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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 2

ESPAÇOS VETORIAIS

1 CORPO

Definição: Um conjunto K, munido com duas operações: uma adição (+) e uma multiplicação (·), é

um corpo (cujos elementos são chamados de escalares), se ele é um subconjunto do

complexos e satisfaz, para Kz,y,x ∈∀ :

Adição

A1) Kyx ∈+ (fechamento)

A2) xyyx +=+ (comutativa)

A3) z)yx()zy(x ++=++ (associativa)

A4) xxxxx/Kx***

=+=+∈∃ (elemento neutro)

A5) *^^^

xxxxxx/Kx =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico)

Multiplicação

M1) Kyx ∈⋅ (fechamento)

M2) xyyx ⋅=⋅ (comutativa)

M3) z)yx()zy(x ⋅⋅=⋅⋅ (associativa)

M4) xxxxx/Kx~~~

=⋅=⋅∈∃ (elemento neutro)

M5) ~

xxxxx/Kx =⋅=⋅∈∃ (elemento inverso)

Exemplo (1): Conjuntos que são copos:

a) (�,+,·) = conjunto dos números complexos com as operações usuais de adição e multiplicação.

b) (�,+,·) = conjunto dos números reais com as operações usuais de adição e multiplicação.

c) (�,+,·) = conjunto dos números racionais com as operações usuais de adição e multiplicação.

Exemplo (2): Conjuntos que não são corpos:

a) (�,+,·) = conjunto dos números inteiros com as operações usuais de adição e multiplicação.

b) (�,+,·) = conjunto dos números naturais com as operações usuais de adição e multiplicação.

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2 ESPAÇO VETORIAL

Definição: Um conjunto V, não vazio, munido com duas operações: uma adição (+) e um produto

por escalar (·), é um espaço vetorial sobre um corpo K, se para Vw,v,u ∈∀ e

K, ∈βα∀ , ele satisfaz as seguintes propriedades:

Adição

A1) uvvu +=+ (comutativa)

A2) w)vu()wv(u ++=++ (associativa)

A3) uuuuu/Vu***

=+=+∈∃ (elemento neutro)

A5) *^^^

uuuuu/Vu =+=+∈∃ (elemento oposto ou simétrico)

Produto por escalar

P1) u)()u( ⋅βα=⋅α⋅β

P2) vu)vu( ⋅α+⋅α=+⋅α

P3) uuu)( ⋅β+⋅α=⋅β+α

P4) uu1 =⋅

OBS: Os elementos de um espaço vetorial V são chamados de vetores. Quando nada for dito,

vamos sempre considerar o corpo K com sendo o conjunto dos números reais.

Exemplo (3): Conjuntos que são espaços vetoriais:

a) (ℜℜℜℜ2,+,·) = o plano com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar.

b) ( ℜℜℜℜ3,+,·) = o espaço com as operações usuais de adição vetorial e produto por escalar.

c) ( Pn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes

reais, com as operações usuais de adição e produto por escalar.

d) ( Mmxn(ℜℜℜℜ),+,·) = conjunto de todas as matrizes de ordem mxn e elementos reais, com as

operações usuais de adição e produto por escalar.

e) (����,+,·) = conjunto de todas as funções reais de uma variável real com as operações usuais de

adição e produto por escalar.

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� Propriedades dos espaços vetoriais:

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Então:

a) O vetor nulo, denotado por 0, é único.

b) Vv,0v0 ∈∀=⋅

c) K,00 ∈α∀=⋅α

d) Vw,v,u,wvwuvu ∈∀=⇒+=+ (lei do cancelamento)

e) Vv,v)1(v ∈∀⋅−=−

f) KeVv,0v0e0vse ∈α∀∈∀=⇒≠α=⋅α

� O Espaço Vetorial ℜℜℜℜn

O espaço vetorial { }ℜ∈=ℜ n21n21n x,...,x,x/)x,...,x,x( , sobre o corpo dos

reais, é o conjunto de todas as n-úplas de números reais, munido com as operações de adição

vetorial e produto por escalar definidas por:

Adição vetorial:

nn212n211 )y,...,y,y(ve)x,...,x,x(v ℜ∈==∀ então

)yx,...,yx,yx(vv nn221121 +++=+

Produto por escalar:

ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)x,...,x,x(v nn21 então )x,...,x,x(v n21 ααα=⋅α

OBS: Os únicos espaços vetoriais que possuem visão geométrica são ℜ, ℜ2 e ℜ3

.

3 Subespaço Vetorial

Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um subconjunto W⊆V é um subespaço

vetorial de V se:

a) W0 ∈ (ou seja, o elemento zero do espaço V pertence a W)

b) Wwew,Www 2121 ∈∀∈+

c) KeWw,Ww ∈α∀∈∀∈⋅α

Exemplo (4): Seja V um espaço vetorial qualquer. São considerados subespaços triviais:

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a) W = V b) W = {0}, ou seja, o espaço nulo.

Exemplo (5): Mostre que toda reta passando pela origem é um subespaço do ℜ2.

Solução: Seja { }0mcom,mxy/)y,x(W 2 ≠=ℜ∈= , ou seja, W é uma reta passado pela

origem. Então todo vetor de W se escreve com )mx,x( . Assim, podemos escrever que

{ }ℜ∈≠∀ℜ∈∀= 0mex),mx,x(W .

a) W)0,0( ∈ , pois para : )0,0()0m,0(0x =⋅⇒=

b) Sejam W)mx,x(weW)mx,x(w 222111 ∈∈= . Então:

( ) W)xx(m,xxww 212121 ∈++=+

c) Sejam ℜ∈α∀∈= eW)mx,x(w . Então: ( ) W)x(m,xw ∈αα=⋅α

Exemplo (6): Mostre que todo plano passando pela origem é um subespaço do ℜ3.

Solução: Seja { }0czbyax/)z,y,x(W 3 =++ℜ∈= , ou seja, W é um plano passado pela

origem. Então todo vetor de W se escreve com

−−z,y,

a

czby, supondo a ≠ 0.

Assim, podemos escrever que

ℜ∈∀

−−= z,y,z,y,

a

czbyW .

a) W)0,0,0( ∈ , pois para : )0,0,0(0,0,a

0c0b0zy =

⋅−⋅−⇒==

b) Sejam Wz,y,a

czbyweWz,y,

a

czbyw 22

22211

111 ∈

−−=∈

−−= .

Então: Wzz,yy,a

)zz(c)yy(bww 2121

212121 ∈

++

+−+−=+

c) Sejam Wz,y,a

czbyw ∈

−−= e ℜ∈α∀ . Então:

Wz,y,a

zcybw ∈

αα

α−α−=⋅α

Proposição (1): Se W1 e W2 são subespaços de um espaço vetorial V sobre um corpo K, então:

i) 21 WW + é subespaço de V.

ii) 21 WW ∩ é subespaço de V.

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iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.

Demonstração:

i) 21 WW + é subespaço de V.

O conjunto { }22112121 WweWw/wwuWW ∈∈+==+ .

a) 21 WW0 +∈ . De fato, como W1 é subespaço, então 1W0 ∈ e como W2 é subespaço, então

2W0 ∈ . Portanto, 21 WW000 +∈+= .

b) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒

∈

∈

22

11

Ww

Ww e

21'2

'1 WWwwv +∈+= ⇒

∈

∈

2'2

1'1

Ww

Ww

Então: )ww()ww(vu '22

'11 +++=+ . Note que, 1

'11 Www ∈+ e 2

'22 Www ∈+ ,

pois eles são subespaços. Portanto, 21 WWvu +∈+ .

c) Sejam 2121 WWwwu +∈+= ⇒

∈

∈

22

11

Ww

Ww e K∈α∀ . Então 21 wwu α+α=⋅α .

Como W1 e W2 são subespaços ⇒

∈α

∈α

22

11

Ww

Ww . Portanto, 21 WWu +∈⋅α

ii) 21 WW ∩ é subespaço de V.

a) Como W1 e W2 são subespaços, então 1W0 ∈ e 2W0 ∈ . Portanto, 21 WW0 ∩∈ .

b) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒

∈

∈

2

1

Wu

Wu e 21 WWv ∩∈ ⇒

∈

∈

2

1

Wv

Wv. Como W1 e W2 são

subespaços, então 1Wvu ∈+ e 2Wvu ∈+ . Portanto, 21 WWvu ∩∈+ .

c) Sejam 21 WWu ∩∈ ⇒

∈

∈

2

1

Wu

Wu e K∈α∀ . Como W1 e W2 são subespaços, então

1Wu ∈α e 2Wu ∈α . Portanto, 21 WWu ∩∈α .

iii) 21 WW ∪ não é subespaço de V.

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Para demostrar este fato, vamos exibir um contra-exemplo. Sejam { }0y/)y,x(W 21 =ℜ∈=

e { }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy. Seja 21 WW ∪ que é

o conjunto de todos os vetores que estão sobre o eixo Ox ou sobre o eixo Oy. Sejam

21 WW)0,1(u ∪∈=r

e 21 WW)1,0(v ∪∈=r

. Então, 21 WW)1,1(vu ∪∉=+rr

.

Portanto, 21 WW ∪ não é subespaço do ℜ2.

Definição: Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Dizemos que o espaço V é

soma direta dos subespaços W1 e W2, denotado por 21 WWV ⊕= , se:

i) 21 WWV +=

ii) }0{WW 21 =∩

Exemplo (7): Mostre que o ℜ2 é soma direta de { }0y/)y,x(W 2

1 =ℜ∈= com

{ }0x/)y,x(W 22 =ℜ∈= , ou seja, W1 é o eixo Ox e W2 o eixo Oy.

Solução: Podemos escrever que { }ℜ∈∀= x),0,x(W1 e { }ℜ∈∀= y),y,0(W2 . Assim, todo

vetor do ℜ2 se escreve com )y,0()0,x()y,x(v +==

r. Logo, 21

2 WW +=ℜ .

Note que, )}0,0{(WW 21 =∩ . Portanto, 212 WW ⊕=ℜ .

Exemplo (8): Mostre que toda função é soma direta de uma função par com uma função ímpar.

Solução: Função par: )x(f)x(f −= . Ela pode ser escrita como 2

)x(f)x(f)x(f1

−+=

Função ímpar: )x(f)x(f −−= . Ela pode ser escrita como 2

)x(f)x(f)x(f2

−−=

vurr

+

vr

ur

W2

W1

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Então, toda função )x(f)x(f)x(f 21 += ⇒ 2

)x(f)x(f

2

)x(f)x(f)x(f

−−+

−+=

E a única função que é par e ímpar é a função nula 0)x(f = , logo }0{)x(f)x(f 21 =∩ .

Exercícios Propostos

1) Seja }2,1,0{K = . Defina em K duas operações:

Adição: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 + k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3.

Multiplicação: Sejam k1 e k2 ∈ K. Então k1 · k2 é igual ao resto da divisão inteira por 3.

Mostre que K com as operações acima é um corpo.

2) Seja }0v/v{V >ℜ∈= . Defina em V duas operações:

Adição: 2121 vvvv ⋅=⊕ , Vvev 21 ∈∀

Produto por escalar: α=⊗α vv , ℜ∈α∀∈∀ eVv

Mostre que V com as operações acima é um espaço vetorial sobre o corpo dos reais.

3) Mostre que

=−=+ℜ∈

= 0dcb2a/)(M

dc

baW 2x2 é um subespaço de M2x2(ℜ).

4) Mostre que { }0a2a/)(Ptataa)t(pU 1o22

21o =−ℜ∈++== é um subespaço de P2(ℜ).

5) Verificar quais dos conjuntos é um subespaço do ℜn.

a) { }2n1

nn21 xx/)x,...,x,x(W =ℜ∈= Resp (a): não

b) { }21nn

n21 xxx/)x,...,x,x(U +=ℜ∈= Resp (b): sim

c) { }0x/)x,...,x,x(X 1n

n21 ≥ℜ∈= Resp (c): não

6) Sejam { }0xy/)y,x(W 21 =−ℜ∈= e { }0xy/)y,x(W 2

2 =+ℜ∈= , ou seja, as retas

bissetrizes dos quadrantes do ℜ2. Mostre que 21

2 WW ⊕=ℜ .