4 - Cinemática - Física_I - 2012

4.1- Movimento em 1D Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Estudos Básicos e

Instrumentais

Índice 1. Conceitos Fundamentais;

2. Velocidade;

3. Movimento Uniforme;

4. Movimento Uniformemente Variado;

5. Cinemática Vetorial;

6. Queda livre;

7. Movimento em três dimensões;

8. Movimento Circular;

9. Lançamento horizontal;

10. Lançamento Oblíquo.

2 Prof. Roberto Claudino

3

OBJETIVO GERAL

Alcançar um entendimento sobre os

conceitos e grandezas que envolvem os

movimentos, assim como suas expressões,

unidades de medida e aplicações.

Prof. Roberto Claudino

4

CINEMÁTICA

A física se divide em vários ramos e a

Cinemática é um deles;

Conceito de Cinemática: Ciência que

estuda os movimentos sem se preocupar

com suas causas e consequências.

Cinemática escalar, (grandeza escalar);

Cinemática vetorial, (grandeza vetorial);


5

CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Ponto Material e Corpo Extenso;

Repouso, Movimento e referencial;

Trajetória;

Posição escalar, no SI (m);

Posição vetorial ou vetor posição .


r

6

VELOCIDADE MÉDIA Velocidade média escalar , no SI (m/s);

Vetor velocidade média

, no SI (m/s);

Direção: a mesma que ;

Sentido: o mesmo que ;


t

xvm

t

rmv

x

t

0 m

0 s

10 m 20 m 30 m

2 s 4 s 6 s

V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s

r

r

7

VELOCIDADE INSTANTÂNEA Velocidade instantânea escalar , no SI (m/s);

Vetor velocidade instantânea , no SI (m/s);


x

t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=5 m/s V=7 m/s V=8 m/s dt

dxv

dt

rdv

Portanto a velocidade vetorial instantânea é

tangente ao movimento.

Um automóvel viaja do ponto A até o ponto

B a 36 km/h durante o primeiro minuto e de B até

C a 72 km/h nos três minutos seguintes. Qual a

sua velocidade escalar média durante os quatro

minutos?

Se este automóvel retornasse ao ponto B

levando 30 s para manobrar em C, desprezando

os pequenos deslocamentos da manobra e

sabendo que o percurso CB foi realizado em 2

minutos. Qual seria a sua velocidade média em

CB? e qual a sua velocidade escalar média em

todo percurso? Prof. Roberto Claudino 8

1º Problema:

A posição de uma partícula que se move em

um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. Qual é a

velocidade da partícula em t = 3,5s? A velocidade

é constante ou está variando continuamente?

A posição de uma partícula que se move em um

eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. Qual é a

velocidade da partícula em a) t = 5 s e b) t = 8 s?

c) a velocidade é constante ou está variando

continuamente?

Prof. Roberto Claudino 9

2º Problema:

³1,22,98,7 ttx

3º Problema:

tx 2,43,5

10

MOVIMENTO UNIFORME


x

t

0 m

0 s

10 m 20 m 30 m

2 s 4 s 6 s

V=5 m/s V=5 m/s V=5 m/s

V = constante ≠ 0

A função da posição:

Demonstração Unidades de medidas

0t )(

o

oo

t

t

x

x

t

t

x

x

ttvxx

tvx

dtvdx

vdtdx

dt

dxV

oo

oo

)(

)(

sdt

mdx

s

mV

vtxx o

11

GRÁFICO DO MOVIMENTO UNIFORME


é do 1º grau,

sua declividade (v) é uma reta;

Se v > 0, movimento Progressivo;

Se v < 0, movimento retrogrado;

Em (v x t) , função constante.

x

t

v > 0

x

t

v < 0

v

t

v > 0 v t

v < 0

vtxx o

Dois móveis A e

B percorrem uma reta

de acordo com os

diagramas indicados

ao lado. Qual a

posição de encontro

destes móveis?


4º Problema:

13


MOVIMENTO UNIFORMEMENTE VARIADO

x

t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=8 m/s V=12 m/s V=16 m/s

x

t 0 s 1 s 2 s 4 s

V=24 m/s V=12 m/s V=0 m/s V=18 m/s

24

23

812

s

m

t

va

26

01

2418

s

m

t

va

A velocidade é variável e a aceleração é constante ≠ 0.

ACELERAÇÃO MÉDIA Aceleração escalar média:

no SI

Vetor aceleração média. t

vam

t

vm

2s

m

Direção: igual à v

Sentido: igual ao de

v

Intensidade: t

vm

ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA

0

lim

t

ama

dt

dva

14

FUNÇÃO HORÁRIA DA POSIÇÃO E DA VELOCIDADE PARA MOVIMENTO VARIADO


A função da velocidade.

Demonstração:

0t )(

o

oo

t

t

v

v

t

t

v

v

ttavv

tav

dtadv

adtdv

dt

dva

oo

oo

atvv o

A função da posição.

Demonstração:

t

t

t

t

o

x

x

o

o

o

o oo

tdtadtvdx

dtatvdx

atvdt

dx

dt

dxv

avv

)(

t

2

2t

atvxx oo

0

2)(

2

22

2

o

oooo

t

t

t

to

x

x

t

tta

ttvxx

tatvx

o

oo

15

INTEGRAÇÃO DO GRÁFICO EM

ANÁLISE DO MOVIMENTO


v

t

t

t

x

x oo

vdtdx

dt

dxv

to t

t

tO

vdtxx 0

Área N

oxx

a

t to t1

t

to

adtdv

dt

dva

t

t

adtvv0

0

Área 0

N

vv

O gráfico a baixo representa o movimento

de um móvel. Qual a variação da posição no

intervalo de 0 a 12 segundos.


5º Problema:

A posição de uma partícula que se move em

um eixo x é dada por:

Com x em metros, t em segundos. (a) Como a

posição x depende do tempo t, a partícula deve

estar em movimento. Determine a função

velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da

partícula. (b) Existe algum instante para o qual

v=0?


6º Problema:

²274 ttx

18

EQUAÇÃO DE TORRICELLI


Torricelli eliminou a variável tempo da equação das

velocidades da seguinte maneira:

isolando (t) temos: substituindo em x(t). Temos:

a

vovt

atvv o

²

2

a

vva

a

vvvxx oo

oo

²

2²

2

2

a

vvvva

a

vvvx ooo

o

a

vvvvvvv

a

xa oooo

2

222

2

2 222

222 ovvxa

xavv o 222

2

2t

atvxx oo

19


MOVIMENTO VARIADO NÃO UNIFORME

x

t

0 m

0 s 2 s 3 s 4 s

V=8 m/s V=18 m/s V=32 m/s

ttv

v

t

t

v

v

t

t

v

v

oo

oo

oo

tv

tdtdv

adtdv

adtdv

dt

dva

00 ²2

4

4

A velocidade e a aceleração são variáveis.

No exemplo abaixo a partícula parte do repouso e aceleração

varia segundo a função ta 4

²2

0

0

:exemplo No

)²(2

)²(2

2

2

tv

t

v

ttvv

ttvv

o

o

oo

oo

smv

sma

smv

sma

smv

sma

/32

²/16

:4s t Em

/18

²/12

:3s t Em

/8

²/8

:2s t Em

3

³2

³3

2

²2

00

tx

tx

dttdx

vdtdx

dt

dxv

t

t

x

x

t

t

x

x

oo

oo

ta 4

A aceleração de um corpo em movimento

retilíneo é diretamente proporcional ao tempo e

representada por a = kt, onde k é uma constante.

Para t = 0s, a velocidade do corpo é de -16 m/s.

Sabendo que a velocidade e a coordenada da

posição são nulas no tempo de 4s. Determine (a)

as equações da aceleração, velocidade e

posição do corpo (b) a aceleração, velocidade e

posição do corpo no tempo de 2s.


7º Problema:

21

QUEDA LIVRE Um objeto quando abandonado no

vácuo nas proximidades da Terra descreve

trajetória vertical e sua velocidade aumenta

progressivamente sob a aceleração da

gravidade g = 9,8 m/s².

No vácuo, objetos caem sempre da mesma forma,

independente de sua massa, tamanho e forma.

Na Terra não temos queda livre devido à resistência do

ar, no entanto para pequenos deslocamentos podemos

desprezar a resistência do ar.

gtvv o

²2

tg

tvyy oo

ygvv o 2² 2

Convencionando o

sinal de (g) pelo

sentido do eixo (y):

Subida: gtvv o

²2

tg

tvyy oo

ygvv o 2² 2

Descida:

Em um prédio em construção, uma chave de

grifo chega ao solo com uma velocidade de 24

m/s. (a) de que altura um operário a deixou cair?

(b) Quanto tempo durou a queda? (c) Esboce os

gráficos de y,v,e g em função de t para a chave

de grifo.


8º Problema:

23

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU)

Trajetória circular;

Intensidade da velocidade escalar constante e

diferente de zero;

Aceleração tangencial nula;

Aceleração centrípeta não - nula, pois a

velocidade varia em direção e sentido.


24

FUNÇÕES DO MCU


dt

dSv

dt

d

r

l

rdt

dS

dt

d

.

rv

r

S

Deslocamento angular,

medido em radiano (rad)

Velocidade angular,

medido em radiano

por segundo (rad/s)

t

Como no MU:

e no MCU:

r

v

25

FUNÇÃO DA POSIÇÃO DO MCU


vtSoS

to

ou

Função horária MCU:

vtSoS

tr

v

r

So

r

S

t

t

dtd

dtd

dt

d

o

t

t

t

t

oo

oo

0

Forma linear do MU :

26

ACELERAÇÃO DO MCU


Embora a velocidade linear seja constante, ela sofre mudança de direção e sentido, logo existe uma aceleração, mas como esta aceleração não influencia no módulo da velocidade, chamamos de Aceleração Centrípeta. Então:

27


ACELERAÇÃO CENTRÍPETA

dt

dyv

dt

dxv

dt

dxv

jdt

dx

r

vi

dt

dy

r

va

jr

xv

dt

di

r

yv

dt

da

dt

dva

jr

xvi

r

yvv

jvisenvv

jvivv

Py

Px

PP

PP

PP

yx

e ,

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ.

ˆ.ˆ.

ˆcos.ˆ.

ˆˆ

r

va

senr

vaaa

jsenr

vi

r

va

jr

senvvi

r

vva

vvdt

dy

senvvdt

dx

yx

yP

xP

²

²²cos²

ˆ²ˆcos²

ˆ..ˆcos..

cos.

.

:Logo

22

racp ²ou

28

PERÍODO E FREQUÊNCIA


Período (T): É o tempo gasto para completar um ciclo (volta).

Freqüência (f): é o número de voltas na unidade de tempo. Unidade é o Hertz (Hz).

Tf

1

v

rT

2

Um ponto material em MCU, numa circunferência

horizontal, completa uma volta a cada 10 s.

Sabendo-se que o raio da circunferência é 5 cm.

Calcule:

a) o período e a frequência;

b) a velocidade angular;

c) a velocidade escalar;

d) o módulo da aceleração centrípeta.


9º Problema:

Considere que o raio da Terra no plano do

equador é igual a 6,0 . 103km. Qual o módulo da

velocidade escalar de um ponto do equador, em

relação a um referencial com a origem no centro

da Terra , em m/s?


10º Problema:

31

MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV)

MCUV, apresenta:

Trajetória circular;

Velocidade escalar varia de acordo com

v = vo + at, e (a = constante ≠ 0); cuja

intensidade = aceleração tangencial (at);

Aceleração centrípeta não - nula, pois a

velocidade varia em direção e sentido.

Aceleração resultante:


cptr aaa

32

ACELERAÇÕES (MCUV)


Aceleração tangencial

tem sempre a direção

da velocidade do móvel

Aceleração

centrípeta é

perpendicular

a v

cptr aaa

dt

d

r

at

Aceleração angular

33

FUNÇÕES DO MCUV


²2

toto

²2

ta

votSoS

Forma linear: Forma angular:

atvov

Savov 2²²

to

2²² o

Sendo:

r

a

r

v

r

S

Ou, analogamente às

deduções lineares, partir

dos conceitos ao lado e

chegar às equações

angulares. dt

d

dt

d

Um objeto inicia seu movimento, a partir do

repouso, deslocando-se em trajetória circular de

raio 20 m. A aceleração tangencial em relação à

Terra tem módulo de 2m/s². Após 10s, pede-se:

a) Velocidade tangencial;

b)Aceleração angular;

c)Velocidade angular;

d)Deslocamento;

e)Deslocamento angular;

f)Aceleração centrípeta;


11º Problema:

g) Aceleração total;

h) Direção

aceleração total.

35

Um pião gira com aceleração α = 5t³ - 4t, onde t

está em (s) e α está em (rad/s²). Em t = 0 a

velocidade angular do pião é 5 rad/s e uma reta

de referência traçada no pião está na posição

angular θ = 2 rad.

a) Obtenha uma expressão para a velocidade

angular do pião, ω(t).

b) Obtenha uma expressão para a posição

angular do pião, θ(t). Prof. Roberto Claudino

MOVIMENTO CIRCULAR VARIADO NÃO UNIFORME A velocidade angular e a aceleração angular variam segundo

suas funções que podem mudar de uma situação para outra.

12º Problema:


4

4

00

4

5

05

4

5²25

²24

55

²2

4

4

5

)4³5(

tt

tt

tt

dtttd

dtd

dtd

dt

d

tt

t

t

too

43

³252

43

³252

5

1.

4

5

3

25

4

5²25

5

5

0

5

0

3

02

4

ttt

ttt

ttt

dtttd

dtd

dt

d

ttt

t

too

12º Problema: Resolução

2.2- Movimento em 2D e 3D. Física I

Prof. Roberto Claudino Ferreira

Universidade Estadual do

Sudoeste da Bahia

Departamento de Estudos Básicos e

Instrumentais


VELOCIDADE EM 2D E 3D.

jvivv

jyixdt

dv

yxˆˆ

)ˆˆ(

As componentes escalares ficam:

dt

dzv

dt

dyv

dt

dxv zyx , ,

kvjvivv

kzjyixdt

dv

zyxˆˆˆ

)ˆˆˆ(

Velocidade em 2D:

Velocidade em 3D:

Um coelho atravessa um estacionamento, no

qual, por alguma razão, um conjunto de eixos

coordenadas foi desenhado. As coordenadas da

posição do coelho, em metros, em função do

tempo t, em segundos, são dadas por:

x = - 0,31t² + 7,2t + 28

y = 0,22t² - 9,1t + 30

(a) No instante t = 15s, qual é o vetor posição do

coelho na notação de vetores unitários e na

notação módulo-ângulo?


13º Problema:

Determine a velocidade vetorial do coelho do

problema 13, no instante t = 15s.

x = - 0,31t² + 7,2t + 28

y = 0,22t² - 9,1t + 30

Lembre-se que: Um vetor é caracterizado por ter

módulo, direção e sentido.


14º Problema:

41

MOVIMENTO RELATIVO


O movimento é um conceito relativo cuja

descrição depende de um referencial específico

escolhido pelo observador.

Diferentes observadores usando sistemas

referenciais diferentes obtém diferentes

descrições de um mesmo movimento.

O estudo do movimento relativo tem como

objetivo relacionar estes resultados distintos de

um mesmo movimento.

42

MOVIMENTO RELATIVO EM 1D


BAv

PBPA

BA

BAPBPA

BAPBPA

BAPBPA

BAPBPA

aa

v

vdt

dv

dt

dv

dt

d

dt

dva

vvv

xdt

dx

dt

dx

dt

d

dt

dxv

xxx

Constante Sendo

)()()(

)()()(

BAPBPA xxx

Na figura do slide anterior, Alexandre é o referencial A

enquanto que Bárbara é o referencial B. A velocidade de

Barbara em relação a Alexandre é constante,

e que o carro P está se movendo no sentido negativo do

eixo x. (a) Se Alexandre mede uma velocidade

para o carro P, qual é a velocidade medida por

Bárbara? (b) Se o carro P freia até parar em relação a

Alexandre (e portanto, em relação ao solo) no instante

t = 10 s, com uma aceleração constante, qual é a sua

aceleração em relação a Alexandre?

(c) Qual é a aceleração do carro P em relação a

Bárbara durante a frenagem?


15º Problema:

km/h 52BAv

km/h 78PAv

PBv

PAa

PBa

44

MOVIMENTO RELATIVO EM 2D


BAPBPA rrr

BAv

BAr

PBr

PAr

BAPBPA vvv

PBPA aa

Um avião se move para leste enquanto o piloto

direciona o avião ligeiramente ao sul do leste, para

compensar um vento constante que sopra para

nordeste. O avião tem uma velocidade em relação ao

vento, com uma velocidade do ar (velocidade escalar

em relação ao vento) de 215 km/h e uma orientação que

faz um ângulo θ ao sul do leste. O vento tem uma

velocidade em relação ao solo, com uma velocidade

escalar de 65,0 Km/h e uma orientação que faz um

ângulo de 20º a leste do norte. Qual é o módulo da

velocidade do avião em relação ao solo e qual é o

valor de θ?


16º Problema:

AVv

VSv

ASv

46

LANÇAMENTO HORIZONTAL


O movimento de um corpo lançado

horizontalmente, coincide com o movimento

em queda livre;

O corpo apresenta duas

velocidades: Uma na

horizontal (vx) e a outra

na vertical (vy).

A velocidade horizontal

não afeta a vertical.

47

LANÇAMENTO HORIZONTAL


tvxx

vtSS

oxo

o

Na horizontal MRU

Na vertical, trata-se de uma

queda livre, portanto MRUV.

SgVV

gtVV

tg

tvyy

oyy

oyy

oyo

2

²2

22

oooy

ooox

senvv

vv

cos

Um mergulhador salta com uma velocidade

horizontal de 2,00 m/s de uma plataforma que

está 10,0 m acima da superfície da água. (a) A

que distância horizontal da borda da plataforma

está o mergulhador 0,8 s após o início do salto?

(b) A que distância vertical acima da superfície da

água está o mergulhador nesse instante? (c) A

que distância horizontal da borda da plataforma o

mergulhador atinge a água?


17º Problema:

Um avião mergulhando com velocidade

constante em um ângulo de 53º com a vertical,

lança um projétil a uma altitude de 730 m. O

projétil chega ao solo 5,0 s após o lançamento.

(a) Qual é a velocidade do avião? (b) Que

distância o projétil percorre horizontalmente

durante o percurso? Quais são as componentes?

(c) horizontal e (d) vertical da velocidade do

projétil no momento em que chega ao solo?


18º Problema:

50

LANÇAMENTO OBLÍQUO


tvxx

vtSS

oxo

o

Também é composto

de dois movimentos:

Vertical e horizontal.

y MUV

Na horizontal MU.

Sendo: oooy

ooox

senvv

vv

cos

tvxx ooo cos

51

LANÇAMENTO OBLÍQUO


²2

tg

tvyy oyo

y MUV

Na Vertical MUV.

oooy

ooox

senvv

vv

cos

gtsenvv ooy

²2

tg

tsenvyy ooo

gtvv oyy

ygvv oyy 222

ygsenvv ooy 222

52

ALCANCE HORIZONTAL


²2

)(0

)(cos

²

2)(

)(

tg

tsenv

tvR

tg

tsenvyy

tCosvxx

oo

oo

ooo

ooo

)()(2

)(2)(0

2)(0 e

)(

oo

oo

oo

oo

oo

oo

SenvCosv

Rg

Cosv

RgSenv

ttg

SenvCosv

Rt

0 , oo yyRxxElimina o

tempo nas

duas:

))((2 2

ooo CosSen

g

vR

)2(2

oo Seng

vR

Chamaremos:

53

ALCANCE HORIZONTAL MÁXIMO


g

vR o

máx

2

12 osen

º45º902 oo

Então o alcance máximo

Ocorre quando:

Portanto o ângulo de alcance máximo é 45º

)2(2

oo Seng

vR

Um projétil é lançado do solo para cima segundo

um ângulo de 30º com a horizontal, com

velocidade de 80 m/s. Calcule:

a) O tempo que o corpo leva para atingir a altura

máxima;

b) A altura máxima;

c) As coordenadas do projétil no instante 1s;

d) O tempo gasto para atingir o solo;

e) O alcance.


19º Problema:

4 - Cinemática - Física_I - 2012

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