77778984 Apostila Algebra Booleana Exercicios Resolvidos

APOSTILA 3 – LÓGICA DIGITAL Prof. Murilo Parreira Leal, M.Sc.

Disciplina: Arquitetura e Organização de Computadores

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1 – INTRODUÇÃO

Um computador digital é uma máquina projetada para armazenar e manipular informações representadas por algarismos ou dígitos que podem assumir dois valores distintos 0 ou 1, por isso são chamados de computadores digitais binários, ou simplesmente, computadores digitais.

Fisicamente, os valores 0 ou 1 são representados no computador pelas tensões 0,5 V ou 3,0 V, respectivamente. Estes valores são entendidos pelo computador respeitando uma faixa de tolerância, uma vez que é impossível construir equipamentos ou chips que mantenham exatamente aquelas tensões.

O computador é fabricado com circuitos eletrônicos que precisam armazenar os sinais binários e realizar certos tipos de operações com eles. Estes circuitos são chamados de “circuitos digitais” e são formados por pequenos elementos capazes de manipular as grandezas binárias. Estes pequenos elementos são conhecidos como portas (“gates”) por permitirem (ou não) a passagem destes sinais, e os circuitos que contém portas lógicas são conhecidos como circuitos lógicos.

Uma porta é um elemento do hardware, que recebe um ou mais sinais de entrada e produz um sinal de saída, cujo valor depende da lógica estabelecida para sua construção.

2 – PORTAS E OPERAÇÕES LÓGICAS

Uma vez que as variáveis de entrada em uma porta lógica só podem ser 0 ou 1, é possível tabular as saídas correspondentes em uma “Tabela Verdade”, em função da lógica da porta. Também é possível tabular uma “Tabela Verdade” para um circuito lógico.

Importante salientar que o número de entradas em uma porta não precisa ser necessariamente 2 (A e B), pois existem chips com mais entradas para uma mesma porta lógica.



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2.1 – Porta AND (E): A porta AND é definida como sendo o elemento que produz um resultado verdade (1)

se e somente se todas as entradas forem verdade. O seu símbolo e a sua “Tabela Verdade’, então são os seguintes:

ENTRADA SAÍDA A B X = A . B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Uma das mais importantes utilidades desta porta é a ativação de uma linha de dados

para controlar o fluxo de bits em um computador (Ver Capítulo 3).

Circuito integrado 7408 possui quatro portas AND.�

2.2 – Porta OR (OU):

A porta OR é definida para produzir um resultado verdade (1) se pelo menos uma das

entradas for verdade. O seu símbolo e a sua “Tabela Verdade’, então são os seguintes:

ENTRADA SAÍDA A B X = A + B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Circuito integrado 7432 possui quatro portas OR.



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2.3 – Porta NOT (NÃO ou INVERSOR):

A operação lógica NOT, também chamada de inversor ou complemento, inverte o valor

do sinal binário colocado em sua entrada. O seu símbolo e a sua “Tabela Verdade’, então são os seguintes:

ENTRADA SAÍDA

A ___

X = A 0 1 1 0

É interessante observar que a conexão de dois circuitos inversores em série produz, na saída, um resultado de valor igual ao da entrada.

�Circuito integrado 7404 possui seis portas NOT.

2.4 – Porta NAND (NOT AND):

A porta NAND é definida como o complemento da porta AND, isto é, a saída de um

circuito NAND eqüivale à saída de um circuito AND passando por uma porta NOT. O seu símbolo e a sua “Tabela Verdade’, então são os seguintes:

ENTRADA SAÍDA

A

B __________

X = A . B 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A

B __________

X = A . B ___ ___

X = A . B 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0

__________ ____ ____

Importante: A . B �� A . B

1 1 0 0

Circuito integrado 7400 possui quatro portas NAND.



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Outras portas implementadas através de portas NAND:

DIAGRAMA 1

2.5 – Porta XOR (EXCLUSIVE OR): A operação XOR, abreviação de EXCLUSIVE OR, pode ser considerada um caso

particular da função OR, ou seja, sua definição: “a saída será verdade se exclusivamente uma ou outra entrada for verdade”. Não podem ambas entradas ser verdade e é esta a diferença para os resultados da porta OR.

ENTRADA SAÍDA A B X = A �� B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

Circuito integrado 7486 possui quatro portas XOR.

2.6 – Porta NOR (NOT OR): Assim como a porta NAND, a porta NOR é o complemento ou o inverso da porta OR.

A saída de um circuito lógico NOR é obtida ao se efetuar a operação lógica OR sobre as entradas e inverter o resultado. O seu símbolo e a sua “Tabela Verdade”, então são os seguintes:

ENTRADA SAÍDA

A

B __________

X = A + B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0



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A

B __________

X = A + B ___ ___

X = A + B 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1

__________ ____ ____

Importante: A+ B �� A + B

1 1 0 0

Circuito integrado 7402 possui quatro portas NOR.

Outras portas implementadas através de portas NOR:

DIAGRAMA 2

3 – ILUSTRAÇÕES SOBRE PORTAS LÓGICAS As portas lógicas são comercializadas em circuitos

integrados (CI) em SSI (Small Scale of Integration – Pequena Escala de Integração), sendo conhecidos como família 7400.

Existem muitas outras utilizações de portas lógicas

em outras escalas de integração (LSI e VLSI), porém elas ficam invisíveis para o usuário, como por exemplo, dentro de memórias e microprocessadores.



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Um multiplexador (MUX) conecta várias entradas em uma única saída. Em qualquer

instante, é selecionada uma das entradas para ser passada para a saída. A figura abaixo representa um circuito multiplexador com quatro entradas (I0, I1, I2 e I3) e apenas uma saída Z, conhecido como 4-para-1. A conexão entre a entrada e a saída é realizada em função do endereço codificado em A e B, conforme tabela-verdade:

A B Z 0 0 I0 0 1 I1 1 0 I2 1 1 I3

A figura ao lado representa um MUX que possui dois conjuntos de entradas, e um

conjunto de saída, todas com 8 bits:

� Entrada “A”: Bits de A0 até A7 � Entrada “B”: Bits de B0 até B7 � Saída “S”: Bits de S0 até S7

O controle é dado pela entrada “C”:

� No estado “0”, habilita a entrada “A” e desabilita a entrada “B”

� No estado “1”, habilita a entrada “B” e desabilita a entrada “A”.

Observe que existe um inversor na entrada C que garante a habilitação de apenas uma das portas de cada vez.

Este circuito pode ser utilizado para controle em um microcomputador, selecionando a fonte de dados (memória 1 ou memória 2, por exemplo) para o microprocessador.

A porta XOR permite a fabricação de testadores de igualdade entre valores, por exemplo, para testar de modo rápido, se duas palavras são iguais. No exemplo da figura abaixo, se dois bits forem iguais, a saída deste circuito XOR será FALSA (0). Neste caso, a saída do circuito OR que reúne todas as saídas XOR será FALSA, e este valor (0) não provocará nenhuma ação por parte da UCP. Caso apenas um par de bits apresente valores diferentes, a saída do seu XOR será 1 e, conseqüentemente do OR também será 1, provocando a UCP a solicitar reenvio do dado.



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4 – EXPRESSÕES LÓGICAS – APLICAÇÃO DE PORTAS

Uma expressão lógica pode ser definida como sendo uma expressão algébrica formada

por variáveis lógicas (binárias), por símbolos representativos de uma operação lógica (+, ., � , etc.), por parênteses e por um sinal de igual.

Por exemplo: ZYXF �� . A Tabela Verdade deste circuito pode ser obtida a partir de todas as possibilidades de entrada e as respectivas saídas:

ENTRADA SAÍDA X Y Z F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

As expressões lógicas podem ser resolvidas como uma expressão aritmética comum, levando-se em conta apenas a prioridade do AND (.) sobre o OR (+).

O “Teorema de Post” define que é possível se encontrar uma função lógica a partir da sua Tabela Verdade. Para isto temos o seguinte procedimento:

� Seleciona-se uma coluna de saída e apenas as linhas diferentes de zero desta coluna;

� Para cada linha será definido um termo que corresponde à operação “AND” entre as proposições simples da entrada. Estas proposições simples de entrada serão consideradas normais quando iguais a um, e “invertidas” ou “barra” quando iguais a zero.

� A proposição composta completa será obtida pela operação “OR” entre todos os termos obtidos.

4.1 – Álgebra Boolena:

A álgebra booleana é uma área da matemática que trata de regras e elementos de lógica.

O nome é uma homenagem ao matemático inglês George Boole (1815-1864), que desenvolveu uma análise matemática sobre a lógica. Suas regras básicas são:

1 XX �� 0 13 ZYXZYX �� )()(

2 11��X 14 ZYXZYX �� )()(

3 XXX �� 15 ZXYXZYX �� )(

4 1�� XX 16 XYXX ��

5 00 ��X 17 XYXX �� )(

6 XX ��1 18 ZYXZXYX �� )()(

7 XXX �� 19 YXYXX �� 8 0�� XX 20 ZYXZYZYYX �� 9 XX � 21 YXYX �� )(

10 XYYX �� 22 YXYX �� )(

11 0�� XX 23 YXYXYX �� 12 XYYX �� 24 YXYXYX ��



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As equações básicas 1 a 9 podem ser provadas através do emprego das Tabelas Verdade já mostradas anteriormente. As equações 10 a 20 podem ser demonstradas a partir das Tabelas Verdade e das equações básicas 1 a 9. A equação 19 pode ser resolvida substituindo X por X+X.Y (equação 16). As equações 21 e 22 referem-se ao “Teorema de Morgan” e podem ser provadas a partir dos Diagramas 1 e 2 vistos anteriormente. As equações 23 e 24 representam a Tabela Verdade do circuito XOR e NOT-XOR, mas muitas vezes não lembramos deste fato, por isso estão acrescentadas na tabela acima.

Todas as equações podem ser utilizadas para simplificação dos circuitos lógicos projetados, a fim de diminuir a quantidade de portas necessárias e, consequentemente, diminuir o custo do mesmo. Analisemos os seguintes casos:

YX � implica na utilização de duas portas NOT (para inverte X e Y) e uma porta

AND. O equivalente )( YX � utiliza apenas uma porta NOR.

YX � implica na utilização de duas portas NOT e uma porta OR. O equivalente

)( YX � utiliza apenas uma porta NAND. Muitas vezes, no entanto, não dispomos no chip de uma porta necessária ao circuito,

sendo que, neste caso, é importante utilizarmos as disponíveis através de equivalentes. Se precisamos de uma porta NOR, mas nosso chip só tem portas OR e NOT, devemos utilizar estas portas prioritariamente. Exemplo: Simplificar a expressão:

�� CBACBACBACBAX

CABABBCACCBA �� )()(

4.2 – Circuitos Combinatórios: Um Circuito Combinatório é definido como sendo um conjunto de portas cuja saída em

qualquer instante de tempo é função somente das entradas. Em contrapartida, um Circuito Seqüencial, além de possuir portas, contém elementos de armazenamento denominados flip-flops.

Estes circuitos são utilizados para várias funções dentro de um microcomputador, por

exemplo, e podem ser utilizados em qualquer dispositivo compatível com a lógica digital. 4.2.1 Circuitos Decodificadores: Podemos exemplificar um circuito combinatório com um “Decodificador BCD8421

para Código Gray” (Tabela Verdade): BCD 8421 GRAY

A B C D S3 S2 S1 S0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0



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Simplificando as equações obteremos: S3 = A S1 = B � C S0 = C � D Uma das aplicações mais importantes de um decodificador é a habilitação de circuitos

de memória. Desta forma, ao ser enviado um endereço binário para o decodificador, ele habilita apenas o conjunto de bits referente àquele endereço. O exemplo abaixo é de um “decodificador 3 para 8”, que a partir dos endereços (entrada) de três bits é capaz de que selecionar oito memórias:

ABCD DABC DCAB DCAB CDBA DCBA DCBA DCBA S3 ��

CDBA DCBA DCBA DCBA BCDA DBCA DCBA DCBA S2 ��

DCAB DCAB CDBA DCBA DCBA DCBA CDBA DCBA S1 ��

DABC DCAB DCBA DCBA DBCA DCBA DCBA DCBA S0 ��

B A BA BA S2 ��



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4.2.2 Circuitos Aritméticos:

Para somarmos dois números binários de “n” bits basta efetuar a operação entre cada um dos seus “n” bits. Devemos considerar ainda o “vai um”, que ocorre quando a soma supera um dígito.

O Circuito Somador Completo (FULL ADDER) soma dois bits considerando na soma o bit de carry in (“vem um”) que veio da soma anterior e, gerando além da saída o bit de carry out (“vai um”):

Entrada - os dois bits a serem somados e o bit de carry in - A, B e Ci Saída - a soma dos bits e o bit de carry out ("vai um") - S e Co Podemos representar um Circuito Somador Completo pelo diagrama a seguir:



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Um circuito somador de 4 bits é montado a partir dos módulos de Circuito Somador do

diagrama anterior:

A saída terá também 4 bits para o resultado da operação matemática (soma). Porém, existe a possibilidade de que a soma ultrapasse a capacidade do nosso somador (neste caso, 4 bits). Para isso, precisamos incluir um 5º bit, um bit de overflow.

Obs.: Como o somador de entrada não deve receber nenhum bit de carry in, é preciso forçar que o Ci desse somador seja zero. 4.3 – CIRCUITOS SEQÜENCIAIS:

Um Circuito Seqüencial é definido como sendo um conjunto de portas cuja saída em

qualquer instante de tempo é função das entradas e/ou de seus estados anteriores que permanecem armazenados (através dos Elos de Realimentação). Portanto um Circuito Seqüencial, além de possuir portas, contém elementos de armazenamento denominados flip-flops.

FLIP-FLOP RS BÁSICO

A Tabela Verdade deste circuito é a seguinte (Qa = Estado anterior, Qf = Estado final). S R Qa Qf Qf Transição Conclusão 0 0 0 0 0 1 Estável Qf = Qa 1 0 0 1 1 0 Estável Qf = Qa 2 0 1 0 0 1 Estável Qf � 0 3 0 1 1 0 1 Instável Qf � 0 4 1 0 0 1 0 Instável Qf � 1 5 1 0 1 1 0 Estável Qf � 1 6 1 1 0 1 1 Não Permitido Q = Q 7 1 1 1 1 1 Não Permitido Q = Q



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Resumindo as conclusões anteriores, temos:

S R Qf 0 0 Qa 0 1 0 1 0 1 1 1 Não Permitido

Para que o Flip-Flop RS básico seja controlado convenientemente, é necessária a troca

dos dois inversores da entrada por portas NAND. No instante adequado ao microprocessador é injetado um pulso de CLOCK informando ao Flip-Flop para receber as entradas R e S. Este pulso de clock entra nas duas outras entradas daquelas portas NAND.

FLIP-FLOP RS COMANDADO POR PULSO DE CLOCK

Quando CLOCK = 0, as saídas das portas NAND de entrada serão sempre iguais a 1, ou

seja, semelhantes à situação Qf = Qa. Quando CLOCK = 1 o circuito irá comportar-se como um Flip-Flop RS básico.

Tal circuito ainda tem o defeito de apresentar indefinição quando R e S forem iguais a 1

simultaneamente. Isto pode ser resolvido mantendo uma entrada D ligada ao S, e um D ligado ao R (através de um inversor).

4.4 – MEMÓRIA RAM:

MEMÓRIA RAM DE 1 BIT Estando a entrada de endereços em nível lógico 1, as portas AND (P1 e P2) liberarão a

passagem para os terminais R e S do Flip-Flop, do dado de entrada ligado na entrada D.



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ESCRITA (WRITE) LEITURA (READ) END = 1 END = 1 Informação � D Controle Escrita/Leitura (Write/Read) � 0 Controle Escrita/Leitura (Write/Read) � 1 Bit � SL

A memória RAM de 1 bit descrita anteriormente é insuficiente para termos uma noção

completa de acesso (leitura ou gravação) de dados. Para tal devemos ter um conjunto de bits referenciado por um endereço. O diagrama a seguir mostra quatro memórias de três bits cada:

O Decodificador endereça o conjunto de bits desejado a partir do endereço recebido

pelo barramento. Na verdade isso exigiria barramentos com muitas trilhas para endereçar as memórias. A solução então foi adotar um esquema matricial, onde cada endereço não possui um valor, mas sim dois: “linha” e “coluna”. A quantidade de trilhas do barramento de endereços diminui exponencialmente com esta solução (Ver Apostila 4 – Subsistema de Memória).



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LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Desenvolva a tabela verdade para as seguintes expressões booleanas: a) b) c) d) e) f) Respostas: a) Entradas b) Entradas c) Entradas A B C Saída A B C D Saída A B C D Saída

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 d) Entradas 1 0 1 0 1 f) Entradas A B C Saída 1 0 1 1 0 A B C D Saída 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 e) Entradas 0 1 1 0 0 1 1 1 0 A B Saída 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 2) Simplifique as seguintes expressões lógicas: a) b) c)

CBACBA ��

)( DBCA ��

CBACBACBA ��

)()()( BACABA ��

BABA ��

DCABA �� )(

DCEEDCEDCABBAX ��

)( CBACBACBACBAX ��

CACABABAX ��



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d) e) f) g) h) i) j) k) Respostas: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) 3) Desenhe o diagrama lógico correspondente às seguintes expressões: a) b) c) d) e) Respostas: a) b)

c) d) e)

)()()()( XZYTSRVWZYXA ��

CABACBACCAX ��

BACCBAAACBCAX �� )()(

YXYXA ��

)()( YXYXA ��

ZYXZXA ��

1)0()1( �� DDBAX

CCCCABBAX �� 0)1(

DEBAX �� CBAX �� )( CBAX ��

TSRVWZYXA �� AX �

CBAX �� YXA �� XA �

)( YZXA �� 1�X CAX ��

)( EDCBAX ��

)()( ABDCBAX ��

EDCBAX �� )()(

EDCBAY �� )(

EDCBAY �� )()(



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4) A partir das seguintes tabelas verdade encontre as expressões booleanas, simplifique-as e faça os

diagramas lógicos correspondentes: a) Resposta:

Entradas Sai. A B S1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

b) Resposta:

Entradas Saídas A B S1 S2 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1

c) Resposta:

Entradas Saídas A B S1 S2 S3 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1

d) Resposta:

Entradas Saídas A B C S1 S2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1

5) Faça o diagrama e descreva o funcionamento de um Flip-Flop RS. 6) Faça o diagrama e descreva o funcionamento de um Flip-Flop RS controlado por pulso de clock. 7) Faça o diagrama e descreva o funcionamento de uma memória RAM de um bit. 8) Para que são utilizadas as entradas END, D, X e a saída S de uma memória RAM de um bit?

Resposta: END: Seleciona a memória que será lida ou gravada. D: Entrada do dado (0 ou 1) para gravação. S: Saída do dado (0 ou 1) para leitura. X: Seleção de leitura ou gravação

B S1�

BA S2 ��

A S2 �AB S3 ��

BACB S1 ��

BA S1 ��

BA S1 ��

CBA S2 ��

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