FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

PROFESSOR: Álvaro Barbosa da Rocha.

CURSINHO COMUNITÁRIO DA UEPB

CONTEÚDOS

1 - Análise Combinatória. .................................................................................................................................................. 2

1.1 - Princípio Fundamental da Contagem. .............................................................................................................. 2

1.2 – Consequências do princípio fundamental dacontagem. ............................................................................... 2

1.2.1- Arranjos com Repetição.. ........................................................................................................................... 2

1.2.2– Arranjos. ....................................................................................................................................................... 2

1.2.3- Permutações. ............................................................................................................................................... 2

1.3 - Fatoriais ................................................................................................................................................................ 2

1.3.1 - Simplificação envolvendo fatoriais .......................................................................................................... 3

1.4 – Combinações.. ................................................................................................................................................... 3

1.5 – Permutações com elementos repetidos. ....................................................................................................... 3

2 - Números Binomiais. ...................................................................................................................................................... 4

2.1 - Binomiais complementares. .............................................................................................................................. 5

2.2 - Triângulo de Pascal. ........................................................................................................................................... 5

3 - Binômio de Newton ....................................................................................................................................................... 6

3.1 - Notação e fórmula. ............................................................................................................................................. 6

3.2 - Termo Geral. ....................................................................................................................................................... 7

4 – Probabilidade. ................................................................................................................................................................ 7

4.1 – Experimentos Aleatórios. .................................................................................................................................. 7

4.2 – Espaço Amostral. ............................................................................................................................................... 7

4.3 – Evento.................................................................................................................................................................. 7

4.4 – Combinação de eventos. .................................................................................................................................. 8

4.4.1 – União de eventos. ........................................................................................................................................... 8

4.4.2 – Intersecção de dois eventos.. ....................................................................................................................... 8

4.4.3 – Complementar de um evento.. ..................................................................................................................... 8

4.5 – Frquência relativa. ............................................................................................................................................. 9

4.6 - Definição de Probabilidade. .............................................................................................................................. 9

5.0 – Exercícios .................................................................................................................................................................... 9

PATOS -2012.2

1 - Análise Combinatória.

A análise combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar o número de elementos de um

conjunto, agrupando-os sobre certas condições. Pode ‘até parecer desnecessário a existências de

tais métodos de agrupamento caso o número seja infinitamente pequeno, mas caso o número seja

grande esse método se torna indispensável.

Exemplo:

A é o conjunto de números formados de dois algarismos distintos formados a partir dos

dígitos 1,2 e 3.

1.1 - Princípio Fundamental da Contagem.

Tal princípio é formado por duas partes sendo eles:

Lema 1: Considerando dois conjuntos (eventos), sendo que o primeiro pode ocorrer de ‘n’ maneiras e

o outro de ‘m’ maneiras, podemos formas ‘m.n’ pares ordenados.

Exemplo: Temos 3 cidades X, Y e Z. Existem 4 rodovias que ligam a X á cidade Y e existem 5

rodovias que ligam a cidade Y a Z. Partindo de X e passando por Y, de quantas maneiras podemos

chegar a Z?

Lema 2: Sendo um único conjunto A com ‘n’ elementos, podemos criar pares ordenados formados

pela combinação dos elementos de A com ele mesmo. O número de conjuntos é dado por ‘n(n-1)’.

Exemplo: Quantos números com 2 algarismos distintos podemos formar com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5,

6, 7 e 8?

Questão: Um homem vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só

sobremesa. O cardápio do restaurante oferece 8 pratos distintos de carne e 5 pratos diferentes de

sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição?

Questão: De quantas formas podemos responder a 12 perguntas de um questionário, cuja as únicas

respostas de cada pergunta são ‘SIM’ ou ‘NÃO’?

Questão: Quantos números de 3 algarismos podemos fazer com os dígitos 1, 2, 3, 7, 8

1.2 – Consequências do princípio fundamental da contagem.

O principio fundamental da contagem nos favorece o básico para à Analise combinatória.

1.2.1 - Arranjos com Repetição. Seja M um conjunto com ‘m’ elementos, isto é M = {1,2,3...m},

chamamos de arranjo de ‘arranjo de repetição de m elementos’, tomados r a r.

Indicaremos o número de arranjos (AR)m,r como o número de arranjo com repetição de ‘m’ elementos

tomados r a r como:

( )

Exemplo: Uma Caixa contem 1 bola vermelha, 1 bola branca e 1 bola azul. Uma bola é extraída da

caixa e observada sua cor e devolvida a urna. Em seguida outra bola é retirada da caixa e observada

a sua cor. Quantas são as possíveis sequencias de cores?

1.2.2 – Arranjos. Seja M um conjunto formado por ‘m’ elementos M = {1, 2, 3 ... m} chamamos de

arranjos dos ‘m’ elementos , tomados ‘r a r’ a sequencia de elementos de M TODOS DISTINTOS!

( )

Exemplo: Sendo M = {a, b, c, d} quantos arranjos podemos fazer, tomando 2 a 2 com elementos

distintos?

Exemplo: De um baralho de 52, 3 delas são retiradas sucessivamente e sem reposição. Quantas

sequências de cartas são possíveis pegar?

1.2.3 - Permutações. Seja M o conjunto de ‘m’ elementos, chamamos de permutação dos elementos

de ‘m’ todo o arranjo de r=m. Tendo como fórmula:

( ) ( )

1.3 - Fatoriais

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os

inteiros positivos menores ou iguais a n.

O fatorial surgiu para simplificar as formulas de arranjos e de permutações.

Por exemplo,

5! = 5X4X3X2X1 = 120

Note que esta definição implica em particular que

0!=1 (Por convenção)

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

1.3.1 - Simplificação envolvendo fatoriais

Observe a fração abaixo:

Agora que já sabemos sobre os fatoriais e como usa-los e simplificarmos, podemos reescrevê-las

de modo a facilitar mais a compreensão e rapidez.

Arranjos: ( )

( ) Permutações: P = m!

Questão: Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira com 5 listras, cada listra de uma

cor. De quantas formas isso pode ser feita?

Questão: As 5 finalistas do Miss Universo são: Miss Japão, Miss Brasil, Miss Argentina, Miss

Finlândia e Miss Noruega. De quantas formas os jurados podem escolher o primeiro, segundo e

terceiro lugares nesse concurso?

Questão: Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 quantos números de 3 algarismos podemos formar

(Iguais ou não)?

Questão: O Produto de 20.18.16.14...6.4,2 é:

a) 20!/2! b) 2¹0.10 c) 2!.10 d)2.10! e)10!/2¹¹

Questão: Calcule:

a) 5 ! b) 6! + 4! c) (3!)2 – (32)! d) !7

!10 e) !98

!100

Questão: A expressão )!1n(

!n

equivale á:

a) n b) n/(n-1) c) 1 d) n! e) NDA

1.4 – Combinações. Seja M um conjunto com ‘m’ elementos, isto é M = {1, 2, 3,..., m}, chamamos

de combinação dos ‘m’ elementos, tomados r a r de modo que podemos encontrar numero de

combinações usando a equação: Com r<m ou r=m.

(

)

( )

Casos particulares: (r=m) Cm,m = 1; (r=0) Cm,0 = 1; (r=m=0) C0,0 = 1

Exemplo: Deseja-se formar uma comissão de 3 membros e dispõe-se de 10 funcionários.

Quantas comissões podem ser formadas?

Questão: Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os

existentes. De quantas formas podemos fazer isso?

Questão: Obtenha todas as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, 0}, tomados 2 a 2.

1.5 – Permutações com elementos repetidos. Vamos considerar a palavra PARAGUAI,

temos 3 letras repetidas, 3 A´s e 1 P, R, G, U, I. Podemos criar alguns anagramas com essas

letras. Temos: n= 8 e n1 = 3, então podemos criar combinações dadas pela formula:

Quando temos uma segunda palavra com duas ou mias letras repetidas, como a palavra ARARA,

usaremos a mesma formula, com uma pequena alteração, sendo elas:

Exemplo: Quantos números de 6 algarismos podemos formar permutando os algarismos 2, 2, 3,

3, 3, 5?

Questão: Quantos anagramas existem com a palavra AMARILIS

Questão: Uma pessoa leva exatos 1 minuto para escrever cada anagrama de palavra

ESTATÍSTICA, quanto tempo levara para escrever todos os anagramas CASO não pare para

descansar.

2 - Números Binomiais.

Para iniciar o estudo de números binomiais é necessário relembrar situações que envolvem

produtos notáveis. Com base na expressão (x + y)n iremos calcular as expressões seguintes

considerando n ≤ 3.

(x + y)0 = 1

(x + y)¹ = x + y

(x + y)² = x² + 2xy + y²

(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³

De acordo com que n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos. Para

cálculos em que ‘n’ assume valores elevados, usamos a definição do binômio de Newton, mas

antes precisamos conhecer algumas técnicas para adentrarmos em tal conteúdo.

Podemos definir os coeficientes binomiais através da seguinte generalização:

(

)

( )

Com n Є N, p Є n e r ≤ n.

Situações particulares

Com r = 0 ou r= 1 (p<n)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

Com r = n (r=n)

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

Com r > n

(

)

(

)

(

)

Destacamos que os coeficientes binomiais serão de grande importância na utilização da seguinte

expressão (x + y)n.

2.1 - Binomiais complementares.

Binomiais complementares são binomiais tais que:

(

) (

)

Com p+q = n, temos outra propriedade dessas complementariedade, tanto o n classe p ( ) quanto

o n classe q ( ) tem o mesmo resultado.

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

2.2 - Triângulo de Pascal.

É uma tabela onde podemos organizados os coeficientes binomiais ( ) num triângulo denominado

triângulo de Pascal ou de Tartaglia.

(

)

(

) (

)

(

) (

) (

)

(

) (

) (

) (

)

...

Vamos notar que os coeficientes da primeira é 0, da segunda linha é 2, terceira linha é 3 e assim

sucessivamente. Note na organização do triângulo, pois os numeradores iguais se encontram

numa mesma linha e os denominadores iguais se encontram numa mesma coluna.

Substituindo os binomiais pelos seus respectivos valores:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

...

Para construirmos um triangulo de pascal, não precisamos calcular nenhum dos coeficientes

binomiais, podemos resolver usando as suas propriedades.

Propriedade das linhas: O primeiro elemento de cada linha vale 1, porque ( )

Linha 1 = 1

Linha 2 = 1 1

Linha 3 = 1 2 1

Linha 4 = 1 3 3 1

...e assim sucessivamente...

Propriedade do ultimo elemento: o ultimo elemento de cada linha sempre será 1, porque ( )

Linha 1 = 1

Linha 2 = 1 1

Linha 3 = 1 2 1

Linha 4 = 1 3 3 1

Propriedade de Stifel: A partir da 3º linha, cada elemento (com excessão do primeiro e do ultimo

termo) a soma de dois elementos consecutivos encontra-se a abaixo e mais a direita.

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Genericamente temos.

(

) (

) (

) (

) (

) (

)

Propriedade das colunas: A soma de dois ou mais elementos de uma coluna encontra-se logo a

baixo e a direita da coluna.

Questão: Assinale com V as sentenças verdadeiras e F para as falsas:

) ( ) b) (

) = (

) c) (

) = (

) d) (

) = 1 e) (

) (

) = (

)

Questão: Calcule:

( ) (

) + (

) + (

) + (

) =

3 - Binômio de Newton

Em matemática Binômio de Newton nos permite escrever na forma

canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem

ao físico e matemático Isaac Newton. Casos particulares do Binómio de Newton são:

( )

( )

( )

3.1 - Notação e fórmula.

O teorema do binômio de Newton se escreve da seguinte forma, onde o somatório representa a

soma de uma lógica numérica. Como segue:

( ) ( ) ( ) ( ) ∑ (

)

Os coeficientes ( ) são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:

( )

( ) onde n e k são inteiros, K <= x e x! = 1.2.3...x é o fatorial de x.

O coeficiente binomial ( ) corresponde, em análise combinatória, ao número combinações

de n elementos agrupados k a k.

Exemplo:

( ) ∑

(

) (

) (

)

Exemplo:

( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( ) (

) ( )

(

) ( ) (

) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

3.2 - Termo Geral.

Um termo genérico desenvolvido para diminuir o trabalho ao localizar um termo qualquer de

modo que p < n ou p = n, onde temos o termo independente igual á:

(

)

Chama-se de termo independente devido não depender de X, portanto é aquele que não apresenta

x.

Exemplo: Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9, desenvolvido segundo as potências

decrescentes de x.

P = 7 e n=9. A = 2x e b =1 logo iremos fazer....

(

) (

)

Questão: Qual é o coeficiente do termo que contém o termo no desenvolvimento do binômio

(

)

Questão: Qual é o temor médio de (x³ + y²)¹²

4 – Probabilidade.

4.1 – Experimentos Aleatórios.

Chamamos de experimentos aleatórios aqueles que repetidos em condições idênticas, produzem

resultados que não podem ser previstos com certeza. Embora não saibamos qual é o resultado ou

quis são os resultados, em geral, podemos descreve – los e controlar os resultados encontrados ao

acaso.

Exemplo: Lançar uma moeda; Lançar um dado; Lançar duas medas...

4.2 – Espaço Amostral.

Chamamos de espaço amostral, indicado por Ω o conjunto de as possíveis soluções ou resultados

de um evento.

Exemplo: Lançar uma moeda, temos como espaço amostral (Ω) = {Cara; Coroa}; Lançar duas

moedas, temos (Ω) = {(Cara; Coroa); (Cara; Cara); (Coroa; Cara); ((Coroa; Coroa)}; Lançarmos um

dado, temos (Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Questão: Dê o espaço amostral, caso escolhermos uma das letras da palavra PROBABILIDADE.

Questão: Uma caixa tem 1 boal vermelha (V), uma bola axul (A) e uma bola branca (B). Uma bola

é extraída e observada a cor. Qual o Espaço amostral?

4.3 – Evento.

Consideramos um experimento aleatório com um espaço amostral (Ω), chamamos de EVENTO os

subconjuntos desse espaço amostral.

Exemplo: Um dado é lançado, e observado o número da face de cima, temos um espaço amostral

(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. E podemos olhar alguns eventos, por exemplo:

Evento 1: número ímpar. {1, 3, 5}

Evento 2: número par: {2, 4, 6}

Evento 3: número primo: {2, 3, 5}

Evento 4: Menores que 4: {1, 2, 3}

Evento 5: Menos que 7: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento 6: maior que 7: VAZIO

Exemplo: Uma moeda é lançada 3 vezes, e observada a sequencia de caras e coroas.

(Ω) = {(k, k, k); (k, k, c); (k, c, k); (k, c, c); (c, k, k); (c; k; c); (c, c, k); (c, c, c)}

Podemos ter algumas ocorrências:

Evento 1: Ocorrência de cara (k) no 1º lançamento: 4

Evento 2: Ocorrência de cara (k) no 2º lançamento: 2

Evento 3: Ocorrência de cara (k) no 3º lançamento: 2

Evento 4: Ocorrência de uma coroa: 3

Evento 5: Ocorrência de no máximo duas coroas: 6

4.4 – Combinação de eventos.

Se usarmos certas operações entre conjuntos (eventos), podemos combinar eventos, caso tai

eventos combinados ocorram.

4.4.1 – União de eventos. Sejam dois eventos A (Evento 1) e B (Evento 2). Então A U B são

eventos que ocorrem de formas separadas, e representam a união do numero de eventos A mais o

número de eventos B.

4.4.2 – Intersecção de dois eventos. Sejam dois eventos A e B. Então A λ B ocorrerá se A e B

ocorrerem juntos e simultâneos. Se A λ B = VAZIO então A e B são chamados de mutuamente

exclusivos.

4.4.3 – Complementar de um evento. Um complementar de um evento A (Ca), apenas ocorre se o

evento A não ocorrer.

Exemplo: Um dado é lançado e é observado o número da face de cima, (Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Sejam os eventos:

Evento A: Ocorrência de um número par: = 3.

Evento B: Ocorrência de um número maior ou igual a 4: = 3.

Evento C: Ocorrência de um evento ímpar: = 3.

Pergunta-se:

a) Ocorrência de um número par ou número maior que 4.

b) Ocorrência de um número par e maior ou igual a 4.

c) Ocorrência de um número par e ímpar.

d) Ocorrência de um número não par.

e) Ocorrência de um número menor que 4.

Questão: Uma urna contem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Uma bolina é escolhida e observada

seu número. Seja (Ω) = {1; 2; 3; 4...29; 30}. Descreva os eventos.

a) O número obtido ser par:

b) O número obtido ser ímpar:

c) O número obtido ser primo:

d) O número ser maior que 16:

e) O número ser múltiplo de 2 e 5;

f) O número ser múltiplo de 3 ou de 8;

g) O número não é múltiplo de 6.

Questão: Uma meda e um dado são lançados simultaneamente. Seja (Ω) = {(k,1); (k,2); (k, 3),

(k,4), (k,5), (k,6); (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 5), (c, 6)}. Descreva os eventos.

a) Evento A: Ocorre cara (k);

b) Evento B: Ocorre número par:

c) Evento C: Ocorre o número 3:

d) A U B;

e) B λ C:

f) A λ C:

g) Ca;

h) Cc;

4.5 – Frequência relativa.

Em um experimento aleatório, embora não saibamos qual o evento que pode ocorrer, sabemos

apenas que uns eventos ocorrem frequentemente e outros raramente. Desejamos então associar

um número a esses eventos (que podem ocorrer e que raramente ocorrem) um número que deem

uma indicação quantitativa. Para isso definimos FREQUÊNCIA RELATICA usando um exemplo.

Consideremos um experimento aleatório qualquer com um espaço amostral Ω finito, isto é, Ω = {a1,

a2, a3, a4, ... an}. Suponha que o experimento seja repetido N vezes nas mesmas condições.

Suponha que o evento a1 ocorra n1 vezes nas mesmas condições, então a frequência relativa é

definida como o número Fi, tal que:

Por exemplo, se lançarmos 100 vezes uma mesma moeda (N=100) e observamos que o número 2

ocorre 18 vezes, a frequência relativa será?

Propriedades: A frequência de um evento é um número decimal que fica entre 0 e 1.

Propriedades: A soma de todas as frequências relativas de um mesmo evento é sempre 1.

F1 + F2 + F3 + ... + Fn =

Exemplo: Ao jogarmos uma mesma moeda 39 vezes, foram obtidas (face de cima) o número 1

repetido 10 vezes, o número 2 obtido 23 vezes, o número 3 e 4 obtido 2 vezes cada e o número 5 e

6 obtidos 1 vez cada. Qual a frequência relativa de cada evento?

4.6 - Definição de Probabilidade.

Com o conceito e formula de uma frequência relativa, nos da a informação quantitativa da

ocorrência de um evento quando o experimento é realizado em grandes quantidades. O que iremos

fazer é definir um número associado a cada evento, de modo que ele tenha as mesmas

características da frequência relativa.

Por exemplo, considere um evento aleatório que tem espaço amostral Ω = {a1,a2, a3, ... na}. A

cada evento que ocorrer, vamos associar um número real indicado por P(ai), que é chamado de

probabilidade do evento ai e satisfaz as mesmas propriedades que a frequência.

Propriedades: A frequência de um evento é um número decimal que fica entre 0 e 1.

Propriedades: A soma de todas as frequências relativas de um mesmo evento é sempre 1.

F1 + F2 + F3 + ... + Fn = 1

Exemplo: Seja Ω = {a1, a2, a3, a4}, considere a distribuição de probabilidades a seguir:

P1 = 0,1; P2 = 0,3; P3 = 0,2; P4 = 0,4.

Seja o Evento A = {a1, a2, a4}, então qual a probabilidade do evento A?

Exemplo: Uma meda é lançada e é observada a face de cima, Temos:

Ω = {K, C}. Quais as probabilidades de sair cara no primeiro lançamento?

Exemplo: Um dado é lançado e observado o número de faces para cima. Qual a probabilidade de

ocorrer um número ímpar?

5.0 – Exercícios

Questão 01: Uma moça possui 5 blusas e 6 saias. De quantas formas ela pode vestir uma saia e

uma blusa? R = 30

Questão 02: Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto

da cabeça 5 posições, independente da posição do banco. Combinando o assento e o encosto,

quantas posições diferentes esse banco pode assumir? R = 30

Questão 03: Numa determinada festa haviam 80 homem e 9º mulheres, quantos casais podem ser

formados? R = 7200

Questão 04: Uma prova contem 20 perguntas com respostas do tipo Verdadeiro ou Falso. Quantas

maneiras poderemos responder esse teste? R = 1.048.576

Questão 05: Quantos número de 3 algarismos (iguais ou distintos) podemos formar com os dígitos

{1, 2, 3, 7, 8}? R = 125

Questão 06: Quantos números telefônicos podemos criar usando 8 dígitos de 0 a 9? R = 10^8

Questão 07: Em um campeonato de futebol existem 20 times. Quantas são as possibilidades

possíveis para os 3 primeiro lugares? R =6840

Questão 08: Dispomos de 8 cores pra pintar uma bandeira com 5 faixas com 1 cor por faixa. De

quantas maneiras podemos fazer isso? R = 6720

Questão 09: Um cofre possui um teclado com dígitos de 0 a 9. A senha desse cofre é formado por

3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas terá de realizar? R = 720

Questão 10: Com relação a palavra TEORIA:

a) Quantos anagramas existem? R = 720

b) Quantos anagramas começam com T? R = 120

c) Quantos anagramas começam com T e terminam com A? R = 24

d) Quantos anagramas começados com A e E? R = 240

Questão 11: Quantos dos anagramas da palavra FILTRO começam com consoante? R = 480

Questão 12: Quantas palavras distintas, podemos formar com a palavra PERNAMBUCO? E

quantos anagramas existem começadas com PER? R = 10!; 7!

Questão 13: Obtenha m de modo que

. R = 6

Questão 14: Obtenha m de modo que (m + 2)! = 72.m! R =7

Questão 15: Calcule os número:

a) ( ) R = 15

b) ( ) R = 15

c) ( ) R = 1

Questão 16: Obtenha todos as combinações dos elementos de M = {7, 8, 9, 0}, tomados doía a

dois. R = 6 ~{(7,8); (7,9); (7,0); (8,9); (8,0); (9,0)}

Questão 17: Se ( ) Determine n. R = 8

Questão 18: Um grupo tem 10 pessoas. Quantas comissões de no mínimo 4 pessoas podem ser

formadas, com as disponíveis? R = 848

Questão 19: Temos 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser

formadas se em cada comissão deve ter 3 homens e 2 mulheres? R = 120.45 = 5400

Questão 20: Uma urna contem 3 bolas vermelhas (V) e 2 amarelas (A). Elas são extraídas uma a

uma sem reposição. Quantas sequencias de cores podemos observar? R = 10

Questão 21: Desenvolva ( ) .

Questão 22:Quantos termos tem:

a) ( ) R =12

b) ( ) R =11

c) ( ) R =n+1

Questão 23: Calcule o valor de (a+b)²

Questão 24: Qual o milésimo termo de ( )

Questão 25: Qual o coeficiente de x² no desenvolvimento de ( ) R=60

Questão 26: Um casal planeja ter 3 filhos. Dê o espaço amostral da disposição dos filhos. R =

{(F,F,F); (F,F,M); (F,M,M); (F,M,F); (M,M,M); (M,M,F); (M,F,F); (M,F,M)} ~8

Questão 27: (UFES) Num aparelho telefônico, as dez teclas numeradas estão dispostas em fileiras

horizontais. Seja N a quantidade de números de telefones com 8 dígitos, que começam pelo

número 3 e terminam com dígito 0, e, além disso, o 2º e 3º dígitos são da primeira fileira do teclado.

O 4º e 5º dígitos são da segunda fileira e o 6º e 7º dígitos são da terceira fileira. O valor de N é?

a) 27

b) 216

c) 512

d) 729

e) 1331

Questão 28: (Faap-SP) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais

(repetidas ou não) e 3 algarismos distintos?

a) 25000

b) 120

c) 120000

d) 18000

e) 32000

Questão 29: (UFCE) Assinale a alternativa na qual conta a quantidade de números inteiros

formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre 1, 3, 5, 7, 9, e que são maiores que 200 e

menores que 800

a) 30

b) 36

c) 42

d) 48

e) 54

Questão 30: (UEPA) Durante o mês de junho, ocorre a tradicional competição entre quadrilhas dos

bairros. De quantas maneiras podem ser escolhidas a campeã e a vice-campeã entre as 5

quadrilhas finalistas sabendo que não ocorrem empates.

a) 10

b) 20

c) 60

d) 120

e) 150

Questão 31: (Mackenzie – SP) Os polígonos de k lados (k múltiplo de 3)que podem ser formados

com vértices nos 9 pontos da figura.

a) 83

b) 84

c) 85

d) 168

e) 169

Questão 32: (FGV – SP) Uma fatia de pão com manteiga pode cair no chão de duas formas

apenas: * Com a manteiga pra cima (Evento A); * Com a manteiga pra baixo (Evento B). Uma

possível distribuição de eventos é:

a) P(A) = P(B) = 3/7

b) P(A) = 0 e P(B) = 5/7

c) P(A) = -0,3 e P(B) = 1,3

d) P(A) = 0,4 e P(B) = 0,6

e) P(A) = 6/7 e P(B) = 0

Questão 33: (UFPI) No lançamento de um dado viciado, as faces diferentes de 5 ocorrem cada

uma com probabilidade p, enquanto a face 5 ocorre com probabilidade 3p, assim o valor de p é

a) 1/8

b) 2/8

c) 3/8

d) 4/8

e) 5/8

Questão 34: (Unip – SP) Em uma urna há 10 bolas idênticas numeradas de 1 a 10. Se retirarmos 1

única bola, a probabilidade dessa bola não ser 7 é igual a:

a) 2/9

b) 1/10

c) 9/11

d) 9/10

e) 9/11

Questão 35: (UFPE) Um saco contém 12 bolas verdes e 8 bolas amarelas. Quantas bolas azuis

devem ser colocadas no saco de modo que a probabilidade de retirarmos uma bola azul do saco

seja de 2/3?

a) 5

b) 10

c) 20

d) 30

e) 40

Questão 36: (PUC – RJ) DE sua turma de 30 alunos, é escolhida uma comissão de 3

representantes. Qual a probabilidade de você fazer parte dela

a) 1/10

b) 1/12

c) 5/24

d) 1/3

e) 2/9

Questão 37: (AMC – SP) A tabela abaixo fornece, por sexo e área escolhida, o número de inscritos

em um vestibular para o ingresso no curso superior:

ÁREA

SEXO BIOMÉDICAS EXATAS HUMANAS

MASCULINO 2500 1500 1500

FEMININO 1500 1000 2000

Escolhido, ao acaso, um dos escritos e representado por P1 a probabilidade do escolhido ser do

sexo masculino e ter optado por Exatas e P2 a probabilidade do escolhido ser do sexo feminino,

sabendo que optou por Biomédicas, pode concluir que:

a) P1 = 0,6 e P2 = 0,375

b) P1 = 0,6 e P2 = 0,15

c) P1 = 0,15 e P2 = 0,15

d) P1 = 0,15 e P2 = 0,375

e) P1 = 0,375 e P2 = 0,15

Questão 38: (UERJ) ‘Protéticos e dentistas dizem que a procura por dentes postiços não

aumentaram. Até declinou um pouquinho. No Brasil, segundo a Associação Brasileira de

Odontologia (ABO), há 1,4 milhões de pessoas sem nenhum dente na boca, e 80% deles já usam

dentaduras. Assunto encerrado (Adaptado de: Veja, outubro de 1997)

Considere que a população brasileira seja de 160 milhões de habitantes. Escolhendo ao acaso um

desses habitantes, a probabilidade de que ele não possua nenhum dente na boca e use dentadura,

de acordo com a ABO é de:

a) 0,28%

b) 0.56%

c) 0,70%

d) 0,80%

e) 0,99%

Questão 40: (ESPM – SP) Na ultima etapa de um programa de prêmios, o participante deve

sortear uma bola de uma urna que contem 1 bola preta e 2 bolas brancas (Distinguidas pela cor) e

ganha se tirar a bola preta. Portanto, a probabilidade de ganhar é de 1/3. Para ‘esquentar o

programa’, o apresentado propõe que coloque uma bola vermelha na urna, que funciona como um

coringa, isto é, se o participante tirar a bola preta, ele ganha, mas se tirar a bola vermelha ele têm

mais uma chance de tirar um outra bola (Mas sem a bola vermelha) e novamente ganha se tirar a

preta. Se o participante aceitar a proposta, sua chance de ganhar o prêmio:

a) Aumenta em 20%.

b) Aumenta em 40%.

c) Diminui de 10%.

d) Diminui de 20%.

e) Não se altera.