12 equação do segundo grau

12EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

EQUAÇÃO DA FORMA: ax² + bx = 0x' = 0x'' = ax + b = 0coloca-se o x em evidência: x(ax + b)

x 3x − 18 = 03x − 18 = 03x = 18x = 6

x ' = 0x ' ' = 6

x x − 9 = 0x − 9 = 0x = 9

x ' = 0x ' ' = 901 02

2x x 4 = 0x 4 = 0x = −4

x ' = 0x ' ' =−4

25x x − 4 = 0x − 4 = 0x = 4

x ' = 0x ' ' = 4403 04

x x − 7 = 0x − 7 = 0x = 7

x ' = 0x ' ' = 7

x x − 6 = 0x − 6 = 0x = 6

x ' = 0x ' ' = 605 06

2x x − 2 = 0x − 2 = 0x = 2

x ' = 0x ' ' = 2

x 9x − 4 = 09x − 4 = 09x = 4

x = 49

x ' = 0

x ' ' = 49

07 08

4x x − 5 = 0x − 5 = 0x = 5

x ' = 0x ' ' = 5

3x x 6 = 0x 6 = 0x = −6

x ' = 0x ' ' =−609 10

x −x 3 = 0−x 3 = 0−x =−3x = 3

x ' = 0x ' ' = 311

EQUAÇÃO DA FORMA: ax² + bx = 0

x2 = 49x = 49x = 7

x ' =−7x ' ' = 7

2x2 = 32

2x2 = 322

x2 = 16x = 16x = 4

x ' =−4x ' ' = 412 13

x ' =−1x ' ' = 1 x ' =−5

x ' ' = 514 15

3x2 = 3

x2 = 33

x2 = 1x = 1x = 1

x2 = 25x = 25x = 5

x ' =−3x ' ' = 3 x ' =− 1

3

x ' ' = 13

16 17x2 3x − 3x − 9 = 0x2 − 9 = 0x2 = 9x = 9x = 3

9x2 = 1

x2 = 19

x = 19

x =13

x ' = − 45

x ' ' = 45

x ' =−6x ' ' = 6

18 1925x2 = 16

x2 = 1625

x = 1625

x =45

36 − x2 = 0−x2 =−36x2 = 36x = 36x = 6

x ' =−5x ' ' = 5

20 21x2 = 5x = 5

x2 = 4x = 4x = 2

x ' =−2x ' ' = 2

224x2 = 9

x2 = 94

x = 94

x =32

x ' = − 32

x ' ' = 32

EQUAÇÃO COMPLETA: ax² + bx + c = 0x ' = −b − b2 − 4ac

2a

x ' ' = −b b2 − 4ac2a

x =−−8 ± −82 − 4 . 1 . 15

2 . 1

x =8 ± 64 − 60

2

x = 8 ± 42

x =8 ± 2

2

x ' = 8 − 22

x ' = 62

x ' = 3

x ' ' = 8 22

x ' ' = 102

x ' ' = 523

x =−−9 ± −92 − 4 . 1 . 18

2 . 1

x =9 ± 81 − 72

2

x = 9 ± 92

x =9 ± 3

2

x ' = 9 − 32

x ' = 62

x ' = 3

x ' ' = 9 32

x ' ' = 122

x ' ' = 624

x =−−3 ± −32 − 4 . 1 . 2

2 . 1

x =3 ± 9 − 8

2

x = 3 ± 12

x =3 ± 1

2

x ' = 3 − 12

x ' = 22

x ' = 1

x ' ' = 3 12

x ' ' = 42

x ' ' = 225

x =−−5 ± −52 − 4 . 1 . 6

2 . 1

x =5 ± 25 − 24

2

x = 5 ± 12

x =5 ± 1

2

x ' = 5 − 12

x ' = 42

x ' = 2

x ' ' = 5 12

x ' ' = 62

x ' ' = 326

x =−−7 ± −72 − 4 . 1 . 12

2 . 1

x =7 ± 49 − 48

2

x = 7 ± 12

x =7 ± 1

2

x ' = 7 − 12

x ' = 62

x ' = 3

x ' ' = 7 12

x ' ' = 82

x ' ' = 427

x =−6 ± 62 − 4 . −1 . −5

2 . −1

x = −6 ± 36 − 20−2

x =−6 ± 16

−2

x = −6 ± 4−2

x ' = −6 − 4−2

x ' = −10−2

x ' = 528

x '' = −6 4−2

x '' = −2−2

x ' ' = 1

x =−2 ± 22 − 4 . 1 . −8

2 . 1

x =−2 ± 4 32

2

x = −2 ± 362

x =−2 ± 6

2

x ' = −2 − 62

x ' = −82

x ' =−429

x ' ' = −2 62

x '' = 42

x ' ' = 2

x2 − 3x 2 = 0

x =−−3 ± −32 − 4 . 1 . 2

2 . 1

x = 3 ± 9 − 82

x = 3 ± 12

x = 3 ± 12

x ' = 3 − 12

x ' = 22

x ' = 130

x ' ' = 3 12

x '' = 42

x ' ' = 2

x2 − 2x = 3x − 6x2 − 2x − 3x 6 = 0x2 − 5x 6 = 0

x =−−5 ± −52 − 4 . 1 . 6

2 . 1

x = 5 ± 25 − 242

x = 5 ± 12

x = 5 ± 12

x ' = 5 − 12

x ' = 42

x ' = 231

x ' ' = 5 12

x ' ' = 62

x ' ' = 3

x2 = 9x − 18x2 − 9x 18 = 0

x =−−9 ± −92 − 4 . 1 . 18

2 . 1

x = 9 ± 81 − 722

x =9 ± 9

2

x = 9 ± 32

x ' = 9 − 32

x ' = 62

x ' = 332

x ' ' = 9 32

x ' ' = 122

x ' ' = 6

8x2 − 6x − 1 = 0

x =−−6 ± −62 − 4 . 1 . 8

2 . 8

x = 6 ± 36 − 3216

x = 6 ± 416

x = 6 ± 216

x ' = 6 − 216

x ' = 416

x ' = 14

33

x '' = 6 216

x ' ' = 816

x '' = 12

12x2 − 5 40x − 72x = 30x − 1512x2 40x − 72x − 30x − 5 15 = 012x2 − 62x 10 = 0

x =−−62 ± −622 − 4 . 12 . 10

2 . 12

x = 62 ± 3.844 − 48024

x = 62 ± 3.36424

x = 62 ± 5824

x ' = 62 − 5824

x ' = 424

x ' = 16

34

x ' ' = 62 5824

x ' ' = 12024

x ' ' = 5

x² – 7 + 12 = 0

Produto das raízes (c)Soma das raízes (b)

se + : raízes de mesmo sinal se – : raízes de sinais diferentes

se + : resultado da soma é negativose – : resultado da soma é positivo

a = 1

Produto Soma1 e 12 12 132 e 6 12 83 e 4 12 7

+12 (raízes de mesmo sinal)

-3 e -4 ou 3 e 4

-7 (resultado positivo)

3 e 4

x' = 3x'' = 4

35

Produto Soma1 e 6 6 72 e 3 6 5


-2 e -3 ou 2 e 3


2 e 3

x' = 2x'' = 3

Produto Soma1 e 20 20 212 e 10 20 124 e 5 20 9


-4 e -5 ou 4 e 5


4 e 5

x' = 4x'' = 5

a)

b)

Produto Soma-1 e 21 - 21 20-3 e 7 - 21 4

-21 (raízes de sinais diferentes)

-3 e 7 ou 3 e -7

c)+4 (resultado negativo)

3 e -7

x' = -7x'' = 3

Produto Soma1 e 20 20 212 e 10 20 124 e 5 20 9


-2 e- 10 ou 2 e 10

d)-12 (resultado positivo)

2 e 10

x' = 2x'' = 10

Produto Soma-1 e 16 -16 15-2 e 8 -16 6-4 e 4 -16 0

-16 (raízes de sinais diferentes)

-2 e 8 ou 2 e -8

e)-6 (resultado positivo)

-2 e 8

x' = -2x'' = 8

Produto Soma1 e 28 28 292 e 14 28 164 e 7 28 11


-4 e -7 ou 4 e 7


4 e 7

x' = 4x'' = 7

f)

Δ > 0 → 2 raízes reais e distintasΔ = 0 → 2 raízes reais e iguaisΔ < 0 → não possui raiz real

x = −b ± Δ2a Δ = b2 − 4ac

−62 − 4 . 3 . m 036 − 12m 0−12m −3612m 36m 3

Para raízes reais e distintas, então Δ > 0

−62 − 4 . 1 . 3m = 036 − 12m = 0−12m =−3612m = 36m = 3

Para raízes reais e iguais, então Δ = 0

−102 − 4 . 1 . 2m − 1 0100 − 4 2m − 1 0100 − 8m 4 0−8m −1048m 104m 13


−4 2 − 4 . 1 . k − 3 016 − 4 k − 3 016 − 4k 12 0−4k −284k 28k 7


36 (pág. 119)

37 38

36 (pág. 120)

−22 − 4 . 3k . −1 = 04 12k = 012k 4 = 012k = −4

k =− 412

k =− 13


−82 − 4 . 4 . 2k 064 − 32k 0−32k −6432k 64k 2


39 40

2 2m2 − 4 . 1 . m 2 = 04 8m 4m 2 − 4m 2 = 08m = −4

m = −48

m = −12


−2m2 − 4 . m . 3 = 04m2 − 12m = 0m 4m − 12 = 04m − 12 = 04m = 12m = 3


41 42 m ' = 0m ' ' = 3

−ba

ca

Δa

Soma das raízes:

Produto das raízes:

Diferença das raízes:

43 −11

=−1Soma das raízes:

Diferença das raízes:

Produto das raízes: −121

=−12

12 − 4 . 1 . −121

= 1 48 = 49 = 7

45 mx 2 4x2 7x 3m = 0Produto das raízes:

3mm 4

= 1

3m = 4 43m − m = 42m = 4m = 2

m ' = 1m ''

m ' . m ' ' = 1

O inverso das raízes:

x ' = 1x ' '

x ' . x ' ' = 1

3 = 13

3 . 13= 3

3= 1

x ' = 3

x ' ' = 13

Ex.:Produto das raízes:

44 2x2 − 5x k = 0 k2= 1

k = 2

k ' = 1k ' '

k ' . k '' = 1

Soma dos inversos das raízes: −bc

ca= 1

46 mx 2 − x2 − 8x 3 = 0 3m − 1

= 1

3 = m − 1m − 1 = 3m = 3 1m = 4

m ' = 1m ''

m ' . m ' ' = 1


47x2 − 2nx x n2 − n − 12 = 0 −−2n 1

1= 9

Soma das raízes:x2 − 2n − 1x n2 − n − 12 = 0

−−2n 1 = 92n − 1 = 92n = 9 12n = 10n = 5

48 kx2 2x2 − 5x 2k = 0 2kk 2

= 1

2k = k 22k − k = 2k = 2

k ' = 1k ' '

k ' . k ' ' = 1


Raízes simétricas:

x ' =−x ' '3 −3 = 0x ' = 3

x ' ' =−3Ex.:

Soma das raízes:Soma das raízes:

x ' −x ' ' = 0

49 2x2 4mx − 8x 50 = 0 −−4m − 82

= 0

−−4m 8 = 04m − 8 = 04m = 8m = 2

Soma das raízes:

Média Aritmética:x1 x1 ... xn

n

nx1 . x2 ... xn

Ex.: 3 4 53

= 4

Média Geométrica:

31 . 3 . 9 =327 = 3

Ex.:

Média Harmônica:n

1x1

1x2

... 1xn

Ex.: 212

13

= 125

50 x2 − 2ax 2bx a b2 = 0

M.A. =

−−2a 2b12

= 0

M.A. = 2a − 2b1

. 12= 0

M.A. = 2a − 2b2

M.A. = a − b

Soma das raízes dividido por 2

Média Aritmética: − ba2

Raiz quadrada do Produto das raízes:Média Geométrica:

ca

M.G. = a b2

1M.G. = a b2

M.G. = a b

51 m − 2x2 − 2m − 1x m 2 = 0mx2 − 2x2 − 2mx x m 2 = 0 −−2m 1

m − 2= 1

4−4−2m 1 = 1m − 28m − 4 = m − 28m − m =−2 47m = 2

m = 27

Soma das raízes:

52 hx2 3x2 − 2hx 2x h 4 = 0−−2h 2h 4

= 13

−3−2h 2 = 1h 46h − 6 = h 46h − h = 4 65h = 10h = 2

−bc

Soma dos inversos das raízes:

53−−4

2= 4

2= 2

Soma das raízes:

−bc

1 . −bc

− 12 1 . 2 − = 3 . 1 = 3

Soma das raízes:


54 Soma das raízes:

−−41

= 4


k1= k

SS . RR . SR . RS = 164k . 4k = 1642k = 1642 = 16k = 1

55−k36

= 512

−12k = 18012k =−180k = −15


−bc


56

−−1m

= 1m

Média harmônica:

−bc

Soma dos inversos das raízes:21m

= 10

2 . m1

= 10

2m = 10m = 5

57 Soma das raízes:

−−41

= 4


k1= k

SS . RR . SR . RS = 256

4k . 4k = 25642k = 25648 = 256k = 4

58−−5

m= 5

420 = 5m5m = 20m = 4


−bc


59

x ' x '' = −ba

Soma das raízes: x 4x =−−10

15x = 10x = 2

x ' = 2x ' ' = 4 . 2 = 8

k = c = produto das raízes2 . 8 = 16

60

x ' x '' = −ba

Soma das raízes: x x 1 = −−71

x x 1 = 72x = 7 − 12x = 6x = 3

x ' = 3x ' ' = 4

k = c = produto das raízes3 . 4 = 12

12 equação do segundo grau

Documents

Transcript of 12 equação do segundo grau