Módulo A6 – Derivadas
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A6 –
DERIVADAS. TAXA DE VARIAÇÃO
Vanessa Viana, Nº15 12ºE
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Derivadas
• Regra nº 1: (k' = 0) - Deriv ada de uma cons tante:
• Segundo a regra assume-se k como sendo uma constante, simplificando, uma
constante é um número qualquer (pertencente a qualquer dos conjuntos de números).
• Exemplo:
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• Regra nº 2: (x' = 1) - Deriv ada de x:
• Assume-se x como a variável de uma função; em uma função a variável poderá ser
definida por outra letra qualquer normalmente é usada a letra x .
•
Exemplo:
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• Regra nº 3: (k . x' = k) - Derivada de uma con stante m ult ipl ic ada po r x:
• A derivada da multiplicação entre uma constante e a variável x é igual à própria
constante como se pode verificar no exemplo abaixo onde é utilizada a regra nº 7
(derivada da multiplicação).
• Exemplo:
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• Regra nº 9: (k' = 0) - Derivada d a po tênc ia de base x:
• Alpha é igual ao grau da função derivada, repare que o grau da potência decresce
sempre em -1 relativamente a potência inicial.
• Exemplo:
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Taxa Média de Variação
• Para medir a maior ou menor rapidez de variação de uma função f , num intervalo [a,
b], recorre-se ao seguinte quociente:
• A Taxa Média de Variação de uma função f no intervalo [a,b] é dada por :
• Dada uma função y = f (x) , definida num intervalo, e de tal modo que y é uma função
crescente da variável independente, podemos considerar algumas situações:
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Velocidade Média
• Quando uma função é em particular, uma lei espacial, ou seja, uma relação espaço-
tempo, a taxa média de variação corresponde àquilo que correntemente se designa
por velocidade média.
• A velocidade média é dada por:
• Por outras palavras, a velocidade média é a taxa média de variação quando a função é
uma relação entre o espaço percorrido por um móvel e o tempo de percurso.
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Velocidade Instantânea
• A velocidade instantânea ou simplesmente velocidade, v , do objecto para t = t0 é dada
por:
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Derivada de uma função num ponto:
• Seja y= f(x), definida no intervalo ]a, b[ , e seja x0 a abcissa de um ponto desse
intervalo.
• Chama-se derivada da função f no ponto de abcissa x0 e representa-se por f’(x0), ao
limite, quando existe:
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Função derivada:
• Chama-se função derivada, ou apenas derivada da função f e representa-se por
f ’ , Df á função que tem por domínio o conjunto dos pontos onde f admite derivada e
que faz corresponder a cada um desses pontos o valor da respectiva derivada de f .
• Sendo A o conjunto dos pontos onde f é derivável tem-se:
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Exercício :
• Num passeio de moto foram registadas algumas distâncias ao ponto de partida, em
Km, e os respectivos tempos de percurso, em horas. Com eles foi elaborado o gráfico
seguinte que representa a distância percorrida em função do tempo d(t).
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• Qual a velocidade média com que foi feito o percurso durante as primeiras 4 horas?
• Qual a taxa média de variação da função d(t) quando t varia de 0 a 4?
•
Qual a velocidade média com que foi feito o percurso entre a segunda e a quartahora?
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• Qual a taxa média de variação da função d(t) quando t varia de 2 a 4?
• Qual a velocidade média com que foi feito o percurso entre a quarta e a quinta hora?
• Qual a taxa média de variação da função d(t) quando t varia de 4 a 5?