27059562 Raciocinio Logico Explicacao

8/2/2019 27059562 Raciocinio Logico Explicacao

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RACIOCÍNIO LÓGICO

Fundamentos da Lógica:

# Primeiros Conceitos:

O conceito mais elementar no estudo da lógica – e portanto o primeiro a ser visto – é o deProposição.

Trata-se, tão somente, de uma sentença – algo que será declarado por meio de palavrasou de símbolos – e cujo conteúdo poderá considerado verdadeiro ou falso.

Então, se eu afirmar “ a Terra é maior que a Lua ”, estarei diante de uma proposição, cujovalor lógico é verdadeiro.

Daí, ficou claro que quando falarmos em valor lógico, estaremos nos referindo a um dosdois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F).

E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, s erá que isso é uma proposição verdadeira ou falsa?Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico.Concluímos, pois, que...

... não serão estudadas neste curso. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas –que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas.

Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s etc). Sãooutros exemplos de proposições, as seguintes:

Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico(proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de pé verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F.

Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não!Jamais! E por que não? Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre algunsprincípios, muito fáceis de se entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São osseguintes:



Proposições podem ser ditas simples ou compostas .

Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outrasproposições. Nada mais fácil de ser entendido.

Exemplos:

Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma sósentença, estaremos diante de uma proposição composta . Exemplos:

Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivoslógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Estudaremos cada umdeles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposiçõescompostas .

Veremos que, para dizer que uma proposição composta é verdadeira ou falsa, issodependerá de duas coisas: 1 0) do valor lógico das proposições componentes; e 2 0) do tipo deconectivo que as une.

# Conectivo “e”: (conjunção)

onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante .

Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva ? Da seguinte forma: umaconjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem tambémverdadeiras.

Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemosconcluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, queMarcos é médico e que Maria é estudante .

Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposiçõescomponentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultadofalso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas.

Essas conclusões todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em umapequena tabela. Trata-se da tabela-verdade , de fácil construção e de fácil entendimento.

Retomemos as nossas premissas:



p = Marcos é médico e q = Maria é estudante .

Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas ( Marcos é médicoe Maria é estudante ) será também verdadeira. Teremos:

Se for verdade apenas que Marcos é médico , mas falso que Maria é estudante , teremos:

Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante , e falso que Marcos é médico ,teremos:

Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que:

Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Foradisso não há! Criamos, portanto, a Tabela-verdade que representa uma conjungão , ou seja,a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos:

É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardadaem nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partesque a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos.

Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentençassimples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola a te darei umabicicleta” . Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os doispresentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terásido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes foremtambém verdadeiras!

Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes ( p e q),saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo aseguinte estrutura:



Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois “vês” seguidos

de dois “efes”. Assim:

Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duaslinhas, para a premissa q é diferente: “vês” e “efes” se alternando a cada linha, começando comum V. Assim:

Essa estrutura inicial é sempre assim , para tabelas-verdade de duas proposições p e q.A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No casodo conectivo “e”, ou seja, no caso da conjungão , já aprendemos a completar a nossatabelaverdade:

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, aconjunção " p e q " corresponderá à intersegão do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

Passemos ao segundoconectivo. # Conectivo “ou”:(disjunção)



Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposigão disjuntiva ? Claro!Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola

ou te darei uma bicicleta.” Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é porapenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, apromessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for abastado e resolver dar os doispresentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do quecumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o paiesquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjungão .

Daí, concluímos: uma disjungão será falsa quando as duas partes que a compõemforem ambas falsas! E nos demais casos, a disjungão será verdadeira! Teremos as possíveissituações:

Ou:

Ou:

Ou, finalmente:

Juntando tudo, teremos:

A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas!

Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p edo q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjungão (p e q). Muda apenas aterceira coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a



disjunção " p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q,

# Conectivo “ou ... ou...”: (disjungão exclusiva)

Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção queacabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo:

“Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta”

A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-sefacilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola ), isso não impedirá que asegunda parte ( te darei uma bicicleta ) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdadeque 'ate darei uma bola” , então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, sefor verdade que 'a te darei uma bicicleta” , então teremos que não será dada a bola.

Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situagões mutuamente excludentes , desorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa.

Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, aomesmo tempo, falsas.

Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjungão exclusiva , pelapresença dos dois conectivos 'aou”, que determina que uma sentença é necessariamenteverdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta édisjungão exclusiva .

E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjungão exclusiva só será verdadeira seobedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houveruma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjungão exclusiva seráfalsa.

# Conectivo “Se ... então...”: (condicional)

Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:



Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição.Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.

Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelonome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu

Estado. Por exemplo:

E assim por diante. Pronto?

Agora me responda: qual é a única maneira de essa proposição estar incorreta? Ora, sóhá um jeito de essa frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.

Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza , então necessariamente é verdade que

eu sou cearense .

Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza , e que é falso que eu soucearense , então este conjunto estará todo falso.

Percebam que o fato de eu ter nascido em Fortaleza é condição suficiente (bastaisso!) para que se torne um resultado necessário que eu seja cearense . Mirem nessaspalavras: suficiente e necessário .

Percebam, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condigão suficiente paraMaria ser médica” , então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato dacondicional. Teremos:

“Pedro ser rico é condi ção suficiente para Maria ser médica” é iguala: “Se Pedro for rico, então Maria é médica”

Por outro lado, se ocorrer de alguém disser que: “Maria ser médica é condiçãonecessária para que Pedro seja rico” , também poderemos traduzir isso de outra forma:

“Maria ser médica é condi ção necessária para que Pedro seja rico” é iguala: “Se Pedro for rico, então Maria é médica”

O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário para oformato da proposição condicional já foi bastante exigido em questões de concursos.

Não podemos, pois esquecer disso:

Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposigão condicional ?Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando a houver a condiçãosuficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for

verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira.



Na proposição “Se p , então q” , a proposição p é denominada de antecedente, enquantoa proposição q é dita consequente.

Teremos:

As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se p, então q ":

Daí, a proposição condicional: “ Se chove, então faz frio ” poderá também ser dita dasseguintes maneiras:

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, aproposição condicional " Se p então q " corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (pestá contido em q):

# Conectivo “... se e somente se ...”: (bicondicional)

A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se e somente se”, separando as duassentenças simples.

Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser:“Eduardo fica alegre se e somente se Mariana sorri”.

É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais:



São construções de mesmo sentido!

Sabendo que a bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais , então abicondicional será falsa somente quando os valores lógicos das duas proposições que acompõem forem diferentes. Em suma: haverá duas situações em que a bicondicional seráverdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando foremambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa.

Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, aproposição bicondicional " p se e somente se q " corresponderá à igualdade dos conjuntos p eq.

Observação: Uma proposição bicondicional " p se e somente se q " equivale à proposiçãocomposta: “ se p então q e se q então p ”, ou seja,

São também equivalentes à bicondicional " p se e somente se q " as seguintesexpressões:

Via de regra, em questões de prova, só se vê mesmo a bicondicional no seu formatotradicional : “p se e somente se q”.

# Partícula “ na"o”: (negaça"o)



Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição.

No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavranão antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:

Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques !

Podem-se empregar, também, como equivalentes de " não A", as seguintes expressões:

Daí as seguintes frases são equivalentes:

# Negativa de uma Proposição Composta:

O que veremos aqui seria o suficiente para acertarmos algumas questões de concurso. Jásabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí,dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição .

Veremos, pois, uma a uma:

Para negarmos uma proposição no formato de conjunção ( p e q), faremos o seguinte:

E só!

Daí, a questão dirá: “ Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista”, e pedirá queencontremos, entre as opções de resposta, aquela frase que seja logicamente equivalente a esta



fornecida.

Analisemos: o começo da sentença é “ não é verdade que...”. Ora, dizer que “ não é verdadeque...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida.

E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção!

Daí, como negaremos que “ João é médico e Pedro é dentista” ? Da forma explicada acima:

Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que:

Tudo começa com aquele formato básico, que já é nosso conhecido:

Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjungao (e). Teremos:

Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos que com anegativa, o que é verdadeiro vira falso, e o que é falso vira verdadeiro.

Logo, teremos:



No início, teremos:

Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme já

sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:

Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico , para negar p e q, negaremos p,negaremos q, e trocaremos e por ou.

Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade parasaber como se faz a negativa de uma conjunção ! Esse exercício que fizemos acima, decomparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a origem dessaequivalência lógica.

Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a

outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas-verdade concluídas.



Para negarmos uma proposição no formato de disjunção ( p ou q), faremos o seguinte:

Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente àseguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro'.

Pensemos: a frase em tela começa com um “ não é verdade que...' , ou seja, o que se segueestá sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção . Daí, obedecendo aospassos descritos acima, faremos:

Na linguagem apropriada, concluiremos que:

Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q) , teremos:

Finalmente, fazendo a negação da coluna da disjunção , teremos:



Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:

Resultados idênticos! Daí, do ponto de vista lógico , para negar “p ou q” , negaremos p,negaremos q, e trocaremos ou por e.

Esta negativa é a mais cobrada em prova! Já, já, veremos exercícios de concursos bemrecentes. Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma:

Resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”.

Na linguagem lógica, teremos que:



Vejamos a questão seguinte, que caiu na prova de Gestor Fazenderrio de Minas Gerais,realizada her poucos dias:

(GEFAZ/MG-2005) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro ester em Roma, entãoPaulo ester em Paris” é logicamente equivalente à afirmação:

a) É verdade que ‘Pedro ester em Roma e Paulo ester em Paris’.

b) Não é verdade que ‘Pedro ester em Roma ou Paulo não ester em Paris’.

c) Não é verdade que ‘Pedro não ester em Roma ou Paulo não ester em Paris’.

d) Não é verdade que “Pedro não ester em Roma ou Paulo ester em Paris’.e) É verdade que ‘Pedro ester em Roma ou Paulo ester em Paris’.

Sol.: Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em anerlise começa com “não é verdade que...” . Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação? Uma proposigão condicional , ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.

Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional ,manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:

1) Mantendo a primeira parte: “Pedro ester em Roma” e

2) Negando a segunda parte: “Paulo não ester em Paris”.

O resultado ficou assim: “Pedro ester em Roma e Paulo não ester em Paris”.

Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que: “E verdade que ‘Pedro ester em Roma e Paulo não ester em Paris”. Encontramos? Não encontramos! Só

her duas opções de resposta que começam com “E verdade que... ” , que são as letras a e e. Estão,pois, descartadas essas duas opções.

Restam as letras b, c e d . Todas essas começam com “Não é verdade que...” . Ou seja,começam com uma negação! Daí, fica claro perceber que o que precisamos fazer agora éencontrar uma proposição cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro ester em Roma ePaulo não

ester em Paris , a qual havíamos chegado.

Ou seja, a proposição Pedro ester em Roma e Paulo são ester em Paris serer o

resultado de uma negação!

Ora, aprendemos her pouco que negando uma disjungão (ou), chegaremos a umaconjungão (e), e vice-versa. Vejamos:

Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjungão (e):



Logo, teremos que:

E chegamos a:

“Não é verdade que Pedro Não ester em Roma ou Paulo ester em Paris” .

Esta é nossa resposta ! Letra d.

Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:

10

) Fizemos a negação de uma proposigão condicional (se ... então ). O resultado desteprimeiro passo é sempre uma conjungão (e).

20) Achamos a proposição equivalente à conjungão encontrada no primeiro passo.

Na seqüência, apresentaremos duas tabelas que trazem um resumo das relações vistasaté este momento. Vejamos:

Negativas das Proposições Compostas:

Encerraremos esta primeira aula com uma lista de questões de concurso, as quaispoderemos tentar resolver somente com os conhecimentos já adquiridos. É o nosso...



EXERCÍCIOS

01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia. Logo:

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.

d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.

e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não éverdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condiçãonecessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que sejaverdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.

b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.

c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

a) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.

e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamenteequivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.

c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.

e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamenteequivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.

a) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.

b) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro

c) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.

e) André não é artista e Bernardo é engenheiro



05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, doponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico

b) nenhum economista é médico

c) nenhum médico é economista

d) pelo menos um médico não é economista

e) todos os não médicos são não economistas

06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do pontode vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista

b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro

c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista

d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista

e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo oguarda-chuva" é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva

b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva

c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva

e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, entãoLuísa é solteira” é:

a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.

b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.

c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;

d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;

e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.



Ora, os resultados destas duas estruturas são, sim, iguais! Só que, na verdade, seusresultados são, corrigindo as tabelas acima, os seguintes:

Correções feitas, passemos a uma breve revisão (breve mesmo!) do que vimos atéaqui, e do que temos obrigação de saber até agora:

REVISÃO DA LIÇÃO ANTERIOR:

# Proposigão: é toda sentença a qual poderá ser atribuído um valor lógico (verdadeiro ou falso);haverá proposições simples ou compostas.

# As proposições compostas podem assumir diversos formatos, ou seja, diversas estruturas ,dependendo do conectivo lógico que esteja unindo as suas proposições componentes. Assim,haverá proposições compostas chamadas conjungões (E), disjungões (OU) , disjungõesexclusivas (OU ... OU ... ), condicionais (SE ... ENTÃO ... ), e bicondicionais (...SE ESOMENTE SE... ) .

# Para entendermos mais facilmente o funcionamento dos três primeiros tipos de proposiçõescompostas (conjunção, disjunção e disjunção exclusiva), podemos fazer uma analogia com a

promessa de um pai para um filho. Lembram-se? “Te darei uma bola e te darei uma bicicleta” ;“te darei uma bola ou te darei uma bicicleta ” , “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta ” .

# Conjungão é aquela proposição composta que assume o formato “ proposição p E proposiçãoq”. Uma conjunção somente será verdadeira se ambas as sentenças componentes também foremverdadeiras. A tabela-verdade de uma conjunção será, portanto, a seguinte:

Recordando: a promessa do pai só terá sido cumprida se as duas partes dela forem observadas!



# Disjungão é a proposição composta que assume o formato “ proposição p OU proposição q ”.Para que uma disjunção seja verdadeira, basta que uma das sentenças componentes tambémo seja. A tabela-verdade de uma disjunção será, portanto, a seguinte:

Recordando: basta o pai cumprir uma das partes da promessa e toda ela já terá sido cumprida!

# Disjungão Exclusiva é a proposição que tem o formato “OU proposição p OU proposição q ”.

Na disjunção exclusiva, o cumprimento de uma parte da promessa exclui o cumprimento daoutra parte. A tabela-verdade de uma disjunção exclusiva será, portanto, a seguinte:

Recordando: a promessa do pai só é válida se ele der apenas um presente!

# Condicional é a proposição composta que tem o formato “SE proposição p, ENTAO proposição q ”. Para o melhor entendimento deste tipo de estrutura, somente paraefeitos didáticos , lembraremos da seguinte proposição:

“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense”.

A estrutura condicional é de tal forma que “uma condição suficiente gera um resultadonecessário ”. Ora, o fato de alguém ter nascido em Fortaleza já é condição suficiente para oresultado necessário: ser cearense.

Pensando desta forma, a única maneira de tal estrutura se tornar FALSA seria no casoem que existe a condigão suficiente, mas o resultado (que deveria ser necessário!) não severifica!

Ou seja, só é falsa a condicional se a primeira proposição (condição suficiente) forVERDADEIRA e a segunda proposição (resultado necessário) for FALSA. A tabela-verdade de uma

condicional será, portanto, a seguinte:

Como já era o esperado, a maioria das dúvidas enviadas para o nosso fórum versaramacerca da condicional. Uma coisa tem que ficar perfeitamente clara: o exemplo com o qualtrabalhamos acima (“se nasci em Fortaleza então sou cearense') foi escolhido exclusivamente

para efeitos didáticos! Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentidoentre o conteúdo das proposições componentes da condicional.

Por exemplo, poderemos ter a seguinte sentença:



“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão'

Viram? O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é umacondigão suficiente para a obtenção de um resultado necessário. Este resultadonecessário será justamente a segunda parte da condicional.

Voltemos a pensar na frase modelo da condicional:

“Se nasci em Fortaleza, então sou cearense'.

No fórum, alguém perguntou como seria possível considerar a condicional VERDADEIRA,sendo a primeira parte dela falsa e a segunda verdadeira (vide terceira linha tabela-verdade ):

Ora, seria possível que eu não tenha nascido em Fortaleza , e ainda assim que eu sejacearense? Claro! Posso perfeitamente ter nascido em qualquer outra cidade do Ceará, que nãoFortaleza! Certo? Ou seja, não invalida a condicional o fato de a primeira parte ser falsa e asegunda ser verdadeira. Ok?

É imprescindível que fique guardado na memória de vocês a seguinte conclusão:

A condicional somente será FALSA quando o antecedente for VERDADEIRO e oconsequente for FALSO !

Esta é a informação crucial. Mesmo que a compreensão da estrutura não tenha, nesteprimeiro momento, ficado inteiramente clara para alguém, o mais importante, por hora, éguardar bem a conclusão acima. Ok? Ao longo das aulas, temos certeza que alguns pontos irãoclareando mais e mais.

# Bicondicional é a proposição composta do formato “ proposição p SE E SOMENTE SE proposigão q'. Nesta estrutura, as duas partes componentes estão, por assim dizer,amarradas : se uma for VERDADEIRA, a outra também terá que ser VERDADEIRA; se uma forFALSA, a outra também terá que ser FALSA.

Será, portanto, válida a estrutura bicondicional se esta característica se verificar: ambas as

proposições verdadeiras, ou ambas falsas. A tabela-verdade de uma bicondicional será, portanto, aseguinte:

# Negação de uma Proposição Simples:

Nada mais fácil: o que é VERDADEIRO torna-se falso, e vice-versa! A tabela-verdadeserá, portanto, a seguinte:



# Negação de uma Proposição Composta:

A negativa de uma conjunção se faz assim:

Assim, para negar a seguinte sentença:

“Te darei uma bola E te darei uma bicicleta”

Faremos:

“Não te darei uma bola OU não te darei uma bicicleta”

A neqativa de uma disjunção se faz assim:


“Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”

Faremos:

“Não te darei uma bola E não te darei uma bicicleta”

A neqativa de uma condicional se faz assim:




“Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão”

Faremos:

“A baleia é uma mamífero E o papa não é alemão”

Essencialmente, foi este o conteúdo de nossa primeira aula.

Passemos a analisar algumas questões do dever de casa que ficou para vocês fazerem.

Resolveremos ainda hoje as oito questões que ficaram pendentes! Na seqüência, faremosalgumas delas. As demais, em páginas mais adiante.

RESOLUÇÃO DO EXERCÍCIO:

Comecemos com a questão 2:

02. (Fiscal Recife/2003) Pedro, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não éverdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condiçãonecessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que sejaverdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.

a) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta.

b) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

b) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.

e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

Sol.: Ora, aqui percebemos que há uma proposigão simples no enunciado, e que precisa seranalisada. Qual é essa proposição? A seguinte:

“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”

Se observarmos bem, veremos que esta sentença contém duas negações. Vejamos emdestaque:

“Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia são dormem a sesta ”

Também é fato que nosso cérebro trabalha mais facilmente com afirmações que comnegações. Tiremos a prova! Vamos trocar essas expressões negativas da frase acima porafirmagões correspondentes. Podemos, então, trocar “não é verdade” por “é mentira” . Todos



concordam? É a mesma coisa? Claro! Trocaremos também “não dormem a sesta” por “ficamacordados” . Pode ser? Teremos:

“É mentira que todos os aldeões daquela aldeia ficam acordados ”

Agora interpretemos a frase acima: ora, se é mentira que todos os aldeões ficam acordados,significa que pelo menos um deles dorme ! Concordam? É a resposta da questão, opção C!

Daqui, extrairemos uma lição: a palavra-chave da frase em questão é TODOS . É estapalavra que está sendo negada! E, conforme vimos, a negação de TODOS é PELO MENOS UM(=ALGUM).

Podemos até criar a seguinte tabela:

Questão semelhante já havia sido cobrada também pela Esaf. A frase em análise entãoera a seguinte: “Não é verdade que Codas as pessoas daquela família não são magras ”. Comointerpretar essa frase? Do mesmo jeito: primeiramente, troquemos as partes negativas porafirmações correspondentes. Teríamos o seguinte: “E mentira que Codas as pessoas daquelafamília são gordas ”. Ora, se é mentira que todas são gordas, então é porque pelo menos umadelas é magra! Só isso e mais nada.

Adiante!

03. (AFC/2002) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, élogicamente equivalente a dizer que é verdade que:

a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.

b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.

a) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.

b) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e)se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.

Daí, negando a primeira parte, teremos: Pedro não é pobre . Negando a segunda parte: Alberto não é alto . Finalmente, trocando o E por um OU, concluiremos que:

Deixemos a questão 4 para daqui a pouco.

05. (CVM/2000) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa,do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:



a) pelo menos um economista não é médico

a) nenhum economista é médico

b) nenhum médico é economista

b) pelo menos um médico não é economista e)todos os não médicos são não economistas

Sol.: Esta questão agora se tornou muito fácil, após termos feito a questão dois. Aprendemos,inclusive com uma tabela apropriada, que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM(=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos” ,o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase!

Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos , é fácil concluirmos que pelomenos um economista não é médico ! É nossa resposta – opção A!

Pulemos a sexta, por enquanto!

07. (Fiscal Trabalho/98) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo,eu levo o guarda-chuva" é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva

b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva

c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e)está chovendo e eu não levo o guarda-chuva

Sol.: Esta também não traz grande dificuldade! O que a questão pede é a negação de umacondicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se asegunda! Daí, concluiremos o seguinte:

Ao longo desta aula, resolveremos as questões que ficaram faltando!

# TABELAS-VERDADE:

Trataremos agora um pouco mais a respeito de uma TABELA-VERDADE .

Aprendemos que se trata de uma tabela mediante qual são analisados os valores lógicos deproposições compostas.

Na aula passada, vimos que uma Tabela-Verdade que contém duas proposições apresentaráexatamente um número de quatro linhas! Mas e se estivermos analisando uma proposição

composta com três ou mais proposições componentes? Como ficaria a tabela-verdade nestecaso?

Generalizando para qualquer caso, teremos que o número de linhas de uma tabela-verdade



será dado por:

Trabalhando com duas proposições componentes, a estrutura inicial da tabela-verdade serásempre aquela que já aprendemos na aula passada. Qual seja:

E a próxima coluna (ou próximas colunas) da tabela-verdade dependerá dos conectivos queestarão presentes na proposição composta.

Já sabemos construir, pelo menos, cinco tabelas-verdade de proposições compostas!Claro! A tabela-verdade da conjunção, da disjunção, da disjunção exclusiva, da condicionale da bicondicional.

Com este conhecimento prévio, já estamos aptos a construir as tabelas-verdade dequalquer outra proposição condicional formada por duas proposições componentes ( p e q).Designaremos tal proposição composta da seguinte forma: P(p, q) .

Suponhamos, pois, que estamos diante da seguinte proposição composta:

...e desejamos construir a sua tabela-verdade. Como seria? O início da tabela é, conformesabemos, sempre o mesmo. Teremos:



Uma coisa muito importante que deve ser dita neste momento é que, na hora deconstruirmos a tabela-verdade de uma proposição composta qualquer, teremos que seguiruma certa ordem de precedência dos conectivos. Ou seja, os nossos passos terão queobedecer a uma seqüência.

Começaremos sempre trabalhando com o que houver dentro dos parênteses . Só depois,passaremos ao que houver fora deles. Em ambos os casos, sempre obedecendo à seguinteordem:



Passemos a um exercício mais elaborado de tabela-verdade ! Caso você queira, podetentar a resolução sozinho e depois conferir o seu resultado. Vamos a ele:

Sol.: Observamos que há dois parênteses. Começaremos, pois, a trabalhar o primeiro deles,isoladamente. Nossos passos, obedecendo à ordem de precedência dos conectivos, serão osseguintes:

Deixemos essa coluna-resultado de molho para daqui a pouco, e passemos a trabalhar osegundo parênteses. Teremos:



Se quiséssemos, poderíamos ter feito tudo em uma única tabela maior, da seguinte forma:

Pronto! Concluímos mais um problema. Já estamos craques em construir tabelas-verdades para proposições de duas sentenças. Mas, e se estivermos trabalhando com trêsproposições simples (p, q e r)? Como é que se faz essa tabela-verdade ?

Vimos que, para duas proposições, a tabela-verdade se inicia sempre do mesmo jeito. O

mesmo ocorrerá para uma de três proposições. Terá sempre o mesmo início . E será o seguinte:

A coluna da proposição p será construída da seguinte forma: quatro V alternando com

quatro F; a coluna da proposição q tem outra alternância: dois V com dois F; por fim, a coluna daproposição r alternará sempre um V com um F . Teremos, portanto, sempre a mesma estruturainicial:



Saber construir esta tabela acima é obrigação nossa! Ela corresponde, como já foi dito, àestrutura inicial de uma tabela-verdade para três proposições simples!

Suponhamos que alguém (uma questão de prova, por exemplo!) nos peça queconstruamos a tabela-verdade da proposição composta seguinte:

A leitura dessa proposição é a seguinte: Se p e não q , então q ou não r .

Vamos fazer esse exercício? Começaremos sempre com a estrutura inicial para trêsproposições. Teremos:

Daí, já sabemos que existe uma ordem de precedência a ser observada, de modo quetrabalharemos logo os parênteses da proposição acima. Começando pelo primeiro deles,faremos os seguintes passos:



Só recordando: basta que uma parte seja verdadeira, e a disjunção ( ou ) também o será!

Só recordando: a condicional só será falsa se tivermos VERDADEIRO na primeira parte e FALSO nasegunda!

Novamente, se assim o quiséssemos, poderíamos ter feito todo o trabalho em uma só



tabela, como se segue:

# TAUTOLOGIA:

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita umaTautologia se ela for sempre verdadeira , independentemente dos valores lógicos dasproposições p, q, r, ... que a compõem.

Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia ,construiremos a sua tabela-verdade ! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentarverdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso!

Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia :

TABELA 33:



# CONTRADIÇÃO:

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita umacontradigão se ela for sempre falsa , independentemente dos valores lógicos das proposiçõesp, q, r, ... que a compõem.

Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos osresultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição.

Exemplo 1:

Exemplo 2:



# CONTINGÊNCIA:

Uma proposição composta será dita uma contingencia sempre que não for umatautologia nem uma contradição .

Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se,ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem éuma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência !

E por que essa proposição acima é uma contingência ? Porque nem é uma tautologia enem é uma contradição ! Por isso! Vejamos agora algumas questões de concurso sobre isso.

# Questões de Concurso:

(TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, ocandidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação daproposição caracteriza:

(A) um silogismo.

(B) uma tautologia.

(C) uma equivalência.

(D) uma contingência.

(E) uma contradição.

Sol: Com a finalidade de montarmos a tabela verdade para verificar se a proposição

apresentada no enunciado da questão é uma tautologia ou uma contradição , definiremos aseguinte proposição simples:

p : o candidato A será eleito

Construindo a tabela- verdade , teremos que:

Pronto! Matamos a charada! Como a última linha desta tabela-verdade só apresenta o



valor lógico Verdadeiro , estamos inequivocamente diante de uma Tautologia . A alternativacorreta é a letra B.

Passemos a mais uma questão.

(Fiscal Trabalho 98 ESAF) Um exemplo de tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordoe) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo

Sol: Para simplificar e facilitar esta resolução, assumiremos as seguintes proposições simples:

Daí, utilizando estas definições feitas acima para as proposições p e q, as alternativasda questão poderão ser reescritas simbolicamente como:

O que resta ser feito agora é testar as alternativas, procurando por aquela que sejauma Tautologia. Para isso, construiremos a tabela-verdade de cada opção de resposta.

Pronto! Mal começamos, e já chegamos à resposta! Observemos que a última colunada tabela-verdade acima só apresentou valores lógicos verdadeiros ! Com isso,concluímos: a proposição da opção A – Se João é alto, então João é alto ou Guilherme égordo – é uma Tautologia !

Daí: Resposta: Letra All



Antes de seguirmos adiante, façamos uma solução alternativa para a questão acima:

Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade , também oconseqüente será verdade , e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição éuma tautologia .

A questão terminou, mas vamos analisar os restantes.

Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade , o conseqüenteserá verdade se q for verdade , e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir osvalores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia.

O antecedente desta proposição sendo verdade , o valor lógico de q pode ser verdadeou falso, e daí o conseqüente que é dado por q também pode ser verdade ou falso,

logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.

O antecedente desta proposição sendo verdade , os valores de p e q podem serverdade ou falso, e portanto o conseqüente também pode ser verdade ou falso, logoconcluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.

Observem que o antecedente é sempre verdade independente do valor lógico de p, jáo conseqüente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto, concluímos quea proposição desta alternativa não é uma tautologia.

Passaremos agora a tratar de um tema da maior relevância no Raciocínio Lógico, e que,



inclusive, já foi exaustivamente exigido em questões de provas recentes de concursos.Estamos nos referindo à Equivalência Ldgica . Ou seja, vamos aprender a identificarquando duas proposições compostas são equivalentes uma à outra. Vamos lá!

# PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES:

Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que sãoequivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suastabelas-verdade são idênticos .

Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição porqualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la.

Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convémconhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões.

Exemplo: André é inocente e inocente = André é inocente

Exemplo: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema

Exemplo: o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte

Exemplo: o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco

Exemplo: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo

Exemplo: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo

Para facilitar a nossa memorização, colocaremos essas equivalências na tabela seguinte:



As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Inclusive,serão utilizadas para resolver algumas questões do dever de casa que ficaram pendentes.

Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio dacomparação entre as tabelas-verdade . Ficam como exercício para casa estas demonstrações.São as seguintes as equivalências da condicional:

Exemplo: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove

Exemplo: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso

Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos:

Tomemos as questões restantes do dever de casa , e as resolvamosagora:

01. (AFC-STN/2005) Se Marcos não estuda, João não passeia.Logo:

a) Marcos estudar é condição necessária para João não passear.

b) Marcos estudar é condição suficiente para João passear.

c) Marcos não estudar é condição necessária para João não passear.

d) Marcos não estudar é condição suficiente para João passear.e) Marcos estudar é condição necessária para João passear.

Sol.: Conforme aprendemos na aula passada, a estrutura condicional pode ser traduzidatambém com uso das expressões condição suficiente e condição necessária . Lembrados?Usando essa nomenclatura, teremos que:



Daí, tomando a sentença “ Se Marcos não estuda, então João não passeia” , teremos que:

Se Marcos não estuda, então João não passeia = Se João passeia, então Marcosestuda. Viram o que foi feito? Fizemos as duas negativas e trocamos a ordem!

Daí, agora analisando esta condicional equivalente , concluiremos que:

04. (MPOG/2001) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” élogicamente equivalente a dizer que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.

a) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.

b) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro

c) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.

e) André não é artista e Bernardo é engenheiro

Sol.: Aqui temos uma questão mais bonita! Teremos que usar as duas equivalências dacondicional para resolvê-la. Vejamos: o enunciado nos trouxe uma disjungão . Replicando atabela 39, temos que...



06. (Fiscal Trabalho/98) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é,do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:

a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista

b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro

c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista

d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulistae) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista

Teremos, pois que:

Daí, a condicional equivalente a esta disjungão será a seguinte:

08. (SERPRO/96) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, entãoLuísa é solteira” é:

a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.

b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.

c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;

d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;

e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

Sol.: A questão nos trouxe uma condicional e pediu uma proposição equivalente. Podemostestar as duas equivalências da condicional que conhecemos.



Daí:

Se Pedro é economista, então Luísa é solteira = Pedro são é economista ou Luísa é solteira. Seria a segunda resposta possível.

Pronto! Terminamos de resolver as questões que haviam ficado do dever de casa , masainda não terminamos a aula de hoje! Demos seqüência ao estudo das equivalências! Adiante!

Este tipo de equivalência já foi estudado por nós na primeira aula. Trata-se, tãosomente, das negações das proposições compostas ! Como tais equivalências já foraminclusive revisadas nesta aula de hoje, nos limitaremos apenas a reproduzi-las novamente.Teremos:

Talvez alguma dúvida surja em relaGão à última linha da tabela acima. Porém, bastanos lembrarmos do que foi aprendido também na última linha da tabela 38 (página 16):

(Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!)Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção

equivalente . E para negar uma conjunção , já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o Epor um OU.

Fica também como tarefa para casa a demonstraGão desta negaGão da bicondicional. Ok?

Algumas outras equivalências que podem ser relevantes são as

seguintes: 1ª) p e (p ou q) = p

Exemplo: Paulo é dentista, e Paulo é dentista ou Pedro é médico = Paulo édentista 2ª) p ou (p e q) = p



Exemplo: Paulo é dentista, ou Paulo é dentista e Pedro é médico = Paulo é dentista

Por meio das tabelas-verdade , estas equivalências também podem ser facilmentedemonstradas. Para auxiliar nossa memorizaGão, criaremos a tabela seguinte:

Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões deprova. É uma equivalência simples, e de fácil compreensão. Vejamos:

1ª) Nenhum A é B = Todo A é não B

Exemplo:Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (=Todo médico não é louco)

2ª) Todo A é B = Nenhum A é não B

Exemplo: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)

Colocando essas equivalências numa tabela, teremos:

# LEIS ASSOCIATIVAS, DISTRIBUTIVAS E DA DUPLA NEGAÇÃO:

Na seqüência, algumas leis que podem eventualmente nos ser úteis na análise dealguma questão. São de fácil entendimento, de modo que nos limitaremos a apresentá-las.

Daí, concluiremos ainda que:



Exemplos:

1) A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica

1) Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional

2) Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural

2) Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural

EXERCÍCIOS

(Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os itens de 01 a 08

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

Considere as sentenças abaixo.

i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.

ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

i. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

ii. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumardeve ser proibido.

v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.



Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itensseguintes.

Gabarito: 01. E 02. E 03. C 04. E 05. C 06. C 07. C 08. E

(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Qrepresente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi aocomércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir:

Gabarito: C C E C

13. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE)

(SERPRO 2004 – CESPE)

(Analista Petrobrás 2004 CESPE)

Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:

Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleoe derivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, a

produção de 100 mil barris/dia.

Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamente equivalente àassertiva acima.



15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio daexploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.

16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo ederivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 milbarris/dia.

Gabarito: C, E

(Papiloscopista 2004 CESPE)

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.

Gabarito: E, E

19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmaçãoP: P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora,sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

a) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.

c) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não éarquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não éarquiteto.

20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não émédico e Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:

a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.

b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.

a) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.



c) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.

e) se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio não é sociólogo.

21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro écalvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:

a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.

b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.

a) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.

c) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não ébaixo.

(Agente da Polícia Federal – 2004 –CESPE) Texto para os itens de 01 a 08



Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

Sol.: Para este tipo de questão, um artifício útil é o de substituir a letra que representa aproposição pelo seu respectivo valor lógico. Neste caso, vemos que o enunciado definiu queas proposições (P e Q) são ambas verdadeiras! Daí, em lugar de P e de Q, usaremos o valorlógico V.

Teremos:

Estamos diante de uma disjungão (OU), a qual já conhecemos bem: basta que umadas partes seja verdadeira, que a disjungão será verdadeira. Mas, se as duas partes foremfalsas, como neste caso, então, a disjungão é FALSA. Teremos, finalmente, que:

Sol.: Usaremos o mesmo artifício da questão acima. Teremos:

Redundamos numa condicional . Conforme sabemos, a condicional só é falsa quando aprimeira parte é verdadeira e a segunda é falsa. Lembrados? Daí, como não é o caso, teremos:

Sol.: Mais uma vez, a resolução seguirá o mesmo caminho já utilizado acima. Teremos:

Trabalhemos o primeiro parênteses, observando que se trata de uma conjungão . Como já é do conhecimento de todos, somente se as duas partes forem verdadeiras é que aconjungão o também o será! Não é o nosso caso. Assim, teremos:



Considere as sentenças abaixo.

i. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.

ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

iv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumardeve ser proibido.

v. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itensseguintes.

Sol.: Façamos o caminho inverso: partindo da simbologia, construiremos a frase.

= Fumar deve ser proibido e não é verdade que muitos europeusfumam. Conclusão: o item 4 está errado!

Sol.: Tomemos a representação simbólica e façamos sua tradugão. Teremos:

= Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem àsaúde. Conclusão: o item 5 está correto!



= Se fumar não faz bem à saúde, então fumar deve serproibido. Conclusão: o item 6 está correto!

= Se R e não T, então P

= Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeusfumam, então fumar deve ser proibido.

Conclusão: o item 7 está correto!

= Se T, então não R e não P

= Se muitos europeus fumam, então é falso que fumar não faz bem à saúde eé falso que fumar deve ser proibido.

Percebam que a sentença V inverte a ordem da condicional acima.

Daí, o item 8 está errado!

(TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposigão Hoje choveu, Qrepresente a proposigão José foi à praia e R represente a proposigão Maria foi aocomércio. Com base nessas informagões e no texto, julgue os itens a seguir:

Sol.: Usemos o mesmo artifício: tomemos a sentença em simbologia e façamos suatradução. Sabendo que:

P = hoje choveu

Q = José foi à praia

R = Maria foi ao comércio

Teremos:

= Se hoje não choveu, então Maria não foi ao comércio e José não foi à



Esta equivalência se forma, portanto, da seguinte maneira: trocam-se as proposições

de lugar, e negam-se ambas! Só isso!

Pronto! Achamos a proposição equivalente! Teremos, pois, que:

Conclusão: o item está errado, pois colocou um sinal de negação ( N) antes da primeira

parte!

Comparando os resultados, concluímos igualmente que tais sentenças não sãoequivalentes!

(SERPRO 2004 – CESPE)

Sol.: Façamos o que manda a questão: comparemos as tabelas-verdade . A primeirasentença é uma mera condicional . Teremos, pois, que:




(Analista Petrobrás 2004 CESPE)

Considere a assertiva seguinte, adaptada da revista comemorativa dos 50 anos da PETROBRAS:

Se o governo brasileiro tivesse instituído, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo ederivados no território nacional, a PETROBRAS teria atingido, nesse mesmo ano, aprodução de 100 mil barris/dia.

Julgue se cada um dos itens a seguir apresenta uma proposição logicamenteequivalente à assertiva acima.

Sol.: Para simplificar e facilitar a resolução dos dois itens seguintes, definiremos as seguintesproposições simples p e q:

p: o governo brasileiro instituiu o monopólio da exploração de petróleo. e

q: a PETROBRAS atingiu a produção de 100 mil barris/dia.

Analisemos o item 15.

15. Se a PETROBRAS não atingiu a produção de 100 mil barris/dia em 1962, o monopólio daexploração de petróleo e derivados não foi instituído pelo governo brasileiro nesse mesmo ano.


16. Se o governo brasileiro não instituiu, em 1962, o monopólio da exploração de petróleo ederivados, então a PETROBRAS não atingiu, nesse mesmo ano, a produção de 100 milbarris/dia.



Conclusão: o item 16 está errado!

(Papiloscopista 2004 CESPE)

A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.

Todavia, caso queiramos realmente comparar as tabelas-verdade , e começando coma condicional, teremos:

Como queríamos demonstrar, não há equivalência lógica entre as duas construçõesanalisadas. Conclusão: o item 17 está errado!



Comparando os dois resultados acima, concluímos que o item 18 é errado!

19. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P:P: “A ou B”

Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações:

A: “Carlos é dentista”

B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora,sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.

b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto.

d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto.e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto.

Sol.: Essa questão é muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta no formato de umadisjunção : A ou B .

Ora, logo em seguida o enunciado disse que esta disjunção é falsa! Ora, dizer que umasentença qualquer é falsa é o mesmo que colocar as palavras “ não é verdade que ...” antes dela.

Em suma: a questão quer que façamos a negação da disjunção . É isso!

Como negar uma disjunção é algo que já sabemos fazer:

10) Nega-se a primeira parte;

20) Nega-se a segunda parte;

30) Troca-se o ou por um e.

Agora chegou a hora de fazermos a negação de B. Só temos que observar que a proposiçãoB é uma condicional . Como se nega uma condicional? Já sabemos:



10) Repete-se a primeira parte; e

20) Nega-se a segunda parte.

20. (Técnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médicoe Sílvio não é sociólogo. Dessa premissa pode-se corretamente concluir que:

a) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo.

b) se Pedro é pintor e Carlos não é cantor, Mário é médico ou Sílvio não é sociólogo.c) Se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico e Sílvio não é sociólogo.

d) se Pedro é pintor e Carlos é cantor, Mário é médico ou Sílvio é sociólogo. e)se Pedro não é pintor ou Carlos é cantor, Mário não é médico e Sílvio é sociólogo.

Sol.:

Uma questão interessante! Vamos simplificar nossa vida, definindo as seguintes proposiçõessimples. Teremos:

Até aqui, tudo bem? Vamos em frente!

A questão quer saber qual das opções de resposta traz uma conclusão decorrente dasentença do enunciado. Isto é o mesmo que saber qual é a alternativa que é sempreverdadeira se nós considerarmos a sentença do enunciado como verdadeira .

Para resolver a questão é aconselhável também traduzir para a linguagem simbólicacada uma das alternativas. Executando este procedimento, teremos:



Ora, em uma proposição condicional , se a sua 1ª parte tiver o valor lógico verdade , a2ª parte também deverá ter este mesmo valor lógico, a fim de que toda a condicional sejaverdadeira, não é isso? (Sabemos que uma condicional será falsa se sua primeira componentefor verdadeira e a segunda for falsa).

Daí, para que (P ou C) seja Verdade , em se tratando de uma disjungão , teremosas seguintes combinações possíveis: (basta lembrar da tabela-verdade da disjungão):

Obs.: Estamos lembrados que para a disjunção ser verdadeira, basta que uma de suas partes o seja.

Pois bem! Entendido isto, agora vamos testar estas combinações de valores lógicos em

cada uma das alternativas da questão, a fim de encontrar a nossa resposta. Lembrandoque a alternativa correta é aquela que apresenta uma sentença cujo valor lógico é sempreVerdade .

Todas as alternativas desta questão trazem proposições condicionais , e sabemos quea condicional só é F quando a 1ª parte é V e a 2ª parte é F .

Iniciaremos os testes analisando a segunda parte das condicionais das opções deresposta, lembrando-nos de que M e F são ambas falsas ! Chegaremos aos seguintesresultados:

Somente a alternativa B tem a segunda parte da condicional com valor lógico verdade ,

significando que ela jamais será falsa , ou em outras palavras, ela sempre será verdade .

Conclusão: a opção correta é a B.

Observemos que sequer foi necessário testar, nas alternativas de resposta, a primeiraparte das condicionais . Fica para cada um realizar esse teste.



Mais adiante, resolveremos novamente esta mesma questão, por um outro caminho.

A propósito, esta questão também poderia ter sido resolvida construindo-se atabelaverdade de cada alternativa de resposta, mas cada tabela teria 16 linhas, pois háquatro proposições simples, o que tornaria a resolução demasiadamente custosa e quase queinviável para o tempo da prova.

21. (AFC/STN-2005/Esaf) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo”

é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:

a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.

b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.

c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.

d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino não ébaixo.

Sol.: Uma questão muitíssimo recente. Temos aí uma proposição composta, formada por trêsproposições simples interligadas pelo conectivo ou.

Para simplificar, definiremos as seguintes proposições simples:

Segundo o enunciado da questão, a afirmação trazida é falsa ! Ora, dizer que umaafirmação qualquer é falsa, e solicitar a verdade, é o mesmo que pedir a negação daquelasentença.

Traduzindo esta linguagem simbólica para uma sentença em palavras,obtemos: “Alda não é alta, e Bino é baixo, e Ciro não écalvo” ,

Esta poderia ser a resposta da questão! Todavia, nenhuma das opções apresenta este texto!

Vemos que todas as alternativas de resposta trazem o conectivo Ilse ... então ”, ou seja,o formato da condicional . Ora, a equivalente de uma condicional , como já sabemos, ou será

uma outra condicional , ou, alternativamente, uma disjungão . (Aprendemos isso na aula passada!) .

Daí, não há como fazer facilmente a equivalência entre a sentença acima, que é



formada por conjungões , e as alternativas de resposta! O que fazer? Nesta situação, omelhor será traduzirmos em símbolos estas alternativas, tomando por base as proposições A,B e C definidas anteriormente, e assim, teremos:

Fazendo esse teste para cada opção de resposta, teremos:

A única alternativa que possui valor lógico V é a alternativacorreta! Conclusão: nossa resposta é a opção C.

É isso! Esperamos que todos tenham se esforçado para resolver essas questões!Mais importante que conseguir é tentar! E a melhor coisa do mundo é errar em casa, poisaprendemos com o erro e não o repetimos na prova!

27059562 Raciocinio Logico Explicacao

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