Algoritmo Genético Aplicado ao Controle de Tensãoem Sistemas Elétricos de Potência

Frederico Antônio PinheiroAlan Neiba Moreira

Eduardo Nohme CardosoJoão Antônio de Vasconcelos

Centro de Pesquisa e Desenvolvimento em Engenharia Elétrica - CPDEEUniversidade Federal de Minas Gerias - UFMG

Av. Antônio Carlos, 6627 - 31270-901 Belo Horizonte MG - Brasiljoao@cpdee.ufmg.br & antonio@cpdee.ufmg.br

Abstract: In this paper, the Genetic Algorithm (GA) is coupled to a Load Flow Program, for voltagecontrol in Electrical Power Systems. The GA is based on the analogy between optimization andnatural evolution of the species , combining the concepts of selective adaptation and survival of thefirtest. The proposed method was applied to the 14 and 30 IEEE bus test systems. The numericalresults show that the GA's are powerfull techniques to solve this type ofproblems.

Key words: Genetic Algorithm, Load Flow Program, Electrical Power System , Optimal Power Flow.

Resumo: Neste artigo, o Algoritmo Genético (GA) é acoplado a um Programa de Fluxo de Carga(PFC) , para controle de tensão em Sistemas Elétricos de Potência (SEP) . O GA se baseias na analogiaentre otimização e evolução natural das espécies, combinando os conceitos de adaptação seletiva esobrevivência dos indivíduos mais capazes. O método proposto foi aplicado aos sistemas testes de 14e 30 barras do IEEE. Os resultados numéricos mostram que os GA's são técnicas poderosas parasolucionarem estes tipos de problemas.

1. INTRODUÇÃO

Dentre os métodos de otimização utilizadospara controle de tensão de sistemas elétricos, duasgrandes famílias se destacam: determinísticos eestocásticos [10].

Os métodos determinísticos mais eficientesnecessitam , na grande maioria, de cálculo dederivadas da função objetivo para a determinaçãoda direção de busca para a pesquisa do ponto demínimo. O ponto solução obtido é geralmente umponto de mín imo local, próximo do ponto inicial.As suas grandes desvantagens são a necessidade decálculo de derivadas e a não garantia do mínimoglobal.

Já os métodos estocásticos, não necessitam decálculos de derivadas e são capazes de encontrar asolução global. Porém, o número de avaliações dafunção objetivo, necessárias para se chegar àsolução, é normalmente superior ao númerorequerido pelos métodos determinísticos.

Dentre os métodos de otimização estocásticos,encontramos o Algoritmo Genético (GA). O GA,consiste na analogia entre otimização e a evoluçãonatural das espécies, combinando os conceitos deadaptação seletiva e sobrevivência dos indivíduos maiscapazes. A utilização do GA para solucionar problemas,como controle de tensão em sistemas elétricos depotência, tem como grande vantagem a robustez dométodo em relação aos métodos determinísticos [7-10].

Este trabalho descreve um método de otimizaçãobaseado em Algoritmo Genético (GA), acoplado a umprograma de fluxo de carga, na intenção de se conseguirum controle de tensão em sistemas elétricos de potência.O método proposto foi aplicado aos sistemas testes de 14e 30 barras do IEEE . Os resultados numéricos sãoapresentados e discutidos.

2 . CONTROLE DE TENSÃO EM SISTEMASELÉTRICOS DE POTÊNCIA

O problema de controle de tensão em sistemaselétricos de potência é formulado como um casoparticular do problema de fluxo de potência ótimo, emque somente o controle de tensão é considerado. O

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cálculo de fluxo de potência em uma rede deenergia elétrica con siste essencia lmente liadeterminação do estado da rede. da distribuiçãodos fluxos e de algumas ou tras grandezas deinteresse. como por exemplo. as tensões nas barrasda rede[ 1-6] .

o principal objetivo na otimização de sistemaselétricos, é operar o sistema de maneira ótima.Operação ótima significa, por exemplo. a operaçãocom mínimas perdas e tensões nas barras dentro delim ites rigorosamente fixados.

O Fluxo de Potência Ótimo (FPO) é um modelode otimização não linear, não convexo, compotencial de aplicação no planejamento e naoperação de Sistemas Elétricos de Potência (SEP) .A operação de SEP requer o atendimento da carga,economia nos recursos disponíveis e observaçãodos limites operacionais dos equipamentos. O FPOprocura estados de operação que cumpram estestrês requisitos ao mesmo tempo, minimizando umafunção objetivo sujeita a restrições funcionais nãolineares [2].

Em todo sistema elétrico existe uma série deequipamentos que controlam determ inadasvariáveis, automaticamente ou não , e cujos efeitosnão foram considerados no modelo apresentado .Entre esses, temos: controle de magnitude detensão por ajuste de taps ; controle de fluxo depotência ativa por transformador defasador;controle de fluxo de potência reativa por banco decapacitores / indutores e controle de intercâmbioem sistemas interligados.

Os limites de operação mais comuns econsiderados no modelo são: limites de injeção depotência reativa em barras de tensão controlada elimites de tensão em barras de carga.

O PFC utilizado no acoplamento, foidesenvolvido no CPDEE e validado através dossistemas testes de 6, 14, 30, 57 e I 18 barras doIEEE.

3. ALGORITMO GENÉTICO (GA)

O GA proposto neste artigo, chamado deAlgoritmo Genético Simples, consiste na analogiaentre otimização e a evolução natural das espécies,combinando os conceitos de adaptação seletiva esobrevivência dos indivíduos mais capazes. Elebaseia-se na representação cromossôm ica dasvariáveis de otimização, no processo de reproduçãoe nos cruzamento e mutação.

Em outras palavras , o GA compreende um conjuntode indivíduos (população) e um conjunto de operadoresgenéticos que atuam sobre a população . De acordo com ateoria da evolução, somente os indivíduos mais capazesde uma população sobrevivem , tran smitindo dest a formao material genético destes indivíduos sobreviventes paraos seus descendentes. Analogamente. o GA analisa umconjunto de soluções potenciais devidamente codificado(codificação binária, isto é. os indivíduos são strings debits), que constitui a população . O GA então manipula osindivíduos mais aptos. utilizando-se dos operadoresgenéticos, para a obtenção de uma população otimizada[9] .

O desempenho de um indivíduo é avaliado por umafunção que será chamada função de adaptação. NoAlgoritmo Genético, o problema é naturalmenteformulado em termos de maxirnização . diferentementedos outros métodos onde o problema é formulado emtermos de minimização.

3.1. Estágios do Algoritmo Genético

Um ciclo do GA cons iste dos seguintes estágios: (a)criação de uma população de soluções potenciaiscodificadas (indivíduos); (b) avaliação dos indivíduos;(c) seleção dos indivíduos mais capazes; (d) geração danova população através de manipulações genéticas .

A princípio. o GA utiliza uma população de soluçõespotenciais criada por um gerador aleatório de valoreslógicos verdadeiro ou falso (codificação binária). Nosestágios (b) e (c) é feita uma avaliação para a seleção dosmais capazes. A capacidade de cada indivíduo édeterminada pelo valor da função de adaptação,relacionada com a função objetivo do problema. Estaseleção visa determinar os indivíduos genitores paraserem utilizados no estágio (d) . Dá-se o nome dereprodução à seleção dos indivíduos. Finalmente, noúltimo estágio, pode-se realçar o papel dos operadoresgenéticos como fundamental para a obtenção da soluçãoótima.

3.2. Esquemas de Seleção

Os esquemas de seleção fornecem um mecanismopara a escolha dos indivíduos mais capazes, quesobreviverão na nova geração. O GA utiliza o esquemade seleção proporcional. aqui implementado através dométodo da roleta.

No esquema de seleção proporcional, um indivíduocom valor de aptidão}; gera}; / f descendentes. onde f éa média dos valores da função de adaptação dapopulação. Um indivíduo com valor da função deadaptação /; maior que a média dos valores da função deadaptação da população, gera mais descendentes que no

290

caso oposto. Na implementação pelo método daroleta cad a indivíduo corresponde a um setorcircular de ângulo 21I /; / f Um número geradoaleatoriamente entre O e 21I determ ina qual o setorescolhido e o indivíduo correspondente.

3.3. Operadores Genéticos

Ent re os indivíduos que foram se lec ionados noprocesso de reprodução, doi s são escolhidos para secruzarem . Desde que o cruzamento é realizado comuma probab ilidade pc , a decisão para executá-Ia étom ad a usando um gerador de núm eros aleatóriospara gerar um número entre O e I . Se o númerogerado é inferior a pc, o cruzamento é realizado .Um segundo número aleatório k (/5, k5, I-I) énecessário para determ inar a posição de corte nacade ia de bits . Finalmente, o material genético dolado dire ito dessa posiç ão de corte é permutadaentre eles.

A O O I I: O O I OS I I I I : I I O O

k=.f :A' O O I 1:1 I O OS ' I I I L O O I O

Esse processo é ilustrado acima para doisind ivíduos A e B representados em código bináriocom comprimento 1=10 e posição de corte k=4. Oresultado do processo são as duas cadeias decaracteres A ' e B ', as quais têm caract erísticas de Ae B. Gera-s e assim duas novas possíveis soluções.Este é o principal mecanismo na produção de novospontos a serem testados .

De forma diferente , a mutação -a lte ra bits numacadeia de caracteres com a probabilidade demutação pm. Esta operaç ão protege o processo debusca da solução contra perdas de valiosascaracterí stic as genét icas, durante as operações dereprodução e cruzamento, pela introdução de novasinformações , permitindo novos pontos seremtestados, aumentado, assim, a probalidade de seencontrar o ótimo global.

Considere o indivíduo A do caso anterior. Esteprocesso é realizado bit a bit. Supondo que o quintobit (k=5) esteja sob consideração, ge ra-se umnúmero aleatório entre O e I. Se esse número éinferior à probabilidade pm , a operação é executadae o valor do bit é modificado para se obter o novoindivíduo A '.

3.4. Parâm etros Genéticos

Parâmetros genéticos são entidades que determinamo desempenho do GA.

Tamanho da População : O tamanho da populaçãoafeta a eficiência do algoritmo. Uma população pequenaacarreta um fraco desempenho. Em contrapartida, umapopulação grande previne uma convergência prematurapara soluções locais, além de aumentar o tempo decomputação, tendo em vista que a mesma exige ummaior número de avaliações da função objetivo . O GAusa tipicamente um tamanho de população entre 30 e200.

Probabilidade de cruzamento (pc) : a probabilidadede cruzamento é um valor percentual do número deind ivíduos que experímentam cruzamento em relação aonúmero total de indivíduos de uma população. Uma altaprobabil idade de cruzamento, em um GA sem eletismo,faz com que indivíduos, com alto desempenho, sejameliminados antes mesmo que a seleção possa produziraperfeiçoamentos . Por outro lado, uma baixaprobabilidade de cruzamento pode convergir lentamentedevido à baixa taxa de exploração das característicasgenéticas. A probabilidade de cruzamento utilizada peloGA varia entre 0 ,5 e 1,0 .

Proba/idade de mutação (pm): a probabilidade demutação é um valor percentual do número de bitsescolhidos aleatoriamente para serem alterados emrelação ao número total de bits da população . Uma baixaprobabilidade de mutação não permite a restauração dadiversidade da população, ao passo que uma altaprobabilidade de mutação resulta em uma buscaessencialmente alea tória. A taxa de mutação utilizadapelo GA varia entre 0,00 I e 0,05 .

4. ACOPLAMENTO ENTRE UM PROGRAMA DEFLUXO DE CARGA E UM GA

Qualquer problema de flu xo de carga pode seracoplado a um Algoritmo Genético via uma funçãoobjetivo , conforme dito anteriormente. Em GA a funçãoobjetivo é formulada em termos de maximização, comuma função não negativa em todo o domínio dedefinição do problema [10].

O problema de otimização não linear de Controle deTensão em Sistemas Elétricos de Potência pode serformulado matematicamente como um problema dotipo:

A = I OA ' = I O

O: I : I O O I O0 :0 : I O O I O1.:=5

minimizesujeito a

291

f (x)giM 5, O, i = 1, 2, 3, .mh/x) 5, 0, i = I, 2, 3, .px min =:; X :::; x !11{L'C (I )

onde:

o problema acima pode agora ser transformadoem uma forma adequada ao Algoritmo Genét ico,isto é, em forma de maximização .

x E Rn vetor de variáveis de otimizocão:Xlll ill , X /lll lX limit es de mínimo e máximo em x:ftx) função objeti vo;g/r), h/r) vetor de rest rições dedesigualdade.

o ( )_ , representado em (2), significa quesomente restrições violadas são consideradas; Vi ,V ".'i(1 vr: Vmax - ' -i , i e i sao, respectivamente, as tensoescalculada , especificada , e limites na iésima barra de

Q O nün O IIIIIX - I d .carga; i ' _; e _i sao os va ores e reativoscalculado e os respectivos limites na iésima barrade tensão controlada ; ex e À são parâmetros depenalidade utilizados para enfatizar mais ou menosdeterminados termos do somatório .

• No estag io de avaliação. a cada indi víduocorresponde 11111 valor da função objetivo, avaliadacom os resultados do programa de fluxo de carga(PFC)

• ,..j seleção dos indivíduos ma is capu:::es e a criaçãoda no va população através de manipulaçõesgeneticas são f eita s da forma como apresentada.

Em resumo. o algoritmo simplificado de um algoritmogenético para otim ização de problemas não linearesrestrito é apresentado a seguir:

Tab. I - Sistema 1-1 barras IEEE.

I V I I

programa Principalgeração = O:geraç ão da população inicial./. i E (1 ,.... NBPVl :avaliação dafunção !J{r) (execução do PFC):faça enquanto (geração :s; máximo de gerações]

geração = geração + I :reprodução: (seleç ão dos so breviventes)cruzament o:(operação entre pares de

indivídu os escolhidosaleat oriamente com umaprobabilidade pc):

mutação: (operação aleatória sobre11m indi viduo esco lhido comuma probabilidade pm) :

avaliaç ão dafunção para cada geraçãofim do faça enq uantofim do programa principal

Foram realizados testes com o sistema de 14 e 30barras do IEEE, cujas características principais sãoapresentadas nas tabelas I e 2.

5. TESTES COMPUTACIONAIS

(2)

(3)fr(x) = [.ff(x) + E ]

111 m /1.O'( x ) =I(I;- 1;" 1' ) +uI (g,rx)).:+), I (V XI).:

1= / 1-= / I :· '

g. tx).« tVi - 1'/IIill)(Vi - 1'lIIlIr)

h;(x ) s (Qi - Q:/I i/l )(Qi - Q:/I"" I

minimize

onde:

Usando uma transformação como nos métodosde penalidade , o problema original (I), pode serreescrito como um problema de minimizaçãoirrestrita. Neste caso, a função objetivo é umacombinação ponderada dos termos representandoos valores programados para as tensões nas barrasde carga e das penalidades relativas à violação dasrestrições operacionais (limites de tensão nas barrasde carga e limites de reativos nas barras de tensãocontrolada). Assim, o problema original setransforma em:

maximize

onde E é simplesmente uma constante que deve serligeiramente superior ao módulo do valor mínimode .ff(x) se .ff{-,) é inferior ou igual a zero eligeiramente superior ao negativo do mínimo de.ff(x) se fftx) é maior que zero. A análise de algunsresultados com essa função aptidão tem mostradoque se acelera a convergência do algoritmo [10].

A metodologia é resumida como se segue :

• Forma-se aleatoriamente uma população depossíveis soluções (indivíduos), codificadoscomo descrito anteriormente.

Tab. 2 - Sistema 30 barras IEEE.

I I I :Tonde :

NBPV - Ir de barras de tens ão controlada.NL - ,r de linh as de transmissão.NT - ,r de transformadores em fase.

Para o sistema de 14 barras as variáveis de controlesão as tensões das barras de tensão controlada 2, 3. 6, e8, totalizando quatro variáveis de otimização

292

504030

o.: r1 HHHH . . . . . . . . . . . . -

o 0.8 i I0.7 t I0.6 I

'" 0.5 1 Ii 0.4 1 \> 0 .3 I L-

0.2 I

o.: LI

o 10 20

representadas por strings de 16 bits por variável. Ovalor desejado para as tensões em todas as barrasde carga é de 1.00 pu e os limites máximo / mínimosão 1.10 pu e 0.90 pu, respectiv amente .

Os limites da geraç ão de reativos nas barras detensão controlada são dados na tabela 3. Os valoresdos parâmetros de penalidade a e À utilizados são10000 e 300, respectivamente.

Tab. 3 - Limites de reativos - Sist. 14 Barras.Barra Qmin Qmax2 -0.4000 0.50003 0.0000 0.40004 -0.0600 0.24005 -0.0600 0.2400

geração

Fig. I - Sist. 14 barras , curva característicavalor da função x geração.

Os seguintes parâmetros genéticos, foramutilizados para este caso: tamanho da populaçãoigual a 30; probabilidade de cruzamento igual a 0.8e probabilidade de mutação igual a 0.010. O pontoótimo encontrado é representado na tabela 4, emque os desvios dos valores calculados em relaçãoaos desejados foram minimizados.

Para o sistema de 30 barras as variáveis de controlesão as tensões das barras de tensão controlada 2, 5, 8, IIe 13, totalizando cinco variáveis de otimizaçãorepresentadas por strings de 16 bits por variável. O valordesejado para as tensões em todas as barras de carga é de\.00 pu e os limites máximo / mínimo são \.lO pu e 0.90pu, respectivamente.

Ponto ótimo enconirado.I 1.043 I 1.021 I 0.975 '-\,-04-4-

Tab. 4 - Resultado Numérico - Sist . 14 barras .

Os limites da geração de reativos nas barras de tensãocontrolada são dados na tabela 5. Os valores dosparâmetros de penalidade a e À utilizados são 10000 e300, respectivamente.

Barra V Q2 --- 0.20753 --- 0.20714 1.019 ---5 1.024 ---6 --- 0.16257 1.006 ---8 --- 0.22699 0.988 ---lO 0.978 ---Ii 0.973 ---12 0.960 ---13 0.958 ---14 0.955 ---

Tab. 5 - Limites de reativos - Sist. 30 Barras .Barra Qmin Qmax2 - \.0000 1.00005 -1.0000 1.00008 0.0000 3.0000II 0.0000 3.000013 -1.0000 3.0000

Os seguintes parâmetros genét icos, foram utilizadospara este caso: tamanho da população igual a 30;probabilidade de cruzamento igual a 0.8 e probabilidadede mutação igual a 0.010. O ponto ótimo encontrado érepresentado na tabela 6, em que os desvios dos valorescalculados em relação aos desejados foram minimizados.

A evolução do GA para o sistema de 14 barrasdo IEEE pode ser visualizada na figo I, onde érepresentada uma curva característica do valor dafunção de minimização Rara os melhoresindivíduos de cada geração. Y

Ponto ótimo encontrado.-' 0.911 I 0.991 I \.062 I 1.050 I 1.098 I

A evolução do GA para o sistema de 30 barras podeser visualizada na Fig. 2, onde é representada uma curvacaracterística do valor da função de minim ização para osmelhores indivíduos de cada geração.

293

o estudo mostrado neste artigo, visa demonstrara aplicação do Algoritmo Genético acoplado aoPrograma de Fluxo de Carga para ot imização deSistemas Elétricos de Potência, onde a funçãoobjetivo é a minimização do desvio de tensão emrelação ao valor nominal. A forma como foram

Barra V Q2 --- 0.27393 \.001 ---4 \.001 ---5 --- 0.57046 \.016 ---7 0.998 ---8 --- 1.36749 1.014 ---lO 1.007 ---1i --- 0.184512 \.021 ---13 n_ 0.605214 1.006 ---15 1.002 ---16 1.008 ---17 \.001 ---18 0.991 u_

19 0.988 ---20 0.992 ---21 0.995 ---22 0.996 ---23 0.993 ---24 0.990 ---25 1.001 ---26 0 .983 ---27 1.016 ---28 1.021 ---29 0.996 ---30 0.985 ---

Tab. 6 - Resultado Numérico - Sist. 30 barras.

Fig. 2 - Sist. 30 barras, curva característicavalor da função x geração.

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

representadas as funções de penalidades utilizadas(limites de tensão nas barras de carga e limites dereativos nas barras de tensão controlada), tem mostradoresultados encorajadores em comparação aos trabalhosencontrados publicados em outros artigos [9] . Osresultados numéricos mostraram a eficiência desta novaabordagem, das funções de penalidades, na resolução doproblema de Fluxo de Potência Ótimo.

[I] H. W. Dommel, W. F. Tinney, "Optimal powerflow solutions", IEEE Trans., 1968 , PAS-87, 1866-1876.

[2] M.T.Vasconcellos, A. Santos Jr. , "CaráterMultiobjetivo do fluxo de Potência Ótimo", XICongresso Brasileiro de Automática - Anais vol I,São Paulo, 02-06 Set (1996).

[3] M.T.Vasconcellos, A. Santos Jr. , V. F. da Costa,"Minimização das Perdas de Transmissão comoCritério de Melhoria da Estabilidade de Tensão",XI Congresso Brasileiro de Automática - Anais volI , São Paulo, 02-06 Set (1996) .

[4] Monticelli, Alcir José - "Fluxo de Carga em Redesde Energia Elétrica", Ed. Edgard Blücher LIda, SãoPaulo, 1983.

[5] Vincens, Ricardo Alberto Loss - "Fluxo de PotênciaOtimizado, Usando o Modelo Desacoplado,Programação Não-Linear e Técnicas deEsparsidade" , Dissertação de Mestrado, UFMG,Belo Horizonte, 1979 .

[6] Baracho, Franscisco Ricardo Abrantes Couy -"Estabilidade de Tensão em Sistemas Elétricos dePotência", Dissertação de Mestrado, UFMG, BeloHorizonte, 1992 .

[7] K. Iba . "Reactive Power Optimization by GeneticAlgorithm" . IEEE Transactions on Power Systems,9(2):685-692, May 1994 .

[8] Y. Lee, X. Bai, and Y. Park. "Optim ization Method' for Reactive Power Planning Using a Modified. Simple Genetic Algorithm". Presented at the 1995IEEE Power Enginnering Society Winter Meeting,paper 95WM133-9PWRS, Jan.lFeb. 1995.

[9] Carlos R. R. Domellas, Djalma M. Falcão, AntônioL. B. Bornfim, "Otimização do Despacho deReativos Utilizando Algoritmos Genéticos", XICongresso Brasileiro de Automática - Anais vol I,São Paulo, 02-06 Set (1996).

[10] João A. Vasconcelos, R. R. Saldanha, L.Krahenbühl, A. Nicolas, "Algoritmo genéticoaplicado à otimização em eletromagnetismo", Artigoenviado ao Congresso Brasileiro deEletromagnetismo, UFSC, Florianópolis, 1995.

504020 30geraçao

10

6 . CONCLUSÃO

O.

0.8

1 _

.g 0.7

g- 0.6:>'; 0 ,5

" 0,4

0 ,3

0.2

0.1

o .

294