79737621 Santillana Sol 1 Bac Ccss
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El Solucionario de Matemáticas aplicadasa las Ciencias Sociales para 1.º de Bachilleratoes una obra colectiva concebida, diseñaday creada en el departamentode Ediciones Educativas de Santillana,dirigido por Enric Juan Redal.
En su realización han intervenido:
M.ª José ReyCésar Santamaría
EDICIÓNAngélica EscoredoJosé Miguel EscoredoCarlos Pérez
DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa
Santillana
Matemáticas 1 BACHILLERATO
aplicadas a las Ciencias Sociales
Biblioteca del profesoradoSOLUCIONARIO
833243 _ 0001-0003.qxd 10/10/08 09:18 Página 1
Presentación
2
5
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen.
0,7� −16 685,0091� −0,0201 67−456,89
0,7� es un número decimal periódico puro.
−16 es un número entero.
685,0091� es número decimal periódico mixto.
−0,0201 y −456,89 son números decimales exactos.
67 es un número natural.
son números racionales.
Expresa en forma de fracción.
0,22 −34,03� 25,012� 0,1043� −2,302�
0,22 =25,012� =
−2,302� =
−34,03� =0,1043� =
Obtén el valor absoluto de los números.
7 0 −1 −62 (−6)2
⏐7⏐= 7⏐−1⏐= 1⏐
(−6)2⏐= 36
⏐0⏐= 0⏐−62⏐= 36
Calcula las siguientes potencias.
a) 34
e)
b)
f ) (−5)7
c) (−2)6g)
d)
h) 25
a) 34 = 81e)
b)
f ) (−5)7 =−78.125
c) (−2)6 = 64g)
d)
h) 25 = 325
7
25
49
2⎛
⎝⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= −4
9
64
729
35
2
3 125
32
5
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= −
.
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= −3
5
27
125
35
7
2⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
4
9
35
2
5
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3
5
3
004
003
521
4 995.−1 123
33
.
−2 300
999.
22 511
900.
11
50
002
27
44
34
8y−
−34
827
44001
1SOLUCIONARIO
4
1SOLUCIONARIO
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El código Da Vinci
El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su
clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en
la pizarra:
Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus
alumnos.
–¿Alguien puede decirme qué es este número?
Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba
al fondo levantó la mano.
–Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe.
–Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi.
–Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa de
suficiencia.
–Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un nú-
mero muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?
Stettner seguía en su papel de gracioso.
–¿Porque es muy bonito?
Todos se rieron.
–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse co-
mo el número más bello del universo.
Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso.
[…] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió
Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su
papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las
plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían característi-
cas dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón
de Phi a 1.
–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las
luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, gira-
soles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos
creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del
Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos
dieciocho como «La Divina Proporción». DAN BROWN
1,618
En realidad, el valor del número Phi es Φ=. Los números1,618 y
son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error
se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?
1,618 es un número racional, ya que es un decimal exacto.
Phi es un número irracional, ya que lo es y al sumar o dividir un número irracional
por un entero el resultado es un número irracional.
Como ; el error cometido es menor que una diez milésima.
1 5
21 61803+ = , …
5
1 5
2+
1 5
2+
Números reales
1
El nombre de la serie, La Casa del Saber, responde al planteamiento depresentar un proyecto de Matemáticas centrado en la adquisición de loscontenidos necesarios para que los alumnos puedan desenvolverse en lavida real.
En este sentido, y considerando las matemáticas a estos niveles como unamateria esencialmente procedimental, recogemos en este material la reso-lución de todos los ejercicios y problemas formulados en el libro del alum-no. Pretendemos que esta resolución no sea solo un instrumento sino quepueda entenderse como una propuesta didáctica para enfocar la adquisi-ción de los distintos conceptos y procedimientos que se presentan en ellibro del alumno.
45
Demuestra estas igualdades.
a) loga (b · c) = loga b+ loga c b) loga = loga b− loga c
a) Por la definición de logaritmos:
loga (b � c) = x loga b = y loga c = z
ax = b � c ay = b az = c
ay � az = b � c ay + z = b � c loga (b � c) = y + z
Es decir: loga (b � c) = loga b + loga c
b) Por la definición de logaritmos:
loga = x loga b = y loga c = z
ax = ay = b az = c
ay−z = loga = y − z
Es decir: loga = loga b − loga c
Demuestra la siguiente igualdad: log (a2−b2) = log (a+ b) + log (a−b)
log (a + b) + log (a − b) = log [(a+ b)(a − b)] = log (a2 − b2)
Si el área de esta figura es 10 cm2, ¿cuál es su altura?
La longitud de la base mide: 1 + cm
Calculamos la altura: 10 = � h
h = cm
Dos piezas móviles de una máquina se desplazan a lamisma velocidad. La primera pieza describeuna circunferencia de radio 5 cm y la segundase desplaza de un extremo al otro del diámetro de esacircunferencia.
Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidiránen algún momento?
Suponemos que ambas piezas parten de A.Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles.La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en lospuntos A y B es: 5π(k − 1). Siendo k un número natural. La distancia recorrida por elmóvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B: 10(k − 1). Siendo k unnúmero natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplaza por lacircunferencia son números irracionales, mientras que las distancias recorridas porel móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales, por tanto nuncacoincidirán ambos móviles.
150
10
1 2
10 10 2
110 10 2
+=
−−
= − +
1 2+( )2
149
148
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
a
a
b
c
y
z=
b
c
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟
147
A
h
1
1B
CD
5 cmBA
44
Números reales1SOLUCIONARIO
Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son:
Byte = 28 bits Megabyte = 210 Kilobytes
Kilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidades deinformación en bits y bytes.
a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.
b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb.
a) 120 Gb = 120 � 210 � 210 � 210 bytes = 15 � 233 bytes = 15 � 241 bits
120 Gb = 1,2885 � 1011 bytes = 3,2985 � 1013 bits
b) 512 Mb = 29 � 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits
512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 � 1011 bits
c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 � 220 bytes = 1,44 � 228 bits
1,44 Mb = 1,5099 � 106 bytes = 3,8655 · 108 bits
d) 550 Mb = 550 · 210 · 210 bytes = 550 · 220 bytes = 550 · 228 bits
550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 � 1011 bits
PARA FINALIZAR…
Si es una fracción irreducible:
a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab →b2 = ab
a = b Como b es distinto de cero: b = a
Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles?
Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y los de b.
(a + b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción esirreducible.
Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y los de b.
(a − b) y a · b no tienen divisores comunes, por tanto la fracción esirreducible.
Demuestra la siguiente igualdad: = 1.
= + −( ) = −( ) ==
∑1
21
1
2100 1 1
1
99
log( ) log log logk kk
log log log1 1
2
1 1
2
1
1
99
1
99
1
+=
+=
+=
= = =∑ ∑k
k
k
k
k
kk k k
999
∑
log1
1
99 +
=∑ k
kk
146
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a
b145
a b
b b
a
b
++
=a
b
a
b
++
=1
1
a
b
a b
b b
++
a
b
a
b
++
1
1
a
b144
143
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3
ÍndiceUnidad 1 Números reales 4
Unidad 2 Aritmética mercantil 46
Unidad 3 Polinomios y fracciones algebraicas 82
Unidad 4 Ecuaciones, inecuacionesy sistemas 118
Unidad 5 Funciones 178
Unidad 6 Funciones elementales 210
Unidad 7 Límite de una función 258
Unidad 8 Derivada de una función 308
Unidad 9 Estadística unidimensional 368
Unidad 10 Estadística bidimensional 400
Unidad 11 Probabilidad 434
Unidad 12 Distribuciones binomial y normal 460
Tablas de distribución 493
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Números reales1SOLUCIONARIO
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El código Da VinciEl profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en suclase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido enla pizarra:
Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de susalumnos.–¿Alguien puede decirme qué es este número?Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentabaal fondo levantó la mano.–Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe.–Muy bien, Stettner. Aquí os presento a Phi.–Que no debe confundirse con pi –añadió Stettner con una sonrisa desuficiencia.–Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un nú-mero muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?Stettner seguía en su papel de gracioso.–¿Porque es muy bonito?Todos se rieron.–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse co-mo el número más bello del universo.Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso.[…] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguióLangdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era supapel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Lasplantas, los animales e incluso los seres humanos poseían característi-cas dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razónde Phi a 1.–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando lasluces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, gira-soles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguoscreían que ese número había sido predeterminado por el Creador delUniverso. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientosdieciocho como «La Divina Proporción».
DAN BROWN
1,618
En realidad, el valor del número Phi es Φ= . Los números 1,618 y
son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. ¿Por qué? ¿Qué error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi?
1,618 es un número racional, pues es un decimal exacto.Phi es un número irracional, ya que lo es y, al sumar o dividir un número irracional y un entero, el resultado es un número irracional.
Como ; el error cometido es menor que una diezmilésima.1 5
21 61803
+= , …
5
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2
+1 5
2
+
Números reales1
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5
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen.
0,7�� −16 685,0091�� −0,0201 67 −456,89
0,7� es un número decimal periódico puro.
−16 es un número entero.
685,0091� es número decimal periódico mixto.
−0,0201 y −456,89 son números decimales exactos.
67 es un número natural.
son números racionales.
Expresa en forma de fracción.
0,22 −34,03�� 25,012�� 0,1043�� −2,302��
0,22 = 25,012� = −2,302� =
−34,03� = 0,1043� =
Obtén el valor absoluto de los números.
7 0 −1 −62 (−6)2
⏐7⏐ = 7 ⏐−1⏐ = 1 ⏐(−6)2⏐ = 36
⏐0⏐ = 0 ⏐−62⏐ = 36
Calcula las siguientes potencias.
a) 34 e)
b) f ) (−5)7
c) (−2)6 g)
d) h) 25
a) 34 = 81 e)
b) f ) (−5)7 = −78.125
c) (−2)6 = 64 g)
d) h) 25 = 325
7
25
49
2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
4
9
64
729
3
5
2
3 125
32
5
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
.
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
3
5
27
125
3
5
7
2⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
4
9
3
5
2
5
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3
5
3
004
003
521
4 995.
−1 123
33
.
−2 300
999
.22 511
900
.11
50
002
27
44
34
8y
−
−34
8
27
44
001
1SOLUCIONARIO
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6
Números reales
Simplifica y expresa el resultado como potencia.
a) b)
a)
b)
ACTIVIDADES
Calcula el representante canónico de estos números.
a) b) c)
a) b) c)
Escribe dos representantes de los números racionales.
a) b) c)
Respuesta abierta.
a)
b)
c)
Halla cuántos números racionales distintos hay en esta secuencia.
1,6��
Hay dos números racionales distintos, que son:
1,6�
Una fracción que tenga un término negativo y otra que tenga sus dos términospositivos, ¿pueden ser representantes del mismo número racional?
No pueden representar el mismo número racional, puesto que si una fraccióntiene un término negativo, el cociente es negativo; y si sus dos términos son positivos, el cociente es positivo.
004
− =−
=−
5
3
5
3
5
3
5
3
10
6= =
5
3
5
3
5
3
5
3
10
6− −
−
003
8
25
16
50
24
75=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
… …, , ,
9
2
18
4
27
6=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
… …, , ,
7
12
14
24
21
36=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
… …, , ,
8
25
9
2
7
12
002
−−
=24
60
2
518
39
6
13=
−= −
16
24
2
3
−−
24
60
18
39
−16
24
001
23
4
2
3
3
8
2 3
2 3
3
2
3
2
2 3
11 2 10⋅ ⋅ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅⋅
=−
5 3 6
6 3 5
6 5 5 3 3
6
57 3 4
2 3 14
2 14 7 3 3
4
21⋅ ⋅
⋅ ⋅=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅=
−
− − −
⋅⋅=
⋅3
6
5 3
2
6
2
21 4
2
23
4
2
3
3
8
3
2
2
⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−5 3 6
6 3 5
7 3 4
2 3 14
⋅ ⋅⋅ ⋅
−
− − −
005
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7
1SOLUCIONARIO
Escribe 4 números irracionales, especificando su regla de formación.
Respuesta abierta.
Tras la coma, se sitúan todos los múltiplos de 3: 0,3691215…
Tras la coma se sitúan todos los múltiplos de 4: 0,481216…
Al número irracional se le suma el número 1: + 1
Al número irracional se le suma el número 2: + 2
Decide si los siguientes números son irracionales.
a) 0,51015202530… c) 2 −π
b) d)
a) Es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica.
b) Es un número decimal exacto, luego no es un número irracional.
c) Es un número irracional, porque si a un número irracional se le resta un númeroentero, el resultado es un número irracional.
d) No es un número irracional, puesto que es una fracción.
Encuentra, sin hacer operaciones con decimales, un número irracional
comprendido entre .
Respuesta abierta.
Razona si son ciertas o no las siguientes afirmaciones.
a) La raíz de un número irracional es irracional.
b) Un número irracional al cuadrado no es racional.
a) Cierta, ya que sigue teniendo infinitas cifras decimales no periódicas.
b) Falsa, por ejemplo:
Indica el conjunto numérico mínimo al que pertenece cada número.
a) 8,0999… c) e) 2,5
b) 1,223334444… d) 6,126�� f ) −11
a) Q d) Qb) I e) Qc) I f ) Z
15
009
2 22( ) =
008
2 1−
− 2 2y
007
10
17
3
4
ππ
006
22
22
005
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8
Números reales
Representa las raíces.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Coloca, en la recta real, el número:
Representa, en la siguiente recta real, los números 1 y 2.
Aplica la propiedad distributiva y opera.
a) b)
a)
b)3
4
2
7
2
5
2
73
2
7
2
7
3
4
2
53
2
7
67⋅ − ⋅ + ⋅ = − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
220
67
70=
3
4
2
7
2
5
3
4
2
7
3
4
2
5
30 42
140
1⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ − ⋅ =
−= −
22
140
3
35= −
3
4
2
7
2
5
2
73
2
7⋅ − ⋅ + ⋅
3
4
2
7
2
5⋅ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
013
0 1 2
0 3
012
0 1
1
1 5
2
+
5 1 5+
�����������
Φ = +1 5
2011
0 1 360 1 10 101
0 1 5
0 1 11
36510111
010
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9
1SOLUCIONARIO
Ordena, de menor a mayor, los siguientes números racionales e irracionales.
π
Con ayuda de la propiedad distributiva, calcula 992 y 9992 sin realizar las operaciones.
992 = 99 ⋅ 99 = 99(100 − 1) = 9.900 − 99 = 9.801
9992 = 999 ⋅ 999 = 999(1.000 − 1) = 999.000 − 999 = 998.001
Representa los siguientes conjuntos numéricos de todas las formas que conozcas.
a) Números menores que π.
b) Números mayores que y menores o iguales que 7.
c) Números menores o iguales que 2 y mayores que −2.
d) Números comprendidos entre los dos primeros números pares, ambos incluidos.
a) (−�, π) = {x: x < π}
b) =
c) (−2, 2] = {x: −2 < x ≤ 2}
d) [2, 4] = {x : 2 ≤ x ≤ 4}
Escribe, de todas las maneras que conozcas, estos intervalos de la recta real.
a) c)
b) d)
a) (−�, −3) = {x: x < −3} c) (3, +�) = {x: x > 3}
b) [−3, 2) = {x: −3 ≤ x < 2} d) (−1, 1) = {x: ⏐x⏐ < 1}
Representa el conjunto {x: ⏐x −3⏐ ≤1} de todas las formas posibles.
[2, 4] = {x: 2 ≤ x ≤ 4}
42
018
1−12−3
3−3
017
42
2−2
73
{ : }x x3 7< ≤( , ]3 7
π
3
016
015
2 827
900
22
7
.< <π
2 827
900
.22
7
014
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10
Números reales
Con ayuda de la calculadora, escribe en forma decimal y sus aproximaciones por exceso y por defecto.
a) A las diezmilésimas.
b) A las cienmilésimas.
c) A las millonésimas.
a) Aproximación por exceso: 1,7321
Aproximación por defecto: 1,7320
b) Aproximación por exceso: 1,73205
Aproximación por defecto: 1,73205
c) Aproximación por exceso: 1,732051
Aproximación por defecto: 1,732052
Calcula los errores absoluto y relativo al redondear el número 1,3456 a las décimas.
Vreal = 1,3456
Vaproximado = 1,3
Ea = ⏐1,3456 − 1,3⏐ = 0,0456
Piensa en una situación en la que dos mediciones tengan los mismos erroresabsolutos, pero distintos errores relativos.
Respuesta abierta.
Vreal = 12,5
Valores aproximados, 12 y 13. En ambos casos, el error absoluto es 0,5; pero los errores absolutos son distintos:
Indica dos ejemplos de medida y da sus correspondientes cotas de error.
Respuesta abierta.
Velocidad en autopista: 120 km/h; edad de jubilación: 65 años.
Calcula las cotas de error absoluto y relativo al redondear el número :
a) A las centésimas. b) A las milésimas.
a)
b) Ea = 0,0005 Er =−
=0,0005
1,414 0,00050,00035
Er =−
=0,005
1,41 0,0050,0035Ea =
⋅=
1
2 1020,005
2023
022
Er = =0,5
0,038513
Er = =0,5
0,041712
021
Er = =0 0456
1 34560 0338
,
,,
020
3 1 73205080= , …
3019
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11
1SOLUCIONARIO
La población de un pueblo, redondeada a las decenas, es de 310 habitantes.¿Puedes indicar los errores? ¿Sabrías dar las cotas de error cometido?
Para calcular los errores relativos y absolutos es necesario conocer el valor real;por tanto, no se pueden calcular.
Calcula una cota de error absoluto cuando truncamos un número a las décimas. ¿Y si fuera a las centésimas?
Escribe en notación científica los siguientes números.
a) 0,0000085 c) 31.940.000.000
b) 5.000.000.000.000 d) 0,000000000479
a) 0,0000085 = 8,5 ⋅ 10−6 c) 31.940.000.000 = 3,194 ⋅ 1010
b) 5.000.000.000.000 = 5 ⋅ 1012 d) 0,000000000479 = 4,79 ⋅ 10−10
Opera y expresa el resultado en notación científica.
a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2) : 8,05 ⋅ 10−4
b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 −6,54 ⋅ 10−2)
a) (5,2 ⋅ 103 + 4,75 ⋅ 10−2) : 8,05 ⋅ 10−4 = 6,465968 ⋅ 10−2
b) 3,79 ⋅ 108 ⋅ (7,73 ⋅ 104 − 6,54 ⋅ 10−2) = 2,92966 ⋅ 1013
Decide si son ciertas estas igualdades. Razona la respuesta.
a) c)
b) d)
a) Falsa: (−2)4 = 16 c) Falsa: (−1.000)3 = −1.000.000.000
b) Falsa: 48 = 65.536 d) Falsa: (−2)5 = −32
Calcula el valor numérico, si existe, de los siguientes radicales.
a) c)
b) d)
a) c) No existe ninguna raíz real.
b) d) 243 35 =− = −8 23
16 24 =
2435−83
−10 0004 .164
029
32 25 = ±256 48 = ±
1 000 000 1 0003 . . .= ±− = −16 24
028
027
026
Ea =⋅
=1
2 1020,05
Ea =⋅
=1
2 1010,5
025
Er =−
=5
310 50,016
Ea =⋅
=−
1
2 105
1
024
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12
Números reales
Transforma los radicales en potencias, y viceversa.
Indica si son equivalentes los siguientes radicales.
a) Son equivalentes. c) Son equivalentes.
b) No son equivalentes. d) No son equivalentes.
Efectúa estas operaciones.
Opera y simplifica.
d)3 3
3
3 3
33
3
4
6 4
312 712· ·
= =
c) 2 3 4 27 1083 6 6 6· ·= =
b)32
8
32
8
2
2
1
4
63
3
5
9
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= = =
a) 4 27 5 6 20 162 180 2· = =
d)3 3
3
3
4
⋅b)
32
8
63⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
c) 2 33 ⋅a) 4 27 5 6⋅
033
b) 7 81 2 33
521 3 2 3
3
5
96 3
53 26
33 3
3 3
− + = − + =
a) 20 3 125 2 45 2 5 15 5 6 5 7 5− + = − + = −
b) 7 81 2 33
53 26
3
− +a) 20 3 125 2 45− +
032
d) y5 5104 4b) y2 2105
c) y36 64a) y3 364 3
031
f ) 5 5747
4=c) 2 21
6 6=
e) 10 102
7 27=b) 5 52
3 23=
d) 7 73
5 35=a) 3 31
4 4=
f ) 574c) 21
6
e) 102
7b) 52
3
d) 73
5a) 31
4
030
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13
1SOLUCIONARIO
Racionaliza las siguientes expresiones.
Racionaliza y opera.
Racionaliza y opera.
Racionaliza estas expresiones.
b)12 6
2 3 3 2
24 18 36 12
6
72 2 72 3
612 2 12 3
−=
+−
=+
−= − −
a)3 5
3 6
5 5
3 73 3 15 3 6 30
3
5 15 5 35
41
+
++
+=
=− − + +
+− +
=
=− 22 3 12 6 4 30 19 15 15 35
12
+ + − +
b)12 6
2 3 3 2−a)
3 5
3 6
5 5
3 7
+
++
+
037
c)5 3
9 5
45 3 5 15
76−=
+
b)8 2
3 7
8 6 56 2
46
4 6 28 2
23+=
−−
=− +
a)1
1 2
1 2
11 2
+=
−−
= − +
c)5 3
9 5−b)
8 2
3 7+a)
1
1 2+
036
b)−
+ =−
+ =− +7
3 2
5
4 7
7 2
6
5 7
28
98 2 15 7
84
a)3
5
4
6
3 5
5
4 6
6
18 5 20 6
30+ = + =
+
b)− +7
3 2
5
4 7a)
3
5
4
6+
035
c)2 3
6 7
2 3 7
4235
25+= +( )
b)−
=−3
5 2
3 2
1034
4
a)2
5
2 5
5=
c)2 3
6 735
+b)−3
5 234a)
2
5
034
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14
Números reales
Calcula, mediante la definición, estos logaritmos.
a) log2 8 c) log 1.000 e) ln e33 g) log4 16b) log3 81 d) log 0,0001 f ) ln e−4 h) log4 0,25
a) log2 8 = 3 e) ln e33 = 33b) log3 81 = 4 f) ln e−4 = −4c) log 1.000 = 3 g) log4 16 = 2d) log 0,0001 = −4 h) log4 0,25 = −1
Halla, mediante la definición, los siguientes logaritmos.
a) log3 243 c) log 1.000.000 e) ln e2 g) log7 343b) log9 81 d) log 0,00001 f ) ln e−14 h) log4 0,0625
a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2b) log9 81 = 2 f) ln e−14 = −14c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3d) log 0,00001 = −5 h) log4 0,0625 = −2
Calcula los logaritmos y deja indicado el resultado.
a) log4 32 c) log3 100 e) log32 4b) log2 32 d) log5 32 f ) log2 304
b) log2 32 = 5
Sabiendo que log 2 = 0,3010; log 3 = 0,4771 y log 7 = 0,8451; determinalos logaritmos decimales de los 10 primeros números naturales. Con estos datos, ¿sabrías calcular log 3,5? ¿Y log 1,5?
log 4 = log (2 · 2) = log 2 + log 2 = 2 · 0,3010 = 0,6020
log 5 = log = log 10 − log 2 = 1 − 0,3010 = 0,6990
log 6 = log (3 · 2) = log 3 + log 2 = 0,4771 + 0,3010 = 0,7781
log 8 = log (4 · 2) = log 4 + log 2 = 0,6020 + 0,3010 = 0,9030
log 9 = log (3 · 3) = log 3 + log 3 = 0,4771 + 0,4771 = 0,9542
log 10 = 1
log 3,5 = log = log 7 − log 2 = 0,8451 − 0,3010 = 0,5441
log 1,5 = log = log 3 − log 2 = 0,4771 − 0,3010 = 0,17613
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
7
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
10
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
041
f )log 304
log 28,2479log2 304 = = …c)
log 100
log 34,1918log3 100 = = …
e) loglog
log32
2
44
32
2
52= =
d)log 32
log 52,1533…log5 32 = =a) log
log
log4
2
2
3232
4
5
2= =
040
039
038
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15
1SOLUCIONARIO
Halla, sin ayuda de la calculadora, log2 5 y log5 2. Comprueba que su producto es 1.
En el ejercicio anterior, se ha visto que log 2 = 0,3010.
Si se utilizan cambios de base, resulta:
log2 10 = log2 (2 · 5) = log2 2 + log2 5 → log2 5 = 2,32
Como los dos números son inversos, su producto es 1.
También se puede comprobar de este modo:
Halla el valor de x en las siguientes igualdades.
a) logx 256 = −8 c)
b) d) logx 3 = 2
b) 2,0801… d)
Calcula cuánto vale loga b ⋅ logb a.
Calcula la fracción irreducible de:
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
Indica cuáles de las siguientes fracciones son irreducibles.
Son fracciones irreducibles: , y 18
7
12
5
10
13
2
8
15
12
18
7
12
5
9
6
10
13
15
18
3
15
046
104
216
13
27=
72
243
8
27=
−=
−702
1 053
2
3.
−=
−1 080
432
45
18
.
88
176
1
2=
12
400
3
100=
26
130
1
5=
5
200
1
40=
104
216
72
243
−702
1 053.
−1 080
432
.
88
176
12
400
26
130
5
200
045
log · loglog
log·
log
loga bb a
a
b
b
a= = 1
044
3c)2
3a)
1
2
log32
3x =
log56 625 = x
043
log · loglog
log·
log
log2 55 2
5
2
2
51= =
loglog
log log5
2
2 2
22
5
1
5= = = 0,43
log2 101
= = =log 10
log 2 0,30103,32
042
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16
Números reales
¿Cuántos números racionales hay en el siguiente grupo?
Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción, luego todos los números del grupo lo son.
Halla x para que las fracciones sean equivalentes.
a) b)
a) b)
¿Puedes escribir una fracción equivalente a cuyo denominador sea 10? ¿Por qué?
No, porque 10 no es múltiplo de 3.
Realiza estas operaciones.
¿Cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles no lo son? Razona tu respuesta.
a) 2,555… b) 2,525 c) 2,5255555… d) 2,525522555222…
a) Es un número racional, ya que es periódico, y cualquier número periódicose puede expresar como fracción.
b) Es un número racional, puesto que es un decimal exacto y los decimalesexactos se pueden expresar como fracción.
c) Es un número racional, ya que es periódico.
d) Es un número irracional, puesto que tiene infinitas cifras decimales que no son periódicas.
051
b)5
2
2
5
7
3
4
3
1 1
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜
− −
: ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =
=
−
2
125
10
4
10
3
7
16
9
21
:
110
3
7
16
910
21
3
7
16
970
63
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − =
= −
−
:
:
116
942
63
=
=−
a)5
6
4
5
2
3
1
2
2 1
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
− −
· ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =
=
−
2
225
30
24
30
3
2
1
4
1
3
·
00
3
2
1
4
9003
2
1
41
4
2⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + =
= + =
= + =
−
·
·
1.350
==5 401
4
.
b)5
2
2
5
7
3
4
3
1 1
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜
− −
: ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
a)5
6
4
5
2
3
1
2
2 1
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜
− −
· ⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
050
2
3049
−=
−=
−=
−5
2
20
8
10
4
25
10
3
5
6
10
9
15
21
35= = =
− = = =5
2 8
10 25x
x x
3
5
6 9 21= = =x x x
048
150
200
25
100
6
8
4
24
−4
20
1
6
8
12
−1
5
2
3
1
4
047
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17
1SOLUCIONARIO
Indica el tipo de decimal, en cada caso, y calcula si es posible su fracción generatriz.
a) 15,3222… c) 15,32 e) 15,333
b) 15,233444… d) 15,323232… f) 15
a) Es un número decimal periódico mixto:
b) Es un número decimal periódico mixto:
c) Es un número decimal exacto:
d) Es un número decimal periódico puro:
e) Es un número decimal exacto:
f ) Es un número natural:
Halla la fracción generatriz de los siguientes números decimales.
a) 0,2 d) 8,0002 g) 0,01
b) 3,�5 e) 42,78� h) 5,902�
c) 2,3�7 f) 10,523� i) 0,0157�
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
i)157 1
9 900
156
9 900
13
825
−= =
. .
5 902 5
999
5 897
999
. .−=
1
100
10 523 105
990
10 418
990
5 209
495
. . .−= =
4 278 42
99
4 236
99
1 412
33
. . .−= =
80 002
10 000
40 001
5 000
.
.
.
.=
237 23
90
214
90
−=
35 3
9
32
9
−=
2
10
1
5=
053
15
1
15 333
1 000
.
.
1 532 15
99
1 517
99
. .−=
1 532
100
383
25
.=
152 334 15 233
9 000
137 101
9 000
. .
.
.
.
−=
1 532 153
90
1 379
90
. .−=
052
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18
Números reales
Efectúa, utilizando las fracciones generatrices.
a) 1,�3 + 3,4 c) 1,�36 + 8,�25 e) 3,�46 + 4,2�95
b) 10,2�5 −5,�7 d) 4,�5 + 6,�7 f) 3,�21 + 4,3�12
a)
b)
c)
d)
e)
f )
Realiza las siguientes operaciones.
a) 1,25 ⋅ 2,�5 b) 0,0�3 : 2,9�2 c) 3,7�6 ⋅ 4,�8 d) 1,25 : 2,2�5
a) c)
b) d)
Utilizando las fracciones generatrices, comprueba si son verdaderas o falsas las igualdades.
a) 1,�9 = 2 b) 1,�3 : 3 = 0,�4 c) 1,8�9 + 0,1�1 = 2 d) 0,�3 + 0,�6 = 1
a) Verdadera:
b) Verdadera:
c) Falsa:
d) Verdadera:
Escribe la expresión decimal de tres números racionales y otros tres irracionales.Explica cómo lo realizas.
Respuesta abierta.
La expresión decimal de un número racional debe ser finita o periódica:
2,3 2,3� 5,32
La expresión decimal de un número irracional debe ser infinita y no periódica:
2,1010010001000… 1,1234567891011… 2,23233233323333…
057
3
9
6
9
9
91+ = =
189 18
90
11 1
90
171
90
10
90
181
902
−+
−= + = �
13 1
93
12
93
12
27
4
9
−= = =: :
19 1
92
–=
056
5
4
203
90
450
812
225
406: = =
1
30
263
90
90
7 890
9
789:
.= =
113
30
44
9
4 972
270
2 486
135·
. .= =
5
4
23
9
115
36· =
055
318
99
4 269
990
3 180
990
4 269
990
7 449
990
2+ = + = =
. . . . ..483
330
343
99
4 253
990
3 430
990
4 253
990
7 683
990
2+ = + = =
. . . . ..561
330
41
9
61
9
102
9+ =
135
99
817
99
952
99+ =
923
90
52
9
923
90
520
90
403
90− = − =
4
3
17
5
20
15
51
15
71
15+ = + =
054
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19
1SOLUCIONARIO
Ordena los siguientes números decimales, de menor a mayor.
2,999 2,95 2,955 2,59 2,599 2,559
Se ordenan los números, de menor a mayor:2,559 < 2,59 < 2,599 < 2,95 < 2,955 < 2,999
Ordena estos números decimales, de menor a mayor.
a) 2,9�95 2,�9 2,�95 2,9�59 2,9�5
b) 4,75 4,�75 4,7�5 4,775 4,757 4,7�57
Se ordenan los números, de menor a mayor:
a) 2,9�5 < 2,959� = 2,95� < 2,995� < 2,9�
b) 4,75 < 4,7�5 < 4,757 < 4,75� = 4,757� < 4,775
Da un número racional y otro irracional comprendidos entre:
a) 3,4 y 3,400�23 c) 1 y 2 e) −2,6�8 y −2,�68
b) 2,5�2 y 2,�52 d) 5,6 y 5,�68 f) 0,2 y 0,25
Respuesta abierta.
a) Racional: 3,40022 d) Racional: 5,62Irracional: 3,4002201001… Irracional: 5,6201001…
b) Racional: 2,523 e) Racional: −2,67Irracional: 2,52301001… Irracional: −2,6701001…
c) Racional: 1,1 f ) Racional: 0,21Irracional: 1,101001… Irracional: 0,2101001…
¿Es cierto que 3,�2 = 3,222? Si no lo es, escribe dos números, uno racional y otro irracional, situados entre ellos.
No es cierto, ya que un número es decimal exacto y el otro es periódico.
Respuesta abierta.
Racional: 3,2221Irracional: 3,222101001…
Clasifica en racionales e irracionales las raíces cuadradas de los números naturalesmenores que 20.
Son racionales las raíces de los cuadrados perfectos (1, 4, 9 y 16). Las demás raíces son irracionales.
Indica cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.
Solo es irracional , ya que las demás raíces son exactas.5
2
4
2
5
2
9
3
16
5
36
3
063
062
061
060
059
058
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20
Números reales
Deduce cuáles de los siguientes números son racionales y cuáles son irracionales.
Son irracionales y , pues las demás raíces son exactas.
¿Qué números representan sobre esta recta numérica los puntos A, B, C y D, donde n es un segmento cualquiera?
Representa en la recta real.
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
0 1
1
2
300 1
3
18
0 1
1
2
14
0 1 10
0 1 7
0 1 5
0 1 3
0 1 2
307185
143102
066
C B D A= = + =+
= +5 1 51 5
22 5
−1 0 1 2 4D C B An
n
1 1
3
��� 1���
065
8 10+1 2+
5 493 168 10+5 9−3 4+1 2+
064
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21
1SOLUCIONARIO
Ordena y representa, de forma exacta o aproximada, los siguientes números reales.
1,65 1,6�57
Se ordenan los números, de menor a mayor:
Representa estos números en la recta real.
Ordena y representa los siguientes números.
0,5 2
Se ordenan los números, de menor a mayor:
0 20,5 1−3
2
1
43
22 3
− < < < < <3
2
1
40 5
3
22 2,
3
2
1
42− 3
2
069
0 12
2
5
32 5 1 2+ 1 5+ 2 2+
5
3
2
21 5+2 2+1 2+5
068
5
21 3 1 2
5
2
1
3
< < < < +
=
==
=
=
1,65 ,657
1,65
,657
�
�
A
B
C
D
E 11 2+
0 1 A B C D E
1 2+5
23
067
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22
Números reales
Opera y clasifica el tipo de número real.
a) b) c)
a) Es un número racional:
b) Es un número irracional:
c) Es un número racional:
Describe y representa los siguientes intervalos.
a) (0, 10) e) [5, 10)
b) (3, 7] f ) [−4, +�)
c) (−�, −2) g) (−�, 6]
d) [2, 5] h) (100, +�)
a) {x: 0 < x < 10}
b) {x: 3 < x ≤ 7}
c) {x: x < −2}
d) {x: 2 ≤ x ≤ 5}
e) {x: 5 ≤ x < 10}
f ) {x: −4 ≤ x}
g) {x: x ≤ 6}
h) {x: 100 < x}
100
6
−4
105
52
−2
73
100
071
1,3
3
12
27
4
9
2
3= = = ±
4,9
= =45
95
2 725
9
5
3,
= = ±
1 3
3
,�
4 9,�
2 7,�
070
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23
1SOLUCIONARIO
Escribe el intervalo que corresponde a estas desigualdades.
a) 1 < x < 3 b) 6 < x ≤ 7 c) 5 ≤ x < 9 d) 10 ≤ x ≤ 12
a) (1, 3) b) (6, 7] c) [5, 9) d) [10, 12]
Escribe el intervalo que corresponde a:
a) x ≤−2 c) x >−3 e) x <−9
b) x <5 d) x ≥7 f) x ≥−6
a) (−�, −2] c) (−3, +�) e) (−�, −9)
b) (−�, 5) d) [7, +�) f ) [−6, +�)
Representa, mediante intervalos, los números:
a) Mayores o iguales que 5. d) Mayores que 2 y menores que 4.
b) Menores o iguales que −8. e) Mayores que −5 y menores que −2.
c) Mayores que −2. f ) Comprendidos entre 0 y 10, incluidos estos.
a) d)
b) e)
c) f )
Representa (−�, 8) y [2, +�) en la misma recta, y señala mediante un intervalolos puntos que están en ambos.
El intervalo es [2, 8).
Representa los intervalos (0, 5) y (−2, 3) en la misma recta, y señala el intervalointersección.
El intervalo es (0, 3).
Escribe dos intervalos cuya intersección sea el intervalo [−1, 1].
Respuesta abierta: (−3, 1] y [−1, 5)
077
5
(0, 5)
(−2, 3)
−2 0 3
076
82
(−�, 8)
[2, +�)
075
100
[0, 10]
−2
(−2, +�)
−2−5
(−5, −2)
−8
(−�, −8]
42
(2, 4)
5
[5, +�)
074
073
072
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24
Números reales
Opera y redondea el resultado a las décimas.
a) 3,253 + 8,45 e) 13,5 ⋅ 2,7
b) 52,32 −18,93 f ) 40,92 : 5,3
c) 4,72 + 153,879 g) 62,3 −24,95
d) 7,8 ⋅ 12,9 h) 100,45 : 8,3
a) Redondeo: 11,7 e) Redondeo: 36,5
b) Redondeo: 33,4 f ) Redondeo: 7,7
c) Redondeo: 158,6 g) Redondeo: 37,4
d) Redondeo: 100,6 h) Redondeo: 12,1
Halla la aproximación por redondeo hasta las diezmilésimas para cada caso.
a) b) c) d)
a) 3,1463 b) 3,5029 c) 0,5040 d) 3,0951
¿Qué error absoluto cometemos al aproximar el resultado de 45,96 + 203,7 + 0,823por el número 250,49?
45,96 + 203,7 + 0,823 = 250,483
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐250,483 − 250,49⏐ = 0,007
Si aproximamos 10,469 por 10,5; ¿qué error absoluto se comete? ¿Y si lo aproximamos por 10,4? ¿Cuál es la mejor aproximación? Razónalo.
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐10,469 − 10,5⏐ = 0,031
Si se aproxima por 10,4; el error absoluto es: Ea = ⏐10,469 − 10,4⏐ = 0,069
Es mejor aproximación 10,5; porque el error absoluto cometido es menor.
Desde la antigüedad aparece con frecuencia, el número de oro, Φ, en proporcionesde la naturaleza, así como en las medidas de construcciones, o en obras de artecomo la Gioconda.
a) Escribe la aproximación por redondeo hastalas centésimas del número de oro.
b) ¿Puedes hallar los errores absoluto y relativo?
a) La aproximación por redondeo a lascentésimas es 1,62.
b) No se pueden hallar los errores absoluto y relativo, ya que el número de oro es un número irracional y, por tanto,tiene infinitas cifras decimales noperiódicas.
Φ = + =1 5
21,61803…
082
081
080
4
158+5 3−
6
77+2 3+
079
078
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25
1SOLUCIONARIO
Un truncamiento de 8,56792 es 8,56. Calcula el error absoluto y el error relativo.
El error absoluto cometido es: Ea = ⏐8,56792 − 8,56⏐ = 0,00792
El error relativo cometido es:
Aproxima el número para que el error sea menor que una centésima.
Para que el error absoluto cometido sea menor que una centésima, hayque calcular el cociente con dos cifras decimales. La aproximación pedida es 0,14.
Aproxima el número 12,3456 de forma que el error absoluto sea menor que 0,001.
Para que el error absoluto sea menor que una milésima, se escribe el númerocon tres cifras decimales. Por tanto, la aproximación pedida es 12,345.
Escribe los 5 primeros intervalos encajados dentro de los cuales se halla ,e indica qué error máximo cometes en cada uno.
(5, 6) Error < 6 − 5 = 1
(5,5; 5,6) Error < 5,6 − 5,5 = 0,1
(5,65; 5,66) Error < 5,66 − 5,65 = 0,01
(5,656; 5,657) Error < 5,657 − 5,656 = 0,001
(5,6568; 5,6569) Error < 5,6569 − 5,6568 = 0,0001
¿Se puede escribir ? Justifica la respuesta y di cuál es el orden de error
cometido.
Al ser un número irracional es imposible escribirlo con una fracción, ya que todas las fracciones son números racionales.
π = 3,1415926…
El error cometido es menor que una millonésima.
¿Para qué número sería 5.432,723 una aproximación a las milésimas por defecto?¿Es la respuesta única? ¿Cuántas respuestas hay?
Respuesta abierta.
Una aproximación a las milésimas es 5.432,7231.
La respuesta no es única, ya que hay infinitos números.
Indica cuáles de los números están escritos en notación científica.
a) 54 ⋅ 1012 c) 243.000.000 e) 7,2 ⋅ 10−2 g) 0,01 ⋅ 10−30
b) 0,75 ⋅ 10−11 d) 0,00001 f ) 0,5 ⋅ 1014 h) 18,32 ⋅ 104
El número 7,2 ⋅ 10−2 está escrito en notación científica.
089
088
355
113= 3,1415929…
π = 355
113087
32 = 5,65685…
32086
085
1
7084
Er = =0 00792
8 567920 00092
,
,,
083
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26
Números reales
Escribe en notación científica los siguientes números, e indica su mantisa y su orden de magnitud.
a) 5.000.000.000 c) 31.940.000 e) 4.598.000.000 g) 329.000.000
b) 0,00000051 d) 0,0000000009 f) 0,0967254 h) 111.000
a) 5.000.000.000 = 5 · 109 Mantisa: 5 Orden de magnitud: 9
b) 0,00000051 = 5,1 · 10-7 Mantisa: 5,1 Orden de magnitud: −7
c) 31.940.000 = 3,194 · 107 Mantisa: 3,194 Orden de magnitud: 7
d) 0,0000000009 = 9 · 10-10 Mantisa: 9 Orden de magnitud: −10
e) 4.598.000.000 = 4,598 · 109 Mantisa: 4,598 Orden de magnitud: 9
f ) 0,0967254 = 9,67254 · 10−2 Mantisa: 9,67254 Orden de magnitud: −2
g) 329.000.000 = 3,29 · 108 Mantisa: 3,29 Orden de magnitud: 8
h) 111.000 = 1,11 · 105 Mantisa: 1,11 Orden de magnitud: 5
Desarrolla estos números escritos en notación científica.
a) 4,8 ⋅ 108 b) 8,32 ⋅ 10−11 c) 6,23 ⋅ 10−18 d) 3,5 ⋅ 10−12
a) 4,8 ⋅ 108 = 480.000.000 c) 6,23 ⋅ 10−18 = 0,00000000000000000623
b) 8,32 ⋅ 10−11 = 0,0000000000832 d) 3,5 ⋅ 10−12 = 0,0000000000035
Realiza las operaciones.
a) 1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104
b) 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103
c) 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3
d) 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2
e) 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102
a) 1,32 ⋅ 104 + 2,57 ⋅ 104 = 3,89 ⋅ 104
b) 8,75 ⋅ 102 + 9,46 ⋅ 103 = 1,0335 ⋅ 104
c) 3,62 ⋅ 104 + 5,85 ⋅ 10−3 = 3,620000585 ⋅ 104
d) 2,3 ⋅ 102 + 3,5 ⋅ 10−1 + 4,75 ⋅ 10−2 = 2,303975 ⋅ 102
e) 3,46 ⋅ 10−2 + 5,9 ⋅ 104 + 3,83 ⋅ 102 = 5,93830346 ⋅ 104
Halla el resultado de estas operaciones.
a) 9,5 ⋅ 104 −3,72 ⋅ 104
b) 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102
c) 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6
d) 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102
e) 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2
a) 9,5 ⋅ 104 − 3,72 ⋅ 104 = 5,78 ⋅ 104
b) 8,6 ⋅ 103 − 5,45 ⋅ 102 = 8,055 ⋅ 103
c) 7,9 ⋅ 10−4 − 1,3 ⋅ 10−6 = 7,887 ⋅ 10−4
d) 4,6 ⋅ 106 + 5,3 ⋅ 104 − 3,9 ⋅ 102 = 4,652610 ⋅ 106
e) 5 ⋅ 102 − 3 ⋅ 10−1 + 7 ⋅ 10−2 = 4,997 ⋅ 102
093
092
091
090
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27
1SOLUCIONARIO
Efectúa las siguientes operaciones.
a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102
b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103
a) 7,3 ⋅ 104 ⋅ 5,25 ⋅ 10−3 = 3,8325 ⋅ 102 c) 8,3 ⋅ 106 : 5,37 ⋅ 102 = 1,545623836 ⋅ 104
b) 8,91 ⋅ 10−5 ⋅ 5,7 ⋅ 1014 = 5,0787 ⋅ 1010 d) 9,5 ⋅ 10−6 : 3,2 ⋅ 103 = 2,96875 ⋅ 10−9
Simplifica el resultado de estas operaciones.
a) b)
Halla el valor numérico de estos radicales.
a) b) c) d) e) f )
Indica los radicales equivalentes.
Simplifica los siguientes radicales.
a) b) c) d) e) f ) g) h)
h) 625 5 5 5 58 484
8
1
2= = = =
g) 27 3 3 3 36 363
6
1
2= = = =
f ) 128 2 2 2 2 2 25 757
5
2
5 25= = = =·
e) 75 3 5 3 5 5 321
2= = =· ·
d) 27 3 3 3 3 3 333
2
1
2= = = =·
c) 32 2 2 2 2 2 24 545
4
1
4 4= = = =·
b) 54 3 2 3 2 3 2 3 23 33
3
3
1
3
1
3 3= = = =· · ·
a) 16 2 2 2 2 2 23 434
3
1
3 3= = = =·
625827612857527324543163
098
7 7 7 7232
3
8
12 812= = =3 3 3 3252
5
4
10 410= = =
2 2 2 2 2686
8
3
4
15
20 1520= = = =2 2 2 2343
4
9
12 912= = =
21520291234107812268723325234
097
f ) − = −128 27d) − = −216 63b) − = −27 33
e) 625 54 = ±c) − = −100 000 105 .a) 81 34 = ±
−12876254−2163−100 0005 .−273814
096
b)3,92 5,86
9,2
2,29712· · ·
· · ·
10 10
7 10 10
4 6
8 13
−
−=
··
··
10
1010
1
6
8−
−=6,44
3,566956522
a)6,147 4,6
7,9 6,57
2,827· · ·
· · ·
10 10
10 10
2 3
8 5
−
−=
662
5,19035,447893185
·
··
10
1010
2
4
3= −
3 92 10 5 86 10
7 10 9 2 10
4 6
8 13
, ,
,
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
−
6 147 10 4 6 10
7 9 10 6 57 10
2 3
8 5
, ,
, ,
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
−
−
095
094
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28
Números reales
Escribe como potencias de exponente fraccionario estos radicales.
Expresa mediante un solo radical.
f )1
5
1
5
1
5
51
51
2
1
2
1
4
1
44
=
( )= = =
−
e) 2 2 2 2431
4
1
3 1
12 12= ( ) = =
d)1
2
1
2
2 21
2
1
2 1
2
1
2 1
=⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) =
− −
444
1
2=
c) 3 3 3 31
2
1
2
1
21
8 8= ( )⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
b)2
2
2
2
23
1
2
1
3
1
21
6
1
2
=
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) = 22 2
1
12 12=
a) 3 5 3 5 3 5 3 5 3 551
2
1
5 1
5
1
10
2
10
1
10 210= ( ) = = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅
f)1
5e) 243d)
1
2c) 3b)
2
23a) 3 55
100
h)1
3
1
3
aa=
−
e)1 1
1
2
1
2
aa
a= =−
g) a a( ) =3 3
2d) a a−−
=545
4
f )1 1
4 1
4
1
4
aa
a= =−
c)a
a
a
a
a a=⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) =
1
2
1
2 1
2
1
2 1
4
b) a a a a a a a a31
2
1
2
1
33
2
1
2
= ( )⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ( )
⎛⎝⎜⎜
⋅ ⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = ( ) = ( ) =
1
33
4
1
3 7
4
1
3 7
12a a a a⋅
a) a a a a a a= ( ) = ( ) = 1
2
1
2 3
2
1
2 3
4
h)1
3
af )
14 a
d) a−54b) a a a3
g) a( )3e)
1
ac)
a
aa) a a
099
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:27 Página 28
29
1SOLUCIONARIO
Extrae los factores que puedas de la raíz.
Extrae factores de los radicales.
Simplifica las siguientes expresiones.
f )a
a
a a
1
2
3
2
1
2
11
2
1⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟= ( ) =
−
− −22 = a
e) 36729 37 126 7 126 2 6a b a b ab a− − −= =
d)2 25
−
−=
−
−=
− −8
32
23 5 23
6 43
3 3 5 23
6 43
a b c
a b
a b c
a b
b22 22a c a
b
c3 23
23
1=
c)81
2
3
3
4
8 2
3 3
4
33
4
33 3
a
b
a
b
a
b
a= =
b) 32 2 2 25 8 124 5 5 8 124 2 3 4a b c a b c ab c a− − − − − −= =
a)a
aa a a
a
12
183 63
6
2
1
31 1
= = ( ) = =−−
−
f )a
a
1
2
3
2
1
2⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−
d)−
−
−8
32
3 5 23
6 43
a b c
a bb) 32 5 8 124 a b c− −
e) 729 7 126 a b−c)8
81
4
33
a
ba)
a
a
12
183
103
f ) 15 625 5 54 33 6 4 33 2 3. x y x y x y x= =c) 2 26 4 8 3 2 4a b a b=
e) a b ab a6 105 2 5=b) 16 2 274 4 74 34a a a a= =
d) a b c abc a bc6 5 94 2 24=a) 8 2 253 3 53 23a a a a= =
f ) 15 625 4 33 . x yd) a b c6 5 94b) 16 74 a
e) a b6 105c) 26 4 8a ba) 8 53 a
102
h) 40 2 5 2 53 33 3= =⋅d) 98 2 7 7 22= =⋅
g) 1 000 2 5 2 5 103 3 33. = = =⋅ ⋅c) 50 2 5 5 22= =⋅
f ) 75 3 5 5 32= =⋅b) 18 2 3 3 22= ⋅ =
e) 12 3 2 2 32= =⋅a) 8 2 2 23= =
h) 403f ) 75d) 98b) 18
g) 1 0003 .e) 12c) 50a) 8
101
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30
Números reales
Introduce los factores bajo el radical.
Introduce los factores dentro del radical, si es posible.
e) No es posible introducir factores, puesto que 5 no es factor.
Opera y simplifica.
h) 2 5 10 2 5 10−( ) ⋅ +( )d) 5 2 3 5 2 3−( ) ⋅ +( )g) 6 7 5 6 7 5+( ) ⋅ −( )c) 3 2 3 2+( ) ⋅ −( )f ) 7 2 3 5 3 2−( ) ⋅ +( )b) 2 7 3 2 5 2 2+( ) ⋅ −( )e) 7 5 4 5 5 3 6+( ) ⋅ −( )a ) 3 2 5 4 2 3−( ) ⋅ −( )
106
f ) − = − = −a a a a a2 3 63 73
d) 2 23 3− = − = −2 2 3 3 63 4 73ab ab a b ab a b
c)2
2
2
3
2 3
8
3 3
22a
a a
a a⋅ = =
b)4 2
2
4
4
8
3
4
8 8
24
4 4 24
4 5 2
44
ab
c
c b
a
a b c b
c a
a b c
ac⋅ = = ==
25 a b
c
3 5
24
a) aa
a
a a
a
a a⋅
−=
−=
−4 1
2
4 1
2
4
2
2 2( )
f ) −a a2 3d) −2 2 3ab abb)4
8
2
4ab
c
c b
a⋅
e) 5 2+c)2 3
8a
a⋅a) aa
a⋅ −4 1
2
105
j)1
7
3
4
3
7 4
3
21 952
3
3 33 3⋅ = =
⋅ .e)
1
26
1 6
2
6
16
3
84
44 4 4= = =
⋅
i)23
5
2
3
3
5 3
18
1253
3
33 3= =
⋅
⋅d)
323
52
2
5
18
252= =
⋅
h) 51
5
5
55 253
3
3 23 3= = =c) 3 15 3 15 3 6455 55 5= =⋅ .
g) 2 7 2 7 563 33 3= =⋅b) 4 20 4 20 5 1204 44 4= =⋅ .
f )1
2
1
2
1
2 2
1
324
44 4= =
⋅a) 2 5 2 5 403 33 3= =⋅
j)1
7
3
4
3
⋅h) 51
53f )
1
2
1
24d)
3
52b) 4 204
i)3
5
2
33g) 2 73e)
1
264c) 3 155a) 2 53
104
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:27 Página 30
31
1SOLUCIONARIO
Calcula.
Efectúa y simplifica.
c) 3 5 4 7 3 5 4 73 15 4 21 15 5 4 35 4 21
+ −( ) − +( ) == − + + − + − +
⋅44 35 112 109 8 35− = +
b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5 9 5 4 80 72+( ) −( ) + −( ) +( ) = − + − = −⋅ ⋅
a) 2 3 2 3 2 3 4 4 3 3 4 3 6 4 32
+( ) − +( ) −( ) = + + − + = +⋅
c) 3 5 4 7 3 5 4 7+ −( ) ⋅ − +( )b) 3 5 3 5 2 4 5 2 4 5+( ) ⋅ −( ) + −( ) ⋅ +( )a) 2 3 2 3 2 3
2+( ) − +( ) ⋅ −( )
108
d) ab a b ab a b a b a b3 31
2
1
3 1
3
1
2 1
6
1
6
1
2
1
⋅ ⋅= ( )( ) ( )( ) = 66
2
3
1
3 23= =a b a b
c) :2 4 2 4 23 45 23 3 41
5 21
3 3 43
1a b ab a b ab a b= ( ) ( ) = ( ): 55 25
15
9 12
5 1015
9 12
5
4: ab
a b
a b
a b
a
( ) =
= =2
4
2
2
3
5
3
10 bb
a b10
154 2
715
2=
b) 3 2 3 2 3 223 3 21
3 31
2 22
6a b ab a b ab a b ab⋅ ⋅ ⋅= ( ) ( ) = ( ) 333
6
2 4 2 3 3 96 3 2 7 1163 2 2 3
( ) == =a b a b a b
a) a a a a a a a a a a34 53 463
4
5
3
4
6
9
12
20
12
8
12⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =227
12 3712 312= =a a a
d) ab a b3 3⋅b) 3 223 3a b ab⋅
c) 2 43 45 23a b ab:a) a a a34 53 46⋅ ⋅
107
h) 2 5 10 2 5 10 4 5 2 50 2 50 1020 1
2 2−( ) +( ) = ( ) + − −( ) =
= −⋅
00 10=
g) 6 7 5 6 7 5 36 7 6 35 6 35 5252 5
2 2+( ) −( ) = ( ) − + −( ) =
= − =⋅
2247
f ) 7 2 3 5 3 2 35 6 14 2 15 3 6−( ) +( ) = + − −⋅
e) 7 5 4 5 5 3 6 35 5 21 30 20 5 12 6175 2
2+( ) −( ) = ( ) − + − =
= −⋅
11 30 20 5 12 6+ −
d) 5 2 3 5 2 3 25 2 15 2 15 2 9 50 9 412
−( ) +( ) = ( ) + − − = − =⋅
c) 3 2 3 2 3 6 6 2 3 2 12 2
+( ) −( ) = ( ) − + −( ) = − =⋅
b) 2 7 3 2 5 2 2 10 7 4 14 15 2 6 210 7 4 14
2+( ) −( ) = − + − ( ) =
= −⋅
++ −15 2 12
a) 3 2 5 4 2 3 12 2 9 2 20 2 15 29 2 392
−( ) −( ) = ( ) − − + = − +⋅
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32
Números reales
Halla el resultado.
Efectúa y simplifica.
Expresa el resultado como potencia.
d) 8 81 2 3 2 353 3 41
5
1
3 4
15= ( )( ) = ⋅
c) 2 2 2 2 2 2232
3
1
2 1
2
1
2
1
21
3
1
⋅ ⋅ ⋅= ( ) ( )⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = 88
11
242=
b) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 35 251
5 21
2
1
5 1
5
2
5
1
10
7
10⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ( ) = =·
a) 5 5 5 5 5 536 1
3
1
2
6 5
6
6
5·( ) = ( ) = ( ) =⋅
d) 8 8153b) 3 3 35 25⋅
c) 2 223 ⋅a) 5 536
⋅( )
111
d)a a a a
9 16
16 9
144
2
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−
⎟⎟⎟⎟=
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
− −2 225
144
5
12
aa ⎟⎟ =
−2144
25a
c) 14 7 81 14 7 3 14 2 44
1
21
21
2
1
2+ −( ) = + −( ) = +( ) = =− − − − 11
4
1
2=
b) 811
3
1
33 3 3 3
1
4 48
1
4
1
8⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=
⎛
⎝
− −: ⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟= = =: :3 3 3 3 3
1
2
5
8
1
2
1
8 8
a)2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
34 4 3
25
2
3
4 41
3
21
2
5
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
−
−=
22
13
12
4
13
12
48
12
35122
2
2
2
2= = =
d)a a
9 16
2
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
b) 811
3
1
33
1
4 48
⋅ ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ :
c) 14 7 814
1
2+ −( )−
a)2 2 2
2 2 2
34 4 3
252
⋅ ⋅
⋅ ⋅
−
−
110
c) 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 14 4 4 4+ − = +( ) −( ) = − =⋅
b) 5 3 1 5 3 1 5 3 1 5 3 1 75 1 743 3 3 3 3− + = +( ) +( ) = − =⋅
a) 7 2 6 7 2 6 7 2 6 7 2 6 49 24 25 5− + = −( ) +( ) = − = =⋅
c) 3 2 3 24 4+ ⋅ −
b) 5 3 1 5 3 13 3− ⋅ +
a) 7 2 6 7 2 6− ⋅ +
109
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:27 Página 32
33
1SOLUCIONARIO
Racionaliza y simplifica.
j)7 2
3
7 2 3
3 3 3
7 2 3
9
3
54
3 34
4 34
4 912
= =⋅
⋅
⋅
i)5 3 4
3
5 3 4 3
3 3
5 3 4 3
323
3
23 3
56 3−=
−( )=
−
⋅
h)9
5 5
9 5
5 5 5
9 5
2557
27
57 27
27
= =⋅
g)6 6 6
6
6 6 6 6
6 6
6 6 6 6
66 6 6
3
23
3 23
6 236 2−
=−( )
=−( )
= −⋅
33
f )7 5
3
7 5 3
3 3
7 3 675
34
34
4 34
34 4+=
+( )=
+
⋅
e)−
=−
=−
=−6
2 7
3
7
3 7
7 7
3 7
74 4
34
4 34
34
d)5 3 4
3
5 3 4 3
3 3
15 3 4 325
35
25 35
10 35−
−=
−( ) −
− −=
− + −
⋅ −−=
− −3
15 3 4 3
3
10 35
c)1 2
2
1 2 2
2
2 2
22
−=
−( )
( )=
−
b)−
=−
( )=
−=
−5
2 5
5 5
2 5
5 5
10
5
22
a)6 6 6
6
6 6 6 6
6
6 6 6 6
6
6 6 6
66 6
2
−=
−( )
( )=
⋅ −=
−( )= −
j)7 2
3
3
54e)
−6
2 74
i)5 3 4
323
−d)
5 3 4
325
−
−
h)9
5 557c)
1 2
2
−
g)6 6 6
63
−b)
−5
2 5
f )7 5
34
+a)
6 6 6
6
−
112
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34
Números reales
Elimina las raíces del denominador.
Racionaliza las siguientes expresiones.
Racionaliza y simplifica el resultado.
a)1
3 6
3 6
3 6 3 6
3 6
3 6
3 6 3 6
3 6 3 6+=
+
+ +=
+
+=
+ −( )
+( ) −( )⋅==
=+ − +
−=
+ − +3 3 6 18 6 6
9 6
3 3 6 18 6 6
3
d)4 3 7
12
+c)
5 6 2
18
−b)
1
1 5 7− +a)
1
3 6+
115
d)−
⋅ +( )=
− −( )
+( ) −( )=
− −( )7
9 6 3
7 6 3
9 6 3 6 3
7 6 3
27
c)8
5 10 6
8 10 6
5 10 6 10 6
8 10 6
20⋅ −( )=
+
−( ) +( )=
−( )=
( ) 22 10 6
5
−( )
b)5
3 7 2
5 7 2
3 7 2 7 2
5 7 2
15
7 2
3⋅ +( )=
−
+( ) −( )=
−( )=
−( )
a)−
⋅ −( )=
− −
−( ) +( )=
− −1
2 5 3
5 3
2 5 3 5 3
5 3
4
d)−
⋅ +( )7
9 6 3c)
8
5 10 6⋅ −( )b)
5
3 7 2⋅ +( )a)−
⋅ −( )1
2 5 3
114
f )−
+=
− −( )
+( ) −( )=
− +−
= −5
6 7
5 6 7
6 7 6 7
5 6 5 7
6 75 6 5 7
e)7
11 3
7 11 3
11 3 11 3
7 11 21
11 9
7 11
−=
+( )−( ) +( )
=+
−=
+ 221
2
d)4 2
3 2 5
4 2 3 2 5
3 2 5 3 2 5
24 4 10
18 5
24
−=
+( )−( ) +( )
=+
−=
++ 4 10
13
c)−
−=
− +( )−( ) +( )
=− −
−= +
5
3 2
5 3 2
3 2 3 2
5 3 10
3 45 3 10
b)3
2 3
3 2 3
2 3 2 3
3 2 3
2 33 2 3
+=
−( )
+( ) −( )=
−( )−
= − −( )
a)1
2 1
2 1
2 1 2 1
2 1
2 12 1
+=
−
+( ) −( )=
−−
= −
f )−
+
5
6 7d)
4 2
3 2 5−b)
3
2 3+
e)7
11 3−c)
−
−
5
3 2a)
1
2 1+
113
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35
1SOLUCIONARIO
Racionaliza las siguientes expresiones.
d)−
=−
=−
=−
=−4
3 2
4
3 2
4
3 2
4
3 24 3 1
4
1
3
3
12
4
123 412⋅
⋅ ⋅ ⋅
44 3 2
3 2 3 2
4 3 2
6
2 3 2
9 812
3 412 9 812
9 812 9 8
⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
=−
=− 112
3
c)−
+( )=
− −( )
+( ) −( )=
−2
2 125 2
2 125 2
2 125 2 125 23 3⋅ ⋅
2250 2 2
121 2
250 2 2 2
121 2 2
5 2
3
23
3 23
9 76
+=
=− +( )
=−
⋅
⋅ ++=
− +=
=−
2 2
121 2 2
5 2 5 2 2 2
242
2 5 5 2
76
3 23
36 2 6
36
⋅
⋅ ⋅
⋅ ++( )=
− +2 2
242
5 5 2 2 2
121
6 36 6⋅
b)−
−( )=
− +( )−( ) +( )
=− +2
4 5 3 1
2 5 3 1
4 5 3 1 5 3 1
2 5 33 3⋅ ⋅
11
74 4
5 3 1
37 4
5 3 1 4
37 4 4
5 3
3
3
23
3 23
3
( )=
=− −
=− −( )
=−
⋅
⋅⋅ 4 4
148
46 23−
a)3
3 2 5 4 2 3
3
24 9 2 20 2 15
3
39 29 2
3 39
−( ) −( )=
− − +=
−=
=
⋅
++( )−( ) +( )
=+−
=29 2
39 29 2 39 29 2
117 87 2
1 521 1 682. .
1117 87 2
161
+−
d)−
⋅
4
3 24 3b)
−
⋅ −( )2
4 5 3 13
c)−
⋅ +( )2
2 125 23a)
3
3 2 5 4 2 3−( ) ⋅ −( )
116
d)4 3 7
12
4 3 7 12
12
24 84
12
2 12 21
6 22
+=
+( )
( )=
+=
+( )⋅
=112 21
6
+
c)5 6 2
18
5 6 2 18
18
5 3 2 6
18
5 3 2 3 6
2
3 2−=
−( )
( )=
−=
=−
⋅
⋅ ⋅118
6 5 3 1
6 3
5 3 1
3=
−⋅
=−( )
b)1
1 5 7
1 5 7
1 5 7 1 5 7
1 5 7
1 5 7 5
− +=
+ −
− +( ) + −( )=
=+ −
+ − − −55 35 7 35 7
1 5 7
11 2 35
1 5 7 11 2 35
+ + + −=
+ −
− +=
=+ −( ) − −( )
−− +( ) − −( )=
− − + − − +
11 2 35 11 2 35
11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 2445
121 140
11 11 5 11 7 2 35 2 175 2 245
19
−=
=− − + − − +
−
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36
Números reales
Realiza estas operaciones.
Efectúa las operaciones.
Calcula, mediante la definición, los logaritmos.
a) log3 243 e) ln e2
b) log9 81 f ) ln e−14
c) log 1.000.000 g) log7 343
d) log 0,00001 h) log4 0,0625
a) log3 243 = 5 e) ln e2 = 2
b) log9 81 = 2 f ) ln e−14 = −14
c) log 1.000.000 = 6 g) log7 343 = 3
d) log 0,00001 = −5 h) log4 0,0625 = −2
Sabiendo que log3 2 = 0,63; halla log3 24 mediante las propiedades de los logaritmos.
log3 24 = log3 (23 · 3) = log3 23 + log3 3 = 3 log3 2 + log3 3 = 3 · 0,63 + 1 == 1,89 + 1 = 2,89
Calcula log4 128, utilizando las propiedades de los logaritmos, e intenta dar unresultado exacto.
log4 128 4x = 128 22x = 128 22x = 27 x =
Halla el resultado de las expresiones, mediante las propiedades de los logaritmos.
a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49
b) log2 8 + log3 27 + log5 125
c) log5 625 − log9 81 + log8 64
a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49 = 2 · 2 + 5 − 3 · 2 = 3
b) log2 8 + log3 27 + log5 125 = 3 + 3 + 3 = 9
c) log5 625 − log9 81 + log8 64 = 4 − 2 + 2 = 4
122
7
2
121
120
119
b)1
3
1
9
9 3
39 3
3 9
79− =
−
a)1
5 5
1
5
5 5 5
5 5 5
5 5 5
5 5 53
3
3
3
56 3+− =
− −
+( )=
− −
+
b)1
3
1
99 3−a)
1
5 5
1
53+−
118
b)1
6
6
2
2 6
6 29 3
3 1118
39+ =
+
⋅a)
1
2
1
2
2 2
23
3
56+ =
+
b)1
6
6
29 3+a)
1
2
1
23+
117
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37
1SOLUCIONARIO
Desarrolla las siguientes expresiones.
Determina, utilizando la calculadora.
a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315
d) log log 31log 31
log 412,38554 431 5 55 = = ⋅ =
c) log log 10log 10
log 62,57016 6
2100 2= = ⋅ =
b) log log 31log 31
log 22,47712 231
1
2
1
2= = ⋅ =
a) log 36 log 36 2log 36
log 54,45315
25= = ⋅ =2
log2 31
124
d) ln.
ln ln .
ln ln
e ae a
e
3 643
6
4
3
1 0001 000
⋅⋅= ( )− =
= + aa
e a
3
2 310
33
23 10
− =
= + −
ln
ln ln ln
c) log log log
lo
102 35
10 102 35x x
y zx x y z
⋅
⋅⋅ ⋅= ( )− =
= gg log
log log
10
1
210
2
5
3
5
10 10
1
2
x x y z
x x
⋅ ⋅( )− ( ) =
= + −− − =
= + −
log log
log log log
10
2
510
3
5
10 10 11
2
2
5
y z
x x 00 103
5y z− log
b) log log log
log
2
3 65
732
3 652
73
2
a b
ca b c
a
⋅⋅= ( )− =
= 332
6
52
7
3
2 2 236
5
7
3
+ − =
= + +
log log
log log log
b c
a b c
a) log log ( ) log
log
3
2 5
2 32 5
32
3
a b c
da b c d
a
⋅ ⋅⋅ ⋅= − =
= 223
53 3
2
3 3 32 5
+ + − == + +
log log log
log log log
b c d
a b c −− 2 3log d
d) ln.
e a3 64
1 000
⋅b) log2
3 65
73
a b
c
⋅
c) log102 35
x x
y z
⋅
⋅a) log3
2 5
2
a b c
d
⋅ ⋅
123
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38
Números reales
Si log e = 0,4343; ¿cuánto vale ln 10? ¿Y ln 0,1?
Halla el valor de los logaritmos decimales, teniendo en cuenta que log 2 = 0,3010.
a) log 1.250 c) log 5 e) log 1,6
b) log 0,125 d) log 0,04 f ) log 0,2
Calcula el valor de x.
a) log3 x = 5 c) log2 x = −1 e) log3 (x − 2) = 5 g) log2 (2 − x) = −1
b) log5 x = 3 f) log5 (x + 2) = 3 h) log23 (3 + x) = 4
Halla cuánto vale x.
a) logx 3 = −1 b) logx 5 = 2 c) logx 3 = −2 d) logx 2 = 5
d) logx x x2 5 2 25 5= = =→ →
c) logx x x x3 2 31
3
1
32 2= − = = =−→ → →
b) logx x x5 2 5 52= = =→ →
a) logx x x3 1 31
31= − = =−→ →
128
h) log ( ) . .2343 4 23 3 279 841 3 279 838+ = = + = − =x x x→ →
g) log ( ) , ,212 1 2 2 0 5 2 1 5− = − = − = − + =−x x x→ →
f ) log ( )532 3 5 2 125 2 123x x x+ = = + = − =→ →
e) log ( )352 5 3 2 243 2 245x x x− = = − = + =→ →
d) log 2
3
4
42
3
16
81x x x=
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =→ →
c) 0,5log211 2x x x= − = =−→ →
b) log533 5 125x x x= = =→ →
a) log355 3 243x x x= = =→ →
d) log 2
3
4x =
127
f ) 0,2 0,3010 0,699log log log log= = − = − = −2
102 10 1
e) 0,3010 0,2log , log log log1 62
104 2 10 4 1
4
= = − = − =⋅ 004
d) 0,04 0,3010log log log log= = − = − =2
1002 2 2 10 2 2
2
⋅ −−1,398
c) 0,3010 0,6990log log log log510
210 2 1= = − = − =
b) 0,125 0,3010 0,90log log log log= = − = − =1
81 2 0 33 ⋅ 33
a) 1.250 0log log.
log . log= = − = −10 000
810 000 2 4 33 ⋅ ,,3010 3,097=
126
lnlog
log0,1
0,1
0,43432,3025= =
−= −
e
1ln
log
log10
10
0,43432,3025= = =
e
1
125
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39
1SOLUCIONARIO
Calcula el valor de x.
a) log3 9 x = 2 e) log3 9 x+3 = 3
b) f ) log 2x/2
c) ln 3x = −1 g) ln 3x+6 = 3
d) log2 4x+4 = −2 h) log3 273x+4 = −2
Determina el valor de x.
a) 8x = 1.024 e) 8x−2 = 1.024
f ) (3x)2 = 27
d) 10 x−1 = 103
h) 2 1 2 2 2 1 0 12 22 1 2 1 0 2x x x x x x x− + − += = − + = =→ → →
g) 3 18 27 3 9 3 3 2 22 2 2 2 2x x x x x+ = = = = =→ → → →
f ) ( )3 27 3 3 2 33
22 2 3x x x x= = =→ → → →
e) 8 1 024 2 2 3 6 1016
32 3 2 10x x x x− −= = − = =. ( )→ → →
d) 10 10 1 3 41 3x x x− = − = =→ →
c) 3 27 3 3 6 3 9 32 26 6 3 2x x x x− −= = − = = = ±→ → →
b) 3 27 3 33
2
2 2 3x x x= = =→ →
a) 8 1 024 2 210
33 10x x x= = =. → →
h) 2 12 2 1x x− + =
g) 3 18 272x + =c) 3 27
2 6x − =b) 3 27
2x =
130
h) log ( ) log33 4
327 2 3 4 27 2 3 42
3
3
x x x
x
+ = − + = − + =−→ →
→ ==− −
=−2 12
3
14
9→ x
g) 3,2693ln ( ) lnln
3 3 6 3 33
366x x x x+ = + = = − = −→ → →
f ) 9,9658log loglog
23
2 22
3
2
3
22
x xx x= = = =→ → →
e) log33 3 3 3 3 99 3 3 9 3 3 3 3 9 2x x x x x+ + += = = = + = −→ → → →
d) log24 2 4 2 2 84 2 2 4 2 2 2 2 8x x x x x+ − + − += − = = − = + =→ → → → −−5
c) 0,9102ln lnln
3 1 3 11
3x x x x= − = − =
−= −→ → →
b) 4,9829log loglog
23
22
3
2
3
2 2x x x x= = = =→ → →
a) log log3 39 2 9 2 2 2 1x x x x= = = =→ → →
= 3
2log 2
3
2x =
129
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40
Números reales
Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. Razona tu respuesta.
a) Todos los números decimales se pueden escribir en forma de fracción.b) Todos los números reales son racionales.c) Cualquier número irracional es real.d) Hay números enteros que son irracionales.e) Existen números reales que son racionales.f) Todo número decimal es racional.g) Cada número irracional tiene infinitas cifras decimales.h) Todos los números racionales tienen infinitas cifras decimales que se repiten.i) Todos los números racionales se pueden escribir mediante fracciones.
a) Falsa, pues los números irracionales tienen infinitas cifras decimalesno periódicas y no se pueden escribir como fracción.
b) Falsa, porque hay números reales que son irracionales.
c) Verdadera, ya que los números racionales y los irracionales forman el conjuntode los números reales.
d) Falsa, porque si son enteros no pueden tener infinitas cifras decimales noperiódicas.
e) Verdadero, pues todos los números que se pueden expresar como fracción,son números reales, que además son racionales.
f ) Falsa, porque los números decimales con infinitas cifras decimales noperiódicas son irracionales.
g) Verdadero, ya que tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
h) Falsa, pues los decimales exactos también son racionales.
i) Verdadero, por definición.
¿Por qué la raíz cuadrada de cualquier número terminado en 2 es un númeroirracional? ¿Existe otro conjunto de números con esta característica?
Porque no hay ningún número que, al multiplicarlo por sí mismo, dé un númeroterminado en 2.
Todas las familias de números terminadas en 3, 7 y 8 tienen esta característica.
Escribe en notación científica las siguientes cantidades.
a) Distancia Tierra-Luna: 384.000 kmb) Distancia Tierra-Sol: 150.000.000 kmc) Diámetro de un átomo: 0,0000000001 md) Superficie de la Tierra: 500 millones de km2
e) Longitud de un virus (gripe): 0,0000000022 mf ) Peso de un estafilococo: 0,0000001 gg) Un año luz: 9.500.000.000.000 kmh) Distancia a la galaxia más lejana: 13.000 millones de años luz
a) 384.000 = 3,84 · 105 e) 0,0000000022 = 2,2 · 10−9
b) 150.000.000 = 1,5 · 108 f ) 0,0000001 = 1 · 10−7
c) 0,0000000001 = 1 · 10−10 g) 9.400.000.000.000 = 9,4 · 1012
d) 500.000.000 = 5 · 108 h) 13.000.000.000 = 1,3 · 1010
133
132
131
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41
1SOLUCIONARIO
Con ayuda de las propiedades de los números reales, prueba que el productode cero por cualquier número real da como resultado cero. En cada caso, indicala propiedad que estás utilizando.
Por la unicidad de los elementos neutros para la suma y la multiplicación se tiene que:
Propiedad distributiva
0 · a + a = a · (0 + 1) = a · 1 = a
Como 0 · a + a = a → 0 · a = 0
¿Qué tipo de decimal se obtiene de la fracción , siendo a un número entero?
Como nuestro sistema de numeración es decimal, al dividir un número enteroentre un número que sea potencia de 2 o 5, o de ambos, se obtiene un decimal exacto. Si el numerador es múltiplo del denominador, se obtiene unnúmero entero.
¿Existe algún caso en que la aproximación por exceso y por defecto coincidan?
Y si consideramos el redondeo, ¿puede coincidir con la aproximación por excesoo por defecto?
No pueden coincidir, ya que para aproximar por defecto se eliminan las cifrasa partir del orden considerado, y para aproximar por exceso se eliminan las cifras a partir del orden considerado, pero se aumenta en una unidad la últimacifra que queda.
La aproximación por redondeo coincide con la aproximación por defecto si la cifraanterior al orden considerado es menor que cinco, y coincide con la aproximaciónpor exceso en el resto de casos.
Razona cómo se racionalizan las fracciones del tipo:
Multiplicamos el denominador por el conjugado:
Por tanto, multiplicando por el conjugado n veces:
a b a b a b
a b
n n n n2 2 2 21 1
+( ) +( ) +( )−
− −
�
a b
a b a b
a b
a b
n n
n n n n
n n
n n
2 2
2 2 2 2
2 2
2 21
+
−( ) +( )=
+
−− −11
1 1
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
a b a b
a b a
n n n n
n n n
+( ) +( )−( ) +
− −
− − −
bb
a b a b
a bn
n n n n
n n2
2 2 2 2
2 21
1 1
2 2−
− −
− −( )=
+( ) +( )−
12 2a b
n n
−137
136
a
2 52 3·135
8
134
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42
Números reales
Racionaliza las siguientes expresiones.
a) b) c)
Indica un procedimiento general para racionalizar expresiones del tipo:
teniendo en cuenta que b1, b2, …, bn son números reales.
Se multiplica el denominador por una expresión que resulta al cambiar de signoa todos los elementos del denominador menos a uno.
Al realizar la operación el número de raíces disminuye, se repite este procesotantas veces como sea necesario hasta que la expresión quede racionalizada.
Considera que A, B, C y D son cuatro pueblos. La distancia medida entre A y Bha sido de 48 km, con un error de 200 m, y la distancia entre C y D ha sido de 300 m,con un error de 2,5 m. ¿Qué medida es mejor? ¿Por qué?
Se calcula el error relativo:
Es mejor la medida tomada entre las ciudades A y B, ya que el error relativocometido es menor.
Er = =2 5
3000 00833
,,Er = =
0 2
48
,0,00416
140
1
1 2b b bn+ + +…
139
c)2
6 5 5 6 3
2 6 5 5 6 3
6 5 5 6 3 6 5 5 6 3
3 3
− −=
+ +( )− −( ) + +( )
=
=22 6 5 5 6 3
227 60 15
2 6 5 5 6 3 137 60 153 3+ +( )− −
=+ +( ) − −( ))
−=
=+ +( ) − +( )
−
2 471
2 6 5 5 6 3 137 60 15
2 471
3
.
.
b)2
2 2 3 3 4
2 2 2 3 3 2
2 2 3 3 2 2 2 3 3 2
2 2
− +=
+ −( )− +( ) + −( )
=
=++ −( )
− +=
+ −( ) − −
− +(3 3 2
23 12 3
2 2 2 3 3 2 23 12 3
23 12 3
( )
)) − −( )=
=− − − − + +
=
=−
23 12 392 2 48 6 138 3 216 92 48 3
97922 2 48 6 90 3 124
97
− − −
a)2
2 3 4
2 2 3 2
2 3 2 2 3 22 2 3 2
5
+ +=
− −( )
+ + − −=
=− −( )
−
( )( )
−−=
− −( ) − +
− − − +=
=−
2 12
2 2 3 2 5 2 12
5 2 12 5 2 1210
( )
( )( )22 4 24 10 3 24 20 8 12
25 4810 2 8 6 10 3 4 16 3
+ + − − −−
=
=− − + +
223
10 2 8 6 4 6 3
23=
− + +
2
6 5 5 6 3
3
− −
2
2 2 3 3 4− +
2
2 3 4+ +
138
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43
1SOLUCIONARIO
Comprueba las siguientes igualdades.
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
a) Falso: e) Verdadero:
b) Falso: f ) Falso:
c) Falso: g) Falso:
d) Falso: h) Falso:
Escribe 2500 en notación científica.
a) Sabiendo que log 2 = 0,3010 y que .
b) ¿Podrías hacerlo con una calculadora científica?
c) Expresa 5500 en notación científica, teniendo en cuenta el primer apartado.
a) Llamamos x al número: 2500 = x
Tenemos que encontrar y tal que 10 y = x.
2500 = x 500 = log2 x =
Por otro lado, como log x = y:
y = 500 � log 2 = 150,5
10150,5 = 100,5 � 10150 = 3,1622 � 10150
b) No se puede hallar con calculadora, ya que es un número demasiado grande.
c) Llamamos x al número: 5500 = x
Tenemos que encontrar y tal que 10 y = x:
5500 = x 500 = log5 x =
Por otro lado, como log x = y:
y = 500 � log 5 = 349,5
10349,5 = 100,5 � 10349 = 3,1622 � 10349
log
log
x
5
log
log
x
2
10 3 1622= ,
142
3 4 53 4 5
2 2+ =+ �
2 3 18
2 3 18
63
63
=
( · ) �
a b a b a b a b
a b a b
8 24 8 21
4
8
4
2
4 21
2
2
= ( ) = = =
= �
5 3 2
5 3 2
3
3 3
+ =
+ �
2 15 1 8
2 15 2 1 8
+ =
+· · �
4 8 4
4 8 4
3
5
·
·
=
�
a a a b a b
a a b
· · · ·
·
= =
=
34 8 4
4 8 4
3
12
·
·
=
�
a b a b2 2+ = +a b a bmn mn= ⋅( )
a b a b8 24 =a b a bn n n+ = +
a b c ab ac+ = +a b a bn m n m· ·= +
a a a b a a b⋅ ⋅ ⋅ = ⋅a b abn m n m· = ⋅
141
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:28 Página 43
44
Números reales
Las unidades de medida con que se mide la cantidad de información son:
Byte = 28 bits Megabyte = 210 Kilobytes
Kilobyte = 210 bytes Gigabyte = 210 Megabytes
Expresa, en forma de potencia y en notación científica, las siguientes cantidadesde información en bits y bytes.
a) Disco duro de 120 Gb. c) Disquete de 1,44 Mb.b) Tarjeta de memoria de 512 Mb. d) CD-Rom de 550 Mb.
a) 120 Gb = 120 � 210 � 210 � 210 bytes = 15 � 233 bytes = 15 � 241 bits
120 Gb = 1,2885 � 1011 bytes = 3,2985 � 1013 bits
b) 512 Mb = 29 � 210 · 210 bytes = 229 bytes = 237 bits
512 Mb = 5,3687 · 108 bytes = 1,3743 � 1011 bits
c) 1,44 Mb = 1,44 · 210 · 210 bytes = 1,44 � 220 bytes = 1,44 � 228 bits
1,44 Mb = 1,5099 � 106 bytes = 3,8655 · 108 bits
d) 550 Mb = 550 · 210 · 210 bytes = 550 · 220 bytes = 550 · 228 bits
550 Mb = 5,7672 · 108 bytes = 1,4764 � 1011 bits
PARA FINALIZAR...
Si es una fracción irreducible:
a) ¿Cuándo es equivalente a ? b) ¿Y cuándo es equivalente a ?
a) b)
ab + b = ab + a ab + b2 = ab + ab → b2 = ab
a = b Como b es distinto de cero: b = a
Si una fracción es irreducible, ¿son las fracciones y irreducibles?
Como los divisores de a + b son los divisores comunes de a y b:
(a + b) y a · b no tienen divisores comunes, y la fracciónes irreducible.
Como los divisores de a − b son los divisores comunes de a y b:
(a − b) y a · b no tienen divisores comunes, y la fracciónes irreducible.
Demuestra la siguiente igualdad: = 1
= + −( ) = −( ) ==
∑1
21
1
2100 1 1
1
99
log ( ) log log logk kk
log log log1 1
2
1 1
2
1
1
99
1
99
1
+=
+=
+=
= = =∑ ∑k
k
k
k
k
kk k k
999
∑
log1
1
99 +
=∑ k
kk
146
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a b
a b
−·
a b
a b
+·
a
b145
a b
b b
a
b
++
=a
b
a
b
++
=1
1
a
b
a b
b b
++
a
b
a
b
++
1
1
a
b144
143
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:28 Página 44
45
Demuestra estas igualdades.
a) loga (b · c) = loga b + loga c b) loga = loga b − loga c
a) Por la definición de logaritmos:
loga (b � c) = x loga b = y loga c = z
a x = b � c a y = b a z = c
a y � a z = b � c a y + z = b � c loga (b � c) = y + z
Es decir: loga (b � c) = loga b + loga c
b) Por la definición de logaritmos:
loga = x loga b = y loga c = z
a x = a y = b a z = c
ay−z = loga = y − z
Es decir: loga = loga b − loga c
Demuestra la siguiente igualdad: log (a2 −b2) = log (a + b) + log (a −b)
log (a + b) + log (a − b) = log [(a + b)(a − b)] = log (a2 − b2)
Si el área de esta figura es 10 cm2, ¿cuál es su altura?
La longitud de la base mide: 1 + cm
Calculamos la altura: 10 = � h
h = cm
Dos piezas móviles de una máquina se desplazan a la misma velocidad. La primera pieza describeuna circunferencia de radio 5 cm y la segunda se desplaza de un extremo al otro del diámetro de esa circunferencia.
Si ambas piezas parten del mismo punto, ¿coincidiránen algún momento?
Suponemos que ambas piezas parten de A. Llamamos v a la velocidad que llevan los dos móviles.La distancia recorrida por el móvil que se desplaza por la circunferencia en los puntos A y B es: 5π(k − 1), siendo k un número natural. La distancia recorridapor el móvil que se desplaza por el diámetro en los puntos A y B es: 10(k − 1),siendo k un número natural. Las distancias recorridas por el móvil que se desplazapor la circunferencia son números irracionales, mientras que las distanciasrecorridas por el móvil que se desplaza por el diámetro son números naturales. Por tanto, nunca coincidirán ambos móviles.
150
10
1 2
10 10 2
110 10 2
+=
−−
= − +
1 2+( )2
149
148
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
a
a
b
c
y
z=
b
c
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
b
c
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
147
1SOLUCIONARIO
A
h
1
1B
CD
5 cmBA
833243 _ 0004-0045.qxd 10/10/08 09:28 Página 45
46
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
Juanita la Larga –Pues mira, Juanita –contestó don Ramón–: yo digo que no, porqueno quiero ser cómplice de tu locura y porque un pagaré firmado porti, que eres menor de edad, no vale un pitoche.–El pagaré, aunque apenas tengo aún veinte años, valdría tanto comosi yo tuviese treinta. Nunca he faltado a mi palabra hablada: menosfaltaré a mi palabra escrita. Para cumplir el compromiso que contraje-se, me vendería yo si no tuviese dinero.A don Ramón se le encandilaron algo los ojos, a pesar de que doñaEncarnación estaba presente, y dejó escapar estas palabras:–Si tú te vendieses, aunque en el lugar son casi todos pobres, yo nodudo de que tendrías los ocho mil reales; pero yo no quiero que tú tevendas.–Ni yo tampoco –replicó la muchacha–. Lo dije por decir. Fue unaponderación. Los bienes de mi madre son míos: ella me quiere con to-da su alma y hará por mí los mayores sacrificios. No dude usted,pues, de que dentro de seis meses tendrá los ocho mil reales que aho-ra me preste, sin necesidad de que yo me venda para pagárselos. […]–Está bien. No hay más que hablar –dijo don Ramón.Y yendo a su escritorio, redactó los dos documentos en un periquete.En el pagaré se comprometía Juanita a pagar, en el término de seis me-ses, la cantidad de diez mil reales.–Ya ves mi moderación –dijo el tendero murciano al presentar a lamuchacha el documento para que le firmase–. Me limito a cobrartesólo un 25 por 100, a pesar del peligro que corro de quedarme sin midinero, porque, a despecho de todos tus buenos propósitos, no tengasun ochavo dentro de los seis meses y tengamos que renovar el pagaré,lo cual me traería grandísimos perjuicios.–Ya lo creo –dijo doña Encarnación–; como que ahora andamos en-golfados en negocios tan productivos, que ganamos un ciento porciento al año. Créeme, Juanita; prestándote los ocho mil reales nos ex-ponemos a quedarnos sin ellos y además a perder otro veinticinco porciento, o sea otros dos mil reales, que hubiéramos ganado dando a losocho mil más lucrativo empleo; pero en fin, ¿qué se ha de hacer? Miseñor esposo pierde la chaveta cuando ve un palmito como el tuyo.
JUAN VALERA
El «tipo de interés» se refiere siempre a un año. ¿Qué tipo deinterés le aplicaron los usureros al préstamo de Juanita? ¿Quétipo de interés se aplica actualmente en los préstamos bancarios?
Como el préstamo dura seis meses, es decir, medio año, significaque a Juanita le aplicaron un tipo de interés del 50 %.
Al tratarse de un préstamo personal, la ley establece que no sepuede aplicar un interés superior al 34 %. Si fuese así, se cometeríausura, y esto está penado por el código penal.
Aritmética mercantil2
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ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Di cuáles son los términos a1, a3 y a6 de las siguientes sucesiones.
a) 6, 7, 8, 9, 10, …
b) 0, −2, −4, −6, −8, …
c) 0; 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …
d) −1, −1, −1,−1, −1, …
e) −2, −4, −8, −16, −32, …
f) 1, 2, 3, 5, 8, …
a) a1 = 6, a3 = 8, a6 = 11 b) a1 = 0, a3 = −4, a6 = −10 c) a1 = 0; a3 = 0,01; a6 = 0,00001 d) a1 = −1, a3 = −1, a6 = −1 e) a1 = −2, a3 = −8, a6 = −64 f ) a1 = 1, a3 = 3, a6 = 13
Invéntate el término general de una sucesión, y calcula el valor de los términos 13, 25 y 64.
Respuesta abierta. Por ejemplo: an = 2n + 1 a13 = 27, a25 = 51, a64 = 129
En una progresión geométrica, a1 = 51,2 y a2 = 40,96.
a) Calcula su razón y halla el término a5.
b) Escribe su término general.
a5 = 51,2 ⋅ 0,84 = 20,97
b) an = 51,2 ⋅ 0,8n – 1
Dada una progresión geométrica con a1 = 5 y r = 1,2:
a) Calcula el término general.
b) Halla la suma de los 8 primeros términos.
c) ¿Cuántos términos de la progresión tenemos que sumar para que dé 37,208?
a) an = 5 ⋅ 1,2n – 1
c)1,2
1,237,208 1,2 7,4416
5 1
15 1 1
( )( ) ,
nn−
−= − =→ → 22 1 1 48832n
n n
− =
= =
,
ln ln→ →1,2 2,48832 1,2 2,48832 →→
→
n
n
⋅ =
= =
ln , lnln ,
ln ,
1 22 48832
1 25
2,48832
términnos
b)1,2
1,282,49S8
85 1
1=
−−
=( )
004
a)40,96
51,20,8r = =
003
002
001
2SOLUCIONARIO
47
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 47
48
Resuelve estas ecuaciones.
a) 32x = 45,3 b) c) (3,05)2x = 4.586,02
Insertar anuncios en un periódico cuesta 10 € por 3 líneas de texto y cobran 3 €más por cada nueva línea. Construye la tabla que relaciona las magnitudes. ¿Son magnitudes directamente proporcionales?
No son magnitudes directamente proporcionales, porque .
Un comerciante compró 40 camisas a un fabricante por 250 €. ¿Cuánto le costaríacomprar 75 camisas más?
€
Un coche que va a 120 km/h realiza un trayecto en 5 horas. ¿Cuánto hubiese tardado circulando a 100 km/h?
En un restaurante han pagado 42 € por 70 barras de pan. ¿Cuánto pagarán por 85 barras?
€
ACTIVIDADES
Una fábrica de muebles facturó 900.000 € el año pasado. Este año ha incrementadolas ventas y ha obtenido una subida del 2 % sobre el total de la facturación del añoanterior. ¿Cuánto dinero ha facturado este año? Si la subida se mantiene, ¿cuántofacturará el próximo año?
900.000 ⋅ 0,02 = 18.000Este año ha facturado: 900.000 + 18.000 = 918.000 €918.000 ⋅ 0,02 = 18.360El próximo año facturará: 918.000 + 18.360 = 936.360 €
001
70
85
4251= =
xx→
009
100
120
56= =
xx→ horas
008
40
75
250= =
xx→ 468,75
007
10
3
13
4�
Líneas 3 4 5 6 7 8 9 10
Precio (€) 10 13 16 19 22 25 28 31
006
c) 3,05 4.586,02 3,05 4.586,02( ) ln ( ) ln2 2 2x x= =→ → xx
x
⋅ =
= =
ln lnln
ln
3,05 4.586,024.586,02
3,057,→ 2 556 3,78→ x =
b) 2 32 2 324
2 324
32
24 4
x x x x= = ⋅ = = =→ → →ln ln ln ln
ln
ln55 20→ x =
a) 45,3 45,3 45,33 3 2 3 22 2x x x x= = ⋅ = =→ → →ln ln ln lnln 445,3
3,47 1,73ln 3
= =→ x
2 324x
=005
Aritmética mercantil
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49
2SOLUCIONARIO
El sueldo de una persona tiene dos componentes: el sueldo base y los complementos. En el primero tiene una subida del 3 %, mientras que los complementos suben el 5 %. ¿Puede afirmarse que la subida global del sueldo es del 4 %?
No es cierto, ya que si el sueldo es: b + c, una subida del 4 % supone: 0,04(b + c)Sin embargo, una subida del 3 % en el sueldo base y una subida del 5 % en loscomplementos significan: 0,03b + 0,05c � 0,04b + 0,04c
La igualdad es cierta cuando el sueldo base es igual a los complementos.
Un electrodoméstico cuesta 464 €, con el IVA incluido. Si el porcentaje del IVA es del 16 %, ¿cuál es el precio sin ese impuesto?
€
Una camisa, tras la rebaja de un 20 %, cuesta 32 €. ¿Cuál era el precio de la camisaantes de rebajarla?
€
Un comerciante rebaja un producto un 15 %. Después, decide reducir el precio un 10 %. Cuando le llegan nuevas mercancías del producto, aplica una rebaja del 25 % sobre el precio que tenía inicialmente, y se da cuenta de que los preciosfinales no coinciden. ¿Por qué no son iguales las rebajas?
No son iguales, porque si el precio se reduce primero un 15 % y después un 10 %
el porcentaje es: , es decir, el precio se rebaja un 23,5 %.
Por una cantidad de dinero, invertida en un depósito financiero a un interés del 3,5 % anual durante 3 años, hemos recibido 735 € como intereses. ¿Qué cantidad inicial era?
¿Qué interés ofrece una cuenta bancaria en la que, invirtiendo 5.000 € durante dosaños, obtienes unos intereses de 400 €?
Un banco tiene dos clases de depósitos.
• Uno con un interés del 4,75 % anual durante 5 años.
• Otro que tiene también una duración de 5 años, con un interés del 6 % anualdurante los 3 primeros años, y en el que regalan un televisor valorado en 580 €por los 2 últimos años.
Si invierto 5.000 €, ¿qué depósito es más ventajoso?
008
4005 000 2
1004=
⋅ ⋅=
.%
rr→
007
7353
1007 0000
0=⋅ ⋅
=C
C3,5 → . €
006
85
100
90
100 100⋅ =
76,5
005
32100
8040⋅ =
004
464100
116400⋅ =
003
002
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 49
50
Un depósito en el primer banco produce:
Y en el segundo banco produce:
En total, se generan: 900 + 580 = 1.480 €.Por tanto, el segundo depósito es más ventajoso.
Una empresa recibe un crédito al 8 % anual, con la condición de devolver en un solopago la cantidad prestada más los intereses. ¿Cuánto tiempo tardará en duplicarse la deuda?
La deuda, independientemente de la cantidad prestada, se duplicará en 9 años.
Depositamos 5.000 € en un banco al 4 % de interés compuesto anual. Di cuál será el capital que obtendremos al cabo de 3 años si recibimos los intereses:
a) Cada semestre. b) Cada trimestre.
A Alberto le ingresan en una cuenta bancaria 500 € cada año durante 10 años. Si la cuenta le aporta un 4,5 % anual, ¿qué capital se acumulará al cabo de ese tiempo?
€
Un plan de jubilación al 3 % anual implica aportaciones de 960 € al año. Si tengo 48 años, ¿qué capital obtendré a las siguientes edades de jubilación?
a) A los 60 años. b) A los 65 años.
Un ayuntamiento obtiene un préstamo al 2,5 % de interés de 10 millones de eurospara efectuar diversas obras. El préstamo ha de devolverse en 10 anualidades. ¿Cuál será el importe de cada una?
10 000 0001 1
10
10
10. .
( )
( )=
+ −+
C0,025
0,025 0,025→ CC0 = 1.142.587,63 €
013
b) 0,030,03
0,0321.517,86Cf = +
+ −=960 1
1 117
( )( )
€
a)0,03
0,0314.033,08Cf = +
+ −=960 1 0 03
1 112
( , )( )
€
012
Cf = ++ −
=450 11 110
( )( )
0,0450,045
0,0455.778,53
011
b) 5.634,12Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =5 000 1
4
400
12
. €
a) Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =5 000 1
4
2005 630 81
6
. . , €
010
C C C Cf
t
t= = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =2 2 1
8
1002 1 08 20 0 0→ → →, ln == ⋅ =
= =
ln ln ln
ln
ln ,
1,08 1,08t t
t
→
→
2
2
1 089
009
I =⋅ ⋅
=5 000 6 3
100900
.€
I =⋅ ⋅
=5 000 5
100
. 4,751.187,50 €
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 50
51
Compramos una vivienda por un valor de 240.000 €. Damos una entrada de 20.000 € y el resto se financia mediante una hipoteca al 5 % de interés anualdurante 20 años. ¿Cuál será el importe de cada cuota anual?
Elabora la tabla de amortización correspondiente a las 6 anualidades de un préstamode 20.000 € al 6 % de interés anual.
La cuota anual será de 4.067,25 €.
Tenemos un préstamo de 60.000 € al 4,5 % a 15 años. Al cabo de 5 cuotas anualescancelamos el préstamo. ¿Cuál es el capital pendiente en ese momento?
La cuota anual será de 5.586,83 €.
El capital pendiente es 44.206,99 €.
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 60.000,00
1 2.700,00 2.886,83 5.586,83 57.113,17
2 2.570,09 3.016,74 5.586,83 54.096,43
3 2.434,34 3.152,49 5.586,83 50.943,94
4 2.292,48 3.294,35 5.586,83 47.649,59
5 2.144,23 3.442,60 5.586,83 44.206,99
60 0001 1
10
15
15 0.(
( )=
+ −+
=C C0,045)
0,045 0,0455→ ..586,83 €
016
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 20.000,00
1 1.200,00 2.867,25 4.067,25 17.132,75
2 1.027,97 3.039,29 4.067,25 14.093,46
3 845,61 3.221,64 4.067,25 10.871,82
4 652,31 3.414,94 4.067,25 7.456,88
5 447,41 3.619,84 4.067,25 3.837,04
6 230,22 3.837,03 4.067,25 0
20 0001 1
10
6
6 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,06
0,06 0,064.067,→ 225 €
015
220 0001 1
110
20
20 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,05
0,05 0,057.→ 6653,37 €
014
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 51
52
Aritmética mercantil
Julia ha ingresado 70.000 € a los 60 años, para recibirlos, a partir de los 65 años, en mensualidades durante el resto de su vida. Si el banco efectúa la operación al 5 % anual, ¿cuánto dinero recibirá cada mes?
Al depositar 70.000 € a los 60 años se acumula durante 5 años el capital correspondiente al 5 % anual con pagos mensuales:
Así, la cantidad mensual que recibirá Julia durante el resto de su vida es:
€
Daniel ha hecho un plan de jubilación al 4 % anual en el que ingresa 600 €anuales durante 15 años. Tras este período, el banco le pagará mensualmente una cantidad durante toda su vida. ¿Cuál es esa cantidad?
Si se ingresan 600 € anuales, durante 15 años al 4 % anual, la cantidad acumulada es:
A partir de los 65 años el pago mensual del banco durante el resto de su vida es:
€
Halla la Tasa Anual Equivalente de un depósito financiero que ofrece el 4,75 % de interés anual con abonos de intereses trimestrales.
Una entidad bancaria abona intereses mensuales. En su publicidad se destaca que la TAE es del 4 %. ¿Cuál es el interés anual de la operación?
El interés anual es del 3,9 %.
Con base 2002, elabora la tabla de números índice de la evolución de la población en cuatro autonomías.
2002 2004 2006 2008
7.403.968 7.606.848 7.849.799 8.059.461
1.187.546 1.230.090 1.269.027 1.296.655
4.202.608 4.470.885 4.692.449 4.885.029
1.073.381 1.073.094 1.083.879 1.089.990
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
021
112
1 100 4 112
12
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ = +
⎛i i→⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
12 12
1 0 04 112
1 0, ,→ i44
112
1 003312
0 0033 0 039→ → →+ = = =i i
i, , ,
020
TAE = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ =1
0 0475
41 100 4
4,
,, %84
019
12.494,72
0,04
0,=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C0
12 1719
112
1,
004 0,04
0,04
121
12
112
12 1719 0
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
⋅ ,C
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
206 28
1
121
12
,
0,04 0,04⎟⎟⎟
=206 28 0,
→ C 83,86
Cf = ++ −
=600 11 115
( )( )
0,040,04
0,0412.494,72 €
018
89.835,11=+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C0
12 2112
10 05
121
0
,
,
,
005
121
0 05
12
10 05
1212 2112 0
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
⋅,
,
,C
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
253 44
1
0 05
121
0 05
12
,
, ,⎟⎟⎟
=253 44 0,
→ C 574,64
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =70 000 1
5
1 200
60
..
89.835,11 €
017
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 52
53
Elabora una tabla de números índice a partir de los datos de la tabla de la actividadanterior, tomando los datos de 2004 como índice 100.
a) ¿Qué diferencias sustanciales aprecias con respecto a la tabla de números índice de la actividad anterior?
b) Representa gráficamente la nueva tabla de números índice.
a) Los números índice del año 2006 son los que más varían de una tabla a otra según el año que se toma como referencia.
b)115110
105100
959085
2002 2004 2006 2008
AndalucíaAragónC. ValencianaExtremadura
2002 2004 2006 2008
97 100 103 106
97 100 103 105
94 100 105 109
100 100 101 102
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
1 089 990
1 073 094100
. .
. .⋅ = 101,57
1 083 879
1 073 094100
. .
. .⋅ = 101,01
1 073 381
1 073 094100
. .
. .⋅ = 100,03
4 885 029
4 470 885100
. .
. .⋅ = 109,26
4 692 449
4 470 885100
. .
. .⋅ = 104,96
4 202 608
4 470 885100
. .
. .⋅ = 93,99
1 296 655
1 230 090100
. .
. .⋅ = 105,41
1 269 027
1 230 090100
. .
. .⋅ = 103,17
1 187 546
1 230 090100
. .
. .⋅ = 96,54
8 059 461
7 606 848100
. .
. .⋅ = 105,95
7 849 799
7 606 848100
. .
. .⋅ = 103,19
7 403 968
7 606 848100
. .
. .⋅ = 97,33
022
2002 2004 2006 2008
100 103 106 109
100 104 107 109
100 106 112 116
100 100 101 102
Andalucía
Aragón
C. Valenciana
Extremadura
1 089 990
1 073 381100
. .
. .⋅ = 101,55
1 083 879
1 073 381100
. .
. .⋅ = 100,98
1 073 094
1 073 381100
. .
. .⋅ = 99,97
4 885 029
4 202 608100
. .
. .⋅ = 116,24
4 692 449
4 202 608100
. .
. .⋅ = 111,66
4 470 885
4 202 608100
. .
. .⋅ = 106,38
1 296 655
1 187 546100
. .
. .⋅ = 109,19
1 269 027
1 187 546100
. .
. .⋅ = 106,86
1 230 090100
. .
1.187.546103,58⋅ =
8 059 461
7 403 968100
. .
. .⋅ = 108,85
7 849 799
7 403 968100
. .
. .⋅ = 106,02
7.606.848
7.403.968102,74⋅ =100
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 53
54
Tomando solo los 5 primeros grupos, con sus respectivas ponderaciones, y las variaciones correspondientes de la tabla del ejemplo, calcula el IPC de ese mes.
0,4 ⋅ 0,2028 + 0,9 ⋅ 0,0267 + 0,1 ⋅ 0,0881 + (−1) ⋅ 0,1026 + 0,1 ⋅ 0,0667 = 0,01803
El aumento de los precios fue, aproximadamente, del 0,02 %.
Halla el valor equivalente en 2007 a 100 € del año 2001 con los datos del IPC de la tabla anterior. Halla el valor equivalente en 2004 de 100 €del 2007.
IPC acumulado = 2,7 + 4 + 2,6 + 3,2 + 3,7 + 2,7 = 18,9 %
Así, el valor equivalente a 100 € del año 2001 en 2007 es 118,90 €.
IPC acumulado = 3,2 + 3,7 + 2,7 = 9,6 %
Por tanto, 100 € de 2007 equivalen a 90,40 € de 2004.
A partir de la EPA del último trimestre de 2007, realiza un diagrama de barrasreferido a las comunidades autónomas.
Deduce, en la tabla anterior de la EPA, qué filas y columnas se pueden obtener a partir de otras filas y columnas, respectivamente.
Como los valores totales de la población se distribuyen entre los activos y los inactivos, y este dato no se da en la tabla, no se pueden obtener los valorescorrespondientes.
Los porcentajes de tasa de actividad se obtienen calculando:
Como las personas que trabajan y las personas que se encuentran en paro formanel colectivo de los activos, para calcular los porcentajes de la tasa de paro se calcula:
Tasa de paroParados
Activos= ⋅ 100
Tasa de actividadActivos
Población= ⋅ 100
026
25
20
15
10
5
0
025
024
023
Aritmética mercantil
Castill
a-La M
anch
a
Andalucía
Aragón
Asturia
sBale
ares
Canari
asCan
tabria
Castill
a y Le
ón
Catalu
ñaC. V
alencia
naEx
trem
adura
Galicia
Mad
ridM
urcia
Navarr
aPaís
Vasco
La RiojaCeu
taM
elilla
ESPAÑA
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 54
55
En una empresa hay 420 empleados. El 30 % trabaja en las oficinas, el 55 % en el taller, y el resto en las tiendas. Halla el número de empleados de cada departamento.
0,3 ⋅ 420 = 126 personas trabajan en las oficinas.
0,55 ⋅ 420 = 231 personas trabajan en el taller.
0,15 ⋅ 420 = 63 personas trabajan en las tiendas.
El 25 % de los coches de una empresa es de color azul, el 30 % es rojo y los 144 coches restantes son verdes. ¿Cuántos coches tiene la empresa?
100 − 25 − 30 = 45 % de los coches son verdes.
0,45 ⋅ x = 144 → x = 320 coches
María ha comprado una maceta, una mesa de terraza y un juego de herramientas. La maceta ha supuesto el 20 % de la compra, mientras que la mesa de terraza ha sido el 45 %. Si el juego de herramientas costaba 238 €, ¿a cuánto ascendía la compra?
100 − 20 − 45 = 35 % de la compra corresponde al juego de herramientas.
0,35 ⋅ x = 238 → x = 680 € es el importe total.
Juan ha realizado hoy las siguientes operaciones en su cuenta de valores bursátiles.
• Vendió las acciones de la empresa A por 650 €, que el año pasado le habíancostado 520 €.
• La semana pasada compró acciones de la empresa B por 1.200 € y hoy ha decididovenderlas por 1.056 €.
¿Qué porcentajes ganó y perdió en las dos operaciones?
En la oficina de recaudación de impuestos del ayuntamiento hay un cartel que indica:
a) Pilar tiene un recibo por un importe de 46 €. ¿Qué recargo van a cobrarle?
b) Teresa ha pagado 86,40 € por un recibomás su recargo. ¿A cuánto ascendía elrecibo inicialmente?
c) Jesús ha tenido que pagar 25,20 € de recargo por retrasarse en el pago. ¿De cuánto era el recibo?
a) 46 ⋅ 1,15 = 52,90 €
b) x ⋅ 1,15 = 86,40 → x = 75,13 €
c) x ⋅ 0,15 = 25,20 → x = 168 €
Los recibos que se abonen fuera
de plazo tendrán un recargo del 15 %
031
1 056
1 2000 88
.
.,= → Ha perdido un 12%.
650
520= 1,25 Ha ganado un 25%.→
030
029
028
027
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 55
56
Daniel compró una plaza de garaje por 18.000 €. El año pasado se la vendió a Miguel ganando un 15 %. Esta semana Miguel ha cerrado un trato con Eva por el que le vende la plaza, ganando en el negocio un 20 %. Determina los precios a los que Miguel y Eva compraron la plaza. ¿Es cierto que entre el precio que pagóDaniel y el que pagó Eva existe una diferencia de un 15 % + 20 % = 35 %? Si no es cierto, explica las razones.
Si Daniel ganó un 15 %, significa que vendió la plaza de garaje por: 18.000 ⋅ 1,15 = 20.700 €
Y si Miguel obtiene un 20 % de beneficio es porque le vende la plaza a Eva por:20.700 ⋅ 1,20 = 24.840 €
No es cierto, ya que la diferencia entre los precios que pagaron Daniel y Eva es:
; es decir, el aumento ha sido del 38 %, ya que el incremento
del 20 % corresponde al precio pagado por Miguel, y no por Daniel.
Esta tabla muestra el número de infracciones urbanísticas denunciadas durante los últimos años.
a) ¿Cuál fue el porcentaje de aumento entre 2003 y 2004? ¿Y entre 2004 y 2005?
b) ¿En qué porcentaje disminuyó el número de denuncias entre 2005 y 2006?
c) ¿Cuántas denuncias hubo en 2007 si las denuncias respecto a 2006 aumentaronun 13 %?
a) Entre 2003 y 2004: El aumento fue del 20 %.
Entre 2004 y 2005: El aumento fue del 43 %.
b) La disminución fue del 11 %.
c) Si el aumento fue del 13 %, entonces:
Por tanto, en 2007 hubo 104 denuncias.
¿Cuánto dinero producen 15.000 € al 6 % de interés en un año? ¿Y si tenemos que retirar el dinero tres meses antes del plazo, pero nos entregan la parte proporcional?
En un año:
€
Como 9 meses = 0,75 años, a los nueve meses:
€I =⋅ ⋅
=15 000 6
100675
. 0,75
I =⋅ ⋅
=15 000 6 1
100900
.
034
xx
921 13= =, → 103,96
92
1030 89= , →
103
721 43= , →
72
601 2= , →
Año 2003 2004 2005 2006
N.o de infracciones 60 72 103 92
033
24 840
18 0001 38
.
.,=
032
Aritmética mercantil
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57
2SOLUCIONARIO
¿A qué rédito anual se invirtieron 1.250 € si al cabo del año han producido 30 € de interés?
Belén invierte en Letras del Tesoro una cantidad de 35.600 €. Esta inversión producecada año un 3,2 % de interés que le ingresan en su cuenta bancaria. ¿Cuánto dinerotendrá al cabo de 8 años?
€
Andrés le pidió un préstamo a Jesús de 15.000 €, y se comprometió a devolvérseloen cinco años y pagarle, al final de cada año, un 2,8 % de intereses del dinero que le prestó. Completa la tabla, en la que Jesús ha ido anotando los pagos que le ha hecho Andrés.
€
María le ha prestado dinero a su hermana Beatriz con un interés del 3 %. Con los datos reflejados en la tabla, deduce la cantidad que María le ha prestado a Beatriz.
4.635 − 135 = 4.500
Por tanto, María le ha prestado 4.500 €.
Esther consiguió que un banco le prestara 25.000 €con la condición de que devolvería en un solo plazo todo el dinero, más el 5 % por cada año que tardase en devolverlo. Después de varios años, ha pagado35.000 € y ha cancelado su deuda. ¿Cuántos años ha tardado en cancelar su deuda?
35.000 − 25.000 = 10.000
25 000 5
10010 000 8
..
⋅ ⋅= =
tt→ años
039
135
4 5003
.%= 0,03 →
Año 2004 2005 2006 2007
Cantidad 135 135 135 4.635
038
Año 2003 2004 2005 2006 2007
Cantidad 420 420 420 420 15. 420
I =⋅ ⋅
=15 000 2 8 1
100420
. ,
037
I =⋅ ⋅
=35 600 8
100
. 3,29.113,60
036
1 250 1
10030
. ⋅ ⋅= =
rr→ 2,4 %
035
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58
Calcula en qué se convertirán 1.200 € si los ingresamos:
a) Durante 8 años, a un interés compuesto del 4 %.
b) Durante 6 años, a un 6 % de interés compuesto.
c) Durante 4 años, a un 8 % de interés compuesto.
El capital final de una inversión es de 31.633 €. ¿Cuánto dinero ingresé hace 6 años a un 4 % anual, pagando los intereses y acumulándolos al capital al final de cada año?
¿A qué rédito anual estaba sometida una operación bancaria por la que 120 €se convirtieron, al cabo de 5 años, en 146 €?
Ingreso 20.000 € en un banco y se comprometen a pagarme un 3 % anual,abonando los intereses semestralmente. ¿Cuánto dinero tengo al cabo de 5 años?
Un banco que opera por Internet ofrece su cuenta verde a un 4,5 % anual de interés que se paga mensualmente. Si abro una cuenta con 12.000 € y acumulo en esa cuenta los intereses mensuales que me pagan, ¿cuánto dinero tendré al cabo de 2 años?
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
12 000 11 200
2 12
..
4,513.127,888 €
044
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
20 000 13
200
5 2
. 23.210,82 €
043
146 120 1100
1100
5
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
r r→55
1100
4= + = =1,22 1,04→ →rr %
042
31 633 14
10025 0000
6
0. .= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =C C→ €
041
c) 1.632,59Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 200 1
8
100
4
. €
b) .702,22Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 200 1
6
1001
6
. €
a) 1.642,28Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 200 1
4
100
8
. €
040
Aritmética mercantil
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59
Jacinto acude a una caja de ahorros con el propósito de abrir una cuenta con 1.400 €y mantenerla durante 4 años. Le ofrecen tres alternativas:
a) Un rédito del 3,49 % anual, con pago trimestral de intereses.
b) Un rédito del 3,5 % anual, pagando los intereses cada semestre.
c) Un rédito del 3,51 % anual, pagando los intereses anuales.
¿Cuál es la opción que más le interesa?
La opción más interesante es la del apartado a).
Germán abrió tres cuentas hace cinco años, cada una de ellas con 2.000 €. Las condiciones eran:
a) Rédito anual: a %. Pago trimestral de intereses.
b) Rédito anual: b %. Pago semestral de intereses.
c) Rédito anual: c %. Pago trimestral de intereses.
Actualmente tiene en las cuentas: 2.322,37 €, 2.378,89 € y 2.433,31 €,respectivamente.
¿Qué valor tienen a, b y c?
Calcula a cuánto ascenderá la anualidad que hay que pagar para amortizar un crédito de 120.000 € en 10 años al 6 % de interés.
120 0001 1
10
10
10 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,06
0,06 0,0616.→ 3304,15 €
047
c) 2.433,31= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⋅
2 000 1400
1400
5 4
.c c→
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ = =
20
1 22
1400
,
→ →cc1,0099 3,94 %
b) 2.378,89 = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⋅
2 000 1200
1200
5 2
.b b→
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ = =
10
1 19
1200
,
→ →bb1,0175 3,5 %
a) 2.322,37 = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⋅
2 000 1400
1400
5 4
.a a→
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ = =
20
1400
3
1,16
1,0075→ →aa %
046
c)3,51
1.607,15Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 400 1
100
4
. €
b) .608,43Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
1 400 13 5
2001
4 2
.,
€
a) 1.608,76Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅
1 400 13 49
400
4 4
.,
€
045
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 59
60
Un plan de jubilación exige que quien lo suscriba aporte 2.400 € cada año. Si le aplican un 4 % de interés, ¿qué capital se habrá formado al cabo de 15 años?
Marta quiere comprarse un piso, pero necesita pedir dinero prestado a su banco.
Si ella puede pagar un máximo de 7.200 € anuales, y el banco presta dinero al 4 %para hipotecas de 25 años de duración, ¿cuánto dinero puede pedir prestado, como máximo?
Matías quiere formar en 20 años un capital de 60.000 €. Una caja de ahorros le ofreceinvertir al 3,5 %. ¿Qué cantidad anual deberá aportar?
Carmen se va a comprar un coche, y para ello va a pedir un préstamo de 12.000 €que devolverá en cinco años.
a) ¿Cuál será la anualidad que pagará si le piden un 8 % de interés?
b) ¿Y si le hacen una rebaja del tipo y se lo dejan en el 6,5 %?
b)0,065
0,065 0,065212 000
1 1
10
5
5 0.( )
( )=
+ −+
=C C→ ..887,61 €
a)0,08
0,08 0,083.0012 000
1 1
10
5
5 0.( )
( )=
+ −+
=C C→ 55,48 €
051
60 000 11 1
0
20
0. ( )( )
= ++ −
=C C0,0350,035
0,0352.0→ 449,92 €
050
Cf = ⋅+ −
+=7 200
1 1
1
25
25.
( )
(
0,04
0,04 0,04)112.478,,98 como máximo€
049
Cf = ++ −
=2 400 11 115
. ( )( )
0,040,04
0,0449.978,87 €
048
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 60
61
Andrés está pagando 220 € al año al amortizar un crédito que el banco le concedió para comprarse un ordenador. Las condiciones eran que deberíadevolver el dinero en 4 años y que le aplicaban un 5 % de interés. ¿Cuánto dinero pidió prestado?
Julián ha firmado un contrato por el que se compromete a vender una casa por 120.000 € dentro de 6 años a su amigo Juan. Este decide aportar dinero cadaaño para constituir el capital que necesita. Un banco le ofrece pagarle un 3 % de interés. ¿Cuánto dinero tendrá que aportar anualmente para conseguir los 120.000 €?
Calcula la mensualidad que hay que pagar para amortizar un crédito de 120.000 €al 5 % durante 30 años.
€
Determina la deuda contraída por una persona que está pagando 180 €al mes durante 20 años, sabiendo que es una hipoteca con un tipo de interés del 6 %.
€
Halla el tiempo que tardaría en pagar un préstamo de 105.000 € al 6 % anual si abono una cuota anual de 8.500 €.
105 000 8 5001 1
1. .
( )
( )= ⋅
+ −+
0,06
0,06 0,0612,3
t
t→ 55
1,06
0,06 1,060,74 1,06 1,06
0,2
=−
⋅⋅ = −
t
t
t t11→
→ 66 1,06 1,06 3,86 1,06 3,863,
⋅ = = = =t t t t1 → → →ln lnln 886
1,0623,2 años
ln=
056
Cf = ⋅
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+
180
112
1
121
2400,06
0,06 0,06
112
240⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= 25.124,54
055
120 000
112
1
121
0
360
. =
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+
C
0,05
0,05 0,,05644,19
12
3600
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=→ C
054
120 000 11 1
0
6
0. ( )( )
= ++ −
=C C0,030,03
0,0318.011→ ,,36 €
053
Cf = ⋅+ −
+=220
1 1
1
4
4
( )
( )
0,05
0,05 0,05780,11 €
052
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 61
62
Determina el tiempo que tardaría en pagar un préstamo de 88.000 € al 4,75 % anual,si pago una cuota mensual de 955 €.
Haz la tabla de amortización anual de un crédito bancario de 183.000 €, a un interésdel 5,25 % anual, durante 20 años.
€
La cuota anual será de 14.997,27 €.
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 183.000,00
1 9.607,50 5.389,77 14.997,27 177.610,23
2 9.324,54 5.672,73 14.997,27 171.937,50
3 9.026,72 5.970,55 14.997,27 165.966,95
4 8.713,26 6.284,01 14.997,27 159.682,94
5 8.383,35 6.613,92 14.997,27 153.069,02
6 8.036,12 6.961,15 14.997,27 146.107,87
7 7.670,66 7.326,61 14.997,27 138.781,26
8 7.286,02 7.711,25 14.997,27 131.070,01
9 6.881,18 8.116,09 14.997,27 122.953,92
10 6.455,08 8.542,19 14.997,27 114.411,73
11 6.006,62 8.990,65 14.997,27 105.421,08
12 5.534,61 9.462,66 14.997,27 95.958,42
13 5.037,82 9.959,45 14.997,27 85.998,97
14 4.514,95 10.482,32 14.997,27 75.516,65
15 3.964,62 11.032,65 14.997,27 64.484,00
16 3.385,41 11.611,86 14.997,27 52.872,14
17 2.775,79 12.221,48 14.997,27 40.650,66
18 2.134,16 12.863,11 14.997,27 27.787,55
19 1.458,85 13.538,42 14.997,27 14.249,13
20 748,08 14.249,19 14.997,27 0
183 0001 1
10
20
20.
( )
( )=
+ −+
C0,0525
0,0525 0,0525→ CC0 = 14.997,27 €
058
88 000 955
112
112
. = ⋅+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
0,0475
0,0475
t
1121
12
12
12
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−
0,047592,15
1,004t
t
→ 11
1
12
12 12
0,004 1,004
0,37 1,004 1,004 0
⋅
⋅ = −
t
t t→ → ,,63 1,004 1,004 1,58
1,004
⋅ = =
=
12 12
12
1t t
t
→
→ ln ln 11,581,58
1,004115,18 9,6 año→ → →12 12t t t= = =
ln
lnss
057
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 62
63
Elabora la tabla de amortización mensual de un crédito bancario de 86.000 €,a un interés del 6,75 % anual, durante 15 años.
La cuota anual será de 761,02 €.
¿En cuánto se ha valorado la vivienda de un hombre de 75 años que ha contratado una hipoteca inversa al 4 % y que recibe anualmente 6.122 €?
€C Cf = ⋅+ −
+6 122
1 1
1
10 37
10 37.
( )
( )
,
,
0,04
0,04 0,04→ ff = 51.144,50 €
060
AnualidadIntereses
del período (€)
Capital amortizado
(€)
Cuota anual(€)
Capital pendiente
(€)
0 86.000,00
1 483,75 277,27 761,02 85.722,73
2 482,19 278,83 761,02 85.443,90
3 480,62 280,40 761,02 85.163,50
4 479,04 281,98 761,02 84.881,53
5 477,46 283,56 761,02 84.597,97
6 475,86 285,16 761,02 84.312,81
7 474,26 286,76 761,02 84.026,05
8 472,65 288,37 761,02 83.737,68
9 471,02 290,00 761,02 83.447,68
10 469,39 291,63 761,02 83.156,05
11 467,75 293,27 761,02 82.862,79
12 466,10 294,92 761,02 82.567,87
… … … … …
172 37,47 723,55 761,02 5.937,53
173 33,40 727,62 761,02 5.209,91
174 29,31 731,71 761,02 4.478,20
175 25,19 735,83 761,02 3.742,37
176 21,05 739,97 761,02 3.002,40
177 16,89 744,13 761,02 2.258,27
178 12,70 748,32 761,02 1.509,95
179 8,49 752,53 761,02 757,42
180 4,26 756,76 761,02 0
86 000
112
1
0
15 12
. =+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C
0,0675
0,0675
1121
12
15 12 0
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=⋅
0,0675761,02→ C €
059
2SOLUCIONARIO
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64
Consulta la tabla de esperanza de vida, para determinar la cuota mensual que el banco abonará a un hombre de 70 años, que aporta una vivienda valorada en 248.000 € a un interés del 3,5%.
a) ¿Cuánto dinero perdería el banco si el hombre sobrepasase su esperanza de vida en 5 años?
b) ¿Y si muriera 5 años antes de superar su esperanza de vida?
→ C0 = 1.910,94 € mensuales
a) El banco perdería: 1.910,94 ⋅ 5 ⋅ 12 = 114.656,40 €
b) El banco no tendría que pagar la misma cantidad del apartado anterior, es decir, ganaría 114.656,40 €.
En el contrato de mi tarjeta de crédito figura que, por el aplazamiento de los pagos,me cobran un 3,5 % mensual. Determina la Tasa Anual Equivalente (TAE).
Una entidad bancaria oferta un depósito a plazo fijo, para un año, al 5,1 % anual a favor del cliente, liquidable y abonable trimestralmente en otra cuenta del mismocliente y asociada a esta. Calcula la TAE de este tipo de depósito.
Esta tabla muestra la evolución de la población en dos comarcas.
Tomando como base 1990, construye una tabla de números índice.
721 250
689 357100
.
.⋅ = 104,63
682 239
689 357100
.
.⋅ = 98,97
690 951
689 357100 100 23
.
.,⋅ =
305 804
308 445100
.
.⋅ = 99,14
278 841
308 445100 9
.
.⋅ = 0,40
298 004
308 445100
.
.⋅ = 96,61
415 446
380 912100
.
.⋅ = 109,07
403 398
380 912100
.
.⋅ = 105,90
392 947
380 912100
.
.⋅ = 103,16
Los Ángeles de San Lorenzo
San Amador Total
380.912 308.445 689.357
392.947 298.004 690.951
403.398 278.841 682.239
415.446 305.804 721.250
1990
1995
2000
2005
064
TAE0,051
5,= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ =1
41 100
4
22 %
063
TAE0,035
= +⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅1
12
121 1
12
000 = 51,11%
062
248 000
112
1
0
12 13 61
.
,
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⋅
C
0,035
0,0335 0,035
0,035
121
12
1
12 13 610
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=
+
⋅ ,C
1121
121
12
163 32⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
,
0,035 0,035 ⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
163 32,
061
Aritmética mercantil
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65
Esta tabla muestra el número de defunciones en una ciudad durante las últimasdécadas.
a) Elabora una tabla de números índice, tomando los datos correspondientes al año 1950 como referencia 100.
b) ¿En qué año hubo mayor número de defunciones? ¿Y en qué año hubo menos?Estudia la evolución del número de defunciones a lo largo de estas décadas.
b) En 1960 hubo el mayor número de defunciones, y en 2000, el menor. La evolución después de crecer en 1960 fue un descenso en 1970 y 1980, un aumento en 1990 y un nuevo descenso en el año 2000.
Año Población N.o de defunciones
1950 100 100
1960 90 104
1970 105 83
1980 118 84
1990 143 92
2000 140 81
315
389100⋅ = 80,98
50 345
35 940100
.
.⋅ = 140,08
358
389100⋅ = 92,03
51 256
35 940100 142 62
.
.,⋅ =
325
389100⋅ = 83,55
42 358
35 940100
.
.⋅ = 117,86
322
389100 82 78⋅ = ,
37 659
35 940100
.
.⋅ = 104,78
404
389100⋅ = 103,86a) 89,96
32 330
35 940100
.
.⋅ =
Año Población N.o de defunciones
1950 35.940 389
1960 32.330 404
1970 37.659 322
1980 42.358 325
1990 51.256 358
2000 50.345 315
065
Los Ángeles de San Lorenzo
San Amador Total
100 100 100
103 97 100
106 90 99
109 99 105
1990
1995
2000
2005
2SOLUCIONARIO
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66
El índice bursátil INFOREX ha tenido, el día 1 de cada mes, en este añolos siguientes valores.
a) Toma como base 100 la cotización del 1 de enero, y establece los números índicecorrespondientes a las demás fechas.
b) Estudia la evolución del índice bursátil, y determina los máximos y mínimosde cotización durante este período.
Evolución del índice bursátil INFOREX
01-enero 100
01-febrero 106
01-marzo 112
01-abril 103
01-mayo 91
01-junio 101
01-julio 114
01-agosto 117
01-septiembre 119
01-octubre 125
01-noviembre 128
01-diciembre 126
182
145100⋅ = 125,52
186
145100⋅ = 128,28
181
145100⋅ = 124,83
172
145100⋅ = 118,62
169
145100⋅ = 116,55
166
145100⋅ = 114,48
147
145100⋅ = 101,38
132
145100⋅ = 91,03
150
145100⋅ = 103,45
162
145100⋅ = 111,72a) 105,52
153
145100⋅ =
Evolución del índice bursátil INFOREX
Enero 145
Febrero 153
Marzo 162
Abril 150
Mayo 132
Junio 147
Julio 166
Agosto 169
Septiembre 172
Octubre 181
Noviembre 186
Diciembre 182
066
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 66
67
b) El índice creció en los meses de febrero y marzo, descendió en abril y mayo,volvió a subir en los meses siguientes hasta noviembre y descendió en diciembre. El máximo de cotización se alcanzó en noviembre y el mínimoen mayo.
La evolución del Índice de Precios de Consumo (IPC) en Extremadura ha sido:
Se ha establecido como base los datos de noviembre de 2006. Reelabora la tablaestableciendo como base los datos de enero de 2002.
El IPC medido en enero durante los últimos años en España es:
Completa la tabla estableciendo como base el año 2007.
a) ¿Cuánto valdría en 2000 un producto que cuesta 120 € en 2007?b) ¿Cuánto deberemos pagar en 2008 por un producto que en el año 2003 valía 65 €?
Año IPC Índice base 2000 Índice base 2007
2000 2,9 100
2001 3,7 103,7
2002 3,1 106,9147
2003 3,7 110,870544
2004 2,3 113,420566
2005 3,1 116,936604
2006 4,2 121,847941
2007 2,4 124,772292
068
Índice de Precios de Consumo. Extremadura
Enero
2002 2003 2004 2005 2006 2007
100 103 105 108 112 114
100 202
88 004100
,
,⋅ = 113,86
98,167
88,004111,55⋅ =100
94 803
88 004100
,
,⋅ = 107,73
92,379
88,004104,97⋅ =100
90,757
88,004103,13⋅ =100
Índice de Precios de Consumo. Extremadura
Enero
2002 2003 2004 2005 2006 2007
88,004 90,757 92,379 94,803 98,167 100,202
067
2SOLUCIONARIO
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68
a) IPC acumulado = 3,7 + 3,1 + 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 22,5 %
x ⋅ 1,225 = 120 → x = 97,96 €
b) IPC acumulado = 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 12 %
En 2008 el producto vale: 65 ⋅ 1,12 = 72,80 €
Las subidas del IPC en un país han sido durante los últimos cuatro años del 5 %, 6 %, 7 % y 5 %. A un trabajador le han mantenido el sueldo sin variacionesdurante estos cuatro años. Para recuperar el poder adquisitivo al cabo de los cuatro años le suben un 24 % el sueldo. ¿Pierde o gana poder adquisitivo?¿Cuánto dinero es?
IPC acumulado = 5 + 6 + 7 + 5 = 23 %. Si la subida es del 24 % el trabajador gana un 1 % más de poder adquisitivo. Si su sueldo es x la cantidad de dinero es el 1 % de x
069
Año IPC Índice base 2000 Índice base 2007
2000 2,9 100 80
2001 3,7 103,7 83
2002 3,1 106,9147 86
2003 3,7 110,870544 89
2004 2,3 113,420566 91
2005 3,1 116,936604 94
2006 4,2 121,847941 98
2007 2,4 124,772292 100
121,847941
124,772292100 97,66⋅ =
116,936604
124,772292100 93,72⋅ =
113,420566
124,772292100 90,90⋅ =
110,870544
124,772292100 88,86⋅ =
106,9147
124,77229285,69⋅ =100
103,7
124,77229283,11⋅ =100
100100
124,77229280,15⋅ =
Aritmética mercantil
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69
La tabla presenta el número de trabajadores y trabajadoras en activo por grupos de edad. Complétala.
En un país han presentado su Encuesta de Población Activa (EPA) correspondiente al último año. Los datos se han organizado por trimestres y referidos a su poblaciónmayor de 16 años.
a) Tomando como referencia 100 los datos del primer trimestre, estudia la evolución de la población mayor de 16 años en ese país.
b) Halla el porcentaje por cada 1.000 habitantes de personas desocupadas por trimestre.
Los activos y los ocupados disminuyeron en el segundo trimestre, aumentaron en el tercero y volvieron a disminuir en el cuarto. Al contrario, los parados y los inactivos aumentaron en el segundo trimestre, disminuyeron en el tercero y volvieron a aumentar en el cuarto.
Trimestre Activos Ocupados Parados Inactivos
Primero 100 100 100 100
Segundo 97 96 103 104
Tercero 107 112 77 96
Cuarto 104 104 106 101
a)
Trimestre Activos Ocupados Parados Inactivos
Primero 3.652.040 3.104.180 547.860 2.970.045
Segundo 3.543.982 2.980.456 563.526 3.096.550
Tercero 3.893.218 3.471.443 421.775 2.839.436
Cuarto 3.796.766 3.217.786 578.980 3.001.034
071
Fuente: INE, 2007.
Encuesta de Población Activa
Activos (Miles de personas)
EdadesValor absoluto Porcentaje
2005 2006 2005 2006
De 16 a 19 538,90 541,10 2,58 2,51
De 20 a 24 1.955,80 1.932,90 9,36 8,95
De 25 a 29 3.125,60 3.154,10 14,97 14,61
De 30 a 34 3.192,00 3.325,70 15,28 15,41
De 35 a 39 2.964,70 3.092,50 14,19 14,33
De 40 a 44 2.732,90 2.837,80 13,09 13,15
De 45 a 49 2.333,00 2.467,80 11,17 11,43
De 50 a 54 1.820,60 1.905,30 8,72 8,83
De 55 a 59 1.364,60 1.419,60 6,53 6,58
De 60 a 64 714,70 758,10 3,42 3,51
De 65 a 69 92,50 101,00 0,44 0,47
De 70 y más 50,50 48,80 0,24 0,23
Total 20.885,70 21.584,80 100 100
070
2SOLUCIONARIO
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70
Determina, por grupos de edades, los índices que relacionan la población ocupadaextranjera con la española.
Compara las tasas de paro de estas tresregiones. Halla la tasa de inactividad en cada región.
Región Inactivos Totales Tasa de inactividad
Freeland 43.090 96.498 44,65
Happyland 115.954 220.886 52,49
Endland 99.652 222.871 44,71
Región Parados Totales Tasa de paro
Freeland 12.428 96.498 12,88
Happyland 6.886 220.886 3,12
Endland 38.276 222.871 17,17
Región Activos Ocupados Parados Inactivos
Freeland 53.408 40.980 12.428 43.090
Happyland 104.932 98.046 6.886 115.954
Endland 123.219 84.943 38.276 99.652
073
Ocupados por nacionalidad, sexo y grupo de edad(Miles de personas)
Edades Extranjera Española
De 16 a 24 19 100
De 25 a 34 20 100
De 35 a 44 15 100
De 45 a 54 8 100
De 55 y más 4 100
Ocupados por nacionalidad, sexo y grupo de edad(Miles de personas)
Edades Extranjera Española Total
De 16 a 24 328,00 1.702,70 2.030,70
De 25 a 34 989,50 4.899,50 5.889,10
De 35 a 44 733,10 4.780,70 5.513,80
De 45 a 54 320,00 3.793,20 4.113,30
De 55 y más 90,40 2.110,40 2.200,90
Total 2.461,10 17.286,60 19.747,70
072
Trimestre Parados TotalesPorcentaje de desocupadospor cada 1.000 habitantes
Primero 547.860 6.622.085 82,73
Segundo 563.526 6.640.532 84,86
Tercero 421.775 6.732.654 62,65
Cuarto 578.980 6.797.800 85,17
b)
Aritmética mercantil
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71
Observa los datos publicados por el Ministerio de Educación y Ciencia.
Completa la tabla con una columna en la que se reflejen los porcentajes de los alumnos de Bachillerato por edades.
En la tabla se refleja la población adulta (mayores de 18 años) y el número de estas personas que tienen estudios medios o superiores en dos comarcas.
Completa la tabla siguiente con las tasas por 1.000 habitantes (porcentaje por cada 1.000 habitantes).
Tasas por 1.000 habitantes
Estudiosmedios
Estudiossuperiores
382,32 60,08
302,62 87,94
353,06 70,31
San Lorenzo
San Amador
Total
Total de adultos
Estudiosmedios
Estudiossuperiores
320.456 122.516 19.254
185.880 56.251 16.346
506.336 178.767 35.600
San Lorenzo
San Amador
Total
075
Alumnado matriculado por edad Porcentaje
De 16 y menos años 205.720 33,53
De 17 años 234.151 38,16
De 18 años 92.693 15,11
De 19 años 41.757 6,81
De 20 y más años 39.260 6,39
Total 613.581 100
Fuente: Ministerio de Educación y Ciencia.
Alumnado matriculado por edad
De 16 y menos años 205.720
De 17 años 234.151
De 18 años 92.693
De 19 años 41.757
De 20 y más años 39.260
Total 613.581
074
2SOLUCIONARIO
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72
La tabla presenta la población y el número de automóviles matriculados en cada comunidad autónoma española.Determina el porcentaje del número de automóvilespor cada mil habitantes (tasa)en cada comunidad y en eltotal de España, y completa la tabla.
La población de cinco provincias españolas el 1 de enero de 2002 y de 2007 se muestra en la tabla.
Determina los índices de crecimiento de la población de cada provincia en 2007respecto a 2002.
1 de enero de 2002 1 de enero de 2007
100 103
100 115
100 123
100 99
100 97
Burgos
Castellón
Guadalajara
León
Lugo
1 de enero de 2002 1 de enero de 2007
348.786 359.582
484.585 557.205
174.998 215.246
488.013 483.752
357.050 348.062
Burgos
Castellón
Guadalajara
León
Lugo
077
Autonomía PoblaciónN.o de
automóvilesTasa
Andalucía 7.340.052 3.625.986 494
Aragón 1.189.909 622.322 523
Asturias 1.076.567 505.986 470
Baleares 845.630 678.195 802
Canarias 1.716.276 796.352 464
Cantabria 531.159 272.485 513
Castilla-La Mancha 1.734.261 900.081 519
Castilla y León 2.479.118 1.271.788 513
Cataluña 6.261.999 3.938.797 629
Ceuta 75.241 48.305 642
C. Valenciana 4.120.729 2.480.679 602
Extremadura 1.069.420 516.530 483
Galicia 2.731.900 1.436.979 526
La Rioja 220.729 115.441 523
Madrid 5.205.408 3.305.434 635
Melilla 66.263 35.252 532
Murcia 1.149.328 729.823 635
Navarra 543.757 325.710 599
País Vasco 2.098.596 1.051.397 501
España 40.456.342 22.657.543 560,05
076
Aritmética mercantil
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73
Marta pidió un préstamo de 20.000 €. Lo estuvo pagando al 4 % de interés durante 6 años. El día en que recibió el dinero lo invirtió a un 3 % anual de interés compuesto.Si sumas las cantidades que tuvo que pagar y las que recibió, ¿ganó o perdió?¿Cuánto dinero es?
Para amortizar el préstamo Marta tuvo que ingresar:
€ anuales
En total, son: 6 ⋅ 3.815,24 = 22.891,44 €
Los intereses ascienden a: 22.891,44 − 20.000 = 2.891,44 €
Por la inversión Marta recibe:
Así, la ganancia es: 23.881,05 − 20.000 = 3.881,05 €
Marta ganó y el dinero obtenido es 3.881,05 − 2.891,44 = 989,61 €
Jesús ingresa 2.500 € en una cuenta bancaria al 6 % de interés con capitalizaciónanual. ¿Cuántos años debe dejar invertida esa cantidad para que el saldo de la cuenta supere los 6.000 €?
Para que el saldo supere los 6.000 € Jesús debe dejar el dinero invertido al menos 16 años.
Elena y Diego recibieron hace cuatro años una herencia de un familiar argentino. A cada uno le correspondieron 180.000 €. Diego los invirtió en Bolsa y ha conseguido una revaloraciónmedia anual de un 5 %. Elena compróLetras del Tesoro, que le pagaban un 5 % anual. Los intereses se losingresaban anualmente en una cuentaque le daba un rédito de un 1 % anual.
¿Quién tiene ahora más dinero?
El capital acumulado por Diego es:
Elena recibe cada año: 180.000 ⋅ 0,05 = 9.000 €
Así, sus beneficios ascienden a: €
Por tanto, el capital acumulado por Elena es 211.913,55 € y Diego tiene másdinero que ella.
Cf = ⋅+ −
+=9 000
1 1
1
4
4.
( )
( )
0,05
0,05 0,0531.913,55
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =180 000 1
5
100
4
. 218.791,13 €
080
6 000 2 500 16
100. . ln= ⋅ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
t
t→ →1,06 2,4 11,06 2,4 1,06 2,42,4
1,061
t t
t
= ⋅ =
= =
ln ln lnln
ln
→
→ 55,02
079
Cf = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =20 000 1
3
100
6
. 23.881,05 €
20 0001 1
10
6
6 0.( )
( )=
+ −+
=C C0,04
0,04 0,043.815,→ 224
078
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 15/10/08 15:51 Página 73
74
Una persona ha ganado 120.000 € en la Lotería Primitiva. Acude a un banco a ingresarlos y le ofrecen dos productos.
a) Con esa cantidad de dinero se compran cuatro plazas de garaje por un períodode diez años. El banco alquilará las plazas de garaje. Al cabo de los diez años,volverá a comprar las plazas de garaje por 120.000 € y pagará 188 € por cadames y por cada plaza.
b) Ingresar esa cantidad al 6 % de interés anual con capitalización anual.
¿Cuál de los dos productos te parece más interesante?
a) 188 ⋅ 12 ⋅ 10 ⋅ 4 = 90.240 €
El segundo producto es más interesante que el primero.
Un banco ofrece un depósito que te remunera la inversión al 12 % de interés el primer mes y el resto al 3,7 %.
a) ¿Cuántos beneficios se obtendrían con una inversión de 100 € al cabo de un año?
b) ¿Cuál es la Tasa Anual Equivalente (TAE) de esta operación?
Al final del primer mes, el beneficio es:
Por tanto, los beneficios al cabo de un año son 4,80 €.
Así, el interés producido por 1 euro en un año es 0,0480; luego la TAE es del 4,8 %.
El sueldo de un trabajador se refleja en la tabla.
a) ¿Qué porcentaje de subida ha tenido su sueldo en los cinco años?
b) ¿Cuál ha sido la subida acumulada del IPC?
c) ¿Ha ganado o ha perdido poder adquisitivo en estos cinco años?
a) La subida ha sido del 14 %.
b) IPC acumulado = 5 + 3 + 2 + 3,2 + 2,5 = 15,7 %
c) Ha perdido poder adquisitivo, porque el IPC acumulado es mayor que la subida salarial.
23 246
20 350
.
.= 1,14 →
Año Salario IPC (%)
2003 20.350 5
2004 21.045 3
2005 21.678 2
2006 22.034 3,20
2007 23.246 2,50
083
Cf = +
=101 1
3 7
1 100
11,
.104,80 €
10012
1 2001⋅ =
.€
082
b) 214.901,72Cf = +
=120 000 1
6
100
10
. → 2214.901,72 120.000 94.901,72− = €
081
Aritmética mercantil
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75
La evolución del IPC en la economía española durante los últimos años (medida en enero) ha sido:
a) ¿Qué valor tiene en 2007 un producto que valía el equivalente a 50 €en 1996?
b) En 2007 hacemos la compra por 180 €. ¿Cuánto nos habría costado esa compra en 2002? ¿Y en 1996?
a) IPC acumulado = 2,9 + 2 + 1,5 + 2,9 + 3,7 + 3,1 + 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 == 31,8 %
50 ⋅ 1,318 = 65,90 €
b) IPC acumulado desde 2002 = 3,7 + 2,3 + 3,1 + 4,2 + 2,4 = 15,7 %
x ⋅ 1,157 = 180 → x = 155,57 €
Como el IPC acumulado desde 1996 es del 31,8 %:
x ⋅ 1,318 = 180 → x = 136,57 €
Los datos reflejados en la tabla se refieren a la variación del IPC a principios de cadaaño en Guipúzcoa, y tomando como base los datos del año 1994.
Guipúzcoa
Año IPC Año IPC
1994 100 2001 125,7191
1995 104,9 2002 129,9935
1996 109,7254 2003 134,5433
1997 112,688 2004 137,5032
1998 114,9417 2005 140,9408
1999 118,0452 2006 146,5784
2000 121,3504 2007 149,8032
085
Año IPC
1996 3,9
1997 2,9
1998 2
1999 1,5
2000 2,9
2001 3,7
2002 3,1
2003 3,7
2004 2,3
2005 3,1
2006 4,2
2007 2,4
084
2SOLUCIONARIO
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76
Fijándote en los datos relativos a 2005, calcula:
a) El porcentaje de variación sobre el año anterior.
b) El porcentaje de variación desde 1999.
c) El porcentaje de variación en la década que acaba en 2005.
a) El IPC ha aumentado un 2,5 %.
b) El IPC ha crecido un 19,4 %.
c) El IPC ha aumentado un 34,36 %.
En esta tabla se muestra el coste de un producto que en 1998 valía 1 peseta y el coste de otro producto que en 2006 valía 1 euro. ¿Serías capaz de completarla?
Año Pesetas Euros
1996 1 0,76353268
1998 1,037322 0,79202925
2000 1,07704832 0,82236159
2002 1,15926373 0,88513574
2004 1,22385095 0,93445019
2006 1,30970164 1
1,037322
11,037322 1,037322 0,79202925= ⋅ = =→ →x x 00,76353268
1,07704832
1,0373221,038297 1,038297 0,82= ⋅ =→ x 2236159 0,79202925→ x =
1,15926373
1,077048321,076334 1,076334 0,= ⋅ =→ x 888513574 0,82236159→ x =
1
0,934450191,0701 1,0701 1,22385095 1,3097= ⋅ =→ 00164
0,93445019
0,885135741,056 1,056 1,15926373= ⋅→ == 1,22385095
Año Pesetas Euros
1996 1
1998 1,037322
2000 1,07704832
2002 1,15926373 0,88513574
2004 0,93445019
2006 1
086
140,9408
104,9134,36⋅ =100 →
140,9408
118,0452119,40⋅ =100 →
140,9408
137,5032102,5⋅ =100 →
Aritmética mercantil
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77
Completa la tabla en la que se refleja la transformación del valor en el tiempo de una unidad monetaria.
1,154
1,121,03 1,03 1,019 1,05= ⋅ =→
1,12
1,0991,019 1,019 1 1,019= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 0,94 0,911= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 0,977 0,94= ⋅ = =→ →x x
1,099
1,0731,024 1,024 1 0,977= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1,043 1,074= ⋅ =→
1,12
1,0991,019 1,019 1,024 1,043= ⋅ =→
1,099
1,0731,024 1,024 1 1,024= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 0,962 0,932= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 1 0,962= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1,085 1,118= ⋅ =→
1,12
1,0991,019 1,019 1,065 1,085= ⋅ =→
1,099
1,0731,024 1,024 1,0397 1,065= ⋅ =→
1,073
1,0321,0397 1,0397 1 1,0397= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 1 0,969= ⋅ = =→ →x x
U. M. del año
2002 2003 2004 2005 2006 2007
1
1,032 1
1,073 1
1,099 1
1,12 1
1,154 1
Vale
en
el a
ño
2002
2003
2004
2005
2006
2007
087
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 77
78
PARA FINALIZAR...
¿Cuál de estos depósitos financieros a interés compuesto produce más intereses?
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital C0, a un rédito r % duranteun tiempo 2t.
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital 2C0, a un rédito r %durante un tiempo t.
• Un depósito financiero en el que ingresamos un capital C0, a un rédito 2r % duranteun tiempo t.
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el primer depósito es el que produce más intereses.
C Cr
C Cr
f
t
f= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠0
2
01100
2 1100
⎟⎟⎟⎟⎟ = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
t
f
t
C Cr
0 12
100
088
U. M. del año
2002 2003 2004 2005 2006 2007
1 0,969 0,932 0,911 0,893 0,867
1,032 1 0,962 0,94 0,922 0,895
1,073 1,0397 1 0,977 0,958 0,93
1,099 1,065 1,024 1 0,981 0,953
1,12 1,085 1,043 1,019 1 0,971
1,154 1,118 1,074 1,05 1,03 1
Vale
en
el a
ño
2002
2003
2004
2005
2006
2007
1,032
11,032 1,032 0,895 0,867= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 0,93 0,895= ⋅ = =→ →x x
1,099
1,0731,024 1,024 0,953 0,93= ⋅ = =→ →x x
1,12
1,0991,019 1,019 0,971 0,953= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1 0,971= ⋅ = =→ →x x
1,154
1,121,03 1,03 1 1,03= ⋅ =→
1,032
11,032 1,032 0,922 0,893= ⋅ = =→ →x x
1,073
1,0321,0397 1,0397 0,958 0,922= ⋅ = =→ →x x
1,099
1,0731,024 1,024 0,981 0,958= ⋅ = =→ →x x
1,12
1,0991,019 1,019 1 0,981= ⋅ = =→ →x x
Aritmética mercantil
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 78
79
¿Cuál de estas opciones produce un mayor beneficio?
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización C0, a un rédito r %durante 2t años.
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización 2C0, a un rédito r %durante t años.
• Un fondo de pensiones con una anualidad de capitalización C0, a un rédito 2r %durante t años.
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el primer fondo de pensiones es el que produce más beneficios.
¿Cuál de estas opciones produce un mayor beneficio?
• Un préstamo con una anualidad de amortización C0, a un rédito r % durante 2t años. • Un préstamo con una anualidad de amortización 2C0, a un rédito r % durante t años.• Un préstamo con una anualidad de amortización C0, a un rédito 2r % durante t años.
Si suponemos que t es mayor que 1 año, el segundo préstamo es el que ofrecemayor cantidad de dinero prestado:
Entonces, si suponemos que la cantidad de dinero prestado es el mismo en los tres casos, al duplicar la cuota pagamos antes el préstamo.
2
1100
1
1001
100
0
2
C
r
r r
t
>
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
2t
C C
r
r rf
t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠
2
1100
1
1001
100
0
⎟⎟⎟⎟⎟
t
C C
r
r rf
t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
0
12
1001
2
1001
2
100
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
tC C
r
r rf
t
=
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠
0
2
1100
1
1001
100⎟⎟⎟⎟⎟
2t
090
C Cr
r
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
2 1100
1100
1
0 rr
100
C Cr
r
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
0 12
100
12
10011
2
100
rC C
r
r
f
t
= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
0
2
1100
1100
1
rr
100
089
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 79
80
La cesta básica de la compra de un país está formada por las cantidades mínimas de alimentos para satisfacer las necesidades de calorías de una persona. Las familias cuyos ingresos son inferiores al coste total de dicha cesta por mes son consideradas familias de extrema pobreza.
Esta tabla muestra los datos de dos países:
Considerando que los valores de la inflación se mantienen invariantes y que el nivel de pobreza de los dos países aumenta en la misma proporción que la inflacción, ¿en qué momento se espera que Nortelandia tenga un mayor nivel de pobreza?
Considerando x como el número de años que transcurren, en Nortelandiatenemos:
Primer año: x = 1
Segundo año: x = 2
Tercer año: x = 3
Nivel de pobreza = 0,12(1 + 0,15)3
Podemos definir la función nivel de pobreza de Nortelandia como:
f(x) = 0,12 ⋅ 1,15x
De la misma manera, la función nivel de pobreza en Surlandia es:
g(x) = 0,18 ⋅ 1,08x
Veamos cuándo se iguala el nivel de pobreza en los dos países:
Después de los seis años y medio, el nivel pobreza se igualará entre los dos países.A partir de ese momento será mayor el nivel de pobreza de Nortelandia.
Llevo dos años pagando un crédito a 10 años de 210.000 € con un interés anual del 7,5 %. Me acaban de ofrecer, en otra entidad bancaria, renegociar la deuda que me queda al 6 % durante 8 años.
092
0,12 1,15 0,18 1,080,12
0,18
1,08
1,15⋅ = ⋅ =
⎛
⎝⎜⎜x x → ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ =
x
x x→ →ln ln0,67 0,94 6,67
Nivel de pobreza 0,12 1 0,15 0,15 0,12 1 0,1= + + +( ) ( ( 55 0,12 1 0,15 2)) ( )= +
Nivel de pobreza 0,12 0,15 0,12 0,12(1 0,15)= + ⋅ = +
Precio de lacesta básica
Nivel depobreza
Inflación anualesperada
31,80 € 12 % 15 %
39,30 € 18 % 8 %
Nortelandia
Surlandia
091
Aritmética mercantil
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81
El banco en el que inicialmente pedí el crédito me cobra un 2 % de la deuda que aún queda por pagar por gastos de cancelación, y el banco que me ofrece el nuevo crédito me cobra 368 € por gastos de apertura del crédito. ¿Me convienecambiar de banco?
La cuota anual del primer crédito es de 30.594,04 €.
Los intereses generados el primer año son: 210.000 ⋅ 0,075 = 15.750 €
Así, el capital amortizado es: 30.594,04 − 15.750 = 14.844,04 €
Por tanto, el capital pendiente después del primer pago asciende a:
210.000 − 14.884,04 = 195.155,96 €
Los intereses del segundo año son: 195.155,96 ⋅ 0,075 = 14.636,70 €
El capital amortizado es: 30.594,04 − 14.636,70 = 15.957,34 €
Por tanto, el capital pendiente es: 195.155,96 − 15.957,34 = 179.198,62 €
Si se cancela el préstamo con la primera entidad los gastos son: 179.198,62 ⋅ 0,02 = 3.583,97 €
Teniendo en cuenta los gastos de apertura del crédito en la segunda entidad, la deuda que queda es: 179.198,62 + 3.583,97 + 368 = 183.150,59 €
La cuota anual del segundo crédito es de 29.493,83 €. Al ser menor que la cuotadel primer crédito es más conveniente cambiar de banco y renegociar la deuda.
183.150,590,06
0,06 0,0629=
+ −+
=C C0
8
8 01 1
1
( )
( )→ ..493,83 €
210 0001 1
0 075 10
10
10 0.( )
, ( )=
+ −+
=C C0,075
0,075→ 330.594,04 €
2SOLUCIONARIO
833243 _ 0046-0081.qxd 10/10/08 09:32 Página 81
82
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
La máquina de leer los pensamientos –Dumoulin, ¿conoce usted al profesor Windbag? –Vagamente... Sólo le vi el día que le devolvimos la visita... Me parecióbrillante, untuoso y mediocre. –Todos sus calificativos son justos... Windbag es, en efecto, un sermediocre que enseña aquí Pedagogía. Da clases sobre el arte de «me-dir» las aptitudes de un estudiante o el valor profesional de un maes-tro. Sabe revestir con sabiduría un asomo de pensamiento. Fue élquien inventó, para determinar la ecuación personal de un alumno, lasiguiente fórmula:
T significa el número de horas de las clases semanales; N, el númerode alumnos del grupo; S, se me ha olvidado lo que era; A, la edad delos padres del alumno; P1, el tiempo que duró la educación del padre,y P2, el tiempo de educación de la madre. –Está usted de broma, Hickey. –¡Ojalá, amigo mío, fuera una broma, pero no es así! Estas locuras seenseñan seriamente a los futuros profesores, que luego preparan, bajo lavigilancia del profesor Windbag, cualquier tesis increíble sobre «El pa-pel de la mujer de hacer faenas en los cursos superiores de las jóvenesestudiantes...». Y no solamente se enseñan estas cosas, sino que inspiranla mayor admiración a ciertos señores y bienhechores nuestros.
ANDRÉ MAUROIS
XT T N I S
A IP
IP
=− −
− −
( )( )2 2 2
1 2
Opera en esa expresión hasta convertirla en una fracciónalgebraica con varias variables.
XT T N I S
AI
P
I
P
T T N I S P P=
− −
− −=
− −( )( ) ( )( )2 2 2
1 2
2 2 2 1 22
1 2 2 1AP P IP IP− −
Polinomios y fracciones algebraicas3
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 82
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Indica el coeficiente, la parte literal y el grado de los siguientes monomios.
a) x d) −4f 8 g) 7xyz 5
b) 5y e) 2xy 2 h) −4ydf 8
c) 7z 5 f ) 5yzd 3
a) Coeficiente: 1 Parte literal: x Grado: 1
b) Coeficiente: 5 Parte literal: y Grado: 1
c) Coeficiente: 7 Parte literal: z 5 Grado: 5
d) Coeficiente: −4 Parte literal: f 8 Grado: 8
e) Coeficiente: 2 Parte literal: xy 2 Grado: 3
f ) Coeficiente: 5 Parte literal: yzd 3 Grado: 5
g) Coeficiente: 7 Parte literal: xyz 5 Grado: 7
h) Coeficiente: −4 Parte literal: ydf 8 Grado: 10
Indica si los monomios son o no semejantes, y determina su opuesto.
a) xyz , xy e y b) ab, a 2b y 7b c) 87xy2 y 7x 2y
a) No b) No c) No
Haz estas operaciones.
a) 3xy + 8xy + 9xy c) 10xy 2 ⋅ 6x 2y
b) 11a 2b − 15a 2b + 7a 2b d) 15x 8 : 3x 3
a) 20xy c) 60x 3y 3
b) 3a 2b d) 5x 5
Aplica la propiedad distributiva en las siguientes expresiones.
a) 7(x + 2) c) (−2x )(3x 2 −4x + 7)
b) 3x(x −5) d) 9(x −4)
a) 7x + 14 c) −6x3 + 8x 2 − 14x
b) 3x2 − 15x d) 9x − 36
Saca factor común en las expresiones.
a) (2n + 2)3n + (2n + 2)6 b) 4(7n −7) − (7n −7)(4n −8)
a) (2n + 2)(3n + 6)
b) (7n − 7)(4 − (4n − 8)) = 7(n − 1)(12 − 4n)
Desarrolla las siguientes igualdades notables.
a) (x + 3y )2 b) (3x 3 −a 2)2 c) (x + x 3)(x −x 3)
a) x 2 + 6xy + 9y 2
b) 9x 6 − 6x 3a 2 + a 4
c) x 2 − x 6
006
005
004
003
002
001
3SOLUCIONARIO
83
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 83
84
ACTIVIDADES
Dado P (x) = 4 −3x 2 + x −x 2 −1 −3x, reduce este polinomio y halla su valornumérico para:
a) x = 0 c) x = −1
b) x = 1 d) x = 3
P (x ) = −4x 2 − 2x + 3
a) P (0) = 3
b) P (1) = −4 − 2 + 3 = −3
c) P (−1) = −4 + 2 + 3 = 1
d) P (3) = −36 − 6 + 3 = −39
Reduce los siguientes polinomios y calcula su valor numérico para x = 2.
a) P (x) = 4 −3x 2 + x −x 2 + 1
b) P(x) = x 4 −4 −3x 2 + x −x 2 + 1 −3x 4 −3x
a) P (x ) = −4x 2 + x + 5 → P (2) = −16 + 2 + 5 = −9
b) P (x ) = −2x 4 − 4x 2 − 2x − 3 → P (2) = −32 − 16 − 4 − 3 = −55
Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios para x = 1.
a) P (x) = x + 1 c) P (x) = x 3 + 1
b) P (x) = x 2 + 1 d) P (x) = x 4 + 1
a) P (1) = 2 c) P (1) = 2
b) P (1) = 2 d) P (1) = 2
Halla el valor numérico del polinomio P(x) = x n + 1 para x = −1. ¿Qué observas?
P(x) = x n + 1 → P (−1) = (−1)n + 1
Si n es par, entonces: P (−1) = 1 + 1 = 2
Si n es impar, entonces: P (−1) = −1 + 1 = 0
Suma y resta cada par de polinomios.
a) P (x ) = 3x 3 −x −4 Q (x ) = x 3 −x 2 + 3
b) P (x ) = x 7 −8x 4 + 3 Q (x ) = x 5 + 3x 3 −6
c) P (x ) = 10x 4 + x 2 + 1 Q (x ) = x 5 + 7x 2 −x
a) S (x ) = (3x 3 − x − 4) + (x 3 − x 2 + 3) = 4x 3 − x 2 − x − 1
R (x ) = (3x 3 − x − 4) − (x 3 − x 2 + 3) = 2x 3 + x 2 − x − 7
b) S (x ) = (x 7 − 8x 4 + 3) + (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 + x 5 − 8x 4 + 3x 3 − 3
R (x ) = (x 7 − 8x 4 + 3) − (x 5 + 3x 3 − 6) = x 7 − x 5 − 8x 4 − 3x 3 + 9
c) S (x ) = (10x 4 + x 2 + 1) + (x 5 + 7x 2 − x) = x 5 + 10x 4 + 8x 2 − x + 1
R (x ) = (10x 4 + x 2 + 1) − (x 5 + 7x 2 − x) = −x 5 + 10x 4 − 6x 2 + x + 1
005
004
003
002
001
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 84
85
Halla la suma, la resta y el producto de cada par de polinomios.
a) R (x ) = x 4 −x + 1 S (x ) = x 2 + 1
b) R (x ) = x + 1 S (x ) = x 2 + x −1
c) R (x ) = 5x 7 −x 8 + 1 S (x ) = x 2 + x 6 −1
a) P (x ) = (x 4 − x + 1) + (x 2 + 1) = x 4 + x 2 − x + 2
Q (x ) = (x 4 − x + 1) − (x 2 + 1) = x 4 − x 2 − x
b) P (x ) = (x + 1) + (x 2 + x − 1) = x 2 + 2x
Q (x ) = (x + 1) − (x 2 + x − 1) = −x 2 + 2
c) P (x ) = (5x 7 − x 8 + 1) + (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 + x 6 + x 2
Q (x ) = (5x 7 − x 8 + 1) − (x 2 + x 6 − 1) = −x 8 + 5x 7 − x 6 − x 2 + 2
Calcula el resultado de multiplicar los siguientes polinomios.
a) R (x ) = x 3 + x + 1 S (x ) = 2x
b) R (x ) = x 3 −1 S (x ) = x
c) R (x ) = x 4 + x S (x ) = x + 3
d) R (x ) = x 5 + 6x + 2 S (x ) = x 3 + x 2
a) P (x ) = (x 3 + x + 1)2x = 2x 4 + 2x 2 + 2x
b) P (x ) = (x 3 − 1)x = x 4 − x
c) P (x ) = (x 4 + x)(x + 3) = x 4(x + 3) + x(x + 3) == x 5 + 3x 4 + x 2 + 3x
d) P (x ) = (x 5 + 6x + 2)(x 3 + x 2) = x 5(x 3 + x 2) + 6x(x 3 + x 2) ++ 2(x 3 + x 2) = x 8 + x 7 + 6x 4 + 6x 3 + 2x 3 + 2x 2 == x 8 + x 7 + 6x 4 + 8x 3 + 2x 2
007
−x 8 + 5x 7 + 1× x 6 + x 2 − 1
x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1− x 10 + 5x 9 − x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 −x 10 + 5x 9 x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
−x 14 + 5x 13 − x 10 + 5x 9 + x 8 − 5x 7 + x 6 + x 2 − 1
x 2 + x − 1× x + 1
x 2 + x − 1x 3 + 1x 2 − x + 1
x 3 + 2x 2 + 2 − 1
x 4 − x + 1× x 2 + 1
x 4 − x 3 + x 2 − x + 1x 6 − x 3 − x 3 + x 2 − x + 1
x 6 + x 4 − x 3 + x 2 − x + 1
006
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 85
86
Indica el grado del polinomio resultante de esta operación.
(x 4 −2x + 1)(2x 2 −x + 1)
Es la suma de los grados: 4 + 2 = 6.
Realiza las siguientes divisiones de polinomios, y señala las que son exactas.
a) (x −1) : x
b) (x 2 −1) : (x + 1)
c) (x 2 −5x + 6) : (x −2)
d) (x 3 + 2x 2 + 1) : (x 2 + 1)
Halla las divisiones y luego comprueba que P (x ) = Q (x ) ⋅ C (x ) + R (x ).
a) (x 3 −1) : x
b) (x 3 −1) : (x + 1)
c) (x 3 −1) : (x 2 −2)
d) (x 3 −1) : x 3
x 3 − 1 = x ⋅ x 2 − 1
−x 3 − 1 x
−x 3 x 2
−x 3 − 1
a)
010
−x 3 + 2x 2 − x + 1 x 2 + 1
−x 3 + 2x 2 − x x + 2 → No es exacta
−x 2 − 2x 2 − x + 1−x 2 − 2x 2 − x − 2
−x 3 + 2x 2 − x − 1
d)
−x 2 − 5x + 6 x − 2
−x 2 + 2x x − 3 → Es exacta
−x 2 − 3x + 6−x 2 + 3x − 6
−x 2 − x 0
c)
−x 2 − x − 1 x + 1
−x 2 − x x − 1 → Es exacta
−x 2 − x − 1−x 2 + x + 1
−x 2 − x + 0
b)
−x − 1 x
−x 1 → No es exacta
−x − 1
a)
009
008
Polinomios y fracciones algebraicas
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87
x 3 − 1 = (x + 1) (x 2 − x + 1) − 2 = x 3 + 1 − 2
x 3 − 1 = (x 2 − 2)x + 2x − 1 = x 3 − 2x + 2x − 1
x 3 − 1 = x 3 ⋅ 1 − 1
Realiza estas divisiones aplicando la regla de Ruffini.
a) (x 4 + x 3 −5x 2 + 2x −5) : (x + 3)
b) (x 3 −10x 2 + 23x −10) : (x −3)
c) (x 5 −x 4 −x 3 + 2) : (x −1)
d) (−x 6 −x 5 −6x 3 + 10) : (x + 1)
e) (−x 7 + 2x 6 + x 4 −4x 2 + 7x −5) : (−x + 2)
f ) (2x 5 + 6x 4 −x 2 + 9) : (−x −3)
Cociente: x 3 − 2x 2 + x − 1. Resto: −2
Cociente: x 2 − 7x + 2. Resto: −4
Cociente: x 4 − x 2 − x − 1. Resto: 1
1 1 −1 −1 −0 −0 −21 1 −1 −0 −1 −1 −1
1 1 −0 −1 −1 −1 −1
c)
3 1 −10 − 23 −103 1 − 3 −21 −16
3 1 −7 21 −4
b)
−3 1 −1 −5 −2 −5−3 1 −3 −6 −3 −3
−3 1 −2 −1 −1 −2
a)
011
−x 3 − 1 x 3
−x 3 1
−x 3 − 1
d)
−x 3 + 2x − 1 x 2 − 2
−x 3 + 2x x
−x 3 + 2x − 1
c)
−x 3 − x 2 − 1 x + 1
−x 3 − x 2 x 2 − x + 1
−x 2 − x 2 + x − 1−x 2 + x 2 + x
−x 2 − x 2 + x − 1−x 2 − x 2 − x − 1
−x 2 − x 2 − x − 2
b)
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 87
88
Cociente: −x 5 − 6x 2 + 6x − 6. Resto: 16
Cociente: x 6 − x 3 − 2x 2 − 7. Resto: −9
Cociente: −2x 4 + x − 3. Resto: 0
Calcula el valor de m para que las divisiones sean exactas.
a) (x 4 + m) : (x −1)
b) (2x 5 + x 3 + m) : (x + 2)
c) (6x 3 + x 2 + 4x + m) : (x + 1)
d) (2x 7 −4x 6 −2x 3 + x + m) : (x −4)
Una vez que obtengas el valor de m, escribe el dividendo como producto de dos factores.
m + 1 = 0 → m = −1
Descomposición: (x − 1)(x 3 + x 2 + x + 1)
m − 72 = 0 → m = 72
Descomposición: (x + 2)(2x 4 − 4x 3 + 9x 2 − 18x + 36)
m − 9 = 0 → m = 9
Descomposición: (x + 1)(6x 2 − 5x + 9)
m + 16.260 = 0 → m = −16.260, Descomposición: (x − 4)(2x 6 + 4x 5 + 16x 4 + 64x 3 + 254x 2 + 1.016x + 4.065)
3 2 −4 00 00 −2 000.0 000.1 m4 −8 16 64 256 1.016 4.064 16.260
3 2 −4 16 64 254 1.016 4.065 m + 16.260
d)
−3 6 −1 4 m−1 −6 5 −9
−3 6 −5 9 m − 9
c)
−3 2 −0 1 −00 00 m−2 −4 8 −18 36 −72
−3 2 −4 9 −18 36 m − 72
b)
3 1 0 0 0 m1 3 1 1 1 1
3 1 1 1 1 m + 1
a)
012
−3 −2 −6 0 1 −0 −9−3 −1 −6 0 0 −3 −9
−3 −2 −0 0 1 −3 −0
f )
1 1 −2 0 −1 −0 −4 −7 −052 1 −2 0 −0 −2 −4 −0 −14
1 1 −0 0 −1 −2 −0 −7 0−9
e)
−3 −1 −1 0 −6 0 −0 10−1 −1 −1 0 −0 6 −6 06
−3 −1 −0 0 −6 6 −6 16
d)
Polinomios y fracciones algebraicas
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89
Calcula, mediante el teorema del resto, el valor numérico del polinomio P(x) para los valores de x indicados en cada apartado.
P(x) = x3 − 7x2 + x − 7a) x = 1 c) x = −1 e) x = 3b) x = 5 d) x = 7 f ) x = −5
a)
b)
c)
d)
e)
f )
Dado P(x) = x4 −3x + 2, halla, utilizando la definición de valor numérico y medianteel teorema del resto, su valor para:
a) x = 2 b) x = −1
a) P (x ) = x 4 − 3x + 2 → P (2) = 12
b) P (x ) = x 4 − 3x + 2 → P (−1) = 6
Determina cuánto vale a, sabiendo que el valor numérico de P(x) = x3 −2x2 −3x + a,para x = 2, es nulo: P(2) = 0.
1 2 32 2 0 6
1 0 3 6 6 0 6
− −−
− − − = =
a
a a a→ →
015
1 0 0 3 21 1 1 1 4
1 1 1 4 6 2 12
−− − −
− − =→ P( )
1 0 0 3 22 2 4 8 10
1 2 4 5 12 2 12
−
=→ P( )
014
→ P (−5) = −312
1 −7 1 −7−5 −5 60 −305
1 −12 61 −312
→ P (3) = −40
1 −7 − 1 −73 −3 −12 −33
1 −4 −11 −40
→ P (7) = 0
1 −7 1 −77 −7 0 −7
1 −0 1 0
→ P (−1) = −16
1 −7 1 −7−1 −1 8 −9
1 −8 9 −16
→ P (5) = −52
1 −7 −1 −75 −5 −10 −45
1 −2 −9 −52
→ P (1) = −12
1 −7 −1 −71 −1 −6 −5
1 −6 −5 −12
013
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 89
90
Calcula estos números combinatorios.
a) b) c) d)
a) c)
b) d)
Desarrolla las siguientes potencias, utilizando el binomio de Newton.
a) (2x −5)3 b) (x3 + 2x)5
a) (2x − 5)3 = 8x3 − 60x2 + 150x − 125
b) (x3 + 2x)5 = x15 + 10x13 + 40x11 + 80x9 + 80x7 + 32x5
Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio P(x) = x4 + 3x3 −2x2 + 6x −8.
a) x = 1 b) x = 2 c) x = −1 d) x = −4
a) P(1) = 14 + 3 ⋅ 13 − 2 ⋅ 12 + 6 ⋅ 1 − 8 = 0
Por tanto, x = 1 es una raíz del polinomio.
b) P(2) = 24 + 3 ⋅ 23 − 2 ⋅ 22 + 6 ⋅ 2 − 8 = 36
c) P(−1) = (−1)4 + 3 ⋅ (−1)3 − 2 ⋅ (−1)2 + 6 ⋅ (−1) − 8 = −18
d) P(−4) = (−4)4 + 3 ⋅ (−4)3 − 2 ⋅ (−4)2 + 6 ⋅ (−4) − 8 = 0
Por tanto, x = −4 es una raíz del polinomio.
Calcula las raíces enteras de estos polinomios.
a) P(x) = x3 −1
b) Q(x) = x3 −9x2 −x + 105
La raíz entera del polinomio es 1. Las raíces enteras son {−3, 5, 7}.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
a) 2x3 − 8x2 + 2x + 12 = 2(x + 1)(x − 2)(x − 3)
b) 3x3 − 8x2 − 20x + 16 = (x + 2)(x − 4)(3x − 2)
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x = x(x + 3)(x + 4)(2x + 1)
020
1 0 01 1 1
1 1 1
110
− 1 97 7
1 25 5
1 3
11415150
105105
0
−
−
−−−
−
a) b)
019
018
017
87
8
7 18
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
!
! · !
75
7
5 221
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
!
! · !
123
12
3 9
12 11 10
3 2 1220
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
!
! · !
· ·
· ·72
7
2 5
7 6
2 121
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
!
! · !
·
·
87
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
123
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
75
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
72
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
016
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 90
91
Encuentra las raíces enteras de los polinomios.
a) 12x + 2x3 + 4 + 9x2
b) x4 −8x2 −9
c) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
Esta raíz no es entera.
c) Sacamos factor común: 2x2(x3 + 5x2 + 14x + 16)
Simplifica estas fracciones algebraicas.
Reduce a común denominador.
b) , y4
4 1
12 1
4 1
12
2
2
2
2x
x x
x
x x
x x x
( )
( )
( )
( ) (
−− −
−− − + 11
4 1 2
)
( )x x −
a) y( )( )
( )
( )
( )
x y
x y y
x y x
x y y
− −−
+−
1 1
1
2
1
b) yx
x x
x
( ),
−− − −
1
3 1
42
a) yx
xy
x
y
− +−
1 2
1
023
b)( )( )( )( )
( )( )
( )(x x y y
x y x y
x+ − + −− +
=+3 3 4 4
2 3 4
32
yy
x y y
−+
4
2 4
)
( )
a)( )
( )
x
x x
x
x
++
=+1
1
12
b)( )( )
( )( )
x y
xy x y
2 2
2
9 16
2 6 4
− −− +
a)x x
x x
2 2 1
1
+ ++( )
022
1 5 142 2 6
1 3 8
1616
0− − − −
Las raíces enteras son {−2, 0}.
1 0 83 3 9
1 3 13 3 0
1 0 1
03330
990
−− −
−−−
−b)
Las raíces enteras son {−3, 3}.
2 1 01
2x x+ = = −→
2 92 4
2 52 4
2 1
1210
220
440
− −
− −
−
−
−a)
La única raíz entera es −2.
021
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 91
92
Resuelve las operaciones y simplifica el resultado.
Resuelve las siguientes operaciones y simplifica el resultado.
c)2 2 1 1
12 2 1 1
1
6
( )( )
( )( )
x x
x x
+ ++ +
=
b)x y x
y x
x
x
( )
( ) ( )
−−
=−
1
3 1 3 12
a)4 1 4 12
2 2
x y
x y
x y
y
( ) ( )−=
−
c) ( ) ( )2 41
6 34 4+ +
+
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ +x
x
xx⋅ :
b)xy
x
y
x( )− −1
3
12:
a)4 12x
y
y
xy⋅
−
025
f )6
2
6 4
2
1
2
5 1
2
3
2
3
2 2 2
x
x
x x
x
x
x
x
x−
−+
+=
+
e)( )( ) (x x
x
x x
x
x x
x
x x+ −−
+− +
−=
−−
=−1 1
1
3 1
1
2 3
1
2 32 2 ))
x −1
d)−
−−
=+ −3 2 42 2x
x
x
x
x x
x
( )
c)y
y
y
y
y
y+
−=
−2 2 1( )
b)−
+ =−3 3
2 2
3
2 2
3
2 2
y
x y
x
x y
x y
x y
a)x
x y
x
x y
x x
x y
3 37 7 7 7+
−=
+ −
f ) 33 2 1
2
2
2x
x
x
x
x− − + −
c) 12+ −y
y
e) ( )xx x
x+ + − +
−1
3 1
1
2
b) − +32 2x y
x
y
d) − − −3
2 2( )x
xa)
x
y
x
xy
2 7 1+ −( )
024
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 92
93
Sean los polinomios P(x) = x3 −5x2 + 2x −3, Q(x) = −x3 + 5x +1 y R(x) = −2x2 −x + 2.
Determina los siguientes valores numéricos.
a) P(2)
b) Q(−1) e) R(−1) + Q(2)
Encuentra el valor de a y b de modo que, para P(x) = 8x3 + ax2 + bx + 1, se cumple
que P(−1) = −29 y .
Realiza las siguientes operaciones.
a) (3x + 5)(x −2)
b) (4x −1)(4x + 1)
c) (2x −3)2
d) (−3a + 6)2
e) (2p2 −3q)2
f ) (−3x2 −1)2
g) (5a3b −2ab2)(5a3b + 2ab2)
g) ( )( )5 2 5 2 25 43 2 3 2 6 2 2 4a b ab a b ab a b a b− + = −
f ) ( )− − = + +3 1 9 6 12 2 2x x x
e) ( )2 3 4 12 92 2 4 2p q p pq q− = − +
d) ( )− + = − +3 6 9 36 362 2a a x
c) ( )2 3 4 12 92 2x x x− = − +
b) ( )( )4 1 4 1 16 12x x x− + = −
a) ( )( )3 5 2 3 102x x x x+ − = − −
028
P a b a b( ) ( ) ( ) ( )− = − − + − + − + = − − = −1 29 8 1 1 1 1 29 223 2→ →
PP a1
24 8
1
2
1
2
3⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞→
⎠⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + = + =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
21
21 4 2 12b a b→
⎪⎪⎪
= −
=
a
b
32
334
3
P1
24
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
027
f ) Q −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
2
3
55
27
e) R Q( ) ( )− + = + =1 2 1 3 4
d) P 2 4 2 13( ) = −
c) R x x x R( ) = − − +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =2 2
1
212 →
b) Q x x x Q( ) ( )= − + + − = −3 5 1 1 3→
a) P x x x x P( ) ( )= − + − = −3 25 2 3 2 11→
f ) Q −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
2
3c) R
1
2
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
d) P 2( )
026
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 93
94
Efectúa y compara los resultados de estas operaciones.
a) 5(x2 −x + 1) −2(x2 + 3)
b) 5(x2 −x) + 1 −2x2 + 3
c) 5(x2 −x) + 1 − (2x2 + 3)
d) 5x2 − (x + 1)(−2x2 + 3)
e) (5x2 −x + 1)(−2x2 + 3)
Los resultados son diferentes según el orden de las operaciones determinado por los paréntesis.
Efectúa y simplifica lo máximo posible.
a) (3x2 −5)(−x + 3) −x2 + 3x
b) (−x + y)2 + (x −y)2
c) 3a2 −5a(a2 −2a)
d) (3a2 −5a)(a2 −2a)
Realiza las operaciones, siendo:
P(x) = x2 −3x + 5 Q(x) = 2x2 + 5 R(x) = 4x −3
a) P(x) + Q(x) −R(x)
b) P(x) −Q(x) ⋅ R(x)
c) (P(x) −Q(x)) ⋅ R(x)
d) 3Q(x) − (x + 1) ⋅ R(x)
e) −P(x) + 2Q(x)
f ) P(x) −R(x)2
f ) P x R x x x( ) ( )− = − + −2 215 21 4
e) − + = + +P x Q x x x( ) ( )2 3 3 52
d) 3 1 6 15 1 4 3 22 2Q x x R x x x x x x( ) ( ) ( ) ( )( )− + ⋅ = + − + − = − ++ 12
c) ( ( ) ( )) ( )P x Q x R x x x x− ⋅ = − − +4 9 93 2
b) P x Q x R x x x x( ) ( ) ( )− ⋅ = − + − +8 7 23 203 2
a) P x Q x R x x x( ) ( ) ( )+ − = − +3 7 72
031
d) ( )( )3 5 2 3 11 102 2 4 3 2a a a a a a a− − = − +
c) 3 5 2 5 132 2 3 2a a a a a a− − = − +( )
b) ( ) ( )− + + − = − +x y x y x x y y2 2 2 22 4 2
a) ( )( )3 5 3 3 3 8 8 152 2 3 2x x x x x x x− − + − + = − + + −
030
e) ( )( )5 1 2 3 10 2 13 3 32 2 4 3 2x x x x x x x− + − + = − + + − +
d) 5 1 2 3 2 7 3 32 2 3 2x x x x x x− + − + = + − −( )( )
c) 5 1 2 3 3 5 52 2 2( ) ( )x x x x x− + − + = − −
b) 5 1 2 3 3 5 42 2 2( )x x x x x− + − + = − +
a) 5 1 2 3 3 5 12 2 2( ) ( )x x x x x− + − + = − −
029
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 94
95
Haz estas divisiones y comprueba su resultado.
a) (x3 −2x2 + 4x −3) : (x2 + 3x −1)
b) (2x3 −5x + 2) : (x2 −2x + 1)
c) (x4 + 4x3) : (x2 −2)
d) (x3 + x2 −14x −16) : (2x −4)
Comprueba si esta igualdad es cierta.
(x2 −3x + 2)(2x −1) + (3x −2) = 2x3 −7x2 + 10x −4
( )( ) ( ) ( )x x x x x x x x2 3 23 2 2 1 3 2 2 7 7 2 3 2− + − + − = − + − + − === − + −2 7 10 43 2x x x
033
x x x x
x x x x
x x
3 2
3 2 2
2
14 16 2 4
21
2
3
24
3 14 16
+ − − −
− + + −
− −−− +
− −−−
− + −⎛
⎝⎜⎜⎜
3 6
8 168 16
32
2 41
2
3
24
2
2
x x
xx
x x x( )⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− = + − −32 14 163 2x x x
d)
x x x
x x x x
x xx x
x
4 3 2
4 2 2
3 2
3
2
4 2
2 4 2
4 24 8
2 8
+ −− + + +
+− +
+ xxx
x
x x x x x x
− ++
− + + + + = +
2 4
8 4
2 4 2 8 4 4
2
2 2 4 3( )( )
c)
2 5 2 2 1
2 4 2 2 4
4 7 24
3 2
3 2
2
2
x x x x
x x x x
x xx
− + − +− + − +
− +− + 88 4
2
2 1 2 4 2 2 5 22 3
x
x
x x x x x x
−−
− + + + − = − +( )( )
b)
x x x x x
x x x x
x xx
3 2 2
3 2
2
2
2 4 3 3 1
3 5
5 5 35
− + − + −− − + −
− + −+ 115 5
20 8
3 1 5 20 8 2 4 32 3 2
x
x
x x x x x x x
−−
+ − − + − = − + −( )( )
a)
032
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 95
96
Encuentra P(x), Q(x), R(x) y S(x), tales que:
a) P(x) + (x2 −3x + 5) = x3 −6x + 2
b) 2x3 −6x + 3 − Q(x) = x2 + 5x −2
¿Cuánto deben valer a y b para que se cumplan estas igualdades?
a) (x −3)(ax + b) = 2x2 −7x + 3 c) a(x −2) + b(2x + 1) = 13x −1
b) (ax + 3)(4x −b) = 8x2 + 6x −9 d) a(x2 + 2x) + b(3x + 7) + x2 = 5x2 −x −21
Realiza estas divisiones, empleando la regla de Ruffini, y escribe el cociente y el resto.
a) (x3 −3x2 + 5x −1) : (x −2) c) (2x4 + 3x2 + 5) : (x + 1)
b) (2x3 + x2 −4) : (x + 3) d) (x3 −2x ) : (x −3)
a) 1 3 5 12 2 2 6
1 1 3 5 3 52
− −−
= − + =– ( ) ( )→ C x x x R x
036
d) a x x b x x x xab
( ) ( )2 2 22 3 7 5 21 43
+ + + + = − − == −
⎧⎨⎪⎪⎩
→⎪⎪⎪
c) a x b x xab
( ) ( )− + + = − ==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 2 1 13 1 35
→
b) ( )( )ax x b x xab
+ − = + − == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 4 8 6 9 23
2 →
a) ( )( )x ax b x xab
− + = − + == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 2 7 3 21
2 →
035
2 5 5 4 2 1
2 3 4
6 5
3 2
3 2 2
2
x x x x
x x x x S x
x x
− + + +− − − + =
− + +( )
446 3
8 48 4
0
2x x
xx
++
− −
d) S x x x x x( ) ( ) : ( )= − + + +2 5 5 4 2 13 2
c) R x x x x x x( ) ( ( ))( ) ( )( )= − + − = − − − + = −1 3 2 1 2 4 4 1 42 2 xx x x3 24 7 2− + −
b) Q x x x x x x x x( ) ( )= − + − + − = − − +2 6 3 5 2 2 11 53 2 3 2
a) P x x x x x x x x( ) ( )= − + − − + = − − −3 2 3 26 2 3 5 3 3
d)2 5 5 4
2 13 2x x x
S xx
− + + = +( )
c) 12 1
32
−−
= +R x
xx
( )
( )
034
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 96
97
Completa las siguientes divisiones.
Determina el valor de m.
Utiliza la regla de Ruffini para decidir si el primer polinomio es divisible por el segundo.
a) P(x) = x4 −3x3 + 2x2 −10x + 3 y Q(x) = x −3
b) P(x) = 2x3 + 5x2 −10x + 8 y Q(x) = x + 5
b)
No es divisible
2 5 10 85 10 25 75
2 5 15 67
−− − −
− − →
a)
No es divisible
1 3 2 10 33 3 0 6 12
1 0 2 4 9
− −−
− − →
039
1 3 04 4 16 4 16 52
1 4 13 4 20 16 52 20
mm m
m m m
−− − − −
− − − − = −→ →→ m = 2
1 m −3 0−4
−20
038
c) 2 0 4
6 3 15
1 5
−5 1
3 9
2 3 16
−
b) 2 2
2
2 5
4 7
1 2 5
2 7
−−− − −
−
a) 1 2
2 2
5 15
−3 5
8 10
1 2
037
d) 1 0 2 03 3 9 21
1 3 7 21 3 7 212
−
= + + =→ C x x x R x( ) ( )
c) 2 0 3 0 51 2 2 5 5
2 2 5 5 10 2 2 5 53 2
− − −− − = − + −→ C x x x x R( ) (xx) = 10
b) 2 1 0 43 6 15 45
2 5 15 49 2 5 152
−− − −
− − = − +→ C x x x R x( ) ( ) == −49
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 97
98
Polinomios y fracciones algebraicas
Comprueba, sin emplear la regla de Ruffini, si el primer polinomio es divisible por el segundo.
a) P(x) = 2x3 −3x2 −14x + 15 y Q(x) = x −3
b) P(y) = y3 + 2y2 −6y −9 y Q(y) = y + 2
a) P (3) = 54 − 27 − 42 + 15 = 0 → Es divisible
b) P (−2) = −8 + 8 + 12 − 9 = 3 → No es divisible
Calcula el resto de las siguientes divisiones, sin hacerlas ni emplear la regla de Ruffini.
a) P(x) = x4 + 2x3 −x2 + 4x −6 y Q(x) = x −3 c) P(x) = x3 −10x + 3 y Q(x) = x −1
b) P( t) = 2t3 + 4t −8 y Q( t) = t + 5 d) P(x) = 3x −x3 −10x2 y Q(x) = x + 2
a) R = P (3) = 81 + 54 − 9 + 12 − 6 = 132 c) R = P (1) = 1 − 10 + 3 = −6b) R = P (−5) = −250 − 20 − 8 = −278 d) R = P(−2) = −6 + 8 − 40 = −38
¿Qué valor debe tomar a para que el resto de dividir x3 + ax2 −3x −a entre x −4 sea 67?
Determina a y b de manera que el polinomio x3 + ax2 + bx −6 sea divisible por x −2 y por x + 3.
Comprueba si M(x) = 2x3 −5x2 + 4x −4 es divisible por x −2 y, en caso afirmativo,encuentra un polinomio N(x) que permita escribir M(x) de la forma: M(x) = (x −2) ⋅ N(x).
Calcula x para que se cumplan las siguientes igualdades.
a) x = 2 b) x = 10 c) x = a − 5
Desarrolla y simplifica.
a) (x + 3)4 c) (3p + 2)4 i) (x2y −3)5
b) (x −y)5 d) (−p + 2p2)4 f ) (−3p −5p2)3 j) xx
2
61+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟h) 5 2 2
5−( )
g) 3 24
+( )e)1
32
5
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟x
046
c) ax
a⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟5
b) x x3 7
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟a) 8 8
6x
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
045
2 5 4 42 4 2 4
2 1 2 0 2 22
− −−
− = − +→ N x x x( )
044
2 13 11
25
a ba b
ab
+ = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
Si es divisible por x P a b+ − = − + − − =3 3 0 27 9 3 6 0 9→ → →( ) aa b− =3 33
Si es divisible por x P a b a− = + + − = +2 2 0 8 4 2 6 0 4 2→ → →( ) bb = −2
043
R P a a a a= = + − − = = =( )4 67 64 16 12 67 15 15 1→ → →
042
041
040
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 98
99
j) xx
x2
6
2 61 60
61
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝
( ) ⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜( ) ( )x
xx
x2 5 2 41 6
21
⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
2 363
1( )x
x
33
2 2
464
1 65
+
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜( )x
x⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
xx x
2
51 6
61
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + + + ⋅ +
6
12 9 6 3
36 15 20 15 6
1 1x x x x
x x 66
i) ( ) ( )x y x y2 5 2 53 50
51
− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛( ) ( ) ( ) ( )x y x y2 4 2 3 23 5
23 5
3⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
( ) ( )
(
x y
x y
2 2 3
2
3
54
−− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
3 55
3
15 90
4 5
10 5 8 4 6
) ( )
x y x y x yy x y x y3 4 2 2270 405 243− + −
h) 5 2 2 50
5 51
55 5
−( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )) ⋅ −( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ −( ) +
+⎛⎝⎜⎜⎜
4 3 22 2 5
25 2 2
53
⎞⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ −( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −( ) +5 2 2 5
45 2 2 5
5
2 3 4 ⎛⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −( ) =
= − + − +
2 2
25 5 250 2 400 5 800 2 320 5
5
−−128 2
g) 3 2 40
3 41
34 4
+( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )33 2 2
2 42
3 2
43
⋅ ( ) +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ ( ) +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟( ) ⋅ ( ) +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) =
= + + + +
3 2 44
2
9 12 6 36 8 6 4
3 4
== +49 20 6
f ) ( ) ( )− − =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟3 5 3
03 3
12 3 3p p p ⎟⎟⎟⎟ − ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ −( ) ( ) ( ) ( )3 5 3
23 52 2 2p p p p 22 2 3
3 4 5
33
5
27 135 225
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − − − −
( )p
p p p 1125 6p
e)1
32 5
01
3
5
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟x ⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛5 451
1
32 5
2( )x
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟1
32 5
3
3
2( )x ⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
1
32
54
1
3
2
3( )x
(( ) ( )− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
2 55
2
1
243
10
81
40
2
4 5x x
x77
80
9
80
3322 3 4 5x x x x− + −
d) ( ) ( )− + =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟p p p2 4
041
2 4 4
⎟⎟ − ⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ +
⎛⎝⎜( ) ( ) ( )p p p p3 2 2 2 22 4
22 4
3⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
( ) ( )
( )
p p
p p
2
44
2
2 3
2 4 44 5 6 7 88 24 32 16− + − +p p p p
c) ( ) ( ) (3 2 40
3 41
4 4p p+ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ 33 2 4
23 2 4
33 2 2p p) ( )⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟33 2 4
42
81 216 216 96
3 4
4 3 2
p
p p x
⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + xx + 16
b) ( ) (x y x x− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −5 5 45
051
yy x y x) ( ) (+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅5
253
3 2 2 −− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
y x y) ( )
(
3 454
55
yy x x y x y x y x y y)5 5 4 3 2 2 3 4 55 10 10 5= − + − + −
a) ( )x x x+ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +3 4
041
34 4 3 442
3 43
3 44
2 2 3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜x x ⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
= + + + +
3
12 54 108 81
4
4 3 2x x x x
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 99
100
Determina en los desarrollos los términos que se indican.
a) Séptimo término de (x + 2y)10.
b) Décimo término de (x2 −3)15.
c) Decimosexto término de (2p + q2)28.
d) Decimocuarto término de (−a + 2)21.
Encuentra los términos indicados de los siguientes desarrollos.
a) El término central de (3p2 −2q)12.
b) El término que contiene x12 en (2x2 + 1)9.
c) El término que contiene x11 en .
Calcula, empleando la fórmula del binomio de Newton, el valor de 5,13 y 0,992;teniendo en cuenta que:
5,1 = 5 + 0,1 0,99 = 1 −0,01
0,99 0,012 2 21 20
1 21
= − =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟( ) ⎟⎟⎟ ⋅ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − =
= − +
1 22
1
2( ) ( )0,01 0,01
0,02 00,0001 0,9801=
5,1 0,13 3 35 30
5 31
= + =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( ) 55 3
25 3
32 2⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟0,1 0,1 0,11
7,5 0,15 0,001 132,651
3
125
=
= + + + =
049
c) 103
2120
3
2 7⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − = − ⋅
xx( )
88960
3
14 11
xx x⋅ −
b) 96
2 1 5 3762 6 3 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =( ) .x x
a) 126
3 2 43 110 1442 6 6 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − =( ) ( ) . .p q p qq6
2 2
10
xx−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
048
d) 2113
2 1 666 990 0808 13 8⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − ⋅ =( ) . . .a a
c) 2815
2 306 726 17413 2 15⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =( ) ( ) . . .p q 7720 13 30p q
b) 159
3 98 513 4152 6 9 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ − = −( ) ( ) . .x x
a) 106
2 13 4404 6 4 6⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =x y x y( ) .
047
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 100
101
Estas expresiones se obtienen al desarrollar algunas potencias. Hállalas.
a) 4x2 + 20x + 25
b) 4a2 −12a + 9
c) 27x3 −54x2 + 36x −8
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16
a) 4x2 + 20x + 25 = (2x + 5)2
b) 4a2 − 12a + 9 = (2a − 3)2
c) 27x3 − 54x2 + 36x − 8 = (3x − 2)3
d) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16 = (3p + 2)4
El séptimo y el octavo términos del desarrollo de una potencia son 1.792x2y12
y 1.024xy14, respectivamente. Calcula la potencia.
Al ser dos monomios consecutivos y positivos, la potencia corresponde a un bino-mio con dos términos positivos.
Como las potencias de x en los monomios conocidos corresponden al antepenúltimo y al penúltimo términos del desarrollo del binomio de Newton, y se trata de los términos séptimo y octavo, entonces la potencia correspondientees 8.
La potencia es (x + 2y2)8.
Factoriza estos polinomios.
a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
d) x3 −5x2 + 3x + 9
e) 12x + 2x3 + 4 + 9x2
f ) x4 −8x2 −9
g) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
g) 2 10 28 32 2 2 3 85 4 3 2 2 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )
f ) x x x x x4 2 28 9 3 3 1− − = − + +( )( )( )
e) 12 2 4 9 2 2 13 2 2x x x x x+ + + = + +( ) ( )
d) x x x x x3 2 25 3 9 3 1− + + = − +( ) ( )
c) 2 15 31 12 3 4 2 14 3 2x x x x x x x x+ + + = + + +( )( )( )
b) 3 8 20 16 4 2 3 23 2x x x x x x− − + = − + −( )( )( )
a) 2 8 2 12 2 3 2 13 2x x x x x x− + + = − − +( )( )( )
052
86
28 1 792 28 64 86
2 12 2 12⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = = ⋅ =
⎛⎝
→ . x y x y ⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
x y
xy
2 2 6
1
2
87
8 1 024
( )
.→ 44 14 2 78 128 87
2= ⋅ =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅x y x y( )
051
050
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 101
102
Determina las raíces de los siguientes polinomios.
a) (x −3)(x + 5)(x −2) e) x3 + 8x2 + 17x + 10
b) x(x −2)2 (2x + 1) f ) 3x3 + 7x2 −22x −8
c) (2x −1)(3x + 2)(x + 3)2 g) 2x4 −11x3 + 21x2 −16x + 4
d) x3 −3x2 −6x + 8 h) x4 −4x3 −12x2 + 32x + 64
De un polinomio de segundo grado, P(x), se sabe que P(1) = −6, que P(0) = −3 y que una de sus raíces es 3. Determina ese polinomio.
Por ser de segundo grado, el polinomio es de la forma: P (x) = ax2 + bx + c
Si P (1) = −6 → a + b + c = −6
Como P (0) = −3 → c = −3
Si 3 es una raíz del polinomio: P (3) = 0 → 9a + 3b + c = 0
Entonces, tenemos que:
Así, el polinomio es: P (x) = 2x2 − 5x − 3
Obtén el valor de m para que el polinomio P(x) = mx3 −6x2 −4x + 8 tenga 2 como raíz.
Si 2 es una raíz del polinomio:
P (2) = 0 → 8m − 24 − 8 + 8 = 0 → 8m = 24 → m = 3
Halla el valor de n para que el polinomio P(x) = 2x3 + 2x2 + nx + 3 tenga −3 como raíz.
Si −3 es una raíz del polinomio:
P (−3) = 0 → −54 + 18 − 3n + 3 = 0 → −3n = 33 → n = −11
056
055
a ba b
ab
+ = −+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
39 3 3
25
054
h) x x x x x x4 3 2 2 24 12 32 64 4 2 4 2− − + + = − + −( ) ( ) { , }→
g) 2 11 21 16 4 2 1 2 1 2 14 3 2 2x x x x x x x− + − + = − − −( ) ( )( ) ,→ ,,1
2
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
f ) 3 7 22 8 2 4 3 1 2 41
33 2x x x x x x+ − − = − + + − −
⎧⎨( )( )( ) , ,→ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
e) x x x x x x3 28 17 10 1 2 5 1 2 5+ + + = + + + − − −( )( )( ) { , , }→
d) 4, 1x x x x x x3 23 6 8 4 1 2 2− − + = − − + −( )( )( ) { , }→
c) ( )( )( ) , ,2 1 3 2 31
2
2
332x x x− + + − −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪
→⎪⎪
b) 0, 2x x x( ) ( ) ,− + −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 2 11
22 →
a) { 5, 2( )( )( ) , }x x x− + − −3 5 2 3→
053
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 102
103
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 2, 3 y 5, y otro polinomio con el mismo grado que tenga como raíces −2, −1 y 4.
Encuentra un polinomio P(x) de segundo grado cuyas raíces sean 1 y −2, y tal que P(3) = 30.
Escribe un polinomio de tercer grado cuyas raíces sean 3, −1 y −1 y tal que Q(2) = −18.
Descompón estos polinomios y calcula su máximo común divisor.
a) 6x2y 12x3y2z 18xy3z2
b) 3x −6 5x −10 7x −14
c) 8x + 24 12x + 36 20x + 60
d) x2 + x −6 2x2 −3x −2
e) 3x2 + 9x −12 2x2 + 4x −16
f ) 4x2 + 16x + 16 6x2 + 42x + 60
g) 24x2 −12x 90x2 + 135x −90
h) x3 −2x2 −5x + 6 2x3 −7x2 + 2x + 3
i) x3 + 5x2 + 6x 3x3 + 9x2
j) 3x3 −7x2 + 5x −1 x3 −3x2 + 3x −1
d) x x x xx x x x
2
2
6 2 32 3 2 2 2 1
+ − = − +− − = − +
⎫⎬⎪⎪( )( )
( )( )⎭⎭⎪⎪+ − − − = −m.c.d. 6, 2( )x x x x x2 2 3 2 2
c) 8 24 8 312 36 12 320 60 20 3
x xx xx x
+ = ++ = ++ = +
⎫( )( )( )
⎬⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + + = +m.c.d. 24, 12 36, 20( )8 60 3x x x x
b) 3 6 3 25 10 5 27 14 7 2
x xx xx x
− = −− = −− = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭
( )( )( )
⎪⎪⎪⎪
− − − = −m.c.d. 6, 5 10, 7( )3 14 2x x x x
a) m.c.d. ( , , )6 12 18 62 3 2 3 2x y x y z x y z x y=
060
Por tanto, el polinomio es: Q x x x x( ) = − − −2 2 10 63 2
Si Q a a( ) ( )2 18 9 18 2= − ⋅ − = − =→ →
Q x a x x a x x x( ) ( )( ) ( )= − + = − − −3 1 5 32 3 2
059
Luego, el polinomio es: P x x x( ) = + −3 3 62
Si P a a( )3 30 10 30 3= ⋅ = =→ →
P x a x x a x x( ) ( )( ) ( )= − + = + −1 2 22
058
Q x x x x x x x( ) ( )( )( )= + + − = − − −2 1 4 10 83 2
P x x x x x x x( ) ( )( )( )= − − − = − + −2 3 5 10 31 303 2
057
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 103
104
Obtén el valor numérico de estas fracciones algebraicas en los valores que se indican.
Simplifica, si es posible, estas fracciones algebraicas.
j)9 27
18 54
3 2
4 3
x x
x x
++
e)2
3 2
2
+ x
x
i)6 3
4 2
2ab a
b a
−−
d)3 2
3
+ x
x
h)20 8 4
12 8
2− ++a a
ac)
3
6
2 3
5 3
a b d
b a
g)3 5
3
2a a
a
−b)
12
8
2 3
2 3
a b c
b c
f )3 6
3
+ x
xa)
x yz
z x
2
2
062
d)( ) ( )
( )
− − ⋅ −+ −
=1 2 3 1
3 2 17
2
b)2 3 8 3 6
3 10
2⋅ − ⋅ +−
=
c)2 2 2
6 21
2( ) ( )
( )
− − −− −
= −a)3 1
3 3 2
10
11
2 +⋅ +
=
d) para ey xy
x yx y
2 2
23 1
−+
= = −b) para2 8 6
13
2x x
xx
− +−
=
c) para2
62
2a a
aa
−−
= −a) parax
xx
2 1
3 23
++
=
061
j) 3 7 5 1 1 3 13 3 1 1
3 2 2
3 2
x x x x xx x x x
− + − = − −− + − = −
( ) ( )( ))
( , )33 2 3 23 7 5 1 3 3 1
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + − − + − =m.c.d. x x x x x x
== − = − +( )x x x1 2 12 2
i) x x x x x xx x x x
3 2
3 2 2
5 6 2 33 9 3 3
+ + = + ++ = +
⎫⎬⎪⎪( )( )
( ) ⎭⎭⎪⎪+ + + =
= + = +
m.c.d. ( , )
( )
x x x x x
x x x x
3 2 3 2
2
5 6 3 9
3 3
h) x x x x x xx x x
3 2
3 2
2 5 6 3 1 22 7 2 3
− − + = − − +− + + =
( )( )( )(xx x x
x x x− − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − +3 1 2 1
2 5 6 23 2
)( )( )( ,m.c.d. xx x x x x x x3 2 27 2 3 3 1 4 3− + + = − − = − +) ( )( )
g) 24 12 12 2 190 135 90 45 2 2
2
2
x x x xx x x x
− = −+ − = +
( )( )( −−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + − =
=1
24 12 90 135 90
3
2 2
)( , )m.c.d. x x x x
(( )2 1 6 3x x− = −
f ) 4 16 16 4 26 42 60 6 2 5
2 2
2
x x xx x x x
+ + = ++ + = + +
⎫( )( )( )
⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ + + + =
= +
m.c.d. 16, 6( )
(
4 16 42 60
2 2
2 2x x x x
x )) = +2 4x
e) 3 9 12 3 1 42 4 16 3 2 4
2
2
x x x xx x x x
+ − = − ++ − = − +
( )( )( )( ))
( )(
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ − + − == +
m.c.d. 12, 23 9 4 163 4
2 2x x x xx )) = +3 12x
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 104
105
3SOLUCIONARIO
Realiza estas operaciones y simplifica.
f )3
2
4
9
6 2
9
+⋅
−=
+−
x
x
x
x
e)a b
c
a
b
b
ac
2 3 2
2
8
6
3
8: =
d)3
2
8
9
4
3
2 3x
y
x y x⋅ =
c)a a a a a a a a2 2 2 23
8
3 11
12
2 1
6
3 9 6 22 8 4
2
−−
−−
−=
− − + − +44
3 14 5
24
2
=
=− + −a a
b)3 2
5
7
2
3 12
10
6 4 35 5 3 12
10
a a a a a a a−−
−−
− +=
− − + + −=
− −− 36
10
a)x x x x x x x+
+−
−+
=+ + − − −
=− +2
3
5 3
4
3 1
6
4 8 15 9 6 2
12
11 211
12
f )3
2
4
9
+ ⋅−
x
x
e)ab
c
a
b
2 3
2
8
6:
d)3
2
8
9
2x
y
xy⋅
c)a a a a2 23
8
3 11
12
2 1
6
− − − − −
b)3 2
5
7
2
3 12
10
a a a− − − − − +
a)x x x+ + − − +2
3
5 3
4
3 1
6
063
j)9 27
18 54
9 3
18 3
1
2
3 2
4 3
2
3
x x
x x
x x
x x x
++
=++
=( )
( )e)
3 2
2 2
+ x
x
i)6 3
4 2
3 2
2 2
3
2
2ab a
b a
a b a
b a
a−−
=−−
=( )
( )d)
3 2
3
+ x
x
h)20 8 4
12 8
5 2
3 2
2 2− ++
=− +
+a a
a
a a
ac)
3
6 2
2 3
5 3 2
a b d
b a
d
ab=
g)3 5
3
3 5
3
2a a
a
a−=
−b)
12
8
3
2
2 3
2 3
2
2
a b c
b c
a b
c=
f )3 6
3
1 2+=
+x
x
x
xa)
x yz
z x
x y
z
2
2=
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 105
106
Efectúa estas operaciones y simplifica.
Realiza estas sumas y restas, y simplifica el resultado.
d)4
3 3 18
3
2 2 42 2x x x x− −−
+ −b)
x
x x
x
x x
++ −
− −+
1
6
2 3
32 2
c)2 3
4 4
1
2 4
1 2
42 2
−+ +
−+
− +−
a
a a a
a
aa)
3
3 6
1 2
6 122x x x
x
x++ + −
+
065
g)3 1
4 12
2
4 12
3 9 3 3 2 6
4
2 2x
x
x
x
x x x x x x−+
−+−
=− − + − − − −
(( )( )x xx x
x
+ −=
=− −
−
3 32 15 3
4 36
2
2
f )3
2 6
1
3
3 2
2 6
1
2 6a a a a−+
−=
−−
=−
e)3 2
2
1
3
3 9 2 6 2 2
2
2 2−+
+++
=+ − − + + + +
+p
p
p
p
p p p p p p
p( )(( )p
p
p p+=
− ++ +3
11
5 6
2
2
d)3
2
1
2 4
2
3 6
18 3 4
6 2
11
6 12a a a a a+−
+−
+=
− −+
=+( )
c)a
a
a a
a
a a a a a2 3
2
3 33
8
3 11
12
2 1
6
3 9 6 22 8−−
−−
−=
− − + − aa a
aa a
a
3 2
2
2
4
2411 4 13
24
+=
=− + +
b)1 2 5 3 2 2 5 3
2
2 2 2 3 2+−
−−
−=
+ − + −y
x
y x
y
x y x
x y
y y x y x x y ++=
=− + +
2
3 8 2
3
2
3 2 2
2
x
x yx x y y y
x y
a)2 5 3 2 5 3 2 3
a b
a b
ab
b a a b
ab
a b
ab− +
+=
− + +=
− +
d)3
2
1
2 4
2
3 6a a a+−
+−
+
g)3 1
4 12
2
4 12
x
x
x
x
−+
− +−
c)a
a
a a
a
a2 3
2
3
8
3 11
12
2 1
6
− − − − −
f )3
2 6
1
3a a−+
−b)
1 2 5 3 22
2+ − − − −y
x
y x
y
x y x
xy
e)3 2
2
1
3
−+
+ ++
p
p
p
pa)
2 5 3
a b
a b
ab− + +
064
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 106
107
Calcula y simplifica el resultado.
f )6 28
6
4
2
1
3
6 282 2
x
x x x x
x
x
−− − +
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−−
:xx
x
x x
x
x−−
− −=
−−
=6
3 14
6
6 28
3 142
2:
e)x
x
x
x
x
x
x x
x
+−
⋅++
−−−
=+ ⋅ +
+2
9
2 6
3 6
1
2 6
2 2 3
32
( ) ( )
( ))( ) ( ) ( )
( ) ( )
x x
x
x
x
x
x
− ⋅ +−
−−
=
=−
−−−
3 3 2
1
2 32
3 3
1
2 3==
+−
1 3
6 18
x
x
d) 3 31
21
3
22 3−
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ = −
aa 33
1
2
3 2
22
33 3
23 2
6 3 3 6 4
2
⋅−
++
⋅ =
= −−
+ + =
=− + + +
a a
aa
a a==
+a 15
2
c)1
21 2
2
3
2−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−−x
x
x
x:
xx
x
x
x x
x x
x
x:
( )( )
( )( )
−−
=− −− −
=−−
4
2
3 2
2 4
3
4
b)x
yy
xx y y x
2 2
2
2
2−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−⋅
−22
5 2 2
4
2 2
=− −x y x y
a)1
12
11 2
2x
x x
x
x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− +: : ==
−+
2 2
22
x
x x
f )6 28
6
4
2
1
32
x
x x x x
−− − +
−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:c)
1
21 2
2−+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟x
x
x:
e)x
x
x
x
x
x
+−
++
− −−
2
9
2 6
3 6
1
2 62·b)
xy
yx
2 2−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
d) 3 31
21
3
22− + −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
aa ·a)
11
21
x
x−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟:
066
d)4
3 3 18
3
2 2 4
8 8 9 27
6 3 22 2x x x x
x x
x x− −−
+ −=
− − +− +( )( )) ( )2
4 2
119
6 54 24 72
xx
x x x
−=
=− +
− − +
c)2 3
4 4
1
2 4
1 2
44 6 8 12
2 2
2
−+ +
−+
−+
−=
=− − + −
a
a a a
a
aa a a aa a a a
a aa a
a
2 2
2
2
4 2 4 4 8
2 2 211 6 8
2
+ − − − −+ −
=
=− + −
( ) ( )
33 2 24 8 16 8 16− + − + −a a a a
b)x
x x
x
x x
x x x x x
x x
++ −
−−+
=+ − + + −
+1
6
2 3
3
2 4 3 6
32 2
2 2
( ))( )x
x x
x x x−=
− ++ −2
4 7 4
6
2
3 2
a)3
3 6
1 2
6 12
6 6 12 2
6 22
2
x x x
x
x
x x x
x x++ +
−+
=+ + + −
+=
( )
−− + ++
x x
x x
2
2
8 18
6 12
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 107
108
Demuestra esta igualdad.
Halla los valores de A y de B para que se cumpla la igualdad.
La relación entre el dividendo (D), el divisor (d ), el cociente (C ) y el resto (R) en una división se puede expresar como:
Es decir, si al dividir x2 + 3x + 5 entre x + 2 obtenemos como cociente x + 1 y resto 3,podemos escribir:
Expresa de esta manera las siguientes fracciones algebraicas.
→ 2 3
22 3
9
2
2x x
xx
x
− +−
= + +−
2 3 2
2 4 2 3
3 33 6
9
2
2
x x x
x x x
xx
− + −− + +
+− +
b)
→ x x
xx
x
x
2 3
4 4
++
= −+
x x x
x x x
x
2
2
3 4
4
+ +− −
−
a)
d)2 2
1
3
2
x
x x
+− +
c)x x x
x x
3 2
2
2 5 1
2
− + −− +
b)2 3
2
2x x
x
− +−
a)x x
x
2 3
4
++
x x
xx
x
2 3 5
21
3
2
+ ++
= + ++
D
dC
R
d= +
069
→ →A BA B
A BA B
A+ =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
14 2 16
12 8
=== −
32B
A
x
B
x
A x B x
x x
A B x A
++
−=
− + ++ −
=+ −
2 4
4 2
2 4
4( ) ( )
( )( )
( ) ++− −
=−
− −2
2 8
16
2 82 2
B
x x
x
x x
A
x
B
x
x
x x++
−= −
− −2 4
16
2 82
068
1
1
1
11
1 1 12x x x
x
x−+
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ −22 1
1 1
1 1
1
1−⋅
−=
−− +
=+
x
x
x
x x x( )( )
1
1
1
11
1 1
12x x x x−+
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
+
067
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 108
109
La igualdad (3x + 5)2 = 9x2 + 25 es falsa, porque: (3 ⋅ 2 + 5)2 � 9 ⋅ 22 + 25
Usa el mismo procedimiento para comprobar que las siguientes afirmaciones son falsas, y después escríbelas correctamente.
a) (3 −2p)2 = 9 −4p2
b) (2x −1)2 = 2x2 −4x + 1
c) (5 −3x)(5 + 3x) = 25 −6x2
a) Respuesta abierta: (3 − 2 ⋅ 3)2 � 9 − 4 ⋅ 32
(3 − 2p)2 = 9 − 12p + 4p2
b) Respuesta abierta: (2 ⋅ 2 − 1)2 � 2 ⋅ 22 − 4 ⋅ 2 + 1
(2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1
c) Respuesta abierta: (5 − 3 ⋅ 1)(5 + 3 ⋅ 1)2 � 25 − 6 ⋅ 12
(5 − 3x)(5 + 3x) = 25 − 9x2.
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −2x −15, sabiendo que es múltiplo de 4x + 5?
¿Cómo puedes factorizar el polinomio 8x2 −10x −3, sabiendo que una
de sus raíces es ?
Si es una raíz, entonces 2x − 3 es un factor del polinomio.
→ 8 10 3 2 3 4 12x x x x− − = − +( )( )
8 10 3 2 3
8 12 4 1
2 32 3
0
2
2
x x x
x x x
xx
− − −− + +
−− +
3
2
32
072
→ 8 2 15 4 5 2 32x x x x− − = + −( )( )
8 2 15 4 5
8 10 2 3
12 1512 15
0
2
2
x x x
x x x
xx
− − +− − −
− −+
071
070
→ 2 2
12 2
3
2
x
x xx
+− +
= +
2 2 1
2 2 2 2 2
2 2 22 2 2
3 2
3 2
2
2
x x x
x x x x
x xx x
+ − +− + − +
− +− + −
00
d)
→ x x x
x xx
x
x x
3 2
2 2
2 5 1
21
2 1
2
− + −− +
= − ++
− +
x x x x x
x x x x
x xx x
3 2 2
3 2
2
2
2 5 1 2
2 1
3 12
− + − − +− + − −
− + −− +
22 1x +
c)
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 109
110
Divide por medio de la regla de Ruffini el polinomio P(x) = x3 −2x2 + 3x + 1 entre:
Determina un polinomio del que sabemos que:
a) Es de tercer grado. c) Se anula para x = 1.
b) Solo tiene dos términos. d) P(2) = 28
Al ser un polinomio de tercer grado es de la forma: P(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Si se anula para x = 1: P(1) = 0 → a + b + c + d = 0
Como P(2) = 28 → 8a + 4b + 2c + d = 28
Si solo tiene dos términos, hay tres posibilidades:
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea ab2c y cuyo mínimo comúnmúltiplo sea a3b2c2d.
Respuesta abierta.
P(x) = a3b2c
Q(x) = ab2c2d
Escribe dos polinomios cuyo máximo común divisor sea 2(x −3)(x + 5)3 y cuyomínimo común múltiplo sea 2 ⋅ 32(x −3)3(x + 5)3(x + 7).
Respuesta abierta.
P(x) = 18(x − 3)(x + 5)3(x + 7)
Q(x) = 2(x − 3)3(x + 5)3
076
075
3) Si yd b ca d
a dac
� 0 0 08 28
44
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬⎪→ ⎪⎪⎭⎪⎪
= −→ P x x( ) 4 43
2) Si yc b da c
a c
a
c� 0 0 0
8 2 28
14
31
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
= −→
44
3
14
3
14
33
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ P x x x( )
1) Si yb c da b
a bab
� 0 0 08 4 28
77
= = + =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎫⎬→ ⎪⎪⎪⎭⎪⎪
= −→ P x x x( ) 7 73 2
074
1 2 3 12 2 2 2 2 5 2 4
1 2 2 5 2 2 5 2 3
2 2 52
−− −
− − −
= + −( ) +C x x x( ) −− = −2 2 5 2 3R x( )
b)
1 2 3 11
2
1
2
3
4
9
8
13
2
9
4
17
8
3
2
9
42
−
−
− = − + =→ C x x x R x( ) ( )117
8
a)
b) x − 2a) x − 1
2
073
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 110
111
Calcula estas raíces, sabiendo que los dos polinomios son cuadrados perfectos.
Comprueba con varios ejemplos que si m y n son dos números naturalesconsecutivos, entonces:
m2 + n2 + m2n2 es un cuadrado perfecto.
Encuentra una demostración general de esta propiedad.
En general:
El término general de la progresión aritmética: 5, 8, 11, 14, 17, 20, … es an = 3n + 2.
Calcula la expresión del término general de estas progresiones.
a) 1, 5, 9, 13, 17, …
b) −5, −3, −1, 1, 3, …
c) 8, 3, −2, −7, −12, …
d) −1, −4, −7, −10, …
a) an = 4n − 3
b) an = 2n − 7
c) an = −5n + 13
d) an = −3n + 2
Completa esta tabla y determina el polinomio que expresa el número de diagonalesde un polígono convexo en relación con su número de lados.
Si x es el número de lados, entonces: P xx x
x x( )( )
=−
= −3
2
1
2
3
22
N.o de lados 3 4 5 6 7
N.o de diagonales 0 2 5 9 14
080
079
n m m m m m m m m m m= + + + + + = + + + + + +1 1 1 2 1 22 2 2 2 2 2 4 3→ ( ) ( ) mmm m m m m m
2
4 3 2 2 22 3 2 1 1=
= + + + + = + +( )
Si ym n m n m n= = + + = =3 4 169 132 2 2 2 2→
Si ym n m n m n= = + + = =2 3 49 72 2 2 2 2→
Si ym n m n m n= = + + = =1 2 9 32 2 2 2 2→
078
b) x x x x x x x x4 3 2 2 2 26 7 6 1 3 1 3 1− + + + = − − = − −( )
a) 9 12 4 3 2 3 22 2x x x x− + = − = −( )
b) x x x x4 3 26 7 6 1− + + +
a) 9 12 42x x− +
077
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 111
112
El director de un supermercado ha observado que el número de clientes atendidos cada hora por un dependiente está relacionado con suexperiencia. Ha estimado que ese númeropuede calcularse de forma aproximada
con la función: , donde d
es el número de días que el dependiente lleva trabajando y C es el número de clientesatendidos en una hora.
a) ¿Cuántos clientes por hora atendería undependiente que lleve trabajando dos días?
b) El director sabe que un dependiente empieza a ser rentable a la empresa cuandoatiende a 32 clientes por hora. ¿Cuándo sucede eso?
c) Investiga lo que sucede con el número de clientes atendidos por dependientesque tienen mucha experiencia. ¿Puedes constatar alguna característica especial?
Si los dependientes tienen mucha experiencia, el número de clientes atendidosse aproxima a 40, sin llegar a superarlo.
Una plancha de cartón mide 30 ×40 cm. En cada uno de sus vértices recortamos un cuadrado de x cm de lado. Doblando las solapas que quedanse forma una caja.
a) Expresa su volumen en función de x.
b) Calcula el volumen si x mide 2, 4, 6 y 8 cm.
c) Determina la medida de x para que el volumen de la caja sea máximo.
40 cm
30 cm
x
x
082
N.o de días 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000
N.o de clientes 38,83 39,88 39,99 39,99 39,99
c)
b) días40
332 40 32 96 8 96 12
d
dd d d d
+= = + = =→ → →
a) clientesC ( )240 2
2 316=
⋅+
=
C dd
d( ) =
+40
3
081
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 112
113
a) V(x) = x(40 − 2x)(30 − 2x)
b) V(2) = 1.872 cm3 V(4) = 2.816 cm3 V(6) = 3.024 cm3 V(8) = 2.688 cm3
c) V(5) = 3.000 cm3 V(7) = 2.912 cm3
Suponiendo que el lado tiene como longitud un número entero, el volumen esmáximo cuando x = 6 cm.
Determina A, B y C para que se cumpla que:
Fíjate en la descomposición que hemos hecho de la fracción, para expresar estas fracciones algebraicas como la suma de otras fracciones más sencillas.
19 2
6
5
3
3
22
−+ −
=−+
+−
x
x x x x
19 2
6 3 2
19 2 2 3
2
−+ −
=+
+−
− = − + + =
x
x x
A
x
B
x
x A x B x A( ) ( ) ( ++ − + + = −− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −=
B x A BA BA B
AB
) 2 3 22 3 19
53
→
b) x x x x2 6 3 2+ − = + −( )( )
x x
x x x x x
2
3 2 2
9
2 9
2
3
1
3
+ ++ +
=− +
++
A CA B C
B C
C AA B A
+ =+ − =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −+ − + =
13 1
3 3 9
13 1 11
3 3 3 9
4 23 3 6
B A
A BA B
A
+ − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= 0021
BC
==
x x
x x
Ax B
x x
C
xx x Ax B
2
3 2 2
2
9
2 9 3 39
+ ++ +
=+
− ++
++ + = +( )(( ) ( )x C x x
Ax Ax Bx B Cx Cx C+ + − + =
= + + + + − + ==
3 33 3 3
2
2 2
(( ) ( ) ( )A C x A B C x B C+ + + − + +2 3 3 3
a) x x x x x3 2 22 9 3 3+ + = + − +( )( )
A CA B C
B C
C AA B
+ =− + + =
− + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −− + + −
72 0
2 7
72 7 AA
B A
A BA B
A=
− + − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− + =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02 7 7
3 02 0
=== −=
21
5BC
7 7
2
2 12
3 2
2
3 2
x
x x x
Ax B x C x x
x x x
+− − −
=+ − + + +
− −( )( ) ( )
−−+ = + − + + + =
= − + −
27 7 2 1
2
2 2
2
x Ax B x C x xAx A x Bx( )( ) ( )
222 2
2
2
B Cx Cx CA C x A B C x B C
+ + + == + + − + + + − +( ) ( ) ( )
b)19 2
62
−+ −
x
x xa)
x x
x x
2
3 2
9
2 9
+ ++ +
7 7
2 1 2
2
3 2 2
x
x x x
Ax B
x x
C
x
+− − −
= ++ +
+−
083
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 113
114
PARA FINALIZAR...
Demuestra la propiedad que cumplen los números combinatorios.
Los números combinatorios verifican que:
Así, para n = 4:
Análogamente, si para n la suma es 2n, entonces para n + 1 la suma es: 2n ⋅ 2 = 2n + 1
Demuestra, utilizando el método de inducción, las siguientes igualdades.
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
a) Si 1n = =+→ 1
1 1 1
2
( )
c) …(
1 2 31
23 3 3 3
2
+ + + + = +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥n
n n )
b) …( )(2
1 2 31 1
62 2 2 2+ + + + = + +
nn n n )
a) …(
1 2 31
2+ + + + = +
nn n )
085
550
552
5554
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛
⎝⎜⎜⎜… ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + +
551
553
…55555
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
b)n
m
n
n m
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜→55
0⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
55
55
55
2 ⎟⎟=
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝
55
53
55
1
55
54⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟55
3
55
52⎟⎟⎟⎟
40
41
42
4⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
3344
40
3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
0031
31
3⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
2232
33
4⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
44
30
31
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + 33
233
40
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + 33
132
44
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
== + = ⋅ =8 8 8 2 24
n nn
nm0
1⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = nn
mn
m−−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
11
1
Si n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
3 30
31
32
→ ⎟⎟⎟⎟⎟ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + + + = =3
31 3 3 1 8 23
Si 2n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
→ 20
21
22⎟⎟⎟⎟⎟ = + + = =1 2 1 4 22
a) Si 1n =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + =→ 1
011
1 1 2
b) …550
552
5554
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + +55
1553
555
…55
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
a) n n n0 1 2
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ++ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =… n
nn2
084
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 114
115
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
Suponemos que se cumple la igualdad para n = k.
Entonces para n = k + 1:
Dados los polinomios:
P(x) = 3x4 + 8x3 − 15x2 − 32x + 12
Q(x) = 2x4 + x3 − 16x2 + 3x + 18
determina los polinomios A(x) y B(x) de menor grado que cumplan que:
P(x) ⋅ A(x) + Q(x) ⋅ B(x) = 0
Así, A(x) = −2x2 + x + 3 y B(x) = 3x2 + 5x − 2.
A x
B x
Q x
P x
x x x x
x
( )
( )
( )
( )
( )( )( )( )
(= − = −
− + + −2 1 3 2 3
−− + + −= −
+ −+ −2 2 3 3 1
1 2 3
2 3 1)( )( )( )
( )( )
( )(x x x
x x
x x ))
Q x x x x x x x x x( ) ( )( )( )(= + − + + = − + + −2 16 3 18 2 1 3 2 34 3 2 ))
P x x x x x x x x x( ) ( )( )( )(= + − − + = − + +3 8 15 32 12 2 2 3 34 3 2 −−1)
P x A x Q x B x P x A x Q x B x( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ = ⋅ = − ⋅0 → → AA x
B x
Q x
P x
( )
( )
( )
( )= −
086
1 2 3 11
213 3 3 3 3
2
+ + + + + + =+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ + +… k k
k kk( )
( )( )33
2 23 2
4 3 2 32 1
43 3 1
2 4
=
=+ +
+ + + + =+ + + +k k k
k k kk k k k( ) 112 4
46 13 12 4
4
1 2
4
2
4 3 2 2 2
k
k k k k k k
+=
=+ + + +
=+ +
=( ) ( ) (( )(( ) )k k+ + +⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
1 1 1
2
2
c) Si 1n = =+⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥→ 1
1 1 1
23
2( )
1 2 3 11 2 1
612 2 2 2 2 2+ + + + + + =
+ ++ + =
=
… k kk k k
k( )( )( )
( )
22 3
62 1
2 9 13 6
61
3 22
3 2
k k kk k
k k k
k k
+ ++ + +
+ + +=
=+
→
( )( ++ +=
=+ + + +
2 2 3
61 2 2 1 1
6
)( )
( )( )( ( ) )
k
k k k
b) Si 1n = =+ ⋅ +→ 1
1 1 1 2 1 1
62 ( )( )
1 2 3 11
21
3 2
21
2
+ + + + + + =+
+ + =+ +
=
=+
… k kk k
kk k
k k
( )
( )( ++=
+ + +2
2
1 1 1
2
) ( )(( ) )k k
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 115
116
Demuestra que, para cualquier número entero n, la siguiente expresión es múltiplode 24.
n4 + 2n3 − n2 − 2n
n4 + 2n3 − n2 − 2n = (n − 1)n(n + 1)(n + 2)
Como el polinomio es el producto de cuatro números enteros consecutivos, al menos uno de ellos ha de ser múltiplo de 3.
Siendo n un número entero, hay dos posibilidades:
1) Si n es impar, entonces n − 1 y n + 1 son pares y, además, son pares consecutivos; por tanto, uno de ellos es múltiplo de 4. Así, (n − 1)(n + 1) es múltiplo de 8, luego el polinomio es múltiplo de 24.
2) Si n es par; entonces n + 2 también es par, y como en el caso anterior, uno de ellos es múltiplo de 4. Por tanto, n(n + 2) es múltiplo de 8 y el polinomio es múltiplo de 24.
Un polinomio P(x) verifica que:
P(2) = 3
es divisible por x + 1.
Al dividirlo entre x − 5, el resto es 15.
Calcula el resto de la división P(x) : Q(x), siendo:
Q(x) = (x − 2)(x + 1)(x − 5)
P(x) = C(x) ⋅ Q(x) + R(x), siendo grado R(x) < grado Q(x) = 3
R(x) = ax2 + bx + c
P(2) = C(2) ⋅ Q(2) + R(2) → 3 = C(2) ⋅ 0 + R(2) → 3 = 4a + 2b + c
P(−1) = C(−1) ⋅ Q(−1) + R(−1) → 0 + C(−1) ⋅ 0 + R(−1) → 0 = a − b + c
P(5) = C(5) ⋅ Q(5) + R(5) → 15 = 25a + 5b + c
Así, el resto es:
Completa la siguiente fila del triángulo de Tartaglia.
1................3.003 2.002 1.001.................1
nk
n
k n k−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
− − −=
13 003
1 13.
!
( )!( ( ))!.→ 0003 3 003 1 1→ n k n k
nk
! . ( )!( ( ))!= − − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = 22 002 2 002 2 002.
!
!( )!. ! . !( )!→ →n
k n kn k n k
nk
−= = −
+ 111 001
1 11 00
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ − +=.
!
( )!( ( ))!.→ n
k n k11 1 001 1 1→ n k n k! . ( )!( ( ))!= + − +
089
R x x x( ) ( )= +1
21
4 2 30
25 5 0
1
2
1a b ca b ca b c
a b+ + =− + =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= =→22
0c =
088
087
Polinomios y fracciones algebraicas
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 116
117
Igualando cada par de expresiones:
Entonces la fila del triángulo está compuesta por:
Haz esta suma.
1
1
1 1
1
11
1
99
1
99
n n n nn n( )+∑ = −
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟∑ =
= −
= =
22
1
2
1
3
1
3
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟+ + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − =
…1
99
1
100
11
100
99
100
1
1 11 1 0
n n
A
n
B
nA n Bn A B n A
A BA( )
( ) ( )+
= ++
= + + = + + + =→ →==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −1
11
AB
1
11
99
n nn ( )+∑=
090
140
1 141
14 142
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =91 14
3364 14
41.0001
145
2 002 146
3 00⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =. . 33 14
73 432 14
83 003 1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =. . 44
92 002
1410
1 001 14
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
.
.111
364 1412
91 1413
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =14 14
141
2 002 3 003 1 12 002
. !( )! . ( )!( ( ))!
. !(k n k k n kk
− = − − −nn k k n k
k n k− = + − +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −)! . ( )!( ( ))!
(1 001 1 1
2 3 ++− = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12 1
5 3 32 3 1
)( )n k k
k nn k
n ===
149k
3SOLUCIONARIO
833243 _ 0082-0117.qxd 10/10/08 09:37 Página 117
118
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El último CatónEl calor era infernal, apenas quedaba aire y ya casi no veía, y no sólopor las gotas de sudor que me caían en los ojos, sino porque estabadesfallecida. Notaba un dulce sopor, un sueño ardiente que se apode-raba de mí, dejándome sin fuerza. El suelo, aquella fría plancha dehierro que nos había recibido al llegar, era un lago de fuego que des-lumbraba. Todo tenía un resplandor anaranjado y rojizo, inclusonosotros. […] Pero, entonces, lo comprendí. ¡Era tan fácil! Me bastó echar una últi-ma mirada a las manos que Farag y yo teníamos entrelazadas: en aquelamasijo, húmedo por el sudor y brillante por la luz, los dedos se ha-bían multiplicado… A mi cabeza volvió, como en un sueño, un juegoinfantil, un truco que mi hermano Cesare me había enseñado cuandoera pequeña para no tener que aprender de memoria las tablas demultiplicar. Para la tabla del nueve, me había explicado Cesare, sólohabía que extender las dos manos, contar desde el dedo meñique de lamano izquierda hasta llegar al número multiplicador y doblar ese de-do. La cantidad de dedos que quedaba a la izquierda, era la primeracifra del resultado, y la que quedaba a la derecha, la segunda. Me desasí del apretón de Farag, que no abrió los ojos, y regresé frenteal ángel. Por un momento creí que perdería el equilibrio, pero me sos-tuvo la esperanza. ¡No eran seis y tres los eslabones que había que de-jar colgando! Eran sesenta y tres. Pero sesenta y tres no era una com-binación que pudiera marcarse en aquella caja fuerte. Sesenta y tresera el producto, el resultado de multiplicar otros dos números, comoen el truco de Cesare, ¡y eran tan fáciles de adivinar!: ¡los números deDante, el nueve y el siete! Nueve por siete, sesenta y tres; siete pornueve, sesenta y tres, seis y tres. No había más posibilidades. Solté ungrito de alegría y empecé a tirar de las cadenas. Es cierto que desvaria-ba, que mi mente sufría de una euforia que no era otra cosa que el re-sultado de la falta de oxígeno. Pero aquella euforia me había propor-cionado la solución: ¡Siete y nueve! O nueve y siete, que fue la claveque funcionó. […] La losa con la figura del ángel se hundió lentamen-te en la tierra, dejando a la vista un nuevo y fresco corredor.
MATILDE ASENSI
Justifica algebraicamente por qué funciona el truco para la tablade multiplicar por 9 y demuestra que no existe un truco parecidopara multiplicar por un número distinto de 9.
En la tabla del nueve, a medida que vamos multiplicando por un número mayor, sumamos una unidad en las decenas y restamos otra unidad en las unidades:
9 · n = n(10 − 1) = 10n − n
Por este motivo funciona el truco.
En las tablas de multiplicar, desde la tabla del uno hasta la tabla del ocho, a medida que vamos multiplicando por un númeromayor no siempre sumamos una unidad en las decenas.
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas4
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 118
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados.
a) El doble de un número menos 9.
b) La tercera parte de un número más 8.
c) El cuadrado del triple de un número.
d) El triple del doble de un número.
e) La cuarta parte de un número más 6.
a) 2x − 9 c) (3x)2
d) 3 · 2x
Clasifica estas igualdades algebraicas.
La expresión corresponde a una identidad.
La expresión es una ecuación.
Representa estas rectas.
a) y = x −2 b) y = −x + 1 c) 2x −y = 3
Y
1
1
X
b)
Y
1
1
X
c)Y
1
1
X
a)
003
b) x = − ⋅ + ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −0 0 6 0
1
20 2 0 32→ �
x = + ⋅ − ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟3 3 3 3
1
23 3
7
232 2 2→ ⎟⎟⎟⎟
a) x = + ⋅ − ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞0 0 3 0
1
20 0
7
202 2 2→⎠⎠⎟⎟⎟⎟
b) x x x x− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −6
1
22 3a) x x x x x2 2 23
1
2
7
2+ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
002
b)x
38+
e)x
46+
001
4SOLUCIONARIO
119
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 119
120
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Indica los elementos de esta ecuación: (x + 2) ⋅ (x −5) + 2 = 7 −x2
Términos: x2; −3x; −8; 7; −x2
Primer miembro: (x + 2) ⋅ (x − 5) + 2
Multiplicando el primer miembro: x2 − 3x − 8
Segundo miembro: 7 − x2
Incógnita: x
Grado: 2
Soluciones: x1 = −2,09; x2 = 3,59
¿Cuáles de los siguientes valores son soluciones de la ecuación ?
a) x = 1
b) x = 5
c) x = −2
d) x = 2
La solución de la ecuación es la del apartado d), x = 2.
Resuelve las siguientes ecuaciones.
d) 32
34 2 1
4
72 4 21x x
xx x−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + − =
+− + −( ) ( ) → 114 56 28
4 14 561
9
+ − =
= + − − = −
x
x x x→
c)4 3
2
5 8
66 3 2 12 36 5 40
36
( ) ( )( )
x xx x x
−−
+= + − − − − =
=
→
xx x+ − = −108 12172
29→
b)3 2
22 1 0 3 6 4 2 0 4
( )( )
xx x x x
−− − = − − + = = −→ →
a)2 1
3
1
7 228 14 6 6 21 8
x x xx x x x
−−
−= − − + = =→ →
d) 4(2 2(32
31
4
74x x
xx−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + − = + − +) )
c)4( 3) 5( 8)
6( 3)x x
x−
−+
= + −2 6
2
b)3( 2)
(2x
x−
− − =2
1 0)
a)2x x x−
−−
=1
3
1
7 2
006
x x+ − = −4
3
1
2
5
2005
004
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 120
121
ACTIVIDADES
Clasifica y resuelve estas ecuaciones de segundo grado.
a) x2 −10x + 21 = 0 f) 3x2 −18x = 0
b) 3x2 + 20x + 12 = 0 g) 4x2 −36 = 0
c) 3x2 + 9x − 4 = 0 h) −8x2 + 40 = 0
d) 4x2 −12x + 9 = 0 i) −5x2 + 30x = 0
e) −2x2 + 5x −8 = 0 j) 3x2 = 2x2
a) Ecuación completa:
b) Ecuación completa:
c) Ecuación completa:
d) Ecuación completa:
e) Ecuación completa:
No tiene soluciones reales.
f ) Ecuación incompleta: 3x2 − 18x = 0 → 3x(x − 6) = 0 → x1 = 0 x2 = 6
g) Ecuación incompleta: 4x2 − 36 = 0 → x = → x1 = −3 x2 = 3
h) Ecuación incompleta: −8x2 + 40 = 0 → x =
i) Ecuación incompleta: −5x2 + 30x = 0 → 5x(−x + 6) = 0 → x1 = 0 x2 = 6
j) Ecuación incompleta: 3x2 = 2x2 → x2 = 0 → x = 0
5
9
− + − = =− ± − ⋅ − ⋅ −
⋅ −=
− ±2 5 8 0
5 5 4 2 8
2 2
522
x x x x→ →( ) ( )
( )
−−−
39
4
4 12 9 012 12 4 4 9
2 412
8
22
x x x
x
− + = =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
= =
→
→
( ) ( )
33
2
3 9 4 09 9 4 3 4
2 3
9 129
6
22
1
x x x
xx
+ − = =− ± − ⋅ ⋅ −
⋅
=− ±
→
→ →
( )
==− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
9 1296
9 1296
3 392
0,39
x ,
3 20 12 020 20 4 3 12
2 3
20 16
6
22
x x x
x
+ + = =− ± − ⋅ ⋅
⋅
=− ±
→
→ → xx
x
1
2
2
36
= −
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
x x x
x
22
10 21 010 10 4 1 21
2 110
− + = =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅
=±
→
→
( ) ( )
44
2
71
2→ x
x==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 3
001
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 121
122
Resuelve estas ecuaciones.
a) 3(x2 −1) + 2(x −5) −20 = 0
b) (2 −x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2−15x + 3 = 0
c) (x + 2)(x −3) −x(2x + 1) + 6x = 0
d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) −2 = 3x(x + 4)
e) (2 −x)(2x + 2) −4(x −3) −5x = 0
a) 3(x2 − 1) + 2(x − 5) − 20 = 0 → 3x2 + 2x − 33 = 0
b) (2 − x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2− 15x + 3 = 0
c) (x + 2)(x − 3) − x(2x + 1) + 6x = 0 → −x2 + 4x − 6 = 0
No tiene solución real.
d) 3x(x − 2) + 2(1 + 9x) − 2 = 3x(x + 4)
0 = 0 → No es una ecuación, es una identidad.
e) (2 − x)(2x + 2) − 4(x − 3) − 5x = 0 → −2x2 − 7x + 16 = 0
Determina, sin resolver la ecuación, el número de soluciones que tiene.
a) −2x2 + 5x −8 = 0 d) 2x2 −x −3 = 0
b) 9x2 + 30x + 25 = 0 e) −x2 + 9x −2 = 0
c) −5x2 + 9x −6 = 0 f) 0,34x2 + 0,5x −1 = 0
Calculamos el discriminante:
a) Δ = b2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−8) = −39 < 0. No tiene solución real.
b) Δ = b2 − 4ac = 302 − 4 ⋅ 9 ⋅ 25 = 0. Tiene una solución.
c) Δ = b2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−5) ⋅ (−6) = −39 < 0. No tiene solución real.
d) Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) = 25 > 0. Tiene dos soluciones.
e) Δ = b2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 73 > 0. Tiene dos soluciones.
f ) Δ = b2 − 4ac = 0,52 − 4 ⋅ 0,34 ⋅ (−1) = 1,61 > 0. Tiene dos soluciones.
003
→x
x
1
2
7 177
41 58
7 177
45 08
=− +
=
=− −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
,
,⎪⎪⎪
x =− − ± − − ⋅ − ⋅
⋅ −=
±−
( ) ( ) ( )
( )
7 7 4 2 16
2 2
7 177
4
2
x =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± −( ) ( )4 4 4 1 6
2 1
4 8
2
2
2 8 8 08 64 64
422x x− + =
± −=→
x x
x=
− ± − ⋅ ⋅ −
⋅=
− ± = −
=
⎧⎨⎪⎪2 2 4 3 33
2 3
2 20
6
11
33
21
2
( )→ ⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
002
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 122
123
¿Cuántas soluciones pueden tener estas ecuaciones bicuadradas? Resuélvelas.
a) 4x4 −37x2 + 9 = 0 c) 25x2(x2 −1) + 11(x4 + 1) −7 = 0
b) x2(x2 −1) = 16(x2 −1)
Como las ecuaciones son de cuarto grado, pueden tener un máximo de cuatrosoluciones.
a) 4x4 − 37x2 + 9 = 0 ⎯⎯→z = x2
4z2 − 37z + 9 = 0
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = → x3 = x4 =
b) x2(x2 − 1) = 16(x2 − 1) → x4 − 17x2 + 16 = 0 ⎯⎯→z = x2
z2 − 17z + 16 = 0
z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1
z2 = 16 → x3 = −4 x4 = 4
c) 25x2(x2 − 1) + 11(x4 + 1) − 7 = 0
→ 36x4 − 25x2 + 4 = 0 ⎯⎯→z = x2
36z2 − 25z + 4 = 0
z1 = → x1 = x2 =
z2 = → x3 = x4 =
Halla la solución de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicas.
z1 = −1 → No tiene solución real.z2 = 4 → x1 = 2 x2 = −2
zzz
=− ± − ⋅ − ⋅
⋅ −=
− ±−
= −=
⎧⎨⎪⎪3 3 4 1 4
2 1
3 5
2
14
21
2
( )
( )→
⎩⎩⎪⎪
b)4 3
0 3 4 0 3 4 04
2
2
4 22
2
x
x
xx x z z
z x+
−= − + + = − + + =
=→ ⎯⎯→
xxx
=− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅=
± == −
⎧⎨⎪( ) ( ) ( )1 1 4 1 6
2 1
1 5
2
32
21
2→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
a) xx
x
xx x+
+=
+
+− − =
1
1
2 7
16 02→
b)4 3
04
2
2x
x
x+ − =a)
2x
x
x
x+
+=
++
1
1
7
1
005
2
3−
2
3
4
9
1
2−
1
2
1
4
zz
z=
− − ± − − ⋅ ⋅⋅
=± =
=
( ) ( )25 25 4 36 4
2 36
25 7
72
1
44
2 1
2
→
99
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
zzz
=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± ==
⎧( ) ( )17 17 4 1 16
2 1
17 15
2
116
21
2→ ⎨⎨
⎪⎪⎩⎪⎪
1
2−
1
2
1
4
zz
z=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± =
=
⎧⎨
( ) ( )37 37 4 4 9
2 4
37 35
8
91
4
2 1
2
→⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
004
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 123
124
Resuelve estas ecuaciones con radicales.
La solución es x = 5.
⎯⎯→z = x2
z2 − 11z + 18 = 0
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = 2 → x3 = x4 =
Las soluciones son x1 = −3 y x2 = 3.
La solución es x = 4.
La solución es x = 3.
Estas ecuaciones aparecen factorizadas. Encuentra su solución.
a) 3(x −1)(x + 2)(x −4) = 0 d) 2x2(x −3)2(3x + 4) = 0
b) x(x −2)(x + 3)(x −12) = 0 e) 5x(x −1)2(2x + 7)3 = 0
c) (2x −1)(4x + 3)(x −2) = 0
a) x1 = 1 x2 = −2 x3 = 4 d) x1 = 0 x2 = 3 x3 =
b) x1 = 0 x2 = 2 x3 = −3 x4 = 12 e) x1 = 0 x2 = 1 x3 =
c) x1 = x2 = x3 = 2−3
4
1
2
−7
2
−4
3
007
x x=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
±( ) ( )249 249 4 64 171
2 64
249 135
256
2
→ 11
2
57
643
=
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪x
d) 2 1 3 4 3 5 0 2 1 3 4 3 5
6 32
2 2x x x x
x
+ − − + = + = − −−
→→
( ) ( )
( )22 2 230 4 3 64 249 171 0= − − − + =( )x x x→
x x
x=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± =
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
( ) ( )9 9 4 2 4
2 2
9 7
4
1
24
21
2
→⎪⎪⎪⎪
c) x x x x x x x xx x
+ + = + + + + + = ++ =
12 8 4 2 12 12 8 44 48 3
2
2
→→ 66 96 64 2 9 4 02 2x x x x− + − + =→
− 22
zzz
=− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± ==
⎧⎨⎪( ) ( )11 11 4 1 18
2 1
11 7
2
92
21
2→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
b) x x x x x x x2 2 4 2 2 4 23 2 4 8 16 3 2 11 18 0− − = − + = − − + =→ →
xx=
− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± =( ) ( ) .226 226 4 1 1 105
2 1
226 216
2
21→ 55
2212x =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
a) x x x x x
x
+ + − = − = + − + +
− = −
4 2 1 6 2 1 4 12 4 36
41 122
→
→ ( ) ( xx x x+ − + =4 226 1 105 02 2) .→
d) 42 1 3 3 5 0x x+ − − + =b) 3x x2 2 2 4− − =
c) 8x x x+ + = +12 4a) 2x x+ + − =4 1 6
006
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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125
Factoriza las ecuaciones y resuélvelas.
a) x4 −2x3 −13x2 + 38x −24 = 0
b) x5 −6x4 + 10x3 −6x2 + 9x = 0
c) x4 + 8x3 + 17x2 + 8x + 16 = 0
a) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 4) = 0
x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = −4
b) x(x − 3)2(x2 + 1) = 0
x1 = 0 x2 = 3
c) (x + 4)2(x2 + 1) = 0
x = −4
Escribe una ecuación que tenga como soluciones: x = 3, x = 2 y x = −7.¿Cuál es el mínimo grado que puede tener?
Respuesta abierta.
(x − 3)(x − 2)(x + 7) = 0
El mínimo grado que puede tener es 3.
Resuelve estos sistemas de ecuaciones.
Escoge el método que consideres más adecuado.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
b) Resolvemos el sistema por reducción:
Sumamos las ecuaciones:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
5p p+ ⋅−
= =21
21
2
5→
− − = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = = −
15 6 315 10 11
16 81
2
p qp q
q q→
5 2 115 10 11
15 6 315 1
3p qp q
p qp
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − = −−
⋅⎯→00 11q =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
63
29 6
1
3
31
32
1
2⋅
−− = − = =
− ⋅= −
yy y x→ →
4 6 06 9 6
3
2
x yx y
xy+ =
− = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
b) 5 215 10
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
111
a) 4 66 9
x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
06
010
009
008
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 125
126
Halla las soluciones de estos sistemas.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
Resolvemos por reducción:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
−2x + 3 = 2 → x =
Resolvemos por reducción:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
5x + 6 ⋅ 8 = 58 → x = 2
Clasifica estos sistemas de ecuaciones, y resuélvelos por el método más adecuado.
Sistema compatible indeterminado: y = 4x − 2.
b) Resolvemos el sistema por reducción:
Sustituimos en una de las ecuaciones:
Sistema compatible determinado.
p p− = =16
71
23
7→
p qp q
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − = −− =
⋅ −2 1
3 113 6 33 11
3⎯→( )
−− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −7 88
7q q→
a) 8 2 412 3 6
4 2x yx y
y x− =
− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
b) 23
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1112
a) 8 212 3
x yx y
− =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
46
012
5 6 583 4 26
15 18 1743
5x yx y
x y+ =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =⋅⋅
⎯→⎯→ −− + =
=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=15 20 130
38 304 8x y
y y→
b)x y
x y
x−
+−
=
− + + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+5
3
2 1
52
3 2 4 1 36
5
( ) ( )→ 66 58
3 4 26y
x y=
− + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1
2
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − =
2 22 5 14
4 12 3
x yx y
y y→
3 2 1 6 4 153 2 6 4
( ) ( )( )
x y x yx y x y
+ − − − =− + + − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→→ − + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 22 5 14
x yx y
b)2
3(2 4(
x y
x y
− + − =
− + + =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
5
3
1
52
1 36) )
a) 3(2 6(43( 2
x y x yx y x y
+ − − − =− + + − + =
⎫⎬⎪⎪⎭
1 156 4
) )) ⎪⎪⎪
011
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
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127
Decide de qué tipo son estos sistemas de ecuaciones, y representa gráficamente su solución.
a) Sistema incompatible. b) Sistema compatible determinado.
Expresa en forma de ecuación.
a) La diferencia de dos números es 10.
b) El doble de la suma de dos números es 36.
c) La suma de dos números es igual a su producto.
a) x − y = 10 b) 2(x + y ) = 36 c) x + y = x ⋅ y
La suma de las edades de Fernando y su padre es 40 años. Además, la edad del padrees 7 veces la edad del hijo. ¿Qué edades tienen ambos?
Llamamos x a la edad de Fernando e y a la de su padre.
→ x � 7x � 40 → x � 5, y � 35
Fernando tiene 5 años y su padre, 35 años.
Un alumno realiza un examen de diez preguntas. Por cada acierto le dan 2 puntos, y por cada fallo le quitan 1 punto. Si la calificación final fue de 8 puntos, ¿cuántos aciertos y fallos tuvo?
Llamamos x al número de aciertos e y al de fallos.
→ x � 10 � y
2(10 � y)� y � 8 → 20 � 2y � y � 8 → y � 4, x � 6
Tuvo 6 aciertos y 4 fallos.
En un hotel de 120 habitaciones hay habitaciones dobles e individuales. Si el número de camas es 195, ¿cuántas habitaciones son de cada tipo?
Llamamos x al número de habitaciones dobles e y al de individuales.
→ x � 120 � y
2(120 � y) + y � 195 → 240 � 2y � y � 195 → y � 45, x � 75
Son 75 habitaciones dobles y 45 Individuales.
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
1202 195
017
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
102 8
016
x yy x
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
407
015
014
Y
X1
1
Y
X0,3
0,3
b) 21 1412 81
a ba b
− =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3520
a) 12 98 6
− + = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
20
013
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 127
128
Resuelve estos sistemas.
Resuelve los sistemas.
Resuelve los sistemas.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
Sustituimos en la ecuación:
x1 = 20 − 11 = 9
x2 = 20 − 9 = 11
( )20 202 20 99 0 119
2 2 2 1
2− + = − + = =
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
y y y yyy
→ →
x yx y
x y2 2 202
2020+ =
+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
b)2
x xyx y
2 2413
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a) x yx y
2 2 20220
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
020
b) x y zx y z
x y z
E− − =+ − =
+ + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 82 3 11
2 3 5⎯⎯⎯→22 2 1
3 3 1
22 8
3 53 5
= −
= −
+ − =+ =−
+ =−
E E
E E E
x y zy z
y z⎯⎯⎯→ 33
2 83 5
4 23 3 2
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ − =+ =−
=
⎫
= −⎯⎯⎯→E E E
x y zy z
z⎬⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
x
y
z
43
611
61
2⎪⎪
a) x y zx y
x y zE E
+ + =− =
+ − =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
23 1
5 7 3 33 3⎯⎯⎯→
++ =
+ + =− =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
3 1 3
23 1
8 10 9E E
x y zx y
x y ⎯⎯⎯⎯→EE E
x y zx y
x
x
y3 210
23 1
38 19
1
2+
+ + =− =
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
=→ 11
21z =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
b) x y zx y z
x y z
− − =+ − =
+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 82 3 11
2 3 5
a) x y zx y
x y z
+ + =− =
+ − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
23 1
5 7 3 3
019
b) x y zx y zx y z
+ + =+ − =+ + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 02 5 6 03 4 0
⎯⎯⎯⎯→EE E E
E E E
x y zy z
y
2 2 1
3 3 1
2
3
2 03 10 0
5
= −
= −
+ + =− =−⎯⎯⎯⎯→ zz
x y zy zE E E
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =− ==− +
0
2 03 10
3 3 23⎯⎯⎯⎯→
005 0
000z
xyz=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→
a) x yx yx y
E E− =
+ =+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −3
3 2 192 3 16
2 2⎯⎯⎯⎯→33
21
3 3 1
35 105 10
E
E E E
x yyy
x
⎯⎯⎯⎯→= −
− ===
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
52y
b) x y zx y zx y z
+ + =+ − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2 02 5 6 03 4 0
a) x yx yx y
− =+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
33 2 192 3 16
018
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 128
129
b) Resolvemos el sistema por sustitución:
(13 − 2y)2 + (13 − 2y)y = 24 → 2y2 − 39y + 145 = 0 →
Sustituimos en la ecuación:
x1 = 13 − 2 ⋅ 5 = 3 x2 = 13 − 2 ⋅ = −16
Calcula dos números, sabiendo que su suma es 42 y la suma de sus inversos es .
Planteamos el sistema de ecuaciones:
Resolvemos el sistema por sustitución:
72y + 72(42 − y) = 7(42 − y)y → y2 − 42y + 432 = 0 →
x1 = 42 − 18 = 24
x2 = 42 − 24 = 18
Los números pedidos son 18 y 24.
Resuelve la siguiente inecuación:
Razona los pasos realizados para resolverla.
• Resolvemos la ecuación: x − 4 = 3x + 1 → x = −2
• Tomamos un punto cualquiera de cada intervalo:x = −4 de (−�, −2) x = 0 de (−2, +�)
• Comprobamos si esos puntos son soluciones:
Si x = −4 → → (−�, −2) es solución.
Si x = 0 → −4 ≥ 1 → (−2, +�) no es solución.
• Comprobamos si el extremo es solución:
Si x = −2 → → x = −2 es solución.
Por tanto, la solución de la inecuación es el intervalo (−�, −2].
Encuentra el error cometido en la resolución de esta inecuación.
2x ≤8x −12
−6x ≤−12 → 6x ≤12 → x ≤2 → (−�, 2)
Al pasar del segundo al tercer paso, se ha multiplicado la ecuación por −1, y se debería haber cambiado el sentido de la desigualdad, por las relaciones de orden que cumplen los números reales.
023
− =−
− ≤ ⋅ − + = −52
24 3 2 1 5( )
− =−
− ≤ ⋅ − + = −64
24 3 4 1 11( )
1
2
1
24 1x x− ≤ +3022
yy
1
2
1824
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x y
x y
x yy x x
+ =
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= −+ =
421 1 7
72
4272 72 7
→yy
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7
72021
29
2
y
y
1
2
529
2
=
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
x xyx y
x y2 24
2 1313 2+ =
+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −→
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 129
130
Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita.
a) x2 −3x + 2 ≤0 f) (x −3)(x + 4) ≥0b) x2 −3x + 2 ≥0 g) (x + 3)x <4c) x2 −9x >0 h) x2 −30 >xd) x2 −9 <0 i) x2 + x + 3 <0e) x2 + 2 ≤0 j) 4x2 −4x + 1 <0
a) Resolvemos la ecuación: x2 − 3x + 2 = 0 →
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = 0 x = 1,5 x = 3
Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 + 2 > 0 → (−�, 1) no es solución de la inecuación.
Si x = 1,5 → 1,52 − 3 ⋅ 1,5 + 2 < 0 → (1, 2) es solución de la inecuación.
Si x = 3 → 32 − 3 ⋅ 3 + 2 > 0 → (2, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.
Por tanto, la solución es [1, 2].
b) Se deduce del apartado anterior que las soluciones de la inecuación son: (−�, 1] ∪ [2, +�)
c) Resolvemos la ecuación: x2 − 9x = 0 →
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −1 x = 1 x = 10
Si x = −1 → (−1)2 − 9 ⋅ (−1) > 0 → (−�, 0) es solución de la inecuación.
Si x = 1 → 12 − 9 ⋅ 1 < 0 → (0, 9) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 9 ⋅ 10 > 0 → (9, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, 0) ∪ (9, +�).
d) Resolvemos la ecuación: x2 − 9 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 − 9 > 0 → (−�, −3) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 9 < 0 → (−3, 3) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 9 > 0 → (3, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−3, 3).
e) El primer miembro de la inecuación siempre será positivo. Por tanto, la inecuación no tiene solución.
f ) Resolvemos la ecuación: (x − 3)(x + 4) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10 − 3)(−10 + 4) > 0 → (−�, −4) es solución de la inecuación.
Si x = 0 → (0 − 3)(0 + 4) < 0 → (−4, 3) no es solución de la inecuación.
→ xx
1
2
43
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ xx
1
2
33
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
xx
1
2
09
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
xx
1
2
12
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
024
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 130
131
Si x = 10 → (10 − 3)(10 + 4) > 0 → (3, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son también de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, −4] ∪ [3, +�).
g) Resolvemos la ecuación: (x + 3)x = 4
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10 + 3) ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−�, −4) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → (0 − 3) ⋅ 0 − 4 < 0 → (−4, 1) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → (10 − 3) ⋅ 10 + 4 > 0 → (1, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−4, 1).
h) Resolvemos la ecuación: x2 − x − 30 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 −10 − 30 > 0 → (−�, −5) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 0 − 30 < 0 → (−5, 6) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 10 − 30 > 0 → (6, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−5, 6).
i) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuación no tiene solución.
j) El primer miembro de la inecuación es siempre mayor o igual que cero. Por tanto, la inecuación no tiene solución.
Resuelve estas inecuaciones de grado superior, siguiendo el método utilizado para las inecuaciones de segundo grado.
a) (x −2)(x −3)(x2 −2) ≥0 c) x3 + 2x2 + 3x −6 <0b) x(x −4)(x + 1)(x3 −1) ≤0 d) x4 −5x3 + 4x2 + 9x −9 >0
a) Resolvemos la ecuación: (x − 2)(x − 3)(x2 − 2) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 1,5 x = 2,5 x = 10
Si x = −10 → (−10 − 2)(−10 − 3)((−10)2 − 2) > 0 → es solución.Si x = 0 → (0 − 2)(0 − 3)(02 − 2) < 0 → no es solución.
Si x = 1,5 → (1,5 − 2)(1,5 − 3)(1,52 − 2) > 0 → es solución.Si x = 2,5 → (2,5 − 2)(2,5 − 3)(2,52 − 2) < 0 → (2, 3) no es solución.Si x = 10 → (10 − 2)(10 − 3)(102 − 2) > 0 → (3, +�) es solución.Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .− − ∪ ∪� �, 2 2 2 3( ⎤⎦⎡⎣
⎤⎦ +, [ , )
2 2,( )2 2, −( )
− −�, 2( )
→
x
xxx
1
2
3
4
22
23
= −===
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
025
→ xx
1
2
56
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ xx
1
2
41
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 131
132
b) Resolvemos la ecuación: x(x − 4)(x +1)(x3 − 1) = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −0,5 x = 0,5 x = 2 x = 10
Si x = −10 → −10 ⋅ (−10 − 4)(−10 + 1)((−10)3 − 1) > 0 → (−�, −1) no es solución.
Si x = −0,5 → −0,5 ⋅ (−0,5 − 4)(−0,5 + 1)((−0,5)3 − 1) < 0 → (−1, 0) es solución.
Si x = 0,5 → 0,5 ⋅ (0,5 − 4)(0,5 + 1)(0,53 − 1) > 0 → (0, 1) no es solución.
Si x = 2 → 2 ⋅ (2 − 4)(2 + 1)(23 − 1) < 0 → (1, 4) es solución.
Si x = 10 → 10 ⋅ (10 − 4)(10 + 1)(103 − 1) > 0 → (4, +�) no es solución.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es [−1, 0] ∪ [1, 4].
c) Resolvemos la ecuación: x3 + 2x2 + 3x − 6 = 0 → x = 1
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = 0 x = 10
Si x = 0 → 03 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 − 6 < 0 → (−�, 1) es solución.
Si x = 10 → 103 + 2 ⋅ 102 + 3 ⋅ 10 − 6 > 0 → (1, +�) no es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, 1).
d) Resolvemos la ecuación: x4 − 5x3 + 4x2 + 9x − 9 = 0
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 2 x = 2,5 x = 10
Si x = −10 → (−10)4 − 5 ⋅ (−10)3 + 4 ⋅ (−10)2 + 9 ⋅ (−10) − 9 > 0
→ es solución.
Si x = 0 → 04 − 5 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 + 9 ⋅ 0 − 9 < 0 → no es solución.
Si x = 2 → 24 − 5 ⋅ 23 + 4 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 − 9 > 0 → es solución.
Si x = 2,5 → 2,54 − 5 ⋅ 2,53 + 4 ⋅ 2,52 + 9 ⋅ 2,5 − 9 < 0 →no es solución.
Si x = 10 → 104 − 5 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 9 ⋅ 10 − 9 > 0 → (3, +�) es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .− ∪ ∪�,1 13
21
1 13
2
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
, (( , )3 +�
1 13
23
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟,
11 13
2,
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1 13
21
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟,
−�,1 13
2
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
→
x
x
x
x
1
2
3
4
1 13
211 13
23
=−
=
=+
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
xxxx
1
2
3
4
1014
= −===
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 132
133
Representa en el plano la región solución de estas inecuaciones.
a) x + y <0 c) 2x −y >1
b) x −y ≤0 d) y −2 ≥0
a) c)
b) d)
Dibuja las siguientes regiones del plano.
a) Los puntos del plano con abscisa positiva.b) Los puntos del plano con ordenada mayor o igual que cero.
Encuentra una inecuación que tenga cada una de esas regiones como conjuntosolución.
a) x > 0 b) y ≥ 0
Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: (2, +�).
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones: .− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
6
11, �
b) 73 1415 8
6
16
11
+ ≥< +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≥ −
> −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
xx x
x
x→
⎪⎪
a)2x
xxx
+ >− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
>>
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 51 11
26
→
b) 73 14
15 86
+ ≥< +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
xx x
a)2
xx
+ >− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 51 11
028
Y
1
1 X
Y
1
1 X
027
Y
1
1 X
Y
1
1 X
Y
1
1 XX
Y
1
1
026
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 133
134
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con una incógnita.
Elegimos el intervalo que cumple las dos inecuaciones:
Son ciertas para todos los números reales.
Calcula las soluciones de estos sistemas de inecuaciones.
a) b)
Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones con dos incógnitas.
a) b) Y
2
2 X
Y
2
2 X
b) 4x yx
− ≥<
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02
a) 2 32
x yx y
− + >+ <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 011
031
Y
2
2 X
Y
2
2 X
b) 12 32
x yx y
− ≥− + ≤
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
712
a) 22
x yx y
+ <− + ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
43
030
b) 37 2
Siempre se cum2 46
2 2
2
x x xx x x
+ < ++ ≥ −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→ pplen.
− − − +⎡
⎣⎢⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥⎥
2 22
6
2 22
6,
a) 36 4x x
x x
x2
2
63
3 33
2
3 33
22 22
− <+ ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−< <
+
− −→
66
2 22
6≤ ≤
− +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪x
b) 2 37 2x x x
x x x+ < +
+ ≥ −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 2
2
46
a) 36 4
x xx x
2
2
63
− <+ ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
029
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 134
135
Comprueba si el número indicado en cada apartado es solución de la ecuación.
a) 2(x2 −x −2) + 6(3 −x) −2(x −3) −8 = 0x = −2
b) 2(−x −2)(1 −x) −2(x + 1) = 0
c) (2 + x)5x − (3x −4) + 3(x −1) −x2 + 2(x + 4) = 0
d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) + 11 = 0
a) No, las soluciones son x1 = 2 y x2 = 3.
b) Sí, las soluciones son x1 = − y x2 = .
c) Sí, la solución es x = .
d) No, esta ecuación no tiene solución real.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado con denominadores.
No tiene solución real.
x(7x + 12) = 0 → x1 = x2 = 0−12
7
d)( 2)
2 2 5 10 7 12x x x x
x x x x x x2
2 2 2
5 20 0
++
+= + + + = + =→ → 00
x x=− − ± − −
=± −( 5) ( 5)
6
2 4 3 4
2 3
5 23⋅ ⋅
⋅→
c)2 3
2 4 3 3x x x x
x x x x x x−
= −+
− = − − − + =2 2
2 2 2
21
44 5 4 0→ →
x x=− ± − ⋅
= −2 2 4 1 1
2 11
2 ⋅
⋅→
b)3 2 19 3 6 4 192
2 3 60
6
6 6 60
2 2−+
−+ =
−+
−+ =
x x x x x x x x→ → xx x2 1 0+ + =2
xx
x
=− − ± − − −
−
=− −
=
( 3) 4)
4)
3 4 40
2
3 649
82 1
2
) ( (
(
⋅ ⋅
⋅→
−− +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪3 649
8
a) 4 4 32
3
3
4
23
120 8 9 3 23 0
22 2−
+−
+ = − + − + = − −x x
x x x x→ → ++ =40 0
d)( 2)x x x x2
5 20
+ + + =b)3 2 192
2 3 60
2− + − + =x x x x
c)2 3x x x x− = − +2 2
21
4a)
2
3
3
4
23
120
2− + − + =x x
033
−3
2
33
x = 1
2
x = − 3
2
x = 3
032
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 135
136
Busca las soluciones de las siguientes ecuaciones con fracciones algebraicasy comprueba, al menos, una de las soluciones.
Resuelve las ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula correspondiente.
a) x(x + 3) −2(x2 −4) −8 = 0 b) (2x + 3)2 −8(2x + 1) = 0
a) x(x + 3) − 2(x2 − 4) − 8 = 0
Operamos: −x2 + 3x = 0
Es una ecuación incompleta cuyas soluciones son x1 = 0 y x2 = 3.
b) (2x + 3)2 − 8(2x + 1) = 0
Operamos: 4x2 − 4x + 1 = 0
Factorizamos el primer miembro de la ecuación utilizando las igualdades notables:(2x − 1)2 = 0
La solución es x = .1
2
035
2 1
2 1
5
6
3 1 2 1
3 1
1
2
5
6
1
30
2−− +
−= − + =
⋅
⋅ ⋅
⋅
x x=− − ± − −
=( 2) ( 2)2 4 1 1
2 11
⋅ ⋅
⋅→
c)2
3 2
33 5 6 4 2
2 5
66 1
22 2−
= −−
− = − + − + =x
x
x x
xx x x x x x→ → 00
5 4
5
1 4 5
3
8
15
29
5
19
3
8
150
2 ++
−+ = − + =
⋅
x x x=− ± − −
−=
− ±−
= −13 13 4 60
2
13 37 12 ⋅ ⋅
⋅
( 5)
( 5) 101→ →
22
552x =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
b) 15 5 20 8
5
x
x
xx x x x
22 24 1 4
3
8
150 60 0
++
−+ = + + − + =
−
→
→ xx x2 60 0+ + =13
1 3
3
3 3 1
4
1
6
8
3
10
4
1
60
2−+
++ =
−+ + =
⋅
x x x
x=
− ± − −
−=
− ±−
= −
=
5 5 4 12
2
5 13 4
3
2
2
⋅ ⋅
⋅
(
(
3)
3) 61→ →
33
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
a)3
12 9 3 2 31 1
4
1
60 12 0
22 2 2−
++
+ = − + + + = −x
x
xx x x x x→ → ++ + =5x 12 0
c)2
3 2
3
2 5
6
2− = − −x
x
x x
x
b)4x
x
x2 4 1
3
8
150
+ + − + =
a)31 1
4
1
60
2− + + + =x
x
x
034
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 136
137
La suma de las dos raíces de una ecuación de segundo grado es 4 y su producto es −21.
a) Escribe la ecuación correspondiente.
b) Determina dichas soluciones.
a) x(4 − x) = −21
b) −x2 + 4x + 21 = 0
Las soluciones son −3 y 7.
Calcula k en cada caso.
a) x2 + kx + 25 = 0 tiene una solución.b) x2 −4x + k = 0 no tiene soluciones.c) kx2 + 8x + 5 = 0 tiene dos soluciones.
a) k2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 0 → k = 10
b) (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k < 0 → (4, 8)
c) 82 − 4 ⋅ k ⋅ 5 > 0 →
Resuelve la ecuación de segundo grado utilizando las igualdades notables. Relaciona el resultado con el número de soluciones.
¿Qué valor debe tomar k para que los números indicados sean soluciones de las ecuaciones?
a) 2x2 + 5x + k = 0 b) k(x2 −5x + 1) −6(x + 2) + 4(k −x) −65 = 0
x = −2
b) k[(−2)2 − 5 ⋅ (−2) + 1] − 6 ⋅ ((−2) + 2) + 4 ⋅ (k − (−2)) − 65 = 0 → k = 3
a) 23
25
3
20 12
2
⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + + = = −⋅ k k→
x = 3
2
039
Si Tiene dos soluciones.b ac2 4 0− > →
Si Tiene una solución.b ac2 4 0− = →
Si No tiene solución.b ac2 4 0− < →
xb
a
b ac
ax
b b ac
a=
−±
−=
− ± −2
4
4
4
2
2
2
2
→
xb
a
b
a
c
ax
b
a
b
a
c
a+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = − + = ± −
2 4 2 4
2 2
2
2
2→
xbx
a
c
ax
bx
a
b
a
b
a
c
a2 2
2
2
2
24 4+ = − + + = −→
ax bx c xbx
a
c
a2 20 0+ + = + + =→
038
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
16
5
037
→ →xxx
=− ± − −
−= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
4 4 4 21
2
37
2
2
⋅ ⋅
⋅
( 1)
1)1
(
036
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 137
138
¿Qué valores deben tomar a y b para que la ecuación ax2 + bx −30 = 0 tengados soluciones, x1 = 5 y x2 = −3?
Sustituimos las dos soluciones en la ecuación y formamos un sistema donde las incógnitas son a y b:
Di, sin resolverlas, cuál es la suma y el producto de las raíces de las siguientesecuaciones, y luego calcúlalas para comprobarlo.
a) x2 + 5x −14 = 0 c) 9x2 + 9x −10 = 0
b) x2 + x = 0 d) 4x2 −4x + 1 = 0
Partimos de una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son a y b: (x − a)(x − b) = 0
Después, multiplicamos: x2 − ax − bx + ab = 0 → x2 − (a + b)x + ab = 0
Por tanto, el producto de las raíces es el término independiente y la suma de las raíces es el opuesto al coeficiente del término de primer grado.
a) El producto de las raíces es −14 y la suma es −5.
Las raíces son x1 = −7 y x2 = 2.
b) El producto de las raíces es 0 y la suma es −1.
Las raíces son x1 = −1 y x2 = 0.
c) El producto de las raíces es − y la suma es −1.
Las raíces son x1 = y x2 = .
d) El producto de las raíces es y la suma es 1.
La raíz es x = .
Escribe ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones sean:
a) x1 = −4 y x2 = 2 c) x1 = 3 y x2 = −3
b) x1 = 0 y x2 = −7 d) x1 = y x2 =
Respuesta abierta.
a) (x + 4)(x − 2) = 0
b) x(x + 7) = 0
c) (x − 3)(x + 3) = 0
d) x x−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
3
2
1
20
1
2
3
2
042
1
2
1
4
2
3−
5
3
10
9
041
25 59 3
75 15a ba b
a b+ − =− − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+30 030 0
3
5⎯→⎯→
·
·==
− ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=− −
90150240 2
9 2 3
45 15120
3
a ba a
b→→ ⋅ 00 0 4= = −→ b
040
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 138
139
Resuelve las ecuaciones.
x1 = 0 x2 = 2
No tiene solución real.
xxx
=− ± −
=− ± = −
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
8 8 4 1 7
2 1
8 6
2
17
21
2
⋅ ⋅
⋅→
e)2
6 2 8x
x
x
x xx x x x x
+
−−
−
− −= + + − + = + +
4
3
1
60 8 1 0
2
2 2→ → 77 0=
xx
x=
− − ± − − −=
± =
= −( 5) ( 5) ( 12)2 1
2
4 3
2 3
5 13
6
34
3
⋅ ⋅
⋅→
⎧⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
d) 3 3 2x
x
x
x xx x x x x
2
2 2
4
1
2
3
22 2 6 8
−+
−+
=−
− + − + = + − +→
→ 33 5x x2 12 0− − =
x =− − ± − −
=± −( )3 4 1 6
2 1
3 15
2
2( 3) ⋅ ⋅
⋅
c) 2 3− +
−−
−−
= − + + − + = − + =x
x
x
xx x x x x
3
1
9
10 3 9 0 6
2
2 2→ → 00
x x1 27 7= − =
b) 3 33
2
5
10 3 10 0 7 02 2
x
x
xx x x x
+−
−+
= + + − − = − =→ →
a)2
2 4 2x
x
x
xx x x x x
−−
−−+
= − + − + = − =3
1
3
10 3 3 0 0
2
2 2→ →
e)2x
x
x
x x
+−
− −− −
=4
3
1
60
2
d)x
x
x
x x2 4
1
2
3
22
−+ −
+=
−−
c)− +
−− −
−=x
x
x
x
3
1
9
10
2
b)3
2
5
10
x
x
x+− −
+=
a)2x
x
x
x
−−
− −+
=3
1
3
10
2
043
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 139
140
Estas ecuaciones tienen menos de cuatro soluciones. Determínalas.
a) 8x4 + 26x2 + 15 = 0
b) 9x4 + 80x2 −9 = 0
d) 9(1 −x2)(1 + x2) + 80x2 = 0
No tiene solución real.
z2 = −9 → No tiene solución real.
No tiene solución real.
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = → No tiene solución real.
Obtén las soluciones de las ecuaciones.
d)2
39
12
2
xx= −
c) 8xx x
+ =12 203
b) 3 ( 2)x xx2 2
2 2
3− = −
a)2 ( 7
2
x x x
x
3
2 126
−−
=)
045
−1
9
zz
z=
− ± − −
−=
− ±−
=
= −80 80 4 9
2
80 82
18
92 1
2
⋅ ⋅
⋅
( 9)
( 9)→ 11
9
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
d) 9(1 )(1 80 9 80− + + = − + + ==
x x x x xz x2 2 2 4 20 9 0
2
) → ⎯⎯→ −− + + =9 80z z2 9 0
z =− − ± − −
=± −( 5) ( 5)
6
2 4 6 2
2
5 23
12
⋅ ⋅
⋅
c) 6 5 6 565 2
0 2 0 2 02 4
4 2 22
− + = − + = − + ==
x xx x z z
z x→ ⎯⎯→
z x x1 1 211
3
1
3= = − =→
z z
z=
− ± − −=
− ± =
= −
⎧⎨
80 80 4 9
2 9
80 82
18
1
99
21
2
⋅ ⋅
⋅
( 9)→
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
b) 9 80 9 80x x z zz x4 2 29 0 9 0
2
+ − = + − ==⎯⎯→
zz
z=
− ± −=
− ± = −
= −
⎧
⎨26 26 4 8 15
2 8
26 14
16
3
45
2
2 1
2
⋅ ⋅
⋅→
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
a) 8 26 8 26x x z zz x4 2 215 0 15 0
2
+ + = + + ==⎯⎯→
c) 65 2
02 4
− + =x x
044
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 140
141
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3
z2 = 4 → x3 = −2 x4 = 2
z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1
z2 = → No tiene solución real.
No tiene solución real.
Completa las siguientes ecuaciones escribiendo un número en el segundo miembro,de manera que tengan estas soluciones.
b)4
1 1
5
13
12
1
x x x+
+= −
a) x x+ − + = −7 2 4 1 3
b)4
4
1 1
5
1
x x xx
++
= −
=
a) 4x x
x
+ − + ==
7 2 12
046
z =− − ± − −
=± −( ) ( )2 2 4 6 9
2 6
2 212
12
2 ⋅ ⋅
⋅
d)9
21 3 6 2 9 0 6 2 9 0
2
2 4 2 22
xx x x z zz x= − − + = − + ==→ ⎯⎯→
−5
2
zz
z=
− ± − −=
− ± =
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪
3 3 4 2 5
2 2
3 7
4
15
2
2 1
2
⋅ ⋅
⋅
( )→
⎪⎪⎪
c) 8 2xx x
x x z zz x+ = + − = + − ==12 203 5 0 2 3 5 0
3
4 2 22
→ ⎯⎯→
z x x2 3 41
9
1
3
1
3= = − =→
z x x1 12= = − =→ 2 22
zz
z=
− − ± − −=
± =
=
⎧( 19) ( 19)2 1
2
4 9 2
2 9
19 17
18
21
9
⋅ ⋅
⋅→ ⎨⎨
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
b) 3 2) 9 19x xx
x x zz x2 22
4 2 22
39 19 2 0
2
( − =−
− + = −=→ ⎯⎯→ zz + =2 0
zzz
=− − ± − −
=± =
=⎧⎨⎪( 13) ( 13)2
1
2
4 1 36
2 1
13 5
2
94
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
a)2 ( 7 )
213 1
x x x
xx x z
z x3
2
4 2 2
126 36 0
2−
−= − + = −
=→ ⎯⎯→ 33z + =36 0
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 141
142
Resuelve y comprueba las soluciones.
Estas ecuaciones tienen cero, una o dos soluciones. Determínalas.
a) No tiene solución.
b) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = 6
c) Tiene dos soluciones: x1 = 2 x2 = −4
d) Tiene una solución: x = 4
e) No tiene solución.
c) 3x x x2 8 0+ − + =
e) 2x x− − − + =2 5 1 0b) 3x x− − − =2 2 2
d)3
1
5
3+= −
x
xa) 42 1 3 3 5 0x x+ − − − =
048
x = + − − − = − − =7 7 2 7 6 2 3 1 2 0→
d) x x x x x x+ − − − = + = − + − + = −2 6 2 0 2 6 4 6 4 1 6→ →
x =−
−=
−3
2 3 2
3 5
2
21→
⋅�
x =−
−= =9
2 9 2
9 5
4
41→
⋅
xxx
=− − ± − −
=± =
=⎧⎨⎪( ) ( )12 12 4 1 27
2 1
12 6
2
93
21
2
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
c)2 2
51 12 27 02x
xx x
−−
= − + =→
x = + − + = +0 2 3 0 1 2 0 2 2 1 2 0→ ⋅ ⋅ ⋅ �
x = + − + = − + =5 2 3 5 1 2 5 2 2 4 10 2 0→ ⋅ ⋅ ⋅
b) 2 3 1 2 2 0 4 20 02x x x x+ − + = − =→
x = + +11 11 2 11 3 6→ ⋅ �
x = + + =3 3 2 3 3 6→ ⋅
xxx
=− − ± − −
=± =
=⎧⎨
( ) ( )14 14 4 1 33
2 1
14 8
2
311
21
2
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
a) x x x x x x x+ + = + = − + − + =2 3 6 2 3 12 36 14 33 02 2→ →
d) x x+ − − − =2 6 2 0b) 3 22 1 2 0x x+ − + =
c)2x
x
−−
=2
51a) 2x x+ + =3 6
047
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 142
143
Las ecuaciones tienen tres soluciones. Dada una solución, calcula las otras dos soluciones.
a) (x + 3)(x2 −2x −3) = 0 b) (2a −1)(4a2 + 20a + 25) = 0x = −3
a) Resolvemos la ecuación x2 − 2x − 3 = 0:
b) Resolvemos la ecuación 4a2 + 20a + 25 = 0:
Halla la solución de estas ecuaciones.
a) x3 + 4x2 + x −6 = 0 c) x2(x2 + 1) + 2x3 + 36 = 12x(x + 1)
b) x2(x + 6) = 32 d) 2x3 −5x2 −14x + 8 = 0
x1 = −3 x2 = −2 x3 = 1
x1 = −4 x2 = 2
x1 = −3 x2 = 2
12
12
13
13
1
224263330
1183
12990
126
181
−
−
−
−
−
−
−
−−
−880
3636
0−
c) x x x x x x x x x2 2 3 4 3 21 2 36 12 1 2 11 12( ) ( )+ + + = + + − − +→ 336 0=
12
14
14
1
6284440
0161616
0
3232
0−
−
−
−
−
−b) x x x x2 3 26 32 6 32 0( )+ = + − =→
a) 11
12
13
1
4152330
15660
660
−
−
−
−
−
−
050
a a=− ± −
= =20 20 4 4 25
2 4
20
8
5
2
2 ⋅ ⋅
⋅→
xxx
=− − ± − − −
=± = −
=⎧⎨⎪( ) ( ) ( )2 2 4 1 3
2 1
2 4
2
13
21
2
⋅ ⋅
⋅→ ⎪⎪
⎩⎪⎪
a = 1
2
049
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 143
144
x1 = x2 = −2 x3 = 4
Escribe ecuaciones factorizadas que tengan las soluciones y el grado indicados.
a) Grado 3 y soluciones 5, −2 y 7. b) Grado 4 y soluciones 1, −3 y −4.
Respuesta abierta.
a) (x + 2)(x − 5)(x − 7) = 0 b) (x − 1)2(x + 3)(x + 4) = 0
Halla las soluciones de estas ecuaciones.
a) 6x3 −7x2 −x + 2 = 0
b) 4x3(x −3) + 2x2 + 30(x + 1) = 23x(x −1)
c) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0
Resolvemos la ecuación 6x2 − x − 2 = 0:
Resolvemos la ecuación 4x2 − 8x − 5 = 0:
x x x x1 2 3 41
22
5
23= − = − = =
xx
x=
− − ± − − −=
± = −
=
( ) ( ) ( )8 8 4 4 5
2 4
8 12
8
1
25
2
2 1
2
⋅ ⋅
⋅→
⎧⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
4 12 212 8 40
4 20 193 12 24
4 8 5
533815150
30− −− −
−−
− −
−
−
−−300
b) 4 3 2 30 1 23 1 4 12 213 2 4 3x x x x x x x x( ) ( ) ( )− + + + = − − −→ xx x2 53 30 0+ + =
x x x1 2 31
2
2
31= − = =
xx
x=
− − ± − − −=
± = −
=
( ) ( ) ( )1 1 4 6 2
2 6
1 7
12
1
22
3
2 1
2
⋅ ⋅
⋅→
⎧⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
a) 6 7 1 21 6 1 2
6 1 2 0
− −− −
− −
052
051
1
2
2 1 0
1
2
x
x
− =
=
d) 2 52 4
2 94 8
2 1
1418
440
880
−− −
−
−
−
−
−
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 144
145
c) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0 → x(x3 + 3x2 − 11x + 2) = 0
Resolvemos la ecuación x2 + 5x − 1 = 0:
Resuelve estas ecuaciones.
x x x1 2 341
42= − = =
4 1 0
1
4
x
x
− =
=
4 7 342 8 30
4 15 44 16 4
4 1 0
880
−
−− −
−
−
b) 3 47 6 17 4
4 7 342 3 2xx
x
xx x x+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−+ − +
( ) → 88 0=
x x x1 2 32 13
2= − = − =
2 3 0
3
2
x
x
− =
=
21
22
2
32143
51660
660
−
−
−
−−
−−−
−
a)x x
xx
x x x x3 2
3 2
3
1
61 2 3 5 6 0
++
+= + + − − =→
c)x
x x2
167 1 0( )+ + + =
e)2 4x x x
x
2
2
2
13
( )− ++
=b) 317
xx
x
x2 4
7 6 4+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −( )
d)3
1
2
1
1 5
2x x x++
−− =a)
x xx
xx
3 2
3
1
61
+ + + = +
053
x x x x1 2 3 45 29
2
5 29
20 2=
− −=
− += =
x =− ± − −
=− ±5 5 4 1 1
2 1
5 29
2
2 ⋅ ⋅
⋅
( )
1 3 112 2 10
1 5 1
220
−
−−
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 145
146
Resolvemos la ecuación x2 + 3x + 4 = 0:
x = −4
Resolvemos la ecuación −5x2 − 2x − 1 = 0:
x = 2
Resolvemos la ecuación 2x2 − x + 1 = 0:
x = 3
Del sistema de ecuaciones se sabe que x = −1 forma parte de su solución.Determina el valor de y.
− + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=25
x yx y
y2
2 20→
3(2 1) 6(43( 2
x y x yx y x y
+ − − − =− + + − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
))
156 4
054
x =− − ± − − ⋅ ⋅
⋅=
± −( ) ( )1 1 4 2 1
2 2
1 7
4
2
→ No tiene soluciónn real.
2 7 43 6 3
2 1 1
330
−−
−
−
e)2 2 4
13 2 7 4 3 0
2
2
3 2x x x
xx x x
( )− ++
= − + − =→
x =− − ± − − ⋅ − ⋅ −
⋅ −=
± −−
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2 4 5 1
2 5
2 16
10
2
→ No ttiene solución real.
−− −
− − −−
5 8 32 10 4
5 2 1
220
d)3
1
2
1
1 5
25 8 3 2 03 2
x x xx x x
++
−− = − + + + =→
x =− ± − ⋅ ⋅
⋅=
− ± −3 3 4 1 4
2 1
3 7
2
2
→ No tiene solución real..
1 7 164 4 12
1 3 4
16160
− − − −
c)x
x x x x x2
3 2
167 1 0 7 16 16 0( )+ + + = + + + =→
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 146
147
Resuelve los siguientes sistemas.
Sistema compatible indeterminado.
Sistema incompatible.
Dada la ecuación 2x −5y = 14, encuentra otra ecuación para que juntas formenun sistema de dos ecuaciones que:
a) Tenga una sola solución. c) Tenga infinitas soluciones.
b) No tenga soluciones.
Respuesta abierta.
a) 3x − 7y = 1 b) 2x − 5y = 0 c) 4x − 10y = 28
Halla, si es posible, un valor de a para que el sistema:
a) Sea incompatible.
b) Sea compatible indeterminado.
c) Sea compatible determinado.
a) No es posible. b) a = 6 c) a � 6
Encuentra, si es posible, un valor de b para que el sistema:
a) Sea incompatible.
b) Sea compatible indeterminado.
c) Sea compatible determinado.
El sistema es siempre compatible determinado.
8
4
12
9�
−
8 124 9
x yx y b
− =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
20
058
6
9
4
6 36 6−
=−
= =a
a a→
6 4 129 18
x yx ay
− =− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
057
056
b) 6 2 3 3 2 3 7 03 6 2
( ) ( )( ) ( )
x y x y xx y x y y
− − − + − + + =− − − + ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪0
15 215 0
→ x yx y
a) − + + − − =+ − + − + =
2 4 3 3 2 1 125 4 1 2 10 0
( ) ( )( ) ( )
x yx y x y
⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − −→ →2 6 123 6 0
3 6x yx y
x y
b) ( 2 3) 3(2 3)3( 6 ) 2(
6 7 0x y x y xx y x y y
− − − + − + + =− − − +) ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪0
a) 22
− + + − − =+ − + − + =
2 4 3 3 1 125 4 1 10 0
( ) ( )( ) ( )
x yx y x y
⎫⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
055
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 147
148
Resuelve los siguientes sistemas con tres ecuaciones y dos incógnitas, y representa las soluciones.
x = 1 y = −3
Las soluciones de las dos primeras ecuaciones son x = 3 e y = 4, que no verifican la tercera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.
x = 1 y = −2
Las soluciones de la segunda y tercera ecuaciones son x = e y = 6,
que no verifican la primera ecuación. Por tanto, el sistema es incompatible.
Simplifica estos sistemas de ecuaciones, y utiliza el método de Gauss para obtener su solución.
b) 5 2 115 10 11
52 2 13
p qp q
pE E E
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+= −
⎯⎯⎯⎯→22 1
16 8
2
51
2
p
q
=− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→
a) 4 6 06 9 6
4 62 2 12 3
x yx y
xE E E
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+= −
⎯⎯⎯⎯→yyy
x
y
=− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
036 12
1
21
3
→
d)x y
x y
− + − =
− + + =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
53
2 15
2
24
13
3
b) 5 2 115 10 11
p qp q
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
c)3
3 2 1 6 4 152 6 4
( ) ( )x y x yx y x y+ − − − =
− + + − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a) 4 6 06 9 6
x yx y
+ =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
060
10
3
d) − + =− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
4 2 06 3 23 2 2
x yx yx y
c) 2 03 2 1
3 7
4 2 02x yx yx y
x y+ =
− − =− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ =−
⋅⎯→33 2 1
1 4 1 2 0 2x y
x y y− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= ⋅ + = = −→ → →
b) x yx yx y
+ =− =− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
72 23 2 0
a) 2 14
4 1
44
x yx yx y
x y+ = −
− + = −− − = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− + = −−
→xx y
x y y− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − + = − = −1
1 1 4 3→ → →
d) 4 26 33 2
− + =− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
x yx yx y
02
2
b)23 2
x yx yx y
+ =− =− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
720
c) 23 2
3
x yx yx y
+ =− − =
− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
017
a) 2
4
x yx yx y
+ = −− + = −
− − = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
141
059
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 148
149
Resuelve estos sistemas de ecuaciones, aplicando el método de Gauss.
Sistema incompatible.
Sistema compatible indeterminado.
d) 6 2 3 5 2 3 1 3 6
163
1
( ) ( )x y x yy
x
+ − − − + − + =
=−
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=−→ →16 3 16
16 3 1616 16
3
x yx y
yx
c) − + − − − + = −+ − − + = −
( ) ( )( ) ( )
2 3 2 6 1 154 3 12 3
x y x yx x y 332
8 3 118 12 8
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + = −− + = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→
⎯⎯⎯⎯→
x yx y
EE E Ex y
y
x
y2 2 1
8 3 119 3
3213
= − − + = −=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=
=
⎧
⎨
⎪⎪→
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
b)x y
x y x y
+−
−=
− +−
+ −=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
3
9
5
80
2 1
2
2 3
50
→→ →8 24 9 45 010 5 5 2 4 6 0
8x yx y x y
x+ − + =− + − − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−− =−− =−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− == −
9 698 9 11
8 92 2 1
yx y
x yE E E
⎯⎯⎯⎯→−−
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
690 58
a)2 3
3
1
53
5
2
2 1
30
10x y
x yx
++
+=
−−
−=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→ ++ + + =− − + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =15 3 3 453 15 4 2 0
10 3 273
yx y
x yx
→−− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =−
= −
4 13
10 3 27492 2 110 3
y
x yy
E E E⎯⎯⎯⎯→ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
== −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪49
31
→ xy
d) 2 2 33
6 3 5 1 3 6
161
( ) ( )x y x yy
x
+ − − − + − + =
=−
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
b)x y
x y x y
+ − − =
− + − + − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
3
9
5
80
2 1
2
2 3
50
c) − + − − − + = −+ − − + = −
( ) ( )( ) ( )
2 3 2 6 1 154 3 12 3
x y x yx x y 332
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a)2
2
x y
x y
+ + + =
− − − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
3
3
1
53
5
2
1
30
061
d)x y
x yx
−+
−=
−+
+=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
−5
3
2 1
52
2
4
1
33
5 2→ 55 6 3 306 3 4 4 36
5 6 583 4
+ − =− + + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =− +
yx y
x yx
→yy
x yy
E E E
=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ ==
⎫= +
26
5 6 5838 3042 2 15 3
⎯⎯⎯⎯→ ⎬⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
xy
28
c) 3 2 1 6 4 153 2 6 4
( ) ( )x y x yx y x y+ − − − =
− + + − + =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→→ − + =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=18 9 182 2
2x yx y
y x
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 149
150
Determina las soluciones de estos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas,utilizando el método de Gauss.
Resuelve, empleando el método de Gauss.
a) x y zx y zx y z
E+ + =
+ − =+ + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=10
2 22 15
2⎯⎯⎯→EE E
E E E
x y zy z
z
2 1
3 3 1
102 8
5
−
= −
+ + =− = −
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪
⎯⎯⎯→ ⎪⎪⎪
===
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→xyz
325
f) 4 3 5 2 02 6 2 0
8 9 11 10 0
x y zx y z
x y z
+ + + =− + − − =
+ + + =
⎫⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
c) 2 4 03 2 5
1
x y zx y z
x y z
+ + =− − =
− + − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
e) 2 2 8 123 5 7
3 4 32
x y zx y z
x y z
+ − =− + + =
+ − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
b) 3 105 10
6 3 2 22
x y zx z
x y z
− − = −− = −
− + + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
d) 2 3 34 3 102 3 8
x y zy z
x y z
− + =− =
− + + = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
a) x y zx y zx y z
+ + =+ − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
102 2
2 15
063
d) 2 4 03 2 5
1
2x y z
x y zx y z
E+ + =
− − =− + − =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎯⎯⎯→== −
= +
+ + =− − =
−
2
2
2 1
3 3 1
2 4 010 5 10
6
E E
E E E
x y zy z
y⎯⎯⎯→ zz
x y zy zE E E
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =− −= +
2
2 4 010 5
3 3 235⎯⎯⎯→
==− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===−
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
104 8
10
2z
xyz
→
c) 2 3 5 04 6 7 3
3 3
x y zx y z
x y z
+ + =− − + = −
− + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→
E E E
E E E
x y zz2 2 1
3 3 1
2
2 3
2 3 5 017 3
= +
= −
+ + == −
−111 13 6
177
18763
1873
17
y z
x
y
z− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
= −
= −
⎧
→ ⎨⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
b) 2 43 2 12 1
2x y z
x y zx y z
E− + =
− + − =+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎯⎯⎯→== +
= −
− + =− =+ =−
2
22 1
3 3 1
2 45 3 65 2
E E
E E E
x y zy zy z⎯⎯⎯→
⎫⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
− + =− =
=−
⎫
= −⎯⎯⎯→E E E
x y zy z
z3 3 2
2 45 3 6
4 8⎬⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===−
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→xyz
30
2
a) 2 3 112 3 6
2
x y zx y z
x y z
+ + =− + =
− + − = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎯⎯⎯→EE E E
E E E
x y zy z
y
2 2 1
3 3 1
2
2
2 3 117 5 1
5
= −
= +
+ + =− + =
⎯⎯⎯→ −− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =− +
= +
z
x y zy
E E E
7
2 3 117
3 3 27 5⎯⎯⎯⎯→
55 118 54
123
zz
xyz
==
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→
d) 2 43 2
x y zx y z
x y z
+ + =− − =
− + − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
051
b) 23 22
2 2
2
x y zx y zx y z
− + =− + − =
+ + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
411
c) 2 3 54 6 7
3
x y zx y z
x y z
+ + =− − + = −
− + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
03
3
a) 2 32 3
3
3 3
x y zx y zx y z
+ + =− + =
− + − = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
116
2
062
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 150
151
Resuelve las inecuaciones.
a) −x + 15 ≤3 −7x c) −x −13 ≤3 + 7x
b) x + 11 ≥3 −4x d) 2x + 11 ≥6 + 5x
a) −x + 15 ≤ 3 − 7x → 6x ≤ −12 → x ≤ 2 → (−�, −2]
b) x + 11 ≥ 3 − 4x → 5x ≥ −8 → x ≥ →
c) −x − 13 ≤ 3 + 7x → −16 ≤ 8x → −2 ≤ x → [−2, +�)
d) 2x + 11 ≥ 6 + 5x → 5 ≥ 3x → ≥ x → −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥�,
5
35
3
− +⎡
⎣⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
8
5, �−
8
5
064
f ) 4 3 5 2 02 6 2 0
8 9 11 10 0
x y zx y z
x y z
+ + + =− + − − =
+ + + =
⎫
⎬⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + = −= +
= −⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→
E E E
E E E
x y z2 2 1
3 3 1
2
2
4 3 5 2215 3 2
3 6
4 3
3 3 25
y zy z
x
E E E
+ =+ = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+
= −⎯⎯⎯→
yy zy z
z
x
y
z
+ = −+ =
= −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
=
=
5 215 3 2
2 32
1710
3→
−−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪ 16
e) 2 2 8 123 5 7
3 4 32
x y zx y z
x y z
+ − =− + + =
+ − =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎯⎯⎯⎯→⎯⎯⎯→
E E E
E E E
x y zy z2 2 1
3 3 1
2
2 3
2 2 8 128 2
= +
= −
+ − =+ ==
+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪+ −
= −
262 22 28
2 2 8
3 3 24
y z
x y z
E E E⎯⎯⎯→
==+ =
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
128 2 26
86 86
731
y zz
xyz
→ ⎪⎪⎪⎪
d) 2 3 34 3 102 3 8
x y zy z
x y z
− + =− =
− + + = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪ ⎯⎯⎯→
EE E E
x y zy zy z3 3 12
2 3 34 3 10
7 13= +
− + =− =+ = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
− + =− =
= −
⎫
⎬⎪⎪
= −⎯⎯⎯→E E E
x y zy z
z3 3 24
2 3 34 3 10
31 62
⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=== −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→xyz
41
2
c) 2 4 03 2 5
1
2x y zx y z
x y z
E+ + =− − =
− + − =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎯⎯⎯→== −
= +
+ + =− − =
−
2
2
2 1
3 3 1
2 4 010 5 10
6
E E
E E E
x y zy z
y⎯⎯⎯→ zz
x y zy zE E E
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =− −= +
2
2 4 010 5
3 3 235⎯⎯⎯→
==− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=== −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
104 8
10
2z
xyz
→
b) 3 105 10
6 3 2 22
x y zx z
x y z
− − = −− = −
− + + =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪ ⎯⎯⎯⎯→
E E E
x y zx zx z3 3 13
3 105 103 8
= +
− − = −− = −− = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
− − = −− = −− =
⎫
⎬⎪⎪
= −⎯⎯⎯→
E E E
x y zx z
x3 3 2
3 105 10
2 2
⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −==
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→xyz
125
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 151
152
Encuentra la solución de las inecuaciones.
(1, +�)
Determina las soluciones de estas inecuaciones.
El primer miembro de la inecuación es siempre positivo, por lo que siempre se cumple. Es cierta para todos los números reales.
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −1 x = 0
Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 + 7 ⋅ (−10) + 3 > 0 → (−�, −3) no es solución de la inecuación.
2 7 3 031
2
21
2
x xx
x+ + =
= −
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→
b)3 1
2 31 0 9 3 2 2 6 0 2 7 3
22 2x x x
x x x x x−
−−
+ < − − + + < + + <→ → 00
a)x x x
x x x x x+
+−
> + + − > + + >2
3
1
50 5 10 3 3 0 3 2 10 02 2( ) → →
c)2 2
xx x− − − + ≥1
3
1
45
2
e)12 2x x x x
x− − − ≥ + −1
4 3
1
3
2 2
b)3x x x− − − + <1
2 31 0
2
d)2 16
33
2 30
2
− − + + ≥x x xa)
(x x x+ + − >2
3
1
50
)
066
c) 12 5
6
1 4
2
1
30 6 2 5 3 12 2 2 0−
−+
−−
−< − + + − − + <
x x xx x x→
→ −− < − >16 16 1x x→
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥�,
63
22
b)− +
+−
+ ≥ − + + − + ≥
−
2 3
5
6 4
3
1
20 12 18 60 40 15 0
22
x xx x→
→ xx x≥ − ≤6363
22→
− +⎡
⎣⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
37
49, �
a)1 5
42
4 3
5
1
25 25 32 24 10
49 37
−−
+≤ − − − ≤
− ≤
x xx x
x x
→
→ → ≥≥ −37
49
b)3 4− + + − + ≥2
5
6
3
1
20
x x
c)2 4
15
6
1
2
1
30− − + − − − <x x x
a)5 31
42
4
5
1
2
− − + ≤x x
065
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 152
153
Si x = −1 → 2 ⋅ (−1)2 + 7 ⋅ (−1) + 3 < 0 → es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 2 ⋅ 02 + 7 ⋅ 0 + 3 > 0 → no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .
Resolvemos la ecuación: −6x2 + 20x − 67 = 0
No tiene solución real. Como el primer miembro de la ecuación toma siemprevalores negativos, la inecuación no tiene solución.
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −5 x = 0
Si x = −10 → 2(−10)2 + 26 ⋅ (−10) + 27 > 0 →es solución de la inecuación.
Si x = −5 → ⋅2(−5)2 + 26 ⋅ (−5) + 27 < 0 →no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → ⋅2 ⋅ 02 + 26 ⋅ 0 + 27 > 0 → es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = −5 x = 0
Si x = −10 → 4 ⋅ (−10)2 + 33 ⋅ (−10) + 7 > 0 →es solución de la inecuación.
−− −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
33 977
8
4 33 7 0
33 977
833 977
8
21
2
x xx
x
+ + ==
− −
=− +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪→
⎪⎪⎪⎪⎪
e)x x x x
x x x−
−−
≥+
− + + ≥1
4
12
3
2 1
34 33 7 0
2 22→
−− −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥⎥∪
− ++
⎡
⎣⎢⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟� �, ,
13 115
2
13 115
2⎟⎟⎟⎟
− ++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
13 115
2, �
− − − +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
13 115
2
13 115
2,
−− −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
13 115
2
2 26 27 0
13 115
213 115
2
21
2
x xx
x
+ + ==
− −
=− +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
→⎪⎪⎪⎪⎪⎪
d) 32 3
2
16
30 18 6 9 32 2 0
2 2
22
2−
−+
+≥ − + + + ≥
+
x x xx x x
x→→ 66 27 0x + ≥
c) xx x
x x x x−−
−+
≥ − + − − ≥ − +1 2
3
2 1
45 12 4 8 6 3 60 6 2
22 2→ → 00 67 0x − ≥
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟3
1
2,
− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
1
2, �
− −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟3
1
2,
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 153
154
Si x = −5 → 4 ⋅ (−5)2 + 33 ⋅ (−5) + 7 < 0 →no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 4 ⋅ 02 + 33 ⋅ 0 + 7 > 0 → es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .
¿Cuál es la solución de estas inecuaciones?
a) x2 −x −6 < 0 c) 2x2 + 5x + 6 < 0 e) 2x2 + 5x −3 > 0b) −x2 −2x + 8 < 0 d) −x2 + 3x −4 < 0 f) 6x2 + 31x + 18 ≤0
a) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 + 10 − 6 > 0 → (−�, −2) no es solución de la inecuación.Si x = 0 → 02 − 0 − 6 < 0 → (−2, 3) es solución de la inecuación.Si x = 10 → 102 − 10 − 6 > 0 → (3, +�) no es solución de la inecuación.Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.Por tanto, la solución es (−2, 3).
b) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → −(−10)2 − 2 ⋅ (−10) + 8 < 0 → (−�, −4) es solución de la inecuación.Si x = 0 → −02 − 2 ⋅ 0 + 8 > 0 → (−4, 2) no es solución de la inecuación.Si x = 10 → −102 − 2 ⋅ 10 + 8 < 0 → (2, +�) es solución de la inecuación.Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.Por tanto, la solución es (−�, −4) ∪ (2, +�).
c) Resolvemos la ecuación: 2x2 +5x + 6 = 0 → No tiene solución real.El primer miembro de la ecuación siempre toma valores positivos.No tiene solución.
d) Resolvemos la ecuación: −x2 + 3x − 4 = 0 → No tiene solución real.
El primer miembro de la ecuación siempre toma valores negativos.Es una identidad.
e) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 + 5 ⋅ (−10) − 3 > 0 → (−�, −3) es solución de la inecuación.
2 5 3 03
1
2
21
2
x xx
x+ − =
= −
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→
− − + = = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x xxx
2 1
22 8 0 4
2→
x xxx
2 1
26 0 2
3− − = = −
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→
067
−− −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥⎥∪
− ++
⎡
⎣⎢⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟� �, ,
33 977
8
33 977
8⎟⎟⎟⎟
− ++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
33 977
8, �
− − − +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
33 977
8
33 977
8,
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 154
155
Si x = 0 → 2 ⋅ 02 + 5 ⋅ 0 − 3 < 0 → no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 2 ⋅ 102 + 5 ⋅ 10 − 3 > 0 → es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es
f ) Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = −1 x = 0
Si x = −10 → 6 ⋅ (−10)2 + 31 ⋅ (−10) + 18 > 0 → no es solución de la inecuación.
Si x = −1 → 6 ⋅ (−1)2 + 31 ⋅ (−1) + 18 < 0 → es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 6 ⋅ 02 + 31 ⋅ 0 + 18 > 0 → no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es
Resuelve estas inecuaciones que contienen fracciones algebraicas.
(−3, 5)
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
5
21,
d)2
2 51 0
3 3
2 50
15
2
−+
− >− −
+>
< −
> −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪
x
x
x
x
x
x→ →
⎪⎪
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ∪ +� �, ( , )
2
31
c)− +
−> − + <
− >⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
>
<
⎫⎬⎪
x
x
xx
x
x1
2 30 1 0
2 3 0
12
3
→ →⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟3
3
2,
b)2 3
30 2 3 0
3 0
3
23
x
x
xx
x
x
−+
< − <+ >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
<
> −
⎫⎬⎪⎪
→ → ⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
a)x
x
xx
xx
+−
< + >− <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
> −<
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3
50 3 0
5 03
5→ →
d)2
2
51 0
−+
− >x
xc)
3
− +−
>x
x
1
20b)
2x
x
−+
<3
30a)
x
x
+−
<3
50
068
− −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
9
2
2
3, .
− +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
2
3, �
− −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
9
2
2
3,
− −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟�,
9
2
6 31 18 0
9
22
3
21
2
x xx
x+ + =
= −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→
( , ) ,− − ∪ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟� �3
1
2.
1
2, +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟�
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟3
1
2,
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 155
156
Resuelve estos sistemas de inecuaciones.
Obtén las soluciones de estos sistemas.
Resolvemos cada una de las inecuaciones:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 − 3 ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−�, −1) es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 − 4 < 0 → (−1, 4) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 − 3 ⋅ 10 − 4 > 0 → (4, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
x xxx
2 1
23 4 0 1
4− − = = −
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→
a) x xx
2 3 4 02 3 0
− − >− <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
d) 32
x xx
2 4 03 0
− − <− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
b) 32
x xx
2 4 03 0
− − <− <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
c) 32
x xx
2 4 03 0
− − >− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a) 32
x xx
2 4 03 0
− − >− <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
070
d) − + ⋅ −+
>
⋅−
+ <
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
3 1 22 5
31
22 1
5
1
50
( )xx
x
⎪⎪
− − >− + <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
< −
<
⎫
⎭
→ →23 20 34 2 1 0
11
4
xx
x
x
c)x x
x xx
−+
−<
−−
−>
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
−2
5
1
30
2 3
6
3 3
20
2→ −− <− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
>
>
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
1 06 7 0
1
27
6
7
6x
x
x→ → ,, +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�
b) 4 2 5 2 8 2 7 03 1 2 3 2 1 1 0( ) ( )
( ) ( )x x
x x− + − + ≥− − − + ≥
⎫⎬⎪⎪⎪⎭⎪⎪
+ >− + ≥
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
> −
≤
⎫
⎬
⎪⎪⎪→ →4 3 0
12 7 0
3
47
12
xx
x
x
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥→ 3
4
7
12,
a) 2 5 3 2 2 03 2 3
8 162
( ) ( )( )
x xx x
x− − − <− + + >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
<→xx
x
x> −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
<
> −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠3
23
2
3
22→ → , ⎟⎟⎟⎟⎟
d) 3( )5
2
− + ⋅ − + >
⋅ − + <
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
xx
x
1 22
31
21
5
1
50
⎪⎪
b) 4(2 2( 23( 2 3(2
x xx x
− + − + ≥− − − + ≥
⎫⎬⎪5 8 7 0
1 1 1 0) )) )
⎪⎪⎭⎪⎪
c)
3 3
x x
x x
− + − <
− − − >
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
2
5
1
30
2
6
3
20
a) 2( 3(2 23(2
x xx x
− − − <− + + >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 03
) ))
069
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 156
157
Por tanto, la solución es (−�, −1) ∪ (4, +�).
Por tanto, la solución es .
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (−�, −1).
b) Repitiendo el proceso del apartado anterior, la solución es .
c) Repitiendo el proceso del primer apartado, la solución es (4, +�).
d) Repitiendo el proceso del primer apartado, la solución es .
Resuelve estos sistemas de inecuaciones.
a) Resolvemos cada una de las inecuaciones:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → −(−10)2 − 3 ⋅ (−10) + 10 < 0 → (−�, −5) es solución.Si x = 0 → −02 − 3 ⋅ 0 + 10 > 0 → (−5, 2) no es solución.Si x = 10 → −102 − 3 ⋅ 10 + 10 < 0 → (2, +�) es solución.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, −5) ∪ (2, +�).3x + 5 > −16 → x > −7
Por tanto, la solución es (−7, +�).
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (−7, −5) ∪ (2, +�).
b) La inecuación de segundo grado es la misma que en el apartado anterior.
Por tanto, la solución es (−�, −5) ∪ (2, +�).2x − 3 > 13 → x > 8
Por tanto, la solución es (8, +�).
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (8, +�).
c) Resolvemos cada una de las inecuaciones:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = 0 x = 10
x xxx
2 1
24 5 0 5
1+ − = = −
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→
− − + = = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x xxx
2 1
23 10 0 5
2→
d) 43
x xx
2 5 02 10
+ − <− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
b) 32
10 03 13
2− − <− >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x xx
c) 43
x xx
2 5 02 10
+ − >− <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
a) 33
10 05 16
2− − <+ >−
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x xx
071
3
24,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟1
3
2,
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
3
2
2 3 03
2x x− < <→
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 157
158
Si x = −10 → (−10)2 + 4 ⋅ (−10) − 5 > 0 → (−�, −5) es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 + 4 ⋅ 0 − 5 < 0 → (−5, 1) no es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 + 4 ⋅ 10 − 5 > 0 → (1, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−�, −5) ∪ (1, +�).
3x − 2 < 10 → x < 4
Por tanto, la solución es (−�, 4).
La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones: (−�, −5) ∪ (1, 4).
d) Repitiendo el proceso del apartado anterior, vemos que el sistema no tiene solución.
Obtén gráficamente las soluciones de los siguientes sistemas de inecuaciones.
a) La solución es la región más oscura. b) La solución es la región más oscura.
Calcula las soluciones de estos sistemas.
d) 24 2
x yx y
− + >− + >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 02
c) 24 2
x yx y
− + >− + <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 02
b) 24 2
x yx y
− + <− + >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 02
a) 24 2
x yx y
− + <− + <
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 02
073
Y
2
2 X
Y
2
2 X
b) 2 32
x yx y
− + >+ >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 011
a) 2 32
x yx y
− + <+ >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 011
072
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 158
159
a) No tiene solución. c) La solución es la región más oscura.
b) La solución es la región más oscura. d) La solución es la región más oscura.
Resuelve los sistemas.
a) La solución es la región más oscura. c) La solución es la región más oscura.
b) La solución es la región más oscura.
Y
1
1 X
Y
2
2 X
Y
2
2 X
b)2
2 2 3
1
2
3
3
1
2
14
3 20
− − + ≥ − +
− − − + + ≥
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪x y x y
x y x y⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
c)6
2 3
x x y y
x x y x
+ + + < −
− + − ⋅ + − < +
⎫
⎬
⎪⎪1
2 25
3
51
32
3
2
1
4
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
a)2x y y
x y
+ < +
− + − <
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
3
6
54
3
2
52
074
Y
1
1 X
Y
1
1 X
Y
1
1 X
Y
1
1 X
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 159
160
Determina la suma y el producto de las soluciones de la ecuación.
x2 −9x + 14 = 0
Halla las soluciones. ¿Puedes explicar lo que sucede?
El producto de las raíces es 14 y la suma es 9.
Las raíces son x1 = 2 y x2 = 7.
Si el coeficiente del término de segundo grado es 1, el producto de las raíces es el término independiente y la suma de las raíces es el opuesto al coeficiente del término de primer grado.
Estudia el valor de los coeficientes de la ecuación bicuadrada ax 4 + bx2 + c = 0, para que tenga cuatro, tres, dos, una o ninguna solución.
Analizamos el número de raíces de la ecuación bicuadrada ax4 + bx2 + c = 0a partir de las raíces obtenidas en la ecuación de segundo grado asociada, az2 + bz + c = 0.
Si las dos soluciones son negativas, la ecuación bicuadrada no tiene solución.
Si una solución es negativa y la otra es cero:
Si una solución es positiva y la otra es cero:
Si las dos soluciones son positivas, la ecuación bicuadrada tiene cuatrosoluciones.
x
b b ac
a
b b ac
a
=±
− + −
±− − −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
2
2
4
2
4
2
− − −>
− − −>
b b ac
a
b b ac
a
2 24
20
4
20y Tiene cuatro sol → uuciones.
cb
ax x
b
a=
−> = = ±
−0 0 0y Tiene tres soluciones:→ , .
cb
ax=
−< =0 0 0y Tiene una solución:→ .
− − −<
− − −<
b b ac
a
b b ac
a
2 24
20
4
20y No tiene solució → nn.
Si La ecuación de segundo grado tiene dΔ = − >b ac2 4 0 → oos soluciones.
→ →Si Tiene dos soluciones opuestas.−
>b
a20
→ →Si Tiene una solución:−
= = = =b
ab c x
20 0 0 0( , ) .
Si Si No tiene solucióΔ = − = =− −
<b ac zb
a
b
a2 4 0
2 20→ → → nn.
Si No tiene solución.Δ = − <b ac2 4 0 →
076
075
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 160
161
Utiliza el método de sustitución para resolver estos sistemas de ecuacionesno lineales.
a) Resolvemos el sistema por sustitución:
x2 + x − 2 = 0
Las soluciones son: x1 = − 2 x2 = 1
Si x1 = −2 → y1 = 4
Si x2 = 1 → y2 = 1
b) Resolvemos el sistema por sustitución:
−x2 + x + 2 = 0
Las soluciones son: x1 = 2 x2 = −1
Si x1 = 2 → y1 = 6 ⋅ 2 −1 = 11
Si x2 = −1 → y2 = 6 ⋅ (−1) − 1 = −7
c) Resolvemos el sistema por sustitución:
x2 − 3x − 10 =0
Las soluciones son: x1 = −2 x2 = 5
Si x1 = −2 → y1 = = −5
Si x2 = 5 → y2 = = 2
d) Resolvemos el sistema por sustitución:
x2 − 4x + 15 = 0
Esta ecuación no tiene solución real, por lo que el sistema no tiene solución.
y x xx y
+ − + =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 5 6 09 0
10
5
10
2−
xxx
=− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅=
± = −=
⎧⎨
( ) ( ) ( )3 3 4 1 10
2 1
3 7
2
25
21
2→ ⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
102 5
=+ = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
x yx y
xxx
=− ± − ⋅ − ⋅
⋅ −=
− ±−
== −
⎧⎨⎪⎪1 1 4 1 2
2 1
1 3
2
21
21
2
( )
( )→
⎩⎩⎪⎪
y x xy x
− − + == −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 5 3 06 1
xxx
=− ± − ⋅ ⋅ −
⋅=
− ± = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 1 4 1 2
2 1
1 3
2
21
21
2
( ) →
y xx y
=+ − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2
2 0
d) 5y x xx y
+ − + =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 6 09 0
b) 56
y x xy x
− − + == −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3 01
c) 102 5
=+ = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
xyx y
a) y xx y
=+ − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2
2 0
077
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 161
162
Resuelve la ecuación.
Trata de hacerlo sustituyendo en la expresión y obtendrás una ecuación
de segundo grado. Calcula las soluciones para la incógnita t y luego sustituyepara hallar el valor de x.
Sustituimos:
Resolvemos la ecuación: 2t2 − 3t = 0
t1 = t2 = 0
Sustituimos para calcular x:
x3 = −1 x4 = 1
Determina la solución de estas ecuaciones realizando las sustituciones de variablenecesarias.
a) Sustituimos:
Resolvemos la ecuación: 2t2 − 9t + 10 = 0
Sustituimos para calcular x:
x3 = 1
xx
+ =1
2
x x1 21
22= =
xx
+ =1 5
2
t t1 25
22= =
t xx
= − =1
0
b)6
6x
x x
x
x
2
2 9 38 0
− +−
−+ =
a) 21
91
10 02
xx
xx
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ + =
079
x x1 = − =1
222
xx
− =1 3
2
3
2
xx
t− =1
21
31
02
xx
xx
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
xx
t− =1
21
31
02
xx
xx
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ − −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
078
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 162
163
b) Factorizamos el denominador de segundo grado:
Lo expresamos como una igualdad notable:
Sustituimos:
Resolvemos la ecuación: t2 − 1 = 0
t1 = −1 t2 = 1
Sustituimos para calcular x:
Si Max sube de tres en tres los escalones de una torre, tiene que dar 30 pasos menosque si los sube de dos en dos. ¿Cuántos escalones tiene la torre?
Llamamos x al número de escalones:
La torre tiene 180 escalones.
El jeque Omar tiene dispuesto en su testamento que la tercera parte de sus camellosse entregue a su primogénito, Alí; la tercera parte del rebaño sea para su segundohijo, Casim, y el resto vaya a parar a su esposa Fátima. A la muerte de Omar y, una vezhecho el reparto, a Fátima le corresponden 140 camellos. ¿Cuántos camelloscomponían el rebaño del jeque?
Llamamos x al número de camellos del jeque:
El rebaño del jeque estaba compuesto por 420 camellos.
En una bodega venden dos tipos de vino: crianza y reserva. Averigua cuál es su precio si sabemos que Juan compró 3 botellas de reserva y 12 botellas de crianza y pagó 69 €, mientras que Belén compró 6 botellas de crianza y 8 botellas de reserva, y pagó 80 €.
Llamamos x al precio de la botella de crianza e y al precio de la botella de reserva:
6x + 8 ⋅ 7 = 80 → x = 4El precio de la botella de crianza es de 4 € y el precio de la botella de reserva es de 7 €.
12 3 696 8 80
12 3 62
x yx y
x y+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ =−
⎯⎯→⎯⎯→· ( )
9912 16 160
13 91 7− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = − =x y
y y→ →
082
xx x
x x x− − = − = =3 3
140 3 2 420 420→ →
081
x xx x x
330
22 180 3 180+ = + = =→ →
080
− =−
− =13
3 62x
xx→
13
3 41=−
− =x
xx→
tx
x=
−−
33
x
x −−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =
33 1 0
2
x
x
x
x
2
23
6
38 0
( )−−
−+ =
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 163
164
Esther viaja de Barcelona a Sevilla en su coche. Sale a las 8 de la mañana y lleva una velocidad constante de 90 km/h. A 110 km de Barcelona, Juan coge, a esa misma hora, un autobús que viaja a 70 km/h, con la misma dirección que Esther. ¿A qué hora se encuentra Esther con el autobús? ¿Qué distancia ha recorrido cada uno?
El tiempo que tardan en encontrarse es x, y como:90x = 110 + 70x → 20x = 110 → x = 5,5 horas, se encuentran a las 13 h 30 min. La distancia recorrida por Esther es: 5,5 ⋅ 90 = 495 km y la distancia recorrida por Juan es: 495 − 110 = 385 km.
A las 7 de la mañana, Tomás sale de Zamora con dirección a Cádiz a una velocidad de 75 km/h. A la misma hora, Natalia sale de Cádiz y se dirige hacia Zamora en la misma carretera que Tomás a una velocidad de 60 km/h. ¿A qué hora se cruzarán Tomás y Natalia? ¿A qué distancia estarán de Cádiz?
Siendo x el tiempo que tardan en encontrarse, y considerando que están a una distancia de 660 km: 75x + 60x = 660 → 135x = 660 → x = 4,888 horas = 4 h 53 min 20 s, es decir, se cruzarán a las 11 h 53 min 20 s y estarán a 4,888 ⋅ 60 = 293,333 km de Cádiz.
Tenemos un alambre de 17 cm. ¿Cómo hemos de doblarlo para que forme un ángulorecto de modo que sus extremos queden a 13 cm?
Trozo mayor: x. Trozo menor: 17 − x. Diagonal:
x 2 + (17 − x)2 = 132 → 2x 2 − 34x + 289 = 169 → x 2 − 17x + 60 = 0
Las dimensiones son 12 cm y 5 cm.
Un cine tiene igual número de filas que de butacas por fila. El propietario decideremodelarlo quitando una butaca por fila y tres filas. Después de la remodelación, el número de butacas es 323.
a) ¿Cuántas filas tenía el cine antes del cambio?
b) ¿Cuántas butacas hay ahora en cada fila?
Butacas iniciales = filas iniciales = x Butacas finales = x − 1 Filas finales = x − 3
(x − 1)(x − 3) = 323 → x 2 − 4x − 320 = 0
La solución negativa no es válida.
a) El número de filas iniciales era de 20.
b) Ahora hay 20 − 1 = 19 butacas en cada fila.
xx
x
=± +
==
+=
=−
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪4 16 1 280
2
4 36
220
4 36
218
1
2
. ⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
086
xx
x
=± −
==
+=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
17 289 240
2
17 7
212
17 7
25
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x x2 217+ −( ) .
085
084
083
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 164
165
Reparte el número 20 en dos partes tales que la suma de sus cuadrados valga 202.
Parte 1: x Parte 2: 20 − x
x 2 + (20 − x)2 = 202 → 2x 2 − 40x + 400 = 202 → x 2 − 20x + 99 = 0
Las partes son 11 y 9.
Para embaldosar un salón de 8 m de largo por 6 m de ancho, se han utilizado 300 baldosas cuadradas. ¿Cuánto mide el lado de las baldosas?
Lado de la baldosa: x
300x 2 = 8 ⋅ 6 → x 2 = 0,16 → x = 0,4 m
El lado de la baldosa mide 40 cm.
Dos kilos de albaricoques y tres kilos de fresas cuestan 13 €. Tres kilos de albaricoques y dos kilos de fresascuestan 12 €. ¿Cuál es el precio del kilo de albaricoques?¿Y el de fresas?
Albaricoques: x Fresas: y
→
Sumando queda: 5y = 15 → y = 3, x = 2
Los albaricoques cuestan 2 €/kg y las fresas 3 €/kg.
Se han comprado sellos de 0,26 € y de 0,84 €. En total se ha pagado 5,18 €por 11 sellos. ¿Cuántos sellos son de 0,26 €? ¿Y de 0,84 €?
Sellos de 0,26 €: x Sellos de 0,84 €: y
→ x = 11 − y → 2,86 − 0,26y + 0,84y = 5,18 → y = 4, x = 7.
Hay 7 sellos de 0,26 € y 4 sellos de 0,84 €.
En una compra se han utilizado monedas de 2 € y billetes de 5 €. En total, son 13 monedas y billetes y se ha pagado 32 €. ¿Cuántas monedas de 2 € se utilizan? ¿Y cuántos billetes de 5 €?
Monedas: x Billetes: y
→ x = 13 − y → 26 − 2y + 5y = 32 → y = 2, x = 11
Se utilizan 11 monedas de 2 € y 2 billetes de 5 €.
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
132 5 32
091
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
110 26 0 84 5 18, , ,
090
6 9 396 4 24
x yx y
+ =− − = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2 3 133 2 12
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
089
088
xx
x
=± −
==
+=
=−
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
20 400 396
2
20 2
211
20 2
29
1
2
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
087
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 165
166
Para una merienda se han comprado bocadillos de jamón, a 2,80 € la unidad, y de queso, a 2,50 €. En total se pagan 48 € por 18 bocadillos. ¿Cuántos bocadillosse compran de jamón? ¿Y de queso?
Jamón: x Queso: y
→ x = 18 − y → 50,4 − 2,8y + 2,5y = 48 → y = 8, x = 10.
Se compran 10 bocadillos de jamón y 8 de queso.
Se mezcla vino de 12 €/ ¬ con vino de 15 €/ ¬, de modo que resultan 50 ¬ de vino de 13 €/ ¬ de mezcla. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han mezclado?
Vino de 12 €/¬: x Vino de 15 €/¬: y
→ x = 50 − y →
Se mezclan litros de vino de 12 €/¬ y litros de vino de 15 €/¬.
Se han mezclado 40 kg de café, a 10 €/kg, con otra cantidad de café a 14 €/kg. ¿Cuántos kilos se han usado de cada clase si se vende la mezcla a 12,80 €/kg?
Café de 14 €/kg: x Total de café: y
→ y = 40 + x
512 + 12,8x − 14x = 400 → x = 93,3; y = 133,3
Se han usado 93,3 kg de café de 14 €/kg para obtener 133,3 kg.
Para hacer un lingote de 9 kg de oro de ley 0,85 se funde oro de ley 0,81 con oro de ley 0,9. ¿Qué cantidad de cada ley hay que tomar?
Kilos de oro de ley 0,81: x Kilos de oro de ley 0,9: y
→ 9 ⋅ 0,85 = x ⋅ 0,81 + (9 − x) ⋅ 0,9 → 0,09x = 0,45 → x = 5, y = 4
Se toman 5 kg de ley 0,81 y 4 kg de ley 0,9.
Se dispone de 7.500 g de plata de ley 0,94. ¿Con qué cantidad de otro metal menos valioso hay que fundirla para hacer un lingote de ley 0,8? ¿Cuánto pesará el lingote?
Otro metal: x Total: y
→ y = 8.812,5; x = 1.312,5.
Hay que fundirla con 1.312,5 g de oro, y el lingote pesará 8.812,5 g.
y xy
− == ⋅
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
7 5000 8 7 500 0 94
., . ,
096
x yx y
y x+ =
⋅ = ⋅ + ⋅⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −99 0 85 0 81 0 9
9, , ,
→
095
x yy x
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
4012 8 14 400,
094
50
3
100
3
600 12 15 65050
3
100
3− + = = =y y y x→ ,
x yx y
+ =+ = ⋅
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5012 15 50 13
093
x yx y
+ =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
182 80 2 50 48, ,
092
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 166
167
Se dispone de 3.500 g de oro de ley 0,85. ¿Con qué cantidad de oro puro habría que fundirlo para conseguir un lingote de ley 0,88? ¿Cuánto pesará el lingote?
Oro: x Total: y
→ y = 3.500 + x
3.080 + 0,88x − x = 2.975 → x = 8,75; y = 3.508,75
Habría que fundirlo con 8,75 g de oro, y el lingote pesará 3.508,75 g.
El perímetro de una parcela rectangular es de 350 m y el triple de su largo es igual al cuádruple de su ancho. ¿Cuáles son las dimensiones de la parcela?
Largo: x Ancho: y
→
Las dimensiones de la parcela son 100 m y 75 m.
Las edades de Marta, Miguel y Carmen suman 94 años. Dentro de diecisiete años las edades de Marta y Miguel sumarán un siglo. Calcula sus edades, sabiendo que Marta le lleva siete años a Carmen.
Marta tiene 35 años, Miguel tiene 31 años y Carmen tiene 28 años.
Tres amigos compran acciones de tres valores: la empresa aseguradora ABX (A), el Banco BETRIX (B) y la empresa de construcciones CONSUR (C). Calcula cuánto vale cada una de las acciones si:
• Félix ha comprado 100 acciones de A, 60 de B y 20 de C, y ha tenido que pagar 1.660 €.
• Damián ha comprado 60 acciones de A, 10 de B y 100 de C, y ha desembolsado 1.570 €.
• Carlos, que ha gastado 1.560 €, tiene 30 acciones de A y 150 de C.
Las acciones de A valen 12 €, las acciones de B valen 15 € y las acciones de C valen 8 €.
100 60 20 1 66060 10 100 1 570
30 150
x y zx y z
x
+ + =+ + =
+
.
.zz
x y zx y z
x=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =+ + =
+1 560
5 3 836 10 157
5.→
zz
x y zx
E E E
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =+
= −
52
5 3 8313 292 2 13
⎯⎯⎯→ zzx z
x y
E E E
=+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ +
= −
3885 52
5 3
3 3 213⎯⎯⎯⎯→
zzx z
z
xyz
=+ =
=
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
8313 29 388
36 288
1215→88
100
x y zx y
x z
x y z+ + =+ + + =
= +
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =9417 17 100
7
9→
44667
94
3 3 1x yx z
x y zxE E E+ =
− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =
= +⎯⎯⎯→
++ =+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
+ + =
= −
yx y
x y z
E E E
662 101
94
3 3 2⎯⎯⎯→xx y
x
xyz
+ ==
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
===
6635
353128
→
099
8
32 350 75 100
yy y x+ = = =→ ,
xy
=4
3
2 2 3503 4
x yx y
+ ==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
098
y xy x
− =− = ⋅
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
3 5000 88 3 500 0 85
., . ,
097
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 167
168
En dos empresas, A y B, hay un puesto de comercial vacante. En la empresa A pagande salario 300 € fijos más 75 € por cada venta, y en la empresa B se cobra 125 €
por cada venta, sin fijo. ¿A partir de cuántas ventas se cobra más en la empresa B que en A?
Salario en la empresa A: y = 300 + 75x
Salario en la empresa B: y = 125x
A partir de 6 ventas se cobra más en la empresa B que en la empresa A.
En la playa Miralinda alquilan sillas y tumbonas. Por cada silla cobran 3 €a la hora y por cada tumbona 5 €, más 2 € por cada hora. ¿A partir de cuántas horas es más económico alquilar una tumbona que una silla?
Coste de las sillas: y = 3x
Coste de las tumbonas: y = 5 + 2x
A partir de 5 horas es más económica una tumbona que una silla.F
Un comerciante compra melones a 40 céntimos/kg y los vende a 60 céntimos. Halla cuántos kilogramos de melones compró si se le estropearon 10 kg y obtuvo 42 €.
Llamamos x al número de kilogramos de melones que compró:
0,20(x − 10) = 42
x = 220
El comerciante compró 220 kg de melones.
103
Y
1
2
X
102
Y
1
100
X
101
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 168
169
Carmen se dispone a invertir 100.000 €. En el banco le ofrecen dos productos: Fondo Tipo A, al 4 % de interés anual, y Fondo Riesgo B, al 6 %de interés anual. Invierte una parte en cada tipode fondo y al cabo del año obtiene 4.500 € deintereses. ¿Cuánto adquirió de cada producto?
Llamamos x al dinero invertido en el Fondo Tipo A e y al dinero invertido en el Fondo Riesgo B:
x = 100.000 − 25.000 = 75.000
Adquirió 75.000 € del Fondo Tipo A, y 25.000 € del Fondo Riesgo B.
Un ciclista y un coche parten uno al encuentro del otro desde dos ciudades separadaspor 180 km. Sabiendo que el ciclista avanza cuatro veces más despacio que el cochey que tardan 1 h 48 min en encontrarse, ¿cuál es la velocidad de cada uno?
Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v ⋅ t.
Llamamos x a la distancia recorrida por el ciclista e y a su velocidad:
1 h 48 min = 1,8 h
x = 1,8 ⋅ 20 = 36
La velocidad del ciclista es de 20 km/h, y la velocidad del coche es de 80 km/h.
Un camión sale de una ciudad a 80 km/h y dos horas después parte en la mismadirección un coche a 100 km/h. ¿Cuánto tardará en alcanzarlo y cuánta distanciahabrá recorrido hasta ese momento?
Planteamos un sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta que e = v ⋅ t.
Llamamos x a la distancia recorrida por el camión e y al tiempo que tarda en alcanzarlo:
x = 80 ⋅ 8 = 640
Tardará 8 horas en alcanzarlo y habrá recorrido 800 kilómetros.
Los lados de un rectángulo se diferencian en 2 m. Si aumentáramos en 2 m cadalado, el área se incrementaría en 40 m2. Halla las dimensiones del rectángulo.
Llamamos x al lado menor del rectángulo e y a su área:
y = 8(8 + 2) = 80
Los lados del rectángulo miden 8 y 10 m, respectivamente.
x x yx x y
x x x( )
( )( )+ =
+ + = +⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ + = +22 4 40
6 8 22 2→ xx x x+ = =40 4 32 8→ →
107
x yx y
y y y=
+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+ = =80160 100
80 160 100 8→ →
106
x yx y
y y y=
− =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− = =1 8180 7 2
180 1 8 7 2 20,,
, ,→ →
105
x yx y
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−
100 0000 4 4 500
4 000 0
..
.,0 0,06
→ ,,0 ,00,0
4 0 6 4 5002 500 25 000
y yy y
+ == =
..→ →
104
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 169
170
Calcula un número, sabiendo que la suma de sus cifras es 14, y que si se invierteel orden en que están colocadas, el número disminuye en 18 unidades.
Llamamos x a la cifra de las decenas e y a la cifra de las unidades:
y = 14 − 8 = 6
El número es 86.
El alquiler de una tienda de campaña cuesta 80 € al día. Inés está preparando una excursión con sus amigos y hace la siguiente reflexión: «Si fuéramos tres amigos más, tendríamos que pagar 6 € menos cada uno». ¿Cuántos amigos van de excursión?
Llamamos x al número de amigos de Inés, e y al dinero que tiene que pagar cada uno:
Van de excursión 5 amigos.
Jacinto está cercando un terreno de forma rectangular. Cuando lleva puesto alambrea dos lados consecutivos del terreno, se da cuenta de que ha gastado 170 m de alambre. Si sabe que la diagonal del rectángulo mide 130 m, ¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno?
Llamamos x e y a las dimensiones del terreno:
Si y1 = 120 → x1 = 170 − 120 = 50
Si y2 = 50 → x2 = 170 − 50 = 120
Las dimensiones del terreno son 120 y 50 m, respectivamente.
El área del terreno mide 6.000 m2.
yy=
− − ± − − ⋅ ⋅⋅
=± =( ) ( ) .170 170 4 1 6 000
2 1
170 70
2
121→ 220
502y =⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x yx y
y y+ =
+ =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− + =170130
170 6 000 02 2 22→ .
110
Si y x2 21680
165= = =→
yy=
− − ± − − ⋅ ⋅ −⋅
=± = −( ) ( ) ( )6 6 4 1 160
2 1
6 26
2
1021→ → Sollución no válida
y2 16=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x y
x y y
=+ − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
80
3 6 80
803
( )( )→ (( )y
yy
y y
− = − + − =
− − =
6 80 80480
3 18 80
6 160 02
→
→
109
x y
y x x y
y x
y x
+ =+ + = +
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −− + =
14
10 18 10
14
9 9 18→
00
126 9 9 18 0 18 144 8
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
− − + = = =→ → →x x x x
108
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 170
171
La apotema de un hexágono regular mide 8 cm. Determina la medida de su lado, y su área.
Llamamos x al lado del hexágono, y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulorectángulo que tiene por catetos a la apotema y la mitad del lado, y porhipotenusa, la longitud del lado:
La longitud del lado es cm.
El área de un polígono regular es:
Por tanto, el área mide:
Averigua las dimensiones que tiene un pliego rectangular de papel, sabiendo que si dejamos los márgenes laterales de 1 cm y los verticales de 2,5 cm, el área es 360 cm2, y que si los márgenes laterales son de 2 cm y los verticales son de 1,25 cm, el área es la misma.
Llamamos x e y a las dimensiones del pliego:
Las dimensiones del pliego son 20 y 25 cm, respectivamente.
Calcula un número entero, sabiendo que si al cuadrado del siguiente númerole restamos ocho veces su inverso obtenemos 23.
Llamamos x al número:
(x + 1)2 − = 23 → x3 + 2x2 + x − 8 = 23x → x3 + 2x2 −22x − 8 = 0
El número entero es 4.
x x x1 2 33 7 3 7 4= − − = − + =
x x xx
x2
21
2
6 2 06 6 4 1 2
2 1
6 2 7
2
3 7+ + = =− ± − ⋅ ⋅
⋅=
− ± = − −→ →== − +
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪ 3 7
1 2 224 4 24
1 6 2
880
− −
8
x
113
Si Siy x y x1 1 2 235
2
350 235
235
25
14 25= − =+ ⋅
−
−−
= − =→ → ==+ ⋅−
=350 2 25
25 520
y y=− − ± − − ⋅ ⋅ −
⋅=
± = −( ) ( ) ( )15 15 4 2 875
2 2
15 85
4
3521→ 22
252y =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
( )( )( )( , )
x yx y
x− − =
− − =⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
=2 5 360
4 2 5 360
350
→
++−
=+
−
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
− −
2
5350 4
2 5
2 15 82
y
y
xy
y
y y
,
→ 775 0=
112
A = 128 3 2cm
AP ap=
⋅2
16 3
3
xx
x x x x2 2
2
2 218
24 256
256
3= +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = + = = −→ → → 116 3
3
16 3
32x =
111
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 171
172
Si aumentáramos en 4 cm la arista de un cubo, su volumen se multiplicaría por 8.Halla la medida de la arista.
Llamamos x a la arista del cubo:
(x + 4)3 = 8x3 → −7x3 + 12x2 + 48x + 64 = 0
x = 4
−7x2 − 16x − 16 = 0 → 7x2 + 16x + 16 = 0
La longitud de la arista es de 4 cm.
Dos vacas y tres terneros valen lo mismo que dieciséis ovejas. Una vaca y cuatroovejas valen igual que tres terneros. Tres terneros y ocho ovejas cuestan lo mismoque cuatro vacas. Averigua el precio de cada animal.
Llamamos x al precio de las vacas, y al precio de los terneros y z al precio de las ovejas:
Una vaca vale lo mismo que cuatro ovejas, y un ternero cuesta igual que ochoterceras partes del precio de una oveja.
Un número que tiene tres cifras lo representamos en la forma abc. Determínalo,sabiendo que si escribes cab, el número disminuye en 459 unidades; si escribes bac,el número disminuye en 360 unidades, y que bca es 45 unidades menor que bac.
A la cifra de las centenas la llamamos a, a la cifra de las decenas b y a la cifra de las unidades c:
a = c + 5 y b = c + 1
Para determinar la solución sabemos que los tres números son enteros y, por tanto, c es un número de 0 a 9. Como a = c + 5, c solo puede valer 0, 1, 2, 3 y 4.Para cada uno de estos valores de c resultan a y b.
Si c = 0, entonces: a = 5 y b = 1. El número es 510.
Si c = 1, entonces: a = 6 y b = 2. El número es 621.
Si c = 2, entonces: a = 7 y b = 3. El número es 732.
Si c = 3, entonces: a = 8 y b = 4. El número es 843.
Si c = 4, entonces: a = 9 y b = 5. El número es 954.
100 10 100 10 459100 10 100 10
a b c c a ba b c b
+ + = + + ++ + = + aa c
b c a b a c+ +
+ + = + + −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
360100 10 100 10 45
9→
00 9 99 45990 90 360
9 9 45
a b ca b
a c
+ − =− =
− + = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
+ − =− =
− + = −
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
→ ⎯⎯10 11 51
10 10 405
a b ca b
a c⎯⎯→a c b c
b c= + − =
− + = −⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 110 10 10
116
2 3 164 3
3 8 4
48
3
x y zx z yy z x
x z
y z
+ =+ =+ =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
=→
⎫⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
115
x =− ± − ⋅ ⋅
⋅=
− ± −16 16 4 7 16
2 7
16 192
14
2
→ No tiene soluciión.
−− −
− − −−
7 12 484 28 64
7 16 16
6464
0
114
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 172
173
El triple de un número menos su mitad es siempre mayor que 3. ¿Qué números cumplen esta propiedad?
Llamamos x al número:
Los números que cumplen esta propiedad son los números mayores que .
De un número se sabe que si a su cuadrado le restamos su mitad, se obtiene un número menor que 1. ¿Qué número puede ser?
Llamamos x al número:
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 − (−10) − 1 > 0 → no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 2 ⋅ 02 − 0 − 1 < 0 → es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 2 ⋅ 102 − 10 − 1 > 0 → no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .
Los números pedidos son los números mayores que y menores que .
¿Es cierto que la suma de un número y de su cuadrado es siempre positiva? ¿Qué números cumplen esa condición?
Llamamos x al número:
Vemos que no se verifica que:
x + x2 > 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = −0,5 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 − 10 > 0 → (−�, 0) es solución de la inecuación.Si x = −0,5 → (−0,5)2 − 0,5 < 0 → (−1, 0) no es solución de la inecuación.Si x = 10 → 102 + 10 > 0 → (0, +�) es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.Por tanto, la solución es (−�, −1) ∪ (0, +�).
x xxx
2 1
20 1
0+ = = −
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→
− +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
1
2
1
2
1
4
2
119
1 17
4
+1 17
4
−
1 17
4
1 17
4
− +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
,
1 17
4
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟, �
1 17
4
1 17
4
− +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
,
−−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
1 17
4
2 2 0
1 17
41 17
4
21
2
x xx
x
− − ==
−
=+
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→
xx
x x2 2
21 2 2 0− < − − <→
118
6
5
32
3 6 66
5
6
5x
xx x x− > − > > +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ → → , �
117
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 173
174
Encuentra todos los números enteros que, multiplicados por el siguiente número, den un resultado menor que 24.
Llamamos x al número: x(x + 1) < 24 → x2 + x − 24 < 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → (−10)2 − 10 − 24 > 0 → no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → 02 + 0 − 24 < 0 → es solución de la inecuación.
Si x = 10 → 102 + 10 − 24 > 0 → no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es .
Los números pedidos son los números mayores que y menores
que .
Determina para qué valores de x es posible realizar las operaciones indicadas.
a)
b)
c)d) log (2 −5x)e) log (6 −x −x2)f ) log (x2 −2x + 1)
b) x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3
[3, +�)
c) 4 − 3x − x2 ≥ 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = 0 x = 10
− − + = = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x xxx
2 1
23 4 0 4
1→
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥�,
5
3
a) 5 3 05
3− ≤x x≥ →
4 3 2− −x x
x −3
5 −3x
121
− +1 97
2
− −1 97
2
− − − +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
1 97
2
1 97
2,
− −+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1 97
2, �
− − − +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
1 97
2
1 97
2,
−− −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
1 97
2
x xx
x
21
2
24 0
1 97
21 97
2
+ − ==
− −
=− +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→
120
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 174
175
Si x = −10 → −(−10)2 − 3 ⋅ (−10) + 4 < 0 → (−�, −4) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → −02 − 3 ⋅ 0 + 4 > 0 → (−4, 1) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → −102 − 3 ⋅ 10 + 4 < 0 → (1, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es [−4, 1].
e) 6 − x − x2 > 0
Resolvemos la ecuación:
Tomamos un punto de cada intervalo en que queda dividida la recta:
x = −10 x = 0 x = 10
Si x = −10 → −(−10)2 − (−10) + 6 < 0 → (−�,−3) no es solución de la inecuación.
Si x = 0 → −02 −0 + 6 > 0 → (−3, 2) es solución de la inecuación.
Si x = 10 → −102 − 10 + 6 < 0 → (2, +�) no es solución de la inecuación.
Las soluciones de la ecuación no lo son de la inecuación.
Por tanto, la solución es (−3, 2).
f ) x2 − 2x + 1 > 0
La ecuación solo se anula para x = 1, y en el resto de los valores el primermiembro de la inecuación es siempre positivo.
x �1
Jesús y Beatriz quieren saber cuánto cuesta un bote de refresco, pero no recuerdanexactamente lo que pagaron. Jesús compró 8 botes y sabe que pagó con un billetede 5 € y que le devolvieron una moneda de 2 € y algo más de dinero. Beatrizcompró 18 botes y recuerda que pagó la cantidad exacta con un billete de 5 €,una moneda de 2 € y alguna moneda más. Con estos datos, ¿qué podrías decir del precio del bote de refresco?
Llamamos x al precio del bote de refresco:
El precio del bote de refresco es menor que 0,375 €.
5 8 218 7
3
87
18
− ><
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
<
<
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
xx
x
x→
122
− − + = = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x xxx
2 1
26 0 3
2→
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�,
2
5
d) 2 5 02
5− > <x x→
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 175
176
PARA FINALIZAR...
¿Qué es mayor, 2x3 o x + 1?
Si x < 1, entonces 2x3 es menor que x + 1.
Si x > 1. entonces 2x3 es mayor que x + 1.
Resuelve este sistema de ecuaciones.
Discute las soluciones de la siguiente ecuación, según los valores de m.
x2 −2x + log m = 0
Por la definición de logaritmo, m > 0: Δ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ log m
Para que la ecuación no tenga solución: 4 − 4 log m < 0 → (10, +�)
Para que la ecuación tenga una solución: 4 − 4 log m = 0 → m = 10
Para que la ecuación tenga dos soluciones: 4 − 4 log m > 0 → (−�, 10)
Si las soluciones de la ecuación ax2 + bx + c = 0 son x1 y x2, escribe ecuacionesde segundo grado cuyas soluciones sean:
a) Los cuadrados de x1 y x2.b) Los inversos de x1 y x2.c) Los opuestos de x1 y x2.
a) (x − x12)(x − x2
2) = 0 → x2 − (x12 + x2
2)x+ x12 ⋅ x2
2
c) (x + x1)(x + x2) = 0 → x2 + (x1+ x2) + x1 ⋅ x2 = 0
b) xx
xx
x−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
1 10
1
1 2
2→xx x
xx x1 2 1 2
1 1 10+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + ⋅ =
126
125
x y z= = − = −6
11
12
113, ,
A B C
A B C
A B C
+ − =
− + =
+ − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪
2 3 1
2 4 517
3
3 6 22
3
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
+ − == −
= −
⎯⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→
E E E
E E E
A B C
2 2 1
3 3 1
2
3
2 3 11
8 1111
3
77
3
11
6
− + =
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=
B C
C
A
B→ == −
= −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
11
121
3C
Sean , yAx
By
Cz
= = =1 1 1
.
1 2 31
2 4 5 17
33 6 2 2
3
x y z
x y z
x y z
+ − =
− + =
+ − =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
124
2 1 2 1 02 1 0 1 2 2 1
3 3
3 2
x x x xx x x x x
> + − − >− − = − + + =
→→ ( )( ) 00 1→ x =
123
Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 176
177
Halla la relación entre los coeficientes de la ecuación ax3 + bx2 + cx + d = 0 y la suma, el producto y la suma de los dobles productos de sus tres raíces.
(x − α)(x − β)(x − γ) = 0 → x3 − (α + β + γ )x2 + (αβ + αγ + βγ)x − α βγ = 0
Dividiendo la ecuación de tercer grado entre el coeficiente del monomio de mayorgrado, y comparando los coeficientes, se obtiene que:
El coeficiente de segundo grado es el opuesto a la suma de las tres raíces.
El coeficiente de primer grado es la suma del resultado de multiplicar las raícesdos a dos.
El término independiente es el opuesto del producto de las tres raíces.
Juan y Luis suben en una escalera mecánica. Juan sube tres veces más rápido que su amigo, haciéndolo ambos de peldaño en peldaño. Al terminar de subir, Juancontó 75 escalones y Luis contó 50 escalones. Con esos datos, calcula los peldaños«visibles» de la escalera.
Mientras Juan sube un escalón, la escalera mecánica ha subido x escalones,y el número de escalones visibles es 75 + 75x.
Luis sube 50 escalones. Como lo hace tres veces más despacio que Juan, mientrasque Luis sube un escalón, la escalera sube 3x. El número de escalones visibles es 50 + 150x.
Por tanto, resulta que: 75 + 75x = 50 + 150x → x = El número de peldaños «visibles» es 100.
Tenemos un suelo rectangular, formado por baldosas enteras cuadradas de colorclaro, que está rodeado de baldosas oscuras, también cuadradas. ¿Qué dimensionesdebe tener el rectángulo claro para que el número de baldosas de la zona clara sea igual al de la franja oscura que lo rodea?
Sean x e y el número de baldosas claras que hay en el largo y el ancho.
(x + 2)(y + 2) = 2xy → Esta ecuación tiene infinitas soluciones.
Una solución de esta ecuación es: x = 10 e y = 3
Es decir, el rectángulo claro tendrá 10 baldosas de largo y 3 baldosas de ancho.
129
1
3
128
127
4SOLUCIONARIO
833243Unidad04.qxd 10/10/08 08:56 Página 177
178
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
En busca de KlingsorCierta vez, un reportero preguntó a Einstein:–¿Existe una fórmula para obtener éxito en la vida?–Sí, la hay.–¿Cuál es? –preguntó el reportero, insistente.–Si A representa al éxito, diría que la fórmula es A = x + y + z, endonde x es el trabajo e y la suerte –explicó Einstein.–¿Y qué sería la z?Einstein sonrió antes de responder:–Mantener la boca cerrada.Un joven norteamericano, Bacon, estudia Física en el Instituto de EstudiosAvanzados de Princeton y allí conoce a Einstein, del que recuerda algunasanécdotas como esta. Al finalizar la Segunda Guerra Mundial, se hace espíay viaja a Alemania para encontrar al máximo responsable de las investigacio-nes atómicas realizadas por los nazis, que se esconde bajo el seudónimo deKlingsor. En sus pesquisas le ayuda un matemático, de nombre Links, que for-mó parte del equipo de investigación nuclear.¿Por qué estábamos juntos el teniente Bacon y yo [pensaba Links]?¿Cuándo nos encontramos por primera vez? ¿Cuál era nuestra misión?¿Cómo se cruzaron, en fin, nuestras vidas paralelas? Para responder aestos cuestionamientos no me queda más remedio que hablar un pocode mí.Ubico mi nacimiento en el mapa de mi imaginación como un pequeñopunto dibujado en el centro de un plano cartesiano. Hacia arriba, en eleje de las y, está todo lo positivo que me ha ocurrido; en contraposi-ción, hacia abajo descubro mis desventuras, mis retrocesos y mis re-quiebros. A la derecha, en el eje de las x, encuentro los actos que medefinen, aquellos que voluntariamente he convertido en el centro demi vida –deseos, anhelos, obsesiones–, mientras que, a la izquierda,yacen esas porciones de mi ser que me han modelado contra mi volun-tad o mi conciencia, esas partes aparentemente impredecibles o espon-táneas que, no puedo negarlo, también me han llevado adonde estoyahora. ¿Cuál sería el resultado final de un ejercicio como éste? ¿Quéforma aparecería en medio de la hoja? ¿Sería posible trazar las coorde-nadas que he recorrido a lo largo de mi trayecto? ¿Y obtener, a partir deesa línea, la fórmula que me resuma en cuerpo y alma?
JORGE VOLPI
Juzga la metáfora de Links. ¿Sería posible representar una «vida»mediante una curva en un sistema de coordenadas cartesianas?
No sería posible, ya que los elementos que se describen en el textono son traducibles a puntos del plano que puedan describir una curva.
Funciones5
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 178
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Dada la función f (x) = log (sen x):
a) ¿Está definida para ? b) ¿Y para ?
→ La función está definida para .
→ La función no está definida para ,
porque no existe el logaritmo de −1.
Expresa las siguientes condiciones en forma de intervalo.
a) −1 ≤x <5 b) x ≥7 c) x ≤−2 d) Todos los números reales.
a) [−1, 5) b) [7, +�) c) (−�, −2] d) (−�, +�)
Expresa, de forma algebraica y mediante una tabla, la función que asigna a cadanúmero su cubo menos dos veces su cuadrado.
f(x) = x3 − 2x2
Dibuja estas funciones e indica de qué tipo son.
a) Un vendedor de muebles tiene un sueldo fijo de 480 €, y por cada mueble que vende, cobra 10 € de comisión.
b) A cada número real le hacemos corresponder su doble menos 2.
Y
X
y = 2x − 21
1
b)
Y
X
400
1
a)
004
x −2 −1 0 1 2
f(x) −16 −3 0 −1 0
003
002
x =3
2
πb) f sen
3
2
3
2
π π⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =log log (−−1)
x =π2
a) f senπ π2 2
1 0⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =log log
x = 3
2
πx = π
2
001
179
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 179
180
ACTIVIDADES
Justifica si las siguientes gráficas corresponden a funciones.
a) b)
a) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de x le correspondeun único valor de y.
b) La gráfica no corresponde a una función, porque hay valores de x a los queles corresponden varios valores de y.
Razona, en cada caso, si la relación entre las magnitudes es una función o no.
a) La distancia entre dos ciudades y el tiempo que se tarda en ir de una a otra.
b) La cantidad de fruta que compra una familia, en kilogramos, y el preciopor kilogramo.
c) La altura de los alumnos de un centro escolar y su edad.
a) No se trata de una función, ya que según sea la distancia entre dos ciudades, el tiempo que se tarda puede tomar valores distintos, dependiendo de la velocidad a la que se circule.
b) Es una función, puesto que para cada cantidad de fruta que se compre hay un precio único según el peso por kilogramo adquirido.
c) No se trata de una función, porque distintos alumnos pueden tener la mismaaltura, aún siendo de edades distintas.
Determina el dominio y el recorrido de esta función.
Dom f = [−4, 3] ∪ (4, 6)
Im f = [−3, 2] ∪ {4}
¿Cuál es el dominio de estas funciones?
c) f(x) = 9x3 + 6x2 −9x
d) f(x) = cos x
a) Dom f = [−4, +�) c) Dom f = Rb) Dom f = R − {−4, 4} d) Dom f = R
b)2 5
16f x
x
x( ) = −
−2
a) f x x( ) = + 4
004
X
Y
1
1
003
002
Y
X
Y
X
001
Funciones
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181
¿En qué intervalos es creciente esta función? ¿Y decreciente? En x = 2, ¿es cóncava o convexa?
La función es creciente en (−6, −2) ∪ (−1, 2).
La función es decreciente en (−2, −1) ∪ (2, 4).
En x = 2, la función no es ni cóncava ni convexa.
Estudia el crecimiento de la función.
La función es decreciente en (−�, −2), es constante en (−2, 1) y es creciente en (1, +�).
¿En qué puntos de la función hay máximos relativos? ¿Y mínimos relativos? ¿Tiene máximos o mínimos absolutos?
Existe un máximo relativo en el punto x = −2.
No tiene mínimos relativos ni absolutos y no hay máximos absolutos.
Estudia el dominio, el recorrido, el crecimiento y los máximos y mínimos de f(x).
Dom f = (−�, 6]
Im f = [−3, +�)
La función es decreciente en (−�, −3) ∪ (−1, 5) y es creciente en (−3, −1) ∪ (5, 6).
Existe un máximo relativo en x = −1 y un mínimo absoluto en x = 5. No hay máximos absolutos.
Dibuja la gráfica de una función para que sea:
a) Impar. b) Par.
Respuesta abierta.Y
X
2
2
b)Y
X
2
2
a)
009
1
1
X
Y
f (x)
008
1
1
X
Y
f (x)
007
1
1
X
Y
f (x)
006
1
1
X
Y
f (x)
005
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 181
182
Justifica si estas funciones son simétricas.
f(x) es simétrica respecto del eje Y.
g(x) no es simétrica.
Representa una función periódica tal que el período lo determine esta gráfica.
Razona si las siguientes gráficas corresponden a funciones periódicas.
a) b)
a) La función es periódica y su período es 4.
b) La función no es periódica, porque la gráfica no se repite.
Teniendo en cuenta la gráfica de y = f(x), identifica a qué función corresponde cada una de las gráficas que aparecen en la figura.
g(x) = −f(x)
h(x) = f(−x)
i(x) = f(x −3)
g
X
if
Y
1
h
1
013
Y
X
1
1
Y
X
1
1
012
Y
X
2
4
Y
X
1
1
011
b) g x x x( ) ( )− = − − = − −3 33 3 →
a) f xx
x
x
xf x( )
( )
( )( )− =
− +−
=+
=4
2
4
2
2 2 →
b) g x x( ) = −3 3a) f xx
x( ) = +4
2
2
010
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 182
183
5SOLUCIONARIO
A partir de la gráfica de y = f(x), representa estas funciones.
a) y = f(x) −3 b) y = f(x + 2) c) y = −f(−x)
Determina el valor de las estas funciones en el punto x = −5,
si f(x) = x2 −3 y g(x) = .
a) (f −g)(x) b) (f ⋅ g)(x) c)
f
g
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =
− − −− +
=( )( ) ( )
55 3 5
5 355
3
c)f
gx
xx
x
x x
x
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−+
=−+
( )2 33
33
3
( )( )( ) ( ) ( )
f g⋅ − =− + − − − −
−=5
5 3 5 3 5 9
5
44
5
3 2
b) ( )( ) ( )f g x xx
x
x x x⋅ = − ⋅
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+ −23 2
33 3 3 −− 9
x
( )( ) ( )f g− − = − − −− +
−=5 5 3
5 3
5
108
52a) ( )( )f g x x
x
x− = − −
+2 33
f
gx
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ( )
x
x
+ 3015
Y
X
1
1
f (x)
− f (−x)
c)
Y
X
1
1
f (x)
f (x + 2)
b)
Y
X
1
1
f (x)
f (x) − 3
a)
f (x)
1
1
X
Y
014
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 183
184
Teniendo en cuenta que f (x) = y g(x) = , halla el valor de las siguientesfunciones en los puntos que se indican.
a) (f ⋅ g)(−4) b)
No existe (f · g)(−4), porque no es real por ser el radicando negativo.
No existe , porque no es real por ser el radicando negativo.
Determina el valor de la composición de funciones que se indica en cada apartado,
en x = −4, si f(x) = x2 y g(x) = .
a) (f � g)(x) c) (f � f )(x)
b) (g � f )(x) d) (g � g )(x)
Si f(x) = y g(x) = x −4, halla el valor de estas funciones en los puntos que se indican, determinando primero la composición de funcionescorrespondiente.
a) (f � g)(5) b) (g � f )(5)
Justifica, a partir de los apartados anteriores, si la composición de funciones es conmutativa.
( )( ) ( ) ( )f g g f� �5 5� → La composición de funciones noo es conmutativa.
( )( )g f� 5 250 4 5 10 4= − = −
b) ( )( ) ( ( ))g f x g f x g x x� = = ( ) = −2 2 43 3
( )( )f g� 5 2=
a) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )f g x f g x f x x� = = − = −4 2 4 3
2x 3018
d) ( )( ) ( ( ))g g g g g� − = − =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =4 4
5
4
1
5
c) ( )( ) ( ( )) ( )f f f f f� − = − = =4 4 16 256
b) 16( )( ) ( ( )) ( )g f g f g� − = − = =4 415
16
a) ( )( ) ( ( ))f g f g f� − = − =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =4 4
5
4
25
16
x
x
−1017
( )−1 5f
g
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −( )1
b)f
gx
xx
x
x x
x
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
++
=+
+( )
( )5
2
5
23
1
1
3
( )−4 5
a) ( )( )f g x xx
x⋅ = ⋅
++
52 3
1
f
g
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −( )1
x
x
2 3
1
++
x 5016
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 184
185
Si f (x) = 3x + 2 y :
a) Determina g � f, f � g y g � g.
b) Halla las funciones inversas de f(x) y de g(x), y comprueba que f � f −1 y g−1 � gdan la función identidad.
Averigua cuál es la función inversa de .
a) Representa las funciones f(x) y f −1(x).
b) Comprueba si sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x.
b) Las funciones son simétricas respecto a la recta y = x.
Y
X
2
2
f (x)
f −1(x)
a)
yx
xx y x x y x x
yf x
x=
+= + − = =
−=
−−7
7 77
1
7
11→ → → → ( )
f xx
x( ) = +7
020
( )( ) ( ( ))g g x g g x gx
x
x
− − −= =−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −1 1 1
11� xxx
x
x
x xx
11 1
−+
=+ −
=
yx
xx y y x x x y y x
y
yg x
x
x=
++ = − = =
−=
−−
1 1 11→ → → → ( )
( )( ) ( ( ))f f x f f x fx x
� − −= =−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
−1 1 2
33
2
332+ = x
b) y x xy
f xx
= + =−
=−−3 2
2
3
2
31→ → ( )
( )( ) ( ( ))g g x g g x gx
x
x
xx
x
� = =+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+
++1
1
111 2 1
=+x
x
( )( ) ( ( ))f g x f g x fx
x
x
x� = =
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
++ =
13
12
55 2
1
x
x
++
a) ( )( ) ( ( )) ( )g f x g f x g xx
x� = = + =
++
3 23 2
3 3
g xx
x( ) =
+ 1019
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 185
186
Razona si las siguientes gráficas pueden corresponder a una función.
a)
b)
c)
d)
a) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de x le correspondeun único valor de y.
b) La gráfica no corresponde a una función, porque a los valores de x situadosentre los vértices de la elipse les corresponden dos valores de y.
c) La gráfica corresponde a una función, porque a cada valor de x le correspondeun único valor de y.
d) La gráfica no corresponde a una función, porque hay valores de x a los queles corresponden varios valores de y.
Realiza una tabla y representa estas funciones.
a) Cada número entero lo relacionamos con su número de divisores positivos.
b) Cada número real lo relacionamos con su parte entera.
c) A cada número le hacemos corresponder él mismo menos su valor absoluto.
d) A cada número le corresponde el valor 2.
022
Y
X1
1
Y
X1
1
Y
X1
1
Y
X
1
1
021
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 186
187
Y
X
1
1
x −2 −1 0 1 2
f (x) 2 2 2 2 2
d)
Y
X
1
1
x −2 −1,6 −1 −0,4 0 0,7 1 1,5 2
f (x) −4 −3,2 −2 −0,8 0 0 0 0 0
c)
Y
X
1
1
x −2 −1,6 −1 −0,4 0 0,7 1 1,5 2
f (x) −2 −2 −1 −1 0 0 1 1 2
b)
Y
X
1
1
x −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4
f (x) 3 2 2 1 0 1 2 2 3
a)
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 187
188
A lo largo de un día medimos la longitud, en metros, de la sombra que proyecta una farola desde el amanecer hasta que anochece.
Las medidas, tomadas cada dos horas, desde las 6:00 h,se muestran a continuación.
0 25 17 5 2
6 19 32 0a) ¿Crees que las tablas definen una función?
b) En caso afirmativo, identifica sus variables.
a) La tabla define una función porque a cada hora le corresponde una únicalongitud de la sombra.
b) La variable independiente x corresponde con la hora del día y la variabledependiente y corresponde con la longitud, en metros, de la sombra.
Comprueba si los siguientes puntos están en los dominios de cada función.
a) Los puntos x = 3, x = 2 y x = −5 para la función .
b) Los puntos x = 3, x = 4 y x = 5 para la función f(x) = ln (x −4).
c) Los puntos x = 2, x = −2 y x = 0 para la función .
b) ln (3 − 4) = ln (−1) ∉ R → x = 3 ∉ Dom f
ln (4 − 4) = ln 0 ∉ R → x = 4 ∉ Dom f
ln (5 − 4) = ln 1 = 0 → x = 5 ∈ Dom f
Estudia si los valores de la ordenada, y, están incluidos en los recorridos de estasfunciones.
a) Las ordenadas y = 3, y = 2 e y = −5 para la función .
b) Las ordenadas y = 0, y = 30 e y = −3 para la función f(x) = x2 −5x + 6.
c) Las ordenadas y = 1, y = e y = −7 para la función .
y = −5 ∉ Im f, porque la raíz no puede tomar valores negativos.
3 3 2 3 3 47
32x x x y f− = − = = = ∈→ → → Im
a) Im3 3 3 3 3 9 4 3x x x y f− = − = = = ∈→ → →
f xx
x( ) = −
+2 5
2
13
6
f x x( ) = −3 3
025
3 0 6
0 23 0
⋅ −+
= − = ∈→ x fDom
3 2 6
2 2
12
02
( )− −− +
=−
∉ = − ∉� → x fDom
c) Dom3 2 6
2 20 2
⋅ −+
= = ∈→ x f
− + = − ∉ = − ∉5 1 4 5� → x fDom
2 1 3 2+ = = ∈→ x fDom
a) Dom3 1 2 3+ = = ∈→ x f
f xx
x( ) = −
+3 6
2
f x x( ) = + 1
024
023
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 188
189
b) x2 − 5x + 6 = 0 → x = 2 o x = 3 → y = 0 ∈ Im f
x2 − 5x + 6 = 30 → x2 − 5x − 24 = 0 → x = 8 o x = −3 → y = 30 ∈ Im f
x2 − 5x + 6 = −3 → x2 − 5x + 9 = 0 → Δ = −11 < 0 → La ecuación no tiene soluciones → y = −3 ∈ Im f
Determina el dominio de estas funciones.
a) Dom f = R c) Dom f = Rb) Dom f = R − {3} d) Dom f = R − {−2, 0}
Estudia el dominio de las siguientes funciones.
a) c) e)
b) d) f )
a) Dom f = [−3, +�)
c) x2 −4x + 4 = 0 → x = 2
Dom f = R
e) x2 + 2x + 9 = 0 → Δ = −32 < 0 → La ecuación no tiene soluciones.
Dom f = R
Dom f = [−2, 3]
Escribe el dominio de las funciones.
a) y = log4 (x −4) c) y = 3ln x e)
b) y = cos (1 −x) d) y = sen (x −π)
a) Dom f = (4, +�) c) Dom f = (0, +�) e) Dom f = (−�, 4)
b) Dom f = R d) Dom f = R
yx
=−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ln
10
4
028
f) 6 0 23
2+ − = = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x xxx
→
d) Dom f = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎤
⎦⎥⎥�,
5
2
Dom f = − − ∪ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟( , ) ,� �2
1
2
b) 2 3 2 02
1
2
2x xx
x+ − =
= −
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→
y x x= + −6 2y x= −5 2y x x= + −2 3 22
y x x= + +2 92y x x= − +2 44y x= + 3
027
d)2
f xx
x x( ) = −
+1
2c) f x
x
x( ) =
+
2
2 1b) f x
x( ) =
−7
3a) f x
x( ) = −3
7
026
2 5
27 2 5 7 14 1 7
x
xx x x y f
−+
= − − = − − = − = − ∈→ → → Im
2 5
2
13
612 30 13 26 56
13
6
x
xx x x y f
−+
= − = + = − = ∈→ → → Im
c) Im2 5
21 2 5 2 7 1
x
xx x x y f
−+
= − = + = = ∈→ → →
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 189
190
Analiza el dominio de las siguientes funciones.
a) y = log4 (5 + x)
b) y = 23x−6
d) y = 2 − tg x
a) Dom f = (−5, + �)
b) Dom f = Rc) Dom f = R − {2}
Determina el dominio de las funciones.
a) Dom f = [−1, 8]
b) Dom f = [−3, +�)
c) Dom f = ∅
Estudia el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.
a) y = 5x −3
d) y = 2 −4x
a) Dom f = R d) Dom f = RIm f = R Im f = (−�, 2)
b) Dom f = [1, +�) e) Dom f = [−3, 3]
Im f = [2, +�)
c) Dom f = R − {0} f) Dom f = R − {2}
Im f = R − {0} Im f = R − {0}
Im f = ⎡⎣
⎤⎦6 2 3,
f) yx
=−2
2
e) y x x= − + +3 3
c) yx
= 3b) y x= + −2 1
031
c) y x x= − ⋅ −2 4 1
b) y x x= + ⋅ +2 33
a) y x x= + + −1 8
030
e) Dom f k k= − + ∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
� �π π2 2
,
d) Dom f k k= − + ∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
� �π
π2
,
e) y
tg x
=+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3
2
π
c) y x= −51
2
029
Funciones
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191
Estudia las características de las siguientes funciones.
a) c)
b) d)
a) Dom f = R − {0} Im f = R − {0}
La función es decreciente en (−�, 0) ∪ (0, +�).No existen máximos ni mínimos relativos y absolutos.Es convexa en (−�, 0) y es cóncava en (0, +�).La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.No hay periodicidad.
b) Dom f = R − {0} Im f = RLa función es creciente en (−�, −2) y es decreciente en (−2, 0) ∪ (0, +�).No existen máximos ni mínimos relativos y absolutos.Es convexa en (−�, −2) ∪ (−2, 0) y es cóncava en (0, +�).La función no es simétrica ni periódica.
Im f = R
La función es creciente en (−�, −2) ∪ (2, +�) y es decreciente
Existe un máximo relativo en x = −2 y un mínimo relativo en x = 2.
Es convexa en y es cóncava en .
La función no es simétrica ni periódica.
d) Dom f = R − {−1,5; 1; 3,5} Im f = RLa función es creciente en (−�; −1,5) ∪ (−1,5; −0,5) ∪ (0,5; 1) ∪ (1; 3,5) ∪ (3,5; 4,5)y es decreciente en (−0,5; 0,5) ∪ (4,5; +�).
Máximo relativo en x = −0,5 y en x = 4,5 y mínimo relativo en x = 0,5.
Es cóncava en (−�; −1,5) ∪ (0, 1) ∪ (1; 3,5) y es convexa en (−0,5; 0) ∪ (3,5; 5).
La función no es simétrica ni periódica.
( , ) ,− ∪ +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟1 0
3
2�(− − ∪
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�, ) ,1 0
3
2
en 1,( , ) , .− − ∪ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ∪
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟2 1
3
2
3
22
c) Dom f = − −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
� 13
2,
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
1
1
X
Y
032
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 191
192
Considera la función que relaciona el tiempo, en días, con la superficie visible de la Luna.
a) ¿Es una función periódica?
b) En caso afirmativo, indica el período.
a) Al depender la superficie visible de las fases en la rotación de la Luna alrededorde la Tierra, la función es periódica.
b) El período es de 28 días.
Estudia las simetrías de la función.
f(x) = x3 −3x
f(−x) = (−x)3 −3(−x) = −x3 + 3x = −f(x) → La función es simétrica respecto del origen de coordenadas.
Dada la gráfica de la función y = x2:
representa estas funciones.
a) y = (x −2)2 c) y = (x + 3)2
b) y = x2 + 3 d) y = x2 −4
Y
X
1
1
y = x2
y = x2 − 4
d)Y
X
1
1
y = x2
y = x2 + 3
b)
Y
X
1
1
y = x2y = (x + 3)2
c)Y
X
1
1
y = x2
y = (x − 2)2
a)
1
1
X
Y
035
034
033
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 192
193
A partir de la siguiente función:
obtén la gráfica de estas funciones.
Y
X
2
2
j (x)
f (x)
d)
Y
X
2
2
i (x)
f (x)
c)
Y
X
2
2
f (x)
h(x)
b)
Y
X
2
4
f (x)
g(x)
a)
d) ( )j xx
= −12c) ( )i x
x= +12
1b) ( )h xx
=+12
4a) ( )g x
x=
−12
2
5
5
X
Y
f xx
( ) =12
036
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 193
194
Con la gráfica de esta función:
f (x) = x2 −2x
representa gráficamente las siguientes funciones.
a) f(x −2) b) −f(x) c) f(x + 1) d) f(x) + 2
Razona cómo lo haces y calcula su expresión algebraica.
f(x) + 2 = x2 + 2x + 2
Y
X
2
2
f (x)
f (x) + 2
d)
f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = x2 + 4x + 3
Y
X
2
2
f (x)
f (x + 1)
c)
−f(x) = −x2 − 2x
Y
X
2
1
f (x)
−f (x)
b)
f(x − 2) = (x − 2)2 + 2(x − 2) = x2 − 2x
Y
X
2
2
f (x)
f (x − 2)
a)
1
1
X
Y037
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 194
195
A partir de cada gráfica, dibuja la gráfica de las funciones que se indican.
a) f(−x) y −f(x)
b) g(x) + 1 y g(x) −3
c) h(x + 1) y h(x −2)
Y
X
1
1
h(x)
h(x + 1)
h(x − 2)
c)
Y
X
1
1
g(x)
g(x) + 1
g(x) − 3
b)
Y
X
2
2
f (x)
f (−x)
−f (x)
a)
1
1
X
Y
h (x)
1
1
X
Y
g (x)
1
2
X
Y
f (x)
038
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 195
196
Funciones
La gráfica pertenece a la función .
Construye a partir de ella la gráfica de lasfunciones.
Dada la función , determina la expresión algebraica de estas funciones y represéntalas.
a) f(x −3) b) f(x) + 3 c) f(−x) d) −f(x)
Y
X
2
2
f (x)
f (x) + 3
Y
X
2
2
f (x)
f (x − 3)
b) ( )f xx
+ = +38
3a) (f xx
− =−
38
3)
f xx
( ) = 8040
Y
X
1
1
yx
=2
yx
= − −+
12
1
d)Y
X
1
1
yx
=2
yx
= −−
22
3
b)
Y
X
1
1
yx
=2
yx
=+
−2
21
c)Y
X
2
2y
x=
2y
x=
−+
2
13
a)
d) yx
= − −+
12
1b) y
x= −
−2
2
3
c) yx
=+
−2
21a) y
x=
−+2
13
1
1
X
Y
yx
=2
yx
= 2039
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 196
197
5SOLUCIONARIO
Dadas las funciones:
calcula.
a) (f + g)(5) c) (f ⋅ g)(0) e) (f ⋅ f )(2) g) (g − f )(3) i)
b) (f −g)(3) d) f ) (g + f )(5) h) (f + f ⋅ g)(0) j) f 2(2)
no es real, porque el denominador de una fracción no puede ser igual a 0.
( )( )f 2 2 4=j) ( )( )f x x2 2= +
g
f
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −( )2
i)g
fx
x x
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− +( )
( )
3
1 22
( )( )f g⋅ = −0 2 2h) ( )( )f f g x xx
x+ ⋅ = + +
+−
23 2
12
( )( )g f− = −33
85g) ( )( )g f x
xx− =
−− +
3
12
2
( )( )g f+ = +51
87f ) ( )( )g f x
xx+ =
−+ +
3
12
2
( )( )f f⋅ =2 4e) ( )( )f f x x⋅ = + 2
f
g
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ − =( )2 0d)
f
gx
x x⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
− +( )
( )2 1 2
3
( )( )f g⋅ = −0 3 2c) ( )( )f g xx
x⋅ =
+−
3 2
12
( )( )f g− = −3 53
8b) ( )( )f g x x
x− = + −
−2
3
12
( )( )f g+ = +5 71
8a) ( )( )f g x x
x+ = + +
−2
3
12
f
g
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −( )2
g
f
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟−( )2
g xx
( ) =−3
12f x x( ) = + 2
041
Y
X
2
2
f (x)−f (x)
Y
X
2
2
f (x)f (−x)
d) − = −f xx
( )8
c) f xx
( )− = −8
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 197
198
Calcula el dominio de las funciones.
Utiliza el resultado para calcular el dominio de las siguientes funciones.
a) (f + g)(x) c)
b) (f ⋅ g)(x) d)
Dom f = (−�, −2] ∪ [2, + �)
Dom g = [−5, 5]
a) Dom (f + g) = [−5, −2] ∪ [2, 5]
b) Dom (f · g) = [−5, −2] ∪ [2, 5]
Dadas las funciones:
n(x) = x + 6
define las siguientes funciones y determina sus dominios.
a) (m + n)(x) c)
b) (n + p)(x) d) (m ⋅ n + p)(x)
Dom (m + n) = (−�, −2] ∪ [2, +�)
Dom (n + p) = R − {−1}
Dom (m · n + p) = (−�, −2] ∪ [2, +�)
d) ( )( ) ( )m n p x x xx
x⋅ + = − ⋅ + +
−+
2 4 61
1
Domn
m
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − − ∪ +( , ) ( , )� �2 2
c)n
mx
x
x
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
+
−( )
6
42
b) ( )( )n p x xx
x+ = + +
−+
61
1
a) ( )( )m n x x x+ = − + +2 4 6
n
mx
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )
p xx
x( ) = −
+1
1m x x( ) = −2 4
043
d) Dom [g
f
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − − ∪5 2 2 5, ) ( , ]
c) Domf
g
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − − ∪( , ] [ , )5 2 2 5
g
fx
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟( )
f
gx
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟( )
g x x( ) = −25 2f x x( ) = −2 4
042
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 198
199
Dadas las funciones:
f(x) = 2x g(x) = x 2
calcula las composiciones de funciones.
a) f � g d) g � f
b) g � h e) h � g
c) h � f f ) f � h
Determina el valor de cada función para x = 3.
Comprueba con las funciones y g(x) = 3x −2 que la composición de funciones no es conmutativa. Calcula el dominio de f � g y de g � f.
(f � g)(x) � (g � f )(x) → La composición de funciones no es conmutativa.
Dom ( ) [ , )g f� = − +1 �
Dom ( ) ,f g� = +⎡
⎣⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
3�
( )( ) ( ( ))g f x g f x g x x� = = +( ) = + −1 3 1 2
( )( ) ( ( )) ( )f g x f g x f x x� = = − = −3 2 3 1
f x x( ) = + 1045
( )( )f h� 3 23=
f) ( )( ) ( ( ))f h x f h x fx
x� = =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
12
1
( )( )h g� 31
9=
e) ( )( ) ( ( )) ( )h g x h g x h xx
� = = =2
2
1
( )( )g f� 3 64=
d) ( )( ) ( ( )) ( )g f x g f x g x x� = = =2 22
( )( )h f� 31
8=
c) ( )( ) ( ( )) ( )h f x h f x h x
x� = = =2
1
2
( )( )g h� 31
9=
b) ( )( ) ( ( ))g h x g h x gx x
� = =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1 12
( )( )f g� 3 512=
a) ( )( ) ( ( )) ( )f g x f g x f x x� = = =2 22
h xx
( ) = 1
044
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 199
200
Explica de qué manera hay que componer las funciones:
g(x) = 5x + 1
para obtener las siguientes funciones.
b) n(x) = 25x + 6
Determina f � f −1 y f −1 � f en los pares de funciones para comprobar si son inversas o no.
a) f(x) = 3x −1 y
b) f(x) = 2x y
c) f(x) = 2x y f −1(x) = log2 x
d) f(x) = sen x y f −1(x) = arc sen x
e) f(x) = x2 + 2 y
Las funciones no son inversas.
Las funciones no son inversas.
Las funciones son inversas.
Las funciones son inversas.
Las funciones son inversas.
e) ( )( ) ( ( ))
(
f f x f f x f x x x
f f
��
− −
−
= = −( ) = − + =1 1
1
2 2 2
))( ) ( ( )) ( )x f f x f x x x= = + = + − =− −1 1 2 22 2 2
d) ( )( ) ( ( )) ( ) (f f x f f x f arc sen x sen arc se� − −= = =1 1 nn x xf f x f f x f sen x arc sen
)( )( ) ( ( )) ( )
== = =− − −1 1 1� (( )sen x x=
c) ( )( ) ( ( )) (log )(
logf f x f f x f x xf
x� − −
−= = = =1 1
2 2 2
11 1 122 2� f x f f x f xx x)( ) ( ( )) ( ) log= = = =− −
b) ( )( ) ( ( ))f f x f f x fx
� − −= =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜1 1 1
2⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
=
⎛⎝⎜⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
− −
21
2
1 1
x
f f x f( )( ) (� ff x f x
x
( )) ( )= =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−1
2
21
2
a) ( )( ) ( ( ))f f x f f x f x� − −= = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =1 1 1
31 3
1
331 1 2
1 1
x x
f f x f f x
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− = +
= =− −( )( ) ( ( ))� ff x x x− −( ) = − + = +1 3 11
33 1 1
2
3( )
f x x− = −1 2( )
f xx
− =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
1 1
2( )
f x x− = +1 1
31( )
047
c) ( )( ) ( ( ))g h x g h x gx x
� = =+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
++
2
1
10
11==
++
=x
xp x
11
1( )
b) ( )( ) ( ( )) ( ) ( )g g x g g x g x x x� = = + = + + = + =5 1 5 5 1 1 25 6 nn x( )
a) ( )( ) ( ( )) ( )g f x g f x g x x m x� = = +( ) = + + =2 24 5 4 1
c) p xx
x( ) = +
+11
1a) m x x( ) = + +5 4 12
h xx
( ) =+2
1f x x( ) = +2 4
046
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 200
201
Calcula la función inversa de cada función.
a) y = 2x + 5
b)
c)
Comprueba que sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer cuadrante.
Y
X
1f (x)
f −1(x)
1
c) y x xy
f xx
= − =+
=+−2 3
3
2
3
23
31
3
→ → ( )
Y
X
2
f (x)
f −1(x)
2
b) yx
x y f x x=−
= − = −−3
23 2 3 21→ → ( )
Y
X
2
2
f (x)
f −1(x)
a) y x xy
f xx
= + =−
=−−2 5
5
2
5
21→ → ( )
y x= −2 33
yx= −3
2
048
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 201
202
Dada la gráfica de la función y = x3:
dibuja la gráfica de su función inversa.
Dibuja las funciones inversas.
a)
b)
1
1
X
Y
y = 1 + 2x
1
1
X
Y
y = ln (x + 3)
050
1
1
X
Y
f (x)
f −1(x)
1
1
X
Y
y = x3
049
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 202
203
c)
d)
Y
X
1
1
f (x)
f −1(x)
d)
Y
X
1
1
f (x)
f −1(x)
c)
Y
X
1
1
f (x)
f −1(x)
b)
Y
X
2
2
f (x)
f −1(x)
a)
1
1 X
Y
y = 2x − 1
1
1 X
Y
yx
=+1
2
log2
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 203
204
Dibuja funciones que cumplan estas propiedades.
a) Su dominio y su recorrido son R.
b) Su dominio es R − {1}.
c) Es creciente y su dominio es R − {−1, 2}.
d) Es logarítmica y su dominio es (3, +�).
e) Es logarítmica y su dominio es (−�, −2).
f ) Es exponencial y su dominio es R − {0}.
Respuesta abierta.
En una vivienda pagan 10 euros de gasto fijo y 0,50 euros por cada kilovatioconsumido a la empresa que les suministra electricidad.
a) Obtén una expresión de la relación que existe entre el consumo y el precioy represéntala.
b) Si a esta cantidad hay que aumentarle el 16 % de IVA, ¿cómo será la ecuación?¿Qué variación sufre la gráfica?
052
Y
X
1
1
f (x)
f)Y
X
1
1
f (x)
c)
Y
X
1
1
f (x)
e)Y
X
1
2
f (x)
b)
Y
X
1
1
f (x)
d)Y
X
1
1
f (x)a)
051
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 204
205
a) f(x) = 10 + 0,5x
b) g(x) = (10 + 0,5x) · 1,16 = 11,6 + 0,58x
La gráfica es otra recta con mayor pendiente que la primera.
Halla el dominio de las funciones del tipo , siendo n un número natural.
Si n es impar: Dom f = R − {0}
Si n es par: Dom f = (0, +�)
El manual de usuario de un vehículo afirma que el ruido producido por el motorsigue aproximadamente la fórmula:
r = at 2 + 2,8t + 8
donde t es el número de años de antigüedad del vehículo; a es un número fijo, que se denomina coeficientede atenuación, y r es el nivelde ruido, medido en decibelios.
La semana pasada llevé mi vehículo a pasar la revisión de los cuatro años y en elinforme figura que la medición fue de 27 decibelios. ¿Cuál es el coeficiente deatenuación? ¿Cuántos decibelios producirá a los ocho años?
27 = a · 42 + 2,8 · 4 + 8 → 16a = 7,8 → a = 0,4875
A los ocho años producirá: r = 0,4875 · 82 + 2,8 · 8 + 8 = 61,6 decibelios
054
f xxn
( ) = 1053
Y
X
8
2
f (x)g(x)
Y
X
8
2
f (x)
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 205
206
En una circunferencia de 5 cm de radio se inscribe un rectángulo de lado x.a) Expresa el área en función de x. ¿Cuál es su dominio?
b) Realiza un tanteo para determinar el máximo valor que puede tomar esa función. ¿Cuánto medirán los lados del rectángulo en ese caso? ¿Qué tanto por ciento de la superficie del círculo ocupael rectángulo?
a) Por el teorema de Pitágoras:
El área del rectángulo viene dada por la función:
b) Al ser x la medida de un lado, el dominio de la función es: Dom f = [0, 10]
El máximo valor del área es, aproximadamente, 49,98 cm2. En ese caso, el lado x mide 7 cm. Así, el otro lado mide: = 7,14 cm
El área del círculo mide: cm2
Como = 0,6364, el área del rectángulo ocupa el 63,64 %
de la superficie del círculo.
Considera los triángulos cuya superficie mide S.
a) Escribe la expresión algebraica que relaciona la base en función de la altura en estos triángulos.
b) ¿Cuál es la función que relaciona la altura en función de la base?
c) Representa ambas funciones.
Las dos gráficas son iguales.
Y
X
2
h
2
Y
X
2
b
2
c)
b) hA
b=
2a) b
A
h=
2
h
b
h
bh
b
056
49 98
78 53
,
,
A r= =π 2 78 53,
b = 51
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (x) 0 9,95 19,59 28,62 36,66 43,3 48 49,98 48 39,23 0
f x x x( ) = −100 2
10 1002 2 2 2= + = −b x b x→
x
b
10
055
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:37 Página 206
207
PARA FINALIZAR…
Sean las funciones y .
Comprueba que se cumple que [g (x)]2 − [f (x)]2 = 1.
Calcula las funciones inversas de:
Por tanto, las funciones inversas son de la forma:
e .
Por tanto, las funciones inversas son de la forma:
e .
Si la función definida por , con , verifica que f [f (x)] = x,
¿cuánto vale c?
Si :c f xx
x= − =
−+
33
2 3( )
Si 3:c x f xx x
xx= + =
++
=22 3
2 3
2
( )
f f x fcx
x
ccx
xcx
x
( ( )) =+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⋅+
⋅+
2 3
2 3
22 3
++=
+ += = + +
− −
3 2 6 92 6 9
2
22 2 2
2 2
c x
cx xx c x cx x x
c x cx
→
→ 66 9 02 4 24 36
2
6 9
22 4 3 2
2
x x cx x x x
x
x x x
− = =± + +
=
= ± + + =
→
xx x x x± + = ± +( ) ( )3 32
x � − 3
2f x
cx
x( ) =
+2 3059
y x x= − −( )ln 2 1
y x x= + −( )ln 2 1
Si z e
y zz
z yz zy y
e y
x
x
=
= + − + = =± −
= ±
:
21
2 1 02 4 4
22
2
→ → → yy 2 1−
y x x= − +( )ln 2 1
y x x= + +( )ln 2 1
Si e :z
y zz
z yz zy y
e y
x
x
=
= − − − = =± +
= ±21
2 1 02 4 4
22
2
→ → → yy 2 1+
ye e
y ee
x xx
x=
−= −
−
22
1→
ye ex x
= + −
2y
e ex x
= − −
2
058
[ ( )] [ ( )]g x f xe e e ex x x x
2 2
2
2− =
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−−− −
22
2
4
2
42
2 2 2 2 2⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+ +
−+ −
=
=+
− −e e e ex x x x
22
41=
g xe ex x
( ) = + −
2f x
e ex x
( ) = − −
2057
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:38 Página 207
208
En un cuadrado de 16 cm de lado se suprime, de cada esquina, un triángulorectángulo e isósceles de cateto x. Expresa el área y el perímetro del polígonoresultante en función de x. ¿Cuál es su dominio? ¿Y su recorrido?
El área de la figura viene dada por la función:
La hipotenusa de los triángulos mide:
El perímetro de la figura viene dado por la función:
Dom f = Dom g =
Im f = [0, 256] Im g = [0, 64]
Un grupo de alumnos de 1.o Bachillerato pide presupuesto en dos agencias de viajespara realizar una excursión.
La primera agencia les hace la siguiente propuesta.
• Si el número de alumnos que va a la excursión es 40 o menos, les cobrará 200 €por alumno.
• Si el número de alumnos es superior a 40 le descontará un 10 % a cada uno de los alumnos que se inscriba.
La oferta de la segunda agencia es:
• Si completan un autobús, con capacidad para 60 personas, el precio será de 150 €por persona. Si alguno de los autobuses no está completo, se incrementará elprecio en un 1 % por cada persona que falte para completarlo.
¿Qué agencia les conviene más?
Un descuento del 10 % en el precio de 200 € significa un precio de: 200 · 0,9 = 180 €
Así, la función que representa la propuesta de la primera agencia es:
f xx xx x
( ) = ≤ ≤>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
200 0 40180 40
sisi
061
0 8 2 16, +⎡⎣
⎤⎦0 8 2,⎡
⎣⎤⎦
Y
X
10
g(x)
10
Y
X
50
f (x)
2
g x x x x( ) ( )= + − = −( ) +4 2 4 16 2 4 2 8 64
a x x a x2 2 2 2= + =→
f xx
x( ) = − ⋅ = −16 42
256 222
2
x
x
16
060
Funciones
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:38 Página 208
209
El incremento de un 1 % por cada persona que falte significa que el precio será:
La función que representa la propuesta de la segunda agencia es:
Los puntos de intersección de ambas funciones son:
• Si x ≥ 60 → 180x = 150x → x = 0
Por tanto, la primera agencia resulta más conveniente si el número de alumnoses menor o igual a 26. A partir de 27 alumnos, es más económica la segundaagencia.
Una farola tiene 7 m de altura. En su base hay una persona de 1,80 m de altura que empiezaa andar en línea recta, alejándosede la farola a una velocidadde 2 m/s. Al cabo de 10 segundos, ¿cuálserá la longitud de su sombra?
Halla una función que exprese lalongitud de la sombra en funcióndel tiempo, t, que se camina.
Al cabo de 10 segundos, la persona ha recorrido 20 m.
Como la farola y la persona forman ángulos rectos con el suelo, sus alturas determinandos lados paralelos de triángulos que se encuentran en posición de Tales.
La función que expresa la longitud de la sombra en función del tiempo es:
f tt t
( ) =⋅
=1,8 3,62
7 7
7 20 20
71,8
1,85,14 m= =
⋅=
ss→
7 m
20 m s
1,8 m
7 m
1,80 m
062
• Si 60 1,5 1,540 180 240 60 0 02 2< < = − − = =x x x x x x
xx
→ → →==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 40
• Si 40 1,5 1,50 200 240 40 00
2 2≤ ≤ = − − ==
=x x x x x x
x
x→ → → 880
326 6=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
,�
g x x x xx x
( ) ,= − ≤ <≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
240 1 5 0 60150 60
2 sisi
150 160
100150 60 2⋅ +
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = + − =
xx x x x1,5( ) 2240 2x x−1,5
5SOLUCIONARIO
833243 _ 0178-0209.qxd 10/10/08 10:38 Página 209
210
Funciones elementales6L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El árbol de la cienciaAl decir Andrés [estudiante de medicina] que la vida, según su profe-sor Letamendi, es una función indeterminada entre la energía indivi-dual y el cosmos, y que esta función no puede ser más que suma, res-ta, multiplicación y división, y que no pudiendo ser suma, ni resta, nidivisión, tiene que ser multiplicación, uno de los amigos de Sañudo[estudiante de ingeniería] se echó a reír. –¿Por qué se ríe usted? –le preguntó Andrés sorprendido. –Porque en todo eso que dice usted hay una porción de sofismas y defalsedades. Primeramente hay muchas más funciones matemáticasque sumar, restar, multiplicar y dividir. –¿Cuáles? –Elevar a potencia, extraer raíces... Después, aunque no hubiera másque cuatro funciones matemáticas primitivas, es absurdo pensar queen el conflicto de estos dos elementos, la energía de la vida y el cos-mos, uno de ellos, por lo menos, heterogéneo y complicado, porqueno haya suma, ni resta, ni división, ha de haber multiplicación. Ade-más, sería necesario demostrar por qué no puede haber suma, por quéno puede haber resta y por qué no puede haber división. Después ha-bría que demostrar por qué no puede haber dos o tres funciones si-multáneas. No basta decirlo. –Pero eso lo da el razonamiento. –No, no; perdone usted –replicó el estudiante–. Por ejemplo, entreesa mujer y yo puede haber varias funciones matemáticas: suma, sihacemos los dos una misma cosa ayudándonos; resta, si ella quiereuna cosa y yo la contraria y vence uno de los dos contra el otro; multi-plicación, si tenemos un hijo, y división si yo la corto en pedazos aella o ella a mí. –Eso es una broma –dijo Andrés. –Claro que es una broma –replicó el estudiante–, una broma por el es-tilo de las de su profesor; pero que tiende a una verdad, y es que entrela fuerza de la vida y el cosmos hay un infinito de funciones distintas:sumas, restas, multiplicaciones, de todo, y que además es muy posibleque existan otras funciones que no tengan expresión matemática.
PÍO BAROJA
Existen algunas proteínas de gran tamaño a las que se les puedenunir hormonas para modificar su función en el cuerpo humano.
Este mecanismo está regulado por la fórmula
,
siendo y la concentración de hormonas unidas, la concentración total de hormonas y k una constante.Representa esta función para k = 1.
ykx
kx=
+10
11
1
Y
X
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 210
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, 1) y B(−2, 3).
Obtén las ecuaciones de las rectas que pasan por los pares de puntos indicados.
a) (1, 5) y (7, 23) c) (−1, 4) y (3, 16)b) (−5, 1) y (1, 2) d) (−3, −1) y (5, −4)
a) AB�= (6, 18)
La ecuación de la recta es:
b) AB�= (6, 1)
La ecuación de la recta es:
c) AB�= (4, 12)
La ecuación de la recta es:
d) AB�= (8, 3)
La ecuación de la recta es:
Transforma grados en radianes y radianes en grados: 60°, 90°, 159°, 300°, rad,
rad, rad y rad.
Indica el signo de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes de la circunferencia goniométrica.
004
y =⋅
=360
5
22
450
π
π°x =
⋅=
2 300
360
5
3
π πrad
y =⋅
=360
52
36
π
π°x =
⋅=
2 159
360
53
60
π πrad
y =⋅
=360
2
32
120
π
π°x =
⋅=
2 90
360 2
π πrad
y =⋅
=360
3
22
270
π
π°x =
⋅=
2 60
360 3
π πrad
5
2
ππ5
2
3
π
3
2
π003
x yy
x+=
+
−=
− −3
8
1
3
3 17
8→
x yy x
+=
−= +
1
4
4
123 7→
x yy
x+=
−=
+5
6
1
1
11
6→
x yy x
−=
−= +
1
6
5
183 2→
002
m = −1
2
001
6SOLUCIONARIO
211
α (grados) 1.er cuadrante 2.o cuadrante 3.er cuadrante 4.o cuadrante
sen α positivo positivo negativo negativo
cos α positivo negativo negativo positivo
tg α positivo negativo positivo negativo
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 211
212
Calcula las siguientes razones trigonométricas.
a) b) c) d) e) f )
a) c) no existe. e)
b) d) f ) no existe.
ACTIVIDADES
Representa, sobre los mismos ejes de coordenadas, las funciones y = 3x −1 e y = 5x + 4. Halla el punto común a las dos gráficas.
Dibuja todos los tipos de rectas que conoces y encuentra aquellos que nocorresponden a una función. Escribe sus ecuaciones.
Respuesta abierta.
y = 4 es una función constante.
es una función afín.
y = −3x es una función lineal.
x = 4 no es una función.
Representa gráficamente las siguientes funciones cuadráticas.
a) y = −3x2 −x −1 b) y = x2 + 2x −2
a) b) V (−1, −3)
1
1
Y
X
1
1
Y
X
V − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
6
11
12,
003
4
3
y x= −3
4
3
22
1
2
1
2
Y
X
2 3 4
002
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
5
2
17
2,
El punto de intersección es: 1
1
Y
X
001
tg5
2
πsen
10
6
3
2
π= −cos
4
3
1
2
π= −
cos9
4
2
2
π=tg
3
2
πsen
3
4
2
2
π=
tg5
2
πcos
9
4
πsen
10
6
πtg
3
2
πcos
4
3
πsen
3
4
π005
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 212
213
Representa en el intervalo [−1, 1], con una escala que sea lo suficientemente grande,las funciones.
f(x) = x f(x) = x2 f(x) = x3 f(x) = x4
Describe sus propiedades.
En todas las funciones, el dominio es R y el punto de corte con los ejes es el origende coordenadas.
Las funciones de exponente par son decrecientes para los valores negativos de x,son crecientes para los valores positivos, tienen un máximo absoluto en x = 0 y son simétricas respecto del eje de ordenadas.
Las funciones de exponente impar son crecientes, no tienen máximos ni mínimosy son simétricas respecto del origen de coordenadas.
Halla la recta de interpolación lineal correspondiente a los datos (10, 45) y (20, 57).
Determina con ella el valor correspondiente a estos valores.
a) x = 13 b) x = 16 c) x = 22
a)
b)
c)
En el gráfico de un puerto de montaña, que tiene una pendiente aproximadamenteconstante, aparece que en el kilómetro 5 la altura sobre el nivel del mar es de 1.200 m, y en el kilómetro 13, de 2.100 m. Calcula por interpolación lineal la altura en el kilómetro 10.
y = + − =1 200900
810 5 1 762 5. ( ) . , m
y x x= +−−
− = + −1 2002 100 1 200
13 55 1 200
900
85.
. .( ) . ( ))
006
y = + − =4512
1022 10 59 4( ) ,
y = + − =4512
1016 10 52 2( ) ,
y = + − =4512
1013 10 48 6( ) ,
y x x= +−−
− = + −4557 45
20 1010 45
12
1010( ) ( )
005
1
1
Y
X
004
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 213
214
La tabla muestra el número de turistas, en millones, que entraron en España en el período 1995-2005.
a) Halla los valores para 1998, 2002 y 2008.
b) ¿En qué año se superaron los 80 millones?
La función de interpolación cuadrática es: y = −0,044x 2 + 179,82x − 183.565,4
a) Para 1998: y = 66,784 millones
Para 2002: y = 82,064 millones
Para 2008: y = 102,344 millones
b)
Los 80 millones se superaron desde el 2002 hasta el 2085.
A partir de los puntos (0, 0), (1, 1) y (2, 3):
a) Determina la función de interpolación lineal para los puntos (0, 0) y (1, 1).
b) Si utilizamos los tres puntos, ¿cuál será la función de interpolación cuadrática?
c) ¿Qué valor toma para x = 1,5 en cada uno de los casos? ¿Y para x = 4?
a)
b)
La función de interpolación cuadrática es: y = 0,5x 2 + 0,5x
c)
xyy
= == ⋅ + ⋅ =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
440 5 4 0 5 4 102→
, ,
xyy
= == ⋅ + ⋅ =
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 51 50 5 1 5 0 5 1 5 1 8752,,, , , , ,
→
013 4 2
14 44 4 4 4
= += + += + +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= ++a b c
a b ca b c
a→ bba b
a
b3 4 20 5
0 5= +⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→,
,
y x y x= +−−
− =01 0
1 00( ) →
008
− +0 044 1792, ,x→ 882 183 645 4 02 001 4
2 085 4x
x
x− =
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
. ,. ,
. ,→
− + − =0 044 179 82 183 565 4 802, , . ,x x
54 4 3 980 025 1 99520 2 19 975 5
2 2
, . . ., .,
= + += +
−
a b ca b
==
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −== −50
0 044179 82
183 565 4a
abc
→,,
. ,
⎧⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
54 4 1 995 1 99574 6 2 000 2 0009
2
2
, . ., . .
= + += + +
a b ca b c
22 6 2 005 2 005
54 4 3 980 0
2, . .
, . .
= + +
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=
a b c→
225 1 99520 2 19 975 538 2 40 000 10
a b ca ba
+ += += +
., ., . bb
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
Año 1995 2000 2005
Turistas 54,4 74,6 92,6
007
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 214
215
Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa.
a) b)
Representa estas funciones racionales, y relaciónalas con las funciones de proporcionalidad inversa.
a) b)
Es una traslación horizontal de la función de proporcionalidad inversa:
Halla el dominio de las funciones con radicales.
a) b)
a) Dom f = Rb) Dom g = (−�, −6] ∪ [6, +�)
g x x( ) = −2 36f x x( ) = −23 4
011
f xx
f xx
( ) ( )= + =+
12
1
2→
Es el producto por sí misma de la función de proporcionalidad inversa:
f xx
f x f xx
( ) ( ) ( )= ⋅ =1 1
2→
1
1
Y
X
b)
1
2
Y
X
a)
yx
= 12
yx
=+1
2
010
2
2
Y
X
b)
1
1
Y
X
a)
yx
= −1
2y
x= 3
009
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 215
216
Representa gráficamente estas funciones.
a) c)
b) d)
Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.
a) f(x) = 1,2x
b)
c) h(x) = 0,8x
d)
a) 1,2 > 1 → f(x) es creciente.
b) < 1 → g(x) es decreciente.
c) 0,8 < 1 → h(x) es decreciente.
d) > 1 → i(x) es creciente.
Representa gráficamente estas funciones.
a) y = −2x c) e) y = −2−x
b) y = 2−x d) y = 0,1x f ) yx
= 2 3
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
4
3
014
3
2
3
i xx
( ) = ( )3
g xx
( ) =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
2
3
013
1
2
Y
X
d)
1
1
Y
X
b)
3
1
Y
X
c)
1
2
Y
X
a)
i x x( ) = + 23g x x( ) = − 4
h x x( ) = − 13f x x( ) = + 2
012
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 216
217
Razona, sin hacer la gráfica, si las siguientes funciones son crecientes o decrecientes.
a) f(x) = log1,2 x c) h(x) = log7 x e)
b) d) i(x) = log0,8 x f ) k(x) = log8,2 x
a) 1,2 > 1 → f(x) es creciente.
b) < 1 → g(x) es decreciente.
c) 7 > 1 → h(x) es creciente.
d) 0,8 < 1 → i(x) es decreciente.
e) > 1 → j(x) es creciente.
f ) 8,2 > 1 → k(x) es creciente.
Representa gráficamente estas funciones.
a) y = −log2 x c) e)
b) y = log2 (−x) d) y = log0,1 x f ) yx=
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟log2
3
y x= − −log2 ( )y x= log 4
3
016
3
2
3
g x x( ) = log 2
3
j x x( ) = log 3
015
1
2
Y
X
f )
1
2
Y
X
c)
1
1
Y
X
e)
1
1
Y
X
b)
1
1
Y
X
d)
1
1
Y
X
a)
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 217
218
Describe las características de estas funciones.
a) f(x) = sen (x −1)
b) g(x) = (sen x) − 1
a) Dom f = R Im f = [−1, 1]
La función es periódica, de período 2π radianes. No es simétrica.
Presenta máximos en y mínimos en ,
siendo k ∈ Z.
b) Dom g = R Im g = [−2, 0]
La función es periódica, de período 2π radianes. No es simétrica.
Presenta máximos en y mínimos en ,
siendo k ∈ Z.
Representa las funciones y di qué observas.
a) b) g x cos x( ) = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
π2
f x sen x( ) = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
π2
018
x k= +3
22
ππx k= +
ππ
22
x k= + +13
22
ππx k= + +1
22
ππ
017
1
1
Y
X
f )
1
2
Y
X
c)
1
1
Y
X
e)
1
1
Y
X
b)
1
1
Y
X
d)
1
1
Y
X
a)
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 218
219
Describe las características de estas funciones.
a) b) g(x) = tg (x + 1)
a) Dom f = R − {kπ, k ∈ Z} Im f = RLa función es periódica, de período π radianes.
Es siempre creciente y simétrica respecto del origen de coordenadas.
b) Dom g = R − Im g = R
La función es periódica, de período π radianes.
Es siempre creciente y no es simétrica.
Representa las funciones inversas.
a) b) g(x) = arc sen (x −π)
Representa gráficamente esta función definida a trozos.
Describe sus principales características.
Dom f = R Im f = [0, 4]
La función es continua, no es periódica ni simétrica.
Es decreciente en (−2, 0) y es creciente en (0, 1). Tiene un mínimo absoluto en x = 0.
1
1
Y
X
f xx
x x
x
( ) =≤−
− < ≤>
⎧⎨⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
4 2
2 1
1 1
2
si
si
si
021
π
1
Y
X
b)
π
1
Y
X
a)
f x arc cos x( ) = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
π2
020
ππ
21− + ∈
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
k k, Z
f x tg x( ) = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
π2
019
g x x sen x( ) = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =cos
π2
f x sen x x( ) = +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
π2
cos
π
1
Y
X
b)
π1
Y
X
a)
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 219
220
En un contrato mensual de telefonía móvil se factura a 0,12 € por minuto. Si el consumo no llega a 9 €, entonces se abona esa cantidad.
a) Halla la expresión de la función que relaciona el consumo, en minutos, y el importe de la factura mensual, en euros.
b) Representa la función.
El servicio de correos cobra 0,30 € por los primeros 25 g de envío y, a partir de esacantidad, cobra 0,20 € por cada 25 g (o fracción) de peso extra. Representa la gráficadel coste del envío de cartas hasta 150 g.
La función que asocia a cada número su parte decimal es:
f(x) = x − [x]
Representa la función y analiza sus propiedades.
Dom f = R Im f = [0, 1)
La función no es continua. Todos los números enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.
Es periódica, de período 1. No es simétrica.
Es creciente en (k, k + 1), siendo k ∈ Z. No tiene máximos ni mínimos.
1
1
Y
X
024
0,300,500,700,901,101,30
25
Y
X
023
9,369,38
9,249,12
75 76 77 78 79
9
Y
X
b)
f x
xxx( )
,,,
=
≤ <≤ <≤ <
9 0 769 12 76 779 24 77 789 3
sisisi
66 78 799 38 79 80
sisi
≤ <≤ <
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
xx,
…⎪⎪
a)
022
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 220
221
Representa, sin hacer las tablas de valores correspondientes, las funciones linealesy afines.
a)
b) y = −x + 4
c)
d) y = −2x
Escribe la expresión algebraica de las funciones representadas, y calcula su pendiente y su ordenada en el origen.
r: y = x + 2 m = 1 n = 2
s: y = −3x − 2 m = −3 n = −2
t: y = x m = n = 0
u: y = x − 1 m = n = −11
3
1
3
−2
3−
2
3
1
5
st r
v
Y
X
026
1
2
Y
X
d)
1
1
Y
X
b)
1
1
Y
X
c)
2
1
Y
X
a)
y x= +1
21
yx= − 3
3
025
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 221
222
Funciones elementales
Representa las funciones en los mismos ejes de coordenadas, y relaciona la aberturade las ramas de cada parábola con el coeficiente de x2.
a) y = x2 b) c) y = 2x2 d)
La abertura es menor cuando el coeficiente es mayor.
Halla los vértices y los puntos de corte con los ejes de las siguientes parábolas.
a) f(x) = x2 −2x + 2 b) g(x) = −2x2 + x −1 c) h(x) = −x2 −2
a) V(1, 1)
No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, 2)
b)
No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, −1)
c) V(0, −2)
No tiene puntos de corte con el eje X. Punto de corte con el eje Y: (0, −2)
Haz la representación gráfica de las siguientes funciones cuadráticas, indicando el vértice y los cortes con los ejes.
a) y = x2 −2x −8
b) y = −x2 + 3x
c) y = x2 + 4x + 4
d) y = 2x2 + 3x −2
a) V(1, −9)
Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y (4, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, −8)
1
1
Y
X
029
V1
4
7
8, −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
028
2
1
Y
X
y x= 1
42y x= 1
22
027
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 222
223
b)
Puntos de corte con el eje X: (0, 0) y (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 0)
c) V(−2, 0)
Punto de corte con el eje X: (−2, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 4)
d)
Puntos de corte con el eje X: (−2, 0) y
Punto de corte con el eje Y: (0, −2)
Representa la función y = x2 y, a partir de ella, dibuja las gráficas de estas funciones polinómicas.
a) y = (x −2)2
b) y = x2 + 3
c) y = (x + 3)2
d) y = x2 −4
¿Qué relación guardan las gráficas de las últimas cuatro funciones con la gráfica de la primera?
La función se traslada horizontalmente 2 unidades a la derecha.
1
1
Y
X
a)
030
1
20,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
1
Y
X
V − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
4
25
8,
1
1
Y
X
1
1
Y
X
V3
2
9
4,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
6SOLUCIONARIO
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224
Funciones elementales
La función se traslada verticalmente 3 unidades hacia arriba.
La función se traslada horizontalmente 3 unidades a la izquierda.
La función se traslada verticalmente 4 unidades hacia abajo.
Haz la gráfica de la función f(x) = x2 + 2x. Obtén la expresión algebraica de las siguientes funciones y represéntalas.
a) f(x −2) c) f(x + 1)
b) f(x) −4 d) f(x) + 2
¿Hay alguna relación entre estas gráficas?
a) f(x − 2) = (x − 2)2 + 2(x − 2) = x2 − 2x
3
2f(x − 2)
Y
X
031
1
1
Y
X
d)
1
1
Y
X
c)
1
1
Y
X
b)
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 224
225
b) f(x) − 4 = x2 + 2x − 4
c) f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = x2 + 4x + 3
d) f(x) + 2 = x2 + 2x + 2
Considera las siguientes funciones.
f(x) = x2 −2x + 1 g(x) = (x −1)2 h(x) = 3x
Calcula la expresión algebraica de la función que se indica en cada apartado, y represéntala gráficamente.
a) f(−x) c) g(−x) e) h(−x)
b) −f(x) d) −g(x) f ) −h(x)
a) f(−x) = (−x)2 − 2(−x) + 1 = x2 + 2x + 1
1
1
f(−x)
Y
X
032
1
1f(x) + 2
Y
X
1
3
f(x + 1)
Y
X
2
2
f(x) − 4
Y
X
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 225
226
b) −f(x) = −x2 + 2x − 1
c) g(−x) = (−x− 1)2 = x2 + 2x + 1
d) −g(x) = −(x − 1)2 = −x2 + 2x − 1
e) h(−x) = 3(−x) = −3x
f ) −h(x) = −3x
1
3
−h(x)
Y
X
1
3
h(−x)
Y
X
1
1
−g(x)
Y
X
1
1
g(−x)
Y
X
1
1
−f(x)
Y
X
Funciones elementales
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227
Construye la tabla de valores y dibuja la gráfica de las funciones.
a) y = x3 + 2x2 + 3
b) y = −x3 + 6x + 1
Halla los puntos donde cortan las siguientes funciones polinómicas al eje X.
a) y = 3x + 9 d) y = 8x2 + 10x −3
b) y = −2x + 5 e) y = 2x2 + x + 3
c) y = 6x2 + 17x −3
a) x = −3 d)
b) e) No tiene puntos de corte.
c) x = −3,
Halla los puntos donde estas funciones cortan al eje X.
a) y = (x −1)(x + 2) b) y = (2x −1)2 c) y = (x −2)(x + 3)(2x + 1)
a) x = 1, x = −2 b) c) x = 2, x = −3, x = −1
2x =
1
2
035
x =1
6
x =5
2
x x= = −1
4
3
2,
034
1
1
Y
X
x −3 −2 −1 0 1 2 3
f(x) 10 −3 −4 1 6 5 −8
b)
1
1
Y
X
x −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0 1 2
f(x) −0,125 3 4,125 4 3,375 3 6 19
a)
033
6SOLUCIONARIO
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228
Representa las siguientes funciones polinómicas, indicando los puntos de corte con los ejes.
a) y = 4x2 + 4x + 1 d) y = x3 −2x2 −7x −4b) y = x3 −x2 −9x + 9 e) y = x3 −2x2 −2x −3c) y = 2x3 −9x2 + x + 12
a) Punto de corte con el eje X:
Punto de corte con el eje Y: (0, 1)
b) Puntos de corte con el eje X: (−3, 0), (1, 0) y (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 9)
c) Puntos de corte con el eje X:
(− 1, 0), y (4, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 12)
d) Puntos de corte con el eje X: (−1, 0) y (4, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 4)
e) Punto de corte con el eje X: (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, −3)1
1
Y
X
2
1
Y
X
3
20,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ 3
1
Y
X
6
4
Y
X
1
1
Y
X
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
20,
036
Funciones elementales
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229
Relaciona cada gráfica con su expresión algebraica.
a) c)
b) y = 2x2 −2x + 1 d) y = −2x2 + x + 1
a) y = f(x), porque si , la parábola es abierta hacia arriba y c = −1.
b) y = h(x), pues si a = 2 > 0, la parábola es abierta hacia arriba y c = 1.
c) y = g(x), porque si , la parábola es abierta hacia abajo y c = 2.
d) y = i(x), ya que si a = − 2 < 0, la parábola es abierta hacia abajo y c = −1.
Representa funciones de la forma y = ax2 −3x + 2 con distintos valores de a, y estudia su variación en función del parámetro.
Respuesta abierta.
Si a = 1 → f(x) = x2 − 3x + 2
Si
Si
Si a = −1 → i (x) = −x2 − 3x + 2
Si a = −3 → j (x) = −3x2 − 3x + 2
La abertura de las parábolas es menor cuanto mayor es el valor absoluto de a.
Representa funciones de la forma y = x2 + bx + 2 con distintos valores de b, y explica cómo varían en función del parámetro.
Respuesta abierta.
Si b = 1 → f(x) = x2 + x + 2
Si
Si
Si b = −1 → i (x) = x2 − x + 2
Si b = −3 → j (x) = x2 − 3x + 2
La abertura de las parábolas es mayor cuanto mayor es el valor absoluto de b.
b h x x x= − = − +1
2
1
222→ ( )
b g x x x= = + +3
2
3
222→ ( )
1
1
Y
X
039
a h x x x= − = − − +1
2
1
23 22→ ( )
a g x x x= = − +3
2
3
23 22→ ( )
4
4
Y
X
038
a = − <1
30
a = >1
20
1
1
f(x) g(x)
h(x) i(x)
Y
X
yx
x= − − +2
32y
xx= + −
2
23 1
037
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 229
230
Representa funciones de la forma y = x2 + 2x + c con distintos valores de c, y analiza su variación en función del parámetro.
Respuesta abierta.
Si c = 1 → f(x) = x2 + 2x + 1
Si
Si c = 2 → h(x) = x2 + 2x + 2
Si
Si c = −1 → j (x) = x2 + 2x − 1
Si c = −3 → k(x) = x2 + 2x − 3
Todas las parábolas tienen la misma abertura. Se trasladan verticalmente, hacia arriba si c es positivo, y hacia abajo si c es negativo.
Escribe funciones con las siguientes características.
a) Una parábola que corte al eje X en x = 3 y x = 5.
b) Una parábola que corte al eje X en x = −2 y x = 1.
c) Una parábola que corte dos veces al eje X en x = 2.
d) Una función cúbica que corte al eje X en x = −3, x = −1 y x = 1.
e) Una función cúbica que corte al eje X dos veces en x = 2 y una vez en x = −1.
f ) Una función cúbica que corte una vez al eje X en x = 5.
g) Una función polinómica de cuarto grado que corte al eje X en x = −1, x = 3, x = 4 y x = 5.
h) Una función de cuarto grado que solo corte dos veces al eje de abscisas, en x = −2 y en x = 5.
Respuesta abierta.
a) y = (x − 3)(x − 5) e) y = (x − 2)2(x + 1)
b) y = (x + 2)(x − 1) f ) y = (x − 5)3
c) y = (x − 2)2 g) y = (x + 1)(x − 3)(x − 4)(x − 5)
d) y = (x + 3)(x + 1)(x − 1) h) y = (x + 2)2(x − 5)2
Explica las diferentes situaciones que pueden producirse al determinar dónde cortaal eje X una función polinómica de cuarto grado.
Para determinar los puntos de corte con el eje X se iguala la expresión de la función a cero. Entonces se obtiene una ecuación polinómica de cuarto grado que puede tener como máximo cuatro soluciones. Por tanto, la función puede no cortar el eje, o cortarlo una, dos, tres o cuatro veces, según el número de raícesdel polinomio.
042
041
c i x x x= − = + −1
22
1
22→ ( )
c g x x x= = + +3
22
3
22→ ( ) 2
2
Y
X
040
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 230
231
Halla por interpolación lineal, sabiendo que y que .
Si utilizando la interpolación lineal.
Determínalo ahora con la calculadora y compara los resultados.
y = 9.880 − 324.064(36 − 37) = 333.944
Los resultados difieren en: 333.944 − 91.390 = 242.554
En un informe sobre población, el Ayuntamiento de una localidad ha presentadoestos datos.
Observa que en la tabla no aparece la población de 1960. ¿Podrías estimarla?
La función de interpolación cuadrática es: y = −0,2x 2 − 793x − 786.450
Para 1960: y = 490
En una ciudad se disputa una liga de baloncesto juvenil con 15 equipos. Cada equipojuega dos veces contra cada uno de los otros. Cada victoria supone tres puntos; cada empate, uno, y las derrotas, cero. Uno de los equipos ha tenido las siguientespuntuaciones.
a) ¿Qué puntuación podría tener en la jornada 5? ¿Y en la jornada 7?
b) La liga se acaba en la jornada 28. ¿Qué puntuación podemos esperar para el equipo? ¿Es razonable el resultado?
Jornada 3 6 8
Puntos 4 6 14
046
− = + +− = +− =
600 3 802 500 1 950
60 19 525 5
30 1
. . .
.
a b c
a b
550
0 2
793
786 450a
a
b
c
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
== −=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩
→,
.⎪⎪⎪⎪⎪
600 1 950 1 950
540 1 955 1 955
450
2
2
= + +
= + +
. .
. .
a b c
a b c
== + +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=−
1 965 1 965
600 3 802 50
2. .
. .
a b c
→00 1 950
60 19 525 5
150 58 725 15
6
a b c
a b
a b
+ +− = +− = +
.
.
.
⎫⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
Año 1950 1955 1965 1970 1975
Población 600 540 450 300 180
045
40
3691 390
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = .
y x= +−
−− = −9 880
658 008 9 880
35 3737 9 880 324.
. .( ) . .0064 37( )x −
40
379 880
40
356
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= =. y 558 00840
36. , calcula
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
044
y = + − =41
61110 64 4 754( ) ,
y x x= +−−
− = + −45 4
125 6464 4
1
6164( ) ( )
125 53 =64 43 =1103043
6SOLUCIONARIO
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232
La función de interpolación cuadrática es:
a) En la jornada 5: y = 4 puntos
Y en la 7: y = 9,3 puntos
b) En la jornada 28: y = 387,3 puntos
El resultado no es razonable porque los valores utilizados para calcular la función de interpolación están muy alejados.
Los ingenieros de mantenimiento de una presa vigilan constantemente la amplitud de las grietas que se dan en la construcción. Han comprobado que la temperatura exterior influye sobre la amplitud de una de ellas y han recogidolos siguientes datos.
a) ¿Cuál será la amplitud esperada de la grieta con una temperatura de 21 °C? ¿Y con 12 °C? ¿Y si alcanza los 28 °C?
b) Si la grieta alcanzara las 3.350 micras, la situación debería ser consideradapeligrosa. ¿A qué temperatura exterior cabe esperar alcanzar esa amplitud?
La función de interpolación cuadrática es:
a) Para 21 °C: y = 955,5
Para 12 °C: y = 795,5
Para 28 °C: y = 1.328,9
b)
La situación sería peligrosa con 46,4 °C o con −21,4 °C.
20
9
500
9
10 280
93 350 2 50 1 987 02 2x x x x x− + = − − =
.. .→ → ==
= −⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
46 421 4,
,x
y x x= − +20
9
500
9
10 280
92 .
→840 289 17
80 111 3
40 18
8 1
8 1
= + += +=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪
a b c
a b
a ⎪⎪⎪⎪
=
= −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
a
b
c
20
9500
910 280
9
.⎪⎪⎪
1
1
840 289 17
920 400 20
1 040 529
.
.
.
= + += + += +
a b c
a b c
a 223
840 289 17
80 111 31 1
b c
a b c
a
+
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= + += +→ bb
a b200 240 61= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
Temperatura (°C) 17 20 23 25
Amplitud (micras) 840 920 1.040 1.250
047
y x x= − +2
3
16
3142
1
1
4 9 3
6 36 6
14 64 8
= + += + += + +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
a b c
a b c
a b c
→→ →4 9 3
2 27 3
10 55 5
4 9= + += += +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=a b c
a b
a b
aa b c
a b
a
+ += +
− = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪3
2 27 3
20 30
→
⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=
= −
=
a
b
c
2
316
314
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 232
233
El año 2004 se creó en Internet la página web de un instituto y se recibieron 1.420 visitas. En 2005 se recibieron 2.930 visitas, mientras que en el año 2006 tuvieron 8.020. ¿Cuántas visitas deberían esperarse para 2008?
El director del instituto ha dado a conocer que los datos relativos a 2007 son de 10.050 visitantes. Calcula, con esta nuevainformación, los datos esperados para el año 2008.Explica la razón de obtener resultados tan diferentes.
La función de interpolación cuadrática es:
y = 1.790x 2 − 7.174.600x + 7.189.231.180
Para 2008: y = 28.940 visitas
La nueva función de interpolación cuadrática es:
y = −1.530x 2 + 6.141.920x − 6.163.908.420
Para 2008: y = 9.020 visitas
Los resultados son diferentes porque en la segunda extrapolación los datos están más próximos al valor utilizado.
Encuentra las funciones cuadráticas que pasan por los siguientes puntos.
a) (0, −3), (1, −2) y (−4, −27) b) (1, −1), (−2, 23) y (3, 13)
a)
La función de interpolación cuadrática es: y = −x 2 + 2x − 3
− =− = + +− = − +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
+−
2
2 16 4
3
2
27 16 4
c
a b c
a b c
→22 16 41
24 16 4
1
2
3
= +− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= −== −
⎧
⎨
⎪⎪a b
a b
a
b
c
→⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
049
→−−
= + +=
2 930 4 020 025 2 005
5 090 4 0114 02
. . . .
. ..
a b c
aa b
a
a
+− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= −2 005
4 020 023 060 2
1
.
. ..
.
→5530
6 141 920
6 163 908 420
b
c
== −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
. .
. . .
1
1
2 930 2 005 2 005
8 020 2 006 2 006
2
2
. . .
. . .
= + +
= +
a b c
a bb c
a b c
+
= + +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪10 050 2 007 2 007
2 93
2. . .
.
→00 4 020 025 2 005
5 090 4 0114 02 2 00
= + += +
. . .
. .. .
a b c
a 55
4 02 2 007 120 8 024 2
b
a b. .. .= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
→1 420 4 016 016 2 004
1 510 4 0094 01
. . . .
. ..
= + += +
a b c
a 22 004
4 014 003 580 2
1 790
.
. ..
.
b
a
a
b
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=→ == −
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
7 174 600
7 189 231 180
. .
. . .c
1 420 2 004 2 004
2 930 2 005 2 005
2
2
. . .
. . .
= + +
= + +
a b c
a b cc
a b c8 020 2 006 2 006
1 420 4
2. . .
.
= + +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=→
.. . .
. .. .
016 016 2 004
1 510 4 009
6
4 01 2 004
a b c
a b
+ += +
.. .. .600 8 020 24 01 2 00= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪a b
048
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 233
234
b)
La función de interpolación cuadrática es: y = 3x 2 − 5x + 1
A continuación puedes ver una parte de la tabla de tarifas de una empresa de transporte de mercancías.
Utiliza la interpolación cuadrática para responder a estas preguntas.
a) ¿Cuánto me costará enviar a Madrid un paquete que pesa 12 kg?
b) Ayer envié otro paquete y me cobraron 29 euros y 50 céntimos. ¿Cuánto pesaba el paquete?
c) ¿Cuánto crees que puede costar enviar un paquete de 32 kg?
La función de interpolación cuadrática es:
a) Si el paquete pesa 12 kg cuesta: y = 25,53 €
b)
Según la tabla de tarifas, el paquete pesaba 14,51 kg.
c) Si el paquete pesa 32 kg cuesta: y = 46,20 €
¿Cuál es el dominio de estas funciones racionales?
a) b)
a) R − {−7, 4} b) R − {−5, 2}
g xx
x x( ) = +
+ −2 3
3 102f x
x x( )
( )( )=
+ −7
7 4
051
− + + = − + − ===
1
30
5
2
1
329 5 75 875 0
14 51
62 2x x x x
x
x,
,→ →
00 55,
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
y x x= − + +1
30
5
2
1
32
→22 100 10
15 300 10
1 303
= + += +
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
a b c
a b
a
→→
a
b
c
= −
=
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
1
305
21
3
22 100 10
37 400 20
42 625 25
= + += + += + +
⎫
⎬
⎪⎪a b c
a b c
a b c
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= + += += +
→22 100 10
15 300 10
20 525 15
a b c
a b
a bb
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
050
− = + += − += + +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
−1
23 4 2
13 9 3
4 4a b c
a b c
a b c
→11
24 3 3
14 8 2
14 4 44= + += −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
− =a b c
a b
a b
→aa b c
a b
a
a
b
c
+ += −=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
== −=
4
424 3 3
90 30
3
5→11
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
Funciones elementales
ENVÍOS A MADRID
10 kg = 22 euros
20 kg = 37 euros
25 kg = 42 euros
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 234
235
Observa la gráfica de la función .
Representa las siguientes funciones.
a) c) e)
b) d) f )
2
2
Y
X
f )
2
2
Y
X
c)
2
2
Y
X
e)
2
2
Y
X
b)
2
2
Y
X
d)
2
2
Y
X
a)
yx
= −−9
1y
x=
+9
2y
x= −9
3
yx
= +92y
x= − 9
yx
=−9
3
1
1
yx
= 9
Y
X
yx
= 9052
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 235
236
La gráfica de la función es:
Encuentra la relación que tienen estas funciones con la función y represéntalas.
a) . Ten en cuenta que: .
b)
c)
d)
yx
x x=
− −+
= − −+
5
21
3
2y
x
x x=
−−
= −−
2 5
12
3
1
2
2
Y
X
d)
4
4
Y
X
b)
yx
x x=
− ++
=+
−2 1
1
3
12y
x
x x=
++
= ++
4
11
3
1
2
2
Y
X
c)
2
2
Y
X
a)
yx
x= − −
+5
2
yx
x= − +
+2 1
1
yx
x= −
−2 5
1
yx
x x= +
+= +
+4
11
3
1y
x
x= +
+4
1
yx
= 3
1
1y
x= 3
Y
X
yx
= 3053
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 236
237
Determina el dominio de estas funciones con radicales.
a) c)
b) d)
a) Dom f = [0, +�) c) Dom h = [−7, +�)
b) Dom g = [0, +�) d) Dom i = [−5, +�)
Halla el dominio de las siguientes funciones con radicales.
a) b)
a) Dom f = Rb) Dom g = (−�, −3] ∪ [3, +�)
¿Cuál es el dominio de estas funciones con radicales?
a) b)
a) Dom f = [5, 9) ∪ (9, +�) b) Dom g = [−1, 15) ∪ (15, +�)
La gráfica de la función es:
Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.
a) f(x −2) c) 1 + f(x) e) −1 − f(x)
b) f(x + 3) d) −f(x) f ) f(x) −2
a) b)
1
1
Y
X1
1
Y
X
f x x( )+ = +3 3f x x( )− = −2 2
1
1
f x x( ) =
Y
X
f x x( ) =057
g xx
x( ) =
−
− +
3 1
4 1f x
x
x( ) =
− −
7
2 5
056
g x x( ) = −4 81f x x( ) = − 13
055
i x x( ) = − + 5g x x( ) = − + 5
h x x( ) = + 7f x x( ) = + 7
054
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 237
238
c) e)
d) f )
Con ayuda de la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la función
. Determina su dominio y su recorrido.
Dom f = RIm f = [1, +�)
A partir de la gráfica de la función , explica cómo haríasla representación gráfica de las siguientes funciones con radicales.
a) c)
b) d)
a) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba.b) La función se desplaza verticalmente 2 unidades hacia abajo.c) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia abajo.d) La función se desplaza verticalmente 1 unidad hacia arriba y se dibuja abierta
hacia abajo con la misma abertura.
y x x= + +2 2 2y x= − + +2 12
y x= − +1 12y x= + +1 12
y x= +2 1059
2
2
Y
X
x −2 −1 0 1 2
f(x) 2,23 1,41 1 1,41 2,23
y x= +2 1
058
1
1
Y
X
1
1
Y
X
f x x( ) − = −2 2− = −f x x( )
1
1
Y
X
1
1
Y
X
− − = − −1 1f x x( )1 1+ = +f x x( )
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 238
239
Representa la gráfica de las funciones y = 2x e y = 3x. A partir de ellas, razona cómo será la gráfica de las funciones y = 5x e y = 10x.
Las gráficas de las funciones y = 5x e y = 10x
también son crecientes y pasan por el punto (0, 1), pero su crecimiento es más lento si x < 0, y es más rápido si x > 0, cuanto mayor es el valor de la base.
Ayúdate de la calculadora y realiza una tabla de valores para representar
la función exponencial .
Representa las funciones e . A partir de las gráficas,
¿cómo serán las gráficas de las funciones e ?
Las gráficas de las funciones
e también son
decrecientes y pasan por el punto (0, 1), pero su decrecimiento es más lento si x < 0, y es más rápido si x > 0, cuanto menor es el valor de la base.
Esta es la gráfica de la función exponencial f(x) = 4x.
1
1
f (x) = 4x
Y
X
063
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
10y
x
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
5
1
1
Y
X
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
10y
x
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
5
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
3y
x
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
2062
x −2 −1 0 1 2
f(x) 9 3 1 0,33 0,11
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
3
1
1
Y
X
061
1
1
Y
X
060
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 239
240
Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.
a) f(x −3) c) 4 + f(x) e) 2 − f(x)
b) f(x + 1) d) −f(x) f ) f(x) −2
a) f(x − 3) = 4x − 3 c) 4 + f(x) = 4 + 4x
b) f(x + 1) = 4x + 1 d) −f(x) = −4x
e) 2 − f(x) = 2 − 4x f ) f(x) − 2 = 4x − 2
A partir de la gráfica de la función , explica cómo harías la representación
gráfica de las siguientes funciones.
a) c) e) y = 3x + 2
b) y = 3x d) f )
a) La función se traslada horizontalmente 3 unidades hacia la derecha.
b)
La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría de ambas.
y x
x
= =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
⎛
⎝⎜⎜
−
31
3
1
3
1
⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−x 1
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
−1
3
2
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
+1
3
1
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
−1
3y
x
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
−1
3
3
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
1
3064
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
Y
X
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 240
241
c)
La función es simétrica a ella y el eje de ordenadas es el eje de simetría de ambas. Coincide con la anterior.
d) La función se traslada horizontalmente 1 unidad hacia la izquierda.
e)
Primero se traslada horizontalmente 2 unidades hacia la izquierda y, después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas.
f )
Primero se traslada horizontalmente 2 unidades hacia la derecha y, después, se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de ordenadas.
Con la calculadora, realiza una tabla de valores para representar la funciónlogarítmica y = log3 x.
Representa la gráfica de las funciones.
y = log2 x y = log3 x
Deduce, a partir de ellas, cómo será la gráfica de las funciones y = log5 x e y = log x.
Las gráficas de las funciones y = log5 x e y = log x también son crecientes y pasanpor el punto (1, 0), pero su crecimiento es más rápido si 0 < x < 1, y es más lento si x > 1, cuanto mayor es el valor de la base.
1
1
Y
X
066
1
1
Y
X
x 1 2 3 4 5
f(x) 0 0,63 1 1,26 1,46
065
yx x
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞− −1
3
1
3
2 2
⎠⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
−1
y x
x
= =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟=+
− +
31
3
1
32
1 2⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
+ −x 2 1
yx x
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟−
1
3
1
3⎟⎟⎟⎟⎟
−1
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 241
242
Representa las funciones e .
¿Cómo serán las gráficas de las funciones e ?
Las gráficas de las funciones e también son decrecientes
y pasan por el punto (1, 0), pero su decrecimiento es más rápido si 0 < x < 1, y es más lento si x > 1, cuanto menor es el valor de la base.
Esta es la gráfica de la función logarítmica f(x) = log x.
Obtén la expresión algebraica y representa las siguientes funciones.
a) f(x −4) c) 4 + f(x + 1) e) 2 − f(x −2)b) f(x + 3) d) −f(x) f ) f(2 −x)
a) f(x − 4) = log (x − 4) c) 4 + f(x + 1) = 4 + log (x + 1)
b) f(x + 3) = log (x + 3) d) −f(x) = −log x
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
Y
X
1
1
f (x) = log x
Y
X
068
y x= log 1
10
y x= log 1
5
1
1
Y
X
y x= log 1
10
y x= log 1
5
y x= log 1
3
y x= log 1
2
067
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 242
243
e) 2 − f(x − 2) = 2 − log (x − 2) f ) f(2 − x) = log (2 − x)
A partir de la gráfica de la función logarítmica y = log3 x, explica cómo harías la representación gráfica de las siguientes funciones.
a) y = log3 3x c) e)
b) d) f )
a) y = log3 3x = 1 + log3 x
La función se traslada verticalmente 1 unidad hacia arriba.
b)
La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas.
c) La función es simétrica a ella y el eje de abscisas es el eje de simetría de ambas.Coincide con la anterior.
d)
Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas y, después, se traslada verticalmente1 unidad hacia arriba.
e)
Primero se dibuja la función simétrica a ella respecto del eje de abscisas y, después, se traslada verticalmente 1 unidad hacia abajo.
f )
La función se traslada verticalmente 2 unidades hacia abajo.
Dibuja la gráfica de y = cos x y, a partir de ella, haz la gráfica de las siguientesfunciones.
a) y = −cos x c) y = 1 + cos x
b) d) y = cos (−x)y x= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟cos
π2
070
yx
x=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −log log3 3
92
y x x x= = + = − + −log log log log1
3
1
3
1
333 3 1 1
yx
x=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −log log3 3
31
y x x= = −log log1
33 1
yx=
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟log3
9y
x=
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟log 1
3
3y x= log 1
3
y x= log 31
3
yx
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟log3
1
069
1
1
Y
X
1
1
Y
X
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 243
244
Dibuja la gráfica de y = sen x y, a partir de ella, haz la gráfica de estas funciones.
a) y = −sen x c) y = −2 + sen x
b) d) y = −sen (−x)
Realiza una gráfica y estudia las características de estas funciones.
y = sen 2x y = sen 3x
A partir de lo anterior explica cómo serán las gráficas de las funciones
y = sen 4x e y = sen 6x.
072
π
1
Y
X
d)
π
1
Y
X
b)
π
1
Y
X
c)
π
1
Y
X
a)
y x= +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟sen
π2
071
π
1
Y
X
d)
π
1
Y
X
b)
π
1
Y
X
c)
π
1
Y
X
a)
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 244
245
Las gráficas de las funciones y = sen 4xe y = sen 6x tienen el mismo dominio y recorrido y son periódicas, pero el período es mayor cuanto mayor es el valor por el que se multiplica la variable independiente x.
Representa y estudia las características de estas funciones.
Explica, a partir del estudio anterior, cómo serán las gráficas de las siguientes funciones.
a) b)
a) La gráfica de la función tiene el mismo dominio y recorrido
y es periódica, pero el período es 10π.
b) La gráfica de la función tiene el mismo dominio y recorrido
y es periódica, pero el período es 6π.
Ayudándote de su gráfica, comprueba que estos pares de funciones no son iguales.
a) c)
b)
π
1
Y
X
b)
π
1
Y
X
c)
π
1
Y
X
a)
y senx
ysen x=
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ =
2 2
y tgx
ytg x=
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ =
2 2y cos
xy
cos x=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟ =
2 2
074
yx
= cos6
yx
= cos5
yx= cos6
yx= cos5
π
1
Y
X
yx= cos3
yx= cos2
073
π
1
Y
X
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 245
246
Utiliza la gráfica de y = tg x para construir las gráficas de las siguientes funciones.
a) y = tg (x + π) b) y = 1 − tg x
A continuación puedes ver la gráfica de la función y = arc sen x.
Realiza las gráficas de las funciones.
a) y = 2 + arc sen x c)
b) y = 3 −arc sen x d) y = arc sen (x −1)
π2
1
Y
X
d)
π2
1−1
Y
X
b)
π2
1−1
Y
X
c)π
1−1
Y
X
a)
y arc sen x= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
1
2
1−1
y = arc sen x
π2
−π2
Y
X
076
π
1
Y
X
b)
π
1
Y
X
a)
075
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 246
247
Esta es la gráfica de la función y = arc cos x.
Realiza las gráficas de las funciones.
a) y = 2 + arc cos x
b) y = 3 −arc cos x
c)
d) y = arc cos (x −1)
La función cuya expresión algebraica es se llama función signo de x.
Encuentra su expresión algebraica como una función definida a trozos.
a) ¿Cuánto vale si x = 3? b) ¿Y si x = −5? c) ¿Y si x = −3,4?
a) f(3) = 1 b) f(−5) = −1 c) f(−3,4) = −1
f xxx
( ) = >− <
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 01 0
sisi
1
1
yx
x=
⏐ ⏐
Y
X
yx
x=
⏐ ⏐078
π2
1
π
−1
Y
X
d)
π2
1
π
−1
Y
X
b)
π2
1
π
−1
Y
X
c)
π2
1
π
−1
Y
X
a)
y arc x= −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟cos
1
2
π2
1−1
y = arc cos x
Y
X
π077
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 247
248
Representa y describe las características de las siguientes funciones.
a) Dom f = R Im f = RLa función es creciente en (−�, 2) ∪ (2, +�).
No es continua en x = 2, y este es un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
No tiene asíntotas.
No es simétrica ni periódica.
b) Dom g = R Im g =
La función es creciente en ∪ (3, +�)
y es decreciente en .
Tiene un mínimo absoluto en .
No es continua en x = 3, y este es un punto de discontinuidad evitable.
No tiene asíntotas. No es simétrica ni periódica.
c) Dom h = R − {1} Im h = (−�, 0) ∪ [6, +�) La función es decreciente en (−�, 1) ∪ (1, 2) y es creciente en(2, +�). Tiene un mínimo relativo en x = 2.
No es continua en x = 1, y este es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Tiene una asíntota vertical en x = 1 y una asíntota horizontal en y = 0.
No es simétrica ni periódica.
Escribe como funciones definidas a trozos.
a) y = ⏐x + 2⏐ b) y = ⏐12 −3x⏐
a) b) f xx x
x x( ) = − ≤
− + >⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
12 3 412 3 4
sisi
f xx xx x
( ) = + ≥ −− − < −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 22 2
sisi
080
2
2
Y
X
x =3
2
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟� ,
3
2
3
23,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
− +⎡
⎣⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
9
4, �
2
2
Y
X
c)si
sih x x
x
x x( ) = −
<
+ ≥
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
6
12
2 1 2
b)sisisi
g xx x x
xx x
( ) =− <
=− + >
⎧⎨⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
2 3 36 3
3 3
a)sisi
f xx x
x x( ) =
+ <− ≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 1 25 2
079
Funciones elementales
1
1
Y
X
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 248
249
Observa la gráfica de la función y = x2 −x −6.
Realiza la gráfica de y = ⏐x2 −x −6⏐.
Representa la función.
Estudia el valor que toma la función en los puntos próximos a −1, completando las tablas.
Describe lo que le sucede a la función en las proximidades de −1.
Por la izquierda de −1 los valores de la función se acercan a 2, y por la derecha se acercan a 4.
Escribe como una función definida a trozos y representa las funciones.
a) y = ⏐x2 −4x −5⏐ c) y = ⏐2x2 −7x + 3⏐b) y = ⏐x2 −4x + 5⏐ d) y = ⏐−x2 + 4x −5⏐
a)
2
2
Y
X
f x x x x xx x x
( ) ,= − − ≤ − ≥− + + − < <
⎧⎨⎪⎪⎩
2
2
4 5 1 54 5 1 5
sisi⎪⎪⎪
083
Derecha de −1 0 −0,5 −0,9 −0,95
f (x) 3 3,5 3,9 3,95
Izquierda de −1 −2 −1,5 −1,1 −1,05
f (x) 2 2,25 2,09 2,0475
f xx x x
xx x
( ) =+ <−
− = −− + >−
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪
⏐ ⏐2 3 1
4 13 1
si
sisi⎪⎪⎪
082
1
1
Y
X
y = x2 − x − 6
1
1
Y
X
081
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 249
250
c)
Expresa como una función definida a trozos.
a) y = ⏐x⏐ + ⏐x + 2⏐b) y = ⏐x + 1⏐ −⏐1 − x⏐c) y = ⏐x −1⏐ −⏐1 − x⏐d) y = ⏐2x + 1⏐ −⏐2 − x⏐
c) f(x) = 0
El número de alumnos afectados por una epidemia de gripe se obtiene a partir de la función:
siendo x el número de días transcurridos desde el comienzo de la epidemia.
a) ¿Cuántos afectados hubo el primer día?
b) ¿En qué momento el número de afectados fue 15?
c) Representa la función y comprueba los resultados que has obtenido en los apartados anteriores.
f xx
x( ) =
+30
2
085
d)
si
si
si
f x
x x
x x
x x
( ) =
− − ≤ −
− − < ≤
+ >
⎧
⎨
⎪⎪ 31
2
3 11
22
3 2
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
b)sisisi
f xx
x xx
( ) =− ≤ −
− < ≤>
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
2 12 1 12 1
a)sisisi
f xx x
xx x
( ) =− − ≤ −
− < ≤+ >
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪
2 2 22 2 0
2 2 0⎪⎪⎪
084
1
1
Y
X
d)
f xx x x x
x x x( )
,=
− + ≤ ≥
− + − < <
⎧
⎨
⎪2 7 3
1
23
2 7 31
23
2
2
si
si
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
1
1
Y
X
b)
1
1
Y
X
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 250
251
a) f(1) = 10 afectados
b)
Hubo 15 afectados dos días después del comienzo de la epidemia.
Un capital de 5.000 €está depositado en un banco, y produce un interés anual del 2 %.
a) ¿Cuánto dinero hay al cabo de un año?
b) ¿Y a los dos años?
c) ¿Y a los n años?
a) 5.100 € b) 5.202 € c) C = 5.000 · 1,02n
La tabla recoge el interés que ofrece un banco al ingresar dinero durante un año.
a) Representa la función que determina el interés obtenido dependiendo del dineroque se ingresa. ¿De qué tipo de función se trata?
b) Si se ingresan 1.800 €, ¿cuánto dinero tendré al final del año?
c) ¿Y si ingreso 500 €?
Se trata de una función definida a trozos.
b) 1.800 · 1,1 = 1.980 €
c) 500 · 1,05 = 525 €
500
5
Y
X
a)
Dinero (€) Interés (%)
Hasta 1.000 5
De 1.000 a 2.500 10
De 2.500 a 5.000 15
Más de 5.000 20
087
086
2
20
Y
X
c)
30
215 30 15 30 15 30 2
x
xx x x x
+= = + = =→ → →
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 251
252
En una oficina se está elaborando un estudio sobre siniestralidad laboral y se tiene que:
a) Calcula, de modo aproximado y utilizando la interpolación, el número de siniestros esperables en una empresa de 30 trabajadores.
b) ¿Cuántos siniestros cabe esperar en una empresa que tiene 900 empleados?
c) Una empresa tuvo el año pasado 24 siniestros. Estima el número de sus empleados.
d) Una empresa con 84 empleados tuvo 6 siniestros durante el año pasado. ¿Era un número esperable? ¿Es mayor o menor de lo esperado?
a)
La función de interpolación cuadrática es:
y = −0,0000058x 2 + 0,39x + 2,076
Si en una empresa hay 30 trabajadores: y = 3,24 siniestros
b) Si hay 900 empleados: y = 32,48 siniestros
c) 0,0000058x 2 + 0,39x + 2,076
Dados los datos de la tabla, la empresa tendrá 624 empleados.
d) Si la empresa tiene 84 empleados se esperan: y = 5,31 siniestrosSi hubo 6 siniestros este número es solo una unidad mayor que el número esperado así que la estimación es bastante aproximada.
Encuentra las funciones inversas de estas funciones.
a) y = 3x −1 f ) y = ln (x + 3)
b) g) y = 3 + 4 ⋅ 5x
c) y = sen 2x h)
d) i) y = ⏐x −1⏐
e) y = arc cos (x −2) j) y = x
b) y x x y f x x= = =−→ →2 1 2( )
a) y x y x xy
f xx
= − + = =+
=+−3 1 1 3
1
3
1
31→ → → ( )
ytg x= +1
2
yx= +1
5
log3
y x=
089
→ →− + − ==
=0 0000058 0 039 21 924 0
624 23
6 02, , ,
,
.x x
x
x 005 77,
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→−−
= + +=
1 22 213 24 4
1 2 213
4 2 500 50
16 247 5
. .
. .
.
.
a b c
000 450
1 250 213 750 000
a b
a
a
+− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
= −
. . .
→00 0000058
0 039
2 076
,
,
,
b
c
==
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
2 1 25 1 0
1 1
4 2 500 50
20 250 000 500
= + += + +
. .
. .
.
.
a b c
a b cc
a b c35 1 000 000 1 000
4 222 1
= + +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=
. . .
.
→..
.
.
500 50
16 247 500 450
31 997 500 95
2a b c
a b
a
+ += += + 00b
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
N.o de trabajadores 50 500 1.000
N.o de siniestros 4 20 35
088
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 252
253
j) y = x → x = y → f −1(x) = x
Una granja de caracoles ha ajustado sus gastos de producción por x kilogramos de caracoles según la función:
Sus ingresos se rigen por la fórmula:
Averigua cuál es el número de kilogramos de caracoles con el que se obtiene el beneficio máximo.
Los beneficios de la granja se obtienen a partir de la función:
Se trata de una función cuadrática, por lo que su gráfica es una parábola. Al ser el coeficiente de x2 un valor negativo la parábola está abierta hacia abajo.Entonces la función alcanza su máximo en el vértice de la misma:
kgxb
a= − =
22 000.
f x x x x( ) .. .
.= + − + − −8 000 21
1 000
1
200 0002 000
1
202 3
00 000
6 000 21
1 000
3
2
.
..
x
x x
=
= + −
I x x x x( ) .. .
= + − +8 000 21
1 000
1
200 0002 3
G x x( ) ..
= +2 0001
200 0003
090
y x x yy x x y
f xx= − = +
= − + = − +⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= +−1 11 1
11→→
→ ( ) siisi
xx x
≥− + <
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
11 1
i) sisi
f xx xx x
( ) = − ≥− + <
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 11 1
h) yx
y x x y x fy=+
= + = − = −1
55 1 5 1 33
3 35 1log
log log→ → → −− −=1 5 13( )x x
g) yy
xy
fx x= + =−
=−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−3 4 5 53
4
3
45· log→ → → 11
53
4( ) logx
x=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
f ) lny x x e x e f x ey y x= + + = = − = −−( ) ( )3 3 3 31→ → →e) y arc cos x cos y x x cos y f x= − = − = + = +−( ) ( )2 2 2 21→ → → ccos x
d) ytg x
y tg x x arctg y f x ar=+
− = = − =−1
22 1 2 1 1→ → →( ) ( ) cctg x( )2 1−
c) y sen x x arc sen y xarc sen y
f xarc s
= = = =−2 22
1→ → → ( )een x
2
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 253
254
Una ONG ha estimado que el número de personas ingresadas en los hospitales
tras un tsunami sigue aproximadamente la fórmula:
donde P es el número de personas hospitalizadas, en miles, y t es el número de díastranscurridos desde el tsunami.
a) ¿Cuántas personas habrá hospitalizadas el primer día?
b) ¿Y cuántas habrá al cabo de tres semanas?
c) Si la capacidad hospitalaria de una isla del área afectada es de 2.000 camas, ¿hasta qué día estuvo desbordada la capacidad?
a) 11.000 personas
b) 1.243 personas
c)
Como el número de personas hospitalizadas decrece según el número de días la capacidad de hospitalización estuvo desbordada hasta el décimo día.
La evolución de una población viene determinada por la función P(t) = 100 ⋅ 2t, y la de los alimentos que necesitan sigue la función A(t) = 1.000t + 1.000.
a) ¿Cuánta población había al principio? ¿Y alimentos?
b) ¿Y después de 2 años?
c) ¿A partir de qué año la población tendrá menos alimentos de los que son necesarios?
a) P(0) = 100 A(0) = 1.000
b) P(2) = 400 A(2) = 3.000
PARA FINALIZAR...
Razona para qué valor de x se hace mayor la diferencia −⏐x⏐.
La diferencia alcanza el mayor valor para x = 0.
1
3
Y
X
x 2 1+093
A partir del sexto año.
2
1.000
Y
X
c)
092
1110
102 120 2 20 100 0 10
2
2 2 2++
= + = + − = = ±t
t t t t→ → →
Pt
t= ++
∈1110
100 30
2( , )
091
Funciones elementales
833243 _ 0210-0257.qxd 14/10/08 09:47 Página 254
255
La función f(x) está formada por cuatro segmentos.
¿Cuántas soluciones tiene la ecuación f [f(x)] = 6?
Como f(1) = f(−2) = 6, las soluciones de la ecuación son los valores para los que las ordenadas son iguales a 1 y a −2. En total hay seis puntos que cumplen estas condiciones, es decir, la ecuación tiene seis soluciones.
Calcula los valores máximo y mínimo (extremos absolutos) que puede alcanzar la función f(x) = ⏐1 −x2⏐en el intervalo [−2, 2].
En el intervalo [− 2, 2], el máximo valor es 4, ya que los puntos x = 2 y x = −2 son los máximos absolutos, y el mínimo valor es 0, porque los puntos x = 1 y x = −1 son los mínimos absolutos.
¿Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones en el intervalo [−π, π]?
a) e x = 2 −x2 b) ln x = −x c)
Tiene dos soluciones.
Tiene una solución.
2
2
Y
X
y = ln x
y = –x
b)
1
y = e x
y = 2 − x2
Y
X
a)
sen xx=2
096
1
1
Y
X
095
2
2
B (−2, 6) C (1, 6)
D (5, −6)A (−7, −4)
Y
X
094
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 255
256
Tiene tres soluciones.
Las manecillas de un reloj miden 20 y 30 cm. Entre las 12 horas y las 12 horas y 30 minutos:
a) Expresa el ángulo que forman en función del tiempo, t, medido en minutos.
b) Halla el área del triángulo creado al unir sus extremos en función de t. ¿Puede tomar el valor cero? ¿A qué hora alcanza su mayor valor?
c) Expresa la distancia entre los extremos de las agujas en función de t.
a) Como la manecilla que marca las horas tarda 12 horas en completar una vuelta (2π radianes), su velocidad es:
rad/min
Análogamente, la velocidad de la otra manecilla es:
rad/min
El ángulo que forman ambas manecillas es la diferencia entre los ángulosrecorridos por cada una, en función del tiempo t transcurrido:
rad
Esta función se anula si el ángulo mide kπ radianes, con k ∈ Z. En el intervalo de tiempo dado esta condición solo se cumple a las 12 horas (α = 0).
Como el mayor valor de la función seno se alcanza cuando el ángulo mide
radianes, hay que calcular a qué hora el ángulo formado tiene esta amplitud:
El área es máxima a las 12 horas y 16,36 minutos.
c) Por el teorema del coseno, la distancia entre las agujas es:
d t= + −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =20 30 2 20 30
11
3601 32 2 · · · .cos
π000 1 200
11
360
10 13 121
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= −
. cos
cos
πt
11
360
πt
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
11
360 216 36
π πt t= =→ ,
π2
b) A sen t sen=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
220 30
11
360300
11· · ·
π ππ360
t⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
απ π π
= − =30 360
11
360t t t
vm = =2
60 30
π π
vh = =2
720 360
π π
097
π
1
Y
X
y = sen x
yx
=2
c)
Funciones elementales
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257
La temperatura media diaria, medida en grados Celsius, en una ciudad, durante el año pasado, viene dada por la siguiente función.
donde t es el tiempo en días, correspondiendo t = 1 al 1 de enero, y el ángulo estámedido en radianes. Halla la temperatura correspondiente a los días 1 de enero y 10 de agosto. Calcula las temperaturas máxima y mínima del año.
Para calcular la temperatura del 1 de enero: t = 1 → T = −3,77 grados
Para calcular la temperatura del 10 de agosto: t = 222 → T = 19,89 grados
Como en la expresión dada, el coseno del ángulo está multiplicado por un númeronegativo, la función alcanza el máximo si su amplitud es de π radianes.
Por tanto, la temperatura máxima es: T = 20 grados
Análogamente, la función alcanza el mínimo si dicho ángulo mide 0 radianes.
Así, la temperatura mínima es: T = −5,55 grados
2
36532 0 32
π( )t t− = =→
2
36532 214 5
ππ( ) ,t t− = =→ días
T t= − −⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥
5
913 23
2
36532cos
π( )
098
6SOLUCIONARIO
833243 _ 0210-0257.qxd 10/10/08 11:32 Página 257
258
Límite de una función1SOLUCIONARIO
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El ochoSharrif iba sacando los libros [de mi bolsa] y ordenándolos en una pila sobre el escritorio mientras leía cuidadosamente los títulos.
–Juegos matemáticos de ajedrez... ¡ah! ¡Los números de Fibonacci! –ex-clamó, con esa sonrisa que me hacía sentir que tenía algo contra mí.Señalaba el aburrido libro de Nim–. ¿De modo que te interesan lasmatemáticas? –preguntó, mirándome con intención.
–No mucho –dije, poniéndome en pie y tratando de volver a guardarmis pertenencias en la bolsa. [...]
–¿Qué sabe exactamente sobre los números de Fibonacci? [...]
–Se usan para proyecciones de mercado –murmuré–. [...]
–¿Entonces no conoce al autor? [...] Me refiero a Leonardo Fibonacci.Un italiano nacido en Pisa en el siglo XII, pero educado aquí, en Argel.Era un brillante conocedor de las matemáticas de aquel moro famoso,Al-Kwarizmi, que ha dado su nombre a la palabra «algoritmo». Fibo-nacci introdujo en Europa la numeración arábiga, que reemplazó a losviejos números romanos...
Maldición. Debí haber comprendido que Nim no iba a darme un libro só-lo para que me entretuviera, aun cuando lo hubiera escrito él mismo. [...]
Permanecí leyéndolo casi hasta el amanecer y mi decisión había resulta-do productiva, aunque no sabía con certeza cómo. Al parecer, los núme-ros de Fibonacci se usan para algo más que las proyecciones del mercadode valores. La resolución de un problema había llevado a Fibonacci a for-mar esta interesante sucesión de números empezando por el uno y su-mando a cada número al precedente: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... [...] Descu-brió que los cocientes entre cada término y el anterior se aproximan al
número y que este número describía también la estructura
de todas las cosas naturales que formaban una espiral.
KATHERINE NEVILLE
1 52
+
Los números de Fibonacci aparecen con frecuencia en la naturaleza. Por ejemplo, el númerode espirales de los girasoles o de las piñas es siempre uno de estos números. Además, como se dice en esta novela, al dividir cada término de la sucesión de Fibonaccientre el anterior, se obtiene una nueva sucesión de números que se aproximan
cada vez más al número de oro: . Aunque no la descubrió Fibonacci, esta propiedad
es verdadera. Compruébala tú mismo.
La sucesión que se obtiene al dividir cada término de la sucesión de Fibonacci entre el anterior es:
a1 = 1
a2 = 2 = 1,6�
Estos valores se aproximan a: 1 5
21 618
+= , …
a834
211 619= = , …a6
13
81 625= = ,a4
5
3=
a721
131 615= = , …a5
8
51 6= = ,a3
3
21 5= = ,
1 5
2
+
Límite de una función7
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 258
259
7SOLUCIONARIO
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Escribe los términos 14, 123 y 2.345 de estas sucesiones.
a) b)
a) a14 = 156 a123 = 14.762 a2.345 = 5.491.992
b) a14 = a123 = a2.345 =
Factoriza este polinomio: P (x) = 7x 5 + 14x 4 −35x 3 − 42x 2
P (x) = 7x2(x − 2)(x + 1)(x + 3)
Simplifica estas fracciones algebraicas.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Resuelve estas operaciones y simplifica el resultado.
a) b)
a)
b)
ACTIVIDADES
Obtén el término general de estas sucesiones.
a) … b) , …
a) b) an
nn =
− +2 52
an
n n=
−⋅ −
4 1
5 3 1
3
1
1
4
1
9
3
16, , ,
− −3
5
7
15
11
45, , ,
001
( )2 21
3
6 6 1
3
6 7 1
3
2 2
xx
x
x x x
x
x x
x− −
−=
− − +=
− +
( )xx x
x
x x x
x
x
x+ −
− +−
=− − + −
−=
−−
13 1
1
1 3 1
1
3 2
1
2 2 2
( )2 21
3x
x
x− − −
( )x x x
x+ − − +
−1 3 1
1
2
004
( )( )
( )( )
( )( )( )x y
xy x y
x x y2 2
2
9 16
2 6 4
3 3 4− −
− +=
+ − + (( )
( )( )
( )( )
( )
y
xy x y
x y
xy y
−
− +=
+ −
+
4
2 3 4
3 4
2 42
y x x
x x
y x
x x
y x
x
2 2 2 2 24 4
2
2
2
2( )
( )
( )
( )
( )− +
−=
−
−=
−
x x
x x
x x x
x xx x
2 2 24
2
2 2
22
( )
( )
( )( )
( )( )
−−
=+ −
−= +
x x
x x
x
x x
x
x
2 22 1
1
1
1
1+ ++
=+
+=
+( )
( )
( )
( )( )
( )( )
x y
xy x y
2 2
2
9 16
2 6 4
− −− +
x x
x x
2 2 4
2
( )
( )
−−
y x x
x x
2 2 4 4
2
( )
( )
− +−
x x
x x
2 2 1
1
+ ++( )
003
002
2 349
4 691
.
.
127
247
18
29
an
nn = +
+4
2 1a n nn = − +2 3 2
001
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 259
260
Límite de una función
Con tu calculadora, halla los cinco primeros términos de la sucesión recurrente
, siendo a1 = 1, y determina el número al que se aproxima.
a1 = 1 a2 = 2 a3 = = 1,6� a4 = a5 = = 1,72�
Los términos de la sucesión se aproximan a:
Con ayuda de tu calculadora, halla el límite de las siguientes sucesiones.
a) b) an = n2 c) d)
a) b) c) d)
Escribe sucesiones de números reales que cumplan que su límite, cuando ntiende a infinito, es:
a) b) c) d)
Respuesta abierta.
a) b) c) d)
Calcula estos límites de sucesiones.
a) b) c) d)
a) b) c) d)
Halla los límites de las sucesiones cuyos términos generales son los siguientes.
a) b)
a) b)
Halla los siguientes límites.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d) limn
n
n
n
n→�
+−
−−+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
1
1
10lim ln
n
n
2 7
2
+= +�
limn
n
n n→�
3 1
23
2
2
++ +
=limn
n
n
n
n→�
3 1 4
2 30
2
3
4
4
−⋅
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=
limn
n
n
nn→�
+−
− −+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
1
1
1
1lim
n
nn→�ln
2 7
2
+
limn
n nn→�
3 1
2
2
2
++ +
limn
n
n
nn→�
3 1 4
2 3
2
3
4
4
− ⋅+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
007
limn
n
n→�
( )
( )
−+
=1
21
10
10lim
n
n
n n→�
8
2 3 10
2 + −=
( )
( )
n
n
−+
1
2
10
10
8
2 3 12
n
n n+ −
006
limn
n
→�0 5 0, =lim
nn
→��43 = +lim
nn
→��= +lim
nn
→��3 = +
limn
n
→�0 5,lim n
n→�
43lim nn→�
lim nn→�
3
005
ann= − +( )1 1a nn = +2 3a nn = −4a
n
nn =
+3
1
lim an
n→�no existelim a
nn→�
�= +lim an
n→��= −lim a
nn→�
= 3
004
limn
na→�
= 0limn
na→�
�= −limn
na→�
�= +limn
na→�
= 1
ann= 0 2,a n nn = −2 3an
n= − +( )1 2 4
003
3 1 732= , …
19
11
7
41 75= ,
5
3
aaa
nn
n
= ++
−
−
1
1
31
002
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 260
261
7SOLUCIONARIO
Calcula estos límites.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Explica por qué no son indeterminaciones.
a) � ⋅ � b) c) d) �1
a) El producto de valores muy grandes resulta un valor aún más grande.
b) Al dividir cero entre cualquier número distinto de él, el resultado es cero.
c) El cociente de un valor muy grande entre un número muy próximo a cero es un valor aún más grande.
d) Cualquier número elevado a uno es el mismo número.
Pon ejemplos de límites que produzcan indeterminaciones de los tipos.
a) 0 ⋅ � b) 1� c) �0 d) 00
Respuesta abierta.
a) c)
b) d)
Calcula los siguientes límites, resolviendo las indeterminaciones que puedan presentar.
a) b)
a)
b)
limn
n n
n→�
+ +=
1
2
1
2
limn
n n
n→→
�
�
�
+ + 1
2
limn
n n
n→�
+=
3
0
limn
n n
n→→
�
�
�
+ 3
limn n
nn→�
+ + 1
2lim
n n
nn→�
+ 3
011
limn
n
n→�
12
1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟lim
n
nn
n→�
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
1
2
limn
nn→�
( )− 41
limn
n
n→�
1
4
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ln
010
�
0
0
�
009
limn
n
n
→�0 1 1
12,
+
=limn
n
n n→�ln
2 1
20
3
3
++
=
limn
n
n
→�9 3
2
2
1+
=2limn
n
n
n
n n→�
4
4
3
3
1
2 1 3 1
1
6
++
+−+ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=
limn
n
n
→�0 1
12,
+
limn
n nn→�ln
2 1
2
3
3
++
limn
n
n
→�9
2
2
1+
2limn
n
n
n nn→�
4
4
3
3
1
2 1 3 1
++
+ −+ +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
008
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 261
262
Límite de una función
¿Presentan indeterminaciones del tipo estas sucesiones?
En caso afirmativo, halla el límite.
a) b)
a) No es una indeterminación, porque la raíz cuadrada no está definida para valores grandes de n.
b) Es una indeterminación del tipo :
Calcula los siguientes límites.
a) b)
a)
b)
Halla estos límites.
a)
b)
c)
a)
b)
c) limn
n n n→�
�2 27 3+ + +( ) = +
lim limn n
n nn
n n→ →� �2 5
3 5
4 5
3
42
2
2 2− +( ) =
−
+ +=
limn
n n→
→�
� �2 52− +( ) −
lim limn n
n n nn
n n n→ →� �
2 2
2 24 3
3 4
4 3
3
2− − −( ) =
−
− + −=
limn
n n n→
→�
� �2 24 3− − −( ) −
lim n n nn→�
2 27 3+ + +( )
lim n nn→�
2 52− +( )
lim n n nn→�
2 24 3− − −( )014
lim limn n
n
n
n
n
n→ →� �
4
2
3 3
1
2 2
++
− +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=− + nn
n n
2
3
21
++
= −
limn
n
n
n
n→→
�� �
4
2
3
1
2
++
− +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
lim limn n
n n
n
n
n→ →� �
3
2
22 1
2 1 1
+ +−
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−− − + − −
− − += −
n n n n
n n n
4 3 2
3 2
3 1
2 2 1�
limn
n n
n
n
n→→
�� �
3
2
22 1
2 1 1
+ +−
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
limn
n
n
nn→�
4
2
3
1
2
++ − +⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟lim
n n
n
n
nn→�
3
2
22 1
2 1 1
+ +−
−−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
013
limn
n
n→�
50
23 −=�
�
limn
nn→�
5 23 −lim
n
nn→�
5 2−
�
�012
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 262
263
7SOLUCIONARIO
Calcula los siguientes límites.
a) b)
a)
b)
Halla estos límites.
a) b)
a)
b)
Halla los siguientes límites.
a) b)
a) b)
Calcula estos límites.
a) b)
a)
b)
lim limx
x
x
x x
x
x→ →+ +
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= +−
� �
2
2
2
11
2 1
xx x
x
x
x2 211
1
1
2 1
+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
+−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜+
lim→ �
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
+
−
−x
x
x x
x2 1
1
2 1
2
( )22 1
2
+
= e
limx
xx x
x→→
+
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�
�2
2
2
11
limx
xx
x→+
++
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
�
1
3 30
limx x
xx
x
→+
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�
2
2
2
1lim
x
xx
x
→+
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟�
1
3 3
018
limx
x x
x x→+
+− −
=�
( )
( )( )
3 1
6 2 1
3
8
4
2 3lim
x
x
x→+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = =
�
2
12 8
3
3
limx x
x xx →+
+− −�
( )
( )( )
3 1
6 2 1
4
2 3lim
x
xx →+ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�
2
1
3
017
lim limn
n
nn n→ →� �1
3
21
1
2
3
2
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝
⎜⎜−3
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
=
−2
3
2nn
n3
3 2( )
ee9
2limn
n
n→→
�
�13
21
3 2
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
lim limn
n
nn n→ →� �1
51
1
5
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
=
n
e5
5
5limn
n
n→→
�
�15
1+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
limnn
n
→�1
3
2
2
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
−3
limnn
n
→�1
5+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
016
lim limn
n
nn n→ →� �1
11
13−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠
2
⎟⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=− −
−n
e
2
3 2
3limn
n
n→→
�
�11
13
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
lim limn
n
nn n→ →� �1
11
15+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
=n
e
1
5 1
5limn
n
n→→
�
�11
15
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
limnn
n
→�1
1 3−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
2
limnn
n
→�1
1 5+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
015
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 263
264
Límite de una función
Calcula los límites laterales en el punto x = 3 de:
Halla los límites laterales en x = 0 de las funciones.
a) b)
a)
b)
Calcula el límite de la función en x = 2 y en x = 5.
Razona si existe o no el límite de la función
en x = 2, en x = 3 y en x = 4.
Halla los siguientes límites.
a) b)
a)
b)
lim limx x
x
x
x x x
x→ →− −
−+
=+ + −+2
4
3 2
216
8
4 2 2( ) ( ) ( )
( 22 2 4
8
32) ( )x x− += −
limx
x
x→→
−
−+2
4
3
16
8
0
0
lim limx x
x x x
x x
x x
x x→ →1
3 2
2 1
22
3 2
1
1
− +− +
=−
− −( )
( )( 220
)=lim
x
x x x
x x→→
1
3 2
2
2
3 2
0
0
− +− +
limx
xx → −
−+2
4
3
16
8lim
x x x
x xx →1
3 2
2
2
3 2
− +− +
023
limx
f x→4
53
14( ) =lim
xf x
→3
37
6( ) =
lim
limx
x
f x
f x→
→
→2
2
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�No exisste lim
xf x
→2( ).lim
xf x
→→
2
5
0( )
f xx
x
x
x( ) = −
++ +
−2
3
3
2022
lim
limx
x
f x
f x→
→
→5
5
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�No exisste lim
xf x
→5( ).lim
xf x
→→
5
24
0( )lim
xf x
→21( ) = −
f xx
x( ) = −
−
2 1
5021
limx
f x→0
1+
=( )limx
f x→0
1−
= −( )f x xx
( ) = >− <
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪1 0
1 0sisi
limx
f x→0+
= +( ) �limx
f x→0−
= −( ) �
f xx
x( ) =
⏐ ⏐f x
x
x( ) = −1
2
020
lim limx x
f x x→ →3 3
2 1 10+ +
= + =( ) ( )lim limx x
f x x→ →3 3
3 0− −
= − =( ) ( )
f xx xx x
( ) = − <+ ≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3 31 32
sisi
019
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 264
265
7SOLUCIONARIO
Calcula si m = 2 y m = 3.
¿Puedes determinar el límite para un valor m cualquiera?
Pon un ejemplo de una función que tenga como asíntotas verticales las rectas cuyas ecuaciones son:
x = 1 x = 2 x = 3
Respuesta abierta. Por ejemplo:
Halla las asíntotas verticales de las funciones.
a) b) c)
a) Dom f = � − {0}
f (x ) tiene una asíntota vertical en x = 0.
b) Dom f = � − {−1, 1}
f (x ) tiene una asíntota vertical en x = −1.
f (x ) tiene una asíntota vertical en x = 1.
c) Dom f = � − {−2, 0, 2}
f (x ) tiene una asíntota vertical en x = −2.
f (x ) tiene una asíntota vertical en x = 2.
f (x ) tiene una asíntota vertical en x = 0.lim
limx
x
f x
f x→
→
→0
0
−
+
= +
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�
lim
limx
x
f x
f x→
→
→2
2
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�
lim
limx
x
f x
f x→
→
→−
−
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
2
2
( )
( )
�
�
lim
limx
x
f x
f x→
→
→1
1
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�
lim
limx
x
f x
f x→
→
→−
−
−
+
= +
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
1
1
( )
( )
�
�
lim
limx
x
f x
f x→
→
→0
0
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�
f xx x
( ) =−1
43f x
x( ) =
−1
12f x
x( ) = 1
026
f xx x x
( )( )( )( )
=− − −
1
1 2 3
025
lim limx
m
x
m mx
xx x x m
→ →1 1
1 21
11
−−
= + + + + =− −( … )
lim limx x
x
xx x
→ →1
3
1
21
11 3
−−
= + + =( )limx
x
x→→
1
3 1
1
0
0
−−
lim limx x
x
xx
→ →1
2
1
1
11 2
−−
= + =( )limx
x
x→→
1
2 1
1
0
0
−−
limx
xx
m
→1
1
1
−−
024
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 265
266
Límite de una función
¿Puede ocurrir que una función tenga una asíntota horizontal y otra oblicua cuando x → +�? Razona la respuesta.
No puede ocurrir, ya que si tiene una asíntota horizontal se verifica que:
Y si , la función no tiene asíntota oblicua.
Calcula sus asíntotas y representa las funciones.
a) b) c)
a) f (x ) tiene una asíntota horizontal: y = 0.
b) f (x ) tiene una asíntota horizontal: y = 1.
c) f (x ) tiene una asíntota oblicua: y = x.
lim lim
lim
x x
x
f x
x
x
x x
x
xx
→ →
→
+ +
+
=+
=
+−
� �
�
( ) 3
3
3
2
1
1
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=−
+=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪+lim
x
x
x→ � 2 10⎪⎪⎪
→
limx
x
x→→
+ +=
�
2
2 11
limx
x
x→→
+ +=
� 2 10
f xx
x( ) =
+
3
2 1f x
x
x( ) =
+
2
2 1f x
x
x( ) =
+2 1
028
limx
f x
x→+=
�
( )0
limx
f x k→+
=�
( )
027
1
1 X
Y
1
1 X
Y
1
1 X
Y
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 266
267
7SOLUCIONARIO
Estudia la continuidad de estas funciones.
a) b) c)
a) Dom f = � − {0} → f (x ) es continua en � − {0}.
b) Dom f = [4, +�) → f (x ) es continua en [4, +�).
c) Dom f = (−1, 1) → f (x ) es continua en (−1, 1).
Halla m y n para que la función f ( x) sea continua en �.
f (x ) es continua en x = 1 si se verifica que:
f (x ) es continua en x = 3 si se verifica que:
Estudia la continuidad de la función que asigna a cada número su parte entera.
y = [x]
Especifica los tipos de discontinuidades que presenta esta función.
La función no es continua para todos los valores enteros. Todos los númerosenteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.
Estudia la continuidad de estas funciones.
a) b)
a) Dom f = � − {2}
No existe y f (x) no es continua en x = 2.
La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntotavertical en x = 2.
limx
f x→2
( )lim
limx
x
f x
f x→
→
→2
2
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�
f xx
x
x xx
( ) =≤
< <≥
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
11
1 45 4
si
sisi
f xx
x( ) = +
−1
2
032
031
m n
m n
m
n
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
2
3 4
1
1→
lim
limx
x
f x m n
f x
f
→
→
3
3
3
4
4
−
+
= +
=
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
( )
( )
(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪
+ =→ 3 4m n
f lim f xx
( ) ( )33
=→
lim
limx
x
f x
f x m n
f
→
→
1
1
2
1 2
−
+
=
= +
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪
( )
( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪
+ =→ m n 2
f lim f xx
( ) ( )11
=→
f xx
mx n xx
( ) =≤
+ < <≥
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
2 11 3
4 3
sisisi
030
f x x( ) ( )= −ln 1 2f x x( ) = − 4f x x( ) = −2
029
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 267
268
Límite de una función
b) Dom f = � − {0}
No existe y f (x) no es continua en x = 0.
La discontinuidad es inevitable de salto infinito. La función tiene una asíntotavertical en x = 0.
Como , la función es continua en x = 1.
No existe y f (x) no es continua en x = 4.
La discontinuidad es inevitable de salto finito.
Halla el término general de las sucesiones cuyos primeros términos son:
a) 1, −1, 1, −1, … b) 1, 2, 4, 8, …
a) an = (−1)n−1
b) an = 2n−1
Con ayuda de la calculadora, halla el límite de esta sucesión definida de formarecurrente.
a1 = 1
a1 = 1
Los términos de la sucesión se aproximan a:
Calcula el límite de la siguiente sucesión con ayuda de la tabla.
limn
na→�
�= +
an
nn = −
+
2 1
2 1
035
1
20 7071= , …
a329
410 70731= = , …
a5985
1 3930 707106= =
., …a2
5
70 71428= = , …
a4169
2390 70711= = , …
aa
an
n
n
= ++
−
−
3 2
4 31
1
034
033
limx
f x→4
( )lim
limx
x
f x
f x→
→
→4
4
4
5
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
∃ =f f xx
( ) ( )11
lim→
lim
limlimx
x
x
f x
f x→
→→
→1
1
1
1
1
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃( )
( )ff x( ) = 1
limx
f x→0
( )lim
limx
x
f x
f x→
→
→0
0
−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
�
�
n 5 50 500 5.000 50.000
an 2,18 24,74 249,74 2.499,74 24.999,74
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 268
269
7SOLUCIONARIO
Comprueba la igualdad con ayuda de la tabla.
Halla los siguientes límites de sucesiones.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Obtén los resultados de:
a) b) c)
a)
b)
c) limn
n n
n n→�
5 2 6
60
3
2
− +− −
=
limn
n n
n n→�
8 3 2
2
8
24 2
2
3 4
+ +
+= =lim
n
n n
n n→→
�
�
�
8 3 2
2
2
3 4
+ +
+
limn
n n
n→�
4 3
3 1
2
3
2 + −+
=limn
n n
n→→
�
�
�
4 3
3 1
2 + −+
limn n
n nn→�
5 2 6
6
3
2
− +− −
limn n
n nn→�
8 3 2
2
2
3 4
+ +
+lim
n n
nn→�
4 3
3 1
2 + −+
038
lim limn n
n
n
n
n→ →�
6 1
2 4
9 5
3 6
2 2++
−−
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=��
13
6 20
( )n +=
limn
n
n
n
n→→
�� �
6 1
2 4
9 5
3 6
2 2++
−−
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
lim limn n
nn n
n
n→ →� �
24 2 7
2 1
42
−− +
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=− 77
2 12
n +=
limn
nn n
n→→
�� �2
4 2 7
2 1
2
−− +
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
lim limn n
n n
n
n
n
n→ →� �
2 23 2
3 3
2− +−
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=− 33
2
7 6
3 9
− ++
= −n
n n�
limn
n n
n
n
n→→
�� �
2 23 2
3 3
− +−
+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
lim limn n
n n
n
n
n
n→ →� �
5
3
2
1
42 2+−
−+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=33 2
2
3 6
4 3
− − +− +
= +n n
n n�
limn
n n
n
n
n→→
�� �
5
3
2
1
2 2+−
−+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−
limn
n
n
nn→�
6 1
2 4
9 5
3 6
2 2++
− −+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟lim
n n
n
n
nn→�
2 23 2
3 3
− + −+
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
lim nn n
nn→�2
4 2 7
2 1
2
− − ++
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟lim
n n
n
n
nn→�
5
3
2
1
2 2+−
− +−
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
037
limn
nn→�
4 6
2 13
−+
= −
036
n 5 50 500 5.000 50.000
an −2,36 −2,93 −2,993 −2,9993 −2,9999
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 269
270
Límite de una función
Determina los límites.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Halla los siguientes límites.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Representa las funciones.
A partir de la gráfica, calcula los siguientes límites.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d) limx
g x→+
= +�
�( )limx
g x→−
= +�
�( )
limx
f x→+
= +�
�( )limx
f x→−
= −�
�( )
lim g xx →+ �
( )lim g xx →−�
( )
lim f xx →+ �
( )lim f xx →−�
( )
f x x g x x x( ) ( )= − = + −2 3 2 12
041
limx
xxe→ +
= +�
�limx x→ ⏐ ⏐−
=�
10
ln
limx x x→− + +
=�
4
2 10
2lim
xx x
→ ++ − = +
��( )3 22 3
lim xex
x
→+�
limxx → ⏐ ⏐−�
1
ln
limx xx →− + +�
4
2 12lim x x
x →++ −
�
3 22 3
040
lim limn n
n nn n→ →� �
4 16 22
4 16 202
2− +( ) =
−
+ +=
limn
n n→
→�
� �4 16 22− +( ) −
lim limn n
n n nn n
n n→ →� �4 31 3
5 31
4 31
22
2+ + −( ) =
− + +
+ + ++= −
3n�
limn
n n n→
→�
� �4 31 32 + + −( ) −
lim limn n
n n nn
n n n→ →� �− + −( ) =
− +
+ + −= −2
24 1
4 1
4 12
limn
n n n→
→�
� �− + −( ) −2 4 1
lim n nn→�
4 16 22− +( )
lim n n nn→�
4 31 32 + + −( )
lim n n nn→�
− + −( )2 4 1
039
1
g(x) f (x)
2 X
Y
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 270
271
7SOLUCIONARIO
Calcula.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Determina los límites.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Halla los límites.
a) b)
a) b)
Calcula los límites, y comprueba el resultado con tu calculadora.
a) d)
b) e)
c)
a) d)
b) e)
c) limx
x x
x x x→ +
+ −− +
= −�
5 3 1
6 3
5
3
3
2 3
limx
x x x
x x→ +
+ − ++ −
= −�
�1 6
3 2 3
4 3
2lim
x
x x x
x x→ +
− − ++ −
= −�
�2 6 1
4 5 2
2 3
2
limx
x x
x x→ +
+ −− +
=�
4 12
20
2
2 3lim
x
x x
x x→ +
− +− +
=�
2 6 3
3 52
2
2
limx x
x x xx →+
+ −− +�
5 3 1
6 3
3
2 3
limx x x
x xx →+
+ − ++ −�
1 6
3 2 3
4 3
2lim
x x x
x xx →+
− − ++ −�
2 6 1
4 5 2
2 3
2
limx x
x xx →+
+ −− +�
4 12
2
2
2 3lim
x x
x xx →+
− +− +�
2 6 3
3 5
2
2
045
limt
t t→
⏐ ⏐−
+ + = +�
�3 6 3limt
t→
⏐ ⏐+
− + = +�
�2 52
lim t tt →
⏐ ⏐−
+ +�
3 6 3lim tt →
⏐ ⏐+
− +�
2 52
044
limx
x x x→−
− + + = −�
�( )7 12 3 92 3
limx
x x x→−
− − + = −�
�( )5 3 16 33 2
limx
x x x x→−
+ + − + = +�
�( )4 3 24 7 12 1
limx
x x→−
+ = −�
�( )6 3 2
lim x x xx →−
− + +�
( )7 12 3 92 3lim x x x xx →−
+ + − +�
( )4 3 24 7 12 1
lim x x xx →−
− − +�
( )5 3 16 33 2lim x xx →−
+�
( )6 3 2
043
limx
x x x→ +
− + − = −�
�( )1 3 5 63 2
limx
x x x x→ +
− + − + − = −�
�( )2 4 3 28 3 27 42
limx
x x x x→ +
+ + − = +�
�( )4 3 22 17
limx
x x→ +
− = +�
�( )3 23
lim x x xx →+
− + −�
( )1 3 5 63 2lim x x x xx →+
+ + −�
( )4 3 22 17
lim x x x xx →+
− + − + −�
( )2 8 3 27 424 3 2lim x xx →+
−�
( )3 23
042
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 271
272
Límite de una función
Halla estos límites con ayuda de la calculadora, y comprueba el resultado obtenido.
a) c)
b) d)
a) c)
b) d)
Escribe, en cada caso, un polinomio, P (x), para obtener los resultados indicadoscuando calculamos el límite.
a) 4 b) 5 c) 0 d) +� e) −� f ) 1
Respuesta abierta.
a) P (x) = 2x2 + x + 1 c) P (x) = 2x3 + x e) P (x) = −1
b) P (x) = x2 + x + 1 d) P (x) = x + 1 f ) P (x) = 8x2
Encuentra el valor de:
a) b)
a)
b)
Halla los límites.
a) b)
a)
lim limx x
x
x
x
x
x→ →− −
++
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=� �
5 1 3
2
42 2 33 2
2
10 4 2
2
+ + ++
= −x x
x x�
limx
x
x
x
x→→
−
++
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−�
� �5 1 3
2
2 2
limx
x x
x
xx →− −−
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟�
3
2
2
2
2 1
2 4lim
x
x
x
xx →−
+ + −+
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟�
5 1 3
2
2 2
049
lim
lim
x
x
x x x x
x x
→
→
+
+
− + − − +( ) =
= −
− + +
�
�
2 2
2
2 1 2 4
3
2 1 xx x2 2 40
− +=
limx
x x x x→
→+
− + − − +( ) −�
� �2 22 1 2 4
lim limx x
x x xx
x x x→ →+ ++ − −( ) =
+
+ +� �4 2 4 3
2 3
4 2 4
2 2
2 2 −−=
3
1
2
limx
x x x→
→+
+ − −( ) −�
� �4 2 4 32 2
lim x x x xx →+
− + − − +( )�
2 22 1 2 4lim x x xx →+
+ − −( )�
4 2 4 32 2
048
8
5
limx x
P xx →+�
8 6 12 + −( )
047
limx x
x x xx →−
− + +− +
=�
2
2 3
3 21
5 4 20lim
x
x x
x x→−
+ −− +
= +�
�4 2
2 3 11
3
2
limx
x x x
x x x→−
− −− + − +
=�
3 2
2 3
2 10
2 3
1
2lim
x
x x
x x→−
+ ++ +
=�
2
2
5 7
2 1
1
2
limx x
x x xx →−
− + +− +�
2
2 3
3 21
5 4 2lim
x x
x xx →−
+ −− +�
4 2
2 3 11
3
2
limx x x
x x xx →−
− −− + − +�
3 2
2 3
2 10
2 3lim
x x
x xx →−
+ ++ +�
2
2
5 7
2 1
046
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 272
273
7SOLUCIONARIO
b)
Obtén los resultados de:
a) b)
a) b)
Determina.
a) b)
a)
b)
Determina los límites, calculando previamente sus límites laterales.
a) d)
b) e)
c) f )
a) d)
b) e)
c) f ) limx x→− +
=3
5
45lim
x
x x
x→0
2 2 3
13
− ++
=
limx
x→2
1
30ln
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =lim
x
xx→3
1 2 343( )+ =
limx
x
x x→−
−−
=1 2
4 2
22lim
x
x x
x→2
2 3 2
2 50
− +−
=
limxx →− +3
5
4lim
x x
xx →0
2 2 3
1
− ++
limx
x →2
1
3ln
+⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟lim x
x
x
→31 2( )+
limx
x xx →−
−−1 2
4 2
2lim
x x
xx →2
2 3 2
2 5
− +−
052
lim lim limx x x
x
x
x
x x x→ → →2 2 2
2
2
2
2 2
1
2
−−
=−
− +( )=
+( )== =
1
2 2
2
4
limx
x
x→→
2
2
2
0
0
−−
lim lim limx x x
x
x
x
x x x→ → →0 0 0
2 4
2 4
1
2 4
− +=
−
+ +( )=
−
+ +== −
1
4
limx
x
x→→
0
2 4 0
0
− +
limx
xx →2
2
2
−−
limx
xx →0
2 4− +
051
limx
x x x
x→ −
+ −−
= −�
�2 5 2
3
4 3 2
1lim
x
x x
x→ −
− ++
=�
3 6
20
2
2
limx x x
xx →−
+ −
−�
2 5 2
3 1
4 3 2
limx x
xx →−
− +
+�
3 6
2
2
2
050
lim limx x
x
x x
x
x→ →− −−−
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=�
3
2
2
2
2 1
2 4 ��
−−
=x
x x2 40
2
limx
x
x x
x
x→→
− −−
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−�
� �3
2
2
2
2 1
2 4
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 273
274
Límite de una función
Con ayuda de la calculadora, completa la tabla y comprueba que
si , entonces .
Calcula los límites indicados en la función.
a) c) e)
b) d) f )
a) d)
b) e)
c) f )
Observa las gráficas de las funciones f (x) y g (x), y halla los siguientes límites.
a)
b)
a) b)
limx
g x→1+
= +( ) �limx
f x→1+
= +( ) �
limx
g x→1−
= −( ) �limx
f x→1−
= +( ) �
lim g xx →1+
( )
lim g xx →1−
( )
lim f xx →1+
( )
lim f xx →1−
( )
055
lim limx x
g x x x→ →4 4
2 2 1 9+ +
= − + =( ) ( )lim limx x
g x x→ →4 4
2 4 12− −
= + =( ) ( )
lim limx x
g x x x→ →6 6
2 2 1 25+ +
= − + =( ) ( )lim limx x
g x x x→ →6 6
2 2 1 25− −
= − + =( ) ( )
lim limx x
g x x→ →3 3
2 4 10( ) ( )= + =lim limx x
g x x→ →− −
= + = −3 3
2 4 2( ) ( )
lim g xx →4+
( )lim g xx →3
( )lim g xx →6−
( )
lim g xx →6+
( )lim g xx →4−
( )lim g xx →−3
( )
g xx x
x x x( ) =
+ <− + ≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 4 4
2 1 42
si
si
054
lim f xx →1
0 5( ) ,= −f xx
x( ) =
−
2
3
053
x 0 0,9 0,99 0,999 1,001 1,01 1,1
f (x) 0 −0,38 −0,48 −0,49 −0,501 −0,51 −0,63
Y
X1
1 f (x)
Y
X1
1 g(x)
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 274
275
7SOLUCIONARIO
Determina los límites, y si es preciso, calcula los límites laterales.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Halla los límites.
a) b) c) d)
a)
b)
c)
d)
Dada la función f (x) definida a trozos, encuentra los límites.
a) c) e) g)
b) d) f ) h)
a) d) g)
b) e) h) .
c) f ) limx
f x→3
9
2−=( )lim
xf x
→− −= −
23( )
limx
f x→3
( ) no existelimx
f x→−
= −2
3( )limx
f x→+
= +�
�( )
limx
f x→3
5+
= −( )limx
f x→− +
= −2
3( )limx
f x→−
= −�
�( )
lim f xx →3
( )lim f xx →3−
( )lim f xx →− +2
( )lim f xx →+�
( )
lim f xx →3+
( )lim f xx →−2
( )lim f xx →−2−
( )lim f xx →−�
( )
f x
x x
xx
x x x
( ) =
+ < −
−− ≤ <
+ − ≥
⎧
⎨
⎪ 2 1 2
9
12 3
6 32 32
si
si
si
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
058
limcos
x
x
sen x→π+= +�lim
cos
x
x
sen x→π−= −�lim
cosx
x
sen x→→
π−
1
0
limx
sen x→ 3
2
1π
= −
limx
tg x→ π
2
+= −�lim
x
tg x→ π
2
−= +�lim
x
tg x→
→π
2
1
0
lim cosx
x→π
= −1
limx
xx →π
cos
senlim x
x → 3
2
πsenlim x
x → π2
tglim xx →π
cos
057
limx
x
x x→1 2
4 2
2 1+
−− +
= +�limx
x
x x→1 2
4 2
2 1−
−− +
= +�limx
x
x x→→
1 2
4 2
2 1
2
0
−− +
limx
x x
x→4
2 2
8 2+
+−
= −�limx
x x
x→4
2 2
8 2−
+−
= +�limx
x x
x→→
4
2 2
8 2
24
0
+−
limx x→3 2
3
9+ −= −�lim
x x→3 2
3
9− −= +�lim
x x→→
3 2
3
9
3
0−
limx
x
x→2
2 6
2+
+−
= +�limx
x
x→2
2 6
2−
+−
= −�limx
x
x→→
2
2 6
2
10
0
+−
limx
x xx →1 2
4 2
2 1
−− +
limxx →3 2
3
9 −
limx x
xx →4
2 2
8 2
+−
limx
xx →2
2 6
2
+−
056
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 275
276
Límite de una función
Calcula los límites laterales y el siguiente límite.
Resuelve los límites.
a) d)
b) e)
c) f )
a)
b)
c)
d)
lim limx x
x x x
x x x
x→ →5
3 2
3 2 5
9 15 25
5 2 10
5− + +
− + −=
−( )(( )
( )( )
x x
x x
x x
xx
2
2 5
2
2
4 5
5 2
4 5
20
− −
− +=
− −
+=lim
→
limx
x x x
x x x→→
5
3 2
3 2
9 15 25
5 2 10
0
0
− + +− + −
lim limx x
x x x
x x x
x→− →−4
3 2
3 2 4
3 12 4
7 14 8
4+ − −
+ + +=
+( ))( )
( )( )
3 1
4 3 2
3 1
3
2
2
4
2
2
x
x x x
x
x xx
−
+ + +=
= −+ +
lim→− 22
47
6=
limx
x x x
x x x→−→
4
3 2
3 2
3 12 4
7 14 8
0
0
+ − −+ + +
lim limx x
x x
x x
x x
x→ →2
2
2 2
2 9 10
3 7 2
2 2 5− +− +
=− −( )( )
( −− −=
−−
= −2 3 1
2 5
3 1
1
52)( )x
x
xxlim→
limx
x x
x x→→
2
2
2
2 9 10
3 7 2
0
0
− +− +
lim limx x
x x
x x
x
x→ →− −
− ++ +
=−+3 3
2 3 3
1 3
2 3
1
( )( )
( )( )==
9
2
limx
x x
x x→→
−
− ++ +3
2 3 3
1 3
0
0
( )( )
( )( )
limx x x
x x xx →−1
3 2
3 2
1
2
+ − −+ +
limx x x
x x xx →−
+ − −+ + +4
3 2
3 2
3 12 4
7 14 8
limx x
x xx →2
2
2
2 11 14
4 16 16
− +− +
limx x
x xx →2
2
2
2 9 10
3 7 2
− +− +
limx x x
x x xx →5
3 2
3 2
9 15 25
5 2 10
− + +− + −
limx x
x xx →−
− ++ +3
2 3 3
1 3
( )( )
( )( )
060
lim
lim
x
x
x x
x xx x
x x
→
→
3
2
2
3
2
2
6
6 96
6 9
−
+
− −− +
= +
− −− +
�
== +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
− −− +
= +
�
�→→
limx
x x
x x3
2
2
6
6 9
lim limx x
x x
x x
x x
x→ →3
2
2 3 2
6
6 9
3 2
3
− −− +
=− +
−=
( ) ( )
( )llimx
x
x→→
3
2
3
5
0
+−
limx
x x
x x→→
3
2
2
6
6 9
0
0
− −− +
limx x
x xx →3
2
2
6
6 9
− −− +
059
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 276
277
7SOLUCIONARIO
e)
f )
Dada la función:
determina los siguientes límites.
a) b) c) d)
a)
b)
c)
d)
Encuentra el límite de la función cuando x tiende a 0 y cuando x tiende a 3.
Especifica el valor de los límites laterales, si es necesario.
lim
lim
x
x
x
x x
xx x
→
→
3
4
3 2
3
4
3 2
3
3
−
+
−= −
−= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪�
�⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪−
→→
No existe limx
xx x3
4
3 23.
limx
x
x x→→
3
4
3 23
81
0−
lim limx x
x
x x
x
x→ →0
4
3 2 0
2
3 30
−=
−=lim
x
x
x x→→
0
4
3 23
0
0−
f xx
x x( ) =
−
4
3 23
062
lim limx x
x x
x
x x
x→ →− −
+ −−
=+ −+2
2
2 2
2 3 2
4
2 2 1
2
( ) ( )
( ) (( )x
x
xx−=
−−
=−2
2 1
2
5
42lim→
limx
f x→
→−2
0
0( )
limx
f x→ −
=�
( ) 2
limx
f x→1
1( ) = −
limx
f x→+
=�
( ) 2
lim f xx →−2
( )lim f xx →−�
( )lim f xx →1
( )lim f xx →+ �
( )
f xx x
x( ) = + −
−2 3 2
4
2
2
061
lim limx x
x x x
x x x
x x→ →− −
+ − −+ +
=+ −
1
3 2
3 2 1
21
2
1 1( ) ( )
xx x
x
xx( )+=
−=
−1
12
2 1lim→
limx
x x x
x x x→→
−
+ − −+ +1
3 2
3 2
1
2
0
0
limx
x x
x x→2
2
2
2 11 14
4 16 16+
− +− +
= −�limx
x x
x x→2
2
2
2 11 14
4 16 16−
− +− +
= +�
lim limx x
x x
x x
x x→ →2
2
2 2
2 11 14
4 16 16
2 2 7− +− +
=− −( )( ))
( )( )x x
x
xx− −=
−−
−2 4 8
2 7
4 8
3
02lim→
→
limx
x x
x x→→
2
2
2
2 11 14
4 16 16
0
0
− +− +
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 277
278
Límite de una función
Determina el límite, y comprueba el resultado con la calculadora.
Observa las tablas de valores de la función.
¿Es cierto que y = 2 es una asíntota? Cuando x tiende a +�, ¿está la función porencima o por debajo de la asíntota? ¿Qué sucede cuando x tiende a −�?
Sí, es cierto que y = 2 es una asíntota horizontal.
Cuando x tiende a +�, la función está por debajo de la asíntota.
Cuando x tiende a −�, la función está por encima de la asíntota.
Decide si la función tiene alguna asíntota horizontal, y sitúa la función
respecto de esa asíntota.
La función tiene una asíntota horizontal: y = −2.
Si x = 1.000, f (x) > −2, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) < −2, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Observa las tablas de valores de la función.
f xx
x( ) = +
−3 1
3
066
limx
x
x→→
+
−+
= −�
3 2
12
yx
x= −
+3 2
1065
f xx x
x( ) = −
+4 5
2 7
2
2
064
lim limx x
x x
xx
x→ →+ +
−+
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−
� �
3 4
23
102
xx += −
210
limx
x x
xx
→→
+
−+
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−�
� �3 4
23
2
limx x
xx
x →+�
3 4
23
2 −+
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
063
x −1 −10 −100 −1.000 −10.000
f (x) 1 2,17 2,024 2,0025 2,00025
x 1 10 100 1.000 10.000
f (x) −0,11 1,69 1,974 1,9975 1,99975
x 3,0001 3,001 3,01 3,1 3,5
f (x) 100.003 10.003 1.003 103 23
x 2 2,5 2,9 2,99 2,999 2,9999
f (x) −7 −17 −97 −997 −9.997 −99.997
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 278
279
7SOLUCIONARIO
¿Es cierto que x = 3 es una asíntota vertical? Cuando x tiende a 3 por la izquierda,¿la rama infinita de la función tiende a +� o −�? ¿Qué sucede cuando x tiende a 3 por la derecha?
Sí, es cierto que x = 3 es una asíntota vertical.
Cuando x tiende a 3 por la izquierda, la rama infinita de la función tiende a −�.
Cuando x tiende a 3 por la derecha, la rama infinita de la función tiende a +�.
Decide si la función tiene alguna asíntota vertical,
y estudia sus ramas infinitas próximas a esas asíntotas.
Dom f = � − {−1, 4}
La función tiene una asíntota vertical en x = −1.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha, a −�.
La función tiene una asíntota vertical en x = 4.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
Observa la tabla de valores de la función.
Esta es la tabla de valores de la recta y = 2x + 6.
¿Es cierto que la recta es una asíntota de la otra función? ¿Qué posición tienen cuando x tiende a +�? Investiga la posición relativa de ambas cuando x tiende a −�.
Sí, es cierto que y = 2x + 3 es una asíntota oblicua.
Cuando x tiende a +�, la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − 2x − 3 > 0, y cuando x tiende a −� la función está por encima de la asíntota.
f xx x
x( ) = +
−4 6
2 3
2
068
lim
lim
x
x
x x
x x
→
→
4 2
4 2
1
3 413 4
−
+
− −= −
− −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪�
�⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx x x→
→4 2
1
3 4
1
0− −
lim
lim
x
x
x x
x x
→
→
−
−
−
+
− −= +
− −= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪1 2
1 2
1
3 413 4
�
�
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx x x→
→− − −1 2
1
3 4
1
0
yx x
=− −
1
3 42067
x 10 100 1.000 10.000
y = 2x + 3 26 206 2.006 20.006
x 10 100 1.000 10.000
f (x) 27,06 206,09 2.006,009 20.006,0009
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 279
280
Límite de una función
Comprueba si la recta y = x + 3 es una asíntota oblicua de la función .
En caso afirmativo, decide la posición que ocupa una respecto de la otra.
La función tiene una asíntota oblicua: y = x + 3.
Si x = 1.000, f (x) − x − 3 < 0, y cuando x tiende a +� la función está por debajo de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − x − 3 > 0, y cuando x tiende a −� la función está por encima de la asíntota.
Calcula las asíntotas oblicuas de las funciones y su posición relativa respecto de ellas.
a) b)
a) La función tiene una asíntota oblicua: y = 2x + 2.
Si x = 1.000, f (x) − 2x − 2 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − 2x − 2 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
b) La función tiene una asíntota oblicua: y = 2x − 4.
Si x = 1.000, f (x) − 2x + 4 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − 2x + 4 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Determina todas las asíntotas de las funciones, y sitúa sus ramas infinitas.
a) d)
b) e)
c) f ) f xx
x x( ) =
+ +2 1f x
x
x( ) =
−4
5
3
f xx
x x( ) =
− +
3
2 5 6f x
x x
x( ) = +
+3 2
1
2
f xx
( ) =−3
1f x
x
x( ) = −
+2 6
3
071
lim lim
lim
x x
x
f x
xxx x
x
→ →
→
+ +
+
= ++
=
+
� �
�
( ) 2 42
2
2
2
2
2 442
24 4
14
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−−
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪
+xx
x
xxlim→ �
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
lim lim
lim
x x
x
f x
xx
x x
x
→ →
→
+ +
+
= +−
=
+
� �
�
( ) 2 42
2 4
2
2
2
xxx
x
xx−−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+−
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
+12
4 2
12lim
→ � ⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
f xx
x( ) = +
+2 4
2
2
f xx
x( ) = +
−2 4
1
2
070
lim lim
lim
x x
x
f x
xx xx x
x
→ →
→
+ +
+
= ++
=
+
� �
�
( ) 2
2
2
52
1
5xx
xx
x
xx+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪+2
32
3lim→ �
⎪⎪⎪⎪⎪
→
yx x
x= +
+
2 5
2069
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 280
281
7SOLUCIONARIO
a)
La función tiene una asíntota vertical en x = −3.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
La función tiene una asíntota horizontal: y = −6.
Si x = 1.000, f (x) > −6, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000 → f (x) < −6, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
b)
La función tiene una asíntota vertical en x = −1.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función tiene una asíntota oblicua: y = 3x −1.
Si x = 1.000, f (x) − 3x + 1 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − 3x + 1 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
c)
La función tiene una asíntota vertical en x = 5.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.limx
x
x x→→
+ −= +
��
4
5
3
2
limx
x
x→→
+ −= +
��
4
5
3
lim
lim
x
x
x
x
xx
→
→
5
3
5
3
45
45
−
+
−= −
−= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
�
�⎪⎪⎪
→
limx
x
x→→
5
34
5
500
0−
lim lim
lim
x x
x
f x
x
x x
x x
x
→ →
→
+ +
+
=++
=
+
� �
�
( ) 3 23
3
2
2
2 22
13
11
x
xx
x
xx+−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−+
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
+lim→ �
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x x
x→→
+
++
= +�
�3 2
1
2
lim
lim
x
x
x x
xx x
x
→
→
−
−
−
+
++
= −
++
= +
⎫
⎬
⎪1
2
1
2
21
3 2
1
3�
�
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x x
x→→
−
++1
23 2
1
1
0
limx
x
x→→
+
−+
= −�
2 6
36
lim
lim
x
x
xx
xx
→
→
−
−
−
+
−+
= −
−+
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪3
3
2 63
2 63
�
�⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x
x→→
−
−+3
2 6
3
20
0
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 281
282
Límite de una función
d)
La función tiene una asíntota vertical en x = 1.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
La función tiene una asíntota horizontal: y = 0.
Si x = 1.000, f (x) > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
e)
La función tiene una asíntota vertical en x = 2.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha, a −�.
La función tiene una asíntota vertical en x = 3.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función tiene unaasíntota oblicua: y = x + 5.
Si x = 1.000, f (x) − x − 5 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − x − 5 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
lim lim
lim
x x
x
f x
x
x
x x x
x
x
→ →
→
+ +
+
=− +
=� �
�
( ) 3
3 2
3
15 6
22
2
25 6
5 6
5 6− +−
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−
− +=
+xx
x x
x xxlim→ �
55
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x
x x→→
+ − += +
��
3
2 5 6
lim
lim
x
x
xx x
xx x
→
→
3
3
2
3
3
2
5 6
5 6
−
+
− += −
− += +
⎫
⎬
⎪⎪⎪�
�
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x
x x→→
3
3
2 5 6
27
0− +
lim
lim
x
x
x
x x
x
x x
→
→
2
3
2
2
3
2
5 6
5 6
−
+
− += +
− += −
⎫
⎬
⎪⎪⎪�
�
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x
x x→→
2
3
2 5 6
8
0− +
limx x→
→+ −
=�
3
10
lim
lim
x
x
x
x
→
→
→1
1
31
31
−
+
−= −
−= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
�
�
limx x→
→1
3
1
3
0−
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 282
283
7SOLUCIONARIO
f ) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.
La función tiene una asíntota horizontal: y = 0.
Si x = 1.000, f (x) > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Obtén todas las ramas infinitas y las asíntotas de las funciones, y decide la posiciónque tienen entre sí.
a)
b)
c)
d)
a) Dom f = �
La función tiene una asíntota vertical en x = 0.
Las dos ramas infinitas de la función tienden a +�.
La función tiene una asíntota vertical en .
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha tiende a +�.
x =2
5
lim
lim
x
x
x x
x x
x x
x
→
→
2
5
3
2 3
2
5
3
2
7 1
2 5
7 1
2
−
+
− +−
= −
− +
�
−−= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪5 3x
�
→
limx
x x
x x→
→2
5
3
2 3
7 1
2 5
1 736
0
− +−
− ,
lim
lim
x
x
x x
x xx x
x
→
→
0
3
2 3
0
3
2
7 1
57 1
2 5
−
+
− +−
= +
− +−
2�
xx 3= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪�
→
limx
x x
x x→→
0
3
2 3
7 1
2 5
1
0
− +−
−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
02
5,
f xx x
x( ) =
− ++
3 7 1
2 8
f xx x
x( ) =
− ++
3
2
7 1
2 8
f xx x
x( ) =
− +−
3
2
7 1
2 8
f xx x
x x( ) =
− +−
3
2 3
7 1
2 5
072
limx
x
x x→→
+ + +=
� 2 10
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 283
284
Límite de una función
La función tiene una asíntota horizontal: .
Si , y cuando x tiende a +� la función está
por debajo de la asíntota.
Si , y cuando x tiende a −� la función
está por encima de la asíntota.
Al tener una asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
b) Dom f = � − {−2, 2}
La función tiene una asíntota vertical en x = −2.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha tiende a −�.
La función tiene una asíntota vertical en x = 2.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha tiende a −�.
La función no tiene asíntota horizontal.
Si , y cuando x tiende a +� la función está
por debajo de la asíntota.
Si , y cuando x tiende a −� la función
está por encima de la asíntota.
x f x x= − − >1.000, ( )1
20
x f x x= − <1.000, ( )1
20
lim lim
lim
x x
x
f x
x
x x
x x→ →
→
+ +
+
=− +
−=
� �
�
( ) 3
3
7 1
8122
xx x
xx
xx
3
2
7 12 8
12
3 12
− +−
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=− +
+lim→ � xx 2 8
0−
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x x
x→→
+
− +−
= +�
�3
2
7 1
2 8
lim
lim
x
x
x x
xx x
x
→
→
2
3
2
2
3
2
7 1
2 87 1
2 8
−
+
− +−
= +
− +−
= −
�
��
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x x
x→→
2
3
2
7 1
2 8
5
0
− +−
−
lim
lim
x
x
x x
xx x
x
→
→
−
−
−
+
− +−
= +
− +−
2
3
2
2
3
2
7 12 8
7 12 8
�
== −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪�
→
limx
x x
x→→
−
− +−2
3
2
7 1
2 8
7
0
x f x= − > −1.000, ( )1
5
x f x= < −1.000, ( )1
5
y = −1
5lim
x
x x
x x→→
+
− +−
= −�
3
2 3
7 1
2 5
1
5
La función tiene una asíntota oblicua:
.y x=1
2
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 284
285
7SOLUCIONARIO
c) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
Si , y cuando x tiende a +� la función está
por debajo de la asíntota.
Si , y cuando x tiende a −� la función
está por encima de la asíntota.
d) Dom f = � − {−4}
La función tiene una asíntota vertical en x = −4.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derechatiende a −�.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
Halla las asíntotas de estas funciones, y la posición de las ramas infinitas.
a) d)
b) e)
c) f )
a) Dom f = � − {−3}
La función tiene una asíntota vertical en x = −3. Por la izquierda la ramainfinita de la función tiende a +�, y por la derecha tiende a −�.
lim
lim
x
x
x x x
x
x x
→
→
−
−
−
+
− + −+
= +
− +3
3 2
3
3 2
6 12 83
6 12
�
xx
x
−+
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
83
�
→
limx
x x x
x→→
−
− + −+
−3
3 26 12 8
3
125
0
f xx x x
x( ) = − + −
+
3 2
2
6 12 8
4f x
x x x
x( ) = − + −
−
3 26 12 8
2
f xx x x
x( )
( )= − + −
−
3 2
2
6 12 8
2f x
x x
x x( ) = − + −
+ −
3 2
2
6 12 8
6
f xx x x
x( ) = − + −
−
3 2
2
6 12 8
4f x
x x x
x( ) = − + −
+
3 26 12 8
3
073
lim limx x
f x
x
x x
x x→ →→
+ +=
− ++
= +� �
�( ) 3
2
7 1
2 8
limx
x x
x→→
+
− ++
= +�
�3 7 1
2 8
lim
lim
x
x
x x
xx x
x
→
→
−
−
−
+
− ++
= +
− ++
= −
4
3
4
3
7 1
2 87 1
2 8
�
��
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x x
x→→
−
− ++
−4
3 7 1
2 8
35
0
x f x x= − − >1.000, ( )1
20
x f x x= − <1.000, ( )1
20
lim lim
lim
x x
x
f x
x
x x
x x→ →
→
+ +
+
=− +
+=
� �
�
( ) 3
3
7 1
2 8
1
2
xx x
xx
xx
3
2
7 12 8
12
11 1− ++
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
= − ++
lim→ � 22 8
02x +
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x x
x→→
+
− ++
= +�
�3
2
7 1
2 8
La función tiene una asíntota oblicua:
.y x=1
2
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 285
286
Límite de una función
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota
oblicua.
b) Dom f = � − {−3, 2}
La función tiene una asíntota vertical
en x = −3. Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha tiende a +�.
→ La función no tiene asíntota vertical en x = 2.
La función no tiene asíntota horizontal.
→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 7.
Si x = 1.000, f (x) − x + 7 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − x + 7 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
c) Dom f = � − {2}
La función
no tiene asíntota vertical en x = 2.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota
oblicua.
lim limx x
f x
x
x x x
x x→ →→
+ +=
− + −−
= +� �
�( ) 3 2
2
6 12 8
2
limx
x x x
x→→
+
− + −−
= +�
�3 26 12 8
2
lim limx x
x x x
x
x x x
x→ →2
3 2
2
26 12 8
2
2 4 4− + −−
=− − +( ) ( )
−−=
20 →
limx
x x x
x→→
2
3 26 12 8
2
0
0
− + −−
lim lim
l
x x
f x
x
x x x
x x x→ →+ +=
− + −+ −
=� �
( ) 3 2
3 2
6 12 86
1
iim limx
x x x
x xx
→ +
− + −+ −
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=�
3 2
2
6 12 86 xx
x x
x x→ +
− + −+ −
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪�
7 18 86
72
2
limx
x x x
x x→→
+
− + −+ −
= +�
�3 2
2
6 12 8
6
lim limx x
x x x
x x
x x x→ →2
3 2
2 2
26 12 8
6
2 4− + −+ −
=− − +( ) ( 44
2 30
)
( ) ( )x x− +=
limx
x x x
x x→→
2
3 2
2
6 12 8
6
0
0
− + −+ −
lim
lim
x
x
x x x
x x
x x
→
→
−
−
−
+
− + −+ −
= −
−3
3 2
2
3
3 2
6 12 86
6
�
++ −+ −
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
12 862
x
x x�
→
limx
x x x
x x→→
−
− + −+ −
−3
3 2
2
6 12 8
6
125
0
lim limx x
f x
x
x x x
x x→ →→
+ +=
− + −+
= +� �
�( ) 3 2
2
6 12 8
3
limx
x x x
x→→
+
− + −+
= +�
�3 26 12 8
3
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 286
287
7SOLUCIONARIO
d) Dom f = � − {−2, 2}
La función tiene una asíntota vertical
en x = −2. Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha tiende a +�.
La función
no tiene asíntota vertical en x = 2.
La función no tiene asíntota horizontal.
→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 6.
Si x = 1.000, f (x) − x + 6 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − x + 6 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
e) Dom f = � − {2}
La función no tiene asíntota
vertical en x = 2.
La función no tiene asíntota horizontal.
→ La función
tiene una asíntota oblicua: y = x − 2.
f (x) − x + 2 = 0 → La expresión de la función coincide con la ecuación de la asíntota salvo en x = 2.
lim limx x
f x
xx x x
x x x→ →+ +=
− + −
− +=
� �
( ) 3 2
3 2
6 12 81
4 4
llim lx
x x x
x xx
→ +
− + −− +
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=�
3 2
2
6 12 8
44iim
x
x x
x x→ +
− + −− +
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪�
2 8
4
2
2
8
42
limx
x x x
x→→
+
− + −−
= +�
�3 2
2
6 12 8
2( )
lim limx x
x x x
x
x
x→ →2
3 2
2 2
3
2
6 12 8
2
2
2
− + −−
=−−( )
( )
( )== 0 →
limx
x x x
x→→
2
3 2
2
6 12 8
2
0
0
− + −−( )
lim lim
lim
x x
x
f x
x
x x x
x x→ →+ +=
− + −−
=� �
( ) 3 2
3
6 12 81
4
→→ →+ +
− + −−
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−
� �
x x x
xx
x
3 2
2
6 12 8
4lim
66 16x x
x
2
2
8
46
+ −−
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
limx
x x x
x→→
+
− + −−
= +�
�3 2
2
6 12 8
4
lim limx x
x x x
x
x x x→ →2
3 2
2 2
26 12 8
4
2 4 4− + −−
=− − +( ) ( )
(( ) ( )x x− +=
2 20 →
limx
x x x
x→→
2
3 2
2
6 12 8
4
0
0
− + −−
lim
lim
x
x
x x x
xx x
→
→
−
−
−
+
− + −−
= −
− +2
3 2
2
2
3 2
6 12 8
46 1
�
22 8
42
x
x
−−
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪�
→
limx
x x x
x→→
−
− + −−
−2
3 2
2
6 12 8
4
64
0
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 287
288
Límite de una función
f ) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
→ La función tiene una asíntota oblicua: y = x − 6.
Si x = 1.000, f (x) − x + 6 > 0, y cuando x tiende a +� la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000, f (x) − x + 6 < 0, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Calcula las ramas infinitas y asíntotas de las funciones.
a) y = x 2 + 5x − 1 b) y = 2x − 1 c) y = log x d) y = tg x
a) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
b) Dom f = � → La función no tiene asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
c) Dom f = (0, +�)
La función tiene una asíntota vertical en x = 0.
La rama infinita de la función tiende a −�.
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
d) Dom f = �
La función tiene una asíntota vertical en .
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a +�, y por la derecha, a −�.
Al ser una función periódica, de período π, todos los puntos que no pertenecen al dominio son asíntotas del mismo tipo. Por tanto, la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.
x =π2
lim
lim
x
x
tg x
tg x
→
→
→π
π
2
2
−
+
= +
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
�
�
limx
tg x→
→π2
1
0
− + ∈⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
ππ
2k k, �
lim limx x
f x
x
x
x→ →→
+ += =
� �
( ) log0
limx
x→
→+
= +�
�log
limx
x→
→0+
= −log �
lim limx x
xf x
x x→ →→
+ +=
−= +
� ��
( ) 2 1
limx
x
→→
+− = +
��( )2 1
lim limx x
f x
x
x x
x→ →→
+ +=
+ −= +
� ��
( ) 2 5 1
limx
x x→
→+
+ − = +�
�( )2 5 1
074
lim lim
lim
x x
x
f x
xx x x
x x→ →+ +=
− + −+
=� �
( ) 3 2
3
6 12 84
1
→→ →+ +
− + −+
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=−
� �
x x x
xx
x
3 2
2
6 12 84
lim66 8x x
x
2
2
8
46
+ −+
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
limx
x x x
x→→
+
− + −+
= +�
�3 2
2
6 12 8
4
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 288
289
7SOLUCIONARIO
Encuentra las asíntotas de las funciones.
a) b)
a)
Dom f = � − {0}
La función tiene una asíntota vertical en x = 0.
Por la izquierda la rama infinita de la función tiende a −�, y por la derecha, a +�.
La función tiene una asíntota horizontal: y = 2.
Si x = 1.000, f (x) < 2, y cuando x tiende a +� la función está por debajo de la asíntota.
La función tiene una asíntota horizontal: y = −2.
Si x = −1.000, f (x) < −2, y cuando x tiende a −� la función está por debajo de la asíntota.
Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.
b) Dom f = (−2, 2)
La función tiene una asíntota vertical en x = −2.
La rama infinita de la función tiende a −�.
La función tiene una asíntota vertical en x = 2.
La rama infinita de la función tiende a +�.
Dado el dominio de la función, no tienen sentido los límites en el infinito, y la función no tiene asíntotas horizontales ni oblicuas.
Observa la gráfica de la función y determina estos límites.
Estudia la continuidad de la función f (x).
lim f xx →2
( )lim f xx →3
( )lim f xx →2−
( )
lim f xx →0
( )lim f xx →0+
( )lim f xx →0−
( )
076
limx
x
x→→
2 24− −
= +2
�
limx
x
x→→
− + −= −
2 24
2�
limx
x
x→→
+
− += −
�
2 32
limx
x
x→→
+
−=
�
2 32
lim
lim
x
x
xx
xx
→
→
0
0
2 3
2 3
−
+
− += −
− += +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
�
�⎪⎪⎪
→
limx
x
x→→
0
2 3 3
0
− +
f x
xx
x
xx
x( ) =
− ≥
− + <
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
2 3 32
2 3 32
si
si
yx
x=
−
2
4 2y
x
x= −⏐ ⏐2 3
075
Y
X1
1
f (x)
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 289
290
Límite de una función
La función es continua salvo en x = 2, ya que no existe f (2).
Completa la tabla para la función.
Comprueba que su límite, cuando x tiende a 3, es:
¿Cuánto vale f (3)? Haz una representación de la función. ¿Qué diferencia hay entre las gráficas de f (x) y de y = x + 1?
No existe f (3).
La gráfica de f (x) coincide con la gráfica de la recta y = x + 1, salvo en el punto x = 3.
Dibuja una función que sea continua, salvo en x = −1, que tenga un salto infinito y que tenga en x = 3 un salto finito.
Respuesta abierta.
078
lim f xx →3
4( ) =
f xx x
x( ) = − −
−
2 2 3
3
077
limx
f x→2
3( ) =limx
f x→3
( ) = 3,5limx
f x→2
3−
=( )
limx
f x→0
2( ) =limx
f x→0
2+
=( )limx
f x→0
2−
=( )
x 2,5 2,9 2,999 3,001 3,01 3,1 3,5
f (x) 3,5 3,9 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5
4
3 X
Y
2
3 X
Y
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 290
291
7SOLUCIONARIO
Dibuja una función cuyo domino sea [0, +�), y que presente un punto de discontinuidad evitable en x = 4.
Respuesta abierta.
Determina los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones.
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
a) Dom f = � − {−3}
No existe , y x = −3 es un punto
de discontinuidad inevitable de salto infinito.
b) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.
c) Dom f = [−4, +�) → No hay puntos de discontinuidad.
d) Dom f = [−4, 1] → No hay puntos de discontinuidad.
e) Dom f = � − {3, 4}
No existe , y x = 3 es un punto
de discontinuidad inevitable de salto infinito.
limx
f x→3
( )lim
lim
x
x
x
x xx
x x
→
→
3 2
3 2
2
7 122
7 12
−
+
+− +
= +
+− +
= −
⎫�
�
⎬⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x
x x→→
3 2
2
7 12
5
0
+− +
limx
f x→−3
( )lim
lim
x
x
x
x
→
→
−
−
−
+
+= −
+= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
3
3
13
13
�
�
→→
limx
x
x→→
− +3 3
1
0
y x x= − +2 2 8y x x= − −4 3 2
y x x= − −2 2 8y x= +4
y x= − 5yx
x x= +
− +2
122
yx
x x= +
− +2
7 122y
x=
+1
3
080
079
1
41 X
Y
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 291
292
Límite de una función
No existe , y x = 4 es un punto
de discontinuidad inevitable de salto infinito.
f ) Dom f = [5, +�) → No hay puntos de discontinuidad.
g) Dom f = (−�, −2] ∪ [4, +�) → No hay puntos de discontinuidad.
h) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.
Estudia la continuidad de las funciones en x = 3, y si presentan discontinuidad,decide de qué tipo de discontinuidad se trata.
a) d)
b) e)
c)
a) f (3) = 6
Como f (3) = , la función es continua en x = 3.
b) f (3) = 6
No existe , y la función no es continua
en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
c) f (3) = −2
Como f (3) , la función no es continua en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad evitable.
� limx
f x→3
( )
lim lim
lim lx x
x
f x x
f x→ →
→
3 3
3
2 0− −
+
= −( )=
=
( ) ( )
( )
ln
iimlim
x
xsen xf x
→→
→3
33 00
+− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=( )
( )
limx
f x→3
( )lim lim
lim limx x
x x
f xx
f x→ →
→ →
3 3
3
121
6− −
+
=−
=
=
( )
( )33
2 1+
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
( )x→
limx
f x→3
( )
lim lim
lim limx x
x x
f x x
f x→ →
→ →
3 3
3
3 6− −
+
= + =
=
( ) ( )
( )33
2 33 66
+− + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=( )
( )x x
f xx2
→→
lim
f xx x
xx x
( )ln ( )
( )=
− <− =
− >
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩
2 32 3
3 3
sisisisen
⎪⎪⎪⎪
f xxx
x
x
( ) =+−
≠
− =
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
11
3
2 3
si
sif x
xx
xx x
( ) = −<
=− >
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
121
3
6 32 3
si
sisi
f x xx
x x
( ) = −<
− ≥
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
123
3
15 3
si
si
f xx x
xx x x
( ) =+ <
=− + >
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
3 36 3
2 3 32
sisisi
081
limx
f x→4
( )
lim
lim
x
x
x
x xx
x x
→
→
4 2
4 2
2
7 122
7 12
−
+
+− +
= −
+− +
= +
⎫�
�
⎬⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
limx
x
x x→→
4 2
2
7 12
6
0
+− +
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 292
293
7SOLUCIONARIO
d) f (3) = −12
No existe , y la función no es
continua en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
e) f (3) = −2
Como f (3) , la función no es continua en x = 3.
Se trata de un punto de discontinuidad evitable.
¿Qué valor debe tomar a para que las funciones sean continuas?
a) c)
b)
a) f (−2) = a
La función es continua si f (−2) = a = −3.
b)
c) f (−2) = 1
→ →→
∃ = − + = −−
lim ( ) log ( )x
f x a a2
1 2 732
si
lim lim
lim lx x
x
f x tgx
f x→ →
→
− −
−
− −
+
=−
=
=2 2
2
21( )
( )
π
iimx
ax a→− +
+ = − +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪2
7 2 7log ( ) log ( )
→ →→
∃ = − − = −−
limx
f x a a2
18
2 21716
( ) si
lim lim
lim lix x
x
x
f x
f x→ →
→
− −
−
−
− −
+
= =
=2 2
1
2
218
( )
( ) mmx
ax a→− +
− = − −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪2
2 2 2( )
f ( )− = =−2 21
83
limx
f x→
→−2
( )
lim lim
lim lix x
x
f xx
f x→ →
→
− −
−
− −
+
=+
= −
=2 2
2
31
3( )
( ) mmlim
x
xxf x
→
→→
−
−
+− − = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
∃ = −
2
22 7 3( )( ) 33
f xx
ax x
x
( ) =≤ −
− > −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
−2 2
2 2
1 si
si
f xtg
xx
ax x
( )
log ( )
=− −
+ > −
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
π2
2
7 2
si
si
≤f x x
x
a xx x
( ) = +< −
= −− − > −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
3
12
22 7 2
si
sisi⎪⎪⎪⎪
082
� limx
f x→3
( )
lim limx x
f xx
x→ →3 3
1
12( ) =
+−
=
limx
f x→3
( )lim lim
lim limx x
x x
f xx
f x→ →
→
3 3
3
12
3− −
+
=−
= −
=
( )
( )
�
→→
→
315 12
+− = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
( )x
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 293
294
Límite de una función
Razona si la siguiente función es continua en x = 3 y en x = 0.
f (3) = 7
Como , la función es continua en x = 3.
No existe f (0).
No existe , y la función no es continua
en x = 0.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Estudia la continuidad en todo el dominio de las funciones. Determina los puntos de discontinuidad que presenta cada una de ellas.
a) y = sen (x + π)
b) y = ln (x + e)
c)
d) y = 2x−3
a) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.
b) Dom f = (−e, +�) → No hay puntos de discontinuidad.
c) Dom f = � − {π + kπ, k ∈ �}
No existe , la función no es continua
en x = π.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
Al ser una función periódica, de período π, todos los puntos en los que falla el dominio son puntos de discontinuidad inevitable de salto infinito.
d) Dom f = � → No hay puntos de discontinuidad.
limx
f x→π
( )lim
lim
x
x
tg x
tg x
→
→
π
π
π
π
−
+
−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = +
−⎛⎝⎜
2
2
�
⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪�
→
y x= −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟tg
π2
084
limx
f x→0
( )
lim lim
lim
x x
x
f xx→ →
→
0 0
123
− −= +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −( ) �
00 0
123
+ += +
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭f x
xx( ) lim
→�
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
→
f f xx
( ) ( )33
= lim→
lim lim
lim limx x
x x
f xx
f x→ →
→ →
3 3
3
123 7
− −
+
= + =
=
( )
( )33
32 1 7+
− =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
∃( )
( )x x
f x→→
lim
yx
xx
x
=− ≥
+ <
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
2 1 3
123 3
si
si
083
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 294
295
7SOLUCIONARIO
Investiga si las funciones son continuas.
a)
b)
c)
a) Si x < 3: f (x) = log (x + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hay puntosde discontinuidad.
Si x = 3: f (3) = 1
Como , la función es continua en x = 3.
Si x > 3: Dom f = (3, +�) → No hay puntos
de discontinuidad.
La función es continua en (−7, +�).
b) Si x < −1: Dom f = No hay puntos
de discontinuidad.
Si x = −1: f (−1) = 1
No existe , y la función no es
continua en x = −1. Se trata de un puntode discontinuidad inevitable de salto finito.
Si x > −1: f (x) = x + 1 → Dom f = (−1, +�) → No hay puntos de discontinuidad.
La función es continua en ∪ (−1, +�).− −⎡
⎣⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
5
31,
limx
f x→−1
( )lim lim
lim li
x x
x
f xx
f x
→ →
→
− −
−
− −
+
=+
=
=1 1
1
3 52
1( )
( ) mmx
x→
→
− ++ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪1
1 0( )
− −⎡
⎣⎢⎢
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
5
31, →f x
x( ) =
+3 5
2→
f xx
( ) =+5
2→
f f xx
( ) ( )33
= lim→
lim lim
lim
x x
x
f x x
f x
→ →
→
3 3
3
7 1− −
+
= +( ) =
=
( ) log ( )
( ) llimlim
x
x
x
f x
→→
→3
35
21
1+ +
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
∃ =( )
f xx
x
xxx
( ) = −<
=+ >
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪ +
52
1
5 12 1 11
si
sisi⎪⎪
f x
xx
xx x
( ) =
+ < −
= −+ > −
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
3 5
21
0 11 1
si
sisi⎪⎪⎪
f x
x x
x
xx
( )
log ( )
=
+ <=
+>
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
7 3
1 35
23
si
si
si⎪⎪⎪⎪
085
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 295
296
Límite de una función
c) Si x < 1: → Dom f = (−�, 1) → No hay puntos de discontinuidad.
Si x = 1: f (1) = 5
Como , la función es continua en x = 1.
Si x > 1: f (x) = 2x + 1 + 1 → Dom f = (1, +�) → No hay puntos de discontinuidad.
La función es continua en �.
Estudia la continuidad de la siguiente función.
Si presenta puntos de discontinuidad, estudia el límite cuando t tiende a ellos y decide qué tipos de discontinuidades son.
Si t < 3: g (x ) = log (t + 7) → Dom f = (−7, 3) → No hay puntos de discontinuidad.
Si t = 3: g (3) = 2
Como , la función es continua en t = 3.
Si t > 3: → Dom f = (3, +�) − {7}
No existe y la función no es
continua en t = 7.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
La función es continua en (−7, 7) ∪ (7, +�).
Estudia la continuidad de las funciones.
a) y = [x] (Parte entera de x) c)
b) d) yx
=−1
12⏐ ⏐y
x
x=
⏐ ⏐
y x= −⏐ ⏐2 1
087
limt
g t→7
( )lim lim
lim lim
t t
t t
g tt
g t
→ →
→ →
7 7
7
47− −
+
=−
= +
=
( )
( )
�
77
47+ −
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪t�
→
g tt
( ) =−4
7
g g tt
( ) ( )33
= lim→
lim lim
lim li
t t
t
g t t
g t
→ →
→
3 3
3
7 1− −
+
= + =
=
( ) log ( )
( ) mmlim
t
t
t
g t
→
→→
3
34
71
1+ −
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
=( )
g t
t t
t
tt
( )
( )
=
+ <=
−>
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
log si
si
si
7 3
2 34
73⎪⎪⎪⎪
086
f f xx
( ) ( )11
= lim→
lim lim
lim lim
x x
x x
f xx
f x
→ →
→ →
1 1
1 1
52
5− −
+
=−
=
=
( )
( )++
+ + =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
∃ =( )
( )2 1 5
51 1x x
f x→→
lim
f xx
( ) =−5
2
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 296
297
7SOLUCIONARIO
a) La función es continua salvo en los números enteros.
Si No existe .
Todos los números enteros son puntos de discontinuidad inevitable de salto finito.
b)
No existe f (0).
No existe , y la función no es continua en x = 0.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
La función es continua en � − {0}.
c)
Si x = −1: f (−1) = 0
Como f (−1) = , la función es continua en x = −1.
Si x = 1: f (1) = 0
Como f (1) = , la función es continua en x = 1.
La función es continua en �.
d)
No existe f (−1).
La función no es continua en x = −1.
Es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
No existe f (1).
La función no es continua en x = −1.
Es un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
La función es continua en � − {−1, 1}.
lim lim
lim lim
x x
x
f xx
f x
→ →
→
1 1 2
1
11− −
+
=− +
= +
=
( )
( )
�
xx x→
→
1 2
11+ −
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪⎪
�
lim lim
lim l
x x
x
f xx
f x
→ →
→
− −
−
− −
+
=−
= +
=
1 12
1
11
( )
( )
�
iimx x→
→
− + − += +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪1 2
11
�
f x xx x
xx
( ) = −< − >
− −−
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪1
11 1
11
1 1
2
2
si o si
si < <⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎪
limx
f x→1
( )
lim lim
lim limx x
x
f x x
f x→ →
→
1 1
2
1
1 0− −
+
= − + =
=
( ) ( )
( )xx
xxf x
→→
→1
2 11 00
+− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=( )
( )lim
limx
f x→−1
( )
lim lim
lim lx x
x
f x x
f x→ →
→
− −
−
− −
+
= − =
=1 1
2
1
1 0( ) ( )
( ) iimlim
xxx
f x
→→
→−
−+
− + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=1
2 11 00
( )( )
f x x x xx x
( ) = − < − >− + −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2
2
1 1 11 1 1
si o sisi ≤ ≤
limx
f x→0
( )lim
limx
x
f x
f x→
→
→0
0
1
1
−
+
= −
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
f x xx
( ) = − <>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
1 01 0
sisi
limx a
f x→
( )af x a
f x ax a
x a
∈= −
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
−
+
� → →→
→
lim
lim
( )
( )
1
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 297
298
Límite de una función
Observa la gráfica de la función y determina los límites que se indican.
a)
b)
c)
d)
a) c) no existe.
b) d) no existe.
Calcula los límites indicados en la función definida a trozos.
a) c)
b) d)
a)
b)
c)
d)
Calcula , siendo las funciones:
No existe el límite.lim
lim
x
x
x x
x x
x x
x
→
→
3
2
2
3
2
2
4 32 2 12
4 3
2
−
+
+ +− −
= −
+ +
�
−− −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪2 12x�
→
lim limx x
f g xx x
x x→ →→
3 3
2
2
4 3
2 12
24
0� ( )( ) =
+ +− −2
f g x f g x f xx
x x� ( ) ( ) ( )
( )
( ) (= ( ) = + =
+ −+ − +
22 1
2 2 10
2
2 22
4 3
2 2 12
2
2)=
+ +− −
x x
x x
g x x f xx
x x( ) ( )= + = −
−2
1
2 10
2
2
lim f gx →3
( )�090
lim limx x
h x x x→ →+ +
= − + = +� �
�( ) ( )3 5 62
lim limx x
h x x x→ →− −+ +
= − + =1 1
23 5 6 14( ) ( )
lim limx x
f x x x→ →− −− −
= + + = −1 1
2 5 1 3( ) ( )
lim limx x
h x x x→ →− −
= + + = +� �
�( ) ( )2 5 1
lim h xx →+�
( )lim h xx →− −1
( )
lim h xx →− +1
( )lim h xx →−�
( )
h xx x x
x x x( ) =
+ + < −
− + ≥ −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2
2
5 1 1
3 5 6 1
si
si
089
limx
f x→−1
( )limx
f x→ +
=�
( ) 0
limx
f x→−2
( )limx
f x→ −
= +�
�( )
lim f xx →−1
( )
lim f xx →−2
( )
lim f xx →+�
( )
lim f xx →−�
( )
088 Y
X1
1 f (x)
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 298
299
Haz la gráfica aproximada de una función que cumpla las siguientes condiciones.
•
•
•
•
Respuesta abierta.
Realiza la gráfica aproximada de una función que cumpla las siguientes condiciones.
•
•
•
•
Respuesta abierta.
lim g xx →+
=�
( ) 0
lim g xx →2
2+
= −( )
lim g xx →2
3−
=( )
lim g xx →−
= −�
�( )
092
lim f xx →− +
= −2
( ) �
lim f xx →+
= +�
�( )
lim f xx →− −
= +2
( ) �
lim f xx →−
=�
( ) 0
091
7SOLUCIONARIO
1
1
Y
X
2
2
Y
X
833243 _ 0258-0307.qxd 14/10/08 09:31 Página 299
300
Construye la gráfica aproximada de una función que cumpla estas condiciones.
•
•
•
•
Respuesta abierta.
Representa tres funciones que cumplan que y cada una de estascondiciones.
a) f (3) = 5
b) f (3) no existe.
c) f (3) = 2
Respuesta abierta.
a)
lim f xx →3
5( ) =094
lim h xx →+
=�
( ) 1
lim h xx →0+
= +( ) �
lim h xx →0−
= −( ) �
lim h xx →−
=�
( ) 1
093
Límite de una función
1
1
Y
X
5
3
Y
X
833243 _ 0258-0307.qxd 14/10/08 09:31 Página 300
301
b)
c)
Dibuja una función continua que cumpla que f (x) es negativa si x > 3 y es positiva si x < 3.
a) ¿Cuánto vale ? ¿Y f (3)?
b) ¿Hay un posible resultado? Razona la respuesta.
Respuesta abierta.
a)
f (3) = 0
b) Sí, porque si la función es continua tiene que verificarse que: limx
f x f→3
3( ) ( )=
limx
f x→3
0( ) =
lim f xx →3
( )
095
7SOLUCIONARIO
5
3
Y
X
5
3
Y
X
1
3
Y
X
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 301
302
Halla las asíntotas de estas funciones.
Razona las diferencias entre ambas funciones.
Dom f = � − {−1, 2}
La función tiene una asíntota vertical en x = −1.
La función no tiene una asíntota
vertical en x = 2.
La función tiene una asíntota horizontal: y = 1.
Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.
Dom g = � − {−2, 1}
La función tiene una asíntota vertical en x = −2.
La función tiene una asíntota vertical en x = 1.
La función tiene una asíntota horizontal: y = 1.
Al tener asíntotas horizontales, la función no tiene asíntotas oblicuas.
Las funciones f(x) y g(x) tienen distintas asíntotas verticales, porque los valores que anulan el denominador en cada una de ellas son diferentes.
limx
x x
x x→→
+
− ++ −
=�
2
2
4 4
21
lim
lim
x
x
x x
x x
x x
x x
→
→
1
2
2
1
2
2
4 42
4 42
−
+
− ++ −
= −
− ++ −
�
== +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪�
→
limx
x x
x x→→
1
2
2
4 4
2
1
0
− ++ −
lim
lim
x
x
x x
x x
x x
x x
→
→
−
−
−
+
− ++ −
= +
− ++
2
2
2
2
2
2
4 42
4 4
�
−−= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪2�
→
limx
x x
x x→→
−
− ++ −2
2
2
4 4
2
16
0
limx
x x
x x→→
+
− +− −
=�
2
2
4 4
21
lim limx x
x x
x x
x
x x→ →2
2
2 2
24 4
2
2
1 2
− +− −
=−
− −=
( )
( )( )00 →
limx
x x
x x→→
2
2
2
4 4
2
0
0
− +− −
lim
lim
x
x
x x
x xx x
x x
→
→
−
−
−
+
− +− −
= +
− +−
1
2
2
1
2
2
4 42
4 4
�
−−= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪2�
→
limx
x x
x x→→
−
− +− −1
2
2
4 4
2
9
0
f xx x
x xg x
x x
x x( ) ( )= − +
− −= − +
+ −
2
2
2
2
4 4
2
4 4
2
096
Límite de una función
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 302
303
Escribe una función racional para cada caso.
a) Que tenga x = 2 y x = −3 como únicas asíntotas.
b) Sus únicas asíntotas son x = −2 e y = 3.
c) Sus asíntotas son x = 4 e y = 2x −1.
Respuesta abierta.
a)
b)
c)
Calcula el valor de a para que el límite tenga valor finito: .
Con ese valor de a, halla b para que se verifique que:
¿Qué relación existe entre la función y la recta y = ax + b?
El límite tiene valor finito si el grado del numerador es menor o igual que el denominador, por lo que a = 2.
La recta y = 2x + 2 es la asíntota oblicua de la función .
Se ha estimado que la población de zorros en una finca se rige
por la fórmula , donde z representa el número de zorros
y t es el tiempo transcurrido, en meses.
El veterinario de la finca ha observado que, en los primeros seis meses, la población ha aumentado. Investiga si el crecimiento será indefinido, si tenderá a estabilizarse la población o si tenderá a disminuir.
La población de zorros tenderá a estabilizarse.
limt
t
t→ +⋅
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=�
1006 3
2600
2
2
zt
t= +
+100
6 3
2
2
2
099
yx
x=
+−
2 3
1
2
lim limx x
x
xx b
→ →+ +
+−
− −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
� �
2 3
12
3 22 xx bx
xb b
− +−
= − = =1
12 0 2→
lim limx x
x
xax
x→ →+ +
+−
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+
� �
2 3
1
2 32 2 −− +−
ax ax
x
2
1
yx
x= +
−2 3
1
2
limx
xax b
x →+
+−
− − =�
2 3
10
2
limx
xax
x →+
+−
−�
2 3
1
2
098
f xx x
x( ) =
−−
2 9
4
2
f xx
x( ) =
+3
2
f xx
x x( )
( ) ( )=
− +
4
2 3
097
7SOLUCIONARIO
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 303
304
La famosa fórmula se debe a Einstein, y expresa la masa M de un
cuerpo en función de su velocidad v, siendo c la velocidad de la luz (300.000 km/s).
Calcula el límite de la masa M cuando v tiende a c. A la vista de ese resultado, ¿crees que un cuerpo puede alcanzar esa velocidad?
Para que la velocidad llegara a ser la de la luz el cuerpo debería tener una masa infinita.
Representa mediante una función definida a trozos la tarifa de un aparcamiento.
a) Estudia su continuidad.
b) Clasifica los puntos de discontinuidad, si los tuviera.
a) La función no es continua en:
x = 10
x = 11
x = 12
x = 13
x = 14
b) Los puntos son de discontinuidad inevitable de salto finito.
APARCAMIENTOHorario: de 10:00 a 22:00 horas
Tarifas:
• Cada hora o fracción: 2 €• Más de 5 horas: 10 €• Estancia máxima: 12 horas
101
limv c
mc
c v→ 2 2−= +�
Mmc
c v=
−2 2100
Límite de una función
10
8
6
4
2
2 4 6 8
Y
X
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 304
305
PARA FINALIZAR…
Calcula el valor de k para que el siguiente límite sea un número real:
Para el valor de k obtenido, ¿cuánto vale el límite?
Si k = −3, entonces la indeterminación es:
Así, el límite vale:
Calcula los límites.
a) b)
Aunque no sepamos el valor que toman el seno y el coseno de un ángulo cuandoel ángulo tiende a infinito, sí sabemos que es una cantidad acotada, pues tanto el seno como el coseno de un ángulo tienen un valor comprendidoen [−1, 1], y al multiplicar por cero una cantidad acotada, el resultado es cero.
a) b)
¿Qué ocurrirá con las raíces de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 si el coeficiente a tiendea cero y los coeficientes b y c son constantes, siendo b � 0?
Las soluciones de la ecuación son de la forma:
Comprueba que no existe.
lim
lim
x
x
x
x
e
e
→
→
→0
1
0
1
0−
+
=
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪�
No exiiste limx
xe→0
1
.
limx
xe→0
1
105
lim lima a
b b ac
a
b b ac
a b b→ →0
2
0
2 2
2
4 4− + −=
− −
− − −2 2
( )
442
40 2
acc
b b ac
c
ba
( )=
=− − −
= −lim→
lima
b b ac
a
b→
→ →0
2 4
2
2
0
− − − −�lim
a
b b ac
a→→
0
2 4
2
0
0
− + −
xb b ac
a=
− ± −2 4
2
104
lim cosx x
x→ +
⋅ =�
10lim
xx sen
x→0
10⋅ =
lim cosx x
x→�
1 ⋅limx
x senx→0
1⋅
103
lim limx x
x x
x
x x
x x→ →2
2
2 2
3 2
4
2 1
2 2
− +−
=− −− +
( ) ( )
( ) ( ))=
1
4
0
0
limx
x kx
x
k→
→2
2
2
2
4
2 6
0
+ +−
+
limx
x k x
x→2
2
2
2
4
+ +−
102
7SOLUCIONARIO
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 305
306
Estudia la continuidad de cada una de las siguientes funciones.
a) b) c)
a) f (0) = 1
No existe , y la función no es continua en x = 0.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto infinito.
La función es continua en � − {0}.
b) f (0) = 1
No existe , y la función no es continua en x = 0.
Se trata de un punto de discontinuidad inevitable de salto finito.
La función es continua en � − {0}.
c) f (0) = 0
Al ser , la función es continua en x = 0.
Así, la función es continua en �.
Demuestra que la recta de ecuación es una asíntota
de la hipérbola .
lim limx x
b
ax a
b
ax
b
a
a→ →+ +
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
−� �
2 22
xx a x2 20
− +
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟=
limx
b
ax a
b
ax
→→
+− −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
�� �2 2
→ yb x a b
a
b
ax a= ±
−= ± −
2 2 2 2
2
2 2
x
a
y
bb x a y a b y
b x a b
a
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2 22 2 2 2
21− = − = =
−→ →
x
a
y
b
2
2
2
21− =
yb
ax=107
f f xx
( ) ( )00
= lim→
limx
x senx→0
2 10⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
limx
f x→0
( )
lim
limx
x
x
x
→
→
0
1
0
5 0
2 1
−
+
=
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
limx
f x→0
( )
lim
lim
x
x
x
x
→
→
0
0
1
2 1
5
−
+
=
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
�
y x senx
x
x= ⋅
=
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
2 10
0 0
si
si
�y xx
x
x= <
≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
5 02 0
1
sisi
yx
x
x
x=
≤
>
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
2 0
5 01
si
si
106
Límite de una función
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 306
307
Si medimos el ángulo x en radianes, demuestra que .
Si el ángulo x se mide en grados sexagesimales, entonces .
Como la medida de la longitud del arco está comprendida entre la longitud de los segmentos AC y AB, entonces el área del sector circular está comprendida entre el área de los triángulos.
Área de OAC < Área de sector < Área OAB
Simplificamos dividiendo entre
Dividimos entre sen x :
Hacemos límites con x → 0:
, que es lo
que queríamos demostrar.
Si x viene medido en grados:
Simplificamos dividiendo entre :
Dividimos entre sen x:
Hacemos límites con x → 0:
Y despejando, resulta que: limx
sen x
x→0 180=
π
lim lim limx x x
sen x
xcos x
→ → →→
0 0 01 1> ⋅ > > ⋅
180 180
π πllim
lim
x
x
sen x
xsen x
x
→
→→
0
0
1
1
>
⋅ =180
π
sen x
sen x
x
sen x
tg x
sen x
x
sen x c< ⋅ < < ⋅ <
π π180
1180
1→oos x
sen x
xcos x→ 1> ⋅ >
180
π
sen x x tg x< ⋅ <π
180
R2
2
R R sen xR
x R R tg x R sen x Rx
⋅< ⋅ <
⋅< ⋅ <
2 360 2 2 3602
2 2
ππ→
RR tg x2
2
lim lim lim limx x x x
sen x
xcos x
sen x→ → → →
→0 0 0 0
1 1> > >xx
sen x
xx> =1 1
0→
→lim
→ →sen x
sen x
sen x
x
sen x
tg x
sen x
xx> > > >1 cos
sen x
sen x
x
sen x
tg x
sen x< <
Rsen x x tg x
2
2: < <
R sen xR
x R tg x22
2
2 2 2< ⋅ <
R R sen xR
x R R tg x⋅< ⋅ <
⋅
2 2 22π
π
limx
sen x
x→0 180= π
limx
sen x
x→01=108
7SOLUCIONARIO
BC
AxO
833243 _ 0258-0307.qxd 10/10/08 09:52 Página 307
308
Derivada de una función
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
La ciudad Rosa y RojaAquella princesa de largos y dorados cabellos estaba alarmada al ob-servar que cada día muchos se quedaban enredados en su peine. Pero,para su tranquilidad, la cuenta se mantenía siempre alrededor de losciento cincuenta mil cabellos, pese a que se le caían unos cincuentadiarios, por lo que no parecía probable que fuera a perder su doradoatributo.
Llegado el momento de tomar esposo, la princesa declaró que sólo secasaría con quien adivinara la longitud de su cabellera. Eran datos so-bradamente conocidos el número de sus cabellos y los que perdía dia-riamente, así como el hecho de que nunca se los cortaba, ya que la au-gusta melena era uno de los temas de conversación más frecuentes enpalacio. Así que el astrónomo real, que la amaba en silencio, se pre-sentó ante la princesa (que para confundir a sus pretendientes se reco-gía el pelo en un enorme moño) y le dijo:
–Si tenéis ciento cincuenta mil cabellos y se os caen unos cincuentadiarios, dentro de tres mil días se habrán caído todos los que ahoraadornan vuestra cabeza (aunque, naturalmente, para entonces ten-dréis otros ciento cincuenta mil, que os habrán ido saliendo al mismoritmo que se os caen, puesto que la cuenta diaria demuestra que el nú-mero de vuestros cabellos permanece constante). Lógicamente, los úl-timos en caer serán los que hoy mismo os han salido, lo que equivalea decir que la vida media de un cabello es de tres mil días. Puesto queel cabello humano (incluso el principesco) crece a razón de un centí-metro al mes, y tres mil días son cien meses, vuestra cabellera debemedir en su punto de máxima longitud (ya que en realidad tenéis ca-bellos de todas las medidas) aproximadamente un metro.
La princesa se casó con el astrónomo, que, acostumbrado a contar lasestrellas, pasó a ocuparse personalmente del cómputo de los cabellos,uniendo al rigor del científico la solicitud del esposo.
CARLO FRABETTI
Al suponer que la «velocidad» de crecimiento del cabello es constante: 1 cm/mes, la funciónque relaciona la longitud, en cm, del cabello (l ) y el tiempo, en meses, transcurrido (t ) es l = t. Si la velocidad de crecimiento fuera de 2 cm/mes, la fórmula sería l = 2t. Pero esta velocidad no es siempre constante. Imagina que, por efecto de un crecepelo, la relación entre la longitud y el tiempo viene expresada por la fórmula . Determinala velocidad de crecimiento entre los meses 2.o y 7.o, 2.o y 6.o, 2.o y 4.o. ¿Es constante?
La velocidad de crecimiento no es constante.
l l( ) ( )4 2
4 2
6 3 2
2
−
−=
−= 0,87
l l( ) ( )6 2
6 2
3 6 3 2
4
−
−=
−= 0,77
l l( ) ( )7 2
7 2
3 7 3 2
5
−
−=
−= 0,73
l t= 3
Derivada de una función8
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 308
309
8SOLUCIONARIO
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Determina cuáles de estos vectores son paralelos y cuáles son perpendiculares
a v�= (−2, 1).
a) v�1 = (−6, 3)
b) v�2 = (−2, −4)
c) v�3 = (8, −4)
a) v�1 = 3v� → Los vectores son paralelos.
b) v�⋅ v�2 = 0 → Los vectores son perpendiculares.
c) v�3 = −4v� → Los vectores son paralelos.
El ángulo que forma una recta con el eje de abscisas, ¿puede medir más de 180°? ¿Por qué?
No, porque si la inclinación de la recta sobrepasa la inclinación del eje, la semirrecta que queda por encima del mismo determina el ángulo menor de 180° que hay que considerar para calcular la pendiente.
Calcula la ecuación punto-pendiente de una recta que pasa por el punto A(−3, 6)y que tiene como vector director v�= (2, −4).
y − 6 = −2(x + 3)
Estudia la continuidad de estas funciones.
a) f (x) es continua en � − {1}.
b) g(x) es continua en (−�, −2] ∪ [2, +�).
c) h(x) es continua en (0, +�).
Dadas las funciones f (x) = (2x −1)2 y , calcula (g �� f )(2) y (f �� g )(2).
Si la función f (x) crece en el intervalo (−10, −2) y decrece en el intervalo (−2, 22),¿qué ocurre en el punto x = −2?
En x = −2 la función presenta un máximo.
006
( )( ) [ ( )] [( ) ] ( )g f x g f x g x x x� = = − = − − = −2 1 2 1 2 4 42 2 2 xx g f
f g x f g x f x x
− =
= = −( ) = −
1 2 7
2 2 2
→ ( )( )
( )( ) [ ( )]
�
� −−( ) =1 2 12
→ ( )( )f g�
g x x( ) = −2005
c) h xx
( ) = ln1
b) g x x( ) = −2 4
a) f xx
( ) = −−5
1
004
003
002
001
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310
ACTIVIDADES
Halla la tasa de variación media de las funciones f (x) = x2 + x y g (x) = x3 + xen los siguientes intervalos.
a) [0, 1] b) [2, 3]
La cotización de una acción sigue durante una semana la función f (x) = 0,02x2 + 1,donde x es el día de la semana (0 = lunes, 1 = martes, …). Halla la tasa de variación media de esa cotización de lunes a viernes.
Calcula la derivada de estas funciones en x = 1.
a) f (x) = 4x + 2 b)
Halla la derivada de las funciones en los puntos x = 0 y x = 1.
a) f (x) = x3 b)
f limf h f
hlim
h
hlim
h h h' (1) =
+ −=
+ −=
→ → →0 0
1 1 1 1( ) ( )00
0
1 1
1 11
1 1
1
2
+ −
+ +=
=+ +
=
h
h h
limhh
( )
→
b) (0)f limf h f
hlim
h
hlim
h h h' =
+ −= =
→ → →0 0 0
0 0 1( ) ( )
hh→ No existe.
f limf h f
hlim
h
hli
h h' (1) =
+ −=
+ −=
→ →0 0
31 1 1 1( ) ( ) ( )mm
h h h
hlim h h
h
h
→
→
0
2 3
0
2
1 3 3 1
3 3 3
+ + + −=
= + + =( )
a) (0)f limf h f
hlim
h
hlim
h h h' =
+ −= =
→ → →0 0
3
0
0 0( ) ( )hh2 0=
f x x( ) =
004
b) (1)f limf h f
hlim
h
hh h' =
+ −= +
−
→ →0 0
21 1
1
11
( ) ( ) ( ) ==− +
+=
=− − −
limh
h h
limh h
h
h
h
→
→
0
2
2
0
2
1 1
11 1 2
1
( )
( )
( ++=
− −+
= −h
limh
hh) ( )2 0 2
2
12
→
a) (1)f limf h f
hlim
hh h
' =+ −
=+ + −
→ →0 0
1 1 4 1 2 6( ) ( ) ( )
hhlim
h
hh=
+ −=
→0
4 4 44
f xx
( ) = 12
003
T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
0 44 0
4 0
1
4=
−−
=−
=1,32
0,08
002
T.V.M.g g
([ , ])( ) ( )
2 33 2
3 2
30 10
120=
−−
=−
=
b)(3) (2)
T.V.M.f f
([ , ])2 33 2
12 6
16=
−−
=−
=
T.V.M.g g
([ , ])0 11 0
2 0
12=
−−
=−
=(1) (0)
a)(1) (0)
T.V.M.f
([ , ])0 11 0
2 0
12=
−−
=−
=f
001
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 310
311
Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x2 + 2 en x = 2.
La pendiente de la recta tangente es 4.
¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = x3
en x = −1?
La pendiente de la recta tangente es 3.
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f (x) = 2x2
en el punto P (−1, 2). ¿Cuál es la ecuación de la recta normal?
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = −4(x + 1) → y = −4x − 2
La ecuación de la recta normal es:
Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la función f (x) = x3 + 1 en los puntos x = 1 y x = −1. Comprueba que son paralelas a la recta y = 3x + 4.
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 3(x − 1) → y = 3x − 1
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 3(x + 1) → y = 3x + 3
Y
X1
2
f limf h f
hlim
hh h
' ( )( ) ( ) ( )
− =− + − −
=− + +
11 1 1 1
0 0
3
→ → hhlim
h h h
hlim h h
h
h
=− + − + +
=
= − + =→
→
0
2 3
0
2
1 3 3 1
3 3 3( )
f limf h f
hlim
h
hh h' (1) =
+ −=
+ + −=
→ →0 0
31 1 1 1 2( ) ( ) ( )llim
h h h
hlim h h
h
h
→
→
0
2 3
0
2
1 3 3 1
3 3 3
+ + + −=
= + + =( )
008
y x y x− = + = +21
41
1
4
9
4( ) →
f limf h f
hlim
hh h
' ( )( ) ( ) ( )
− =− + − −
=− + −
11 1 2 1
0 0
2
→ →
22 2 4 2 2
4 2 40
2
0
hlim
h h
hlim h
h
h
=− + −
=
= − + = −→
→( )
007
f limf h f
hlim
hh h
' ( )( ) ( ) ( )
− =− + − −
=− + +
11 1 1 1
0 0
3
→ → hh
limh h h
hlim h h
h h
=
=− + − + +
= − + =→ →0
2 3
0
21 3 3 13 3 3( )
006
f limf h f
hlim
h
hh h' ( )
( ) ( ) ( )2
2 2 2 2 60 0
2
=+ −
=+ + −
=→ →
llimh h
hlim h
h
h
→
→
0
2
0
4 4 4
4 4
+ + −=
= + =( )
005
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 311
312
Halla la función derivada de f (x) = 4x + 2, aplicando la definición de derivada de una función en un punto. A partir del resultado que has obtenido, calcula la derivada de f (x) en estos puntos.
a) x = 2 b) x = −7
Comprueba que obtienes el mismo resultado que si utilizas la definición de derivada en un punto.
¿Cuál es la función derivada de estas funciones?
a) b)
Utiliza la definición para calcular la función derivada de la función f (x) = 2x3 + x2.
Calcula la derivada de estas funciones, y comprueba que se cumple que el resultadoes igual a la suma de las derivadas de las funciones que las forman.
a) f (x) = 7x + 2x2 b) f (x) = x−2 + 3x
012
f x limf x h f x
hlim
x h x hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ + +
→ →0 0
32 )) ( )2 3 2
0
3 2 2 3 2
2
2 6 6 2 2
− +=
=+ + + + +
x x
h
limx hx h x h x
h→
hhx h x x
h
limhx h x h hx h
hh
+ − −=
=+ + + +
2 3 2
0
2 2 3 2
2
6 6 2 2→
== + + + + =
= +
lim x hx h x h
x x
h→0
2 2
2
6 6 2 2
6 2
( )
011
b) f x limf x h f x
hlim x h x
h h' ( )
( ) ( ) ( )=+ −
= +−
→ →0 0
2
1 122
0
2 2
2 2
0
2 2 2h
limx x h
h x h x
limx x
h
h
=− +
+=
=− −
→
→
( )
( )hhx h
h x h xlim
x h
x h x
x
xh
−+
=− −
+=
−= −
2
2 2 0 2 2 4
2 2
( ) ( )→
223x
a) f x limf x h f x
hlim
x h x
hlim
h h' ( )
( ) ( )=
+ −=
+ −=
→ →0 0 hh
h
x h x
h x h x
limx h x x
→
→
0
0
1 1
2
+ −
+ +=
=+ +
=
( )
f xx
( ) = 12
f x x( ) =
010
b) f
f limf h f
hlim
h h
'
'
( )
( )( ) ( ) (
7 4
77 7 4 7
0 0
=
=+ −
=→ →
++ + −=
+ −=
h
hlim
h
hh
) 2 30 28 4 284
0→
a) f
f limf h f
hlim
h h
'
'
( )
( )( ) ( ) (
2 4
22 2 4 2
0 0
=
=+ −
=→ →
++ + −=
+ −=
h
hlim
h
hh
) 2 10 8 4 84
0→
f x limf x h f x
hlim
x h xh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ + −
→ →0 0
4 2 4 ++=
+ −=
2 4 4 44
0
)
hlim
x h x
hh→
009
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 312
313
Halla la derivada de las siguientes funciones, utilizando la definición de derivadadel producto de un número por una función.
a) f (x) = 8x3 b) c) f (x) = −5x2
f ' (x) = 8 · 3x2 = 24x2
c) limx h x
hlim
x hx h x
hlim
h h h→ →0
2 2
0
2 2 22( )+ −=
+ + −=
→→ →0
2
0
22 2
5 2 10
hx h
hlim x h x
f x x x
h
+= + =
= − ⋅ = −
( )
( )'
b) limx h x
hlim
x h x
h x h xlim
xh h h→ → →0 0 0
1+ −=
+ −
+ +( )=
++ +=
= ⋅ =
h x x
f xx x
1
2
41
2
2' ( )
a) limx h x
hlim
x hx h x h xh h→ →0
3 3
0
3 2 2 3 33 3( )+ −=
+ + + −hh
limhx h x h
h
lim x hx h
h
h
=+ +
=
= + + =
→
→
0
2 2 3
0
2 2
3 3
3 3( ) 33 2x
f x x( ) = 4
013
g x limx h x
hlim
x h x
hl
h h' ( )
( ) ( )=
+ −+
+ −=
− −
→ →0
2 2
0
3 3iim x h x
h
limx h x
hlim
x
h
h h
→
→ →
0
2 2
0 0
1 1
3 3 3
( )+−
+
++ −
=22 2 2
2 2
0 2
23
2
− − −+
+ =
=− −
+
x hx h
h x h x
limx h
h x hh
( )
( )→ xx
x
x
x
x2 4
3
33
23
3 2+ =
−+ =
−
b) g x limg x h g x
hlim
x hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ +−
→ →0 0
2 3 xx h x x
h
lim x hx h
xx
h
+ − +=
= ++ + − −
−) ( )
( )
2
0
2 2
3
13 3
13
→ hh
limx hx h x h x x hx h
h xh
=
=+ + + − − −
+→0
2 4 2 3 2 2 2 23 6 3 2
( hh x
limx hx hx x h
x h x
xh
)
( )
2 2
0
4 3 2
2 2
3 6 3 2 3
=
=+ + − −
+=
→
44
4
3
3
2 3 2−=
−x
x
x
x
f x limx h x
hlim
x h x
hl
h h' ( )
( ) ( )=
+ −+
+ −=
→ →0 0
2 27 7 2 2iim
x h x
h
limx hx h x
hl
h
h
→
→
0
0
2 2 2
7 7 7
2 4 2 27
+ −+
++ + −
= + iim x h xh→0
4 2 7 4( )+ = +
a) f x limf x h f x
hlim
x h xh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ +
→ →0 0
7 2 ++ − +=
=+ + + + −
h x x
h
limx h x hx h x
h
) ( )2 2
0
2 2
7 2
7 7 2 4 2 7→
−−=
+ +=
= + + =
2 7 4 2
7 4 2 7
2
0
2
0
x
hlim
h hx h
hlim x h
h
h
→
→( ) ++ 4x
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 313
314
Calcula el producto de las funciones f (x) = x2 − 4 y g(x) = x + 1, y después hallasu derivada. Comprueba que el resultado es el mismo que si aplicamos la fórmulade la derivada del producto de funciones.
Halla las derivadas de las funciones f (x) = x2 + 1 y g(x) = −x + 5.
¿Cuál es la derivada del cociente ? ¿Y la derivada del cociente ?
Calcula la derivada de esta función, indicando los pasos que sigues para hallarla.f (x) = x 2 + 2x
Se aplica la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función potencial (n = 2), la derivada del producto de un número por una función y la derivadade la función identidad: f ' (x) = 2x2−1 + 2 ⋅ 1 = 2x + 2
Halla la derivada de la siguiente función:
Se aplica la derivada del cociente de funciones. Para derivar la funcióndel numerador se usa la derivada de la suma de funciones, la derivada de la función identidad y la derivada de la función constante. Para obtener la derivada del denominador se aplica la derivada del producto de un número por una función y la derivada de la función potencial (n = 5):
f xx x x
x
x x
x' ( )
( )
( )=
⋅ − − ⋅ ⋅=
− +1 2 3 2 5
2
8 30
4
5 4
5 2
5 4
10==
− +4 15
2 6
x
x
f xx
x( ) = −3
2 5017
016
g x
f x
g x f x g x f x
f x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ (
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
⋅ − ⋅' ' '
))]
( )( ) ( )
( ) (2
2
2 2
21 1 5 2
1
10 1=
− + − − + ⋅+
=− −x x x
x
x x
x 22 21+ )
f x
g x
f x g x f x g x
g x
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ (
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥ =
⋅ − ⋅' ' '
))]
( ) ( )( )
( ) (2
2
2
22 5 1 1
5
10 1=
⋅ − + − + −− +
=− + +x x x
x
x x
−− +x 5 2)
g x limx h x
hlim
x h x
hh h' ( )
( ) ( )=
− + + − − +=
− − +=
→ →0 0
5 5−−1
f x limx h x
hlim
x hx hh h
' ( )( ) ( )
=+ + − +
=+ +
→ →0
2 2
0
21 1 2 22 2
02 2
−= + =
x
hlim x h xh→
( )
g x
f x
( )
( )f xg x( )( )
015
Aplicando la fórmula: p x f x g x f x g' ' '( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ + ⋅ (( )
( ) ( )( ) ( )
x
limx h x
hx x l
h
=
=+ − − −
⋅ + + − ⋅→0
2 224 4
1 4 iimx h x
h
limx hx h x
h
h
h
→
→
0
0
2 2 2
1 1
2
( ) ( )
(
+ + − +=
=+ + −
⋅ xx x limx h x
hlim x h x
h
h
+ + − ⋅+ −
=
= + ⋅ +
1 4
2
2
0
0
) ( )
( ) (
→
→11 4 1 2 1 4 3 2 42 2 2) ( ) ( )+ − ⋅ = + + − = + −x x x x x x
p x f x g x x x x x x
p x
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
= ⋅ = − + = + − −
=
2 3 24 1 4 4
' llimx h x h x h x x x
hh→0
3 2 3 24 4 4 4( ) ( ) ( ) ( )+ + + − + − − + − −==
=+ + + + + + − − − −
limx hx h x h x hx h x h
h→0
3 2 2 3 2 23 3 2 4 4 4 xx x x
h
limhx h x h hx h h
hh
3 2
0
2 2 3 2
4 4
3 3 2 4
− + +=
=+ + + + −
→== + + + + − =
= + −
lim x hx h x h
x x
h→0
2 2
2
3 3 2 4
3 2 4
( )
014
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 314
315
Halla la derivada de las siguientes funciones.
a) f (x) = 5 sen x + 3 cos x b) f (x) = (5x2 ⋅ sen x) + (x ⋅ cos x)
a) f ' (x) = 5 · cos x + 3 · (−sen x) = 5 cos x − 3 sen x
b) f ' (x) = (5 · 2x · sen x + 5x2 · cos x) + (1 · cos x + x · (−sen x)) == 10x sen x + 5x2 cos x + cos x − x sen x
Obtén la derivada de estas funciones.
a) f (x) = e x ⋅ tg x b) f (x) = 3x 2 − arc sen x
a) f ' (x) = e x · tg x + e x · (1 + tg2 x) = e x (1 + tg x + tg2 x)
Halla la derivada de estas funciones aplicando la regla de la cadena.
a) f (x) = ln (cos x) c) f (x) = (x4 + 2)9
b) f (x) = cos (ln x) d) f (x) = x
Calcula la derivada de estas funciones.
a) f (x) = sen c) f (x) = ln
b) f (x) = 3 sen x2 + 2 sen2 x d) f (x) =
f x e x x ex
xx x' ( ) = ⋅ +( ) ⋅ = ⋅
++( ) −+( )1
1
2 12 2
2 11
2
1
c) f xx
x
x x
x' ( )
( ) ( ) ( )
( )=
+−
⋅⋅ − − + ⋅ −
−=
11
1
1 1 1 1
1
2
12 −− x 2
b) f x cos x x sen x cos x x cos x' ( ) = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ +3 2 2 2 6 42 2 ⋅⋅ sen x cos x
a) f x cos x x x x xx
' ( ) ( ) ( )( )
= + ⋅ + ⋅ + =+−
2 21
231
23 2 3
2 3 ccos x x
x x
2
2
3
2 3
+
+
e x +( )12
1
1
+−
x
xx x2 3+
021
d) f x x x x x
x
' ( ) ( )= ⋅ + + ⋅ + ⋅ =
= + +
−1 2 1
1
22 1 6
2 13
3 31
2 2
3 xx
x
x
x
3
3
3
32 1
5 1
2 1+=
+
+
c) f x x x x x' ( ) ( ) ( )= + ⋅ = +9 2 4 36 24 8 3 3 4 8
b) f x sen xx
' ( ) (ln )= − ⋅1
a) f xcos x
sen x tg x' ( ) ( )= ⋅ − = −1
2 13x +
020
b) f x xx
' ( ) = −−
61
1 2
019
018
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 315
316
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones.
a) f (x) = x2 −6x + 5
b) f (x) = 8x + x2
a) f ' (x) = 2x − 6
2x − 6 = 0 → x = 3
La función es decreciente en (−�, 3) y es creciente en (3, +�).
b) f ' (x) = 8 + 2x
8 + 2x = 0 → x = −4
La función es decreciente en (−�, −4) y es creciente en (−4, +�).
Determina los intervalos de crecimiento y los máximos y mínimos de estas funciones.
a) f (x) = x3 −3x
b) f (x) = 2 −x
a) f ' (x) = 3x2 − 3
3x2 − 3 = 0 → x = ±1
La función es creciente en (−�, −1) ∪ (1, +�) y es decreciente en (−1, 1).
Presenta un máximo en x = −1 y un mínimo en x = 1.
b) f ' (x) = −1 < 0
La función es decreciente en �. No tiene máximos ni mínimos.
Calcula los máximos y mínimos de estas funciones.
a) f (x) = x4 −4x 2 + 2
b) f (x) =
c) f (x) = x3 −12x
d) f (x) = x
x
2
3 1+
8
22x +
024
f ' (−2) > 0 f ' (2) > 0f ' (0) < 0
−2 −1 1 20
023
f ' (−5) < 0 f ' (0) > 0
−5 −4 0
f ' (0) < 0 f ' (4) > 0
0 3 4
022
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 316
317
a) f ' (x) = 4x3 − 8x
f" (x) = 12x2 − 8
tiene un mínimo.
f" (0) = −8 < 0 → En x = 0 tiene un máximo.
tiene un mínimo.
f" (0) = −4 < 0 → En x = 0 tiene un máximo.
c) f ' (x) = 3x2 − 12
3x2 − 12 = 0 → x = ±2
f" (x) = 6x
f" (−2) = −12 < 0 → En x = −2 tiene un máximo.
f" (2) = 12 > 0 → En x = 2 tiene un mínimo.
f" (0) = 2 > 0 → En x = 0 tiene un mínimo.
tiene un máximo.
Si la función f (x) = x3 + ax + b tiene un mínimo en el punto (1, 5), determinalos valores de a y b. ¿Tiene algún otro máximo o mínimo esta función?
f ' (x) = 3x2 + a
Si la función tiene un mínimo en x = 1: f ' (1) = 0 → 3 + a = 0 → a = −3
Como el punto (1, 5) pertenece a la gráfica de la función f (x), se verifica que: f (1) = 5
Al ser f (x) = x3 − 3x + b, se tiene que: 1 − 3 + b = 5 → b = 7
Por tanto, la expresión de la función es: f (x) = x3 − 3x + 7
f ' (x) = 3x2 − 3
3x2 − 3 = 0 → x = ±1
f" (x) = 6x
f" (−1) = −6 < 0 → En x = −1 tiene un máximo.
025
f x" 22
30 23 3( ) = − < =→ En
d) f xx x x x
x
x x
x' ( )
( )
( ) (=
⋅ + − ⋅+
=− +
+2 1 3
1
2
1
3 2 2
3 2
4
3 ))
( )
2
4
3 2
43
2
10 2 0
02
− ++
= − + ===
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
x x
xx x
x
x
f
→ →
"" ( )( )( ) ( ) ( )
(x
x x x x x x=
− + + − − + ⋅ + ⋅4 2 1 2 2 1 33 3 2 4 3 2
xx
x x
x3 4
6 3
3 31
2 14 2
1+=
− ++) ( )
b) f xx
x
x
xx
f x
'
"
( )( )
( )
( )
=−
+−
+= =
=−
16
216
20 0
2 2
2 2→
116 2 16 2 2 2
2
48 322 2 2
2 4
2
2
( ) ( )
( ) (
x x x x
x
x
x
+ + ⋅ + ⋅+
=−
++ 2 3)
f x" 2 16 0 2( ) = > =→ En
f x" −( ) = > = −2 16 0 2→ En
4 8 0 4 2 00
23 2x x x x
x
x− = − =
== ±
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →( )
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 317
318
Halla los máximos y mínimos de f (x) = sen2 x en [0, 2π].
tiene un mínimo.
tiene un máximo.
tiene un mínimo.
tiene un máximo.
Representa estas funciones.
a) c)
b) d)
a) Dom f = � − {0}
x = 0 es una asíntota vertical.
y = 0 es una asíntota horizontal.
No hay puntos de corte con los ejes.
Si x > 0 → f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (0, +�).
Si x < 0 → f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, 0).
La función no tiene máximos ni mínimos.
f (x)
Y
X1
1
f xx
' ( ) = −2
3
limxx →
→+
=�
10
2
limxx →
→0 2
1= +�
f xx
( ) =+2
32f x
x
x x( ) = +
−
2
2
1
f xx
x x( ) =
+ +2 1f x
x( ) = 1
2
027
f x"3
22 0
3
2
π π⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − < =→ En
f x" ( )π π= > =2 0 → En
f x"π π2
2 02
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − < =→ En
f x" ( )0 2 0 0= > =→ En
f x sen x cos x
sen x cos x
sen xxx
' ( ) =
=
= ==
⎧⎨⎪
2
2 0
0 0
→
→π
⎪⎪⎩⎪⎪
==
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
cos xx
x0 2
3
2
→
π
π
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪= −f x cos x sen x" ( ) ( )2 2 2
026
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 318
b) Dom f = � − {0, 1}
x = 0 es una asíntota vertical. x = 1 es una asíntota vertical.
y = 1 es una asíntota horizontal.
No hay puntos de corte con los ejes.
f (x) es decreciente en (−�; −2,41) ∪ (0,41; 1) ∪ (1, +�) y es creciente en (−2,41; 0) ∪ (0; 0,41)
Mínimo: (−2,41; 0,82)
Máximo: (0,41; −4,82)
c) Dom f = �
y = 0 es una asíntota horizontal.
Punto de corte: (0, 0)
f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (1, +�) y es creciente en (−1, 1).
Mínimo: (−1, −1)
Máximo: (1; 0,33)1
1 f (x)
Y
X
f ' (−2) < 0 f ' (0) > 0
−2 −1 1 20
f ' (2) < 0
f xx x x x
x x
x
x' ( )
( ) ( )
( ) (=
⋅ + + − ⋅ ++ +
=−
+1 1 2 1
1
12
2 2
2
2 xxx x
+= − = = ±
10 1 0 1
2
2
)→ →
limx
x xx →→
+ + +=
� 2 10
− − +−
= − − + = =±−
= − ±x x
x xx x x
2
2 2
22 10 2 1 0
2 8
21 2
( )→ →
f xx x x x x
x x
x x' ( )
( ) ( ) ( )
( )=
⋅ − − + ⋅ −−
=− −2 1 2 1 22 2
2 2
2 ++−
12 2( )x x
limx
x xx→+
+−
=�
2
2
11 →
limx
x xx
x x
x
x
→
→
−
+
+−
= −
+−
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪1
2
2
1
2
2
1
1
�
�lim⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
0
2
2
0
2
2
1
1
−
+
+−
= +
+−
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪�
�⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
limx
x xx→→
1
2
2
1 2
0
+−
limx
x xx→→
0
2
2
1 1
0
+−
319
8SOLUCIONARIO
Y
X
f (x)
1
1
f ' (−3) < 0 f ' (−1) > 0 f ' (0,2) > 0
−3 −1−2,41 0,41 1 20,5
0
f ' (2) < 0
0,2
f ' (0,5) > 0
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 319
320
Derivada de una función
d) Dom f = �
y = 0 es una asíntota horizontal.
No hay puntos de corte con los ejes.
Si x > 0 → f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (0, +�).
Si x < 0 → f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, 0).
Máximo: (0; 0,66)
Representa las siguientes funciones.
a) b)
a) Dom f = �
f ' (x) = 3x3 − 3x2 − 6x
f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (0, 2) y es creciente en (−1, 0) ∪ (2, +�).
Mínimos: (−1; 4,75) y (2, −2)
Máximo: (0, 6)
X
f (x)
1
1
Y
f ' (−2) < 0 f ' (−0,5) > 0
−2 −1 −0,5 1 2 30
f ' (1) < 0 f ' (3) > 0
3 3 6 0 3 2 00
2 0 23 2 22x x x x x x
x
x xxx
− − = − − ==
− − = ==
→ → →( )−−
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪ 1
f xe x
( ) =−1
1f x x x x( ) = − − +3
43 64 3 2
028
Y
X
f (x)
1
1
−+
= =4
30 0
2 2
x
xx
( )→
f xx
x' ( )
( )= −
+4
32 2
limxx →
→+ +
=�
2
30
2
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 320
321
b) Dom f = � − {0}
x = 0 es una asíntota vertical.
y = 0 es una asíntota horizontal.
y = −1 es una asíntota horizontal.
No hay puntos de corte con los ejes.
f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, 0) ∪ (0, +�).
No hay máximos ni mínimos.
Halla dos números naturales positivos cuya suma sea 60 y sabiendo que la sumade uno más el cuadrado del otro es la mayor posible.
tiene un máximo.
Los números son: 1
2
119
2y
f x x" ( ) = − < =2 01
2→ En
− + = =1 2 01
2x x→
f x x' ( ) = − +1 2
f x x x( ) = − +60 2
x y y x+ = = −60 60→
029
Y
X
f (x)
1
1
f xe
e
x
x' ( )
( )= −
−1 2
limex x→
→− −
= −�
1
11
limex x→
→+ −
=�
1
10
lime
lime
x x
x x
→
→
0
0
1
11
1
−
+
−= −
−= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
�
�
→→
limex x→
→0
1
1
1
0−
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 321
322
Derivada de una función
El área de un rectángulo es de 100 cm2. Si queremos que tenga el menor perímetroposible, ¿cuáles son sus dimensiones?
tiene un mínimo.
Como el valor de x corresponde a la medida de un lado, no puede ser x = −10. Por tanto, las dimensiones del rectángulo son: x = y = 10 cm. Se trata de un cuadrado de 10 cm de lado.
Una pieza con forma de triángulo rectángulo tiene un cateto cuya longitud es 1 m y el otro cateto mide 3 m. Determina el rectángulo de lados paralelos a los catetos y cuya área sea la mayor posible que se puede obtener de ella.
Si el triángulo se apoya sobre los ejes de coordenadas, los vértices coincidencon los puntos (0, 0), (3, 0) y (0, 1).
Entonces el rectángulo de lados paralelos a los catetos tiene un vérticesobre la recta que contiene a la hipotenusa:
tiene un máximo.
Así, los lados del rectángulo miden 1
2
3
2m y m.
x = − ⋅ =3 31
2
3
2
f y y" ( ) = − < =6 01
2→ En
3 6 01
2− = =y y→
f y y' ( ) = −3 6
f y y y y y( ) ( )= − = −3 3 3 3 2
x y= −3 3
x yx y
−=
−+ =
3
3 13 3→
X
1
1
(x, y)
Y
031
f x" ( )10 0 10> =→ En
f xx
" ( ) =400
3
2200
0 2 200 0 102
2− = − = = ±x
x x→ →
f xx
' ( ) = −2200
2
f x xx
xx
( ) = + ⋅ = +2 2100
2200
x y yx
⋅ = =100100→
030
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 322
323
Se han construido cajas de cartón, de base cuadrada y sin tapa, cuya capacidad es de 1 m3. Si queremos mantener el volumen, pero modificar la base, ¿cuáles seránsus dimensiones para minimizar el gasto de cartón empleado?
tiene un mínimo.
La arista de la base mide m y la altura del ortoedro es m.
Sabemos que el rectángulo de mayor área que puede inscribirse en una circunferenciaes el cuadrado. ¿Sucederá lo mismo si consideramos una semicircunferencia? Para comprobarlo, halla las dimensiones de un rectángulo de área máxima, inscrito en una semicircunferencia de 5 cm de radio, sabiendo que su base está situada sobre el diámetro.
tiene un máximo.
Como el valor de x corresponde a la medida de un lado, no puede ser x = − .
Se trata de un cuadrado cuyo lado mide cm; por tanto, también se verificaen la semicircunferencia.
5 2
2
y = − = =2525
2
25
2
5 2
2
5 2
2
f x"5 2
20
5 2
2
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
< =→ En
f x
x x xx
xx
x x" ( )
( )
=
− − − −−
−−
=−
4 25 25 225
25
2 752 2
2
2
3
(( )25 252 2− −x x
25 2
250 25 2 0
25
2
5 2
2
2
2
2−
−= − = = ± = ±
x
xx x→ →
f x x xx
xx
x
' ( ) = − + ⋅−
−=
=−
−
252
2 2525 2
25
2
2
2
2
f x x x( ) = −25 2
x
y5 cm
x y y x2 2 2 25 25+ = = −→
033
1
4323
y =( )
=1
2
1
432 3
f x" 2 0 23 3( ) > =→ En
f xx
" ( ) = +28
3
24
0 2 0 22
3 3xx
x x− = − = =→ →
f x xx
' ( ) = −24
2
f x x xx
xx
( ) = + ⋅ = +2
2
241 4
x
x
y
x y yx
2
21
1= =→
032
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 323
324
Determina la tasa de variación media de la función y = x2 −2x + 6 en el intervalo [1, 3].
¿Cuál es la tasa de variación media de la función en el intervalo [1, 4]?
Calcula la tasa de variación media en los intervalos indicados para la siguiente función.
a) [1, 2]
b) [1, 3]
c) [2, 3]
Determina la tasa de variación media de esta función en cada uno de los intervalos.
a) [−1, 1] b) [1, 3] c) [−1, 3]
c) T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
( )− =
− −− −
=−
=1 33 1
3 1
4 2
4
1
2
b) T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
1 33 1
3 1
4 1
2
3
2=
−−
=−
=
a) T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
( )− =
− −− −
=−
= −1 11 1
1 1
1 2
2
1
2
Y
X
1
1
037
c) T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
2 33 2
3 2
6 3
13=
−−
=−
=
b) T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
1 33 1
3 1
6 2
22=
−−
=−
=
a) T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
1 22 1
2 1
3 2
11=
−−
=−
=
Y
X
1
1
036
T.V.M.f f
([ , ])( ) ( )
1 44 1
4 1
3 12
33=
−−
=−
= −
f xx
( ) = 12035
T.V.M.f f
([ , ])( ) ( )
1 33 1
3 1
9 5
22=
−−
=−
=
034
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 324
325
Halla la tasa de variación media de la función y = 2x2 −x en el intervalo [2, 2 + h].Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media de la función en los siguientes intervalos.
a) [2, 3] b) [2, 5] c) [2, 8]
a) T.V.M. ([2, 3]) = 7 + 2 · 1 = 9
b) T.V.M. ([2, 5]) = 7 + 2 · 3 = 13
c) T.V.M.([2, 8]) = 7 + 2 · 6 = 19
Calcula el valor de a de modo que la tasa de variación media de la función f (x) = 2x + ax −5 en el intervalo [0, 2] sea 1.
Encuentra dos funciones polinómicas de segundo grado que pasen por los puntos(0, 4) y (3, 10). Comprueba que la tasa de variación media en el intervalo [0, 3] es la misma para las dos funciones.
Respuesta abierta.
La función es de la forma: f (x) = ax2 + bx + c
Como la gráfica pasa por el punto (0, 4), se verifica que: c = 4
Al pasar también por el punto (3, 10), se cumple que: 9a + 3b + 4 = 10 → 3a + b = 2
Sean f (x) = x2 − x + 4 y g(x) = 2x2 − 4x + 4 las funciones pedidas.
¿Por qué la tasa de variación media de la función y = 2x −3 en cualquier intervaloes siempre 2?
Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente 2, y esta indica su variación en cualquier intervalo.
El espacio recorrido por un objeto, en metros, se expresa con la fórmula: e = 4t2 + 2t + 1
a) ¿Qué espacio ha recorrido a los 4 segundos? ¿Y a los 7 segundos?
b) ¿Cuál es la velocidad media que ha mantenido entre los 4 y 7 segundos?
a) A los 4 segundos: e = 73 m A los 7 segundos: e = 211 m
b) m /sT V M. . . ([ , ])4 7211 73
7 446=
−−
=
042
041
T V Mg g
. . . ([ , ])( ) ( )
0 33 0
3 0
10 4
32=
−−
=−
=
T V Mf f
. . . ([ , ])( ) ( )
0 33 0
3 0
10 4
32=
−−
=−
=
040
T V Mf f a
. . . ([ , ])( ) ( ) ( )
0 22 0
2 0
4 2 5 5
2
4 2=
−−
=+ − − −
=+ aa
a a2
2 1 1= + = = −→
039
T V M hf h f
h
h. . . ([ , ])
( ) ( ) ( ) (2 2
2 2
2 2
2 2 22
+ =+ −+ −
=+ − ++ −
=
=+ + − − −
= +
h
hh h h
hh
) 6
8 8 2 2 67 2
2
038
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 325
326
Aplica la definición de derivada en un punto para calcular las derivadas de las funciones en los puntos que se indican.
a) y = 3x − 1 en x = 2
b) y = x2 + x en x = 3
c) en x = −1
d) en x = 1
e) y = (x − 1)2 en x = −2
Calcula, utilizando la definición de derivada en un punto, f' (2) y f' (0) para la siguientefunción: f (x) = 2x2 −x + 3
f limf h f
hlim
h h
hl
h h' ( )
( ) ( )0
0 0 2 3 30 0
2
=+ −
=− + −
=→ →
iim hh→0
2 1 1( )− = −
f limf h f
hlim
h hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
22 2 2 2 2
0 0
2
=+ −
=+ − +
→ →
))
( )
+ −=
=+ + − − −
= +
3 9
8 8 2 2 67 2
0
2
0
h
limh h h
hlim h
h h→ →== 7
044
e) f limf h f
hlim
hh h
' ( )( ) ( ) (
− =− + − −
=− + −
22 2 2 1
0 0→ →
))
( )
2
0
2
0
9
9 6 96 6
−=
=− + −
= − + = −
h
limh h
hlim h
h h→ →
d) f limf h f
hlim h
hli
h h' ( )
( ) ( )1
1 16
16
0 0=
+ −= +
−=
→ →mm
h
h h
limh
h
h
→
→
0
0
6 6 6
16
16
− −+
=
=−+
= −
( )
c) f limf h f
hlim
h
h h' ( )
( ) ( )( )
− =− + − −
=
− +
11 1
4 1
0 0→ →
+++
=
=− + + +
=
3
2
1
2
4 4 3 1
22
0
h
limh
hh→
b) f limf h f
hlim
h hh h
' ( )( ) ( ) ( )
33 3 3 3
0 0
2
=+ −
=+ + +
→ →
−−=
=+ + + −
= + =
12
9 6 97 7
0
2
0
h
limh h h
hlim h
h h→ →( )
a) f limf h f
hlim
hh h
' ( )( ) ( ) ( )
22 2 3 2 1 5
0 0=
+ −=
+ − −→ → hh
limh
hh=
+ −=
→0
6 3 63
yx
= 6
yx= +4 3
2
043
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 326
327
Si , determina a partir de la definición de derivada en un punto
las siguientes derivadas.
a) f' (−3) b) f' (2)
Obtén la pendiente de la recta tangente a la función y = 3x2 + 2x en el punto de abscisa x = 5.
La pendiente de la recta tangente es 32.
Halla la derivada de la función y = −t2 + 2t en el punto t = 8.
El espacio, en metros, que recorre un móvil en función del tiempo, en segundos,viene descrito por la expresión.
Calcula la velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos.
La velocidad instantánea del móvil a los 3 segundos es de 5 m/s.
Determina la ecuación de la recta tangente a la curva y = 3x2 en el punto de abscisa 1.
f (1) = 3
La ecuación de la recta tangente es: y − 3 = 6(x − 1) → y = 6x − 3f x x f' '( ) ( )= =6 1 6→
049
f t t f' '( ) ( )= + =4
31 3 5→
e t t= +2
32
048
f t t f' '( ) ( )= − + = −2 2 8 14→
047
f x x f' '( ) ( )= + =6 2 5 32→
046
b) f limf h f
hlim
h
hh h' ( )
( ) ( )2
2 22 6
3
8
30 0
=+ −
=
+ +−
→ →==
+ −=lim
h
hh→0
8 8
3
1
3
a) f limf h f
hlim
h
h h' ( )
( ) ( )− =
− + − −=
− + +
33 3
3 6
30 0→ →
−−=
+ −=
13 3
3
1
30hlim
h
hh→
f xx
( ) = + 6
3045
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 327
328
Demuestra gráficamente que la derivada de esta función en el punto de abscisa 3tiene un valor comprendido entre 2 y 3.
La derivada de la función en el punto x = 3 es la pendiente de la recta tangente, y observando el dibujo de la misma se obtiene que, por cada unidad en horizontal, el avancevertical está comprendido entre 2 y 3 unidades.
A partir de la definición, calcula las funciones derivadas de las funciones que se indican.
a) y = 2x + 3 c) y = x3 e)
b) d) y = 2x2 − 3x f ) y = (3x2 + 2)2
e) f x limf x h f x
hlim x h x
hh h' ( )
( ) ( )=
+ −= +
−
→ →0 0
12 12
==− −
+=
=−
+
limx x h
hx x h
limx x h
h
h
→
→
0
0
12 12 12
12( )
( )== −
122x
d) f x limf x h f x
hlim
x hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ −
→ →0 0
22 3 xx h x x
h
limx hx h x h x
h
+ − −=
=+ + − − −
) ( )2 3
2 4 2 3 3 2
2
0
2 2
→
22
0
34 2 3 4 3
+= + − = −
x
hlim x h xh→
( )
c) f x limf x h f x
hlim
x h x
hh h' ( )
( ) ( ) ( )=
+ −=
+ −→ →0 0
3 3
==
=+ + + −
= +limx hx h x h x
hlim x hx
h h→ →0
3 2 2 3 3
0
23 33 3( ++ =h x2 23)
b) f x limf x h f x
hlim
x h
h h' ( )
( ) ( )( )
=+ −
=
+ −−
→ →0 0
2 1
4
22 1
4
2 2 1 2 1
4
1
20
x
h
limx h x
hh
−
=
=+ − − +
=→
a) f x limf x h f x
hlim
x hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ + −
→ →0 0
2 3 22 3
2 2 22
0
x
h
limx h x
hh
+=
=+ −
=
)
→
yx= −2 1
4
yx
= 12
051
Y
X1
1
Y
X
1
1
050
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 328
329
8SOLUCIONARIO
Obtén, aplicando la definición, la función derivada de f (x) = x2 − 2x + 4, y calcula la derivada en estos puntos.
a) f' (1) b) f' (−3) c) f' (2)
a) f ' (1) = 0 b) f ' (−3) = −8 c) f ' (2) = 2
A partir de la definición, encuentra la función derivada de f (x) = x2 + 2x + 2, y calcula f' (0), f' (−1) y f' (3). Decide el tipo de crecimiento de la función en los puntos de abscisa 0, −1 y 3.
f ' (0) = 2 > 0 → La función es creciente en x = 0.
f' (−1) = 0 → No se puede decir si la función tiene un mínimo o un máximo en x = −1.
f ' (3) = 8 > 0 → La función es creciente en x = 3.
La función derivada de y = ln x es . Utiliza el resultado para determinar
la ecuación de la recta tangente a esa curva en el punto de abscisa 1.
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 1(x − 1) → y = x − 1
Obtén las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto de abscisa 4.
La ecuación de la recta tangente es:
La ecuación de la recta normal es:
y x y x− = − − = − +64
54
4
5
46
5( ) →
y x y x− = − = +65
44
5
41( ) →
yx
' = +11
2
y x x= +055
yx
' = 1054
f x limf x h f x
hlim
x h x hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ + +
→ →0 0
2 2 )) ( )+ − + +=
=+ + + + + −
2 2 2
2 2 2 2
2
0
2 2 2
x x
h
limx hx h x h x
h→
−− −= + + = +
2 22 2 2 2
0
x
hlim x h xh→
( )
053
f x limf x h f x
hlim
x h x hh h
' ( )( ) ( ) ( ) (
=+ −
=+ − +
→ →0 0
2 2 )) ( )+ − − +=
=+ + − − + −
4 2 4
2 2 2 4
2
0
2 2 2
x x
h
limx hx h x h x
h→
++ −= + − = −
2 42 2 2 2
0
x
hlim x h xh→
( )
052
f ) f x limf x h f x
hlim
x hh h
' ( )( ) ( ) ( ( )
=+ −
=+ +
→ →0 0
23 2)) ( )
( ) ( )
2 2 2
0
4 2 4
3 2
9 12 4 9
− +=
=+ + + + −
x
h
limx h x h x
h→
−− −=
=+ + + +
12 4
9 36 54 36 9
2
0
4 3 2 2 3 4
x
h
limx hx h x h x h
h→
++ + + − −=
= +
12 24 12 9 12
36 54
2 2 4 2
0
3
x hx h x x
hlim x hh→
( xx h x h x h x x2 2 3 336 9 24 12 36 24+ + + + = +)
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 329
330
¿Es horizontal la recta tangente a la función y = x3 + x2 en el origen de coordenadas?Si es cierto, ¿cuál será la ecuación de la recta normal?
y' = 3x2 + 2x
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 0(x − 0) → y = 0
Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x = 0
¿Es cierto que la curva tiene una tangente horizontal
en el punto (1, 0)?
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 0(x − 1) → y = 0
Es una recta horizontal.
¿Se verifica que la recta tangente a la curva y = (x2 − x)(2x + 1), en el punto de abscisa −1, es paralela a la recta 14x − 2y − 3 = 0?
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 7(x + 1) → y = 7x + 7
Como las pendientes de las rectas son iguales, se verifica que son paralelas.
Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la función y = cos xen el punto de abscisa π.
y' = −sen x
La ecuación de la recta tangente es: y + 1 = 0(x − π) → y = −1
Esta recta es horizontal; por tanto, la recta normal es: x = π
¿Cuánto tiene que valer a para que la función f (x) = x ln x − ax tenga, en el punto de abscisa e, una recta tangente paralela a la bisectriz del primer cuadrante?
La bisectriz del primer cuadrante es: y = x
Esta recta y la recta tangente son paralelas si sus pendientes son iguales.
La pendiente de la recta tangente a la función, en x = e, es:
Entonces, tenemos que: 2 − a = 1 → a = 1
Halla la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntos indicados.
a) y = 23x−8 en x = 3 b) y = x2 ln (x + 3) en x = −2 c) y = (3x − 5)6 en x = 2
a) y' = 23x−8 ⋅ 3
La ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 6(x − 3) → y = 6x − 16
La ecuación de la recta normal es: y x y x− = − − = − +21
63
1
6
5
2( ) →
061
f x x xx
a x a f e a' '( ) ln ln ( )= + ⋅ − = + − = −1
1 2→
060
059
14 2 3 0 73
2x y y x− − = = −→
y x x x x x x' = − + + − ⋅ = − −( )( ) ( )2 1 2 1 2 6 2 12 2
058
y xx
x x x' = −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + ⋅ = −2
3
1
2
1
32 2
y xx= −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
2
3
1
2057
056
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 330
331
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = 4(x + 2) → y = 4x + 8
La ecuación de la recta normal es:
c) y' = 6(3x − 5)5 ⋅ 3 = 18(3x − 5)5
La ecuación de la recta tangente es: y − 1 = 18(x − 2) → y = 18x − 35
La ecuación de la recta normal es:
Determina la recta tangente y la recta normal a las funciones en los puntosindicados.
a) en x = 5
b) y = sen (2x + π) en x = 0
c) en x = π
La ecuación de la recta tangente es:
La ecuación de la recta normal es: y − 4 = −4(x − 5) → y = −4x + 16
La ecuación de la recta tangente es: y − 0 = −2(x − 0) → y = −2x
La ecuación de la recta normal es:
La ecuación de la recta tangente es:
La ecuación de la recta normal es: y − 0 = 2(x − π) → y = 2x − 2π
Obtén las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva y = x3 + 3x2 + 3x + 4, que son paralelas a la recta de ecuación 6x − 2y + 1 = 0.
Esta recta y las rectas tangentes son paralelas si sus pendientes son iguales.
y' = 3x 2 + 6x + 3
Si x = 0, la ecuación de la recta tangente es: y − 4 = 3(x − 0) → y = 3x + 4
Si x = −2, la ecuación de la recta tangente es: y − 2 = 3(x + 2) → y = 3x + 8
3 6 3 3 2 0 02
2 2x x x xxx
+ + = + = == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
→ →
6 2 1 0 31
2x y y x− + = = +→
063
y x y x− = − − = − +01
2
1
2 2( )π
π→
c) y tgx
' = +−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟1
2
1
22 π
y x y x− = − =01
20
1
2( ) →
b) y cos x' = + ⋅( )2 2π
y x y x− = − = +41
45
1
4
11
4( ) →
a) y xx
' = + ⋅ =+
−1
22 6 2
1
2 6
1
2( )
y tgx= −π
2
y x= +2 6
062
y x y x− = − − = − +11
182
1
18
10
9( ) →
y x y x− = − + = − −01
42
1
4
1
2( ) →
b) y x x xx
' = + + ⋅+
2 31
32ln ( )
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 331
332
Derivada de una función
Halla los puntos en los que la función y = x3 + 4x2 + 2x + 1 tiene rectas tangentesde pendiente −2. Determina también la ecuación de dichas rectas tangentes.
y' = 3x2 + 8x + 2
Si , la ecuación de la recta tangente es:
Si x = −2, la ecuación de la recta tangente es:
y − 5 = −2(x + 2) → y = −2x + 1
Aplica las reglas de derivación a la función y = x3 − 3x2 + 2x − 5 para calcular:
a) La función derivada.
b) La derivada en los puntos de abscisa −1, 0 y 3.
c) La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa 3.
a) f ' (x) = 3x2 − 6x + 2
b) f ' (−1) = 11f ' (0) = 2f ' (3) = 11
c) y − 1 = 11(x − 3) → y = 11x − 32
Emplea las reglas de derivación para calcular la función derivada de: f (x) = (2x + 3)(x − 2)
A partir del resultado obtenido, determina:
a) f' (2) f' (−2)
b) La ecuación de la recta tangente en el punto x = −2.
c) La ecuación de la recta tangente en el punto x = 2.
b) y − 4 = −9(x + 2) → y = −9x − 26
c) y − 0 = 1(x − 2) → y = x − 2
a) f
f
f
f
'
'
'
'
( )
( )
2 7
3
27
2 9
1
3
=
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
− = −⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
1
3
f x x x x' ( ) ( ) ( )= − + + ⋅ = −2 2 2 3 1 4 1
f'1
3
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟f' −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
3
2
066
065
y x y x− = − +⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − −
31
272
2
32
5
27→
x = −2
3
3 8 2 2 3 8 4 02
32
2 2x x x x x
x+ + = − + + = = −
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
→ →
064
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 332
333
Aplica las reglas de derivación para calcular la función derivada de las siguientesfunciones.
a) y = x3 − 2x2 + 5x − 6 c) y = 2x
b) y = log3 x d)
Utiliza las reglas de derivación para hallar la función derivada de estas funciones.
a) c) e)
b) y = 42x d) f ) y = (6x)4
Halla la derivada de estas operaciones de funciones.
a) y = (x − 2)(x2 + 3x) e) y = ln x + ex
b) f )
c) y = x2 log x − 1 g) y = x2 ⋅ 2x
d) h)
h) yx x
x x' =
− − + ⋅−
= −−
3 2 1 3 4 2
2 1
11
2 12 2
( ) ( )
( ) ( )
g) y x xx x' = ⋅ + ⋅ ⋅2 2 2 22 ln
f) y x x x x' = ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟⋅ + ⋅ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
− −1
3
1
2
2
3 31
2
⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= + =+
=x
x
x
x
x x
x x3 2
2 3
6
5
623
3
76 6
e) yx
e x' = +1
d) yx x
' =− ⋅
−= −
−8 2
2 1
16
2 12 2( ) ( )
c) y x x xx
x xx
' = + ⋅ = +21
102
102log
lnlog
ln
b) y x xx x
' = ⋅ − ⋅ = −− −1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
2
323
a) y x x x x x x' = ⋅ + + − + = + −1 3 2 2 3 3 2 62 2( ) ( )( )
yx
x= +
−3 4
2 1y
x=
−8
2 1
y x x= 3y x x= − 3
069
f ) y x x' = ⋅ =4 6 6 24 63 3( ) ( )c) yx
' =−2 3
2
e) y' =2
7b) y x' = ⋅ ⋅4 4 22 ln
d) yx
x x' =
−= −
4 43
4 2 5( )a) y x
x' = ⋅ =
−1
5
1
5
4
545
yx
= 14
yx= +2 5
7y
x x= − +2 3 8
2y x= 5
068
d) y x xx
x
x
x' = ⋅ = =
−1
26 30
15
6
15
6
51
2 44
5
2
( )b) yx
' =1
3ln
c) y x' = ⋅2 2lna) y x x' = − +3 4 52
y x= 6 5
067
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 333
334
Calcula la derivada de las siguientes operaciones de funciones.
a) d)
b) e) y = 5e x − 3x
c) y = (x 2 + 2) log2 x f )
Deriva las siguientes funciones trigonométricas.
a) y = sen x cos x d) y = x tg x
b) e) y = x arc cos x
c) y = sec x cosec x f )
f ) ytg x
tg x' = −
+1 2
2
e) y arc cos x xx
arc cos x' = ⋅ + ⋅ −−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −1
1
1 2
xx
x1 2−
d) y tg x x tg x x tg x x tg x' = ⋅ + ⋅ + = + +1 1 2 2( )
c) ysen x
cos xcosec x sec x
cos x
sen x' = ⋅ + ⋅ −
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜2 2
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
= −1 12 2cos x sen x
b) ysen x x cos x x
x
x sen x cos x
x' =
− ⋅ − ⋅=
− −2
4 3
2 2
a) y cos x sen x' = −2 2
ytg x
= 1
ycos x
x=
2
071
f) yx x x
x
x x
x' =
− − ⋅−
=−−
4 1 1
1
3 4
1
3 4
2
4 3
2
( )
( ) ( )
e) y e x x' = − ⋅5 3 3ln
d) y xe x e
e
x x
xe
x x
x x' =
⋅ − ⋅=
−1
12
ln
( )
ln
c) y x x xx
x xx
x' = ⋅ + + ⋅ = +
+2 2
1
22
2
22
22
2
log ( )ln
logln
b) yx x x
x
xx
xx
x
x x' =
⋅ − −=
−−
=+
−1 8
1
2
8
2 8
2
1
2
2
( )
( )
a) y xe x e
e
x x
xe
x x
x x' =
⋅ − +=
− +1
4 1 42
(ln )
( )
(ln )
yx
x=
−
4
1
yx
x= −8
yx
e x= +ln
4yx
e x= +ln 4
070
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 334
335
Calcula la derivada de las siguientes operaciones donde intervienen funcionestrigonométricas.
a) y = 2x + arc sen x + arc cos x
b) y = (1 + x2) arc tg x
c) y = ln x ⋅ tg x
d) y = ex sen x
e)
Determina las derivadas que se indican.
a) f (x) = ln x f'' (x) y f''' (x)
b) f (x) = x5 f' (x) y f'' (x)
c) f (x) = x5 − 3x4 f''' (x) y f IV(x)
Calcula las seis primeras derivadas de las funciones y = sen x e y = cos x.
Halla el valor de k para que la función cumpla que f' (−1) = 19.
f xk x kx
x
k
x' ( )
( ) ( )
( ) ( )=
⋅ + − − ⋅+
=++
2 3 5 2
2 3
3 10
2 32 2
ff k k' ( )− = + = =1 3 10 19 3→
f xkx
x( ) = −
+5
2 3075
y cos x y sen x y cos x y sen x y cos x= = − = − = =→ → → →→
' " '" IV
yy sen x y cos xV VI= − = −→
y sen x y cos x y sen x y cos x y sen x= = = − = − =→ → → →→
' " '" IV
yy cos x y sen xV VI= = −→
074
c) f x x x f x x x f x x' " '"( ) ( ) ( )= − = − =5 12 20 36 604 3 3 2→ → 22 72120 72
−= −
xf x x→ IV ( )
b) f x x f x x' "( ) ( )= =5 204 3→
a) f xx
f xx
f xx
' " '"( ) ( ) ( )= = − =1 1 2
2 3→ →
073
e) ysen x x cos x
x
x sen x c' =
− − − ⋅ −−
=− +( ) ( )
( )
( )2 1
2
22
oos x
x( )2 2−
d) y e sen x e cos x e sen x cos xx x x' = ⋅ + ⋅ = +( )
c) yx
tg x x tg x' = ⋅ + ⋅ +1
1 2ln ( )
b) y x arc tg x xx
x arc tg x' = ⋅ + + ⋅+
= +2 11
11 22
2( )
a) yx x
' = +−
−−
=21
1
1
12
2 2
ycos x
x=
−2
072
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 335
336
Escribe las funciones que componen las siguientes funciones y halla la derivadaen cada caso.
a) y = log3 (2x + 1) e) y = 23x−4
b) y = (3x 2 − 3x + 1)4 f )
c) g) y = cos ln x
d) y = arc tg e x h) y = 3cos x
Calcula la función derivada de estas funciones, aplicando la regla de la cadena.
a) y = ln (x2 − 5x) c)
b) y = 23x−5 d)
d) y xx x x
' = ⋅ = ⋅−1
2
1
3
1
2
1
33
1
2
3
(log )ln log ln
c) y x x xx
x x' = + ⋅ + =
+
+
−1
22 1
2 1
22
1
22
( ) ( )
b) y x' = ⋅ ⋅−2 2 33 5 ln
a) yx x
xx
x x' =
−⋅ − =
−−
1
52 5
2 5
52 2( )
y x= log3
y x x= +2
077
h) yf x g x cos xy sen x
x
cos x
( ) ( )ln ( )
= == ⋅ ⋅ −
33 3'
g) yf x cos x g x x
y sen xx
sen x
x
( ) ( ) ln
lnln
= =
= − ⋅ = −'1
f ) yf x x g x x
y x xx
x
( ) ( )
( )(
= = −
= − ⋅ =−
−
4 2
23
4
2
1
1
41 2
2'
11 34 )
e) yf x g x xy
x
x
( ) ( )ln
= = −= ⋅ ⋅−
2 3 42 2 33 4'
d) yf x arc tg x g x e
ye
ee
e
x
x
xx
x
( ) ( )
( )
= =
=+
⋅ =+
'1
1 12 2
c) yf x sen x g x x
y cos x xcos x
x
( ) ( )= =
= ⋅ =−
'1
2 2
1
2
b) yf x x g x x xy x x x( ) ( )
( ) (= = − +
= − + −
4 2
2 3
3 3 14 3 3 1 6 3' ))
a) yf x x g x x
yx x
( ) log ( )
( ) ln (
= = +
=+
⋅ =+
3 2 11
2 1 32
2
2'
11 3) ln
y sen x=y x= −24 1
076
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 336
337
8SOLUCIONARIO
Aplica la regla de la cadena para determinar la función derivada de estas funciones.
a) y = ln tg x f ) y = tg ln x
b) g)
c) y = log2 x2 h) y = log22 x
d) y = sen (cos x) i) y = cos (sen x)
e) y = arc tg x2 j) y = arc tg2 x
Halla los coeficientes y exponentes desconocidos para que se verifique que las funciones y sus derivadas se corresponden.
a) f (x) = x3 + ax2 + bx + 6 f' (x) = 3x2 + 4x −3
b) g (x) = a ln x + bx
c)
d)
a) a = 2, b = −3
b) a = 3, b = −5
c) a = 2, b = 1
d) b = 3
i xxb
'( ) = 2
3i x
x
xb( ) =
h x ax x
x'( ) = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
ln 2 12
h xa
x
x
b( ) =
g xx
'( ) = −3
5
079
j) y arc tg xx
' = ⋅+
21
1 2
i) y sen sen x cos x' = − ⋅( )
h) y xx
' = ⋅⋅
21
22log
ln
g) y sen x xsen x
x' = −( )⋅ = −
−1
2 2
1
2
f) y tg xx
' = + ⋅( ln )112
e) yx
xx
x' =
+⋅ =
+1
12
2
12 2 4( )
d) y cos cos x sen x' = ⋅ −( ) ( )
c) yx
xx
' =⋅
⋅ =1
22
2
22 ln ln
b) y cos x sen xsen x
cos x' = ⋅ − = −
−1
2 2
1
2( ) ( )
a) ytg x
tg x' = ⋅ +1
1 2( )
y cos x=y cos x=
078
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 337
338
Derivada de una función
Deriva las siguientes funciones.
a) y = x2 ⋅ 2x2d)
b) y = 5x ln x e) y = ln (xex)
c) f ) y = ln x ⋅ ex
Halla la derivada de estas funciones.
a) y = (2x + 1)3 ⋅ 3x d)
b) e)
c) f )
f) y x
x x
xx
x
x xx' = +
⋅ ⋅ ⋅= + = +
−
2
31
23
29
22
93
1
2 2
3
2
3 3
( )
22 2x x
e) y
x x x x x
x
x x'
( )(
=⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅
=− −
−1
23 2 3 3
32
1
2 3 2 2
6
2 2 33
3
2 9
34 2
2
4 2
)
x x
x
x x−=
− +
−
d) ye x e
e
x
e
x x
x x' =
⋅ − − ⋅=
−2 2 3 5 22
( )
c) y
x x x x x
x
x x x' =
⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅=
−
−2 3
1
23
4 33 2 3
1
2 2
3
3( ) ( )
( 22
2 3
2
2
3
2
9
2
−=
+)
x x
x
x x
b) yx
x
x x x' = ⋅
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⋅⋅ − − ⋅
−1
2
3 2 32
3
1
2 3 2( ) 33 9
2 3
2
6
2
4
3
2
x
x
x
x
x
x=
− +⋅
−
a) y x x xx x' = + ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ = + +3 2 1 2 3 2 1 3 3 6 2 12 3( ) ( ) ln [ ( ) lln ] ( )3 2 1 32⋅ + ⋅x x
y xx
= −2
3
3y
x
x= −2
3
3
yx
x= −2
3
3yx
x= −2
3
3
yx
e x= −2 3
081
f) yx
e x ex x' = ⋅ + ⋅1
ln
e) yxe
e xex
xx
x x' = ⋅ + =+1 1
( )
d) y
ex
x e
x
x x
' =⋅ ⋅ − ⋅
=
ln ln11
02
c) y e xx x
xe
x
x
x
x
x
x' = ⋅⋅ − ⋅
= ⋅−ln lnln
ln1
11
2 2
b) y x xx
x x x x' = ⋅ ⋅ + ⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅5 5
15ln lnln ln ln 55 1⋅ +(ln )x
a) y x x x x xx x x' = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ++2 2 2 2 2 2 22 2 22 1 3ln ( ln )
y ex
x=ln
ye
x
x
=ln
080
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339
8SOLUCIONARIO
Calcula la derivada de estas funciones trigonométricas.
a) e)
b) f )
c) g)
d) h)
Decide si la siguiente función es continua y derivable en todo su dominio. Si en algún punto no es continua o derivable, razónalo.
La función es continua en � y es derivable en � − {−3, 2}, porque en los puntos x = −3 y x = 2 la gráfica presenta «picos», es decir, en estos puntos no puededeterminarse una tangente a la función, ya que las pendientes en los puntos que están a su izquierda y a su derecha tienen distinto signo.
Y
X
1
1
083
h) y arc tg x xx
x arc tg xx
' = ⋅ + ⋅+ ( )
⋅ = ++
−1
1
1
1
2 2 12
1
2
( xx x)
g) ysen cos x x cos cos x sen x
sen cos x' =
⋅ − −12
( ) ( ) ( )
( ))
( ) ( )
( )=
+ ⋅sen cos x x cos cos x sen x
sen cos x2
f) ycos x cos x sen x sen x
cos x
cos x sen x' =
⋅ − −=
+( )2
2 2
ccos x cos x2 2
1=
e) y cosx
cos x
cos x x sen x
cos x' = ⋅
+2
d) y senx x
x c' = − ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⋅ +
1 12
oosx
senx x
cosx
11
1 1 1⋅ = ⋅ +
c) ysen x
cos x
sen x
cos x' = −
−=
2 2
b) ysen x x cos x
x
x sen x cos x
x' =
− ⋅ − ⋅=
− −12 2
a) y senx x
senx x
' = − ⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ⋅
1 1 1 12 2
y x arc tg x=y cosx
x=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟
1
yx
sen cos x=y
cos x= 1
ysen x
cos x=y
cos x
x=
y senx
cos x=y cos
x= 1
082
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 339
340
Dibuja una función continua que no sea derivable en el punto de abscisa x = 4, que en el resto del dominio sea derivable y que su derivada se anule si x es mayor o igual que 4.
Respuesta abierta.
Estudia si las siguientes funciones son continuas y derivables en los puntos en los que la función cambia su expresión algebraica.
a) b)
a) f (2) = 13
es continua en x = 2.
La función no es derivable en x = 2, porque los valores no coinciden.
b) g(−1) = −5
es continua en x = −1.
La función es derivable en x = −1.gg''( )( )− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−
+1 41 4
→
g xx xx x
'( ) = + < −+ > −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 6 14 8 1
sisi
g lim g x g xx
( ) ( ) ( )− =−
11→
→
lim g x lim x x
lim g xx x
x
→ →
→
− −
−
− −
+
= + = −1 1
2
1
6 5( ) ( )
( ) == + + = −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃−
−+
lim x xlim g
xx
→→
→1
2 12 8 1 5( )(xx) = −5
f
f
'
'
( )
( )
2 4
229
2
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
→
f xx
x x' ( ) =
<
− >
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
4 2
83
22
si
si
f lim f x f xx
( ) ( ) ( )22
=→
→
lim f x lim x
lim f x lim
x x
x
→ →
→
2 2
2
4 5 13− −
+
= + =
=
( ) ( )
( )xx
xx xlim
→
→2
243
213
+−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
∃→→2
13f x( ) =
g xx x x
x x x( ) = + <−
+ + ≥−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2
2
6 12 8 1 1
sisif x
x x
x x x( ) =
+ <
− ≥
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
4 5 2
4 32
22
si
si
085
Y
X
1
2
f (x)
084
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 340
341
¿Son continuas y derivables las funciones en todos los puntos de su dominio?
a) y = ⏐x2 − 4⏐
b) y = ⏐x2 + 1⏐
Si x ∈ � − {−2, 2}, la función es continua. Se estudian los puntos en los que la función cambia de expresión:
f (−2) = 0
f (x) es continua en x = −2.
f(2) = 0
f (x) es continua en x = 2.
Por tanto, la función es continua en �.
Si x ∈ � − {−2, 2}, la función es derivable. Se estudian los puntos en los que la derivada cambia de expresión:
La función no es derivable en x = −2, porque los valores no coinciden.
La función no es derivable en x = 2, porque los valores no coinciden.
Por ser polinómica, la función es continua y derivable en �.
b) g x x x( ) = + = +⏐ ⏐2 21 1
ff''( )( )2 42 4
−
+= −=
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
ff''( )( )− = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−
+2 42 4
f xx xx xx x
' ( ) =< −
− − < <>
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
2 22 2 22 2
sisisi
f lim f xx
( ) ( )22
=→
lim f x lim x
lim f x limx x
x
→ →
→
2 2
2
2
4 0− −
+
= − + =
=
( ) ( )
( )xx
xxlim f x
→→
→2
2 24 00
+− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃ =( )
( )
f lim f xx
( ) ( )− =−
22→
lim f x lim x
lim f x lx x
x
→ →
→
− −
−
− −
+
= − =
=2 2
2
2
4 0( ) ( )
( ) iim xlim f x
x
x
→−−
+− + =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃ =2
2 24 00
( )( )→
→
a)sisisi
f xx x
x xx x
( ) =− ≤ −
− + − < <− ≥
⎧
⎨⎪⎪
2
2
2
4 24 2 24 2
⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
086
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 341
342
Estudia la continuidad y derivabilidad de las funciones.
a) b)
a) Si x ∈ � − {−2}, la función es continua. Se estudia el punto en el que la funcióncambia de expresión:
f(−2) = 14
es continua en x = −2.
Por tanto, la función es continua en �.
Si x ∈ � − {−2}, la función es derivable. Se estudia el punto en el que la derivada cambia de expresión:
La función no es derivable en x = −2, porque los valoresno coinciden.
b) Si x ∈ � − {3, 5}, la función es continua. Se estudian los puntos en los que la función cambia de expresión:
h(3) = 6
es continua en x = 3.
h(5) = 30
es continua en x = 5.
Por tanto, la función es continua en �.
Si x ∈ � − {3, 5}, la función es derivable. Se estudian los puntos en los que la derivada cambia de expresión:
La función es derivable en x = 3.
La función no es derivable en x = 5, porque los valores no coinciden.
Luego la función es derivable en x ∈ � − {5}.
ff''( )( ) ln5 165 32 2
−
+== −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→
ff''( )( )3 83 8
−
+==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→
h xx xx x
xx
'( )ln
=+ <− < <
− ⋅ >
⎧
⎨−
2 2 34 4 3 5
2 2 510
sisisi
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
h lim h x h xx
( ) ( ) ( )55
=→
→
lim h x lim x x
lim h x lx x
x
→ →
→
5 5
2
5
2 4 30− −
+
= − =
=
( ) ( )
( ) iimlim h x
x
x x→
−+
− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃ =5
10 52 2 3030
( )( )→
→
h lim h x h xx
( ) ( ) ( )33
=→
→
lim h x lim x x
lim h xx x
x
→ →
→
3 3
2
3
2 9 6− −
+
= + − =
=
( ) ( )
( ) liimx
xx xlim h x
→→
→3
2 32 4 66
+− =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃ =( )
( )
ff''( )( )− = −− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
−
+2 92 14
→
f xx xx x
'( ) = − < −− > −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 5 26 2 2
sisi
f lim f x f xx
( ) ( ) ( )− =−
22→
→
lim f x lim x x
lim f xx x
x
→ →
→
− −
−
− −
+
= − =2 2
2
2
5 14( ) ( )
( ) == − − =
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
∃−
−+
lim x xlim f
xx
→→
→2
2 23 2 2 14( )(xx) = 14
h xx x x
x x xxx
( ) =+ − <− ≤ <
− ≥
⎧
−
2
2
10
2 9 32 4 3 52 2 5
sisisi
⎨⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
f xx x x
x x x( ) = − <−
− − ≥−⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2
2
5 23 2 2 2
sisi
087
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 342
343
8SOLUCIONARIO
Decide si estas funciones crecen o decrecen en los puntos que se indican.
a) y = −2x3 + 3x2 − x + 1En x = 1
b)
En x = −2
c) y = 2x + 3 ln x − 8En x = 4
d)En x = 9
a) f ' (x) = −6x2 + 6x − 1
f ' (1) = −1 < 0 → La función es decreciente en x = 1.
La función es creciente en x = −2.
La función es creciente en x = 4.
La función es creciente en x = 9.
Determina los puntos de las gráficas de estas funciones cuya tangente es horizontal.
a) y = 3x2 − 15x + 13
b) y = 2x3 + 3x2 − 36x + 8
c) y = 2x3 + 3x2 + 6x − 12
d)
e)
La tangente es horizontal si la pendiente es igual a cero.
b) y x x
x x x xxx
' = + −
+ − = + − = == −
⎧6 6 36
6 6 36 0 6 0 23
2
2 2→ → ⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪
a) y x
x x
' = −
− = =
6 15
6 15 05
2→
yx
x= +
−2
2
yx x
x= + +
+
2 2 2
1
089
f' ( )95
20= > →
d) f xx
'( ) = +23
2
f' ( ) ln4 16 23
40= + > →
c) f xx
x'( ) ln= ⋅ +2 23
f'( )− = >27
40 →
b) f xx x x x
x
x x
x'( )
( ) ( )=
− − − +=
− −4 3 2 3 1 2 12
2
2
2
y x x= +2 3
yx x
x= − +2 3 12
088
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 343
344
La ecuación no tiene solución, por lo que no hay puntos que tengan tangentehorizontal.
La ecuación no tiene solución, y no hay puntos que tengan tangentehorizontal.
¿En qué puntos de las gráficas de estas funciones es horizontal la tangente? Decide si son máximos o mínimos.
a)
b)
c)
d)
tiene un mínimo.
tiene un máximo.
tiene un mínimo.
tiene un máximo.f x"( )4 1 0 1= − < =→ Enf x" ( )0 1 0 1= > = −→ En
b) f xx x x
x
x x
xx
' ( )( ) ( )
( ) ( )=
− − −−
=−−
−
2 2 1
2
4
24
2
2
2
2
xx
xx x
xx
f x
2
2
2
20 4 0 4
0
8
2
( )
( )(
−= − = =
=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
=−
→ →
"xx)3
f x"( )0 2 0 0= − < =→ En
f x"( )2 2 0 2= > =→ En
a) f xx x x x
x
x x
x' ( )
( )( ) ( )
( ) (=
− − − − +−
=−2 3 1 3 3
1
22
2
2
−−−−
= − = ==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
12
10 2 0 0
2
2
2
2
2
)
( )
(
x x
xx x
xx
f
→ →
" xxx
)( )
=−2
1 3
yx
x=
+
3
2 4
yx
x= +2 9
yx
x=
−
2
2
yx x
x= − +
−
2 3 3
1
090
e) yx x
x x
x
' =− − +
−=
−−
−−
= − =
2 2
2
4
24
20 4
2 2
2
( )
( ) ( )
( )→ 00
d) yx x x x
x
x x
x' =
+ + − + ++
=++
( )( ) ( )
( ) ( )
2 2 1 2 2
1
2
1
2
2
2
22
2
2
22
10 2 0 0
2x x
xx x
xx
++
= + = == −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪( )
→ →
c) y x xx x x x' = + +
+ + = + + =6 6 6
6 6 6 0 1 0
2
2 2→
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 344
345
tiene un máximo.
tiene un mínimo.
no tiene un máximo ni un mínimo.
Sea la función f (x) = 4x3 + 15x2 − 18x + 10.
a) Determina los máximos y mínimos de la función.
b) Calcula .
c) Haz un esbozo de la gráfica de la función.
tiene un mínimo.
tiene un máximo.
Y
X1
20
f (x)
c)
b) lim f x
lim f xx
x
→
→
−
+
= −
= +�
�
�
�
( )
( )
f x"( )− = − < = −3 42 0 3→ En
f x"1
242 0
1
2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = > =→ En
a) f x x x
x x x x
'( ) = + −
+ − = + − =
12 30 18
12 30 18 0 2 5 3
2
2 2 2→ 001
23
24 30
→ x
xf x x
=
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
= +" ( )
lim f x lim f xx x→ →− +� �
( ) ( )y
091
f x"( )0 0 0= =→ En
d) f xx x x x
x
x x
x' ( )
( )
( ) (=
⋅ + − ⋅+
=++
3 4 2
4
122 2 3
2 2
4 2
2 4412
40 12 0 0
4
2
4 2
2 2
4 2
)
( )
( )(
x x
xx x x
f xx
++
= + = =
=
→ →
"33 2 2 4 2 2
2 4
24 4 12 2 4 2
4
+ + − + ⋅ + ⋅+
=x x x x x x
x
)( ) ( ) ( )
( )
996 8
4
3
2 3
x x
x
−+( )
f x" ( )32
30 3= > =→ En
f x"( )− = − < = −32
30 3→ En
c) f xx x x
x
x
xx
xx
'( )( )
=⋅ − +
=−
−= − =
2 9 9
90 9 0
2
2
2
2
2
2
2→ →→ x
f xx x x x
x x
= ±
=⋅ − − ⋅
=
3
2 9 2 182 2
4 3"( )
( )
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 345
346
Derivada de una función
Sea la función .
a) Encuentra los máximos y mínimos de la función.
b) Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas.
c) Construye un esbozo de la gráfica de la función.
tiene un mínimo.
no tiene un máximo ni un mínimo.
tiene un máximo.
b) Dom f = � − {−1, 1}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
No hay asíntota horizontal.
Asíntota oblicua: y = −x
Si Cuando x tiende a +�, la función está por debajo de la asíntota.
Si Cuando x tiende a −�, la función está por encima de la asíntota.
Y
X2
1
f (x)
c)
x f x x= − − − >1 000 0. ( ) ( )→ →
x f x x= − − <1 000 0. ( ) ( )→ →
m limf x
xlim
x
x x
n lim f
x x
x
= =−
= −
=
+ +
+
→ →
→
� �
�
( )
[ (
3
31
xx mx limx
xx lim
x x) ]− =
−+
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+ +→ →� �
3
21
xx x x
x
3 3
210
+ −−
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
lim f xx →
→+
= −�
�( )
lim f x
lim f xxx
x
→
→
→1
1
1−
+
= +
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=( )
( )
�
�
lim f x
lim f xxx
x
→
→
→−
−
−
+
= +
= −
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= −1
1
( )
( )
�
�11
f x''( )33 3
20 3= − < =→ En
f x"( )0 0 0= =→ En
f x" −( ) = > = −33 3
20 3→ En
a) f xx x x x
x
x x' ( )
( ) ( )
( ) (=
⋅ − − −−
=−
−3 1 2
1
3
1
2 2 3
2 2
2 4
xxx x
xx x
x
x
2 2
2 4
2 2
2 43
10 3 0
03
)
( )
−−
= − === ±
⎧⎨⎪⎪⎩⎪
→ →⎪⎪
=− − − − ⋅ − −
f xx x x x x x
"( )( )( ) ( ) ( )(6 4 1 3 2 1 23 2 2 2 4 2 xx
x
x x
x
)
( ) ( )1
6 2
12 4
3
2 3−=
+−
f xx
x( ) =
−
3
21092
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 346
347
8SOLUCIONARIO
Halla los máximos y mínimos de la función:
Determina las ecuaciones de sus asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas.Haz también un esbozo de la gráfica de la función.
No hay máximos ni mínimos, f ' (x) < 0 → La función es decreciente.
Dom f = � − {4}
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Si x = 1.000 → f (x) > 1 Cuando x tiende a +�, la función está por encima de la asíntota.
Si x = −1.000 → f (x) < 1Cuando x tiende a −�, la función está por debajo de la asíntota.
Obtén los vértices de las siguientes parábolas, teniendo en cuenta que la tangente es horizontal en ellos.
a) y = 3x2 − 6x + 1
b) y = 3x2 + x + 9
Representa una función continua y derivable cuya derivada se anule en los puntos(−1, 4) y (2, −3), y que cumplan estas condiciones.
Respuesta abierta.
Y
X
1
1
f (x)
lim f xx →+
= +�
�( )lim f xx →−
= −�
�( )
095
b) y x
x x V
' = +
+ = = − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
6 1
6 1 01
6
1
6
107
12→ → ,
a) y xx x V' = −
− = = −6 6
6 6 0 1 1 2→ → ( , )
094
Y
X
2
2
f (x)lim f x y
x→+= =
�( ) 1 1→
lim f x
lim f xxx
x
→
→
→4
4
4−
+
= −
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
=( )
( )
�
�
f xx x
x x' ( )
( )
( ) ( )=
⋅ − −−
=−−
1 4
4
4
42 2
f xx
x( ) =
−4093
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 347
348
Dada la función y = x3 + 6x2 − 36x + 29, resuelve.
a) Determina su dominio.
b) Halla sus asíntotas.
c) ¿Tiene puntos de corte con los ejes? ¿Cuáles son?
d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) Halla los máximos y mínimos.
f ) Representa la función.
a) Dom f = �
b)
La función no tiene asíntota horizontal.
La función no tiene asíntota oblicua.
c) Si x = 0 → y = 29
f (x) es creciente en (−�, −6) ∪ (2, +�).
f (x) es decreciente en (−6, 2).
e) Mínimo: (2, −11)
Máximo: (−6, 245)
Y
X3
50
f (x)
f )
f ' (−7) > 0
−7 −6 2 30
f ' (0) < 0 f ' (3) > 0
d) f x x x
x x x xx
'( ) = + −
+ − = + − =
3 12 36
3 12 36 0 4 12 0
2
2 2→ → === −
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
26x
Si y x x x x x xx
= + − + = − + − ==
0 6 36 29 0 1 7 29 01
3 2 2→ →
→
( )( )
xx =− ±
⎧
⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
7 165
2
limf x
xx →+= +
��
( )
lim f xx →+
= +�
�( )
096
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 348
349
8SOLUCIONARIO
Estudia y representa las funciones polinómicas.
a) y = 3x 4 − 4x 3 − 36x 2 + 10
b) y = x 3 − 6x2 + 12x − 5
c) y = 3x 4 − 4x 3 − 48x 2 + 144x + 212
a) Dom f = �
La función no tiene asíntotas.
f (x) es creciente en (−2, 0) ∪ (3, +�) y es decreciente en (−�, −2) ∪ (0, 3).
Mínimos: (−2, −54) y (3, −179)
Máximo: (0, 10)
b) Dom f = �
La función no tiene asíntotas.
f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en �.
f ' (2) = 0 → En x = 2 no tiene un máximo ni un mínimo.
f"(x) = 6x − 12.
f"(x) > 0 si x > 2 → f (x) es cóncava en (2, +�).
f"(x) < 0 si x < 2 → f(x) es convexa en (−�, 2).
Y
X1
1
f (x)
f x x xx x x x x'( )
(= − +
− + = − + = −3 12 12
3 12 12 0 4 4 0 2
2
2 2→ → ))2 0 2= =→ x
Y
X2
30f (x)
f ' (−3) < 0
−3 −2 −1 1 3 40
f ' (−1) > 0 f ' (1) < 0 f ' (4) > 0
f x x x x
x x x x x x
'( )
(
= − −
− − = − −
12 12 72
12 12 72 0 6
3 2
3 2 2→ )) ==== −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
003
2→
xxx
097
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 349
350
c) Dom f = �
La función no tiene asíntotas.
f (x) es creciente en (−3, 2) ∪ (2, +�) y es decreciente en (−�, −3).
Mínimo: (−3, −301)
f"(x) > 0 si x > 2 → f (x) es cóncava en (2, +�).
Dada la función , resuelve.
a) Determina su dominio.
b) Halla sus asíntotas.
c) ¿Tiene puntos de corte con los ejes? ¿Cuáles son?
d) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
e) Halla los máximos y mínimos.
f ) Representa la función.
a) Dom f = � − {−4}
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
limx
xy
x →→
+
−+
= =�
3 2
43 3
b) limx
x
limx
x
x
x
→
→
−
−
−
+
−+
= +
−+
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪4
4
3 2
43 2
4
�
�
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ x 4
yx
x= −
+3 2
4098
Y
X1
300
f (x)
f x x f x" ( ) ( ) ,< < − − −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠0
4
3
4
3si es convexa en→ � ⎟⎟⎟⎟⎟.
f x x f x" ( ) ( ) ,< − < < −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞0
4
32
4
32si es convexa en→⎠⎠⎟⎟⎟⎟.
f x x x
x x x xx
" ( ) = − −
− − = − − =
36 24 96
36 24 96 0 3 2 8 0
2
2 2→ →==
= −
⎧⎨⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
24
3x
f ' (−4) < 0
−4 −3 0 2 3
f ' (0) > 0 f ' (3) > 0
f x x x x
x x x
' ( ) = − − +
− − + =
12 12 96 144
12 12 96 144 0
3 2
3 2 → xxx
= −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
32
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 350
351
8SOLUCIONARIO
c) Punto de corte con el eje X :
Punto de corte con el eje Y:
f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, −4) ∪ (−4, +�).
e) La función no tiene máximos ni mínimos.
Estudia y representa estas funciones racionales.
a) c)
b) d)
a) Dom f = � − {2}
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje X:
Punto de corte con el eje Y:
f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, 2) ∪ (2, +�).
f xx x
x x' ( )
( ) ( )
( ) ( )=
− − +−
=−−
5 2 5 1
2
11
22 2
01
2, −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
50,
limx
xy
x →→
+
+−
= =�
5 1
25 5
limx
x
limx
x
x
x
→
→
2
2
5 1
25 1
2
−
+
+−
= −
+−
= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪
�
�⎪⎪⎪⎪⎪
=→ x 2
yx x
x x= + −
+ −2 2 4
6
2
2y
x x
x= − +
−
2 2 1
3
yx
x=
−
2
2y
x
x= +
−5 1
2
099
Y
X2
2
f (x)
f )
d) f xx x
x x' ( )
( ) ( )
( ) ( )=
+ − −+
=+
3 4 3 2
4
14
42 2
01
2, −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
2
30,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 351
352
Derivada de una función
La función no tiene máximos ni mínimos.
b) Dom f = � − {3}
es una asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
Punto de corte con el eje X: (1, 0)
Punto de corte con el eje Y:
f (x) es creciente en (−�, 1) ∪ (5, +�) y es decreciente en (1, 3) ∪ (3, 5).
Máximo: (1, 0) Mínimo: (5, 8)
Y
X6
3
f ' (2) < 0 f ' (4) < 0 f ' (6) > 0
0 1 2 3 4 5 6
f ' (0) > 0
f xx x x x
x
x x
x' ( )
( )( ) ( )
( ) (=
− − − − +−
=− +2 2 3 2 1
3
6 52
2
2
−−
− + = ==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
3
6 5 0 15
2
2
)
x xxx
→
01
3, −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
m limx x
x x
n limx x
x
x
x
=− +
−=
=− +
−−
+
+
→
→
�
�
2
2
2
2 1
31
2 1
3xx lim
x
xx
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=+−
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪+→ �
1
31⎪⎪⎪
= +→ Asíntota oblicua: y x 1
limx x
xx →→
+
− +−
= +�
�2 2 1
3
limx x
x
limx x
x
x
x
→
→
3
2
3
2
2 1
32 1
3
−
+
− +−
= −
− +−
= +
⎫
⎬
⎪�
�
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=→ x 3
Y
X4
4
f (x)
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 352
353
c) Dom f = � − {2}
es una asíntota vertical.
La función no tiene asíntota horizontal.
Punto de corte con los ejes: (0, 0)
f (x) es decreciente en (−�, 0) ∪ (4, +�) y es creciente en (0, 2) ∪ (2, 4).
Máximo: (4, −8) Mínimo: (0, 0)
d) Dom f = � − {−3, 2}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
limx
x xy
x →→
+
+ −+ −
= =�
2 2 4
61 1
2
2
limx x
x x
limx x
x x
x
x
→
→
2
2
2
2
2
2
2 2 4
62 2 4
−
+
+ −+ −
= −
+ −+
�
−−= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=
6
2
�
→ x
limx x
x x
limx x
x
x
x
→
→
−
−
−
+
+ −+ −
= +
+ −
3
2
2
3
2
2
2 2 4
62 2 4
�
++ −= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −
x
x
6
3
�
→
Y
X4
2
f ' (1) > 0 f ' (3) > 0 f ' (5) > 0
−1 0 1 2 3 4 5
f ' (−1) < 0
f xx x x
x
x x
x
x xx
' ( )( )
( ) ( )=
− +−
=−
−
− =
2 2
2
4
2
4 0
2
2
2
2
2 → ===
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
04x
m limx
x x
n limx
xx
x
x
=−
= −
=−
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
+
+
→
→
�
�
2
2
2
21
2⎟⎟⎟⎟⎟
=−
= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪+lim
x
xx →
→
�
2
22
Asíntotta oblicua: y x= − − 2
limx
xx →→
+ −= +
��
2
2
limx
x
limx
x
x
x
→
→
2
2
2
22
2
−
+
−= +
−= −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
�
�
→→ x = 2
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 353
354
Puntos de corte con el eje X: (1, 0) y (−2, 0)
Punto de corte con el eje Y:
f (x) es creciente en (−�, −3) ∪ y es decreciente en ∪ (2, +�).
Máximo:
Representa estas funciones racionales, analizando sus características.
a) d)
b) e)
c) f )
a) Dom f = � − {−1, 4}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
limx
x xy
x →→
+ − −= =
� 2 3 40 0
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
4 2
4 2
3 4
3 4
−
+
− −= −
− −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪�
�⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=→ x 4
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
−
−
−
+
− −= −
− −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪1 2
1 2
3 4
3 4
�
�
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ x 1
yx
x x= −
+ −3
1 1( )( )y
x
x x= +
− −5
3 42
yx
x x=
+ −2
62y
x x
x x= + +
+ +
2
2
2 3
2 1
yx x
x= + +2
2
4 2y
x
x x=
− −2 3 4
100
Y
X4
4
f (x)
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
2
18
25,
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
22,−
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟3
1
2,
−4 −3 −1 0 2 3−
1
2
f ' (–4) > 0 f ' (−1) > 0 f ' (0) < 0 f ' (3) < 0
f xx
x x
x x
' ( )( )
=− −
+ −
− − = = −
16 8
6
16 8 01
2
2 2
→
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟3
1
2,
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 354
355
Punto de corte con los ejes: (0, 0)
f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (−1, 4) ∪ (4, +�).
La función no tiene máximos ni mínimos.
b) Dom f = � − {−1}
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje Y: (3, 0)
f ' (x) > 0 si x < −1 → f (x) es creciente en (−�, −1).
f ' (x) < 0 si x > −1 → f (x) es decreciente en (−1, +�).
La función no tiene máximos ni mínimos.
Y
X1
1
f (x)
f xx x x x x x
x x' ( )
( )( ) ( )( )
(=
+ + + − + + ++
2 2 2 1 2 3 2 2
2
2 2
2 ++=
− −+ +
− − = = − ∉
1
4 4
2 1
4 4 0 1
2 2 2) ( )
x
x x
x x f→ Dom
limx x
x xy
x →→
+
+ ++ +
= =�
2
2
2 3
2 11 1
limx x
x x
limx x
x
x
x
→
→
−
−
−
+
+ ++ +
= +
+ ++
1
2
2
1
2
2
2 3
2 1
2 3
�
22 1
1
x
x
+= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= −
�
→
Y
X2
2
f (x)
f xx x x x
x x
x
x x' ( )
( )
( ) (=
− − − −− −
=− −−
2
2 2
2
2
3 4 2 3
3 4
4
3 −− 4 2)
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 355
356
c) Dom f = � − {−1, 4}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje X: (−5, 0)
Punto de corte con el eje Y:
f (x) es creciente en (−11, −1) ∪ (− 1, 1) y es decreciente en (−�, −11) ∪ (1, 4) ∪ (4, +�).
Mínimo: Máximo: (1, −1)
d) Dom f = � − {0}
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
limx x
xy
x →→
+
+ += =
�
2
2
4 21 1
limx x
x
limx x
x
x
x
→0
2
2
0
2
2
4 2
4 2
−
+
+ += +
+ += +
⎫
⎬
⎪⎪⎪
→
�
�
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=→ x 0
Y
X6
2
f (x)
− −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟11
1
25,
f ' (−2) > 0 f ' (0) > 0
f ' (3) < 0
f ' (5) < 0
−12 −11 −2 −1 0 1 4 5
f ' (−12) < 0
3
f xx x x x
x x
x x' ( )
( )( )
( )=
− − − + −− −
=− −2
2 2
23 4 5 2 3
3 4
10 ++− −
− − +− −
= − −
11
3 4
10 11
3 40 10
2 2
2
2 2
2
( )
( )
x x
x x
x xx→ xx
xx
+ = = −=
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
11 0 111
→
05
4, −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
limx
x xy
x →→
+
+− −
= =�
5
3 40 0
2
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
4 2
4 2
5
3 45
3 4
−
+
+− −
= −
+− −
= +
⎫
⎬
⎪�
�
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=→ x 4
limx
x
x
x x
limx
x x
→
→
−
−
−
+
+− −
= +
+− −
= −
⎫1 2
1 2
5
3 45
3 4
�
�
⎬⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ x 1
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 356
357
Puntos de corte con el eje X:
f (x) es decreciente en (−�, −1) ∪ (0, +�) y es creciente en (−1, 0).
Mínimo: (−1, 1)
e) Dom f = � − {−3, 2}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con los ejes: (0, 0)
f ' (x) < 0 → f (x) es decreciente en (−�, −3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, +�).
La función no tiene máximos ni mínimos.Y
X1
1
f (x)
f xx x x x
x x
x
x' ( )
( ) ( )
( ) (=
+ − − ++ −
=− −2 6 2 2 1
6
2 122
2 2
2
22 26+ −x )
limx
x xy
x →→
+ + −= =
�
2
60 0
2
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
2 2
2 2
2
62
6
−
+
+ −= −
+ −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪�
�⎭⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=→ x 2
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
−
−
−
+
+ −= −
+ −= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪3 2
3 2
2
62
6
�
�
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −→ x 3
Y
X1
1
f (x)
f ' (−0,5) > 0 f ' (1) < 0
−2 −1 −0,5 0 1
f ' (−2) < 0
f xx x x x x
x
x
x' ( )
( ) ( )
( )=
+ ⋅ − + + ⋅=
− −
−
2 4 4 2 2 4 4
4
2 2
2 2 3
xx x− = = −4 0 1→
− −( ) −( )2 2 0 2 2 0, ,y
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 357
358
f ) Dom f = � − {−1, 1}
es una asíntota vertical.
es una asíntota vertical.
es una asíntota horizontal.
Al tener asíntota horizontal, la función no tiene asíntota oblicua.
Punto de corte con el eje X: (3, 0)
Punto de corte con el eje Y: (0, 3)
f (x) es decreciente en
y es creciente en .
Máximo: Mínimo:
Calcula la tasa de variación media de la función f (x) = 2x2 − 2x + 3 en el intervalo [1, 1 + h].
a) Utiliza el resultado para determinar la tasa de variación media en los intervalos [1, 3], [1, 5] y [1, 8].
b) Calcula el límite cuando h tiende a cero de la tasa de variación media en el intervalo [1, 1 + h], y comprueba que equivale a f' (1).
101
Y
X1
1 f (x)
3 2 23 2 2
2−
+⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
,3 2 23 2 2
2+
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
,
3 2 2 1 1 3 2 2−( ) ∪ +( ), ,
( , ) , ,− − ∪ − −( ) ∪ + +( )� �1 1 3 2 2 3 2 2
f ' (6) < 0
−2 −1 0,5 1 2 6
f ' (−2) < 0 f ' (0) < 0 f ' (0,5) f ' (2) < 0
3 2 2−
3 2 2+0
f xx x x
x
x x
x' ( )
( )
( ) ( )=
− − − ⋅−
=− + −
−−
2
2 2
2
2 2
1 3 2
1
6 1
1
xx x
xx x x
2
2 2
26 1
10 6 1 0 3 2 2
+ −−
= − + − = ⇒ = ±( )
→
limx
x xy
x →→
+
−+ −
= =�
3
1 10 0
( )( )
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
1
1
3
1 13
1 1
−
+
−+ −
= +
−+ −
( )( )
( )( )
�
== −
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
=�
→ x 1
limx
x x
limx
x x
x
x
→
→
−
−
−
+
−+ −
= −
−+ −
1
1
3
1 13
1
( )( )
( )(
�
11
1
)= +
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
= −�
→ x
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 358
359
a) T.V.M. ([1, 3]) = 2 · 2 + 2 = 6
T.V.M. ([1, 5]) = 2 · 4 + 2 = 10
T.V.M. ([1, 8]) = 2 · 7 + 2 = 16
A partir de la definición, halla la función derivada de estas funciones.
a) b)
Las siguientes funciones se pueden expresar como composición de otras funcionesmás sencillas. Halla sus funciones derivadas de dos modos diferentes, y compara los resultados que obtienes.
a) y = 23x+5 b) y = (x2 + 7x)2 c) y = ln (3x) d)
Los resultados obtenidos coinciden.
d) yf x x g xx
yx
x
x( ) log ( )
ln ln= = =
⋅⋅ =
⋅3
2
23
13
3
2
3
2
3'
yyx
x x yx
= = − = − = ⋅⋅
log log log logln
3
2
3 3 33
2 3 2 1 21→ '
33
2
3=
⋅x ln
c) yf x x g x x yx x
y x
( ) ln ( )
ln ( ) ln l
= = = ⋅ =
= = +
31
33
1
3 3
'
nn x yx
→ ' =1
b) yf x x g x x x y x x x x( ) ( ) ( )( )= = + = + + = +2 2 2 37 2 7 2 7 4 4' 22 987 7 2 7 7
2
2 2 2
x xy x x x x y x x x
+= + ⋅ + = + ⋅ +( ) ( ) ( ) ( )→ ' ++ + ⋅ + == + +
( ) ( )x x xx x x
2
3 2
7 2 74 42 98
a) yf x g x x yy y
x x
x
( ) ( ) ln= = + = ⋅ ⋅= ⋅
+2 3 5 2 2 32 2
3 5
3 5
'→ '' = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+2 2 3 2 2 2 33 5 3 5x xln ln
yx= log3
2
3
103
b) f x limf x h f x
hlim x h x
hl
h h' ( )
( ) ( )=
+ −= +
−=
→ →0 0
1 1
iimx x h
h x h x
limx h x x
h
h
→
→
0
0 2
1 1
− ++
=
=−+
= −
( )
( )
( )
a) f x limf x h f x
hlim
x h x
hh h' ( )
( ) ( )=
+ −=
+ + − +→ →0 0
1 1==
=+ + − +
+ + + +( )=
+lim
x h x
h x h xlim
x hh h→ →0 0
1 1
1 1
1( )
++ + +=
+1 1
1
2 1x x
yx
= 1y x= + 1
102
b) limf h f
hlim h f x
h h→ →0 0
1 1
1 12 2 2
( ) ( )( ) (
+ −+ −
= + = ' )) ( )= − =4 2 1 2x f→ '
T V M hf h f
h
h. . . ([ , ])
( ) ( ) ( ) (1 1
1 1
1 1
2 1 22
+ =+ −+ −
=+ − 11 3 3
2 4 2 2 22 2
2
+ + −=
=+ + − −
= +
h
hh h h
hh
)
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 359
360
Obtén las funciones derivadas de estas funciones utilizando la regla de la cadena.
a) y = e ln x
b)
c)
d) y = ln (x 2e)
Determina el valor de la expresión a para que la función no sea derivable en el punto x = 3.
f (3) = 13
Si a � 13, la función no es continua y no es derivable.
Completa la siguiente función para que sea derivable en todo el conjunto �.
Para que sea derivable, la función tiene que ser continua: f (2) = 2b + 4
Si 6 = 2b + 4, la función es continua → b = 1.
f xx x
x
ff
'
''
( )
( )( )
= + <≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
==
−
+
2 1 21 2
2 52
sisi
11
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
→ La función no es derivable.
lim f x
lim f x bx
x
→
→
→2
2
6
2 4−
+
=
= +
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
f x x x xbx x
( ) = + <+ ≥
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 24 2
sisi
106
lim f x a
lim f xx
x
→
→
→3
313
−
+
=
=
⎫⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
( )
( )
f xa x
x x x( ) = <
+ − ≥⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
sisi
33 5 32
105
d) yx e
xex
' = ⋅ =1
22
2
c) y cosx
' = ⋅2
1
2
b) yx x x
' =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛
⎝4
29
210
23 2
⎜⎜⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟−
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ −⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −4
2 642x x 55 4 3 2
72 40 8+ − +
x x x
a) y ex
xx
x' = ⋅ = ⋅ =ln 1 11
y senx=2
yx x x
=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠
23
25
24 3
⎟⎟⎟⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
2
42
3x
104
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 360
361
La recta cuya ecuación es y = 9x − 14 es tangente a la función y = x3 − 3x + k.Determina en qué punto son tangentes y halla el valor de k. ¿Hay una sola solución?La función tiene dos puntos en los que la tangente es horizontal. Hállalos y escribe la ecuación de esas rectas.
f ' (x) = 3x2 − 3
Cuando la recta dada es tangente: 3x2 − 3 = 9 → x2 = 4 → x = ±2
Si x = 2 → y − (2+ k) = 9(x − 2) → y = 9x − 16 + k → k = 2Si x = −2 → y − (−2 + k) = 9(x + 2) → y = 9x + 16 + k → k = −2
Luego hay dos soluciones válidas.
Cuando la tangente es horizontal, se cumple que: 3x2 − 3 = 0 → x2 = 1 → x = ±1
Si x = 1 → y − (−2 + k) = 0 · (x − 1) → y = −2 + kSi x = −1 → y − (2 + k) = 0 · (x + 1) → y = 2 + k
¿Es cierto que la función y = x3 es siempre creciente? ¿Qué ocurre en el origen de coordenadas?
f ' (x) = 3x2
Si x � 0 → f ' (x) > 0 → f (x) es creciente en (−�, 0) ∪ (0, +�).
Si x = 0 → f ' (0) = 0 → La función no es creciente ni decreciente en este punto.
Se ha estimado que el gasto de electricidad de una empresa, de 8 a 17 horas, sigue esta función.
E (t) = 0,01t3 − 0,36t2 + 4,05t − 10
donde t pertenece al intervalo (8, 17).
a) ¿Cuál es el consumo a las 10 horas? ¿Y a las 16 horas?
b) ¿En qué momento del día es máximo el consumo? ¿Y mínimo?
c) Determina las horas del día en las que el consumo se incrementa.
a) E(10) = 4,5
E(16) = 3,6
Por tanto, el consumo es máximo a las 9 horas y es mínimo a las 15 horas.
c) Como t = 9 es un máximo, el consumo crece de las 8 horas a las 9 horas.
Del mismo modo, como t = 15 es un mínimo, el consumo crece de las 15 horas a las 17 horas.
E t" ( ) ,15 0 18 0 15= > =→ En tiene un mínimo.
E t" ( ) ,9 0 18 0 9= − < =→ En tiene un máximo.
b) 0,03 0,72 4,05
0,03 0,72 4,05
E t t t
t t
' ( ) = − +
− + =
2
2 00 915
→ tt
E t t
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
= −" ( ) 0,06 0,72
109
108
107
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 361
362
Un investigador está probando la acción de un medicamento sobre una bacteria. Ha comprobado que el número de bacterias, N, varía con el tiempo, t, una vezsuministrado el medicamento, según la función:
N = 20t 3 − 510t 2 + 3.600t + 2.000
a) ¿Cuántas bacterias había en el momento de suministrar el medicamento? ¿Y al cabo de 10 horas?
b) En ese momento, ¿el número de bacterias está creciendo o disminuyendo?
c) ¿Cuál es el momento en que la acción del producto es máxima?
d) ¿En qué momento empieza a notarse el efecto del medicamento?
e) ¿Y en qué momento empieza a perder su efecto el medicamento?
a) Si t = 0 → N = 2.000 bacterias
Si t = 10 → N = 7.000 bacterias
El número de bacterias crece hasta las 5 horas y vuelve a crecer a partir de las 12 horas. Este número decrece entre las 5 horas y las 12 horas.
c) El medicamento alcanza su máxima acción a las 12 horas.
d) El efecto del medicamento empieza a notarse a partir de las 5 horas.
e) El medicamento empieza a perder su efecto a partir de las 12 horas.
¿Cuál es la ecuación de una parábola que pasa por el punto (0, 9) y en el punto (2, 9)tiene como recta tangente y − 6x + 3 = 0?
Sea f (x) = ax2 + bx + c.
Como la parábola pasa por el punto (0, 9) → c = 9
Y como también pasa por el punto (2, 9) → 4a + 2b + 9 = 9 → 4a + 2b = 0 → b = −2a
Así, resulta que: f (x) = ax2 − 2ax + 9 → f ' (x) = 2ax − 2a
Si y = 6x − 3 es la tangente en el punto x = 2, entonces: f ' (2) = 6 → 4a − 2a = 6 → a = 3
La ecuación de la parábola es: f (x) = 3x2 − 6x + 9
Obtén la expresión algebraica de una función que pasa por (2, 5), sabiendo que su derivada es: f' (x) = 2x2 + 6x − 3
Como la función pasa por el punto (2, 5) → f (2) = 5
La ecuación de la parábola es: f x x x x( ) = + − −2
33 3
19
33 2
2
38 12 6 5
19
3⋅ + − + = = −k k→
Si f x x x f x x x x k' ( ) ( )= + − = + − +2 6 32
33 32 3 2→
112
111
f ' (0) > 0 f ' (6) < 0 f ' (20) > 0
5 60 12 20
b) .02 3.600N t t
t tt
' = − +
− + =
60 1 0
60 1 020 3 600 0
2
2 . . → ===
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
512t
110
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 362
363
Representa la función
a) Considera un punto cualquiera de la función que esté en el primer cuadrante.Comprueba que la recta tangente a la función en ese punto forma un triángulocon los semiejes positivos.
b) Demuestra que, independientemente del punto que se escoja, el área de ese triángulo es siempre la misma.
b) Si a > 0, entonces es un punto de la función en el primer cuadrante.
Como la ecuación de la recta tangente en x = a es:
Las coordenadas de los puntos de corte de la tangente con los ejes determinanla base y la altura del triángulo.
Así, el área del triángulo es: u2, independientemente
del valor de a.
La recta tangente a una función f (x) en el punto de abscisa x = 2 es y = 5x −7. Halla el valor de la función y de su derivada en el punto de abscisa 2.
y = 5x − 7 → y − 3 = 5(x − 2)
Explica cuánto valen f' (0) y g' (0) en las funciones f (x) = ln x y .(Puedes hacer la gráfica de las funciones, si es necesario).
Dom f = (0, +�) → f ' (0) no existe porque la función no está definida en x = 0.
Dom g = [0, +�) → g' (0) no existe porque la función no está definida para valoresmenores que 0 y no existe g' (0−).
g x x( ) =115
→ ff
( )( )2 32 5
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ '
114
Aa
a=⋅
=2
2
22
Si ya a
xa a
xa
x a= − = − + = =0 01 1 1 1 2
22 2
→ → →
Si x ya a
ya
= − = =01 1 2→ →
ya a
x a− = − −1 1
2( )
yx
' = −1
2,
aa
,1⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
Y
X1
1 f (x)
a)Y
X1
1 f (x)
yx
= 1.113
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 363
364
La función derivada de una parábola es una recta que pasa por los puntos
y . Halla la abscisa del vértice de esa parábola.
Como la ecuación de una parábola es y = ax2 + bx + c, su derivada es y' = 2ax + b.
La ecuación de la recta que pasa por los puntos es:
Igualando coeficientes, resulta:
La abscisa del vértice es:
Si trazamos la recta tangente y la recta normal a la función y = x3 − 12x2 + 42x − 40,en el punto (3, 5) se forma, con los semiejes positivos de coordenadas,un cuadrilátero. Determina su área.
La ecuación de la recta tangente en (3, 5) es:
Y la ecuación de la recta normal es:
El cuadrilátero tiene como vértices: (0, 0), (0, 4), (3, 5) y .
Para calcular su área se descompone en tres figuras:
• El rectángulo de vértices (0, 0), (4, 0), (3, 4) y (3, 0) mide 12 u2.
• El triángulo de vértices (4, 0), (3, 4) y (3, 5) mide u2.
• El triángulo de vértices (3, 5), (3, 0) y mide u2.
Luego el área del cuadrilátero es: u2
Sea una función que no es continua en x = 3.
Demuestra que la función no puede ser derivable en ese punto estudiando el límite.
limf h f
hh→0
3 3( ) ( )+ −
lim f x fx→3
3( ) ( )�
118
123
2
25
6
53
3+ + =
25
6
14
30,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
2
14
30,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
y x y x− = − = +51
33
1
34( ) →
y x y x− = − − = − +5 3 3 3 14( ) →
Y
X1
1
f x x x
f
''( )( )
= − += −
3 24 423 3
2
117
xb
a= − = −
−
⋅=
2
52
23
2
5
6
2 33
25
2
ax x a
b
= =
= −
→
x yy x
−−
=−
−= −
1
2
12
63
5
2→
− −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟1
11
2,
11
2,
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟116
Derivada de una función
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 364
365
Si la función es derivable en x = 3 entonces existe el límite:
Esto no es cierto, porque la función no es continua en x = 3, y la función no puedeser derivable en este punto.
Considera una parábola general expresada de la forma:
y = ax2 + bx + c
a) Como en el vértice la tangente será horizontal, la derivada se anula en ese punto.Compruébalo y despeja el valor de x.
b) Encuentra también el valor de y, aplicándolo a la parábola y = −2x2 + 8x + 4.
PARA FINALIZAR…
Sea . Estudia si f (x) y f' (x) son constantes.
Al ser f ' (x) constante y no nula, la función f (x) no es constante.
f xsen x
cos x
cos x co' ( )
(=
++
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
⋅+1
11
12
ss x sen x
cos x
cos x
x sen x
)
( ) ( )
++
=+
+ +=
=
2
2 2 21
1
1 cos
ccos x
cos x cos x sen x
cos x
cos x
++ + +
=++
=1
1 2
1
2 2
1
22 2
f x arc tgsen x
cos x( ) =
+1120
b) xb
ay a
b
ab
b
a= − = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ + −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
2 2 2
2
→ ⎟⎟⎟ + = − + =− +
cb
a
b
ac
b ac
a
2 2 2
4 2
4
4
a) y ax b
ax b xb
a
' = +
+ = = −
2
2 02
→
119
limf h f
hl lim f h f l l
h h→→
0 0
3 33 3
( ) ( )( ( ) ( ))
+ −= + − =
→iim h
lim f h f lim f h
h
h h
→
→ →→ →
0
0 03 3 0 3( ( ) ( )) ( )+ − = + = llim f
h→03( )
8SOLUCIONARIO
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 365
366
Dada la gráfica de una función f (x), representala función f' (x) de forma aproximada.
Si la gráfica de una función f' (x) es la siguiente, representa de formaaproximada la función f (x).
Si f (x) y g (x) son funciones inversas, es decir, (g � f )(x) = x, ¿se verifica que (g' � f' )(x) = x?
No se verifica. Si se consideran las funciones f(x) = x3 y g(x) = , se tiene que son inversas ya que cumplen que: (g o f )(x) = x
Sin embargo, resulta que:
Luego f ’(x) y g’(x) no son funciones inversas.
Se define el ángulo de dos curvas en un punto común como el ángulo formado por sus rectas tangentes en ese punto.
Aplícalo a las curvas y = x2 y x = y2.
es el punto de intersección de las curvas.
La recta tangente en este punto a la primera curva es: y = 0
La recta tangente en el mismo punto a la segunda curva es: x = 0
Como las rectas son perpendiculares, el ángulo que forman las dos curvas mide 90°.
Verifica que si un polinomio tiene una raíz doble, también lo es de su derivada.
Resuelve la ecuación 12x3 −16x2 + 7x −1 = 0, sabiendo que una de sus raíces es doble.
Si un polinomio tiene una raíz doble a, entonces: f(x) = (x − a)2 ⋅ p(x)
Por tanto, a es también una raíz de la derivada.
f x x a p x x a p x x a p x' '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )= − ⋅ + − ⋅ = − +2 22 (( ) ( )]x a p x− ⋅ '
125
y xx y
==
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
2
2 0 0→ ( , )
124
( )( ) ( ( )) ( )( )
g f x g f x g xx x
' ' ' ' '� = = = =31
3 3
1
3 9
2
2 23 xxx
3�
x3
123
Y
X1
1f(x)
122
Y
X1
1f ’(x)
121
Derivada de una función
Y
X1
1
Y
X1
1f ’(x)
f(x)
833243 _ 0308-0367.qxd 10/10/08 10:03 Página 366
367
Sea .
Como , resulta que:
Y como una de las raíces es doble coincide con una de las anteriores:
Las soluciones de la ecuación son: (doble) y
¿Cómo debe descomponerse un número positivo a en la suma de dos números no negativos para que la suma de los cuadrados de los dos sumandos sea mínima? ¿Y para que sea máxima?
Sea x tal que de modo que a = x + (a − x).
Luego si el número a se descompone en + , la suma de los cuadrados
es mínima. Al ser una parábola abierta haciaarriba, como , la suma de los cuadrados es máxima si x = 0 o si x = a, es decir, si el número se descompone en a + 0.
Demuestra que la tangente a una circunferencia en un punto es perpendicular alradio en ese punto.
Sea una circunferencia centrada en el origen de coordenadas de radio r:
Entonces la ecuación de la recta tangente en un punto (a, b) es:
La recta determinada por el radio de la circunferencia que pasa por este punto es:
Las rectas son perpendiculares ya que: b
a a
b
= −−
1
x
a
y
by
b
ax= =→
y ba
bx a− = − −( )
Si y r x yx
r x
x
r x= − =
−
−= −
−2 2
2 2 2 2
2
2→ '
x y r2 2 2+ =
127
0 ≤ ≤x af x x a x x ax a( ) ( )= + − = − +2 2 2 22 2
a
2
a
2
f x x a x
f x x a x x a x
( ) ( )
( ) ( ) ( )
= + −
= + − ⋅ − = − −
2 2
2 2 1 4 2 4' 22 02
42
4 02
a xa
f x fa
xa
= =
=⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = > =
→
→'' "( ) ess un mínimo.
0 ≤ ≤x a,
126
1
3
1
2
12 10 2 0
1
21
3
2x xx
x− + =
=
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→
f x x x x1
20 12 16 7 1
1
23 2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − + − = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠→ ⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ − +( )12 10 22x x
36 32 7 0
1
27
18
2x xx
x− + =
=
=
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
→f x x x'( ) = − +36 32 72
f x x x x( ) = − + −12 16 7 13 2
8SOLUCIONARIO
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368
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
Cansados de estar muertosMorgana estudia tercero de Matemáticas. Si alguien le pregunta porqué, ella se refugiará en la historia del astrónomo, el físico y el matemá-tico que llegaron a Escocia y distinguieron, a través de la ventana delsalón del hotel en el que se hospedaban, una oveja negra que pastabaen el prado que circundaba el edificio. El astrónomo exclamó: Qué fas-cinante, en Escocia las ovejas son negras, suscitando la protesta del físi-co, que reaccionó corrigiéndole: No, algunas ovejas escocesas son ne-gras. El matemático, al ser requerido para que interviniese, se limitó asugerir: Sólo puedo decir que en Escocia existe al menos un prado quetiene al menos una oveja con al menos uno de sus costados de colornegro. Aquella anécdota […] expresaba mejor que cualquier confesiónpersonal por qué a Morgana le entusiasmaba una disciplina erigida so-bre la pura abstracción que permitía mirar a la apariencia de las cosassin dejarse engañar por ellas. […] Las matemáticas abolían las opinio-nes y los credos basados en el humo de la fe, y esto era suficiente moti-vo para confiar en ellas, para encontrar calor en su frialdad.
[Faustino, de cuarenta años, un antiguo novio de la madre de Morga-na, vivía solo y para combatir la rutina de su vida utilizaba distintasestrategias. Por ejemplo, en la época en que había un único canal detelevisión, las noches que emitían una película, anotaba] en un cua-derno una especie de hit-parade en el que iba detallando las películasy el número de ventanas iluminadas que había contado a la hora de suemisión en los edificios a los que su mirada llegaba a alcanzar. El re-sultado distaba mucho de sus anhelos de revolucionario, ya que la no-che en la que programaron Emmanuel se batió el record de audiencia,treinta y siete ventanas iluminadas, que hasta entonces ostentaba Elimperio de los sentidos, veinticuatro ventanas. No se le escapaba queaquel método de contabilidad carecía de rigor y reparaba en que mu-chas de las ventanas iluminadas no tenían por qué delatar a especta-dores de las películas del horario de madrugada, pero daba igual. Lanoche en que emitieron El acorazado Potemkin, reforzado con un do-cumental acerca de la personalidad del director, sólo permanecieroniluminadas cinco ventanas. El ciclo dedicado a Murnau no mereciómás que el seguimiento de aquellos que se cobijaran tras dos ventanasiluminadas. La revolución pendiente tardaría mucho en llegar.
JUAN BONILLA
¿Son representativos estos datos para conocer los gustos cinematográficos de la población? Haz una tabla de frecuencias con ellos. ¿Cuál es la variable estadística?Calcula, si es posible, alguna medida de centralización.
Los datos no son representativos, porque no puededeterminarse la composición de la muestra, ni si las ventanas iluminadas corresponden a espectadores de las películas.La variable estadística es el número de ventanasiluminadas durante la noche en la que se emite cada película.Como la variable es cualitativa, solo puede determinarse la moda: Emmanuel.
Estadística unidimensional9
Películas Frecuencias
Emmanuel 37
El imperio de los sentidos 24
El acorazado Potemkin 5
Ciclo Murnau 2
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 368
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Da dos ejemplos de cada clase de intervalo.
Abierto: (3, 4) y (−2, 0).
Cerrado: [1, 5] y [−3, 8].
Abierto por la derecha y cerrado por la izquierda: [−4, 2) y [−5, 0)
Abierto por la izquierda y cerrado por la derecha: (2, 8] y (9, 13]
Calcula el punto medio de los siguientes intervalos.
a) [1, 3] b) (−3, −1) c) [−3, 1)
a) Punto medio de [1, 3] = 2
b) Punto medio de (−3, −1) = −2
c) Punto medio de [−3, 1) = −1
Obtén el valor absoluto de estos números.
a) 7 c) 0 e) −1
b) −8 d) 6 f ) 62
a) ⏐7⏐ = 7
b) ⏐−8⏐ = 8
c) ⏐0⏐ = 0
d) ⏐6⏐ = 6
e) ⏐−1⏐ = 1
f ) ⏐62⏐ = 62
Calcula el 18 % de 540.
18 % de 540 = = 97,2
Un jugador de baloncesto anota 13 de los 25 tiros libres que ha realizado. ¿Cuál es su porcentaje de acierto?
a% de 25 = 13
Elabora una encuesta en la que se recoja información sobre la profesión que deseanejercer tus compañeros cuando terminen sus estudios.
Respuesta abierta.
Haz un recuento de los datos obtenidos en la encuesta anterior.
Respuesta abierta.
Pregunta a tus compañeros por su número de hermanos, y haz una tabla de frecuencias que refleje el resultado.
Respuesta abierta.
008
007
006
→ →aa
10025 13 52⋅ = =
005
18
100540⋅
004
003
002
001
9SOLUCIONARIO
369
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 369
370
ACTIVIDADES
Señala en qué caso es más conveniente estudiar la población o una muestra.
a) La longitud de los tornillos que fabrica ininterrumpidamente una máquina.
b) La talla de un grupo de cinco amigos.
a) Es más conveniente estudiar una muestra.
b) Al tratarse de un grupo de cinco amigos es más conveniente estudiar la población.
Pon dos ejemplos de variables estadísticas unidimensionales.
a) Cualitativas.
b) Cuantitativas discretas.
c) Cuantitativas continuas.
Respuesta abierta.
a) Color de los ojos de los alumnos de un curso y nombre de la madre de los estudiantes de un centro escolar.
b) Puntuaciones obtenidas en un test de verdadero-falso de diez preguntas y nacimientos registrados cada semana en una población.
c) Peso de los paquetes entregados en una oficina de correos durante una semana y cantidad de lluvia recogida en una zona durante un mes.
Estos datos reflejan el tiempo, en minutos, que tardan en llegar a su centro escolarvarios alumnos.
10 15 11 11 14 14 11 14 17 11 17 15
10 16 12 12 13 16 13 16 18 12 18 16
Organiza los datos en una tabla de frecuencias absolutas y relativas.
La tabla muestra la estatura, en cm, de un grupo de personas.
a) Elabora una tabla de frecuencias.
b) ¿Qué porcentaje de personas miden entre 165 cm y 175 cm? ¿Y menos de 185 cm?
Estatura [165, 175) [175, 185) [185, 195)
N.o de personas 40 85 25
004
xi fi hi Fi Hi
10 2 0,08 2 0,08
11 4 0,17 6 0,25
12 3 0,13 9 0,38
13 2 0,08 11 0,46
14 3 0,13 14 0,59
15 2 0,08 16 0,67
16 4 0,17 20 0,84
17 2 0,08 22 0,92
18 2 0,08 24 1
003
002
001
Estadística unidimensional
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371
9SOLUCIONARIO
a)
b) El porcentaje de personas que miden entre 165 cm y 175 cm es del 27 %
Y el porcentaje de personas que miden menos de 185 cm es del 83 %.
Estas son las edades, en años, de 18 jóvenes.
13 15 14 16 13 15 14 16 15
14 13 13 13 15 14 16 14 14
Realiza un gráfico de sus frecuencias relativas.
Antes de dibujar el gráfico es necesario hacer la tabla de frecuencias.
Aunque los valores parecen discretos, al representarlos consideramos que alguien que afirma tener 14 años, realmente tiene más de 14 años y menos de 15 años. Por esta razón utilizamos un histograma.
Representa estos datos con el gráfico adecuado.006
005
Estatura xi fi hi Fi Hi
[165, 175) 170 40 0,27 40 0,27
[175, 185) 180 85 0,57 125 0,83
[185, 195) 190 25 0,17 150 1,80
N = 150 hi∑ = 1
6
5
4
3
2
1
013 14 15 16 17
x i f i h i
13 5 0,278
14 6 0,333
15 4 0,222
16 3 0,167
Sector Agrario Industrial Servicios Otros
Trabajadores 28 % 21 % 44 % 7 %
Agrario
Industrial
Servicios
Otros
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372
El sexo de 20 bebés nacidos en un hospital ha sido:
Construye la tabla asociada a estos datos, y represéntalos.
Completa la tabla de frecuencias, y dibuja el histograma de frecuencias absolutas y acumuladas con los datos de esta tabla.
Los resultados de un test de inteligencia realizado a 24 personas fueron:
100 80 92 101 65 72 121 68 75 93 101 100 102 97 89 73 121 114 113 113 106 84 94 83
Obtén la tabla de frecuencias y de porcentajes, tomando intervalos de amplitud 10.Representa los datos en un histograma.
009
008
007
Estadística unidimensional
Sexo f i hi
Hombre 8 0,4
Mujer 12 0,6
Hombre40%
60 % Mujer
H M H H MM M M H M
M H H M MM H H M M
Edad (años) [15, 30) [30, 45) [45, 60) [60, 75)
N.o de trabajadores 20 10 12 8
Edad f i h i F i H i
[15, 30) 20 0,44 20 0,44
[30, 45) 10 0,24 30 0,64
[45, 60) 12 0,24 42 0,84
[60, 75) 8 0,16 50 144,
20
16
12
8
4
0
Frecuencias absolutas
f i
15 30 45 60 75Frecuencias absolutas acumuladas
Fi
50
40
30
20
10
015 30 45 60 75
12
3456
65 75 85 95 105 115 125
Intervalos fi hi Fi Hi
[65, 75) 4 0,17 4 0,17
[75, 85) 4 0,17 8 0,34
[85, 95) 4 0,17 12 0,51
[95, 105) 6 0,25 18 0,76
[105, 115) 4 0,17 22 0,93
[115, 125) 2 0,08 24 1,00
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373
Construye las tablas de frecuencias que corresponden a los siguientes gráficosestadísticos, indicando de qué tipo es cada uno.
a) En este histograma están representados las frecuencias absolutas y el polígono de frecuencias. La tabla de frecuencias correspondiente es:
b) En este histograma están representados las frecuencias acumuladas y el polígono de frecuencias. La tabla de frecuencias correspondiente es:
Organiza, en una tabla de frecuencias, estos datos relativos al peso, en kg, de 20 personas.
42 51 56 66 7569 59 50 70 5947 51 45 63 7962 54 60 63 58
Calcula sus medidas de centralización.
La media aritmética es:
La mayor frecuencia es 8, que corresponde a 51, 59 y 63.
Ordenamos los datos:
42, 45, 47, 50, 51, 51, 54, 56, 58, 59, 59, 60, 62, 63, 63, 66, 69, 70, 75, 79
Me =+
=59 59
259
x = =1 179
0
.
258,95
011
Intervalos Fi Hi
[10, 20) 1 0,125
[20, 30) 3 0,375
[30, 40) 4 0,5
[40, 50) 5 0,625
[50, 60) 7 0,875
[60, 70) 8 1
7
5
3
1
10 20 30 40 50 60 70
Frec
. acu
mul
adas
Intervalos f i h i
[10, 20) 6 0,19
[20, 30) 5 0,16
[30, 40) 7 0,23
[40, 50) 4 0,13
[50, 60) 6 0,19
[60, 70) 3 0,14
7
5
Frec
uenc
ias
3
1
10 20 30 40 50 60 70
010
9SOLUCIONARIO
xi fi hi Fi Hi
42 1 0,05 1 0,05
45 1 0,05 2 0,10
47 1 0,05 3 0,15
50 1 0,05 4 0,20
51 2 0,10 6 0,30
54 1 0,05 7 0,35
56 1 0,05 8 0,40
58 1 0,05 9 0,45
59 2 0,10 11 0,55
60 1 0,05 12 0,60
62 1 0,05 13 0,65
63 2 0,10 15 0,75
66 1 0,05 16 0,80
69 1 0,05 17 0,85
70 1 0,05 18 0,90
75 1 0,05 19 0,95
79 1 0,05 20 1,00
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374
Estadística unidimensional
A partir de los datos, construye la tabla de frecuencias, y calcula e interpreta las medidas de centralización.
23 10 25 12 13 24 17 22
16 20 26 23 22 13 21 18
16 19 14 17 11 17 15 26
x� = = 18,33
Mo = 17 ya que el valor más frecuente es 17.
Me = = 17,5
Hay tantos valores menores que 17,5 como mayores.
Estos son los pesos de los últimos 20 pacientes de una consulta médica. Organiza lossiguientes datos en una tabla de frecuencias y calcula sus medidas de centralización.
42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
013
17 18
2
+
440
24
012
xi fi hi Fi Hi
10 1 0,04 1 0,04
11 1 0,04 2 0,08
12 1 0,04 3 0,13
13 2 0,08 5 0,21
14 1 0,04 6 0,25
15 1 0,04 7 0,29
16 2 0,08 9 0,38
17 3 0,13 12 0,5
18 1 0,04 13 0,54
19 1 0,04 14 0,58
20 1 0,04 15 0,63
21 1 0,04 16 0,67
22 2 0,08 18 0,75
23 2 0,08 20 0,83
24 1 0,04 21 0,88
25 1 0,04 22 0,92
26 2 0,08 24 1,00
N = 24 hi∑ = 1
Intervalos xi fi fi ⋅ xi Fi
[40, 50) 45 3 135 3
[50, 60) 55 8 440 11
[60, 70) 65 6 390 17
[70, 80) 75 3 225 20
20 1.190
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375
Media: x� = = 59,5
El intervalo modal es [50, 60).
El intervalo mediano, donde la frecuencia acumulada es mayor que 10, es [50, 60).
La siguiente tabla indica el consumo, en m3, de agua de los distintos hoteles de una ciudad. Halla las medidas de centralización.
Media: x� = = 11,81
El intervalo modal es [10, 15).
El intervalo mediano, donde la frecuencia acumulada es mayor que 40, es [10, 15).
Con los datos de la tabla del ejemplo anterior, calcula los siguientes percentiles.
a) P22 c) P98
b) P7 d) P66
a) P22 = 2 b) P7 = 1 c) P98 = 4 d) P66 = 3
¿Qué tipo de frecuencias se utilizan para calcular las medidas de posición? ¿Es la mediana una medida de posición?
Para calcular las medidas de posición se utilizan las frecuencias acumuladas.
La mediana se puede considerar una medida de posición, ya que divide la distribución de los datos en dos partes iguales:
Me = Q2 = P50
016
Datos f i hi Fi Hi
1 11 0,18 11 0,18
2 27 0,45 38 0,63
3 4 0,07 42 0,71
4 18 0,31 60 1,91
015
945
80
014
1 190
20
.
9SOLUCIONARIO
Consumo [0, 5) [5, 10) [10, 15) [15, 20)
N.o de hoteles 10 12 37 21
Consumo xi fi fi ⋅ xi Fi
[0, 5) 2,5 10 25,5 10
[5, 10) 7,5 12 90,5 22
[10, 15) 12,5 37 462,5 59
[15, 20) 17,5 21 367,5 80
80 945,5
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376
Salen 20 plazas a concurso por oposición y se presentan 200 personas.
¿Con qué nota se obtiene una de las plazas mediante el concurso por oposición?¿Qué percentil es la nota 5?
Hay 200 − 20 = 180 personas que suspenden la oposición. Como 180 es el 90 % de 200, y P10 = 8, que es la nota mínima para aprobar. Ordenados los datos,del 32.° al 65.° tienen de nota 5, luego 5 es el percentil P16, P17, …, hasta P32.
Lidia ha obtenido las siguientes notas.
7 5 6 10 9 7 6
Halla las medidas de dispersión.
x� = 7,14 σ2 = 2,69 σ = 1,64 CV = 0,23
Calcula las medidas de dispersión de estos datos.
De un estudio sobre el peso de los elefantes y el peso de los ratones se tiene esta información.
• Peso de los elefantes:x� = 2.000 kg σ = 100 kg
• Peso de los ratones:x� = 0,05 kg σ = 0,02 kg
Compara la dispersión en las variables.
La dispersión en los ratones es mayor, ya que su coeficiente de variación es mayor.
Un estudio estadístico recoge estos datos.
1 3 2 5 2 5
a) Halla las medidas de centralización.b) Calcula las medidas de dispersión.c) ¿Qué conclusiones extraes al compararlas?
021
CV CVe r= = = =100
2 0000 05
0 02
0 050 4
.,
,
,,
020
N.o de vehículos 0 1 2 3
N.o de familias 115 456 268 161
019
018
Notas 3 4 5 6 7 8 9 10
fi 6 25 34 42 50 27 13 3
017
Estadística unidimensional
xi f i |xi −−x | (xi −−x )2 fi ⋅ (xi −−x )2
0 115 1,475 2,175 250,125
1 456 0,475 0,225 102,600
2 268 0,525 0,275 140,700
3 161 1,525 2,325 374,325
1.000 867,750
x− = 1,475σ2 = 0,867σ = 0,931CV = 0,631
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 376
377
a) x� = = 3 Mo = 2 y 5 (distribución bimodal) Me = 2,5
b) R = 5 − 1 = 4
c) La varianza y la desviación típica son grandes, teniendo en cuenta el valor de la media y el rango de valores de la distribución, así que los datos no estánmuy agrupados respecto de las medidas de centralización.
La tabla muestra la cantidad de fruta que ha consumido, al mes, una familia duranteel último año.
Calcula las medidas estadísticas y analízalas.
x� = = 20,83 Mo = 15 Me = 20
R = 40 − 0 = 40
La varianza y la desviación típica, así como el coeficiente de variación, no son muygrandes; por tanto, se puede decir que los datos no están muy dispersos respectode las medidas de centralización.
Compara la media y la desviación típica de los datos de esta tabla.
x� = = 25,9
La desviación típica no es grande respecto a la media; por tanto, los datos no están muy separados de ella.
σ = − = =62 568 75
7525 9 163 44 12 782. ,
, , ,
1 942 5
75
. ,
Intervalos [10, 15) [15, 20) [20, 35) [35, 50)
Frecuencias 25 12 13 25
023
CV = = =8 63
20 830 41 41
,
,,
σ = =74 44 8 63, ,σ2 26 100
1220 83 74 44= − =
., ,
DM = =90
127 5,
250
12
Cantidad (kg) [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40)
N.o de meses 1 5 4 2
022
CV = = =1 53
30 51 51
,, %
σ = =2 33 1 53, ,σ2 268
63 2 33= − = ,
DM = =8
61 33,
18
6
9SOLUCIONARIO
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378
Las edades de dos grupos de personas son:
Grupo A: 18 26 20 26 22 26 23 27 25 25
Grupo B: 20 21 20 21 22 23 23 24 25 25
a) ¿En cuál de ellos están más concentrados los datos?
b) ¿Hay algún dato atípico?
a) x�A = = 23,8
x�B =
Los datos están más concentrados en el grupo B.
b) No hay datos atípicos.
Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando y razona, en cada caso, qué sería mejor, si estudiar una muestra o la población.
a) El cantante favorito de los miembros de tu familia.
b) La talla de pantalón de los alumnos de un IES.
c) La precipitación media mensual de tu provincia.
d) La altura de los habitantes de un país.
e) La nacionalidad de los habitantes de un pueblo.
f ) El número de SMS recibidos a la semana por tus amigos.
g) Los efectos de la gravedad en un cultivo de bacterias.
h) El tipo de calzado de tus compañeros de clase.
a) Variable cualitativa. Es más conveniente estudiar la población.
b) Variable cuantitativa discreta. Es más adecuado estudiar una muestra.
c) Variable cuantitativa continua. Sería mejor estudiar la población.
d Variable cuantitativa continua. Es más adecuado estudiar una muestra.
e) Variable cualitativa. Es más adecuado estudiar una muestra.
f ) Variable cuantitativa discreta. Es más adecuado estudiar la población.
g) Variable cuantitativa continua. Sería mejor estudiar una muestra.
h) Variable cualitativa. Es más adecuado estudiar la población.
Queremos hacer un estudio estadístico del número de veces que los alumnos de 1.o Bachillerato van al cine durante un mes.
a) Elige una muestra para realizar el estudio.
b) ¿Qué tamaño tiene dicha muestra?
c) ¿Cuál es la población?
Respuesta abierta.
026
025
CVB = =1 8
22 40 08
,
,,CVA = =
2 82
23 80 12
,
,,
σB = − = =5 050
1022 4 3 24 1 82.
, , ,224
1022 4= ,
σA = − = =5 744
1023 8 7 96 2 822.
, , ,238
10
024
Estadística unidimensional
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 378
Horas fi hi Fi Hi
0 3 0,10 3 0,10
1 8 0,27 11 0,37
2 7 0,23 18 0,60
3 6 0,20 24 0,80
4 3 0,10 27 0,90
5 3 0,10 30 1,23
30 1,23
379
9SOLUCIONARIO
En una revista leemos que el pastor alemántiene una alzada media de 55 cm. ¿Crees que han medido a todos los pastoresalemanes? Explica cómo crees que se ha llegado a esta conclusión.
No los han medido a todos, sino que hanestudiado una muestra y han hallado la alzada media.
El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:
3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2
0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3
a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.
b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas?
a)
b) Las frecuencias acumuladas son los alumnos que estudian como máximo el número de horas correspondientes.
De los 30 alumnos de una clase, el 10 % aprobó todo, el 20 % suspendió una asignatura,el 50 % suspendió dos asignaturas y el resto suspendió más de dos asignaturas.
Realiza una tabla de frecuencias con estos datos. ¿Hay algún tipo de frecuencia queresponda a la pregunta de cuántos alumnos suspendieron menos de dos asignaturas?
Razona tu respuesta.
La frecuencia absoluta acumulada de una asignatura suspensa indica cuántosalumnos suspendieron menos de dos asignaturas; así, 9 alumnos suspendieronmenos de dos asignaturas.
029
028
027
Asignaturas suspensas
fi hi Fi Hi
Ninguna 3 0,1 3 0,1
Una 6 0,2 9 0,3
Dos 15 0,5 24 0,8
Más de dos 6 0,2 30 1,0
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 379
380
Calcula la marca de clase del intervalo [10, 15). Si, en este intervalo, la frecuenciaabsoluta es 32, ¿qué interpretación se da a la marca de clase?¿Por qué se utiliza la marca de clase en algunas variables estadísticas?
La marca de clase es:
La marca de clase es la media teórica de los datos que hay en el intervalo.
Se utiliza por la dificultad en manejar muchos datos, todos diferentes.
En un zoológico han hecho recuento de los felinos, pero se han perdido algunosdatos. Completa la tabla de frecuencias a partir de los datos que aparecen en ella.
En una empresa han preguntado a sus empleados por el número de personas que viven en su casa, y se han reflejado algunos datos en la tabla. Completa los datos que faltan.
Completa, si es posible, la siguiente tabla de frecuencias.
Clases fi hi Porcentajes Fi
[0, 20) 31
128,33 3
[20, 40) 5 0,1389 13,89 8
[40, 60) 914
25,00 17
[60, 80) 11 0,3055 30,55 28
[80, 100) 829
22,22 36
033
Datos fi hi Porcentajes
3 3 0,075 7,5
4 9 0,225 22,5
5 12 0,3,00 30,0
6 11 0,275 27,5
7 5 0,125 12,5
Total 40 1,000 100,0
032
Datos fi hi Porcentajes
Tigre 5 0,10 10
León 8 0,16 16
Puma 9 0,18 18
Leopardo 12 0,24 24
Guepardo 16 0,32 32
Total 50 1,00 100
031
xi =+
=10 15
212 5,
030
Estadística unidimensional
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 380
381
Construye la tabla de frecuencias que da lugar al gráfico siguiente, donde se representa la variable Notas en el último examen de Matemáticasde una clase de 24 alumnos.
Un médico anotó la hora en la que recibió a cada uno de sus pacientes, y reflejó los datos en este gráfico.
Construye la tabla de frecuencias correspondiente.
Esta semana se celebró una reunión para decidir sobre la ubicación del Certamen de Física y la Feria Tecnológica. Hay ocho ciudades que son candidatas y los resultados de las votaciones son:
Construye la tabla de frecuencias para cada una de las votaciones.
Certamen de Física Feria Tecnológica
Ciudades fi hi Fi Hi
Berlín 3 0,06 3 0,06
Madrid 4 0,08 7 0,14
Moscú 9 0,19 16 0,33
Nueva York 11 0,23 27 0,56
París 8 0,17 35 0,73
Pekín 7 0,15 42 0,88
Tokio 5 0,10 47 0,98
Toronto 1 0,02 48 1,00
Ciudades fi hi Fi Hi
Berlín 8 0,170 8 0,170
Madrid 12 0,250 20 0,420
Moscú 6 0,125 26 0,545
Nueva York 0 0,000 26 0,545
París 3 0,060 29 0,605
Pekín 9 0,190 38 0,795
Tokio 6 0,125 44 0,920
Toronto 4 0,080 48 1,000
036
Hora del día fi hi Fi Hi
[9, 10) 6 0,20 6 0,20
[10, 11) 8 0,27 14 0,47
[11, 12) 9 0,30 23 0,77
[12, 13) 5 0,17 28 0,94
[13, 14) 2 0,06 30 1,00
035
Notas fi hi Fi Hi Porcentajes
Suspenso 3 0,125 3 0,125 12,5
Aprobado 9 0,375 12 0,50 50,0
Notable 6 0,250 18 0,75 25,0
Sobresaliente 6 0,250 24 1,00 25,0
034
9SOLUCIONARIO
SuspensoSobresaliente
AprobadoNotable
12,5 %
37,5 %
25 %
25 %
9
N.o
de p
acie
ntes
Hora del día10 11 12 13 14
10
8
6
4
2
Física
Tecnología
Berlí
n
Mad
ridM
oscú
Nue
va Y
ork
París
Pekí
n
Toki
oTo
ront
o
141210
8642
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 381
382
El dueño de un quiosco quiere saber la venta que tienen los periódicos News y Money.
Construye el gráfico que te parezca más adecuado para reflejar los datos de la tablaque ha realizado.
Calcula la media aritmética, la moda y la mediana en los siguientes datos.
a) 3, 5, 9, 5, 6, 6 y 8
b) 3, 5, 9, 5, 6, 2 y 12
c) 3, 5, 9, 5, 6, 6, 9 y 5
d) 3, 5, 9, 5, 6, 6, 7 y 7
e) 6, 8, 6, 8, 6, 8, 6 y 8
a) x� = 6 Mo = 5 y 6 Me = 6
b) x� = 6 Mo = 5 Me = 5
c) x� = 6 Mo = 5 Me = 5,5
d) x� = 6 Mo = 5, 6 y 7 Me = 6
e) x� = 7 Mo = 6 y 8 Me = 7
La tabla muestra la edad de los alumnos de un taller de teatro.
Halla las medidas de centralización.
x� = = 17,47 Mo = 17 Me = 17524
30
Edad 16 17 18 19 20 21
fi 4 15 7 2 1 1
039
038
037
Estadística unidimensional
News Money
Lunes 24 42
Martes 25 38
Miércoles 12 50
Jueves 36 30
Viernes 25 44
Sábado 42 58
Domingo 68 92
News
Money
100
10
50
L M X J V S D
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 382
383
La tabla refleja el número de asignaturas suspensas en un curso de 1.o Bachillerato.
Calcula.
a) La media aritmética. b) La moda. c) La mediana.
a) x� = = 0,71 b) Mo = 0 c) Me = 0,5
La tabla muestra los datos recogidos en un centro de salud sobre el peso, en kg, de un grupo de niños.
a) ¿Cuál es el peso medio?
b) Calcula la mediana.
c) Determina la moda de los datos.
a) x� = =17,95 b) Me = 19 c) Mo = 7
Las edades de los niños matriculados en un centro escolar son las que se muestranen la tabla.
Determina los percentiles 30, 40, 60, 70 y 80.
30 % de 160 = 48 → P30 = 7
40 % de 160 = 64 → P40 = 8
60 % de 160 = 96 → P60 = 8
70 % de 160 = 112 → P70 = 9
80 % de 160 = 128 → P80 = 10
Edad fi Fi
6 22 22
7 36 58
8 40 98
9 24 122
10 16 138
11 12 150
12 10 160
Edad 6 7 8 9 10 11 12
fi 22 36 40 24 16 12 10
042
2 154
120
.
Peso (kg) fi
[4, 10) 32
[10, 16) 19
[16, 22) 26
[22, 28) 24
[28, 34) 19
041
17
24
N.o de suspensos fi
0 12
1 8
2 3
3 1
040
9SOLUCIONARIO
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 383
384
El profesor de Educación Física ha anotado el peso y la altura de todos los alumnos de 1.o Bachillerato.
Para seleccionar a los alumnos con un peso y una altura más centrados, descarta los valores extremos: el 25 % inferior y el 25 % superior.
a) ¿Cuáles son los datos que se descartan?
b) ¿Qué porcentaje de alumnos tienen medidas comprendidas en esos intervalos?
c) Halla los percentiles 33 y 66 en ambas variables.
a) 25 % de 140 = 35 → Se descartan los datos del intervalo [46, 51) en la variablepeso y los datos del intervalo [152, 160) en la variable altura.
75 % de 140 = 105 → Se descartan los datos del intervalo [66, 76) en la variablepeso y los datos del intervalo [184, 200) en la variable altura.
b) En la variable peso: El 76 % de los alumnos está comprendido
en los intervalos.
En la variable altura: El 74 % de los alumnos está comprendido
en los intervalos.
c) 33 % de 140 = 46,2En la variable peso: P33 = 58,5 En la variable altura: P33 = 172
66% de 140 = 92,4En la variable peso: P66 = 63,5 En la variable altura: P66 = 180
Carmen ha anotado el número de hermanos de los compañeros de su clase.
Calcula.
a) La media aritmética.
b) La desviación media.
c) La varianza.
d) La desviación típica.
a) x� = = 1,6 c) σ2 = − 1,62 = 3,44
b) DM = = 1,31 d) σ = 3 44 1 85, ,=39 2
30
,
180
30
48
30
044
104
1400 74= , →
107
1400 76= , →
Altura (cm) fi
[152, 160) 12
[160, 168) 28
[168, 176) 30
[176, 184) 46
[184, 192) 22
[192, 200) 2
Total 140
Peso (kg) fi
[46, 51) 14
[51, 56) 26
[56, 61) 49
[61, 66) 32
[66, 71) 14
[71, 76) 5
Total 140
043
Estadística unidimensional
N.o de hermanos fi
0 10
1 6
2 8
3 4
5 1
9 1
Total 30
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 384
385
La estatura, en cm, de las jugadoras de un equipo de baloncesto es:
189 197 203 208 194 190 194 184 192 195
Determina.
a) La media aritmética.
b) La desviación media.
c) La varianza.
d) La desviación típica.
a) x� = = 194,6 c) σ2 = − 194,62 = 42,84
b) DM = = 4,92 d) σ =
Una mina de carbón extrae mineral de dos calidades diferentes. La producción diaria,en toneladas, durante los últimos días ha sido la que se muestra en la tabla.
a) Calcula la media aritmética y la desviación típica de la producción de cada tipo de carbón.
b) Determina el coeficiente de variación para decidir cuál de las dos variables es más dispersa.
a) x�A = = 10,7
σA =
x�B = = 7,4 σB =
b)
La variable carbón de calidad B es más dispersa que la variable carbón de calidad A.
CVB = =2 62
7 40 35
,
,,CVA = =
1 27
10 70 12
,
,,
616
107 4 6 84 2 622− = =, , ,
74
10
1 161
1010 7 1 61 1 272.
, , ,− = =
107
10
046
42 84 6 55, ,=49 2
10
,
379 120
10
.1 946
10
.
045
9SOLUCIONARIO
Día Calidad A Calidad B
16 12 4
17 10 6
18 9 9
19 13 3
20 12 6
23 10 7
24 11 9
25 10 10
26 9 12
27 11 8
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 385
386
Se está estudiando los años que llevan funcionando las empresas informáticas en una ciudad.
Halla cuánto tiempo, por término medio, lleva funcionando una empresa y sus medidas de dispersión.
x� = = 4,5 años
La tabla presenta las notas que hanobtenido los alumnos de un curso enInglés y Economía.
Haz una tabla de frecuencia para cadaasignatura y calcula sus medias ydesviaciones típicas. Usa el coeficientede variación para decidir cuál de las dosvariables es más dispersa.
x� = = 5,7 x� = = 6,63
La variable notas de Inglés es más dispersa que la variable notas de Economía.
María y Esther han realizado una encuesta a 40 alumnos de un instituto, elegidos al azar, que contiene tres preguntas.
• Tiempo aproximado, en minutos, que tardan en llegar al instituto, X.
• Valoración personal del funcionamiento del centro, Y. Respuestas posibles: MB (Muy bien), B (Bien), R (Regular), M (Mal) y MM (Muy mal).
• Número de cursos que llevan en el centro, Z.
049
CV = =0 97
6 630 15
,
,,CV = =
1 22
5 70 21
,
,,
σ = − = =1 347
306 63 0 94 0 972.
, , ,σ = − = =1 019
305 7 1 48 1 222.
, , ,
199
30
171
30
Economía fi
5 3
6 12
7 8
8 7
Inglés fi
4 6
5 7
6 10
7 4
8 3
048
CV = =3 35
4 50 74
,
,,
σ = − = =4 788
1524 5 11 25 3 352.
, , ,
684
152
Años [0, 3) [3, 6) [6, 9) [9, 12) [12, 15) [15, 18)
N.o de empresas 64 48 22 13 4 1
047
Estadística unidimensional
Inglés
Economía4 5 6 7 8
5 2 1 0 0 0
6 3 3 3 1 2
7 1 2 2 2 1
8 0 1 5 1 0
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:02 Página 386
387
Los resultados que han obtenido son los siguientes.
a) Toma cada una de las variables y realiza un recuento; si hay muchos datosdiferentes, agrúpalos en clases.
b) Confecciona las tablas de frecuencias.
c) Realiza el gráfico más adecuado para cada una.
d) Determina, si es posible, sus medidas de centralización.
e) Obtén los cuartiles inferior y superior.
f ) Halla, si es posible, las medidas de dispersión de cada una de las series.
g) Decide, entre X y Z, cuál es más dispersa.
a) 6 intervalos
Cursos fi
1 10
2 10
3 6
4 7
5 5
6 2
Valoración fi
MB 11
B 14
R 10
M 5
MM 0
Tiempo fi
[3, 9) 15
[9, 15) 5
[15, 21) 10
[21, 27) 4
[27, 33) 4
[33, 39) 2
37 3
405 38
−= ,40 6 32= , →
X Y Z
12 MB 1
23 B 4
2 M 5
15 R 1
30 R 1
4 B 1
20 B 2
18 R 3
6 MB 2
24 B 1
21 R 3
17 M 1
8 R 2
24 B 2
12 B 1
6 B 1
3 MB 3
8 MB 2
5 R 2
4 MB 4
X Y Z
18 M 2
3 MB 1
12 MB 4
32 B 5
20 B 6
15 R 3
12 M 5
28 R 4
37 MB 6
20 B 1
15 R 4
5 M 2
4 MB 5
3 MB 2
2 B 3
8 B 4
27 B 5
9 R 4
16 B 2
34 MB 3
9SOLUCIONARIO
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 387
2
10
3 9 15 21 27 33 39
2
10
1 2 3 4 5 6
388
b)
c)
Cursos fi hi Fi Hi
1 10 0,25 10 0,250
2 10 0,25 20 0,500
3 06 0,15 26 0,650
4 07 0,175 33 0,825
5 05 0,125 38 0,950
6 02 0,05 40 1,000
Valoración fi hi Fi Hi
MB 11 0,275 11 0,275
B 14 0,350 25 0,625
R 10 0,250 35 0,875
M 05 0,125 40 1,000
MM 00 0,000 40 1,000
Tiempo xi fi hi Fi Hi
[3, 9) 6 15 0,375 15 0,375
[9, 15) 12 5 0,125 20 0,500
[15, 21) 18 10 0,250 30 0,750
[21, 27) 24 4 0,100 34 0,850
[27, 33) 30 4 0,100 38 0,950
[33, 39) 36 2 0,050 40 1,000
Estadística unidimensional
M
R
MM
MB
B
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 388
389
d) En la variable tiempo que tardan en llegar al instituto:
x� = = 15,45 minutos Mo = 6 Me = 15
En la variable valoración personal del funcionamiento del centro: Mo = B
En la variable número de cursos que llevan los alumnos en el centro:
x� = = 2,825 cursos Mo = 1 y Mo = 2 Me = 2,5
e) En la variable del tiempo que tardan los alumnos en llegar al instituto:
Q1 = 6 y Q3 = 21
En la variable del número de cursos que llevan los alumnos en el centro:
Q1 = 1,5 y Q3 = 4
f ) En la variable del tiempo que tardan los alumnos en llegar al instituto:
En la variable del número de cursos que llevan los alumnos en el centro:
g)
La variable X es más dispersa que la variable Z.
Calcula la media, la desviación típica y el coeficiente de variación de la serie.
12 24 16 18 14 10 15 20
a) Añade datos para que la variable tenga como media 16 y un coeficiente de variación menor que el anterior.
b) A partir de la primera, escribe los datos de otra variable con media 50 y con menor coeficiente de variación.
x� = = 16,125
a) x� =
b) 50 − 16,125 = 33,875
Añadiendo este valor a los datos, la nueva serie es:
45,875 57,875 49,875 51,875 47,875 43,875 48,875 53,875
σ = − = = <2 446
916 15 78 3 97 4 22.
, , ,
16129
916 15→ →+
= =a
a
CV = =4 2
16 1250 26
,
,,
σ = − = =2 221
816 125 17 61 4 22.
, , ,
129
8
050
CV = =1 53
2 8250 54
,
,,CV = =
9 28
15 450 6
,
,,
σ = =2 34 1 53, ,σ2 2413
402 825 2 34= − =, ,
σ = =86 19 9 28, ,σ2 212 996
4015 45 86 19= − =
., ,
113
40
618
40
9SOLUCIONARIO
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 389
390
Hemos representado cuatro variables estadísticas de las que conocemos su media ysu desviación típica.
Serie A: x� = 2,5 σ= 0,76
Serie B: x� = 2,5 σ= 1,12
Serie C: x� = 3 σ= 1
Serie D: x� = 2,5 σ= 1,38
Asocia, sin hacer los cálculos, los parámetros con los siguientes gráficos.
Serie A: Serie I Serie B: Serie II Serie C: Serie IV Serie D: Serie III
En la tabla se muestra el númeromensual de faltas de asistencia escolar de un grupo de 40 alumnos.
Se han perdido dos datos, aunqueconocemos que la media aritmética es 2,2. Con esta información, ¿puedes completar la tabla?
x� =
Con estos datos no se puede completar la tabla.
En la siguiente tabla se muestra el número de hijos de los 20 trabajadores de una empresa.
La media aritmética es 1,3 y la desviación típica es 1,1. ¿Podrías completar la tabla con estos datos?
053
2 24 3 12 2 7
402 2 4 38, ,→ →
a ba b
+ ⋅ + ⋅ += + =
052
051
Estadística unidimensional
1 2
Serie I
Serie II
Serie III
3 4
6
54
321
1 2 3 4
4
3
2
1
1 2 3 4
654321
Serie IV
1 2 3 4
8
6
4
2
Faltas de asistencia Frecuencias absolutas
4
3 12
2 7
1
0 4
N.o de hijos Frecuencias absolutas
0
1 8
2
3 2
4
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 390
391
x� =
La tabla completa es:
El seleccionador de baloncesto está eligiendo a los jugadores que van a participar en el próximo partido, pero hay dos puestos que aún tiene sin cubrir. Necesita un jugador que sea buen anotador, pero que no tenga grandes variaciones en sus resultados. Ha preseleccionado a dos candidatos cuyas anotaciones en los últimos 12 partidoshan sido:
Jugador 1:
18 24 26 22 20 21 23 20 26 18 22 24
Jugador 2:
22 21 18 15 28 16 22 29 23 26 25 19
¿Qué jugador elegirías tú?
Justifica tu respuesta con datos objetivos.
También debe seleccionar un base que sea un buen lanzador de tiros triples,y cuenta con dos candidatos. Estos datos muestran el número de triples anotadosen los últimos 10 partidos:
Jugador 3:
6 3 2 4 3 3 4 6 5 4
Jugador 4:
1 7 2 3 8 2 6 10 1 0
¿Qué jugador escogerías ahora? Justifica tu elección.
Jugador 1: x� =
CV = =2 61
220 12
,,σ = − = =
5 890
1222 6 83 2 612.
, ,
264
1222=
054
N.º de hijos Frecuencias absolutas
0 5
1 8
2 4
3 2
4 1
Total 20
b c
b c
b
c
+ =+ =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 6
4 8
4
1→
→ →2 8 13
101 69 1 21 2 8 16
b cb c
+ +− = + =, ,
σ =+ + +
− =1 18 4 18 16
201 3 1 12, , ,→ b c
1 38 2 3 2 4
201 3 2 4 12, ,→ →
+ + ⋅ += + =
b cb c
9SOLUCIONARIO
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 391
392
Jugador 2: x� =
Elegiría al jugador 1, porque aunque ambos tienen la misma media de resultados,el primero tiene un coeficiente de variación menor.
Jugador 3: x� =
Jugador 4: x� =
En este caso, elegiría al jugador 3, que tiene la misma media que el jugador 4, pero es más regular.
Un corredor entrena, de lunes a viernes, recorriendo las siguientes distancias: 2, 5, 5, 7 y 3 km, respectivamente.
Si el sábado también entrena:
a) ¿Cuántos kilómetros debe recorrer para que la media sea la misma?
b) ¿Y para que la mediana no varíe?
c) ¿Y para que la moda permanezca constante?
a) x� =
b) Cualquier recorrido de 5 o más kilómetros hace que la mediana no varíe.
c) Si recorre 5 km, o cualquier distancia que no sea 2, 3 o 7 km, se mantiene la moda constante.
Calcula la media aritmética y la desviación típica de los siguientes datos.
3 8 9 12 11
a) Añade dos datos a la serie inicial, de modo que se mantenga la media aritméticay la desviación típica aumente.
b) Escoge otros dos datos para añadir a los cinco primeros datos, y que resulte una serie con la misma media aritmética y menor desviación típica.
c) Añade dos datos a los cinco datos iniciales, y consigue que aumente la mediaaritmética, pero que no se incremente la desviación típica.
d) Haz lo mismo sin que aumente la desviación típica y la media disminuya.
056
22
54 4
22
64 4 4 4=
+= =, , ,→ →a
a
055
CV = =3 29
40 82
,,σ = − = =
268
104 10 8 3 292 , ,
40
104=
CV = =1 26
40 32
,,σ = − = =
176
104 1 6 1 262 , ,
40
104=
CV = =4 3
220 19
,,σ = − = =
6 030
1222 18 5 4 32.
, ,
264
1222=
Estadística unidimensional
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 392
393
x� =
a) x� =
Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden 5,2 y 12 a la serie, la media se mantiene y la desviación típica es:
b) Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden 7,2 y 10 a la serie, la media se mantiene y la desviación típica es:
c) Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden los valores 12,3 y 12,4 a la serie, los parámetros son: x� = 9,67 σ = 3,14
d) Respuesta abierta. Por ejemplo: si se añaden los valores 4,8 y 4,9 a la serie,los parámetros son: x� = 7,53 σ = 3,14
Tenemos una variable estadística cuya media aritmética es m y su desviación típica es d. Investiga qué sucede con ambos parámetros si:
a) Sumamos 4 a todos los números.
b) Restamos 4 a todos los números.
c) Multiplicamos por 4 todos los números.
d) Dividimos entre 4 todos los números.
(Pon una serie de ejemplo y realiza los cálculos. Haz una hipótesis general y trata de encontrar la demostración a tu hipótesis.)
a) Si sumamos 4 a todos los valores, la media es m + 4 y la desviación típica es d.
Por ejemplo, se considera la serie: 5 6 8 9
x� =
Al sumar 4 a todos los números: 9 10 12 13
x� =
b) Si restamos 4 a todos los números, la media es m − 4 y la desviación típica es d.
Teniendo en cuenta la serie anterior, al restar 4 a todos los valores: 1 2 4 5
x� =
c) Si multiplicamos por 4 todos los valores, la media es 4m y la desviación típica es 4d.
La nueva serie es: 20 24 32 36
x� = σ = − = =3 296
428 40 6 322.
,112
428=
σ = − = =46
43 2 5 1 582 , ,
12
43=
σ = − = =494
411 2 5 1 582 , ,
44
411=
σ = − = =206
47 2 5 1 582 , ,
28
47=
057
σ = − = = <570 84
78 6 7 59 2 75 3 142,
, , , ,
σ = − = = >590 04
78 6 10 33 3 21 3 142,
, , , ,
8 643
78 6 17 2, , ,→ →+ +
= + =a b
a b
σ = − = =419
58 6 9 84 3 142, , ,
43
58 6= ,
9SOLUCIONARIO
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 393
394
d) Si dividimos entre 4 todos los números, la media es m y la desviación típica es d.
La nueva serie es: 1,25 1,5 2 2,25
x� =
Los diplomados en Informática de gestión tienen un salario medio, en su primerempleo, de 1.080 €, con una desviación típica de 180 €, y los diplomados en Informática de sistemas, un salario medio de 960 €, con una desviación típica de 150 €.
Si a un diplomado en Informática de gestión le ofrecen un sueldo de 1.200 €, y a un diplomado en Informática de sistemas, un sueldo de 1.140 €, ¿cuál de los dos recibe mejor oferta? ¿Por qué?
Si comparamos la oferta del diplomado en Informática de gestión:
Para el diplomado en Informática de sistemas, la comparación es:
Así, el diplomado en Informática de sistemas recibe una oferta mejor, porque su valoración respecto a su grupo es más alta.
Para un experimento sobre diabetes se seleccionan 120 personas cuyos niveles de glucosa en sangre son:
a) Calcula la media y la desviación típica correspondiente a estos datos.
b) El equipo médico desea seleccionar un intervalo de niveles de glucosa centrado en la media, es decir, del tipo ( x� − a, x� + a) y que contenga al 50 % de las personas.
c) ¿Cuáles serán los extremos del intervalo?
a) x� =
b)
→ El 50% de los datos se encuentra en el intervalo (104, 120).
c) Entonces el intervalo (110,67 − 9,33; 110,67 + 9,33) = (101,34; 120) contiene al 50 % de las personas.
1204
30 104
3 1204
90 120
1
3
= =
⋅= =
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
→
→
Q
Q
σ = − = =1 507 840
120110 67 317 48 17 822. .
, , ,13 280
120110 67
.,=
Nivel de glucosa Frecuencia absoluta
[80, 96) 28
[96, 112) 40
[112, 128) 32
[128, 144) 14
[144, 160) 6
059
1 140 960
1501 2
.,
−=
1 200 1 080
1800 67
. .,
−=
058
σ = − = =12 875
41 75 0 16 0 392,, , ,
7
41 75= ,
1
4
1
4
Estadística unidimensional
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 394
395
En un concurso de televisión se forma a las aspirantes para ser modelos. Al concursose han presentado 2.400 candidatas, y para seleccionar a las 12 participantesdeberán pasar por diferentes eliminatorias. La primera se hará midiendo su altura, y se exige que midan entre 173 y 191 cm, ambas medidas incluidas.
Las alturas de las aspirantes se muestran en la tabla.
a) ¿Cuántas aspirantes quedarán eliminadaspor la altura?
(Por ejemplo, del intervalo [170, 180) deberáseliminar el intervalo [170, 173). Halla qué porcentaje de la amplitud de clase es este intervalo y elimina el mismo porcentaje de chicas.)
b) Si consideramos las aspirantes que superan la prueba de la altura, calcula lasmedidas de centralización y de dispersión correspondientes.
a) Por la altura deben ser eliminadas: chicas
b) La nueva tabla es:
x� = Mo = 185 Me = 176,5
Una asociación de consumidores ha realizado una prueba sobre la duración, en días,de unas bombillas. Ha mantenido encendidas 100 bombillas hasta que se han fundido.
El resumen de los resultados obtenidos se muestra en la siguiente tabla.
a) Completa la tabla de frecuencias.
b) Representa los datos mediante el gráfico estadístico que consideres másadecuado.
c) Calcula las medidas de centralización.
d) Halla las medidas de dispersión.
e) Interpreta las medidas estadísticas calculadas.
f ) El fabricante asegura en su publicidad que sus bombillas duran más de 1.000 horas. ¿Qué porcentaje de las bombillas no cumple lo anunciado?
g) En las especificaciones técnicas, el fabricante asegura que un 10 % de susbombillas supera las 1.350 horas de iluminación ininterrumpida. ¿Es esto cierto?
061
CV = =4 43
180 80 02
,
,,σ = − = =
46 511 181
1 422180 8 19 64 4 432. .
., , ,
257 100
1 422180 8
.
.,=
Altura Frecuencias absolutas
[173, 180) 714
[180, 190) 690
[190, 191) 18
80 430+ + ⋅ + ⋅ =3
101 020
9
10180 978.
060
9SOLUCIONARIO
Altura Frecuencias absolutas
[150, 160) 80
[160, 170) 430
[170, 180) 1.020
[180, 190) 690
[190, 200) 180
Días Frecuencias absolutas
[36, 42) 12
[42, 48) 28
[48, 54) 44
[54, 60) 11
[60, 66) 5
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 395
5
25
50
36 42 48 54 60 66
396
a)
b)
c) x� = Mo = 51 Me = 51
d)
e) La duración media de las bombillas es de unos 49 días con una desviación de 5,92.
f ) 1.000 : 24 = 41,67 → El 12 % de las bombillas no cumple lo anunciado.
g) 1.350 : 24 = 56,25 → Sí es cierto.
Se va a valorar la eficiencia de dos baterías para cámaras fotográficas.
Se repite el siguiente proceso 50 veces:• Se recarga totalmente la batería.• Se coloca en la cámara y se hace una fotografía
cada tres segundos.• Se cuenta el número de fotografías que ha sido
posible hacer.
Los resultados han sido:
a) Valora cuál es la media aritmética de fotografías que se puede hacer con una recarga de cada tipo de batería y su desviación típica.
b) ¿En cuál de los dos casos hay menor dispersión?c) ¿Qué batería recomendarías comprar, sin considerar el precio? ¿Por qué?
BATERÍA B
N.o de fotos fi
[320, 360) 5
[360, 400) 9
[400, 440) 19
[440, 480) 15
[480, 520) 2
BATERÍA A
N.o de fotos fi
[300, 350) 3
[350, 400) 12
[400, 450) 20
[450, 500) 13
[500, 550) 1
[550, 600) 1
062
CV = =5 92
49 140 12
,
,,σ = − = =
244 980
10049 14 35 06 5 922.
, , ,
4 914
10049 14
.,=
Duración en días fi hi Fi Hi
[36, 42) 12 0,12 12 0,12
[42, 48) 28 0,28 40 0,40
[48, 54) 44 0,44 84 0,84
[54, 60) 11 0,11 95 0,95
[60, 66) 5 0,05 100 1,00
Estadística unidimensional
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 396
397
a) x� =
x� =
b) La dispersión es menor en el caso de la batería B.
c) Sería más conveniente comprar la batería B, porque sus resultados están máscentrados respecto de la media.
A un laboratorio han llegado 24 botellas de agua, 12 botellas de 1 litro y 12 botellas de medio litro, para analizar su contenido en sales.
Se han obtenido los siguientes datos, expresados en mg.
Botellas de 1 litro:
46 25 27 30 48 4027 44 37 62 56 29
Botellas de medio litro:
76 75 49 59 33 5254 45 66 69 34 53
a) Clasifica la variable estadística de concentración de sales.
b) Justifica si es conveniente tomar o no intervalos al realizar una tabla.
a) La variable es cuantitativa continua.
b) Se pueden agrupar los datos en intervalos para realizar la tabla y facilitar su estudio.
5 intervalos
Contenido (mg) fi
[25, 36) 7
[36, 47) 5
[47, 58) 6
[58, 69) 3
[69, 80) 3
76 25
2410 41
−= ,24 4 9= , →
063
CV = =40 79
4200 09
,,σ = − = =
8 903 200
50420 1 664 40 792. .
. ,
21 000
50420
.=
CV = =50
4250 12,σ = − = =
9 156 250
50425 2 500 502. .
.
21 250
50425
.=
9SOLUCIONARIO
1
5
25 36 47 58 69 80
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 397
398
PARA FINALIZAR...
Tenemos 120 datos que hemos clasificado en tres gruposy queremos representarlos mediante un diagrama de sectores. Analizando los distintos grupos hemosllegado a estas conclusiones.
• Sector 1: representa el primer conjunto de datos,y comprende el 60 % del diagrama.
• Sector 2: compuesto por el segundo grupo de datos,está representado por un ángulo de 90°.
• Sector 3: representa el tercer grupo de datos.
Construye el diagrama y calcula el número de datos que contiene cada sector.
Si el 60 % corresponde al primer conjunto de datos, como en total son 120 datos, en este grupo se encuentran: 0,6 ⋅ 120 = 72 datos.
Como el segundo sector es de 90° corresponde a una frecuencia relativa de 0,25; por tanto, en el segundo grupo hay: 0,25 ⋅ 120 = 30 datos.
Así, el tercer conjunto de datos está formado por: 120 − 72 − 30 = 18 datos.
En un examen, en el que la puntuación varía entre 0 y 10, la media aritmética de los 12 primeros datos de la lista, en un grupo de 20 alumnos, fue 6,5.
¿Cuáles son los valores mínimo y máximo que puede tomar la media del grupo?
x� =
El valor mínimo de la media se alcanza si los 8 últimos alumnos del grupo obtienen 0 como calificación, y entonces:
x� =
El valor máximo se obtiene si los 8 últimos alumnos consiguen 10 comocalificación, en este caso:
x� =
La media de un conjunto de 12 datos es 6, y la media de otro conjunto con 13 datos es 5,5. ¿Cuál sería la media si uniéramos todos los datos en un únicoconjunto de 25 datos?
x� =
Se ha hecho un estudio del profesorado de Bachillerato a nivel nacional. Este estudioindica que entre los docentes menores de 40 años hay más mujeres que hombres: en concreto, están en la relación 11 a 10. Es decir, por cada 11 mujeres que ejercen la docencia en esta etapa educativa, hay 10 hombres que tambiéndesarrollan su función educadora en estos niveles.
067
6 12 5,5 13
25
⋅ + ⋅= 5 74,
066
78
20
+=
807 9,
78
20= 3 9,
78 Suma de últimos
20
+ 8
Suma de primeros
12Suma de primeros
126 5 12 78= =, →
065
064
Estadística unidimensional
90° 60 %
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 398
399
Si la edad media de las profesoras es de 34 años y la de los profesores es de 32 años,¿cuál es la media de edad de los docentes menores de 40 años en Bachillerato?
x� =
Las puntuaciones medias en un concurso de los chicos, las chicas, y los chicos y chicas conjuntamente, de dos centros A y B, sobre una puntuación máximade 150 puntos, son las que se indican en la tabla.
¿Cuál fue la media de las chicas de los dos centros a la vez?
Si x es el número de chicos del centro A e y es el número de chicas:
Análogamente, si m es el número de chicos del centro B y n el de chicas:
Y como x es el número de chicos del centro A y m es el número de chicos del centro B:
Así, la media de las chicas de los dos centros es:
76 90 43
4
3
228 360
3 4
588
784
y y
y y
y y
y y
y
y
+ ⋅
+=
+
+= =
3 2 02 0
4 0
2
3
8
3
x ym n
x mx y m y n
− =− =− =
⎫
⎬⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
= = =→ → → 44
3y
71 8179 8 2 0
x m
x mx m
++
= − =→
81 9084 3 6 0
m n
m nm n
++
= − =→
71 7674 3 2 0
x y
x yx y
+
+= − =→
068
34 11 32 10
11 10
⋅ + ⋅
+= =
n n
n n
n
n
694
2133 05, años
9SOLUCIONARIO
A B A y B
Chicos 71 81 79
Chicas 76 90
Chicos y chicas 74 84
833243Unidad09.qxd 13/10/08 09:03 Página 399
400
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
Resume los datos en una tabla de frecuencias y represéntalos en un gráfico estadístico.¿Puedes calcular alguna medida de centralización?
Se ha elegido una muestra de 50 personas con características personales y profesionalessimilares.
No es posible calcular ninguna medida de centralización porque la variable no es cuantitativa.
5
Respuestas
Frec
uenc
ias 25
(5)(1) (2) (3) (4) (6) (7) (8)
Y
X
Respuestas fi
No les gustan los muñecos (1) 30
Los comprarían si fueran más grandes (2) 4
Los comprarían si fueran más pequeños (3) 3
No están en edad de jugar (4) 4
Protestan por figurillas de extranjeros (5) 1
Alérgicas al barro (6) 2
Malos recuerdos (7) 4
Agradecidas por ser gratuitas (8) 2
Estadística bidimensional10La cavernaBuenas tardes, señor Algor, Buenas tardes, señor, Supongo que imagina por qué motivo le estoy te-lefoneando hoy, Supone bien, señor, dígame, Tengo ante mí los resultados y las conclusiones delsondeo acerca de sus artículos, [...] Y esos resultados cuáles son, señor, preguntó Cipriano Algor,Lamento informarle de que no fueron tan buenos cuanto desearíamos, Si es así nadie lo lamentarámás que yo, Temo que su participación en la vida de nuestro Centro ha llegado al final, [...] Vaya to-mando nota de los resultados, Dígamelos, El universo de los clientes sobre el que incidiría el son-deo quedó definido desde el principio por la exclusión de las personas que por edad, posición so-cial, educación y cultura, y también por sus hábitos conocidos de consumo, fuesen previsible yradicalmente contrarias a la adquisición de artículos de este tipo, es bueno que sepa que si toma-mos esta decisión, señor Algor, fue para no perjudicarlo de entrada, Muchas gracias, señor, Le doyun ejemplo, si hubiéramos seleccionado cincuenta jóvenes modernos, cincuenta chicos y chicas denuestro tiempo, puede tener la certeza, señor Algor, de que ninguno querría llevarse a casa uno desus muñecos, o si se lo llevase sería para usado en algo así como tiro al blanco, Comprendo, Escogi-mos veinticinco personas de cada sexo, de profesiones e ingresos medios, personas con anteceden-tes familiares modestos, todavía apegadas a gustos tradicionales, y en cuyas casas la rusticidad delproducto no desentonaría demasiado, E incluso así, Es verdad, señor Algor, incluso así los resulta-dos fueron malos, Qué le vamos a hacer, señor, Veinte hombres y diez mujeres respondieron que noles gustaban los muñecos de barro, cuatro mujeres dijeron que quizá los compraran si fueran másgrandes, tres podrían comprarlos si fuesen más pequeños, de los cinco hombres que quedaban,cuatro dijeron que ya no estaban en edad de jugar y otro protestó por el hecho de que tres de las fi-gurillas representasen extranjeros, para colmo exóticos, y en cuanto a las ocho mujeres que todavíafaltan por mencionar, dos se declararon alérgicas al barro, cuatro tenían malos recuerdos de estaclase de objetos, y sólo las dos últimas respondieron agradeciendo mucho la posibilidad que les ha-bía sido proporcionada de decorar gratuitamente su casa con unos muñequitos tan simpáticos, hayque añadir que se trata de personas de edad que viven solas, Me gustaría conocer los nombres y lasdirecciones de esas señoras para darles las gracias, dijo Cipriano Algor, Lo lamento, pero no estoyautorizado a revelar datos personales de los encuestados, es una condición estricta de cualquiersondeo de este tipo, respetar el anonimato de las respuestas. [...] Buenas tardes, Buenas tardes.
JOSÉ SARAMAGO
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ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
En una revista leemos que el pastor alemán tiene una alzada media de 55 cm. ¿Crees que han medido a todos los pastores alemanes del planeta? Explica cómo crees que han llegado a esta conclusión.
No los han medido. Se elige una muestra representativa de la población de pastores alemanes y se estudia el valor de la media en dicha muestra.
Indica el tipo de variable estadística que estamos estudiando.
a) El programa favorito de los miembros de tu familia.
b) El número de calzado de los alumnos de un IES.
c) La temperatura media diaria de tu provincia.
d) La edad de los habitantes de un país.
e) El sexo de los habitantes de un pueblo.
f ) El dinero gastado a la semana por tus amigos.
g) Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.
h) El color del pelo de tus compañeros de clase.
a) Cualitativa
b) Cuantitativa discreta
c) Cuantitativa continua
d) Cuantitativa discreta
e) Cualitativa
f ) Cuantitativa discreta
g) Cualitativa
h) Cualitativa
El número de horas diarias de estudio de 30 alumnos es:
3 4 3 5 5 1 1 1 1 2 3 4 5 0 2 0 3 2 2 1 2 1 3 2 0 1 2 1 4 3
a) Organiza los resultados en una tabla de frecuencias.
b) ¿Qué significan las frecuencias acumuladas?
b) Las frecuencias acumuladas indican el número de alumnos que estudian como máximo el número de horas correspondiente. Por ejemplo, la frecuencia acumulada para el valor 2 es 18, es decir, hay 18 alumnos que estudian 0, 1 o 2 horas.
Fi Hi
3 0,1
11 0,37
18 0,6
24 0,8
27 0,9
30 1
fi hi
3 0,1
8 0,27
7 0,23
6 0,2
3 0,1
3 0,1
N = 30 hi∑ = 1
Horas
0
1
2
3
4
5
a)
003
002
001
10SOLUCIONARIO
401
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 401
402
Estadística bidimensional
DatosFrecuencias
absolutas conjuntas
(1, 4) 1
(1, 6) 1
(1, 8) 2
(2, 4) 1
(2, 6) 1
(2, 8) 2
(3, 6) 2
yi fi
4 2
6 4
8 4
De los 30 asistentes a una cena, el 20 % comió ternera, el 40 % cordero y el restotomó pescado. Indica la variable estadística y organiza los resultados en una tabla de frecuencias; después, representa los datos en un diagrama de sectores.
La variable estadística es el plato elegido en la cena.
ACTIVIDADES
Considera estas variables bidimensionales, y escribe las variables unidimensionalescorrespondientes y tres pares de valores que las determinan.
a) Edad y sexo de los asistentes a un concierto.
b) Tamaño de un archivo informático y tiempo que se tarda en copiarlo.
a) X → Edad, en años, de los asistentes al concierto
Y → Sexo de los asistentes
(20, mujer) (25, hombre) (28, mujer)
b) X → Tamaño, en kb, del archivo informático
Y → Tiempo, en s, que se tarda en copiarlo
(220, 35) (158, 24) (285, 42)
En un estudio estadístico se han obtenido estos datos.
(1, 4) (1, 8) (2, 8) (3, 6) (3, 6)(2, 6) (2, 4) (1, 8) (1, 6) (2, 8)
a) ¿Cuáles son las frecuencias absolutas conjuntas? ¿Y las marginales?
b) Determina las frecuencias relativas.
a)
002
001
PescadoTernera
Cordero
Fi Hi
6 0,2
18 0,6
30 1
fi hi
6 0,2
12 0,4
12 0,4
N = 30 hi∑ = 1
Plato
Ternera
Cordero
Pescado
004
xi fi
1 4
2 4
3 2
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 402
403
10SOLUCIONARIO
DatosFrecuencias
relativas conjuntas
(1, 4) 0,1
(1, 6) 0,1
(1, 8) 0,2
(2, 4) 0,1
(2, 6) 0,1
(2, 8) 0,2
(3, 6) 0,2
xi fi
1 0,4
2 0,4
3 0,2
yi fi
4 0,2
6 0,4
8 0,4
b)
Observa esta tabla de doble entrada.
a) ¿Cuál es la frecuencia absoluta conjunta del par (10, 200)? ¿Y la relativa conjunta de este par?
b) Indica las frecuencias marginales de 5 y 300.
a) La frecuencia absoluta conjunta es 8 y la relativa es .
b) La frecuencia absoluta marginal de 5 es 6 y la relativa es .
La frecuencia absoluta marginal de 300 es 5 y la relativa es .
Ordena estos datos en una tabla de doble entrada.
a) ¿Hay pares de datos que tengan la misma frecuencia absoluta conjunta?
b) Indica las frecuencias marginales de la variable X.
X Y
1 14
2 23
1 17
2 8
X Y
0 18
0 12
1 7
2 8
004
5
300 17= ,
6
300 2= ,
8
300 27= ,
003 XY 5 10 15 Total
100 3 2 5 10
200 1 8 6 15
300 2 1 2 5
Total 6 11 13 30
XY 0 1 2 Total
7 0 1 0 1
8 0 0 2 2
12 1 0 0 1
14 0 1 0 1
17 0 1 0 1
18 1 0 0 1
23 0 0 1 1
Total 2 3 3 8
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 403
404
a) Todos los pares tienen b)la misma frecuencia absoluta conjunta salvo el (2, 8).
Construye la tabla de doble entrada y las tablas marginales correspondientes.
Tabla de frecuencias Tabla de frecuencias marginales de X marginales de Y
Determina la covarianza para los datos que aparecen en la siguiente tabla.
x� = = 10,75 y� = = 15,75
σXY = − 10,75 ⋅ 15,75 = −9,44
Representa la nube de puntos correspondiente a la siguiente variable estadísticabidimensional.
X 1 1 3 5 2 4 5 2 5 2 4 3 2 1 1
Y 4 5 2 5 5 4 5 3 6 5 1 2 8 6 3
007
1 279
8
.
126
8
86
8
X 8 10 11 9 13 12 9 14
Y 20 18 16 22 10 10 21 9
006
yi fi
3 1
4 2
5 2
6 2
8 3
Total 10
xi fi
13 1
14 3
15 1
16 2
17 2
18 1
Total 10
XY
13 14 15 16 17 18 Total
3 0 0 0 0 1 0 1
4 1 0 0 0 1 0 2
5 0 1 0 1 0 0 2
6 0 0 0 1 0 1 2
8 0 2 1 0 0 0 3
Total 1 3 1 2 2 1 10
X 16 17 18 16 14 17 14 13 14 15
Y 5 4 6 6 8 3 5 4 8 8
005
xi fi
0 2
1 3
2 3
Estadística bidimensional
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 404
405
Indica la dependencia entre estas variables.
Dependencia lineal débil y positiva.
Describe el grado de correlaciónentre las dos variablesrepresentadas.
La correlación lineal es débil y negativa.
Si el signo de la covarianza entre dos variables es negativa, ¿qué podemos decir del signo del coeficiente de correlación?
¿Y si la covarianza es positiva?
Si la covarianza es negativa, el coeficiente de correlación es negativo. Y si la covarianza es positiva, el coeficiente de correlación es también positivo.
Representa el diagrama de dispersión y halla el coeficiente de correlación de esta variable.
¿Qué relación puedes describir entre ellos?
x� = = 40,8 y� = = 176,2
σX = = 1,83 σY = = 9,05
σXY = − 40,8 ⋅ 176,25 = 13,6 rXY = = 0,8213 6
1 83 9 05
,
, · ,
72 046
10
.
81 96,3 36,
1 762
10
.408
10
X 39 43 40 40 42 41 42 38 39 44
Y 167 184 177 168 185 173 180 164 170 194
38 40 42 44 46 48
165
175
185
195
Y
X
011
010
Y
X
009
X
Y
008
1
1
Y
X
10SOLUCIONARIO
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 405
406
Razona qué valor tomará el coeficiente de correlación.
a) El coeficiente de correlación tomará un valor relativamente cercano a −1,porque la nube de puntos se aproxima bastante a una recta con pendientenegativa y la correlación es fuerte.
b) El coeficiente de correlación es 1, ya que la nube de puntos coincide con una recta de pendiente positiva.
Halla la recta de regresión de Y sobre X.
x� = = 6 y� = = 16
σX2 = = 6 σXY = − 6 ⋅ 16 = 18
Recta de regresión de Y sobre X: y − 16 = (x − 6) → y = 3x − 2
Determina la recta de regresión correspondiente.
x� = = 40,7 y� = = 174,5
σX2 = − 40,72 = 3,41 σXY = − 40,7 ⋅ 174,5 = 12,35
Recta de regresión de Y sobre X: y − 174,5 = (x − 40,7) → y = 3,62x + 27,17
Determina las dos rectas de regresión, e indica la relación que hay entre las variables.
a)
b) X 8 10 11 12 16 13 12 17 13 13
Y 15 10 15 10 20 15 10 25 10 15
X 10 10 13 15 12
Y 6 5 2 3 5
015
12 35
3 41
,
,
71 145
10
.16 599
10
.
1 745
10
.407
10
X 39 40 40 42 43 38 39 44 42 40
Y 167 168 180 164 177 154 185 195 183 172
014
18
6
570
5
30
5
80
5
30
5
X 2 5 6 8 9
Y 4 13 16 22 25
013
X
Y
X
Ya) b)
012
Estadística bidimensional
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 406
407
a) x� = = 12 y� = = 4,2
σX2 = − 122 = 3,6 σXY = − 12 ⋅ 4,2 = −2,2
Recta de regresión de Y sobre X: y − 4,2 = − (x − 12) → y = −0,61x + 11,52
σX2 = − 4,22 = 2,16
Recta de regresión de X sobre Y: x − 12 = − (y − 4,2) → x = −1,02y + 16,28
σX = = 1,89 σY = = 1,47
rXY = − = −0,79 → La dependencia es débil y negativa.
b) x� = = 12,5 y� = = 14,5
σX2 = − 12,52 = 6,25 σXY = − 12,5 ⋅ 14,5 = 7,75
Recta de regresión de Y sobre X: y − 14,5 = (x − 12,5) → y = 1,24x − 1
σX2 = − 14,52 = 22,25
Recta de regresión de X sobre Y: x − 12,5 = (y − 14,5) → x = 0,35y + 7,43
σX = = 2,5 σY = = 4,72
rXY = = 0,66 → La dependencia es débil y positiva.
Razona cuál es el grado de dependencia entre las variables en cada caso.
a) La dependencia es fuerte y negativa.
b) La dependencia es débil y negativa.
Y
X
Y
X
a) b)
016
7 75
2 5 4 72
,
, · ,
22 25,6 25,
7 75
22 25
,
,
2 325
10
.
7 75
6 25
,
,
1 890
10
.1 625
10
.
145
10
125
10
2 2
1 89 1 47
,
, · ,
2 16,3 6,
2 2
2 16
,
,
99
5
2 2
3 6
,
,
241
5
738
5
21
5
60
5
10SOLUCIONARIO
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 407
408
En un estudio sobre los ingresos mensuales, X, y la superficie de las viviendas, Y,resulta: y = 0,02x + 47,96.
a) Halla la estimación de la superficie de la vivienda de una familia cuyos ingresosmensuales son de 3.200 €.
b) Si una familia vive en una casa de 90 m2, ¿cuáles serán sus ingresos mensuales?
a) y = 0,02 ⋅ 3.200 + 47,96 = 111,96 m2
b) 0,02x + 47,96 = 90 → x = 2.102 €
En un estudio estadístico, el coeficiente de correlación entre dos variables X e Yes −0,8. Se sabe que x� = 20; σX = 4; y� = 8 y σY = 1.
a) Determina las dos rectas de regresión, represéntalas y analiza la correlación que existe entre las variables.
b) Si x = 30, ¿cuál es la estimación de y?
a) −0,8 = → σXY = −3,2
Recta de regresión de Y sobre X: y − 8 = − (x − 20) → y = −0,2x + 12
Recta de regresión de X sobre Y: x − 20 = − (y − 8) → x = −3,2y + 45,6
La dependencia es fuerte y negativa.
b) y = −0,2 ⋅ 30 + 12 = 6
Utiliza la calculadora para determinar todas las medidas estadísticas.
a)
b)
a) x� = 2,93 y� = 6,73
σX2 = 1,82 σY
2 = 1,97
σX = 1,35 σY = 1,4
σXY = 0,35
rXY = 0,19
b) x� = 24,6 y� = 2,6
σX2 = 4,44 σY
2 = 1,64
σX = 2,11 σY = 1,28
σXY = 0,44
rXY = 0,16
X 24 27 22 23 24 26 27 28 22 23
Y 2 1 2 4 5 2 3 4 1 2
X 2 4 2 3 5 1 4 5 1 3 4 2 1 3 4
Y 5 8 8 7 6 5 9 6 7 7 8 9 5 6 5
019
3 2
1
,
3 2
16
,
σXY
4 1⋅
018
017
Estadística bidimensional
2
2
Y
X
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 408
409
Estudia la correlación entre estas variables, utilizando la calculadora para realizar las operaciones.
Determina la recta de regresión y razona si tiene sentido estimar el valor de Ysi la variable X toma el valor 18.
x� = 14,4 y� = 33,9
σX2 = 2,24 σY
2 = 4,49
σX = 2,11 σY = 2,12
σXY = 0,14
rXY = 0,03
Recta de regresión de Y sobre X: y − 33,9 = (x − 14,4) → y = 0,06x + 33
Como la correlación es casi nula, no tiene sentido estimar el valor de y para x = 18.
Representa la nube de puntos asociada a las siguientes distribuciones bidimensiones.
a) (2, 2) (3, 6) (5, 10) (6, 14) (8, 19) (9, 23) (10, 25)
b) (5, 2) (6, 0) (8, −2) (10, −7) (11, −9) (13, −13) (15, −17)
c) (120, 60) (122, 75) (126, 60) (128, 90) (130, 50) (132, 100) (136, 70)
d) (7, 3) (8, 9) (9, 2) (10, 8) (11, 5) (12, 1) (13, 7)
Decide si existe dependencia entre las variables y de qué tipo es.
d)
2
2
Y
X
b)
c)
1
20
10
4
Y
X
a)
021
0 14
2 24
,
,
X 14 16 17 14 15 12 13 13 14 16
Y 32 34 36 34 32 34 31 36 38 32
020
10SOLUCIONARIO
6
1
Y
X
120
20
130 160
100
Y
X
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410
Representa la nube de puntos asociada a estas variables bidimensionales, y decide si hay dependencia entre las variables que las forman.
En caso afirmativo, califícala.
a) La dependencia es fuertey positiva.
b) La dependencia es fuerte y negativa.
c) No se aprecia dependencia entre las variables E y F.
d) No se aprecia dependencia entre las variables G y H.
10 20
12
6
H
G
110 120
50
10
F
E
2 10
25
20
5
D
C
2 10
25
20
5
B
A
G 26 24 23 22 18 15 14 12
H 8 12 14 7 10 11 9 13
d)C 1 3 6 7 10 13 17 18
D 25 21 18 20 12 15 8 6
b)
E 110 112 115 116 118 120 121 124
F 40 45 35 40 60 70 45 33
c)A 6 8 9 11 13 15 16 18
B 8 13 13 16 21 26 28 33
a)
022
Estadística bidimensional
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411
A partir de los diagramas de dispersión, decide si hay o no dependencia lineal y, en su caso, si es fuerte o débil, y si es positiva o negativa.
a) c)
b) d)
a) No hay dependencia lineal.
b) La dependencia lineal es fuerte y negativa.
c) La dependencia lineal es débil y positiva.
d) La dependencia lineal es fuerte y positiva.
Representa las nubes de puntos correspondientes a las variables bidimensionalesdefinidas por estas fórmulas.
a) y = 2x + 5
b) y = x2 + 3x
¿Qué tipo de dependencia presentan?
La dependencia es lineal. La dependencia es funcional.
2
2
Y
X
b)
2
2
Y
X
a)
024
023
10SOLUCIONARIO
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 411
412
La tabla muestra el número de cuadros que han pintado los alumnos de un tallersobre paisajes y bodegones.
a) Determina las tablas de frecuencias marginales de paisajes y bodegones.
b) Calcula las medias y las desviaciones típicas de cada una de las variables.
c) Usa el coeficiente de variación para decidir cuál de las dos variables es más dispersa.
d) Realiza el diagrama de dispersión correspondiente a la variable bidimensional.
a) Tabla de frecuencias marginales Tabla de frecuencias marginales de los paisajes de los bodegones
b) x� = 5,47 y� = 5,82
σX = 1,15 σY = 1,19
c) CVX = 0,21 CVY = 0,204
La variable de los paisajes es un poco más dispersa que la de los bodegones.
1
1
Y
X
d)
yi fi
4 3
5 12
6 13
8 6
Total 34
xi fi
4 8
5 10
6 10
7 4
8 2
Total 34
Paisajes
Bodegones4 5 6 7 8
4 2 1 0 0 0
5 4 4 3 0 1
6 2 5 4 2 0
8 0 0 3 2 1
025
Estadística bidimensional
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Construye la tabla de doble entrada que corresponde a esta variable bidimensional, representada mediante el diagrama de dispersión.
A partir de este diagrama de dispersión, construye la tabla de doble entrada correspondiente.
XY 3 4 5 6 7 8 9 10 Total
1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
3 0 0 0 1 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 1 0 0 0 1
5 0 0 1 1 0 1 0 0 3
6 1 0 0 1 0 0 1 0 3
7 0 0 1 0 0 1 1 1 4
9 0 0 0 0 0 0 1 0 1
10 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Total 1 1 2 3 1 2 3 2 15
1
1
X
Y027
XY 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 Total
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
4 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 4
5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2
6 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 3
7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
8 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 2
9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Total 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 15
1
1
X
Y026
413
10SOLUCIONARIO
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414
Construye la tabla de doble entrada correspondiente, a partir del diagrama dedispersión, teniendo en cuenta la frecuencia de los datos que figura entre paréntesis.
Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación para las variablesbidimensionales indicadas en las siguientes tablas.
σPQ = −7,22 rPQ = −0,11 σRS = 84,29 rRS = 0,99
Halla la covarianza y el coeficiente de correlación correspondientes a estas variablesestadísticas.
σTU = −3,69 rTU = −0,22 σVW = 127,5 rVW = 0,99
Representa la variable bidimensional cuyos pares de valores son:
(8, 2) (12, 6) (10, 4) (12, 2) (8, 6)
a) Calcula su covarianza y razona el resultado.
b) Elimina un punto de manera que se mantenga la correlación.
a) σXY = 0
No hay dependencia entre las variables, por lo que la covarianza es nula.
b) Al eliminar el punto (10, 4), la correlación no varía.
6
1
Y
X
031
V 2,4 2,8 3,2 3,6 4 4,4 4,8 5,2
W 100 150 220 270 340 400 460 520
T −12 −14 −15 −16 −18 −20 −22
U 8 5 3 12 20 10 6
030
R 90 80 70 60 50 40 30
S −5 −7 −8 −11 −13 −16 −17
P 0 1 2 3 4 5 6 7
Q 20 18 17 15 12 10 7 4
029
XY 1 2 3 4 5 Total
2 0 9 0 6 0 15
4 9 0 3 0 0 12
6 0 0 3 0 0 3
7 0 0 0 0 12 12
Total 9 9 6 6 12 421 2
(9) (6)
(12)(3)
(3)(9)
2
4
6
8
3 4 5 X
Y
028
Estadística bidimensional
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415
Construye el diagrama de dispersión correspondiente a la variable bidimensionaldeterminada por los siguientes pares de datos.
(10, 20) (16, 30) (10, 30) (16, 20)
a) Calcula su covarianza y explica a qué se debe el resultado.
b) Añade un punto de manera que se mantenga la correlación.
a) σXY = 0
No hay dependencia entre las variables, por lo que la covarianza es nula.
b) Al añadir el punto (13, 15),la correlación no varía.
En la tabla se presentan datos climatológicos referidos a una ciudad: la temperatura,en °C; la humedad relativa del aire, en %, y la velocidad del viento, en km/h.
Determina la covarianza y el coeficiente de correlación de las siguientes variablesbidimensionales.
a) Temperatura–Humedad.
b) Temperatura–Velocidad del viento.
c) Humedad–Velocidad del viento.
a) σTH = 6,46 rTH = 0,59
b) σTV = 3,17 rTV = 0,93
c) σHV = 6,404 rHV = 0,507
Se ha hecho una encuesta a personas que han tenido un accidente de tráfico,preguntando por el número de meses transcurridos e incluyendo el grupo de edad.
Las respuestas han sido:
Carmen, 35: [60, 70) Jesús, 24: [50, 60)Teresa, 15: [50, 60) Marta, 12: [30, 40)Pilar, 12: [50, 60) José, 28: [40, 50)Esther, 6: [20, 30) Andrés, 3: [20, 30)Juan, 8: [40, 50) María Jesús, 20: [40, 50)Jacinto, 15: [30, 40) Beatriz, 16: [30, 40)
a) Construye la tabla correspondiente a la variable bidimensional.
b) Representa el diagrama de dispersión.
c) Estudia si hay correlación entre ambas variables, y determina su coeficiente de correlación lineal.
034
Días L M X J V S D
Temperatura 22 24 25 24 23 21 20
Humedad 78 90 80 92 88 74 80
Velocidad del viento 1 3 6 4 4 1 0
033
2 10 20
5
25
Y
X
032
10SOLUCIONARIO
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:51 Página 415
416
b) La correlación es débil y positiva. c) σXY = 89,5rXY = 0,73
En la siguiente tabla se han perdido dos datos.
Se sabe que la media de la primera variable es 28 y la media de la segunda variablees 5,8. Completa la tabla y determina el coeficiente de correlación.
x� = 28 → = 28 → x1 = 21 y� = 5,8 → = 5,8 → y5 = 8
rXY = 0,802
Se está estudiando imponer un impuesto alas empresas químicas que sea proporcional a sus emisiones de azufre a la atmósfera. Se ha experimentado con varios procedimientos para medir dichas emisiones, pero no se ha encontrado ninguno fiable. Finalmente, se ha decidido investigar algún método indirecto.
Se cree que la emisión de azufre puede estar relacionada con el consumo eléctrico, con el consumo de agua o con el volumen de las chimeneas de las fábricas. Para valorarlo se ha realizado un estudio en un medio controlado. Los resultadospueden verse en la tabla.
¿Cuál de las medidas estadísticas se relaciona de forma más evidente con las emisiones de azufre? Justifica la respuesta.
Cantidad de azufre (t) 2,3 1,8 1 0,4 0,6 3 0,5
Consumo eléctrico (kWh) 1.400 1.250 1.850 600 300 3.400 400
Consumo de agua (¬) 100 230 45 50 10 540 22
Volumen de las chimeneas (m3) 18 16 12 5 6 21 4
036
y5 50
10
+x1 259
10
+
x1 23 24 25 27 28 29 33 34 36
2 4 3 5 y5 6 7 9 6 8
035
3 15 30
10
50
Y
X
XY 3 6 8 12 15 16 20 24 28 35 Total
[20, 30) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2
[30, 40) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3
[40, 50) 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 3
[50, 60) 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3
[60, 70) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Total 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 12
a)
Estadística bidimensional
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417
El volumen de las chimeneas es la variable que más se relaciona con la cantidad de emisiones de azufre.
Traza a mano alzada, y sin realizar cálculos, la recta de regresión de las siguientesvariables bidimensionales.
Representa, sin hallar su ecuación, la recta de regresión correspondiente a estas variables.
X
Yb)
X
Ya)
038
Y
X
b)Y
X
a)
X
Yb)
X
Ya)
037
1 2 3
100
500
Y
X1 2 3
100
500
Y
X1 2 3
500
1.500
2.500
Y
X
10SOLUCIONARIO
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418
Para las variables bidimensionales representadas a continuación, hemos ajustadodiferentes rectas de regresión a las nubes de puntos correspondientes. Estima el valor que tendrá y en cada una de ellas para un valor de x = 12.
¿Cuál de las estimaciones te parece más fiable?
a) y = 1,99 ⋅ 12 − 0,04 = 23,84
b) y = −1,83 ⋅ 12 + 29,25 = 7,29
c) y = 0,35 ⋅ 12 + 13,67 = 17,87
La estimación más fiable es la del apartado a).
y = 0,35x + 13,67
5
5
X
Yc)
y = −1,33x + 29,25
5
5
X
Yb)
y = 1,99x − 0,04
5
5
X
Ya)
039
Y
X
b)Y
X
a)
Estadística bidimensional
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419
10SOLUCIONARIO
Determina la recta de regresión de Y sobre X y la recta de regresión de X sobre Ycorrespondientes a estas tablas.
a) x� = 13,5 y� = 31,5 σXY = 15,5σX
2 = 5,25 σY2 = 50,75
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 31,5 = (x − 13,5) → y = 2,95x − 8,33
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 13,5 = (y − 31,5) → x = 0,31y + 3,74
b) x� = 90 y� = −14,29 σXY = −115,33σX
2 = 400 σY2 = 37,22
Recta de regresión de Y sobre X:
y + 14,29 = − (x − 90) → y = −0,29x + 11,81
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 90 = − (y + 14,29) → x = −3,099y + 45,72
c) x� = −7,14 y� = 80,86 σXY = 34,48σX
2 = 11,31 σY2 = 159,37
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 80,86 = (x + 7,14) → y = 3,049x + 102,63
Recta de regresión de X sobre Y:
x + 7,14 = (y − 80,86) → x = 0,22y − 24,93
d) x� = 0,71 y� = 58,75 σXY = −1,088σX
2 = 0,099 σY2 = 635,94
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 58,75 = − (x − 0,71) → y = −10,99x + 66,55
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 0,71 = − (y − 58,75) → x = −0,0017y + 0,811 088
635 94
,
,
1 088
0 099
,
,
34 48
159 37
,
,
34 48
11 31
,
,
115 33
37 22
,
,
115 33
400
,
15 5
50 75
,
,
15 5
5 25
,
,
X 0,2 0,4 0,5 0,7 0,8 0,9 1 1,2
Y 40 50 120 70 40 40 60 50
d)
X −3 −4 −5 −6 −9 −10 −13
Y 80 92 100 88 76 70 60
c)
X 60 70 80 90 100 110 120
Y −5 −8 −12 −15 −16 −24 −20
b)
X 10 11 12 13 14 15 16 17
Y 20 24 28 30 36 32 42 40
a)
040
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420
Encuentra cinco puntos que pertenecen a la recta y = 4x + 6.
a) Calcula el coeficiente de correlación correspondiente y explica el resultado.
b) Halla las dos rectas de regresión.
Respuesta abierta.
a) x� = 0 y� = 6 σX = = 1,41 σY = = 5,66 σXY = 8
rXY = 1 → La dependencia es lineal.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 6 = (x − 0) → y = 4x + 6
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 0 = (y − 6) → x = y −
Obtén cinco puntos que pertenecen a la recta.
y = −20x + 10
a) Calcula el coeficiente de correlación y explica el resultado.
b) Halla las dos rectas de regresión. Razona los resultados obtenidos.
Respuesta abierta.
a) x� = 0 y� = 10 σX = = 1,41 σY = = 28,28 σXY = −40
rXY = −1 → La dependencia es lineal.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 10 = − (x − 0) → y = −20x + 10
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 0 = − (y − 10) → x = − y +1
2
1
20
40
800
40
2
8002
x −2 −1 0 1 2
y 50 30 10 −10 −30
042
3
2
1
4
8
32
8
2
322
x −2 −1 0 1 2
y −2 2 6 10 14
041
Estadística bidimensional
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421
Se cree que el número de zorros en una finca está relacionado con el número de conejos.
En los últimos años se han realizado ocho censos de ambos animales, resultando estos datos.
Si la correlación es fuerte:
a) Determina las dos rectas de regresión.
b) Estima la cantidad de conejos que habría si hubiera 10 zorros.
c) ¿Cuántos zorros serían si hubiéramos contado 350 conejos?
d) ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?
a) x� = 21,25 y� = 337,5 σX = = 6,5 σY = = 100,84
σXY = 653,13 rXY = 0,99 → La dependencia es fuerte y positiva.
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 337,5 = (x − 21,25) → y = 15,48x + 8,55
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 21,25 = (y − 337,5) → x = 0,064y − 0,35
b) x = 10 → y = 15,48 ⋅ 10 + 8,55 = 163,35
En este caso habría 163 conejos.
c) y = 350 → x = 0,064 ⋅ 350 − 0,35 = 22,05
En este caso serían 22 zorros.
d) Como el coeficiente de correlación es muy próximo a 1, las dos estimacionesson bastante fiables.
A lo largo de un día se han medido la tensión y el pulso cardíaco de una persona,tratando de decidir si ambas variables tienen alguna relación.
Los datos obtenidos se han reflejado en la tabla.
a) Calcula la covarianza, el coeficiente de correlación y las dos rectas de regresión.
b) Si la correlación es fuerte, estima las pulsaciones que tendrá la persona cuando su nivel mínimo de tensión sea 15.
c) ¿Qué nivel mínimo de tensión se estima cuando las pulsaciones cardíacas por minuto son 70?
d) ¿Cuál de las dos estimaciones es más fiable?
e) Dibuja la nube de puntos y la recta de regresión correspondientes.
Nivel mínimo de tensión 6 5 9 4 10 8 6 9
N.o de pulsaciones por minuto 60 55 80 40 95 75 55 90
044
653 13
10 168 75
,
. ,
653 13
42 19
,
,
10 168 75. ,42 19,
N.o de zorros 20 32 16 18 25 30 14 15
N.o de conejos 320 500 260 300 400 470 210 240
043
10SOLUCIONARIO
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422
a) x� = 7,13 y� = 68,75 σX = = 2,01 σY = = 17,98
σXY = 35,44 rXY = 0,98 → La dependencia es fuerte y positiva.
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 68,75 = (x − 7,13) → y = 8,77x + 6,22
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 7,13 = (y − 68,75) → x = 0,11y − 0,43
b) x = 15 → y = 8,77 ⋅ 15 + 6,22 = 137,77
En este caso tendría 138 pulsaciones por minuto.
c) y = 70 → x = 0,11 ⋅ 70 − 0,43 = 7,27
Se estima que tendría un nivel mínimo de 7.
d) Las dos estimaciones son muy fiables, porque el coeficiente de correlación es bastante cercano a 1.
Tenemos dos variables bidimensionales representadas por estas nubes de puntos.
a) Elige los coeficientes de correlación de ambas y razónalo.−0,92 0,6 0,95 −0,65
b) Ahora decide cuáles son las ecuaciones de las dos rectas de regresióncorrespondientes.y = 3x + 0,2 y = 1,3x + 0,9 y = −0,6x + 10 y = −2x + 12,6Justifica la respuesta.
a) El coeficiente de correlación de las variables representadas en el gráfico I es 0,95; porque la nube de puntos muestra una dependencia entre las variablesfuerte y positiva. El coeficiente de correlación de las variables representadas enel gráfico II es −0,65; por ser la dependencia entre las variables débil y negativa.
b) La recta de regresión del gráfico I es y = 1,3x + 0,9; ya que la pendiente de la recta dibujada es un valor próximo a 1. La recta de regresión del gráfico II esy = −0,6x + 10, puesto que el valor de la ordenada de la recta representada es 10.
X
Y
5
2
(II)
X
Y
5
5
(I)
045
90
1 5 10
30
60
Y
X
e)
35 44
323 44
,
,
35 44
4 04
,
,
323 44,4 04,
Estadística bidimensional
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423
Una empresa está investigando la relación entre sus gastos en publicidad y sus beneficios (en millones de euros).
Este es un resumen del estudio.
a) Comprueba si existe relación entre las magnitudes y, si es posible, estima los beneficios que se obtendrán en el año 2008, si se van a invertir 4,2 millones de euros en publicidad.
b) ¿Qué inversión sería necesaria para alcanzar 30 millones de euros de beneficios?
a) x� = 2,94 y� = 17,3 σX = = 0,61 σY = = 3,16 σXY = 1,89
rXY = 0,98 → La dependencia es fuerte y positiva.
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 17,3 = (x − 2,94) → y = 4,97x + 2,69
x = 4,2 → y = 4,97 ⋅ 4,2 + 2,69 = 23,56
Los beneficios serían de 23,56 millones de euros.
b) Recta de regresión de X sobre Y:
x − 2,94 = (y − 17,3) → x = 0,19y − 0,35
y = 30 → y = 0,19 ⋅ 30 − 0,35 = 5,35
La inversión tendría que ser de 5,35 millones de euros.
María y Diego viven en la misma calle, pero en aceras opuestas. Los dos tienen un termómetro en su balcón y, como María cree que el suyo está estropeado,deciden tomar la temperatura exterior, en °C, durante una semana y a la misma hora del día.
Han anotado los resultados en una tabla.
a) ¿Crees que las dos variables están relacionadas? ¿Y opinas que deberían estarlo?
b) Razona si con estos datos se puede obtener alguna conclusión sobre el termómetro de María.
a) x� = 22,43 y� = 18,57 σX = 2,86 σY = 1,69 σXY = −2,097
rXY = −0,43 → La dependencia es débil y negativa.
Las dos variables están poco relacionadas, pues al estar los termómetros en lados opuestos de la acera reciben distinta exposición solar.
b) Como la dependencia es débil no se puede concluir nada sobre el termómetrode María.
Diego 22 24 25 27 18 20 21
María 18 20 18 17 20 21 16
047
1 89
10 01
,
,
1 89
0 38
,
,
10 01,0 38,
Año 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07
Gastos 2 2,4 2 2,8 3 3,2 3,2 3,3 3,5 4
Beneficios 12 15 13 15 18 19 19 20 20 22
046
10SOLUCIONARIO
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424
Se ha medido el peso, X, y la estatura, Y, de los alumnos de una clase. Su peso medioha sido de 56 kg, con una desviación típica de 2,5 kg.
La ecuación de la recta de regresión que relaciona la estatura y el peso es: y = 1,8x + 62
a) ¿Qué estatura puede estimarse en un alumno que pesa 64 kg?
b) ¿Y si pesara 44 kg?
c) ¿Cuál es la estatura media de los alumnos de esa clase?
d) La pendiente de esa recta es positiva. ¿Qué significa esto?
a) x = 64 → y = 1,8 ⋅ 64 + 62 = 177,2 → El alumno medirá 1,77 m.
b) x = 44 → y = 1,8 ⋅ 44 + 62 = 141,2 → En este caso medirá 1,41 m.
c) y = 1,8 ⋅ 56 + 62 = 162,8 → La estatura media es 1,63 m.
d) Si la pendiente es positiva, entonces la correlación entre las variables tambiénes positiva, es decir, cuando los valores de una variable aumentan, los valoresde la otra variable también lo hacen.
Daniel afirma que si una nube de puntos es de una recta, el coeficiente decorrelación siempre vale 1 o −1. Como Eva no está de acuerdo, Daniel prueba conlos puntos de la recta cuya ecuación es y = −5x + 20, y Eva hace lo mismo con los puntos de y = 2x −x2.
a) ¿Quién tiene razón? ¿Por qué?
b) Si la hipótesis de Daniel no resulta cierta, ¿podrías formularla de forma que se verifique siempre?
a) Si y = −5x + 20, entonces algunos de los puntos son:
x� = 0 y� = 20 σX = 1,41 σY = 7,07 σXY = −10
rXY = −1 → La dependencia es lineal.
Si y = 2x − x2, no es una recta, y algunos de los puntos son:
x� = 0 y� = −2 σX = 1,41 σY = 3,29 σXY = 4
rXY = 0,86 → La dependencia es débil; por tanto, Eva no tiene razón.
b) Es cierta.
Un equipo de alpinistas que escaló una montaña, midió la altitud y la temperatura cada 200 metros de ascensión. Luego reflejó los datos en estas tablas.
Altitud (m) 2.200 2.400 2.600 2.800 3.000 3.200
Temperatura (°C) 5 3 2 2 2 1
Altitud (m) 800 1.000 1.200 1.400 1.600 1.800 2.000
Temperatura (°C) 22 20 17 15 11 9 8
050
X −2 −1 0 1 2
Y −8 −3 0 1 0
X −2 −1 0 1 2
Y 30 25 20 15 10
049
048
Estadística bidimensional
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425
10SOLUCIONARIO
a) Toma las diez primeras mediciones y, si la correlación es fuerte, calcula la recta de regresión de la temperatura sobre la altitud.
b) Estima la temperatura que habrá a los 1.900 metros de altitud.
c) ¿Qué temperatura se estima a los 3.200 metros? ¿Cómo explicas las diferencias?
a) x� = 1.700 y� = 11,2 σX = 574,46 σY = 6,69 σXY = −3.820
rXY = −0,99 → La dependencia es fuerte y negativa.
Recta de regresión de Y sobre X:
y − 11,2 = − (x − 1.700) → y = −0,012x + 31,6
b) x = 1.900 → y = −0,012 ⋅ 1.900 + 31,6 = 8,8
La temperatura estimada es de 8,8 °C.
c) x = 3.200 → y = −0,012 ⋅ 3.200 + 31,6 = −6,8
La diferencia se debe a que el valor no está incluido en el intervalo [800, 2.600],formado por los datos que se han utilizado para calcular la recta de regresión.
El alcalde de un pueblo ha constatado una reducción del número de nacimientos de niños, y ha encargado realizar un estudio.
a) ¿Puede establecerse, de forma fiable, una fórmula que relacione el año con el número de nacimientos?
b) ¿Cuántos nacimientos pueden estimarse en 2008? ¿Y en 2010? ¿Qué puedeestimarse para 2050?
c) ¿Es fiable esta última estimación? Razona la respuesta.
x� = 10,5 y� = 34 σX = 6,87 σY = 12,61 σXY = −83,63
rXY = −0,97 → La dependencia es fuerte y negativa, por lo que puede utilizarsela recta de regresión para relacionar las dos variables.
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 34 = − (x − 10,5) → y = −1,77x + 52,59
En el año 2008 se estiman: x = 22 → y = −1,77 ⋅ 22 + 52,59 = 13,65 nacimientos
En el año 2010 se estiman: x = 64 → y = −1,77 ⋅ 64 + 52,59 = −60,69 nacimientos
Para el año 2050 se estiman −60 nacimientos.
c) No es fiable, ya que el año 2050 está muy alejado del rango de años estudiadosen la regresión.
83 63
47 25
,
,
X 0 3 6 9 12 15 18 21
Y 50 54 40 33 34 23 21 17
a)
Año 86 89 92 95 98 01 04 07
Nacimientos 50 54 40 33 34 23 21 17
051
3 820
330 000
.
.
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426
En una empresa se está estudiando el número de días de baja por enfermedad, Y, de cada uno de sus empleados en el último año. Para compararlo con la antigüedad,X, de los empleados dentro de la empresa, se ha elaborado la siguiente tabla.
a) Calcula las medias y las desviaciones típicas de las distribuciones marginales.
b) Determina la covarianza y el coeficiente de correlación.
c) Halla la recta de regresión de Y sobre X y estima, si es fiable, el número de díasde baja que puede esperarse en un empleado con 6 años de antigüedad en la empresa.
a) Tabla de frecuencias marginales Tabla de frecuencias marginalesde los años de antigüedad de los días de baja
x� = 2,59 y� = 1,46
σX = 1,11 σY = 1,89
b) σXY = 1,02 rXY = 0,49
c) Recta de regresión de Y sobre X: y − 1,46 = (x − 2,59) → y = 0,83x − 0,69
La dependencia es débil, por lo que la estimación no es fiable.
Un inversor bursátil quiere predecir la evolución que va a tener el Índice de la Bolsade Madrid (IBEX).
Ha concluido que lo que sucede con el IBEX un día es lo que le sucede a la cotizaciónde la empresa AW&B el día anterior.
Investiga si esto es correcto, a partir de sus cotizaciones durante una semana y los valores alcanzados por el IBEX al día siguiente.
Día 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o 8.o
IBEX 12.560 12.720 11.580 11.420 10.930 11.450 11.480
Día 1.o 2.o 3.o 4.o 5.o 6.o 7.o
AW&B 21,8 23,4 19,6 19,4 18,4 19,9 19,2
053
1 02
1 23
,
,
yi fi
0 29
2 15
3 6
5 5
9 1
Total 56
xi fi
1 10
2 18
3 16
4 9
5 3
Total 56
XY 1 2 3 4 5
0 6 12 8 3 0
2 4 5 3 2 1
3 0 1 3 2 0
5 0 0 2 2 1
9 0 0 0 0 1
052
Estadística bidimensional
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427
a) ¿Qué cotización tendrá AW&B el día anterior al día en que el IBEX alcance los 14.000 puntos?
b) Si un día AW&B tiene una cotización de 24 euros, ¿qué valor podemos esperar que alcance el IBEX al día siguiente?
x� = 20,24 y� = 11.734,29
σX = = 1,66 σY = = 605,65
σXY = 977,26
rXY = 0,97 → La dependencia es fuerte y positiva.
a) Recta de regresión de X sobre Y:
x − 20,24 = (y − 11.734,29) → x = 0,0027y − 11,44
y = 14.000 → x = 0,0027 ⋅ 14.000 − 11,44 = 26,36
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 11.734,29 = (x − 20,24) → y = 352,8x − 4.593,62
x = 24 → y = 352,8 ⋅ 24 − 4.593,62 = 3.873,58
Encuentra el coeficiente de correlación de la variable bidimensional cuyas rectas de regresión son:
• Recta de Y sobre X: 2x −y −1 = 0
• Recta de X sobre Y: 9x −4y −9 = 0
a) Halla la media aritmética de cada una de las variables.
b) ¿Podrías calcular la desviación típica de Y sabiendo que la de la variable X
es ?
a) Las rectas de regresión se cortan en el punto (x�, y� ).
Entonces, resulta que: x� = 5, y� = 9
b) σσ
σ σXXY
XY Y= = = = =22
2 43 2
23→ → → ·
2 1 09 4 9 0
5 9x yx y
x y− − =− − =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= =→ ,
2 1 0 2 1 22
9 4 9 0
2x y y x
x y x
XY
X
XXY− − = = − = =
− − =
→ → →
→
σσ
σσ
== + = =
=
4
91
4
9
3
2
2
3
2
2y
r
XY
Y
YXY
XYXY
XY XY
→ →σσ
σσ
σ
σ σ·
== =2 2
30 94,
2
054
977 26
2 77
,
,
977 26
366 809 62
,
. ,
366 809 62. ,2 77,
10SOLUCIONARIO
833243 _ 0400-0433.qxd 14/10/08 09:29 Página 427
428
Se tiene la siguiente variable bidimensional.
Investiga lo que sucede con la covarianza y el coeficiente de correlación en cada caso.
a) Sumamos 10 a todos los valores de la variable X.
b) Sumamos 10 a todos los valores de la variable X y de la variable Y.
c) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X.
d) Multiplicamos por 4 todos los valores de la variable X y de la variable Y.
x� = 8,86 y� = 5,29 σXY = 6,42
σX = = 3,75 σY = = 2,24 rXY = 0,76
x� = 8,86 + 10 = 18,86 σXY = 6,42
σX = 3,75 rXY = 0,76
y� = 5,29 + 10 = 15,29 σXY = 6,42
σY = 2,24 rXY = 0,76
x� = 8,86 ⋅ 4 = 35,44 σXY = 6,42 ⋅ 4 = 25,68
σX = 3,75 ⋅ 4 = 15 rXY = 0,76
y� = 5,29 ⋅ 4 = 21,16 σXY = 6,42 ⋅ 16 = 102,72
σY = 2,24 ⋅ 4 = 8,96 rXY = 0,76
Investiga sobre las siguientes cuestiones.
a) ¿Es cierto que el signo de las pendientes de las dos rectas de regresión de unavariable bidimensional es siempre igual?
b) ¿Qué sucede si las dos rectas de regresión tienen la misma pendiente? ¿Cómo esla correlación?
a) Es cierto, porque el signo de las pendientes de las rectas de regresión coincidecon el signo de la covarianza en ambas.
b) Como las dos rectas pasan por el punto (x�, y�), si tienen la misma pendiente,entonces son coincidentes. Por tanto, la dependencia entre las dos variablesunidimensionales es lineal.
La correlación es igual a 1 o 0.
056
X 12 20 32 36 40 48 60
Y 8 12 28 16 32 20 32
d)
X 12 20 32 36 40 48 60
Y 2 3 7 4 8 5 8
c)
X 13 15 18 19 20 22 25
Y 12 13 17 14 18 15 18
b)
X 13 15 18 19 20 22 25
Y 2 3 7 4 8 5 8
a)
5 02,14 07,
X 3 5 8 9 10 12 15
Y 2 3 7 4 8 5 8
055
Estadística bidimensional
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:52 Página 428
429
El ángulo que forman las dos rectas de regresión de una distribución bidimensionales mayor cuanto menor sea el coeficiente de correlación.
Vamos a comprobarlo estudiando las dos magnitudes en estas distribuciones.
x� = 14 y� = 4,6 σXY = −0,4
σX = = 2,83 σY = = 1,24 rXY = −0,11
Recta de regresión de Y sobre X: y − 4,6 = − (x − 14) → y = −0,05x + 5,3
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 = − (y − 4,6) → x = −0,26y + 15,2
El ángulo que forman las rectas es:
y� = 6 σY = = 1,67 σXY = 3,2 rXY = 0,68
Recta de regresión de Y sobre X: y − 6 = (x − 14) → y = 0,4x + 0,4
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 = (y − 6) → x = 1,14y + 7,16
El ángulo que forman las rectas es:
y� = 7 σY = = 1,55 σXY = 4,2 rXY = 0,96
Recta de regresión de Y sobre X: y − 7 = (x − 14) → y = 0,53x − 0,42
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14 = (y − 7) → x = 1,75y + 1,75
El ángulo que forman las rectas es:
cos α α=+
+ += =
1 75 0 53
1 0 53 1 75 10 99 1 49
2 2 2 2
, ,
, · ,, → ° '' "16
4 2
2 4
,
,
4 2
8
,
2 4,
cos α α=−
+ + −= =
1 14 0 4
1 0 4 1 14 10 45 63
2 2 2 2
, ,
, · , ( ), → ° 33 30' "
3 2
2 8
,
,
3 2
8
,
2 8,
cos α =+
− + − +=
0 26 0 05
1 0 05 0 26 10 29
2 2 2 2
, ,
( ) , · ( , ), → αα = 72 33 48° ' "
0 4
1 55
,
,
0 4
8
,
1 55,8
10 12 14 16 18
5 6 6,5 8,5 9
10 12 14 16 18
3 6 8 6 7
10 12 14 16 18
3 8 1 9 2
057
10SOLUCIONARIO
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:52 Página 429
430
Se ha realizado un test de memoria, X, y otro test de atención, Y, a varios alumnos y se han reflejado los resultados en esta tabla.
a) Calcula la covarianza y el coeficiente de correlación.
b) Determina las dos rectas de regresión.
c) Si es factible, estima qué puntuación obtendrá Andrés en memoria, si ha obtenido 33 en atención.
d) Si es factible, estima qué puntuación obtendrá Eva en atención, si ha obtenido 27 en memoria.
a) x� = 25,91 y� = 26,82 σXY = 71,0038
σX = = 10,83 σY = = 9,35 rXY = 0,7
b) Recta de regresión de Y sobre X:
y − 26,82 = (x − 25,91) → y = 0,61x + 11,01
Recta de regresión de X sobre Y:
x − 25,91 = (y − 26,82) → x = 0,81y + 4,19
c) y = 33 → x = 0,81 ⋅ 33 + 4,19 = 30,92
d) x = 27 → y = 0,61 ⋅ 27 + 11,01 = 27,48
71 0038
87 51
,
,
71 0038
117 31
,
,
87 51,117 31,
yjxi
5 15 25 35 45 Total
5 0 0 0 0 0 0
15 1 1 1 0 0 3
25 0 1 2 1 0 4
35 0 0 1 1 1 3
45 0 0 0 1 0 1
Total 1 2 4 3 1 11
XY [0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)
[0, 10)
[10, 20) Beatriz Jesús Marta
[20, 30) DanielMaríaEsther
Miguel
[30, 40) ElenaJacintoCarmen
Inés
[40, 50) Diego
058
Estadística bidimensional
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PARA FINALIZAR…
Halla la relación existente entre el coeficiente de correlación lineal de unadistribución bidimensional y las pendientes de sus rectas de regresión.
Comprueba el resultado obtenido para estos datos.
Las pendientes de las rectas de regresión son:
x� = 14,67 y� = 7,67 σXY = 6,98
σX = = 2,67 σY = = 2,8 rXY = 0,93
Recta de regresión de Y sobre X: y − 7,67 = (x − 14,67) → mX = 0,98
Recta de regresión de X sobre Y: x − 14,67 = (y − 7,67) → mY = 0,89
mX ⋅ mY = 0,93
Discute si es posible que la recta de regresión de X sobre Y y la recta de regresión de Y sobre X sean paralelas. ¿Y perpendiculares?
No es posible que sean paralelas, ya que tienen siempre un punto común: (x�, y�)
Son perpendiculares si la correlación es nula.
Investiga sobre cómo varía el coeficiente de correlación entre dos variables estadísticascuando multiplicamos los datos relativos a una de ellas por una cantidad constante, k.
¿Y si las multiplicamos por la misma constante? ¿Qué sucedería si multiplicamoscada variable por una constante distinta?
Al multiplicar los datos de una variable por una cantidad constante k, sus medidasestadísticas verifican que:
k kX X2 2· ·σ σ=
f kx kx
N
f k x x
N
k fi ii
n
i ii
n
i· ( ) · ( ) ·−∑=
−∑== =
2
1
2 2
1
2 ·· ( )·
x x
Nk
ii
n
X
−∑==
2
1 2 2σ
f kx
N
k f x
Nk x
i ii
n
i ii
n· · ·
·= =∑
=∑
=1 1
061
060
6 98
7 84
,
,
6 98
7 12
,
,
7 84,7 12,
r
m m
m mXYXY
X Y
XY
XY
X
XY
Y
X Y= = =σ
σ σσ
σ σ··
·Entonces, resulta que:
mm
mm
XXY
X
XXY
x
YXY
Y
YXY
Y
= =
= =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
σσ
σσ
σσ
σσ
2
2
→
→
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
X 10 13 16 14 17 18
Y 3 6 7 8 11 11
059
431
10SOLUCIONARIO
2
2
Y
X
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:52 Página 431
432
Entonces la covarianza entre las dos variables es:
Así, el coeficiente de correlación es:
Si se multiplican los datos de las dos variables por la misma constante k, entonces el coeficiente de correlación es:
Y si multiplicamos la segunda variable por un constante m:
Demuestra que el coeficiente de correlación de dos variables estadísticas no varía si a cada valor de las dos variables se les suma o resta un mismo número.
Utiliza esta propiedad para calcular el coeficiente de correlación de las siguientesvariables estadísticas.
Si se suma un valor c a cada valor de una variable estadística, entonces la media de los datos obtenidos es:
La varianza de estos datos verifica que:
Por tanto, la desviación típica también coincide.
La covarianza entre las dos variables es:
f x c y
Nx c y
f x y fi ii
n
i i ii
n
i i· ( ) ·( ) ·
· ·+∑− + =
∑ += =1 1
·· ·· ·
· · ·
c y
Nx y c y
f x y c f
i
n
i
i ii
n
i ii
=
= =
∑− − =
=∑ +
1
1 1
nn
i
i ii
n
i
y
Nx y c y
f x y
Nc y x y c y
∑− − =
=∑
+ − −=
·· ·
· ·· · ·1 == σXY
f x c x c
N
f x x
N
i ii
n
i ii
n
X
· ( ( )) · ( )+ − +∑=
−∑== =
2
1
2
1 2σ
f x c
N
f x f c
N
f xi ii
n
i ii
n
ii
n
i i· ( ) · · ·+∑=
∑ + ∑== = =1 1 1 ii
n
ii
n
i ii
n
c f
N
f x c N
Nx c
= =
=
∑ + ∑=
=∑ +
= +
1 1
1
·
· ·
X 2.001 2.002 2.003 2.004 2.005
Y 7.390 7.350 7.240 7.210 7.110
062
k m
k mrXY
X Y
XY
X Y
XY· ·
· · · ·
σσ σ
σσ σ
= =
k
k krXY
X Y
XY
X Y
XY
2 ·
· · · ·
σσ σ
σσ σ
= =
k
krXY
X Y
XY
X Y
XY·
· · ·
σσ σ
σσ σ
= =
f kx y
Nkx y
k f x y
Nkx y
i ii
n
i i ii
n
i· ··
· · ··= =
∑− =
∑− =1 1 kk
f x y
Nx y k
i ii
n
i
XY
· ·· ·=
∑−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=1 σ
Estadística bidimensional
833243 _ 0400-0433.qxd 10/10/08 11:52 Página 432
433
Así, el coeficiente de correlación es igual que el de las variables iniciales. Del mismo modo, si se suma o se resta un mismo número a las dos variables el coeficiente no varía.
En dos estudios realizados sobre los datos de una variable bidimensional, las rectasde regresión fueron las siguientes.
En el primer estudio, la recta de regresión de Y sobre X es: 8x −3y −61 = 0 y la recta de X sobre Y es: x −y + 18 = 0.
Y en el otro estudio, las rectas de regresión son, respectivamente:
8x −5y + 20 = 0 5x −2y −10 = 0
Si conocemos x� = 23, y� = 41 y r = 0,8, comprueba cuál de los estudios es válido.
El primer estudio es el correcto, ya que las rectas se cortan en el punto (x�, y�).
Sean dos variables estadísticas X e Y. Sabemos que:
• La recta de regresión de Y sobre X pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5).
• La recta de regresión de X sobre Y tiene pendiente m = 3 y su ordenada en el origen es 2.
• La varianza de Y es 3.
Calcula las medidas estadísticas de cada una de las variables estadísticas y el coeficiente de correlación.
La recta que pasa por los puntos (1, 3) y (2, 5) tiene como ecuación: y = 2x + 1
La ecuación de la otra recta es: y = 3x + 2
Entonces, resulta que:
El coeficiente de correlación es igual a la raíz cuadrada del producto de lapendiente de la recta de regresión de Y sobre X por la inversa de la pendiente de larecta de regresión de X sobre Y:
El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas de regresión es:
Como la varianza de Y es 3: σX2 1
2=
σσσσ
σσ
XY
X
Y
XY
Y
X
2
2
2
2
2
32 3
=
=
⎫
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
= ⋅→ → σσ σ σ σY X Y X2 26 6= =→
Por tanto, tenemos que: 0,8164r = ⋅ =21
3
r mm
XY
X
XY
Y
XY
X Y
= ⋅ = ⋅ =⋅
12 2'
σσ
σσ
σσ σ
x
y
= −
= −
⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
1
1
2 1 03 2 0
1 1x yx y
x y− + =− + =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
= − = −→ ,
064
8 3 61 0
18 023 41
8 5 20x y
x yx y
x y− − =
− + =
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪= =
− +→ ,
==
− − =
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪= =
0
5 2 10 010 20
x yx y→ ,
063
10SOLUCIONARIO
833243 _ 0400-0433.qxd 14/10/08 09:29 Página 433
434
Demuestra que la respuesta correcta a El problema de Monty Halles la que dio Marilyn vos Savant.
Si la puerta elegida tenía una cabra detrás, y esto ocurre en dos de los tres casos, hay dos posibilidades: mantener la opción y ganar una cabra, o cambiarla y elegir la otra puerta (la que no se ha abierto), donde estará el coche.
Si la puerta elegida tenía detrás el coche también hay dosposibilidades: mantener la opción y ganarlo, o cambiarla y elegir la otra puerta, en la que hay una cabra.
Por tanto, si se cambia de puerta dos de las tres veces se gana el coche.
Probabilidad11L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El curioso incidente del perro a medianoche El señor Jeavons decía que a mí me gustaban las matemáticas porqueson seguras. Decía que me gustaban las matemáticas porque consistenen resolver problemas, y esos problemas son difíciles e interesantes,pero siempre hay una respuesta sencilla al final. Y lo que quería decirera que las matemáticas no son como la vida, porque al final en la vidano hay respuestas sencillas.Eso es así porque el señor Jeavons no entiende los números.He aquí una famosa historia llamada El Problema de Monty Hall, quehe incluido en este libro porque ilustra lo que quiero decir.Había una columna titulada «Pregúntale a Marilyn» en una revista lla-mada Parade, en Estados Unidos. Y esa columna la escribía Marilynvos Savant y en la revista se decía que tenía el mayor coeficiente inte-lectual del mundo según el Libro Guinness de los Récords. En la colum-na respondía a preguntas sobre matemáticas enviadas por los lectores.En septiembre de 1990 envió la siguiente pregunta Craig F. Whitaker,de Columbia, Maryland […]:«Estás en un concurso en la televisión. En este concurso la idea es ga-nar como premio un coche. El locutor del programa te enseña trespuertas. Dice que hay un coche detrás de una de las puertas y que de-trás de las otras dos hay cabras. Te pide que elijas una puerta. Tú eli-ges una puerta, que no se abre todavía. Entonces, el locutor abre unade las puertas que tú no has elegido y muestra una cabra (porque élsabe lo que hay detrás de las puertas). Entonces dice que tienes unaúltima oportunidad de cambiar de opinión antes de que las puertas seabran y consigas un coche o una cabra. Te pregunta si quieres cambiarde idea y elegir la otra puerta sin abrir. ¿Qué debes hacer?».Marilyn vos Savant dijo que siempre debías cambiar y elegir la últimapuerta, porque las posibilidades de que hubiese un coche detrás deesa puerta eran de 2 sobre 3.Pero, si usas la intuición, decides que las posibilidades son de 50 y 50,porque crees que hay igual número de posibilidades de que el cocheesté detrás de cualquiera de las puertas.Mucha gente escribió a la revista para decir que Marilyn vos Savant seequivocaba, incluso después de que ella explicara detalladamente porqué tenía razón. [...]
MARK HADDON
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 434
ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Calcula el resultado de estas operaciones.
a) 10 ⋅ 9!b) 10! −9!c) 4! + 5!d) 10! ⋅ 9!
a) 10 ⋅ 9! = 10! = 3.628.800
b) 10! − 9! = 9! ⋅ (10 − 1) = 9! ⋅ 9 =3.265.920
c) 4! + 5! = 4! ⋅ (1 + 5) = 4! ⋅ 6 = 144
d) 10! ⋅ 9! = 1.316.818.944.000
Haz estas operaciones.
a) c)
b) d)
Hemos alquilado un palco en el teatro con 6 asientos. ¿De cuántas formas podemossentarnos mis padres, mi hermana y yo?
Con 14 bolas rojas, 13 azules, 12 naranjas y 11 blancas, ¿cuántos collares diferentesde 10 bolas podemos hacer?
¿Cuántas formas hay de ponerse 5 anillos, uno en cada dedo de la mano?
P5 5 120= =! formas
005
VR50 101050, = collares
004
V6 46
26 5 4 3 360,
!
!· · ·= = = formas
003
d) 10 2 1 0240
1010
ii
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = =
=∑ .
c) 54
105
87
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = + − −9
35
4 1
10
5 5
8
7 1
9!
! · !
!
! · !
!
! · !
!!
! · !3 6
5 252 8 84 165
=
= + − − =
b) 106
96
10
6 4
9
6
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ = +
!
! · !
!
!! · !
· · ·
· · ·
· ·
· ·3
10 9 8 7
4 3 2 1
9 8 7
3 2 1210 84 294= + = + =
a) 74
75
85
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ == = =
8
5 3
8 7 6
3 2 156
!
! · !
· ·
· ·
10
0
10
ii
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
=∑10
696
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
54
105
87
93
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ −
⎛⎝⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
74
75
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟
002
001
11SOLUCIONARIO
435
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 435
436
Con 4 botes de pintura: amarilla, azul, roja y blanca, ¿cuántas mezclas de dos colorespuedes realizar?
ACTIVIDADES
Describe tres experimentos aleatorios y otros tres deterministas.
Respuesta abierta.
Experimentos aleatorios: lanzar una moneda y anotar el resultado de la carasuperior; extraer una de las cinco bolas distintas de una urna y anotar su color, y hacer girar una ruleta numerada del 1 al 7 y anotar el número en el que se detiene.
Experimentos deterministas: hallar el volumen de agua desplazado por un objetoen un recipiente; medir el tiempo necesario para realizar un trayecto a una velocidad constante, y calcular la altura alcanzada por un proyectil lanzado verticalmente.
Indica los sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno de los experimentos aleatorios de la actividad anterior.
Respuesta abierta.
Los sucesos elementales del primer experimento son: {cara} y {cruz}
El espacio muestral es: E = {cara, cruz}
Los sucesos elementales del segundo experimento son: {blanca}, {amarilla}, {azul},{roja} y {negra}
El espacio muestral es: E = {blanca, amarilla, azul, roja, negra}
Los sucesos elementales del tercer experimento son: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} y {7}
El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Halla experimentos aleatorios que tengan:
a) Cuatro sucesos elementales.b) Seis sucesos elementales.
Respuesta abierta.
a) Lanzar un dado tetraédrico y anotar el resultado de la cara inferior.
b) Elegir una de las tarjetas de un sobre en el que hay una tarjeta de cada uno de estos colores: amarillo, naranja, verde, azul, violeta y marrón.
Razona por qué no se puede encontrar ningún experimento aleatorio con un solosuceso elemental.
Si solo hay un suceso elemental, entonces el espacio muestral tiene un únicoelemento, es decir, solo hay un resultado posible. Por tanto, el experimento es determinista, y no aleatorio.
004
003
002
001
C4 24
2 26,
!
! · != = mezclas
006
Probabilidad
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437
Con ayuda de un diagrama de árbol, calcula el espacio muestral asociado al experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas y anotar el número de caras y cruces.
Cara CCCCara
Cruz CCXCara
Cara CXCCruz
Cruz CXX
Cara XCCCara
Cruz XCXCruz
Cara XXCCruz
Cruz XXX
El espacio muestral es: E = {CCC, CCX, CXC, CXX, XCC, XCX, XXC, XXX }
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar 3 monedas, encuentra dos sucesos compatibles y dos incompatibles.
Escribe dos sucesos seguros y dos imposibles.
Respuesta abierta.
Dos sucesos compatibles son: «Obtener cara en una moneda» y «Obtener cruz en una moneda».
Dos sucesos incompatibles son: «Obtener tres caras» y «Obtener cruz en una moneda».
Dos sucesos seguros son: «Obtener cara o cruz en cada moneda» y «Obtener 0, 1, 2 o 3 cruces».
Dos sucesos imposibles son: «Salir un número par» y «Salir un as».
Al extraer una carta de una baraja española, expresa estos sucesos en forma de uniones e intersecciones.
a) A = «Salir una figura de copas» b) B = «Salir una sota o bastos»
a) A = {Salir la sota de copas} ∪ {Salir el caballo de copas} ∪ {Salir el rey de copas}
b) B = {Salir una sota} ∪ {Salir una carta de bastos}
Pon un ejemplo y comprueba las siguientes igualdades.
a) A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) b) A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )
Respuesta abierta.
En el experimento que consiste en lanzar un dado consideramos los sucesos:
A = {1, 2, 4, 6} B = {1, 2, 3} C = {1, 3, 5}
b) A B C A
A B A C
∪ ∩ = ∪ =
∪ ∩ ∪ =
( ) { , } { , , , , }
( ) ( ) {
1 3 1 2 3 4 6
1,, , , , } { , , , , , } { , , , , }2 3 4 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 6∩ =
a) A B C A
A B A C
∩ ∪ = ∩ =
∩ ∪ ∩ =
( ) { , , , } { , }
( ) ( ) { ,
1 2 3 5 1 2
1 2}} { } { , }∪ =1 1 2
008
007
006
005
11SOLUCIONARIO
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438
Lanzamos 2 monedas y contamos el número de caras.
a) Describe el espacio muestral.
b) ¿Podrías asignarle alguna probabilidad a los sucesos elementales?
a) El espacio muestral es: E = {CC, CX, XC, XX }
b) La probabilidad de obtener una cara o una cruz en una moneda es igual.Repartimos la probabilidad total entre los sucesos elementales y obtenemos:
En un llavero hay 3 llaves de las que solo una llave abre un cofre.
a) ¿Qué probabilidad hay de abrir en un intento?
b) ¿Y de abrir en tres intentos o menos?
a) P(Abrir en un intento) =
b) P(Abrir en tres intentos o menos) = 1
Se lanza un dado de 6 caras donde hay marcados tres 1, dos X y un 2.
Calcula la probabilidad de estos sucesos.
a) «Salir 1» b) «Salir X» c) «Salir 2»
a) P(Salir 1) = b) P(Salir X) = c) P(Salir 2) =
De 20 alumnos hay que elegir a 3 representantes para formar un grupo de trabajo.
Calcula la probabilidad de que los representantes sean Marta, Julia y Rodrigo.
P(Salir Marta, Julia y Rodrigo) = = 0,00088
En una empresa de rodamientos tienen una máquina que fabrica arandelas.
Diseña un método para calcular la probabilidad de que la máquina fabrique una arandela que sea defectuosa.
Se examina un número grande de arandelas para ver cuántas son defectuosas y se apuntan las frecuencias absolutas. Se calculan las frecuencias relativas para observar su tendencia y asignar la probabilidad de que la máquina fabriqueuna arandela defectuosa.
013
1
1 140.
C20 320
3 17
20 19 18
3 2 11 140,
!
! · !
· ·
· ·.= = =
012
1
6
1
3
1
2
011
1
3
010
P XX( ) =1
4P XC( ) =
1
4
P CX( ) =1
4P CC( ) =
1
4
009
Probabilidad
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439
Al lanzar un dado se han obtenido estos resultados.
¿Qué conclusión puedes deducir?
La frecuencia relativa del último valor esaproximadamente el doble de las demás;por tanto, el dado está trucado de modoque el suceso «Salir 6» tenga el doble deprobabilidad que el resto de los sucesoselementales.
Si P( A) = 0,2; P( B) = 0,7 y P( A ∩ B) = 0,1; calcula.
a) P( A ∪ B) b) P( A� ∪ B�) c) P( A −B) d) P( B� −A)
Razona las siguientes afirmaciones.
a) Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,45; los sucesos A y B son compatibles.
b) Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,4; A y B son contrarios.
a) P(A) + P(B) > 1 → P(A ∩ B) � 0 → A y B son sucesos compatibles.
b) P(A) + P(B) = 1 → P(A) = 1 − P(B) → A y B son sucesos contrarios.
En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas. Si escogemos una persona al azar, calcula la probabilidad de que:
a) Sea chica, sabiendo que lleva gafas. b) Lleve gafas, sabiendo que es chico.
A = «Ser chica» B = «Ser chico» G = «Llevar gafas»
En un panel electrónico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciendeuna luz. Halla la probabilidad de acertar con el interruptor correcto:
a) En el primer intento. c) En el tercer intento.
b) En el segundo intento. d) En el cuarto intento.
d) /P A A A A( )4 1 2 3 1∩ ∩ =b) /P A A( )2 11
3=
c) /P A A A( )3 1 21
2∩ =a) P A( )1
1
4=
018
b) /P G B( ) = =4
8
1
2a) /P A G( ) = =
6
10
3
5
017
016
d) P B A P B A P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , ,− = ∩ = ∪ = − ∪ = − =1 1 0 8 0 2
c) P A B P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , ,− = ∩ = − ∩ = − =0 2 0 1 0 1
b) P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) , ,∪ = ∩ = − ∩ = − =1 1 0 1 0 9
a) P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,∪ = + − ∩ = + − =0 2 0 7 0 1 0 8
015
1 2 3 4 5 6
fi 51 48 52 50 49 102
014
11SOLUCIONARIO
Resultados fi hi
1 51 0,14
2 48 0,14
3 52 0,15
4 50 0,14
5 49 0,14
6 102 0,29
N = 352
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440
En una oficina hay 8 chicos y 9 chicas. De ellos, 4 chicos y 6 chicas llevan gafas. Si escogemos un trabajador al azar, calcula las siguientes probabilidades.
a) Sea chica y no lleve gafas.
b) No lleve gafas y sea chico.
A = «Ser chica» B = «Ser chico» G = «Llevar gafas»
En un panel electrónico hay 4 interruptores, de los que solo uno de ellos enciendeuna luz. Consideramos el experimento aleatorio que consiste en anotar el número de interruptores que necesito pulsar para encender la luz. Describe el espaciomuestral y calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales.
E = {un conmutador, dos conmutadores, tres conmutadores, cuatro conmutadores}
Completa la siguiente tabla de contingencia,explicando cómo obtienes los datos que faltan.
60 + 45 = 105 fumadores
60 + 50 = 110 hombres
200 − 110 = 90 mujeres
90 − 45 = 45 mujeres que no fuman
50 + 45 = 95 no fumadores
Utilizando la tabla de la actividad anterior, calcula las siguientes probabilidades.
a) Al elegir una persona, ¿qué probabilidad hay de que sea fumadora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona escogida al azar no fume y sea mujer?
c) Si la persona fuma, ¿qué probabilidad hay de que sea un hombre?
A = «Ser hombre» B = «Ser mujer» F = «Ser fumador»
c) /P A F( ) = =60
105
4
7b) P F B( )∩ = =
45
200
9
40a) P F( ) = =
105
200
21
40
022
110
90
200
Fuma No fuma
60 50
45 45
105 95
Hombre
Mujer
021
P P A A A A A A A( ) (cuatro conmutadores / /= ∩ ∩ ∩ ∩1 2 1 3 1 2 44 1 2 3
3
4
2
3
1
21
1
4
/A A A∩ ∩ =
= =
)
· · ·
P P A A A A A A( ) ( )tres conmutadores / /= ∩ ∩ ∩ =1 2 1 3 1 23
4·· ·
2
3
1
2
1
4=
P P A A A( ) ( ) ·dos conmutadores /= ∩ = =1 2 13
4
1
3
1
4
P P A( ) ( )un conmutador = =11
4
020
b) /P G B P G P B G( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =7
17
4
7
4
17
a) /P A G P A P G A( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =9
17
3
9
3
17
019
Probabilidad
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441
Describe tres experimentos aleatorios, y determina sus sucesos elementales y el espacio muestral de cada uno.
Respuesta abierta.
Si se tienen cinco tarjetas con las vocales en una bolsa y se extrae una de ellas; los sucesos elementales son: {a}, {e}, {i}, {o} y {u}, y el espacio muestral es: E = {a, e, i, o, u}
Se lanza un dado con las caras de distintos colores y se anota el color de la carasuperior; los sucesos elementales son: {blanco}, {azul}, {verde}, {amarillo}, {rojo} y {negro}, y el espacio muestral es: E = {blanco, azul, verde, amarillo, rojo, negro}
En una caja se tienen las fichas de un damero y se extrae una de ellas; los sucesoselementales son: {blanca} y {negra}, y el espacio muestral es: E = {blanca, negra}
Indica experimentos aleatorios que tengan:
a) Tres sucesos elementales. b) Doce sucesos elementales.
Respuesta abierta.
a) Se extrae una bola de una urna en la que hay bolas azules, rojas y amarillas.
b) Se extrae una tarjeta de una caja en la que hay tarjetas numeradas del 1 al 12.
Si un experimento aleatorio tiene dos sucesos elementales, A y B:
a) ¿Cuántos sucesos tiene el experimento?
b) Describe la unión, la intersección y los contrarios de los sucesos A y B.
a) El experimento tiene tres sucesos: A, B y el suceso seguro E.
A partir del gráfico, comprueba las siguientes igualdades de sucesos.
a) c)
b) d)
A B∪ A B∩b)
A −B A B∩
a)
A A=A B A B∪ = ∩
A B A B∩ = ∪A B A B− = ∩
E
A
B
026
b) A B E A B A B B A∪ = ∩ = ∅ = =
025
024
023
11SOLUCIONARIO
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442
En el experimento que consiste en lanzar 3 veces una moneda, consideramos los siguientes sucesos.
A = «Salir dos cruces» C = «La última es una cruz»B = «Salir alguna cara» D = «La primera es una cara»
Describe los casos elementales que componen los sucesos.
a) A ∩ C c) A ∪ C e) C ∩ Db) A −B d) f )
Se lanzan tres monedas y se consideran los sucesos:
A = «Salir dos caras» B = «Salir tres cruces» C = «Salir una cara»
Define verbalmente estos sucesos.
a) b) c)
a) «Salir dos caras, tres o ninguna» c) «Salir una cara»
b) «Salir una cara, tres o ninguna»
Lanzamos tres veces un dado de cuatro caras, anotando el resultado de la cara oculta, y consideramos los sucesos.
A = «Salir, al menos, un 1»B = «No salir un 2»C = «Los tres números sumen menos que 8»D = «Salir más de un 3»E = «Salir menos de dos números 4»
Describe los sucesos contrarios de cada uno de los sucesos anteriores.
= «No salir ningún número 1» = «Salir uno o ningún número 3»
= «Salir uno, dos o tres números 2» = «Salir dos, tres o cuatro números 4»
= «Los tres números sumen 8 o más»C
EB
DA
029
C B∩A B∪C
028
f) C D E∪ =c) A C CXX XCX XXC CCX XXX∪ = { , , , , }
e) C D CCX CXX∩ = { , }b) A B− = ∅
d) B D XCC XCX XXC∩ = { , , }a) A C CXX XCX∩ = { , }
C D∪B D∩
027
A
A A=
→
d)
A B∩ A B∪
c)
Probabilidad
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443
En una caja tenemos carteles con las siguientes letras.
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, o, u
a) En el experimento aleatorio consistente en extraer uno de los carteles, describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen.
V = «Vocal»C = «Consonante»A = «Letra alta como b o f»B = «Letra baja como g»M = «Letra mediana como a o c»
b) Enumera los sucesos elementales que tiene cada uno de estos sucesos.
A ∪ B M ∩ A
M ∪ V
M ∩ V
C − A
c) Comprueba las propiedades.
a) V = {a, e, i, o, u}C = {b, c, d, f, g, h, j }A = {b, d, f, h}B = {g, j }M = {a, c, e, i, o, u}
C M a b c d e f g h i j o u C M
C a e i
∪ = ∪ = ∅
=
{ , , , , , , , , , , , }
{ , ,
→
,, , }
{ , , , , , }
o u
M b d f g h jC M
=
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪∩ = ∅→
c) C M C C M a b d e f g h i j o u
C a e
∩ = ∩ =
=
{ } { , , , , , , , , , , }
{ ,
→
,, , , }
{ , , , , , }{ , , ,
i o u
M b d f g h jC M a b d e
=
⎫⎬⎪⎪
⎭⎪⎪∪ =→ ,, , , , , , , }f g h i j o u
C A c g j− = { , , }
A C a c e g i j o u∩ = { , , , , , , , }
M V a e i o u∩ = { , , , , }
C A B a b d e f g h i j o u∪ ∪ = { , , , , , , , , , , }
A a c e g i j o u= { , , , , , , , }
M V a c e i o u∪ = { , , , , , }
M A∩ = ∅
b) { }A B b d f g h j∪ = , , , , ,
C M C M∪ = ∩C M C M∩ = ∪
A C∩C A B∪ ∪
A
030
11SOLUCIONARIO
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444
Un experimento consiste en sacar una bola de una urna con 4 bolas rojas,numeradas del 1 al 4; 5 azules, numeradas del 1 al 5, y 3 negras, numeradas del 1 al 3.
R = «Salir bola roja» A = «Salir bola azul»N = «Salir bola negra»I = «Salir número impar»P = «Salir número par»
Describe los sucesos.
a) R ∪ P c) e)
b) I ∪ P d) R ∩ I f )
En una caja hay 5 botones rojos, 3 azules y 7 verdes. Si sacamos un botón al azar,calcula la probabilidad de los siguientes sucesos.
A = «Salir botón rojo»
B = «Salir botón verde o azul»
C = «No salir botón azul»
Una baraja española se compone de 40 cartas. Llamamos figuras a las sotas, los caballos y los reyes. En el experimento consistente en sacar una carta de la baraja,consideramos A = «Salir un as», C = «Salir copas» y F = «Salir una figura».
Determina las siguientes probabilidades.
P( A) P( C ) P( F )P( A ∩ F ) P( A ∪ C ) P( C ∩ F )P( A� ∩ F ) P( A� ∩ C ) P( A ∪ C�)
P A C( )∪ =31
40P A C( )∩ =
9
40P A F( )∩ =
3
10
P C F( )∩ =3
40P A C( )∪ =
13
40P A F( )∩ = 0
P F( ) =3
10P C( ) =
1
4P A( ) =
1
10
033
P C( ) =4
5P B( ) =
2
3P A( ) =
1
3
032
f ) R A N N N∪ = { , , }1 2 3
e) N R R R R A A A A A= { , , , , , , , , }1 2 3 4 1 2 3 4 5
d) R I R R∩ = { , }1 3
c) P N N N∩ = { , }1 3
b) I P R R R R A A A A A N N N∪ = { , , , , , , , , , , , }1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3
a) R P R R R R A A N∪ = { , , , , , , }1 2 3 4 2 4 2
R A∪NP N∩
031
Probabilidad
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445
En una empresa disponen de los tipos y las marcas de vehículos reflejados en la tabla.
Si las llaves están en una caja y elegimos una llave al azar, determina cuál será la probabilidad de que:
a) Las llaves sean de un vehículo de la marca Seat.
b) Las llaves sean de una furgoneta de la marca Renault.
c) Las llaves pertenezcan a un turismo que no sea Opel.
d) Las llaves no sean de una furgoneta, ni de un vehículo de la marca Seat.
El 35% de los vecinos de un barrio practica algún deporte (D). El 60 % está casado (C ) y el 25 % no está casado, ni hace deporte.
Describe, en función de D y C, los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades.
a) Está casado y practica deporte.b) Practica deporte, pero no está casado.c) Está casado, pero no practica deporte.d) No está casado.e) No está casado, ni practica deporte.
a)
b)
c)
d)
e)
P C D( ) ,∩ = 0 25
C D∩
P C P C( ) ( ) , ,= − = − =1 1 0 6 0 4
C
P C D P C P C D( ) ( ) ( ) , , ,∩ = − ∩ = − =0 6 0 2 0 4
C D∩
P D C P D P D C( ) ( ) ( ) , , ,∩ = − ∩ = − =0 35 0 2 0 15
D C∩
P C D P C D
P C D P C P D P
( ) , ( ) ,
( ) ( ) ( ) (
∩ = ∪ =
∩ = + −
0 25 0 75→→ CC D∪ = + − =) , , , ,0 6 0 35 0 75 0 2
C D∩
035
d) P F S( )∩ =9
25b) P F R( )∩ =
2
25
c) P T O( )∩ =11
25a) P S( ) =
13
25
Opel Renault Seat
Turismo 3 6 5
Furgoneta 1 2 8
034
11SOLUCIONARIO
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446
Un vidente predice que, en el próximo sorteo de lotería, el primer premio va a ser un número con tres cifras distintas de 0 y, además, todas serán diferentes.Juan ha comprado el número 00175, Belén ha comprado 13340 y Andrés ha comprado 00643.
En el caso de que el vidente esté en lo cierto, di cuál es la probabilidad de lossiguientes sucesos.
a) Juan resulte afortunado.
b) Belén acierte la terminación.
c) Andrés acierte las tres primeras cifras (006).
c) Podemos hacer: 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números de tres cifras distintas de cero.
Hay formas distintas de colocar 2 ceros en un número de 5 cifras.
Si el vidente tiene razón, el número de posibilidades es: 10 ⋅ 504 = 5.040posibilidades, y de ellas 56 posibilidades comienzan por 006,
luego la probabilidad es:
El espacio muestral de un experimento aleatorio se compone de los sucesoselementales a, b, c y d.
Sabiendo que estos sucesos son equiprobables y que:
M = {a} N = {b} P = {c, d } Q = {b, c, d }
Calcula las probabilidades de los sucesos:
a) M b) M ∪ Q c) P d) P� ∪ N e) M ∩ Q f ) Q� ∪ P
a) c) e)
b) d) f )
Se lanzan dos dados y se calcula la diferencia entre los resultados mayor y menor.Halla las siguientes probabilidades.
a) La diferencia sea 0.
b) La diferencia sea 1.
c) La diferencia sea 2.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que la diferencia sea 3 o más?
e) ¿Y de que la diferencia se encuentre entre 2 y 4, ambos números incluidos?
a) c) e)
b) d)12
36
1
3=
10
36
5
18=
18
36
1
2=
8
36
2
9=
6
36
1
6=
038
P Q P( )∪ =3
4P P N( )∪ =
1
2P M Q( )∪ = 1
P M Q( )∩ = 0P P( ) =1
2P M( ) =
1
4
037
56
5 040
1
90.=
52
10⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ =
b)9 8 7 6 1
9 8 7 7 6
1
7
· · · ·
· · · ·=
a)1
9 8 7 7 6
1
21 168· · · · .=
036
Probabilidad
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447
Los médicos de un hospital hacen guardias tres días a la semana.
a) Calcula la probabilidad de que un médico haga guardia el lunes, el martes y el miércoles.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que libre el fin de semana (sábado y domingo)?
c) ¿Y de que esté de guardia tres días alternos, es decir, con un día de descansoentre la primera y la segunda guardias, y otro día de descanso entre la segunda y la tercera?
a) P(Hacer guardia lunes, martes y miércoles) =
b) P(No hacer guardia sábado y domingo) = 1 − P(Hacer guardia sábado,
domingo y otro día de la semana) =
c) P(Hacer guardia lunes, miércoles y viernes) ++ P(Hacer guardia lunes, miércoles y sábado) +
+ P(Hacer guardia lunes, jueves y sábado) +
+ P(Hacer guardia lunes, viernes y domingo) +
+ P(Hacer guardia martes, jueves y sábado) +
+ P(Hacer guardia martes, jueves y domingo) +
+ P(Hacer guardia martes, viernes y domingo) +
+ P(Hacer guardia miércoles, viernes y domingo) =
Sacamos una ficha del dominó. Determina las probabilidades de los siguientessucesos.
a) Que la ficha obtenida tenga un 1.
b) Que la suma de sus puntos sea mayor que 4.
c) Que la ficha se pueda encadenar a la ficha 3:5.
Imagina que hemos sacado una ficha y ha resultado ser la ficha 2:6. ¿Cuál es la probabilidad de sacar otra ficha y de que no se pueda encadenar a esta?
a) b) c)
La probabilidad pedida es:
En un experimento aleatorio sabemos que:
P( A) = 0,6 P( B) = 0,5 P( A ∩ B) = 0,2
Calcula.
a) P( A�) d) P( A − B)
b) P( A ∪ B) e) P( B� − A)
c) P( A� ∪ B�) f) P( A�∪�B�)
041
15
28
12
28
3
7=
17
28
7
28
1
4=
040
8
35
15
35
6
7− =
1 1
357 3C ,
=
039
11SOLUCIONARIO
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448
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Si A y B son incompatibles y P( A) = 0,6 y P( A ∪ B) = 0,9; halla:
P( B) P( A − B) P( A� ∩ B)
Determina P( A ∪ B), P( A� ∪ B�) y P( A� ∩ B�), si:
P( A) = 0,6 P( B) = 0,5 P( A ∩ B) = 0,3
Halla P( A), P( B) y P( A� ∩ B), si:
P( A ∪ B) = 0,8 P( B�) = 0,6 P( A ∩ B) = 0,3
¿Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) = 0,6; P( B) = 0,8 y P( A� ∪ B�) = 0,7?
No es posible.
¿Es posible que haya dos sucesos tales que P( A) = 0,3; P( B) = 0,6 y P( A ∩ B) = 0,3?¿Cómo son esos sucesos?
Sí, es posible, pues:
El suceso A está contenido en el suceso B.
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , , .∪ = + − ∩ = + − =0 3 0 6 0 3 0 6
046
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,∪ = + − ∩ = + − = >0 6 0 8 0 3 1 1 1
P A B P A B P A B P A B( ) ( ) , ( ) , ( ) ,∪ = ∩ = − ∩ = ∩ =0 7 1 0 7 0 3→ →
045
P A B P B P A B( ) ( ) ( ) ,∩ = − ∩ = 0 1
P A P A B P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,= ∪ − + ∩ = 0 7
P B P B( ) ( ) ,= − =1 0 4
044
P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ,∩ = ∪ = − ∪ =1 0 2
P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ,∪ = ∩ = − ∩ =1 0 7
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,∪ = + − ∩ = 0 8
043
P A B P B P A B( ) ( ) ( ) ,∩ = − ∩ = 0 3
P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = 0 6
P B P A B P A( ) ( ) ( ) ,= ∪ − = 0 3
042
P A B P A B( ) ( ) ,∪ ∪= − =1 0 1
P B A P B P B A P B P A P A B( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− = − ∩ = − − − ∩⎡⎣ ⎤⎦ =1 1−− ∪ =P A B( ) ,0 1
P A B P A P A B( ) ( ) ( ) ,− = − ∩ = 0 4
P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) ,∪ = ∩ = − ∩ =1 0 8
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( ) ,∪ = + − ∩ = 0 9
P A P A( ) ( ) ,= − =1 0 4
Probabilidad
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 448
449
¿Es posible encontrar dos sucesos tales que P( A) = 0,5; P( B) = 0,2 y P( A� ∩ B�) = 0,6?
Sí, es posible.
Si P( A) = 0,7 y P( B) = 0,4; ¿pueden ser incompatibles?
No, porque si
Si P( A) = 0,6 y P( B) = 0,3; ¿pueden ser incompatibles? En caso afirmativo, ¿cuántotiene que valer P( A ∪ B)?
Sí, pueden ser incompatibles:
Entonces, resulta que:
Sabemos que P( A ∪ B) = P( A) −P( A ∩ B).
a) Decide cómo son los sucesos A y B.
b) Calcula P( A ∪ B) y P( A ∩ B).
El enunciado indica que , y por otra parte, sabemos
que .
De ambas igualdades obtenemos que P(B) = 0 y P(A ∩ B) = 0.
a) Los sucesos A y B son disjuntos, pues la probabilidad de su intersección es cero.
b) P(A ∪ B) = P(A) P(A ∩ B) = 0
Si E = {S1, S2, S3, S4} es el espacio muestral de un experimento aleatorio,
¿puede suceder que P( S1) = , P( S2) = , P( S3) = y P( S4) = ?
No puede suceder, porque la probabilidad no puede valer más de 1.
Discute si estás de acuerdo con el razonamiento.
«Cuando lanzo dos dados y sumo los resultados, para obtener 11 necesito un 5 y un 6. Si deseo conseguir 12 es preciso que aparezcan dos 6. Es decir, hay un casofavorable para cada uno de los sucesos, luego la probabilidad es la misma».
Comprueba el resultado anterior, calculando su probabilidad de maneraexperimental: lanza un dado 200 veces (o cinco dados 40 veces) y estudia cuál de los dos sucesos sale más veces.
El razonamiento no es correcto, porque hay dos formas de obtener un 5 y un 6;por tanto, la probabilidad de obtener 11 es el doble que la de obtener 12.
P(Obtener 11) = P(Obtener 12) =1
36
2
36
1
18=
052
1
5
2
3
1
4
1
6
57
601+ + + = <
1
6
1
4
2
3
1
5
051
P A B P A P B P A B( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩
P A B P A P A B( ) ( ) ( )∪ = − ∩
050
P A B P A P B( ) ( ) ( ) ,∪ = + = 0 9
P A P B( ) ( ) , ,+ = + <0 6 0 3 1
049
P A B P A B P A P B( ) ( ) ( ) ( ) .∩ = ∪ = + >0 1→
048
P A B P A P B P A B P A B( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ,∪ = + − ∩ = ∩ =0 4 0 3→
P A B P A B P A B P A B( ) ( ) ( ) , ( ) ,∩ = ∪ = − ∪ = ∪ =1 0 6 0 4→
047
11SOLUCIONARIO
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450
Un jugador de parchís fabrica un dado trucado, donde todos los números tengan la misma probabilidad de salir, salvo el 5, que quiere que salga dos veces más que el 1, el 2, el 3 y el 4, y el 6, que quiere que salga el doble de veces que el 5. ¿Cuál es la probabilidad de cada número?
P(Salir 1) = x P(Salir 3) = x P(Salir 5) = 2x
P(Salir 2) = x P(Salir 4) = x P(Salir 6) = 4x
Entonces: P(Salir 1) = P(Salir 2) =
P(Salir 3) = P(Salir 4) =
P(Salir 5) = P(Salir 6) =
En un montón de cartas hemos determinado que
¿Cuántas cartas de cada palo hay en el montón?
P(Oros) = P(Copas) = P(Espadas) =
El número de cartas del montón es proporcional a 12, luego si suponemos que setrata de una sola baraja, puede haber 12, 24 o 36 cartas y, por tanto, habrá 5, 3 y 4;10, 6 y 8; o 15, 9 y 12 cartas de oros, copas y espadas, respectivamente. No hay cartasde bastos, porque la suma de las probabilidades de oros, copas y espadas es 1.
Vamos a extraer una bola de una urna que contiene 3 bolas rojas, 2 azules y 5 verdes,numeradas del 1 al 3, del 1 al 2 y del 1 al 5, respectivamente.
Consideremos los sucesos.
R = «Salir bola roja»
A = «Salir bola azul»
V = «Salir bola verde»
S2 = «Salir bola con un 2»
S3 = «Salir bola con un 3»
S5 = «Salir bola con un 5»
Determina las probabilidades.
a) P( R/S3) d) P( A/S2) g) P( S5 ∩V )
b) P( V�/S2) e) P( S3 /R) h) P( A ∩S2)
c) P( S5 / V ) f ) P( V/S5)
055
1
3
4
12=
1
4
3
12=
5
12
P P P P( ) , , ( ) (Oros (Copas) Espadas y Bas= = =5
12
1
4
1
3ttos) = 0
054
2
5
1
5
1
10
1
10
1
10
1
10
P E x x x x x x x x( ) = + + + + + = = =1 2 4 1 10 11
10→ → →
053
Probabilidad
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451
A una excursión acuden niños, padres y profesores de dos colegios, como se indicaen la tabla.
Si llamamos N = «Ser niño», P = «Ser padre», F = «Ser profesor», A = «Pertenecer al colegio A» y B = «Pertenecer al colegio B», calcula las probabilidades.
a) P( P) c) P( A/N) e) P( P ∩B)
b) P( A) d) P( B/F) f ) P( P/B)
Comprueba si los sucesos P y B son independientes.
Una empresa de transporte tiene dos autobuses, A y B, y tres conductores, Diego (D), Elena (E ) e Inés (I ). Los viajes realizados por los conductores y los autobuses durante el último mes se han reflejado en la tabla.
Durante uno de los viajes se produjo un accidente:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que condujera Elena?
b) ¿Y de que el autobús afectado fuera B?
c) Estudia si E y B son sucesos independientes.
d) Haz lo mismo con los sucesos I y A.
Diego Elena Inés
Autobús A 10 5 20
Autobús B 30 10 30
057
P P P B P P B P B( ) · ( ) · ( )= = ∩8
95
35
95
3
95� → y no son sucesoos independientes.
f ) /P P B( ) =3
35c) /P A N( ) = =
50
80
5
8
e) P P B( )∩ =3
95b) P A( ) = =
60
95
12
19
d) /P B F( ) =2
7a) P P( ) =
8
95
Niños Padres Profesores
Colegio A 50 5 5
Colegio B 30 3 2
056
h) /P A S P A P S A( ) ( ) · ( ) ·∩ = = =2 21
5
1
2
1
10d) /P A S( )2
1
3=
g) /P S V P V P S V( ) ( ) · ( ) ·5 51
21
1
2∩ = = =c) /P S V( )5
1
5=
f) /P V S( )5 1=b) /P V S( )22
3=
e) /P S R( )31
3=a) /P R S( )3
1
2=
11SOLUCIONARIO
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452
Una urna contiene 3 bolas rojas, 2 verdes y 1 azul.
a) Extraemos una bola, anotamos su color, la devolvemos a la urna, sacamos otrabola y anotamos su color. Halla las siguientes probabilidades.
• Que las dos bolas sean rojas.• Que haya alguna bola azul.• Que no haya ninguna bola verde.
b) Repetimos el experimento sin devolver la bola a la urna. Determina las mismasprobabilidades.
Si sacáramos las dos bolas a la vez, ¿en cuál de las dos situaciones anteriores nos encontraríamos?
P(Al menos una bola azul) =
P(Al menos una bola azul) =
Nos encontraríamos en la situación del apartado b), ya que si se sacan dos bolas a la vez no hay reemplazamiento como en el primer caso.
De una caja que contiene 3 fichas azules y 5 rojas sacamos 2 fichas. Determina las siguientes probabilidades.
a) Salgan 2 fichas azules.
b) Sean 2 fichas rojas.
c) La primera sea azul y la segunda roja.
d) Haya una ficha azul y otra roja.
c) /P A R P A P R A( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 13
8
5
7
15
56∩ = = =
b) /P R R P R P R R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 15
8
4
7
5
14∩ = = =
a) /P A A P A P A A( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 13
8
2
7
3
28∩ = = =
059
P V V( ) ·1 22
3
3
5
2
5∩ = =
1 15
6
4
5
1
31 2− ∩ = − =P A A( ) ·
b) P R R( ) ·1 21
2
2
5
1
5∩ = =
P V V( ) ·1 22
3
2
3
4
9∩ = =
1 15
6
5
6
11
361 2− ∩ = − =P A A( ) ·
a) P R R( ) ·1 21
2
1
2
1
4∩ = =
058
d) y no sP I A P I P A I A( ) · ( ) · ( )∩ = = =20
105
4
21
10
21
1
3� → oon sucesos independientes.
c) y son sucesos iP E B P E P B E B( ) ( ) · ( )∩ = = =10
105
2
21→ nndependientes.
b) P B( ) = =70
105
2
3a) P E( ) = =
15
105
1
7
Probabilidad
e) La segunda sea roja, si la primeraes azul.
f ) La segunda sea roja, si la primeraes roja.
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453
De una bolsa en la que tenemos 3 fichas azules y 5 rojas sacamos dos fichas con reemplazamiento. Calcula la probabilidad de que:
a) Las dos fichas sean azules.
b) Las dos fichas sean rojas.
c) La primera ficha sea azul y la segunda roja.
d) Haya una ficha azul y otra roja.
Al realizar el experimento con reemplazamiento, las dos extracciones son independientes:
Un examen tipo test consta de dos preguntas para las que se ofrecen cuatro posibles respuestas, de las que solo una es correcta. Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar dos preguntas? ¿Y de no acertar ninguna? Resuélvelo considerando que el examen consta de cuatro preguntas.
P A A A A( ) · · ·1 2 3 43
4
3
4
3
4
3
4
81
256∩ ∩ ∩ = =
P A A A A( ) · · ·1 2 3 41
4
1
4
1
4
1
4
1
256∩ ∩ ∩ = =
P A A( ) ·1 23
4
3
4
9
16∩ = =
P A A( ) ·1 21
4
1
4
1
16∩ = =
061
d) P A R P R A( ) ( ) · ·1 2 1 23
8
5
8
5
8
3
8
30
64
15
32∩ + ∩ = + = =
c) P A R P A P R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 23
8
5
8
15
64∩ = = =
b) P R R P R P R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 25
8
5
8
25
64∩ = = =
a) P A A P A P A( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 23
8
3
8
9
64∩ = = =
060
f) /P R RP R R
P R( )
( )
( )2 1
1 2
1
514
5
8
4
7=
∩= =
e) /P R AP A R
P A( )
( )
( )2 1
1 2
1
15
563
8
5
7=
∩= =
d) P A R P R A( ) ( ) · ·1 2 1 23
8
5
7
5
8
3
7
15
28∩ + ∩ = + =
11SOLUCIONARIO
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454
¿Cuál es la probabilidad de tener 15 aciertos en una quiniela de fútbol compuesta por 15 partidos? ¿Y de tener 14 aciertos?
P(15 aciertos) = = 0,000000069
P(14 aciertos) = = 0,00000209
De una baraja extraemos dos montones de cartas; en el primer montón hay 5 oros y 2 copas, y en el segundo montón hay 2 oros, 3 copas y 5 espadas.
Se saca una carta del primer montón y otra del segundo. Determina las probabilidades de los siguientes sucesos.
a) Salen dos cartas de oros.
b) Son dos cartas de copas.
c) Hay una carta de oros y otra de copas.
d) La segunda carta es de espadas.
e) La segunda carta es de espadas, sabiendo que la primera fue de copas.
En un cajón tengo 3 calcetines rojos, 5 verdes y 8 negros. Si con la luz apagada saco un par, determina la probabilidad de que los calcetines sean de los colores que se indican en cada caso.
a) Ambos sean verdes.
b) Los dos sean del mismo color.
c) No haya ninguno rojo.
d) Si el primero que saqué resultó ser verde, el segundo también lo sea.
e) El primero es verde y el segundo es de cualquier otro color, excepto el verde.
b) /P R R P V V P N N P R P R R( ) ( ) ( ) ( ) · ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1∩ + ∩ + ∩ = ++ + =
= +
P V P V V P N P N N( ) · ( ) ( ) · ( )
·
1 2 1 1 2 1
3
16
2
15
5
1
/ /
66
4
15
8
16
7
15
41
120· ·+ =
a) /P V V P V P V V( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 15
16
4
15
1
12∩ = = =
064
e) / porque los sucesos son independieP E C( ) ,2 11
2= nntes.
d) P E( )25
10
1
2= =
c) P O C P C O( ) ( ) · ·1 2 1 25
7
3
10
2
7
2
10
19
70∩ + ∩ = + =
b) P C C( ) ·1 22
7
3
10
3
35∩ = =
a) P O O( ) ·1 25
7
2
10
1
7∩ = =
063
151
3
2
314· ·
1
315
062
Probabilidad
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455
En una caja hay 3 fichas rojas y 1 ficha azul. Un juego consiste en sacar una ficha,anotar su color, devolverla a la caja y seguir sacando hasta el momento en que se hayan conseguido 2 fichas azules.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar con menos de cuatro extracciones?
b) ¿Y cuál es la probabilidad de sacar 5 fichas y no ganar?
En una urna hay 5 bolas rojas, 2 negras y un número indeterminado de bolas azules.Se sabe que la probabilidad de que, al sacar dos bolas, haya 1 bola roja y 1 bola azul
es de . Determina el número de bolas azules que hay en la urna.
Sea x el número de bolas azules de la urna.
Para recibir las quejas de los clientes, una empresatelefónica dispone de una oficina atendida portres empleados.
• El empleado A está exclusivamente dedicado a la atención a los clientes y los otros dosempleados realizan, además, otras tareas.
• El empleado A atiende al 60 % de los visitantes, Bal 25 % y C al resto.
• El empleado más efectivo es A, que resuelve el 95 % de los problemas que le plantean los clientes, mientras que B solo resuelve el 80 % y C el 60 %.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no me atiendael empleado A?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema?
067
→ → →5
7 6 7
5
6
1
330 42 13 142
+ ++
+ += = + + =
x
x
x
x
x xx x x
xx
· ·==
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 3
P R A P A R P R P A R P A P R( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) · (1 2 1 2 1 2 1 1 2∩ + ∩ = +/ //A11
3) =
1
3
066
b) P R R R R R P A R R R R( ) ( )∩ ∩ ∩ ∩ + ∩ ∩ ∩ ∩ =⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟5
3
4
5
++⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =5
1
4
3
4
81
128
4
· ·
a) P A A P A R A P R A A( ) ( ) ( ) · · ·∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ = + +1
4
1
4
1
4
3
4
1
4
3
44
1
4
1
4
10
64
5
32· · = =
065
e) /P V R P V N P V P R V P V P( ) ( ) ( ) · ( ) ( ) · (1 2 1 2 1 2 1 1∩ + ∩ = + NN V2 1
5
16
3
15
5
16
8
15
11
48
/ )
· ·
=
= + =
d) /P V V( )2 14
15=
c) /P R R P R P R R( ) ( ) · ( ) ·1 2 1 2 113
16
12
15
13
20∩ = = =
11SOLUCIONARIO
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456
c) ¿Cuál es la probabilidad de que me resuelvan el problema si no me atiende A?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que no me resuelvan el problema si me atiende A?
e) Si no me han resuelto el problema, ¿cuál es la probabilidad de que me hayaatendido B?
PARA FINALIZAR...
Se lanza un dardo sobre el rectángulo determinado por las rectas x = ±2 e y = ±1 en un sistema de ejes coordenados.
Calcula la probabilidad de que el dardo impacte sobre un punto que:
a) Tenga su abscisa mayor que su ordenada.
b) La suma de sus coordenadas sea mayor que 1.
c) El producto de sus coordenadas sea positivo.
d) La suma de los valores absolutos de sus coordenadas sea mayor que 1.
a) P(La abscisa es mayor que la ordenada) =
1
1 X
Y
4
8
1
2=
1
1 X
Y
068
e) //
/ /P B R
P B P R B
P A P R A P B P R B( )
( ) · ( )
( ) · ( ) ( ) · ( )=
+ ++= =
P C P R C( ) · ( )
, · ,
,,
/
0 25 0 2
0 140 36
d) /P R A( ) ,= 0 05
c) // /
P R AP R A
P A
P B P R B P C P R C( )
( )
( )
( ) · ( ) ( ) · ( )=
∩=
+PP A( )
, · , , · ,
,,=
+=
0 25 0 8 0 15 0 6
0 40 725
b) / / /P R P A P R A P B P R B P C P R C( ) ( ) · ( ) ( ) · ( ) ( ) · ( )= + + === + + =0 6 0 05 0 25 0 2 0 15 0 4 0 14, · , , · , , · , ,
a) P A P A( ) ( ) ,= − =1 0 4
Probabilidad
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 456
457
b) P(La suma de las coordenadas es mayor que 1) =
c) P(El producto de las coordenadas es positivo) =
d) P(La abscisa es mayor que la ordenada) =
En la ecuación de segundo grado:
x2 + ax + b = 0
los coeficientes, a y b, son los posibles resultados al lanzar dos dados.
Calcula la probabilidad de que la ecuación no tenga solución real.
Los resultados al lanzar dos dados son:
(1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
(2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
(3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
(4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
(5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
(6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
La ecuación de segundo grado no tiene solución si el discriminante es negativo:
Δ = − < < =a b a b P2 24 0 417
36→ → ( )No solución
069
1
1 X
Y
6
8
3
4=
1
1 X
Y
4
8
1
2=
1
1 X
Y
2
8
1
4=
11SOLUCIONARIO
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 457
458
En la ecuación de segundo grado x2 + ax + b = 0, los coeficientes, a y b, son dos números reales escogidos al azar en el intervalo [0, 1].
Calcula la probabilidad de que tenga dos soluciones reales distintas.
La ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas si el discriminante es positivo:
¿Cuál es el mínimo número de personas necesarias, para que la probabilidad de que, al menos, dos de ellas cumplan años el mismo día, sea superior al 50 %?
Suponemos que el año tiene 365 días.
Si estudiamos un grupo de n personas, el número de casos posibles es 365n.
P(n personas no cumplen años el mismo día) =
P(Al menos dos personas del grupo de n personas cumplen años el mismo día) =
= 1 − P (n personas no cumplen años el mismo día) =
El mínimo número de personas es 23.
n Probabilidad
20 0,41
21 0,44
22 0,47
23 0,51
n Probabilidad
5 0,027
10 0,12
15 0,25
20 0,41
25 0,57
= −… − +
1365 364 365 1
365
· · · ( )nn
365 364 365 1
365
· · · ( )… − +nn
071
P(Dos soluciones distintas)Área favorable
Área=
pposible= =
112
1
1
12
Área encerrada bajo la curva = =⎡
⎣⎢⎢
⎤�1 2 3
04 12
xdx
x
⎦⎦⎥⎥ =0
11
12
1
1 X
Y
Δ = − > >a b a b2 24 0 4→
070
Probabilidad
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 458
459
Tenemos dos urnas iguales, una con 25 bolas rojas y otra con 25 bolas negras.Cambiamos el número de bolas que queramos de una urna a otra. Si después se elige una urna al azar y se saca una bola:
¿Cómo distribuirías las bolas para que la probabilidad de sacar una bola roja sea la mayor posible? ¿Cuál es esa probabilidad?
Observamos que, al cambiar las bolas negras de urna, la probabilidad de extraer una bola roja es menor que al cambiar las bolas rojas. Por tanto, esta probabilidad es máxima al pasar 24 bolas rojas a la segunda urna, junto con las 25 bolas negras, y su valor es 0,74.
U1 U2 Probabilidad
25 rojas 25 negras1
21
1
20
1
20 5· · ,+ = =
25 rojas y 5 negras 20 negras1
2
5
6
1
20
1
2
5
6
5
120 41· · · ,+ = = =
25 rojas y 20 negras 5 negras1
2
4
9
1
20
1
2
4
9
4
180 22· · · ,+ = = =
20 rojas y 5 negras 20 negras y 5 rojas1
2
4
5
1
2
1
5
1
21
1
20 5· · · ,+ = = =
15 rojas y 5 negras 20 negras y 10 rojas1
2
3
4
1
2
1
3
1
2
13
12
13
240 54· · · ,+ = = =
20 rojas 25 negras y 5 rojas1
21
1
2
1
6
1
2
7
6
7
120 58· · · ,+ = = =
15 rojas 20 negras y 10 rojas1
21
1
2
2
7
1
2
9
7
9
140 64· · · ,+ = = =
10 rojas 25 negras y 15 rojas1
21
1
2
3
8
1
2
11
8
11
160 69· · · ,+ = = =
5 rojas 25 negras y 20 rojas1
21
1
2
4
9
1
2
13
9
13
180 72· · · ,+ = = =
1 roja 25 negras y 24 rojas1
21
1
2
24
49
1
2
73
49
73
980 74· · · ,+ = = =
072
11SOLUCIONARIO
833243 _ 0434-0459.qxd 10/10/08 10:14 Página 459
460
L I T E R A T U R A Y M A T E M Á T I C A S
El teorema–Como la mayoría de los que estamos presentes en esta aula, Laplacefue incomprendido por sus padres –dijo Caine mientras caminaba pordelante de la pizarra–. Aunque su padre quería que fuera soldado osacerdote, Laplace se decidió por la vida académica. Por lo tanto,cuando cumplió los dieciocho años marchó al epicentro académico deFrancia: París. Allí consiguió un trabajo como profesor de geometríade los cadetes de una academia militar. Entre ellos había un chico ba-jito llamado Napoleón Bonaparte que, según me han dicho, hizo des-pués algunas cosas extraordinarias.
Los doce estudiantes reunidos alrededor de la mesa se rieron cortés-mente.
–En 1770, Laplace presentó su primer trabajo en la prestigiosa Acadé-mie des Sciences. Después de aquello, quedó claro para todos que eraun genio matemático. Así que dedicó el resto de su vida a dos campos:la probabilidad y la astronomía. Casi treinta años más tarde, en 1799,unió los dos campos cuando publicó el libro de astronomía más im-portante de la época: Tratado de la mecánica celeste. El libro no sólocontenía una exposición analítica del sistema solar, sino que tambiénincluía nuevos métodos para calcular las órbitas planetarias.
»Sin embargo, la razón por la que el Tratado de la mecánica celeste si-gue considerándose hoy muy importante no es por sus hallazgos as-tronómicos, sino porque fue la primera persona que aplicó la teoría delas probabilidades a la astronomía. Laplace demostró que las múltiplesobservaciones de la posición de una estrella tendían a formar una cur-va con forma de campana. […]
–¿A qué se refiere con «múltiples observaciones de la posición de unaestrella»?–, preguntó un estudiante paliducho y con pelo lacio y oscuro.
–Ah, buena pregunta. –Caine se acercó a la pizarra–. En aquel enton-ces, uno de los grandes problemas de la astronomía era que todos to-maban sus mediciones un poco a ojo de buen cubero y, como las per-sonas cometen errores, los datos no eran claros. Veinte astrónomosdiferentes medían la posición de una estrella y obtenían veinte lectu-ras diferentes. Lo que hizo Laplace fue tomar aquellas veinte observa-ciones diferentes y elaborar un gráfico. Cuando lo hizo, vio que lasposiciones formaban una curva con forma de campana como ésta.–Caine señaló una gráfica de distribución normal en la pared–. Encuanto vio esto, exclamó: «Ajá, si las observaciones están en una dis-tribución normal, entonces la punta nos indica la posición más proba-ble de la estrella».
ADAM FAWER
Mide las dimensiones, en mm, de tu mesa y calcula su superficie.Con los datos de tus compañeros elabora un polígono de frecuencias y, a partir de él, calcula la superficie más probable de la mesa.
Respuesta abierta.
Distribuciones binomial y normal12
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ANTES DE COMENZAR… RECUERDA
Indica el tipo de variable estadística.
a) Talla de una persona. c) Sexo de una persona.
b) Temperatura. d) Dinero gastado a la semana.
a) Cuantitativa continua
b) Cuantitativa continua
c) Cualitativa
d) Cuantitativa discreta
Organiza en una tabla de frecuencias estos datos relativos al peso, en kg, de 20 personas.
42 51 56 66 75 47 51 45 63 79
69 59 50 70 59 62 54 60 63 58
Respuesta abierta.
Lidia ha obtenido las siguientes notas en Matemáticas: 7, 5, 6, 10, 9, 7 y 6.Calcula la media, la varianza y la desviación típica.
σ = 1,65
Se lanzan dos dados y se suman los puntos obtenidos. Halla la probabilidad de que la suma:
a) Sea 3. c) Sea inferior a 11.
b) No sea 7. d) Sea 4 o 5.
d)3
36
4
36
7
36+ =b) 1
6
36
5
6− =
c) 13
36
11
12− =a)
2
36
1
18=
004
σ2 2376
7= − =7,14 2,73
x = =50
77,14
003
Fi Hi
3 0,15
11 0,55
17 0,85
20 1
fi hi
3 0,15
8 0,4
6 0,3
3 0,15
N = 20 hi =∑ 1
Peso
[40, 50)
[50, 60)
[60, 70)
[70, 80)
002
001
12SOLUCIONARIO
461
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 461
462
ACTIVIDADES
Lanzamos dos dados de 6 caras.
a) Comprueba que la función que asigna a cada suceso elemental la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.
b) Elabora su tabla de valores y represéntala gráficamente.
a) El espacio muestral es: E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3),(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5),(4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
La función X que asigna a cada suceso la suma de las puntuaciones es una variable aleatoria.
b)
Consideramos el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y una moneda.
a) Calcula el espacio muestral y la probabilidad de cada suceso elemental.b) Define sobre este experimento dos variables aleatorias y represéntalas.
a) El espacio muestral es:
E = {(1, C ), (2, C ), (3, C ), (4, C ), (5, C ), (6, C ), (1, X ), (2, X ), (3, X ), (4, X ), (5, X ), (6, X )}
La probabilidad de cada suceso elemental es .1
12
002
0,18
0,160,14
0,120,1
0,080,060,04
0,02
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X P(X = xi) P(X ≤xi)
21
36
1
36
31
18
1
12
41
12
1
6
51
9
5
18
65
36
5
12
71
6
7
12
85
36
13
18
91
9
5
6
101
12
11
12
111
18
1
12
121
361
X(1, 1) = 2 X(1, 2) = 3 X(1, 3) = 4 X(1, 4) = 5 X(1, 5) = 6 X(1, 6) = 7X(2, 1) = 3 X(2, 2) = 4 X(2, 3) = 5 X(2, 4) = 6 X(2, 5) = 7 X(2, 6) = 8X(3, 1) = 4 X(3, 2) = 5 X(3, 3) = 6 X(3, 4) = 7 X(3, 5) = 8 X(3, 6) = 9X(4, 1) = 5 X(4, 2) = 6 X(4, 3) = 7 X(4, 4) = 8 X(4, 5) = 9 X(4, 6) = 10X(5, 1) = 6 X(5, 2) = 7 X(5, 3) = 8 X(5, 4) = 9 X(5, 5) = 10 X(5, 6) = 11X(6, 1) = 7 X(6, 2) = 8 X(6, 3) = 9 X(6, 4) = 10 X(6, 5) = 11 X(6, 6) = 12
001
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 462
463
b) Respuesta abierta.
La función X asigna a cada suceso el número obtenido en el dado.
La función Y asigna a cada suceso el número elemental 1 si sale cara en la moneda y 2 si sale cruz.
Consideramos la variable aleatoria que cuenta la suma de las puntuaciones al lanzardos dados de 6 caras. Calcula los parámetros de esta variable aleatoria.
Media: μ = 7
Desviación típica:
¿Puedes encontrar una variable aleatoria discreta que proceda de una variableestadística continua? ¿Y lo contrario?
Consideramos la variable estadística cuantitativa continua «altura de las personasde un país, medida en metros». Definimos sobre esta variable estadística la variable aleatoria:
Para cada altura
Esta variable está definida para cualquier suceso elemental de la variable estadística,es decir, cada una de las alturas; además, es discreta, pues solo toma dos valores.
Por tanto, de una variable estadística continua se puede obtener una variablealeatoria discreta, pero no a la inversa, pues un número finito de valores no puedetener un número infinito de imágenes.
h X hhh
→ ( ) = ≤>
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
0 11 1
sisi
004
σ = =5,852 2,419
003
0,5
0,1
21
Y P(Y = yi) P(Y ≤yi)
11
2
1
2
21
21
Y(1, C ) = 1 Y(2, C ) = 1 Y(3, C ) = 1 Y(4, C ) = 1 Y(5, C ) = 1 Y(6, C ) = 1Y(1, X ) = 2 Y(2, X ) = 2 Y(3, X ) = 2 Y(4, X ) = 2 Y(5, X ) = 2 Y(6, X ) = 2
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
2 3 4 5 61
0,18
X P(X = xi) P(X ≤xi)
11
6
1
6
21
6
1
3
31
6
1
2
41
6
2
3
51
6
5
6
61
61
X(1, C ) = 1 X(2, C ) = 2 X(3, C ) = 3 X(4, C ) = 4 X(5, C ) = 5 X(6, C ) = 6X(1, X ) = 1 X(2, X ) = 2 X(3, X ) = 3 X(4, X ) = 4 X(5, X ) = 5 X(6, X ) = 6
12SOLUCIONARIO
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464
En el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados de 6 caras,consideramos la variable aleatoria X, que asocia a cada suceso elemental el productode las puntuaciones que se ven. Halla y representa las funciones de probabilidad y de distribución.
La función de probabilidad es:
f x
x
x
( )
, , , ,
, , , , ,
=
=
=
1
361 9 16 25 36
1
182 3 5 8 10 1
si
si 55 18 20 24 30
1
124
1
96 12
0
, , , ,
,
si
si
en el resto
x
x
=
=
⎧
⎨⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
X P(X = xi) P(X ≤xi)
101
18
19
36
121
9
23
36
151
18
25
36
161
36
13
18
181
18
7
9
201
18
5
6
241
18
8
9
251
36
11
12
301
18
35
36
361
361
X P(X = xi) P(X ≤xi)
11
36
1
36
21
18
1
12
31
18
5
36
41
12
2
9
51
18
5
18
61
9
7
18
81
18
4
9
91
36
17
36
X(1, 1) = 1 X(1, 2) = 2 X(1, 3) = 3 X(1, 4) = 4 X(1, 5) = 5 X(1, 6) = 6X(2, 1) = 2 X(2, 2) = 4 X(2, 3) = 6 X(2, 4) = 8 X(2, 5) = 10 X(2, 6) = 12X(3, 1) = 3 X(3, 2) = 6 X(3, 3) = 9 X(3, 4) = 12 X(3, 5) = 15 X(3, 6) = 18X(4, 1) = 4 X(4, 2) = 8 X(4, 3) = 12 X(4, 4) = 16 X(4, 5) = 20 X(4, 6) = 24X(5, 1) = 5 X(5, 2) = 10 X(5, 3) = 15 X(5, 4) = 20 X(5, 5) = 25 X(5, 6) = 30X(6, 1) = 6 X(6, 2) = 12 X(6, 3) = 18 X(6, 4) = 24 X(6, 5) = 30 X(6, 6) = 36
005
Distribuciones binomial y normal
0,2
5 10 15 20 25 30 35 X
Y
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465
La función de distribución es:
F x
x
x
x
x
( ) =
− < <
≤ <
≤ <
≤ <
0 11
361 2
1
122 3
5
363
si
si
si
si
�
44
2
94 5
5
185 6
7
186 8
4
98 9
17
3
si
si
si
si
≤ <
≤ <
≤ <
≤ <
x
x
x
x
669 10
19
3610 12
23
3612 15
25
361
si
si
si
si
≤ <
≤ <
≤ <
x
x
x
55 16
13
1816 18
7
918 20
5
620 24
8
≤ <
≤ <
≤ <
≤ <
x
x
x
x
si
si
si
9924 25
11
1225 30
35
3630 36
1 36
si
si
si
si
≤ <
≤ <
≤ <
≤
x
x
x
xx < +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
�
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
12SOLUCIONARIO
1
0,1
5 10 15 20 25 30 35 X
Y
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466
Esta es la gráfica de una función de distribución. Halla y representa la función de probabilidad.
Comprueba si la variable aleatoria que cuenta el número de veces que sale un 5, al lanzar 4 veces un dado de seis caras, sigue una distribución binomial.
La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3 y 4.
n = 4 es el número de veces que se realiza el experimento.
Sea A = «Salir un 5», entonces P(A) = .
Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamientono influye en el siguiente.
Por tanto, la variable sigue una distribución binomial:
Calcula la probabilidad de que la variable aleatoria, X, que cuenta el número de vecesque sale un 5 en 4 tiradas de un dado, sea mayor o igual que 3.
Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolasblancas y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula la probabilidad de que obtenga 2 bolas blancas.
P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ =2 3
22
5
3
5
2
0,2888X B� 32
5,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
009
P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = = + = =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞3 3 4 4
31
6 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛3 45
6
44
1
6
5
6⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0
0,0162
008
B 41
6,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
6
007
0,1
0,4
X
Y
F x
x
x
x
x( )
,,,=
− < <≤ <≤ <≤ <
0 10 1 1 20 3 2 30 6 3
sisisisi
�
440 7 4 50 8 5 61 6
,,
sisisi
≤ <≤ <≤ < +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
x
x
x �⎩⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
=
==→ f x
x
x( )
, , ,, ,,
0 1 1 4 50 2 2 60 3
sisissien el resto
x =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
30
1
0,2
1Y
X2 3 4 5 6
006
Distribuciones binomial y normal
7654321
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 466
467
Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.
a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.
b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo.
Consideramos la variable aleatoria que cuenta el número de bolas blancas que obtengo, al sacar tres veces una bola de un recipiente que contiene 2 bolasblancas y 3 rojas, y después de anotar el color, devolver la bola al recipiente. Calcula, utilizando la tabla de la distribución binomial, la probabilidad de que haya anotado 2 bolas blancas.
X � B(3; 0,4)
P(X = 2) = 0,288
Si consideramos el mismo experimento de la actividad anterior, calcula.
a) La probabilidad de que todas las bolas sean del mismo color.
b) La probabilidad de obtener alguna bola de color rojo.
a) P(X = 3) + P(X = 0) = 0,064 + 0,216 = 0,28
b) 1 − P(X = 3) = 1 − 0,064 = 0,936
Calcula el valor de k para que la siguiente función sea una función de densidad, y halla la función de distribución asociada a ella.
Halla la función de densidad que corresponde a esta función de distribución.
f xx x( ) = ≤ ≤⎧
⎨⎪⎪⎩⎪⎪
2 0 10
sien el resto
F xx
x xx
( ) =− < <
≤ ≤< <+
⎧⎨⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪⎪
0 00 1
1 1
2
sisisi
�
�
014
F x
xx
x
x
( ) =
− < <
≤ ≤
< < +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
0 0
40 2
1 2
2
si
si
si
�
�⎪⎪⎪⎪
1 21
2= = =b h k k⋅ →
f xkx x( ) = ≤ ≤⎧
⎨⎪⎪⎩⎪⎪
sien el resto
0 20
013
012
011
b) 1 3 1 33
2
5
33
− = = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅P X( )
55
0⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = 0,936
a) P X P X( ) ( )= + = =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟3 0 3
32
5
33 03
5
30
2
5⋅⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0 33
50,28
010
12SOLUCIONARIO
1 2X
1
X
Y
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468
Tipifica los siguientes valores de una variable aleatoria con μ= 3 y σ= 2.
a) x1 = 3 b) x2 = 4,5 c) x3 = −0,5 d) x4 = −1
Compara los datos de estas distribuciones.
x1 = 2 (con μ= 1, σ= 2)
x2 = 1 (con μ= 2, σ= 1)
x3 = 1,5 (con μ= 1,5; σ= 1,5)
z2 < z3 < z1
Si la variable aleatoria X sigue una distribución normal X � N(5, 2), calcula las siguientes probabilidades.
a) P(X < 2) c) P(X = 4) e) P(X < 7)
b) P(X > 3) d) P(X = 6) f ) P(X = 8)
c) P(X = 4) = 0
d) P(X = 6) = 0
f ) P(X = 8) = 0
Una variable aleatoria X se distribuye según una normal de media μ y desviacióntípica σ. Sabemos que los cuartiles de la distribución valen 12 y 36, respectivamente.
¿Cuánto valen la media μ y la desviación típica σ?
1236
24− = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
μ σμ σ
μσ
0,680,68 17,647
P X PX
P Z( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
−⎛
⎝⎜⎜36
36 36μσ
μσ
μσ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−=
− =
0,75 0,68
0,68
→
→
36
36
μσ
μ σ
P X PX
P Z( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
−⎛
⎝⎜⎜12
12 12μσ
μσ
μσ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
< −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
0,25
0,75→ →P Z12 12μ
σ−−
= − = −μ
σμ σ0,68 0,68→ 12
018
e) 0,841P X PX
P Z( ) ( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = < =7
5
2
7 5
21 33
b) P X PX
P Z P Z( ) ( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = > − = <3
5
2
3 5
21 11) = 0,8413
a) 1,5P X PX
P Z( ) ( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <− = −2
5
2
2 5
21 PP Z( )≤ = − =1,5 0,9332 0,06681
017
z3 0=−
=1,5 1,5
1,5z2
1 2
11=
−= −z1
2 1
2=
−= 0,5
016
d)− −
= −1 3
22b)
4,50,75
−=
3
2
c)0,5
1,75− −
= −3
2a)
3 3
20
−=
015
Distribuciones binomial y normal
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469
Una fábrica de componentes elabora 2.000 circuitos electrónicos al día. Si la probabilidad de fabricar un circuito defectuoso es del 1 %, ¿cuál es la probabilidad de que en un día el número de circuitos defectuosos sea mayor que 50? ¿Y menor que 25?
El 10 % de las personas de una ciudad afirma que no ve nunca televisión. Calcula la probabilidad de que, escogidas 100 personas al azar, haya al menos 14 personas que no vean televisión. ¿Qué probabilidad hay de que sean exactamente 14?
En una urna hay 5 bolas rojas y 3 bolas azules. Se sacan 3 bolas y se anota el númerode bolas azules que se han conseguido. Realiza una tabla con la distribución deprobabilidad, y halla la media y la desviación típica.
Desviación típica: 0,502 0,709σ = =
Media: 1,125μ = =9
8
X P(X = xi) P(X ≤xi)
05
28
5
28
115
28
5
7
215
56
55
56
31
561
021
P X P X PX
( ) ( )= = < < =−
<−
<1410
3
10
313,5 14,5
13,5 14,5 −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= < − < =
10
3P Z P Z( ) ( )1,5 1,17 0,9332 −− =0,879 0,0542
P X PX
P Z( ) ( )≥ =−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ≥ =14
10
3
14 10
31,33 11
1
− < =
= − =
P Z( )1,33
0,9082 0,0918
X B N� ( ; ) ( , )100 10 30,1 ≈
020
P X PX
P Z( ) (< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <25
20 25 20
4,45 4,4511,12 0,8686) =
P X PX
P Z( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >50
20 50 20
4,45 4,4566,74 6,74) ( )= − ≤ = − =1 1 1 0P Z
X B N� ( . ; ) ( ; )2 000 200,01 4,45≈
019
12SOLUCIONARIO
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470
En el experimento aleatorio consistente en elegir al azar una ficha de dominó, se considera la variable X = «mayor número de las dos puntuaciones de la ficha».
Construye la distribución de probabilidad y halla la media, la desviación típica y la varianza.
Varianza: σ2 = 3Desviación típica: σ = 1,732
Se lanzan dos dados y se considera la variable aleatoria que a cada suceso elementalle hace corresponder la diferencia entre el mayor y el menor de los resultados de ambos dados.
a) Clasifica la variable aleatoria.
b) Describe la distribución de probabilidad en forma de tabla.
a) Es una variable discreta.
X P(X = xi) P(X ≤xi)
01
6
1
6
15
18
4
9
22
9
2
3
31
6
5
6
41
9
17
18
51
181
b)
023
Media: 4μ = =112
28
X P(X = xi) P(X ≤xi)
01
28
1
28
11
14
3
28
23
28
3
14
31
7
5
14
45
28
15
28
53
14
3
4
61
41
022
Distribuciones binomial y normal
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471
Hemos pintado tres caras de un dado con un 1, dos caras con un 2 y una cara con un 3.Si consideramos la variable que asigna a cada suceso elemental su puntuación:
a) Elabora una tabla con la distribución de probabilidad.
b) Halla la media y la desviación típica.
Un juego consiste en lanzar dos dados, anotar la suma de los resultados divididaentre 2 y aproximarla, por exceso, al número entero más próximo.
a) Realiza la distribución de probabilidad.
b) Calcula la media, la varianza y la desviación típica.
Varianza: σ2 = 1,52
Desviación típica: σ = 1,23
Dada la siguiente tabla, que corresponde a los valores que toma una variablealeatoria X y a sus probabilidades:
a) Comprueba que corresponde a una distribución de probabilidad.
b) Calcula la función de distribución.
c) Halla su media y su desviación típica.
a) 0,6 + 0,2 + 0,15 + 0,05 = 1
b)
sisisisi
F x
xxx( )
,,,
=
− < <≤ <≤ <
0 40 6 4 50 8 5 60 95 6
�
≤≤ <≤ < +
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
xx
71 7si �
c) Media: 4,65
Desviación típica: 0,8275 0,9
μ
σ
=
= = 009
X 4 5 6 7
P(X) 0,6 0,2 0,15 0,05
026
b) Media: 3,75μ = =135
36X P(X = xi) P(X ≤xi)
11
36
1
36
25
36
1
6
31
4
5
12
411
36
13
18
57
36
11
12
61
121
a)
025
Desviación típica: 0,554 0,745σ = =
b) Media: 1,667μ = =5
3X P(X = xi) P(X ≤xi)
11
2
1
2
21
3
5
6
31
61
a)
024
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 471
472
Con la distribución de la actividad anterior, determina las siguientes probabilidades.
a) P (X >4) c) P (4 ≤X <7)
b) P (X <6) d) P (μ − σ < X <μ + σ)
Identifica las variables aleatorias que siguen una distribución binomial.
a) Tenemos tres fichas blancas y cinco fichas azules en una bolsa. Sacamos cuatrofichas y contamos el número de fichas que son blancas.
b) En la situación anterior sacamos una ficha, anotamos su color y la devolvemos a la bolsa. Repetimos el experimento 3 veces y anotamos el número de fichas de color blanco.
c) Lanzamos un dado diez veces y anotamos las veces que sale el número 1.
d) Se lanza un dado y si sale un número par, se vuelve a lanzar el mismo dado, pero si sale un número impar se lanza un dado con forma de tetraedro y carasnumeradas del 1 al 4. Se cuenta el número de las veces que sale el número 3.
e) En una ciudad, el 10 % de la población tiene los ojos de color azul. Se eligen, al azar, 20 personas y se anota el número de ellas que tiene los ojos azules.
a) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial.
b) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2 y 3.
n = 3 es el número de veces que se realiza el experimento.
Sea A = «Salir una ficha blanca», entonces P(A) = .
Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en una extracciónno influye en la siguiente.
Por tanto, la variable sigue una distribución binomial:
c) La variable es discreta porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.
n = 10 es el número de veces que se realiza el experimento.
Sea A = «Salir un 1», entonces P(A) = .
Los experimentos son independientes, porque lo que sucede en un lanzamiento no influye en el siguiente.
Por tanto, la variable sigue una distribución binomial:
d) La variable aleatoria no sigue una distribución binomial.
e) La variable es discreta, porque solo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20.
n = 20 es el número de veces que se realiza el experimento.
Sea A = «Tener los ojos azules», entonces P(A) = 0,1.
Los experimentos son independientes, porque el color de los ojos de una persona no influye en el color de los ojos de la otra persona.
Por tanto, la variable sigue una distribución binomial: B(20; 0,1)
B 101
6,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
6
B 33
8,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
3
8
028
d) 3,741 5,559 0,8P X P X( ) ( )μ σ μ σ− < < + = < < =b) 0,8P X( )< =6
c) 0,95P X( )4 7≤ < =a) P X( ) ,> =4 0 4
027
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 472
473
Calcula las probabilidades que se indican en las siguientes distribuciones binomiales.
a) En B (8; 0,2) P (X = 4), P (X = 1), P (X = 0)b) En B (12; 0,9) P (X = 2), P (X <3), P (X ≥11)c) En B (6; 0,8) P (2 ≤X ≤5), P (1 ≤X ≤4)
= 0,01536 + 0,08192 + 0,24576 + 0,39322 = 0,73626
= 0,001536 + 0,001536 + 0,08192 + 0,24576 = 0,344576
Una máquina que fabrica discos compactos consigue fabricar un 90 % de discos sin error. Si escogemos 10 de ellos al azar, calcula las siguientes probabilidades.
a) No hay ninguno defectuoso. b) Hay más de uno defectuoso.
Un examen tipo test tiene 30 preguntas a las que se ofrecen cuatro respuestasposibles.
a) Si se responde al azar, ¿cuál es la probabilidad de acertar más de dos preguntas?
b) Si para aprobar hay que tener más de 15 respuestas correctas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un aprobado?
b)7,5
2,37
7,5
2,37P X P
X( )> =
−>
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =15
15PP Z P Z( ) ( )> = − ≤ =
= − =
3,16 3,16
0,9992 0,0008
1
1
a)7,5
2,37
7,5
2,37P X P
XP( ) (> =
−>
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =2
2ZZ P Z> − = < =2,32 2,32 0,9898) ( )
npn p
X B N= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≈7,522,5
0,2551 5
30( )
( ; )→ � (( )7,5; 2,37
X B� ( ; )30 0,25
031
b) 0,34P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( )) (> = − ≤ = − = + = = −1 1 1 1 0 1 1 887 0,3874 0,2639+ =)
a) 0,1 0,9 0,3487P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =0 10
00 10
030
P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 4 1 2 3 4≤ ≤ = = + = + = + = =
c) P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 5 2 3 4 5≤ ≤ = = + = + = + = =
P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = = + = = + =11 11 12 0,37657 0,28243 0,6559
= + +0,000000000001 0,000000000108 0,0000000053446 0,000000005455=P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )< = = + = + = =3 0 1 2
b) 0,9 0,1 0,000000P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 12
22 10 0005346
P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =0 8
00 80,2 0,8 0,16777
P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 8
170,2 0,8 0,33554a) 0,2 0,8 0,045875P X( )= =
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =4 8
44 4
029
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 473
474
Distribuciones binomial y normal
Se lanza el dado 25 veces. Cada vez que se obtiene un número mayor que 2 gana Eva. En caso contrario, gana Daniel.
a) Describe la función de probabilidad y la función de distribución.
b) ¿Cuáles son la media y la desviación típica de esta distribución?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que Eva gane exactamente 3 veces?
d) ¿Cual es la probabilidad de que Daniel gane más de 22 veces?
a) La función de probabilidad es:
La función de distribución es:
De cada 10 veces que mi hermano juega conmigo al ajedrez, me gana 7 veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que me gane 1 vez?
b) ¿Y de hacer tablas?c) ¿Cuál es la probabilidad de que me gane
entre 1 y 3 veces, ambos números incluidos?d) Si apostamos que, en 10 partidas, yo le ganaré
al menos 4 veces, ¿cuál es la probabilidad de ganar la apuesta?
c) P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )1 3 1 2 3
101
≤ ≤ = = + = + = =
=⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +0 7 0 3 10
20 7 0 3 101 9 2 8, , , ,
330 7 0 33 7⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =
= +
, ,
0,0001378 0,001447 ++ =0,009002 0,0105868
b) 0,3 0,1029P X( ) ,= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =5 10
50 75 5
a) 0,7 0,3 0,0001378P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 10
11 9
X B� ( ; )10 0,7
033
d)16,67
2,36
16,67
2,36P X P
X( )< =
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟3
3⎟⎟ = < − = − ≤ =P Z P Z( ) ( )5,79 5,791 0
P X P X PX
( ) ( )= = < < =−
<−
3 2,5 3,52,5 16,67
2,36
16,67
2,,36
3,5 16,67
2,365,5
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < −P Z( )6 == < < =P Z( )5,5 6 0
c) 16,678,33
0,6npn p
X B= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
51 5
25( )
( ;→ � 66 16,67; 2,36) ( )≈ N
σ = ⋅ ⋅ =252
3
1
32,36
b) 16,67μ = ⋅ =252
3
F xi
i
( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞25 2
3
1
3 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟∑
−
=
25
0
i
i
x
f x x
x
( ) =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞25 2
3
1
3 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟ =
⎧
⎨
⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪
−25
0 1 2 25
0
x
xsi …
en el resto
, , , ,
⎪⎪⎪
032
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 474
475
12SOLUCIONARIO
En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 98 % de las pruebas de diabetesque realizan resulta negativo. Si han recibido 10 muestras para analizar:
a) Determina la probabilidad de que haya 2 personas a las que la prueba les dé positivo.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de 1 persona?
b)
El 20 % de la población de una ciudad es inmigrante de procedencia africana. Se eligen cinco personas al azar. Determina la probabilidad de que:
a) Haya un inmigrante africano. d) Haya, al menos, un africano.
b) Sean dos o más inmigrantes africanos. e) Sean cuatro inmigrantes africanos.
c) Las cinco sean inmigrantes africanos.
Juan suele dar en el blanco con una de cada tres flechas que lanza a la diana.
a) ¿Es cierto que si lanza 3 flechas, al menos una de ellas dará en el blanco?
b) ¿Qué probabilidad hay de que eso suceda?
c) Y si lanza 6 flechas, ¿puede estar seguro de quealguna de sus flechas va a dar en el blanco?
d) ¿Cuántas flechas debería lanzar para asegurar, con una probabilidad de más del 95%, que va a conseguirlo?
036
e) 0,2 0,8 0,0064P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =4 5
44 1
d) P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅1 1 1 1 0 1 5
000,2 0,8 1 0,3277 0,67230 5⋅ = − =
c) 0,2 0,8 0,00032P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =5 5
55 0
b) P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ))≥ = − < = − = + = =
= −⎛⎝
2 1 2 1 0 1
1 50
⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅0,2 0,8 0,2 0,80 5 15
144 = − − =1 0,3277 0,4096 0,2627
a) 0,2 0,8 0,4096P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 5
11 4
X B� ( ; )5 0,2
035
P X P X P X P X( ) ( ) ( ( ) ( ))> = − ≤ = − = + = =
= −⎛⎝⎜
1 1 1 1 0 1
1 100⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅0,02 0,98 0,020 10 110
1⋅⋅ = − − =0,98 0,8171 0,1667 0,01629 1
a) 0,02 0,98 0,01531P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 10
22 8
X B� ( ; )10 0,02
034
d) P X P X P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )< = = + = + = + = + =6 0 1 2 3 4 ++ = == + + +
P X( )50,000005904 0,0001378 0,001447 0,0009002 0,03676 0,10290,15025
+ + ==
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 475
476
a) No, la probabilidad no puede asegurar el resultado del lanzamiento.
c) No, la probabilidad no varía y no puede asegurar el resultado.
A partir de 8 flechas, la probabilidad de que al menos una flecha dé en el blanco es más del 95%.
En una distribución N (0, 1), calcula las probabilidades.
a) P (Z <0,73) e) P (Z >−0,38)b) P (Z <2,05) f ) P (Z >−1,297)c) P (Z ≤1,77) g) P (Z = −2,75)d) P (Z <0,274) h) P (Z ≥−1,04)
En una distribución N (0, 1), halla las siguientes probabilidades.
a) P (Z >3,58) e) P (Z <−0,33)b) P (Z ≥1,3487) f ) P (Z <−1,334)c) P (Z = 2,107) g) P (Z ≤−2,19)d) P (Z ≥0,53) h) P (Z <−3,487)
h) 0,9999 0,0001P Z P Z( , ) ( , )< − = − ≤ = − =3 487 1 3 487 1
g) 2,19 2,19 0,9857 0,0143P Z P Z( ) ( )≤ − = − ≤ = − =1 1
f ) 1,334 1,334 0,9088 0,0912P Z P Z( ) ( )< − = − ≤ = − =1 1e) 0,33 0,33 0,6293 0,3707P Z P Z( ) ( )< − = − ≤ = − =1 1
d) 0,7019 0,2981P Z P Z( , ) ( , )≥ = − ≤ = − =0 53 1 0 53 1c) 2,107P Z( )= = 0
b) 1,3487 1,3487 0,9113 0,0887P Z P Z( ) ( )≥ = − ≤ = − =1 1
a) 3,58 3,58 0,9999 0,0001P Z P Z( ) ( )> = − < = − =1 1
038
h) 1,04 1,04 0,8508P Z P Z( ) ( )≥ − = ≤ =g) P Z( , )= − =2 75 0
f ) 1,297 1,297 0,9026P Z P Z( ) ( )> − = < =e) 0,648P Z P Z( , ) ( , )> − = < =0 38 0 38d) 0,274 0,6079P Z( )< =c) 0,9616P Z( , )≤ =1 77b) 0,9798P Z( , )< =2 05a) 0,73 0,7673P Z( )< =
037
→ →2
3 2
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = = =
n
n0,050,05
7,21log
log
P X P X P Xn( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅1 1 1 1 0 1
01
3
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
02
31
2
3
n
⎟⎟ =n
0 95,
d) X B n� ,1
3
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⋅1 1 1 1 0 1 3
01
3
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
0 32
31 0,2963 0,70377
b) X B� 31
3,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 476
477
En una distribución N (0, 1), obtén las probabilidades.
a) P (0,26 <Z <0,39) d) P (−0,56 <Z <3,92)b) P (1,16 <Z <2,03) e) P (−2,6 <Z <−0,4329)c) P (−0,64 <Z <1,36) f ) P (−1,49 <Z <−1,07)
Calcula el valor de k para que se verifiquen las igualdades en la distribución N (0, 1).
a) P (Z <k) = 0,9608 c) P (Z >k) = 0,9573b) P (Z <k) = 0,3192 d) P (Z ≥k) = 0,0113
a) k = 1,76
Determina las siguientes probabilidades en una distribución N (12, 2).
a) P (X <12,36) e) P (X >11,82)b) P (X <16,4) f ) P (X >9,84)c) P (X ≤17,01) g) P (X = 12,55)d) P (X <12,0273) h) P (X ≥7,89)
g) P(X = 12,55) = 0
h) P X PX
P Z( , ),
(≥ =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <7 89
12
2
7 89 12
2−− = − ≤ =
= − =
2 06 1 2 06
1 0 9803 0 0197
, ) ( , )
, ,
P Z
f ) 9,849,84
P X PX
P Z( ) (> =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
12
2
12
2−− = − ≤ =
= − =
1,08 1,08
0,8599 0,1401
) ( )1
1
P Z
e) 11,8211,82
P X PX
P( ) (> =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
12
2
12
2ZZ P Z< − = − ≤ =
= − =
0 09 1 0 09
1 0 5359 0 4641
, ) ( , )
, ,
d) 12,027312,0273
P X PX
( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
12
2
12
2 ⎟⎟ = < =P Z( , )0 014 0,5056
c) P X PX
P( , ),
(≤ =−
≤−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =17 01
12
2
17 01 12
2ZZ < =2 51 0 994, ) ,
b) P X PX
P Z( , ),
(< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <16 4
12
2
16 4 12
222 2 0 9861, ) ,=
a) P X PX
P( , ),
(< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =12 36
12
2
12 36 12
2ZZ < =0 18 0 5714, ) ,
041
d) P Z k P Z k k( ) , ( ) , ,≥ = < = =0 0113 0 9887 2 28→ →c) P Z k P Z k k k( ) , ( ) , ,> = < − = − = = −0 9573 0 9573 1 72 1→ → → ,,72
b) P Z k P Z k k k( ) , ( ) , ,< = < − = − = = −0 3192 0 6808 0 47 0→ → → ,, 47
040
f ) P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( , ) ,− < < − = < − < =1 49 1 07 1 49 1 07 0 93119 0 8577 0 0742− =, ,
e) 0,4329 2,6 0,4329 0,P Z P Z P Z( , ) ( ) ( )− < < − = < − < =2 6 99953 0,6674 0,3279− =d) 0,56 3,92 3,92 0,56 0P Z P Z P Z( ) ( ) ( ( ))− < < = < − − < =1 ,,9999 0,7123 0,7122− + =1
c) 0,64 1,36 1,36 0,64 0P Z P Z P Z( ) ( ) ( ( ))− < < = < − − < =1 ,,9131 0,7389 0,652− + =1b) P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( , ) ,1 16 2 03 2 03 1 16 0 9788< < = < − < = −− =0 877 0 1018, ,
a) 0,26 0,6517P Z P Z P Z( , , ) ( , ) ( )0 26 0 39 0 39< < = < − < = −− =0,6026 0,0491
039
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 477
478
En una distribución N (56, 4), calcula las siguientes probabilidades.
a) P (X >68,4) c) P (X = 56) e) P (X <53,3) g) P (X ≤46,92)
b) P (X ≥62,45) d) P (X ≥52,45) f ) P (X ≥57,32) h) P (X <46,877)
c) P(X = 56) = 0
En una distribución N (90, 12), obtén estas probabilidades.
a) P (106 <X <120) d) P (76,67 <X <103,96)
b) P (109 <X <117,3) e) P (58,89 <X <82)
c) P (84 <X <112,6) f ) P (69 <X <87)
d) 76,67 103,9676,67 103,
P X PX
( )< < =−
<−
<90
12
90
12
996
1,11 1,16 1,
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < = <
90
12P Z P Z( ) ( 116 1,110,877 0,8665 0,7435
) ( ( ))− − < == − + =
11
P Z
c) 112,6112,6
P X PX
( )8484 90
12
90
12
90
12< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =
= < − −
P Z
P Z P
( )
( ) ( (
0,5 1,88
1,88 1 ZZ < = − + =0,5 0,9699 0,6915 0,6614)) 1
b) 117,3117,3
P X PX
( )109109 90
12
90
12
90
1< < =
−<
−<
−22
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = < < =
= < −
P Z
P Z P Z
( )
( ) (
1,58 2,28
2,28 << = − =1,58 0,9887 0,9429 0,0458)
a) P X PX
( )106 120106 90
12
90
12
120 90
12< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = < < =
= < − <
P Z
P Z P Z
( )
( , ) ( )
1,33 2,5
1,332 5 == − =0,9938 0,9082 0,0856
043
h) 46,87746,877
P X PX
( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
56
4
56
4PP Z P Z( , ) ( , )< − = − ≤ =
= − =
2 28 1 2 28
1 0,9887 0,0113
g) 46,9246,92
P X PX
P( ) (≤ =−
≤−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
56
4
56
4ZZ P Z≤ − = − < =
= − =
2 27 1 2 27
1
, ) ( , )
0,9884 0,0116
f ) P X PX
P( , ),
(≥ =−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =57 32
56
4
57 32 56
4ZZ P Z≥ = − < =
= − =
0 33 1 0 33
1 0 6293 0 3707
, ) ( , )
, ,
e) P X PX
P Z( , ),
(< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <53 3
56
4
53 3 56
4−− = − ≤ =
= − =
0 68 1 0 68
1 0 7517 0 2483
, ) ( , )
, ,
P Z
d) P X PX
P( , ),
(≥ =−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =52 45
56
4
52 45 56
4ZZ P Z≥ − = ≤ =0 89 0 89 0 8133, ) ( , ) ,
b) P X PX
P( , ),
(≥ =−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =62 45
56
4
62 45 56
4ZZ P Z≥ = − < =
= − =
1 61 1 1 61
1 0 9463 0 0537
, ) ( , )
, ,
a) P X PX
P Z( , ),
(> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >68 4
56
4
68 4 56
433 1 1 3 1
1
, ) ( , )= − ≤ =
= − =
P Z
0,999 0,001
042
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 478
479
Halla a, b, c, …, para que en una distribución normal N (108, 16) se cumpla que:
a) P (X <a) = 0,8849 c) P (X <c) = 0,3632 e) P (X ≥e) = 0,5987
b) P (X <b) = 0,9972 d) P (X ≥d) = 0,0495
El nivel de colesterol en una persona adulta sana sigue una distribución normalN (192,12). Calcula la probabilidad de que una persona adulta sana tenga un nivel de colesterol:
a) Superior a 200 unidades. b) Entre 180 y 220 unidades.
b) P X PX
( )180 220180 192
12
192
12
220 192
12< < =
−<
−<
−⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =
= < − −
P Z
P Z P Z
(
( , ) ( (
1
2 33 1
2,33)
<< = − − =1 0 9901 1 0 8413 0 8314)) , ( , ) ,
a) P X PX
P( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =200
192
12
200 192
12ZZ P Z> = − ≤ =
= − =
0,67 0,67
0,7486 0,2514
) ( )1
1
045
PX e−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ 108
16
108
16==
−≤ −
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0,5987
0,598→ PX e108
16
108
1677 0,25→
→
−−
=
=
e
e
108
16104
e) 0,5987P X e( )≥ =
d) 0,0495P X d PX d
( )≥ =−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ 108
16
108
16==
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0,0495
0,9505→ PX d108
16
108
16→→
→
d
d
−=
=
108
161,65
134,4
c) 0,3632P X c PX c
( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ 108
16
108
16==
−≤ −
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0,3632
0,636→ PX c108
16
108
1688 0,35→
→
−−
=
=
c
c
108
16102 4,
b) 0,9972P X b PX b
( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ 108
16
108
16==
−=
=
0,9972 2,77
2,32
→
→
b
b
108
1615
a) 0,8849P X a PX a
( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟→ 108
16
108
16==
−=
=
0,8849 →
→
a
a
108
161 2
127 2
,
,
044
f ) P X PX
( )69 8769 90
12
90
12
87 90
12< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = − < < − =
= < − <
P Z
P Z P Z
( )
( ) ( )
1,75 0,25
1,75 0,25 == − =0,9599 0,5987 0,3612
e) 58,8958,89
P X PX
( )< < =−
<−
<−⎛
8290
12
90
12
82 90
12⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < − = < −P Z P Z P Z( ) ( , ) (2,59 0,67 2 59 << == − =
0 67, )0,9952 0,7486 0,2466
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 479
480
Se ha comprobado que el tiempo medio que resiste un adulto sin respirar es de 40 segundos, con una desviación típica de 6,2 segundos, y que los datosanteriores siguen una distribución normal.
a) Halla el porcentaje de personas que aguantan más de 53 segundos y menos de 30 segundos.
b) ¿Qué porcentaje resiste entre 30 y 50 segundos?
El porcentaje de personas es del 0,09 %.
El 89,26 % resiste entre 30 y 50 segundos.
La edad de un grupo de personas sigue una distribución N (35,10).Calcula la probabilidad de que una persona de ese grupo, elegida al azar, tenga:
a) Más de 40 años.b) Entre 23 y 47 años.c) Di entre qué edades estará comprendido el 50 % central de la distribución.
El 50 % central de la distribución estará comprendido entre 28 y 42 años.
c) P a X a Pa X a
( ) ,35 35 0 535 35
10
35
10
35− < < + =
− −<
−<
+→ −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < <⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
35
10
10 10P
aZ
aP ZZ
aP Z
a<
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− − <
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜101
10
⎞⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
=
= <⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− = <
⎛
⎝⎜2
101 0 5
10P Z
aP Z
a, → ⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = = =0 75
10, → →a
a0,68 6,8
b) P X PX
( )23 4723 35
10
35
10
47 35
10< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = − < < =
= < − − < =
P Z
P Z P Z
( , , )
( , ) ( ( , ))
1 2 1 2
1 2 1 1 2 22 1⋅ − =0,8849 0,7698
a) 0,P X PX
P Z( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >40
35
10
40 35
1055 0,5
0,6915 0,3085
) ( )= − ≤ =
= − =
1
1
P Z
047
b)6,2 6,2 6,2
P X PX
( )30 5030 40 40 50 40
< < =−
<−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =
= < − − <
P Z
P Z P Z
( )
( ) ( (
1,61 1,61
1,61 1 11,61 0,9463 0,8926)) = ⋅ − =2 1
a)6,2 6,2
P X P X PX
( ) ( )> ⋅ < =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟53 30
40 53 40 ⎟⎟⎟⎟ ⋅−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= >
PX
P Z
40 30 40
6,2 6,22,09( )) ( ) ( ( )) ( ( , ))⋅ < − = − ≤ ⋅ − ≤ =
=P Z P Z P Z1,61 2,091 1 1 61
(( ) ( )1 1− ⋅ − =0,9817 0,9463 0,00098
046
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 480
481
El peso de las ovejas adultas se distribuye normalmente con una media de 53 kg y una desviación típica de 2,4 kg.
a) ¿Qué porcentaje de las ovejas pesará entre 50 y 57 kg?
b) Si pretendemos separar una cuarta parte de las ovejas, siendo las más pesadasdel rebaño, ¿a partir de qué peso se hará la separación?
La separación debe hacerse a partir de 54,63 kg.
El tiempo medio de espera de un viajero en una estación ferroviaria, medido en minutos, sigue una distribución normal N (7,5; 2). Cada mañana 4.000 viajerosacceden a esa estación. Determina el número de viajeros que esperó:
a) Más de 9 minutos.b) Menos de 6 minutos.c) Entre 5 y 10 minutos.d) Completa la frase:
«Los 1.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de … minutos».
0,2266 ⋅ 4.000 = 906,4 → 906 viajeros esperaron más de 9 minutos.
0,2266 ⋅ 4.000 = 906,4 → 906 viajeros esperaron menos de 6 minutos.
0,7888 ⋅ 4.000 = 3.155,2 → 3.155 viajeros esperaron entre 5 y 10 minutos.
c)7,5 7,5 7,5
P X PX
( )5 105
2 2
10
2< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟ = − < < =
= < − − <
P Z
P Z P Z
( )
( ) ( ( )
1,25 1,25
1,25 1,251 )) = ⋅ − =2 10,8944 0,7888
b)7,5 7,5
0,7P X PX
P Z( ) (< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = < −6
2
6
255 0,75
0,7734 0,2266
) ( )= − ≤ =
= − =
1
1
P Z
a)7,5 7,5
0,75P X PX
P Z( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >9
2
9
2)) ( )= − ≤ =
= − =
1
1
P Z 0,75
0,7734 0,2266
049
b) 0,252,4 2,4
P X a PX a
P( )> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =→ 53 53
ZZa
P Za
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − ≤−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟
53
153
2,4
2,4⎟⎟⎟⎟ = ≤
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−
0,25 0,75→
→
P Za
a
53
2 453
2
,
, 44= =0,68 54,63→ a
a) P X PX
( ), , ,
50 5750 53
2 4
53
2 4
57 53
2 4< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − < < =
= < − − <
P Z
P Z P Z
( )
( ) ( (
1,25 1,67
1,67 1 11,25 0,9525 0,8944 0,8469)) = − + =1
048
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 481
482
Los 1.000 viajeros que menos tiempo tardaron en subir al tren tuvieron que esperar menos de 8 minutos.
Se sabe que el 98,61% de los tornillos fabricados por una empresa tiene un diámetromenor que 3,398 mm. Si el diámetro de los tornillos se distribuye según una normalde media μ = 3,2 mm, determina la desviación típica.
Dos amigos están jugando al parchís. Uno de ellos asegura que ha tirado el dado 30 veces y no le ha salido ningún 5. El otro amigo afirma que eso es imposible. ¿Es realmente imposible? ¿Cuál es la probabilidad de que eso suceda?
No es imposible, porque la probabilidad no puede asegurar el resultado de los lanzamientos.
El 60 % de una población de 20.000 habitantes tiene los ojos oscuros. Si elegimos, al azar, 50 personas de esa población, ¿cuál es la probabilidad de que haya menos de 30 personas con los ojos oscuros?
→
El 7 % de los pantalones de una marca tiene algún defecto. Se empaquetan en cajasde 80 unidades para distribuirlos. ¿Cuál es la probabilidad de que en una caja haya más de 10 pantalones defectuosos?
→
P X PX
P( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =10
105,6
2,28
5,6
2,28ZZ P Z> = − ≤ =
= − =
1,93 1,93
0,9732 0,0268
) ( )1
1
X B N≈80( ; )� 0,07 (( ; )5,6 2,28npn p
= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
5 6 51 78 4 5
,( ) ,
X B� ( ; )80 0,07
053
P X PX
P Z( ) (< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <30
30 30 30
3,46 3,4600) = 0,5
X B N≈50 30( ; ) ( ;� 0,6 33,46)npn p
= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
30 51 20 5( )
X B� ( ; )50 0,6
052
P X( )= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜0 30
01
6
5
6
0
⎜⎜⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
30
0,0042X B� 301
6,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
051
P X PX
( ),
< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠3,398 0,9861
3,398 3,2→ 3 2
σ σ⎟⎟⎟⎟⎟ =
<⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0,9861
0,1980,9861
0,→ →P Zσ
11982,2 0,09
σσ= =→
050
d) 0,257,51 000
4 0000 25
7 5
2
.
., ( )
,= < =
−<
−→ →P X a PX a
22
20 2
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0,25
7,5→ P Za
, 557 5
27 5
2
→
→ →
P Za
aa
≤−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−= =
,
,
0,75
0,68 88,86
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 482
483
Se está experimentando una nueva vacuna para la malaria que resulta efectiva en el 60 % de los casos. Si se eligen al azar 45 personas, halla las siguientesprobabilidades.
a) La probabilidad de que en ese grupo la vacuna sea efectiva en 27 personas.
b) La probabilidad de que sea efectiva en un número de personas comprendidoentre 25 y 27, ambos inclusive.
c) La probabilidad de que resulte efectiva en menos de 20 personas.
Se estima que 1 de cada 8 españoles padece hipertensión. Si elegimos a 60 personasal azar:
a) Determina la probabilidad de que en ese grupo haya exactamente 7 personashipertensas.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de diez personas hipertensas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo tengan hipertensión 11 personas o menos?
c)7,5
2,56
7,5
2,56P X P
X( )≤ =
−≤
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =11
11PP Z( )≤ =1,36 0,9131
b)7,5
2,56
7,5
2,56P X P
X( )> =
−>
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =10
10PP Z P Z( ) ( )> = − ≤ =
= − =
0,97 0,97
0,834 0,166
1
1
a) 6,5 7,56,5 7,5
2,56
7,5
2,5P X P X P
X( ) ( )= = < < =
−<
−7
66
7,5 7,5
2,560,39
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < =P Z P Z( ) (0 << − < = − =0,39 0,6517 0,5 0,1517) ( )P Z 0
npn p
X B= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≈7,56,56
0,12551 5
60( )
( ; )→ � NN( ; )7,5 2,56
X B� ( ; )60 0,125
055
c)3,28 3,28
P X PX
P( ) (< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =20
27 20 27ZZ P Z< − = − ≤ =
= − =
2,13 2,13
0,9834 0,0166
) ( )1
1
b)3,28 3,28 3,28
P X PX
( )25 2725 27 27 27 27
≤ ≤ =−
≤−
≤−⎛
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − ≤ ≤ =
= ≤ − ≤ =
P Z
P Z P Z
( )
( ) ( )
0,61
0,61
0
0 00,7291 0,5 0,2291− =
a) 26,5 27,526,5
3,28 3P X P X P
X( ) ( )= = < < =
−<
−27
27 27
,,28
27,5
3,280,15 0,15
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < <
27
P Z( )) ( ( ( ))= < − − < == ⋅ − =
P Z P Z0,15) 0,150,5596 0,11
12 1 992
npn p
X B N= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≈27 51 5
45 2( )
( ; ) (10,8
0,6→ � 77; )3,28
X B� ( ; )45 0,6
054
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 483
484
Las compañías de seguros han calculado que 1 de cada 5 vehículos tiene un accidente al año. Si se toman al azar 40 vehículos, determina.
a) La probabilidad de que ese año 10 de ellos tengan un accidente.b) La probabilidad que sean entre 10 y 12 vehículos, ambos números incluidos.c) ¿Cuál es la probabilidad de que ese año se accidenten más de 15 vehículos?
En un concurso dan a elegir una entre tres pruebas.
Si las probabilidades de encestar lanzando un tiro son
y las de acertar al blanco son , elige la prueba
en la que tengas más probabilidad de ganar.
• Lanzar 5 tiros a una canasta de baloncesto y encestar 2 por lo menos.
• Tirar 6 veces al blanco y acertar 3 como mínimo.• Tirar 2 veces a canasta y hacer 1 tiro al blanco.
Para superar la prueba se debe conseguir 1 canasta por lo menos y dar en el blanco.
En la primera prueba:
En la segunda prueba:
P Y P Y P Y P Y P Y( ) ( ( ) ( ) ( ))≥ = − <( ) = − = + = + = =
=
3 1 3 1 0 1 2
1−−⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟
60
1
3
2
3
0
⎟⎟ −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟
6 161
1
3
2
3⎟⎟⎟⎟ −
⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞5 262
1
3
2
3 ⎠⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − − − =
4
1 0,0878 0,2634 0,3292 0,3196
Y B� 61
3;
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
P X P X P X P X( ) ( ( ) ( ))≥ = − <( ) = − = + = =
= −⎛⎝⎜⎜
2 1 2 1 0 1
1 50⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ −
⎛⎝
1
5
4
5
51
0 5
⎜⎜⎜⎜⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
1
5
4
51
1 4
00,3277 0,4096 0,2627− =
X B� 51
5;
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
1
3
1
5
057
c)2,53 2,53
P X PX
P Z( ) (> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >15
8 15 822,76 2,76
0,9971 0,0029
) ( )= − ≤ =
= − =
1
1
P Z
b)2,53 2,53 2,53
P X PX
( )10 1210 8 8 12 8
≤ ≤ =−
≤−
≤−⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ≤ ≤ =
= ≤ − ≤
P Z
P Z P Z
( )
( , ) (
0,79 1,58
0,791 58 )) = − =0,9429 0,7852 0,1577
a) 9,5 10,59,5
2,53 2,53P X P X P
X( ) ( )= = < < =
−<
−<10
8 8 110,5
2,530,59 0,98
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= < < = <
8
P Z P Z( ) ( 00,98 0,590,8365 0,7224 0,1141
) ( )− < == − =
P Z
npn p
X B N= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≈8 51 5
40 8( )
( ; ) ( ;6,4
0,2 2→ � ,,53)
X B� ( ; )40 0,2
056
Distribuciones binomial y normal
833243#_#0460-0491.qxd 14/10/08 09:38 Página 484
485
En la tercera prueba:
La probabilidad de ganar es:
Por tanto, hay más probabilidad de ganar la segunda prueba.
Solo el 10 % de los boletos de una tómbola tienen premio. ¿Qué es más fácil, tener dos premios comprando 10 boletos o conseguir un premio comprando 3 boletos?
Si se compran 10 boletos:
Si se compran 3 boletos:
Así, es más probable conseguir un premio comprando 3 boletos.
La talla media del pie de los bomberos que ingresaron en el cuerpo el año pasadoera 42, con una desviación típica de 1,4. Este año ingresarán 40.000 personas en el cuerpo de bomberos.
a) Determina el número aproximado de los bomberos que tendrán una talla mediadel pie de 44 o 45.
b) Calcula el número de botas del número 38 que debería encargar el cuerpo de bomberos.
(Consideramos que un pie tiene talla 40 cuando le correspondería un tallajecomprendido en [39,5; 40,5). Por ejemplo, si a una persona le corresponde una talla de 36,7; diremos que su tallaje es 37. Y si es 38,4; diremos que su tallaje es 38.)
0,1361 ⋅ 40.000 = 5.444 bomberos
Por tanto, encargarán: 0,0055 ⋅ 40.000 = 220 pares de botas.
b) P X PX
( , , ),
, ,
,37 5 38 5
37 5 42
1 4
42
1 4
38 5 4≤ < =
−≤
−<
− 22
1 4
3 21 2 5 3 21
,
( , , ) ( , )
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − ≤ < − = ≤P Z P Z −− < =
= − =
P Z( , )
, , ,
2 5
0 9993 0 9938 0 0055
a) P X PX
( , , ),
, ,
,43 5 45 5
43 5 42
1 4
42
1 4
45 5 4≤ < =
−≤
−<
− 22
1 4
1 07 2 5 2 5
,
( , , ) ( , ) (
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= ≤ < = < −P Z P Z P ZZ ≤ =
= − =
1 07, )
0,9938 0,8577 0,1361
X N� ( ; )42 1,4
059
P X( ) ,= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =1 3
10 11 20,9 0,243
P X( ) ,= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 10
20 12 80,9 0,1937
058
0,36 0,12⋅ =1
3
P Z P Z P Z( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅1 1 1 1 0 1 2
01
5
⎛⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = − =
0 24
51 0,64 0,36
Z B� 21
5;
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 485
486
La distribución de edades de los miembros de una asociación sigue una ley normalN(μ, σ). Sabiendo que el 94,52 % tiene menos de 32 años, y un 21,19 % tiene menosde 20 años, calcula su media y su desviación típica.
Supongamos que la probabilidad de que nazca una niña es la misma de que nazca un niño.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una familia con tres hijos tenga 2 hijos y 1 hija?
b) Si tomamos 100 familias con 3 hijos, ¿cuál es la probabilidad de que haya 35 familias con 2 hijos y 1 hija?
c) ¿Y de que se encuentre entre 35 y 39?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que en esas 100 familias haya 12 familias que solo tengan hijas?
a) P(2 hijos y 1 hija) = 3 ⋅ 0,52 ⋅ 0,5 = 0,375
d) P(3 hijas) = 0,53 = 0,125
P X P X PX
( ) ( )= = < < =−
<−
12 11,5 12,511,5 12,5
0,33
12,55
0,33
12,5 12,5
0,33<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < =P Z( )3 0 PP Z P Z( ) ( )< − < = − =3 0 0,9987 0,5 0,4987
npn p
X B= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
12,587,5
0,12551 5
100( )
( ;→ � )) ( ; )≈ N 12,5 0,33
X B� ( ; )100 0,125
c)37,5
4,84
37,5
4,84
37,P X P
X( )35 39
35 39< < =
−<
−<
− 55
4,840,51 0,31 0,31
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < = <P Z P Z( ) ( )) ( ( ))− − < == − + =
11
P Z 0,510,6217 0,695 0,3167
P X P X PX
( ) ( )= = < < =−
<−
35 34,5 35,534,5 37,5
4,84
37,55
4,84
35,5 37,5
4,840,62
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < <P Z( −− = < − < == − =
0,41 0,62 0,410,7324 0,6591
) ( ) ( )P Z P Z00 0733,
npn p
X B= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
37,562,5
0,37551 5
100( )
( ;→ � )) ( ; )≈ N 37,5 4,84
b) 0,375X B� ( ; )100
061
32 1 620 0 8
245
− =− = −
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
μ σμ σ
μσ
,,
P X PX
P Z( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
−⎛
⎝⎜⎜20
20 20μσ
μσ
μσ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
< −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0 2119
200 7881
,
,→ P Zμ
σ→→ →−
−= − = −
200 8 20 0 8
μσ
μ σ, ,
P X PX
P Z( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
−⎛
⎝⎜⎜32
32 32μσ
μσ
μσ⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−=
− =
0 945232
1 6
32 1 6
, ,
,
→
→
μσ
μ σ
060
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 486
487
En un instituto se han comprado 150 ordenadores para 4 aulas de informática. La duración de la batería permite tener una media de trabajo de 180 minutos, con una desviación típica de 25 minutos.
a) Calcula la probabilidad de que la batería de uno de los ordenadores solo dure dos horas.
b) ¿Cuántos ordenadores tendrán una batería cuya carga dure más de 200 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 110 de esos ordenadores sigan trabajando a los 180 minutos?
Como 0,2119 ⋅ 150 = 31,785; en 31 ordenadores la carga de la batería durarámás de 200 minutos.
La estatura de los 1.200 alumnos de un colegio sigue una distribución normal, de media 156 cm y desviación típica 9 cm.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno seleccionado al azar mida más de 180 cm?
b) ¿Cuántos estudiantes debemos esperar que midan entre 140 y 170 cm?
063
P Y P Y PY
( ) ( , , ),
,= = < < =
−<
−110 109 5 110 5
109 5 75
6 12
755
6 12
110 5 75
6 125 62 5
,
,
,( , ,
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= < <P Z 88 5 8 5 62 1 1 0) ( , ) ( , )= < − < = − =P Z P Z
npn p
Y B N= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
≈75 51 75 5
150 75( )
( ; ) (→ � 0,5 ;; , )6 12
Y B� ( ;150 0,5)
c) P X PX
P Z( )≥ =−
≥−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =180
180
25
180 180
25≥≥( ) = − <( ) = − =0 1 0 1 0 5 0 5P Z , ,
b) P X PX
P Z( )> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =200
180
25
200 180
25>>( ) = − ≤( ) =
= − =
0 8 1 0 8
1
, ,P Z
0,7881 0,2119
P X PX
P Z( )≤ =−
≤−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ≤ −120
180
25
120 180
2522 4 1 2 4
1
, ,( ) = − <( ) =
= − =
P Z
0,9918 0,0082
a) X N� ( , )180 25
062
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 487
488
c) Busca un intervalo de alturas que contenga el 90 % de los alumnos y que sea el mínimo posible.
d) Si elijo 10 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 6 de ellos midan más de 165 cm?
e) Si elijo 40 alumnos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 10 que midan más de 165 cm?
Como 0,9031 ⋅ 1.200 = 1.083, hay 1.083 estudiantes que miden entre 140 y 170 cm.
El peso de los recién nacidos se distribuye según una distribución normal de media μ y desviación típica σ. Si los últimos datos publicados aseguran que los percentiles 75 y 90 de esta distribución son 3,2 y 3,5 kg, respectivamente:
a) Calcula la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,5 kg.b) Halla la probabilidad de que un recién nacido pese más de 4 kg.c) ¿Cuál es el percentil 10?d) Determina la mediana de la distribución.
064
P Y PY
( ),
,
,
,'
'> =
−>
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟10
6 348
2 31
10 6 348
2 31⎟⎟⎟⎟ = >( ) = − ≤( ) =
= − =
P Z P Z1 58 1 1 58
1 0 719 0 281
, ,
, ,
npn p
Y B= >− = >
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
6 348 51 33 652 5
40 0 1,( ) ,
( ; ,→ � 5587 6 348 2 31) ( , ; , )≈ N
e) Y B' � ( ; , )40 0 1587
P Y( ) , , ,= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =6 10
60 1587 0 8413 0 0016 4 77
Y B� ( ; )10 0,1587
d) P X PX
P Z( )> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >165
156
9
165 156
91(( ) = − ≤( ) =
= − =
1 1
1 0 8413 0 1587
P Z
, ,
c) P a X a Pa X a
( )156 156156 156
9
156
9
156− < < + =
− −<
−<
+ −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < <⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
156
9
9 9P
aZ
aP Z
aaP Z
a
91
9
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− − <
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟⎟
=
= <⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟− = <
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟2
91 0 9
9P Z
aP Z
a, → ⎟⎟⎟ = =
=
0 959
1 65
14 85 141 15 170 85
, ,
, ( , ; , )
→
→ →
a
a es ell intervalo de alturas.
b) ( )140 170140 156
9
156
9
170 156
9< < =
−<
−<
−⎛
⎝⎜⎜X P
X⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= − < < = <( )− − <P Z P Z P Z( , , ) , ( (1 78 1 56 1 56 1 11 780 9406 1 0 9625 0 9031
, )), , ,
== − + =
a) P X PX
P Z( )> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >180
156
9
180 156
92,, ,67 1 2 67
1
( ) = − ≤( ) =
= − =
P Z
0,9962 0,0038
Distribuciones binomial y normal
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 488
489
El sueldo de los trabajadores de una empresa sigue una distribución normal de media 1.500 €. Si el sueldo de un técnico de categoría 3 es de 960 €, y el 75 % de los trabajadores de la empresa cobra más que él:
a) Calcula la probabilidad de que el sueldo de un empleado escogido al azar sea superior a 1.600 €.
b) El sueldo más elevado es el de los directivos. Si estos representan el 5 % de los empleados de la empresa, ¿cuál es su sueldo mínimo?
El sueldo mínimo de los directivos es de 2.810,29 euros.
b) P X a PX a
( ) ,.
,
.
,≥ =
−≥
−⎛0 05
1 500
794 12
1 500
794 12→
⎝⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = ≥
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =P Z
a 1 500
794 120 0
.
,, 55
1 500
794 120 95
1 500→ →P Za a
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−.
,,
.
7794 121 65 2 810 29
,, . ,= =→ a
a) P X PX
( . ).
,
. .
,> =
−>
−1 600
1 500
794 12
1 600 1 500
794 1120 13 1 0 13
1 0 5
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >( ) = − ≤ =
= −
P Z P Z, ( , )
, 5517 0 4483= ,
P X PX
( ) ,. .
> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟960 0 75
1 500 960 1 500→σ σ ⎟⎟⎟ = > −
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
= <⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟
P Z
P Z
540
540σ
σ== = =0 75
5400 68, ,→ →
σσ 794,12
065
d) P X M PX M
( ) ,,
,
,
,≤ =
−≤
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟0 5
2 86
0 49
2 86
0 49→ ⎟⎟⎟⎟ = ≤
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−
P ZM
M
2 86
0 490 5
2 86
0 4
,
,,
,
,→
990 2 86= =→ M ,
c) P X a PX a
( ) ,,
,
,
,< =
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟0 1
2 86
0 49
2 86
0 49→ ⎟⎟⎟⎟ = <
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
≤ −−
P Za
P Za
2 86
0 490 1
2 8
,
,,
,→ 66
0 490 9
2 86
0 491 29 2
,,
,
,, ,
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = −
−= =→ →a
a 223
b) P X PX
( ),
,
,
,> =
−>
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =4
2 86
0 49
4 2 86
0 49PP Z P Z>( ) = − ≤ =
= − =
2 32 1 2 32
1 0 9898 0 0102
, ( , )
, ,
a) P X PX
( , ),
,
, ,
,< =
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟2 5
2 86
0 49
2 5 2 86
0 49⎟⎟⎟⎟ = < −( ) = − ≤ =
= − =
P Z P Z0 73 1 0 73
1 0 7673 0 232
, ( , )
, , 77
3 2 0 683 5 1 29
2 860 49
, ,, ,
,,
− =− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
μ σμ σ
μσ
P X PX
P Z( , ) ,, ,
< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <3 5 0 9
3 5 3 5→ μσ
μσ
−−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−=
μσ
μσ
0 93 5
1 29,,
,→
P X PX
P Z( )< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <3,2 0,75
3,2 3,→ μσ
μσ
220,75
3,20,68
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
−=
μσ
μσ
→
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 489
490
PARA FINALIZAR…
El barquillero del parque entrega en cada tirada los barquillos que indica el número en que se para la flecha.
Si cada barquillo le cuesta 3 céntimos y cobra 20 céntimos por 3 tiradas. ¿Cuánto dinero, por término medio, ganará después de 100 tiradas?
Media de barquillos:
Por término medio en cada tirada gana:
En 100 tiradas:
100 ⋅ 15 = 1.500 céntimos = 15,00 €
La probabilidad de que un reloj sea defectuoso es del 4 %. Halla.
a) El número de relojes defectuosos que se estima en un lote de 1.000.
b) La probabilidad de menos de 10 defectuosos.
a) μ = 1.000 ⋅ 0,04 = 40 relojes
b) B(1.000; 0,04) � N(40; 6,19)
En una distribución normal, el 3 % de los valores es inferior a 19 y el 5 % es superior a 28,6. Calcula P ( X <18).
P X PX
( ),
,
,
,< =
−<
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟18
24 13
2 71
18 24 13
2 71 ⎟⎟ = < − = − ≤ =
= − =
P Z P Z( , ) ( , )
, ,
2 26 1 2 26
1 0 9881 0 0119
19 1 8928 6 1 65
24 132 7
− = −− =
⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪
==
μ σμ σ
μσ
,, ,
,,
→11
⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪
P X PX
P Z( , ) ,,
> =−
>−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = >28 6 0 05
28 6→ μσ
μσ
228 60 05
28 6
,,
,
−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
≤−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟
μσ
μσ
→ P Z ⎟⎟⎟⎟ =−
= − =0 9528 6
1 65 28 6 1 65,,
, , ,→ →μσ
μ σ
P X PX
P Z( ) ,< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = <
−19 0 03
19 19→ μσ
μσ
μσσ
μσ
⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
≤ −−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ =
0 03
190 9
,
,→ P Z 7719
1 89 19 1 89→ →−−
= − = −μ
σμ σ, ,
068
P XX
P Z( ), ,
< =−
<−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟ = < −10
40
6 19
10 40
6 194,, ,84 1 4 84 0( ) = − <( ) =P Z
067
205
33 15− − = céntimos
=+ + +
= =4 6 6 4
12
20
12
5
3
x = + + + + =02
121
4
122
3
123
2
124
1
12⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
066
Distribuciones binomial y normal
1
1
1
1
2
22
3
3
40
0N.º de barquillos fi hi
0 2
1 4
2 3
3 2
4 1
12 1
2
124
123
122
121
12
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 490
491
Las bolas para rodamiento se someten a un control de calidad consistente en eliminar las que pasan por un orificio de diámetro d y, también, las que no pasanpor otro orificio de diámetro D, con d <D.
Calcula la probabilidad de eliminar una bola, sabiendo que la medida de sus
diámetros sigue una distribución normal de parámetros: .
Una máquina tiene 800 componentes y la probabilidad de que, en un tiempodeterminado, falle uno de ellos es 2 ⋅ 10−4. Calcula la probabilidad de que en ese tiempo:
a) Falle al menos 1 componente.
b) Fallen exactamente 2 componentes.
c) Fallen, como máximo, 2 componentes.
d) Calcula la media y la desviación típica de la distribución.
800 ⋅ 0,0002 = 0,16 < 5 → No se puede aproximar con una distribución normal.
d) 0,0002μ
σ
= ⋅ =
= ⋅ ⋅ =
800 0 16
800 0 0002 0 9998 0 39
,
, , ,
c) P X P X P X P X( ) ( ) ( ) ( )≤ = = + = + = =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟2 0 1 2 800
0 ⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ +
+⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅
0 0002 0 9998
8001
0 00
0 800, ,
, 002 0 9998 8002
0 0002 0 991 799 2⋅ +⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅, , , 998
0 8521 800 0 0002 0 8523 319 600 4
798 =
= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅, , , . 110 0 8224 0 98948− ⋅ , ,�
b) P X( ) , ,= =⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟⎟ ⋅ ⋅ =2 800
20 0002 0 99982 798 3319 600 4 10 0 0018. ,⋅ ⋅ ⋅− 0,8724 �
a) P X P X P X( ) ( ) ( )≥ = − < = − = = −⎛⎝⎜⎜⎜
⎞⎠⎟⎟⎟1 1 1 1 0 1 800
0 ⎟⎟ ⋅ ⋅ =
= −
0 0002 0 9998
1 0 8521
0 800, ,
, � 0,1479
X B� ( ; )800 0,0002
070
P X d P X D P
XD d
D d
dD d
D d( ) ( )
( ) (< + > =
−+
−<
−+
−2 2
0,3 0,3 )) ( )
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+
−+
−>
−P
XD d
D d
DD
2
0,3
++
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
= <
−
d
D d
P Z
d D
2
0 3
2
, ( )
0,,3 0,3( ) (D dP Z
D d
D−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟+ >
−
−2
dd
P Z
)
,
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟=
= <−⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟1
0 6⎟⎟⎟+ >⎛
⎝⎜⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟⎟⎟= <− + >P Z P Z P Z
1
0 61 67 1 67
,( , ) ( , ) ==
= > = − =2 1 67 2 1 0 9525 0 095P Z( , ) ( , ) ,
ND d
D d+ −
⎡
⎣⎢⎢
⎤
⎦⎥⎥2
0 3; , ( )
069
12SOLUCIONARIO
833243 _ 0460-0491.qxd 10/10/08 09:04 Página 491
833243 _ 0492-0496.qxd 10/10/08 09:24 Página 492
Tablas de distribución
833243 _ 0492-0496.qxd 10/10/08 09:24 Página 493
494
Tabla de distribución binomial B(n, p)
P(X = r) = �nr � pr (1 −p)n−r
n r 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50
1 01
2 012
3 0123
4 01234
5 012345
6 0123456
7 01234567
8 012345678
0,9500 0,9000 0,8500 0,8001 0,7500 0,7000 0,6500 0,6000 0,5500 0,50000,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000 0,3500 0,4001 0,4500 0,5000
0,9025 0,8100 0,7225 0,6400 0,5625 0,4900 0,4225 0,3600 0,3025 0,25000,0950 0,1800 0,2550 0,3200 0,3750 0,4200 0,4550 0,4800 0,4950 0,50000,0025 0,0100 0,0225 0,0400 0,0625 0,0900 0,1225 0,1600 0,2025 0,2500
0,8574 0,7290 0,6141 0,5120 0,4219 0,3430 0,2746 0,2160 0,1664 0,12500,1354 0,2430 0,3251 0,3840 0,4219 0,4410 0,4436 0,4320 0,4084 0,37500,0071 0,0270 0,0574 0,0960 0,1406 0,1890 0,2389 0,2880 0,3341 0,37500,0001 0,0010 0,0034 0,0080 0,0156 0,0270 0,0429 0,0640 0,0911 0,1250
0,8145 0,6561 0,5220 0,4096 0,3164 0,2401 0,1785 0,1296 0,0915 0,06250,1715 0,2916 0,3685 0,4096 0,4219 0,4116 0,3845 0,3456 0,2995 0,25000,0135 0,0486 0,0975 0,1536 0,2109 0,2646 0,3105 0,3456 0,3675 0,37500,0005 0,0036 0,0115 0,0256 0,0469 0,0756 0,1115 0,1536 0,2005 0,25000,0000 0,0001 0,0005 0,0016 0,0039 0,0081 0,0150 0,0256 0,0410 0,0625
0,7738 0,5905 0,4437 0,3277 0,2373 0,1681 0,1160 0,0778 0,0503 0,03120,2036 0,3280 0,3915 0,4096 0,3955 0,3602 0,3124 0,2592 0,2059 0,15620,0214 0,0729 0,1382 0,2048 0,2637 0,3087 0,3364 0,3456 0,3369 0,31250,0011 0,0081 0,0244 0,0512 0,0879 0,1323 0,1811 0,2304 0,2757 0,31250,0000 0,0004 0,0022 0,0064 0,0146 0,0284 0,0488 0,0768 0,1128 0,15620,0000 0,0000 0,0001 0,0003 0,0010 0,0024 0,0053 0,0102 0,0185 0,0312
0,7351 0,5314 0,3771 0,2621 0,1780 0,1176 0,0754 0,0467 0,0277 0,01560,2321 0,3543 0,3993 0,3932 0,3560 0,3025 0,2437 0,1866 0,1359 0,09380,0305 0,0984 0,1762 0,2458 0,2966 0,3241 0,3280 0,3110 0,2780 0,23440,0021 0,0146 0,0415 0,0819 0,1318 0,1852 0,2355 0,2765 0,3032 0,31250,0001 0,0012 0,0055 0,0154 0,0330 0,0595 0,0951 0,1382 0,1861 0,23440,0000 0,0001 0,0004 0,0015 0,0044 0,0102 0,0205 0,0369 0,0609 0,0938
0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0018 0,0041 0,0083 0,0156
0,6983 0,4783 0,3206 0,2097 0,1335 0,0824 0,0490 0,0280 0,0152 0,00780,2573 0,3720 0,3960 0,3670 0,3115 0,2471 0,1848 0,1306 0,0872 0,05470,0406 0,1240 0,2097 0,2753 0,3115 0,3177 0,2985 0,2613 0,2140 0,16410,0036 0,0230 0,0617 0,1147 0,1730 0,2269 0,2679 0,2903 0,2918 0,27340,0002 0,0026 0,0109 0,0287 0,0577 0,0972 0,1442 0,1935 0,2388 0,27340,0000 0,0002 0,0012 0,0043 0,0115 0,0250 0,0466 0,0774 0,1172 0,1641
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0,0000 0,0002 0,0011 0,0038 0,0100 0,0217 0,0413 0,0703 0,10940,0000 0,0001 0,0004 0,0012 0,0033 0,0079 0,0164 0,0312
0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0007 0,0017 0,0039
p
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Tabla de distribución normal N(0, 1)
F(a) = P (Z ≤ a)
a0 +�−�
F(a)
a 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,00,10,20,30,4
0,50,60,70,80,9
1,01,11,21,31,4
1,51,61,71,81,9
2,02,12,22,32,4
2,52,62,72,82,9
3,03,13,23,33,4
3,53,63,73,83,9
0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,53590,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,57530,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,61410,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,65170,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,72240,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,75490,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,78520,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,81330,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389
0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,86210,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,88300,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,90150,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,91770,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319
0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,94410,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,95450,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,96330,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,97060,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767
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0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,99520,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,99640,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,99740,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,99810,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986
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Ilustración: Enrique Cordero, José María Valera
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