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A MATEMÁTICA EM MEDIDAS AGRÁRIAS DE PROPRIEDADES RURAIS

Autor: José Erasto Bueno Antunes1

Orientador: Abdala Mohamed Saleh2

RESUMO

Este artigo relata as experiências vivenciadas por professores de matemática e

pelos alunos do 6º Ano do ensino fundamental em contra turno do Colégio Estadual

João Francisco da Silva, localizado no município de Tibagi – PR, no que se refere ao

processo ensino aprendizagem de matemática em sala de aula. No caso, o tema

central foi o de estudar as medidas agrárias antigas, tão presentes no contexto

histórico, social e cultural dos alunos do meio rural e as atuais. Portanto, esse

trabalho abordará aspectos relacionados às medidas agrárias existentes no País

e/ou estimativas de áreas presentes no cotidiano de qualquer indivíduo pertencente

ao ambiente rural, contextualizando os referidos aspectos aos conteúdos

matemáticos do ambiente escolar. Busca-se, assim, uma alternativa para a

educação do campo que articule os conteúdos matemáticos aprendidos em sala de

aula com a cultura popular vivenciada pelos nossos discentes da zona rural. Para

isso, os alunos e os docentes de matemática da escola, através de questionário

local e utilizando os recursos tecnológicos, fizeram um levantamento de cunho

bibliográfico resgatando a história das antigas e diferentes unidades de medidas

agrárias ainda em vigor em nosso País. Na pesquisa de campo, os estudantes,

além de utilizar a técnica antiga de medição de terrenos denominada “Cubagem da

Terra”, aprenderam a tecnologia do receptor GPS (Sistema de Posicionamento

Global), como instrumento de medição útil para o cálculo de áreas.

Palavras-Chave: Ensino da matemática; agrimensura; cálculo de áreas; meio rural;

tecnologia do GPS.

1 Professor de Matemática PDE/2010 - Especializado em Matemática pela Universidade Estadual de Ponta

Grossa (UEPG/PR) – lotado no Colégio Estadual João Francisco da Silva - Município de Tibagi/PR -

jerantunes@hotmail.com

2 Professor Doutor do Departamento de Matemática e Estatística – Universidade Estadual de Ponta Grossa

(UEPG/PR)- abdala.saleh@gmail.com

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Introdução

A matemática, no decorrer de sua historia, surgiu das necessidades práticas

do homem, ou seja, na sua relação com o mundo em que vive. Sendo assim, a arte

de medir ou estimar áreas sempre estiveram presentes no cotidiano de qualquer

indivíduo (MACHADO, 2000). Nas diversas profissões, a todo instante, estamos

medindo, comparando e calculando áreas e, no caso do agricultor, ele precisa obter

a medida área de lavoura a ser plantada ou colhida. Essas medidas de áreas,

principalmente, as agrárias fazem parte do bloco de conteúdos previstos nos

Parâmetros Curriculares Nacionais, denominado de “Grandezas e Medidas”. Os

PCNs apontam para a importância desse bloco para o processo ensino-

aprendizagem de matemática nas escolas, no tocante às práticas relacionadas ao

contexto histórico, social e cultural de nossos alunos:

Este bloco caracteriza-se por sua forte relevância social, com evidente caráter prático e utilitário. Na vida em sociedade, as grandezas e as medidas estão presentes em quase todas as atividades realizadas. Desse modo, desempenham papel importante no currículo, pois mostram claramente ao aluno a utilidade do conhecimento matemático no cotidiano. (BRASIL, 1997, p.56).

No entanto, no ambiente escolar percebe-se que não há uma abordagem

pedagógica apropriada que leve em conta a inter-relação entre os saberes

matemáticos de sala de aula e os do dia-a-dia dos alunos da zona rural (relativos a

medidas agrárias). A escola, tal qual está constituída, não tem dado conta de

transmitir saberes ligados à cultura popular, especialmente no que se refere ao

ensino aprendizagem de matemática em sala de aula. Isto tem gerado certo

desapontamento e conflito por parte dos alunos: a matemática ensinada na escola é

uma coisa e no cotidiano é outra (SILVEIRA, 2005). Como relata D’Ambrósio em

suas palavras:

A Matemática que estamos ensinando e como a estamos ensinando é obsoleta, inútil e desinteressante. Ensinar ou deixar de ensinar essa Matemática dá no mesmo. Na verdade, deixar de ensiná-la pode até ser um benefício, pois elimina fontes de frustração! (D’AMBRÓSIO, 1991, p. 2).

Infelizmente, a nossa experiência como professores mostra que estes

comentários fazem sentido. A matemática que estamos ensinando em sala de aula é

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abstrata e desvinculada da realidade de nossos alunos da zona rural, pois o próprio

aluno, mesmo antes de entrar na escola, já possui inúmeros conhecimentos e

experiências matemáticas enraizadas, de seu grupo sociocultural (BRASIL, 1998).

Fora do ambiente escolar, devido às suas necessidades, os nossos alunos

costumam ser bem sucedidos nos cálculos matemáticos, mas, em sala, ocorre o

contrário, há desmotivação e desinteresse nas aulas. Percebe-se que há uma

enorme dificuldade dos alunos compreenderem os significados matemáticos

relacionados às medidas de áreas, principalmente as agrárias e suas aplicações em

sala de aula, pois na visão deles a linguagem matemática escolar é diferente da

linguagem matemática fora da escola. Assim, para que a aprendizagem matemática

torne-se mais significativa para os alunos do meio rural, favorecendo a compreensão

dos conceitos matemáticos por parte deles, devemos interligar a prática do dia a dia,

ao ensino formal escolar.

Agrimensura: história e seus instrumentos

A arte da medição de terras denomina-se agrimensura (termo do latim agri =

campo, terra; mensura = medida), ou seja, “medida da terra” é o ofício mais antigo

praticado pela humanidade. Surgiu no Antigo Egito onde os egípcios precisavam

delimitar as áreas de lavouras após as inundações anuais do Rio Nilo. Para fins de

arrecadação de imposto, sobre a produção agrícola de trigo e cevada, os Faraós

contratavam os Harpedonaptas ou esticadores de corda, assim como eram

chamados os agrimensores egípcios. Eles acompanhavam os produtores desde as

demarcações de suas terras inundadas até a época da colheita. Abaixo,

apresentamos um resumo da técnica de medição de área desses povos (BARROS,

2005):

Figura A - Corda de comprimento linear em cúbito egípcio, dividida em 12 partes iguais, separada

por nós.

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Fonte: Adaptado de BARROS, O. S. Experiências tradicionais da agricultura familiar como

recursos à compreensão de conceitos matemáticos. Disponível em:

<http://www.ufpa.br/npadc/gemaz/textos/produto/experiencias_tradicionais_da_agricultura.pdf>.

Acesso em: 09 mar. 2012.

Figura B - Quadramento da área de lavoura egípcia, utilizando- se a corda da Figura A e três balizas.

Fonte: Adaptado de BARROS, O. S. Experiências tradicionais da agricultura familiar como recursos à compreensão de conceitos matemáticos. Disponível em: <http://www.ufpa.br/npadc/gemaz/textos/produto/experiencias_tradicionais_da_agricultura.pdf>. Acesso em: 09 mar. 2012.

Os egípcios, séculos antes de Pitágoras estabelecer as generalizações do

triângulo retângulo, já tinham conhecimentos que o ângulo formado pelos dois lados

menores media 90º (noventa graus). Heródoto (1.400 anos a.C.), historiador grego e

Heron de Alexandria registraram detalhes da técnica de medição de terras desses

povos. Também em sítios arqueológicos foram encontrados barras de pedra que

representam o cúbito padrão desses povos. Outras civilizações antigas que viveram

na região da Mesopotâmia (hoje Iraque) já dominavam essa técnica de medição

agrária com a mesma finalidade, só que o cúbito padrão era diferenciado

(MACHADO, 2000).

• 1 Cúbito Egípcio = 52,4 cm

• 1 Cúbito Pérsico = 43 cm

• 1 Cúbito Sumério = 49,5 cm

• 1 Cúbito Assírio = 54,9 cm

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No século XVIII, surgiu na França o Sistema Métrico Decimal como uma

forma de padronizar e simplificar as diferentes medidas que existiam na época.

Estabeleceu-se o metro linear como unidade padrão para medidas de

comprimentos, sendo que a unidade padrão para superfícies é o m2 (metro

quadrado). No Brasil desde a sua implementação, os agricultores brasileiros, ligados

as suas tradições culturais (medidas antigas), não se adaptaram a essas medidas

métricas decimal, em suas atividades agrícolas. Diante a essa resistência, o

Imperador D. Pedro II, criou a Lei nº 1.157, de 26 de Janeiro de 1862, que

determinava de caráter obrigatório à utilização do sistema de medidas francês em

nosso País (CHIEUS, 2009). Mas essa Lei não foi respeitada pela população e

houve um fato marcante contra essa lei, que foi a “Revolta dos Quebra-Quilos”,

ocorrida em 14 de Novembro de 1874 nos Estados da Paraíba e Pernambuco:

Em fins de 1874, o povo saiu às ruas em várias cidades do Nordeste brasileiro, deflagrando uma insurreição contra a adoção do sistema métrico decimal em substituição às antigas unidades de medidas coloniais. Cartórios e coletorias sofreram depredações e os novos padrões de medidas foram destruídos. Daí o nome de Guerra do Quebra Quilo. (SILVA, 2010, p. 93).

Na Agricultura Familiar Brasileira, as unidades m2 (metro quadrado) e o ha

(hectare) são as mais utilizadas. A unidade hectare (ha) de padrão

nacional/internacional foi criada como forma de unificar as diferentes unidades de

medidas agrárias existentes em nosso País.

Unidade

Agrária

Unidade Definição Equivalência

em are

Equivalência

em m2

Hectare

(múltiplo)

ha Do grego hecto, “cem”, isto é, hect+are.

Medida agrária de padrão nacional e

internacional equivalente a um

hectômetro quadrado, ou 100 ares.

100 10.000

Are a Do latim are “área”, unidade agrária que

corresponde a 100 centiares. Equivale ao

decâmetro quadrado do sistema métrico.

1 100

Centiare

(submúltiplo)

ca Unidade agrária de superfície que

corresponde à centésima parte do are.

0,01 1

QUADRO 1 - Múltiplos e Submúltiplos da Unidade Agrária Are.

Fonte: Adaptado do Portal Só Matemática. Disponível em: <www.somatematica.com.br/> Acesso em: 07 Abr. 2012.

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Contudo, ainda existem determinadas propriedades rurais que utilizam as

medidas agrárias antigas de forma predominante, utilizando-se de técnicas

rudimentares de medição de área de terrenos. Como cita D`Ambrósio:

O cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura. (D`AMBRÓSIO, 2002, p. 22).

Esses saberes matemáticos, ligados a essas medidas agrárias, fazem parte

da cultura desse povo e não podemos negá-los.

GPS - Global Positioning System

“O GPS mostra onde você está e para onde você está se dirigindo” (GURGEL, 2006).

O GPS ou Sistema de Posicionamento Global é um sistema de navegação e

localização, desenvolvido inicialmente pelo Departamento de Defesa dos Estados

Unidos, em meados dos anos 60, com o nome de “Projeto NAVSTAR”, para fins

militares e de espionagem, durante a chamada Guerra Fria, que envolvia as nações

mais poderosas da época (USA e a antiga URSS). Mas, de fato, esse sistema

tornou-se disponível para uso civil a partir dos anos 80. Atualmente essa ferramenta

tecnológica é usada em larga escala por civis em todas as partes do mundo. No

caso, os satélites localizam o receptor GPS dando informações e coordenadas do

usuário, indicando onde ele se encontra exatamente naquele momento, na Terra.

Ele localiza pontos, indica rotas, controla o tempo do percurso, enfim permite a

qualquer usuário obter a sua localização, velocidade e tempo. O GPS necessita de

três componentes básicos para o seu funcionamento (ROCHA, 2005):

1. Espacial: refere-se a 24 satélites se encontram na órbita da Terra a uma

distância aproximada de 20.200 km;

2. Controle: refere-se a 05 estações de rastreio estão distribuídos no Planeta.

Uma estação principal, denominada de CMS (Master Control Station), atualiza

posições, calibra e sincroniza os satélites em órbita;

3. Utilizador é o receptor GPS propriamente dito, utilizado pelo usuário.

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Um dos recursos do receptor GPS mais empregados pelos proprietários de

imóveis rurais é o “Cálculo de Áreas”, utilizado para fornecer, em tempo real, uma

estimativa do tamanho de áreas de lavouras, pastagem, açudes e reservas florestais

(matas, campos nativos). No que se refere ao nosso trabalho, este receptor foi

utilizado em sala de aula com os alunos de maneira coletiva, pois o uso individual

ainda é inviável devido ao custo do aparelho. Existem inúmeros modelos de

receptores GPS disponíveis no mercado, sendo que o mais simples, utilizado na

nossa prática de campo, foi o Receptor GPS Etrex Legend (Copyright GARMIN

Ltda., 2000) conforme figura abaixo:

Figura C - Modelo Receptor GPS Etrex Legend da Garmin .

Fonte: O Autor

Cubagem da terra

A Cubagem da Terra é uma antiga técnica de medição de área de lavoura ou

de pastagem, utilizada pelos agricultores brasileiros desde o período Colonial

(século XVI). Segue abaixo o esquema dessa técnica de demarcação de terrenos

rurais, até hoje em vigor na agricultura familiar brasileira, válida em todas as regiões

do Brasil (BARROS, 2005):

“A cubagem é uma ação aplicada ao trabalho de áreas destinadas ao

plantio, onde o processo de transfiguração do desenho do espaço para um quadrado tem validade, pois é uma prática cultural”. (BARROS, 2005, p. 2).

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Figura D - Antiga técnica de medição de terreno rural, utilizado pelos agricultores brasileiros, válida em todo território nacional: três ou quatro bambus e uma corda de comprimento linear em braças.

Fonte: Foto do autor

Figura E - Corda da Figura D dividida em cinco partes iguais, separadas por nós, utilizando-se do

Software Matemático Livre Geogebra.

Figura F - Área de pastagem, delimitada pela corda da Figura E, e o cálculo do perímetro

correspondente a essa área, utilizando-se do Software Matemático Geogebra.

5 braças

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Figura G - Alteração –transfiguração – da Figura F, num quadrado de lado x, mantendo-se área da

referida figura, utilizando-se do Software Matemático Livre Geogebra.

Vemos que, a partir das Figuras D até G, os produtores calculam a área de

pastagem propriamente dita. Como a unidade de medida dessa área de pastagem é

em braça quadrada (4,84 m2), os agricultores convertem essa unidade em outras

unidades de medidas agrárias inerentes as suas raízes culturais, por exemplo: Litro

(605 m2), Alqueire Paulista (24.200 m2).

Já mencionamos que o nosso propósito deste trabalho é o de amenizar a

falta de significados concretos apresentados pela educação matemática em sala de

aula, principalmente, aqui, no que se refere aos conceitos de medidas de

comprimento e de áreas agrárias. O Projeto de Implementação na escola (Colégio

Estadual João Francisco da Silva) e a participação dos professores contribuintes do

GTR/2011 (Grupo de Trabalho em Rede, SEED/PR) permitiu o acesso dos alunos e

professores ao conhecimento acerca das diferentes unidades de medidas agrárias

existentes em nosso País. Os envolvidos também foram instruídos, no curso, sobre

a tecnologia do instrumento GPS, como ferramenta útil na medição de áreas. Além

disso, as atividades desenvolvidas com esse trabalho permitiram aos estudantes, do

6º Ano do ensino fundamental, desenvolver competências e habilidades sobre como:

• Conhecer as unidades de medidas, menos conhecidas, de

comprimento linear, aplicadas no meio rural: polegada, palmo, pé, alna,

vara, braça, corda, passo geométrico, quadra linear, milha e légua de

sesmaria;

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• Resgatar a história das antigas e diferentes unidades de medidas

agrárias ainda em vigor em nosso País;

• Estabelecer as relações existentes entre essas diferentes unidades de

medidas agrárias;

• Conhecer as medidas relacionadas ao cultivo da roça do milho muito

utilizada nas pequenas propriedades rurais: atilho, mão, jacá, cesto,

cargueiro, talha e carro de milho;

• Aprender a antiga técnica rudimentar de medição de terras

denominada “Cubagem da Terra”;

Métodos, Resultados e Discussões.

Cabe lembrar, mais uma vez, que a nossa ação se deu em uma escola

situada numa região predominantemente rural, sendo que a grande maioria de

nossos alunos do 6º Ano do Ensino Fundamental são filhos de agricultores.

Inicialmente, no desenvolvimento do trabalho, os estudantes juntamente com os

professores de matemática do Colégio Estadual João Francisco da Silva, utilizando-

se da ferramenta internet, fizeram um levantamento bibliográfico das unidades de

medidas agrárias utilizadas em nosso País. Na pesquisa levou-se em consideração

desde aspectos históricos até sobre o manuseio de instrumentos de medidas antigos

e modernos. Segue abaixo os quadros elaborados pelos estudantes, referentes às

unidades de medidas agrárias e de comprimentos lineares antigas, utilizadas na

Agricultura Familiar Brasileira desde o Período Colonial (entre os séculos XVI e XIX)

até os dias de hoje. Basicamente todas essas unidades de medidas são derivadas

da unidade de comprimento Braça (1 Braça = 2,20 m):

Unidade Agrária Definição/Equivalência

Braça quadrada ou

Vara Quadrada Antiga medida agrária de superfície equivalente a 2,20 m x 2,20 m, isto é, 4,84

m2, válida em todos os Estados Brasileiros.

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Meia Cuia Medida agrária equivalente a 10 braças x 10 braças, ou 22 m x 22 m, válida em

todos os Estados Brasileiros. Na Bahia denomina-se Corda.

Litro Do grego “litra”, é a medida da superfície de um terreno rural em que se faz a

semeadura de um litro (capacidade) de sementes de milho ou feijão, em covas

com 3 ou 4 grãos, num espaçamento de 1m x 1m, cobrindo uma área de 11m x

55 m ou 605 metros quadrados. Corresponde a um terreno de 5 braças x 25

braças. Válida em todos os Estados da União.

Conta Unidade agrária antiga válida nos Estados de PE, AL e SE, equivale a 10 braças

x 15 braças, ou 22 m x 33 m ou 726 m2.

Quarteirão Medida de superfície agrária equivalente a 12,5 braças x 12,5 braças, ou 756,25

m2. Válido para os Estados de AC, PE, SE e MG. No PR equivale a 100 m x 100

m, ou seja, 10.000 m2, ou 1 hectare.

Data Antiga medida agrária equivalente a 1.250 m2. Válida para os Estados do PR,

SP, GO, TO e MG. Varia de Estado para Estado.

Celamin ou Salamin Medida agrária equivalente à décima sexta parte do alqueire paulista, 12,5

braças x 25 braças, ou 27,5 m x 55 m, ou 1.512,5 m2. Usadas nos estados de

SP, PR, SC, RS e MG. No Estado de MT equivale a 27,5 m x 13,75 m, ou 378,

125 m2.

Geira ou Leira Antiga medida agrária que corresponde a 20 braças x 20 braças, ou 44 m x 44

m, ou 1.936 m2, utilizada nos Estados de SP e SC.

Mil Covas Medida agrária equivalente 3.000 m2.

Tarefa Antiga medida agrária equivalente a um terreno de 55 m x 55 m, ou 3.025 m2,

ou 25 braças x 25 braças. Válida em todos os Estados Brasileiros. Variam de

região para outra nos Estados de SP, MT, MG e PR. Nos Estados de MA, PI e

PE denomina-se de Linha.

Cento de Côvados

ou Tarefa Baiana Unidade agrária de superfície equivalente a 4.356 m

2, ou 30 braças x 30 braças,

ou 66 m x 66 m. No Estado do CE é denominada de Cem Passos.

Quarta de Chão È a medida do terreno rural que corresponde à quarta parte do Alqueire.

Equivalente a 6.050 m2, ou 10 litros no Estado do PR. Varia de acordo com o

alqueire em cada Estado Brasileiro.

Saco Unidade de medida agrária utilizada na Região Sul do Brasil para quantificar

serviços de roçadas. Equivale a 48.400 m2

Cinqüenta Medida de superfície rural que equivale a 50braças x 50 braças, ou 110 m x 110

m, ou 12.100 m2. Utilizadas nos Estados de AM, PA, MA, PI, CE, RN, PB, PE,

AL, SP, SC e RS.

Braça de Sesmaria Antiga medida agrária usada no Estado do RS equivalente a14. 520 m2.

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Quadra Medida agrária equivalente a 17.424 m2, ou 60 braças x 60 braças. Usadas nos

Estados de AC, AM, PA, PI, CE, PE, AL, ES, RJ, SP, SC, RS, MT, MG. No

Estado de GO equivale a 48.400 m2.

Alqueire Paulista Medida agrária, ainda usada nos Estados MA, ES, RJ, SP, MG, PR, PE, SC,

RS, MT, GO e PB. Equivalem a 50 braças x 100 braças, ou 110 m x 220 m, ou

24.200 m2. A unidade alqueire varia muito de região para região em cada

Estado do Brasil.

Alqueirão Medida Agrária equivalente a 320 litros, ou 193.600 m2, ou 400 braças x 400

braças, ou 880 m x 880 m, usada nos Estados de MG, BA e GO.

Data de Campo Antiga medida agrária, usada no Estado do RS, equivalente a 2.722.500 m2, ou

375 braças x 1500 braças.

Légua quadrada Unidade de superfície agrária equivalente a 36.000.000 m2. Válida em todos os

Estados Brasileiros.

Acre Do latim ager, “campo”, medida agrária americana que corresponde

aproximadamente a 4.047 m2.

QUADRO 1 – Definição e Equivalência das Unidades Agrárias Utilizadas no Brasil, Obtido pelos

Alunos.

Fonte: Adaptado da Tabela de medidas agrárias não decimais - Ministério do Desenvolvimento Agrário (MDA). Disponível em: <http://www.mda.gov.br/arquivos/TABELA MEDIDAS AGRÁRIAS NÃO DECIMAIS.pdf>. Acesso em: 09 mar. 2012.

Unidade Definição/Equivalência

Polegada Origem do Latim pollicata, de pollex, “polegar”. Antiga medida,

aproximadamente igual ao comprimento da segunda falange do dedo

polegar, no Brasil equivalente a 2,75 cm. No sistema britânico equivale a

2,54 cm.

Palmo Distância entre a ponta do polegar e a do dedo mínimo, bem afastado um do

outro, ou seja, a mão bem aberta. Equivalente a 22 cm.

Pé Distância entre a ponta do dedão do pé até o calcanhar, equivalente a 12

polegadas ou 33 cm. No sistema inglês equivale a 30,48 cm.

Alna ou Côvado Distância do cotovelo até a ponta do dedo médio, correspondente a três

palmos, ou seja, 66 cm. O mesmo que cúbito.

Vara Antiga medida de comprimento linear equivalente a 1,10 m (cinco palmos).

Braça Do latim brachia, “braços”, Antiga unidade de medida de comprimento linear,

que corresponde à distância entre os dedos médios das mãos com os braços

abertos, equivale a 2,20 m (dez palmos ou duas varas).

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Corda Equivalente a 3,30 m (quinze palmos).

Passo Geométrico Antiga de comprimento linear portuguesa correspondente a cinco pés ou 1,

65 m.

Quadra Linear Medida antiga equivalente a sessenta braças ou 132 m.

Milha Do Latim Mille, “mil”. Antiga medida de comprimento equivalente a 1000

braças, ou 2200 m.

Légua de Sesmaria Do latim leuga, Antiga medida de comprimento equivalente a 3000 braças,

ou seja, 6600 m.

QUADRO 2 – Definição e Equivalência das Unidades de Comprimento Linear Aplicada na Agricultura Brasileira, Obtido pelos Alunos.

Fonte: Adaptado do Livro: SILVA, I. da. História dos pesos e medidas. 2. ed. São Carlos – São Paulo: EdUFSCar, 2010.

Em seguida, com base nas informações do Quadro 1 e, como forma de

aprofundamento teórico e enriquecimento das atividades propostas, os estudantes,

através da coleta de dados (via questionário local), resgataram as unidades de

medidas agrárias aplicadas na região de Tibagi - PR. Abaixo a tabela obtida pelos

alunos:

Unidade Agrária Dimensões em

Braças Dimensões em

metros (m) Área em braças Área em metros

quadrados (m2)

Alqueire Paulista 50 x 100 110 x 200 5000 24200

Braça quadrada 1 x 1 2,20 x 2,20 1 4,84

Celamin 12,5 x 25 27,5 x 55 312,5 1512,50

Data 11,4 x 22,7 25 x 50 258,78 1250

Litro 5 x 25 11 x 55 125 605

Tarefa 25 x25 55 x 55 625 3025

Quarta de Chão 25 x 50 55 x 110 1250 6050

Meia Cuia 10 x 10 22 x 22 100 484

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Légua Quadrada 2727,27... x

2727,27...

6000 x 6000 7438001,653... 36000000

Hectare (ha) 45,45... x

45,45...

100 x 100 2066,1156... 10000

Tabela 1 - Medidas Agrárias Utilizadas pelos Agricultores do Município de Tibagi – PR, Montada pelos Alunos.

Observamos, de forma contextualizada, que estas atividades estimularam os

alunos, do 6º Ano do Ensino Fundamental, em suas capacidades de adquirir

habilidades e competências básicas, referentes ao tópico medidas de comprimento e

medidas agrárias.

Ao mesmo tempo, de forma a enriquecer o nosso trabalho, levantamos a

seguintes questões norteadoras, junto aos nossos alunos, em sala de aula:

“Alguém tem idéia do que é a braça, a polegada, o palmo, o pé, a alna, a vara, a

corda, o passo geométrico, a quadra linear, a milha e a légua?”

o “Que medidas elas representam?”

o “Quais suas equivalências com o metro linear?”

“Alguém tem idéia do que é o alqueire, o hectare, a braça quadrada e o litro de

terra?”

o “Que área eles representam?”

o “Quais suas equivalências com o metro quadrado?”

o “Quantas vezes eles vão caber aqui nessa sala? Ou quantas vezes a sala

vai caber neles?”

Tais questões visaram conduzir os alunos à percepção física das medidas

agrárias, bem como, sobre a adequação das unidades ao tamanho da superfície,

que se quer medir.

Atividades 1: Reconhecer as medidas relacionadas ao cultivo da roça do milho

muito utilizada nas pequenas propriedades rurais de Tibagi - PR.

Com base na pesquisa de campo, os estudantes fizeram um resgate das

medidas relacionadas ao cultivo da roça do milho utilizadas nas pequenas

propriedades rurais da região:

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UNIDADES DE

MEDIDAS QUANTIDADE DE ESPIGA DE MILHO (em casca: palha + sabugo)

ATILHO 4 Espigas

MÃO 16 Atilhos = 64 Espigas (*)

JACÁ 2 Mãos = 32 Atilhos = 128 Espigas

CESTO (SAMBURÁ) 2 Mãos = 32 Atilhos = 128 Espigas

CARGUEIRO 4 Jacás = 8 Mãos = 128 Atilhos = 512 Espigas

TALHA 25 Jacás = 50 Mãos = 6,25 Cargueiros = 800 Atilhos= 3.200 Espigas

CARRO 10 Cargueiros = 40 Jacás = 80 Mãos = 1280 Atilhos = 5.120 Espigas

QUADRO 3 – Unidades de Medidas da Cultura do Milho Usadas pelos Agricultores de Tibagi-PR, Obtida pelos Alunos.

Fonte: IAPAR - Instituto Agronômico do Paraná. Paraná: IAPAR, 1991. Apêndice VII, p.10.

Nota: (*) quantidades de espigas válidas para a Região Sul do País, pois a unidade Mão varia

de região para outra, por exemplo, no Estado do Pará 1 Mão = 15 atilhos = 60 espigas.

Atividades 2: Medindo comprimentos em sala de aula

Com base nas informações do QUADRO 2, os alunos efetuaram algumas

medições de comprimentos lineares aplicada no meio rural, tomando como medida

padrão algumas partes do seu próprio corpo e usando, ao mesmo tempo, os

seguintes instrumentos de medição:

• Trena 1 - Um lado da fita a unidade metro e do outro lado à unidade pés;

• Trena 2 - Um lado da fita a unidade metro e do outro lado à unidade polegada

inglesa;

• Fita métrica de alfaiate;

• Barra métrica de alfaiate;

• O metro linear de carpinteiro;

• Régua graduada em cm.

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As medições foram colocadas numa tabela conforme modelo abaixo fornecida pelo

professor da turma.

Tabela 2 - Resultados Obtidos por um Determinado Aluno em Sala de Aula.

Aqui, os estudantes perceberam que os resultados das medições utilizando

Partes do Corpo e Instrumentos não foram iguais, devido ao tamanho das partes do

corpo humano que variam de um adulto para uma criança. Daí a importância do

estudo da origem histórica das unidades de medidas, pois esclarece a causa que

levou ao estabelecimento da unidade padrão atual, e a necessidade de escolher as

unidades de medida mais apropriadas para realizar as medições. Os alunos

observaram que ao se comparar as unidades de medidas antigas com as unidades

de comprimento do sistema métrico decimal (m, e cm), este último é o mais usual e

prático para realizar medidas de comprimentos. Enfim, o ponto positivo dessa

atividade foi o de se fazer os instrumentos de medidas de comprimentos mais

familiares aos alunos.

Unidade O que medir Resultado da

medida

utilizando

Partes do

Corpo

Resultado da

medida

utilizando

instrumento

(unidade igual)

Resultado da

medida

utilizando as

unidades

centímetros (cm)

ou metros (m)

Polegada Comprimento do seu caderno 8 polegadas 10 polegadas

26,5 cm

Palmo

Comprimento da sua carteira 3 palmos

4 palmos 65 cm

Pé Comprimento da sala de aula 17 pés

20 pés 6 m

Cúbito Largura da sala de aula 6 cúbitos 7,5 cúbitos

5 m

Braça Perímetro da sala de aula 10 braças 13 braças

28 m

17

Atividades 3: Experiência – Origem da Unidade Agrária Litro

Seja a figura abaixo:

Figura H - Delimitação de um terreno representando uma área de 1 Litro de terra.

Materiais:

• 1 litro de sementes de milho ou feijão;

• 1 Trena;

• 1 Corda de comprimento 11m;

• Balizas de bambu ou madeira;

• Caderno e lápis para anotações.

Procedimentos:

Para essa pesquisa de campo, inicialmente dividiu-se a turma em grupos de 5

ou 6 alunos;

A turma foi levada numa área de lavoura perto da escola;

Os alunos, utilizando-se da Corda, trena e balizas, delimitam o terreno

conforme Figura H acima;

Cada grupo registrou no caderno os dados das medições realizadas;

A seguir, cada grupo contou a quantidade de sementes de milho contida em 1

litro de capacidade;

18

Finalmente, completaram uma tabela, conforme modelo abaixo, fornecida

pelo professor para análise e conclusões dos trabalhos.

Grupo A Resultados

(1) A medida do comprimento em metros do terreno. 55 m

(2) A medida da largura em metros do terreno 11 m

(3) A medida da área em metros desse terreno. 605 m²

(4) As dimensões em braças desse terreno. 5 braças x 25 braças

(5) A medida da área em braças do terreno. 125 braças quadradas

(6) Considerando-se o espaçamento de plantio de 1m

por 1 m, quantas covas podem-se obter nesse

terreno?

672 covas

(7) Sendo que em cada cova recebe-se 3 grãos de

sementes de milho, calcule o total de sementes na

área inteira.

2016 sementes

(8) A quantidade de 1 litro (capacidade) de sementes

de milho contadas pelo grupo. 2138 sementes

(9) Registre os dados obtidos pelos outros grupos no

item (8) e calcule a média aritmética dos resultados. (2138+2078+2074+2206+2135+2163+2197): 7= 2141, 5714, ou seja, 2141 sementes.

(10) Compare os resultados obtidos nos itens (7) e (9)

o que você conclui? Resultado Próximo

Esta pesquisa de campo teve a intenção de levar os estudantes a reconhecer

a origem do “1 litro de terra” e ter noção do que ele representa fisicamente.

Atividades 4: Transformação de alqueires em litros e em hectares.

Figura I - Delimitação de um terreno com área de 1 Alqueire Paulista.

19

Procedimentos realizados pelos alunos:

Se 1 Litro de terra corresponde a uma superfície de 605 m², então para

transformar m² em Litros, basta dividirmos por 605;

²

²

605

605

mLitro

mLitro

Se 1 hectare de terra corresponde a uma superfície de 10.000 m², então para

transformar m² em hectares, basta dividirmos por 10.000.

²)(

²)(

10000

10000

mhahectare

mhahectare

Os estudantes elaboraram a tabela abaixo, mostrando os resultados obtidos:

Unidade Agrária Área em metros quadrados (m²)

Área em litros Área em hectares (ha)

Alqueire Paulista 24.200 24200/605 = 40 24200/10000 = 2,42 Alqueire da Região Norte 27.225 27225/605 = 45 27225/10000 = 2,7225 Alqueire Mineiro 48.400 48400/605 = 80 48400/10000 = 4,84 Alqueire Baiano 96.800 96800/605 = 160 96800/10000 = 9,68 Alqueirão 193.600 193600/605 = 320 196300/10000 = 19,63

Tabela 3 - Conversões de Alqueires em Litros e em Hectares, Resultados Obtidos pelos Alunos.

Com essa atividade os alunos foram capazes de:

Realizar corretamente conversões de Alqueires em Litros e de Alqueires em

Hectares;

Efetuar corretamente a divisão entre números racionais.

Atividades 7: Pesquisa de campo - Cubagem da terra de um terreno irregular

(Quadrilátero).

Os Professores, juntamente com seus alunos, visitaram uma propriedade rural

(área de lavoura), acompanhados dos seguintes materiais de pesquisa:

• Lápis e Caderno para Anotações;

• Cordas de comprimentos iguais a 11m (5 braças);

• Balizas de bambus ou de madeiras;

• Trenas

20

Passos:

1. Inicialmente dividiu-se a sua turma em grupos de 6 alunos;

2. Cada grupo de alunos delimitou uma área do terreno (a escolha do formato do

terreno é livre para o grupo);

3. Com o auxilio da corda e balizas obtiveram as dimensões do terreno;

4. Fizeram um esboço da figura desse terreno no seu caderno, anotando as suas

respectivas medidas dos lados do terreno;

5. Ao retornarem para a sala de aula realizaram os cálculos da cubagem desse

terreno.

Delimitação da Área de lavoura realizada pelos alunos com dimensões em braças e

metros:

Figura J - Delimitação da área de lavoura com dimensões em braças e metros.

Cálculo da área em braças quadradas

Depois de obtido as dimensões do terreno conforme Figura J acima, calcula-

se o Perímetro da região:

Perímetro = 12 braças + 9 braças + 14 braças + 18 braças = 53 braças

Divide-se agora o valor do perímetro por 4: 53 braças ÷ 4 = 13,25 braças

21

Figura K - Transfiguração da Área de lavoura da Figura J num quadrado.

Em seguida calcula-se agora a área do quadrado da Figura K, obtendo-se

assim a área de lavoura propriamente dita:

Área do quadrado = lado x lado

Área de lavoura = 13,25 braças x 13,25 braças = 175,5625 braças

quadradas

Finalmente transforma-se a unidade braças quadradas em litros de terra ou

em alqueire paulista. Como já vistos anteriormente que:

• 1 Litro de terra equivale a 5 braças x 25 braças (11 m x 55 m), ou

seja correspondente a uma área de 125 braças quadradas (605

m²);

• 1 Alqueire equivale a 50 braças x 100 braças (110 m x 220 m), ou

seja correspondente a uma área de 5000 braças quadradas (24200

m²).

Neste caso como a área de lavoura obtida no item anterior é menor que 5000 braças

quadradas, então dividiram por 125:

175,5625 ÷ 125 = 1,404 litros, ou seja, 1,4 litros (arredondamento)

Outra maneira encontrada pelo grupo para calcular a medida dessa área é

utilizando o seguinte raciocínio: “somam-se os lados opostos e divide-se por 2”

Área lado lado CD)

lado AD + lado BC)

Área = 12 braças + 1 braças)

1 braças + braças)

Área = braças

braças

22

Área = 1 braças 1 , braças

Área = 175,50 braças quadradas

Também foi sugerido aos grupos que calculassem a área acima delimitada por eles

pela técnica da cubagem da terra utilizando agora as medidas do terreno em metros:

Cálculo da área em metros quadrados (m²)

Área lado lado CD)

lado AD + lado BC)

Área = 2 , 0 m + 0, 0 m)

, 0 m +1 ,20 m)

Área =

Área = 2 , 0 m 2 , 0 m

Área = 840,84 m²

Neste caso como a área de lavoura obtida no item anterior é menor que

24200 m², então dividimos por 605 m² obtendo-se assim a medida desta área de

lavoura em litros: 840,84 m²: 605 m² = 1,389818182...., ou seja, 1,4 litros

(arredondando). Após compararem os resultados obtidos da área utilizando as

dimensões do terreno em braças com o nosso sistema métrico decimal (em metros),

os estudantes concluíram que às medidas das áreas foram iguais. Também

concluíram que calcular a área de lavoura em metros quadrados é mais prático do

que em braças quadradas utilizadas pelos seus pais no campo. Como visto

anteriormente, a resistência dos pequenos agricultores brasileiros em utilizar o

sistema métrico decimal ainda continua até os dias de hoje. Pois se trata de um

conhecimento matemático local enraizado nas suas próprias tradições culturais

desde o período do Brasil Colonial.

Atividades 8: Calculando áreas com o GPS.

Após professores e alunos, no decorrer do desenvolvimento do curso, terem

aprendido, em sala de aula, sobre a tecnologia e utilização do receptor GPS, a turma

visitou uma propriedade rural (pesquisa de campo) próxima à escola,

acompanhados dos seguintes materiais:

Uma corda de comprimento 10 m;

Balizas;

Calculadora;

Receptor GPS.

23

Na sequência, delimitaram duas (02) áreas de lavoura no formato triangular e

quadrilátero. Após obterem as dimensões dessas áreas de lavoura, com o auxílio da

corda de comprimento 10 m e do receptor GPS, fizeram uma aplicação prática da

utilização do instrumento GPS, para o cálculo da área dos dois terrenos. Em

seguida, calcularam a área desses terrenos pela técnica da cubagem da terra. No

caso do terreno no formato triangular, foi utilizado a Fórmula de Heron para obter a

medida da área dessa lavoura.

Área do primeiro terreno delimitado pelos alunos:

Figura L - Delimitação da área de lavoura com dimensões em metros (triangular), utilizando-se do

software matemático livre Geogebra.

Cálculo da área do terreno da Figura L utilizando a técnica da “cubagem da

terra”:

Perímetro da área = 70 m + 80 m + 55,72 m = 205,72 m

Transfiguração da área de lavoura num quadrado: Perímetro / 4 = 205,72 m / 4 =

51,43 m (lado do quadrado)

Área do terreno = 51,43 m x 51,43 m = 2645,0449 m²

Cálculo da medida da área utilizando a Fórmula de Heron:

Área = p x p – lado AB) x p – lado BC) x p – lado AC)

Utilizando-se as medidas dos lados obtidas com o auxílio do GPS:

24

p = semiperímetro

p = 206,90 m / 2 = 103,45 m

Área = 10 , x 10 , – 0, 0) x 10 , – 0,10) x 10 , – )

Área = x 2, x 2 , x ,

Área = 22 m

Área = 1934,498473... m² 1934,50 m²

Utilizando-se as medidas dos lados obtidas com o auxílio da corda (10 m):

p = semiperímetro

p = 205,72 m / 2 = 102,86 m

Área = 102, x 102, – 0) x 10 , – 0) x 10 , – , 2)

Área = x 2, x 22, x ,1

Área = 2 , m

Área = 1908,490233... m² 1908,50 m²

Neste ponto, os estudantes constataram que as dimensões do terreno, utilizando

a corda de 10 m e os dados registrados pelo GPS, não são iguais. Pois, houve uma

pequena diferença em centímetros das medidas. Aqui foi um bom momento para

discutir com os alunos os fatores externos que interferiram nas diferenças das

medidas, tais como:

Deformidade da corda;

Alinhamento das balizas;

Curvatura do terreno;

Perímetro contornado com a corda e o GPS;

Precisão do GPS.

Notaram também que a medida da área do terreno obtida pelo receptor GPS é

diferente da medida da área obtida pela técnica da cubagem:

(Área do terreno Cubagem) – (Área do terreno GPS) = 2645 m² - 1916 m² = 729 m².

25

Cálculo da porcentagem: 729 m²/2645 m² = 0,275614366... X 100 = 27,5614366... %

= 27,56% (arredondando), ou seja, uma diferença aproximada de 27,56%.

Além disso, ao compararem a medida da área do terreno do GPS com a medida da

área obtida pela Fórmula de Heron, não se verificou uma diferença expressiva:

(Área do terreno GPS) – (Área do terreno Fórmula de Heron) = 1916 m² - 1908,5 m²

= 7,5 m².

Porcentagem da diferença = 7,5 m²/1916 m² = 0,00391440501... X 100 =

0,391440501...% = 0,39 %, ou seja, uma diferença aproximada de 0,39%.

Área do segundo terreno delimitado pelos alunos:

Figura M - Delimitação da área de lavoura com dimensões em metros (Quadrilátero), utilizando-se do

software matemático livre Geogebra.

Cálculo da área do terreno da Figura M utilizando a técnica da “cubagem da terra”:

Área = 0 m + 0 m)

0 m + ,2 m)

Área 1 0 m

1 ,2 m

26

Área =

Área = 5223,75 m²

Neste caso, os alunos também notaram que houve uma pequena diferença

(centímetros), nas dimensões do terreno, utilizando a corda de 10 m e o receptor

GPS. Além disso, observaram que a medida da área do terreno, obtida pelo receptor

GPS, é diferente da medida da área obtida pela técnica da cubagem:

(Área do terreno Cubagem) – (Área do terreno GPS) = 5223,75 m² - 4621,10 m² =

602,65 m².

Porcentagem da diferença: 602,65 m²/5223,75 m² = 0,115367312... X 100 =

11,53673128... % = 11,54% (arredondando), ou seja, uma diferença aproximada de

11,54%.

Considerações Finais

Acreditamos que o nosso trabalho, de fato, por meio de atividades

desenvolvidas pelos estudantes, da área rural, permitiram que eles pudessem

explorar os conteúdos matemáticos aprendidos em sala de aula conectados com a

sua realidade do dia-a-dia. O tema “medidas agrárias” ofereceu, aos envolvidos no

curso, oportunidades de diálogo/discussão, em relação aos significados dos

elementos da matemática tratados pela escola. Ou seja, os conhecimentos

originários do ambiente escolar foram trabalhados de forma objetiva, clara, concreta

e contextualizados.

Ficou claro para nós que o cálculo de áreas, através das medidas na forma

rudimentar antiga denominada “Cubagem da Terra” e a da tecnologia do GPS,

chamaram bastante atenção dos alunos. Na “Cubagem da Terra” os estudantes

perceberam que até hoje há uma resistência dos seus pais agricultores em utilizar

as unidades de medidas de comprimentos do sistema métrico decimal (Km, m, cm e

mm). Estes pequenos proprietários rurais ainda preferem demarcar as dimensões do

terreno utilizando sempre a unidade braça. Esta opção não se justifica apenas

27

tecnicamente - conhecimento matemático -e, sim, através da resistência destes

pequenos proprietários rurais em não perderem as suas tradições culturais, que

remontam do período do Brasil Colonial. Esta constatação é também verificada em

outros possíveis ambientes da sociedade.

Por outro lado, o receptor GPS, como ferramenta útil, para o cálculo de área,

despertou enorme curiosidade e interrese por parte dos estudantes nas atividades

propostas. Uma dificuldade encontrada nos trabalhos de medições foi à utilização

coletiva (apenas dois aparelhos) desse instrumento em sala de aula, pois o uso

individual era inviável devido ao custo do aparelho. “Professor quem está correto

na medida da área: O GPS ou a “Cubagem da Terra”?” Esse questionamento por

parte de um aluno foi primordial nas atividades de campo. Depois de comparados os

resultados das medidas das áreas pelas duas técnicas citadas acima, os estudantes

constataram que de fato a porcentagem da diferença das áreas calculadas ficou na

média de 15%. Desta forma, é nesse tipo de investigação, de cunho cultural, que

devemos motivar os nossos alunos, mostrando-os sobre a importância de se

aprender os conhecimentos matemáticos. Além disso, procuramos mostrar a eles as

suas habilidades e competências no processo de se aprender matemática, bastando

para isso o querer e o ter a disciplina de estudo. E nós professores de matemática,

de forma sistematizada, somos os mediadores nesse processo de ensino e

aprendizagem.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto/Secretaria do Ensino Fundamental.

Parâmetros curriculares nacionais – matemática (terceiro e quarto ciclos do ensino

fundamental), 1998.

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D’ AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade. 2. ed. Belo Horizonte – MG: Editora Autêntica, 2002.

ROCHA, JOSÉ ANTÔNIO M. R. O “ABC” do GPS. 2. ed. Recife: Bagaço, 2005.

28

SILVEIRA, M. R. A. da. Produção de sentidos e construção de conceitos na

relação ensino/aprendizagem da matemática. Porto Alegre: UFRGS, 2005.

GURGEL, ANDRÉ C. Meu primeiro GPS: livro – guia para iniciantes e

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PARANÁ. Secretaria de Educação do Estado do Paraná. Departamento de

Educação Básica. Diretrizes curriculares da educação básica: matemática.

Curitiba: SEED, 2008.

SILVA, Irineu da. História dos pesos e medidas. 2. ed. São Carlos – São Paulo:

EdUFSCar, 2010.

BARROS, O. S. Experiências tradicionais da agricultura familiar como recursos

à compreensão de conceitos matemáticos. Disponível em:

<http://www.ufpa.br/npadc/gemaz/textos/produto/experiencias_tradicionais_da_agric

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CHIEUS, G. A braça da rede, uma técnica caiçara de medir. Revista Latino

americana de Etnomatemática, 2(2). 4-17. Disponível em:

<http://www.etnomatematica.org/v2-n2-agosto2009/chieus.pdf>. Acesso em: 07 Abr.

2012.