FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES

NOTAS DE AULAS

T E O R I A D O S N Ú M E R O S

PROF. ALZIR FOURNY MARINHOS

BASE NUMÉRICA

O nosso sistema de numeração é de base dez.

Cada dez unidades temos uma dezena.Cada dez dezenas temos uma centena.Cada dez centenas temos uma milhar.

Uma quantidade pode ser representada por um numeral na base dez, mas pode ser, também, representada em outra base numérica.

COMO ESCREVER, UM NUMERAL NA BASE DECIMAL, NUMA BASE DIFERENTE DA DECIMAL?

a) Escrever 15 na base 2. (Explicação do Professor)

b) Escrever 35 na base 3. (Explicação do Professor)

c) Escrever 145 na base 11. (Explicação do Professor)

d) Escrever 67523 na base 12. (Explicação do Professor)

COMO PASSAR UM NUMERAL PARA BASE DECIMAL, SENDO DADO NUMA OUTRA BASE NUMÉRICA?Passar para nosso sistema de numeração decimal.

a) ( 11021) 3 (Explicação do Professor).

b) (234)5 (Explicação do Professor).

EXERCÍCIOS

1) Escreva o número 182 respectivamente nas bases 2, 8 e 12.R: ( 10110110)2; (266)8; (132)12

2) Escrever 2154 na base 12. R: ( 12b6) 12

3) Passe para o nosso sistema de numeração:a) (10121) 3 b) (10ab) 12 onde a representa 10 e b representa 11.

R: a) 97 b) 1859

4) Efetue:a) (1034)5 + (243) 5 R: ( 1332) 5

b) ( 54302) 6 – ( 2134) 6 R: ( 52124)6

5) Determine b em cada um dos casos:a) ( 104) b= 8285 R: b = 91b) 12551 = ( 30407) b R: b = 8

6) Determinar o valor de x sabendo-se que ( xxxx )3 = 80 R: x = 2

7) O cubo de ( 12 ) b é ( 1750 ) b. Qual a base de numeração? R: 8

8) Prove que:a) em todo sistema de numeração de base b>2 o número ( 121 ) b é um

quadrado perfeito.b) em todo sistema de numeração de base b>3 o número ( 1331) b é um

cubo perfeito.

NÚMEROS NATURAIS

COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE NÚMEROS NATURAIS DE A ATÉ B.Os números Naturais : { 1, 2, 3, 4, 5, ... }A quantidade de números de a até b (isto inclui a e b) é (b – a) + 1.Fazer um modelo:Qual a quantidade de números naturais de 7 a 16?(16 – 7) + 1= 10Veja: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Quando tiramos 7 números de 16 números (16 - 7) estamos tirando também o número 7. Daí devemos somar o 7, isto é mais um número. Por isso (16 -7) + 1.

Qual a quantidade de números naturais de 35 a 148? (Explicação do Professor)

Qual a quantidade de números naturais entre 35 e 148 (excluindo 35 e 48)? (Explicação do Professor)

QUANTOS NÚMEROS, COM X ALGARISMOS, PODEMOS FORMAR COM OS ALGARISMOS INDO-ARÁBICOS?Neste caso devemos usar o princípio fundamental da contagem.Se um evento é composto por duas possibilidades sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na primeira etapa é m e o número de possibilidades na segunda etapa é n, então o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m.n.

1) Quantos números de quatro algarismos podem ser formados no Sistema Decimal? (Explicação do Professor)

2) Quantos números de quatro algarismos distintos podem ser formados no Sistema Decimal? (Explicação do Professor)

NÚMEROS DE ALGARISMOS NECESSÁRIOS PARA ESCREVER OS NÚMEROS NATURAIS ENTRE DOIS NÚMEROS DADOS.Devemos verificar a quantidade de números existentes entre os números dados e observarmos que de 1 a 9 são números escritos com 1 algarismo; de 10 a 99 são números escritos com 2 algarismos; de 100 a 999 são números escritos com 3 algarismos.

Calcular o número de algarismos necessários para escrever os números naturais de 328, inclusive, até 1959, inclusive? (Explicação do Professor)

QUANTIDADE DE NÚMEROS ESCRITOS QUANDO SE DÁ O NÚMERO DE ALGARISMOS EMPREGADOS.Ao escrevermos de 1 até o número x e igualando ao número de algarismos empregados podemos determinar esse x. Esse x é a quantidade de números escritos.

Quantos números naturais foram escritos a partir de um, se empregarmos 21729 algarismos na sua escrita? (Explicação do Professor)

COMO DETERMINAR O NÚMERO DE VEZES QUE UM ALGARISMO APARECE NUMA SUCESSÃO DE NÚMEROS NATURAIS DE 1 ATÉ 10n.

Justificativa da regra:

Vamos ver o algarismo 3.Nas unidades:03; 13; 23; 33; 43; 53; ... Em cada dezena aparece 1 vez.10 n/10 dá o número de dezenas. Como em cada dezena aparece uma vez temos 1 x 10 n/10 que resulta 10 n-1.Em cada unidade aparece 10 n – 1.

Nas dezenas:030; 031;032;033;034;035;036;037;038;039;130;131,132;133;134;135;136;137;138;139;230;231;232;233;234;235;236;237;238;239; Em cada centena aparece 10 vezes.10 n / 100 dá o número de centenas.Como em cada centena aparece 10 vezes temos 10 x 10 n / 100 que resulta 10 n – 1.Em cada dezena aparece 10 n – 1.Nas centenas:0300;0301;0302;0303;0304;0305;0306;0307;0308;0309.................0399;1300;1301;1302;1303;1304;1305;1306;1307;1308;1309.................1399;2300;2301;2302;2303;2304;2305;2306;2307;2308;2309.................2399;Em cada milhar aparece 100 vezes.10 n/ 1000 dá o número de milhares.Como em cada milhar aparece 100 vezes temos 100 x 10 n/ 1000 que resulta 10 n – 1.Em cada milhar aparece 10 n – 1 vezes. Podemos concluir que em cada ordem aparece 10 n – 1 vezes.

Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 10 000? (Explicação do Professor)

COMO DETERMINAR A QUANTIDADE DE UM FATOR PRIMO ESCRITO NUM PRODUTO 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ....... x n.

Justificativa da regra:

Por exemplo, fator 5 no produto 1 x 2 x 3 x 4 x5 x . . . x 100.1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x 5 x 2 x ... x 5 x 3 ... x 5 x 4 x ........ x 5 x 20.5 x 1 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 4 x . . . x 5 x 20 = 5 20 x ( 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ... x 20 ) = 5 20 (5 x 1 x 5 x 2 x 5 x 3 x 5 x 4) = 5 20 x 5 4 x ( 1 x 2 x 3 x 4)= 5 24 x 1 x 2 x 3 x 4. Logo temos 24 fatores 5.Veja que ao dividirmos 100 por 5 encontramos 20. ( 20 fatores).Ao dividirmos 20 por 5 encontramos 4 ( 4 fatores) ; Como 4 é menor que 5 paramos. Daí 24 fatores.

AO ESCREVER A SÉRIE NATURAL DOS NÚMEROS INTEIROS, SEM SEPARAR OS ALGARISMOS, 123456789101112131415161718192021222324...., COMO DETERMINAR O ALGARISMO QUE OCUPA UMA DETERMINADA POSIÇÃO.

Determinar o algarismo que ocupa o 1275º lugar.

De 1 a 9 empregamos 9 x 1 algarismos.De 10 a 99 empregamos 90 x 2 algarismos.De 1 a 99 empregamos 189 algarismos.Sobram 1275 – 189 = 1086 algarismos que empregamos para escrever os números de 3 algarismos que serão 1086 : 3 = 362 números.Assim chegaremos ao número 99 + 362 = 461.O algarismo que ocupa a posição 1275 º lugar é o algarismo 1 do número 461.

EXERCÍCIOS

1) Qual a quantidade de números naturais de 35 a 148? R: 1142) Quantos são os números de 5 algarismos, na sucessão dos números naturais? R: 90 0003) Quantos números de dois algarismos podem ser formados no Sistema Decimal? 4) Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados no Sistema Decimal? R: 815) Com os algarismos indo – arábicos (0, 1, 2, 3, 4 ,5, 6, 7, 8, 9):

a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar? R: 900b) Quantos números 3 algarismos distintos podemos formar? R: 648

6) Quantos números ímpares de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos indo- arábicos. E números ímpares de 4 algarismos distintos? R: 4500 ; 2247) Qual o total de algarismos usados para numerar as páginas de um livro que tem 2748 páginas? R: 98858) Calcular o número de algarismos necessários para escrever todos os números naturais de cinco algarismos? R: 450 0009) Calcular o número de algarismos necessários para escrever os números naturais de 328, inclusive, até 1959, inclusive? R: 585610) Calcular quantos números naturais foram escritos a partir de um, se empregarmos 21729 algarismos na sua escrita? R: 570911) Determinar o número de vezes que o algarismo 3 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 100 000? R: 50 00012) Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 10 000? R : 4 00013) Determinar o número de vezes que o algarismo 4 aparece na sucessão dos números naturais de 1a 400? R: 8114) Quantas vezes o algarismo 5 aparece na sucessão dos naturais de 1 até 2006? R: 60115) Quantas vezes o algarismo 2 aparece nas dezenas, na sucessão dos naturais de 1 até 2222, inclusive? R: 22316) Quantas vezes o algarismo 8 ocupa a posição das dezenas na sucessão dos números naturais de 1 a 10 000? R: 1000

17) Determinar o número de vezes que o algarismo 7 aparece na sucessão dos números naturais de 1 até 5966 ? R:1786 vezes18) Escreveram-se os números de 1 a 537. Quantas vezes aparece o algarismo 8? R: 10319) Ao escrevermos o produto 1x2x3x4x . . .x 100 com fatores primos, qual o número de vezes que o fator primo 7 aparece? R: 1620) Ao escrevermos o produto 1x2x3x4x . . .x 100 com fatores primos, qual o número de vezes que o fator primo 2 aparece? R: 9721) Com quantos zeros termina o número 100x99x98x . . . x 3x2x1? R: 2422) Com quantos zeros termina o número 1000x999x998x997x . . . x3x2x1? R: 24923) Qual o número de algarismos necessários para registrar a operação 2 101 x 5 97.

R: 9924) Determinar o algarismo que ocupa o 1276º lugar na seqüência 123456789101112.... R : 6

REGRAS DE DIVISIBILIDADE

O estudo dos critérios de divisibilidade é ensinado, inicialmente, na quinta série do Ensino Fundamental.

Os critérios são realizados de forma mecânica e os alunos podem ser capazes de saber se um número é divisível por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Conhecendo os critérios de divisibilidade podemos facilitar vários procedimentos matemáticos. Ao escrever uma fração na forma irredutível, podemos saber, de forma imediata, se o numerador e o denominador são divisíveis por um mesmo número.

Ocorre que na quinta série deixamos de apresentar as justificativas dos critérios de divisibilidade, talvez, por acharmos que os alunos não tenham a maturidade para entender. Mas, para nós, Professores, é preciso conhecermos estas justificativas e estarmos preparados para informar aos nossos alunos, quando solicitado.

1- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 2

Um número ao ser dividido por 2 deixa resto zero ou 1.No desenvolvimento do algoritmo da divisão de um número dado por 2, quando

estivermos no último algarismo deste número teremos um número que será formado por zero ou um (resto da divisão anterior) e o último algarismo do número dado (que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Este número, de dois algarismos, vai ser dividido por 2, fazendo-se a última operação do algoritmo. Se for par, o resto desta última operação é zero, indicando que o número dado dividido por dois deixa resto zero, isto é, é divisível por dois. Se for impar, o resto desta última operação é um, indicando que o número dado dividido por dois deixa resto um, isto é, não é divisível por dois.

CRITÉRIO: Um número é divisível por dois quando é par.

2- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 3CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 9

Seja o número na milhar abcd, onde a, b, c, d podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( “a” diferente de zero).Podemos escrever abcd como ax1000 + bx100 + cx10 + d = a(999+1) + b(99 + 1) + c(9+1) + d = 999a + a + 99b + b +9c + c + d = 999a + 99b + 9c + a + b + c + d.Para que abcd seja divisível por 3 devemos ter 999a + 99b + 9c + a + b + c + d divisível por 3.Daí:

33

999999

3

dc b a 9c 99b 999a dcbacba ++++++=++++++

Veja que 3

999999 cba ++é divisível por 3.

Então a + b + c + d deve ser divisível por 3.Para se divisível por 9 devemos ter

99

999999

9

dc b a 9c 99b 999a dcbacba ++++++=++++++

Veja que 9

999999 cba ++é divisível por 9.

Então a + b + c + d deve ser divisível por 9.

CRITÉRIO: Um número é divisível por três se a soma de seus algarismos for divisível por três.

Um número é divisível por nove se a soma de seus algarismos for divisível por nove.

3- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 4 e 25

Seja o número na milhar abcd, onde a, b, c, d podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( “a” diferente de zero).Veja que 100 é divisível por 4.Então:100 x 10 é divisível por 4, pois 100 é divisível por 4.100 x 100 é divisível por 4, pois 100 é divisível por 4.100 x 1000 é divisível por 4, pois 100 é divisível por 4.100 x 10n é divisível por 4 (n número natural), pois 100 é divisível por 4.Podemos escrever abcd como ax1000 + bx100 + cx10 + d.Para ser divisível por 4 devemos ter

4

10

4

1001000

4

d10c 100b 1000a dcba +++=+++

Como 1000a + 100b é divisível por quatro devemos ter 10c + d também divisível por quatro.Veja que 10c + d representa o número cd.Este número cd representa o número formado pelos dois últimos algarismos do número abcd. O número cd tem que ser divisível por quatro.

Este critério é válido para números com classes maiores que a milhar pois toda potência 100 n, com n natural, é divisível por quatro, gerando nesta demonstração, apenas a verificação da divisibilidade do número formado pela dezena e unidade.

Este procedimento é o mesmo para verificação da divisibilidade por 25. ( Veja que 100 é divisível por 25, levando ao mesmo procedimento de justificação).

Veja que ao termos um número ab00, c=0 e d=0, teremos cx10+d=0x10+0=0. Daí resta ax1000+bx100 que é divisível por 4. Logo, números que terminam com dois zeros são divisíveis por quatro.

CRITÉRIO: Um número é divisível por quatro ou vinte e cinco se o número formado pelos algarismos da dezena e unidade for divisível por quatro ou vinte e cinco (isso inclui os números que terminam em 00).

4- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 5

Um número ao ser dividido por 5 deixa resto 0, 1, 2, 3 ou 4.Veja que 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 . . ., números múltiplos de 5, são divisíveis

por 5. Estes números terminam em 0 ou 5.No desenvolvimento do algoritmo da divisão de um número dado por 5, quando

estivermos no último algarismo deste número dado teremos um número que será formado por 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 (resto da divisão anterior) e o último algarismo do número dado (que pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9). Este número, de dois algarismos, vai ser dividido por 5, fazendo-se a última operação do algoritmo. Se este número terminar em 0 ou 5, o resto desta última operação é zero, indicando que o número dado dividido por cinco deixa resto zero, isto é, é divisível por cinco. Se for um número que não termina em 0 ou 5, o resto desta última operação não é zero, indicando que o número dado dividido por cinco deixa resto, isto é, não é divisível por cinco.

CRITÉRIO: Um número é divisível por cinco quando termina em zero ou cinco.

5- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 6

Veja a seqüência de números múltiplos de 6:0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...Veja que os múltiplos de 6 são sempre pares. 6 = (2x3)xk=2x(3k).Veja que os múltiplos de 6 são divisíveis por 3.6 = (2x3)xk=3x(2k).

CRITÉRIO: Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3.

6- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 7

Seja N = 100c + 10 d + uN = ( 98c + 2c) + ( 7d + 3d) + u 98c e 7d são múltiplos de 7, logo 98c + 7d é múltiplo de 7.

N = 7

32

7

)798 udcdc ++++

N é divisível por 7 se 2c + 3d + u for divisível por 7.

Agora veja:10 0 = 1 = 0 x 7 = m7 +1 (múltiplo de 7 mais 1).101 = 10 = 7 + 3 = m7 + 3 ( múltiplo de 7 mais 3).102 = 100 = 98 + 2 = m7 + 2.103 = 1000 = 1001 – 1 = m7 – 1.104 = 10000 = 1 0003 – 3 = m7 - 3.105 = 1 00000 = 100002 – 2 = m7 – 2.106 = 1000000 = 999999 + 1= m7 + 1.107= 106 x 10 = ( m7 + 1) x ( (m7 + 1) = m7xm7+3m7+m7+3 = m7 +3.108 = 106 x 102 = (m7 + 1 ) x ( m7 + 2)= m7 + 2.109 = 106 x 10 3 = ( m7 + 1 ) ( m7 – 1 ) = m7 – 1.10 10 = 106x 104 = (m7 +1)x( m7 – 3 ) = m7 – 3.1011 = 106x 105 = ( m7 + 1) x ( m7 – 2) = m7 – 2.

Vamos escrever abcdef como

a 105 + b 104 + c 103 + d 102 + e d + f = a ( m7 – 2 ) + b ( m7 – 3) + c ( m7 – 1 ) + d ( m7 + 2) + e ( m7 + 3) + f ( m7 + 1 ) = a m7 + b m7 + c m7 + d m7 + e m7 + f m7 + 2d +3e + f – 2a – 3b – c.Veja que a m7 + b m7 + c m7 + d m7 + e m7 + f m7 é divisível por 7.Para que abcdef seja divisível por 7 é necessário que + 2d +3c + +f – 2a – 3d – c seja divisível por 7.def é uma classe impar.abc é uma classe par.

CRITÉRIO: Um número é divisível por 7 se a soma do dobro da centena e triplo da dezena e da unidade das classes ímpares subtrída da soma do dobro da centena e triplo da dezena e da unidade das classes pares for divisível por 7.

7- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 8

Seja o número na milhar abcde, onde a, b, c, d, e podem ser os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9 ( “a” diferente de zero).Veja que 1000 é divisível por 8.Então:1000 x 10 é divisível por 8.1000 x 100 é divisível por 8.1000 x 1000 é divisível por 8.1000 x 10n é divisível por 8 (n número natural).Podemos escrever abcde como ax10000 + bx1000 + cx100 + dx10+e.

Para ser divisível por 8 devemos ter

8

10100

8

1000b 10000a edc ++++

Como 10000a + 1000b é divisível por oito devemos ter 100c + 10d + e também divisível por oito.Veja que 100c + 10d + e representa o número cde.Este número cde representa o número formado pelos três últimos algarismos do número abcde. O número cde tem que ser divisível por oito.

Este critério é válido para números com classes maiores que a milhar pois toda potência 1000 n, com n natural, é divisível por oito, gerando nesta demonstração, apenas a verificação da divisibilidade do número formado pela centena, dezena e unidade.

Veja que ao termos um número ab000, c = 0, d = 0, e = 0 teremos cx100 +dx10 + e = =0x100 + 0x10 + 0 = 0. Daí resta ax10000+bx1000 que é divisível por 8. Logo, números que terminam com três zeros são divisíveis por 8.

CRITÉRIO: Um número é divisível por oito se o número formado pelos algarismos da centena, dezena e unidade for divisível por oito (isso inclui os números que terminam em 000).

8- CRITÉRIO DE DIVISIBILIDADE POR 11

Veja que o número 10 é igual a 11 – 1.Veja que 100 = (11 – 1)x (11 – 1)= 11x11-11-11+1=11(11-1-1)+1, que é um número múltiplo de 11 mais 1. Escreveremos m11+1.1000=(11-1)x(11-1)x(11-1)=(m11+1)x(11-1)= (m11x11-m11+11)-1=m11-110000=(m11-1)(11-1)=(m11x11-m11-11)+1=m11+110n, n = 1, 3, 5, 7... é um número múltiplo de 11, menos 1. 10n, n = 2, 4, 6, 8... é um número múltiplo de 11, mais 1.Seja o número abcd.ax1000+bx100+cx10+d=ax(m11-1)+b(m11+1)+c(m11-1)+d= =am11-a+bm11+b+cm11-c+d=am11+bm11+cm11-a+b-c+d.Veja que am11+bm11+cm11 é divisível por 11.Para que abcd seja divisível por 11 devemos ter, então, -a+b-c+d divisível por 11.

CRITÉRIO: Um número é divisível por 11 se a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar menos a soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par for divisível por 11.

EXERCÍCIOS

1- Substituir a letra “a” pelo algarismo de menor valor absoluto de modo que 57a4 seja divisível por 3? R: a = 2

2- Qual o maior número de 5 algarismos diferentes que é múltiplo de 4? R: 98764

3- Qual o menor número de 5 algarismos diferentes que é múltiplo de 4? R: 10236

4- Qual o menor número que se deve somar a 21407 para que o resultado seja divisível por 3 e 5? R: 13

5- Qual o valor de a para que 314a8 seja divisível por 11. R: a = 3

6- Determinar os valores de “a” e “b” em 43a7b para que ele seja divisível por 4 e 11. R: 43472 e 43076

7- Calcular o valor de “a” em 7324a, sabendo que ele é divisível por 6 mas não é por 9. R: a = 8

8- Qual o menor valor de n para que o número 22222222n, composto de 9 algarismos, seja divisível por 3? R: 2

9- O número 583ab é divisível por 9. Qual o valor máximo da soma dos algarismos a e b? R: 11

10- Se cdu é o maior número de três algarismos divisível por 11, então qual a soma c + d + u? R: 18

11- Quantos números naturais entre 1 e 1000 são divisíveis por 9? R: 111

12- Achar o resto da divisão por 9 da expressão 275 x 3834 + 170 x 31509 x 1746 . R: 2

13- Achar o resto da divisão por 11 da expressão 362 x 4389 25 . R: zero14- Determinar o resto da divisão por 4 do número 157331959 .

R: um15- Determinar o resto da divisão por 11 do número 4735231.

R: 5

NÚMEROS PRIMOS

A PROVA QUE EXISTEM INFINITOS NÚMEROS PRIMOS.

Suponha por absurdo, que existem n (uma quantidade finita) números primos, denotados por p1, p2, ... , pn. Considere o número x = p1p2 ... pn + 1. O número x não é divisível por nenhum dos números p1, p2, ... , pn (o resto da divisão é sempre 1). Logo, x é primo. Isto contradiz a nossa hipótese inicial de que existem apenas n números primos. Então nossa hipótese inicial está errada e portanto existem infinitos números primos.

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA

Todo número que não é primo é um produto de fatores primos.(A fatoração é única)

Seja n um número não primo.Ele admite um divisor primo. (Todo número não primo admite um divisor primo diferente da unidade.)Seja a este divisor e seja q o quociente exato da divisão de n por a. Podemos então escrever n = a.q.Se q é primo está demonstrado o teorema; em caso contrário, q admite um divisor primo a’. Representando por q’ o quociente da divisão de q por a’, podemos escrever q = a’.q’ e, portanto, n = a.q = a.a.q’. Se q’ é primo, está demonstrado o teorema.Verificamos, então, que enquanto não for achado um quociente primo poderemos prosseguir analogamente, obtendo o quocientes qii, q iii, q iv, ... cada vez menores, e, portanto em número limitado. O último desses quocientes será , então, necessariamente primo, o que demonstra o teorema.

VERIFICAÇÃO SE UM NÚMERO É PRIMO

Supor que n>1 seja um número composto.Então n = a.b, 1<a<n e 1<b<n.Supor a ≤ b.Multiplicar por a:a2 ≤ ab = n a2 ≤ na ≤ n

a tem pelo menos um divisor primo p.Como p divide a e n = ab, então p divide n. Se p divide a então p ≤ a. Se p ≤ a ≤

n .

Então p ≤ n .

Se n é composto então n possui um divisor primo p ≤ n ou p2 ≤ n .Caso contrário n é primo.

Verificar se 523 e 377 são primos. ( Explicação do Professor)

Números primos entre si - admitem como divisores comuns somente a unidade.Exemplos: 3 e 8; 7 e 15; 5 e 13; 6 e 7Dois números inteiros e consecutivos são primos entre si.

Primos gêmeos- dois inteiros positivos ímpares consecutivos que são ambos primos.3 e 5 ; 5 e 7; 17 e 19; 29 e 31.Existe apenas um terno de inteiros positivos ímpares e consecutivos que são todos primos: 3, 5, 7.

EXERCÍCIOS

1- Determinar a mais elevada potência de 3 que divide o produto dos 50 primeiros números naturais 1,2,3,4,.... R:322

2- Verifique se são primos ou não os números 269, 287 e 409. R: Sim; Não; Sim 3 - Decomponha em fatores primos.

a) 3600 b) 7560 R: a) 24 x 32 x 52 b) 23 x 33 x 5 x 74- Determinar os números primos com 735 e divisores do produto 735x462. R: 2, 11, 22

5- Decompor em fatores primos o produto 1x2x3x. . . x 29x30.

DIVISORES

Algoritmo para achar os divisores de um inteiro:

Determinar os divisores de 200. ( Explicação do Professor)

Um número é divisor de outro número quando contém, desse outro número, fatores primos com expoentes iguais ou menores.

Verificar se 169 é divisor de 338000, sem fazer a divisão.(Explicação do Professor)

Como determinar quantos divisores tem um número?

Justificativa da regra:Vamos ver, como exemplo, 200.200 = 2 3 x 5 2

2 0, 21, 2 2, 2 3

5 0, 51, 5 2

Os produtos abaixo geram os divisores: 2 0x 5 0; 2 0 x 5 1; 2 0 x 5 2

2 1x 5 0; 2 1 x 5 1; 2 1 x 5 2

2 2 x 5 0; 2 2 x 5 1; 2 2 x 5 2

2 3 x 5 0; 2 3 x 5 1; 2 3 x 5 2

Pelo princípio fundamental de contagem temos 4 x 3 = 12.O expoente de 2 é 3. Para formar os divisores foi acrescido 2 0, daí 3 +1.O expoente de 5 é 2. para formar os divisores foi acrescido 5 0, daí 2 + 1.Então ao fatorar 200 teremos 2 3 x 5 2 e o número de divisores será (3+1) x ( 2+1) = 12.

EXERCÍCIOS

1 - Dê os divisores de 36.2- Dê os divisores de 120.3- Dê o número de divisores de 420. R: 244- Dê o número de divisores de 19 800. R: 725- Calcular o número de divisores de N sendo N = 242 x 152 x 92. R: 189 6- Quantos divisores têm o número 103x 122 x 18 5? R: 676 7- Quantos divisores ímpares têm o número 420? R: 88- Quantos divisores pares têm o número 140? R: 8 9 - Sendo A = 83 x 9 x 15 2 e B = 65 x 12 x 7, qual o que tem mais divisores? R: A10- Qual o valor de x para que o número 23 x 3x x 52 tenha 36 divisores. R: 211- Determinar x e y (positivos) para que o número 3x x 7y admita 10 divisores. R: x = 1 e y = 4; x = 4 e y = 1; x = 0 e y = 9; x = 9 e y = 0. 12 - Calcular os valores de a e b afim de que o número 2a x 3b admita 8 divisores. R: a = 1 e b = 3 ; a = 3 e b = 1; a = 0 e b = 7 ; a = 7 e b = 0 13- Dados os números A = 27 x 315 x 5 e B = 23 x 34x 52, dizer porque o número A é ou não múltiplo do número B. R: A não é múltiplo de B14- Calcular o menor número que admite 20 divisores. R: 24 x 33

MÁXIMO DIVISOR COMUM; MENOR MÚLTIPLO COMUM

COMO DETERMINAR O MDC PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS.

A demonstração do método. Euclides- 300 aC.

TeoremaSeja a = bq + r.mdc (a,b) = mdc (b,r)

Demonstração:Supor mdc (a,b) = dEntão d divide a e d divide b.Se a = bq + r, então, como d divide a temos que d divide bq + r. Daí: d divide b e d divide r.d é divisor comum de b e r .Temos que verificar se é o maior.Supor que exista um divisor comum c de b e r.Então c divide b e r.Então c divide bq + r.Então c divide a.Então c divide a e b.Então c<d pois d é o maior divisor comum de a e b.

Demonstração do Algoritmo de Euclides:

Q1 Q2 Q3 . . . . Qn Qn+1

a B R1 R2 . . . . R n - 1 R n

R1 R2 R3 . . . . . . . 0

mdc (a,b) = mdc (b, R1) = mdc (R1, R2) = mdc (R2, R3)= .......= mdc (Rn – 1, Rn) = Rn

Calcular o mdc entre 468 e 396 pelo processo das divisões sucessivas. (Explicação do Professor)

COMO DETERMINAR O MDC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS.

Calcular o mdc entre 468 e 396 pelo processo da decomposição em fatores primos. (Explicação do Professor)

A justificativa do método. Explicação do Professor.

COMO DETERMINAR O MMC PELO PROCESSO DA DIVISIBILIDADE.Calcular o mmc entre 3600 e 7560 pelo processo da divisibilidade. (Explicação do Professor)

COMO DETERMINAR O MMC PELO PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO EM FATORES PRIMOS.Calcular o mmc entre 3600 e 7560 pelo processo da decomposição em fatores primos. (Explicação do Professor)

A justificativa do método. Explicação do Professor.

EXERCÍCIOS

1- Determinar o mdc dos números 80, 50, 70 e 60 pelo processo das divisões sucessivas e pelo processo da decomposição em fatores primos. R: 10

2- Determinar o mmc dos números 15, 30 e 80 pelo processo da divisibilidade e pelo processo da decomposição em fatores primos. R: 2403- Calcule os valores de x, y, z sabendo que : A = 2 x . 3 4 . 5 3 , B = 2 4 . 3 y . 5 2 e o mdc ( A, B) = 2 3 . 3 . 5 z . R: x = 3; y = 1; z = 2 4- Calcule os valores de x, y, z sabendo que : A = 2 x . 3 . 5 2 , B = 2 3 . 3 y . 5 e o mmc ( A, B) = 2 4 . 3 3 . 5 z . R: x = 4; y = 3; z = 2 5- Calcular o maior número que divide 396 e 341 e encontra-se respectivamente restos 4 e 5. R: 56.6- Calcular os dois menores números pelos quais devemos multiplicar 56 e 80 para obtermos produtos iguais. R: 10 e 77- Calcular o menor número que dividido por 18, 32 e 54 deixe sempre resto 11. R: 875.8- Calcular o menor número que dividido por 10, 16 e 24 deixa, respectivamente, os restos 3, 9 e 17. R 2339- O produto de dois números é igual a 3584 e o mdc 16. Ache o mmc. R: 22410- Calcule B, sabendo que o mdc (A,B) = 18, mmc (A,B) = 1260 e A=180. R: 12611- Do Rio de Janeiro, partem ônibus para a cidade A de 10 em 10 minutos; para a cidade B de 6 em 6 minutos e para a cidade C de 5 em 5 minutos. Sabendo-se que às 10 horas e 20 minutos partiram juntos os ônibus dessas três linhas, a que horas partirão juntos novamente? R: 10 horas e 50 minutos12- Para cercar um terreno retangular de 1680 m de comprimento e 480 m de largura, com árvores que tenham a mesma distância entre elas e que seja a maior possível. Quantas árvores serão necessárias? R: 18 árvores13- Calcular m, no número A = 2 m-1. 32. 5m, de modo que o MDC entre o número A e o número 9000 seja 45. R: m = 1

OPERAÇÕES ARITMÉTICAS FUNDAMENTAIS

ESTA UNIDADE SERÁ APRESENTADA EM FORMA DE EXERCÍCIOS.

EXERCÍCIOS

1) A soma dos elementos de uma subtração é 780 e o resto excede o subtraendo de 30. Calcular o minuendo, subtraendo e o resto.

2) Que alteração sofre um produto de dois fatores quando se soma um número a um dos fatores?

3) Que alteração sofre um produto de dois fatores quando se soma o mesmo número a cada um dos fatores?

4) Que alteração sofre um produto de dois fatores quando se soma um número m ao multiplicando e um número n ao multiplicador?

5) O produto de dois números é 1200. Somando-se 5 ao multiplicador, o produto aumenta de 240. Achar o multiplicando e multiplicador.

6) Achar um número composto de 2 algarismos cuja soma é 13, sabendo-se que, trocando-se a ordem desses algarismos, o número aumenta de 45.

7) Numa divisão, a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 333. Sendo o quociente 5 e o resto 20, pede-se determinar o dividendo e o divisor.

8) A soma de dois números é 215. O quociente da divisão do maior pelo menor é 10 e o resto o maior possível. Ache esses números.

9) Numa divisão exata o quociente é 15. Somando-se 6 ao divisor, e efetuando-se novamente a divisão, obtém-se quociente 12 e resto zero. Achar o dividendo e o divisor.

10) Dois trens partem no mesmo instante de duas estações distantes a 500 Km uma da outra e se dirigem em sentido contrário. O primeiro tem velocidade de 60 Km/h e o segundo 80 Km/h. Qual a distância entre os dois no fim de 4 h?

11) As 12 h sai um trem de A para B com a velocidade de 50Km/h. às 16 h sai outro de B para A, com velocidade de 80 Km/h. A que horas se encontram e a que distância de B, sabendo-se que entre as duas cidades são 980 Km.

12) Uma caixa d’água comporta 1000 litros e tem uma torneira que a enche em 20 h e outra que a esvazia em 25 h. Abrindo-se as duas torneiras ao mesmo tempo em quantas horas a caixa ficará cheia?

13) Um pai tem 40 anos e seu filho 15 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será o dobro da idade do filho?

14) Três caixas contêm o mesmo número de maçãs. Passou-se para a terceira caixa 13 maçãs da primeira e 15 da segunda. Com quantas maçãs mais que cada uma das ouras ficará a terceira caixa?

Colocando-se o algarismo 3 à direita de um número, este aumenta de 237 unidades. Calcule esse número

NÚMEROS PARES E ÍMPARES

Os números pares têm a forma 2k, k∈Z.Os números ímpares têm a forma 2k + 1, k∈Z.

EXERCÍCIOS

1) Mostre que a soma de um número par e um ímpar é sempre ímpar.2) Mostre que o produto de dois números pares é sempre par e que o produto de

dois números ímpares é sempre ímpar.

NÚMEROS POLIGONAIS

Lei de formação dos números triangulares. ( Explicação do Professor)

Números triangulares: tn = 2

2nn +

Lei de formação dos números quadrangulares. ( Explicação do Professor)Números quadrado: Qn = n2

Números pentagonais: Pn = 2

)13( −nn

Lei de formação dos números pentagonais. ( Explicação do Professor)

EXERCÍCIOS

1) Ache o 200 número triangular.2) O número 105 é triangular?3) Prove que se somarmos a unidade a oito vezes um número triangular, obtemos o quadrado de um número ímpar ( Diofanto -250 dC)4) Prove que dois números triangulares consecutivos formam um quadrado perfeito.5) Verifique se 145 é número pentagonal.

NÚMEROS PERFEITOSUm inteiro positivo n diz-se um número perfeito se e somente se é igual à soma de todos os seus divisores positivos, exceto o número n.Os números perfeitos são raros: 6, 28, 496, 8128, 33550336, ...

NÚMEROS AMIGOSDois inteiros m e n são amigos se e somente se a soma dos divisores positivos de m, exceto o divisor m, é igual a n, e a soma dos divisores positivos de n, exceto n, é igual a m.

EXERCÍCIOSMostrar que 220 e 284 são números amigos. Mostrar que 2620 e 2924 são números amigos.

TERNOS PITAGÓRICOS Chama-se terno pitagórico todo terno de inteiros positivos ( a, b, c) tais que a2+b2 = c2

2k + 1, 2k2 + 2k e 2k2 + 2k + 1 onde k é um inteiro positivo qualquer dão uma infinidade de ternos pitagóricos.

EXERCÍCIOProve que 2k + 1, 2k2 + 2k e 2k2 + 2k + 1 formam ternos pitagóricos.

EQUAÇÕES DIOFANTINAS

A equação ax + by = c, tal que a, b, c, x, y pertencem ao conjunto dos números inteiros é chamada Equação Diofantina.

Exemplos de Equações Diofantinas:

2x + 3y = 7

- 4x + 7y = - 6

- 3x – 5 y = 4

Diofanto foi um matemático grego que viveu entre 200 e 290 dC.

Escreveu “ A aritmética ” com a resolução de problemas de álgebra que foram resolvidos utilizando equações do primeiro e segundo graus e sistemas de equações. Por esse motivo é chamado o pai da álgebra e as equações do primeiro grau e segundo grau em duas variáveis, envolvendo os números inteiros, são chamadas Equações Diofantinas.

CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DA SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIOFANTINA.

Seja a equação diofantina ax + by = c, com solução.

a, b, c, x, y pertencem ao conjunto dos números inteiros.

Existe (x0, y0) que satisfaz a equação ax + by = c, x0 e y0 números inteiros.

(x0, y0) é uma solução da equação.

ax0 + b y0 = c

Seja mdc ( a, b) = d

sd

br

d

a == ; ( r e s são números inteiros)

Logo a = dr; b = ds

ax0 + by0 = drx0 + dsy0 = d ( rx0 + sy0) = c

rx0 + sy0 é número inteiro

rx0 + sy0 = d

c

Logo d divide c. ( se d não dividir c, rx0 + sy0 não será número inteiro, mas rx0 + sy0 tem que ser número inteiro)

Para existir solução na equação diofantina ax + by = c, o mdc entre a e b tem que dividir c.

SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIOFANTINA.

Seja a equação ax + by = c, no conjunto dos inteiros.

Seja (x0, y0) uma solução particular.

Seja mdc(a, b) = d.

Seja a solução, qualquer, (x’, y’).

ax0 + by0 = ax’+by’=c.

mdc(a, b) = d, então:

1.),(;;; 212121 === kkmdcsientreprimosnúmeroskekkd

bk

d

a

ax0 + by0 = ax’+by’

ax’-ax0=by0-by’

a(x’-x0)=b(y0-y’) ; dividindo por d.

d

yyb

d

xxa )()('

00' −

=−

Como 21; kd

bk

d

a ==

k1(x’-x0)=k2(y0-y’)

')'(

2

01 yyk

xxko −=

−

Veja que y0 – y’ é número inteiro. ( y0 e y’ são números inteiros).

Veja que k1 e k2 são números primos entre si, logo k2 não divide k1, consequentemente, k2 divide (x’-x0).

inteiro.,'

2

0 ttk

xx=

−

x’- x0=k2t

como 2kd

b =

x’-x0= td

b

x’ = x0 + td

b

Substituindo x’ = x0 + td

bem a(x’-x0)=b(y0-y’).

a(x0 + td

b - x0) = b(y0-y’)

)'( yybd

abto −=

; Dividindo por b.

'yyd

ato −=

y’= y0 - td

a

Logo as soluções de uma equação diofantina é dada por:

x’ = x0 + td

b e y’= y0 - t

d

a , onde x0 e y0 é uma solução particular, d é o mdc

entre a e b, t são números inteiros que, ao serem colocados, vão gerar as soluções.

REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DAS SOLUÇÕES DE UMA EQUAÇÃO DIOFANTINA.

Veja que ax + by = c, com a, b, c, x, y pertencente ao conjunto dos números reais representa uma reta. Os infinitos pontos que vão gerar a reta são as soluções desta equação. Neste caso seria simples achar as soluções. Bastaria atribuir valores arbitrários para x e achar, na equação, os valores correspondentes para y.

Nas equações diofantinas as coordenadas dos pontos são números inteiros. Ao atribuir para x um número inteiro, pode ocorrer que y não seja inteiro. Neste caso o par (x, y) não é solução. Pode ocorrer que uma reta não tenha nenhum ponto com coordenadas inteiras. Neste caso a equação diofantina não tem solução.

Veja a equação 18 x + 5 y = 48 representada pela reta abaixo

-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

-4.0

-3.0

-2.0

-1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

x

y

Somente os pontos de coordenadas inteiras da reta serão soluções da equação

diofantina 18x + 5y = 48. Veja que o ponto (6, -12) não representado na figura pertence à reta, pois

18 x 6 + 5 x ( -12 ) = 48. O par x = 6 e y = -12 é uma das soluções da equação diofantina.

RESOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIOFANTINAS.

1- Mostre que a equação diofantina 4x + 6y = 9 não tem solução.

Resolução:

Verificar a condição de existência das soluções.

mdc ( 6, 4 ) = 2

2 não divide 9, logo, não há solução.

2- a) Resolver a equação diofantina 2x + 3y = 9.b) Determine quatro soluções particulares.c) Determine os valores de t para que as soluções sejam positivas.

d) Determine os valores de t para que as soluções sejam negativas.

Resolução a) Verificar a condição de existência das soluções.

mdc ( 3, 2 ) = 1

1 divide 9, logo tem solução.

Vamos, por tentativa, achar uma solução particular.

Tirar o valor de x :2

39 yx

−= .

Atribuir valores inteiro para y, até encontrarmos o x correspondente também inteiro.Veja que y = 1 teremos x = 3.

Uma solução particular será x0 = 3 e y0 = 1.

A solução geral é dada por x = x0 + td

be y = y0 - t

d

a, t números inteiros.

Solução geral da equação diofantina.

x = 3 + t1

3 e y = 1 - t

1

2, t números inteiros.

Resolução b)

Atribuir t = 0; t = 1; t = - 1; t = 2

Para t = 0 temos x = 3 e y = 1;Para t = 1 temos x = 6 e y = - 1Para t = - 1 temos x = 0 e y = 3Para t = 2 temos x = 9 e y = -3 ( faça a verificação, de cada solução encontrada, na equação 2x + 3 y = 9)

Resolução c)

x = 3 + t1

3 e y = 1 - t

1

2

3 + 3t > 0

3t > -3

t > - 1

1 – 2 t > 0

- 2 t > - 1

2t < 1

t < 2

1

-1 < t < 2

1( t número inteiro)

t = 0 ( a única solução inteira positiva é x = 3 e y = 1)(Verifique para outros valores de t, fazendo uma análise na solução geral da equação)

Resolução d)

x = 3 + t1

3 e y = 1 - t

1

2

3 + 3t < 0

3t < -3

t < - 1

1 – 2 t < 0

- 2 t < - 1

2t > 1

t > 2

1

Não existe t inteiro que satisfaça t > 2

1 e t < -1.

Não há soluções inteiras, com x e y ambos negativos.(Verifique fazendo uma análise na solução geral da equação)

3 - Escrever o mdc entre 143 e 17 como combinação linear entre esses dois números, isto é, mdc ( 143, 17) = 143 a + 17 b.

Abaixo, o algoritmo do mdc:

8 2 2 3143

17 7 3 1

7 3 1 0

mdc ( 143, 17) = 1

143 = 17 x 8 + 7 7 = 143 – 17 x 8

17 = 7 x 2 + 3 3 = 17 – 7 x 2

7 = 3 x 2 + 1 1 = 7 – 3 x 2

1 = 7 – 3 x 2 ; substituir 3 = 17 – 7 x 2.

1 = 7 – ( 17 – 7 x 2) x 2 = 7 x 1 – 17 x 2 + 7 x 4 = 7 x 5 – 17 x 2

substituir 7 = 143 – 17 x 8.

1 = ( 143 – 17 x 8) x 5 – 17 x 2.

1 = 143 x 5 – 17 x 40 – 17 x 2

1 = 143 x 5 – 17 x 42

Logo 1 = 143 x 5 + 17 x ( - 42) . Veja que é verdade.

Logo a = 5 e b = - 42.

4 - Escrever o mdc entre -345 e 215 como combinação linear entre esses números, isto é, mdc ( - 345, 215) = - 345 a + 215 b.

Abaixo, o algoritmo do mdc:

1 1 1 1 1 8345

215

130

85

45

40

5

130

85 45 40

5 0

mdc ( - 345, 215) = mdc ( 345 , 215 ) = 5

345 = 215 x 1 + 130 130 = 345 – 215 x 1

215 = 130 x 1 + 85 85 = 215 – 130 x 1

130 = 85 x 1 + 45 45 = 130 – 85 x 1

85 = 45 x 1 + 40 40 = 85 – 45 x 1

45 = 40 x 1 + 5 5 = 45 – 40 x 1

5 = 45 – 40 x 1; substituir 40 = 85 – 45 x 1.

5 = 45 – (85 - 45 x 1) x 1= 45 – 85 x 1 + 45 x 1 = 45 x 2 – 85 x 1

Substituir 45 = 130 – 85 x 1

5 = (130 – 85 x 1) x 2 – 85 x 1= 130 x 2 – 85 x 2 – 85 x 1 = 130 x 2 – 85 x 3.

Substituir 85 = 215 – 130 x 1.

5 = 130 x 2 – ( 215 – 130 x 1 ) x 3.

5 = 130 x 2 – 215 x 3 + 130 x 3 = 130 x 5 – 215 x 3.

Substituir 130 = 345 – 215 x 1.

5 = (345 – 215 x 1) x 5 – 215 x 3 = 345 x 5 – 215 x 5 – 215 x 3 =

345 x 5 – 215 x 8.

5 = 345 x 5 – 215 x 8.

Vamos escrever a combinação linear entre – 345 e 215.

5 = - 345 x ( -5) + 215 x ( -8 ). Veja que é verdade.

Logo a = -5 e b = -8

5) Resolver a equação diofantina 143 x + 17 y = 132. Dê três soluções particulares.

Vamos verificar se tem solução.mdc (143, 17) = 1. 1 divide 132, logo tem solução.

Se fizermos a combinação linear entre o mdc (143 e 17) e os números 143 e 17 encontraremos 1 = 143 x 5 + 17 x ( - 42). Veja o exercício 3 acima.

Como a equação é 143 x + 17 y = 132, teremos:

143 x 5 + 17 x ( - 42 ) = 1. Multiplicando os dois membros por 132.

143 x 5 x 132 + 17 x ( - 42 ) x 132 = 1 x 132

143 x 660 + 17 x ( - 5544) = 132.

Solução particular : x0 = 660 e y0 = - 5544

Solução geral:

x = 660 + t1

17 e y = - 5554 - t

1

143

x = 660 + 17 t e y = - 5554 – 143 t.

Soluções particulares:

Substituir t inteiro, arbitrário, na solução geral:

t = 0 : x = 660 e y = -5554.

t = 1 : x = 677 e y = - 5697

t = 2 : x = 694 e y = - 5840

6) Determinar todos os múltiplos de 11 e de 9 cuja soma seja 270.Resolução:

11 x + 9 y = 270 , x e y são inteiros.Abaixo, o algoritmo do mdc( 11, 9)

1 4 211 9 2 12 1 0

mdc ( 11, 9 ) = 1. A equação admite solução.

11 = 9x1+2 2 = 11 – 9x1

9 = 2x4 +1 1 = 9 – 2x4

1 = 9 – 2x4 = 9 – (11 – 9x1)x4 = 9 – 11 x 4 + 9x4 = -11x4 + 9x5.

11x(-4) + 9x5 = 1 . Multiplicando os dois membros por 270 temos:

11x(-4)x270 + 9x5x270 = 1x270.

11x ( -1080) + 9x1350 = 270

Logo x0= -1080 e y0=1350 é uma solução particular.

A solução geral é:

x = -1080 + 9 t e y = 1350 – 11 t.

- 1080 + 9t >0

9t > 1080

t > 9

1080

t > 120

1350 – 11 t > 0

- 11 t > - 1350

11 t < 1350

t < 11

1350

t < 122,7

Logo t = 121 e t =122

Para t = 121.

Daí x = - 1080 + 9 x 121 = 9

Daí y = 1350 – 11 x 121 = 19

Os múltiplos de 11 e 9 serão 11x9 = 99 e 9 x 19 = 171. Veja que a soma de 99 e

171 dá 270.

Para t = 122.

Daí x = - 1080 + 9 x 122 = 18

Daí y = 1350 – 11 x 122 = 8

Os múltiplos de 11 e 9 serão 11x18 = 198 e 9 x 8 = 72. Veja que a soma de 198 e

72 dá 270.

Resposta: 99 e 171; 198 e 72

CONGRUÊNCIA ARITMÉTICA

Congruência é a relação entre dois números inteiros que, divididos por um terceiro chamado módulo de congruência, deixam o mesmo resto. Por exemplo, 20 é côngruo ou congruente de 14 com relação a 6 (20/6=3 restando 2 e 14/6=2 restando 2). Podemos escrever 20 14 (mod 6).

Por exemplo:Em 17 5 ( mod 2) temos 17/2 restando 1 e 5 /2 restando 1.Em -10 23 (mod 3) temos – 10/3= - 4, restando 2. Ao multiplicarmos - 4 por

3 devemos encontrar um número que seja menor que o divisor -10. Se – 10 / 3 desse – 3 teríamos (– 3) x 3 = - 9 que é maior que -10, não servindo. Ao dividirmos 23 por 3 teremos resto 2.

Veja que -10 dividido por 3 deixa o mesmo resto que 23 dividido por 3 ( resto 2). Daí -10 23 (mod 3).

Se a dividido por m deixa o mesmo resto que b dividido por m podemos escrever a b (mod m).

Suponha que a, b sejam números inteiro e m seja número inteiro maior que zero. Dizemos que a é congruente de b módulo m se m dividir a - b. Escrevemos isto como: a b (mod m).

Prova:a/m=q1 e resta r; b/m=q2 e resta r. ( No conjunto dos Inteiros)a = mq1 + r b = mq2 + r

Subtraindo termo a termo:a – b = mq1 + r – (mq2 + r) = mq1 + r – mq2 - r = mq1 – mq2 =

m ( q 1 – q 2 ). Daí (a - b)/ m = q 1 – q 2. Como q1 e q 2 são inteiros, q 1 – q 2 é inteiro. Isto significa que (a - b)/ m dá um inteiro, indicando que o resto é zero. Então m divide a – b. ( Provado)

Por exemplo:20 14 (mod 6) //// 20 – 14 é divisível por 6.-1 9 (mod 5)/// -1 – 9 é divisível por 5.1100 2 (mod 9) /// 1100 – 2 é divisível por 9.

Propriedades das congruências• A propriedade reflexiva: Se a é qualquer inteiro, a a (mod m).

Prova:a – a = 0 é divisível por m, para qualquer m (zero é sempre divisível por

qualquer número). Exemplo: 5 5 (mod 71) -43 -43 (mod 37)

• A propriedade simétrica: Se a b (mod m), então b a (mod m). Prova:

Se a b (mod m) então a – b é divisível por m.

Se b a (mod m) então b – a = - ( a – b ) é divisível por m ( difere apenas pelo sinal de menos).

Logo a b (mod m) e b a (mod m) ( provado).

• A propriedade transitiva: Se a b (mod m) e b c (mod m), então a c (mod m) Prova:Devemos provar que m divide c – a, partindo das hipóteses a b (mod

m) e b c (mod m).Se a b (mod m) então ( b-a ) / m = k1.Se b c (mod m) então ( c – b) / m = k2.

Daí: b-a = m k1

c-b = m k2

Somando termo a termo temos:b – a + c – b = m k1 + m k 2.c – a = m k1 + m k 2.c – a = m ( k1 + k 2).( c – a ) / m = k1 + k 2.Daí m dividir c – a. (Provado)

Outras Propriedades:

Se a, b, c e d são inteiros quaisquer com a b (mod m) e c d (mod m), então a + c b + d (mod m).

Prova:Temos de provar que b + d – (a+ c) é divisível por m.

Se a b (mod m) então b - a m k 1 Se c d ( mod m) então d – c = m k 2

Somando termo a termo temos:b – a + d – c = m k 1 + m k2 = m ( k1 + k2).b + d – (a+ c) = m ( k1 + k2).Então b + d – (a+ c) dividido por m dá k1 + k2. Isto significa que b + d – (a+ c) é divisível por m. ( Provado)

• ac bd (mod m) Prova:Temos de provar que (bd – ac) é divisível por m.

Se a b (mod m) então b - a = m k 1 Se c d ( mod m) então d – c = m k 2

Multiplicando por c : c (b - a) = c k1 m; cb – ca = c k1 mMultiplicando por b : b (d–c ) = c k2 m; bd – bc = c k2 mSomando termo a termo:cb – ca + bd – bc = c k1m + c k2 m.Então bd – ac = m ( c k1 + c k 2) e (bd – ac)/ m = ( c k1 + c k 2). Isto significa que (bd – ac) é divisível por m ( Provado).

• Se a b ( mod m) então a + c b + c ( mod m) e ac bc ( mod m).Prova:

Veja que se fizermos a b ( mod m) e c c ( mod m) podemos escrever a + c b + c ( mod m) e ac bc ( mod m) ( Pelas propriedades anteriores).

• a n b n ( mod m ), n inteiro positivo.Prova:Se fizermos a b ( mod m); a b ( mod m); a b ( mod m), várias vezes, teremos a.a.a.a....a b.b.b.b.....b ( mod m) que dá a n b n onde n é o número de fatores ( inteiro positivo).

4 - Uma aplicação prática da relação de congruência: Se hoje é sexta-feira, que dia da semana será daqui a 1520 dias?

D S T Q Q S S 0 1

2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 1516 17 18 19 20 21 2223 24 25 26 27 28 29

30 31

32 33 34 35 36

Em que coluna da tabela se encontra o número 1520?Não temos que nos preocupar se o mês tem 28, 30 ou 31 dias.Devemos observar que dois números a e b estão na mesma coluna se sua diferença a – b é divisível por 7. Isto significa dizer a b ( mod 7). Daí 1520 b ( mod 7).Veja que b pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. O b só pode ser 1. Dá 1520 1 (mod 7), pois 1520 – 1 é divisível por 7. Este 1 determina que o dia é sábado. Veja que sexta é zero ( não conta), sábado 1, domingo 2, segunda 3, terça 4, quarta 5, quinta 6. Então, cai no sábado.Se você vê que 1520 dividido por 7 deixa resto 1 e busca o dia de sábado no calendário, você está fazendo congruência também.

EXERCÍCIOS

1- Verificar se é verdadeiro ou falso:a) 91 0 ( mod 7) Veja que 91 – 0 é divisível por 7. b) -2 2 ( mod 8) Veja que 2 – ( -2 ) = 4 não é divisível por 8. c) 112 1 ( mod 3)Veja que 121 – 1 é divisível por 3.d) 5 -1 ( mod 6) e -1 - 7 ( mod 6) então 5 -7 (mod 6) Estamos fazendo a propriedade transitiva. A proposição é verdadeira.

2-Determine o resto da divisão de 5 1000 por 18.Veja:51 = 552 = 2553 = 125

54 = 62555 = 312556 = 15625Veja que 15625 – 1 é divisível por 18, isto é, 56 - 1 é divisível por 18.Então 56 1 ( mod 18).Então (56) 166 1 166 ( mod 18); (5 996) 1 166 ( mod 18);5 996 x 5 4 1 166

x 5 4 ( mod 18);(5 1000) 54 ( mod 18);54 13 ( mod 18);Então (5 1000) 13 ( mod 18).O resto da divisão é 13.

3 - Verifique se 100 divide (1110 - 1).Queremos provar que 1110 1 ( mod 100).112 21 ( mod 100);114 441 ( mod 100) e 441 41 ( mod 100); 114 41 ( mod 100);118 41 2 ( mod 100) e 41 2 81 ( mod 100);11 8 81 ( mod 100)11 8 x 11 2 81 x 11 2 ( mod 100);11 10 10501 ( mod 100) e 10501 1 ( mod 100);Então 11 10 1 ( mod 100)

4 – Ache os dois últimos algarismos de 3 1234.3 2 9 ( mod 100);34 81 ( mod 100);38 81x81 ( mod 100)81x81 61 ( mod 100);38 61 ( mod 100);38 x 3 2 61 x 3 2 ( mod 100);3 10 549 ( mod 100);549 49 ( mod 100);3 10 49 ( mod 100);(3 10) 2 (49) 2 ( mod 100); (49) 2 1 ( mod 100);3 20 1 ( mod 100);(3 20)61 1 61 ( mod 100);3 1220x 3 14 3 14 ( mod 100)3 1234 2187x2187 ( mod 100) e 2187 x 2187 69 ( mod 100).Então os dois últimos algarismos de 3 1234 são 6 e 9;