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ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR

CAPÍTULO 4

BASE – DIMENSÃO - COORDENADAS

1 BASE

Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Uma base de V é um subconjunto finito

VB ⊂ satisfazendo:

a) B gera V, ou seja, o subespaço gerado por B é igual a V.

b) B é LI.

Exemplo (1): Mostre que )}2,1,1(),2,1,0(),3,2,1{(B −= é base do ℜ3.

Solução: Para verificar o item (a) da definição, vamos mostrar que qualquer vetor do ℜ3 se escreve

como combinação linear de B. Seja 3)z,y,x(v ℜ∈= . Então, existem escalares a, b e

c ∈ℜ tais que:

)2,1,1(c)2,1,0(b)3,2,1(a)z,y,x(v −++== ⇒

++=

−+=

+=

c2b2a3z

cba2y

cax

. Resolvendo

o sistema teremos:

+−=

+−−=

−+=

5

zy2xc

5

z3yx7b

5

zy2x4a

, mostrando que o sistema tem solução. Logo,

B gera o ℜ3. Para mostrar o item (b), lembrando que no ℜ3

, se três vetores não são

coplanares, então eles são LI. Daí é só mostrar que o determinante 0

211

210

321

≠

−

.

Portanto B é base do ℜ3.

O espaço vetorial nulo V = {0} não possui base, pois o zero é LD. Todos os demais

espaços vetoriais possuem infinitas bases. De todas estas infinitas bases, uma delas é considerada a

mais simples e chamada de Base Canônica. A base canônica de todo espaço vetorial supõe-se

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conhecida, elas, geralmente, não são dadas nos exercícios. Portanto, vamos listar as base canônicas

do principais espaços vetoriais. São elas:

• ℜ ⇒ }1{

• ℜ2 ⇒ )}1,0(),0,1{(

• ℜ3 ⇒ )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(

• ℜn ⇒ )}1,...,0,0(),...,0,...,1,0(),0,...,0,1{(

• )(M 2x2 ℜ ⇒

10

00,

01

00,

00

10,

00

01

• )(Pn ℜ ⇒ { }n2 t,...,t,t,1

Teorema da Invariância: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Então, qualquer uma de

suas bases têm o mesmo número de vetores.

► Processo Prático para obter uma base de um subespaço do ℜℜℜℜn

Este processo consiste em colocar os vetores candidatos a base do subespaço, dispostos

como linhas de uma matriz e escaloná-la. Depois de escalonada, retirar todas as linhas nulas. As

linhas restantes serão vetores LI e formarão a base procurada.

Exemplo (2): Seja W um subespaço do ℜ4 que possui o seguinte sistema de geradores

)]6,3,0,3(),4,1,1,0(),2,1,0,1(),0,1,1,2[( − . Determine uma base para W.

Solução: Vamos aplicar o processo acima:

21

41

LL2

LL3

6303

4110

0112

2101

+−

+−→

−

32 LL1

0000

4110

4110

2101

+

→

−

−−

−−

0000

0000

4110

2101

.

Retiradas as linhas nulas, temos que )}4,1,1,0(),2,1,0,1{(B −−= é base de W.

Definição: Um conjunto de vetores V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é dito LI-Maximal se:

a) }v,...,v,v{ n21 é LI

b) }w,v,...,v,v{ n21 é LD, Vw ∈∀

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Proposição (1): Seja V um espaço vetorial. Um conjunto de vetores }v,...,v,v{ n21 é base de V

se for LI-Maximal.

2 DIMENSÃO

Definição: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. Denomina-se Dimensão do espaço V,

denotado por dim(V), a quantidade de vetores de qualquer uma de suas bases.

OBS: Se o número de vetores de uma base de um espaço vetorial é finito, então dizemos que o

espaço é de dimensão finita. Os espaços de dimensão infinita não serão objetivos do nossos

estudos.

Assim, analisando as bases canônicas anteriormente listadas, podemos concluir:

• n)dim(;...,3)dim(;2)dim(;1)dim( n32 =ℜ=ℜ=ℜ=ℜ

• 2x24)Mdim( 2x2 ==

• nm)Mdim( mxn ⋅=

• 1n)Pdim( n +=

• 0})0dim({ =

Teorema do Completamento: Em um espaço vetorial de dimensão finita, sempre podemos

completar um conjunto LI de maneira a obter uma base.

Proposição (2): Seja VW ⊆ um subespaço de V. Se )Vdim()Wdim( = então VW = .

Proposição (3): Seja V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases. Então, todo

elemento de V se escreve de maneira única como combinação linear dos vetores

da base B.

Teorema (1): Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Então:

)WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ .

Teorema (2): Seja V um espaço vetorial tal que n)Vdim( = . Então:

a) Qualquer conjunto com n+1 ou mais vetores é LD.

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b) Qualquer conjunto LI com n vetores é base de V

Exemplo (3): Seja }0ty2x/)t,z,y,x{(W 4 =+−ℜ∈= . Determine a dimensão de W.

Solução: Para determinar a dimensão de W é necessário determinar uma de suas bases. De W

temos que: ty2x0ty2x −=⇒=+− . Então todo vetor de W é da forma

ℜ∈∀− t,z,y),t,z,y,ty2( . Determinando um sistema de geradores para W:

)1,0,0,1(t)0,1,0,0(z)0,0,1,2(y)t,z,y,ty2( −++=− . O conjunto formado pelos

vetores )}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= é um sistema de geradores de W.

Aplicando o processo prático de obtenção de base teremos:

−

→

−+

0100

2010

1001

0100

0012

100121 LL2

. A matriz está escalonada e não apresenta

nenhuma linha nula. Logo, os vetores são LI e constituem uma base de W, ou seja, S é

base de W. Portanto, 3)Wdim( = .

OBS: Um erro muito comum entre os alunos é confundir a quantidade de coordenadas de um vetor,

com a quantidade de vetores de uma base. Veja o exemplo (3). A base de W é

)}1,0,0,1(),0,1,0,0(),0,0,1,2{(S −= , cujos vetores têm 4 coordenadas, mas

3)Wdim( = , porque na base S temos 3 vetores.

Exemplo (4): Seja ]ttt62,tt1,ttt2,t21[U 323232 +−−−+−+−= . Qual é a dimensão

de U?

Solução: O enunciado diz que o subespaço )(PU 3 ℜ⊂ é gerado pelos vetores dados. Para

determinar uma base de U, podemos usar o processo prático, escrevendo uma matriz com

os coeficientes dos polinômios dados.

Então:

−

−

→

−−

−

−

−

→

−−

−

−

−

+−

+

+−

+−

0000

0000

1120

0021

1120

1120

1120

0021

1162

1101

1120

0021

32

42

31

41

LL1

LL1

LL1

LL2

Retiradas as linhas nulas, os polinômios restantes forma uma base de U, ou seja,

}tt2,t21{B 32 −+−= é base de U. Portanto, 2)Udim( = .

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Exemplo (5): Sejam U e W, subespaços do ℜ3, onde }0zy2x/)z,y,x{(U 3 =+−ℜ∈= e

}0zy2x3/)z,y,x{(W 3 =++ℜ∈= . Determine uma base e a dimensão para

WU + e WU ∩ . O WU3 ⊕=ℜ ?

Solução: Primeiro, vamos determinar uma base e a dimensão para U e W. Podemos escrever:

}z,y),z,y,zy2{(U ℜ∈∀−= ⇒ )1,0,1(z)0,1,2(y)z,y,zy2( −+=− ⇒

)}1,0,1(),0,1,2{(BU −= é base de U ⇒ 2)Udim( =

}y,x),y2x3,y,x{(W ℜ∈∀−−= ⇒ )2,1,0(y)3,0,1(x)y2x3,y,x( −+−=−−

⇒ )}2,1,0(),3,0,1{(BW −−= é base de W ⇒ 2)Wdim( =

a) Para determinar uma base de U+W, devemos obter um sistema de geradores fazendo a

união da base de U com a base de W e usar o processo prático de obtenção de base.

Então, seja )}2,1,0(),3,0,1(),1,0,1(),0,1,2{(BBS WU −−−=∪= o sistema de

geradores de U+W. Aplicando o processo teremos:

−

−

−

→

−

−

−

→

−

−

−

→

−

−

−

++−+

+−

000

200

210

301

800

200

210

301

610

200

210

301

012

101

210

301

434231

41

LL4LL1LL1

LL2.

)}2,0,0(),2,1,0(),3,0,1{(B WU −−−=+ é base de U+W ⇒ 3)WUdim( =+ .

b) Pelo Teorema (1): )WUdim()Wdim()Udim()WUdim( ∩−+=+ ⇒

)WUdim(223 ∩−+= ⇒ 1)WUdim( =∩ . Portanto, sua base tem que conter

apenas um vetor comum a U e a W. Para determinar estes vetor, que está na

interseção, fazemos:

)2,1,0()3,0,1()1,0,1(b)0,1,2(a)z,y,x( −β+−α=−+= ⇒

β−α−=

β=

α=−

23b

a

ba2

⇒

substituindo a 1ª e a 2ª equações na 3ª, teremos: a2)ba2(3b −−−= ⇒ a4b = .

Então: )4,1,2(a)1,0,1(a4)0,1,2(a)z,y,x( −=−+= ⇒ )}4,1,2{(B WU −=∩ é

base de WU ∩ .

c) O ℜ3 não é soma direta de U com W porque 01)WUdim( ≠=∩ ⇒

}0{WU ≠∩

39

Exemplo (6): Determine uma base e a dimensão para o espaço das soluções do sistema linear

=−

=++

=−−−

0tz

0tyx2

0tzyx

:L

Solução: Como o sistema L é SPI, ele possui infinitas soluções do tipo

}t,z,y,x),t,z,y,x{(S ℜ∈∀= . Este conjunto de soluções forma um espaço vetorial.

Vamos achar a solução geral do sistema L. Resolvendo o sistema, teremos:

}x),x3,x3,x5,x{(S ℜ∈∀−= . Então: )}3,3,5,1{(B −= é base de S ⇒ 1)Sdim( = .

3 COORDENADAS DE UM VETOR

A partir de agora, trabalharemos, sempre, com bases ordenadas. Uma base ordenada é

aquela em que as posições dos vetores estão fixadas, ou seja, dada uma base qualquer

}v,...,v,v{B n21= , então, v1 sempre será o primeiro vetor, v2 sempre será o segundo, assim por

diante até o último que sempre será vn.

Definição: Sejam V um espaço vetorial e }v,...,v,v{B n21= uma de suas bases ordenadas.

Qualquer vetor Vv ∈ se escreve, de maneira única, como combinação linear da base

B. Existem escalares Ka,...,a,a n21 ∈ , tais que nn2211 va...vavav +++= .

Assim, os escalares n21 a,...,a,a são chamados de coordenadas do vetor v em relação

a base B, denotado por:

=

n

2

1

B

a

...

a

a

]v[

Exemplo (7): Determine as coordenadas do vetor )8,5,1(v −−= em relação:

a) Base canônica b) )}1,1,2(),01,2(),0,1,1{(B −=

Solução:

a) A base canônica do ℜ3 é )}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(C = . Então:

40

)1,0,0(c)0,1,0(b)0,0,1(a)8,5,1(v ++=−−= ⇒

−=

=

−=

8c

5b

1a

⇒

−

−

=

8

5

1

]v[ C

b) Escrevendo v como combinação da base B teremos:

)1,1,2(c)1,0,2(b)0,1,1(a)8,5,1(v −++=−−= ⇒

−=+

=−

−=++

8cb

5ca

1c2b2a

⇒

−=

10

18

15

]v[ B

OBS: Note que, as coordenadas de qualquer vetor (de qualquer espaço vetorial) em relação à base

canônica do espaço é ele mesmo (ver exemplo (7), item (a)) . Portanto, se nada for dito, as

coordenadas de um vetor, vêm sempre dadas em relação à base canônica do espaço.

Exemplo (8): Determine as coordenadas do vetor 2tt42)t(p ++= em relação a base

}t3t21,t1,2{B 2−+−−=

Solução: Vamos escrever p(t) com combinação linear dos vetores da base B. Então:

)t3t21(c)t1(b)2(att42)t(p 22 −++−+−=++= ⇒

22 t)c3(t)c2b()cba2(tt42 −++−+++−=++ ⇒

−=

+−=

++−=

c31

c2b4

cba22

⇒

−

−

−

=

31

314

27

B)]t(p[

Exercícios Propostos

41

1) Seja }a4aaea5a2a/)(Ptatataa{W 32132o33

32

21o −=−=ℜ∈+++= . Deter-

mine uma base e a dimensão de W. Resp: 2)Wdim(}tt45,tt2{B 32 =⇒+−−++=

2) Determine uma base e a dimensão para W+U e W∩U, onde:

}t3ze0y2x/)t,z,y,x{(W 4 −==−ℜ∈=

}0tz2yx2/)t,z,y,x{(U 4 =−+−ℜ∈=

Resp: 4)UWdim()}3,0,0,0(),1,3,0,0(),1,0,1,0(),0,0,2,1{(B UW =+⇒−−−=+

1)UWdim(1,3,3

7,

3

14B UW =∩⇒

−=∩

3) Seja

−==ℜ∈

= cdeb2a/)(M

dc

baW 2x2 . Determine uma base e a dimensão de

W e estenda a base de W para obter uma base de )(M 2x2 ℜ .

Resp:

−

=

11

00,

00

12BW e

−

=

10

00,

00

01,

11

00,

00

12B

2x2M

4) Determine um base e a dimensão do espaço das soluções do sistema

=++

=+++−

=+−+−

=+++

0t7z5y6

0t3zy4x2

0tzy3x3

0t2z2yx

Resp: 2)Sdim(e)}6,0,7,5(),0,6,5,7{(B =−−−−=

5) Mostre que o 3ℜ é soma direta do 0z5y2x:)( =+−π com a reta z

1

y

2

x:)r( =

−= .