4 Raciocinio Logico

RACIOCÍNIO LÓGICO

Didatismo e Conhecimento 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

ESTRUTURAS LÓGICAS

A Lógica é uma ciência com características matemáticas, mas está fortemente ligada à Filosofia. Ela cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar humano. Aristóteles, filósofo grego (384 – 322 a.C) em sua obra “Órganon”, distribuída em oito volumes, foi o seu principal organizador. George Boole (1815 – 1864), em seu livro “A Análise Matemática da Lógica”, estruturou os princípios matemáticos da lógica formal, que, em sua homenagem, foi denominada Álgebra Booleana.

No século XX, Claude Shannon aplicou pela primeira vez a álgebra booleana em interruptores, dando origem aos atuais com-putadores. Desde 1996, nos editais de concursos já inseriam o “Ra-ciocínio Lógico” em suas provas.

Existem muitas definições para a palavra “lógica”, porém no caso do nosso estudo não é relevante um aprofundamento nesse ponto, é suficiente apenas discutir alguns pontos de vista sobre o assunto. Alguns autores definem lógica como sendo a “Ciência das leis do pensamento”, e neste caso existem divergências com essa definição, pois o pensamento é matéria estudada na Psicolo-gia, que é uma ciência distinta da lógica (ciência). Segundo Irving Copi, uma definição mais adequada é: “A lógica é uma ciência do raciocínio”, pois a sua idéia está ligada ao processo de raciocínio correto e incorreto que depende da estrutura dos argumentos en-volvidos nele.

“Lógica: Coerência de raciocínio, de idéias. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas.» (dicionário Aurélio), portanto podemos dizer que a Lógica é a ciência do raciocínio. Assim concluímos que a lógica estuda as formas ou estruturas do pensamento, isto é, seu propósito é estudar e estabelecer propriedades das relações formais entre as proposições.

Veremos nas próximas linhas a definição do que venha a ser uma proposição, bem como o seu cálculo proposicional antes de chegarmos ao nosso objetivo maior que é estudar as estruturas dos argumentos, que serão conjuntos de proposições denominadas pre-missas ou conclusões.

Dica: A esmagadora maioria das questões de raciocínio lógico exigidas em concursos públicos necessita de uma forma ou de outra, de conhecimentos básicos de matemática.

Este é o motivo para que façam paralelamente à matéria de raciocínio lógico propriamente dito uma revisão dos principais tópicos da matemática de nível secundário.

Concomitantemente com a revisão acima mencionada, devem estudar todas as grandes famílias de problemas consideradas de raciocínio lógico, e a maneira mais rápida de resolvê-los.

Muitas questões podem ser resolvidas pela simples intuição. Porém, sem o devido treinamento, mesmo os melhores terão dificuldade em resolvê-las no exíguo tempo disponível nos concursos.

Grande parte dos problemas de Raciocínio Lógico, como não poderia deixar de ser, serão do tipo “charada” ou “quebra-cabeças”.

Alguns problemas que caem nos concursos exigem muita criatividade, malícia e sorte, e, a não ser que o candidato já tenha visto coisa similar, não podem ser resolvidos nos três a cinco minutos disponíveis para cada questão.

Muitos candidatos, mesmo devidamente treinados não terão condições de resolvê-los. Nosso conselho é que não devem se preocupar muito. Esses problemas irrespondíveis no tempo hábil não passam de 20% das questões de Raciocínio Lógico exigidas nos concursos públicos.

Uma base sólida de matemática será suficiente para resolver pelo menos 50% dos problemas. Os outros 30% podem ser resolvidos pela aplicação direta dos métodos de raciocínio lógico que estudarão.

Portanto veremos alguns conceitos sobre lógica e, posteriormente, alguns testes para avaliação do aprendizado. No mais, já servindo como dica, raciocínio lógico deve ser estudado, principalmente, através da prática, ou seja, resolução de testes.

Pode, à primeira vista, parecer complexa a disciplina «Raciocínio Lógico». Entretanto, ela está ao alcance de toda pessoa que memorize as regras e exercite bastante. Portanto, mãos à obra.

Valores Lógicos

A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das ideias de George Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas para representar proposições e suas inter-relações.

As ideias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas como proposições, as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:

Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra alternativa.

Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

Diz-se então que uma proposição verdadeira possui Valor Lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui Valor Lógico F (falso). Os Valores Lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ).

As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ...

De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, “O dia está bonito”; “3 + 5”; “x é um número real”; “x + 2 = 7”; etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico definido (verdadeiro ou falso).

Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico V ou F. Poderia ser também 1 ou 0.

p: “a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º” (V)


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q: “3 + 5 = 2” (F)r: “7 + 5 = 12” (V)s: “a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é

dada por Si=(n-2).180º” (V)t: “O Sol é um planeta” (F)w: “Um pentágono é um polígono de dez lados” (F)

O Modificador Negação

Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se “não p”). Ex.:

p: Três pontos determinam um único plano (V)~p: Três pontos não determinam um único plano (F)Obs.: duas negações equivalem a uma afirmação ou seja, em

termos simbólicos: ~(~p) = p .

Operações Lógicas

As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos Ʌ, V, ⇒ e ⇔, dando origem ao que conhecemos como proposições compostas. Assim, sendo p e q duas proposições simples, poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p Ʌ q, p V q, p ⇒ q, p ⇔ q (Os significados dos símbolos estão indicados na tabela anterior). Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.

Conjunção: p Ʌ q (lê-se “p e q”).Disjunção: p V q (lê-se “p ou q”).Condicional: p ⇒ q (lê-se “se p então q”).Bi-condicional: p ⇔ q (“p se e somente se q”) . Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples

p e q, como determinaremos os valores lógicos das proposições compostas acima? Isto é conseguido através do uso da tabela a seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de Tabela Verdade.

Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:

p q p Ʌ q p V q p ⇒ q p ⇔ q1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 00 1 0 1 1 00 0 0 0 1 1

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:- a conjunção é verdadeira somente quando ambas as

proposições são verdadeiras. - a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições

são falsas. - a condicional é falsa somente quando a primeira proposição

é verdadeira e a segunda falsa. - a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições

possuem valores lógicos iguais. Ex.: Dadas as proposições simples:p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)

Temos:p Ʌ q tem valor lógico F (ou 0)p V q tem valor lógico V (ou 1)p ⇒ q tem valor lógico V (ou 1)p ⇔ q tem valor lógico F (ou 0).

Assim, a proposição composta “Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8” é logicamente verdadeira, não obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase!

As proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), estão associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1) pode significar um circuito elétrico ligado.

Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores! Seria demais imaginar que a proposição p V q esteja associada a um circuito série e a proposição p Ʌ q a um circuito em paralelo? Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que ajudaram a mudar o mundo!

LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES

Um argumento é “uma série concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”. É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição. Isto é, o conjunto de proposições p1,...,pn que tem como consequência outra proposição q.

Chamaremos as proposições p1,p2,p3,...,pn de premissas do argumento, e a proposição q de conclusão do argumento.

Podemos representar por:p1p2p3...pn∴q

Exemplos:

1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar. Passei no concurso ________________________ ∴ Irei trabalhar

2. Se ele me ama então casa comigo. Ele me ama. __________________________ ∴ Ele casa comigo.

3. Todos os brasileiro são humanos. Todos os paulistas são brasileiros. __________________________ ∴ Todos os paulistas são humanos.


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4. Se o Palmeiras ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.

Se o Palmeiras não ganhar o jogo, todos os jogadores receberão o bicho.

__________________________ ∴Todos os jogadores receberão o bicho.

Observação: No caso geral representamos os argumentos escrevendo as premissas e separando por uma barra horizontal seguida da conclusão com três pontos antes. Veja exemplo extraído do Irving M. Copi.

Premissa: Todos os sais de sódio são substâncias solúveis em água.

Todos os sabões são sais de sódio. ____________________________________Conclusão: ∴ Todos os sabões são substâncias solúveis em

água.

Os argumentos, em lógica, possuem dois componentes básicos: suas premissas e sua conclusão.

Por exemplo, em: “Todos os times brasileiros são bons e estão entre os melhores times do mundo. O Brasiliense é um time brasileiro. Logo, o Brasiliense está entre os melhores times do mundo”, temos um argumento com duas premissas e a conclusão.

Evidentemente, pode-se construir um argumento válido a partir de premissas verdadeiras, chegando a uma conclusão também verdadeira. Mas também é possível construir argumentos válidos a partir de premissas falsas, chegando a conclusões falsas.

O detalhe é que podemos partir de premissas falsas, proceder por meio de uma inferência válida e chegar a uma conclusão verdadeira. Por exemplo:

1. Premissa: Todos os peixes vivem no oceano.2. Premissa: Lontras são peixes.3. Conclusão: Logo, focas vivem no oceano.

Há, no entanto, uma coisa que não pode ser feita: a partir de premissas verdadeiras, inferirem de modo correto e chegar a uma conclusão falsa.

Podemos resumir esses resultados numa tabela de regras de implicação. O símbolo à denota implicação; A é a premissa, B é a conclusão.

Regras de ImplicaçãoPremissas Conclusão Inferência

A B A à BFalsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa FalsaVerdadeiras Verdadeira Verdadeira

- Se as premissas são falsas e a inferência é válida, a conclusão

pode ser verdadeira ou falsa (linhas 1 e 2).- Se as premissas são verdadeiras e a conclusão é falsa, a

inferência é inválida (linha 3).- Se as premissas e a inferência são válidas, a conclusão é

verdadeira (linha 4).

Desse modo, o fato de um argumento ser válido não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira, pois pode ter partido de premissas falsas.

Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões verdadeiras.

Premissas: Argumentos dedutíveis sempre requerem certo número de “assunções-base”. São as chamadas premissas. É a partir delas que os argumentos são construídos ou, dizendo de outro modo, é as razões para se aceitar o argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular pode ser a conclusão de outro, por exemplo.

As premissas do argumento sempre devem ser explicitadas. A omissão das premissas é comumente encarada como algo suspeito, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras “admitindo que...”, “já que...”, “obviamente se...” e “porque...”. É imprescindível que seu oponente concorde com suas premissas antes de proceder à argumentação.

Usar a palavra “obviamente” pode gerar desconfiança. Ela ocasionalmente faz algumas pessoas aceitarem afirmações falsas em vez de admitir que não entenda por que algo é “óbvio”. Não se deve hesitar em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

Inferência: Uma vez que haja concordância sobre as premissas, o argumento procede a passo a passo por meio do processo chamado “inferência”.

Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida, a nova proposição também deverá ser aceita. Posteriormente, essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.

Assim, inicialmente, apenas se pode inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.

Há vários tipos de inferência válidos, mas também alguns inválidos. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “Conseqüentemente...” ou “isso implica que...”.

Conclusão: Finalmente se chegará a uma proposição que consiste na conclusão, ou seja, no que se está tentando provar. Ela é o resultado final do processo de inferência e só pode ser classificada com conclusão no contexto de um argumento em particular.

A conclusão respalda-se nas premissas e é inferida a partir delas.

Exemplo de argumentoA seguir está exemplificado um argumento válido, mas que

pode ou não ser “consistente”.1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um começo.3. Premissa: Começar envolve um evento.4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu

um evento.5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.6. Conclusão: O universo teve uma causa.


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A proposição do item 4 foi inferida dos itens 2 e 3. O item 1, então, é usado em conjunto com proposição 4 para inferir uma nova proposição (item 5). O resultado dessa inferência é reafirmado (numa forma levemente simplificada) como sendo a conclusão.

Validade de um ArgumentoConforme citamos anteriormente, uma proposição é

verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido.

A validade de uma propriedade dos argumentos dedutivos que depende da forma (estrutura) lógica das suas proposições (premissas e conclusões) e não do conteúdo delas. Sendo assim podemos ter as seguintes combinações para os argumentos válidos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira. Exemplo: Todos os apartamentos são pequenos. (V) Todos os apartamentos são residências. (V) __________________________________ ∴Algumas residências são pequenas. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão verdadeira.

Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os pássaros são peixes. (F) __________________________________ ∴ Todos os pássaros têm asas. (V)

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma conclusão falsa.

Exemplo: Todos os peixes têm asas. (F) Todos os cães são peixes. (F) __________________________________ ∴ Todos os cães têm asas. (F)

Todos os argumentos acima são válidos, pois se suas premissas fossem verdadeiras então as conclusões também as seriam.

Podemos dizer que um argumento é válido se quando todas as suas premissas são verdadeiras, acarreta que sua conclusão também é verdadeira. Portanto, um argumento será não válido se existir a possibilidade de suas premissas serem verdadeiras e sua conclusão falsa.

Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.

ExemploTodas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.__________________________∴ Todas as princesas são bonitas.

Observe que não precisamos de nenhum conhecimento aprofundado sobre o assunto para concluir que o argumento é válido. Vamos substituir mulheres bonitas e princesas por A, B e C respectivamente e teremos:

Todos os A são B.Todos os C são A.________________∴ Todos os C são B.

Logo, o que é importante é a forma do argumento e não o conhecimento de A, B e C, isto é, este argumento é válido para quaisquer A, B e C, portanto, a validade é conseqüência da forma do argumento. O atributo validade aplica-se apenas aos argumentos dedutivos.

Argumentos Dedutivos e Indutivos

O argumento será dedutivo quando suas premissas fornecerem prova conclusiva da veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

ExemploTodo ser humano tem mãe.Todos os homens são humanos.__________________________∴ Todos os homens têm mãe.

O argumento será indutivo quando suas premissas não fornecerem o apoio completo para retificar as conclusões.

ExemploO Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.______________________________∴ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

Portanto, nos argumentos indutivos a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

Argumentos Dedutivos Válidos

Vimos então que a noção de argumentos válidos ou não válidos aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e também que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Vimos também que não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremos alguns argumentos dedutivos válidos importantes.

Afirmação do Antecedente: O primeiro argumento dedutivo válido que discutiremos chama-se “afirmação do antecedente”, também conhecido como modus ponens.


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Exemplo

Se José for reprovado no concurso, então será demitido do serviço.

José foi aprovado no concurso.___________________________∴ José será demitido do serviço.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:

p → qSe p, então q,

..q

p∴ q

p∴

ou

Outro argumento dedutivo válido é a “negação do consequente” (também conhecido como modus tollens).

Obs.: ( )qp → é equivalente a ( )pq ¬→¬ . Esta equivalência é chamada de contra positiva.

Exemplo

“Se ele me ama, então casa comigo” é equivalente a “Se ele não casa comigo, então ele não me ama”;

Então vejamos o exemplo do modus tollens.

Exemplo

Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação.

Não há inflação.______________________________∴Não aumentamos os meios de pagamentos.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:


..

pNãoqNão

∴ pq¬∴¬ou

Existe também um tipo de argumento válido conhecido pelo nome de dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.

Exemplo

João se inscreve no concurso de MS, porém não gostaria de sair de São Paulo, e seus colegas de trabalho estão torcendo por ele.

Eis o dilema de João:Ou João passa ou não passa no concurso.

Se João passar no concurso vai ter que ir embora de São Paulo.Se João não passar no concurso ficará com vergonha diante

dos colegas de trabalho._________________________∴ Ou João vai embora de São Paulo ou João ficará com

vergonha dos colegas de trabalho.

Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte maneira:

ou

p ∨ q

p→r

p ou q.

Se p então r

soursentãopSe

∴.

srsq

∨∴→

Argumentos Dedutivos Não Válidos

Existe certa quantidade de artimanhas que devem ser evitadas quando se está construindo um argumento dedutivo. Elas são conhecidas como falácias. Na linguagem do dia-a-dia, nós denominamos muitas crenças equivocadas como falácias, mas, na lógica, o termo possui significado mais específico: falácia é uma falha técnica que torna o argumento inconsistente ou inválido (além da consistência do argumento, também se podem criticar as intenções por detrás da argumentação).

Argumentos contentores de falácias são denominados falaciosos. Frequentemente, parecem válidos e convincentes, às vezes, apenas uma análise pormenorizada é capaz de revelar a falha lógica.

Com as premissas verdadeiras e a conclusão falsa nunca teremos um argumento válido, então este argumento é não-válido, chamaremos os argumentos não-válidos de falácias.

A seguir, examinaremos algumas falácias conhecidas que ocorrem com muita frequência.

O primeiro caso de argumento dedutivo não-válido que veremos é o que chamamos de “falácia da afirmação do consequente”.

Exemplo

Se ele me ama então ele casa comigo.Ele casa comigo._______________________∴ Ele me ama.

Podemos escrever esse argumento como:


ou.

.p

q∴ p

q∴


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Este argumento é uma falácia, podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Outra falácia que corre com freqüência é a conhecida por “falácia da negação do antecedente”.

ExemploSe João parar de fumar ele engordará.João não parou de fumar.________________________∴ João não engordará.Observe que temos a forma:


ou..

qNãopNão

∴ qp¬∴¬

Este argumento é uma falácia, pois podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa.

Os argumentos dedutivos não válidos podem combinar verdade ou falsidade das premissas de qualquer maneira com a verdade ou falsidade da conclusão.

Assim, podemos ter, por exemplo, argumentos não-válidos com premissas e conclusões verdadeiras, porém, as premissas não sustentam a conclusão.

Exemplo

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todos os gatos são mortais. (V)___________________________∴ Todos os gatos são mamíferos. (V)

Este argumento tem a forma:

Todos os A são B.Todos os C são B._____________________∴ Todos os C são A.

Podemos facilmente mostrar que esse argumento é não-válido, pois as premissas não sustentam a conclusão, e veremos então que podemos ter as premissas verdadeiras e a conclusão falsa, nesta forma, bastando substituir A por mamífero, B por mortais e C por cobra.

Todos os mamíferos são mortais. (V)Todas as cobras são mortais. (V)__________________________∴ Todas as cobras são mamíferas. (F)

Podemos usar as tabelas-verdade, definidas nas estruturas lógicas, para demonstrarmos se um argumento é válido ou falso.

Outra maneira de verificar se um dado argumento P1, P2, P3|¾ C é válido ou não, por meio das tabelas-verdade, é construir a condicional associada:

(P1∧P2∧P3 ...Pn)|¾ C e reconhecer se essa condicional é ou não uma tautologia.

Se essa condicional associada é tautologia, o argumento é válido. Não sendo tautologia, o argumento dado é um sofisma (ou uma falácia).

Há argumentos válidos com conclusões falsas, da mesma forma que há argumentos não-válidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade de sua conclusão não determinam a validade ou não-validade de um argumento.

O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou da conclusão. Muitas pessoas abarrotam textos de asserções sem sequer produzirem algo que possa ser chamado de argumento. Às vezes, os argumentos não seguem os padrões descritos acima.

Por exemplo, alguém pode dizer quais são suas conclusões e depois justificá-las. Isso é válido, mas pode ser um pouco confuso.

Para complicar, algumas afirmações parecem argumentos, mas não são. Por exemplo: “Se a Bíblia é verdadeira, Jesus foi ou um louco, ou um mentiroso, ou o Filho de Deus”.

Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein cria em Deus, alguém dissesse: “Einstein afirmou que ‘Deus não joga dados’ porque acreditava em Deus”.

Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é. Trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein.

Para perceber isso, deve-se lembrar que uma afirmação da forma “X porque Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em: “Einstein acreditava em Deus, por isso afirmou que ‘Deus não joga dados’”.

Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está admitindo a conclusão que deveria estar provando.

Ademais, Einstein não cria num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

EXERCÍCIOS

1. Identificar as premissas e conclusões nos seguintes trechos, cada um dos quais contém apenas um argumento:

Foi assinalado que, embora os ciclos de negócio não sejam períodos, são adequadamente descritos pelo termo “ciclos” e, portanto, são suscetíveis de medição.

(James Arthur Estey, Ciclos de Negócios)

2. Cada um dos seguintes trechos contém mais de um argumento. Distingui-los e identificar suas premissas e conclusões.

A instituição do longo aprendizado não é favorável à formação de jovens para a indústria. Um jornaleiro, que trabalha por peça, é provavelmente ativo, porque extrai o benefício de todos os esforços resultantes da sua atividade. Um aprendiz é provavelmente preguiçoso, e quase sempre o é, porque não tem qualquer interesse imediato em ser outra coisa.

(Adam Smith, A riqueza das nações)


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3. Apenas alguns dos trechos seguintes contêm argumentos. Indicar os que têm argumentos e identificar suas premissas e conclusões.

Bem-aventurado é aquele que nada espera, pois nunca será decepcionado.

( Alexander Pope, Letter to John Gay)

4. Distinguir os argumentos dedutivos e indutivos contidos nos seguintes trechos:

Como os testes demonstraram que foram precisos, pelo menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald, é óbvio que Oswald não poderia ter disparado três vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma vez – em 5,6 segundos ou menos.

5. Indicar as premissas e conclusões dos argumentos contidos nos seguintes trechos.

É ilógico raciocinar assim: “Sou mais rico do que tu, portanto sou superior a ti”. “Sou mais eloquente do que tu, portanto sou superior a ti”. É mais lógico raciocinar: “Sou mais rico do que tu, portanto minha propriedade é superior à tua”. “Sou mais eloquente do que tu, portanto meu discurso é superior ao teu”. As pessoas são algo mais do que propriedade ou fala.

(Epicteto, Discursos)

RESPOSTAS

1) Solução:Premissa: Os ciclos de negócio são adequadamente descritos

pelo termo “ciclos”.Conclusão: Os ciclos de negócios são suscetíveis de medição.

2) Solução: Primeiro argumento:Premissa: Um jornaleiro que trabalha por peça extrai um

benefício de todos os esforços resultantes da sua atividade.Conclusão: Um jornaleiro que trabalha por peça é

provavelmente ativo.

Segundo argumento:Premissa: Um aprendiz não tem interesse imediato em ser

outra coisa, senão preguiçoso.Conclusão: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e

quase sempre o é.

Terceiro argumento:Premissa: É provável que um aprendiz seja preguiçoso, e

quase sempre o é.Conclusão: A instituição do longo aprendizado não é propensa

à formação de jovens para a indústria.

3) Solução: Possui um argumento.Premissa: Aquele que nada espera nunca será decepcionado.Conclusão: Bem-aventurado aquele que nada espera.

4) Solução: Argumento dedutivo.Premissa: Os testes demonstraram que foram precisos, pelo

menos, 2,3 segundos para manobrar a culatra do rifle de Oswald.Conclusão: É óbvio que Oswald não poderia ter disparado três

vezes – atingindo Kennedy duas vezes e Connally uma – em 5,6 segundos.

Embora a premissa pudesse ter sido estabelecida indutivamente, o presente argumento pretende afirmar que sua conclusão deduz-se “obviamente” da premissa de que Oswald não podia ter disparado três vezes.

5) Solução:Premissa: As pessoas são algo mais do que sua propriedade

ou fala.Conclusão: “É ilógico raciocinar assim… meu discurso é

superior ao teu”.Também cada frase separada entre aspas formula um

argumento cuja premissa precede, e cujas conclusões se seguem à palavra “portanto”.

LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL): PROPOSIÇÕES

SIMPLES E COMPOSTAS; TABELAS-VERDADE; EQUIVALÊNCIAS; LEIS DE DE

MORGAN; DIAGRAMAS LÓGICOS

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração.

As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples.

Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...).

Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das

proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das

proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições

simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições

simples p: a > b e q: b < a.


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As proposições simples são aquelas que expressam “uma única idéia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

ExemplosSão proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2+5=3.4.

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América

do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:a) Romab) O cão do meninoc) 7+1d) As pessoas estudame) Quem é?f) Que pena!

Tabela VerdadeProposição Simples - Segundo o princípio do terceiro

excluído, toda proposição simples p,é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados.

É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simplesAssim, por exemplo, no caso de uma proposição composta

cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simplesNo caso de uma proposição composta cujas proposições

simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:

p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V.

Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos:p : o sol é verde;q : um hexágono tem nove diagonais;r : 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F

Tabela Verdade

Número de Linhas da Tabela VerdadeSeja “L” uma linguagem que contenha as proposições P, Q e

R.O que podemos dizer sobre a proposição P? Para começar,

segundo o princípio de bivalência, ela é ou verdadeira ou falsa. Isto representamos assim:


RACIOCÍNIO LÓGICO

PVF

Agora, o que podemos dizer sobre as proposições P e Q? Oras, ou ambas são verdadeiras, ou a primeira é verdadeira e a segunda é falsa, ou a primeira é falsa e a segunda é verdadeira, ou ambas são falsas. Isto representamos assim:

P QV VV FF VF F

Como você já deve ter reparado, uma tabela para P, Q e R é assim:

P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Cada linha da tabela (fora a primeira que contém as fórmulas) representa uma valoração.

Agora, o que dizer sobre fórmulas moleculares, tais como ⌐P, Q˅R, ou (Q˄R) → (P↔Q)? Para estas, podemos estabelecer os valores que elas recebem em vista do valor de cada fórmula atômica que as compõe. Faremos isto por meio das tabelas de verdade.

Os primeiros passos para construir uma tabela de verdade consistem em:

1º- Uma linha em que estão contidas todas as subfórmulas de uma fórmula e a própria fórmula. Por exemplo, a fórmula ⌐(P˄Q) → R tem o seguinte conjunto de subfórmulas: [(P˄Q) → R, P˄Q, P, Q, R]

2º) “L” linhas em que estão todos os possíveis valores que as proposições atômicas podem receber e os valores recebidos pelas fórmulas moleculares a partir dos valores destes átomos.

O número de linhas é L = nt, sendo n o número de valores que o sistema permite (sempre 2 no caso do CPC) e t o número de átomos que a fórmula contém. Assim, se uma fórmula contém 2 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 4: um caso de ambos serem verdadeiros (V V), dois casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F , F V) e um caso no qual ambos serem falsos (F F). Se a fórmula contiver 3 átomos, o número de linhas que expressam a permutações entre estes será 8: um caso de todos os átomos serem verdadeiros (V V V), três casos de apenas dois átomos serem verdadeiros (V V F , V F V , F V V), três casos de apenas um dos átomos ser verdadeiro (V F F , F V F , F F V) e um caso no qual todos átomos são falsos (F F F).

Então, para a fórmula ⌐(P˄Q) → R, temos:

P Q R P˄Q (P˄Q) → R ⌐(P˄Q) → RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Para completar esta tabela precisamos definir os operadores lógicos. Ao fazê-lo, vamos aproveitar para explicar como interpretá-los.

Negação

A negação tem o valor inverso da fórmula negada. A saber:

P ¬PV FF V

Interpretações: “Não P”, “Não é o caso de P”, “A proposição ‘P’ é falsa”.

Assim, em uma linguagem “L” na qual P significa “Sócrates é mortal”, ¬P pode ser interpretada como “Sócrates não é mortal”, e, se o primeiro é verdadeiro, o segundo é falso; e se o primeiro é falso, o segundo é verdadeiro.

Interpretar a negação por meio de antônimos também é uma alternativa, mas deve-se ter cautela, pois nem sempre é aplicável em todos os casos. No exemplo acima a interpretação por meio de antônimos é perfeitamente aplicável, ou seja, se P significa “Sócrates é mortal”, ¬P pode ser interpretada como “Sócrates é imortal”. Por outro lado, em uma linguagem “L” na qual Q significa “João é bom jogador”, a proposição “João é mau jogador” não é a melhor interpretação para ¬Q (João poderia ser apenas um jogador mediano).

Pode-se adicionar indefinidamente o operador de negação:

P ¬P ¬¬P ¬¬¬PV F V FF V F V

“¬¬P” significa “‘¬P’ é falsa”.“¬¬¬P” significa “‘¬¬P’ é falsa”.E assim por diante.Repare que ¬¬P é equivalente a P, assim como ¬¬P é

equivalente a ¬P.A negação múltipla traz alguns problemas de interpretação.

Interpretando mais uma vez P por “Sócrates é mortal”, podemos perfeitamente interpretar ¬¬¬P de diversar formas: “Não é o caso de que Sócrates não é mortal”, “Não é o caso de que Sócrates


RACIOCÍNIO LÓGICO

é imortal”, “É falso que Sócrates não é mortal», “É falso que Sócrates é imortal” etc. Contudo, nem sempre na língua portuguesa a dupla negação de uma proposição equivale à afirmação desta. Muitas vezes a dupla negação é apenas uma ênfase na negação.

Exemplos“Não veio ninguém”, “Não fiz nada hoje” etc.

ConjunçãoA conjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando am-

bas são verdadeiras. A saber:

P Q P˄QV V VV F FF V FF F F

Interpretação: “P˄Q” pode ser interpretada como “ P e Q”, “Tanto P quanto Q”, “Ambas proposições ‘P’ e ‘Q’ são verdadeiras” etc.

Assim, em uma linguagem “L”na qual P significa “Sou cidadão brasileiro” e Q significa “Sou estudante de filosofia”, P˄Q pode ser interpretada como “Sou cidadão brasileiro e estudante de filosofia”; o que só é verdade se P é verdadeira e Q é verdadeira.

Repare que a conjunção é comutável, ou seja, P˄Q é equivalente a Q˄P, a saber:

P Q P˄Q Q˄PV V V VV F F FF V F FF F F F

A comutatividade da conjunção traz um problema para formalizar proposições da linguagem natural no Cálculo Proposicional Clássico, pois a ordem em que as orações aparecem pode sugerir uma sequência temporal. Por exemplo “Isabela se casou e teve um filho” é bem diferente de “Isabela teve um filho e se casou”. Repare que o mesmo problema não acomete a proposição “Isabela é casada e tem filhos”, que é equivalente a “Isabela tem filhos e é casada”. Esta sentença é, portanto, perfeitamente formalizável no Cálculo Proposicional Clássico por meio de uma conjunção.

Proposições que levam a palavra “mas” também podem ser formalizadas pela conjunção. Por exemplo, em uma linguagem “L” na qual R significa “João foi atropelado” e D significa “João sobreviveu ao atropelamento”, as sentenças “João foi atropelado e sobreviveu” e “João foi atropelado, mas sobreviveu” podem ambas ser formalizadas assim: R˄D

Afinal, ambas as proposições afirmam os mesmos eventos na mesma sequência: o atropelamento e a sobrevivência de João. A única diferença entre ambas é que aquela que leva “mas” expressa que uma expectativa subjetiva não foi satisfeita o que não importa para a lógica clássica.

Disjunção

A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. A saber:

P Q P˅QV V VV F VF V VF F F

Repare que a disjunção também é comutativa:

P Q P˅Q Q˅PV V V VV F V VF V V VF F F F

Interpretação: “P˅Q” pode ser interpretada como “P ou Q”, “Entre as proposições P e Q, ao menos uma é verdadeira”.

Assim, se P significa “Fulano estuda filosofia” e Q significa “Fulano estuda matemática”, P˅Q pode ser interpretada como “Fulano estuda filosofia ou matemática”; o que só é falso se nem P nem Q forem verdadeiras.

Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: “Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa”, “Nestas férias eu vou viajar ou ficar em casa”.

Para estes casos usamos a disjunção exclusiva ou a bi-implicação combinada com a negação.

Implicação

A implicação entre duas fórmulas só é falsa se a da esquerda (antecedente) for verdadeira e da direita (consequente) for falsa. A saber:

P Q P→QV V VV F FF V VF F V

Repare que a implicação não é comutativa:

P Q P→Q Q→PV V V VV F F FF V V VF F V V


RACIOCÍNIO LÓGICO

Interpretação: “P→Q” pode ser interpretada como “Se P, então Q”, “P implica Q”, “Se a proposição ‘P’ é verdade, então a proposição ‘Q’ também é verdade”, “A partir de ‘P’ inferimos ‘Q’ “, “P satisfaz Q”, “P é condição suficiente de Q”.

Assim, se, em uma linguagem “L”, P significa “O botão vermelho foi apertado” e Q significa “O lugar inteiro explode”, P→Q pode ser interpretada como “Se o botão vermelho foi apertado, o lugar inteiro explode”, o que só é falso se o botão vermelho for apertado (verdade de P) e o lugar inteiro não explodir (falsidade de Q):

A interpretação da implicação é uma das mais complicadas. Talvez você tenha estranhado que a implicação seja verdadeira quando o antecedente é falso. Ou ainda, você poderia objetar “mas e se o botão for apertado, o lugar explodir, mas uma coisa não tiver nada a ver com a outra?”.

Basicamente, o que se deve observar é que “O botão vermelho ser apertado” é condição suficiente para se deduzir que “O lugar inteiro explodiu”, isto é, quando o botão é apertado, o lugar deve explodir. Se o botão for apertado e o lugar não explodir, algo está errado, ou seja, P não implica Q (P→Q é falso).

Quando temos na linguagem natural uma proposição que afirma que, a partir de um evento, outro segue inexoravelmente (por exemplo: “Se você sair na chuva sem guarda-chuva ou capa de chuva, então você vai se molhar”) ou uma proposição que afirma que podemos deduzir um fato de outro (por exemplo: “Se todo número par é divisível por 2, então nenhum número par maior que 2 é primo”), podemos seguramente formalizar estas proposições por meio da implicação.

Mas o contrário, ou seja, interpretar uma implicação na linguagem natural é problemático. Podemos estar lidando com uma implicação cujo antecedente e cujo consequente não têm relação alguma. Basta, contudo que o antecedente seja falso ou o consequente seja verdadeiro para que a implicação seja verdadeira. Nestes casos, é bem difícil dar uma interpretação satisfatória para a implicação.

Bi-implicação

A bi-implicação entre duas fórmulas é verdadeira quando ambas são verdadeiras ou ambas são falsas.

P Q P↔QV V VV F FF V FF F V

Repare que a bi-implicação é comutativa:

P Q P↔Q Q↔PV V V VV F F FF V F FF F V V

Interpretação: “P↔Q” pode ser interpretada como “P se e somente se Q”, “P é equivalente a Q”, “P e Q possuem o mesmo valor de verdade”.

Assim, se P significa “As luzes estão acesas” e Q significa “O interruptor está voltado para cima”, P↔Q pode ser interpretada como “As luzes estão acesas se e somente se o interruptor está voltado para cima”, o que só é falso se as luzes estiverem acesas e o interruptor não estiver voltado para cima (verdade de P falsidade de Q), ou se as luzes não estiverem acesas e o interruptor estiver voltado para cima (falsidade de P e verdade de Q)

Números de Linhas de uma Tabela Verdade

O número de linhas da tabela verdade de uma proposição composta depende do número de proposições simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:

A tabela-verdade de uma proposição composta, com n proposições simples componentes, contém 2 elevado a n linhas.

Para se construir a tabela-verdade de uma proposição composta dada, procede-se da seguinte maneira:

- Determina-se o número de linhas da tabela- verdade que se quer construir;

- Observa-se a precedência entre os conectivos, isto é, determina-se a forma das proposições que ocorrem no problema;

- Aplicam-se as definições das operações lógicas que o problema exigir.

Exemplo

Construir a tabela-verdade da proposição: P(p,q) = ~ (p ∧ ~ q)

p q ~ q p ∧ ~ q ~ (p ∧ ~ q)V V F F VV F V V FF V F F VF F V F V

O uso de parênteses

É óbvia a necessidade de usar parêntesis na simbolização das proposições, que devem ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, por exemplo, a expressão p ∧ q ∨ r dá lugar, colocando parêntesis, às duas seguintes proposições:

(I) (p ∧ q) ∨ r (II) p ∧ (q ∨ r) que não têm o mesmo significado lógico, pois

na (I) o conectivo principal é “∨”, e na (II), o conectivo principal é “∧”.

Por outro lado, em muitos casos, parêntesis podem ser suprimidos, a fim de simplificar as proposições simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer.

A supressão de parênteses nas proposições simbolizadas se faz mediante algumas convenções, das quais são particularmente importante as duas seguintes:

A “ordem de precedência” para os conectivos é:


RACIOCÍNIO LÓGICO

(1º) ~ ; (2º) ∧ e ∨ ; (3º) ⇒ ; (4º) ⇔ Portanto o conectivo mais “fraco” é “~” e o conectivo mais

“forte” é “⇔”.Assim, por exemplo, a proposição:p ⇒ q ⇔ s ∧ ré uma bicondicional e nunca uma condicional ou uma

conjunção. Para convertê-la numa condicional há que usar parêntesis: p ⇒ (q ⇔ s ∧ r)

e para convertê-la em uma conjunção: (p ⇒ q ⇔ s) ∧ rQuando um mesmo conectivo aparece sucessivamente

repetido, suprimem-se os parêntesis, fazendo-se a associação a partir da esquerda.

Exemplo:((~ (~ (p ∧ q))) ∨ (~ p) fica como ~ ~ (p ∧ q ) ∨ ~ p

Equivalências

Já sabemos que a linguagem matemática (tal como a linguagem corrente) é construída a partir de designações e proposições; sabemos também a distinção existente entre esses dois conceitos. Recordamos que um determinado ente pode ser designado através de muitas designações distintas; por exemplo “Paris” e “capital da França” são duas designações distintas para o mesmo ente.

Vamos ver que há dois processos muito simples de construir uma proposição a partir de duas designações. Consideremos as designações “Lisboa” e “capital da França”. Podemos construir uma proposição onde intervenham apenas estas duas designações, por exemplo, “Lisboa é a capital da França”; trata-se de uma proposição falsa. Com as mesmas duas designações também poderíamos ter construído uma proposição verdadeira: “Lisboa não é a capital da França”. Na proposição “Lisboa é a capital da França” estamos a afirmar que as duas designações “Lisboa” e “capital da França” designam o mesmo ente, o que aliás sabemos ser falso. Já na proposição “Lisboa não é a capital da França” afirmamos que as designações “Lisboa” e “capital da França” designam entes distintos.

Dadas duas designações, digamos a e b, há então dois processos muito simples de construir uma proposição. O primeiro é dizer que as designações a e b designam o mesmo ente; nesse caso escreveremos o sinal de igualdade “=” entre as duas designações: a = b. O segundo é dizer que as designações a e b designam entes distintos; escreveremos então o sinal de desigualdade “≠” entre as duas designações: a ≠ b.

Claro que o valor lógico de cada uma das proposições “a = b” e “a ≠ b” depende das designações a e b. Por exemplo, ao escrevermos Lisboa = Capital da França; construímos uma proposição falsa; mas as proposições Lisboa ≠ Capital da Dinamarca; Lisboa = Capital de Portugal; são verdadeiras. Dando agora exemplos com designações de entes matemáticos, são verdadeiras as proposições

2 = √4, 2 ≠ √9, -2 ≠ √4, 3 x 4 = 12

e falsas as proposições

(3 + 2)2 = 32 + 22,

Acabamos de ver que um processo para construir proposições é escrever um dos sinais = ou ≠ entre duas designações. Um outro processo semelhante é escrever o sinal de equivalência ⇔ entre duas proposições. Dadas duas proposições, digamos p e q, podemos construir uma nova proposição p ⇔ q, que se lê “p equivalente a q”, e que é verdadeira se p e q tiverem o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou ambas falsas) e falsa se p e q tiverem valores lógicos diferentes (uma for verdadeira e a outra for falsa). Assim, por exemplo, a proposição

Lisboa é uma cidade ⇔ Londres é uma vila

é falsa, visto a proposição “Lisboa é uma cidade” ser verdadeira e a proposição “Londres é uma vila” ser falsa. Já a proposição

Luís Figo é um astronauta ⇔ dois é um número irracional

é verdadeira, visto as proposições “Luís Figo é um astronauta” e “dois é um número irracional” serem ambas falsas.

Uma forma visual bastante útil de exprimir o valor lógico da proposição p ⇔ q como função dos valores lógicos de p e de q é a utilização das chamadas tabelas de verdade

p q p ⇔ qV V VV F FF V FF F V

Na primeira coluna da tabela anterior estão os valores lógicos de p, na segunda coluna os valores lógicos de q e na coluna da direita os valores lógicos de p ⇔ q. É óbvio que, nas duas primeiras colunas, teremos de ter todas as combinações possíveis de valores lógicos das proposições p e q.

Claro que, à semelhança dos sinais = e ≠ utilizados entre designações por forma a construir proposições, poderemos arranjar um sinal para exprimir a não equivalência de duas proposições; esse sinal será ⇔. A proposição p ⇔ q será verdadeira se os valores lógicos de p e de q forem distintos e falsa se forem iguais. Em termos de tabela de verdade, teremos

p q p ⇔ qV V FV F VF V VF F F

Por exemplo 2 = √4 ⇔ 3 + 4 = 7 é uma proposição falsa, visto as proposições

“2 = √4” e “3 + 4 = 7” serem ambas verdadeiras. Já a proposição


RACIOCÍNIO LÓGICO

2 = √4 ⇔ Luís Figo é um astronauta é verdadeira, porque as proposições “2 = √4” e “Luís Figo é um astronauta” têm valores lógicos distintos: “2 = √4” é verdadeira, enquanto “Luís Figo é um astronauta” é falsa.

Não confundamos os sinais “=” e “⇔”; o primeiro utiliza-se entre duas designações, formando uma proposição que é verdadeira se essas designações designarem o mesmo ente; o segundo utiliza-se entre duas proposições, para construir uma nova proposição que é verdadeira se aquelas duas proposições tiverem o mesmo valor lógico. Assim, tem sentido escrever Lisboa = Capital de Portugal ou Paris = Capital de Portugal.

A primeira destas proposições é verdadeira e a segundo é falsa. Mas Lisboa ⇔ Capital de Portugal é desprovido de qualquer sentido porque entre designações não temos o direito de escrever o sinal de equivalência ⇔. Também tem sentido escrever 2 − 3 = 0 ⇔ 2 = 3 que é uma proposição verdadeira, ou 32 = (−3)2 ⇔ 3 = −3 que é uma proposição falsa. Mas não tem sentido escrever 2 ⇔ 1 + 1 porque 2 e 1+1 são designações e o sinal de equivalência não se pode situar entre designações, devendo situar-se entre proposições.

Lei de De Morgan

As leis de De Morgan definem regras usadas para converter operações lógicas OU em E e vice versa. Sendo X, Y є {0,1} e as operações em {0,1} sendo +, . e -, assim definidas:

Operação lógica Símbolo Exemplos

Ou +

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1

E

0 . 0 = 0 0 . 1 = 0 1 . 0 = 0 1 . 1 = 1

Não

Da autoria do ilustre matemático inglês Augustus De Morgan (1806-1871), podemos separá-las em Primeiras Leis de Morgan e Segundas Leis de Morgan.

As primeiras podem ser indicadas de várias formas, dependendo do contexto a estudar. Podemos utilizá-las em operações lógicas sobre proposições ou em operações sobre conjuntos.

Primeiras Leis de Morgan: Sendo p e q duas proposições e ~, ∧ e ∨, respetivamente, os símbolos das operações lógicas negação, conjunção e disjunção, as Primeiras Leis de Morgan podem ser apresentadas simbolicamente por:

1. ~(p ∧ q) = ~p ∨ ~q cujo significado é:“negar a simultaneidade de p e q é afirmar pelo menos não p

ou não q”.2. ~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q cujo significado é:“negar a ocorrência de pelo menos p ou q é afirmar nem p

nem q”.

Segunda Leis de Morgan: As Segundas Leis de Morgan permitem-nos efetuar a negação de proposições com quantificadores (universais e existenciais). Dada a expressão proposicional (ou condição) p(x), em que x ∈ A, conjunto de números reais, a expressão ∀x ∈ A: p (x) lê-se: “para todo o elemento de A, verifica-se p”, ou seja, qualquer que seja o valor de A pelo qual substituímos x, p(x) transforma-se numa proposição verdadeira.

Por outro lado, a expressão ∃x ∈ A: p(x) lê-se: “existe pelo menos um elemento de A que verifica p”, ou seja, significa que existe pelo menos um valor da variável x, para a qual a p(x) se transforma numa proposição verdadeira.

As leis: Considere X e Y como variáveis booleanas ou proposições cuja resposta seja {Sim, Não} ou {Verdadeiro, Falso} ou ainda {0,1}. Seguem as leis de De Morgan conforme algumas notações possíveis:

Lógica Proposicional

¬(X Ʌ Y) ↔ (¬X) ˅ (¬Y)¬(X ˅ Y) ↔ (¬X) Ʌ (¬Y)

Lógica Booleana

Lógica Booleana na eletrônica Digital

Textual

Não (X E Y) = Não (X) Ou Não (Y)Não (X Ou Y) = Não (X) E Não (Y)

Generalização: A ideia é que ao “aplicar” a barra (operador Não) sobre uma outra operação, esta muda seu sinal, restando uma barra para cada membro da operação. Exemplos:

Prova: Se de fato , então:

a)

primeiro usamos a propriedade distributiva do operador + , depois a propriedade comutativo (passo não mostrado), então vemos a soma de elementos complementares .

b)


RACIOCÍNIO LÓGICO

Primeiro usamos a propriedade distributiva do operador , depois usamos a propriedade de comutatividade (esse passo não foi mostrado), então usamos a propriedade de elementos complementares

Diagramas Lógicos

Diagramas Lógicos: São ditos proposições categóricas.- Todo A é B- Nenhum A é B- Algum A é B e- Algum A não é B

Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A.

Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.

Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B.

Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns de meus colegas estão me elogiando”, mesmo que todos eles estejam.

Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Também, as seguintes expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B.

Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Temos as seguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A é não B = Algum não B é A. Mas não é equivalente a Algum B não é A.

Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.

- Todo A é B = Todo A não é não B- Algum A é B = Algum A não é não B- Nenhum A é B = Nenhum A não é não B- Todo A é não B = Todo A não é B- Algum A é não B = Algum A não é B- Nenhum A é não B = Nenhum A não é B- Nenhum A é B = Todo A é não B- Todo A é B = Nenhum A é não B- A negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa)- A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa)

Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas

Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma das proposições categóricas, isto é, de

Todo A é B, Nenhum A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir de imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de todas as outras.

1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis:

A

B

A = B

1 2

Nenhum A é B é falsa.Algum A é B é verdadeira.Algum A não é B é falsa.

2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, então temos somente a representação:

A B

Todo A é B é falsa.Algum A é B é falsa.Algum A não é B é verdadeira.

3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:

A B A

1 2

B

A

B

A = B

3 4

Nenhum A é B é falsa.Todo A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3 e 4)

ou falsa (em 1 e 2).Algum A não é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em

1 e 2) ou falsa (em 3 e 4).

4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:

A B A

1 2

B


RACIOCÍNIO LÓGICO

A

3

B

Todo A é B é falsa.Nenhum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 3)

ou falsa (em 1 e 2).Algum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e

2) ou falsa (em 3).

Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução da questão abaixo, conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos Diagramas Lógicos! Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta.

Exercício: Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa.

e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

Resolução:

livro

instrutivo

A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa! A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho estão inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

Resposta: opção B.

LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

A lógica de primeira ordem (LPO), conhecida também como cálculo de predicados de primeira ordem (CPPO), é um sistema lógico que estende a lógica proposicional (lógica sentencial) e que é estendida pela lógica de segunda ordem.

Sentenças ou Proposições

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado.

Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente.

É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante.

É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma idéia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas.

As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r:7>3.s: 8+2≠10

Tipos de Proposições

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro.

Exemplo: Julio César é o melhor goleiro do Brasil.- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona

algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso.Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se

ordena alguma coisa.Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições serão classificadas em:- Universais- Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto.

Exemplo

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo

“O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo:

“Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições Afirmativas e Negativas

As proposições também se classificam em:AfirmativasNegativas

No caso de negativa podemos ter:“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e

simbolizamos por “nenhum S é P”.“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e

simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum

S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

1. Todo S é P (universal afirmativa – A)

S ouS ou

P P=S

2. Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

3. Algum S é P (particular afirmativa – I)

ou ou ouS

P

P=S

S

P

P

S

4. Algum S não é P (particular negativa – O)S

P

ou

S

Pou

S P

Princípios1 – Princípio da não-contradição: Uma proposição não

pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. 2 – Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só

pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo”é um proposição verdadeira.

b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.

c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão re-presentados da seguinte forma:

corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∨ corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então”

⇔ corresponde a “se somente se” Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir

uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) • Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) • Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo: “Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒ q)

EXERCÍCIOS

1. Dois números somados totalizam 510. Sabe-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números?

2. Um número a somado a um outro número b totaliza 216. a está para 12, assim como b está para 15. Qual o valor de a e de b?


RACIOCÍNIO LÓGICO

3. Um número a subtraído de um outro número b resulta em 54. a está para 13, assim como b está para 7. Qual o valor de a e de b?

4. A diferença entre dois números é igual a 52. O maior deles está para 23, assim como o menor está para 19. Quais são os números?

5. A idade de Pedro está para a idade de Paulo, assim como 5 está para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

6. O peso de uma sacola em kg está para o peso de uma outra sacola também em kg, assim como 32 está para 28. Quanto pesa cada uma das sacolas, sabendo-se que juntas elas pesam 15kg?

7. A soma de dois números é igual a 46. O primeiro está para o segundo, assim como 87 está para 51. Quais são os números?

8. Dois números a e b diferem entre si em 18 unidades. a está para b, assim como 825 está para 627. Qual o valor de a e de b?

9. Quatro números, 72, 56, 90 e x, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da quarta proporcional x?

10. Quatro números, x, 15, 15 e 9, todos diferentes de zero, formam nesta ordem uma proporção. Qual o valor da terceira proporcional x?

RESPOSTAS

1) Solução: Chamemos o primeiro número de a e o outro número de b. Do enunciado, tiramos que a está para 8, assim como b para 9. Utilizando-nos da terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a e b somados resultam em 510, assim como a adição de 8 a 9 resulta em 17. Substituindo estes valores na proporção teremos:

Portanto:

2) Solução: Recorrendo à terceira propriedade das proporções montamos a seguinte proporção:

Sabemos que a soma de a com b é igual a 216, assim como também sabemos que 12 mais 15 totaliza 27. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

3) Solução: Recorremos à terceira propriedade das proporções para montarmos a seguinte proporção:

Sabemos que a diferença entre a e b é igual a 54, e sabemos também que 13 menos 7 dá 6. Substituindo tais valores teremos:

Portanto:

4) Solução: Vamos chamar o número maior de a e o menor de b. Do enunciado, a está para 23, assim como b está para 19. Ao utilizarmos a terceira propriedade das proporções temos:

Sabemos que a menos b é igual a 52, assim como 23 menos 19 é igual a 4. Ao substituirmos estes valores na proporção teremos:

Portanto:

5) Solução: Identifiquemos a idade de Pedro por a e a idade de Paulo por b. A partir do enunciado, temos que a está para b, assim como 5 está para 6. Utilizando-nos da segunda propriedade das proporções temos:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Sabemos que a soma a e b resulta em 55, assim como 5 mais 6 resulta em 11. Substituindo estes valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

6) Solução: Identifiquemos o peso da primeira sacola por a e o peso da segunda por b. Como expresso no enunciado, temos que a está para b, assim como 32 está para 28. Da segunda propriedade das proporções temos que:

Temos que a e b somados resultam em 15, assim como 32 mais 28 resulta em60. Substituindo-os na proporção temos:

Calculemos o valor de b:

7) Solução: Identifiquemos o primeiro deles por a e o segundo por b. Como dito no enunciado, a está para b, assim como 87está para 51. A segunda propriedade das proporções nos diz que:

Temos que a mais b dá 46, assim como 87 mais 51 resulta em 138. Substituindo-os na proporção temos:

Calculemos o valor de b:

8) Solução: Da segunda propriedade das proporções temos:

Sabemos que a diferença entre a e b resulta em 18, assim como 825 menos 627 resulta em 198. Substituindo tais valores na proporção temos:

Para calcularmos o valor de a temos:

9) Solução: De acordo com a quarta proporcional temos:

10) Solução: De acordo com a terceira proporcional temos:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles,

5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxq

Dessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como

2−=x , e outros são falsos, como .7+=x

Atenção: As proposições ou sentenças lógicas são representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que )(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero

12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~pV FF V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São

Paulo” possui como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.

Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “Ø O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE

Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p ≤ m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) =

Cálculo para o exemplo: As(4,2) =

Exemplo: Seja Z = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As = {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC}


RACIOCÍNIO LÓGICO

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp.Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar = {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)Cálculo para o exemplo:N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m = 7 letras, a taxa é p = 4, o subconjunto escolhido tem m1 = 3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1 = 2. Com as letras A, B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB, BA, AC, CA, BC, CB}Com as letras D, E, F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que

estão no conjunto:PDEFG = {DE, DF, DG, ED, EF, EG, FD, FE, FG, GD, GE, GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre si pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!.Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3! = 6.

Exemplo: Seja C = {A, B, C} e m = 3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C = {x1, x2, x3,..., xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1 + m2 + m3 +... + mn = m.

Fórmula: Se m = m1 + m2 + m3 +... + mn, entãoPr(m) = C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1 = 4, m2 = 2, m3 = 1, m4 = 1 e m = 6, logo:

Pr(6) = C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1) = C(6,4).C(2,2).C(1,1) = 15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C = {A, R, T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr= {AAARRT, AAATRR, AAARTR, AARRTA, AARTTA, AATRRA, AARRTA, ARAART, ARARAT, ARARTA, ARAATR, ARAART, ARAATR, ATAARA, ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m) = (m-1)!Cálculo para o exemplo: P(4) = 3! = 6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K = {A, B, C, D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc= {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}

Acontece que junto a uma mesa “circular” temos que:ABCD=BCDA=CDAB=DABCABDC=BDCA=DCAB=CABDACBD=CBDA=BDAC=DACBACDB=CDBA=DBAC=BACDADBC=DBCA=BCAD=CADBADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:Pc= {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB}

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p < m) de forma que os p elementos sejam distintos entre si apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) =


RACIOCÍNIO LÓGICO

Cálculo para o exemplo: C(4,2) =

Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs= {AB, AC, AD, BC, BD, CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p) = C(m + p - 1, p)Cálculo para o exemplo: Cr(4,2) = C(4 + 2 - 1, 2) = C(5,2) =

Exemplo: Seja C = {A, B, C, D}, m = 4 e p = 2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr= {AA, AB, AC, AD, BA, BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD}

Mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB = BA, AC = CA, AD = DA, BC = CB, BD = DB e CD = DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr= {AA, AB, AC, AD, BB, BC, BD, CC, CD, DD}

Regras gerais sobre a Análise CombinatóriaProblemas de Análise Combinatória normalmente são muito

difíceis, mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e outro elemento podem ser escolhidos de n formas, então a escolha de um ou outro elemento se realizará de m + n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H, M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p < m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m - 1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m - 2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cmSe continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1

elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento restará m – p + 1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades1 m2 m-13 m-2... ...p m-p+1Nº.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m – 1)(m – 2)...(m – p + 1)Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais

e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE, AI, AO, AU, EA, EI, EO, EU, IA, IE, IO, IU, OA, OE, OI, OU, UA, UE, UI, UO}

A solução numérica é A(5,2) = 5 x 4 = 20.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5 x 5 = 25 possibilidades.

O conjunto solução é:Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual

sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p = m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p = m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades1 m2 m-1... ...p m-p+1... ...

m-2 3m-1 2m 1

Nº.de permutações

m(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever: A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente: P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m = 0 e para isto podemos escrever: 0! = 1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0! = 1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P = P(m) ou com o uso do sinal de exclamação: (m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3) = 6 e o conjunto solução é: P = {ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4) = 24 e o conjunto solução é:

P = {AMOR, AMRO, AROM, ARMO, AORM, AOMR, MARO, MAOR, MROA, MRAO, MORA, MOAR, OAMR, OARM, ORMA, ORAM, OMAR, OMRA, RAMO, RAOM, RMOA, RMAO, ROAM, ROMA}

Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H, M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H, M) ou (M, H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja: C(m,p) =

Como A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então: C(m,p) = que pode ser reescrito:

C(m,p) =

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por (m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1 e o denominador ficará: p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10, 3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10 – 3, 2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10 – 3 – 2, 5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A = (a, b, c, d, e) e p = 6. As coleções (a, a, b, d, d, d), (b, b, b, c, d, e) e (c, c, c, c, c, c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a, a, b, d, d, d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø(b, b, b, c, d, e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#(c, c, c, c, c, c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10, 6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5 + 6 – 1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:Crep(m,p) = C(m + p – 1,p)

Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

Taxas complementaresC(m,p) = C(m, m – p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2) = 66.

Relação do triângulo de PascalC(m,p) = C(m – 1,p) + C(m – 1,p – 1)

Exemplo: C(12,10) = C(11,10) + C(11,9) = 605

EXERCÍCIOS

1. Quantos são os números de 4 algarismos que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

2. Quantos são os números de 4 algarismos DISTINTOS que podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

3. Calcule 12!.

10!

4. Calcular o número de arranjos simples de 10 elementos tomados 4 a 4.

5. Quantos números de três algarismos distintos podem formar com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}?

6. Quantos números naturais de 4 algarismos distintos po-demos escrever, usando os algarismos 1, 3, 5 e 7? Qual a posi-ção ocupada pelo número 7 153?

7. Quantos times de futebol de salão podem formar com 10 jogadores capazes de jogar em qualquer posição?

8. Calcule

9. Na direção de uma empresa existem 5 brasileiros e 4 ale-mães. Quantas comissões de 3 pessoas podemos formar, tendo cada uma delas:

a) 2 brasileiros e 1 alemão?b) Pelo menos 1 alemão?

10. Quantos números pares podem obter permutando os algarismos do número 83 137 683?

RESPOSTAS

1) Resposta “9000”.Solução: Os Algarismos são escritos em 4 posições:


RACIOCÍNIO LÓGICO

O Algarismo das unidades de milhar não pode ser 0; logo, essa posição só pode ser preenchida com um dos 9 algarismos restan-tes, isto é, temos 9 possibilidades para a posição. Com relação à posição das centenas, das dezenas e das unidades, qualquer dos 10 algarismos pode ocupá-la, pois pode haver repetição.

Logo, temos 10 possibilidades para a posição das centenas, 10 para as dezenas e 10 para as unidades. Substituindo teremos:

9 10 10 10Aplicando a regra do produto: 9 . 10 . 10 . 10 = 9000.Portanto, temos 9000 possibilidades.

2) Resposta “4536”.Solução: O Algarismo das unidades de milhar não pode ser 0;

portanto, temos 9 possibilidades para a posição.Para a posição das centenas, pode ser o 0 ou qualquer dos 8

restantes, (não pode haver repetições), portanto, temos 9 possibili-dades para essa posição. Para a posição das dezenas temos 8 pos-sibilidades e para a posição das unidades temos 7 possibilidades. Esquematizando, teremos:

9 9 8 7

Aplicando então a regra do produto, teremos: 9 . 9 . 8 . 7 = 4536.

Logo, teremos 4536 possibilidades.

3) Resposta “132”.Solução: Substituindo 12! Por 10! . 11 . 12, temos:

4) Resposta “5040”.Solução: A10,4

5) Resposta “120”.Solução: Como 123 ≠ 132, por exemplo, devemos calcular os

arranjos de 6 elementos 3 a 3 .A6,3 = 6 . 5. 4 = 120.

6) Resposta “20ª posição”.Solução: Como queremos o total de números de 4 algarismos

e temos exatamente 4 algarismos para formá-los, basta permutá--los e teremos o número procurado.

Portanto, a solução é: P4 = 4! = 24.Para saber a posição ocupada por 7 153, basta colocar os nú-

meros em ordem crescente:

1

Temos P3 = 3! = 6 números que começam com 1.

3


5


7 1 5 3

É o segundo número da sequência que começa com 71.

Como 3 . P3 + 2 = 20, o número 7 153 ocupa a 20ª posição.

7) Resposta “252 times”.Solução: Cada time deve ter 5 jogadores e, mudando a ordem

destes, o time continua o mesmo.Logo, devemos calcular o número de combinações:

C10,5 =

Portanto, podemos formar 252 times.

8) Resposta “16”.

Solução: =

9) a - Resposta “40”.Solução: Podemos ter C5,2 grupos distintos de 2 brasileiros e

C4,1 grupos distintos de 1 alemão.Portanto, o numero de comissões com 2 brasileiros e 1 alemão

é:C5,2 . C4,1 = 40.b - Resposta “74”.Solução: As possibilidades são: 1 alemão e 2 brasileiros, ou 2

alemães e 1 brasileiros, ou 3 alemães e nenhum brasileiro.

Logo, o número de comissões é:

C4,1 . C5,2 + C4,2 . C5,1 + C4,3 = 40 + 30 + 4 = 74.

10) Resposta “1 260”.Solução: Só devemos considerar os números que terminem

em 8 ou 6. Os terminados em 6 são da forma:

6

As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 8 e 3. O total das permutações possíveis é:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Os terminados em 8 são da forma:

8

As demais posições deverão ser preenchidas pelos algarismos restantes: 8, 3, 1, 7, 6 e 3. O total das permutações possíveis é:

Logo, a quantidade total de números pares é 420 + 840 = 1 260.

Probabilidade

Os cálculos hebreus sobre a posição dos astros, realizados Ben Ezra no século XII com a finalidade de fazer previsões astrológicas podem ser considerados como os primeiros passos rumo à teoria das probabilidades. O Livros dos jogos de azar, de Girolamo Cardano (1501-1576) publicado em torno de 1550 é o primeiro manual organizado que traz algumas noções de probabilidade. Nesse livro, Cardano, que era um jogador, além de matemático, astrólogo e médico desenvolve cálculos de expectativas acerca de jogos dados e também dá conselhos sobre como trapacear no jogo.

No entanto o estudo sistemático das probabilidades começou realmente em 1654 quando um jogador francês, o Chevalier de Méré escreveu a Blaise Pascal (1623-1662) fazendo várias perguntas sobre o jogo de dados ou de azar. Uma das perguntas era: Dois jogadores igualmente hábeis querem interromper sua partida. Sabendo-se que o montante das apostas e situação do jogo (quantas partidas cada um ganhou), como deverá ser repartido o dinheiro?

Pascal extremamente religioso não era jogador escreveu a outro matemático francês Pierre Fermat (1601-1665) sobre as perguntas feitas por Chevalier de Méré. A partir dessa correspondência, Pascal e Fermat aprofundaram estudos conjuntos sobre probabilidade e apesar de não terem publicado seus estudos chegaram a definir conceitos como expectativa, chance e média, além de estabelecer técnicas de contagem e estatísticas de incidência de casos num dado fenômeno. Também no século XVII, mas precisamente em 1657, o holandês Christian Hiygens (1629 – 1695) publicou seu livro O raciocínio nos jogos de dados, onde apresentou importantes contribuições ao estudo das probabilidades.

O suíço Jacques Bernouilli (1654 – 1705) na mesma época deu uma grande contribuição aos estudos das probabilidades ao propor um teorema onde afirmava que a probabilidade de um evento ocorrer tente a um valor constante quando o número de ensaios desse evento tende ao infinito.

Depois de Bernouilli, Abraham De Moivre (1667 – 1751) publicou o livro A doutrina do azar onde também faz análise dos jogos que contribuíram para o estudo das probabilidades.

Foi em 1812 que Pierre Laplace (1749 – 1827) deu forma a uma estrutura de raciocínio e a um conjunto de definições no seu livro Teoria analítica da probabilidade. A teoria moderna das probabilidades hoje constitui a base de um dos ramos de maior aplicação nas ciências, a Estatística.

Experimentos AleatóriosOs experimentos cujos resultados podem ser previsto, isto

é, podem ser determinados antes mesmo de sua realização, são chamados experimentos determinísticos.

Por exemplo, é possível prever a temperatura em que a água entrará em ebulição desde que conhecidas as condições em que o experimento se realiza.

Alguns experimentos, contudo, não são assim previsíveis. Por mais que sejam mantidas as mesmas condições, não podemos prever qual será o resultado ao lançarmos uma moeda. Esses são chamados experimentos aleatórios (em latim alea = sorte).

Experimentos aleatórios: São aqueles, que repetidos em condições idênticas, não produzem sem o mesmo resultado.

A teoria das probabilidades estuda a forma de estabelecermos as possibilidades de ocorrência num experimento aleatório.

Espaço Amostral e EventosVamos estudar experimentos aleatórios com resultados

equiprováveis (mesma chance de ocorrência) e em número determinado, isto é, finito. Desta forma definimos:

Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.

Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral.

ExemploLançaremos três moedas e observamos as faces que ficaram

voltadas para cima. Representar:a) O espaço amostral do experimento;b) O evento A: chances de sair faces iguais;c) O evento B: sair exatamente uma face “cara”;d) O evento C: chances de sair, pelo menos, uma face “cara”.

Resoluçãoa) U = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Ca, Co, Co),

(Co, Ca, Ca), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca), (Co, Co, Co)}b) A = {(Ca, Ca, Ca), (Co, Co, Co)}c) B = {(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)}d) C = {(Ca, Ca, Ca), (Ca, Ca, Co), (Ca, Co, Ca), (Co, Ca, Ca),

(Ca, Co, Co), (Co, Ca, Co), (Co, Co, Ca)}Observação: Os números de elementos do espaço amostral e

dos eventos de um experimento aleatório são calculados com a análise combinatória.

Tipos de EventosConsideremos o experimento aleatório: lançamento de um

dado comum e observação do número representado na face voltada para cima.

O espaço amostral será:U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Analisemos os diversos tipos de eventos que podemos definir neste experimento.

Evento Elementar: Qualquer subconjunto unitário de U.

ExemploOcorrência de um número múltiplo de 5.A = {5}


RACIOCÍNIO LÓGICO

Evento Certo: É o próprio espaço amostral U.

ExemploOcorrência de um divisor de 60.B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento Impossível: É o conjunto vazio (∅).

ExemploOcorrência de múltiplo de 8.C = { } = ∅

Evento União: É a reunião de dois eventos.

ExemploEvento A: Ocorrência de um número primoA = {2, 3, 5}

Evento B: Ocorrência de um número ímparB = {1, 3, 5}

Evento A ∩

B: Ocorrência de um número primo ou ímparA ∩

B = {1, 2, 3, 5}

Evento Intersecção: É a intersecção de dois eventos.


Evento B: Ocorrência de um número ímparB = {1, 3, 5}

Evento A ∩ B: Ocorrência de um número primo ou ímparA ∩ B = {3, 5}

Evento Mutuamente Exclusivo: Dois eventos E1 e E2 de um espaço amostral U são chamados mutuamente exclusivos quando E1 ∩ E2 = ∅

ExemploEvento A: Ocorrência de um número parA = {2, 4, 6}

Evento B: Ocorrência de um número ímparB = {1, 3, 5}A e B são eventos mutuamente exclusivos, pois A ∩ B = ∅

Evento Complementar: É o evento Ē = U – E.


Evento Ā: Ocorrência de um numero não primoĀ = U – A = {1, 4,6}

Observação: No caso do exemplo, podemos dizer que o evento Ā é a não-ocorrência de um número primo.

Probabilidade Estatística e Probabilidade TeóricaImaginamos a seguinte situação: em uma turma do segundo

colegial, existem 25 garotas e 10 garotos e um brinde foi sorteado para um dos membros da turma. Temos que adivinhar o sexo do contemplado.

Intuitivamente, “sabemos” que é “mais fácil” ter sido sorteada uma garota que um garoto, no entanto não podemos afirmar com certeza o sexo do contemplado. A “chance” de uma garota ter sido sorteada pode ser traduzida por um numero que chamamos probabilidade.

Uma observação que pode ser feita é que a teoria das probabilidades é uma maneira matemática de lidar com a incerteza.

O cálculo da probabilidade de um evento acontecer, muitas vezes, é feito experimentalmente, e essa probabilidade é chamada de experimental ou estatística.

ExemploA probabilidade de uma pessoa morrer aos 25 anos é obtida

através do levantamento e do tratamento adequado de um grande número de casos.

No entanto, para calcularmos a probabilidade de ao jogarmos dois dados obtermos, nas faces voltadas para cima, dois números iguais, não precisamos realizar o experimento, ela pode ser conseguida a partir de uma analise teórica do espaço amostral e do evento, e neste caso chamamos de probabilidade teórica.

No 2º grau, não desenvolvemos estudos da probabilidade estatística, que será estudada na maioria dos cursos de 3º grau.

Probabilidade Teórica de um EventoSe num fenômeno aleatório, o número de elementos do espaço

amostral é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A) tal que:

P(A) = n(A)n(U)

Outra forma de definir a probabilidade de ocorrer o evento A é:

P(A) = Número de casos favoráveis a ANúmero de casos possíveis

Exemplos

- Retirando-se uma carta de um baralho normal de 52 cartas, qual é a probabilidade de que a carta retirada seja um rei?


RACIOCÍNIO LÓGICO

Resolução

P(E) = Número de resultados favoráveisNúmero de resultados possíveis

P(E) =4

=1

52 13

- Em um lançamento de dois dados, um preto e outro branco, qual é a probabilidade de que os dois números obtidos sejam iguais?

Resolução

U = {(1,1), (1,2), (1,3), ..., (6,4), (6,5), (6,6)}n(U) = 6 . 6 = 36U = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}n(E) = 6

Assim, P(E) = n(E) = 6 = 1n(U) 36 6

- Dentre as seis permutações dos números 1, 2, e 3, uma é escolhida ao acaso. Considerando o número de três algarismos assim escolhido, determine a probabilidade de ele:

a) Ser par;b) Ser múltiplo de três;c) Ser múltiplo de cinco.ResoluçãoO espaço amostral é:U = {123, 132, 213, 231, 312, 321}

a) Evento A: ocorrer número par.A = {132, 312}

P(A) =n(A)

=2

=1

n(U) 6 3

b) Evento B: ocorrer número múltiplo de três.B = {123, 132, 213, 231, 312, 321}

P(B) =n(B)

=6

= 1n(U) 6

(evento certo)

c) Evento C: ocorrer número múltiplo de cinco.C = { }

P(C) =n(C)

=0

= 0n(U) 6

(evento impossível)

Observação: Através da teoria determinamos que, em um lançamento de um dado “não viciado”, a probabilidade de que se obtenha o número 3 é 1/6, isto não significa que, sempre que forem feitos seis lançamentos de um dado, certamente ocorrerá em um deles, e apenas um, resultado 2. Na prática, o que se verifica é que, considerado um grande número de lançamentos, a razão entre o número de vezes que ocorre o resultado 2 e o número de lançamentos efetuados se aproxima de 1/6.

Propriedade das Probabilidades

P1) A probabilidade do evento impossível é 0. (P(∅)= 0)

P(∅)=n(∅)

=0

= 0n(U) n(U)

P2) A probabilidade do evento certo é 1. (P(U ∅)= 1)

P(U) = n(U) = 1n(U)

P3) Sendo A um evento de um espaço amostral U, a probabilidade de A é um número racional entre 0 e 1, inclusive. (0≤ P(A) ≤ 1).

0≤ n(A) 0≤ n(U) => 0 ≤ n(A) ≤ n(U)n(U) n(U) n(U)

Como P(A) = n(A) temos:n(U)

0≤ P(A) ≤ 1

P4) Sendo A um evento e Ā seu complementar, então P(A) + P(Ā) = 1.

U

ĀA

n(U) = n(A) + n(Ā)

n(U) = n(A) + n(Ā)n(U) n(U) n(U)

Assim, P(A) + P(Ā) = 1

Observação: É comum expressarmos a probabilidade de um evento na forma de porcentagem. Assim, se P(A) = 0,82, por exemplo, podemos dizer que P(A) = 82%.


RACIOCÍNIO LÓGICO

ExemploOs 900 números de três algarismos estão colocados em

900 envelopes iguais. Um dos envelopes é sorteado. Qual a probabilidade de ele conter um número que tenha, pelo menos, dois algarismos iguais?

ResoluçãoSendo A o evento: ocorrer um número com pelo menos dois

algarismos iguais. É mais fácil calcular P(Ā), a probabilidade do evento complementar de A. Assim,

U

ĀA

Números comalgarismos distintos

Números compelo menos doisalgarismos repetidos

Propriedade do Evento União

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A

∩ (evento união) é ocorrer pelo menos um

dos eventos A ou B.

n(A∩

B) = n(A) + n(B) – n(A∩

B)Assim:

n(A∩ B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)n(U) n(U) n(U) n(U)

Ou seja: P (A∩

B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Podemos enunciar essa conclusão assim: A probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B é dada pela soma da probabilidade de ocorrer A com a probabilidade de ocorrer B, menos a probabilidade de ocorrer os dois eventos (A e B).

Caso particular: se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, isto é, A ∩ B = ∅, P(A ∩ B) = 0 a formula acima se reduz a: P(A

∩ B) = PA + PB

ExemploDe um baralho comum de 52 cartas, uma carta é retirada

aleatoriamente. Qual a probabilidade de sair um valete ou uma carta de paus.

ResoluçãoSendo:

Evento A: “a carta e um valete”

P(A) = 452

Evento B: “a carta de paus”

P(B) = 1352

Evento A ∩ B: “a carta é um valete de paus”

P(A∩B) = 152

Evento A ∩

B: “a carta é um valete ou é de paus”

P( A ∩

B) = P(A) +P(B) – P(A ∩ B)

P(A ∩ B) =4 + 13 - 1 = 16 = 452 52 52 52 13

Probabilidades num Espaço Amostral não EquiprovávelNo espaço amostral equiprovável todos os resultados possíveis

têm a mesma chance de ocorrência e por isso que nos problemas com dados e moedas estudados anteriormente sempre tomamos o cuidado de especificar que os dados e moedas eram “honestos” ou “não viciados”.

Como estudar as probabilidades com dados ou moedas “viciados”?

A fórmula que usamos até agora

P(E) = Número de resultados favoráveis de ENúmero de resultados possíveis

Não é válida, pois não importa apenas a quantidade de resultados favoráveis já que esses resultados não têm necessariamente a mesma “chance” de ocorrência.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Consideramos um experimento, com espaço amostral U = {a1, a2..., a n}. Chamando de p(a1), p(a2),..., p(an) as probabilidades de ocorrência dos resultados a1, a2,..., na, respectivamente temos que:

- p(a1) + p(a2) +...+ p (an) =1 - 0 ≤ p(a1) ≤ 1, para i = 1, 2, ..., n

Desta forma para calcularmos a probabilidade do evento A = {a1, a2,..., am}(m≤n), fazemos:

P(A) = p(a1) + p(a2) +...+ p(am)

Exemplo Consideramos um experimento com espaço amostral U = {a,

b, c} sendo p(a), p(b), p(c) as possibilidades dos resultados a, b e c de modo que

p(a) = 1 ep(b) = 13 2

calcule :

a) p(c) b) a probabilidade do evento A ={a,c}

Resolução

a) p(a) + p(b) + p(c) = 1

1 + 1 +p(c) = 13 2

p(c) = 1 -1

-1

=6–2 – 3

=1

3 2 6 6

b) P(A) = p(a) + p(c)

P(A) =1

+1

=2+1

=3

3 6 6 6

Assim,P(A) =12

Probabilidade Condicional

Consideremos num experimento aleatório de espaço amostral U os eventos A e B, com A ∩ B ≠ ∅, conforme o diagrama abaixo:

Na medida em que conhecemos a informação de que ocorreu o evento B, este passa a ser o espaço amostral do experimento, pois todos os resultados agora possíveis pertencem a A. assim, a probabilidade de ocorrer o evento A, dado que o evento B já ocorreu, será:

P(A/B) = n(A ∩ B)n(B)

ExemploNuma turma de 50 alunos do colégio, 15 são homens e 35 são

mulheres.Sabe-se que 10 homens e 15 mulheres foram aprovados num

exame de seleção. Uma pessoa é sorteada ao acaso.Qual a probabilidade de:a) Ela ser do sexo feminino se foi aprovada no exame?b) Ela ter sido aprovada no exame se é do sexo masculino?

ResoluçãoO quando abaixo resume os dados do problema:

FoiAprovado

Não foiAprovado Total

Homem 10 5 15Mulher 15 20 35Total 25 25 50

a) Sendo:Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”.Evento B: “a pessoa sorteada é mulher”.

P(B/A) =n (A ∩ B)

=15

=3

n (A) 25 5

b) Sendo:Evento A: “a pessoa sorteada foi aprovada”.Evento B: “a pessoa sorteada é homem”.

P(A/C) =n (A ∩C)

=10

=2

n (C) 15 3

Probabilidade do Evento Intersecção

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que ocorrer o evento A ∩ B (evento intersecção) é ocorrer simultaneamente os eventos A e B.

Para calcular a probabilidade de ocorrer A ∩ B, vamos utilizar a fórmula da probabilidade condicional.

P(A/B) =n (A ∩B) ,

n (B)

Dividido por n(U), temos:

P(A/B) =

n (A ∩B)

=P (A ∩ B)n (U)

n (B) P (B)n (U)

Assim: P(A∩B) = P (B) . P (A/B) (I)

Podemos também usar a fórmula de P (B/A), assim:


RACIOCÍNIO LÓGICO

P(B/A) =n (A ∩B)

=

n (A ∩B)

=P (A ∩ B)

n (U)

n (A)n (A)

P (A)n (U)

Então: P(A∩B) = P (A) . P (B/A) (II)

A partir das fórmulas (I) e (II), citadas anteriormente, concluímos:

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, a probabilidade de eles ocorrerem simultaneamente é dada pelo produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado que ocorreu o primeiro.

ExemploConsideremos uma urna contendo 5 bolas numeradas de 1 a 5.

qual a probabilidade de retirarmos a bola 1 e, sem sua reposição, a bola 2?

ResoluçãoA probabilidade de sair a bola 1 na primeira retirada é P (A)

= 1/5

Restando 4 bolas na urna, a probabilidade de ocorrer a bola na segunda, tendo ocorrido a bola 1 na primeira é: P (A/B) = 1/4

Como devem ocorrer os dois eventos, temos:

P (A ∩ B) =P (A) . P(B/A) =1

=1

=1

5 4 20

Eventos Independentes

Dados dois eventos A e B de um espaço amostral U, dizemos que eles são independentes se a ocorrência de um deles não modificar a probabilidade de ocorrência do outro.

A e B independentes <=> P (B/A) = P(B) e P (A/B) = PA

Quando A e B são eventos independentes.P (A ∩ B) = P(A) . P(B)

Então se P (A ∩ B) ≠ P(A) . P(B), dizemos que os eventos são dependentes.

Exemplos de Eventos Independentes

- No lançamento simultâneo de dois dados, o resultado de um deles não influi no resultado do outro.

- No lançamento sucessivo de dois dados, o resultado de um deles não influi no resultado do outro.

- Na extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a segunda carta for feita a reposição da primeira, o resultado da primeira não influi no resultado da segunda.

Exemplo de Eventos DependentesNa extração de duas cartas de um baralho se antes de extrair a

segunda carta não for feita a reposição da segunda, o resultado da primeira influencia o resultado da segunda, pois o espaço amostral passa a ter 51 elementos.

ExemploSejam A e B dois eventos independentes tais que:

P(A) = 1eP(A ∩ B)=

14 3

Calcule P (B).

ResoluçãoP(A

∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Como A e B são independentesP (A Ç B) = P(A) . P(B)

:. P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B)

ou seja: 1

=1

+P(B -1

P (B)3 4 4

4 = 3 + 12 P (B) – 3 P (B)

9 P (B) = 1 => P (B) =19

EXERCÍCIOS

1. Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde?

2. Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima?

3. Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas?

4. Um credor está à sua procura. A probabilidade dele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa?

5. Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela?

6. Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.


RACIOCÍNIO LÓGICO

7. Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

8. Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

9. Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.

10. De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4?

RESPOSTAS

1) Resposta “”

Solução: Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:

Logo, A probabilidade desta bola ser verde é 5/12.

2) Resposta “25%”.Solução: Através do princípio fundamental da contagem

podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.

Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

Portanto, a probabilidade das três moedas caírem com a mes-ma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.

3) Resposta “10,24%”.Solução: Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar

em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.

Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:

0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.Então, a probabilidade de a mulher vir a engravidar somente

no quarto mês é de 10,24%.

4) Resposta “0,2592”.Solução: Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai

e não o encontra como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:

n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5.k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k

= 1.p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4.q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 -

0,4, ou seja, q = 0,6.

Substituindo tais valores na fórmula temos:

O número binomial é assim resolvido:

Então temos:

Assim, a probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.

5) Resposta “ ”.

Solução: Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula

e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar

.

Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.

Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.

O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/

14:

Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/

14:

Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/

14 passaria a 1/2 e 2/

14 a 1/7, no entanto isto não foi feito,

já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:

Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:

Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/

14. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:

O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral.

Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção.

6) Resposta “25%”.Solução: Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado,

a probabilidade de sair cara é igual a 3k.A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1.

Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4.Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

7) Resposta “

Solução: Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem.

Pelos dados do enunciado, temos:p(A) = p(B) = 2 . p(C).

Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2.Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo).

Assim, substituindo, vem:k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5.Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas

probabilidades, ou seja, 2/5 + 1/5 = 3/5.

8) Resposta “ ”.

Solução: Pelo enunciado, podemos escrever:p(2) = p(4) = p(6) = 2 . p(1) = 2 . p(3) = 2 . p(5).Seja p(2) = k. Poderemos escrever:p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das

probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.

Então, substituindo, vem:k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.

Assim, temos:p(2) = p(4) = p(6) = 2/9p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou

o 5.

Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

9) Resposta “

Solução: Os números primos de 1 a 50 são:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto,

15 números primos.

Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades.

Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

10) Resposta “

Solução: Vamos representar por E3 o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 3:

E3 = { 3, 6, 9, 12, 15 }

E por E4 vamos representar o evento da ocorrência das bolas divisíveis por 4:

E4 = { 4, 8, 12 }

O espaço amostral é:

S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 }

A probabilidade de sair uma bola divisível por 3 é:

A probabilidade de sair uma bola divisível por 4 é:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Como estamos interessados em uma ocorrência ou em outra, devemos somar as probabilidades, mas como explicado no tópico união de dois eventos, devemos subtrair a probabilidade da intersecção, pois tais eventos não são mutuamente exclusivos. Como podemos ver, o número 12 está contido tanto em E3 quanto em E4, ou seja:

A probabilidade da intersecção é:

Portanto:

Logo, a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4 é 7/15.

OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

Em algumas situações, símbolos matemáticos são usados para facilitar a compreensão e o estudo de temas mais teóricos, inclusive de outras áreas, como a Lógica Matemática.

Os diagramas de Venn, desenvolvidos na Teoria dos Conjuntos, são usados para facilitar o estudo de afirmações ou sentenças lógicas argumentativas.

Ao afirmar, por exemplo, que toda banana é uma fruta, mas nem toda fruta é uma banana, podemos usar a seguinte representação com diagramas de Venn.

Estamos, com isso, mostrando que o conjunto da banana está contido no conjunto das frutas e que o conjunto das frutas contém o conjunto banana. Podemos, ainda, representar que banana ⊂ frutas e que frutas ⊃ banana.

Em termos de Lógica Matemática, podemos afirmar de algumas maneiras, como: “Toda banana é um fruta” ou “No conjunto das frutas, existe o conjunto das bananas”.

Tipos de relação entre Conjuntos

Existem, fundamentalmente, três situações possíveis que relacionam dois tipos de conjunto numérico ou não e relacionam também:I – Um conjunto A contém o conjunto B ou o conjunto B está contido no conjunto A⇒(A⊃B)v(B⊂A).II – Os conjuntos A e B possuem uma parte de seus elementos em comum ⇒ (A∩B) ≠ ∅ .III – Os conjuntos A e B não possuem uma parte de seus elementos em comum ⇒ (A∩B) = ∅ .

Observações:1. Quando estudamos mais de dois conjuntos, podemos considerar os mesmos casos anteriores: os conjuntos estão contidos em outros

conjuntos (ou apenas em um deles), os conjuntos possuem elementos em comum ou todos os conjuntos não possuem nenhum elemento em comum.

2. Não nos interessa estudar o caso de dois conjuntos serem coincidentes, apesar de serem descritos de formas diferentes, por exemplo:A = conjunto dos números pares.B = conjunto dos números escritos na forma 2n.∴ A=B.

Atenção: Os diagramas de Venn servem para auxiliar a visualização de afirmações, em que se pode constatar se um grupo de elementos faz parte do outro, se está contido em outro grupo de elementos ou se não existe nenhuma relação entre os referidos grupos de elementos.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Conjunto contido em outro Conjunto

O conjunto B está contido no conjunto A completamente. E não podemos dizer o mesmo da situação inversa: o conjunto A está contido no conjunto B. Exemplos:

1. Toda televisão é um eletrodoméstico, mas nem todo eletrodoméstico é uma televisão.

2. O cigarro é uma droga, mas nem toda droga é cigarro.3. Todo número natural é um número inteiro, mas nem todo

número inteiro é um número natural.Atenção: Existem proposições ou sentenças que indicam

elementos em comum. Nos diagramas de Venn, esses elementos em comum são representados como a intesecção dos conjuntos ou proposições. Por exemplo, na proposição “Conjuntos numéricos é uma disciplina da Matemática cobrada tanto em provas de Raciocínio Lógico quanto em provas de Matemática”, temos que o “elemento” Conjuntos Numéricos é a intersecção dos dois conjuntos – Raciocínio Lógico e Matemática.

Conjuntos que possuem uma parte dos elementos em comum

Os conjuntos A e B possuem alguns e somente alguns elementos em comum.

Em termos de Lógica Matemática, podemos dizer que algum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa. Exemplo:

Motocicletas e automóveis possuem rodas: as primeiras possuem duas rodas e os últimos possuem quatro rodas.

Observação: Existem vários elementos comuns, como as rodas.

Atenção: Algumas proposições podem conter informações de dois ou mais conjuntos numéricos. Essas informações podem ser representadas por meio de diagramas de Venn.

Os conjuntos que não possuem elementos em comum

Os conjuntos A e B não possuem nenhum elemento em comum. Em termos da Lógica, podemos afirmar que nenhum elemento de A é elemento do conjunto B e vice-versa.

Exemplo: Indicar o diagrama que melhor representa a relação entre os conjuntos citados: Fuscas, carros, rios

Como todo fusca é um carro e não existe relação nenhuma entre carros e rios, o diagrama que melhor representa a situação é o primeiro, pois o conjunto de fuças está contido no conjunto de carros.

Atenção: Existem proposições que podem ser consideradas exclusivas, isto é, não possuem elemento nenhum em comum. Por exemplo, na seguinte proposição: “Ronaldo é um grande jogador de futebol e Roberto Carlos é um fantástico cantor nacional”.

Teoria dos ConjuntosPara desenvolvermos o estudo da Teoria dos Conjuntos, é

necessário partir de noções elementares que são admitidas sem definição. Essas noções elementares são chamadas de conceitos primitivos.

Associamos à idéia de conjunto às de grupo, coleção ou classe e, à idéia de elemento, os objetos ou “coisas” que constituem o conjunto.

Exemplos1. P = Conjunto dos números primos entre 1 e 9. Elementos: 2, 3, 5, 7.2. N = Conjunto dos algarismos do número 4.123. Elementos: 1, 2, 3, 4.

Associamos à idéia de constituir ao conceito de pertencer. Dizemos, então, que o elemento pertence ao conjunto. Os símbolos ∈ e ∉são usados para relacionar elementos com conjuntos.

∈ = pertence.∉ = não pertence.

ExemplosConsiderando os conjuntos dos exemplos anteriores:1. 6 ∉ P.2. 2 ∈ N.

Representação de Conjuntos

Um conjunto de elementos pode ser representado de três formas.

Vejamos o caso do conjunto M, formado por janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro.

a) pela enumeração de seus elementos:M = {janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, dezembro}.

b) por meio de uma propriedade característica de seus elementos:

M = {m∈M|m é um mês do ano que possui 31 dias}.


RACIOCÍNIO LÓGICO

c) graficamente, por meio de diagramas:

Atenção: Quando representamos um conjunto por enumeração, escrevemos seus elementos entre chaves, separando-os por vírgula sem repetição.

ExemploA = conjunto das vogais do alfabeto.A={i,a,o,e,u}.

Conjuntos Finitos e Conjuntos InfinitosUm conjunto pode ser caracterizado em função do número de

elementos.Denominamos n(A) o número de elementos distinto de um

conjunto A qualquer.Com isso, um conjunto pode ser caracterizado conforme a

quantidade de elementos distintos que a ele pertence.

I – Se um conjunto não possuir elementos (n(A)=0), será chamado de conjunto vazio.

II – Quando o conjunto tiver apenas um elemento (n(A)=1), será chamado de conjunto unitário. De acordo com n(A), podemos classificar os conjuntos como finitos ou infinitos.

Exemplos

1. { }27,10,2,10−=A é um conjunto finito e n(A)=4.2. { }2,8| <>∈= xxBxB não possui elementos: n(B)=0. B é

um conjunto vazio.3. O conjunto dos números naturais, { },...5,4,3,2,1,0N , é um

conjunto infinito. Não há como determinar seu n(N).

Para desenvolvermos um estudo de conjuntos, é necessário admitir a existência de um conjunto ao qual pertencem os elementos envolvidos nesse estudo. A esse conjunto denominamos conjunto universo.

Esse conjunto pode ser finito ou infinito e é simbolizado por U.

ExemploConsiderando 063 =+x e { },...5,4,3,2,1=U , temos:

23663 −=⇒−=⇒−= xxx ∴ Como ,2 U∈− então =S ∅

Atenção: Conjuntos iguais: dois conjuntos são considerados iguais se e somente se possuem os mesmos elementos.

{ }4,2,1=A e { }4| dedivisoréxBxB ∈= possuem os mesmos elementos: os conjuntos A e B são iguais ⇒ A = B.

Inclusão de ConjuntosSe todos os elementos de um conjunto A também pertencem a

um conjunto B, dizemos que A está contido em B, ou ainda que A é subconjunto de B.

Notação

( )BxAxBA ∈⇒∈∀⇔⊂

Significa dizer que o conjunto A está contido no conjunto B se e somente e todo elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B.

ExemploDados os conjuntos:

{ }otgaA ,,,=

{ }otagB ,,,=

Todo elemento do conjunto A é elemento do conjunto B e todo elemento do conjunto B pertence ao conjunto A. Logo: A⊂B e B⊂A.

Isso ocorre sempre que temos conjuntos iguais e equivale a dizer que todo conjunto será contido em si mesmo.

Atenção: Inclusão de conjuntos: se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, dizemos que A não está contido em B, ou que A não é subconjunto de B. Notação: BA⊄ .

A

B

Operação entre Conjuntos

União

Chamamos de união de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A ou B.

A∪ B={x|x∈A ou x∈B}.

Exemplo

1. { }4,3,2,1=A e { }9,8,7=B

{ }9,8,7,4,3,2,1=∪ BA

2. { }paréxxA |= e { }6,4,2=B

ABA =∪


RACIOCÍNIO LÓGICO

Interseção

Chamamos de intersecção de dois conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos pertencentes a A e a B.

A∩ B={x|x∈A e x∈B}.

Exemplos

1. { }9,7,5,3,1=A e { }8,6,4,2=B =∩ BA ∅

Atenção: Quando a intersecção entre dois conjuntos é o conjunto vazio, os conjuntos são disjuntos.

Observação:Número de elementos do conjunto União.É possível estabelecer uma relação entre o número de

elementos de uma intersecção e o da união de conjuntos: n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B).

Diferença

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de diferença A – B ao conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

A-B={x|x∈A e x ∉B}.

Exemplos

1. { }5,3,2=A e { }7,6,4=B ABA =−

2. { }dcbaA ,,,= e { }fedcB ,,,= },{ baBA =−

Complementar

Quando dois conjuntos A e B são tais que A ⊂ B, dá-se o nome de complementar de A em B à diferença B – A.

No diagrama a seguir, temos:

AB

O conjunto A está contido no conjunto B. Com isso, a região que fica entre o conjunto B e o conjunto A é definida como complementar de A em relação ao conjunto B e é escrita como:

ABC A

B −=

Exemplo

1. { }114,113=A e { }114,113,112,111=B { }112,111=−= ABC A

B

Conjunto Diferença

Propriedades:1) =− AA ∅2) −A ∅ A=3) =−⇒⊂ ABAB ∅4) ABBABA −≠−⇒≠

EXERCÍCIOS

1. Um colégio oferece a seus alunos a prática de um ou mais dos seguintes esportes: futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que, no atual semestre:

- 20 alunos praticam vôlei e basquete.- 60 alunos praticam futebol e 55 praticam basquete.- 21 alunos não praticam nem futebol nem vôlei.- o número de alunos que praticam só futebol é idêntico ao

número de alunos que praticam só vôlei.- 17 alunos praticam futebol e vôlei.- 45 alunos praticam futebol e basquete; 30, entre os 45,

não praticam vôlei.

O número total de alunos do colégio, no atual semestre, é igual a:

a) 93b) 110c) 103d) 99e) 114

2. Dos 500 músicos de uma Filarmônica, 240 tocam instrumentos de sopro, 160 tocam instrumentos de corda e 60 tocam esses dois tipos de instrumentos.

Quantos músicos dessa Filarmônica tocam instrumentos diferentes dos dois citados?

a) 340b) 280c) 40d) 160e) 10

3. Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas entrevistadas, 100 liam o jornal X, 150 liam o jornal Y, 20 liam os dois jornais e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram entrevistadas?

a) 220b) 240c) 280d) 300e) 340

4. Em uma entrevista de mercado, verificou-se que 2.000 pessoas usam os produtos C ou D. O produto D é usado por 800 pessoas e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto C?

a) 1.430b) 1.450c) 1.500d) 1.520e) 1.600


RACIOCÍNIO LÓGICO

5. Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pessoas de um hospital, constatou-se que 40 delas têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Com base nesses dados, quantas pessoas possuem o antígeno O?

a) 50b) 52c) 59d) 63e) 65

6. Em uma universidade são lidos dois jornais, A e B. Exatamente 80% dos alunos lêem o jornal A e 60% lêem o jornal B. Sabendo que todo aluno é leitor de pelo menos um dos jornais, encontre o percentual que lêem ambos os jornais.

a) 40%b) 45%c) 50%d) 60%e) 65%

7. Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3 mulheres jogam xadrez. Determine o número de homens que não jogam xadrez.

a) 10b) 15c) 20d) 30e) 40

8. Analisando as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche, verificou-se que 68 receberam vacina Sabin, 50 receberam vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas. Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?

a) 30b) 40c) 46d) 53e) 60

9. Numa escola de apenas 800 alunos, é sabido que 200 deles gostam de pagode, 300 gostam de rock e 130, de pagode e rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock?

a) 430b) 560c) 670d) 730e) 800

10. Em um grupo de 160 estudantes, 60% assistem a aulas de francês e 40% assistem a aulas de inglês, mas não às de francês. Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês. O número de estudantes, do grupo de 160, que assistem a aulas de inglês é:

a) 35b) 55c) 72d) 88e) 95

RESPOSTAS

1) Resposta “D”.Solução:n(FeB)=45 e n(FeB -V) = 30 → n(FeBeV)=15n(FeV)=17 com n(FeBeV)=15 → n(FeV - B)=2n(F)= n(só F) + n(FeB-V) + n(FeV -B) +n(FeBeV) 60= n(só F) + 30 + 2 + 15 → n(só F)=13

n(sóF)=n(sóV)= 13n(B)= n(só B) + n(BeV)+ n(BeF-V) --> n(só B)= 65- 20 - 30=

15n(nem F nem B nem V)= n(nem F nem V) - n(solo B) = 21-

15 =6

Total = n(B) + n(só F)+ n(só V) + n(Fe V - B) + n(nem FnemBnemV) = 65+ 13+ 13+ 2+ 6 = 99.

2) Respostas “D”.Solução:Sopro Corda

180 60 100

Total de 340

500 – 340 = 160.

3) Respostas “E”.Solução:

A B

80 20 130

+

110

Começamos resolvendo pelo que é comum: 20 alunos gostam lêem os dois.

Lêem somente A: 100 – 20 = 80Lêem somente B: 150 – 20 = 130Totaliza: 80 + 20 + 130 + 110 = 340 pessoas.

4) Respostas “D”.Solução:A B

1200 320 480

Somente B: 800 – 320 = 480Usam A = total – somente B = 2000 – 480 = 1520.


RACIOCÍNIO LÓGICO

5) Respostas “C”.Solução:A B O

26 14 21

+

59

Começa-se resolvendo pelo AB, então somente A = 40 – 14 = 26 e somente B = 35 – 14 = 21.

Somando-se A, B e AB têm-se 61, então o O são 120 – 61 = 59 pessoas.

6) Respostas “A”.Solução:- Jornal A → 0,8 – x- Jornal B → 0,6 – x- Intersecção → x

Então fica:(0,8 - x) + (0,6 - x) + x = 1- x + 1,4 = 1- x = - 0,4x = 0,4.

- Resposta “40% dos alunos lêem ambos os jornais”.

7) Respostas “C”.Solução:11 jogam xadrez e03 são mulheres, então sobram08 homens que jogam xadrez.

Se 31 são homens ou jogam xadrez, menos11 que jogam xadrez sobram:20 homens.

8) Respostas “C”.Solução:Imagine como um conjunto:

dentro disso.. tem 68 que tomou a de sabin.. e 16 que não tomou

dentro disso.. tem 50 que tomou a de sarampo.. e 34 que não tomou

e 12 não foi vacinada..... e 72 receberam alguma vacina...

Então nosso grupo vai para 72. Se 12 não tomou nada sobra 72..

Então dentro de 72 teve, 50 que tomou a de sarampo e sobra 22...

e 68 que tomou a sabin e 4 que não tomou a sabin.

então o que acontece.. pode ser, que as 4 que não tomou sabin, tenha tomado a sarampo..

Então não podemos simplesmente fazer um menos o outro.então quem realmente tomou? Imagine assim:um número de crianças ordenadas1 as2 as

3 as4 as5 as6 as... as22 sr as... sr as68 sr as69 sr 70 sr71 sr72 sr

enxergou a solução? é a intersecção dos grupossão as crianças entre 22 e 68 = 68 - 22 = 46ou seja, 84 -12 tira as que não tomou nada = 7272 - 50 = 2272 - 68 = 472 – 22 – 4 = 46.

9) Respostas “A”.Solução:200 - 30 = 70 deles gostam só de pagode; 300 - 130 = 170 deles gostam só de rock e 130 de pagode e

de rock. Quantos alunos não gostam nem de pagode nem de rock 800 -

70 - 170 - 130 = 800 - 370 = 430 alunos não gostam nem de pagode nem de rock.

10) Resposta “D”.Solução:Dos 160 estudantes 60% assistem aulas de francês: 96 alunosDos 160 estudantes 40% assistem a aulas de inglês mas não as

de francês: 64 alunosDos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a

aulas de inglês: 24 alunosO número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que

assistem a aulas de inglês é 88.

RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO PROBLEMAS ARITMÉTICOS,

GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS

Problemas Aritméticos

A aritmética é o ramo da matemática que lida com números e com as operações possíveis entre eles. A aritmética abrange o estudo de algoritmos manuais para a realização de operações com os númros naturais, inteiros, racionais (na forma de frações) e reais.

Números Naturais

O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a Índia, difundindo o seu sistema numérico.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo.

Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos números.

Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

A construção dos Números Naturais

- Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando também o zero.

Exemplos: Seja m um número natural.a) O sucessor de m é m+1.b) O sucessor de 0 é 1.c) O sucessor de 1 é 2.d) O sucessor de 19 é 20.

- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números consecutivos.

Exemplos:a) 1 e 2 são números consecutivos.b) 5 e 6 são números consecutivos.c) 50 e 51 são números consecutivos.

- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.b) 5, 6 e 7 são consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.

- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número dado).

Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.a) O antecessor do número m é m-1.b) O antecessor de 2 é 1.c) O antecessor de 56 é 55.d) O antecessor de 10 é 9.

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}

O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}

Igualdade e Desigualdades

Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for satisfeita, escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é importante a ordem dos elementos no conjunto.

Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do conjunto B. Neste caso, A = B.

Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos conjuntos A e B serão distintos.

Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.

Operações com Números Naturais

Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação.

A adição de números naturais

A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.

Propriedades da Adição- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais

é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de composição interna no conjunto N.

- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)

- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será o próprio número natural.


RACIOCÍNIO LÓGICO

- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a primeira parcela.

Multiplicação de Números Naturais

É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador.

Exemplo

4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 + 9 = 36

O resultado da multiplicação é denominado produto e os números dados que geraram o produto, são chamados fatores. Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.

Propriedades da multiplicação

- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto N.

- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n . p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60

- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7

- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12

Propriedade Distributiva

Multiplicando um número natural pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m . p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48

Divisão de Números Naturais

Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos o dividendo.

No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.

Relações essenciais numa divisão de números naturais- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve

ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o

produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7- A divisão de um número natural n por zero não é possível

pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.

Potenciação de Números Naturais

Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m → m aparece n vezes

O número que se repete como fator é denominado base que neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.

Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64

Propriedades da Potenciação

- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, denotada por 1n, será sempre igual a 1.

Exemplos:a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1b- 13 = 1×1×1 = 1c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1

- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. Por exemplo:

- (a) nº = 1- (b) 5º = 1- (c) 49º = 1

- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de sentido no contexto do Ensino Fundamental.

- Qualquer que seja a potência em que a base é o número natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao próprio n. Por exemplo:

- (a) n¹ = n- (b) 5¹ = 5- (c) 64¹ = 64

- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.

Exemplos:a- 103 = 1000b- 108 = 100.000.000c- 10o = 1


RACIOCÍNIO LÓGICO

EXERCÍCIOS

1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n serão respectivamente:

2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o consecutivo ímpar de n será?

3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?

3cm

4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?

5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?

6. Faça a potenciação dos seguintes números:a) 2³b) 5³c) 2²d) 64

7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?

8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é divisor de todos os números?

9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:a) 125 : 5b) 36 : 6c) 49 : 7

10. Calcule:a) -8 + 5b) -5 – 7 c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)d) –(-5) + (-10) - 14

1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é aquele que antecede o n.

Já o consecutivo é n + 1.

2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo será n + 2, e sendo impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2.

3) Resposta “9 quadradinhos”. Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:9 x 1 = 9 quadradinhos

4) Resposta “9”.Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:3 x 3 = 9.

5) Resposta “27”.

Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas multiplicarmos os lados:

3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.

6) Solução:a) 2 x 2 x 2 = = 8

b) 5 x 5 x 5 == 125

c) 2 x 2 == 4

d) 6 x 6 x 6 x 6 == 1296

7) Resposta “4”.Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta

é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4.

8) Resposta “1”.Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n

por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.

9) Solução:a) 125 : 5 == 25

b) 36 : 6 == 6

c) 49 : 7 = = 7

10) Solução:a) -8 + 5 = = -3

b) -5 – 7 == -12

c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) == 10 + 8 – 12 + 17 == 35 – 12 == 23

d) –(-5) + (-10) – 14 == 5 – 10 – 14 == 5 – 24 == -19


RACIOCÍNIO LÓGICO

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis:

- O conjunto dos números inteiros não nulos:Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; Z* = Z – {0}

- O conjunto dos números inteiros não negativos:Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N

- O conjunto dos números inteiros positivos:Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}

- O conjunto dos números inteiros não positivos:Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}

- O conjunto dos números inteiros negativos:Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}

Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |.

O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é

sempre positivo.

Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem.

Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0

No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.

Adição de Números InteirosPara melhor entendimento desta operação, associaremos aos

números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas

o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a + (b + c) = (a + b) + c2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a + b = b + a3 + 7 = 7 + 3

Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z7 + 0 = 7

Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal quez + (–z) = 09 + (–9) = 0

Subtração de Números InteirosA subtração é empregada quando:- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas

tem a mais que a outra;- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a

uma delas para atingir a outra.

A subtração é a operação inversa da adição.

Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9 diferença subtraendo minuendoConsidere as seguintes situações:1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de

+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3)

= +32- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia,

era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira?

Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3

Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+5) + (–3).

Temos:(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3

Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.

Multiplicação de Números InteirosA multiplicação funciona como uma forma simplificada de

uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60


RACIOCÍNIO LÓGICO

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) x (+1) = (+1)(+1) x (-1) = (-1)(-1) x (+1) = (-1)(-1) x (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:Sinais dos números Resultado do produtoIguais PositivoDiferentes Negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:a x (b x c) = (a x b) x c2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:a x b = b x a3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z7 x 1 = 7Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe

um inverso z–1=1/z em Z, tal quez x z–1 = z x (1/z) = 19 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:a x (b + c) = (a x b) + (a x c)3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)

Divisão de Números Inteiros

Dividendo divisor dividendo:Divisor = quociente 0Quociente . divisor = dividendo

Sabemos que na divisão exata dos números naturais:40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 4036 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão

exata de números inteiros. Veja o cálculo:(–20) : (+5) = q => (+5) . q = (–20) ð q = (–4)Logo: (–20) : (+5) = +4

Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. Daí:

- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o quociente é um número inteiro positivo.

- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o quociente é um número inteiro negativo.

- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.

- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.

1- Não existe divisão por zero.Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um

número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de

zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é igual a zero.

Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0

Potenciação de Números InteirosA potência an do número inteiro a, é definida como um produto

de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a x a x a x a x ... x aa é multiplicado por a n vezes

Exemplos:33 = (3) x (3) x (3) = 27(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125(-7)² = (-7) x (-7) = 49(+9)² = (+9) x (+9) = 81- Toda potência de base positiva é um número inteiro

positivo.Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9- Toda potência de base negativa e expoente par é um

número inteiro positivo.Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64

- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo.

Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125

Propriedades da Potenciação:Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base

e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9

Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = (+13)2

Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10

Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 (–13)1 = –13

Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1


RACIOCÍNIO LÓGICO

Radiação de Números InteirosA raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a

operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical).

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

9 = ±3mas isto está errado. O certo é:

9 = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.

(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.

(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.

(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

EXERCÍCIOS

1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois algarismos?

2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?

3. Calcule:a) (+12) + (–40)b) (+12) – (–40) c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)

4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças verdadeiras:

a) x + (–12) = –5

b) x + (+9) = 0c) x – (–2) = 6d) x + (–9) = –12e) –32 + x = –50f) 0 – x = 8

5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as informações?

Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.Máxima prevista 37° no Piauí.

6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em que o maior deles é –10?

7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é +99. Determine o produto desses três números.

8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros de modo que elas se mantenham:

a) (–140) : x = –20 b) 144 : x = –4 c) (–147) : x = +21 d) x : (+13) = +12 e) x : (–93) = +45 f) x : (–12) = –36

9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?

10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com o total?

RESPOSTAS

1) Resposta “9²”.Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.Os números quadrados perfeitos são:1² = 1 (menor que dois algarismos)2² = 43² = 94² = 16 (dois algarismos)5² = 256² = 367² = 498² = 649² = 8110² = 100 (mais que dois algarismos)

Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81

2) Resposta “270”.Solução:(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 10155 – 51 + 165 + 101 = 270

Portanto, o número inteiro é 270.


RACIOCÍNIO LÓGICO

3) Solução:a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 =

6 – 24 = -18

4) Solução:a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7b) x + (+9) = 0 → x = -9c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18f) 0 – x = 8 → x = -8

5) Resposta “40˚”. Solução:A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º,

0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.

6) Resposta “-1320”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x+2 = -10x= -10 -2x = -12

(-12) . (-12+1) . (-12+2) =-12 . -11 . -10 = - 1320

7) Resposta “999900”.Solução:(x) . (x+1) . (x+2) = ?

x= 99

(99) . (99+1) . (99+2) =99 . 100 . 101 = 999900

8) Solução:a) (–140) : x = –20 -20x = -140 x = 7

b) 144 : x = –4 -4x = 144 x = -36 c) (–147) : x = +21 21x = -147 x = -7

d) x : (+13) = +12 x = 12 . 13 x = 156 e) x : (–93) = +45 x = 45 . -93 x = -4185

f) x : (–12) = –36 x = -36 . -12 x = 432

9) Resposta “738”.Solução:x + (-846) . -3 = 324x – 846 . -3 = 324-3 (x – 846) = 324-3x + 2538 = 3243x = 2538 – 3243x = 2214x = x = 738

10) Resposta “3”.Solução: Seja t o total da adição inicial.Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de

8 unidades: t + 8Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido

de 5 unidades: Temos:

t + 8 - 5 = t + 3

Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q

Um número racional é o que pode ser escrito na forma nm

, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {nm : m e n em Z, n diferente de zero}

No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:

- Q* = conjunto dos racionais não nulos;- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.

Representação Decimal das Frações

Tomemos um número racional qp

, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador.

Nessa divisão podem ocorrer dois casos:1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um

número finito de algarismos. Decimais Exatos:

52 = 0,4


RACIOCÍNIO LÓGICO

41

= 0,25

435

= 8,75

50153 = 3,06

2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:

31 = 0,333...

221 = 0,04545...

66167

= 2,53030...

Representação Fracionária dos Números Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos:

1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do número decimal dado:

0,9 = 109

5,7 = 1057

0,76 = 10076

3,48 = 100348

0,005 = 1000

5 = 2001

2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:

Exemplo 1 Seja a dízima 0, 333... .Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros

por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da

segunda:10x – x = 3,333... – 0,333... => 9x = 3 => x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 93 .

Exemplo 2Seja a dízima 5, 1717... .Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 => x = 512/99

Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 99

512 .

Exemplo 3Seja a dízima 1, 23434...

Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .

Subtraindo membro a membro, temos:990x = 1234,34... – 12,34... => 990x = 1222 =>

x = 1222/990

Simplificando, obtemos x = 495611 , a fração geratriz da dízima

1, 23434...

Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa zero.

Exemplo: Módulo de – 23 é

23 . Indica-se

23

− = 23

Módulo de + 23 é

23 . Indica-se

23

+ = 23

Números Opostos: Dizemos que – 23

e 23

são números racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos –

23 e

23 ao ponto zero da reta

são iguais.

Soma (Adição) de Números RacionaisComo todo número racional é uma fração ou pode ser escrito

na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais

ba e

dc , da mesma forma que a soma de frações, através

de:

ba

+ dc

= bd

bcad +

Propriedades da Adição de Números RacionaisO conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a

soma de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a +

b ) + c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em

Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (–q) = 0

Subtração de Números RacionaisA subtração de dois números racionais p e q é a própria

operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q = p + (–q)


RACIOCÍNIO LÓGICO

Multiplicação (Produto) de Números RacionaisComo todo número racional é uma fração ou pode ser escrito

na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais

ba

e dc

, da mesma forma que o produto de frações, através de:

ba

x dc

= bdac

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)(+1) × (-1) = (-1)(-1) × (+1) = (-1)(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da Multiplicação de Números RacionaisO conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto

de dois números racionais ainda é um número racional.- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a ×

b ) × c- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo

q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q

- Elemento inverso: Para todo q = ba em Q, q diferente de

zero, existe q-1 = ab

em Q: q × q-1 = 1

ba

x

ab = 1

- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )

Divisão de Números RacionaisA divisão de dois números racionais p e q é a própria operação

de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1

Potenciação de Números RacionaisA potência qn do número racional q é um produto de n fatores

iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

a) 3

52

=

52 .

52 .

52 =

1258

b) 3

21

− =

−

21 .

−

21 .

−

21

=

81

−

c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25

d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25

Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 0 é igual a 1.

0

52

+ = 1

- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base. 1

49

− =

49

−

- Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente anterior.

2

53 −

− =

2

35

− =

925

- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base.

3

32

=

32 .

32 .

32 =

278

- Toda potência com expoente par é um número positivo.2

51

− =

−

51

.

−

51

= 251

- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e somamos os expoentes.

2

52

.

3

52

=

532

52

52

52.

52.

52.

52.

52

=

=

+

- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

32525

23

23

23.

23

23.

23.

23.

23.

23

23:

23

=

==

−

- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

62322222232

21

21

21

21.

21.

21

21

=

=

=

=

+++

Radiciação de Números RacionaisSe um número representa um produto de dois ou mais fatores

iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada de 4. Indica-se 4 = 2.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo 2

91 Representa o produto 3

1. 31

ou

2

31

. Logo,

31

é a raiz

quadrada de 91

.Indica-se 91 =

31

Exemplo 3

0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 3 216,0 = 0,6.

Assim, podemos construir o diagrama:

N Z Q

Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.

O número 9

100− não tem raiz quadrada em Q, pois tanto

310

−

como 3

10+ , quando elevados ao quadrado, dão

9100 .

Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.

O número 32 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe

número racional que elevado ao quadrado dê 32 .

EXERCÍCIOS

1. Calcule o valor das expressões numéricas:

a) 247

–

+−−

−

43

67

81

125

b)

+

−

+

25

121:

163

–

−

27

49

2. Escreva o produto 73

32.

32

+

+ como uma só

potência.

3. Escreva o quociente 412

2516:

2516

−

− como uma só

potência.

4. Qual é o valor da expressão

+

−−−

43:

21

2413 3

?

5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu

com das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das

figurinhas. Com que fração das figurinhas as duas juntas

contribuíram?

6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu do livro e

no dia seguinte leu do livro. Então calcule:

a) A fração do livro que ela já leu.b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.

7. Em um pacote há de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote há . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que o segundo?

8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os

da rua já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta

asfaltar?

9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, desses apartamentos foi vendido e foi reservado. Assim:

a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?

b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não foram vendidos ou reservados?

10. Transforme em fração:

a) 2,08b) 1,4c) 0,017d) 32,17

RESPOSTAS

1) Solução:

a) 247 –

+−−

−

43

67

81

125

b)

+

−

+

25

121:

163

–

−

27

49

mmc:(4;2)=4


RACIOCÍNIO LÓGICO

2) Solução:

10

32

+

3) Solução:

8

2516

−

4) Solução:

+

−−−

43:

21

2413 3

5) Resposta “ ”Solução:

6) Solução:

a)

b)

7) Respostas “ ”

Solução:

8) Resposta “ ”Solução:

9) Solução:

a)

b)

10) Solução:

a) 2,08 →

b) 1,4 →

c) 0,017 →

d) 32,17 →

NÚMEROS REAIS

O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fração decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a coleção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

Propriedade

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, R tem a seguinte propriedade: Se R for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B.

Ao conjunto formado pelos números Irracionais e pelos números Racionais chamamos de conjunto dos números Reais. Ao unirmos o conjunto dos números Irracionais com o conjunto dos números Racionais, formando o conjunto dos números Reais, todas as distâncias representadas por eles sobre uma reta preenchem-na por completo; isto é, ocupam todos os seus pontos. Por isso, essa reta é denominada reta Real.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Podemos concluir que na representação dos números Reais sobre uma reta, dados uma origem e uma unidade, a cada ponto da reta corresponde um número Real e a cada número Real corresponde um ponto na reta.

Ordenação dos números ReaisA representação dos números Reais permite definir uma

relação de ordem entre eles. Os números Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b,

a ≤ b ↔ b – a ≥ 0

Exemplo: -15 ≤ ↔ 5 – (-15) ≥ 0 5 + 15 ≥ 0

Propriedades da relação de ordem- Reflexiva: a ≤ a- Transitiva: a ≤ b e b ≤ c → a ≤ c- Anti-simétrica: a ≤ b e b ≤ a → a = b- Ordem total: a < b ou b < a ou a = b

Expressão aproximada dos números Reais

Os números Irracionais possuem infinitos algarismos decimais não-periódicos. As operações com esta classe de números sempre produzem erros quando não se utilizam todos os algarismos decimais. Por outro lado, é impossível utilizar todos eles nos cálculos. Por isso, somos obrigados a usar aproximações, isto é, cortamos o decimal em algum lugar e desprezamos os algarismos restantes. Os algarismos escolhidos serão uma aproximação do número Real. Observe como tomamos a aproximação de e do

número nas tabelas.

Aproximação por

Falta ExcessoErro menor que1 unidade 1 3 2 41 décimo 1,4 3,1 1,5 3,21 centésimo 1,41 3,14 1,42 3,151 milésimo 1,414 3,141 1,415 3,1421 décimo de milésimo 1,4142 3,1415 1,4134 3,1416

Operações com números Reais

Operando com as aproximações, obtemos uma sucessão de intervalos fixos que determinam um número Real. É assim que vamos trabalhar as operações adição, subtração, multiplicação e divisão. Relacionamos, em seguida, uma série de recomendações úteis para operar com números Reais:

- Vamos tomar a aproximação por falta.- Se quisermos ter uma idéia do erro cometido, escolhemos o

mesmo número de casas decimais em ambos os números.- Se utilizamos uma calculadora, devemos usar a aproximação

máxima admitida pela máquina (o maior número de casas decimais).

- Quando operamos com números Reais, devemos fazer constar o erro de aproximação ou o número de casas decimais.

- É importante adquirirmos a idéia de aproximação em função da necessidade. Por exemplo, para desenhar o projeto de uma casa, basta tomar medidas com um erro de centésimo.

- Em geral, para obter uma aproximação de n casas decimais, devemos trabalhar com números Reais aproximados, isto é, com n + 1 casas decimais.

Para colocar em prática o que foi exposto, vamos fazer as quatro operações indicadas: adição, subtração, multiplicação e divisão com dois números Irracionais.

Valor Absoluto

Como vimos, o erro pode ser:- Por excesso: neste caso, consideramos o erro positivo.- Por falta: neste caso, consideramos o erro negativo.

Quando o erro é dado sem sinal, diz-se que está dado em valor absoluto. O valor absoluto de um número a é designado por |a| e coincide com o número positivo, se for positivo, e com seu oposto, se for negativo.

Exemplo: Um livro nos custou 8,50 reais. Pagamos com uma nota de 10 reais. Se nos devolve 1,60 real de troco, o vendedor cometeu um erro de +10 centavos. Ao contrário, se nos devolve 1,40 real, o erro cometido é de ¬10 centavos.


RACIOCÍNIO LÓGICO

PROBLEMAS GEOMÉTRICOS

A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter uma boa idéia das figuras geométricas, observando objetos reais, como o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.

As Figuras BásicasAproveitaremos o cubo, figura bastante conhecida de todos,

para mencionar três figuras básicas da geometria: o ponto, a reta e o plano.

No cubo seguinte, três faces são visíveis, e três não. As três faces visíveis têm em comum apenas o ponto A.

Os matemáticos consideram que os pontos são tão pequenos que não chegam a ter tamanho algum. Para representar um ponto fazemos uma marca bem pequena no papel e para nomeá-lo usamos uma letra maiúscula: A, B, C, etc.

Considere agora a face superior do cubo e a face que vemos à direita. Estas faces têm em comum o segmento de reta AB, com extremidades nos pontos A e B.

O segmento AB (“tem começo e fim”)

Nas próximas figuras, indicamos a semi-reta AB, de origem A, e a semi-reta BA, de origem B.

A semi-reta AB(sua origem é A e “ela não tem fim”)

A semi-reta BA(sua origem é B e “ela não tem fim”)

A seguir, indicamos a reta AB.

A reta AB (“não tem começo nem fim”)

Os matemáticos consideram que as retas não têm largura. Para nomeá-las, além de notações como AB, é muito comum o uso de letras minúsculas: r, s, t, etc.

Prolongando indefinidamente uma face de um cubo em todas as direções, como indica a próxima figura, temos um plano.


RACIOCÍNIO LÓGICO

O plano α

Os planos não têm espessura. Para nomeá-los, usamos letras gregas, principalmente as três primeiras α (alfa), β (beta) e γ (gama).

Perímetro

Entendendo o que é perímetro.Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de

comprimento.Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé

nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não se coloca rodapé?

A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, menos 1m da largura da porta, ou seja:

P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1P = 26 – 1P = 25

Colocaríamos 25m de rodapé.A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.

Área

Área é a medida de uma superfície.A área do campo de futebol é a medida de sua superfície

(gramado).Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma

malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área:

Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de área.

A unidade de medida da área é: m2 (metros quadrados), cm2 (centímetros quadrados), e outros.

Se tivermos uma figura do tipo:

Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades.

No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área.

Área do Retângulo

Existe dois tipos de retângulos: com lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes.

No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:

Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.


RACIOCÍNIO LÓGICO

O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4 A = 24 cm2

Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:

A = b . h

Quadrado É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados

iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:

Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A = .

Área do Trapézio A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo

que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura). 2

Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):

Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:

Primeiro: completamos as alturas no trapézio:

Segundo: o dividimos em dois triângulos:

A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).

Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:A∆1 = B . h 2

Cálculo da área do ∆CFD: A∆2 = b . h 2 Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área

de um trapézio qualquer: AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h 2 2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é 2

um termo comum aos dois fatores. AT = h (B + b) 2

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:

A = h (B + b) 2

h = altura B = base maior do trapézio b = base menor do trapézio


RACIOCÍNIO LÓGICO

Área do Triângulo

Observe o retângulo abaixo, ele está dividido ao meio pela diagonal:

A área do retângulo é A = b. h, a medida da área de cada metade será a área do retângulo dividida por dois. Cada parte dividida do retângulo é um triângulo, assim podemos concluir que a área do triangulo será:

A = b . h 2

Mas como veremos a altura no triângulo? A altura deve ser sempre perpendicular à base do triângulo.

No triângulo retângulo é fácil ver a altura, pois é o próprio lado do triângulo, e forma com a base um ângulo de 90° (ângulo reto).

Quando a altura não coincide com o lado do triângulo, devemos traçar uma reta perpendicular à base (formando um ângulo de 90º com a base) que será a altura do triângulo.

Observe o exemplo:

Observe o triângulo equilátero (todos os lados iguais). Calcule a sua área.

Como o valor da altura não está indicado, devemos calcular o seu valor, para isso utilizaremos o teorema de Pitágoras no triângulo:

42 = h2 + 22 16 = h2 + 4 16 – 4 = h2 12 = h2 h = √12 h = 2√3 cm

Com o valor da altura, basta substituir na fórmula A = h (B + b) o valor da base e da altura.

2

A = 4 . 2√3 2

A = 2 . 2√3

A = 4 √3 cm2

EXERCÍCIOS

1. Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então:a) m é um número primo b) m é primo e par c) m é um quadrado perfeitod) m = 0e) m < 4

2. Se o ponto P(r - 12, 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que:

a) r é um número naturalb) r = - 3c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0d) r é um número inteiro menor do que - 3.e) não existe r nestas condições.

3. Se o ponto P(k, -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0, então o valor de k2 é:

a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0

4. O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas; dados os pontos B(2, 3) e C(-4, 1), sabe-se que do ponto A se vê o segmento BC sob um ângulo reto. Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é:

a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)


RACIOCÍNIO LÓGICO

5. Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 é igual a:

a) 25b) 32c) 34d) 44e) 16

6. Calcule K para que o ponto P(K, 9) pertença a reta t:2x – 9y – 5 = 0.

7. (EPUSP/1966) Os pontos do plano cartesiano que satisfazem à equação sen(x – y) = 0 constituem:

a) uma retab) uma senóidec) uma elipsed) um feixe de retas paralelase) nenhuma das respostas anteriores

8. A equação x2 – y2 + x + y = 0 representa no sistema de coordenadas cartesianas:

a) uma hipérboleb) uma elipsec) uma circunferênciad) uma parábolae) duas retas

9. UEMS, Uma folha de papel retangular foi dobrada conforme a figura. Assinale a alternativa que represente corretamente o valor de x.

a) 15ºb) 20ºc) 30º d) 40ºe) 45º

10. Na figura, OD e OB são bissetrizes de EÔC e AÔC respectivamente. Sendo EÔC = 41º e AÔC = 29º40′, calcule a medida do ângulo BÔD:

RESPOSTAS

1) Resposta “C”.Solução: Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y), então

a sua abscissa é nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e,

portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é um quadrado perfeito (4 = 22).

2) Resposta “C”.Solução: Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x) possuem

abscissa e ordenada iguais entre si.Logo, deveremos ter: r - 12 = 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.

Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Basta substituir x por -2 , ou seja:

(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.

3) Resposta “B”.Solução: Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k +

2(-2) - 10 = 0.Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.

Logo, a alternativa correta é a letra B.

4) Resposta “D”.Solução: Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto,

podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, vale o teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemos escrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula de distância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y), já que é dado no problema que o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = (0 - 2)2 + (y - 3)2 = 4 + (y - 3)2

AC2 = (0 - (-4))2 + (y - 1)2 = 16 + (y - 1)2

BC2 = (2 - (-4))2 + (3 - 1)2 = 40

Substituindo, vem: 4 + (y - 3)2 + 16 + (y - 1)2 = 40 \ (y - 3)2 + (y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20

Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0, que resolvida, encontramos y = 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo.

Portanto, o ponto procurado é A (0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.

5) Resposta “C”.Solução: Chama-se mediana de um triângulo relativa a um

lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Das fórmulas de ponto médio anterior, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M(3, 5).


RACIOCÍNIO LÓGICO

Portanto, o comprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distância encontramos AM = Ö 34, ou seja, raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e, portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir que a resposta correta está na alternativa C.

6) Solução:t: 2x-9y-5=0 p(k,9)2k 9.9-5=0t: 2k -81 -5 = 0t: 2k-86 = 02k = 86 k = 86/2 k = 43.

7) Resposta “D”. Solução: O seno é nulo para os arcos expressos em radianos:

0, p , 2p , 3p , 4p, ... , kp, onde k é um número inteiro. Logo:

sen(x - y) = 0 => x – y = kp.

Daí, vem:

y = - x + kp \ y = x - kp, k Î Z.

Fazendo k variar no conjunto Z, obteremos um número infinito de retas de mesmo coeficiente angular m = 1 e, portanto, paralelas, ou seja:

...................................................................

k = - 1 reta: y = x + pk = 0 reta: y = xk = 1 reta: y = x - p , e assim sucessivamente.

...................................................................

Portanto, a alternativa correta é a letra D (um feixe de retas paralelas).

8) Resposta “E”.Solução: Temos: x2 – y2 + x + y = 0; podemos escrever:(x – y)(x + y) + (x + y) = 0;

Observe que (x-y)(x+y)= x2 - y2

Fatorando, fica:(x + y) (x – y + 1) = 0

Para que o produto acima seja nulo, deveremos ter necessariamente:

x + y = 0 ou x – y + 1 = 0;

Logo,y = - x ou y = x + 1, que são as equações de duas retas, o que

nos leva à alternativa E.

9) Resposta “E”.Solução: Primeiramente, vamos dar nome aos vértices da

figura dobrada, Que forma um quadrilátero. Chame de A o vértice do ângulo de 70°, no sentido anti-horário, nomeie os respectivos vértices de B, C e D. Assim temos o quadrilátero ABCD. Trace

a bissetriz do ângulo B e a chame de r (por r ser reta bissetriz, ela divide o ângulo, em dois ângulos de mesma medida, sendo o ângulo B igual a 90°, assim formaremos dois ângulos com medidas iguais a 45°). Considere, a reta que passa pelos pontos A e B, sendo esta transversal a reta r e ao lado inferior do retângulo. Daí, temos que a medida de x, vale 45°. Pois, o ângulo x e o ângulo formado pela bissetriz no vértice B, são alternos internos, portanto tem a mesma medida.

Portanto, a resposta é letra “e”.

10) Solução: Sabendo que EÔC = 41º e são bissetrizes, basta dividir 41 por 2 = 20,5

É AÔC = 29º40′ por 2 = 14º7Agora basta somar 20,5 + 14º5= BÔD = 30º20′

PROBLEMAS MATRICIAIS

A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete masculino.

Campeonato Paulista – ClassificaçãoTime Pontos

1º Tilibra/Copimax/Bauru 202º COC/Ribeirão Preto 203º Unimed/Franca 194º Hebraica/Blue Life 175º Uniara/Fundesport 166º Pinheiros 167º São Caetano 168º Rio Pardo/Sadia 159º Valtra/UBC 1410º Unisanta 1411º Leitor/Casa Branca 1412º Palmeiras 1313º Santo André 1314º Corinthians 1215º São José 12

Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)Folha de S. Paulo – 23/10/01

Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de comparações das informações apresentadas, por exemplo:

“ COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru

“ Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.

Definições

Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m . n elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas

Exemplos

1º) 1 0 -2 3 é uma matriz 2 x 4 1 1 3 2


RACIOCÍNIO LÓGICO

2º) 1 0 1 é uma matriz 3 x 3 2 3 3 1 4 2

3º) [ 1 0 3 ] é uma matriz 1 x 3

4º) 2 é uma matriz 2 x 1 0

O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do alfabeto latino, A, por exemplo, enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas, a mesma do nome de matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento ocupa na matriz.

Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij.

O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse comando.

ExemploNa matriz B de ordem 2 x 3 temos:

B= 1 0 3 2 -1 4

b11 = 1; b12 = 0; b13 = 3;b21 = 2; b22 = -1; b23 = 4

ObservaçãoO elemento b23 por exemplo, lemos assim:

“b dois três”De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada

por:

a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2nA= a31 a32 a33 ... a3n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn

Ou com a notação abreviada: A = (aij)m x n

Matrizes Especiais

Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais:

1ª. Matriz Linha

É a matriz que possui uma única linha.

Exemplos

- A = [-1, 0]- B = [1 0 0 2]

2ª. Matriz Coluna

É a matriz que possui uma única coluna.

Exemplos1º) A = 2 2º) B = -1 1 3

3ª) Matriz NulaÉ a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos

1º) A = 2º) B =

4ª) Matriz QuadradaÉ a matriz que possui o número de linhas igual ao número de

linhas igual ao número de colunas.

Exemplos

1º) A = É a matriz quadrada de ordem 2.

Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.

Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais.

Exemplo

{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal

secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.

Exemplo

{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.

5ª. Matriz Diagonal

É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

Exemplos

1º) A =


RACIOCÍNIO LÓGICO

6ª) Matriz Identidade

É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da diagonal principal iguais a 1.

Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplos

1º) I2 = 2º) I3 =

Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n

7ª. Matriz Transposta

Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At.

Exemplo

A = , então At =

Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n x m.

Igualdade de Matrizes

Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes.

Exemplo

Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,

A = e B =

São elementos correspondentes de A e B, os pares:

a11 e b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.

Definição

Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais.

Indica-se:A = BEntão:

A = (aij)n x n e B = (bij)p x q

Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n , dizemos que uma matriz B = (bij)m x n é oposta de A quando bij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n.

Indicamos que B = -A.

Exemplo

A = ⇒ -B =

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica quando aij = aji para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A = At.

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-simétrica quando aij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A é anti-simétrica quando At = -A.

Adição e Subtração de Matrizes

Definição

Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos:

C = A + B

Assim:

+ =

Propriedades da Adição

Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem as seguintes propriedades.

- A + B = B + A (comutativa)- (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)- A + O = O + A = A (elemento neutro)- A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)- (A + B)t = At + Bt

Definição

Consideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m x n. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B) a soma de A com a oposta de B.

A – B = A + (B)

Exemplo

Sendo A = e B = , então:


RACIOCÍNIO LÓGICO

A - B = -

A - B = +

A - B =

A - B =

Observação: Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspondentes.

Multiplicação de Matrizes por um Número Real

Definição

Consideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número real. O produto de por A é uma matriz B, de ordem m x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por.

Indicamos:

B = a . A

Exemplo

Sendo A = , temos

2 . A = =

Matrizes – Produtos

Multiplicação de Matrizes

O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos:

B = a . A

Da definição, decorre que:

- Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.

- A matriz C, produto de Am x p por BP x n, é do tipo m x n.

Propriedades

Sendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes convenientes e, são válidas as seguintes propriedades.

- ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa)- C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda)- (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita)- A . In = Im . A = A (elemento neutro)- (a . A) . B = A . (a . B ) = . (A . B)- A . On x p = Om x p e Op x m . A = Op x n- (A . B)t = Bt . At

Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . B ≠ B . A). Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais, quando dizemos que as matrizes são comutáveis.

Devemos levar em consideração os fatos seguintes:

1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2, pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) + A2 + AB + BA + B2

2º) (A . B)t ≠ At . Bt, pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A . B)t = Bt . At

Matriz Inversa

No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:

a . b = b . a = 1

Normalmente indicamos o inverso de a por a1

ou a-1.

Analogamente para as matrizes temos o seguinte:

Definição

Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:

A . B = B . A = In

A matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1.

ExemplosVerifique que a matriz B=

−

−1134

é a inversa da matriz A=

4131

Resolução

A.B=

4131

.

−

−1134

=

1001

B.A=

−

−1134 .

4131 =

1001

Como A.B=B.A=12, a matriz B é a inversa de A, isto é, B=A-1.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Observação: É bom obser4varmos que, de acordo com a definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é, A=B-1, ou seja, A=(A-1)-1.

- Encontre a matriz inversa da matriz A=

1213

, se existir.

Resolução

Supondo que B=

dcba

é a matriz inversa de A, temos:

A.B=

1213

.

dcba

=

1001

++++

dbcadbca

2233 =

1001

Assim:

=+=+

0213

caca e

=+=+

1203

dbdb

Resolvendo os sistemas, encontramos:A=1,b=-1,c=-2 e d=3

Assim, B=

−

−3211

Por outro lado:

B.A=

−−

3211 .

1213 =

1001

Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:

B=A-1=

−

−3211

Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que ela é uma matriz não-singular; caso a matriz não seja inversível, dizemos que ela é uma matriz singular.

Propriedades

Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, temos as seguintes propriedades:

- (A-1)-1 = A- (A-1)t = At)-1

- (A.B)-1=B-1..A-1

- Dada A, se existir A-1, então A-1 é única.

Exemplo

Sendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em (X.A)-1=B.

Resolução

(X.A)-1=B⇒A-1.X-1=B

Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos:

A.A-1.X-1=A.BComo A.A-1=In, então:

In.X-1=A.B

Como In é elemento neutro na multiplicação de matrizes, temos:

X-1=A.BElevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1,

temos:

(X-1)-1=(A.B)-1

Assim, X=(A.B)-1, ou então X=B-1.A-1

O sistema obtido está escalonado e é do 2º

Determinantes

Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.

Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:

A=

5421

→ det A=5421

Definições

Determinante de uma Matriz de Ordem 1

Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11]Chamamos determinante dessa matriz o número:det A=[ a11]= a11

Exemplos

- A=[-2] → det A=-2- B=[5] → det B=5- C=[0] → det C=0

Determinante de uma Matriz de ordem 2

Seja a matriz quadrada de ordem 2:

A=

2221

1211

aaaa

Chamamos de determinante dessa matriz o número:

det A= 2221

1211

aaaa =a11.a22-a21.a12


RACIOCÍNIO LÓGICO

Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Esquematicamente:

det A=2221

1211

aaaa

= a11.a22-a21.a12

Exemplos

1º) A=

3521

det A=1.3-5.2=-7

2º) B=

−3212

det B=2.3-2.(-1)=8

C – Determinante de uma Matriz de Determinante de uma Matriz de Ordem 3

Seja a matriz quadrada de ordem 3:

A=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

Chamamos determinante dessa matriz o numero:

detA= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a32 a21 a13 - a31 a22 a13 +-a12 a21 a33 - a32 a23 a11

Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:

- Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

- Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+-a11 a23 a32-a12 a21 a33

Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas.

Determinantes – Propriedades - I

Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes:

Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At.

Exemplo

A= ⇒

dcba

At=

dbca

AAbcadA

bcadA tt detdet

detdet

=⇒

−=

−=

Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então:

detB = -detA

Exemplo

A=

dcba

e B=

badc

B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.detA = ad-bcdebt = BC-ad = -(ad-bc) = -detA

Assim,detB = -detA

Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero.

Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA

Assim: detA = 0

Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA

Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência”um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna).

Exemplo

dckbka

=k.

dcba

- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então:

det(k.A)=kn.detA


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo

A= ⇒

ihgfedcba

k.A=

kikhkgkfkekdkckbka

det(k.A)= kikhkgkfkekdkckbka

=k.k.k.ihgfedcba

Assim:det(k.A)=k3.detA

Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então.

detC = detA + detB

Exemplos:

zfeydcxba

+

tfesdcrba

=tzfesydcrxba

+++

Propriedades dos Determinantes

Propriedades 5 (Teorema de Jacobi)

O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número.

Exemplo

Considere o determinante detA=

ihgfedcba

Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:

mgihgmdfed

macba

+++

)4(Pihgfedcba

mghgmdedmaba

+

mgihgmdfed

macba

+++

ghgdedaba

mA += det

Igual a zero

mgihgmdfed

macba

+++

= detA

Exemplo

Vamos calcular o determinante D abaixo.

D = 8 + 0 + 0 – 60 – 0 – 0 = -52

Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular:

D1 = 48 + 0 + 0 – 100 – 0 – 0 = -52

Observe que D1=D, de acordo com a propriedade.

Consequência

Quando uma fila de um determinante é igual à soma de múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero.

Exemplo

Seja D= 05141223821

−

Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3.

8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 612 = 2(3) + 3(2) = 6 + 65 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3

Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0Use a regra de Sarrus e verifique.

Propriedade 6 (Teorema de Binet)

Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então:det(A.B) = detA . detB Exemplo

A= ⇒

3021

detA=3

B= ⇒

1234

detB=-2

A.B= ⇒

3658

det(A.B)=-6


RACIOCÍNIO LÓGICO

Logo, det(AB)=detA. detB

Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n∈N*, temos:

det(An) = (detA)n

Sendo A uma matriz inversível, temos:

detA-1=Adet

1

Justificativa: Seja A matriz inversível.A-1.A=Idet(A-1.A) = det IdetA-1.detA = det I

detA-1=Adet

1

Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade.

Determinantes – Teorema de Laplace

Menor complementar e Co-fator

Dada uma matriz quadrada A=(aij)nxn (n≥ 2), chamamos menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

Exemplo

Sendo A=

212014321

, temos:

M11=2101 =2

M12=2204 =8

M13=1214 =2

Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

Exemplo

Sendo A

−

−

031312413

, temos:

A11=(-1)1+1.M11=(-1)2. 0331

=-9

A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 0132

− =-3

A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. 1213 −

=5

Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n≥ 2, chamamos matriz co-fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos elementos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A.

Exemplo

Sendo A=

−124101231

, temos:

A11=(-1)1+1.

1210 −

=2

A12=(-1)1+2.

1411 −

=-5

A13=(-1)1+3.

2401

=2

A21=(-1)2+1. 12

23 =1

A22=(-1)2+2.

1421

=-7

A23=(-1)2+3.

2431

=10

A31=(-1)3+1.

1023−

=-3

A32=(-1)3+2.

1121− =3

A33=(-1)3+3.

0131

=-3

Assim:

cof A =

−−−−

3331071

252

−−−−

3331071

252e adj A=

−−−

−

3102375312

Determinante de uma Matriz de Ordem n

Definição.

Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes quadradas de ordem 1, 2 e 3.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Então:

- Para n = 1A=[a11] ⇒ det A=a11


RACIOCÍNIO LÓGICO

- Para n ≥ 2:

A= ∑=

=⇒

n

jjj

nnnn

n

n

AaA

aaa

aaaaaa

111

21

22221

11211

.det

..........................

.......

ou seja:detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n

Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores.

Exemplos

Sendo A=

2221

1211

aaaa

, temos:

detA = a11.A11 + a12.A12, onde:A11 = (-1)1+1.|a22| = a22A12 = (-1)1+2.|a21| = a21

Assim:

detA = a11.a22 + a12.(-a21)

detA = a11.a22 - a21.a12

Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.

- Sendo A=

− 20393452323210003

, temos:

detA=3.A11 +

zero

AAA 141312 .0.0.0 ++

A11=(-1)1+1.

203341232

=-11

Assim:

detA=3.(-11)⇒ det A=-33

Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado.

Teorema de Laplace

Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n⇒ 2, seu determinante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.

Exemplo

Sendo A=

− 0223001401232105

Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator.

Assim:detA = 2.A14 + 0.A24 + 0.A34 + 0.A44

A14=(-1)1+4

− 223014123

=+21

detA = 2 . 21 = 42

Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo.

- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros.

- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace.

Exemplo

Calcule det A sendo A=

−−

3643213212101321

A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores.

Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:

A=

−−

−

0320477012101321

Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:

detA=1.(-1)1+1.

−−

−

032477121

=

−−

−

032477121


RACIOCÍNIO LÓGICO

Aplicamos a regra de Sarrus,

det A = (0 – 16 – 21) - ( - 14 + 12 + 0)detA = 0 – 16 – 21 + 14 – 12 – 0 = -49 + 14detA = -35

Uma aplicação do Teorema de Laplace

Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior.

Assim:

1ª. A é triangular superior

A=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

...000...............

...00

...0....

333

22322

1131211

detA=a11.a22.a33. … .ann

2ª. A é triangular inferior

A=

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaa

..................

...

...0....

321

3333231

22221

1131211

detA=a11.a22.a33. … .ann

In=

1000

010000100001

detIn=1

Determinante de Vandermonde e Regra de Chió

Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente.

Exemplos

- Determinante de Vandermonde de ordem 3

222

111

cbacba

- Determinante de Vandermonde de ordem 4

3333

2222

1111

dcbadcbadcba

Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.

Propriedade

Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante.

Exemplo

Calcule o determinante:

detA=49711641

421

Sabemos que detA=detAt, então:

detAt=49161742111

Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:detA = (4 – 2).(7 – 2).(7 – 4)=2 . 5 . 3 = 30

EXERCÍCIOS

1. Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.

2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A =

é nula.


RACIOCÍNIO LÓGICO

3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal secundária da matriz.

4. Calcule o valor a e b, sabendo que

5. Sabendo que a matriz A = é matriz diagonal, calcule x, y e z.

6. Sabendo que I2 = calcule x e y.

7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que aij = i + j.

8. Escreva a matriz transposta A = (aij)3 x 3 dada por aij = i – 2j.

9. Dada a matriz A = calcule o valor de a para que A seja simétrica.

10. Calcule A + B sabendo que A = e

B =

RESPOSTAS

1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos:

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23

a11 = 2 . 1 + 1 = 3a12 = 2 . 1 + 2 = 4a13 = 2 . 1 + 3 = 5a21 = 2 . 2 + 1 = 5a22 = 2 . 2 + 2 = 6a23 = 2 . 2 + 3 = 7

Portanto, A =

2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus elementos são nulos. Logo:

x + 1 = 0 → x = -1y – 2 = 0 → y = -2

3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; logo, 1 + 5 + 9 = 15.

Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 3 + 5 + 7 = 15.

Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30.

4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter:a + 4 = 5 → a = 1b² = 4 → b = 2 ou b = -2

5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter:x + 2 = 0 → x = -2y – 1 = 0 → y = 1z – 4 = 0 → z = 4.

Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4.

6) Solução:

Como I2 = , devemos ter x – y = 1 e x + y = 0.

Resolvendo o sistema encontramos x =

7) Solução:

A = a11 a12 → a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a21 = 2 + 1 = a21 a22 3, a22 = 2 + 2 = 4.

Logo, A = e –A = .

8) Solução:

A = a11 a12 a13

a21 a22 a23 a31 a32 a33

a11 = 1 – 2 . 1 = -1a12 = 1 – 2 . 2 = -3a13 = 1 – 2 . 3 = -5a21 = 2 – 2 . 1 = 0a22 = 2 – 2 . 2 = -2a23 = 2 – 2 . 3 = -4a31 = 3 – 2 . 1 = 1a32 = 3 – 2 . 2 = -1a33 = 3 – 2 . 3 = -3

Portanto, A = e At = .

9) Solução: A matriz A será simétrica se At = A.

At = .

Então devemos ter → a² = 4

Portanto, a = 2 ou a = -2.

10) Solução:

A + B = + =

=


RACIOCÍNIO LÓGICO

EXERCÍCIOS

1. Uma escola oferece cursos para a aprendizagem de apenas cinco idiomas. Sabendo que cada professor dessa escola ministra aulas de exatamente dois idiomas e que, para cada dois idiomas, há um único professor que ministra aulas desses dois idiomas, é correto afirmar que o número de professores dessa escola é:

a) 5b) 7c) 10d) 14e) 20

2. Os nomes de quatro animais – MARÁ, PERU, TATU e URSO – devem ser escritos nas linhas da tabela abaixo, de modo que cada uma das suas respectivas letras ocupe um quadrinho e, na diagonal sombreada, possa ser lido o nome de um novo animal.

Excluídas do alfabeto as letras K, W e Y e fazendo cada letra restante corresponder ordenadamente aos números inteiros de 1 a 23 (ou seja, A=1, B=2, C=3,..., Z=23), a soma dos números que correspondem às letras que compõem o nome do nome animal é:

a) 37b) 39c) 45d) 49e) 51

3. Trabalhando ininterruptamente, dois técnicos judiciários arquivaram um lote de processos em 4 horas. Se, sozinho, um deles realizasse essa tarefa em 9 horas de trabalho ininterrupto, o esperado é que o outro fosse capaz de realizá-lo sozinho se trabalhasse ininterruptamente por um período de:

a) 6 horasb) 6 horas e 10 minutosc) 6 horas e 54 minutosd) 7 horas e 12 minutose) 8 horas e meia

4. Durante todo o mês de março de 2007, o relógio de um técnico estava adiantando 5 segundos por hora. Se ele só foi acertado às 7h do dia 2 de março, então às 7h do dia 5 de março ele marcava:

a) 7h5minb) 7h6minc) 7h15mind) 7h30mine) 8h

5. Uma pessoa comprou um microcomputador de valor X reais, pagando por ele 85% do seu valor. Tempos depois, vendeu-o com lucro de 20% sobre o preço pago e nas seguintes condições: 40% do total como entrada e o restante em 4 parcelas iguais de R$ 306,00 cada uma. O número X é igual a:

a) 2.200

b) 2.150c) 2.100d) 2.050e) 2.000

6. No esquema abaixo tem-se o algoritmo da adição de dois números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos pelas letras A, B, C, D e E.

+

8656810

614

EDC

BA

Determinando corretamente o valor dessas letras, então A+B+C+D-E é igual a:

a) 25b) 19c) 17d) 10e) 7

7. Sobre os 55 técnicos e auxiliares judiciários que trabalham em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, é verdade que:

I – 60% dos técnicos são casados;II- 40% dos auxiliares não são casados;III- O número de técnicos não casados é 12.

Nessas condições:a) O total de auxiliares casados é 10.b) O total de pessoas não casadas é 30.c) O total de técnicos é 35.d) O total de técnicos casados é 20.e) O total de auxiliares é 25.

8. Certo dia, três técnicos distraídos, André, Bruno e Carlos, saíram do trabalho e cada um foi a um local antes de voltar para casa. Mais tarde, ao regressarem para casa, cada um percebeu que Haia esquecido um objeto no local em que havia estado. Sabe-se que:

- um deles esqueceu o guarda-chuva no bar e outro, a agenda na pizzaria;

- André esqueceu um objeto na casa da namorada;- Bruno não esqueceu a agenda, nem a chave de casa.É verdade que:a) Carlos foi a um bar.b) Bruno foi a uma pizzaria.c) Carlos esqueceu a chave de casa.d) Bruno esqueceu o guarda-chuva.e) André esqueceu a agenda.

9. Certo dia em uma Unidade do Tribunal Regional Federal, um auxiliar judiciário observou que o número de pessoas atendidas no período da tarde excedera o das atendidas pela manhã em 30 unidades. Se a razão entre a quantidade de pessoas atendidas no período da manhã e a quantidade de pessoas atendidas no período da tarde era 3/5, então é correto afirmar que, nesse dia, foram atendidas:

a) 130 pessoas


RACIOCÍNIO LÓGICO

b) 48 pessoas pela manhãc) 78 pessoas à tarded) 46 pessoas pela manhãe) 75 pessoas à tarde

10. Uma máquina, operando ininterruptamente por 2 horas diárias, levou 5 dias para tirar cento número de cópias de um texto. Pretende-se que essa mesma máquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possível, ela deverá operar ininterruptamente por um período diário de:

a) 3 horasb) 3 horas e 10 minutosc) 3 horas e 15 minutosd) 3 horas e 20 minutose) 3 horas e 45 minutos

11. Calculando 38% de vinte e cinco milésimos, obtém-se:a) 95 décimos de milésimob) 19 milésimosc) 95 milésimosd) 19 centésimose) 95 centésimos

12. Segundo determinado critério, foi construída a sucessão seguinte, em que cada termo é composto de um número seguido de uma letra:

A1 – E2 – B3 – F4 – C5 – G6 –

Considerando que no alfabeto usado são excluídas as letras K, Y e W, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deverá anteceder o número 12 é:

a) Jb) Lc) Md) Ne) O

13. Considere que os símbolos ¨ e § que aparecem no quadro seguinte, substituem as operações que devem ser efetuadas em cada linha, a fim de se obter o resultado correspondente, que se encontra na coluna da extrema direita.

36 ♦ 4 ♣ 5 = 1448 ♦ 6 ♣ 9 = 1754 ♦ 9 ♣ 7 = ?

Para que o resultado da terceira linha seja o correto, o ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número:

a) 16b) 15c) 14d) 13e) 12

14. Certo dia, três auxiliares judiciários – Alcebíades, Benevides e Corifeu – executaram, num dado período, um único tipo de tarefa cada um. Considere que:

- As tarefas por eles executadas foram: expedição de correspondências, arquivamento de documentos e digitação de textos;

- Os períodos em que as tarefas foram executadas foram: das 8 às 10 horas, das 10 às 12 horas e das 14 às 16 horas;

- Corifeu efetuou a expedição de correspondências;- O auxiliar que arquivou documentos o fez das 8 às 10 horas;- Alcebíades executou sua tarefa das 14 às 16 horas;

Nessas condições, é correto afirmar que:a) Alcebíades arquivou documentos.b) Corifeu executou sua tarefa das 8 às 10 horas.c) Benevides arquivou documentos.d) Alcebíades não digitou textos.e) Benevides digitou textos.

15. Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168, à tarde e 180, à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatou-se que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos.

Nessas condições, é verdade que:a) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das

conferências.b) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências.c) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências.d) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.e) O número de inscritos no seminário foi menor que 420.

16. Repare que com um número de 5 algarismos, respeitada a ordem dada, podem-se criar 4 números de dois algarismos. Por exemplo: de 34.712, podem-se criar o 34, o 47, o 71 e o 12. Procura-se um número de 5 algarismos formado pelos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8, sem repetição. Veja abaixo alguns números desse tipo e, ao lado de cada um deles, a quantidade de números de dois algarismos que esse número tem em comum com o número procurado.

Número dado Quantidade de números de 2 algarismos em comum

48.765 186.547 087.465 248.675 1

O número procurado é:a) 87456b) 68745c) 56874e) 58746f) 46875


RACIOCÍNIO LÓGICO

17. Numa ilha dos mares do Sul convivem três etnias distintas: os zel(s) só mentem, os Del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam a verdade e mentiras – ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira -, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. Encontramo-nos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das etnias. Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C:

Nós: Sr. C, o senhor é da etnia zel, del ou mel?Sr. C: Eu sou mel. (1ª resposta)Nós: Sr. C, e o senhor A, de que etnia é?Sr. C: Ele é zel. (2ª resposta)Nós: Mas então o Sr. B é Del, não é isso, Sr. C?Sr. C: Claro, senhor! (3ª resposta)

Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente:

a) del, zel, melb) del, mel, zelc) mel, del, zeld) zel, del, mele) zel, mel, del

18. Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em Desenho, 7 em Matemática e História, 5 em Matemática e Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam:

- V o número de aprovados em pelo menos um das três disciplinas;

- W o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas;

- X o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas;

- Y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas;

- Z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas.

Os valores de V, W, X, Y, Z são, respectivamente:a) 30 – 17 – 9 – 7 – 2 b) 30 – 12 – 23 – 3 – 2 c) 23 – 12 – 11 – 9 – 7 d) 23 – 11 – 12 – 9 – 7 e) 23 – 11 – 9 – 7 – 2

19. Um auxiliar judiciário foi incumbido de arquivar 360 documentos: 192 unidades de um tipo e 168 unidades de outro. Para a execução dessa tarefa, recebeu as seguintes instruções:

I – Todos os documentos arquivados deverão ser acomodados em caixas, de modo que todas fiquem com a mesma quantidade de documentos.

II – Cada caixa deverá conter apenas documentos de um único tipo.

Nessas condições, se a tarefa for cumprida de acordo com as instruções, a maior quantidade de documentos que poderá ser colocada em cada caixa é:

a) 8b) 12c) 24d) 36e) 48

20. Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia, cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que:

- Os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos;- Ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos 37/96

do dia e trabalharam ininterruptamente até concluí-las;- Floriano gastou 1 hora e 45 minutos para arquivar todos os

processos de seu lote;- Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade

operacional de Peixoto foi 60% da de Floriano.

Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às:a) 11 horas e 15 minutosb) 11 horas e 20 minutosc) 11 horas e 50 minutosd) 12 horas e 10 minutose) 12 horas e 25 minutos

21. Mensalmente, um técnico administrativo elabora relatórios estatísticos referentes à expedição de correspondências internas e externas. Analisando os relatórios por ele elaborados ao final dos meses de setembro, outubro e novembro de 2006, foi observado que:

- do total de correspondências em setembro, 20% eram de âmbito interno;

- em cada um dos meses seguintes, o número de correspondências internas expedidas aumentou 10% em relação às internas expedidas no mês anterior, enquanto que para as externas o aumento mensal foi de 20% em relação ao mês anterior.

Considerando-se os dados dos meses de novembro e setembro, é correto afirmar que o aumento das correspondências expedidas:

a) No total foi de 37,4%.b) Internamente foi de 42,2%.c) Externamente foi de 34,6%.d) Internamente foi de 20%.e) Externamente foi de 40%.

22. O Mini Sudoku é um divertido passatempo de raciocínio lógico. Ele consiste de 36 quadradinhos em uma grade 6X6, subdividida em seis grades menores 2X3. O objetivo do jogo é preencher os espaços em branco – com número de 1 a 6 -, de forma que estes não se repitam nas linhas, nem nas colunas, nem nas grades 2X3 e tampouco na grade 6X6, conforme é mostrado no exemplo que segue.

1 5 2 4 3 64 3 6 2 1 55 6 3 1 4 22 1 4 6 5 33 2 1 5 6 46 4 5 3 2 1

Observe que, no esquema do jogo, três casas em branco aparecem destacadas. Você deve completar o esquema de acordo com as regras do jogo, para descobrir quais números deverão ser colocados nessas casas.


RACIOCÍNIO LÓGICO

3 2 5

4

6

3 4

3

3 4 1 5

A soma dos números que corretamente deverão preencher as casas em destaque é:

a) 7b) 9c) 11d) 13e) 15

23. Três pessoas – Amália, Beatriz e Cássia – aguardam atendimento em uma fila, em posições sucessivas. Indagadas sobre seus nomes, a que ocupa a primeira posição entre as três diz: “Amália está atrás de mim”; a que está na posição intermediária diz: “Eu sou Beatriz”; a que ocupa a terceira posição diz: “Cássia é aquela que ocupa a posição intermediária”.

Considerando que Amália só fala a verdade, Beatriz mente algumas vezes e Cássia só fala mentiras, então a primeira, a segunda e a terceira posições são ocupadas respectivamente por:

a) Cássia, Amália e Beatrizb) Cássia, Beatriz e Amáliac) Amália, Beatriz e Cássiad) Beatriz, Amália e Cássiae) Beatriz, Cássia e Amália

24. Sabe-se que 10 máquinas, todas com a mesma capacidade operacional, são capazes de montar 100 aparelhos em 10 dias, se funcionarem ininterruptamente 10 horas por dia. Nessas condições, o número de aparelhos que poderiam ser montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias de trabalho e 20 horas por dia de funcionamento ininterrupto, é:

a) 100b) 200c) 400d) 600e) 800

25. Três analistas judiciários – Aurélio, Benício e Custódio – foram incumbidos de implantar um sistema informatizado de processamento de informações. Sabe-se que, individualmente, Aurélio levaria 3 horas para cumprir tal tarefa, enquanto que, sozinho, Benício levaria 6 horas. Então, considerando que, juntos, os três gastaram 1 horas e 30 minutos para implantar o sistema, quantas horas Custódio, sozinho, levaria para implantá-lo?

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

26. Um comerciante comprou 94 microcomputadores de um mesmo tipo e, ao longo de um mês, vendeu todos eles. Pela venda de 80 desses micros, ele recebeu o que havia pago pelos 94 que havia comprado e cada um dos 14 micros restantes foi vendido pelo mesmo preço de venda de cada um dos outros 80. Relativamente ao custo dos 94 micros, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de:

a) 17,5%b) 18,25%c) 20%d) 21,5%e) 22%

27. Observe que, na sucessão de figuras abaixo, os números que foram colocados nos dois primeiros triângulos obedecem a um mesmo critério.

Para que o mesmo critério seja mantido no triângulo da direita, o número que deverá substituir o ponto de interrogação é:

a) 32b) 36c) 38e) 42f) 46

28. Em cada linha abaixo, as três figuras foram desenhadas de acordo com determinado padrão.

Segundo esse mesmo padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é:

29. Considere que a seqüência seguinte é formada pela sucessão natural dos números inteiros e positivos, sem que os algarismos sejam separados.

1234567891011121314151617181920...

O algarismo que deve aparecer na 276ª posição dessa seqüência é:


RACIOCÍNIO LÓGICO

a) 9b) 8c) 6d) 3e) 1

30. Durante a perícia feita em uma residência assaltada foram encontrados os seguintes vestígios que, com certeza, haviam sido deixados pelos assaltantes:

- uma lata vazia de refrigerante;- uma lata vazia de cerveja;- um fio de cabelo loiro;- um toco de cigarro.

Após a realização da perícia, a Polícia concluiu que os assaltantes eram apenas dois e que eles se encontraram entre cinco suspeitos – Alceste, Boni, Calunga, Dorival e Eufrásio -, cujas características são as seguintes:

I – Alceste: só bebe refrigerante, tem cabelos loiros e não fuma;

II – Boni: bebe cerveja e refrigerante, tem cabelos pretos e não fuma;

III – Calunga: não bebe refrigerante e nem cerveja, é ruivo e fuma cigarros;

IV – Dorival: só bebe cerveja, tem cabelos loiros e não fuma;V – Eufrásio: só bebe refrigerante, é totalmente careca e fuma

cigarros.

Com base nas informações dadas, é correto afirmar que os assaltantes eram:

a) Alceste e Bonib) Dorival e Eufrásioc) Boni e Calungad) Calunga e Dorivale) Alceste e Eufrásio31. Considere que a seguinte seqüência de figuras foi

construída segundo certo critério.

Se tal critério foi mantido para obter as figuras subseqüentes, o total de pontos da figura de número 15 deverá ser:

a) 69b) 67c) 65d) 63e) 61

32. Uma pessoa tem R$ 14,00 em sua carteira apenas em cédulas de 1, 2 e 5 reais, sendo pelo menos uma de cada valor. Se X é o total de cédulas que ela possui, quantos são os possíveis valores de X?

a) 4

b) 5c) 6d) 7e) 8

33. A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, o qual corresponde ao número de letras de uma palavra que se aplica à definição dada.

“Entrada ilegal de mercadorias no país.” (11)A letra inicial da palavra é:a) Tb) Sc) Ed) Be) C

34. A figura abaixo representa algumas letras dispostas em forma de triângulo, segundo determinado critério.

Considerando que na ordem alfabética usada são excluídas as letra “K”, “W” e “Y”, a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

a) Pb) Oc) Nd) Me) L

35. Uma lesma encontra-se no fundo de um poço de 15 metros de profundidade. Suponha que durante o dia, ela suba exatamente 3 metros e à noite, quando está dormindo, ela escorregue exatamente 1 metro pela parede do poço. Nessas condições, quantos dias essa lesma levaria para ir do fundo ao topo desse poço?

a) 10b) 9c) 8d) 7e) 6

36. Observe que na sucessão seguinte os números foram colocados obedecendo a uma lei de formação.

Os números X e Y, obtidos segundo essa lei, são tais que X+Y é igual a:


RACIOCÍNIO LÓGICO

a) 40b) 42c) 44d) 46e) 48

37. Observe que as figuras abaixo foram dispostas, linha a linha, segundo determinado padrão.

Segundo o padrão estabelecido, a figura que substitui corretamente o ponto de interrogação é:

38. Os dois pares de palavras abaixo foram formados segundo determinado critério.

LACRAÇÃO → cal AMOSTRA → soma LAVRAR → ?

Segundo o mesmo critério, a palavra que deverá ocupar o lugar do ponto de interrogação é:

a) alarb) ralac) ralard) larvae)arval

39. Caetano, Gilberto e Eudes, soldados da Polícia Militar do Estado da Bahia, foram designados certo dia para o patrulhamento de trânsito em três bairros – A, B e C – de uma cidade. Indagados sobre seus locais de patrulhamento, forneceram as seguintes informações:

- O soldado que vai patrulhar o bairro A disse que Caetano vai patrulhar B.

- O soldado que vai patrulhar B disse chamar-se Gilberto.- O soldado que vai patrulhar C afirmou que Eudes vai

patrulhar B.

Como era sabido que apenas Caetano não mentiu, então os bairros que Caetano, Gilberto e Eudes fizeram patrulhamento em tal dia foram, respectivamente:

a) A – B – C b) A – C – B c) B – C – A d) C – A – B e) C – B – A

40. (Estruturas Lógicas) Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “Ù”, “Ú”, “Ø” e “®” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir:

Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica forma, assumindo que:

P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”;Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”;R= “ele sempre leva um guarda-chuva”;S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.a) P→ (Q ∧ R)b) (P→Q) V Rc) (P V Q) ∧ (R ∧S)d) P V (Q ∧ (R ∧S))

41. (Lógica de argumentação) Assinale a opção que apresenta um argumento válido.

a) Quando chove, as árvores ficam verdinhas. As árvores estão verdinhas, logo choveu.

b) Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem estudei e não me senti disposto; logo obterei boas notas, mas não me alimentei bem.

c) Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje fez frio. Logo estamos em junho.

d) Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo segunda-feira não será feriado.

42. (Cálculos numéricos) Suponha que, em 2006, em um estado brasileiro, o número de candidatos à Câmara Federal foi igual a doze vezes o número de candidatos ao Senado Federal, e o número de candidatos à Câmara Estadual foi igual ao triplo do número de candidatos à Câmara Federal. Sabendo-se que, nesse estado, o número de candidatos à Câmara Federal adicionado ao número de candidatos ao Senado Federal era igual a 65, é correto concluir que, nesse estado, o número de candidatos à Câmara Estadual em 2006 foi:

a) inferior a 150b) superior a 150 e inferior a 160c) superior a 160 e inferior a 170d) superior a 170

RESPOSTAS

1) Resposta “C”.Solução:a) Na escola que oferece 5 cursos de idiomas, cada professor

ministra exatamente dois cursos.b) Descrevendo os cursos por A, B, C, D e E, têm-se as

seguintes possibilidades de distribuição para os professores: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CE e DE.

∴Como não há um único professor que se encaixa em cada uma das possibilidades acima, tem-se um total de 10 professores.


RACIOCÍNIO LÓGICO

2) Resposta “D”.Solução:a) Escrevendo os nomes dos animais apresentados na lista – MARÁ, PERU, TATU e URSO -, na seguinte ordem: PERU, MARÁ, TATU

e URSO, obtém-se na tabela:

P E R UM A R AT A T UU R S O

b) O nome do animal é PATO.c) Considerando a ordem do alfabeto, tem-se: P=15, A=1, T=19 e 0=14.d) Somando esses valores, obtém-se: 15+1+19+14=49.

3) Resposta “D”.

Solução:Se dois técnicos judiciários realizam o trabalho em 4 horas e um deles realiza o mesmo trabalho em 9 horas, para determinar em quanto

tempo o outro técnico realizaria sozinho o mesmo trabalho é suficiente resolver a seguinte equação:

horasxxxxxx

2,75

363651

36491

91

4111

91

41

=⇒=⇒=⇒⇒−

=⇒−=⇒+=

= 7 horas + 0,2 . 60 minutos = 7 horas + 12 minutos= 7 horas e 12 minutos.

4) Resposta “B”.

Solução:a) Se o relógio adiantava 5 segundos por hora, no dia 3 de março, às 7 horas, ele teria adiantado 5.24, ou seja, 120 segundos.b) No dia 4 de março, às 7 horas, adiantou mais 120 segundos e, então, no dia 5 de março, às 7 horas, adiantou mais 120 segundos,

totalizando 360 segundos, ou seja, 6 minutos.∴No dia 5 de março, às 7 horas, o relógio marcava 7 horas e 6 minutos.

5) Resposta “E”.

Solução:a) A pessoa pagou 0,85x do preço do computador.b) Em seguida, vendeu o microcomputador com lucro de 20% sobre esse valor: 1,2 . 0,85x = 1,02x.c) Se 60% equivalem a R$ 1.224,00 (102% do preço original do microcomputador), tem-se: 60%=1.224; 100%=y

00,040.2$60

400.122400.12260224.1.100.60 Ryyyy =⇒=⇒=⇒=⇒

que equivalem a 102% do preço original.e) Com isso, 100%, ou seja, o preço original, é

00,000.2$102040.2 RX ==

6) Resposta “C”.

Solução:a) 956 =⇒=+ DD , pois neste caso estamos considerando as unidades.b) 1+B (pois da soma anterior considera-se mais 1 unidade) + .76968 =⇒=+⇒= BBc) .3814 =⇒=++ CCd) .110 =+=Ee) .51661 =⇒−=⇒=+ AAA∴ 1789831219375 =+⇒+−⇒−+−+=−+−+ EDCBA


RACIOCÍNIO LÓGICO

7) Resposta “E”.Solução:a) Se 40% dos auxiliares não são casados, tem-se que 60% dos auxiliares são casados.b) Com isso, e como 60% dos técnicos também são casados, deduz-se que 60% do total de funcionários são casados. Então, 60% de

55=0,60.55=33 funcionários casado.c) Se o número de técnicos não casados é de 12 funcionários, tem-se que esses 12 funcionários equivalem a 40% do total de técnicos:

40%=12; 100%=x

⇒=⇒=⇒=⇒40

1200200.140100.12.40 xxx

30=x , que é o número total de técnicos.d) Como o número de técnicos é 30, o número de auxiliares é: .253055 =−

8) Resposta “D”.Solução:a) Os objetos esquecidos foram um guarda-chuva, uma agenda e uma chave de casa.b) Como Bruno não esqueceu a agenda, nem a chave de casa, tem-se que Bruno esqueceu o guarda-chuva.

9) Resposta “E”.Solução:a) O número de pessoas atendidas no período da tarde era 30 unidades maior que o número de pessoas atendidas no período da manhã.b) Se o número de pessoas atendidas pela manhã é igual a x, o número de pessoas atendidas pela tarde é igual a x+30.c) Sabe-se, ainda, que a razão entre o número de pessoas atendidas no período da manhã e o número de pessoas atendidas no período

da tarde é igual a :53

⇒=⇒=⇒=−⇒+=⇒+=⇒=+ 2

9090290359035)30.(3.553

30xxxxxxxx

xx

X=45 pessoas atendidas pela manhã.d) O número de pessoas atendidas no período da tarde foi: 75304530 =+=+x pessoas.

10) Resposta “D”.Solução:a) Para que a máquina tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em tempo menor, será necessário que trabalhe um número maior

de horas por dia.b) Portanto, trata-se de grandezas inversamente proporcionais:

...333,33

101035.23. =⇒=⇒=⇒=⇒ xxxx horas, ou seja, 3 horas e 20 minutos.

11) Resposta “A”.Solução:

a) 38% de .0095,0025,0.38,01000

25==

b) E esse valor corresponde a 95 décimos de milésimo.

12) Resposta “A”.Solução:a) As letras que acompanham os números ímpares formam a sequência normal do alfabeto.b) Já a sequência que acompanha os números pares inicia-se pela letra E, e continua de acordo com a sequência normal do alfabeto: 2ª

letra: E, 4ª letra:F, 6ª letra:G, 8ª letra:H, 10ª letra:I e 12ª letra:J.

13) Resposta “D”.Solução:a) O primeiro símbolo represente a divisão e o 2º símbolo representa a soma.b) Portanto, na 1ª linha, tem-se: 36 ÷ 4+5=9+5=14.c) Na 2ª linha, tem-se: 48 ÷ 6+9=8+9=17.d) Com isso, na 3ª linha, ter-se-á: 54 ÷ 9+7=6+7=13.∴ O ponto de interrogação deverá ser substituído pelo número 13.


RACIOCÍNIO LÓGICO

14) Resposta “C”.Solução:a) Corifeu efetuou a expedição de correspondências das 10 às

12 horas.b) Como Alcebíades executou sua tarefa das 14 às 16 horas

e quem arquivou documentos o fez das 8 às 10 horas, Alcebíades digitou textos.

c) Assim, coube a Benevides a outra função, ou seja, arquivar documentos.

15) Resposta “D”.Solução:a) Dos 144 inscritos que compareceram pela manhã, 90

voltaram novamente para o seminário, 22 inscritos que voltaram para o período da tarde não voltaram à noite: 68 inscritos voltaram também à noite. Com isso, deve-se subtrair do total de 180 inscritos da noite esses 68, resultando 112.

b) Somando todos os inscritos da manhã, tarde e noite, tem-se 144+168+112=424 inscritos.

c) 8 pessoas que compareceram à tarde e à noite não compareceram pela manhã. Assim, essas pessoas devem ser somadas ao valor anterior: 424+8=432 foi o total de pessoas inscritas no seminário.

d) Sabe-se que o número de ausentes corresponde a 81

do total de inscritos. Portanto, 432 ÷ 8=54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário.

16) Resposta “E”.Solução:a) Pelo número 86.547, tem-se que 86, 65, 54 e 47 não

acontecem no número procurado.b) Do número 48.675, as opções 48, 86 e 67 não estão em

nenhum dos números apresentados nas alternativas. Portanto, nesse número a coincidência se dá no número 75.

c) Como o único número apresentado nas alternativas que possui a seqüência 75 é 46.875, tem-se, então, o número procurado.

17) Resposta “B”.Solução:a) O senhor C não pode ser del, pois ele afirma na 1ª resposta

que é mel.b) Também não pode ser mel, pois ele responderia uma

mentira e uma verdade, alternadamente. Como ele falou uma verdade na 1ª resposta, teria que mentir na 2ª resposta e falar a verdade na 3ª resposta.

c) Como nas 2 últimas respostas ele discriminou os outros 2 senhores, entraria em contradição. Portanto, o Senhor C é zel.

d) Se o senhor C é zel, ele só mente. Com isso, o senhor B (pela 3ª resposta) é mel e o senhor A é del.

∴ Os senhores A, B e C são, respectivamente: del, mel, zel.

18) Resposta “D”.Solução:a) Se 2 alunos foram aprovados nas 3 disciplinas, 1 aluno

foi aprovado somente em História e Desenho, 3 alunos foram aprovados somente em Matemática e Desenho e 5 alunos foram aprovados somente em Matemática e História.

b) Com isso, dos 9 alunos que foram aprovados em Desenho, 3 foram aprovados somente nessa disciplina. Dos 10 alunos que foram aprovados somente em História, 2 foram aprovados somente nessa disciplina. E dos 17 alunos que foram aprovados em Matemática, 7 foram aprovados somente nessa disciplina.

c) Somando esses valores, tem-se: 3+2+7=12 alunos que foram aprovados somente em 1 disciplina e somente nessa disciplina.

d) Somando todos os alunos aprovados em 1 ou mais disciplinas, tem-se: 7+5+2+3(Matemática)+2+1 (História)+3(Desenho)=23 alunos. Com isso, 7 alunos não foram aprovados em nenhuma dessas disciplinas.

e) Pelos itens anteriores, tem-se que: v=23; x=12; z=7.

19) Resposta “C”.Solução:a) Como todas as caixas deverão conter as mesmas quantidades

de documentos e cada caixa deverá conter documentos de apenas 1 tipo, tem-se que os 192 documentos de um tipo e os outros 168 documentos do outro tipo deverão ser divididos em quantidades iguais.

b) E para determinar essa quantidade, é suficiente encontrar o mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de 192 e 168.

c) m.m.c.(192, 168)=24. Com isso, existirão 8 caixas com o 1º tipo de documento (8.24=192) e 7 caixas com o 2º tipo de documento (7.24=168).

20) Resposta “D”.Solução:a) 1 hora e 45 minutos correspondem a 105 minutos, tempo

que Peixoto levou para desempenhar 60% de sua tarefa. Ainda restam 40% da tarefa pra Peixoto completar:

=⇒=⇒=60500.10

60105.100105.100.60 xx 175 minutos, que

foi o tempo que Peixoto levou pra completar sua tarefa.c) Um dia possui 24 horas, que correspondem a 1.440 minutos.

d) 9637

de 1.440 ===961440.371440.

9637 555

96280.53

= minutos.

e) 555 minutos +175 minutos = 730 minutos = 12 horas e 10 minutos, que foi a hora em que Peixoto completou sua tarefa.

21) Resposta “A”.

Solução:a) Se 20% das correspondências de setembro eram internas,

80% eram correspondências externas.b) Em outubro, o número de correspondências aumentou 10%

em relação ao mês anterior, correspondendo agora a 22% do total. Já em novembro, o total de correspondências internas passou a 22%+10% de 22%=24,2%.

c) De 80% de correspondências externas de setembro, com o aumento de 20% em outubro, o total passou para 80%+20% de 80%=96%. Em novembro, o número passou para 96%+20% de 96%=115,2%.

d) Totalizando os valores das correspondências internas e externas, obtemos: 24,2%+115,2%= 139,4%.

∴ Esse valor indica um aumento total de 39,4% de setembro para novembro.


RACIOCÍNIO LÓGICO

22) Resposta “E”.Solução:a) Para esse tipo de quebra-cabeça, existem diversas maneiras

de se chegar à solução.b) O objetivo, então, é determinar, em uma linha, coluna

ou grade, os elementos que estão faltando dos números que são mostrados.

c) Na última coluna, por exemplo, como estão presentes os elementos 3, 4 e 5, devemos completar com os elementos 1, 2 e 6.

d) O último elemento da 3ª linha deve ser igual a 1, pois já aparecem 2 e 6 nessa linha. O 5º elemento dessa mesma linha deve ser 3, pois na linha de baixo já aparece o número 3.

e) O 5º elemento da 4ª linha deve ser igual a 6, pois já aparece o 5 nessa coluna. Logo, o 4º elemento dessa mesma linha deve ser 5, para completar essa grade.

f) Como na 5ª e 6ª colunas já aparecem números 3, na 4ª coluna o número 3 deve estar na 2ª linha, pois na 1ª linha já existe um número 3. O 1º elemento da 5ª linha deve ser igual a 5, pois na 1ª e 4ª linhas já aparece o número 5.

g) O 1º elemento da 1ª linha deve ser o número 1, pois o número 2 já aparece na 1ª linha. Com isso, o 1º elemento da 4ª linha deve ser o número 2. O 2º elemento da 4ª linha deve ser o número 1.

h) O 4º elemento da 1ª linha deve ser o número 6, pois na 5ª coluna já aparece o número 6. Logo, o número 4 na 5ª coluna fecha a 1ª linha.

i) O último elemento da 2ª linha é o número 2, pois faltavam 2 e 6 para completar a última coluna. O último elemento da última linha é o número 6.

j) O 5º elemento da 2ª linha é o número 1, pois é o número que falta para completar essa grade. Com isso, o 5º elemento da 5ª linha é o número 2. Já o 4º elemento da 5ª linha é o número 4, visto que é o elemento que falta para completar a respectiva grade.

l) O 3º elemento da 5ª linha é o número 1, pois na 2ª coluna já existe o número 1. O 2º elemento da 5ª linha é o número 6. O número 2 é o 2º elemento da 6ª linha, porque já existe o número 2 na 3ª coluna. O número 4 é o 3º elemento da 6ª linha.

m) O número 5 é o 3º elemento da 3ª linha, pois faltam nessa linha os números 4 e 5 e já existe o número 4 na 3ª coluna.

n) No Sudoku em questão, estão destacados os seguintes elementos:

- 1ª linha e 5ª coluna: 4. - 3ª linha e 3ª coluna: 5. - 6ª linha e 6ª coluna: 6.∴ A soma desses elementos é: 4+5+6=15.

23) Resposta “D”.Solução:a) A primeira que está na fila diz: “Amália está atrás de mim”.b) A que está na posição intermediária diz: “Eu sou a Beatriz”.c) Já que se posiciona em 3º lugar diz: “Cássia é aquela que

ocupa a posição intermediária”.d) Sabe-se que Amália sempre fala a verdade, que Beatriz às

vezes mente e que Cássia só mente.e) Supondo que a 1ª pessoa seja Amália, ter-se-ía uma

contradição, pois ela poderia afirmar que estava atrás de si mesma. Portanto, a 1ª pessoa não é Amália.

f) Da mesma forma, se fosse verdade o que foi dito pela 2ª pessoa, que sempre é Amália, ter-se-ía outra contradição, pois ela afirma que é Beatriz.

g) Portanto, Amália é a 3ª pessoa. Como o que ela disse é verdade, Cássia é a 2ª pessoa e Beatriz é a 1ª pessoa.

∴ A ordem correta é: Beatriz, Cássia e Amália.

24) Resposta “E”.Solução:a) 10 máquinas, de mesma capacidade, montam 100 aparelhos

em 10 dias, trabalhando 10 horas por dia.b) Busca-se saber o número de aparelhos que poderiam ser

montados por 20 daquelas máquinas, em 20 dias, trabalhando 20 horas por dia.

c) Para determinar esse valor, é suficiente montar uma regra de três composta, na qual todas as outras grandezas são diretamente proporcionais com a grandeza número de aparelhos montados.

d) ⇒=⇒= 2.2.210010

20.1020.

1020

100xx

.8008.1008100

aparelhosxx⇒=⇒=

25) Resposta “C”.Solução:a) Aurélio levaria 3 horas para implantar o sistema; Benício

sozinho, levaria 6 horas; e Custódio, também sozinho levaria x horas para implantar o mesmo sistema.

b) Juntos, os três levariam 1 horas e meia.c) Para determinar quantas horas Custódio levaria para

implantar o sistema sozinho, é suficiente resolver a expressão:

6611

6341

163.

321

63

32

16

12161

31

211

1

=⇒=⇒−

=⇒

⇒=⇒+=⇒

⇒++

⇒++=

xxx

xx

xx

6=⇒ x horas é o tempo que Custódio levaria, sozinho, para implantar o sistema informatizado de processamento.


Solução:a) O comerciante comprou 94 microcomputadores por um

preço x, totalizando 94x.b) Pela venda de 80 desses micros, o comerciante recebeu

94x; recebeu, então: xx 175,180

94= por micro.

c) Como recebeu o mesmo valor pelos demais, recebeu 1,175x pelos outros 14 micros.

d) Com isso, relativamente ao custo de produção, a porcentagem de lucro foi de 0,175x, ou seja, 17,5%.


RACIOCÍNIO LÓGICO


Solução:

a) No 1º triângulo, o número que está no interior do triângulo dividido pelo número que está abaixo é igual à diferença entre o número que está à direita e o número que está à esquerda do triângulo: 81321540 =−=÷ .

b) A mesma regra acontece no 2º triângulo: 61723742 =−=÷ .

c) Assim, a mesma regra deve existir no 3º triângulo:

363.12?123?127193? ⇒=⇒=÷⇒=−=÷28) Resposta “D”.

Solução:a) Na 1ª linha, internamente, a 1ª figura possui 2 “orelhas”, a

2ª figura possui 1 “orelha” no lado esquerdo e a 3ª figura possui 1 “orelha” no lado direito.

b) Esse fato acontece, também, na 2ª linha, mas na parte de cima e na parte de baixo, internamente em relação às figuras.

c) Assim, na 3ª linha ocorrerá essa regra, mas em ordem inversa: é a 3ª figura da 3ª linha que terá 2 “orelhas” internas, uma em cima e outra em baixo.

d) Como as 2 primeiras figuras da 3ª linha não possuem “orelhas” externas, a 3ª figura também não terá orelhas externas.

∴ A figura que deve substituir o ponto de interrogação é a 4ª.

29) Resposta “B”.Solução:a) A seqüência de números apresentada representa a lista

dos números naturais. Mas essa lista contém todos os algarismos dos números, sem ocorrer a separação. Por exemplo: 101112 representam os números 10, 11 e 12.

b) Com isso, do número 1 até o número 9 existem 9 algarismos.c) Do número 10 até o número 99 existem:

18090.2 = algarismos.d) Do número 100 até o número 124 existem:

7525.3 = algarismos.e) E do número 124 até o número 128 existem mais 12

algarismos.f) Somando todos os valores, tem-se:

27612751809 =+++ algarismos.∴ O algarismo que ocupa a 276ª posição é o número 8, que

aparece no número 128.

30) Resposta “B”.Solução:a) Como os assaltantes, obrigatoriamente, deixaram as 4

pistas em questão, é necessário levantar 2 suspeitos que deixarão todas essas pistas.

b) Com isso, não se pode levantar a suspeita de 2 candidatos que deixam a mesma pista, como Alceste e Boni, que, juntos, bebem refrigerante, mas não apresentam as 4 pistas.

c) Como Dorival bebe cerveja e tem cabelos loiros e Eufrásio bebe refrigerante e fuma cigarros, juntos eles apresentam as 4 pistas.

∴ Os assaltantes eram Dorival e Eufrásio.

31) Resposta “D”.Solução:a) A 1ª figura possui 5 esferas na vertical e 2 na horizontal

(com exceção da central). A 2ª figura possui 7 esferas na vertical e 4 na horizontal. E assim sucessivamente.

b) A quantidade de esferas na vertical é dada por 32 +n , com Nn∈ , e a quantidade de esferas existentes na horizontal é igual

a .2nc) Portanto, na 15ª figura, tem-se: - na vertical: 33130315.2 −+−+ - na horizontal: 3015.2 =d) Logo, o total de pontos da 15ª figura é: 33+30=63.

32) Resposta “B”.Solução:a) Como a pessoa possui notas de R$ 1,00, R$ 2,00 e R$ 5,00,

existem as seguintes possibilidades de obter o valor de R$ 14,00, com pelo menos 1 nota de cada valor:

• 2 notas de R$ 5,00 + 1 nota de R$ 2,00 + 2 notas de R$ 1,00 = R$ 14,00.

• 1 nota de R$ 5,00 + 1 nota de R$ 2,00 + 7 notas de R$ 1,00 = 14,00.

• 1 nota de R$ 5,00 + 2 notas de R$ 2,00 + 5 notas de R$ 1,00 = R$ 14,00.

• 1 nota de R$ 5,00 + 3 notas de R$ 2,00 + 3 notas de R$ 1,00 = R$ 14,00.

• 1 nota de R$ 5,00 + 4 notas de R$ 2,00 + 1 nota de R$ 1,00 = R$ 14,00.

b) Nos demais casos de distribuição, todas as possibilidades não irão possuir pelo menos 1 nota de cada valor. Portanto, existem 5 possibilidades para o valor de x.

33) Resposta “E”.Solução:A entrada ilegal de mercadorias em um país é denominada de

CONTRABANDO, que se inicia pela letra “C”.

34) Resposta “A”.Solução:a) A sequência do alfabeto inicia-se na extremidade direita

do triângulo, pela letra “A”; aumenta a direita para a esquerda; continua pela 3ª e 5ª linhas; e volta para as linhas pares na ordem inversa – pela 4ª linha até a 2ª linha.

b) Na 2ª linha, então, as letras são, da direita para a esquerda, “M”, “N”, “O”, e a letra que substitui corretamente o ponto de interrogação é a letra “P”.

35) Resposta “C”.Solução:a) A lesma encontra-se no fundo do poço de 15 metros de

profundidade.


RACIOCÍNIO LÓGICO

b) Durante o dia, sobe 3 metros e à noite desce 1 metro. Com isso, no 1º dia ela realmente subiu 2 metros.

c) E assim sucessivamente até o 7º dia, em que a lesma subiu um total de 7.2 metros, ou seja, 14 metros.

d) Já no 8º dia, ela sobre mais 1 metro e atinge o topo do poço.


Solução:a) Existem 2 leis distintas para a formação: uma para a parte

superior e outra para a parte inferior.b) Na parte superior, tem-se que: do 1º termo para o 2º termo,

ocorreu uma multiplicação por 2; já do 2º termo para o 3º, houve uma subtração de 3 unidades.

c) Com isso, X é igual a 5 multiplicado por 2, ou seja, X=10.d) Na parte inferior, tem-se: do 1º termo para o 2º termo

ocorreu uma multiplicação por 3; já do 2º ermo para o 3º, houve uma subtração de 2 unidades.

e) Assim, Y é igual a 10 multiplicado por 3, isto é, Y=30.

.403010 =+=+∴ yx


Solução:a) Em cada linha apresentada, as cabeças são formadas por

quadrado, triângulo e círculo.b) Na 3ª linha já há cabeças com círculo e com triângulo.

Portanto, a cabeça da figura que está faltando é um quadrado.c) As mãos das figuras estão levantadas, em linha reta ou

abaixadas. Assim, a figura que falta deve ter as mãos levantadas (é o que ocorre em todas a alternativas).

d) As figuras apresentam as 2 pernas ou abaixadas, ou 1 perna levantada para a esquerda ou 1 levantada para a direita. Nesse caso, a figura que está faltando na 3ª linha deve ter 1 perna levantada para a esquerda.

∴ A figura tem a cabeça quadrada, as mãos levantadas e a perna erguida para a esquerda.

38) Resposta “E”.

Solução:a) Na 1ª linha, a palavra CAL foi retirada das 3 primeiras

letras da palavra LACRAÇÃO, mas na ordem invertida.b) Da mesma forma, na 2ª linha, a palavra SOMA é retirada da

palavra AMOSTRA, pelas 4 primeira letras invertidas.c) Com isso, da palavra LAVRAR, ao se retirarem as 5

primeiras letras, na ordem invertida, obtém-se ARVAL.

39) Resposta “D”.

Solução:a) Como somente Caetano fala a verdade, a 1ª informação

não pode ter sido dada por ele, pois, nessa informação, tem-se o fato de o soldado que patrulha o bairro A ter dito que Caetano vai patrulhar o bairro B.

b) Supondo que a 2ª afirmação seja verdade, tem-se que Gilberto irá patrulhar o bairro B. Com isso, a 3ª afirmação é falsa, ou seja, o soldado que vai patrulhar o bairro C não afirmou que Eudes vai patrulhar o bairro B.

c) Mas essa última informação nada acrescenta para se determinar quem vai patrulhar cada bairro.

d) Ou seja, a 2ª informação também é falsa e, com isso, Caetano vai patrulhar o bairro C.

e) Além disso, Eudes vai patrulhar o bairro B e Gilberto vai patrulhar o bairro A.

∴ Os bairros que Caetano, Gilberto e Eudes fizeram patrulhamento em tal dia foram, respectivamente: C, A e B.


Solução:a) A proposição composta original possui uma divisão

principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado.

b) Portanto, o conectivo ∧ é o principal, interligando as duas partes da proposição.

c) Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P V Q.

d) Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R ∧ S.

e) Reunindo as duas partes da proposição original, obtém-se (P V Q) ∧( R ∧S).


Solução:a) Em uma proposição p→q, não é correto escrever o sentido

oposto da sentença, ou seja, q→p. Portanto, o fato de as árvores estarem verdinhas não vem do fato de ter chovido.

b) Se ontem estudei, com certeza obterei boas notas. Como não me senti disposto, com certeza não me alimentei bem. Portanto, o argumento é válido.

c) Mesmo que ontem tenha chovido e hoje fez frio, não se pode garantir que estejamos em junho.

d) Se é garantido que “choveu ontem ou segunda-feira é feriado” e se não choveu ontem, com certeza segunda-feira será feriado. Portanto, a alternativa “d” está incorreta.

42) Resposta “D”.Solução:a) O número de candidatos à Câmara Federal, y, é 12

vezes maior que o número de candidatos ao Senado Federal, x: .12xy =→

b) O número de candidatos à Câmara Estadual, z, foi o triplo do número de candidatos à Câmara Federal:

.3612.33 xxyz ===c) O número de candidatos à Câmara Federal

somado com o número de candidatos ao Senado é 65: 5

136565136512 ==⇒=⇒=+→ xxxx candidatos ao Senado.

d) O número de candidatos à Câmara Estadual foi: .1805.3636 === xz E esse número é superior a 170.

4 Raciocinio Logico

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