sistemas de Dois Graus de Liberdade

5.1 - Introdução

Sistemas de dois graus de liberdade são aqueles que requerem duas coordenadas independentes para descrever seu movimento. As Figs. 5.1 e 5.2 mostram alguns exemplos de tais sistemas.

x(t)

x1(t)x2(t)

kk

C.G.

C.G.m, J0

θ(t)

k2

k1

x(t)

y(t)

m

Figura 5.1- Corpo com dois graus de liberdade. Figura 5.2 - Massa concentrada.

A Fig. 5.1 mostra um sistema constituído de um corpo de massa m e momento de inércia em relação ao centro de gravidade (C.G.) J0, sustentado por duas molas de rigidez k. Assumindo que o movimento da massa ocorre apenas no plano vertical, a posição do corpo em qualquer instante de tempo é perfeitamente descrita pela coordenada linear x(t), que representa o deslocamento vertical do centro de gravidade (CG) do corpo, e pela coordenada angular θ(t), que representa a rotação em torno de seu centro de gravidade. Outras coordenadas independentes, como os deslocamentos das extremidades x1(t) e x2(t), também poderiam ser utilizadas para descrever completamente o mesmo movimento. Assim sendo, o sistema possui dois graus de liberdade. É importante observar que a massa não é aqui tratada como pontual (partícula) mas como um corpo rígido com movimento plano restrito à direção vertical. A Fig. 5.2 mostra um sistema em que a massa pontual m possui dois graus de liberdade, sem ser um corpo rígido (pode transladar no plano xy). O movimento de um sistema de dois graus de liberdade é descrito por duas equações diferenciais de segunda ordem geralmente acopladas, isto é, em cada uma das equações estão presentes termos que contém as duas coordenadas. Assumindo-se uma solução harmônica para cada coordenada, as equações do movimento conduzem a duas frequências naturais para o sistema. Durante a vibração livre em cada uma das frequências naturais, as amplitudes das duas coordenadas estão sempre relacionadas entre si formando uma configuração conhecida como modo normal, modo principal ou modo natural de vibração. Quando uma condição inicial arbitrária é dada ao sistema, a vibração livre resultante será uma combinação dos dois modos naturais de vibração. Quando o sistema vibra sob a ação de uma força externa harmônica (vibração forçada), o movimento resultante ocorre na frequência da força aplicada. A ressonância pode, então, ocorrer quando a frequência da força externa coincidir com uma das frequências naturais do sistema. Das Figs. 5.1 e 5.2, fica evidente que o movimento do sistema pode ser descrito por um sistema de coordenadas independentes. Este sistema se chama de sistema de coordenadas generalizadas. Entretanto, quando as equações do movimento estão acopladas, é sempre possível encontrar um sistema de coordenadas em que cada equação contém apenas uma coordenada. Estas coordenadas são chamadas de coordenadas principais.

5.2 - Equações do Movimento

A Fig. 5.3a mostra um sistema de dois graus de liberdade com amortecimento viscoso sob ação de forças externas. O movimento deste sistema é descrito pelas coordenadas independentes x1(t) e x2(t). Os diagramas de corpo livre mostrados na Fig. 5.3b facilitam a aplicação da Segunda Lei de Newton a cada uma das massas, resultando

( ) ( ) 1221212212111 Fxkxkkxcxccxm =−++−++ &&&& (5.1)

( ) ( ) 2232122321222 Fxkkxkxccxcxm =++−++− &&&& (5.2)

105


x1(t)F1(t)

m1

F1(t)

m1

x2(t)F2(t)

m2

m2

F2(t)

k1 k2 k3

c1 c2 c3

k2(x2 - x1)

( )122 xxc && −

k1x1

c x3 2&c x1 1&

(a)

(b)

& , &&x x1 1 & , &&x x2 2

k3x2

Figura 5.3 - Sistema de dois graus de liberdade.

As equações (5.1) e (5.2) formam um sistema de duas equações diferenciais acopladas. Isto acontece porque (5.1) contém termos envolvendo x2 ( 2222 e xkxc −− & ), enquanto (5.2) contém termos envolvendo x1 ( 1212 e xkxc −− & ). O acoplamento representa a influência do movimento da massa m1 no movimento da massa m2 e vice-versa. As equações (5.1) e (5.2) podem ser escritas em forma matricial

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) tFtxktxctxm = ++ &&& (5.3)

onde [m] é a matriz de massa, [c] a matriz de amortecimento e [k] a matriz de rigidez do sistema, dadas por

(5.4)

[ ]

[ ]

[ ] ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

322

221

322

221

2

1

00

kkkkkk

k

cccccc

c

mm

m

x(t) é o vetor dos deslocamentos e f(t) é o vetor das forças, dados por

(5.5) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=tFtF

tFtxtx

tx2

1

2

1 e

As matrizes apresentadas em (5.4) são todas simétricas de forma que

(5.6) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ], , , kkccmm TTT ===

onde T indica a transposta da matriz. Observar que as equações (5.1) e (5.2) se tornarão desacopladas se c2 = k2 = 0, tornando as matrizes de amortecimento e rigidez diagonais, o que implica em desconectar fisicamente as massas m1 e m2, transformando o sistema de dois graus de liberdade em dois sistemas de um grau de liberdade.

5.3 - Vibração Livre 5.3.1 - Sistema Não Amortecido

A vibração livre do sistema de dois graus de liberdade é obtida fazendo F1(t) = F2(t) = 0 e o amortecimento é retirado tornando c1 = c2 = c3 = 0. As equações (5.1) e (5.2) se tornam

( ) 02212111 =−++ xkxkkxm && (5.7) ( ) 02321222 =++− xkkxkxm && (5.8)

106


A análise da vibração livre consiste na investigação da possibilidade das massas oscilarem harmonicamente com a mesma frequência e ângulo de fase mas com amplitudes diferentes. Assumindo que este movimento seja possível, as soluções são da forma

(5.9) ( ) ( )( ) ( )φω

φω+=+=

tXtxtXtx

coscos

22

11

Substituindo (5.9) em (5.7) e (5.8) tem-se

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) 0cos0cos

2322

212

221212

1

=+++−+−

=+−++−

φωωφωω

tXkkmXktXkXkkm

(5.10)

Como as equações (5.10) devem ser satisfeitas em qualquer instante de tempo, os termos entre chaves devem ser sempre iguais a zero já que a função cos varia entre -1 e +1. Então

( )[ ]

( )[ 00

2322

212

221212

1

=++−+−

=−++−

XkkmXkXkXkkm

ωω

] (5.11)

são duas equações algébricas homogêneas simultâneas com X1 e X2 como incógnitas. Estas equações podem ser satisfeitas para a solução trivial X1 = X2 = 0, o que implica em que não há vibração. Para que se obtenha uma solução não trivial, o determinante dos coeficientes de X1 e X2 deve ser nulo:

ou ( )[ ]

( )[ ] 0det32

222

2212

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−−

−++−kkmk

kkkmω

ω

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ] 0223221

2132221

421 =−++++++− kkkkkmkkmkkmm ωω (5.12)

A equação (5.12) é chamada de equação característica e sua solução conduz aos valores característicos (frequências naturais) do sistema. As raízes de (5.12) são dadas por

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )( )[ ]21

22322121

21322211322212

2,1 24

mmkkkkkmmmkkmkkmkkmkk −++−+++±+++

=ω (5.13)

É, então, possível uma solução harmônica desde que as frequências da oscilação sejam as obtidas na equação (5.13). Elas são, por isso, chamadas de frequências naturais do sistema. X1 e X2 dependem das frequências ω1 e ω2. Os valores de X1 e X2 obtidos com ω1 serão chamados de

e os obtidos com ω( ) ( )X X11

21 e 2. serão chamados de ( ) ( )2

22

1 e XX . Como as equações (5.11) são homogêneas é possível

determinar somente as relações ( )

( )

( )

( )21

22

211

12

1 e XXrX

Xr == . Substituindo ω ω ω ω212 2

22= = e as equações (5.11)

produzem

( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )32222

2

2

21221

21

22

2

322

12

2

2

212

111

1

12

1

kkmk

kkkm

XX

r

kkmk

kkkm

XX

r

++−=

++−==

++−=

++−==

ωω

ωω

(5.14)

Os modos naturais de vibração são expressos pelos vetores modais

(5.15)

( )( )

( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

212

21

22

212

111

11

12

111 e

XrX

XX

X

XrX

XX

X

A vibração livre, no primeiro e no segundo modos naturais é

107


(5.16)

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

x tx t

x t

X t

r X t

x tx t

x t

X t

r X t

1 1

1

2

1

1

1

1 1

1 1

1

1 1

2 1

2

2

2

1

2

2 2

2 1

2

2 2

=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

=⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪=

+

+

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

cos

cos

cos

cos

ω φ

ω φ

ω φ

ω φ

= primeiro modo

= segundo modo

( ) ( )X X11

12

1 2, , e φ φ são constantes determinadas pelas condições iniciais do movimento. Pode-se fazer o sistema vibrar em um de seus modos naturais através da aplicação de condições iniciais apropriadas. Para que o sistema vibre no modo i (i = 1,2) as condições iniciais necessárias são

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t X x t

x t r X x t

i

i

1 1 1

2 1 1 2

0 0

0 0

= = = =

= = = =

, & ,

, &

0

0 (5.17)

Se quaisquer outras condições iniciais forem introduzidas, ambos os modos serão excitados e o movimento resultante será uma superposição dos modos naturais na forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t x t x t= +1 2 (5.18)

ou então

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x t x t x t X t X t

x t x t x t r X t r X t

1 1

1

1

2

1

1

1 1 1

2

2 2

2 2

1

2

2

1 1

1

1 1 2 1

2

2 2

= + = + + +

= + = + + +

cos cos

cos cos

ω φ ω φ

ω φ ω φ (5.19)

Introduzindo-se as condições iniciais arbitrárias

(5.20) ( ) ( )

( ) ( )

x t x x t v

x t x x t v

1 10 1

2 20 2

0 0

0 0

= = = =

= = = =

, & ,

, &

10

20

as constantes podem ser determinadas através da solução das seguintes equações, obtidas pela substituição de (5.20) em (5.19)

( ) ( )21

21

11 e , , φφXX

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t x X X

x t v X X

x t x r X r X

x t v r X r X

1 10 1

1

1 1

2

2

1 10 1 1

1

1 2 1

2

2

2 20 1 1

1

1 2 1

2

21

2 20 1 1 1

1

1 2 2 1

2

2

0

0

0

0

= = = +

= = = − −

= = = +

= = = − −

cos cos

& sen sen

cos cos

& sen sen

φ φ

ω φ ω φ

φ φ

ω φ ω φ

(5.21)

A solução das equações (5.21) resulta em

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

Xr r

r x xv r v

Xr r

x r xr v v

v r v

r x x

r v v

x r x

1

1

2 1

2 10 20

2 20 2 10

2

1

2

1

2

2 1

20 1 10

2 1 10 20

2

2

2

1

1 20 2 10

1 2 10 20

2

1 1 10 20

2 20 1 10

1

1

=−

− +−

=−

− +−

=−

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=−

−

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

−

ω

ω

φω

φω

tan

tan

(5.22)

Exemplo 5.1 - Frequências Naturais do Sistema Massa-Mola Determinar as frequências naturais e os modos naturais de vibração do sistema massa-mola de dois graus de liberdade cujo movimento está restrito à direção vertical

108


m

m

k

k

kx1(t)

x2(t)

Figura 5.4 - Sistema massa-mola.

Equações do movimento

mx kx kx

mx kx kx

&&

&&

1 1 2

2 1 2

2 0

2 0

+ − =

− + =

Assumindo solução harmônica na forma da eq (5.9), o determinante e a equação característica (5.12) tornam-se

− + −

− − += − + =

m k k

k m km km k

ω

ωω ω

2

2

2 4 2 22

24 3 0

cuja solução conduz às frequências naturais

ω

ω

1

2 2 2 2

2

2

2 2 2 2

2

4 16 12

2

4 16 12

2

3

=− −

=

=+ −

=

km k m m k

m

k

m

km k m m k

m

k

m

As relações de amplitudes são obtidas das equações (5.14)

( )

( )

( )

( )

rX

X

m k

k

k

m k

rX

X

m k

k

k

m k

12

1

1

1

1

2

1

2

22

2

1

2

2

2

2

2

2

21

2

21

= =− +

=− +

=

= =− +

=− +

= −

ω

ω

ω

ω

Os modos naturais, dados pelas equações (5.16) são

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Modo Segundo 3cos

3cos

Modo Primeiro cos

cos

22

1

22

1

2

11

1

11

1

1

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

φ

φ

φ

φ

tmkX

tmkX

tx

tmkX

tmkX

tx

109


Conclui-se que, quando o sistema vibra no primeiro modo, as amplitudes das duas massas permanecem iguais. Isto implica que o comprimento da mola intermediária permanece constante (a mola não se deforma, é como se não existisse). Os movimentos das massas m1 e m2 estão em coincidência de fase (sincronizados, Fig. 5.5a). Quando o sistema vibra no segundo modo, os deslocamentos das duas massas possuem a mesma amplitude mas com oposição de fase (Fig. 5.5b). Neste caso o ponto médio da mola permanece estacionário em qualquer instante de tempo. Este ponto é chamado nó.

m1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m2

m1

m2

Nó

(a) Primeiro modo (b) Segundo modo Figura 5.5 - Modos naturais de vibração.

Usando as equações (5.19), o movimento do sistema pode ser expresso como

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

22

111

12

22

111

11

3coscos

3coscos

φφ

φφ

tmkXt

mkXtx

tmkXt

mkXtx

Exemplo 5.2 - Condições iniciais para provocar um modo específico Encontrar as condições iniciais necessárias para que o sistema vibre (1) no primeiro modo e (2) no segundo modo. Solução:As constantes ( ) ( )

212

11

1 e , , φφXX são determinadas com o auxílio das equações (5.22), com as frequências naturais e os modos determinados no exemplo 5.1.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−+

=

−+−−=

++−−−=

−

−

km

xxvv

km

xxvv

vvk

mxxX

vvkmxxX

3tan

tan

32121

1020

201012

2010

102011

22010

21020

21

21020

22010

11

φ

φ

Os modos naturais foram obtidos no Exemplo 5.1, dados por

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

Modo Segundo 3cos

3cos

Modo Primeiro cos

cos

22

1

22

1

2

11

1

11

1

1

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

φ

φ

φ

φ

tmkX

tmkX

tx

tmkX

tmkX

tx

110


(1) Para produzir o primeiro modo é necessário que ( ) 0 21 =X , e, para tanto as condições iniciais devem ser

x10 = x20 e v10 = v20

(2) Para produzir o segundo modo é necessário que ( ) 0 11 =X , e, para tanto as condições iniciais devem ser

x10 = - x20 e v10 = - v20

5.4 - Sistema Torcional

A Fig. 5.6 mostra um sistema torcional constituído de dois discos de momentos de inércia J1 e J2, conectados por segmentos de eixos com rigidezes kt1, kt2 e kt3, sofrendo a ação dos torques Mt1 e Mt2. O sistema possui dois graus de liberdade e seu movimento pode ser descrito pelas rotações θ1 e θ2.

θ2

kt2(θ2-θ1)kt1θ1 kt3θ2

kt1 kt2 kt3J2J1

Mt1 Mt2

(a)

(b)

θ1

θ2θ1

Figura 5.6 - Sistema torcional.

A segunda Lei de Newton é aplicada para os movimentos de rotação dos discos, resultando nas seguintes equações diferenciais

(5.23) ( )

( )J k k k M

J k k k Mt t t t

t t t

1 1 1 2 1 2 2 1

2 2 2 1 2 3 2 2

&&

&&

θ θ θ

θ θ θ

+ + − =

− + + = t

Exemplo 5.3 - Frequências Naturais de um Sistema Torcional Encontrar as frequências naturais e as formas modais para o sistema torcional mostrado na Fig. 5.7 para J1 = J0, J2 = 2J0, e kt1 = kt2 = kt.

θ 1

θ 2

k t2

k t1

J 2

J 1

Figura 5.7 - Sistema torcional.

111


Solução: As equações diferenciais do movimento, dadas em (5.23), com os dados do problema e Mt1 = Mt2 = 0, se reduzem para

J k k

J k kt t

t t

0 1 1 2

0 2 1 2

2 0

2 0

&&

&&

θ θ θ

θ θ θ

+ − =

− + =

cuja solução harmônica é da forma

( ) ( )θ ω φi it t i= + =Θ cos , para 1 2

que substituída nas equações diferenciais conduzem à equação das frequências (eq. 5.13)

112

0= 2 5402 2

02ω ωJ J k kt t− +

A solução desta equação resulta nas frequências naturais

( ) ( )ω ω10

204

5 174

5 17= − = +kJ

kJ

t t e

e as relações de amplitudes (formas modais) são obtidas com o auxílio das eq. (5.14)

( )

( )

( ) ( )

( )

( )r r1

21

11 2

22

122

5 17

42

5 17

4= = −

−= = −

+ΘΘ

ΘΘ

e

5.5 - Acoplamento de Coordenadas - Coordenadas Principais

Qualquer conjunto de coordenadas independentes em número igual de graus de liberdade do sistema pode ser utilizado para descrever seu movimento. Estas são chamadas de coordenadas generalizadas. A Fig. 5.8 mostra o modelo de um sistema constituído de uma barra com duas massas nas extremidades.

k1 k2

k1 k2

l'2l'1

CGA B

m,J0

l2l1

k1x1=k1(x-l1θ)

k2x2=k2(x+l2θ)

CGA B

m,J0e

P

B'

P

CG

A'

l'2l'1BA

y-l'1θ y(t)

θ(t)

y+l'2θ

k1(y-l'1θ)

k2(y+l'2θ)

B'

CG

A'

l2l1 BA

x1(t)x(t)

θ(t)

x2(t)

(a)

(b) Figura 5.8 - Acoplamento de coordenadas.

Este sistema possui dois graus de liberdade quando a barra é considerada como um corpo rígido e não há movimento lateral. Nestas condições, vários conjuntos diferentes de coordenadas generalizadas poderiam ser utilizadas para descrever o movimento tais como:

1) Os deslocamentos das extremidades x1(t) e x2(t); 2) O deslocamento x(t) do centro de gravidade (C.G.) e a rotação θ(t);


3) O deslocamento y(t) de um ponto qualquer P e a rotação θ(t). 4) O deslocamento x1(t) da extremidade A e a rotação θ(t).

Cada um destes sistemas de coordenadas conduz a um sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem acopladas. Utilizando-se, por exemplo as coordenadas x(t) (deslocamento do centro de gravidade C.G.) e a rotação θ(t) as equações diferenciais que descrevem o movimento do corpo rígido são

113

)

( ) ( )( ) ( 222111

2211

llxkllxkJ

lxklxkxm

G θθθ

θθ

+−−=

+−−−=&&

&& (5.24)

Em forma matricial, as eq. (5.24) são escritas na forma

(5.25) ( ) ( )

( ) ( ) ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−−+

+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡00

00

222

2112211

112221

θθx

lklklklklklkkkx

Jm

G&&

&&

As duas equações que formam o sistema (5.24) estão acopladas, ou seja, ambas contém as variáveis x(t) e θ(t). Na equação (5.25), a matriz não diagonal representa este acoplamento. Quando a matriz de massa é não diagonal o acoplamento é chamado de dinâmico ou inercial. Se a matriz de rigidez é não diagonal, o acoplamento é chamado elástico ou estático. De uma forma geral, um sistema pode estar acoplado também pela matriz de amortecimento, de forma que a equação matricial geral do movimento pode ser expressa na forma

(5.26) m mm m

xx

c cc c

xx

k kk k

xx

11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

00

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

&&

&&

&

&

onde a natureza das matrizes presentes revela o tipo de acoplamento presente: Acoplamento elástico (estático) matriz de rigidez não diagonal; Acoplamento inercial (dinâmico) matriz de inércia não diagonal; Acoplamento de velocidade (dinâmico) matriz de amortecimento não diagonal. O acoplamento depende exclusivamente do sistema de coordenadas utilizado, não sendo, portanto, uma característica física do sistema. É possível determinar um sistema de coordenadas que torne o sistema desacoplado. Este sistema é chamado de sistema de coordenadas principais ou naturais. A principal vantagem de utilizar coordenadas principais é que as equações resultantes podem ser resolvidas independentemente. Considerando o sistema mostrado na Fig. 5.2, com c1 = c2 = c3 = 0 e F1(t) = F2(t) = 0, as equações do movimento tornam-se as eqs. (5.7) e (5.8). A solução pode ser expressa na forma

(5.27) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t q t q t

x t r q t r q t1 1 2

2 1 1 2 2

= +

= +

onde as formas modais r1 e r2 são dadas pela eq. (5.14). Introduzindo-se (5.27) em (5.7) e (5.8) obtém-se

(5.28) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m q q k q q k rq r q

m rq r q k q q k rq r q1 1 2 11 1 2 12 1 1 2 2

2 1 1 2 2 12 1 2 22 1 1 2 2

0

0

&& &&

&& &&

+ + + + + =

+ + + + + =

onde k11 = k1 + k2, k12 = - k2 e k22 = k2 + k3. Multiplicando a primeira das equações (5.28) por m2r2 e a segunda por m1 obtém-se

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

m m r r q m r k m r r k m k m k r q m r k m r k m k m k r q

m m r r q m r k m r k m k m k r q m r k m r r k m k m k r q1 2 2 1 1 2 2 11 2 1 2 12 1 12 1 22 1 1 2 2 11 2 2

212 1 12 1 22 2 2

1 2 1 2 2 2 1 11 2 12

12 1 12 1 22 1 1 2 1 11 2 1 2 12 1 12 1 22 2 2

0

0

− + + − − + + − − =

− + + − − + + − − =

&&

&& (5.29)

Utilizando-se as equações (5.14), as eq. (5.29) são reduzidas para a forma

(5.30) && ,q q ii i i+ = =ω 2 0 com 1 2

=

)2−

onde ωi (i = 1,2) são as frequências naturais do sistema. As equações (5.30) são independentes, sendo resolvidas separadamente. As coordenadas q1 e q2 são então coordenadas principais ou naturais. As soluções das eq. (5.30) são simplesmente (5.31) ( )q t C t ii i i i= −cos( ) ,ω φ com 1 2de forma que, inserindo (5.31) em (5.27) tem-se

(5.32) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (

x t C t C t

x t C r t C r t1 1 1 1 2 2 2

2 1 1 1 1 2 2 2

= − + −

= − +

cos cos

cos cos

ω φ ω φ

ω φ ω φque podem ser escritas na forma matricial


114

) (5.33) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (x t Cr

t Cr

t C u t C u t=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− +⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

− = − + −11

1 1 22

2 2 11

1 1 22

2 2

1 1cos cos cos cosω φ ω φ ω φ ω φ

onde são conhecidos como vetores modais. As amplitudes C( ) ( ) u u1 2 e 1 e C2 e os ângulos de fase φ1 e φ2 dependem

das condições iniciais. As equações mostram que o movimento do sistema, em qualquer instante de tempo, pode ser descrito como uma superposição dos modos naturais multiplicados pelas coordenadas naturais ou principais.

Exemplo 5.4 - Coordenadas Principais do Sistema Massa-Mola Determinar as coordenadas principais para o sistema mostrado na Fig. 5.4. Solução: As equações que estabelecem o movimento livre do sistema mostrado na Fig. 5.4 foram obtidas no exemplo 5.1 sendo as seguintes

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x t Xk

mt X

k

mt

x t Xk

mt X

k

mt

1 1

1

1 1

2

2

2 1

1

1 1

2

2

3

3

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟+ +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟− +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

cos cos

cos cos

φ φ

φ φ

(a)

Define-se um sistema de coordenadas tais que

( ) ( )

( ) ( )

q t X km

t

q t X km

t

1 11

1

2 12

2

3

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

cos

cos

φ

φ

(b)

Substituindo-se (b) em (a) tem-se

(c) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

x t q t q t

x t q t q t1 1 2

2 1 2

= +

= −

que podem ser resolvidas algebricamente, resultando em

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

q t x t x t

q t x t x t

1 1 2

2 1 2

1212

= +

= − (d)

Como q1(t) e q2(t), dadas na eq. (b), são funções harmônicas, são soluções de equações diferenciais na forma

&&

&&

q km

q

q km

q

1 1

2 2

0

3 0

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= (e)

que são duas equações diferenciais independentes (desacopladas) que são resolvidas separadamente. Estas equações

representam um sistema de dois graus de liberdade cujas frequências naturais são ω ω1 23= =k

mk

m e .

Exemplo 5.5 - Frequências e Modos de um Automóvel. Determinar as frequências associadas ao movimento angular (arfagem) e linear vertical (oscilação) e a localização dos centros de oscilação de um automóvel (Fig. 5.9) com os seguintes dados: massa = m = 1000 kg raio de giração = r = 0,9 m distância entre eixo dianteiro e C.G. = l1 = 1,0 m distância entre eixo traseiro e C.G. = l2 = 1,5 m rigidez das molas dianteiras = kf = 18 kN/m rigidez das molas traseiras = kr = 22 kN/m

Solução: Se x e θ são coordenadas independentes, o diagrama do corpo livre apresentado na Fig. 5.8a, permite que as equações diferenciais do movimento sejam escritas na forma


115

)l2θ (a)

( ) ( )( ) (

mx k x l k x l

J k x l l k x l

&&

&&

= − − − +

= − − +

1 1 2 2

0 1 1 1 2 2

θ θ

θ θ

ou na forma matricial

( ) ( )( ) ( )

mJ

x k k k l k lk l k l k l k l

x00

000

1 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 12

2 22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

++ − −

− − +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

&&&&θ θ (b)

l1 l2

movimentoangular (pitch)

movimento vertical(bounce)

CGkrkf

kr

kf

CG

x

θ

Referência

CG+x +θ

O

2,65

CG+x

−θO

0,306

Figura 5.9 - Vibração de um automóvel. Figura 5.10 - Formas modais do automóvel.

Para o presente problema tem-se que k1 = kf, k2 = kr e J0 = mr2, de forma que a equação matricial (b) torna-se

( ) ( )( ) ( )

mmr

x k k k l k l

k l k l k l k l

xf r f r

f r f r

00

002

1 2

1 2 12

22

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

++ − −

− − +

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

&&&&θ θ (c)

Para obter a expressão para a vibração livre, assume-se que a solução é harmônica na forma

( ) ( ) ( ) ( )x t X t t t= + =cos cosω φ θ ω φ e Θ + (d)

Substituindo as soluções (d) na equação matricial (c) obtém-se

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+ ++ − −

− − +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+ =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

mmr

Xt

k k k l k lk l k l k l k l

Xtf r f r

f r f r

00

002

2 1 2

1 2 12

22Θ Θ

ω ω φ ω φcos cos (e)

que pode ser rearranjada para

(f) ( ) ( )( ) ( ) ( )

− + + − −

− − − + +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+ =⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

m k k k l k lk l k l mr k l k l

Xtf r f r

f r f r

ωω

ω φ2

1 2

1 22 2

12

22

00Θ

cos

Como a função cos tem valores diferentes de zero, conclui-se que

(g) ( ) ( )( ) ( )

− + + − −

− − − + +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

m k k k l k lk l k l mr k l k l

Xf r f r

f r f r

ωω

21 2

1 22 2

12

22

00Θ

Introduzindo os dados do presente problema a expressão (g) torna-se

(h) ( )( )

− +− +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1000 40000 1500015000 810 67500

00

2

2

ωω

XΘ

que possui solução não trivial quando o determinante da matriz se anula


116

) ( )(

− +− +

=1000 40000 15000

15000 810 675000

2

2

ωω

(i)

resultando na equação das frequências

(j) 8 1 999 24750 04 2, ω ω− + =

cuja solução permite a determinação das frequências naturais

ω1 = 5,8593 rad/s (k)

ω2 = 9,4341 rad/s

Substituindo estes valores na equação (h) obtém-se as formas modais

( )

( )

( )

( ) 3061,0

6461,2

2

2

1

1

=Θ

−=ΘX

X

(l)

As localizações dos nós (pontos com velocidade nula, portanto centros de rotação) podem ser obtidas observando que a tangente de um ângulo pequeno é aproximadamente igual ao próprio ângulo. Portanto, da Fig. 5.10, encontra-se a distância entre o C.G. e o nó como -2,6461 m para ω1 e 0,3061 para ω2. As formas modais estão representadas por linhas tracejadas na Fig. 5.10.

5.6 - Vibração Forçada

As equações diferenciais do movimento de um sistema genérico de dois graus de liberdade sob a ação de forças externas podem ser escritas na forma

(5.34) m mm m

xx

c cc c

xx

k kk k

xx

FF

11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

11 12

12 22

1

2

1

2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

&&

&&

&

&

Se as forças são harmônicas

(5.35) ( )F t F e jj ji t= 0 1 2ω , = ,

= ,

As soluções de regime permanente são

(5.36) ( )x t X e jj ji t= ω , 1 2

onde X1 e X2 são, em geral, quantidades complexas que dependem de ω e dos parâmetros do sistema. Substituindo (5.35) e (5.36) em (5.34) obtém-se

(5.37) ( ) ( )( ) ( )− + + − + +− + + − + +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

ω ω ω ωω ω ω ω

211 11 11

212 12 12

212 12 12

222 22 22

1

2

10

20

m i c k m i c km i c k m i c k

XX

FF

Da mesma maneira que no Capítulo 3, a impedância mecânica é definida por

(5.38) ( )Z i m i c k r srs rs rs rsω ω ω= − + + =2 1 2 , ,

e a equação (5.37) é escrita na forma

(5.39) ( )[ ] Z i X Fω = 0

onde

matriz de impedância ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )Z i

Z i Z iZ i Z i

ωω ωω ω

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =11 12

12 22

XXX

FFF

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

1

20

10

20

e

A solução da equação (5.39) é


(5.40) ( )[ ] X Z i F=−

ω1

0

onde a inversa da matriz de impedância é

( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )Z i

Z i Z i Z iZ i Z iZ i Z i

ωω ω ω

ω ωω ω

−=

−−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

1

11 22 122

22 12

12 11

1 (5.41)

Substituindo (5.41) em (5.40) resulta

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

X iZ i F Z i F

Z i Z i Z i

X iZ i F Z i F

Z i Z i Z i

122 10 12 20

11 22 122

212 10 11 20

11 22 122

ωω ω

ω ω ω

ωω ω

ω ω ω

=−

−

=− +

−

(5.42)

Introduzindo os valores de (5.42) nas soluções (5.36) obtém-se

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

x tx t

Z i F Z i FZ i Z i Z i

Z i F Z i FZ i Z i Z i

ei t1

2

22 10 12 20

11 22 122

12 10 11 20

11 22 122

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=

−−

− +−

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

⎫

⎬⎪⎪

⎭⎪⎪

ω ωω ω ω

ω ωω ω ω

ω (5.43)

Exemplo 5.6 - Resposta de Regime Permanente de um Sistema de Dois Graus de Liberdade Determinar a resposta de regime permanente do sistema mostrado na Fig. 5.11 em que a massa m1 sofre a ação da força F1(t) = F10 cos ωt. Traçar a curva de resposta em frequência.

k

k

k

x1(t)

x2(t)

F1(t) = F10 cos ωt

m

m

Figura 5.11 - Vibração forçada de um

sistema de dois graus de liberdade.

Solução: As equações do movimento podem ser escritas em forma matricial

(a) m

mxx

k kk k

xx

F t00

22 0

1

2

1

2

10⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

+−

−⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

=⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

&&

&&

cosω

Comparando a eq. (a) com (5.34) observa-se que m11 = m22 = m, m12 = 0, c11 = c12 = c22 = 0, k11 = k22 = 2k, k12 = - k, F1 = F10 cos ωt, F2 = 0. Assume-se que a solução é harmônica

117


118

= (b) ( )x t X t jj j= cos ,ω 1 2

A equação (5.38) produz

( ) ( ) ( )Z Z m k Z11 222

122ω ω ω ω= = − + =, k− (c)

A seguir X1 e X2 são obtidos utilizando a equação (5.42)

( ) ( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

Xm k F

m k k

m k Fm k m k

XkF

m k kkF

m k m k

1

210

2 2 2

210

2 2

210

2 2 2

102 2

2

2

23

2 3

ωω

ω

ωω ω

ωω ω ω

=− +

− + −=

− +

− + − +

=− + −

=− + − +

(d)

Definindo-se ω12 = k

m e ω 22 3= k

m , as equações (d) se tornam

( )

( )

X

F

k

XF

k

1

1

2

10

2

1

2

1

2

1

2

210

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωωω

ωω

ωω

=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

(e)

A Fig. 5.12 mostra as amplitudes X1 e X2 em função do parâmetro adimensional ωω1

que foi escolhido

arbitrariamente. Pode-se ver que as amplitudes X1 e X2 se tornam infinitas em ω ω ω ω= =1 e 2 que são as duas condições de ressonância para o sistema. Pode-se observar também que, para um determinado valor de ω, a amplitude X1, da massa m1(que sofre a ação da força F1(t)), se reduz para zero. Este é o fundamento do absorvedor dinâmico de vibrações que será discutido na seção seguinte.

X kF

1

10

X kF

2

10

0

−1

2

1

3

4

5

−2

−3

−4

−5

−6

0

−1

2

1

3

4

5

−2

−3

−4

−5

−6

ωω1

ωω1

1 23 4

4321

Figura 5.12 - Curvas de resposta em frequência.

5.7 - Absorvedores Dinâmicos

Em um sistema de um grau de liberdade, quando a frequência da função excitadora é igual ou próxima da frequência natural do sistema, o fenômeno da ressonância é produzido e grandes amplitudes de vibração são geradas. Para evitar este problema, uma alternativa utilizada em máquinas é modificar a frequência natural do sistema através da adequada introdução de um sistema auxiliar massa-mola (com ou sem amortecedor) constituindo-se em um absorvedor dinâmico.


5.7.1 - Absorvedor Não Amortecido Quando uma massa auxiliar m2 é conectada à massa do sistema m1, através de uma mola de rigidez k2, resulta em um sistema de dois graus de liberdade como mostra a Fig. 5.13. As equações do movimento do sistema são

(5.44) ( )

( )m x k x k x x F t

m x k x x

1 1 1 1 2 1 2 0

2 2 2 2 1 0

&& sen

&&

+ + − =

+ − =

ω

Assumindo solução harmônica na forma

119

= (5.45) ( )x t X t jj j= sen ,ω , 1 2

Considerando as matrizes que constituem a equação (5.34), que permitem o cálculo das expressões (5.38), cujos resultados são introduzidos em (5.42), chega-se a

( )( )( )

( )( ) 22

222

2121

022

22

222

2121

02

221

kmkmkkFk

X

kmkmkkFmk

X

−−−+=

−−−+−

=

ωω

ωωω

(5.46)

F0senωt Máquina (m1)

Isolador (k1)

k2

m2

x2(t)

x1(t)

Absorvedordinâmico

Base rígida

Fig. 5.13 - Absorvedor dinâmico não amortecido.

Como o absorvedor está sendo utilizado para reduzir as amplitudes de vibração na ressonância, com

ω ω212 1

1≈ = k

m , deve ser projetado de forma que o numerador da primeira das equações (5.46) seja anulado,

produzindo

ω 2 2

2

1

1

= =km

km

(5.47)

Definindo δ ω ωstF

kk

mk

m= = =0

112 1

122 2

2, , e dividindo numerador e denominador das equações (5.46)

pelo produto k1k2, chega-se a


X

kk

kk

X

kk

kk

st

st

1 2

2

2

1 1

2

2

2

2

1

2

2

1 1

2

2

2

2

1

1

1 1

1

1 1

δ

ωω

ωω

ωω

δ ωω

ωω

=−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

=

+ −⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−

(5.48)

Com absorvedor Com absorvedorSem absorvedor

0

4

8

12

16

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3ω/ω1

X1/δst

mm

2

1

1 2

120

=

=ω ω

Ω1 Ω2

Fig. 5.14 - Amplitude de vibração da máquina.

A Fig. 5.14 mostra a variação da amplitude de vibração da máquina stX δ1 com a velocidade de operação da máquina 12 ωω . As duas amplitudes de pico correspondem às duas frequências naturais do sistema composto. De acordo com o pretendido, a amplitude do sistema original é nula em ω ω= 1. Nesta freqüência a amplitude do sistema auxiliar é

Xkk

Fkst2

1

2

0

2

= − = −δ (5.49)

Introduzindo (5.49) em (5.45) para j = 2, obtém-se

( )x t Fk

t20

2

= − senω (5.50)

que pode ser escrita na forma

(5.51) ( )k x t F t2 2 0= − senω

concluindo-se que o absorvedor (massa e mola auxiliares) atuam sobre a massa principal com uma força igual a −F0 sen tω que neutraliza a força externa aplicada F0 sen tω . Como este efeito é obtido desde que o absorvedor possua frequência natural igual à frequência de operação, os parâmetros m2 e k2 são obtidos estabelecendo limites para a amplitude X2 deste mesmo absorvedor. Embora tenha sido projetado para uma determinada frequência de operação da máquina, o absorvedor pode atuar satisfatoriamente em uma faixa de frequências em torno desta freqüência de operação. Nesta faixa a amplitude X1 não se anula mas mantém-se com valores inferiores a um limite previamente estabelecido. A Fig. 5.14 mostra que existe uma faixa de frequências, entre as duas novas frequências de ressonância Ω1 e Ω2. O surgimento destas novas frequências de ressonância é uma desvantagem do absorvedor dinâmico. Este efeito, entretanto, pode ser reduzido através da introdução de amortecimento, como mostra a seção 5.7.2. Observando que

2

1

2

1

1

1

2

2

2

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

ωω

µkm

mm

mk

kk (5.52)

onde 12 mm=µ , os valores de Ω1 e Ω2 são obtidos igualando a zero o denominador das equações (5.48), resultando

120


( )ωω

ωω

ωω

µ ωω2

4

2

1

2

2

2

2

1

2

1 1 1 0⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ = (5.53)

cujas raízes são as frequências naturais procuradas

( ) ( )Ω1 2

2

2

1

2

2

1

2 2

2

1

21

2

2

1

2

1 1 1 1 4

2

,

ω

µ ωω

µ ωω

ωω

ωω

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+ +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

m

(5.54)

A eq. (5.54) mostra que as novas frequências naturais dependem exclusivamente das relações entre as massas do absorvedor e sistema principal µ e entre as frequência naturais destes dois sistemas 12 ωω . Se o absorvedor for projetado obedecendo rigorosamente a condição ω1 = ω2 = ω a equação (5.54) assume uma forma mais simplificada

( ) ( )[ ]Ω1,2

2

122 2

2ωµ µ µ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

+ +m (5.55)

Exemplo 5.7 - Absorvedor de Vibrações para um Motor Diesel Um motor diesel, pesando 3000 N, está montado sobre um pedestal. Observou-se que o motor induz vibrações na área através do pedestal quando opera a 6000 rpm. Determinar os parâmetros do absorvedor que reduzirão as vibrações do motor quando montado no pedestal. A magnitude da força que produz a vibração no motor é 250 N, e a amplitude do movimento da massa auxiliar está limitada em 2 mm.

Solução: A frequência de vibração da máquina é

f = = =6000

60100 628 32 Hz ou rad / segω ,

Como o movimento do pedestal deve ser eliminado, a amplitude do movimento da massa auxiliar deve ser igual e oposta à força excitadora. Da equação (5.51) chega-se a

2222220 XmXkF ω==

Substituindo os dados, considerando (5.47)

( ) ( )250 628 32 0 002 0 316632

2

2= → =m m, , , kg

A rigidez da mola do absorvedor é obtida, também, pela equação (5.47)

( ) ( )k m22

2

2628 32 0 31663 125000= = =ω , , N / m

Exemplo 5.8 - Absorvedor para um Conjunto Motor-Gerador Um conjunto motor-gerador, mostrado na Fig. 5.15, é projetado para operar na faixa de 2000 a 4000 rpm. Entretanto, o conjunto vibra violentamente em 3000 rpm devido a um pequeno desbalanceamento no rotor. Propõe-se colocar uma viga engastada com uma massa na extremidade como absorvedor para eliminar o problema. Quando a viga com uma massa de 2 kg, sintonizada a 3000 rpm, é ligada ao conjunto, as frequências naturais do sistema obtidas foram de 2500 rpm e 3500 rpm. Projetar o absorvedor a ser ligado (especificando sua massa e sua rigidez) de forma que as frequências naturais do sistema fiquem fora da faixa de operação do conjunto motor-gerador.

121


Absorvedor devibração

Motor Gerador

Figura 5.15 - Conjunto motor-gerador com absorvedor dinâmico.

Solução: As frequências naturais ω1 do motor-gerador e ω2 do absorvedor são dadas por

ω ω11

12

2

2

= =km

km

, (a)

As frequências naturais Ω1 e Ω2, do sistema combinado, são dadas pela equação (5.54). Como o absorvedor com massa m2 = 2 kg está sintonizado, ω1 = ω2 = 314,16 rad/seg (correspondente a 3000 rpm). Usando a notação

µω ω

= = =mm

r r2

11

1

22

2

2

, , e Ω Ω

a equação (5.54) se torna

r1,22

2

12

12

1= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−µ µ

m (b)

Como Ω1 = 261,80 rad/seg (2500 rpm) e Ω2 = 366,52 rad/seg (3500 rpm) tem-se

r

r

11

2

22

2

26180314 16

0 83333

366 52314 16

1 6667

= = =

= = =

Ω

Ωω

ω

,,

,

,,

,

portanto

r12

2

12

12

1= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−µ µ

ou

µ =+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ −

rr

14

12

12 (c)

Como r1 = 0,8333, a equação (c) produz µ = 0,1345 e m1 = m2/ µ = 14,870 kg. O limite inferior especificado para Ω1 é 2000 rpm = 209,44 rad/seg , portanto

r11

2

209 44314 16

0 66667= = =Ωω

,,

,

Com este valor de r1, a equação (c) produz µ = 0,6942 e m2 = µ m1 = 10,323 kg. Com este novo valor de µ, a segunda frequência natural pode ser obtida por

r22

2

12

12

1 2 2497= +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− =µ µ ,

122


resultando em Ω2 = 4499,4 rpm, que é maior que o limite superior especificado de 4000 rpm. A rigidez da mola do absorvedor é, então dada por

123

m ( ) ( )k m2 22

2

2 6314 16 10 323 1 0188 10= = = ×ω , , , N /

5.7.2 - Absorvedor Amortecido O absorvedor dinâmico descrito na seção 5.7.1 remove o pico original de ressonância na curva de resposta em frequência da máquina mas introduz dois novos picos. Se for necessário reduzir a amplitude de vibração da máquina em uma faixa de frequência, se deve usar um absorvedor dinâmico amortecido como o mostrado na Fig. 5.16. As equações do movimento das duas massa são

(5.56) ( ) ( )

( ) ( )m x k x k x x c x x F t

m x k x x c x x1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 0

2 2 2 2 1 2 2 1 0

&& & & sen

&& & &

+ + − + − =

+ − + − =

ω

F0senωt Máquina (m1)

Isolador (k1)

k2

m2

x2(t)

x1(t)

Absorvedordinâmico

Base rígida

c2

Figura 5.16 - Absorvedor dinâmico amortecido.

Assumindo solução harmônica na forma

(5.57) ( )x t X t jj j= sen ,ω , 1 2=

se obtém as amplitudes

( )( )( )[ ] ( )

( )( )

Xk m i c F

k m k m m k k i c k m m

XX k i c

k m i c

12 2

22 0

1 12

2 22

2 22

22

2 1 12

22

21 2 2

2 22

2

=− +

− − − − + − −

=+

− +

ω ω

ω ω ω ω ω

ωω ω

ω (5.58)

Definindo δ ω ωstF

kk

mk

m= = =0

112 1

122 2

2, , , 12

2

11

2 2 com , , ωζωω

ωω

mccc

=qp cc

=== as equações

(5.58) conduzem a

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )X q q p

q q q p q q q pst

1

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 22

2

2 1 1δζ

ζ µ µ=

+ −

− + + − − − (5.59)

A curva de stX δ1 em função de 1ωω está mostrada na Fig. 5.17 para p = 1 e µ = 1/20 para uns poucos valores diferentes de ζ. Para amortecimento nulo, a curva é a mesma mostrada na Fig. 5.14. Quando o amortecimento é


infinito, as duas massas estão rigidamente ligadas e o sistema se comporta como de um grau de liberdade. O principal efeito do amortecimento, mostrado para a curva com ζ = 0,1, é a atenuação dos picos de amplitudes nas ressonâncias. Isto, porém, produz um aumento das amplitudes na frequência de operação da máquina. Isto faz com que se deva tomar um certo cuidado quando se introduz amortecimento no sistema.

ζ = 0

0

4

8

12

16

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3ω/ω1

X1/δst

mm

a n

2

1

120

=

=ω ω

ζ = 0ζ = ∞

ζ = 0,1

Figura 5.17 - Resposta em frequência do absorvedor dinâmico amortecido.

124

Apostila de Mecânica das Vibrações - Capítulo 6 - Medição de Vibrações

Capítulo 6 - Medição de Vibrações

6.1 - Introdução

Em engenharia mecânica, uma das principais aplicações das vibrações está na manutenção. A existência de vibrações em máquinas e equipamentos é, geralmente indicação de mal funcionamento. A manutenção preditiva tem como um dos seus pilares a análise qualitativa e quantitativa das vibrações. Basicamente, o estudo das vibrações requer três passos básicos:

1- a medição da vibração; 2- a análise do sinal vibratório medido; 3 - o controle da vibração, mediante algum procedimento de manutenção.

A análise das vibrações exige que as mesmas sejam perfeitamente identificadas. Isto acontece por meio de um processo de medição. É extremamente importante a correta medição da vibração para que o processo de análise e a conseqüente correção não sejam comprometidos. A medição serve então para assegurar o bom funcionamento de uma máquina, confirmar suposições teóricas, auxiliar no projeto e operação de sistemas de isolamento ativos, identificação de sistemas através da medição de variáveis de entrada e saída, informação de vibrações originadas por terremotos, ação de turbulência fluida, ação de vento em estruturas, irregularidades de vias, e no acompanhamento do estado de máquinas no processo da manutenção preditiva. O processo de medição, ilustrado na Fig. 6.1, parte da identificação de uma característica do fenômeno vibratório que possa ser medida, geralmente uma variável mecânica (deslocamento, velocidade, aceleração ou força). O elemento que entra em contato com a máquina para medir esta variável é o transdutor que cumpre a função de converter o sinal mecânico em um sinal elétrico (corrente elétrica) que é amplificado e convertido em um sinal digital ou mostrado em um display. O sinal digital pode ser armazenado em um computador. Ainda antes de sofrer a conversão para digital, o sinal pode ser gravado em um gravador especial. Após armazenados, os dados estão disponíveis para a análise.

Máquina ouestruturavibratória

Transdutorou sensor de

vibração

Instrumentode conversão

do sinal

Unidade deapresentação ou

armazenagem(display, gravadorou computador)

Análise dedados

Figura 6.1 - Esquema básico de medição de vibrações.

Os principais instrumentos medidores de vibração são os medidores de deslocamentos, também chamados vibrômetros, os medidores de velocidade, os acelerômetros (medidores de aceleração), os medidores de fase e de frequência (frequencímetros, tacômetros). Uma das aplicações mais freqüentes da medição de vibração se dá quando se pretende determinar as características de ressonância de um determinado sistema. A Fig. 6.2 apresenta um esquema em que se ilustra a utilização de instrumentos para determinação de características dinâmicas de uma máquina. Nela um gerador de função manda a informação para um shaker (vibrador eletrodinâmico ou eletrohidráulico), produzindo uma vibração com características previamente definidas. A vibração gerada, é analisada através de metodologia adequada a fim de determinar as características desejadas do sistema.

Máquinavibratória

80

2.5

Gerador defunção

Shaker

SensorAmplificador

AnalisadorEspectral

Figura 6.2

125


6.2 - Escolha do instrumento de medição

Alguns aspectos devem ser considerados quando se escolhe o instrumento de medição.

1) Faixa de frequências e amplitudes

Um dos principais parâmetros determinantes da escolha do instrumento adequado é a faixa de frequências. Em baixas frequências a amplitude de deslocamento normalmente é alta o que faz com que os vibrômetros sejam adequados para medir as vibrações. Já em altas frequências as amplitudes de deslocamento são baixas e as amplitudes da aceleração são altas fazendo com que os acelerômetros apresentem maior sensibilidade. Os medidores de velocidade são de aplicação geral, pois apresentam desempenho razoável tanto em baixa como em alta frequência. Os medidores de velocidade são também, largamente utilizados por serem de fácil e barata construção. Cada instrumento pode ter suas características adequadas (projeto) para medir faixas específicas de amplitudes e frequências.

2) Tamanho da máquina ou estrutura.

Os tamanhos de máquinas e estruturas são importantes, pois instrumentos que possuam grandes massas comparativamente às dos objetos de medição podem influir na medição das vibrações medidas distorcendo-as.

3) Condição de operação da máquina.

Condições de funcionamento severas, experimentadas por máquinas que operam em ambientes corrosivos ou abrasivos, por exemplo, podem impedir que instrumentos sofisticados sejam utilizados. É importante que os instrumentos não sejam danificados no ato da medição, pois isto pode também distorcer os valores medidos.

4) Tipo de análise dos dados.

A forma com que os dados gerados serão analisados é fundamental para a escolha do instrumento de medição. Vários detalhes no processo de medição estão condicionados pela análise que será realizada. Isto pode fazer com que determinado instrumento possa ser escolhido, preterindo-se outro mais sofisticado, por apresentar os dados de uma forma mais apropriada para a análise pretendida.

6.3 - Transdutores

Os transdutores, como foi dito acima, transformam variáveis físicas em sinais elétricos equivalentes. Os tipos de transdutores dependem, fundamentalmente, da variável que os mesmos transformam. São apresentados nesta seção os principais tipos de transdutores e o seu princípio de funcionamento.

6.3.1 - Transdutores de Resistência Variável Este tipo de transdutor tem um princípio de funcionamento que se baseia na variação na resistência elétrica de um elemento, produzida pelo movimento. O movimento gera a deformação de uma resistência elétrica, alterando suas características de forma a produzir uma variação da voltagem de saída do circuito elétrico do qual este elemento faz parte. O transdutor mais utilizado deste tipo é o extensômetro cujo esquema é mostrado na Fig. 6.3.

Papel fino

Arame fino

Massa

Filamentos

Papel fino

Arame fino X

X

Figura 6.3 - Extensômetro

Um extensômetro elétrico consiste de um arame fino cuja resistência varia quando o mesmo é submetido a uma deformação mecânica. Quando o extensômetro é colado a uma estrutura, sofre a mesma deformação que a estrutura e, portanto, a variação em sua resistência indica a deformação sofrida pela estrutura. O arame é montado entre duas lâminas de papel fino. O material com que mais comumente é construída a resistência é uma liga de cobre e níquel conhecida como Advance.

Quando a superfície em que o extensômetro foi montado sofre uma deformação normal ε, o extensômetro também sofre a mesma deformação e a variação em sua resistência é dada por

126


KR

RL

L

rr

LL

= = + + ≈ +∆

∆∆ ∆1 2 1 2ν ν (6.1)

onde K é o fator de ponte do arame, R a resistência inicial, ∆R a variação da resistência, L o comprimento inicial do arame, ∆L a variação no comprimento do arame, ν o coeficiente de Poisson do arame, r a resistividade do arame e ∆r a variação na resistividade do arame. O valor do fator K é dado pelo fabricante do extensômetro e, portanto, o valor de normal ε, pode ser determinado, medindo-se ∆R e R, na forma

ε = =∆ ∆LL

RRK

(6.2)

Quando o transdutor é usado em conjunto com outros componentes que permitem o processamento e a transmissão do sinal, se transforma em um sensor (pickup). Em um sensor de vibração o extensômetro é montado em um elemento elástico de um sistema massa-mola como mostra a Fig. 6.4. A deformação em qualquer ponto do membro elástico (viga engastada-livre) é proporcional à deflexão da massa, x(t), a ser medida. A variação na resistência do arame ∆R pode ser medida usando uma ponte de Wheatstone, um circuito potenciométrico e um divisor de voltagem. Uma ponte de Wheatstone típica, representando um circuito que é sensível a pequenas mudanças na resistência, é mostrado na Fig. 6.5. Aplica-se uma voltagem de alimentação d.c. V entre os pontos a e b.

mFilamentos

Extensômetro

Viga engastada

x(t)

Base

R1R2

R3R4

E

V

d

a c

b

Figura 6.4 - Esquema do sensor. Figura 6.5 - Ponte de Wheatstone.

A voltagem resultante entre os pontos b e d é dada por

( )( )ER R R R

R R R RV=

−+ +

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

1 3 2 4

1 2 3 4

(6.3)

Inicialmente as resistências são balanceadas, de forma que a voltagem de saída é zero. Portanto, para balanço inicial, a eq. (6.3) produz

R R R R1 3 2 4= (6.4)

Quando as resistências (Ri) variam em pequenas quantidades (∆Ri), a variação na voltagem de saída pode ser expressa como

∆∆ ∆ ∆ ∆

E V rR

RR

RR

RR

R≈ − + +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟0

1

1

2

2

3

3

4

4

(6.5)

onde

( ) ( )

rR R

R R

R R

R R0

1 2

1 2

23 4

3 4

2=+

=+

(6.6)

Se os terminais do extensômetro são conectados entre os pontos a e b , R1 = Rg, ∆R1 = ∆Rg, e ∆R2 = ∆R3 = ∆R4 = 0, e a eq. (6.5) nos dá

127


∆ ∆RR

EV r

g

g

=0

(6.7)

onde Rg, é a resistência inicial do arame. As equações (6.2) e (6.7) produzem

∆ ∆RR

KE

V rg

g

= =ε0

(6.8)

ou

(6.9) ∆E KV r= 0ε

e, como a voltagem de saída é proporcional à deformação, o instrumento pode ser calibrado para que a deformação possa ser lida diretamente.

6.3.2 - Transdutores Piezoelétricos Transdutores piezoelétricos são aqueles que utilizam materiais naturais ou artificiais, como quartzo, turmalina, sulfato de lítio e sal de Rochelle, que geram carga elétrica quando submetidos a uma deformação (esta é chamada de propriedade piezoelétrica). A carga elétrica gerada no cristal devida a uma força Fx é dada por

Q K F K A px p x p= = x (6.10)

onde Kp é chamada de constante piezoelétrica (2,25x10-12 Coulomb/Newton para o quartzo, quando a maior face está ao longo do eixo x do cristal, Fig. 6.6), A é a área em que atua a força Fx, e px é a pressão devida à mesma força. A voltagem de saída do cristal é

(6.11) E t px= υ

ν é a sensibilidade de voltagem (0,055 volt-metro/Newton para o quartzo, também quando a maior face está ao longo do eixo x do cristal, Fig. 6.6) e t a espessura do cristal.

E

Fx

Fx = A px

t

Massa

Mola

DiscospiezoelétricosFilamentos

(a)

(b) Figura 6.6 - Acelerômetro piezoelétrico.

A Fig. 6.6b mostra o esquema de um acelerômetro piezoelétrico. Uma pequena massa é pressionada contra um cristal piezoelétrico por meio de uma mola. Quando a base vibra, a carga exercida pela massa sobre o cristal varia com

128


a aceleração e, portanto, a voltagem de saída gerada pelo cristal será proporcional à aceleração. Os acelerômetros piezoelétricos são compactos, resistentes, com alta sensibilidade e utilizáveis em altas faixas de frequência.

6.3.3 - Transdutores Eletrodinâmicos Quando um condutor elétrico, na forma de um solenóide, se move em um campo magnético, produzido por um imã permanente ou por um eletroimã, como mostra a Fig. 6.7, é gerada uma voltagem V neste mesmo condutor, dada por

(6.12) V D l v=

onde D é a densidade de fluxo magnético (em Teslas), l é o comprimento do condutor (em metros), e v é a velocidade do condutor em relação ao campo magnético (em metros/segundo). Em virtude da proporcionalidade entre a velocidade relativa entre imã e solenóide e a voltagem de saída, os transdutores eletromagnéticos são freqüentemente utilizados em sensores de velocidade. A eq. (6.12) pode ser escrita na forma

D l Vv

FI

= = (6.13)

onde F é a força que age sobre o solenóide quando pelo mesmo passa uma corrente I. Desta forma este tipo de transdutor pode também ser utilizado como um excitador de vibrações (a partir de uma corrente elétrica introduzida gera-se uma força mecânica)

E

SS N N

v

Ei Enrolamentoprimário

Enrolamentossecundários

Voltagem dealimentação

Deslocamento

EO = Voltagemde saida

Figura 6.7 - Transdutor eletrodinâmico. Figura 6.8 - LVDT.

6.3.4 - Transformador Diferencial Linear Variável (LVDT) A Fig. 6.8 mostra um LVDT que é um transdutor que transforma deslocamento em voltagem elétrica. Consiste de um enrolamento primário no centro, dois enrolamentos secundários nas extremidades, e um núcleo magnético que se move livremente dentro dos enrolamentos, na direção axial. Quando uma corrente alternada é aplicada no enrolamento primário, a voltagem de saída é igual à diferença entre as voltagens induzidas nos enrolamentos secundários. Esta voltagem depende do acoplamento magnético entre os enrolamentos e o núcleo, que, por sua vez, depende do deslocamento axial do núcleo. Os enrolamentos secundários estão conectados em oposição de fase de forma que, quando o núcleo magnético está exatamente na sua posição média, as voltagens nos dois enrolamentos serão iguais e em oposição de fase. Isto faz com que a voltagem de saída do LVDT seja zero. Quando o núcleo é movido para qualquer lado, o acoplamento magnético será aumentado em um enrolamento e diminuído no outro. A polaridade da saída depende, portanto, do sentido do movimento do núcleo magnético. Os LVDTs disponíveis no mercado abrangem faixas de deslocamento entre 0,0002 cm a 40 cm, o que os torna de ampla aplicabilidade. Estes transdutores não sofrem influência de variações de temperatura, mas têm limitação em altas frequências por possuírem o núcleo magnético. Desde que o núcleo não se mova demasiadamente do centro do enrolamento primário, a voltagem de saída varia linearmente com o deslocamento do núcleo, originando-se o nome de transformador diferencial variável linear.

6.4 - Sensores de Vibração (Pickups)

Um sensor de vibração é um instrumento constituído de um mecanismo medidor associado a um transdutor. A Fig. 6.9 apresenta um instrumento sísmico montado em um corpo vibratório. O movimento vibratório é medido achando-se o deslocamento da massa em relação à base na qual é montado.

129


x(t)

y(t)

ck T

m

Figura 6.9 - Instrumento sísmico.

O instrumento consiste de uma massa m, uma mola de rigidez k e de um amortecedor de constante de amortecimento c, colocados dentro de uma caixa, que é ligada ao elemento vibratório. Com este arranjo, as extremidades da mola e do amortecedor executarão o mesmo movimento que a caixa (movimento y) e a sua vibração excita a massa dentro da caixa. O movimento da massa em relação à caixa é z = x - y, em que x é o movimento absoluta da massa m. Assume-se que o movimento vibratório é harmônico, possuindo a forma

(6.14) ( )y t Y t= sen ω

A equação do movimento da massa m pode ser escrita como

(6.15) ( ) ( )mx c x y k x y&& & &+ − + − = 0

Definindo o movimento relativo como

z x y= − (6.16)

a equação (6.15) é escrita como

(6.17) mz cz kz my&& & &&+ + = −

e as equações (6.14) e (6.17) conduzem a

(6.18) mz cz kz m Y t&& & sen+ + = ω 2 ω

−

Esta equação é idêntica à eq. 3.66 e a solução de regime é

(6.19) ( )z t Z t= sen( )ω φ

onde Z e φ são dados por

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

ZY

k m c

r Y

r r=

− +=

− +

ω

ω ω ζ

2

2 2 21

2

2

2 2 21

21 2

(6.20)

φω

ωζ

=−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−tan tan12

12

21

ck m

rr

− (6.21)

com rn

=ωω

e ζω

=c

m n2.

As Figuras 6.10 e 6.11 mostram as curvas correspondentes às equações (6.20) e (6.21), respectivamente. O tipo de instrumento é determinado pela faixa mais adequada de frequências da curva mostrada na Fig. 6.10.

130


Razão de frequências (r)0 1

1

2

2

3

3

4

4 5

Faixa do vibrômetroFaixa doacelerômetro

z = 0,7z = 1,0

z = 0,5

z = 0,25

z = 0Z/

YR

elaç

ão d

e am

plitu

des

0 1 2 3 4

30o

60o

90o

120o

150o

180o

Razão de frequências (r)

Âng

ulo

de fa

se (φ

)

ζ = 0

ζ = 0,25

ζ = 0,5

ζ = 0,7

ζ = 1,0

ζ = 1,0

ζ = 0,7

ζ = 0,5ζ = 0,25

ζ = 0

5

Figura 6.10 - Resposta de um instrumento sísmico. Figura 6.11 - Ângulo de fase.

6.4.1 - Vibrômetro Um vibrômetro, também chamado de sismômetro é um instrumento que mede o deslocamento de um corpo vibratório. A Fig. 6.10 mostra que Z

Y ≈ 1 para ωωn

≥ 3. Nesta faixa de frequências a amplitude do deslocamento

relativo entre a massa e a base é igual à amplitude do deslocamento da base. Este deslocamento é identificado pelo transdutor. Para uma análise exata, consideremos a eq. (6.20). Para esta faixa de frequências pode-se escrever

(6.22) ( )z t Y t= sen( )ω φ−

se ( ) ( )[ ]

r

r r

2

2 2 21

21 2

1− +

≈ζ

(6.23)

Uma comparação da eq. (6.22) com (6.14) mostra que z(t) representa diretamente o deslocamento y(t) com uma defasagem dada por φ. O deslocamento registrado z(t), então está atrasado t’=φ/ω em relação ao deslocamento que deve ser medido y(t). Este tempo de atraso não é importante se o deslocamento da base y(t) consiste de um único componente harmônico. Como r = ω/ωn, deve ser grande e ω depende da vibração medida, a frequência natural do sistema massa-mola-amortecedor deve ser baixa. Isto implica em que a massa deve ser grande e a mola deve possuir uma rigidez baixa. O instrumento resultante pode ser demasiado grande e pesado.

6.4.2 - Acelerômetro Um acelerômetro é um instrumento que mede a aceleração de um corpo vibratório (Fig. 6.12). Os acelerômetros são amplamente utilizados em medições de vibrações industriais e terremotos. Uma das vantagens da medição da aceleração é que a velocidade e o deslocamento podem ser obtidos por integração, o que é computacionalmente fácil. A equação (6.19) combinada com (6.20), pode ser escrita na forma

( )( ) ( )[ ]

([ωζ

ω ωn z tr r

Y t2

2 2 21

2

21

1 2=

− +−sen )]φ (6.24)

Se

( ) ( )[ ]

1

1 21

2 2 21

2− +

≈r rζ

(6.25)

eq. (6.24) se torna

( ) ( )ω ω ωn z t Y t2 2= sen φ−

ω

(6.26)

Como a segunda derivada em relação ao tempo de (6.14) é dada por

(6.27) ( )&& seny t Y t= − ω 2

131


a amplitude da função harmônica expressa na eq. (6.26) é igual à da eq. (6.27). Então, nestas condições, o deslocamento relativo z(t) expressa a aceleração da base, com o sinal invertido, um atraso que é função do ângulo de fase φ, e com um fator de escala determinado pela frequência natural ao quadrado.

Anel de pré-cargaElemento

triangular central

Elementopiezoelétrico

Massasísmica

Razão de frequências (r)

1,25

1,00

0,750,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00

( ) ( )1

1 22 2 2− +r rζ

ζ = 1

ζ = 0,7

ζ = 0,5

ζ = 0,25

ζ = 0

Figura 6.12 - Acelerômetros Figura 6.13 - Curvas de linearidade do acelerômetro.

A Fig. 6.13 mostra o gráfico da expressão (6.25). Pode-se observar que a função assume valores entre 0,96 e 1,04 para , se o fator de amortecimento é da ordem de 0,65 a 0,7, produzindo a melhor faixa linear de funcionamento do instrumento. Como a relação de frequências r é pequena, a frequência natural do instrumento deve ser grande em comparação com a frequência que deve ser medida. Desta maneira os acelerômetros devem possuir massa pequena e grande rigidez, o que permite a construção de instrumentos compactos e resistentes, com alta sensibilidade. Na prática são os melhores instrumentos para se medir vibrações, tendo contra si apenas o custo, que, em virtude da necessidade de se utilizar um elemento piezoelétrico e amplificadores (além da tecnologia construtiva), é maior que o custo de outros instrumentos de construção mais simples.

0 0≤ ≤r ,6

ω

6.4.3 - Sensor de velocidade Este sensor mede a velocidade do corpo vibratório. Derivando a eq. (6.14) obtém-se a velocidade do corpo vibratório como (6.28) ( )& cosy t Y t= ωe a derivada da eq. (6.19), considerando a eq. (6.20), leva a

( )( ) ( )[ ]

(& cosz tr Y

r rt=

− +−

2

2 2 21

21 2

ω

ζω φ)

)− φ

(6.29)

Se a eq. (6.23) é satisfeita, então (6.29) torna-se

(6.30) ( ) (& cosz t Y t= ω ω

que, comparada com a eq. (6.28) mostra que a velocidade do movimento relativo é igual à velocidade do movimento da base, com um atraso determinado pelo ângulo de fase. Como nesta situação o valor de r deve ser grande, o instrumento deve possuir uma frequência natural baixa. Os sensores de velocidade são largamente utilizados em medição de vibração na manutenção em indústrias, porque são normalmente de baixo custo por serem de fácil construção (transdutores eletromagnéticos).

132


6.5 - Medidores de Frequência

A maioria dos medidores de frequência são mecânicos e baseados no princípio da ressonância.

l

(a) (b) Figura 6.14 - Medidores de frequência.

6.5.1 - Tacômetro de Fullarton Consiste de uma fita cantilever com uma massa em sua extremidade livre. A outra extremidade da fita é presa por um parafuso de forma que o seu comprimento pode ser alterado facilmente, como mostra a Fig. 6.14a. Como cada comprimento da fita corresponde a uma frequência natural diferente, é marcada uma escala ao longo do comprimento em termos de sua frequência natural. Na prática, a extremidade presa é ligada a um corpo vibratório, e o mecanismo do parafuso é manipulado alterando o comprimento da fita até que a extremidade livre atinja a maior amplitude de vibração, quando a frequência da excitação é praticamente igual à frequência natural do instrumento, podendo ser lida diretamente da escala.

6.5.2 - Tacômetro de Frahm Consiste de várias fitas cantilever com pequenas massas em suas extremidades livres (Fig. 6.14b). Cada fita tem uma frequência natural diferente. Quando o instrumento é montado sobre um corpo vibratório, a fita cuja frequência natural mais se aproxima da frequência da vibração, vibrará com a maior amplitude.

6.5.3 - Estroboscópio Um estroboscópio é um instrumento que produz pulsos luminosos intermitentes. A frequência com que a luz pulsa pode ser alterada e lida no instrumento. Quando um ponto específico do objeto vibratório é observado através do estroboscópio, este parece parado se a frequência dos pulsos luminosos coincidir com a frequência da vibração. O estroboscópio é especialmente indicado para corpos rotativos pois não é necessário o contato do instrumento com o elemento vibratório. Devido à persistência da visão, e menor frequência que pode ser medida com um estroboscópio é de aproximadamente 15 Hz. A Fig. 6.15 mostra um estroboscópio típico.

Figura 6.15 - Estroboscópio.

133


6.6 - Excitadores de Vibrações

x(t) = r sen ωt

F(t) = mω2r sen ωt

F(t) = kr sen ωt

k

(a) (b) Figura 6.16 - Excitadores mecânicos.

Conhecidos em laboratórios como shakers, ou mais popularmente como vibradores, são, normalmente, transdutores que funcionam na forma inversa dos medidores: transformam uma grandeza elétrica em uma grandeza mecânica. São utilizados para provocar a vibração com amplitude e frequência controladas em um sistema, e com isto, determinar características dinâmicas dos mesmos sistemas e realizar testes de fadiga em materiais. Podem ser mecânicos, eletromagnéticos, eletrodinâmicos ou hidráulicos.

6.6.1 - Excitadores Mecânicos A Fig. 6.16 ilustra a aplicação de transdutores mecânicos. Constitui-se de um mecanismo biela-manivela que pode ser utilizado para aplicar na estrutura uma força de inércia harmônica (Fig. 6.16a) ou uma força elástica harmônica (Fig. 6.16b). São normalmente usados para produzir vibração de baixa frequência (até 30 Hz) e pequenas cargas (até 700 N). Outro tipo de excitador mecânico, mostrado na Fig. 6.17, produz vibração originada pela força centrífuga criada por duas massas excêntricas girando com a mesma velocidade de rotação em sentidos opostos. Este tipo de excitador pode gerar cargas de 250 N a 25000 N. Se as duas massas m, girando com velocidade angular ω com uma excentricidade R, a força vertical gerada é

(6.31) ( )F t mR t= 2 2ω cosω

As componentes horizontais das duas massas se cancelam. A força F(t) será aplicada à estrutura em que o excitador for fixado.

mω

Rm ω

R

F(t) = 2mRω2 cos ωt

Viga

Colunas

Excitador

Figura 6.17 - Excitador de vibrações com massas excêntricas.

6.6.2 - Excitador Eletrodinâmico

134


O excitador eletrodinâmico, ilustrado na Fig. 6.18, funciona de forma inversa ao transdutor eletrodinâmico. Quando a corrente elétrica passa em um enrolamento de comprimento l, imerso em um campo magnético, é gerada uma força F, proporcional à corrente I e à intensidade de fluxo magnético D, acelerando a base do excitador.

F DIl= (6.32)

Mesaexcitadora Suporte

flexível

Elementomóvel

Solenóide Imã

(a)

Aceleração Frequência natural dosuporte flexível

Frequência natural doelemento móvel

Aceleraçãoconstante

Faixa de operaçãoFrequência

(b) Figura 6.18 - Excitador eletrodinâmico e características. Figura 6.19 - Excitador eletrodinâmico.

O campo magnético é produzido por um imã permanente em excitadores pequenos e por um eletroimã em grandes excitadores. A magnitude da aceleração da mesa depende da corrente máxima e das massas da mesa e do elemento móvel do excitador. Se a corrente que passa no enrolamento varia harmonicamente (corrente alternada), a força produzida também varia harmonicamente. Por outro lado, se for utilizada uma corrente contínua, será gerada uma força constante. Os excitadores eletrodinâmicos também podem ser utilizados com uma inércia ou uma mola, para fazer vibrar a estrutura, como nos casos da Fig. 6.16.

Como o enrolamento e o elemento móvel devem executar um movimento linear, devem ser suspensos por um suporte flexível (com uma rigidez pequena), como mostra a Fig. 6.18a. Então o excitador eletromagnético possui duas frequências naturais: uma correspondente à frequência natural do suporte flexível e a outra correspondente à frequência natural do elemento móvel, que pode ser tornada bastante grande. Estas duas frequências de ressonância são mostradas na Fig. 5.18b. A faixa de frequências de operação do excitador deve ficar entre estas duas frequências de ressonância.

Os excitadores eletrodinâmicos são usados para gerar forças até 30 kN, deslocamentos até 25 mm, e frequências na faixa entre 5 Hz a 20 kHz. A Fig. 6.19 mostra uma foto de um excitador eletrodinâmico utilizado na prática.

135

Apostila de Mecânica das Vibrações - Capítulo 7 - Análise de Vibrações

Capítulo 7 - Análise e Diagnóstico de Vibrações

7.1 - Introdução

A análise da vibração consiste em identificar características do sinal vibratório que possam ser utilizadas para conhecimento das características do sistema. A análise direta da vibração no tempo, normalmente, não apresenta muita informação útil. É necessária que ela seja processada adequadamente para que as suas características sejam identificadas. A resposta em frequência (conseguida através da transformada de Fourier) mostra as frequências em que a energia vibratória se concentra. A Fig. 7.1a mostra um registro no tempo de uma medição realizada em um rotor vertical. O sinal tem características de difícil interpretação. O espectro em frequência mostrado na Fig. 7.1b, entretanto, apresenta uma clara predominância de uma determinada frequência em relação às demais. Isto pode ser utilizado para identificar a causa da vibração, por exemplo: a velocidade de rotação do rotor é igual à frequência predominante).

Registro da vibração

-0.0008-0.0004

00.00040.0008

00.

10.

20.

30.

40.

50.

60.

70.

80.

9 11.

1

Tempo (seg)

Am

plitu

de (m

m)

Transformada de Fourier

00.010.020.030.04

0 10 20 29 39 49 59 68 78 88 98

Frequência (Hz)

Am

plitu

de (m

m)

(a) (b)

Figura 7.1 - Registro da vibração e espectro (Transformada de Fourier).

Uma das possíveis aplicações está no diagnóstico de problemas em máquinas. Uma vez identificado um nível vibratório alto, o principal problema é identificar a origem da vibração. Isto é feito, normalmente utilizando-se um processo de eliminação de causas. A maior amplitude de vibração está normalmente próxima à parte da máquina onde se localiza o problema. Se um estudo inicial nas medições revela que amplitudes dominantes ocorrem em uma determinada frequência, é provável que o problema esteja ocorrendo na região da máquina em que algum elemento opera com esta determinada frequência e as amplitudes medidas são maiores. A análise da vibração é o processo em que são identificados as causas da vibração através da medição adequada dos níveis vibratórios.

7.2 - Análise Modal

Qualquer resposta dinâmica de uma máquina ou estrutura pode ser obtida por superposição de seus modos naturais (ou normais) de vibração quando as amplitudes do sistema são pequenas (regime linear). Uma descrição dinâmica completa da máquina ou estrutura requer a determinação das freqüências naturais, formas modais, e parâmetros do sistema (massas, rigidezes, e constantes de amortecimento equivalentes). A função de resposta em freqüência cumpre um papel importante na análise modal experimental. Ela é determinada experimentalmente e então analisada para determinação das freqüências naturais, formas modais, e parâmetros do sistema (que podem ser usados, também, para predição das respostas às várias excitações ou para melhorar o comportamento dinâmico do sistema através de modificações em projeto). Na análise modal , assume-se que o sistema é linear e os parâmetros são invariantes com o tempo.

7.2.1 - Tipos de Funções Excitadoras Os seguintes tipos de funções excitadoras podem ser usadas para determinar a função de resposta em freqüência de uma estrutura:

a) Excitação harmônica de regime permanente O sistema é excitado harmonicamente em uma freqüência constante e a resposta é medida. Este procedimento é repetido em várias freqüências discretas para se obter uma completa função discreta de resposta em freqüência. Como o procedimento tem que ser repetido tem que ser repetido várias vezes, consome muito

136


tempo e não é usado com freqüência. Entretanto, em situações em que se espera que ocorram poucas freqüências dominantes, o método é bastante útil.

b) Excitação de regime quase-permanente Este método envolve uma pequena varredura em freqüência e se tornou popular por causa da disponibilidade de equipamento de análise da função transferência. Uma força senoidal é varrida através da faixa de freqüência de interesse em uma taxa suficientemente lenta de forma a permitir a medição da resposta do sistema em todas as freqüências.

c) Excitação transiente Neste método, a função de resposta em freqüência é calculada por transformadas de Fourier dos registros temporais da excitação e da resposta. Computadores digitais e analisadores em tempo real permitem o cálculo on-line da resposta do sistema.

d) Excitação aleatória contínua Este método é bastante utilizado por simular melhor o ambiente real. Na excitação harmônica somente uma única ressonância será excitada por vez e não serão detectadas as interações entre as ressonâncias. A excitação aleatória, por sua vez, atua em todas as ressonâncias ao mesmo tempo.

7.2.2 - Representação dos Dados de Resposta em Freqüência Os dados da resposta em freqüência podem ser representados para obter gráficos de:

a) Módulo e ângulo de fase em função da freqüência; b) Componentes real e imaginária da resposta em função da freqüência, e c) Diagrama vetorial da componente real versus a componente imaginária da resposta. Como o método do modo normal permite a representação de um sistema de n graus de liberdade como n sistemas simples de um grau de liberdade, pode-se considerar o sistema de um grau de liberdade mostrado na Figura 7.2.

Figura 7.2 - Sistema de um grau de liberdade.

k

m

c

F(t)= F0eiw t

A equação do movimento do sistema quando submetido à excitação harmônica F(t) = F0eiwt, é dada por

137

7.1)

indo uma solução harmônica

(7.2)

a amplitude da resposta pode ser obtida como

tieFkxxcxm ω0=++ &&& (

Assum

( ) tiXetx ω=

( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

==rirk

F

kci

kF

kFH

X

n

ζωωω

ω21

1

1

12

02

00 (7.3)


138

onde mk

n =ω , n

r ωω= , rk

c ζω 2= , e ζ é o fator de amortecimento viscoso. A amplitude da resposta pode ser

xpressa como

(7.4)

onde XM, XR e XI são o módulo, parte real e pare imaginária da resposta, respectivamente, dados por

e

IRMMi

M iXXiXXeXX +=+== φφφ sencos

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

−=

222

20

211

rrr

kF

Xζ

(7.5) R

( ) ( ) ⎭⎩ (7.6)

⎬⎫

⎨⎧

+−−

= 2220

212

rrr

kFX I ζ

ζ

( ) ( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−=+=

222

022

21

1

rrkFXXX IRM

ζ (7.7)

O ângulo de fase pode ser o

btido por

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

== 212tan

rr

XX

R

I ζφ (7.8)

7.2.2.1 - Gráficos de Módulo e Ângulo de Fase

os de fase com a freqüência são mostrados nas Figuras 7.3a e 7.3b. Se ω1 e ω2

o as freqüências em que a am

As variações dos módulos e dos ângul

sã plitude é 2

rM (pontos de meia potência) onde XX

XM quando r = 1), o fator de amortecimento pode ser encontrado como (ver seção 3.4.2):

M r é a amplitude de ressonância (valor de

nn ωω 24 2

ωωωωζ 122

122 −

≅−

≅ (7.9)

XM φ

XMr

XMr/20.5

F0/k

ω1 ω2ωnω ωn

180o

90o

0o ω

(a) (b) Figura 7.3 - Gráficos de módulo e ângulo de fase.

Em testes experimentais, a freqüência correspondente à amplitude de pico é identificada como ωn. A amplitude de pico (XM r) resulta

kFX rM

0

21ζ

= (7.10)


A identificação dos pontos de meia potência permite o uso da equação 7.9. As equações 7.9 e 7.10, junto com a

relação mk=ωn , produzem os valores de m, k, e c do sistema.

.2.2.2 - Gráficos das

R I

7 Componentes Real e Imaginária da Resposta

As variações de XR e XI em função da freqüência, dadas pelas equações 7.5 e 7.6, são mostradas nas figuras 7.4a e 7.4b. A ressonância pode ser identificada como o valor de w para o qual X é igual a zero ou X é máximo. Os pontos de meia potência correspondem a

139

maxRX e, portanto, a equação 7.9 pode ser usada.

ωn

ω2ω1

ωA

C

XR XI

B

( )20

211

ζ+kF

ζ410

kF

ωnω2

A

C

ω1

B

ζ410

kF

−

0

0

ζ410

kF

−

ζ210

kF

−

ω

Figura 7.4 - Gráficos de componentes real e imaginária da resposta.

ωn

ω2,C B,ω1

ω = 00 XR

A

XI

ζ210

kF

ω = 0

XM

ω

− φ

Figura 7.5 - Diagrama vetorial.

7.2.2.3 - Diagrama Vetorial

A freqüência pode ser eliminada das equações 7.5 e 7.6, obtendo-se a equação

( ) ( )

2

02

2

0

41

41

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

rkFX

rkFX RI ζζ

(7.11)

e ressonância pode ser identificada

das principais características provocadas por um

Esta equação é a equação de um círculo, mostrado na Figura 7.5. A condição dno ponto A. Os pontos de meia potência correspondem aos pontos B e C.

7.3 - Diagnóstico de Máquinas por Análise de Vibração

O diagnóstico de problemas em máquinas é um processo de identificação das causas do movimento vibratório através da análise da vibração. É importante, portanto o conhecimento


140

as causas freqüentes (seria impossível freqüência. A experiência pessoal será

ndame

as da vibração medida são: m a rotação do elemento desbalanceado.

orcional à quantidade do desbalanceamento (tende sempre a crescer com o passar do tempo).

erar é que o desbal mplitudes

mbém gás, compressores rotativos, por exemplo) também podem

m forças que causem ento: paralelo, angular e combinado. O eixo empenado (fletido) vibra ngular, de forma que também está incluído nesta seção.

s

conjunto de causas mais freqüentes. A Tab. 7.1 mostra uma relação de algumrelacionar todas as causas possíveis) e a características principais no domínio dafu ntal para o analista anexar a esta lista novas causas e características às que estão aqui apresentadas. Uma boa revisão do tema é encontrada no artigo "The Current State of Vibroacoustical Machine Diagnostics" de Natalia A. Barkova, Vibroacoustical Systems and Technologies (VAST, Inc.) , São Petersburgo, Rússia, cuja cópia encontra-se publicada no Anexo 7.1.

7.3.1 - Desbalanceamento O desbalanceamento é uma das causas mais comuns de vibrações em máquinas. Na maioria das vezes as principais

característic1 - A frequência da vibração coincide co2 - A amplitude é prop

3 - A amplitude de vibração é normalmente maior nas direções radiais (transversais ao eixo de rotação). 4 - As leituras de fase permanecem estáveis.

o o5 - A fase muda 90 quando o sensor é deslocado 90 . Estes cinco sinais de desbalanceamento são boas pistas que devem ser consideradas com cuidado e bom senso. O balanceamento não é a única causa de vibrações que ocorrem na frequência de rotação. Um outro ponto a consid

ráulicas, por exemplo) freqüentemente apresenta grandes aanceamento em rotores verticais (turbinas hidta na direção axial. Outras máquinas (turbinas a vapor e aapresentar grandes amplitudes axiais quando desbalanceamento devido a reações por impulsos. Portanto não se pode eliminar o desbalanceamento como uma possível causa de vibrações quando ocorre vibração axial.

7.3.2 - Desalinhamento e Empenamento. O desalinhamento é quase tão comum como o desbalanceamento. Apesar do uso de mancais auto-compesadores ou acoplamentos flexíveis é muito difícil alinhar dois eixos e seus mancais de forma que não atuevibrações. Existem três tipos básicos de desalinhamcom características semelhantes ao desalinhamento a Na maioria das vezes, a análise de vibração originada por desalinhamento ou empenamento apresenta:

1. A frequência da vibração é normalmente 1X RPM. Se o desalinhamento for severo surgem também em 2X RPM e 3X RPM.

2. A amplitude é proporcional à quantidade de desalinhamento. ausa C Amplitude Freqüência Fase Consideraçõe

Desbalaanceamento. Marca estável e de vibrações.

nceamento Proporcional ao desbal

1X RPM Referência simples. Causa mais comum

Maior na direção repetitiva. radial.

Desalinhamento ou empenamento

Maior na direçãoaxial (50% acima da

mal as

vezes radial).

1X RPM n2X RPM algum

or Referência simples, dupla ou tripla.

Melhor identificada pela grande amplitude axial.

Mancais excêntricos 1X RPM les. Se em engrenagens, a

a igada.

Normalmente não muito grande.

Marca simpmaior vibração ocorre na linha de centros das engrenagens. Se em motores ou geradores, desaparece quandopotência é deslSe em bombas ou ventiladores, tente balancear.

Mancais anti-fricção em mau estado.

Inconstante - medir velocidade e aceleração.

Muito alta - várias vezes a RPM

Marcas múltiplas erráticas.

a

cia.

O mancal responsável é o que

está mais próximo dmaior vibração de alta freqüên


141

defeito ou ruído.

aceleração.

mero de dentes X RPM

marcas múltiplas.

m

Engrenagens com Baixa - medirvelocidade e

Muito alta - nú Errática - Recomenda-se a análise de frequências de ordealta.

Elementos mecânicsoltos.

os as rráticas. do de

esalinhamento.

Errática algumvezes.

2X RPM Duas marcas levemente e

Normalmente acompanhadesbalanceamento e/ou d

Correias em mau estado.

Errática ou pulsante. PM da correia.

arcas,

frequência. Normalmente

1,2,3,4X R Uma ou duas mdependendo da

inconstante.

Lâmpada estroboscópica é amelhor ferramenta para congelar a correia comproblema.

Elétrica. Desaparece quando a potência é desligada.

1X RPM ou 1,2X a frequência síncrona (da rede, aqui 60 Hz).

les ou s.

ente áquina é

sa é lemas

os

Marcas simpduplas rotativa

Se a vibração desaparece instantaneamquando a mdesligada a cauelétrica. Probmecânicos e elétricproduzem batimentos.

Forças aerodinâmicas ou hidráulicas.

Pode ser grande na direção axial.

1X RPM ou no de pás X RPM

Marcas múltiplas

rre

Rara causa de problemas exceto quando ocoressonância.

Forças alternativas. Maior em linha como movimento.

RPM e

rojeto

1,2 ou mais X Marcar múltiplas. Em máquinas alternativas só podser reduzida poralteração de pou isolamento.

Tabela 7.1 - Principais causas e características da vibração.

3. A amplitude de vibração pode ser alta na direção axial bem como na radial. O des com acoplamentos flexíveis, produz forças axiais e radiais que, por sua vez produzem vibrações radiais e axiais. Sempre que a ampl litud suspeitar de desalinhamento

Defrequência 1

alinhamento, mesmo

e radial, deve-se itude da vibração axial for maior que a metade da maior ampou empenamento.

4. As leituras de fase são instáveis.

salinhamento Angular - o desalinhamento angular, indicado na Fig. 7.6, submete os eixos a vibração axial na X RPM.

Figura 7.6 - Desalinhamento angular.

Desalinhamento Paralelo - o desalinhamento paralelo, ilustrado na Fig. 7.7, produz uma vibração radial em uma frequência de 2X RPM.


Movimentolateral

Figura 7.7 - Desalinhamento paralelo.

Desalinhamento Combinado - no desalinhamento combinado, apresentado na Fig. 7.8, além da vibração predominante acontecer na direção axial em 1X RPM, ocorre uma vibração significativa em 2X RPM nesta direção.

Figura 7.8 - Desalinhamento combinado.

Não é apenas quando existe acoplamento que ocorre desalinhamento. Um mancal de rolamento pode estar desalinhado como mostra a Fig. 7.9, causando uma significativa vibração axial. Este problema deve ser corrigido com a montagem correta do mancal.

Figura 7.9 - Mancal de rolamento. Figura 7.10 - Mancal de deslizamento.

Um mancal de deslizamento também pode apresentar desalinhamento, como mostra a Fig. 7.10. Neste caso não ocorrem vibrações significativas, a não ser que também exista desbalanceamento. O desbalanceamento provoca grande vibração radial que, por sua vez, com o empenamento produz componentes axiais significativas.

Outra condição de desalinhamento que produz vibração axial alta é o desalinhamento de polias (ou sistema coroa-pinhão) em transmissão por correias ou correntes. A Fig. 7.11 ilustra este caso. Estas condições não apenas resultarão em vibrações destrutivas como também provocam desgaste acelerado de polias, coroas, correias e correntes.

142


Figura 7.11 - Desalinhamento de polias.

7.3.3 - Excentricidade A excentricidade é outra causa comum de vibrações em máquinas rotativas. O significado de excentricidade aqui é diferente do desbalanceamento. Aqui o centro de rotação difere do centro geométrico, mesmo com a peça balanceada. A Fig. 7.12 ilustra alguns tipos comuns de excentricidade.

(a) Polia excêntrica (b) Rolamento excêntrico

(c) Armadura excêntrica demotor elétrico

(d) Engrenagem excêntrica

Figura 7.12 - Tipos de excentricidade.

Os sintomas da excentricidade são idênticos aos do desbalanceamento. Em alguns casos a excentricidade pode ser reduzida através de balanceamento mas, em geral, os resultados não são bons. Normalmente o problema só é corrigido através da montagem correta dos elementos envolvidos.

143

A excentricidade pode produzir forças de reação de natureza não centrífuga. Na correia em V, da Fig. 7.12(a) a excentricidade provoca variação nas direções das tensões na correia. Neste caso, a maior amplitude de vibração ocorre na direção do ramo tensionado da correia em frequência igual a 1X RPM da polia excêntrica. Na Fig. 7.12(c) a excentricidade varia com a interação magnética entre a armadura e os pólos do motor elétrico, criando uma vibração na frequência 1X RPM entre armadura e estator. O aumento da carga pode resultar em um aumento da amplitude de vibração. Nas


144

bém podem gerar forças vibratórias. Nesses sos, as

ncais de rolamento causam vibrações de alta frequência. Nestes casos,

a análise realizada em uma máquina com mancais de rolamento defeituosos.

engrenagens excêntricas da Fig. 7.12(d) a maior amplitude de vibração ocorre na direção da linha de centros das engrenagens na frequência 1X RPM da engrenagem excêntrica. Em todos os casos os sintomas são os mesmos do desbalanceamento. Uma forma de diferenciar desbalanceamento de excentricidade neste tipo de motor é medir a amplitude de vibração do motor quando em funcionamento normal. A seguir desliga-se o mesmo e observa-se a mudança da amplitude de vibração: se a amplitude decresce gradualmente o problema deve ser desbalanceamento; se a amplitude desaparece imediatamente, o problema é causado pela armadura excêntrica. Rotores excêntricos de ventiladores, bombas e compressores tamca forças resultam da atuação desigual de força aerodinâmicas e hidráulicas sobre o rotor. Os sintomas também são os mesmos do desbalanceamento. Não há forma de distinguir. O procedimento é realizar o balanceamento e, se as amplitudes não forem reduzidas significativamente, inspecionar a máquina na busca de desgastes, danos ou excentricidade nos mancais.

7.3.4 - Mancais de rolamento defeituosos Defeitos em guias, esferas ou roletes em maa frequência não é, necessariamente, um múltiplo inteiro da velocidade de rotação do eixo. Possíveis movimentos de roçamento ou deslizamento de esferas ou roletes podem gerar frequências mais diretamente relacionadas com os processos de roçamentos ou impactos. Normalmente as amplitudes de vibração dependem da extensão do problema existente, mas os possíveis impactos podem excitar também frequências naturais, o que deve ser adequadamente verificado. As altas frequências naturais, normalmente excitadas nestes casos, estão associadas a componentes estruturais da máquina, e ocorrem, tipicamente, acima de 166 Hz (10000 CPM). Em alguns casos, podem ser geradas vibrações em frequências naturais associadas à geometria dos mancais. A Fig. 7.13 mostra o resultado de umSão observadas várias vibrações em altas frequências (faixa acima de 20000 CPM ou 333 Hz, com a máquina operando em 1800 CPM ou 30 Hz). Estas vibrações são resultado da excitação de frequências naturais do mancal ou outras partes estruturais associadas. Um outro detalhe é que, normalmente, as vibrações nos mancais não são transmitidas a outros pontos da máquina, de forma que os sinais estarão presentes apenas em medições realizadas próximas ao mancal defeituoso.

Figura 7.13 - Máquina com mancais de rolamento defeituosos.

Outras causas de falhas em mancais de rolamento

mais cuidadosamente construídos disponíveis. Mancais de lamen

Os rolamentos estão entre os elementos de máquinas ro to normalmente não falham, a não ser que forças geradas por outros problemas sejam responsáveis pela falha. Freqüentemente estas forças também são responsáveis pelas vibrações. Desta maneira, mesmo quando a análise da vibração


apresenta sintomas de que existem problemas nos mancais, não se deve eliminar a possibilidade de que a causa primária da vibração seja outra. A Tabela 7.2 apresenta as principais causas de falhas em mancais de rolamento.

CARGA EXCESSIVA DESALINHAMENTO ALOJAMENTOS DE EIXOS DEFEITUOSOS MONTAGEM DEFEITUOSA AJUSTE IMPRÓPRIO LUBRIFICAÇÃO IMPRÓPRIA OU INADEQUADA SELAGEM POBRE ENDURECIMENTO IRREGULAR CORRENTE ELÉTRICA

Tabela 7.2 - Causas comuns de falhas em rolamentos.

Outras causas de sintomas em rolamentos

Desalinhamento severo em máquinas equipadas com rolamentos podem, algumas vezes produzir vibrações de alta frequência (12600 cpm) nos mancais que não se devem a problemas nos rolamentos. Um caso ilustra isto: detectou-se uma vibração em alta frequência no mancal inferior de um motor de acionamento de uma bomba vertical, operando a 900 rpm. A vibração observada ocorre, portanto em uma frequência igual a 14 vezes a frequência de operação (número de esferas do rolamento). A amplitude máxima foi observada na direção axial. A vibração em alta frequência indica um problema no rolamento, e, como a amplitude era muito alta, requeria imediata correção. Foi então substituído o rolamento sem que a amplitude de vibração se alterasse significativamente. Nova investigação mostrou que a montagem do flange que liga o motor à bomba foi distorcida por um aperto irregular dos parafusos. Com a correção deste problema desapareceu a componente da vibração de alta frequência. O fato da frequência associada ao problema ser igual a 14 vezes a frequência de operação e este ser o número de esferas do rolamento foi apenas uma infeliz coincidência no caso.

7.3.5 - Problemas em Mancais de Deslizamento Os altos níveis vibratórios devidos a problemas em mancais de deslizamento são resultado, geralmente, de folgas excessivas (desgaste ou erosão química), partes soltas, ou problemas de lubrificação.

Folga Excessiva

A folga excessiva provoca desbalanceamento, desalinhamento, afrouxamento e batidas.

Precessão com lubrificação (Oil whirl)

A precessão com lubrificação ocorre apenas em mancais de deslizamento lubrificados sob pressão e quando operam a altas velocidades, normalmente superiores à segunda velocidade critica do rotor.

Figura 7.14 - Mancal de deslizamento com precessão com lubrificação (oil whirl).

145

O mecanismo da precessão é ilustrado na Fig. 7.14. Sob condições normais de operação, o eixo se elevará ligeiramente pela lateral do mancal. Esta elevação depende da velocidade de rotação, peso do rotor e pressão do óleo. O eixo, desta forma, opera em uma posição excêntrica em relação ao centro do mancal e arrasta o óleo formando uma espécie de cunha líquida pressurizada do outro lado. Se esta excentricidade é momentaneamente aumentada devido, por exemplo, a uma onda repentina, uma carga de impacto externa, ou outra condição transitória, uma quantidade adicional de óleo é imediatamente bombeada no espaço deixado vago pelo eixo. O resultado é um aumento na pressão do filme de óleo em


contato com o eixo. A força adicional desenvolvida pode produzir um movimento circular do eixo no interior do mancal. Se o amortecimento do sistema for suficientemente grande o eixo retorna à sua posição de equilíbrio no mancal; se o amortecimento for baixo, o eixo continua com este movimento de precessão (whirl) . A vibração resultante é freqüentemente muito severa, mas facilmente reconhecida por sua frequência incomum. Esta frequência é levemente menor que a metade da velocidade de rotação do eixo (geralmente 46% a 48%). A Fig. 7.15 apresenta uma análise de uma máquina com sintomas de oil whirl.

Figura 7.15 - Análise de uma máquina com sintomas de oil whirl.

Como a frequência dominante é menor que a metade da velocidade de rotação (ou da frequência síncrona), se o eixo for observado com uma luz estroboscópica a marca não aparecerá fixa e sim girando. O problema do oil whirl é normalmente atribuído a um projeto inadequado do mancal, algumas vezes por superestimar o carregamento real do eixo. Entretanto, algumas outras causas possíveis incluem desgaste excessivo do mancal, aumento na pressão ou mudança na viscosidade do óleo. Algumas correções temporárias podem ser feitas mudando a temperatura do óleo lubrificante (mudando a sua viscosidade), introduzindo um pequeno desbalanceamento ou desalinhamento para aumentar a carga, ou fragmentar ou ranhurar as faces da superfície do mancal para desfazer a onda de óleo. Naturalmente a solução permanente é substituir o mancal adequadamente projetado para as condições de operação da máquina ou um especialmente projetado para reduzir as possibilidades de oil whirl.

A Fig. 7.16 mostra três configurações de mancais de deslizamento disponíveis especialmente construídos para reduzir as possibilidades de oil whirl:

a) Mancal com ranhuras axiais (Fig. 7.16a) - Neste tipo de mancal, as ranhuras são utilizadas para aumentar a resistência ao whirl em três pontos igualmente espaçados. Esta configuração é normalmente limitada a menores aplicações tais como pequenas turbinas a gás.

b) Mancal lobado (Fig. 7.16b) - Este tipo de mancal produz estabilidade contra o oil whirl usando três filmes de óleo pressurizado de forma que o eixo permanece centralizado. Algumas vezes possuem ranhuras axiais para aumentar a resistência ao whirl.

c) Mancais segmentados (Fig. 7.16c) - É uma escolha comum (muito utilizado) em máquinas industriais grandes, de alta velocidade. Cada segmento desenvolve uma cunha de óleo pressurizado que tende a centralizar o eixo no mancal. Normalmente o amortecimento do sistema é aumentado o que aumenta também.

146


(a) Mancal ranhurado axialmente (b) Mancal lobado (c) Mancal segmentado Figura 7.16 - Mancais projetados para reduzir a possibilidade de whirl.

Uma máquina que é normalmente estável pode exibir sinais de vibração por oil whirl e, algumas vezes, esta condição ocorre intermitentemente. Neste caso o problema não está relacionado com o mancal de deslizamento mas com forças externas que, coincidentemente, estão na mesma frequência do oil whirl do mancal. Existem duas fontes comuns de vibração que podem excitar oil whirl em um mancal de deslizamento: vibração transmitida pelo maquinário que opera na vizinhança e vibração proveniente de outros elementos da própria máquina.

Precessão histerética

Um rotor que opera acima de velocidades críticas tende a se fletir em sentido oposto ao desbalanceamento. O atrito interno, ou histerético, tende a restringir esta deflexão. Quando, entretanto, as forças de amortecimento estão em coincidência de fase com a deflexão, o efeito é contrário, agindo no sento de aumentar a mesma. É uma vibração similar ao oil whirl, ocorrendo em uma frequência diferente, normalmente quando o rotor está operando entre a primeira e segunda velocidades críticas. Nesta condição a frequência da precessão histerética é igual à primeira frequência natural (primeira velocidade crítica) do rotor (raramente ocorre na mesma frequência do oil whirl). Quando o rotor está operando acima da segunda velocidade crítica os sintomas são iguais ao do oil whirl. A precessão histerética, é normalmente controlada pelo amortecimento próprio dos mancais de deslizamento (que é normalmente alto). Quando este problema ocorre a solução usual é aumentar o amortecimento do mancal ou da estrutura, através, por exemplo, da instalação de mancais segmentados ou outros especialmente projetados. Em alguns casos o problema pode ser solucionado reduzindo o amortecimento do rotor, o que pode ser feito, por exemplo, substituindo um acoplamento por engrenagens por um acoplamento flexível.

Lubrificação inadequada

Problemas como insuficiência de lubrificação ou uso de lubrificante inadequado, podem causar vibração em mancais de deslizamento. Nestes casos, a lubrificação inadequada causa atrito excessivo entre o mancal estacionário e o eixo rotativo, e o atrito excita uma vibração no mancal ou partes a ele relacionadas (dry whip). A frequência da vibração, neste caso, é normalmente muito alta, produzindo ruído agudo (guinchos), e não tem relação com a velocidade de rotação do rotor. Quando há suspeita sobre a existência de dry whip deve-se verificar a lubrificação do mancal e se a folga está correta (tanto folga excessiva como insuficiente pode causar dry whip).

7.2.6 - Elementos mecânicos soltos

Figura 7.17 - Elemento mecânico solto.

Elementos soltos produzem vibração em uma frequência que é normalmente igual ao dobro ou múltiplos inteiros da velocidade de rotação do eixo rotativo. Normalmente o elemento se solta em virtude de uma vibração excitada por outra fonte, como, por exemplo, desbalanceamento ou desalinhamento. O elemento solto, por sua vez, agrava a situação, transformando vibrações aceitáveis em excessivas.

147

A Fig. 7.17 apresenta um esquema que ilustra como um elemento solto pode produzir uma vibração em uma frequência igual ao dobro da velocidade de rotação do rotor. O desbalanceamento é a origem da vibração neste exemplo. Quando a parte mais pesada do rotor está na parte inferior do mancal a força centrífuga se dirige para baixo, forçando o mancal contra o seu pedestal. Quando a parte mais pesada do rotor passa pela parte superior do mancal a força se dirige


para cima e o mancal é elevado do pedestal. Quando a parte mais pesada do rotor está na lateral do mancal o mesmo cai sobre o pedestal . Este processo resulta que a força atua de duas formas distintas sobre o mancal, durante uma revolução do rotor: o rotor é inicialmente levantado e a seguir cai sobre o pedestal. A Fig. 7.18 mostra um registro possível para esta força. Caracteriza-se aqui uma força periódica com comportamento não harmônico o que implica na presença de frequências harmônicas, com predominância da segunda harmônica (igual ao dobro da frequência de operação).

Frequênciade operação

Figura 7.18 - Força centrífuga com elemento solto.

Como resumo, a principal característica da vibração originada por elemento mecânico solto é a predominância da segunda frequência harmônica. Existe, normalmente, alguma folga inerente em toda máquina, de forma que é absolutamente normal achar alguma a segunda harmônica (ou, até mesmo, harmônicas maiores) quando há desbalanceamento e desalinhamento. A suspeita de elemento mecânico solto é justificada quando a segunda harmônica é predominante.

7.3.7- Vibrações em Correias As correias em V são muito utilizadas em transmissão de potência por sua alta capacidade de absorver choques e vibrações. Na maioria dos casos as correias em V operam mais silenciosamente que correntes e engrenagens, o que evidencia níveis vibratórios menores. Por outro lado, as correias em V podem ser fontes de vibrações indesejáveis, especialmente em máquinas ferramenta em que os níveis vibratórios devem ser mantidos muito baixos.

Os principais problemas vibratórios associados às correias em V são, geralmente, classificados como: 1. reação da correia a outras forças geradas no equipamento; 2. problemas reais na correia.

As correias em V são freqüentemente consideradas como fontes de vibrações porque é muito fácil visualizar a sua vibração, o que não ocorre com outras partes da máquina. As correias são as peças de maior facilidade de substituição. Entretanto, é bastante provável que a correia vibre em função de outros distúrbios na máquina, sendo apenas um indicador de um problema vibratório. Alguns problemas que normalmente produzem vibrações em correias são o desbalanceamento excessivo, polias excêntricas, desalinhamentos e elementos soltos. Deve-se, portanto, investigar profundamente as causas da vibração antes de efetuar uma troca de correia. O fator chave para determinar a natureza do problema é a frequência da vibração da correia. Se a vibração da correia é produzida por uma causa proveniente de outro elemento, então a frequência da vibração estará associada ao problema gerador. Por outro lado, quando a vibração ocorre por defeito na correia, a frequência de vibração é igual a um múltiplo inteiro (1, 2, 3 ou 4 vezes) da rotação da correia. Com correias múltiplas é importante que todas as correias tenham a mesma tensão. Se algumas correias estiverem frouxas enquanto que outras estão tensionadas, as correias frouxas apresentarão fortes vibrações mesmo que as forças perturbadoras sejam fracas. Esta condição causa deslizamento e acelera o desgaste na correia e na polia. As Figuras 7.19a e 7.19b ilustram as técnicas para execução de análise de correias. A identificação de defeitos na correia geralmente pode ser feita medindo-se a vibração em um mancal próximo à mesma, inicialmente em direção perpendicular à direção da tensão na mesmo e, a seguir, em direção perpendicular à primeira. Correias defeituosas geralmente apresentam uma amplitude de vibração maior em uma direção paralela à direção de sua tensão. Os defeitos mais comuns em correias são:

• rachaduras, • pontos endurecidos ou enfraquecidos,

148


• nós laterais, • partes de material arrancado, • deformações originadas no empacotamento ou armazenagem que podem causar altas amplitudes de vibrações

em equipamentos leves até que a correia se torne mais flexível e assuma a sua forma original • pequenas variações na largura de correias em V que podem faze-la pular nas guias das polias, causando

vibrações devidas a variações na tensão da correia. O deslizamento de correias (“correia patinando”) é causado por tensão imprópria, desalinhamento de polias,

correia inadequada para a utilização ou carga excessiva. O deslizamento produz algumas vezes vibrações de alta frequência e ruído característico (silvo ou grunhido). As vibrações causadas por deslizamento resultam freqüentemente em amplitudes instáveis. Isto é particularmente verdadeiro em correias múltiplas onde as correias podem deslizar em diferentes graus, algumas vezes somando-se as amplitudes e outras subtraindo-se resultando em uma amplitude de vibração que aumenta e diminui ciclicamente. A extensão do deslizamento de correias múltiplas pode ser determinada com o auxílio de uma luz estroboscópica. Deve-se desligar a máquina e desenhar uma linha reta transversalmente às correias (com um pedaço de giz). A seguir faz-se a máquina operar em sua velocidade nominal, regular o analisador na frequência de rotação da correia e observar se as marcas se deslocam relativamente através da luz estroboscópica. Em caso positivo, ocorre deslizamento.

7.3.8 - Vibrações em Engrenagens Normalmente, as vibrações originadas por problemas em engrenagens são fáceis de ser identificadas por ocorrerem

em uma frequência alta, igual à frequência de rotação da engrenagem multiplicada pelo seu número de dentes(frequência de engrenamento). O espectro mostrado na Fig. 7.19 é obtido de medições realizadas no mancal C, junto à caixa de engrenagens (redutor) de um sistema constituído por uma turbina, um redutor e um ventilador. Observa-se um pico considerável (predominante nas direções horizontal e axial) em uma frequência de 134400 rpm (2240 Hz) que é exatamente igual ao produto do número de dentes do pinhão (32) pela sua frequência de rotação que é a mesma da turbina (4200 rpm ou 70 Hz). Alguns problemas comuns que apresentam estas características são:

• desgaste excessivo, • imperfeições nos dentes, • lubrificação deficiente, e • impurezas incrustadas nos dentes.

Figura 7.19 - Espectro de equipamento com problema de engrenagem.

149


Outras fontes de problemas em máquinas (desalinhamentos, eixos empenados) podem também originar vibrações na frequência de engrenamento. As excentricidades, os desbalanceamentos e os eixos empenados também podem causar vibrações em sub-múltiplos da frequência de engrenamento. A Fig. 7.20 mostra dados de medições efetuadas em um conjunto motor, redutor e compressor. As amplitudes em alta frequência são predominantes, indicando problemas nas engrenagens (posições C, D, E e F). Deve-se, entretanto, observar que as amplitudes de vibração axial medidas na frequência de rotação do motor (posições A, B, C e D) também apresentam valores elevados. Isto sugere que o desalinhamento, mais que qualquer problema nas engrenagens, seja a causa principal das vibrações. Deve-se, então, corrigir o desalinhamento e se realizar novas medições. São boas as chances de que as amplitudes na frequência de engrenamento desapareçam.

Figura 7.20 - Dados de um problema de desalinhamento que gera vibrações na frequência de engrenamento.

Figura 7.21 - Diferença entre desbalanceamento e dente de engrenagem quebrado

As engrenagens também podem gerar vibrações em outras frequências não relacionadas com a frequência de engrenamento. Quando, por exemplo, a engrenagem apresenta apenas um dente quebrado ou deformado, pode surgir uma vibração na frequência de rotação. Neste caso o problema pode ser identificado analisando-se a forma da onda vibratória (em um osciloscópio): ocorrem picos elevados em intervalos de um período de rotação como ilustra a Fig. 7.21,

150


151

comparando a vibração resultante com a que seria gerada por um desbalanceamento. Se existirem mais de um dente danificados a frequência será multiplicada pelo número destes.

Quando um trem de engrenagens opera com condição de carga muito leve as vibrações podem apresentar amplitudes e frequências erráticas. Esta condição de operação pode ocasionar impactos entre as diversas engrenagens de forma desordenada. Os impactos excitam as frequências naturais das engrenagens, mancais e componentes a eles ligados. Este tipo de problema pode ser distinguido de um problema em um mancal, por exemplo, observando-se que as amplitudes originadas pelo problema do mancal são muito maiores próximas ao próprio mancal, enquanto que as originadas por engrenagens são detectadas em dois ou mais pontos da máquina.

As engrenagens também podem apresentar problemas comuns a outras partes da máquina como desbalanceamento ou montagem excêntrica, por exemplo, apresentando, nestes casos, vibrações com estas características.

Em virtude das vibrações de alta freqüência, as engrenagens são uma fonte comum de ruído nas máquinas de forma que a correção dos problemas associados a elas reduz significativamente o nível de ruído existente.

7.3.9 – Vibrações devido a falhas elétricas As vibrações causadas por falhas elétricas ocorrem em sistemas que possuem máquinas elétricas (motores,

geradores, alternadores, etc.) e são causadas normalmente por forças magnéticas desequilibradas atuantes em rotores ou estatores. Algumas causas comuns destas forças são:

• rotor não redondo; • armaduras excêntricas; • rotor e estator desalinhados; • estator elíptico; • circuito aberto ou curto circuito; • problemas no enrolamento do rotor. Os problemas elétricos geralmente apresentam vibrações na freqüência de rotação, o que torna difícil a distinção

de outras fontes como desbalanceamento. Uma maneira de se verificar se a vibração é causada por problema elétrico é desligar a energia elétrica durante a medição da amplitude de vibração e verificar se a mesma desaparece ou diminui significativamente rapidamente. Em caso positivo a causa é certamente elétrica. Se a diminuição da amplitude for lenta e acompanhar a queda na freqüência de rotação, então a causa é de natureza mecânica. Uma outra característica deste tipo de problema é que os níveis vibratórios dependem da carga. Muitas vezes, motores elétricos são testados em vazio e não apresentam amplitudes de vibração elevadas e quando em operação com carga vibram violentamente, evidenciando problemas elétricos.

Em motores de indução podem ocorrer vibrações na freqüência de deslizamento que é igual à diferença entre a freqüência de rotação do rotor e a freqüência elétrica (do campo magnético rotativo) chamada de síncrona que é sempre igual à freqüência da linha de corrente alternada (freqüência da rede, 60 Hz). Neste caso a amplitude da vibração é pulsante. O fenômeno do batimento se intensifica quando ocorre um problema mecânico associado (como o desbalanceamento) e a pulsação da amplitude se torna regular, especialmente quando as duas freqüências são relativamente próximas.

Os motores elétricos também podem apresentar vibrações devido a pulsos de torque gerados quando o campo magnético do motor energiza os polos do estator. A freqüência associada é igual ao dobro da freqüência da linha de corrente alternada. Os pulsos de torque são raramente problemáticos exceto quando são exigidos níveis de vibração extremamente baixos ou os pulsos excitam ressonâncias em outras partes da máquina.

7.3.10 – Vibrações devido a forças aerodinâmicas e hidráulicas

Máquinas que operam com fluidos como ar, água, óleo ou gases podem apresentar vibrações originadas pela interação entre elementos sólidos móveis (pás) e fluidos. Isto acontece freqüentemente em bombas, ventoinhas e similares. As vibrações geradas ocorrem em freqüências altas (número de pás vezes a freqüência de rotação). As causas da vibração são forças hidráulicas que normalmente são pequenas mas se tornam importantes quando excitam alguma ressonância na máquina. A Fig. 7.22 mostra o resultado de uma medição efetuada em uma bomba vibrando em 21600 cpm (360 Hz) com um propulsor de seis pás girando a 3600 rpm (60 Hz).


Figura 7.22 – Medição de vibração causada por forças hidráulicas.

Se não ocorre ressonância o problema pode ser originado por cavitação, recirculação ou turbulência. A cavitação ocorre quando uma bomba opera com excesso de capacidade ou baixa pressão de sucção. Como o fluido que já entrou não preenche completamente o espaço, o fluido que está entrando é puxado aos pulos para preencher os espaços vazios. Isto cria bolsas de vácuo que são altamente instáveis que podem literalmente implodir muito rapidamente. Os impactos gerados excitam freqüências naturais localizadas em partes da bomba. Como as implosões podem ocorrer em tempos e posições aleatórios na bomba ou na tubulação a amplitude e a freqüência da vibração também são aleatórias.

A recirculação pode ocorrer quando uma bomba está operando em baixa capacidade ou alta pressão de sucção. Na tentativa de se mover uma quantidade excessiva de fluido da bomba, uma porção do fluido retorna. Este fluxo reverso e o a conseqüente mistura de fluido movendo-se em direções opostas causa vibração. A recirculação ocorre algumas vezes dentro de uma bomba de múltiplos estágios com folga excessiva entre o rotor e seu alojamento. Esta forma de recirculação pode mostrar uma freqüência quase constante não relacionada com a freqüência de rotação. Em qualquer situação, as vibrações devidas a recirculação apresenta flutuações aleatórias na freqüência e na amplitude similares às causadas pela cavitação.

O fluxo turbulento é o resultado da resistência ao fluxo normal de fluidos. Esta resistência pode ser causada por obstruções, curvas agudas ou apenas atrito superficial entre fluido e tubulação. A turbulência também pode ser causada pela mistura de fluidos de alta e baixa velocidades. Um exemplo é um motor a jato quando os gases de exaustão de alta velocidade se misturam ao ar externo quase estacionário. Embora os níveis de ruído gerado por fluxo turbulento sejam muito altos, a máquina vibra pouco pois a condição de turbulência é externa a ela.

Figura 7.23 – Espectro de uma vibração causada por cavitação.

A vibração e o ruído associados com cavitação, recirculação e fluxo turbulento apresentam características similares. Este tipo de vibração é normalmente de natureza aleatória com amplitudes e freqüências instáveis. A Fig. 7.23

152


mostra um espectro de uma vibração gerada por cavitação. Pode-se observar uma vibração de regime permanente em 3600 rpm (60 Hz), indicando, possivelmente, um pequeno desbalanceamento ou desalinhamento no motor. Existe, entretanto, uma vibração aleatória (banda larga) entre 30000 cpm e 100000 cpm (500 Hz e 1667 Hz) indicando problemas de associados com fluxo hidráulico e aerodinâmico.

7.3.11 – Vibrações devido a forças alternativas

Em máquinas alternativas (compressores, bombas alternativas, motores a combustão) ocorrem vibrações resultantes do movimento alternativo. Estas vibrações são causadas pelas variações de torque em virtude da variação de pressão no cilindro e pelas forças de inércia das partes que se encontram em movimento alternativo. Estas vibrações são normalmente complexas pois várias freqüências estão envolvidas embora, geralmente, as freqüências predominantes são iguais a uma e duas vezes a freqüência de rotação. Freqüências de ordem mais alta também são encontradas dependendo do número de pistões e de seu relacionamento. Por exemplo, em um motor a quatro tempos de quatro cilindros, ocorrem duas explosões a cada volta da árvore de manivelas (virabrequim). Isto resulta em uma vibração em uma freqüência igual a duas vezes a freqüência de rotação do virabrequim. Por outro lado, se o mesmo motor possuísse seis ou outro cilindros o número de explosões seria de três e quatro por volta com surgimento de freqüências iguais a três e quatro vezes a freqüência de rotação respectivamente. A Fig. 7.24 mostra as várias freqüência harmonicamente relacionadas reveladas pela análise de um compressor de quatro cilindros em V. Geralmente, estas freqüências de ordem mais alta são inerentes ao funcionamento da máquina e só se tornam importantes se excitarem alguma freqüência natural da mesma induzindo uma condição de ressonância.

Os problemas de vibração excessiva em máquinas alternativas podem ser originados por problemas mecânicos (desbalanceamento, desalinhamento, empenamento de eixos, folgas, peças soltas, falhas em mancais, etc.) ou operacionais (lubrificação inadequada ou ineficiente, vazamentos em válvulas, problemas de ignição ou injeção, etc.). A solução destes problemas exige uma inspeção completa na máquina acompanhada de uma análise da vibração. Existem várias formas de identificar problemas mecânicos e operacionais. Por exemplo, falhas de ignição causam um significativo decréscimo de eficiência na máquina acompanhado de forte vibração. O desbalanceamento, entretanto, praticamente não influencia no rendimento da máquina. Problemas operacionais possuem a tendência a gerar forças alternativas desiguais nas diferentes direções de medição. Deve ocorrer uma amplitude bem maior na direção (ou paralela a) do movimento alternativo. Já o desbalanceamento ou o desalinhamento apresentam amplitudes semelhantes em duas direções radiais.

Figura 7.24 – Espectro de vibração em um compressor.

7.3.12 – Vibrações devido ao roçamento

O roçamento é o contato eventual entre partes estacionárias e rotativas de uma máquina podendo gerar vibrações na freqüência de rotação, no dobro dela, em seus sub-múltiplos e altas freqüências. O roçamento também pode gerar um aumento no nível de amplitudes em toda uma ampla faixa de freqüências. Se o roçamento for contínuo é provável que não se observe nenhuma vibração característica em especial mas o atrito contínuo pode excitar ressonâncias em altas freqüências em outras partes da máquina produzindo medições de amplitudes e fases instáveis.

Observou-se que o roçamento em selos de uma turbina a vapor apresenta diferentes amplitudes e fase nas mesmas condições de operação em tempos diferentes de observação. Por exemplo: uma máquina girando a 3600 rpm apresentava

153


154

níveis constantes de amplitude e fase; após diminuir a sua velocidade de rotação para 1800 rpm por um curto tempo, e retornando a operar a 3600 rpm, a mesma máquina apresentou amplitude e fase completamente diferentes das anteriores. Isto sugere que o ponto em que está acontecendo o roçamento está se movendo quando se varia a velocidade de rotação.

O roçamento é, normalmente o resultado de um eixo empenado ou partes quebradas ou avariadas que podem ser detectados por procedimentos já descritos.

7.4 – Análise de Sinais

A Análise de sinais se ocupa da interpretação do sinal vibratório. Na maioria das vezes, a observação direta do registro de uma medição de vibração não permite que se tire conclusões úteis para a análise do problema que gero uma vibração. Observe-se, por exemplo o registro mostrado na Fig. 7.1a. Neste registro é apresentada a medição do deslocamento lateral de um rotor vertical. O rotor estudado operava em uma velocidade de rotação de 680 rpm e estava submetido a um conjunto de falhas como desbalanceamento, empenamento, folgas, problemas elétricos e roçamento. A observação direta do registro no tempo não permite nenhuma análise importante. É necessário que seja observado o espectro de freqüência, obtido através da aplicação da transformada de Fourier. Embora ainda apresentando uma certa dificuldade de interpretação, o espectro de freqüência, mostrado na Fig. 7.1b permite que alguns dos problemas sejam identificados:

a) o desbalanceamento e o empenamento são responsáveis por um pico significativo no espectro na freqüência de rotação;

b) o pico em 60 Hz (observado após filtragem) mostra que devem estar presentes problemas relacionados com o acionamento elétrico devem estar presentes;

c) o patamar irregular presente em uma ampla faixa de freqüência é um sintoma de roçamento; d) a presença de harmônicas sugere a existência de folgas; e) a excitação de freqüências naturais mostra irregularidades na rigidez e provável existência de impactos. Esta análise preliminar evidencia a importância do espectro de freqüência como ferramenta de análise. É

justamente nesta ferramenta que se fundamenta a análise de sinais. Um refinamento na análise pode ser produzido através da utilização de filtros. Os filtros são utilizados para separar

os sinais em faixas de freqüência de interesse. Com isso, se pode, por exemplo, excluir algumas características conhecidas do sinal (componentes na freqüência de rotação, freqüências naturais, ou freqüências da rede elétrica) para que outras causas possam ser mais claramente observadas.

Embora tanto a transformada de Fourier quanto a filtragem do sinal possam ser realizadas numericamente, ainda estão em uso alguns instrumentos analógicos como analisadores de espectro e filtros analógicos.

7.4.1. Analisadores espectrais São instrumentos que analisam o sinal no domínio da freqüência, separando a energia do sinal vibratório em várias faixas de freqüência. Esta separação é realizada através de um conjunto de filtros, sendo os analisadores classificados de acordo com o tipo de filtro que empregam. Por exemplo: analisadores de banda de uma oitava são analisadores que utilizam filtros de banda de uma oitava (oitava: intervalo entre duas freqüências em que a máxima é igual ao dobro da mínima). Atualmente já são largamente utilizados analisadores digitais para análise em tempo real. Em tempo real, o sinal é analisado continuamente em todas as faixas de freqüência .Nestes analisadores é extremamente importante que o processamento seja rápido. Os analisadores em tempo real são especialmente úteis em aplicações de manutenção industrial em que a análise deve ser rápida a fim de fundamentar a imediata tomada de decisão no que se refere ao procedimento de manutenção.

a) Software

Uma grande parte dos analisadores utilizados atualmente é constituído de sistemas integrados a microcomputadores sendo sua operação, fundamentalmente a utilização de um software dedicado que executa as tarefas necessárias da realização da análise espectral. A título de exemplo, será apresentado aqui o software “Spec for Windows Spectrum Analyser”.

“Spec for Windows” é um software para análise espectral que roda em Windows3.2 ou versões mais atuais. Além de uma configuração básica comum, requer apenas uma placa de som. Aplica-se na análise de sinais gerados em sistemas elétricos, mecânicos, estruturais e acústicos. Na área mecânica e estrutural pode ser usado para caracterizar e identificar vibrações. Embora o Spec for Windows seja um aplicativo MDI (Multiple Document Interface) não atua como MDI no sentido de um processador de texto. O software possui apenas uma sessão de análise espectral mas pode apresentar muitas vistas diferentes dos dados a partir de uma determinada sessão de análise espectral. Podem ser visualizados, por exemplo, a resposta em freqüência, correlação cruzada e espectro de potência simultaneamente. A Fig. 7.25 mostra a janela principal


com os componentes de magnitude e fase da resposta em freqüência de o alto-falante um alto-falante usando a placa de som do computador para entrada de dados.

Figura 7.25 – Resposta em freqüência de um alto-falante.

b) Instrumentos

A maior parte dos analisadores espectrais fabricados atualmente se destinam principalmente a aplicações eletrônicas e em telecomunicações. Poucos são os que permitem análise em baixas freqüências, características das aplicações em engenharia mecânica. Dentre estes poucos, um exemplo é o SPS390 (Figura 7.26), instrumento especialmente projetado para cobrir uma ampla faixa de aplicação que vai desde a análise de problemas em máquinas até medições eletrônicas. Sua faixa de operação vai de DC até 100 kHz não sendo aplicado em telecomunicações.

Figura 7.26 – Analisador Espectral SPS 390.

7.4.2. Empresas de Consultoria e Análise Alguns sistemas integrando instrumentos de medição e software de aquisição e análise estão disponíveis, atualmente no mercado, sendo utilizados em grandes industriais e centros de pesquisa. A complexidade dos problemas vibratórios, associada à importância de sua solução para garantir o perfeito funcionamento de máquinas e equipamentos no processo industrial proporcionou a formação de firmas especializadas em consultoria e análise de problemas vibratórios. Em geral, estas empresas se originaram em laboratórios de universidades e apresentam como características principais:

155


a) Seu corpo funcional é constituído por pessoal altamente qualificado, muitas vezes pesquisadores ou professores universitários com sólida formação e grande experiência.

b) Dispõem de uma instrumentação capaz de realizar uma grande variedade de medições e, também de algumas variáveis (pressão, temperatura) cuja medição auxilia na interpretação dos sinais vibratórios.

c) Desenvolvem um software que analisa os sinais vibratórios (e outros), produzindo informações que, muitas vezes, são introduzidas em modelos matemáticos que determinam características do equipamento analisado e simulam seu funcionamento sob determinadas condições pré-estabelecidas permitindo uma ampla análise de problemas e suas possíveis soluções.

A seguir, são apresentadas algumas destas organizações, com um pequeno resumo de seus serviços e produtos baseados em informações obtidas na Internet.

7.4.2.1. LDV - Vibrometria a Laser

O VPI 4000 (Vibration Pattern Imaging) da Ometron (empresa norte-americana) é um sistema que combina um vibrômetro a laser (efeito Doppler) com um software em MS Windows realizando medição e análise de vibrações. A Figura 7.27 mostra o sistema com sensor e hardware, enquanto a Tabela 7.3 apresenta as características técnicas do sistema.

Figura 7.27 - Sistema VPI 4000.

O instrumento está baseado em um interferômetro de Michelson no qual a luz emitida pelo laser se divide em uma luz de referência e uma luz de sinal. A luz de sinal é dirigida para a estrutura vibratória e a luz refletida é combinada com a luz de referência. Quando a estrutura se move, a diferença de trajetórias entre as luzes do sinal e da referência muda resultando em uma modulação de intensidade da luz recombinada devido à interferência entre ambas as luzes. Um ciclo completo da modulação da intensidade corresponde a um movimento da superfície igual à metade do comprimento de onda λ (o comprimento de onda de uma fonte laser neon-hélio é 0,632 µm. A freqüência da modulação de intensidade fd se relaciona com a velocidade da superfície v através da expressão

λvf d

2=

(7.12) em que fd é chamada de freqüência Doppler. A luz recombinada é dividida em dois canais de detecção independentes configurados de forma que os dois sinais obtidos apresentam uma diferença de fase de +/- 90o, dependendo do movimento da superfície. É realizada uma mixagem eletrônica destes sinais com uma freqüência portadora, gerando um único sinal com freqüência Doppler defasada que é, então, convertido em uma voltagem analógica diretamente proporcional à velocidade instantânea da superfície em movimento. A principal vantagem da medição ótica é que ela é realizada sem contato, eliminando a influência que os transdutores anexados à estrutura vibratória produzem na própria vibração medida. As formas vibratórias podem ser facilmente observadas nas medições realizadas com efeito Doppler. A Figura 7.28 apresenta um exemplo de uma medição realizada evidenciando-se os níveis de vibrações com cores diferentes. Sendo de baixa potência, não apresentam qualquer risco ao operador.

156


Figura 7.28 - Imagem produzida por medição a laser.

As variações nas características vibratórias de materiais, componentes e estruturas podem ser utilizadas para detectar defeitos, falhas, fissuras, descolamentos de camadas e outras anomalias estruturais. As potencialidades de medições oferecidas pelos métodos óticos, associados à completa abrangência dos dados coletados pelos sensores VPI proporcionam uma poderosa ferramenta de teste não destrutivo que pode ser usada para análise in-situ ou em laboratório. Esta flexibilidade operacional permite que se elaborem programas de teste em condições normais de serviço. Am análise modal, a possibilidade de apresentação dos dados em um campo completo (512x512) permite uma excelente correlação entre métodos analíticos e experimentais com base em graus de liberdade similares, ao invés da limitação no número de pontos, própria do uso de transdutores com contato ou medições acústicas. De maneira semelhante, as formas de deflexão com distâncias entre nós de poucos milímetros produz dados experimentais suficientes para serem comparados com os produzidos por técnicas computacionais. Em resumo, o uso de sensores laser com efeito Doppler produz dados em múltiplos pontos que podem ser introduzidos em programas de análise modal, abrindo maiores possibilidades de melhorar a qualidade de resultados experimentais.

Aplicações na Engenharia Mecânica

1) Indústria Automotiva

LDVs (Laser Doppler Vibrometry) tem sido uma técnica que vem substituindo as tradicionais técnicas de teste na indústria automotiva (acelerômetros , microfones e sensores de proximidade). Os microfones são limitados pela pouca resolução espacial e necessidade de um ambiente anecóico (sem reflexão de som). Os sensores de proximidade são de montagem demorada, difíceis de calibrar e as medições são facilmente perturbadas por movimentos na base do instrumento. Os acelerômetros são de montagem tediosa e demorada, são caros e uma vez montados possuem a tendência de alterar as características da vibração medida em função de sua própria massa. Os LDVs, por sua vez, podem ser montados rapidamente e requerem uma preparação mínima da parte a ser medida. São rápidos, eficientes e ser custo é compensador pois substituem vários acelerômetros, por exemplo. Podem ser usados como um simples transdutor sem contato ou como uma parte de um sistema de análise modal completo. Uma vantagem adicional é que podem investigar painéis e componentes inacessíveis a outras técnicas. Um exemplo recente de análise de vibração em automóveis modernos foi proporcionado por uma empresa alemã que investigou os efeitos de redução de ruído usando LDVs. O sistema de medição mediu diferentes efeitos sonoros de superfícies muito escuras, pouco reflexivas como carpetes de veludo, borracha preta, esponjas escuras colocadas no interior do veículo. A única forma de obter medições de todas as superfícies de interesse foi usar arranjos com espelhos.

2) Controle de Qualidade em Fundição

Por não estarem limitados ao uso em laboratório, não requerem condições especiais de segurança e não requererem recobrimento superficial especial, LDVs associados a técnicas de análise de sinal (FFT, correlação) estão substituindo as técnicas atuais de controle de qualidade em fundições. A imagem criada pelo sistema VPI 4000 é codificada por

157


cores em amplitude e fase, com uma opção de sobreposição com uma imagem da peça (produzida por uma câmera digital) permitindo uma fácil interpretação da forma vibratória. Um exemplo recente é o uso do LDV no exame dos modos críticos de um propulsor centrífugo. O propulsor mostra um comportamento modal altamente relacionado com o seu processo de fabricação. A condição de qualidade é que todas as peças fabricadas mostrem freqüências de ressonância e formas de vibração similares indicando se foram fabricados corretamente. O VPI 4000 é usado para encontrar as freqüências de ressonância. O propulsor é, então, excitado nestas freqüências medindo-se sua resposta. É realizada uma análise em freqüência (FFT) pelo VPI 4000 enquanto um software permite uma rápida medição dos modos. Todo o ciclo completo de testes para, por exemplo uma hélice do propulsor pode ser executado em menos de uma hora.

Várias outras aplicações em estruturas mecânicas são encontradas, em que as características da vibração permitem o diagnóstico de problemas de operação, defeitos de fabricação, desgaste de peças, etc. Isto torna a LDV uma técnica extremamente útil em controle de qualidade e manutenção industrial.

7.4.2.2. EDI - Engineering Dynamics Incorporated

A Engineering Dynamics Incorporated - EDI é uma empresa norte-americana e seus serviços estão organizados em três grandes grupos:

a) Análise Computacional

a.1) Análise digital de pulsação Consiste na simulação digital de pulsação de tubulações (Figura 7.29), permitindo avaliação, análise e projeto de tubulações e seus componentes como compressores e bombas. O modelo matemático inclui simulação acústica permitindo projetos de filtros acústicos e silenciadores. a.2) Análise de velocidades críticas laterais, resposta e estabilidade (Figura 7.30) Inclui determinação de velocidades críticas não amortecidas, resposta amortecida, instabilidades não síncronas, mancais hidrodinâmicos e selos. a.3) Análise de vibração torsional Vibrações torsionais acontecem em equipamentos rotativos ou alternativos em geral. As análises realizadas pela EDI incluem: modelagem massa-mola, determinação de freqüências naturais e formas modais torsionais, diagrama de Campbell (variação das freqüências naturais com a rotação), torque dinâmico e tensões de cisalhamento, e problemas transientes como partida, falhas e fadiga.

Figura 7.29 Figura 7.30

a.4) Análise de máquinas alternativas (Figura 7.31) Inclui vibração e pulsação de tubulações, bombas, compressores e motores, freqüências naturais e tensões torsionais, vibrações e falhas em virabrequins, respostas e velocidades críticas laterais, avaliação de desempenho e queda de pressão.

Figura 7.31 - Máquina alternativa. Figura 7.32 - Análise estrutural.

a.5) Análise estrutural (Figura 7.32)

158


A análise estrutural é um tema muito amplo que permite uma grande variedade de aplicações como modelagem estrutural e por elementos finitos, vibrações de motores, compressores e outros equipamentos, sistemas de tubulações de gases e líquidos, vibrações induzidas por fluxos fluídos, dinâmica de solos e fundações, tensões e flexibilidade térmicas.

b) Investigação e Diagnóstico de Campo

b.1) Pulsação de pressão e vibração de tubulações. b.2) Velocidades críticas laterais, resposta e estabilidade. b.3) Vibração torsional. Vibrações torsionais podem causar falhas em todos os tipos de máquinas. Problemas potenciais incluem danos em acoplamentos, falhas em chavetas, deslizamento de correias, fraturas em eixos (Figura 7.33), desgaste excessivo em engrenagens ou fratura de dentes e pás de ventoinhas quebradas. As medições com finalidade de diagnosticar problemas de vibrações torsionais devem ocorrer em acionamentos com freqüência variável, motores síncronos, caixas de engrenagens, compressores alternativos, misturadores e propulsores de navios.

Figura 7.33 - Fratura. Figura 7.34 - Deslocamento angular.

Deslocamento angular - A Figura 7.34 mostra a medição do deslocamento angular de um eixo através de um torsiógrafo HBM. Esta técnica de medição é utilizada para diagnosticar problemas como reversão em engrenagens, eixos de manivela quebrados devido a falha em amortecedor do motor, bombas de engrenagens danificadas e pás de rotores quebradas. Deformações, torques ou tensões de cisalhamento - Extensômetros são usados com um sistema de telemetria para medir deformações torques ou tensões de cisalhamento em uma seção do eixo (Figura 7.35). Esta técnica de medição é utilizada para avaliar se o torque ou a tensão de cisalhamento é excessiva em acoplamentos ou seções de eixos. Velocidade angular - Um transdutor sem contato é usado para medir a freqüência com que passam os dentes de engrenagens o que pode ser demodulado para determinar a velocidade angular (Figura 7.36). Esta técnica de medição pode ser usada quando o sistema possui uma caixa de engrenagens.

Figura 7.35 - Extensômetro. Figura 7.36 - Sensor sem contato.

b.4) Máquinas alternativas. b.5) Estruturas. b.6) Balanceamento em múltiplos planos.

c) Seminários

A EDI proporciona seminários anuais como o "Vibrations in Reciprocating and Rotating Machinery and Piping" , preparado para engenheiros e técnicos que trabalham com maquinaria e tubulações de plantas industriais e devem tomar decisões acerca de confiabilidade e segurança de sistemas com altos níveis vibratórios.

159

106409005-Analise-de-vibracoes.pdf

Documents

Transcript of 106409005-Analise-de-vibracoes.pdf