lgebra Linear Vetores em Rn 81 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE LGEBRA LINEAR CCCAAAPPPTTTUUULLLOOO IIIIII V VE ET TO OR RE ES S E EM M R RN N

estaunidade,vamosabordaralgebradosvetoresnoenfoquealgbricoe geomtrico.ComoafirmaWinterle1(2000),agrandevantagemdaabordagem geomtrica possibilitar a visualizao dos conceitos, o que favorece seu entendimento. Essencialmente,todaageometriapodeserdesenvolvidaemlinguagemalgbrica.Como afirmamKaplan2eLewis(1975,p.57)emvezdecombinarpontoseretasnamaneira geomtricausual,nsrealizamosoperaesalgbricasemcertosobjetosdenominados vetores.Asleisalgbricasqueosorientamsosimilaressaplicadasaosnmeros.Por exemplo,seuevsovetoresentou+v=v+u.Deformasimilar,osteoremasda geometria, tornam-se teoremas da lgebra dos vetores com nfase nas equaes, identidades e desigualdades ao invs de nfase nos conceitos geomtricos como congruncia, semelhana e interseo de linhas.Os temas abordados neste captulo so: 1 Introduo: Retas e Segmentos Orientados ................................................................. 82 2 Vetores: Definies................................................................................................... 84 2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais ........................................................................... 84 2.2 Proposies: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres ................................ 86 Lista 1 de Atividades ............................................................................................. 88 3 Vetores no Plano e Vetores no Espao ......................................................................... 88 3.1 Expresso analtica de um vetor no plano (R2)........................................................ 88 3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre............................................................ 89 3.3 Expresso analtica de um vetor no espao (R3) ..................................................... 90 Lista 2 de Atividades ............................................................................................. 93 4 Operaes com Vetores ............................................................................................. 93 4.1 Adio e Subtrao de Vetores ............................................................................. 93 4.2 Multiplicao de escalar por um vetor.................................................................... 94 4.3 Anlise Geomtrica da Adio de Vetores e Multiplicao por Escalar ........................ 95 4.4 Aplicaes de Adio de Vetores e Multiplicao por Escalar ....................................101 4.4.1: Combinao Linear de vetores .....................................................................101 4.4.2: Dependncia e Independncia Linear de Vetores ............................................102 4.4.3: Bases do Plano de do Espao .......................................................................103 Lista 3 de Atividades ............................................................................................104 5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto..................................................106 5.1 Produto Interno (ou escalar) ...............................................................................106 5.2 Produto Vetorial ................................................................................................107 5.2.1 Propriedades...............................................................................................108 5.3 Produto Misto....................................................................................................108 5.3.1 Propriedades...............................................................................................109 5.4 Aplicaes de Produto de Vetores: Interpretao Geomtrica ..................................110 5.4.1 Produto Vetorial e rea de Paralelogramo.......................................................110 5.4.2 Produto Misto e Volume do Paraleleppedo......................................................111 5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares ...............................................................112 6 Mdulo ou Norma de um Vetor ..................................................................................113 6.1 Definio de mdulo do vetor:.............................................................................113 6.2 Proposies: .....................................................................................................114

1 WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analtica. SP: Makron Books, 2000. 2 KAPLAN, Wilfred; LEWIS, Donald J. Clculo e lgebra Linear. RJ: LTC, 1975. N lgebra Linear Vetores em Rn 82 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 6.3 Vetor Unitrio e Versor de um Vetor: ...................................................................115 6.4 Mdulo de Vetor Livre ........................................................................................116 Lista 4 de Atividades ............................................................................................118 7 ngulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade.........................................................119 7.1 ngulo de dois vetores:......................................................................................119 7.2 Decomposio de um vetor v = P(x,y) .................................................................122 7.3 ngulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor .............................................122 7.4 Paralelismo de dois vetores.................................................................................123 7.5 Ortogonalidade de dois vetores ...........................................................................125 Lista 5 de Atividades ............................................................................................125 Atividade Complementar.......................................................................................126 Bibliografia ................................................................................................................127 1 Introduo: Retas e Segmentos Orientadosaracompreenderoconceitodevetoresvamosreveralgunsconceitosbsicosdereta orientada e segmentos: 1.1 Reta Orientada: Eixo Uma reta r orientada quando fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta. r O sentido oposto negativo. Uma reta orientada denominada de eixo. 1.2 Segmento Orientado Umsegmentoorientadodeterminadoporumparordenadodepontos.Oprimeiro chamado origem do segmento, o segundo chamado extremidade. O segmento orientado deorigemAeextremidadeBrepresentadoporABe,geometricamente,indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento. 1.3 Medida de um Segmento Fixadaumaunidadedecomprimento,cadasegmentoorientadopode-seassociarumnmeroreal,nonegativo,queamedidadosegmentoemrelaoaquelaunidade.A medida do segmento orientado o seu comprimento ou seu mdulo. O comprimento do segmento AB indicado porAB .Assim, o comprimento do segmento AB representado na figura abaixo de 5 unidades de comprimento (u.c.): AB = 5 u.c. Observe que: Os segmentos podem ser tambm, nulos ou opostos: Segmento Nulo: Quando a extremidade do segmento coincide com a origem. Os segmentos nulos tm comprimento igual a zero. P lgebra Linear Vetores em Rn 83 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Segmentos Opostos: Se AB um segmento orientado, o segmento orientado BA oposto de AB. Note que, a medida dos segmentos opostos a mesma,AB=BA. 1.4 Direo e Sentido do segmento orientado DoissegmentosorientadosnonulosABeCDtmamesmadireose,asretas suportes desses segmentos, so paralelas ou coincidentes. Retas paralelas: segmentos com mesma direo e sentido Retas paralelas: segmentos com mesma direo e sentido contrrio Retas coincidentes: segmentos com mesma direo e sentido Retas coincidentes: segmentos com mesma direo e sentido contrrio Observaes: Podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados somente quando eles tm mesma direo.Dois segmentos orientados opostos tm sentidos contrrios.

1.5 Segmentos Eqipolentes Dois segmentos orientados AB e CD soeqipolentes quando tm a mesma direo, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. SeossegmentosorientadosABeCDnopertencemmesmareta.ParaqueABseja eqipolenteaCDnecessrioqueAB//CD(//significaparalelos)eAC//BD,isto, ABCD deve ser um paralelogramo.

Observaes:Dois segmentos nulos so sempre eqipolentes.A eqipolncia dos segmentos AB e CD representada por AB ~ CD.

Propriedades da Eqipolncia (1)AB ~ AB (reflexiva).(2)Se AB ~ CD, CD ~ AB (simtrica).(3)Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva).(4)DadoosegmentoorientadoABeumpontoC,existeumnicopontoDtalque AB~CD. lgebra Linear Vetores em Rn 84 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Fig.12 Vetores: Definies 2.1 Grandezas Escalares e Vetoriais xistem dois tipos de grandezas: as escalares e as vetoriais. Asgrandezasescalaressodeterminadasporumvalor(nmero)eumaunidade. Exemplo:comprimento,rea,volume,etc.Quandoafirmamosqueaalturadeum quadro de 1,5 m ou que o volume da caixa de 20 dm3 estamos determinando a grandeza escalar.Emvriasaplicaesfsicas,porexemplo,existemdeterminadasgrandezas,como temperaturaepresso,quepossuemsomentemagnitudeepodemserrepresentadaspor nmeros reais (grandezas escalares). Entretanto, existem outras grandezas, como fora, velocidade, acelerao, deslocamento eimpulsoque,paraseremcompletamenteidentificadas,precisam,almdamagnitude (mdulo), da direo e do sentido.Estes so exemplos grandezas vetoriais ou vetores. Definio 1:Vetores so grandezas que, para serem identificadas, precisam da magnitude, da direo e do sentido. Assim, um vetor tem trs caractersticas: mdulo (ou magnitude), direo e sentido. A direo dada pela reta que contm o segmento. O sentido dado pelo sentido do movimento do segmento. Amagnitude(oumdulo)ocomprimentodosegmento.Indicamosporduas barras verticais: |v| (L-se: mdulo de v) A representao geomtrica de um vetor um segmento orientado de reta: AB, CD, ... Definio2:Vetorumconjuntodetodosossegmentosorientados eqipolentes3aumsegmentoABouseja,commesmadireo,comprimentoe sentido. Notequenesteconceito,desconsideramosaidiadegrandezas vetoriaiseovetorcompreendidoapartirdeumsegmento orientado4.Onde,doisoumaissegmentosorientadosdemesmo comprimento,mesmadireo(soparalelosoucolineares)emesmo sentido so representantes de um mesmo vetor v. (Fig.1) NaFigura2,osvetoresuevsoiguais(eqipolentes)e representamummesmovetor.Idemparaosvetoresxew.Omesmo no ocorre com os vetores s, t e m, n. Todos tm o mesmo comprimento, mas no tem a mesma direo e sentido.

3 Equivalentes. 4 Um segmento est orientado quando nele se escolhe um sentido de percurso, considerado positivo. E lgebra Linear Vetores em Rn 85 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Fig.2 Note que: Os vetores u e v tm a mesma direo e o mesmo sentido.Os vetores w e x tm a mesma direo e o mesmo sentido. Os vetores s e t tm a mesma direo e sentidos contrrios.Os vetores m e n tm diferente direo.Observe que, vetores paralelos tm a mesma direo e que cada direo pode ser associada a dois sentidos: sentidos iguais ou sentidos contrrios. Definio 3:Um vetor um conjunto de nmeros que pode ser escrito como v = (v1, v2,..., vn). O vetor v um vetor de dimenso n, ou seja, tm n elementos (escalares). Esta lista ordenada de n escalares pode ser representada na forma de linha v = (v1, v2, v3,.... vn) ou em forma de coluna (matriz): v =(((((

nvvv...21

Otermoescalarusadocomosignificadodeumnmeroreal.Osescalaresv1,v2, v3,..., vn so chamados de coordenadas ou componentes do vetor v.Vetoressogeralmenterepresentadosporletrasminsculasemnegrito(v),eseus elementos so geralmente representados em letras minsculas com um subscrito (vi). A letra usada para os elementos normalmente a mesma letra utilizada para o vetor. O subscritorepresentaondicedoelementodovetor.Porexemplo,v2osegundo elemento do vetor. A notao vi indica o i-simo elemento do vetor. Note que: Podemos representar um vetor de duas formas: (1) Geometricamente: vetor um segmento de reta orientada.

(2) Algebricamente: vetor um par ordenado (plano) ou uma terna ordenada (espao tridimensional) ou ainda uma n-pla ordenada (espao n-dimensional) de nmeros reais. 22 1) , ( IR x x v =33 2 1) , , ( IR x x x v =44 3 2 1) , , , ( IR x x x x v =..................................... nnIR x x x x x v = ) ,... , , , (4 3 2 1 Somente os vetores em R2 e R3 podem ser representados geometricamente.Emgeral,consideramosapenasossegmentosorientadoscomopontoinicialna origem (0,0) ou (0,0,0), denominados vetores do plano e vetores no espao.importantenotarqueosvetoresnoplanoenoespaosodeterminados exclusivamente pelo seu ponto final, pois o ponto inicial fixo na origem. B A Indica-se por v=AB lgebra Linear Vetores em Rn 86 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Exemplo 1: Uma fbrica produz 4 tipos diferentes de artigos. Numa semana so vendidas 300 unidades do artigo A, 400 unidades do artigo B, 200 unidades do artigo C e 250 unidades do artigo D. Os preos de venda por unidade de artigo so, respectivamente, R$ 25,00, R$ 32,00, R$ 12,00 e R$ 41,00.Aquantidadetotaldosartigos,naordemA,B,CeD,vendidosnumasemana,podeser representadapelovetorq=(300,400,200,250)e,ovetorp=(25,32,12,41)indicao preo (em reais, R$) de venda por unidade de artigos, na ordem dada. Exemplo2:Ovetoru=(2,3,4)temdimenso3,entodizemosquevR3;Ovetorv= (2,3,4,-3,5) tem dimenso 5, ento dizemos que v R5; Os vetores w = ( 1, 3,3 , -4) e z = ( -3, 5, -1, 0) tm quatro componentes e portanto so vetores do R4. 2.2 Proposies: Vetores opostos, nulos, iguais, colineares e livres Proposio1:Dadoumvetorv=AB,ovetorBAo oposto deAB e indicamos por (- AB) ou (-v). Todo vetor v no nulo, tem um vetor oposto (-v)=(-v1,-v2) com mesmo mdulo e mesma direo, porm com sentido contrrio.Exemplo: Se u=(2,-4), ento u=(-2,4) Proposio2:Setodasascomponentesdovetorsonulas,ovetorditonulo5

ou vetor zeroindicado por 0 = (0,0,0,...,0). Proposio3:Doisoumaissegmentosorientados representamomesmovetor(vetoresiguais)setmomesmo comprimento, mesma direo e mesmo sentido, independente de ter ou no, origens em pontos diferentes.Porexemplo,numparalelogramoABCD,ossegmentosorientadosABeCDdeterminamo mesmo vetor v, onde vCD AB = = O ponto A denominado ponto inicial ou origem do vetor veopontoBdenominadopontofinalouextremidade dovetor.IdemparaospontosCeD.Assim,cadaponto doespaopodeserconsideradocomoorigemdeum segmento orientado que representante do vetor v.Ovetorvchamadovetorlivreporqueosegmentoqueorepresentapodetersuaorigem colocada em qualquer ponto do plano. Algebricamente,doisvetoressoiguais(oueqipolentes),setodasascomponentesdo vetor so iguais. Assim, u = (x1, y1) e v = (x2, y2) so iguais se, e somente se x1 = x2 e y1 = y2 e escreve-se u=v. Exemplo 1: Os vetores u= (3,5) e v = (a, 5) so iguais se a = 3. Exemplo 2: Determinar o valor de x e y para u=v, com u=(x+1, 4) e v=(5, 3y-8).Resoluo: Devemos fazer x+1 = 5 e 3y 8 = 4 e obtemos x = 4 e y = 4.

5Vetornulo:Ossegmentosnulos,porseremeqipolentesentresi,determinamumnicovetor,chamadovetor nuloouvetorzero,equeindicadopor0ouv=0=(0,0,0,...,0).ovetorcujaorigemcoincidecoma extremidade,notemdireoesentidodefinidos.SegundoWinterle(2000)ovetornuloconsideradoparaleloa qualquer vetor. Em IR2 e IR3, o vetor nulo indica a origem do sistema plano e espacial, respectivamente.lgebra Linear Vetores em Rn 87 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira AB C FE HG D Proposio4:Doisvetores u e v comamesmadireosochamadosde vetorescolinearesouparalelos.Assim, u e v socolinearessetiveremrepresentantes AB eCD pertencentes a uma mesma reta ou em retas paralelas. Proposio5:Doisvetores u e v oumais,sovetorescoplanaresse pertencerem a um mesmo plano .

Fig.(a): v ,ue w so coplanares

Fig.(b): v ,ue w so coplanares Fig.(c):v, uew no so coplanares Exemplo6 Observe o paraleleppedo retngulo: Podemos afirmar que: (a)BF DH =(b)FG AB,eEGso coplanares (c)AEeBFso colineares (d)AB ortogonal ao plano BCG (e)DC paralelo ao plano HEF

WINTERLE, 2000, p.6 Importante: dois vetores ve uquaisquer so sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espao e, com origem nele, imaginar os dois representantes de ve upertencendo a um plano que passa por esse ponto. Trs vetores podero ser coplanares ou no (Fig c). uv wwuv vwulgebra Linear Vetores em Rn 88 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira AAAgggooorrraaa,,,ttteeennnttteee vvvoooccc!!! Resolva as atividades Lista 1 de Atividades7

1.Afiguraabaixoconstitudadenovequadradoscongruentes(domesmotamanho). Verifique se as igualdades so verdadeiras. Analise e justifique. a) AB = OF b) AM = PHc) BC = OP d) BL = - MCe) DE = - ED f) AO = MGg) KN = FI h) AC // HI i) JO // LD j) AJ // FG k) AB EG l) AM BL m) PE EC n) PN NBo) PN AM p) AC = FP 2. A partir do paraleleppedo retngulo podemos afirmar que: a) AB = -HG b) AB CGc) AF BC d) AC=HF e) AG=DF f) BG// ED g) AB, BC e CG so coplanares. h) AB, BG e CF so coplanares. i) AB ortogonal ao plano BCG j) DC paralelo ao plano HEF k) AC, DB e FG so coplanares. 3) Encontre se possvel os valores de x e y tais que: a) (2,x,1,3) = (2,5,y,3)c) (1,x,-3) = (2,3)b) (1,2x-12) = (1,-5)d) (x,x+y) = (y-2,6) 4) Determine os valores de x e y, de forma que os vetores sejam iguais. (a) (4x-5, 7) = (2x 4, y+213) (b) (x2 5x + 4, 2x 2) = (0, 6) (c) ( x , 7) = (2, 3y-5)(d) ( x , 2x+5) = (4, 5x-1) Respostas: 1) So verdadeiros: a, b, d, e, f, h, j, k, l, n, o e p. So falsos, c, g, i, m; 2) As afirmaes so verdadeiras, exceto (a), (c), (g) e (h); 3a) x=5 e y=1; b) x = 7/2; c)No soluo pois os vetores pertencem a dimenses diferentes; d) x=2 e y=4; 4a) x = y= 0,5; b) x = 4;c) x = 4 = y; d) no existe x 3 Vetores no Plano e Vetores no Espao estudodosvetoresemgeralrelacionadoasuarepresentaogeomtricaquese caracteriza num segmento de reta orientado como vimos at aqui. Mas, h outra forma de represent-los. Assim, vamos estudar os segmentos orientados relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano (R2) e do espao (R3). 3.1 Expresso analtica de um vetor no plano (R2) OconjuntoR2=RxR={(x,y),x,yR}interpretado geometricamentecomosendooplanoxOydosistemacartesiano ortogonal.oconjuntoformadoportodososvetorescomduas coordenadas reais x e y. Vetores que pertencem ao R so conhecidos comoparesordenadosdenmerosreais.Geometricamente,todo

7 (WINTERLE, 2000, p.6) O AB C FE HG D paralelos perpendiculares mdulo lgebra Linear Vetores em Rn 89 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira vetorv= ABdesseplano,temsempreumrepresentanteequivalenteOP,cujaorigema origem do sistema cartesiano (0,0). Noestudoalgbricodosvetores,utiliza-seemgeral,osvetoresv=OP,ditosvetoresno planoequesovetoresdefinidosporumpontoextremodosegmentocomorigemno ponto (0,0). Exemplo1:RepresentaonoplanodovetorvedopontoP(x,y).TodopontoP(x,y)do plano,estassociadoaumnicovetorv=OPcomv=(x,y) sendoxeyascoordenadasdePeascomponentesdovetorv, tambm denominadas decoordenadas do vetor. Exemplo 2: Representao no plano cartesiano do vetor v = (3,2) R2.Noteque,v=(3,2)ouv= ((

23R,soformasde representao do vetor v. OBS:NaGeometriaAnalticaanalisa-seovetoresuarepresentaoapartirdeumabase } , { j i= {(1,0), (0,1)} onde estabelecida a correspondncia biunvoca entre vetores no plano e os pares ordenados (x, y) de nmeros reais. Nestas condies, a cada vetor v do plano pode-se associar um par (x, y) de nmeros reais que so suas componentes na base dada, razo porque se define: Vetornoplanoumparordenado(x,y)denmerosreaiseserepresentampor ) , ( y x v = queaexpressoanalticadev.Aprimeiracomponentexchamada abscissa e a segunda y, ordenada. Exemplo 3: Podemos escrever v = (3,-5) ou v = 3i-5j. Veja outros exemplos: ) 0 , 0 ( 0) 1 , 0 () 0 , 1 () 0 , 10 ( 10) 3 , 0 ( 3) 1 , 1 (===)` = == = = + =jimente Particularv i vv j vv j i v Desta forma, o plano pode ser compreendido como um conjunto de pontos ou um conjunto de vetores. 3.2 Vetor Definido por Dois Pontos: Vetor Livre nmerasvezesumvetorrepresentadoporumsegmentoorientadoquenoparteda origem do sistema. Nestes casos, temos os vetores livres.Porexemplo,consideramosovetorAB deorigemnopontoA(x1,y1)eextremidadeem B(x2,y2). O vetorAB um vetor livre. Como,jseafirmouanteriormente,noestudoalgbricodosvetores,utiliza-seemgeral,os vetores definidos por um ponto que o extremo do segmento com origem no ponto (0,0). A partir de um vetor livre v =AB podemos encontrar o seu vetor equivalente, definido por um ponto, que parte da origem do sistema (0,0). Para isso, fazemos: A B AB = ) , ( ) , (1 1 2 2y x y x AB =I lgebra Linear Vetores em Rn 90 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira ) , (1 2 1 2y y x x AB = = v (vetor definido por um ponto) Representao Geomtrica Vetor LivreVetor definido por um ponto extremo com origem em (0,0). Exemplo1:ParaA=(-3,2)eB=(-1,4).O segmentoAB um vetor livre. Fazendo AB = B-A= (-3,2)-(-1,4)= (-3+1,2-4) = (-1, -2) = v O vetor v = (-1,-2) equivalente ao vetor livre ABe parte da origem (0,0) do sistema. Assim, obtemos um vetor v a partir do vetor livre AB, subtraindo as coordenadas do ponto B dascoordenadasdopontoA,ouseja,v=B-A.Ovetorvencontradorepresentaomesmo vetorAB.importantelembrarqueumvetorteminfinitasrepresentaesquesoos segmentos orientadores com mesmo comprimento, direo e sentido. Entretanto, dentre estas infinitas representaes, o que melhor caracteriza o vetor aquele que tem sua origem no ponto O (0,0) e extremidade em P(x,y). Exemplo 2: Dados os pontos A=(0,1) e B=(1,2), determine o vetor v que parte da origem e equivalente ao vetor livreAB . Resoluo: v =AB= B A = (1,2) (0,1) = (1, 1) 3.3 Expresso analtica de um vetor no espao (R3) aGeometriaAnalticaanalisa-seovetoresuarepresentaoapartirdeumabase8 } , { j i= {(1,0), (0,1)} quando os vetores so vetores do plano e a partir de uma base cannicarepresentadapor} , , { k j i ={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}quandoosvetoresso vetores do espao, onde estabelecida a correspondncia biunvoca entre vetores no espao com o vetor (x, y,z) de nmeros reais.

8 Voc sabia que: No plano R2 qualquer conjunto {v1, v2} de dois vetores, no colineares, uma base. E, todo vetor v deste plano combinao linear dos vetores da base, isto , sempre existem os nmeros a1 e a2 reais tais que v = a1 v1 + a2 v2.No espao R3 qualquer conjunto {v1, v2, v3} de vetores no coplanares uma base. Assim, sempre existem nmeros reais a1, a2 e a3 tais que: v = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3onde a1, a2 e a3 so componentes de v em relao base considerada. Todo espao tem infinitas bases e uma base cannica. Por exemplo, em R3 a base cannica {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}. N lgebra Linear Vetores em Rn 91 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Consideremosestestrsvetoresrepresentadoscom origem no mesmo ponto O e por este ponto trs retas como mostra a figura abaixo.Aretacomadireodovetori oeixodosx (abscissa), a reta com direo do vetorj o eixo do y (ordenada) e a reta com a direo do vetorK o eixodosz(dascotas:significaalturanoespao).As setas indicam o sentido positivo de cada eixo, que so chamados eixos coordenados. Cadadupladeeixosdeterminaumplanocoordenado.Portanto,temostrsplanos coordenados: o plano xy, xz ou yz. As figuras abaixo do uma idia dos planos.

Estes trs planos se interceptam segundo os trs eixos dividindo o espao em oito regies. Acadapontodoespaovaicorrespondendoumaterna(a,b,c)denmerosreais,chamadas coordenadas de P. Exemplo 1: Observe a projeo do ponto P(2,4,3) no espao. Escrevemos v=xi+yj+zk,ondex,y,zsooscomponentesde vnabasecannica {i, j, k} e v = (x, y, z) a expresso analtica de v. Assim, se v = 2i+4j+3k indicamos v = (2, 4, 3) y z 0 z x y 0 z x y V0 AB C D E F P Com base nesta figura, temos: A (2,0,0) x = 2,y = 0, z = 0 B (2,4,0) x = 2, y = 4, z = 0 C (0,4,0) x = 0, y = 4, z = 0 D (0,4,3) x = 0, y = 4, z = 3 E (0,0,3) x = 0, y = 0, z = 3 F (2,0,3) x = 2,y = 0, z = 3 P (2,4,3) x = 2, y = 4, z = 3 XZ z x y x YZ y y z XY y x z lgebra Linear Vetores em Rn 92 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Portanto: O conjunto R3 = R x R x R = {(x, y, z) x, y, z R} interpretado geometricamente como sendooespaotridimensional0xyz,ondeP(x,y,z)opontoassociadoaonicovetorv= OP = (x,y,z) e as coordenadas x, y e z, de P so as componentes de v. A Fig.(a) representa o ponto P = (x,y,z) R3e a Fig. (b) representa o vetor v= (x,y,z) R3. Fig.(a): Representao geomtrica do ponto P, no plano tri-dimensional Fig.(a): Representao geomtrica do ponto P, no plano tri-dimensional Fig.(b): Representao geomtrica do vetor v, no plano tri-dimensional Exemplo 2: Representao geometricamente o vetor v = (1,2,3) e P = (4,-2,3) . Exemplo 3: Representao dos vetores no espao, sendo: u =A(-1,4,3), v = B (5,-2,3) e w = C (-3,-5,4). C (-3,-5,4) Ay z 0 - x z -y Bx - z yz xz - y xy- x c Cy x z v = (1,2,3 ) =OP (0,2,0) (0,0,3) (1,0,0) v 0 u=A(-1,4,3)v=B (5,-2,3) 0 0 lgebra Linear Vetores em Rn 93 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira AAAgggooorrraaa,,,ttteeennnttteee vvvoooccc!!! Resolva as atividades Lista 2 de Atividades9

1) D as coordenadas dos pontos: (a) A = _______________ (b) B = _______________ (c)C = _______________ (d) D = _______________ (e) E = _______________ (f)F = _______________ (g) O = _______________ (h) P = _______________ 2) Represente no plano e/ou no espao tridimensional os vetores: (a) u = -i-2j (b) w = (5, -3)(c) s = (-2, 4) (d) v = i+2j+5k (e) t = (1, 4, 3)(f) r = (-3, 2, 5) (g) m = (3, -2, 6)(h) n = (1, 3,-4)(i) j = -2i+3j-4k 3) Inmeras vezes um vetor representado por um segmento orientando AB que no parte da origem do sistema cartesiano. Considere os segmentos orientados AB e CD com A = (-1,2) e B = (2,-3), C = (1, 3, 5) e D = (-1, 2, -4). Assim:(a)Encontre o vetor u, definido por um ponto, eqipolente ao segmento orientado AB; (b)Encontre o vetor v, definido por um ponto, eqipolente ao segmento orientado CD; (c)Represente geometricamente o segmento AB e o vetor u. Analise o resultado e comente o que voc observou. Respostas parciais: (1a) A=(4,0,0); C = (0,0,3); (e) E (4,-2,0); (g) O=(0,0,0); 3) a) u=(3,-5); b) v=(-2,-1,-9); c) ABequivalenteaovetoru.Soeqipolentesporquetemamesmadireo,sentidoemagnitude(mdulo).AB vetor livre e u tem origem no sistema (xOy). 4 Operaes com Vetores 4.1 Adio e Subtrao de Vetores lgebricamenteaadiodedoisvetoressedefinepelaadiodeseuscomponentes (coordenadas),umaum.Porsuavez,adiferenadedoisvetoressedefinepela adio do primeiro vetor pelo oposto do segundo vetor. Observeque:Doisvetorespodemseradicionadosseesomenteseelestiveremamesma dimenso. Para somar dois vetores, basta somar individualmente cada elemento deles. O vetor resultante ser da mesma dimenso dos vetores originais. Simbolicamente, temos que, se v = u+ w, ento vi = ui + wi, para todo i. Assim, para os vetores u e v de R2 com u = (x1,y1), v = (x2,y2) temos: u + v= (x1 + x2, y1 + y2)eu + (-v)= (x1 - x2, y1 - y2) Se u e v so vetores de Rn com u = (x1,x2,x3, ....,xn), v = (y1,y2,y3, ....,yn) temos: u + v= (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn) Exemplo 1: Se u = (1, 7) e v = (2, 5) ento:(a) u + v = (1+2, 7+5) = (3, 12) e (b) u v = u + (-v) = (1,7) + (-2,-5) = (1-2, 7-5) = (-1,2).

9 (WINTERLE, 2000, p.6) A lgebra Linear Vetores em Rn 94 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Exemplo 2: Se u = (1, 7, 3), v = (-1,4,6)e w = (2, 5, 4, -1) ento:(a) u + v = (1-1, 7+4, 3+6) = (0, 11, 9)(b) u v = u + (-v) = (1,7,3) + (1, -4, -6) = (2, 3, -3) (c) u + w?No possvel computar u + w, nem v + w porque u e v so de 3 dimenso e w de 4 dimenso. 4.2 Multiplicao de escalar por um vetor A multiplicao de um escalar por um vetor se define pelo produto do escalar (nmero) por cadacomponentedovetor.Ouseja,umvetorpodesermultiplicadoporumescalar, multiplicando-se cada elementos do vetor por este escalar. Assim, para o vetor u de Rn com u = (x1,x2, ..., xn) e k R (k escalar) temos: ku = k(x1,x2, ..., xn) =(kx1,kx2, ..., kxn) Exemplo 1: Se u = (1, 7) e v = (2, 5), vetores de R2 ento para k = 5, temos:(a) ku = 5(1, 7) = (5.1, 5.7) = (5, 35) e (b) kv = 5(2, 5) = (5.2, 5.5) = (10, 25). Exemplo 2: Se u = (1, 7, 8,-1) e v = (2, 5, 0, 0), vetores de R4 ento para k = -2, temos:(a) ku = -2(1, 7, 8, -1) = (-2, -14, -16, 2) (b) kv = -2(2, 5, 0, 0) = (-4, -10, 0, 0) (c) ku + kv = k(u+v) = -2(u+v) = -2(3,12,8,-1) = (-6, -24, -16, 2) Exemplo 3:Sejam u = (2,3,4,5) e v = (2,1,0,2) vetores de R4 ento, temos que: (a) u + v = (4, 4, 4, 7) (b) u v = (0, 2, 4, 3) (c) 3u 2v = (6, 9, 12, 15) (4, 2, 0, 4) = (2, 7, 12, 11) Exemplo 4: Dados os pontos A(0,1,-1) e B(1,2,-1) e os vetores u = (-2,-1,1), v= (3,0,-1) e w = (-2,2, 2). Verificar se existe nmeros a1, a2 e a3 tais que w=a1AB+a2u+a3 v. Resoluo: AB = B A (1, 2, -1) (0, 1, -1) = (1, 1, 0) w = a1 AB + a2 u + a3 v. (-2,2,2) = a1 (1, 1, 0) + a2 (-2,-1,1)+ a3 (3,0,-1) Aplicandoasoperaesdeprodutodeescalarporvetor,somadevetorese igualdade de vetores, encontramos como resposta: a1= 3; a2 = 1; a3 = -1 Portanto, w = a1 AB + a2 u + a3 v para a1 = 3, a2 = 1 e a3 = -1 Propriedades dos vetores

Para qualquer vetor u, v e w vetores de R2 (podemos generalizar para Rn) e k, k R (k um escalar = nmero real), temos: (i)u + v = v + u(comutativa)(ii)(k +k ) u = k u+ k u (iii) (u+v )+w = u+(v+w) (associativa)(iv) k (u + v ) = k u + k v (v) u + 0 = 0 + u = u (elemento neutro)(vi) k(k .u) = (k k ) .u (vii)u + (-u) = 0 (elemento simtrico)(viii)1.u = u;-1.u = -u e 0.u = 0. Obs A igualdade de vetores definida igualmente para R2, R2, ..., como j vimos: Assim, por exemplo, os vetores u = (8,b,-2) e v= (8,5,a) so iguais se a=-2 e b= 5. Se u = ( x y, x + y, z 1) e v = ( 4, 2, 3 ), podemos afirmar que: lgebra Linear Vetores em Rn 95 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira u = v = ==+ == = = = += 4131 32 2 043 124zyxzy xy xzy xy x Portanto, u = v se x = 3, y = -1 e z =4. Importante: Quando o vetor v estiver representado por v = a1 v1 + a2 v2, dizemos quevcombinaolinearv1ev2.Opardevetoresv1ev2no colineares so chamados de base do plano. Veja mais sobre isso, nas aplicaes de adio de vetores e multiplicao por escalar. 4.3 Anlise Geomtrica da Adio de Vetores e Multiplicao por EscalarA adio de dois vetores ve u analisada, geometricamente, a partir dos segmentos que contm os vetores. Este movimento se caracteriza por decomposio de vetores no plano. ecomposiodevetoresnoplano:Dadosdoisvetoresv1ev2no colineares,qualquervetorv(coplanarcomv1ev2)podeserdecomposto segundoasdireesdev1ev2.Oproblemaconsisteemdeterminardois vetores cujas direes sejam as de v1 e v2 e cuja soma seja v. Em outras palavras, buscam-se determinar dois nmeros reais a1 e a2 tais que: 2 2 1 1v a v a v + =1casoAADIODOSDOISVETORES v e urepresentadospelossegmentos orientadosABeBCsedefinempelovetorresultante srepresentadopelosegmento AC .Regradopolgonoou triangulao:Ligam-seos vetores,origemcomextremidade pordeslocamento.Ovetorsoma(ouvetorresultante)aquelequetemorigem,na origem do 1 vetor e extremidade, na extremidade do ltimo vetor. Assim, os pontos A e C determinam um vetor que a soma dos vetores ue vonde:B v u

s

A C Exemplo 1:s = u+ vouu+ v=ACouAB +BC =AC Exemplo 2:s = u+ v Exemplo 3:s = u+ vouu+ v=ACouAB +BC =ACNa SUBTRAO DE VETORES, adicionamos um deles ao oposto do outro: s = u- v . Vetores u e vAdio de vetores u+vSubtrao u+(-v) D lgebra Linear Vetores em Rn 96 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 2 caso A adio dos dois vetores ve u paralelos (v u): A adio de vetores representados por segmentos paralelos10 orientados AB e BC se define da mesma forma anterior, pelo vetor resultante s, representado pelo segmento AC .Assim, os pontos A e C determinam um vetor que , por definio, a soma dos vetores ue vonde, para s = u+ v . Exemplo1:Nafigura(a),temosaresultante sdevetores u e v comomesmo sentidoenafigura(b),temosaresultante sdevetores u e v comosentido contrrio (equivale a s = u - v). Vetores ue v Adio de vetores s = u+ v Subtrao s = u+ (- v )

Fig.(a)Fig.(b) 3casoAadiodosdoisvetores v e unoparalelospodeocorrerapartirdo deslocamento dos vetores para uma mesma origem A. Assim, representa-se o vetor v=AB e o vetor u =AD . Regra do paralelogramo: A partir da origem A, projetamos um vetor no extremo do outro (mesma direo e mesmo sentido). Assim, construmos o paralelogramo ABCD. Exemplo1:(Figurasc,d)OsegmentoorientadodeorigememAqueequivale diagonaldoparalelogramo,ovetorresultante s= u +v .Adiagonalsecundriado paralelogramo equivale a resultante da diferena entre os vetores, ou seja, s=u -v . Adio de vetores s = u+ v Subtrao s = u+ (- v )

10 Quando os segmentos tm a mesma direo sobre as mesmas retas ou paralelas lgebra Linear Vetores em Rn 97 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Fig (c) u+v a diagonal principal do paralelogramo ABCD. Fig (d) u+v diagonal principal do paralelogramo u-v diagonal secundria Exemplo 2 Vetores ue v Adio s = u+ v Subtrao s = u -v 4casoAadiodostrsvetoresoumaisocorredeformaanlogaaoscasos anteriores.Nocasoparticulardaextremidadedorepresentantedoltimovetor coincidircomaorigemdorepresentantedoprimeiroasomadelesserovetorzero ou nulo. Exemplo de adio de trs ou mais vetores livres Exemplo 1 s = u+ v+ w Exemplo 2 s = u+ v+ w Exemplo 3 s = u+ v+ w +t=0 Exemplodeadiodevetoresquepartemdeumaorigem:Situaocomparativade soma com dois e com trs vetores lgebra Linear Vetores em Rn 98 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Exemplo 1 s = u+ v Exemplo 2 s = u+ v+ w eometricamente,oPRODUTODEUMESCALARPORUMVETOR, representadoporumnovovetorqueseexpande,contraiouinverteosentido, conforme o valor de k. O produto de um nmero real k por um vetor v, resulta em umvetorscomsentidoigualaodevsekforpositivoousentidoopostoaodevsekfor negativo. O mdulo do vetor s igual a k x |v|. 1 caso Se k = 0 ou v = 0, ento o vetor kv = 0.Exemplo: Para u = (1,2) e k = 0 temos ku = 0.u= (0.1,0.2) = (0,0). 2 caso Se k= -1, o vetor (-1)v o oposto de v. Exemplo: Para u=(1,2) e k=-1 temos ku=(-1).u=(-1.1, -1.2) = (-1, -2) 3 caso Se k > 0, ento (k.v) permanece com o mesmo sentido de v, se k 0 e a1 < 0 lgebra Linear Vetores em Rn 102 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Resoluo:Umvetorwumacombinaolineardeoutrosvetoresuevseesomentese, existe soluo para a equao matemtica w = x.u + y.v ou, se existe valores reais para xe y de modo que w = x.u + y.vAssim, fazemos w= x.u +y.v. Substituindo w, u e v pelos seus respectivos valores, temos:w= x (1,3) + y (-1,2) (1,2) = x (1,3) + y (-1,2) (1,2) = (xy,3x+2y) = += 2 2 31y xy x = += 1 5 01y xy x ==5154yx. Resposta:Osistemaresultantedaequaomatemticaw=x.u+y.vconsistentee determinado.Assim, wumacombinaolineardeuevepodeserescritocomo: w= 54u + 51 v. Exemplo 3: Verifique se os vetores u = (1,2,-1), v = (1,3,1) e w = (0, 1, 2), vetores de IR3 podem ser escritos como combinao linear do vetor t = (2,7,4).Resoluo: Os vetores u, v e w podem ser escritos como uma combinao linear do vetor t se a equao xu + yv + zw = t, tem soluo real.xu + yv + zw = t x(1,2,-1) + y(1,3,1) + z(0,1,2) = (2, 7, 4) (x, 2x, -x) + (y, 3y, y) + (0z, z, 2z) = (2, 7, 4) (x + y, 2x + 3y + z, -x + y + 2z) = (2, 7, 4) = + + = + += +4 27 3 22z y xz y xy x = + += + += +6 2 2 03 02z y xz y xy x = + += + += +0 0 0 03 02z y xz y xy x =+ =z yz x31.S={(-1+z, 3-z, z) zIR} Osistemaconsistenteeindeterminado.Portanto,temdiversassolues.Ento,t combinao linear de u, v e w e pode ser escrito como: t = (-1+z)x + (3-z)y + zw para zIR. 4.4.2: Dependncia e Independncia Linear de Vetores mconjuntodevetoresu1,u2,...,unditolinearmenteindependentes(LI)seescritos comocombinaolineardovetornulo,resultamemtodososcoeficientesnulos.Caso contrrio os vetores so linearmente dependentes (LD).Ou, um conjunto devetores u1,u2,...,un independentes (LI)see somente se, para todo ai real, temos: 01==nii iu apara todo0 =iaOnde iaso quantidades escalares.Se ocorrer01==nii iu apara algum0 ia , os vetores so ditos dependentes (LD). Geometricamente, vetores linearmente independentes tm representao geomtrica em direodistinta(vetorescolineares).Emcasocontrrio,setemamesmadireo(vetores paralelos) so linearmente dependentes.Exemplo1:Osvetoresu=(1,2)ev=(3,3)sovetoreslinearmenteindependentes(LI) porque existe somente0 =ia para os quais,v = a1u+a2v = 0 ou 0u+0v = 0(1,2)+0(3,3)=(0.0)= 0.E,os vetores u = (1,2) e v= (2,4) so vetores linearmente dependentes (LD) porque existe 2 =ia e1 =iapara os quais, v = a1v1+a2v2 = 0 ou 2v1+(-1)v2 = (2,4)-(2,4)=(0.0)= 0. U lgebra Linear Vetores em Rn 103 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira

Exemplo 2: Os vetores de R3, u1 =(1,2,3), u2 =(-1,2,4) e u3 =(2,-1,5)so LI ou LD? Resoluo:OsvetoressoLIseexistemescalares ia taisque03 3 2 2 1 1= + + v a v a v a para 0 =ia .Docontrrio,sovetoresLD.Parafacilitaroprocedimentodeclculopodemos substituir os escalares iapor x, y e z. Assim,x u1 + y u2 + z u3 = 0 x (1,2,3) + y (-1,2,4) + z (2,-1,5) = (0,0,0) (x, 2x, 3x) + (-y, 2y, 4y) + (2z, -z, 5z) = (0,0,0) [(x y + 2z), (2x + 2y z), (3x + 4y + 5z)] = (0,0,0) = + += += + 0 5 4 30 2 20 2z y xz y xz y x = += += +0 z - 7y 0 5z - 4y 0 2z y- x == += +0 z 310 5z - 4y 0 2z y- x z = y = x = 0 Istosignifica dizer que x u1 + y u2 + z u3= 0 0u1 + 0u2 + 0u3 =0. Portanto os vetores u1, u2 e u3 so linearmente independentes. Vocpodeverificaralinearidadedeumconjuntoporoutroprocedimento. FormeumamatrizA,cujascolunassoosvetoresdados.Reduzaamatrizasua forma escalonada mais simples e analise-a. Se a quantidade de linhas no nulas for inferioraonmerodevetoresdadosentoosvetorescorrespondentes,u1,u2 eu3 so LD.Caso contrrio (quantidades iguais) so LI. A =((((

5 4 31 2 22 1 1 ((((

1 7 05 4 02 1 1 ((((

31 0 05 4 02 1 1

Observe que a matriz A, na sua forma escalonada, no apresenta linhas nulas. Neste caso, podemos afirmar que os vetores correspondentes de A, que so os vetores u1, u2 e u3, so LI. Exemplo 3: Mostre que o vetores de R3, u1 = (1,-2,3), u2 = (-1,0,-2) e u3 = (-2,0,-4) so LD. Resoluo: xu1 + yu2 + z u3 = 0 x(1,-2,3) + y(-1,0,-2) + z(-2,0,-4) = (0,0,0) = = + + = 0 4 2 30 0 0 20 2z y xz y xz y x = + += +=0 z 2 y 0 4z - -2y 0 z 2 - y- x == = 0 0 0 z 4 2y-0 z 2 y- x -2y=4zy=-2z.Logo, para x y 2z = 0 x(-2z) 2z=0 x=0. A combinao dos vetores em relao ao vetor nulo, resulta em escalar y no nulo. Logo, os vetores so LD. Temoscomosoluodosistema,oconjuntoS={(0,-2z,z)zR}.Podemos escrever a combinao linear como: 0u1 + (-2z)u2 + zu3 = 0. 4.4.3: Bases do Plano de do Espao Linhas no-nulas Vetores LIVetores LD lgebra Linear Vetores em Rn 104 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira pardevetoresv1ev2de2dimenso,nocolineares(linearmenteindependentes) chamadodebasedoplano.Alis,qualquerconjunto{v1 ,v2}devetoresno colinearesconstituiumabasenoplano.Osnmerosa1ea2sochamados componentes v em relao a base {v1 , v2}. O conjunto de vetores v1, v2 e v3 de 3 dimenso, no colineares (linearmente independentes) chamado de base do espao. Exemplo 1:Os vetores u = (1,2) e v = (3,3) so vetores linearmente independentes (LI)e, portanto, formam uma base B = {(1,2), (3,3)} do plano ou de R2.Os vetores u = (1,2) e v = (2,4) no formam uma base do plano porque so vetores linearmente dependentes (LD). Exemplo2:OsvetoresdeR3,u1 =(1,2,3),u2 =(-1,2,4)eu3=(2,-1,5)soLI,portanto formam uma base B = {(1,2,3), (-1,2,4), (2,-1,5)} do espao ou de R3. A =((((

5 1 24 2 13 2 1 ((((

2 5 07 4 03 2 1 ((((

43 0 07 4 03 2 1

AAAgggooorrraaa,,,ttteeennnttteee vvvoooccc!!! Resolva as atividades Lista 3 de Atividades11

1. A Figura constituda de nove quadrados congruentes (do mesmo tamanho). Determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A. a) AC + CN b) AB + BDc) AC + DC d) AC + AKe) AC + EO f) AM + BL g) AK + AN h) AO - OEi) MO - NP j) BC - CB k) LP + PN l) LP + PN + NF m) BL + BN + PB 2. Considere dois vetores quaisquer, u e v, no paralelos. Construa num plano as resultantes, s=u+v, w=u-v, t=v-u, m=(-u) e n=v. 3. Determine, algbrica e geometricamente o vetor resultante w, para u = (-1,2) e v = (2,-1): (a)u + v (b) u v(c) v - u(d) 3u 3u (e) u 2v(f) 2u + vg) 0,5 u + 3vh) 0,5 u 0,5 v 4. Dados os vetores v, ue w, de acordo com a figura, construir graficamente o vetor s = 3u-2v + 1/2w

5. O paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ABe AB , sendo M e N pontos mdios dosladosDCeAB,respectivamente.Completarconvenientementeefazerarepresentao geomtrica. DMC a) AD+ AB=b) BA + DA = c) AC - BC= d) AN+ BC = e) MD+ MB = f) BM- 21DC =

11 (WINTERLE, 2000, p.6) O w vuLinhas no-nulas lgebra Linear Vetores em Rn 105 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira A NB 6 Dados os vetores ue vda figura, mostrar, num grfico, um representante do vetor: u

v 7 Dados os vetores a , b e c , como na figura, apresentar um representante de cada um dos vetores: a b

c8) Dados os vetores ue vdeterminar:u (a) u+ v(b) u- v v 9.ConsidereosvetoreslivresdefinidospordoispontosAeB.Emcadacaso,determineo vetor equivalente v (no livre).(a) A(1,3) e B(2,-1);(b) A(-1,5) e B = (-4,-2); (c) A(8,-15) e B (-2,0) 10. Determinar o vetor w na igualdade 3w+2u= 4v -w, sendo u=(1,-1) e v=(-3,2). 11) Dados u=(1,-2), v=(2,4) efetuar (a) u+v; (b) u-v; (c) 3u+2v. 12)DadosA=(-1,2),B=(1,-2)eC=(3,3)determinar:(a) A B AB = ;(b) A C AC = ; (c) B C BC = ; (d) AC AB + ; (e) AC AB . 13) Dados) 1 ,31( ),.. 1 ,21( = V U , calcular: (a)V U 3 2 + ; (b)V U 6 4 .14) Dados A = (1,-2), B = (-2,3) e C = (-1,-2), determinar x = (a,b), de forma que: a)AB Cx =b)AB Cx32 =c)Ax BC =15. Dados os vetores u = (1,3,0,-1) e v = (3,0,2,1) encontre: a) u+vb) u-vc) 3ud) 21u - ve) x se x+u=0f) 2u + 2v 16. Encontre os valores de a e b para os quais, w seja uma combinao linear de u e v ou seja, w = au + bv, sendo w = (-2,7), u = (1,3) e v = (-1,4). 17) Verifique se existem escalares x, y e z tais que (1,5,7) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) ou seja, verifique se o vetor (1,5,7) combinao linear dos demais vetores e para quais valores de x, y e z. 18) Verifique se so combinaes lineares, encontrando x, y, z: a) x ( 1,1,1)+ y (1,2,0 ) + z ( 2,0,0 )=( 1,-2,5 ) b) x (2,1,3 ) + y ( 3,-1,0 ) + z ( 6,0,0 ) =( 3,-1,4 ). 19) Considere os conjuntos A = {u,v,w} e B = {v, w, s}, com u = (1,1,-1), v = (2,-1,0), w = (3,2,0) e s = (4, -2,0):(a) O conjunto A formado por vetores LI ou LD? (b) O conjunto B LD? Justifique. (c) Os conjuntos A e B formam bases de R3? Justifique20) Verifique se o conjunto S = {(0,2), (0,4)} base de R. a) u- vb) v - uc) -v -2ud) 2u - 3va)4a - 2b - cb) a+ b+ cc)2b - (a +c ) lgebra Linear Vetores em Rn 106 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Respostas: 1) NA; AD; AB; AO; AM; AH; AI; AC; AC;AC; AI; BA 2) 3) Resultado algbrico 4) 5) 6) 7c) 9) 10) w=(-7/2,5/2); 11) (3,2); b) (-1,-6); c) (7,2); 12) (2,-4); b) (4,1); (2,5); (d) (6,-3); (e) (-2,-5). 13) (a) (2,-1);(b) (-4,10); 14a) (-4,3);b) (1, -16/3); c) (2,-7); 15) (4,3,2,0); b) (-2,3,-2,-2); c) (3,9,0,-3); d) (-5/2,3/2,-2,-3/2); e) (-1,-3,0,1); f) (8,6,4,0); 16) w=-u/7+13v/7; 17) Sim, para x = 1, y = 5 e z = 7; 18) Sim para x = 5, y=-7/2 e z=-1/4; b) Sim para x = 4/3, y = 7/3 e z = -10/9; 19) a) LI; B) LD por os vetores de B combinados com o vetor nulo resulta em soluo indeterminada.; c) A base porque LI e B no base porque LD; 20) S no base porque LD. 5 Produto Interno (ou Produto Escalar), Vetorial e Misto 5.1 Produto Interno (ou escalar) efini-secomoProdutoInterno(ouEscalar)entrevetoresdeumEspaoVetorialV,a umaaplicaodeVxVemR,queatodopardevetores(u,v)VxV,associaum nmeroreal(u.v)ou< > >(l-se:uescalarv)equesatisfazemosseguintes axiomas: u . v= v. u; u . (v + w) = u . v + u . w; (k.u) . v = k . (u . v) para todo nmero real k; u . v 0e u .u = 0 se, e somente se, u = 0. Assim, para os vetores u e v de R2 com = (x1,y1), v = (x2,y2), denomina-se produto escalar o nmero real u . vou < u, v >definido por: u . v= (x1 . x2 ) + (y1 . y2)= < u, v >(l-se: u escalar v) De forma similar podemos operar com vetores de Rn.Assim, para u = (u1, u2,..., un )e v = (v1, v2, ..., vn)vetores de Rn temos,D lgebra Linear Vetores em Rn 107 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira u . v= (u1 . v1+ u2 . v2 +...+ un . vn)

Exemplo 1: Se u=(2,3) e v=(4,-1) ento o produto escalar de u com v igual a 5 porque fazendo temos u . v = 2.4 + 3.(-1) = 5portanto, o Exemplo 2: O produto interno usual em R2 dos vetores u = (-2,6) e v = (3,-4) : < u, v > = u . v = -2.(3) + 6.(-4) = -6-24 = -30. Observe que:Se u = x1 +y1 + z1 ev = x2 + y2 + z2ento o produto escalar (ou produto interno) dos dois vetores que representado por u .v o nmero real obtido multiplicando as componentes correspondentes do vetor e somando os produtos obtidos. Assim,u .v= (x1.x2 + y1.y2 + z1.z2) Exemplo 3:Se u= 3x 5y + 8ze v = 4x- 2y zo seu produto escalar : u .v= (3,-5,8).(4,-2,-1) = (12 + 10 8)u .v= 14 Tente voc! Dados os vetores u= (4, , -1) e v = ( , 2, 3) e os pontos A = (4. 1,2) e B = (3, 2, -1), determinar o valor de tal queu .(v + BA) = 5 5.2 Produto Vetorial produto vetorial tem como resultado um vetor, por isso nomeado de produto vetorial. Este produto tem aplicao, por exemplo, na Fsica: a fora exercida sobre uma partcula carregada,mergulhadanumcampomagntico,ovetorresultantedoprodutovetorial entre o vetor velocidade da partcula pelo vetor campo magntico, desde que a carga seja unitria e o campo seja constante. DefinioI:Sejau=(x1,y1,z1)ev=(x2,y2,z2),vetoresdoespaotridimensional. Definimos como produto vetorial, ao vetor u x v, tal que: u x v =|||

\||||

\|+|||

\||||

\|2 21 12 21 12 21 1det , det , dety xy xz xz xz yz y DefinioII:Ou,dadosdoisvetores u e v ,tomadosnestaordem,chama-seproduto vetorial dos vetores u e v e se representa por v uao vetor, = v u2 2 21 1 1z y xz y xk y i O produto vetorial de u por v tambm indicada por u ^v e se l: uvetorial v . Exemplo 1: Calcular o produto vetorial dos vetores u = 5i + 4j + 3ke v =i +k . Resoluo: O lgebra Linear Vetores em Rn 108 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira u= ( 5,4,3 ) ev = ( 1,0,1 ) ento = = = k j i v uk j iv u 4 2 41 0 13 4 5 = (4, -2,-4) Exemplo 2: Sejam os vetores de R3, u = (1,-1,2) e v=(0,3,4), ento, u x v = |||

\| 3 01 1,4 02 1,4 32 1 = ((-4-6), -(4-0), (3-0)) = (-10, -4, 3).Logo, o produto vetorial de u com v u x v = (-10, -4, 3). Ou u x v= 4 3 02 1 1 k j i = -4i+0j+3k-0k-6i-4j = -10i 4j + 3k = (-10, -4, 3) = u x v. 5.2.1 Propriedades s propriedades do produto vetorial se definem em: (i) v u =0, se um dos vetores nulo ou se v e uso colineares.(ii) v u u v . Se trocarmos ordem dos vetores v u e u v verifica-se que oposto, o que significa que o produto vetorial no comutativo. (iii) v u = -v u(iv)=||

\|+ w v u v u+ w u(v) (mu ) v =m ( v u ) (vi) v u ortogonal simultaneamente aos vetores v e u . Exemplo1:(Propriedadevi)Dadososvetores u =3i +2y -4k e v =2i -2y + k ,seu produto vetorial k y ik y iv u 10 11 61 2 24 2 3 = = .Sabemos que, se o produto escalar dos vetores ue v for zero, eles so ortogonais, ou seja, u .v = 0 090 = . Ento: a) ( ). v uv ( )( ) 1 , 2 , 2 . 10 , 11 , 6 = 12+22-10=0. b) (u v ).u ( )( ) 4 , 2 , 3 . 10 , 11 , 6 = -18-22+40=0 Logo v u ortogonal simultaneamente as vetores u e v . 5.3 Produto Misto A lgebra Linear Vetores em Rn 109 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira produto misto tem como resultado um escalar, obtido a partir da utilizao do produto escalar e do produto vetorial. Pode ser utilizado, por exemplo, para encontrar o volume de um paraleleppedo determinado por trs vetores. Definio I: Sejam u , ve w, vetores do espao, com u= (x1, y1, z1); v= (x2, y2, z2) e w = (x3, y3, z3). Defini-se como produto misto de u , ve w, indica-se por u (v xw) ao escalar resultante de: u (v xw) =det ||||

\|3 3 32 2 21 1 1z y xz y xz y x Definio II:Dados os vetores u , ve w, tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores u , ve w ao nmero real u(vx w). Indica-se produto misto por (u , v ,w). Exemplo 1: Calcular o produto misto dos vetores u, v e w parau =2i +3y +5k , v =-i +3y +3ke w= 4i - 3y + 2kResoluo: u(vx w) = 2 3 43 3 15 3 2= 27 = u (v xw) .Resposta: O produto misto dos vetores 27. Ou, podemos resolver por aplicao de produto interno e produto vetorial: u(vx w) = u . 2 3 43 3 1k j i= u .(15i+14j-9k) = (2,3,5).(15,14,-9)=30+42-45=27 Exemplo 2: O produto misto dos vetores u = (-1,2,3), v = (1,1,-1) e w = (2,4,-6) u(vx w) =det==||||

\|6 4 21 1 13 2 16 4 21 1 13 2 1(6-4+12)-(6+4-12) = 16 . Resposta: O produto misto dos vetores 16.

Ou, podemos resolver por aplicao de produto interno e produto vetorial: u(vx w) = u . 6 4 21 1 1k j i= u .(-2i+4j+2k) = (-1,2,3).(-2,4,2)=2+8+6=16 5.3.1 Propriedades spropriedadesdoprodutomistodecorrem,emsuamaioria,daspropriedadesdos determinantes. (u , v ,w) = 0 O produto misto nulo se um dos vetores nulo, se dois so colineares, ou se trs so coplanares. (i) Se u nulo as suas componentes so (0,0,0 ) ento (u , v ,w) = 0.Assim, (u , v ,w) =00 0 03 3 32 2 2=z y xz y x .O A lgebra Linear Vetores em Rn 110 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Exemplo 1: Se u = (0,0,0), v = (2,3,1) e w= (4,2,2) ento, (u , v ,w) =2 2 41 3 20 0 0=0+0..+0=0 (ii) Se nem u , nem v , nemw so nulos, mas ue vso colineares (ou paralelos) ento (u , v ,w) = 0. Note que, neste caso, u = m.vExemplo 1: Se u = (1,2,3), v = (2,4,6) e w = (-1,2,7) ento,(u , v ,w)( ) 0 12 28 12 12 12 287 2 16 4 23 2 1 + + + =.Observe que u = 2.v portanto, u e v so colineares. (iii) Se nenhum vetor nulo e os vetores no so dois a dois colineares (ou paralelos) ento os vetores so coplanares se (u , v ,w) = 0.Exemplo 1: Se u = (-2,-2,-6), v = (-1,0,-2) e w = (-3,-1,-7) ento,U(vxw) =07 1 32 0 16 2 2= . Logo so coplanares. Note que: Produtointerno(ouescalar)oprodutoentredoisvetoresquegeraumescalar (escalar um nmero). Produto Vetorial o produto entre dois vetores que gera um vetor. ProdutoMistooprodutoentretrsvetoresquecombinaprodutointernocom produto vetorial e gera um escalar. 5.4 Aplicaes de Produto de Vetores: Interpretao Geomtrica 5.4.1 Produto Vetorial e rea de Paralelogramo eometricamente,omdulo(magnitude,comprimento)dovetorresultantedoproduto vetorialdedoisvetores u e v equivaleamedidadareadoparalelogramoABCD determinado pelos vetoresu =ACe v = AB CD

u A vB rea = v u(mdulo do produto vetorial) Exemplo1:Dadososvetoresu=(1,2,4)ev=(-1,2,3).Calcularareadoparalelogramo determinado pelos vetores u e v. Resoluo:(a)Encontrando o produto vetorial e u e v G lgebra Linear Vetores em Rn 111 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira + + == k y i k j ik j iv u 2 3 8 2 4 63 2 14 2 1= + k j i 4 7 2 = (-2,-7,4) (b) Encontrar o mdulo do vetor resultante (-2,-7,4). v u=) 4 , 7 , 2 ( = 2 2 2) 4 ( ) 7 ( ) 2 ( + + =16 49 4 + + =69 . Resposta: A rea = v u=69u.a. (unidade de rea) Exemplo2:Dados osvetores u = (1,2,-1) ev = (0,-1,3). Calcular a rea do paralelogramo determinado pelos vetores 3u e u-v.Resoluo:rea=|||

\| v u u 3 =? Temos que 3u = (3,6,-3 ) e u-v = ( 1,3,-4 ) 3ux(u-v)= + + = k j ik j i3 9 154 3 13 6 3 =(-15,9,3). Portanto,rea = ( ) ( ) ua 35 3 315 3 9 152 2 2= = + + 5.4.2 Produto Misto e Volume do Paraleleppedo eometricamenteoprodutomisto u (v w)igual,emmodulo,aovolumedo paraleleppedo com arestas determinadas pelos vetores u =AD, v =ABe w=AC . Assim, a rea da base do paraleleppedo |vxw|. Seja o ngulo entre os vetores u e v x w. Sendo v x w um vetor ortogonal base, a altura ser paralela a ele, e, portanto, h=|u|.|cos|. u v w Portanto, v = | (u, v, w)| v= ||||

\| w v, , uv= ||||

\| w v u Exemplo 1: Qual o volume do paraleleppedo formado pelos vetores u = (3,-12, -2), v = (1, -1, 0) e w= (2, -1, 2)?

G lgebra Linear Vetores em Rn 112 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Resoluo:Sabemosqueovolumedoparaleleppedoigualaomdulodonmero resultante do produto misto dos trs vetores. Assim, (a) vamos encontrar o produto misto dos vetores u, v e w ouu(vxw)=2 1 20 1 12 12 3 =-6+0+2-(4)-(0)-(-24) = -6+2-4+24= 16.(b) como o volume do paraleleppedo igual ao) (vxw u temos:|u(vxw)| = |16| = 16.Resposta: O volume procurado 16 u.v. (unidade de volume) Exemplo 2: Sejam os vetores u = (3, m, -2), v = (1, -1, 0) e w= (2, -1, 2). Calcular o valor demparaqueovolumedoparaleleppedodeterminadoporu,v ew sejaiguala16 unidades de volume.

Resoluo:Sabemosqueovolumedoparaleleppedoigualaomdulodonmero resultantedoprodutomistodostrsvetores,ouseja,V=|u(vxw)|e,nestecaso, devemos ter |u(vxw)| = 16. Assim, (a) vamos encontrar o produto misto dos vetores u, v e w ouu(vxw)=2 1 20 1 12 3 m=-6+0+2-(4)-(0)-(2m) = -2m-8.(b) como o volume do paraleleppedo 16, temos:|u(vxw)| = 16 |(-2m - 8)| = 16.Por definio de equao modular sea x= , ento x = - a ou x = a. Assim,|(-2m - 8)| = 16 ento = = 16 8 216 8 2mm.Resolvendo o sistema encontramos m = -12ou m = 4 que a soluo do problema. Exemplo 3: Dados os vetores u = (x,5,0) , v = (3,-2,1) e w= (1,1,-1), calcular o valor de x para que o volume do paraleleppedo determinados por u ,ve w seja 24 u.v. (Unidades de Volume). Resoluo:v=u (v w) = 24 201 1 11 2 30 5+ = xx v=(u ,v,w) Ento = = += = + = +44 24 204 24 2024 20x xoux xx .Portanto, os valores de x para os quais o volume do paraleleppedo seja igual a 24 u.v., x = 4 ou x = -44. 5.4.3 Produto Misto e Vetores Coplanares rs vetores u , vew so coplanares se oproduto escalar u (v xw) nulo. Ou seja, se u , v e wsocoplanares,ovetor v xwporserortogonalaos T lgebra Linear Vetores em Rn 113 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira vetores v ew,ortogonalaovetor u .Portantose u e(v xw)soortogonais.fcil identificarquereciprocamente,senenhumdosvetores u ,v ,wnuloesedoisquaisquer delesnosocolineares,oanulamento(u , v ,w)significaque u , v ewsocoplanares. Portanto, se (u , v,w)= 0 os vetores u , ve w so coplanares (esto no mesmo plano). Exemplo 1: Verificar se so coplanares os vetores u = (3,-1,4), v = (1,0,-1) e w= (2,-1,0) Resoluo: (u , v,w)=0 50 1 21 0 14 1 3 =.Os vetores no so coplanares porque seu produto misto diferente de zero. Exemplo 2: Encontre o valor de m para que todos os vetores a = (m,2,-1), b =(1,-1,3)e c = (0,-2,4) sejam coplanares. Resoluo: (a ,b ,c ) = 0 36 20 2 8 6 404 2 03 1 11 2=== + + =mmm m m Exemplo 3: Verificar se os pontos A (1,2,4 ) , B (-1,0,-2 ) , C (0,2,2 ) e D (-2,1,-3) esto no mesmo plano. Resoluo: Os quatro pontos dados so coplanares se os vetores AB , ACe AD tm produto misto nulo. (Dica: AB =B-A =(-1,0,-2)-(1,2,4)=(-2,-2,-6). Idem para ACe AD). Assim, (AB , AC,AD) = 0 07 1 32 0 16 2 2= . Logo so coplanares. Exemplo 4: Verificar se so coplanares os vetores u = (2,-1,1), v=(1,0,-1) e w = (2,-1,4).Resoluo: Como (u,v,w) = 4 1 21 0 11 1 2=3 0os vetores no so coplanares. 6 Mdulo ou Norma de um Vetor 6.1 Definio de mdulo do vetor: norma de v ou mdulo de v ocomprimento do vetor v, representado porvouv . Omdulodeumvetorcalculadopormeiodeumprodutointerno,ondev =v v. . Assim,omduloounormadeumvetorvonmerorealnonegativo,resultantedaraiz quadrada do produto interno (ou escalar) do vetor v com ele prprio ou "v escalar v". A lgebra Linear Vetores em Rn 114 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Se v vetor do plano tal que v = (x,y) R2 ento:O mdulo do vetor v no plano dado porv v v . = = 2 2y x + (Teor.12 de Pitgoras) Se v vetor do espao que v = (x,y,z) R3 ento:O mdulo de um vetor v dado porv =2 2 2z y x + + Geometricamente, temos: Mdulo de vetor no planoMdulo de vetor no planoMdulo de vetor no espao A demonstrao simples: Por exemplo, aplicando o Teorema de Pitgoras, se v vetor do plano tal que v = (x1,y1) ento, v2 = (x1-0)2 + (y1-0)2 = (x1)2 + (y1)2 = 2121y x + =v Note que, o mdulo de um vetor um nmero real no negativo representado por = = v v v v . ) (2 Exemplo 1: Se v=(2,1) R2, entov =2 2) 1 ( ) 2 ( + = 1 4 +=5u.m.(unidade de medida) Exemplo 2: Se v = (-3,5), vetor do plano, entov= 2 2) 5 ( ) 3 ( + = 25 9 +=34u.m. Exemplo 3: Se v=(2,1,-2), vetor do espao, ento v =2 2 2) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( + + = 4 1 4 + + = 9 =3 u.m. 6.2 Proposies:Para um vetor v = AB com extremidades nos pontos A(x1,y1) e B = (x2,y2), o mdulo de v ser:v =AB = 21 221 2) ( ) ( y y x x + =A B (mesma frmula da distncia entre dois pontos A e B). Se u, v so vetores de Rn ento, d(u, v) =21 2 2 1 1) ( ... ) ( ) (nv u v u v u + + + = v u , sendo u= (u1, u2, ... , un) e v = (v1, v2, ... , vn).Dados os vetores u, v, w de Rn e k, um escalar real, tem-se: (i) u . v = v . u (ii)u (v+w) = uv + uw(iii) k (u.v) = (ku).v = u.(kv)

12 Num tringulo retngulo, o quadrado da hipotenusa igual a soma dos quadrados dos catetos. (x1- 0) (y1- 0) y1 | v | v=(x1,y1) x10 lgebra Linear Vetores em Rn 115 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira (iv) v.v > 0qualquer que seja u e u.u = 0se u = 0 = (0,0,...,0) (v) v.v = 2vConseqncia das proposies: (1) 2v u + = 2u + 2uv + 2v(2) 2v u = 2u - 2uv + 2v6.3 Vetor Unitrio e Versor de um Vetor: Sevumvetortalquev =1entov denominadovetorunitrio.Porexemplo,os vetores u = (1,0), v = (0, -1) e w = (54,53 ) so vetores unitrios. Apartirdequalquervetorv,podemosencontrarumvetorunitriow(nomeadode versor de v). Para isso usamos a frmula matemtica w=vv pois w=w = | | .1vv=1. Todovetorunitriowdemesmadireoemesmosentidodeumvetornonulo v chamado de versor de v .Por exemplo, veja figura:

v

1u o versor de v 2u no o versor de v

A todo vetor v possvel associar dois vetores unitrios w e (-w) de mesma direo de v pois = u u = 1. Exemplo 1: O vetor v=(0,-1) um vetor unitrio porquev =2 2) 1 ( ) 0 ( + =1 0 + =1 = 1. Exemplo 2: O vetor v = (1,1) no unitrio porquev1. Exemplo 3: A partir do vetor v = (1,1) no unitrio encontrar um vetor unitrio w. Resoluo: w=vv= 2 2) 1 ( ) 1 () 1 , 1 (+= ||

\|21,21.O vetor w encontrado nomeado de versor de v e unitrio porquew = 1. Exemplo 4: A partir do vetor encontre um vetor unitrio, ou determine um vetor unitrio u na direo do vetor v = (2,-2, 1). Resoluo: Observe que o vetor v = (2,-2,1) no um vetor unitrio pois o seu comprimento diferente de 1 ou seja, 3 9 1 (-2) (2) v2 2 2= = + + = 1. Obtemos o vetor unitrio u a partir de v, aplicando a frmula,Osvetores 1u e 2u dafiguraaoladosovetores unitrios, pois tm mdulo igual a 1. No entanto, apenas 1utem a mesma direo e o mesmo sentido de v . 2u1ulgebra Linear Vetores em Rn 116 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira u =vv= 2 2 2) 1 ( ) 2 ( 2) 1 , 2 , 2 (+ +=9) 1 , 2 , 2 ( ou|||

\|91.( ) 1 , 2 , 2 =||

\| 31,32,32 = u. O vetor u encontrado um vetor unitrio pois seu mdulo (ou norma) igual a 1. Fazendo a verificao! u =( ) ( ) ( )2 2 23 / 1 3 / 2 3 / 2 + + = 919494+ + = 99= 1 = 1 6.4 Mdulo de Vetor Livre omo j vimos, um vetor pode ser representado por um segmento orientado que no parte daorigemdosistema.Nestecaso,ovetorrepresentadoporumsegmentoAB (Fig.a) de origem no ponto A(x1,y1) e extremidade em B(x2,y2) e para determinar sua representao algbrica fazemos: AB= B A ) , ( ) , (1 1 2 2y x y x AB =) , (1 2 1 2y y x x AB = = v (vetor) O mdulo deste vetor determinado a partir do clculo da distncia entre dois pontos AB (Fig.b), definido por: Assim,DistAB = AB=A BB A = (x2,y2) (x1,y1) B A = (x2 - x 1, y2 - y1) DistAB =A B =21 221 2) ( ) ( y y x x + De forma similar, em R3 A distncia entre dois pontos P = (x1, y1, z1) e Q = (x2, y2, z2) igual a norma do vetor PQ. Observe a Fig.(c). Como PQ= OP OQ = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1), ento a distncia de P a Q dada por: dist (P, Q) = | PQ|= 21 221 221 2) ( ) ( ) ( z z y y x x + + Fig.(a)Fig.(b) Fig.(c) v = OP OQ Exemplo 1:A norma (ou mdulo) de v = (-1, - 3, 4) |v|= 2 2 2) 4 ( ) 3 ( ) 1 ( + + =26 . Exemplo 2: A distncia entre os pontos P = (-1, - 3, 4) e Q = (-1, 2, -2) : dist (P, Q) = |PQ| = 2 2 2) 4 2 ( )) 3 ( 2 ( )) 1 ( 1 ( + + =36 25 0 + + =61 . C lgebra Linear Vetores em Rn 117 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Exemplo3:SabendoqueadistnciaentreospontosA(-1,2,3)eB(1,-1,m)7,calcularo valor de m. Resoluo: A 7 B ou seja AB = 7 AB= B A (1,-1,m) (-1,2,3) = (2,-3,m-3) AB = 2 2 2) 3 ( ) 3 ( 2 + + m= 7 m = 9 ou m = -3 Exemplo 4: Determinar o valor de a para que o vetor V = (a,41,21 ) seja unitrio. Resoluo: Vetor unitrio V= 1 V= 161412+ + a= 1 16 = 162a + 5 a = 411 Exemplo5:Dadososvetoresu=(2,n,-1)ev=(n,5,-1)eospontosA(1,-1,2)eB(1,2,-1), determinar o valor de n tal que u(v+AB) = 5 Resoluo: AB= B-A =(1,2,-1)- (1,-1,2)=(0,3,-3) Se u(v+AB)= 5 (2,n,-1).[(n,5,-1)+(0,3,-3)]=5 (2,n,-1).(n,8,-4)=5 2n+8n+4=5 10n+4=5 10n=5-4 n= 101 Exemplo 6: Dados os pontos P(-3,4) e Q = (-4,-1), determine o vetor u = PQ, o mdulo de u, a distncia entre P e Q e encontre um versor w de u. Resoluo: u = PQ u = (-4,-1) (-3,4) = (-1, -5) u =26 ) 5 ( ) 1 (2 2= + DPQ=26 25 1 ) 4 1 ( )) 3 ( 4 (2 2= + = + w= uu= |||

\| =|||

\| = 2626 5,2626265,26126) 5 , 1 (.Notequewumvetorunitrio obtido a partir de u, portanto w versor de u. Exemplo7:Apartirdovetoru=(3,4)encontreoversorvdeu(ouencontreumvetor unitrio v na direo do vetor u)Resoluo: Observe que o vetor u = (3, 4) no um vetor unitrio, poisoseucomprimentodiferentede1ouseja,1 5 25 4 32 2 = = + = u Obtemos o vetor unitrio v a partir de u, aplicando a frmula:v = uu.| |1|||

\|

Assim, v = uu.| |1|||

\|=( ) ( ) ||

\|= ||

\|=|||

\|+54,534 , 3 .514 , 3 .4 312 2. Observe o vetor projetado no plano. Seu mdulo (comprimento) igual a 1 u.m.(unidade de medida) lgebra Linear Vetores em Rn 118 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvoooccc!!! Resolva as atividades Lista 4 de Atividades1) Dados os vetores: u = ( 2, -1, 1 ), v = ( 1, -1, 0 ) e w= ( -1, 2, 2) , calcular : a) ; b) v . (u -w); c) ( 2u ).(3v ); d) (u +v ).(u -v ) e) w v ;f) v w; g)u xv ; h) (u v ).(u v ) i) w(u v );j) u (wxv ); k) v (wxu ); l) v (u -w) 2) Dados os pontos A(2,-1,2), B(1,2,-1) e C(3,2,1), determinar o vetor ||

\| CA BC CB 2 . 3) Considere os vetores do espao, u = (2,-4,5), v = (1/2, -2, -1) e w = (1,1,1).Demonstre a propriedade de produto interno (ou escalar) definida em:(i)u.v=v.u(ii) u(v+w)=u.v +u.w4)Dadososvetores u =(4,,-1)e v =(,2,3)eospontosA(4,-1,2)eB(3,2,-1), determinar o valor de tal que u .(v+ BA) = 5 5) Sejam u = ( 2, 3, 4, 0), v = ( 1,2 , 3, 2) e w = ( 3,2 ,-1, -1), vetores de R4. Encontre:a) < u, v>b) c) v.w 6) Determine o valor de x de modo que (x, 1, 3, 2).(2, x, 0, x) = 3 7)Apartirdoprodutointerno,vetorialemisto,podemosresolveralgunsproblemas.Por exemplo,calcularomdulodevetor,areadeparalelogramoetringulose,ovolume de paraleleppedo. Aplicando estes conceitos, determine: 7.1) Sejam os vetores u ( 3,1,-1 ) e v = ( a,0,2 ).Calcularo valor de a para que a rea do paralelogramo determinado por ue vseja igual a6 2 . 7.2)CalcularareadotringulocujosvrticessoospontosA=(1,-2,1);B=(2,-1,4)e C=(-1,-3,3). (Dica: Frmula da rea do tringulo S = v u21) 7.3)Calcularovalordemparaqueovolumedoparaleleppedodeterminadopelos vetores 1v , 2ve 3vseja igual a 10 para: 1v =2i - y ,2v =6i +my -2ke 3v =4i +k. 7.4)Osvetores a =(2,-1,-3), b =(-1,1,-4)e c =(m+1,m,-1)determinamum paraleleppedo de volume 42. Calcular m. 7.5) Encontre o mdulo dos vetores u = (2,4,5) e v = (-1, 3,4). 8) Verifique se os vetores u = (-1,3), v = (1,1) e w = (2,4) so unitrios. 9) Encontre o versor w, dos vetores: (a) u = (1,2,3);(b) v = (-1,3,2);(c) s = (0,2,1). 10)Determinar para que o vetor v = (,21,21 ) seja unitrio.11) Sabendo que a distncia entre os pontos A(-1,2,3) e B(1,-1,m) 7, calcular m.

12) Determinar x para que o vetor v = (x,21,31) seja unitrio.13) Dados os vetores de lR2, definidos por u= (1,2,3), v=(-1,1,4) e w = (1,1,3), encontre: (a) O produto interno entre v e w(b) vx(u-w) (c) O produto misto entre w, u e v(d) O volume do paraleleppedo formado por w, u e v (em m3). (e) (f) ux(v-w) (g) u(vxw)(h) O volume do paraleleppedo formado por u, v e w.lgebra Linear Vetores em Rn 119 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira (i) u.w(j) ux(w-v) (k) O produto misto entre v, u e w.(l) O volume do paraleleppedo formado por v, u e w. (m) A rea do paralelogramo formado por u e v (em m2) (n) A rea do paralelogramo formado por v e w (o) A rea do paralelogramo formado por u e w (p) A quantidade de papelo gasto para construir um paraleleppedo formado pelos vetores u, v e w em m2 (desconsidere as bordas para colar as laterais e bases do objeto). Respostas: 1a) -3; b) 6; c) 18; d) 4; e) 2i+2j-k ou (2,2,-1); f) -2i-2j+k; g) i+j-k; h) 3; i) -1; j) 1; k) -1; l) i+j ou (1,1,0); 2)(12,-8,-12)ou 12i-8j-8k; 3)(i)provarqueu.v=4=v.u;(ii)provar queu(v+w)=7=u.v+u.w; 4) x = 7/3; 5(a) 14 + 3. 21/2(b) 2+ 3. 21/2(c)0; 6) x = 3/5;7.1) a=-2 ou a = -4; 7.2) S=a u.210 3; 7.3) m=-2 ou m = -12; 7.4) m=2 ou m=-8/3; 7.5)5 3 = ue26 = v ; 8) Os vetores u, v e w no so unitrios pois tem mdulo diferente de 1 unidade ou seja,10 = u ,2 = v e5 2 = w ; 9) Os versores procurados so: (a) w = |||

\|143,142,141; (b) w = |||

\|142,143,141;(c) w = |||

\|51,52, 0 ; 10) = 22; 11) m = -3 ou m = 9; 12) = 623; 13)(a) = 12(b) vx(u-w)= -4i k ou (-4,0,-1) (c) w(uxv) = 7(d) O volume do paraleleppedo formado por w, u e v 7m3. (e) = 13(f) ux(v-w) = 2i-7j+4k = (2,-7,4) (g) u(vxw) = 7(h) O volume do paraleleppedo formado por u, v e w 7m3. (i) u.w = 12(j) ux(w-v) = -2i+7j-4k ou (-2,7,-4) (k) v(uxw) = -7(l) O volume do paraleleppedo formado por v, u e w 7m3. (m) A rea do paralelogramo formado por u e v S= 17 m2 (n) A rea do paralelogramo formado por v e w S=3 6 m2 (o) A rea do paralelogramo formado por u e w S= 10 m2 (p)Aquantidadedepapelogastoparaconstruirumparaleleppedoformadopelosvetoresu,vewemm2de 2( 17 +3 6 + 10 ) m2= 29,26m2 considerando17 =4,12, 6 =2,45 e10 =3,16 7 ngulos e Vetores: Paralelismo e Ortogonalidade 7.1 ngulo de dois vetores: produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma u.v = |u| |v| cos onde o ngulo formado pelas semi-retas que contm u e v tal que0 v 180. A partir desta definio de produto escalar, podemos obter o ngulo entre dois vetores genricos u e v, no-nulos, fazendo cos = v uv u.., para os vetores u 0 e v 0.Aps encontrar o valor do cos , encontramos o ngulo na tabela de cossenos. Ou: O ngulo de dois vetores ue vno nulos o ngulo formado pelas semi-retas AO e OB e tal que 0 . Demonstrao: Sejam os vetores u e v abaixo e o ngulo entre elesO lgebra Linear Vetores em Rn 120 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Aplicando a lei dos cossenos ao tringulo ABC tem: cos . . 22 2 2v u v u v u + = . Lembrando que + = v u v u v u 22 2 2 Ento comparando as duas equaes temos: cos 2 22 2 2 2v u v u uv v u + = +uv 2 = -2 cos v u -2 cos v u=uv 2 cos= v uuv22v uv u.=Portanto, cos v uv u.= PROPOSIES (a)Se=, u e v tmamesma direo e sentidos contrrios. (b)Se=0, u e v tmamesma direo e mesmo sentido. (c) Se = 2, ue v so ortogonais e indica-se: u v . Neste caso o OBC permite escrever: (teorema de Pitgoras)= + 2v u2 2 +v u (d) O vetor nulo considerado ortogonal a qualquer vetor. (e) Se u ortogonal a v e m um nmero real qualquer, u ortogonal a mv . (f)Onguloformadopelosvetores ue(-v )osuplementodongulode ue v . Exemplo 1: Se u = (-2,-2) e v = (0, -2) ento ongulo entre os vetores u e v de45. Verificando: cos = v uv u..= 2 2 2 2) 2 ( ) 0 ( . ) 2 ( (-2),-2) (-2,-2).(0 + + = 0 = - lgebra Linear Vetores em Rn 121 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira cos = 22212 443244 . 84 0= = = =+ cos = 22ento = 45o

Exemplo 2:Calcular o ngulo entre os vetoresu = (1,1,4)e v = (-1,2,2) Resoluo: cos = v uv u..2 3 18 16 1 1 = = + + = u 3 9 4 4 1 = = + + = vcos = ( )( )22212 992 98 2 13 . 2 32 , 2 , 1 . 4 , 1 , 1= = =+ + =

cos =04522= Exemplo3:Sabendoqueovetor v =(2,1,-1)formaumngulode60comovetor AB determinado pelos pontos A (3,1,-2) e B (4,0,m), calcular m. Resoluo: AB= B A( 4,0,m ) (3,1,-2 )( 1,-1,m+2) 6 4 4 4 1 12 2____+ + = + + + + = m m m m AB6 1 1 4 = + + = v... = 60cos 60 = 21 cos = ( )( )( ) 6 4 62 , 1 , 1 1 , 1 , 221..2+ ++ = m mmv uv u( ) ( ) 2 1 2 2 6 4 62 = + + m m m( ) 6 4 62+ + m m =[2(-1-m)]26m +24m + 36 = (-2 2m)6m +24m + 36= 4 + 8m + 4m m+8m+16=0 =(8)2-4.1.16=0m= 42820 8 == Portanto, m = -4 Exemplo 4: Determinar os ngulos internos do triangulo ABC, sendo A(3,-3,3); B (2, -1, 2) e C ( 1, 0, 2) e seus lados so respectivamente AC, AB e BC. Resoluo: Calcular cos B A cos ,e cosC( ) ( ) ( ) 1 , 2 , 1 3 , 3 , 3 2 , 1 , 2 = =A B AB( ) ( ) ( ) 1 , 3 , 2 3 , 3 , 3 2 , 0 , 1 = =A C AC( ) ( ) ( ) 0 , 1 , 1 2 , 1 , 2 2 , 0 , 1 = =B C BC6 1 4 1 = + + =AB14 1 9 4 = + + =AC2 1 1 = + =BC0^ ^10 , 199449 , 02852 . 140 3 2..cos=+ + = = BC ACBC ACC C . Portanto, 0^19285arccos = = CDe forma similar, encontramos os Exemplo5: Provar que o triangulo de vrtices A ( 2,3,1 ) , B ( 2,1,-1 ) e C ( 2,2,-2 ) um trianguloretngulo.Obs.:Quandooprodutoescalardedoisvetoresforigualazeroele retngulo. lgebra Linear Vetores em Rn 122 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Resoluo:( ) 2 , 2 , 0 =A B AB( ) 3 , 1 , 0 =A C AC( ) 1 , 1 , 0 =B C BC( )( ) 0 8 6 , 2 0 3 , 1 , 0 2 , 2 , 0 . = + + = AC AB( )( ) 0 2 2 0 1 , 1 , 0 2 , 2 , 0 . = + = BC ABLogo o triangulo ABC retngulo. 7.2 Decomposio de um vetor v = P(x,y) A decomposio de vetores usada para facilitar o clculo do vetor resultante. Observe a seqncia de aes nas figuras (a), (b) e (c).(a) Consideremos o vetor v = P(x,y) nomeado de F sendo F o vetor fora e o ngulo entre F e o eixo x.(b) Vamos decompor o vetor F em outros dois vetores FxeFy.(c)Agora,vamostrocarovetorFydeposioparaformarmosumtringulo retngulo. (a)(b)(c) Note que, para determinar o valor de Fx e Fy basta resolvermos o tringulo retngulo

Portanto: =FFysenFy = F sen =FFx cosFx = F cos 7.3 ngulos Diretores e Cossenos Diretores de um Vetor eja o vetor + + = zk yj xi v .ngulos diretores de v so os ngulos , ,que vforma com os vetores k j i , ,respectivamente. K v

Observao:osvetoresdabasecannica {i =(1,0,0), y =(0,1,0), k =(0,0,1)} so ortogonais entre si. 0 . . . = = = k y k i y ie so unitrios S Fx = vetor fora no eixo x Fy = vetor fora no eixo y F =vetor fora = ngulo entre F e o eixo x Lembrando da trigonometria: hipo csen. .= e hipa c . .cos = Neste caso: Fx o cateto adjacente (c.a.) do ngulo, Fy o cateto oposto (c.o.) do ngulo e F a hipotenusa. lgebra Linear Vetores em Rn 123 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira j

I 1 1 1 = = = = = k y i Cossenosdiretoresde v sooscossenosdeseusngulosdiretoresisto, cos cos , cos , . Para o clculo dos cossenos diretores, utilizamos a frmula do ngulo entre dois vetores. Demonstrao: seja v = ( x, y, z ) , i = (1, 0, 0 ) , y = (0, 1, 0 ) e k = ( 0, 0, 1 ) ento: ( )( ) =+ += =vxz y xz y xi vi v2 2 20 , 0 , 1 . , ,..coscos=vyecosvz= Exemplo 1: Calcular os cossenos diretores e os ngulos diretores do vetor v = ( 6,-2,3 ) cos03176cos76= = = =((

= vx cos0107 286 , 0 cos72= = == cos065 428 , 0 cos 428 , 073= = = = = Exemplo 2: DadosospontosA(2,2,-3)eB(3,1,-3).Calcularoscossenosdiretoreseosngulos diretores do vetor AB . AB = B A = ( 1,-1,0 ) cos0452221= = = cos01352221=== cos090 0 cos 020= = = = = Observao Importante: Sempre que um vetor tem nula uma de suas componentes, a sua correspondente ortogonal (exemplo acima). 7.4 Paralelismo de dois vetores ois vetoresu = (u1, u2, ..., un )ev = (v1, v2, ..., vn) so paralelos (ou colineares)indica-seu//v quando suas coordenadas so proporcionais ou seja: u v se nnvuvuvu= = = ...2211 = k ,k real. Os vetores paralelos tm a mesma direo, independe do sentido. Note que u // v // w. D lgebra Linear Vetores em Rn 124 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Exemplo 1: Considere u = (2,3,-7), v = (-4,-6,14). Verifique se so vetores paralelos. Resoluo:Por definio, u v se nnvuvuvu= = = ...2211 = k. Fazendo u//v = 1476342 == obtemos u//v = 21. Note que as componentes so proporcionais porque a razo entre elas k = 21. Assim, ue v so vetores paralelos. Exemplo2:Determinarosvaloresdemenparaquesejamparalelososvetores ) 1 , 3 , 1 ( + = m Ue) 1 2 , 2 , 4 ( = n VResoluo:= =+11 22341 n m455 4 3 2 4 1 2235 10 2 12 2 22341= = = == = = + = =+n n n nm m mm Exemplo3:DadosospontosP(1,2,4),Q(2,3,2)eR(2,1,-1),determinarascoordenadasde um ponto S tal que, P, Q, R e S sejam vrtices de um paralelogramo. Resoluo: Basta usar uma igualdade para achar as coordenadas de S. ) 1 , 0 , 1 (1 2 10 1 11 1 2) 2 , 1 , 1 ( ) 1 , 1 , 2 () 2 , 1 , 1 ( ) 4 , 2 , 1 ( ) 2 , 3 , 2 () 1 , 1 , 2 ( ) , , ( ) 1 , 1 , 2 (== = = = = = = = = = = =Sz zy yx xz y x PQ SRP Q PQz y x z y x S R SR Exemplo 4: Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetoresU = (m +1, 3,1) e V = (4,2,2n 1). Soluo: A condio de paralelismo de dois vetores permite escrever: 1 212341= =+nmou

= = +2 ) 1 2 ( 312 ) 1 ( 2nm = = +2 3 612 2 2nm A soluo do sistema permite dizer que m = 5 e n = 5/6 Lembre-se que:Umvetorv=(x1,y2,z3)podeterasuaorigememqualquerponto.Normalmente, situamos o ponto de origem, na origem do sistema (0,0,0).Quandono situado a partir da origem, o vetor livre, ele no tem posio fixa, ao contrrio do ponto.PontoMdiodeumsegmento:possveldeterminarasexpressesdas coordenadasdopontomdiodosegmentoderetadeextremidadesA(x1,y1)e B(x2,y2). Soluo:OpontomdioMtalque = MB AMou M A = B M.Sendo M(x,y), vem ento:(x x1,y y1) = (x2 x,y2 y) e dai temosx x1 = x2 x e y y1 = y2 y, por tanto:2x = x2 + x1 e 2y = y2 + y1

lgebra Linear Vetores em Rn 125 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira Logo:x = 2 22 1 1 2x x x x +=+ ey = 2 22 1 1 2y y y y +=+

7.5 Ortogonalidade de dois vetores ois vetoresu = (u1, u2, ..., un )ev =(v1,v2,...,vn)soortogonais (ouperpendiculares),quandoo nguloporelesformadode90 (nguloreto).Nestecaso,cos= cos 90 = 0, o que implica, pela frmula do clculodengulosdevetores,queo produtointernousualentreeleszeroou seja, u . v=0Indica-se u v.Podemos afirmar tambm que cos =0..=v uv u

Exemplo 1: Considere u = (2,3), v = (-3,2)e w = (-6,4). Verifique se os vetores, dois a dois, so ortogonais.Resoluo:u.v= (2,3). (-3,2) = -6 + 6 = 0 logo u e v so ortogonais. u.w= (2,3). (-6,4) = -12 + 12 = 0 logo u e w so ortogonais v.w= (-3,2). (-6,4) = 18 + 8 = 26 0 logo v e w no so ortogonais Projete-os no plano cartesiano e verifique se, geometricamente, os vetores ortogonais formam entre si, ngulo reto. Exemplo2:Verifiqueseosvetoresu=(-3,2)ev=(4,3), elessoortogonaisnoespao vetorial V = R2 em relao ao produto interno no usual definido em:(x1, y1) . (x2, y2) = x1 . x2+ 2 y1 . y2 .Resoluo:u.v= (-3,2) . (4,3) = -3.4 + 2.2.3 = -12 + 12 = 0 logo u e v so ortogonais. Exemplo 3:Verifique se os vetores u = (1,2) e v = (-2,1), so ortogonais no espao vetorial V = R2 em relao ao produto interno usual.Resoluo:u.v= -2+2=0. Logo u e v so ortogonais.Oucos = 0..=v uv u cos =5 . 5) 1 , 2 ).( 2 , 1 ( cos =252 2 + cos =0.Secos =0,ento =90, portanto os vetores so perpendiculares ou ortogonais. AAAgggooorrraaa,,, ttteeennnttteee vvvoooccc!!! Resolva as atividades Lista 5 de Atividades 1) Sejam u = ( 2, 3, 4, 0), v = ( 1,2 , 3, 2) e w = ( 3,2 ,-1, -1), vetores de R4. Verifique quais vetores so ortogonais dois a dois e justifique.2) Considere os vetores u = (-1, 2, 5, 3), v = (3, -6, -15, -9)e w = (0, 1, -1, 1), vetores de R4. Determine: (a) Os vetores so paralelos (verifique dois a dois)? Justifique. (b) Os vetores so ortogonais (verifique dois a dois)? Justifique. 3)Existemvaloresparak,demodoqueu=(2k,6,0,1,8)ev=(3,2k,1,0,2)sejam ortogonais?D lgebra Linear Vetores em Rn 126 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira 4)Sabendoqueonguloentreosvetores u e v de600,determinaronguloformado pelos vetores: a) ue -vb) - ue vc)- ue- vd)2ue 3v5) Encontre os ngulos diretores e cosseno diretor do vetor u = (-2, 3). 6) Encontre os ngulos diretores do vetor u = (1,3,2).7) Determinar a e b de modo que os vetores u = (4,1,-3) e v = (6,a,b) sejam paralelos. Respostas: 1) v e w so ortogonais pois v . w = 0; 2) u e v so paralelos pois u/v=k=-1/3; u e w no so paralelos pois no se define k para -1/0; v e w no so paralelos pois no se define k=3/0; 2b) os vetores u e w, v e w so ortogonais pois seu produto interno nulo e os vetores u e v no so ortogonais pois seu produto -127.; 3) Sim, u e v so ortogonais para k = -8/9; 4) a) 120b) 120c) 60d) 60 ; 5) cos = 1313 2 ento = ....;cos= 1313 3ento=....;6)cos= 1414ento=....;cos= 1414 3ento=....;cos= 1414 2ento =... 7) u e v so paralelos para a=3/2 e b=-9/2. Atividade Complementar 1)DeterminaraextremidadedosegmentoquerepresentaovetorV =(2,-5),sabendo que sua origem o ponto A(-1,3). 2)Dados os vetores U= (3,-1) eV = (-1,2), determinar o vetor Wtal que: a)4(U-V ) + 1/3W= 2U- Wb)3W- (2W- W ) = 2(4W- 3U ) 3)Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular AB OA, BC OCe CB BA 4 3 . 4)DadososvetoresU =(3,-4)eV =(-9/4,3),verificarseexistemnmerosaeb tais queU= a V e= V=b U . 5)Dados os vetores u = (2,-4) e v = (-5,1) e v = (-12,6), determinar K1 e K2 tal que v = K1u +K2v. 6)Dados os pontos A(-1,3), B(1,0), C(2,-1), determinar D tal que =BA DC . 7)Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que =PB AP . 8)Dados os pontos A(-1,2,3) e B(4,-2,0), determinar o ponto P tal que = AB AP 3 . 9)Determinar o vetor v sabendo que (3,7,1) + 2v = (6,10,4) - v. 10) Encontrar os nmeros a1 e a2 tais que w = a1v1 +

a2v2, sendo v1 = (1,-2,1), v2 = (2,0,-4) e w = (-4,-4,14). 11) Verificar se so colineares os pontos: a) A(-1,5,0), B(2,1,3) e C(-2,-7,-1)b) A(2,1,-1), B(3,-1,0) e C(1,0,4) 12) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A(3,1,-2), B(1,5,1) e C(a,b,7). 13) MostrarqueospontosA(4,0,1),B(5,1,3),C(3,2,5)eD(2,1,3)sovrticesdeum paralelogramo. 14)Verifique se o vetor u = (1,4) unitrio. 15)A partir dos vetores u = (2,1), v = (-1,3) e w = (1,1) encontre os vetores u, v, w que sejam unitrios.16) Dados os pontos A(-1,2), B(3,1) e C(-2,4), determinar D(x,y) de modo queAB CD21=17)Sabendo que a distncia entre os pontos A(-1,2,3) e B(1,-1,m) 7, calcular m.Respostas: 1) (1,-2); 16) D = (0,7/2).17)m=-3 ou m = 9. lgebra Linear Vetores em Rn 127 Prof(s) MSc.Elisa Netto Zanette, MSc. Sandra Regina da Silva Fabris e Dr.Ledina Lentz Pereira

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