ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVA E ABSOLUTA … · 2018-07-17 · de estabilidade linear...

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSETCE - Escola de EngenhariaTEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II'

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Título do Projeto:

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVAE ABSOLUTA 2D E 3D EM MEIOS POROSOS COMGRADIENTE DE TEMPERATURA INCLINADO E

ESCOAMENTO VERTICAL E HORIZONTAL

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Autor(es):

MATEUS SANGLARD SCHUABB NUNES

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Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Data: 07 de Fevereiro de 2018

MATEUS SANGLARD SCHUABB NUNES

ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVA EABSOLUTA 2D E 3D EM MEIOS POROSOS COMGRADIENTE DE TEMPERATURA INCLINADO E

ESCOAMENTO VERTICAL E HORIZONTAL

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado aoCurso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau deEngenheiro Mecânico.

Orientador(es):

LEONARDO SANTOS DE BRITO ALVES, Ph.D.

Niterói

07 de Fevereiro de 2018

Ficha catalográfica automática - SDC/BEE

Bibliotecária responsável: Fabiana Menezes Santos da Silva - CRB7/5274

N972a Nunes, Mateus Sanglard Schuabb Análise de Estabilidade Linear Convectiva e Absoluta 2D e3D em Meios Porosos com Gradiente de Temperatura Inclinado eEscoamento Vertical e Horizontal / Mateus Sanglard SchuabbNunes; Leonardo Santos de Brito Alves, orientador. Niterói,2018. 86 f.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em EngenhariaMecânica)-Universidade Federal Fluminense, Escola deEngenharia, Niterói, 2018.

1. Análise de Estabilidade Linear. 2. Meios Porosos. 3.Produção intelectual. I. Título II. Alves,Leonardo Santosde Brito, orientador. III. Universidade Federal Fluminense.Escola de Engenharia. Departamento de Engenharia Mecânica.

CDD -


PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO

Título do Trabalho:ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR CONVECTIVA E ABSOLUTA

2D E 3D EM MEIOS POROSOS COM GRADIENTE DETEMPERATURA INCLINADO E ESCOAMENTO VERTICAL E

HORIZONTAL

Parecer do Professor Orientador da Disciplina:

− Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:

− Grau atribuído ao grupo nos Seminários de Progresso:

Parecer do Professor(es) Orientador(es):

Nome e Assinatura do Professor(es) Orientador(es):

Prof.: Leonardo Santos de Brito Alves. Assinatura:

Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:

Projeto Aprovado Sem Restrições

Projeto Aprovado Com Restrições

Prazo concedido para cumprimento das exigências:

Discriminação das exigências e/ou observações adicionais:


PROJETO DE GRADUAÇÃO II

AVALIAÇÃO FINAL DO TRABALHO(continuação)

Aluno: Mateus Sanglard Schuabb Nunes. Grau: (10.0)

Composição da Banca Examinadora:

Prof.: Leonardo Santos de Brito Alves, Ph.D. Assinatura:

Prof.: Rômulo Bessi Freitas, MSc. Assinatura:

Prof.: Daniel Rodríguez Álvarez, Ph.D. Assinatura:

Data de Defesa do Trabalho:

Departamento de Engenharia Mecânica, 07/02/2018

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho à minha mãe Angélica, ao meu pai Claussio, à minha irmã Gio-

vanna, à minha madrinha Dinda e à minha vó Osair que, com muito carinho e apoio, não

mediram esforços para que eu chegasse até esta etapa da minha vida.

AGRADECIMENTOS

Agradeço principalmente à minha mãe Angélica por todos esses anos de minha existên-

cia, por estar sempre ao meu lado me apoiando em minhas decisões e me incentivando a

nunca desistir por mais difícil que esteja a vida e a perseverar.

Agradeço especialmente à minha madrinha Maria das Graças por todos os tipos de ajudas

à mim prestado. Tenho certeza que se não fosse por ela, não teria alcançado esse grande

objetivo em minha vida.

Agradeço também ao meu pai Claussio, à minha irmã Giovanna e à minha vó Osair por

estarem sempre me ajudando, no possível, para conseguir alcançar meus objetivos.

Agradeço ao meu orientador e professor Dr. Leonardo pela orientação, atenção e pelo

suporte para que este trabalho fosse concluído.

Agradeço aos meus familiares, em especial meus primos Glauco, Thiago, Tati e Glaucia

e meus tios Aluísio, Arndoldo e Cleuda e seus familiares pelo apoio, ajuda e conselhos à

mim dados durante a minha formação.

Agradeço aos meus amigos e aos amigos que fiz durante esses anos que foram de grande

apoio em certos momentos, principalmente, Beretta, Rafael, Peixoto, Pedro, Ricardo, Hélio,

João Victor, Vital, Felipe, Arthur e Rômulo.

Agradeço também ao Bandejao UFF por sua existência e por servir a melhor comida

custo-benefício que já presenciei. Sem sua ajuda, a minha formação seria bem mais compli-

cada.

RESUMO

Problemas de convecção em meios porosos são de importância prática considerável de-

vido a uma grande variedade de aplicações, como por exemplo aplicação biológica, geofí-

sica, ambiental e nas engenharias. Por causa disso, no presente trabalho foi feita uma análise

de estabilidade linear convectiva e absoluta bi e tridimensional em um meio poroso saturado,

onde além de um gradiente de temperatura inclinado, há também escoamento vertical e ho-

rizontal. Os parâmetros adimensionais relevantes são Péclet (Qv), Rayleigh horizontal (Rh)

e Rayleigh vertical (Rv), onde este é o parâmetro de controle. O método numérico utilizado

para a obtençao dos valores críticos foi o método do tiro. Os resultados encontrados fo-

ram comparados com os presentes na literatura para a verificação da metodologia utilizada.

Observou-se que alguns resultados da análise absoluta 2D presentes na literatura estavam

errados. Os resultados das análises bi e tridimensional mostrou que a transição para a insta-

bilidade é de caráter 3D, sendo os números de onda na direção x e y iguais a zero e diferente

de zero, respectivamente, implicando que os rolos de convecção são longitudinais, paralelos

ao escoamento horizontal. Um efeito de estabilização foi observado com o aumento tanto do

gradiente de temperatura horizontal quanto da velocidade vertical. Além das verificações,

foi obtidos os valores críticos para iminência da instabilidade absoluta tridimensional que

não estão presentes na literatura. A natureza da transição para a instabilidade depende se

o produto Rh.Qv é nulo ou não, se Rh.Qv = 0, a desestabilização é absolutamente instável,

senão, é convectivamente.

Palavras-Chave: Análise de Estabilidade Linear, Instabilidade Absoluta e Convectiva, Meios

Porosos, Gradiente de Temperatura Inclinado

ABSTRACT

Problems of convection in porous media are of considerable pratical importance owing

to a large variety biological, geophysical, environmental, industriala and engineering appli-

cations. Because of that, in the present work was done a convective and absolute linear

stability analysis bi and tri-dimensional in a saturated porous medium, where besides a incli-

ned temperature gradient, also there is vertical and horizontal throughflow. The meaningful

dimensionless parameters are Péclet (Qv), Rayleigh horizontal (Rh) e Rayleigh vertical (Rv),

where this last is the control parameter. The computations to obtain the critical values were

performed by using the shooting method. The results were compared with the present in the

literature to the verification of the metodology. Some bi-dimensional absolute critical values

found in literature were wrong. The results of the analysis 2D and 3D revealed that the na-

ture of the destabilization is tri-dimensional, being the wavenumbers in the x and y directions

equal to zero and different from zero, respectively, becoming the convection rolls parallel to

the horizontal throughflow. A stabilization effect was observed with the increasing of hori-

zontal temperatue gradient and vertical throughflow. Besides the verification, new results not

found in literature were obtained from tri-dimensional absolute instability. The nature of the

destabilization depends if the product Rh.Qv is nil or not, when Rh.Qv = 0 the destabilization

is through absolute instability, otherwise it is through convective instability.

Key-Words: Linear Stability Analysis, Abolute and Convectiva Instability, Porous Medium,

Inclined Temperature Gradient

LISTA DE FIGURAS

1.1 Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente. . . . 20

1.2 Representação de uma onda com ωi < 0 e αi < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3 Representação de uma onda com ωi > 0 e αi > 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4 Representação de uma onda com ωi = 0 e αi = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.5 Representação de pacotes de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.6 Representação da instabilidade convectiva (à esquerda) a absoluta (à direita) . 25

1.7 Representação da iminência da instabilidade absoluta . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1 Esquema do modelo do meio poroso do problema a ser analisado . . . . . . . 32

3.1 Comportamento da solução para diferentes valores da derivada inicial . . . . . 41

3.2 Fluxo de estimativa inicial apenas para Qv = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1 Estimativa inicial com isolinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Curvas neutras para obter os chutes iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.3 Curvas neutras com valores críticos duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55




4.8 Colisão dos modos para Rh = 40 e Qv = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58





4.13 Monitoramento da colisão para diferentes valores de Qv para Rh = 20 . . . . . 61

4.14 Monitoramento da colisão para diferentes modos para Rh = 60 . . . . . . . . . 61





4.19 Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv . . . . . . . . . . . . . 66





4.24 Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv . . . . . . . . . . . . . 70










LISTA DE TABELAS

4.1 Rv crítico convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.2 αR crítico convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.3 ωR crítico convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Velocidade de grupo convectivo para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5 Rv crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.6 αR crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.7 -αi crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.8 ωR crítico absoluto para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.9 Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.10 Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.11 Dados do pinching point duplo para Rh = 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61





4.16 Rv crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.17 (αR,βR) crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67


4.19 (∂ω/∂α, ∂ω/∂β) crítico convectivo para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.20 Rv crítico absoluto para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.21 (αR, βR) crítico absoluto para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.22 (-αi, -βi) crítico absoluto para análise 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72


NOMENCLATURA

A razão entre o ρc do meio e do fluido

c calor específico

cp calor específico a pressão constante

cte derivada de Tn em relação a z em z =−1/2

cte2 derivada de Tnα em relação a z em z =−1/2

cte3 derivada de Tnβ em relação a z em z =−1/2

D2D equação da dispersão bidimensional

D3D equação da dispersão tridimensional

g vetor aceleração da gravidade

H distância entre as superfícies

i unidade imaginária

k condutividade térmica

K permeabilidade

P pressão

Qv número de Péclet

Rh número de Rayleigh horizontal

Rv número de Rayleigh vertical

t tempo

T temperatura

T̃ componente da temperatura base que varia apenas na direção z

∆T variação de temperatura entre os contornos

u componente da velocidade na direção x

U velocidade base que varia na direção z

v componente da velocidade na direção y

v vetor velocidade

w componente da velocidade na direção z

wv velocidade vertical nos contornos

x eixo de coordenada x

y eixo de coordenada y

z eixo de coordenada z

Símbolos Gregos

α autovalor referente a direção x

β autovalor referente a direção y

ω autovalor referente ao tempo

ε amplitudade da perturbação

θ estimativa incial

φ estimativa incial

µ viscosidade dinâmica

ρ massa específica

γ coeficiente de expansão térmica

σ componente horizontal do gradiente de temperatura

Subscritos

0 refere ao estado de referência

i parte imaginária de um número complexo

f referente ao fluido

m referente ao meio poroso

n referente as autofunções

nα derivada da autofunção em relação a α

nβ derivada da autofunção em relação a β

p referente a perturbação

R parte real de um número complexo

s referente ao regime permanente

Sobrescritos

∗ variáveis dimensionais x

′ derivada em relação a z

SUMÁRIO

1. INTRODUÇAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1 MOTIVAÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.1 Conservação de Massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2 Equação de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.3 Conservação de Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.4 Aproximação de Oberbeck-Boussinesq . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.1 Local e Paralela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3.2 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.3 Instabilidade Convectiva e Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4 Análise 2D e 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.5 Métodos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2. MODELAGEM MATEMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.1 EQUAÇÕES DE GOVERNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 SOLUÇÃO BASE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 PERTURBAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.1 Linearização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.2 Modos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 EQUAÇÕES DA DISPERSÃO DIFERENCIAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3. METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.1 MÉTODO DO TIRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2 ESTIMATIVA INICIAL E EXTRAPOLAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 ESTUDOS BIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1 Análise Convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2 Análise Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4 EXTENSÕES PARA ESTUDOS TRIDIMENSIONAIS . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Análise Convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.4.2 Análise Absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4. RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1 ANÁLISE 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.1 Verificação da análise convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.1.2 Verificação da análise absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.1.3 Resultados da análise convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.4 Resultados da análise absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 ANÁLISE 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1 Verificação da análise convectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2 Resultados da análise absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5. CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6. TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

15

1 INTRODUÇAO

1.1 MOTIVAÇÃO

Um meio poroso consiste de uma estrutura sólida com espaços vazios que são distribuí-

dos de forma regular ou aleatória por toda estrutura. Esses espaços vazios, também indenti-

ficados como poros, são interconectados por vários caminhos contínuos de um lado ao outro

do meio. Eles podem ser naturais, como rochas e areia de praia, ou fabricados, por exem-

plo, cerâmicas e materiais compósitos (Bejan et al. (2004), Bear (1972) e Nield and Bejan

(2006)).

A mecânica dos fluidos através de um meio poroso é um tópico relativamente antigo de-

vido a gestão de aquíferos e sistemas de irrigação. Por volta dos séculos XIX e XX, por causa

da preocupação do custo de energia, estudos sobre transferência de calor em meios porosos

surgiram, juntos com novas tecnologias, como por exemplo, máquinas elétricas refrigeradas

a gás, reatores nucleares e isolamento poroso (Bejan (2013)).

A análise de escoamentos em meios porosos é requerido em uma grande variedade de

aplicações. Dentre estas, as que mais de destacam são as engenharias, como a química, am-

biental, mecânica e petrolífera e também a geologia. Como algumas aplicações relacionadas

a esta área, pode-se citar a redução da poluição do ar devido a combustão, reatores de leito

fixo, filtragem e secagem, irrigação, lubrificação, refrigeração de reatores nucleares, conta-

minação de lençois freáticos, transporte glaciológico, intrusão de sal em aquíferos costeiros,

escoamento de óleo e gás em reservatórios, extrações de óleos e produção de gás natural

(Kaviany (2012)).

Normalmente, problemas de transferência de calor em meios porosos estão relacionados

à convecção natural ou à convecção mista. Fortes gradientes de temperatura podem gerar

gradientes de massa específica grande o suficiente para a força de empuxo seja maior que

16

a força peso e, consequentemente, criar células de convecção. Tal fenômeno pode ser con-

siderado uma instabilidade e quando isto ocorre, a taxa de transferência de calor aumenta.

Devido a este fato, é preciso uma análise mais cuidadosa para se determinar quando tal ins-

tabilidade acontece, pois ela pode ou não ser desejada dependendo da apliação, evitando,

assim, resultados desagradáveis.

1.2 ESCOAMENTOS EM MEIOS POROSOS

Segundo Bear (1972), um meio poroso pode ser definido como uma porção do espaço

ocupada por matéria heterogênea ou multifásica, sendo pelo menos uma das fases que o

compõe não é sólida, podendo ser fases gasosas e/ou líquidas. A fase sólida é chamada de

matriz e os espaços dentro do meio poroso são chamados de poros. Quando algum fluido

preenche completamente esses vazios, classifica o meio poroso como saturado.

Uma grandeza importante no estudo de escoamentos em meios porosos é a porosidade,

ϕ, que pode ser definida como a fração do volume total do meio que é ocupada pelos espaços

vazios e, consequentemente, 1−ϕ é a fração ocupada pela matrix. A não uniformidade do

tamanho dos grãos da matrix tende a diminuir o valor de ϕ, pois, os grãos menores tendem a

preencher os espaços vazios entre os grãos maiores. Definindo ϕ dessa maneira, assume-se

que todos os poros são interconectados, porém, isso normalmente não acontece. Portanto, é

preciso introduzir uma grandeza que mede a razão entre o volume dos poros interconectados

com o volume total, chamada porosidade efetiva. (Nield and Bejan (2006)).

As grandezas físicas relevantes num escoamento em meio poroso (velocidade, pressão,

etc), em escala microscópica (escala dos poros), são claramente irregulares. Porém, em ex-

perimentos, essas grandezas de interesse são medidas em seções transversais que atravessam

muitos poros, e calculadas em média (escala macroscópica), variam de forma regular no

espaço e no tempo. Portanto, são passíveis de tratamento teórico (Nield and Bejan (2006)).

A forma usual para derivar as equações que regem as variáveis macroscópicas é começar

com as equações padrões obedecidas pelo fluido. Uma variável macroscópica é definida

pela média de um volume elementar suficientemente grande comparado a escala dos poros,

porém, consideravelmente menor que a escala de comprimento do domínio.

17

1.2.1 Conservação de Massa

Considerando um volume elementar de um meio poroso, uma distinção entre médias

com respeito ao volume elementar total incorporando fase sólida e fluido e ao volume que

consistui apenas o fluido deve ser feita. É possível perceber que a média da velocidade do

fluido em relação ao volume total, v, e com respeito ao volume ocupado pelo fluido, V, estão

relacionadas com a porosidade ϕ pela relação de Dupuit-Forchheimer v=ϕV. Considerando

um meio contínuo, a conservação da massa é expressa pela equação abaixo, onde ρf é a massa

específica do fluido.

ϕ∂ρf

∂t+∇· (ρfv) = 0 (1.1)

1.2.2 Equação de Movimento

A investigação sobre o abastecimento de água em Dijon, na França, e experimentos levou

Henry Darcy, em 1856, a perceber que, para um escoamento em meio poroso em regime

permanente unidirecional, há uma proporcionalidade entre a vazão e o gradiente de pressão

aplicado. Matematicamente, essa relação é expressa por:

u =−K

µ

∂P

∂x(1.2)

onde ∂P/∂x é o gradiente de pressão na direção do escoamento. Essa proporção depende

tanto do fluido, relacionado com a viscosidade dinâmica µ, quanto da geometria do meio, K

chamado de permeabilidade. Considerando agora a equação de Darcy nas três dimensiões

para um meio isotrópico e v sendo o vetor velocidade, a equação do movimento se torna a

mostrada abaixo.

∇P =−µK

v (1.3)

18

1.2.3 Conservação de Energia

Pelo motivo de que em escoamentos em meios porosos terem uma matriz sólida e um

fluido, para a obtenção da conservação da energia através da primeira lei da termodinâmica,

é necessário tirar as médias volumétricas de cada fase. Um caso simples a ser considerado é

de um meio isotrópico onde os efeitos da radiação, dissipação viscosa e o trabalho realizado

devido à pressão são negligênciados. Tomando as médias volumétricas, obtém as equações

de conservação de eneria para o sólido e o fluido, como as equações abaixo, respectivamente.

(1−ϕ)(ρc)s∂Ts

∂t= (1−ϕ)∇· (ks ∇Ts)+ (1−ϕ)q ′′′

s (1.4)

ϕ(ρcp)f∂Tf

∂t+ (ρcp)f v ·∇Tf =ϕ∇· (kf ∇Tf)+ϕq ′′′

f (1.5)

os subescritos s e f se referem, respectivamente, a fase sólida e líquida, c é o calor específico

do sólido, cp os calor específico do fluido a pressão contante, k é a conditividade térmica e

q ′′′ a produção de calor volumétrica.

Assumindo que há um equilíbrio térmico local, ou seja, Ts = Tf = T e somando as equa-

ções (1.4) e (1.5), ontém:

(ρc)m∂T

∂t+ (ρcp)f v ·∇T =∇· (km ∇T )+q ′′′

m (1.6)

onde (ρc)m, km e q ′′′m são a capacidade térmica global volumétrica, a conduividade térmica

global e a produção de calor de geral por unidade de volume do meio. Estas são calculas

pelas equações mostradas abaixo.

19

(ρc)m = (1−ϕ)(ρc)s +ϕ(ρcp)f (1.7)

km = (1−ϕ)ks +ϕkf (1.8)

q ′′′m = (1−ϕ)q ′′′

s +ϕq ′′′f (1.9)

1.2.4 Aproximação de Oberbeck-Boussinesq

Para a convecção térmica ocorrer, a massa específica do fluido deve ser uma função da

temperatura, portanto, precisa de uma equação de estado para complementar as equação de

massa, momentum e energia. A equação de estado mais simples é

ρf = ρ0[1−γ(T −T0] (1.10)

onde ρ0, T0 e γ são, respectivamente, a massa específica e a temperatura de referência e o

coeficiente de expansão térmica.

Para simplificar análises posteriores, utiliza-se a aproximação de Oberbeck-Boussinesq,

que consiste em adicionar o termo ρf g, que está relacionado a força de expuxo, na equação

de Darcy (1.3). Isto é devido à variação da temperatura ser muito mais importante no termo

de empuxo do que nos demais termos, considerando a equação (1.10) apenas no termo de

empuxo e permanecendo constante nos outros termos. Como consequência a equação da

continuidade reduz a ∇ · v, apenas para casos incompressíveis. Utilizando a aproximação

descrita acima, a lei de Darcy se torna a mostrada a seguir.

∇P + µ

Kv−ρfg= 0 (1.11)

20

1.3 ANÁLISE DE ESTABILIDADE LINEAR

Ao examinar a dinâmica de qualquer sistema físico, o conceito de estabilidade se torna

relevante somente depois de estabelecer a possibilidade de equilíbrio. Pode-se definir esta-

bilidade como a habilidade de um sistema dinâmico ser imune à pequenas perturbações, em

outras palavras, um sistema é instável quando é incapaz de manter-se em seu estado de equi-

líbrio original após ser sujeito a estas perturbações (Criminale et al. (2003); Chandrasekhar

(1961)).

Os sistemas dinâmicos se diferenciam entre os estados instáveis, neutros e estáveis. Tais

estados podem ser vizualizados fazendo analogia da energia potencial gravitacional de uma

esfera sobre superfícies de diferente formatos, como ilusta a figura 1.1. Caso a esfera sofra

alguma perturbação, ela pode afastar-se ainda mais da sua posição inicial, ser indiferente ou

deslocar-se da posição inicial e retornando à mesma.

Figura 1.1: Condições de Estabilidade: Instável, Neutro e Estável, respectivamente.Fonte: Adaptado de Kundu et al. (2012).

Problemas térmicos e hidrodinâmicos quando estão em regime permanente (nenhuma

variável dependendo do tempo) estão sujeitos à perturbações, devido a fatores como rugosi-

dade superficial, ruído externo, vibração, etc. Desde modo, a análise de estabilidade busca

determinar a resposta do sistema submetidos a estas perturbações, ou seja, após perturbado,

a sua amplitude crescerá ou diminuirá e sob que condições essa transição acontece.

Na análise de estabilidade linear, as perturbações de amplitude ε são consideradas su-

ficientemente pequenas (ε << 1) para que uma linearização, ao redor da solução base, seja

possível através da negligência dos termos quadráticos ou de ordem superior, como mostra a

equação (1.12).

21

q(x, t ) = qs(x)+εqp (x, t ) (1.12)

sendo x o vetor de coordenadas espaciais (x1,x2,x3), t o tempo, q uma variável qualquer

(velocidade, temperatura e/ou pressão) de um sistema, qs a solução de regime permanente e

qp sendo a perturbação associada a respectiva variável.

1.3.1 Local e Paralela

Quando se inicia um novo problema de estabilidade linear, a primeira consideração a

ser feita é número de direções homogêneas do estado base, ou seja, a solução de regime

permanente depende de quantas variáveis espaciais. Quando a instabilidade é referente a um

perfil, onde a solução base depende apenas de uma direção, que não é a direção principal do

escoamento, a análise é dita local, e se depender lentamente numa segunda direção, considera

fracamente não paralelo (Juniper et al. (2014); Huerre and Monkewitz (1990)).

Em um escoamento local, onde a direção principal do escoamento base é x1 e as variáveis

dependem apenas da direção x3, as derivadas em relação a x1 e a x2 se tornam nulas. Se o

escoamento for incompressível entre placas impermeáveis, a velocidade na direção x3 é nula,

como mostra a equação abaixo, e, com isso, o escoamento é paralelo as paredes. Portanto,

um escoamento incompressível ser paralelo é uma consequência dele ser local.

∇·v= 0 −→��>

0∂u(x1)

∂x1+��>

0∂v(x2)

∂x2+ ∂w(x3)

∂x3= 0 −→ w(x3) = 0 (1.13)

Para análise de estabilidade local e paralelo, a linearização das propriedades mostrada na

(1.12) toma a seguinte forma

q(x, t ) = qs(x3)+εqp (x, t ) (1.14)

22

Embora muitos problemas da mecânica dos fluidos as propriedades variam em mais de

uma direção, simplificações são feitas para poder assumir problemas locais. Muitos concei-

tos que surgem na análise de estabilidade local podem ser usados para fornecer informações

físicas sobre o comportamento das perturbações (Juniper et al. (2014)).

Na instabilidade térmica, o valor da temperatura em si não é relevante, importando apenas

o seu gradiente. Por causa disso, pode-se considerar um problema local onde a distribuição

temperatura em regime permanente possa variar linearmente numa segunda direção, pois o

seu gradiente depende apenas de uma variável espacial. A mesma ideia é aplicada à pressão

para escoamentos incompressíveis.

1.3.2 Modos Normais

A análise modal consiste em presumir que as perturbações são superposições de ondas

(modos) que podem ser tratadas separadamente, pois cada uma satisfaz as esquações de

governo linearizadas (Drazin and Reid (2004)). A equação abaixo mostra a decomposição

da perturbação considerando modos normais e escoamento local e paralelo.

qp (x, t ) = qn(x3).e[i(αx1+βx2−ωt )] (1.15)

onde a qn(x3) é a autofunção e α, β e ω são os autovalores, sendo α e β denominados como

números de onda complexo nas direções x1 e x2, respectivamente, e ω a frequência com-

plexa. Considera-se esses autovalores como números complexos, como mostrado abaixo,

onde i é o número imagináriop−1.

α=αR + iαi, β=βR + iβi, ω=ωR + iωi (1.16)

Substituindo a equação (1.16) em (1.15) e separando as partes reais e imaginárias, obtém-

se:

23

qp (x, t ) =qn(x3).exp

[−(αix1 +βix2)+ωit]︸︷︷︸

amplitude.

exp[i(αRx1 +βRx2 +ωRt )

]︸︷︷︸oscilação

(1.17)

Considerando a fórmula de Euler, onde exponenciais complexas são decompostas em

cossenos e senos, pode-se observar pela equação acima que a parte real dos autovalores

correspondem às oscilações e a parte imaginária, às taxas de crescimento.

Desta forma, considerando qualquer ponto do domínio para tempos infinitos, pode-se

observar que:

• se ωi < 0 −→ amplitude decrescente: estável

– Mesmo a perturbação crescendo espacialmente, de forma oscilatória ou estacio-

nária, para tempos suficientemente longos, a perturbação irá sumir.

x

t

Re[α]≠0

Re[α]=0

Figura 1.2: Representação de uma onda com ωi < 0 e αi < 0

• se ωi > 0 −→ amplitude crescente: instável

– Embora a perturbação possa decrescer espacialmente, após um longo período de

tempo, a amplitude da perturbação se torna muito grande

24

x

t

Re[α]≠0

Re[α]=0

Figura 1.3: Representação de uma onda com ωi > 0 e αi > 0

• se ωi = 0 −→ amplitude constante: estabilidade neutra

x

t

Re[α]≠0

Re[α]=0

Figura 1.4: Representação de uma onda com ωi = 0 e αi = 0

Portanto, as análises para determinar a transição de estável para instável ocorre conside-

rando ωi = 0. Porém, considerar ou não a parte imaginária dos números de onda igual a zero

depende de qual análise se deseja fazer.

Pelo fato da perturbação ser considerada como uma sobreposição de várias ondas, um

conceito físico importante na análise de estabilidade e que será relevante no presente traba-

lho é a velocidade de grupo. Esta se refere a velocidade de propagação de um pacote de

ondas (ondas sobrepostas). Elas podem ser obtidas pela derivada da frequêcnia pelo número

de onda, ou seja, a velocidade de grupo na direção x1 e na direção x2 são calculadas da se-

25

guinte forma ∂ω/∂α e ∂ω/∂β, respectivamente. A figura abaixo mostra apenas duas ondas

de comprimento de onda diferente se sobrepondo, formando um pacote de onda delimitado

pelas linhas pretas tracejadas.

=

+

Figura 1.5: Representação de pacotes de onda

1.3.3 Instabilidade Convectiva e Absoluta

Se uma perturbação localizada for convectada pelo escoamento, é dito que o sistema di-

nâmico é convectivamente instável e caso a perturbação propaga em ambos os sentidos,tanto

a jusante quanto a montante, contaminando todo o escoamento, o sistema é dito absoluta-

mente instável (Huerre and Monkewitz (1990)). As duas figuras abaixo esquematizam esses

dois tipos de instabilidades, onde o eixo vertival mostra a perturbação para diferentes tempos

e o eixo horizontal, o domínio do problema.

x

t

x

t

Figura 1.6: Representação da instabilidade convectiva (à esquerda) a absoluta (à direita)

26

Para se determminar a começo dessas instabilidades, é necessário impôr certas condi-

ções. A iminência da instabilidade convectiva acontece quando tanto a taxa de crescimento

temporal quanto espacial são zero. Este estado é dito ser marginalmente ou neutramente

estável, e é representado por uma curva/superfície do parâmetro de controle e os números de

onda. O mínimo global desta curva é a iminência desta instabilidade.

Já as condições necessárias para o início da instabilidade absoluta são a taxa de cresci-

mento temporal ser nula e que as velocidades de grupos do pacote de ondas também serem

nulos. Este estado é representado por um ponto de cela nos planos de número de onda com-

plexos, αRxαi e/ou βRxβi, formado por modos que se propagam em direções opostas, ou

seja, vêm de lado oposto do plano imaginário. Este caso pode ser observado pela figura 1.7.

É possivel observar que neste caso a perturbação cresce a jusante (para a direita), porém, não

cresce a montante (para a esquerda), permanecendo fixa. Qualquer mudança no parâmetro

de controle pode fazer com que a perturbação se propague a montante.

x

t

Figura 1.7: Representação da iminência da instabilidade absoluta

1.3.4 Análise 2D e 3D

A consideração feita de modos normais na equação (1.15) assume que a perturbação varia

nas três dimensões espaciais, sendo duas delas direções homogêneas e outra não-homogênea.

A análise dessa pertubação é dita tridimensional. Quando impôe que o número de onda

de uma das direções homogêneas é igual a zero, a análise é dita bidimensional, já que a

perturbação depende de duas variáveis espaciais. Um caso intermediário entre os dois citados

seria impor que o número de onda em uma das direções é um número real não nulo. Essa

27

análise pode ser dita pseudo-2D e um exemplo dela é o trabalho de Lingwood (1995).

1.3.5 Métodos Numéricos

A substituição da expansão de modos normais, equação (1.15), nas equações de governo

linearizadas de problemas térmicos e hidrodinâmicos transformam as equações diferenciais

parciais (EDP) em equações de diferenciais ordinárias (EDO). As análises de estabilidade

são feitas em cima destas equações utilizando diferentes métodos numéricos.

Um método numérico muito utilizado é matrix forming que consiste em discretizar o

domínio, utilizando diferenças finitas ou colocação espectral para aproximar os operadores

diferenciais, transformando em um problema de autovalor generalizado. Um outro método

também utilizado é o método do tiro, que consiste em impor certas condições para encontrar

raízes (autovalores) que satisfazem a equação diferencial ordinária.

Essa transformação em EDO não vem sem complicações, pois, além das autofunções

serem funções desconhecidas, são introduzidos os números de onda complexo e a frequência

complexa, resultando em mais incógnitas do que equações. Por isso, algumas considerações

a respeito dessas incógnitas devem ser feitas no intuito de obter alguma solução. Em um caso,

assume que a perturbação cresce/decresce no tempo e não no espaço, portanto, considera que

ω é complexo e α e β são números reais especificados. Este caso é classificado como análise

temporal. Uma outra análise é a espacial, onde assume que a perturbação aumenta/diminui

de amplitude no espaço e não no tempo. Neste caso, considera α (β) complexo, fixando um

valor para β (α) e ωi = 0 para um valor espeficado de ωR (Criminale et al. (2003)). Ambos

os métodos citados anteriormente podem ser utilizados para análise temporal e espacial.

Para obter os valores críticos da instabilidade convectiva, costuma-se utilizar a análise

temporal. Para descobrir tais resultados utilizando o método matrix forming, é preciso variar

os valores de αR, βR e do parâmetro de controle afim de encontrar o primeiro modo cujo

valor de ωi é igual a zero. Já utilizando o método do tiro, é preciso encontrar o mínimo

global da curva neutra, já que é a região que separa o regime estável do instável (Rees and

Mojtabi (2011); Rees and Genç (2011); Alves et al. (2016)).

A análise espacial costuma ser utilizada para descobrir a iminência da instabilidade ab-

28

soluta. A condição para isto ocorrer foi derivada, primeiramente, por Briggs (1964), estabe-

lecendo um critério para ocorrer esta transição para problenas bidimensionais. Este critério

consiste em mostrar que os modos presentes no plano complexo do número de onda colidem,

formando um ponto de cela, e que vêm de lados opostos do plano imaginário, formando en-

tão um pinching point. Quase três décadas depois, Brevdo (1991) extendeu esse critério para

a análise tridimensional, mostrando que em ambos os planos complexos (α ou β), os modos

tem que colidir simultaneamente, porém, em apenas um desses planos, os modos tem que

vir de lados oposto do plano imaginário. Utilizando matrix forming, esta análise 2D se torna

bem mais difícil que a anterior pelo fato de que é preciso variar ωR numa grande faixa de

valores por não saber qual é o crítico, e também o parâmetro de controle. Na análise 3D, este

estudo se torna quase impossível, pois, para construção do plano α (β) complexo, é neces-

sário fixar o valor crítico exato de β (α) variando ωR para capturar a colisão dos modos no

plano complexo dos números de ondas. Para obter o pinching point nessa análise, é preciso

fixar o valor exato do parâmetro de controle. Já utilizando o método do tiro, é preciso impôr

a condição necessária das velocidades de grupos serem zero para garantir pontos de celas e

depois verificar que, antes da colisão, tais velocidades tem sinais oposto, como mostra Alves

and Hirata (2016).

1.4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

Um dos primeiros estudos teóricos sobre instabilidade em problemas de convecção sur-

giu no início do século XX por Rayleigh. Em seu trabalho, Rayleigh (1916) tinha como

objetivo examinar e poder explicar teoricamente os resultados experimentais obtidos por Bé-

nard (1900). Nestes estavam presentes a observação de células de convecção numa camada

fina de fluido aquecida por uma placa inferior com temperatura uniforme e livre na superfície

superior em contato com o ar a uma temperatura mais baixa. Rayleigh mostrou que quando

o gradiente de temperatura vertical é positivo, o sistema está em equilíbrio, quando negativo,

é instável ou condicionnalmente instável dependendo da difusibilidade térmica. Mais tarde,

Rayleigh foi corrigido por Pearson (1958), pois a espessura da camada de fluido era pequena

demais para as forças de empuxo serem responsáveis pela convecção natural. Portanto, ele

29

mostrou que o mecanismo de instabilidade responsável por esse fenômeno está ligado ao

gradiente de tensão superficial na superfície livre. Nos dias de hoje, esse mecanismo é co-

nhecido como instabilidade de Marongoni.

Anos depois, Horton and Rogers (1945) extendeu o trabalho de Rayleigh para um meio

poroso utilizando a equação de Darcy mostradas em Muskat (1937). O objetivo principal

do trabalho era conseguir mostrar que há correntes de convecção numa formação geológica

como numa presente no leste do Texas, Estados Unidos, devido a destribuição de NaCl.

Porém, o resultado obtido em seu trabalho mostrou que tal fenômeno não ocorreria nesses

meios com os dados disponíveis no momento. Além disso, comparou com o trabalho de

Rayleigh (1916) mostrando que a razão do gradiente de temperatura encontrado em seu

trabalho e o de Rayleigh é diretamente proporcional ao quadrado a espessura do meio e

inversamente proporcional à permeabilidade e à massa específica.

Devido a gama de aplicações relacionadas aos meios porosos, engenheiros e cientistas

continuaram estudando convecção nesses meios. Tempos depois, o trabalho de Weber (1974)

iniciou o estudo de convecção incluindo um gradiente de temperatura horizontal pelo fato de

que, nos problemas reais, o aquecimento não ocorre uniformemente na superfície inferior.

Tal gradiente foi limitado a pequenos valores. Weber também considerou, diferente dos

outros estudos, um escoamento horizontal como solução de regine permanente e concluiu

que o valor Rayleigh vertical crítico é sempre maior que nos casos de convecção simples

analisados anteriormente.

Para eliminar a restrição do gradiente de temperatura horizontal feito por Weber (1974),

Nield (1991) estudou o mesmo problema, porém considerando que tal gradiente não preci-

sava ser necessariamente pequeno. Para resolver ao problema, Nield utilizou uma aproxi-

mação de Galerkin de segunda ordem chegando na conclusão que o aumento do Rayleigh

horizontal aumenta o valor crítico de Rayleigh vertical para a iminência da instabilidade.

Utilizando uma aproximação de Galerkin de oitava ordem, Nield (1994) adicionou no-

vos resultados que não eram possíveis com uma aproximação de baixa ordem pelo fato do

aumento de Rayleigh horizontal acasionar numa rápida diminuição de precisão. Em sua aná-

lise, Nield observou que com o aumento deste parâmetro, o valor crítico de Rayleigh vertical

30

alcança um máximo e depois diminui até zero. Isto significa que o escoamento torna-se ins-

tável sem precisar um gradiente de temperatura vertical quando a sua componente horizontal

é grande o suficiente.

Motivado pelo novo estudo estar relacionado com a performance de reatores de leito fixo,

Nield (1998) extende seu trabalho anterior impondo um escoamento vertical. Utilizando

uma aproximação de Galerkin de ordem 12, concluiu que o aumento de Péclet, relacionado

ao escoamento vertical, e de Rayleigh horizontal, ao gradiente de temperatura horizontal,

causam um efeito de estabilização no sistema para a faixa de valores estudados. Embora, ao

longo dos anos, Nield tenha aumentado o número de termos do método numérico utilizado,

pode-se dizer que sua metodologia estava longe de ser uma das mais precisas da época. Isso

pelo fato de fazer um somatório de série convergente de apenas, no máximo, 12 termos,

enquanto, por exemplo, Kim and Moin (1985) uma década antes inventaram um método

para resolver Navier-Stokes incompressível bi e tridimensional com malhas com cerca de 10

mil pontos.

Brevdo and Ruderman (2009a), anos depois, analisaram o mesmo problema que Nield,

porém utilizando um método pseudo-espectral de alta ordem para discretizar o domínio e

resolver o problema de autovalor. Nesta análise, eles focaram em analisar a transição de

estável para convectivamente instável, considerando apenas o número de onda na direção

longitudinal, ou seja, uma análise bidimensional. Após a obtenção dos resultados, confir-

maram que o aumento do Rayleigh horizontal realmente estabiliza o sistema para qualquer

valor de Péclet, porém, o oposto não ocorre, pois para altos valores de Rayleigh horizontal,

o aumento gradual de Péclet desestabiliza e depois estabiliza o problema.

Dando continuidade na sua análise, Brevdo and Ruderman (2009b) analisaram o início

da instabilidade absoluta, uma análise não estudada anteriormente para esse problema, utili-

zando o mesmo método númerico. Neste trabalho, eles perceberam que para certos valores

de parâmetros, o começo da instabilidade ocorre de forma absolutamente instável. Porém,

para a maioria dos casos, ele é convectivo, ou seja, os valores críticos absolutos são maiores

que os convectivos.

Extendendo seu trabalho para uma análise tridimensional, Brevdo (2009) investigou qual

31

a natureza da instabilidade, se é convectiva ou absoluta, e se as células de convecção são

transversais ou longitudinais. Em seus resultados, ele percebeu que os valores críticos do

parâmetro de controle tinham valores menores que os presentes nos seu estudo bidimensio-

nal, mostrando a importância de se fazer uma análise 3D. Além disso, ele mostra que para

certos casos, a natureza da desestabilização é absolutamente instável, porém, com a metodo-

logia utilizada, a obtenção dos resultados da análise absoluta só é possível quando, através

da análise convectiva, obtém as velocidades de grupo igual a zero. Para casos onde não há

velocidade de grupo igual a zero, Brevdo não foi capaz de obter os valores críticos para o

início da instabilidade absoluta.

1.5 OBJETIVOS

O presente trabalho tem como objetivo utilizar o método do tiro considerando a teoria

da análise de estabilidade linear modal e local para encontrar a iminência das instabilidades

convectivas e absolutas bi e tridimensionais. O problema a ser analisado é um escoamento

em meio poroso saturado com gradiente de temperatura inclinado e escoamento vertical e

horizontal. Os resultados da análise 2D e da convectiva 3D são comparados com os presentes

na literatura para a verificação do metodologia.

Os resultados presentes em Brevdo (2009) mostram alguns casos em que iminência para

a instabilidade ocorre de forma absolutamente instável, porém, o método utilizado não é o

ideal para a análise absoluta 3D, pois somente consegue dizer que a transição para a instabi-

lidade convectiva é, na verdade, absoluta. Por isso, este trabalho tem como objetivo usar um

método para reestudar esse problema e construir uma mapa completo da instabilidade abso-

luta tridimensional não existente na literatura. Não é só este problema que não tem dados

deste tipo de análise, são muito poucos os trabalhos na literatura que sequer tentaram estudar

a instabilidade absoluta tridimensional, dadas as inerentes dificuldades em se faze-la com os

métodos presentes até o momento.

32

2 MODELAGEM MATEMÁTICA

Um escoamento em meio poroso homogêneo saturado de altura H com gradiente de

temperatura inclinado e escoamento vertical limitado por duas superfícies permeáveis é con-

siderado. A origem do sistema cartesiano adotado está na metade da distância entre as placas,

cujo o eixo z∗ está na direção vertical para cima e x∗ na direção horizontal para a direita. A

diferença de temperatura vertical entre as placas é de ∆T , o gradiente de temperatura hori-

zontal σ é constante ao longo das placas com sentido oposto ao do eixo x∗ e o escoamento

vertical é constante definido por wv. Neste trabalho, o sobrescrito asterisco denota as variá-

veis dimensionais e as variáveis em negrito representam vetores. A figura seguir mostra um

esquema do meio a ser analisado.

0 x∗

z∗ y∗

z∗ = H2

z∗ = −H2

Superf́ıcie inferior T ∗ = T0 + ∆T2 − σx∗

Superf́ıcie superior T ∗ = T0 − ∆T2 − σx∗

wv g

Meio poroso

1

Figura 2.1: Esquema do modelo do meio poroso do problema a ser analisado

33

2.1 EQUAÇÕES DE GOVERNO

Assume-se que o meio poroso é governado pela lei de Darcy e que a aproximação de

Oberbeck-Boussinesq é valida. Portanto, as equaçôes de governo dimensionais para o esco-

amento podem ser escritas como

∇∗ ·v∗ = 0 (2.1a)

∇∗P∗+ µ

Kv∗−ρ∗

f g= 0 (2.1b)

(ρc)m∂T ∗

∂t∗+ (ρcp)fv∗ ·∇∗T ∗ = km∇∗2T ∗ (2.1c)

ρ∗f = ρ0[1−γ(T ∗−T0] (2.1d)

−∞< x∗, y∗ <∞, −H/2 < z∗ < H/2, t∗ > 0. (2.1e)

As variáveis como velocidade do escoamento, tempo, pressão e temperatura são repre-

sentadas, respectivamente, por v∗ = (u∗, v∗, w∗)T , t∗, P∗ e T ∗. O vetor acelaração da gra-

vidade é dado por g = (0,0,−g )T e µ, ρ, c, K , km e γ são, respectivamente, viscosidade

dinâmica, massa específica, calor específico, permeabilidade, condutividade térmica efetiva

do meio poroso e o coeficiente de expansão térmica do fluido. Os subscrito m, f e 0 se

referem ao meio poroso (sólido e fluido), ao fluido e ao estado de referência uniforme, res-

pectivamente. As condições de contorno da equação (2.1) são mostradas a seguir

w∗ = wv, T ∗ = T0 ∓∆T /2−σx∗ em z∗ =±H/2. (2.2)

Para diminuir o números de parâmetros e, consequentemente, o número de simulações

necessárias para entender a física do problema, é preciso fazer uma adimensionalização, cuja

as variáveis adimensionais são mostrados abaixo. Além disso, a adimensionalização ajuda a

identificar as forças (ou tempos) características dominantes do problema.

34

(x, y, z) = (x∗, y∗, z∗)/H , t = ηt∗/(AH 2) (2.3a)

(u, v, w) = (u∗, v∗, w∗)H/η, P = K (P∗+ρ0g z∗)/(µη) (2.3b)

T = (T ∗−T0)ρ0gγK H

µη, (2.3c)

os parâmetros η = km/(ρcp ) f e A = (ρc)m/(ρcp )f são, respectivamente, a difusividade tér-

mica e a razão entre as capacidades térmicas do meio e do fluido. Após a substituição das

variáveis adimensionais, as equações de governo toma a forma adimensional

∇·v= 0 (2.4a)

∇P +v−T k= 0 (2.4b)

∂T

∂t+v ·∇T =∇2T, (2.4c)

−∞< x, y <∞,−H/2 < z < H/2, t > 0, (2.4d)

sendo k = (0,0,1)T . As condições de contorno adimensionais ficam como mostradas na

equação abaixo

w =Qv, T =∓Rv/2−Rhx em z =±1/2, (2.5)

os parâmetros adimiensionais que aparecem na equação (2.5) são Rayleigh vertical, Rv, Ray-

leigh horizontal, Rh, e Péclet, Qv, e são representados como mostrado s seguir

Rv = ρ0gγK H∆T

µη, Rh = ρ0gγK H 2σ

µη, Qv = wvH

η. (2.6)

O número de Rayleigh é definido como a razão entre as forças de flutuabilidade e os efei-

tos da resistência das forças viscosas e da difusão térmica. O número de Péclet é o número

35

de Reynolds vezes o número de Prandtl e representa a razão entre as taxas de transferência

de calor por advecção e por condução.

Os parâmetros Rayleigh vertical, Rayleigh horizontal e Péclet estão diretamente relaci-

onados, respectivamente, a variação de temperatura entre a superfície superior e inferior, ao

gradiente de temperatura horizontal e ao escoamento vertical. É possível observar que se

Rayleigh vertical é positivo, o meio está sendo aquecido por baixo, caso contrário, a superfí-

cie superior está mais quente. Os sinais de Rayleigh horizontal e de Péclet indicam apenas o

sentido das variáveis dimensionais que elas representam. Se forem positivos, o sentido está

como mostrado na figura 2.1, caso contrário, o sentido é oposto.

2.2 SOLUÇÃO BASE

Procura-se uma solução em regime permanente das equações (2.4) e (2.5) da seguinte

forma

Ts = T̃ (z)−Rhx, us = U (z), vs = 0, ws = Qv, Ps = P (x, y, z). (2.7)

Substituindo a equação (2.7) na equação (2.4) e eliminando a pressão, chega-se no sis-

tema de equações abaixo para a solução base da velocidade U (z) e para a temperatura T̃ (z),

dU

dz= Rh (2.8a)

d 2T̃

d z2−Qv

dT̃

d z=−RhU , (2.8b)

Procura-se uma solução base para a velocidade horizontal que satisfaça a condição do

fluxo de massa horizontal igual a zero e T̃ tem que satisfazer as equações de contorno para a

temperatura,

36

1/2∫−1/2

U (z)dz = 0 (2.9a)

T̃ (±1/2) =∓Rv/2 em −1/2 < z < 1/2. (2.9b)

Satisfazendo as condições acima, o problema tem uma única solução de regime perma-

nente. Portanto, as soluções base para a velocidade na direção x e para a temperatura são

mostradas na equação abaixo

us(z) = Rhz (2.10a)

Ts(x, z) = R2h

2Qv

(z2 − 1

4

)+ R2

h

Q2v

z − Q2v Rv +R2

h

2Q2v senh(Qv/2)

[eQvz −cosh(Qv/2)

]−Rhx (2.10b)

Para análisar o problema na ausência de escoamento vertical, é necessário tirar o limite

de Ts quando Qv tende a zero. Isso é feito colocando todos os termos que contém Qv sob um

mesmo denominador gerando uma indetermminação quando Qv = 0 e, então, usando a regra

de L’Hospital sucessivamente obtém este limite, como mostra a equação abaixo.

limQv→0

Ts =(

R2h

24−Rv

)z − R2

hz3

6−Rhx. (2.11)

A pressão em regime permanente, Ps , pode ser obtida integrando a equação de Darcy,

(2.4b), usando as soluções bases obtidas em (2.10). Portanto, a distribuição de pressão é

mostrada na equação a seguir. P0 é uma pressão de referência, e neste problema, por ser

incompressível, o valor absoluto da pressão é irrelevante, importando apenas o gradiente da

pressão.

37

Ps(x, y, z) = Rh

2Qv

(z3

3− z

4

)+ R2

h

2Q2v

z2−

Q2v Rv +R2

h

2Q3v senh(Qv/2)

[eQvz − zQv cosh(Qv/2)

]−Rhxz −Qvz +P0 (2.12)

2.3 PERTURBAÇÕES

2.3.1 Linearização

Considerando ε¿ 1 como sendo a amplitude da pertubação, os termos de menor ordem

tem mais importância, portanto, separa as propriedades de forma linear como mostra a equa-

ção a seguir. O subescrito s e p se referem a solução de regime permanente e a perturbação,

respectivamente,

v= vs +εvp (2.13a)

P = Ps +εPp (2.13b)

T = Ts +εTp . (2.13c)

Substituindo a equação (2.13) em (2.4) e coletando os termos de ordem de magnitude

igual a ε, ignorando os termos com ε2 ou maior, obtêm-se o sistema de equações da pertur-

bação linearizada mostrada abaixo

∇·vp = 0 (2.14a)

∇Pp +vp −Tp k = 0 (2.14b)

∂Tp

∂t+Us

∂Tp

∂x+Qv

∂Tp

∂z−Rhup + dTs

d zwp = ∇2Tp . (2.14c)

38

2.3.2 Modos Normais

Considerando que a perturbação se comporta como uma onda, ela pode ser modelada

em série de fourier. Portanto podem ser escritas como modos normais, como mostrado na

equação a seguir, considerando z a direção não homogênea.

[up , vp , wp ,Tp ,Pp ] = [un(z), vn(z), wn(z),Tn(z),Pn(z)]×exp[i(αx +βy −ωt )] (2.15)

2.4 EQUAÇÕES DA DISPERSÃO DIFERENCIAL

A equação que governa o comportamento das pertubações é chamada de equação da

dispersão. Essa equação contém os autovalores que são número de onda e frequência, e

com isso é possível obter a velocidade de fase observando se as perturbações são dispersivas

ou não. Para obtê-la, e necessário discretizar a equação diferencial da perturbação, para

então tirar o determinante da matriz formada. Quando além de conter os autovalores contém

também as autofunções, esta equação é dita equação da dispersão diferencial.

Substituindo a expansão de modos normais na equação (2.14), chega na equação abaixo.

iαun + iβvn + dwn

dz= 0 (2.16a)

iαPn +un = 0 (2.16b)

iβPn + vn = 0 (2.16c)

wn + dPn

dz−Tn = 0 (2.16d)

(α2 +β2 − iω+ iαus + iβvs)Tn +wsdTn

dz+wn

∂Ts

∂z+un

∂Ts

∂x− d2Tn

dz2= 0 (2.16e)

Substituindo as soluções de regime permanente e eliminando un , vn e Pn das equações

acima, obtém a equação da dispersão diferencial D3D (α,β,ω,Tn , wn ,Qv,Rh,Rv), mostrada a

seguir. Afim de simplificar a notação das equações, as derivadas em relação a z são repre-

sentadas por apóstrofos.

39

D3D :

w ′′n + (α2 +β2)(Tn −wn) = 0

(α2 +β2)(T ′′

n −QvT ′n − (iRhzα+α2 +β2 − iω)Tn −wnT̃ ′)+ iRhαw ′

n = 0(2.17)

A substituição das equações (2.13) e (2.15) nas condições de contorno mostrada em (2.5),

coletando os termos de ordem ε, conduz para as condições de contorno para as pertubações

mostrado abaixo. Essas condições podem ser interpretadas como se não houvesse perturba-

ção nos contornos.

Tn(z) = wn(z) = 0 em z =±1/2 (2.18)

Na análise 2D, diferente da análise 3D, considera que a pertubação não se propaga na

direção y . Portanto, considera que o número de onda nesta direção é igual a zero, ou seja,

β= 0. Com isso, a equação da dispersão D2D (α,ω,Tn(z), wn(z),Qv,Rh,Rv) toma a seguinte

forma.

D2D :

w ′′n +α2(Tn −wn) = 0

αT ′′n −αQvT ′

n −α(α2 + iαRhz − iω)Tn + iRhw ′n −αT̃ ′wn = 0

(2.19)

As condições de contorno para equação acima são as mesma para análise tridimensional,

sendo a equação (2.18). É importante ressaltar que as equações da dispersão são complexas,

portanto, tanto a parte real quanto a parte imaginária das autofunções tem que satisfazer as

condições de contorno.

40

3 METODOLOGIA

Este capítulo é focado em explicar o método númerico e a metodologia utilizada em cada

análise para a obtenção dos resultados.

3.1 MÉTODO DO TIRO

O método numérico utilizado para resolver as equações da dispersão é o método do

tiro. Tal método consiste, basicamente, em transformar um problema de valor de contorno

(PVC) em um problema de valor inicial (PVI). Após isso, utiliza-se um método de integração

numérica para marchar de um contorno ao outro junto com um método iterativo de encontrar

raíz para que as condições de contorno sejam satisfeitas, transformando assim, a solução

do PVI na solução do PVC. Considere um problema genérico de valor de contorno, como

mostrado na equação a seguir

y ′′ = f (x, y, y ′), para a ≤ x ≤ b y(a) = ya e y(b) = yb . (3.1)

Transformando o problema acima em um problema de valor inicial, obtém-se a equação

abaixo

y ′′ = f (x, y, y ′), para a ≤ x ≤ b y(a) = ya e y ′(a) = θ. (3.2)

Marcha-se a equação (3.2) para um dado valor de θ, uma estimativa inicial, até o outro

contorno, x = b, e verifca o valor de y(b). Se este valor for diferente de yb , então o valor

inicial para θ não foi o correto, portanto, tal valor deve ser mudado. Ao invés de tentativa e

41

erro para encontrar o valor exato de y ′(a), utiliza métodos de achar raízes, como por exemplo

os métodos de Newton, da secante e da secante modificada. No presente trabalho foram uti-

lizadas rotinas NDSolve e FindRoot do programa Wolfram Research (2016) para os métodos

de integração numérica e encontrar raíz, respectivamente.

Para exemplificar, considera-se o problema de valor de contorno, dado pela equação

y ′′(x) = x y ′(x)−5y(x)− x2, cuja condições de contorno são y(0) = 0 e y(1) = 1. Transfor-

mando este problema em valor incial, tem-se que y(0) = 0 e y ′(0) = θ. A figura 3.1 mostra

soluções do problema de valor inicial para diferentes valor de θ, porém, apenas o valor exato

de y ′(0) = 2.70126 torna a solução do problema de valor incial na solução do problema de

valor de contono.

Exata

y'(0)≃2.7

y'(0)=1

y'(0)=3

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0x

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

y(x)

Figura 3.1: Comportamento da solução para diferentes valores da derivada inicial

Para este trabalho, as condições iniciais das equações da dispersão (2.17) e (2.19) tran-

formadas em problema de valor inicial são mostradas a seguir, onde θ e φ são as estimativas

iniciais para a derivada das autofunções.

Tn = wn = 0, T ′n = θ, w ′

n =φ em z =−1/2 (3.3)

Pelas equações (2.17) e (2.19) serem equações diferenciais lineares e homogêneas, ca-

racterísticas de um problema de autovalor, é possível normalizar uma estimativa inicial, ou

42

seja, dividir todas as equações por essa estimativa. Neste trabalho, a estimativa inicial de

w ′n foi normalizada, portanto, as condições iniciais estão mostrado abaixo, onde cte é um

número complexo, já que as autofunções também são complexas.

Tn = wn = 0, T ′n = cte, w ′

n = 1 em z =−1/2 (3.4)

3.2 ESTIMATIVA INICIAL E EXTRAPOLAÇÕES

Uma desvantagem do método do tiro é que dependendo da estimativa inicial, a conver-

gência pode ser demorada, ainda mais para equações com mais de uma incógnita. Por causa

disto, em todas as análises foram usadas metodologias para prever estimativas iniciais para

diferentes valores dos parâmetros. Nestas metodologias, uma extrapolação polinomial de, no

máximo, terceira ordem para novas situações são feitas para gerar novas estimativas iniciais.

ISOLINHAS

CURVA MARGINAL

MÉTODO DO TIRO:

PONTO CRÍTICO CONVECTIVO

ANÁLISE 2D

MÉTODO DO TIRO:

PONTO CRÍTICO ABSOLUTO

ANÁLISE 2D

MÉTODO DO TIRO:

PONTO CRÍTICO CONVECTIVO

ANÁLISE 3D

MÉTODO DO TIRO:

PONTO CRÍTICO ABSOLUTO

ANÁLISE 3D

α = 1

Apenas para Qv = 0

Apenas para Qv = 0

Apenas para Qv = 0

Apenas para Qv = 0

Figura 3.2: Fluxo de estimativa inicial apenas para Qv = 0

43

O esquema mostrado na figura 3.2 ilustra de onde as estimativas iniciais foram obtidas.

Por exemplo, as estimativas iniciais para análise convectiva 3D para Qv = 0 foram os re-

sultados da análise convectiva 2D para mesmo valor de Rh. Após isso, a extrapolação de

pequenos valores de Qv foi feita para que a convergência seja mais rápida.

3.3 ESTUDOS BIDIMENSIONAIS

Nas análises bidimensionais, a perturbação se propaga apenas numa direção. Neste tra-

balho, considerou é a direção longitudinal do escoamento, considerando o número de onda

transversal igual a zero.

3.3.1 Análise Convectiva

A curva que separa a região estável da instável é a curva marginal ou curva neutra. A

iminência da instabilidade convectiva pode ser encontrada obtendo o mínimo global desta

curva. Para a construção desta, foi utilizado o método do tiro na equação (2.19) considerando

αi e ωi iguais a zero e variando o valor de αR para encontrar valores para o parâmetro de

controle, que no presente trabalho será Rv, e para ωR que satisfazem a equação da dispersão,

para então, plotar o gráfico Rv x αR. Utilizando o método de isolinhas para encontrar um

primeiro ponto da curva neutra e considerando tal curva contínua, foi utilizado a metologia

de extrapolação para obter uma boa estimativa para Rv, ωR e cte para diferentes valores de

αR. Com isso, a curva marginal foi plotada, interpolada e derivada para obter seu ponto de

mínimo global.

Uma outra metodologia utilizada para encontrar o ponto crítico sem precisar derivar a

curva neutra foi derivar a própria equação da dispersão (2.19) em relação a α. Considera-se

também αi = ωi = 0 e a derivada do parâmetro igual a zero, dRv/dα = 0. As autofunções

e suas derivadas em função de z são funções de α e a derivada delas em função desta são

consideradas outras autofunções, e ω também é função de α. Esta metodologia também foi

implementada por Rees and Genç (2011), Rees and Mojtabi (2011) e Alves et al. (2016).

Abaixo mostra a transformação delas para a autofunção Tn , por analogia tem para wn e

também mostra a derivada de ω em relação a α que é a velocidade de grupo e, neste caso,

44

ela é real já que as partes imaginárias de ω e α são zeros.

∂Tn∂α = Tnα

∂T ′n

∂α = T ′nα

∂ω∂α =ωα

∂T ′′n

∂α= T ′′

nα

(3.5)

A derivada a equação da dispersão bidimensional em relação ao número de onda longi-

tudinal α é mostra na equação abaixo.

∂D2D

∂α:

w ′′nα+α2(Tnα−wnα)+2α(Tn −wn) = 0

αT ′′nα+T ′′

n −αQvT ′nα−QvT ′

n −α(α2 + iαRhz − iω)Tnα

−α(2α+ iRhz − iωα)Tn − (α2 + iαRhz − iω)Tn

+iRhw ′nα−αT̃ ′wnα− T̃ ′wn = 0

(3.6)

Agora para achar o ponto crítico, basta utilizar o método do tiro na equação da dispersão

e na sua deriavada em relação a α simultaneamente, obedecendo as condições de contorno,

como mostra o sistema abaixo.

D2D

∂D2D∂α

, Tn = wn = Tnα = wnα = 0 em z =±1/2 (3.7)

Transformando o problema de valor de contorno acima em um problema de valor inicial

como foi feito na equação (3.4), obtém as condições iniciais mostradas a seguir.

Tn = wn = 0, T ′n = cte, w ′

n = 1

Tnα = wnα = 0, T ′nα = cte2, w ′

nα = 0, em z =−1/2 (3.8)

onde cte2 é a derivada de cte em relação a α e, portanto, pode ser estimativada numeri-

camente resolvendo a equação (2.19) para dois valores de α diferentes, porém, proxímos.

45

Este método fornece os valores críticos de αR, Rv, ωR, ∂ω/∂α e as partes reais e imaginárias

de cte e cte2, totalizando 8 incógnitas. Como as autofunções também são complexas, 8

condições que devem ser satisfeitas em z = 1/2.

3.3.2 Análise Absoluta

A iminência da instabilidade absoluta acontece quando a pertubação começa a se propa-

gar nos dois sentidos, a jusante e a montante. Uma condição necessária para isso acontecer

é quando a velocidade de grupo é igual a zero. Para impor tal condição é necessário derivar

a equação da dispersão (2.19) em relação a α, assim como foi feito na análise convectiva an-

teriormente, considerando as equações (3.5), (3.7) e (3.8). Porém, considera-se que a parte

imaginária de α é diferente de zero e ∂ω/∂α = ωα = 0. Este método fornece praticamente

os mesmos valores que na análise 2D, diferenciando pelo fato de fornecer αi e não mais a

velocidade de grupo.

Esta metodologia garante um ponto de cela, contudo, para ser pinching point, é neces-

sário mostrar que os modos que colidem cruzam o plano imaginário α. Para construção do

plano α complexo, foi utilizado também o método do tiro na equação (2.19) para encontrar

valores de (αR, αi) variando ωR e Rv e fixando valores para Rh e Qv. Também foi calculado

a velocidade de grupo antes da colisão dos modos. Isso foi feito também usando o mesmo

método na equação (3.7), porém, agora ao invés de determinar um valor crítico de Rv deter-

mina a parte real (ou imaginária) da velocidade de grupo, fixando um valor deste parâmetro

e zerando apenas a parte imaginária (ou parte real) da velocidade de grupo. O resultado do

valor dessa análise dará um valor (αR,αi) que será um ponto de máximo/mínimo (ou um

extremo a esquerda/direita) na curva dos modos.

3.4 EXTENSÕES PARA ESTUDOS TRIDIMENSIONAIS

Nas análises tridimensionais, a perturbação pode se propagar numa direção a mais, e por

causa disso, há um número de onda a mais e diferentes as estimativas iniciais tem que ser

feitas.

46

3.4.1 Análise Convectiva

Diferente da análise 2D onde uma curva separa a região estável da convectivamente ins-

tável, na análise 3D, uma superfície que tem essa função e portanto o ponto crítico depende

de um número de onda que não depende na análise 2D. Devido a isso, não se pode colocar

os resultados da análise convectiva 2D como estimativa inicial sem analisar o efeito desse

número de onda.

O primeiro valor crítico a ser analisado é na ausência de escoamento vertical (Qv = 0) e

do gradiente da temperatura horizontal (Rh = 0). As equações da dispersão (2.19) e (2.17) se

tornam como mostradas abaixo.

D2D (Qv = 0,Rh = 0) :

w ′′n +α2(Tn −wn) = 0

T ′′n − (α2 − iω)Tn +Rvwn = 0

(3.9)

D3D (Qv = 0,Rh = 0) :

w ′′n + (α2 +β2)(Tn −wn) = 0

T ′′n − (α2 +β2 − iω)Tn +Rvwn = 0

(3.10)

É possível observar que essas duas equações se assemelham e, por causa disto, os valores

críticos dos números de onda estão relacionados com αRcr 2D , ou seja, (α2R +β2

R)cr 3D =α2Rcr 2D

.

Portanto a estimativa inicial para quando Qv = Rh = 0 pode ser o resultado da análise con-

vectiva 2D. A mesma análise pode ser feita para quando Rh = 0 independente do valor de

Qv e, então, interpolar e extrapolar para achar os valores críticos. Contudo, a igualdade

(α2R +β2

R)cr 3D = α2Rcr 2D

tem infinitas combinações para αR e βR, e qual delas escolher para

usar como uma estimativa inical para o próximo par de valores (Qv,Rh) pode não ser uma

boa ideia, já que para Rh 6= 0, pode haver mais de um mínimo na curva que separa a região

estável da convectivamente instável, e o valor crítico é o mínimo global. Portanto, os va-

lores usados como estimativa inicial são os valores da análise convectiva 2D, onde o valor

de αRcr 2D será a estimativa inicial de αR considerando βR = 0, βR com αR = 0 ou uma com-

binação de ambos, α 6= 0 e βR 6= 0, para observar se os rolos de convecção são transverais,

47

longitudinais ou oblíquos, respectivamente.

Para encontrar esse mínimo, é necessário derivar a equação (2.17) tanto em realção a α

quanto em relação a β e considerar as derivadas dos parâmetros em relação aos números de

onda iguais a zero. A problema de contorno a ser resolvido é mostrado na equação a seguir.

As derivadas de D3D em relação a α e a β são obtidas de forma similar a derivada de D2D em

relação a α na análise bidimensional.

D3D

∂D3D∂α

∂D3D∂β

, Tn = wn = Tnα = wnα = Tnβ = wnβ = 0 em z =±1/2 (3.11)

Com duas novas autofunções Tnβ e wnβ, as condições iniciais para o problema de valor

inicial a ser resolvido junto com o método do tiro está mostrada abaixo.

Tn = wn = 0, T ′n = cte, w ′

n = 1

Tnα = wnα = 0, T ′nα = cte2, w ′

nα = 0

Tnβ = wnβ = 0, T ′nβ = cte3, w ′

nβ = 0

, em z =−1/2 (3.12)

onde cte3 é a derivada de cte em relação a β e, portanto, pode ser estimativada como cte2.

Este método fornece os valores críticos de αR, βR, Rv, ωR, ∂ω/∂α, ∂ω/∂β e as partes reais

e imaginárias de cte, cte2 e cte3 totalizando 12 incógnitas. Como as autofunções também

são complexas, 12 condições que devem ser satisfeitas em z = 1/2.

3.4.2 Análise Absoluta

Assim como na análise absoluta 2D, uma condição necessária para a iminência da insta-

bilidade absoluta 3D é a velocidade de grupo ser igual a zero. Portanto é necessário derivar

a equação da dispersão (2.17) tanto em relação a α quanto em relação a β zerando os termos

ωα e ωβ e usar o método do tiro na equação (3.11), sendo (3.12) o problema de valor inicial.

Diferente da análise anterior, ao invés de obter as velocidades de grupo, obtêm as partes

48

imaginárias do número de onda.

Esse método também garante um ponto de cela, e para mostrar que é pinching point,

é necessário que os modos na colisão venham de lados opostos em apenas um dos planos

complexos, α ou β (Brevdo (1991)). Os gráficos dos planos complexos também foram feitos

com o método do tiro de forma similar ao que foi feito na análise absoluta 2D. O que difere é

que para a construção do plano α complexo, fixa-se os valores de βR e βi crítico encontrado,

já na construção do plano β complexo, fixa-se o valores de αR e αi crítico. A mesma análise

para calcular a velocidade de grupo antes da colisão também foi feita, porém, para determinar

ωα, fixa βR e βi e impõe ωβ = 0, e de forma análoga se determina os valores de ωβ.

49

4 RESULTADOS

Nesta seção, serão abordados os resultados obtidos em todas as análises, incluindo as

verificações do método utilizado e dos novos resultados.

4.1 ANÁLISE 2D

Os resultados obtidos na análise bidimensional foram comparados com os presentes na

literatura em Brevdo and Ruderman (2009a) e Brevdo and Ruderman (2009b).

4.1.1 Verificação da análise convectiva

Seguindo o fluxo da metodologia utilizada para a obtenção dos valores críticos convec-

tivos através do método do tiro mostrada na figura 3.2, é preciso, primeiramente, fazer o

método das isolinhas para obter uma boa estimativa inicial para a construção das curvas

marginais. A figura 4.1 mostra o método das isolinhas apenas para valores de Rh = 0 e 40 na

ausência de escoamento vertical (Qv = 0) para αR = 1.

-20 -10 0 10 20

50

100

150

200

250

300

ωR

Rv

Qv=0 Rh=0 α=1

-20 -10 0 10 20

50

100

150

200

250

300

ωR

Rv

Qv=0 Rh=40 α=1

Figura 4.1: Estimativa inicial com isolinhas

50

As interseções das curvas tracejadas com as curvas cheias, na figura anterior, mostram

boas estimativas de chutes inicial para Rv e ωR. É possível confirmar isto observando que os

pontos vermelhos na figura abaixo estão muitos próximos das curvas marginais para αR = 1

para os respectivos valores de Rh. Após isso, a metodologia de extrapolação é feita para a

construção das curvas neutras que estão mostradas na figura a seguir.

2 4 6 8 10αR

50

100

150

200

250

Rv

Rh=0

Rh=10

Rh=20

Rh=30

Rh=40

Rh=50

Rh=60

Figura 4.2: Curvas neutras para obter os chutes iniciais

As curvas marginais mostradas na figura 4.2 foram derivadas e usadas como estimativas

para um bom chute inicial para o método do tiro. Os pontos pretos presentes na mesma

figura são os valores críticos obtidos pelo método do tiro, sendo possível observar que tais

pontos se encontram no mínimo destas curvas. É interessante observar que existem dois

mínimos que se alternam entre local e global dependendo do valor de Rh. Com a obtenção

dos valores críticos para Qv = 0, a metodologia de extrapolação também foi utilizada, sendo

os resultados apresentado nas tabelas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4 para diferentes valores de Péclet

e Rayleigh horizontal. Nelas estão presentes os valores críticos de Rayleigh vertical (Rv),

número de onda (αR), frequência (ωR) e a velocidade de grupo (∂ω/∂α).

51

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 43.932 57.528 80.883 114.65 156.23 174.71

1 40.875 45.371 59.094 82.638 116.58 143.29 162.662 45.078 49.690 63.739 87.628 116.06 137.92 156.993 52.068 56.830 71.198 94.192 116.71 136.99 155.394 61.666 66.518 80.728 100.63 120.24 139.02 156.615 73.415 78.164 91.282 108.27 125.83 143.20 159.896 86.619 90.986 102.43 117.13 132.95 148.99 164.757 100.58 104.37 114.14 127.00 141.27 156.06 170.888 114.83 118.03 126.36 137.67 150.55 164.17 178.06

Tabela 4.1: Rv crítico convectivo para análise 2D

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 3.142 3.098 2.956 2.710 2.396 4.593 5.162

1 3.179 3.136 2.999 2.767 2.488 4.830 5.5642 3.292 3.254 3.139 3.000 4.448 5.235 6.0173 3.490 3.463 3.416 3.839 4.946 5.713 6.4964 3.785 3.787 3.907 4.672 5.472 6.226 6.9905 4.196 4.249 4.585 5.309 6.029 6.760 7.4986 4.733 4.846 5.285 5.930 6.608 7.309 8.0177 5.379 5.529 5.974 6.561 7.202 7.870 8.5488 6.092 6.249 6.663 7.205 7.808 8.443 9.092

Tabela 4.2: αR crítico convectivo para análise 2D

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 43.21 75.42

1 0 0.3226 0.7638 1.414 2.379 50.91 86.532 0 0.7768 1.886 4.016 30.34 60.70 98.483 0 1.519 3.912 13.06 39.93 71.48 111.04 0 2.753 7.755 23.80 49.63 82.89 124.05 0 4.697 13.61 32.61 59.78 94.80 137.46 0 7.418 20.10 41.29 70.35 107.2 151.47 0 10.69 26.66 50.17 81.30 119.9 165.88 0 14.21 33.30 59.29 92.59 133.2 180.8

Tabela 4.3: ωR crítico convectivo para análise 2D

Estes resultados foram comparados com valores presentes em Brevdo and Ruderman

(2009a) com o mesmo número de algarismos, 5 para Rayleigh vertical e 4 para o número de

onda e frequêcnia. O maior erro relativo para Rv, αR e ωR foram, respectivamente, 0.0099%,

0.036% e 0.0016%.

Pela tabela 4.1, pode-se observar um efeito de estabilização com o aumento do Rayleigh

horizontal independente de Péclet. O mesmo efeito pode ser observado com o aumento

52

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 16.92 20.46

1 0 0.4746 1.184 2.531 5.353 16.99 20.872 0 0.9979 2.519 5.708 13.69 17.33 21.353 0 1.602 4.098 9.593 13.88 17.78 21.854 0 2.277 5.733 10.43 14.27 18.25 22.365 0 2.934 6.807 10.82 14.71 18.72 22.866 0 3.442 7.325 11.19 15.13 19.18 23.347 0 3.757 7.646 11.55 15.53 19.61 23.798 0 3.945 7.898 11.87 15.90 20.02 24.21

Tabela 4.4: Velocidade de grupo convectivo para análise 2D

de Péclet apenas para baixos valores Rayleigh horizontal, porém, para valores de Rh ≥ 40,

ocorre tanto o efeito de estabilização quanto de desestabilização.

Analisando a tabela 4.2, observa-se que o número de onda é um função crescente com o

aumento de Qv independente do valor de Rh e com o aumento de Rh apenas para Qv ≥4. Já

observando as tabelas 4.3 e 4.4, tanto a frequência quanto a velocidade de grupo são funções

crescentes com o aumento tanto de Péclet quanto do Rayleigh horizontal. É interesante notar

que, através da figura 4.2 e da tabela 4.4, os diferentes modos que estão competindo pra ver

qual é o crítico tem velocidades de grupo igual e diferente de zero.

4.1.2 Verificação da análise absoluta

Após a verificação da análise convectiva, estes resultados para Péclet igual a zero foram

usados como estimativas iniciais para análise absoluta e, então, utilizada, de novo, a metolo-

gia de extrapolação. As quatro tabelas a seguir apresentam os valores críticos para Rayleigh

vertical, número de onda, taxa de crescimento espacial e frequência, respectivamente.

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 43.932 57.528 80.883 114.65 159.12 214.26

1 40.875 45.425 59.373 83.529 118.79 165.60 224.132 45.078 49.936 65.069 92.268 134.52 189.13 229.143 52.068 57.499 75.102 110.80 150.46 185.87 222.114 61.666 67.961 89.884 122.16 153.57 186.48 220.205 73.415 80.680 102.81 129.82 159.10 189.92 221.716 86.619 94.343 114.15 138.88 166.28 195.37 225.597 100.58 108.01 125.90 148.85 174.65 202.28 231.168 114.83 121.65 138.04 159.50 183.92 210.27 237.98

Tabela 4.5: Rv crítico absoluto para análise 2D

53

Comparando os valores de Rv presentes na tabela 4.5 com Brevdo and Ruderman (2009b),

pode-se observar 5 valores significativamente diferentes, obtendo um erro relativo entre 7%

a 25%. O caso (Rh, Qv) onde ocorre esta discordância nos resultados são (40, 2), (50, 0),

(50, 1), (60, 0) e (60, 1), onda os resultados são mostrados em vermelho. Nesses casos, os

valores encontrados nesse trabalho são todos menores que os presentes na literatura. Des-

considerando esses casos, o maior erro relativo dos outros dados é de 0.02%.

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 3.142 3.098 2.956 2.710 2.392 2.075 1.801

1 3.179 3.134 2.987 2.725 2.391 2.069 1.7992 3.292 3.246 3.084 2.770 2.395 5.600 6.3113 3.490 3.446 3.267 2.825 5.688 6.345 7.1074 3.785 3.764 3.635 5.474 6.300 7.080 7.8455 4.196 4.265 5.088 6.111 6.978 7.798 8.5716 4.733 4.982 5.870 3.573) 7.674 8.507 9.2907 5.379 5.753 6.596 7.496 8.372 9.213 10.018 6.092) 6.502 7.311 3.881 9.070 9.915 10.72

Tabela 4.6: αR crítico absoluto para análise 2D

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0.1129 0.2338 0.3445 0.4045 0.4147 0.40562 0 0.2431 0.5181 0.7900 0.9783 4.497 5.7533 0 0.4120 0.9424 1.594 3.934 4.962 5.9974 0 0.6468 1.813 3.271 4.212 5.252 6.2705 0 0.9576 2.384 3.410 4.445 5.500 6.5336 0 1.232 2.474 3.573 4.654 5.727 6.7827 0 1.372 2.539 3.733 4.845 5.939 7.0148 0 1.451 2.707 3.881 5.021 6.136 7.231

Tabela 4.7: -αi crítico absoluto para análise 2D

Assim como análise convectiva, tanto Rv quanto αR são, na maioria dos casos, funções

crescentes de Rh e Qv. A frequência crítica absoluta é, também, funcão crescente indepen-

dente de qual parâmetro aumenta. Pela tabela 4.7 pode-se analisar que a pertubação cresce

mais rapidamente no espaço com o aumento tanto de Rayleigh horizontal quanto de Péclet.

Comparando os resultados de ambas as análises, pode-se observar que os valores críticos

convectivos são iguais aos absolutos quando Rh = 0 e para quando Qv = 0 com Rh ≤ 40.

Isto significa que a natureza da transição da desestabilização é absoluta, não ocorrendo a

transição para convectivamente instável. Outra maneira de concluir isto é analisando a tabela

54

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0.3235 0.7697 1.416 2.225 3.110 4.0602 0 0.7847 1.946 3.937 7.607 75.81 120.13 0 1.555 4.238 11.61 53.76 92.41 140.44 0 2.876 9.609 33.90 66.60 108.8 160.15 0 5.056 18.27 43.82 79.54 125.0 179.66 0 8.150 25.39 53.73 92.48 141.1 199.07 0 11.66 32.28 63.62 105.4 157.1 218.38 0 15.27 39.15 73.54 118.4 173.2 237.6

Tabela 4.8: ωR crítico absoluto para análise 2D

4.4 e observando as situações em que a velocidade de grupo é igual a zero, já que esta é uma

condição necessária imposta para a iminência da instabilidade absoluta.

Uma análise mais cuidadosa informou que o motivo da divergência dos resultados para

altos valores de Rh é devido a uma competição entre modos que não foi notado por Brevdo

and Ruderman (2009b) que será mais discutida na seção 4.1.4.

4.1.3 Resultados da análise convectiva

Pela figura 4.2, pode-se perceber que para certos valores de Rh e Qv, há uma competi-

ção de modos para ver qual é o crítico convectivo. Esta observação também pode ser feita

analisando as grandes variações nos valores críticos com pequenas mudanças nos valores de

Rayleigh horizontal ou do Péclet presentes nas tabelas 4.1, 4.2, 4.3 e 4.4. Um exemplo pode

ser observado na mudança repentina da velocidade de grupo quando Rh = 40 e o valor de

Qv muda de 1 para 2. Devido a esta competição de modos, espera-se que em algum par de

valores (Rh, Qv), há dois pontos críticos simultâneos, e para obter esses valores, um monito-

ramento de cada ponto de mínimo da curva neutra de cada modo e, consequentemente, uma

interseção destes dados foram feitos. A tabela 4.9 e 4.10 mostram alguns desses casos de

ponto crítico duplo e a figura 4.3 mostra a curva marginal de alguns desses resultados.

Qv = 0 Rh Rv αR ωR ∂ω/∂α1º 49.000 154.19 2.105 0 02º 49.000 154.19 4.554 40.53 16.65

Tabela 4.9: Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D

55

Qv = 1 Rh Rv αR ωR ∂ω/∂α1º 42.259 125.70 2.430 2.692 6.3972º 42.259 125.70 4.252 27.62 14.71

Qv = 1.334 Rh Rv αR ωR ∂ω/∂α1º 40 117.92 2.619 4.094 8.1192º 40 117.92 4.077 22.85 13.98

Tabela 4.10: Pontos críticos duplos convectivos para análise 2D

Qv=0 e Rh=49.000

Qv=1 e Rh=42.259

Qv=1.334 e Rh=40

0 2 4 6 8 10αR0

50

100

150

200

Rv

Figura 4.3: Curvas neutras com valores críticos duplos

As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes.

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

q(z)

Figura 4.4: Autofunções Tn e wn para Rh = 10 e Qv = 2

56

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-2

-1

1

2

q(z)


-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-30

-20

-10

10

q(z)


57

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-6

-4

-2

2

q(z)


4.1.4 Resultados da análise absoluta

Na análise absoluta, cinco valores estavam consideravelmente diferente dos presentes na

literatura. Para saber quais são realmente ponto crítico, foi necessário plotar o gráfico da

colisão dos modos e ver que eles vêm de lado opostos do plano α imaginário, pois um dos

resultados pode ser apenas ponto de cela. Porém, se ambos os modos envolvidos na colisão

vierem de lados opostos, apenas a colisão que ocorrer com o menor Rv será o valor crítico.

As figuras a seguir ilustram os resultados dessa análise.

Em cada figura, os dois graficos superiores são referentes aos resultados deste trabalho

e os outro dois são os encontrados na literatura. Os gráficos à esquerda mostram a colisão

dos modos e os gráficos à direita mostram a parte real da velocidades de grupo ou a parte

imaginária quando a velocidade de grupo imaginária ou real é igual a zero. Essa situação

onde a parte imaginária ou real da velocidade de grupo é zero é mostrado pelos pontos pretos

presentes nos gráficos da colisão à esquerda. É interessante notar que quando impõe a parte

imaginária da velocidade de grupo igual a zero e calcula a parte real, encontra-se o ponto

de máximo ou de mínimo na curva dos modos, como mostra as quatro primeiras figuras, e

quando se impõe o oposto a parte real igual a zero, encontra-se um extremo à esquerda ou

58

2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46αR

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

1.02

1.04

-αIRv = 134.52

134.48 134.49 134.50 134.51 134.52Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Re[Vg]Rv = 134.52

5.15 5.20 5.25 5.30 5.35 5.40 5.45 5.50αR

3.4

3.5

3.6

3.7

-αIRv = 151.18

151.14 151.15 151.16 151.17 151.18Rv

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

Re[Vg]Rv = 151.18

Figura 4.8: Colisão dos modos para Rh = 40 e Qv = 2

2.00 2.05 2.10 2.15αR

-0.05

0.05

-αIRv = 159.12

159.07 159.08 159.09 159.10 159.11Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Re[Vg]Rv = 159.12

4.90 4.95 5.00 5.05 5.10 5.15αR

2.80

2.85

2.90

2.95

3.00

3.05

3.10-αI

Rv = 212.21

212.17 212.18 212.19 212.20 212.21Rv

-0.5

0.5

Re[Vg]Rv = 212.21


à direita, como mostra a figura 4.12. Nesta figura, não foi possível calcular a velocidade de

grupo real nem a imaginária para os modos azuis para a faixa de valores analisada.

59

2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14αR

0.35

0.40

0.45

0.50-αI

Rv = 165.60

165.56 165.57 165.58 165.59 165.60Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Re[Vg]Rv = 165.60

5.00 5.05 5.10 5.15 5.20 5.25 5.30αR

3.6

3.7

3.8

3.9

-αIRv = 197.20

197.15 197.16 197.17 197.18 197.19Rv

-0.5

0.5

Re[Vg]Rv = 197.20


1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86αR

-0.06

-0.04

-0.02

0.02

0.04

0.06

-αIRv = 214.26

214.22 214.23 214.24 214.25 214.26Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Re[Vg]Rv = 214.26

4.70 4.75 4.80 4.85 4.90 4.95αR

3.45

3.50

3.55

3.60

3.65

3.70

3.75

-αIRv = 259.79

259.75 259.76 259.77 259.78 259.79Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Re[Vg]Rv = 259.79


Em todos os cincos casos apresentados acima, tanto os resultados neste presente trabalho

quanto os da literatura são pontos de cela cujo os modos vêm de lados de opostos. Portanto,

60

1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86αR

0.36

0.38

0.40

0.42

0.44

0.46

-αIRv = 224.13

224.09 224.10 224.11 224.12 224.13Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Im[Vg]Rv = 224.13

4.8 4.9 5.0 5.1 5.2αR

4.5

4.6

4.7

4.8

4.9

5.0-αI

Rv = 242.26

242.21 242.22 242.23 242.24 242.25 242.26Rv

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5Im[Vg]

Rv = 242.26


os valores críticos são os que possuem o menor valor de Rayleigh vertical. Como, em todos

os casos, os resultados presentes na literatura tem um Rv maior, os novos resultados apresen-

tados no presente trabalho são realmente valores críticos para a iminência da instabilidade

absoluta.

Uma análise sobre o motivo dessa divergência em alguns resultados mostrou que, assim

como na análise convectiva, há uma competição de modos que não foram observados no

trabalho de Brevdo and Ruderman (2009b). Esta troca de modos críticos resulta num ponto

crítico duplo. As figuras abaixo mostram essa competição para dois valores de Rayleigh

horizontal.

Um monitoramento de colisão de cada modo foi feito como mostra as figuras para, então,

interpolar e encontrar o ponto onde elas se cruzam, que é onde ocorre o pinching point duplo.

As tabelas mostram, para valores de Péclet e Rayleigh horizontal, os valores críticos para Rv,

αR, αi e ωR.

Para valores de Rayleigh horizontal igual a 60, há uma competição entre três modos

diferentes. É importante observar que interseção da curva do modo 1 com a do modo 2 não

61

modo 1

modo 2

2 4 6 8Qv

100

200

300

400

500

600

Rv

Rh=30

Figura 4.13: Monitoramento da colisão para diferentes valores de Qv para Rh = 20

modo 1

modo 2

modo 3

2 4 6 8Qv

200

400

600

800

1000

1200

Rv

Rh=60

1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44

236.5

237.0

237.5

238.0

Figura 4.14: Monitoramento da colisão para diferentes modos para Rh = 60

modo Qv Rv αR -αR ωR

1 4.2638 94.169 3.9563 2.7038 12.13392 4.2638 94.169 3.9162 2.4623 12.1417

Tabela 4.11: Dados do pinching point duplo para Rh = 20

é um ponto crítico, pois para essa situação de Qv e Rh, o modo 3 tem um valor de Rv menor,

como é possível observar na figura 4.14. Portanto, apenas as interseções das curvas do modo

62

modo Qv Rv αR -αi ωR

1 3.2862 118.25 2.8243 1.9531 16.6832 3.2862 118.25 5.1512 3.2222 26.891



1 2.4673 150.22 2.4375 1.5050 16.8552 2.4673 150.22 5.4372 3.7460 47.176



1 1.8393 190.08 2.1059 1.0504 13.1982 1.8393 190.08 5.4973 4.3884 73.157


1 com o 3 e o modo 2 com o modo 3 são pinching point duplo.

par de modos Qv Rv αR -αi ωR

(1, 3) 1.3798 237.24 (1.8139, 5.0387) (0.65950, 5.3489) (8.3751, 106.28)(2, 3) 1.4178 236.78 (5.7240, 5.0229) (5.8932, 5.4334) (107.56, 107.23)


As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes.

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

q(z)


63

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-2.5

-2.0

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

q(z)


-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-20

-10

10

20

30

q(z)


64

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

q(z)


4.2 ANÁLISE 3D

Os resultados obtidos na análise convectiva tridimensional foram comparados com os

presentes no trabalho de Brevdo (2009). Os resultados da análise absoluta são novos, não

estando presentes na literatura.

4.2.1 Verificação da análise convectiva

Os resultados da análise convectiva 2D foram usados como estimativa inicial para a aná-

lise convectiva 3D. Primeiramente, foi utilizado essa estimativa para quando Rayleigh ho-

rizontal fosse igual a zero, pois a equação da dispersão bidimensional se assemelha à tri-

dimensional, mostradas nas equações (3.9) e (3.10). Devido a esta semelhança, os valores

críticos de Rv e ωR são iguais nas duas análises e os números de onda estão relacionados

da seguinte forma (α2R +β2

R)cr 3D = α2Rcr 2D

. Essa relação causa um problema quando utiliza

a metodologia de extrapolação, pois quando Rh = 0, os valores de αR e βR convergem para

uma das infinitas soluções, e quando muda Rh para um valor diferente de zero, já não há

mais infinitas soluções, e a convergência se torna muito lenta ou nem mesmo acontece. Por

65

causa disto, escolheu-se utilizar os resultados da análise convectiva 2D como estimativa para

Péclet igual a zero fixando um valor de Rayleigh horizontal.

Pela análise 3D ter um número de onda a mais do que a 2D, foi necessário avaliar a

influência desse novo número de onda. Para isso, o valor do número de onda crítico na aná-

lise convectiva 2D foi utilizado como estimativa de αR considerando βR = 0 para analisar

os modos longitudinais, depois como estimativa de βR considerando αR = 0 para os modos

transversais e finalmente considerando αR 6= 0 e βR 6= 0, porém menores que αRcr 2D para os

modos oblíquos. Com isso, observou-se que não há modos olíquos, tendo apenas os modos

longitudinais e transversais para Rh 6= 0, porém, todos os modos transversais possuem um

valor de Rayleigh vertical menor dentro do domínio de Rayleigh horizontal e Péclet anali-

sado, com isso, tais modos se tornam os críticos da iminência da instabilidade convectiva.

Esse resultado pode ser observado pela figura 4.19, onde as curvas azuis são referentes os

modos tranversais.

As quatros tabelas a seguir mostram os valores críticos para a iminência da instabilidade

convectiva 3D obtidos através da análise descrita acima. Os resultados presentes nestas

tabelas foram comparados com os apresentados no trabalho Brevdo (2009) com o mesmo

número de algarismos significativos. Os erros percentuais máximos para Rayleigh vertical,

número de onda, frequência e velocidade de grupo são, respectivamente, 0.0099%, 0.23%,

0% e 1.5%.

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 42.008 49.549 61.957 78.966 100.12 124.47

1 40.875 43.403 50.940 63.336 80.316 101.41 125.652 45.078 47.603 55.127 67.486 84.380 105.29 129.183 52.068 54.588 62.088 74.381 91.128 111.74 135.054 61.666 64.171 71.616 83.786 100.28 120.39 142.535 73.415 75.879 83.189 95.078 111.02 129.93 148.986 86.619 88.994 96.008 107.30 122.08 138.82 155.567 100.58 102.80 109.33 119.67 132.92 147.73 162.898 114.83 116.86 122.77 132.05 143.85 157.12 171.00

Tabela 4.16: Rv crítico convectivo para análise 3D

Pela tabela 4.16 é possível observar um efeito de estabilização com o aumento tanto

de Péclet quanto do Rayleigh horizontal, diferente da análise 2D que havia, em certos ca-

66

α=0 e β≠0

α≠0 e β=0

2 4 6 8Qv

20

40

60

80

100

120

Rv

Rh=10

α=0 e β≠0

α≠0 e β=0

2 4 6 8Qv

20

40

60

80

100

120

Rv

Rh=20

Figura 4.19: Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv

sos, efeito de estabilização e desestabilização. Comparando os valores críticos de Rayleigh

vertical em ambas análises convectiva, observa-se que os valores da análise 3D são sempre

menores que a 2D, em outras palavras, a natureza da desestabiliazção é tridimensional.

O número de onda transversal é uma função crescente de ambos os parâmetros, já o

longitudinal é sempre zero, como pode ser observado pela tabela 4.17. Isso implica que os

rolos de convecção são longitudinais. Diferente da análise convectiva 2D, onde a frequência

era diferente de zero para maioria dos casos, na mesma análise 3D, as frequências são todas

67

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 3.14) (0, 3.14) (0, 3.15) (0, 3.16) (0, 3.22) (0, 3.34) (0, 3.67)

1 (0, 3.18) (0, 3.18) (0, 3.18) (0, 3.20) (0, 3.25) (0, 3.38) (0, 3.71)2 (0, 3.29) (0, 3.29) (0, 3.30) (0, 3.31) (0, 3.37) (0, 3.50) (0, 3.83)3 (0, 3.49) (0, 3.49) (0, 3.50) (0, 3.52) (0, 3.58) (0, 3.73) (0, 4.11)4 (0, 3.79) (0, 3.79) (0, 3.81) (0, 3.85) (0, 3.95) (0, 4.18) (0, 5.11)5 (0, 4.20) (0, 4.21) (0, 4.25) (0, 4.35) (0, 4.58) (0, 5.22) (0, 6.68)6 (0, 4.73) (0, 4.76) (0, 4.85) (0, 5.06) (0, 5.52) (0, 6.40) (0, 7.46)7 (0, 5.38) (0, 5.43) (0, 5.58) (0, 5.89) (0, 6.45) (0, 7.24) (0, 8.10)8 (0, 6.09) (0, 6.15) (0, 6.34) (0, 6.70) (0, 7.25) (0, 7.95) (0, 8.70)

Tabela 4.17: (αR,βR) crítico convectivo para análise 3D

iguais a zero, significando que perturbação é estacionária no tempo, como mostra a tabela

4.18.

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 06 0 0 0 0 0 0 07 0 0 0 0 0 0 08 0 0 0 0 0 0 0


Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)

1 (0, 0) (0.0937, 0) (0.179, 0) (0.246, 0) (0.281, 0) (0.268, 0) (0.198, 0)2 (0, 0) (0.218, 0) (0.423, 0) (0.597, 0) (0.721, 0) (0.772, 0) (0.774, 0)3 (0, 0) (0.402, 0) (0.793, 0) (1.16, 0) (1.50, 0) (1.82, 0) (2.40, 0)4 (0, 0) (0.666, 0) (1.34, 0) (2.06, 0) (2.86, 0) (4.03, 0) (8.71, 0)5 (0, 0) (1.02, 0) (2.10, 0) (3.35, 0) (5.08, 0) (8.62, 0) (15.7, 0)6 (0, 0) (1.43, 0) (2.99, 0) (4.94, 0) (7.78, 0) (12.2, 0) (17.4, 0)7 (0, 0) (1.84, 0) (3.88, 0) (6.38, 0) (9.69, 0) (13.9, 0) (18.4, 0)8 (0, 0) (2.21, 0) (4.62, 0) (7.46, 0) (10.9, 0) (14.9, 0) (19.1, 0)

Tabela 4.19: (∂ω/∂α, ∂ω/∂β) crítico convectivo para análise 3D

Assim como feito na análise 2D para verificar se a natureza da instabilidaden é convec-

tiva ou absoluta, o mesmo pode ser feito na análise 3D, porém, ambas as velocidades de

grupos, ∂ω/∂α e ∂ω/∂β , tem que ser zero. Pela tabela 4.19, observa-se que a natureza da

68

instabilidade depende do produto Rh.Qv, ou seja, se esse produto for igual a zero, a natureza

da instabilidade é absoluta, senão, é convectiva.

As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes. A

parte imaginária de ambas autofunções são zero em todo domínio.

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.2

0.4

0.6

0.8

q(z)


-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.5

1.0

1.5

2.0

q(z)


69

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

2

4

6

8

q(z)


-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.1

0.2

0.3

0.4

q(z)


4.2.2 Resultados da análise absoluta

Assim como feito na análise 2D, os resultados convectivos foram usados como estimati-

vas inciais para a análise absoluta. Sabendo que os casos onde a velocidade de grupo é igual

a zero, a transição para instabilidade é absoluta, pela tabela 4.19, foi utilizado as estimativas

70

iniciais para quando Qv igual a zero e, em seguida, utilizado a metodologia de extrapolação.

Embora todos os modos críticos convectivos são transversais, a análise para verificar

quais modos longitudinais, transversais ou obliquos são os críticos também foi feita na aná-

lise absoluta. Foi observado que apenas quando Rh = 10 ocorre uma transição dos modos

críticos, ou seja, inicialmente os rolos de convecção eram longitudinais (αR = 0 e βR 6= 0)

e, a partir de Péclet igual a 4.8319, os rolos se tornam tranversasis (αR 6= 0 e βR = 0). A

figura 4.24 ilustra a varição de Rv com Qv para os dois modos para dois casos com diferentes

valores de Rh. A curva azul é referente ao modo transversal e a amarela, ao longitudinal.

α=0 e β≠0

α≠0 e β=0

2 4 6 8Qv

50

100

150

Rv

Rh=10

α=0 e β≠0

α≠0 e β=0

2 4 6 8Qv

50

100

150

200

250

300

Rv

Rh=30

Figura 4.24: Rv críticos convectivo 3D para diferentes valores de Qv

71

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 39.478 42.008 49.549 61.957 78.966 100.12 124.47

1 40.875 43.448 50.979 63.365 80.335 101.41 125.652 45.078 47.846 55.341 67.656 84.498 105.36 129.223 52.068 55.410 62.834 75.012 91.616 112.08 135.294 61.666 66.429 73.729 85.674 101.90 121.76 144.025 73.415 80.680 88.187 99.875 115.53 134.54 155.536 86.619 94.343 106.68 117.75 132.68 150.48 169.837 100.58 108.01 128.93 139.30 153.13 169.52 186.878 114.83 121.65 154.83 164.32 176.84 191.44 206.43

Tabela 4.20: Rv crítico absoluto para análise 3D

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 3.14) (0, 3.14) (0, 3.15) (0, 3.16) (0, 3.22) (0, 3.34) (0, 3.67)

1 (0, 3.18) (0, 3.20) (0, 3.18) (0, 3.19) (0, 3.24) (0, 3.37) (0, 3.70)2 (0, 3.29) (0, 3.41) (0, 3.28) (0, 3.28) (0, 3.33) (0, 3.46) (0, 3.79)3 (0, 3.49) (0, 3.84) (0, 3.47) (0, 3.42) (0, 3.46) (0, 3.60) (0, 3.93)4 (0, 3.79) (0, 4.57) (0, 3.76) (0, 3.62) (0, 3.64) (0, 3.78) (0, 4.12)5 (0, 4.20) (4.26, 0) (0, 4.19) (0, 3.90) (0, 3.88) (0, 4.00) (0, 4.35)6 (0, 4.73) (4.98, 0) (0, 4.79) (0, 4.28) (0, 4.17) (0, 4.28) (0, 4.64)7 (0, 5.38) (5.75, 0) (0, 5.56) (0, 4.76) (0, 4.55) (0, 4.63) (0, 4.99)8 (0, 6.09) (6.50, 0) (0, 6.53) (0, 5.37) (0, 5.03) (0, 5.06) (0, 5.43)

Tabela 4.21: (αR, βR) crítico absoluto para análise 3D

As tabelas a seguir mostram os resultados obtidos para Rayleigh vertical crítico, números

de onda, taxa de crescimento espacial e frequência. Pela tabela 4.20, observa-se que com o

aumento dos parâmetros Qv e Rh, é preciso um gradiente de temperatura vertical maior para

ocorrer a instabilidade absoluta. Já pela tabela 4.21, observa-se que para Rh 6= 10, o número

de onda longitudinal é igual a zero, e para Rh = 10, devido a competição de modos, há tanto

modos críticos tranverais quanto longitudinais.

Analisando a tabela 4.22, a taxa de crescimento espacial na direção x para Rh > 10 tende

a diminuir com o aumento do Rayleigh horizontal e a aumentar com o aumennto de Péclet.

Quando Rh = 10, há tanto um aumento quanto uma diminuição da taxa de crescimento. Já

a perturbação na direção y não cresce espacialmente independente do aumento de qualquer

parâmetro. E quando o produto Rh.Qv é nulo, não há crescimento espacial em nenhuma

direção.

Devido a competição entre os modos longitudinais e transversais, a frequência se torna

diferente de zero quando o modo longitudinal é o crítico. É interessante observar que quando

72

os valores críticos são dos modos longitudinais, esses valores são os mesmo encontrados

na análise absoluta 2D. Isto ocorre porque tanto a parte real quanto a parte imaginária do

número de onda na direção y é igual a zero, transformando a equação da dispersão 3D,

equação (2.17), na equação da dispersão 2D, equação (2.19).

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0)

1 (0, 0) (0.473, 0) (0.213, 0) (0.118, 0) (0.0657, 0) (0.0327, 0) (0.0121, 0)2 (0, 0) (1.07, 0) (0.487, 0) (0.276, 0) (0.161, 0) (0.0889, 0) (0.0432, 0)3 (0, 0) (1.88, 0) (0.870, 0) (0.507, 0) (0.311, 0) (0.188, 0) (0.110, 0)4 (0, 0) (2.97, 0) (1.39, 0) (0.830, 0) (0.531, 0) (0.345, 0) (0.226, 0)5 (0, 0) (0.958, 0) (2.06, 0) (1.25, 0) (0.830, 0) (0.567, 0) (0.399, 0)6 (0, 0) (1.23, 0) (2.87, 0) (1.78, 0) (1.21, 0) (0.859, 0) (0.637, 0)7 (0, 0) (1.37, 0) (3.83, 0) (2.41, 0) (1.68, 0) (1.23, 0) (0.948, 0)8 (0, 0) (1.45, 0) (4.94, 0) (3.15, 0) (2.23, 0) (1.68, 0) (1.34, 0)

Tabela 4.22: (-αi, -βi) crítico absoluto para análise 3D

Rh=0 10 20 30 40 50 60Qv=0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 03 0 0 0 0 0 0 04 0 0 0 0 0 0 05 0 5.06 0 0 0 0 06 0 8.15 0 0 0 0 07 0 11.7 0 0 0 0 08 0 15.3 0 0 0 0 0


Comparando os resultados da análise absoluta 2D e 3D, é possível observar que a maioria

dos resultados são diferentes. Os valores críticos da análise tridimensional são menores que

da bidimensional, por isso, uma análise completa absoluta 3D é muito importante, pois a

análise 2D não é capaz de prever corretamente o início da instabilidade absoluta. Porém, esta

análise é praticamente impossível de ser feita sem usar o método utilizado neste trabalho.

O método do tiro garante que os resultados encontrados são apenas pontos de cela, não

necessariamente pinching point. Para mostrar que os resultados obtidos são os valores críti-

cos, 5 casos aleatórios foram escolhidos para verificar a colisão dos modos para aumentar a

confiabilidade dos resultados. As figuras 4.25, 4.26, 4.27, 4.28 e 4.29 mostram a verificação

para estes cinco casos.

73

Na análise 2D, os modos tinham que vir de lados opostos do plano de número de onda

imaginário. Já na análise 3D, os modos de pelo menos dos planos, ou α ou β, tem que cruzar

o plano imaginário, como provado por Brevdo (1991).

-0.2 -0.1 0.1 0.2αR

2.9

3.0

3.1

-αI

66.38 66.39 66.40 66.41 66.42 66.43Rv

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Im[Vg]

4.50 4.55 4.60 4.65 4.70βR

-0.15

-0.10

-0.05

0.05

0.10

0.15

-βI

66.38 66.39 66.40 66.41 66.42 66.43Rv

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Re[Vg]


74

-0.05 0.05αR

1.15

1.20

1.25

1.30

-αI

169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv

-0.5

0.5

Re[Vg]

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9βR

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

-βI

169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Im[Vg]


-0.05 0.05αR

1.15

1.20

1.25

1.30

-αI

169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv

-0.5

0.5

Re[Vg]

4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9βR

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

-βI

169.48 169.49 169.50 169.51 169.52Rv

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Im[Vg]


75

-0.06 -0.04 -0.02 0.02 0.04 0.06αR

0.35

0.40

0.45

-αI

155.48 155.49 155.50 155.51 155.52Rv

-1.0

-0.5

0.5

1.0Re[Vg]

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5βR

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

-βI

155.48 155.49 155.50 155.51 155.52Rv

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Re[Vg]


-0.15 -0.10 -0.05 0.05 0.10 0.15αR

1.65

1.70

1.75

1.80

1.85

1.90

1.95

-αI

117.71 117.72 117.73 117.74 117.75Rv

-0.4

-0.2

0.2

0.4

Re[Vg]

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5βR

-0.3

-0.2

-0.1

0.1

0.2

0.3

-βI

117.71 117.72 117.73 117.74 117.75Rv

-0.2

-0.1

0.1

0.2

Re[Vg]


76

As figuras abaixo mostram as autofunções Tn e wn para 4 casos críticos diferentes. As-

sim como na análise convectiva 3D, a parte imaginária de ambas autofunções também são

zero em todo domínio.

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.2

0.4

0.6

0.8

q(z)


-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

q(z)


77

-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

q(z)


-0.4 -0.2 0.2 0.4z

0.1

0.2

0.3

0.4

q(z)


78

5 CONCLUSÃO

Neste trabalho, a análise da iminência da instabilidade convectiva e absoluta bi e tridi-

mensional foi feita num modelo de um escoamento em um meio poroso com gradiente de

temperatura inclinado e escoamento horizontal e vertical. O início da convecção deste pro-

blema foi estudada anteriormente por Nield (1998) e, posteriormente, sendo extendida por

Brevdo and Ruderman (2009a), Brevdo and Ruderman (2009b) e Brevdo (2009). Os resul-

tados presentes nestes trabalhos foram usados para a verificação da metologia e do método

utilizado para algumas análises para depois, então, extender trabalhos anteriores.

Os resultados das análises informam que a transição de estável para instável, nas situa-

ções de Rayleigh horizontal e Péclet analisadas, são de carácter 3D já que os valores críticos

de Rayleigh vertical são maiores na análise 2D. Devido a isto, os rolos de convecção no

início da instabilidade acabam sendo longitudinais, ou seja, o número de onda na direção

longitudinal e transversão são, respectivamente, igual e diferente de zero. A frequência do

pacote de onda é zero fazendo com que a pertubação não oscile no tempo.

Analisando as tabelas com os valores de Rv crítico, é possível observar que o aumento

de Péclet ou do Rayleigh horizontal causa um efeito de estabilização no sistema, em outras

palavras, é necessário um gradiente de temperatura vertical maior para o sistema ficar instá-

vel. A natureza da transição para a instabilidade depende se o produto Rh.Qv é nulo ou não.

Se Rh.Qv = 0, a desestabilização é absolutamente instável, senão, é convectivamente, como

pode ser observado pela tabela 4.19, onde amba velocidades de grupo são zero.

Focando na metodologia e no método númerico, pode-se concluir que os utilizados no

presente trabalho possuem alta precisão e acurácia. Isso pode ser comprovado através das

verificações feitas e das correções dos resultados presentes na literatura. Tal método mostrou

muito útil nas análises absolutas, principalmente, nos problemas tridimensionais pelo fato

da baixa complexidade em achar pontos de celas, pois descobrir os valores críticos apenas

79

fazendo a verificação da colisão dos modos é muito díficil na análise 2D e a quase impossível

de se fazer na análise tridimensional.

Pelo fato de todos os cinco casos escolhidos para a verificação da colisão na análise abso-

luta 3D serem realmente pinching point asseguram uma grande confiabilidade nos resultados

presentes nas tabelas 4.20, 4.21, 4.22 e 4.23. Isto reforça que a metodologia utilizada é uma

ótima alternativa para encontrar valores críticos absolutos tridimensionais.

80

6 TRABALHOS FUTUROS

Dando seguimento a análise de estabilidade do problema físico analisado, os trabalhos

futuros são verificar graficamente os pinching points duplos da análise absoluta bidimensio-

nal, refazer as análises para a extensão deste problema incluindo um gradiente horizontal ou

vertical de concentração de soluto e fazer uma análise do crescimento transiente da pertur-

bação para ambos os problemas com e sem gradiente de concentração. Este último trabalho

futuro tem uma grande importância pelo fato de que se a energia da perturbação nos instan-

tes iniciais for alta demais, os efeitos não-lineares estarão presentes e, consequentemente,

a análise de estabilidade linear feita durante todo esse trabalho não será útil para estimar o

iminência do surgimento dos rolos de convecção. Outros trabalhos futuros são fazer análises

tridimensionais absolutas de problemas da literatura usando o método discutido onde esta

análise não foi possível devido a ausência de um método de baixa complexidade capaz de

fazê-la.

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