TRANSFORMAÇÕES PONTUAIS – HOMOTETIA

O ponto geométrico pode se situar no plano de várias formas. Neste ano, vamos estudar as modificações de posição de pontos no plano de acordo com determinadas características que as identificam. São elas: a reflexão ou simetria, a translação, a rotação, a homotetia e a roto-homotetia. Vamos começar nosso estudo pela Homotetia.

1. O que Homotetia.

É a transformação que determina figuras ampliadas ou reduzidas a partir de uma figura original, em relação a um ponto denominado centro de homotetia ou pólo, segundo uma determinada razão (número que amplia ou reduz a figura original).

2. Elementos da Homotetia. São eles: o centro de homotetia (O), figura original (ABCDE), razão de homotetia (k) e a figura homotética (A´B´C´D´E´) que pode ser ampliada ou reduzida em relação à figura original.

CAp -UERJ 7º ano

Ensino Fundamental

Transformações Pontuais:

Homotetia.

Data: /06/ 13

Aluno: No Turma: Apostila nº 1

Departamento: DMD Disciplina: DESENHO Prof.a : Soraya Izar Coordenador: Esequiel Rodrigues

A homotetia preserva os ângulos, a razão entre os segmentos e o paralelismo. O termo é derivado do grego como composto de homo (similar) e tetia (posição).

3. Razão de Homotetia. Em matemática, a razão ou o rácio é a relação entre duas grandezas de um mesmo

tipo (ou seja, objetos, pessoas, estudantes, colheradas, unidades de qualquer dimensão idêntica) e algumas vezes representada aritmeticamente como o resultado da divisão (quociente) das duas quantidades, indicando explicitamente quantas vezes o primeiro número contém o segundo (não necessariamente um número inteiro).

A razão de homotetia é determinada pela divisão entre a distância do centro de homotetia aos vértices da figura original e a distância do centro de homotetia aos vértices correspondentes da figura homotética ou pela divisão entre as medidas dos lados da figura original e dos lados correspondentes na figura homotética. É o número que amplia ou reduz a figura original.

4. Vértices e Segmentos Correspondentes ou Homólogos na Homotetia.

Vértices correspondentes são aqueles que definem as retas que passam pelo centro de homotetia. São os vértices dos ângulos ordenadamente congruentes. Na figura acima, A´é homólogo de A, B´ é homólogo de B e C´ é homólogo de C.

Os segmentos correspondentes ou homólogos são paralelos e opostos aos ângulos ordenadamente congruentes.

5. Posições do centro de Homotetia em relação à figura original e à figura homotética.

O centro de homotetia pode ficar situado no exterior, interior, em um vértice ou ponto de um lado da figura original, conforme ilustrado nas figuras abaixo.

k = segmento correspondente na figura homotética segmento figura original

O

A

A´

B´

B C´

C´

∆A´B´C´ transformado do ∆ABC por homotetia de centro O e razão k. Neste caso, k é maior que um, pois a figura homotética é maior que a original.

6. Homotetia direta, Homotetia inversa e Homotetia de Ampliação, Homotetia de Redução.

Na Homotetia direta, a figura original e a figura homotética ficam posicionadas do mesmo

lado em relação ao centro de homotetia. A razão de homotetia é positiva. Na Homotetia inversa, a figura original e a figura homotética ficam posicionadas de lados

opostos em relação ao centro de homotetia. A razão de homotetia é negativa.

7. Aplicações da Homotetia. É a transformação que se relaciona com conteúdos como semelhança, escalas gráficas,

projeções cônicas, óptica geométrica, que serão ministrados no ensino médio. Também se relaciona com gestos da atual realidade “Touch Screen”, como ampliar

imagens proporcionalmente por sua diagonal, na tela de um celular ou manipulando imagens em um editor de imagens bem elementar (Paint).

Imagens do vídeo “O futuro é Touch Screen” disponível em http://www.youtube.com/watch?v=nRG1wikEHEo

Quadrado B´C´D´E´ transformado do quadrado ABCD por homotetia direta de centro A e razão de homotetia menor que um (k<1) – redução/direta.

Quadrado B´C´D´E´ transformado do quadrado ABCD por homotetia inversa de centro A e razão de homotetia menor que menos um (k<-1) – redução/inversa.

B´

C´

D´

E´

B´

C´

D´

E´

Quadrado B´C´D´E´ transformado do quadrado ABCD por homotetia direta de centro A e razão de homotetia maior que um (k>1) – ampliação/direta.

D´

E´

B´

C´

E´

B´

C´

D´

Quadrado B´C´D´E´ transformado do quadrado ABCD por homotetia inversa de centro A e razão de homotetia maior que menos um (k>-1) - ampliação/inversa.

D´

http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/homotetia/homotetia01.jpg,