FACULDADE DE TECNOLOGIA E CIÊNCIAS - FTC - CURSOS DE ENGENHARIADISCIPLINA – Cálculo Diferencial e Integral IProfas: Lula e Zita Lista de Exercícios - Derivada

Taxa Média de Variação

A taxa média de variação da função y = f(x), em relação a x no intervalo [x1, x2] é:

= , x = x2 – x1, x ≠ 0.

Geometricamente a taxa média de variação da função y em relação a x no intervalo [x 1, x2] é o coeficiente angular da reta secante PQ.

A taxa de variação instantânea da função y = f(x) em relação a x, no instante x = x1. é igual a:

= , se este limite existe (é um número

real).

A derivada de f em relação a x, no ponto x = é a taxa de variação instantânea e denotada por

f ´( ) = =

Geometricamente, f ´( ) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( , f( ).

1

Δx

x2 x1

f(x1)

f(x2)

X

Y

y

Q

P

x1

P

I) Uma bola foi deixada cair do posto de observação de uma torre, 450 m acima do solo. A equação do movimento é dada por s = f(t) = 4,9t2 em metros.a) Qual a velocidade média da bola durante os primeiros três segundos de queda?b) Qual a velocidade da bola no instante t = 1 segundo?c) Com qual velocidade a bola chega ao solo?

II) A função posição de um ponto P que se move em linha reta é dada por s(t) = 2t – 3t 2, onde t é dado em segundos e s em centímetros . Determine:a) A velocidade média no intervalo [1; 1,01]b) A velocidade instantânea em to = 1s

III) A voltagem em certo circuito elétrico é de 100 volts. Se a corrente é I ( em ampères ) e a resistência é R

( em ohms) então pela Lei de Ohm . Se R está aumentando, determine, usando a definição, a taxa

instantânea de variação de I em relação a Ra) Para qualquer resistência Rb) Para uma resistência de 20 ohms

IV) A Lei de Boyle afirma que se a temperatura permanece constante, o volume V e a pressão P de um gás confinado estão relacionados pela fórmula V = k / P, para alguma constante k. Se para certo gás, k = 200 e V está aumentando, determine a taxa instantânea de variação de P em relação a V para:a) V qualquerb) V = 10.

V) Um balão esférico está sendo inflado. Ache, usando a definição, a taxa instantânea de variação da área S da superfície do balão em relação ao raio ra) Para um raio arbitráriob) Para r = 1 metro.

VI) Uma mancha de óleo se alastra sempre circularmente. Ache a taxa de variação da área da superfície da mancha em relação ao raio r do círculo para r = 200m

VII) Um ponto P em movimento sobre uma reta coordenada l tem a posição s dada por s(t) = t + 2cost: Determine quando sua velocidade é igual a 0.

VIII) Encontre uma a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos, xo, indicados.1) f(x) = x2 – 1; xo = 1 2) f(x) = x2 –3x +6; xo = – 1

3) ; xo = 1/3 4) f(x) = ; xo = 4

IX) Para cada uma das funções, indique o domínio de f, calcule a função derivada f ´ e o domínio de f ´.

1) f(x) = 3 2) y = x2+3x-4 3) f(t) = 4) y = 5) f(x) =

X) Usando as regras de derivação, encontre as derivadas das seguintes funções

1) y = x senx 2) y = tgx + x2 cotgx 3) y = sent cost + t cossect

4) y = + 3 5) y = 6)

7) y = 8) y = x3 + x2tgx 9) y = (x2 +1 ) cosx

2

10) 11) y = 12) y = x5 +

13) ; 14) y = 15) y = 2x + log x

XI) Determine a derivada das funções acima, utilizando a regra da cadeia.

1) f(x) = sen2x 2)f(x) = cos3t 3) f(x) = tg3x 4) f(x) = (sent + tgt)4

5) f(x) = (senx2 + cos3x)3 6) f(x) = exsen3x 7) f(x) = ln3x 8) f(x) = log2x

9) 10) f(x) = 11) 12) f(x) =

13) 14) 15) 16)

17) f(x) = ln(x2+1) + tgx2 18) f(x) = senx2 19) f(x) = tg(2x2 + 4x3) 20) f(x) = sen3x

21) f(x) = (tgx2 + cotg3x) –122)

23) f(x) = ln(x3 +x2 ) 24)

25) 26) f(x) = 27) f (x) = ( e2x + 3lnx)3 28) f(x) = sen2x e3x

29) 30) 31) 32)

XII) Para cada uma das funções seguintes, determine a expressão da derivada indicada, e o seu

valor no ponto dado:

a)

b)

c) no ponto

d) e no ponto

e) no ponto

XIII) Encontre o ponto do gráfico da função f(x) = 1 – x2 no qual a reta tangente é:

a) Paralela ao eixo Ox ( tangente horizontal )b) Paralela à reta, y = 1 – x

XIV) Encontre os valores de x para os quais a derivada das seguintes funções é igual a zero; é positiva e é negativa

a) f(x) = 4x2 –3x +2 b) s(t) = 2t3 +t2 –20t +4 c) d)

3