Fundac~ao Centro de Cie^ncias e Educac~ao Superior a Dista^ncia do Estado do Rio de Janeiro

Centro de Educac~ao Superior a Dista^ncia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito AP1 { Metodos Determinsticos II

Quest~ao 1: (2,0pts) Seja f : R f2g ! R dada pela express~ao f(x) = x2x+2

. Encontre umnumero real x tal que f(f(x)) = 1.Soluc~ao: (vale 2,0pt) Para determinarmos o valor de x tal que f(f(x)) = 1, precisamosdeterminar

f(f(x)) =x 2x+ 2

=x2x+2

2x2x+2

+ 2= x+ 6

3x+ 2:

Ent~ao,

x+ 63x+ 2

= 1() x+ 6 = 3x+ 2() 4 = 2x() x = 2:

Quest~ao 2: (2,5pts) Considere as func~oes f e g denidas por f(x) = x3 e g(x) =

x2 se x 0x se x < 0

.

Determine:

a) Determine (g f) (5);b) A lei de denic~ao de g f .Soluc~ao: a) (vale 1,0pt)

(g f) (5) = g(f(5)) = g(2) = 4:b) (vale 1,5pt) Precisamos determinar os valores de x tais que x 3 0 e quando x 3 < 0.

x 3 0() x 3 e x 3 < 0() x < 3:Logo,

g(x) =

(x 3)2 se x 3x 3 se x < 3

Quest~ao 3: (3,0pts)

a) Considere g(x) = logx2(x2 7x+ 12). Determine o domnio da func~ao g(x).

b) Sabendo que logx a = 4, logx b = 2 e logx c = 1, calcule logx

a3

b2c2

.

Soluc~ao: a) ( Vale 1,5pt) Precisamos que x2 > 0 e que x2 6= 1, e tambem, que x27x+12 >0. A primeira parte devemos ter que x > 2 e x 6= 2. A outra condic~ao, segue da observac~ao:x2 7x + 12 = (x 3)(x 4) > 0, desde que, x < 3 ou x > 4. Todas essas condic~oes juntasobtemos: fx 2 R : 2 < x < 3 e x > 4g.b) (vale 1,5pt)

logx

a3

b2c2

= logx(a

3) logx(b2c2)= logx(a

3) (logx(b2) + logx(c2))= 3 logx(a) (2 logx(b) + 2 logx(c))3 logx(a) 2(logx(b) + logx(c)) = 3 4 2(2 + 1) = 6

Quest~ao 4 (2,5pts) Calcule os seguintes limites:

Metodos Determinsticos 2 AP1 2

a) limx!1

x 1px 1

b) Determine o valor de a tal que limx!2

x2 + ax2 3x 2ax+ 2x2 4 =

3

4

Soluc~ao: a) (Vale 1,0pt)

limx!1

x 1px 1 = limx!1

x 1px 1

px+ 1px+ 1

= lim

x!1(x 1)(px+ 1)

x 1 = 2:

b) (Vale 1,5pt) Observe que se avaliarmos os polino^mios x3 5x2 + 8x 4 e x4 5x 6 emx = 2, ambos se anulam. Logo x 2 divide a ambos. Dividindo obtemos: x3 5x2 + 8x 4 =(x 2)(x2 3x+ 2) e x4 5x 6 = (x 2)(x3 + 2x2 + 4x+ 3). Logo,

limx!2

x3 5x2 + 8x 4x4 5x 6 = limx!2

(x 2)(x2 3x+ 2)(x 2)(x3 + 2x2 + 4x+ 3)

= limx!2

x2 3x+ 2x3 + 2x2 + 4x+ 3

=0

27= 0:

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