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1 RESUMO DE MATEMATICA https://uehelenacarvalho.wordpress.com/ PROF. RANILDO LOPES

APOSTILA DE GEOMETRIA - RESUMO

PROF. RANILDO LOPES

APOSTILA

DE

Geometria Plana MATEMÁTICA

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ÍNDICE 1 – Ângulos

1.1 – Definição

1.2 – Ângulo agudo

1.3 – Ângulo obtuso

1.4 – Ângulos opostos pelo vértice

1.5 – Ângulos suplementares

1.6 – Ângulos complementares

1.7 – Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma transversal

2 – Triângulos

2.1 – Definição

2.2 – Elementos

2.3 – Classificação

2.4 – Soma dos ângulos de um triângulo

2.5 – Ângulo externo

2.6 – Teorema do ângulo externo

2.7 – Bissetriz de um ângulo

2.8 – Altura

3 – Congruência de triângulos

3.1 – Definição

3.2– Casos de congruência

4 – Polígonos

4.1 – Definição

4.2 – Nomenclatura

4.3 – Polígono Convexo

4.4 – Ângulos de um polígono convexo

4.5 – Ângulos internos

4.6 – Ângulos externos

4.7 – Polígono regular

4.8 – Ângulos num polígono regular

5 – Ângulos na circunferência

5.1 – Ângulo central

5.2 – Ângulo inscrito

5.3 – Ângulo de vértice interno

5.4 – Ângulo de vértice externo

5.5 – Ângulo de segmento

6 – Quadriláteros

6.1 – Definição e elementos

6.2 – Soma de ângulos interno

6.3 – Classificação

6.3.1– Paralelogramo

6.3.2– Trapézio

7 – Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo

7.1 – Mediana de um Triângulo

7.2 – Bissetriz

7.3 – Altura

7.4 – Mediatriz

7.5 – Teorema de Tales

7.6 – Teorema da bissetriz interna

7.7 – Teorema da bissetriz externa

8 – Semelhança de triângulos

8.1 – Definição

8.2 – Razão de semelhança

9 – Relações Métricas no Triângulo Retângulo

10 – Área das Figuras Planas


1 – Ângulos

1.1 – Definição Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por duas semi-retas que partem de um mesmo ponto.

Em que:

OAe OB são os lados do ângulo

“O” é o vértice do ângulo.

Ângulos importantes:

Medida

Ângulo Figura Graus Radianos

Reto

90º π/2 rad

Raso

180º π rad

de uma volta

360º 2π rad

Observação: 1º = 60’ (1 grau = 60 minutos)

1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos)

1) Simplifique as seguintes medidas:

a) 30º70’= b) 110º58’300” = c) 45º150’ = d) 30º56’240” = e) 65º39’123” =

2) Determine as somas:

a) 30º40’ + 15º35’ = b) 10º30’45” + 15º29’20” =

3) Determine as diferenças:

a) 20º50’45” – 5º45’30” = b) 31º40’ – 20º45’ = c) 90º15’20” – 45º30’50” = d) 90º - 50º30’45” =

4) Determine os produtos:

a) 2 x (10º35’45”) = b) 5 x (6º15’30”) =

5) Determine as divisões:

a) (46º48’54”) ÷ 2 = b) (31º32’45”) ÷ 3 = c) (52º63’45”) ÷ 5 =

1.2 – Ângulo agudo É aquele cuja medida é menor que a de um ângulo reto.

1.3.1 – Ângulo obtuso É aquele cuja medida é maior que a de um ângulo reto e menor que a de um raso.

1.4 – Ângulos opostos pelo vértice São aqueles cujos lados de um são semi-retas opostas dos lados do outro.

α

α

A

B

. . O

Indica-se:

A O

B ou α O .

.

. B

α

A

O A

B

. . .

. . . A B O

.


1.5 – Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180º.

1.6 – Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90º.

6) Determine o valor de x nos casos:

a)

b)

c)

d)

e)

7) Determine o valor de x nos casos:

a) b)

8) Calcule o complemento dos seguintes ângulos:

a) 25° a) 47°

9) Calcule o suplemento dos seguintes ângulos:

a) 72° b) 141°

10) Dado um ângulo de medida “x”, indique:

a) Seu complemento; f) A sétima parte do complemento;

b) Seu suplemento; g) A quinta parte do suplemento;

c) O dobro do seu complemento; h) O complemento da sua terça parte;

d) A metade do seu suplemento; i) O triplo do suplemento da sua quinta parte.

e) O triplo do seu suplemento;

11) Dê a medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.

12) Determine a medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.

α + β = 90º

β

α .

β α

α + β = 180º

β

α

θ

γ

α e γ são opostos pelo vértice

β e θ são opostos pelo vértice

Dois ângulos opostos pelo

vértice têm medidas iguais,

ou seja, são congruentes.

. x

4x - 25° 2x

4x + 30°

30º

x

50º

.

30º

x

35° x .

2x – 10° 40°

2x – 10° x + 20°


13) Calcule o ângulo que vale ao quádruplo do seu complemento.

14) Calcule um ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 36°.

15) Qual é o ângulo que excede o seu complemento em 76°?

16) O triplo do complemento de um ângulo, aumentado em 50°, é igual ao suplemento do ângulo. Determine a medida do

ângulo.

17) Determine as medidas de dois ângulos suplementares, sabendo que o dobro de um deles, somado com a sétima parte do

outro, resulta em 100°.

18) A soma de um ângulo com a terça parte do seu complemento resulta em 46°. Determine o suplemento desse ângulo.

1.7 – Ângulos formados por duas retas paralelas interceptadas por uma

transversal

Duas retas paralelas r e s, interceptadas por uma transversal, determinam oito ângulos, assim denominados:

Propriedades

19) Determine o valor de x e y, sendo r // s.

20) Calcule o valor de x, sendo r // s.

21) Se r // s, calcule α.

22) Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Calcule α.

r

s

t

a b

c d

β α

θ γ

Ângulos correspondentes: a e α , b e β , c e γ , d e θ ;

Ângulos alternos internos: c e α , d e β ;

Ângulos alternos externos: a e γ , b e θ ;

Ângulos colaterais internos: c e β , d e α ;

Ângulos colaterais externos: a e θ , b e γ .

Ângulos alternos internos são congruentes

Ângulos alternos externos são congruentes

Ângulos correspondentes são congruentes

Ângulos colaterais internos são suplementares

Ângulos colaterais externos são suplementares

r

s

70º

4x

3x

y

r

s

40°

112°

x

r

s

30°

110°

α

r

s

A

B

C

3α

100°

2α


23) Na figura, calcule a medida do ângulo α, sendo r // s.

24) Na figura, AB é paralelo a CD . Sendo C D B = 150º e A B C = 25º, calcule C B D.

2 – Triângulos

2.1 – Definição

Dados três pontos A, B, C não colineares, a reunião dos segmentos , AC e BC chama-se triângulo ABC.

Indicação: Triângulo ABC = ΔABC = BCACAB

2.2 – Elementos

Vértices: os pontos A, B e C são vértices do ΔABC.

Lados: os segmentos (de medida c), AC (de medida b) e BC (de medida a) são os lados do triângulo.

Ângulos: os ângulos CAB

ou A

, CBA

ou B

e BCA

ou C

são os ângulos do ΔABC (ou ângulos internos do

ΔABC).

Diz-se que os lados BC , AC e e os ângulos A

, B

e C

são, respectivamente, opostos.

2.3 – Classificação Quanto aos lados, os triângulos se classificam em:

Eqüiláteros se, e somente se, têm os três lados congruentes;

Isósceles se, e somente se, têm dois lados congruentes;

Escalenos se, e somente se, dois quaisquer lados não são congruentes.

Um triângulo com dois lados congruentes é isósceles; o outro lado é chamado base e o ângulo oposto à base é o

ângulo do vértice.

Notemos que todo triângulo eqüilátero é também triângulo isósceles.

Quanto os ângulos, os triângulos se classificam em:

Retângulos se, e somente se, têm um ângulo reto;

Acutângulos se, e somente se, têm os três ângulos agudos;

Obtusângulos se, e somente se, têm um ângulo obtuso.

A

B C

R

S T

N

M P

ΔABC equilátero ΔRST isósceles ΔMNP escaleno

A

C

b c

a B

r

s

30°

80°

α

50°

A B

C D


O lado oposto ao ângulo reto de um triângulo retângulo é sua hipotenusa e os outros dois lados são os catetos do

triângulo.

2.4 – Soma dos ângulos de um triângulo A soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos.

2.5 – Ângulo externo

Dado um ΔABC e sendo CX a semi-reta oposta à semi-reta CB , o ângulo XCA

e é o ângulo externo do ΔABC adjacente a C

e não aos ângulos A

e B

.

2.6 – Teorema do ângulo externo Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

25) No triângulo ABC, calcule a(s) incógnita(s):

a) b) ACAB

c)

26) Calcule x no triângulo ABC da figura:

A

e é ângulo externo adjacente a C

BA

e

B C

e

O ângulo ê é o suplementar

adjacente de C

.

A

B C

e

X .

A

B C

º180CBA

B

C

A

.

D

E F

R

S T

ΔDEF acutângulo ΔABC retângulo em A ΔRST obtusângulo

150°

A

B C

80°

x x

A

B C

125º

y

2x+10º

A

B

C

2x-30º

x+10º

3x

A

B C

5x

4x


27) Na figura, o triângulo ABC é isósceles de base BC . Calcule o valor de x.

28) Calcule x e y indicados na figura abaixo:

2.7 – Bissetriz de um ângulo

Bissetriz de um ângulo é uma semi-reta de origem no vértice do ângulo que o divide em dois ângulos congruentes.

2.8 – Altura Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a

esse lado.

Na figura AH é uma altura do ΔABC.

29) A figura mostra um triângulo ABC, isósceles, de base BC . Sendo BD bissetriz de A B C e CD bissetriz de

A C B, calcule o valor de x.’

30) Se AH é a altura relativa ao lado BC do ΔABC, determine B e C .

31) No triângulo ABC da figura, se AH é altura e BS é bissetriz, determine B S C.

Dados: B A H = 30º e A C B = 40º.

A

B C

.

H

A

B C

.

H .

Bissetriz β

α

α β

2x

A

B

C

80º

E

B

A

x

55º

y 40º

30º

C

x

A

B C

80º

D

A

B C H

30°

x

S

40°

A

B C H

20° 50°


32) Da figura, sabemos que AH é a altura e AS é a bissetriz relativas a BC do triângulo ABC. Se B =70º e H A S = 15º,

determine C .

33) Na figura, calcule o valor de x.

34) Na figura, calcule o valor de x.

35) Na figura, determine o valor de x, β e γ.

36) No triângulo ABC da figura abaixo, B = 60º e C =20º. Qual o valor do ângulo H A S formado pela altura AH e a bissetriz

AS ?

3 – Congruência de triângulos

3.1 – Definição Um triângulo é congruente (símbolo ) a outro se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre

seus vértices de modo que:

Seus lados são ordenadamente congruentes aos lados do outro e

Seus ângulos são ordenadamente congruentes aos ângulos do outro.

A congruência entre triângulos é reflexiva, simétrica e transitiva.

A

B C

A’

B’ C’

''' CBAABC

''

''

''

CBBC

CAAC

BAAB

e

'ˆˆ

'ˆˆ

'ˆˆ

CC

BB

AA

x

2

40° .

.

2x

40° .

.

C

A B E

130°

α

γ .

.

D

β

F

.

A

B C H S

60° 20°

x

A

B C H S


3.2– Casos de congruência A definição de congruência de triângulos dá todas as condições que devem ser satisfeitas para que dois triângulos

sejam congruentes. Essas condições (seis congruências: três entre lados e três entre ângulos) são totais. Existem condições

mínimas para que dois triângulos sejam congruentes. São os chamados casos ou critérios de congruência.

1º Caso – LAL – postulado

2º Caso – ALA

3º Caso – LLL

4º Caso – LAAO

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse

lado,então esses triângulos são congruentes.

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses

triângulos são congruentes.

A

B C

A’

B’ C’

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a

ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

Esquemado 2º caso:

'CC

'C'BBC

'BB

ALA'C'B'AABC

'C'AAC

'AA

'B'AAB

A

B C

A’

B’ C’

A

B C

A’

B’ C’

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo

compreendido, então esses triângulos são congruentes.

Esquemado 1º caso:

'C'AAC

'AA

'B'AAB

LAL

'C'B'AABC

'CC

'C'BBC

'BB


Caso especial:

37) Considere os triângulos T1, T2, ..., etc, abaixo. Assinale os pares de triângulos congruentes e indique o caso de

congruência:

38) Nos casos a), b) e c) abaixo, selecione os triângulos congruentes e indique o caso de congruência:

a)

b)

c)

39) Determine o valor da incógnita (segmentos com “marcas iguais” são congruentes).

a) b) c)

d) AB = AC e) f)

Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,

então esses triângulos são congruentes.

70°

T1

3

4

60°

1

2

T2

8

35°

3

T3

35°

25°

10

T4

35° T5

3

8

T6

3 4

6

60°

T7

1

2

T8

4

3

70°

80°

5

20º

T9

6

T10

4 3 T11

25º 35º

10

80º

T12

5

20º

I

4

6

60º II

4

60º 60º

6

III 6

4

80º

I

45º 80º

II

45º

III 80º

45º

5 5

5

I

5 13

. II

5

13 .

III

13

5 .

x x

100º

25º

x

x

A

B C

x x

65º


4 – Polígonos

4.1 – Definição Seja (P1, P2, ..., Pn) um conjunto ordenado de n pontos de um plano, 3n , de modo que três pontos consecutivos

quaisquer, P1P2P3, P2P3P4, ..., Pn-1PnP1 e PnP1P2 sejam não-colineares, e considere os segmentos 21PP , 32PP , ... n1n PP e 1nPP .

Chama-se polígono P1P2...Pn à união dos segmentos e 21PP , 32PP , ... n1n PP e 1nPP os quais são chamados de lados

do polígono, enquanto os pontos são os vértices do polígono.

Assim, cada figura abaixo representa um polígono, e cada um deles corresponde a um conjunto ordenado de cinco

pontos (P1, P2, P3, P4, P5).

Um polígono é também chamado de contorno poligonal fechado.

Dois lados de um polígono são consecutivos quando têm uma extremidade comum. Por exemplo: P1 P2 e P2P3, ou

P1P2 e PnP1.

Um polígono é simples, se quaisquer dos lados não-consecutivos não se interceptam.

Assim, as figuras 1 e 2 representam polígonos simples.

A figura 3 não representa um polígono simples. Esse tipo de polígono é chamado de polígono estrelado ou polígono

entrelaçado.

O nosso estudo limita-se apenas aos polígonos simples, que serão daqui por diante chamados simplismente de

polígonos.

Num polígono, o número de vértices é igual ao número de lados.

Perímetro é a soma das medidas dos lados do polígono.

4.2 – Nomenclatura De acordo com o número de lados, alguns polígonos recebem nomes especiais.

3 Triângulo

4 Quadrilátero

5 Pentágono

6 Hexágono

7 Heptágono

8 Octógono

9 Eneágono

10 Decágono

11 Undecágono

12 Dodecágono

13 Tridecágono

20 Icoságono

4.3 – Polígono Convexo Um polígono é convexo se sua região poligonal é um conjunto convexo de pontos, ou seja, o segmento que liga dois

pontos quaisquer desse conjunto está contido nele.

Assim o polígono ABCDE da figura é um polígono convexo.

Caso contrário, é chamado de não-convexo. Assim, o polígono FGHLM é um polígono não-convexo.

P1

P2

P3

P4

P5 P1

P2 P3

P4

P5

P1

P2

P3 P4

P5

figura 1 figura 2 figura 3

A

B

C

D

E


4.4 – Ângulos de um polígono convexo Ângulo interno de um polígono é convexo é um ângulo formado por dois lados consecutivos do polígono.

Ângulo externo de um polígono convexo é um ângulo adjacente a um ângulo interno desse polígono.

Na figura, o ângulo ADC é um ângulo interno, e o ângulo CDE é um ângulo externo do quadrilátero ABCD.

Decorre dessas definições que º180EDCCDA

.

4.5 – Ângulos internos A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é º1802n .

Unindo um dos vértices aos outros n – 3, convenientemente escolhidos, obteremos n – 2 triângulos. A soma das

medidas dos ângulos internos do polígono é igual a soma das medidas dso ângulos internos dos n – 2 triângulos.

Portanto:

Assim, um quadrilátero é decomposto em 2 triângulos, um pentágono, em três triângulos, e assim por diante.

4.6 – Ângulos externos Em todo polígono convexo, tomando-se um ângulo externo para cada vértice, a soma de suas medidas é 360º.

Como cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente, a soma dos ângulos internos com os ângulos

externos dá 180º. n . Subtraindo a soma dos ângulos internos, que é (n – 2) . 180º , resulta que a soma dos ângulos externos é 2

. 180º, ou seja, 360º.

Conclusão:

4.7 – Polígono regular

F

G H

L

M

A

B C

E D

Si = (n – 2) . 180º

P1

P2

P3

P4 P5

P6

P7

i2

i3

i4 i5

i6

i7 i1

P1

i1 P2

i2

P3

i3

P4

i4

P5

i5

e1

e2

e3

e4

e5

e6

e7

P6

P7

i6

i7

Se = 360º


Um polígono é equilátero se possui os lados congruentes entre si, e equiângulo, se possui os ângulos congruentes

entre si.

Assim, o quadrilátero da figura 1 é equilátero e o da figura 2 é equiângulo.

Um polígono convexo é regular se ele é equilátero e equiângulo.

Observação:

Num polígono regular existe um ponto que dista igualmente dos vértices; ele é chamado centro do polígono.

4.8 – Ângulos num polígono regular Ângulo interno

Um polígono regular é equiângulo. Sendo ai a medida de um ângulo interno, como ele é suplementar do ângulo

externo, temos:

Ângulo externo

Os ângulos externos têm medidas iguais. Sendo ae a medida de um ângulo externo, temos:

Diagonal

A diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não-consecutivos desse polígono.

Nas figuras abaixo, os segmentos AD e CE são diagonais dos polígonos ABCDE.

Número de diagonais

Na figura, tem-se um polígono de 7 lados e suas 14 diagonais.

figura 1

B C

figura 2

A

B C

D

C

A

B

n

º180)2n(a i

ai =

n

Si

n

º360a e

A

B

C

D

E A

B

C D

E

Se um polígono tem n lados, então ele possui 2

)3n.(n diagonais

A

B

G

A D A

B

C

D


Nota:

Nessa fórmula, o número (n-3) representa o número de diagonais que partem de um vértice.

40) Um polígono regular possui a partir de um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono.

Ache:

a) O polígono; b) O total de diagonais; c) A soma dos ângulos internos;

d) A soma dos ângulos externos; e) A medida de cada ângulo interno e de cada ângulo externo.

41) Calcule a soma dos ângulos internos de um eneágono.

42) Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.

43) Calcule a soma dos ângulos internos de um icoságono.

44) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 1800º?

45) Calcule o número de diagonais de um decágono.

46) Calcule o número de diagonais de um icoságono.

47) Determine o polígono cujo número de diagonais é o triplo do número de lados.

48) Determine o polígono cujo número de diagonais é o quádruplo do número de lados.

49) Determine o polígono que tem 9 diagonais distintas.

5 – Ângulos na circunferência

5.1 – Ângulo central É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.

5.2 – Ângulo inscrito É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência e os lados são cordas.

Observação:

Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto.

5.3 – Ângulo de vértice interno

O . α

A

B

α = AB

A medida de um ângulo central é igual a medida do ângulo que ele enxerga.

V . α

A

B

α = AB

2

A medida de um ângulo inscrito é igual a metade da medida do arco que ele enxerga.

C

A

B . O

.

ΔABC é retângulo

A

C

D .

B

. V

α


5.4 – Ângulo de vértice externo

5.5 – Ângulo de segmento

50) Nas figuras, calcule o valor de x:

a) b)

51) Determine o valor do ângulo x nos casos:

a) b) c)

d) e) f)

52) Calcule x nas figuras:

a) b) c)

53) Na figura, o arco CMD é igual a 100° e o arco ANB mede 30°. Calcule o valor de x.

α = AB + CD

2

A medida de um ângulo de vértice interno a circunferência é igual a semi-soma das

medidas dos arcos determinados pelos seus lados.

A medida de um ângulo de segmento é igual a metade da medida do arco por ele determinado.

α = AB – CD

2

A medida de um ângulo de vértice externo a circunferência é igual a semidiferença das medidas dos arcos

determinados pelos seus lados.

α = AB

2

A

V B

. O

α

A

C

D

B

. V

α

A

B

C

2x 140º

A

B

C

D

3x

30º

2x

x

70º

x

50º

x 120º

50º x

65º

x

165º 100º

150º

x

110º

D

C

B

A

140º 60º

D C

B A O

x

x

P 136º 32º

A

B

C D

P x O


54) Na figura, sendo ABC = 260°, calcule o valor de α.

6 – Quadriláteros

6.1 – Definição e elementos Quadrilátero é o polígono de quatro lados.

6.2 – Soma de ângulos internos A soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.

6.3 – Classificação Os quadriláteros podem ser classificados como: paralelogramo, trapézio ou quadrilátero qualquer.

6.3.1 – Paralelogramo É o quadrilátero cujos lados opostos são paralelos.

Valem as seguintes propriedades:

1ª) Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

2ª) Os ângulos opostos são congruentes.

3ª) As diagonais cortam-se no ponto médio.

Paralelogramos notáveis

Elementos principais

vértices: são os pontos A, B, C,e D;

lados: são os segmentos , BC , CD e DA ;

ângulos internos: são os ângulos A

, B

, C

e D

;

ângulos externos: são os ângulos a, b, c e d;

diagonais: são os segmentos AC e BD .

A

+ B

+ C

+ D

= 360º

A

a A

B

B

b

D

C

d

c C

D

D

A

B

M

C

x

A

B

D

C

N M

α P B

A

C

O

DCAB e ADBC

CA ˆˆ e DB ˆˆ

MCAM e MBDM

A

A

B

B

D

C

C

D


Retângulo Losango Quadrado

Figura

B

A C

D

DACDBCAB

e DACDBCAB

Definição

É o paralelogramo que

tem os quatro ângulos

congruentes e de medida

igual a 90º.

É o paralelogramo que tem os

quatro lados congruentes entre

si.

É o paralelogramo que tem os quatro lados e os

quatro ângulos congruentes entre si.

Propriedade As diagonais são

congruentes.

As diagonais cortam-se

perpendicularmente e são

bissetrizes dos ângulos de seus

vértices.

As diagonais são congruentes, cortam-se

perpendicularmente e são bissetrizes dos

ângulos de seus vértices.

6.3.2 – Trapézio É o quadrilátero em que apenas dois lados são paralelos entre si.

Propriedade:

Escaleno Isósceles Retângulo

Figura

BCAD ,

ABAD , CDAD

Propriedade Possui o par de lados opostos não-

paralelos não congruentes entre si.

Os lados não-paralelos são congruentes

entre si.

Um doa lados opostos não-

paralelos é perpendicular às

bases.

55) Determine a base e a altura de um retângulo, sabendo que o perímetro vale 288 metros e que a base excede em 4m o triplo

da altura.

56) Em um trapézio retângulo, a bissetriz de um ângulo reto forma com a bissetriz de ângulo agudo do trapézio um ângulo de

110°. Determine o maior ângulo do trapézio.

57) A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a 13

5 da soma dos outros dois ângulos opostos. Determine-

os.

58) A diagonal de um losango forma com um dos seus lados um ângulo igual a terça parte de um reto. Determine os quatro

ângulos do losango.

59) Calcule os lados de um paralelogramo, sabendo-se que o seu perímetro mede 84m e que a soma dos lados menores

representa 5

2da soma dos lados maiores.

60) Determine as medidas dos ângulos de um paralelogramo, sabendo que a diferença entre dois consecutivos é igual a 9

1da

soma dos seus ângulos.

61) A bissetriz de um ângulo obtuso do losango faz com um dos lados um ângulo de 55º. Determine o valor dos ângulos

agudos.

. .

. . .

.

.

.

A B

C D

A B

C D

.

.

D

A B

.

H

C

CD//AB

ABé denominado base maior

CD é denominado base menor

DH é denominado altura

MN = AB + CD

2

D

A B

C D

A B

C

D

A B

C

N M

ponto médio ponto médio

D

A B

C

.

.


62) A base maior de im trapézio isósceles mede 12cm e a base menor 8cm. Calcule o comprimento dos lados não paralelos,

sabendo-se que o perimetro é de 40cm.

63) Calcule os lados de um retângulo cujo perímetro mede 40cm, sabendo-se que a base excede a altura em 4cm.

7-Segmentos e Pontos Notáveis no Triângulo

7.1 – Mediana de um triângulo Mediana de um triângulo é um segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Na figura, AM é uma mediana do ΔABC.

Um triângulo tem três medianas.

As três medianas cruzam-se num ponto G, denominando baricentro do triângulo.

7.2 – Bissetriz

A bissetriz do ângulo A intercepta o lado oposto no ponto D. O segmento AD denomina-se bissetriz interna relativa ao

vértice A.

As três bissetrizes de um ângulo cruzam-se num mesmo ponto I,

denominado de centro do triângulo.

O ponto I é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

7.3 – Altura Altura de um triângulo é o segmento que liga um vértice a um ponto da reta suporte do lado oposto e é perpendicular a

esse lado.

Na figura AH é uma altura do ΔABC.

Um triângulo tem três alturas e o ponto de encontro das alturas é o ortocentro.

7.4 – Mediatriz Mediatriz de um segmento de reta é a reta perpendicular a esse segmento pelo seu ponto médio.

Na figura, a reta m é a mediatriz de AB .

Mediatriz de um triângulo é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio.

Na figura, a reta m é a mediatriz do lado BC do ΔABC.

A

B C

.

H

A

B C

.

H .

A

B C M

AG = 2GM1

11 AM3

1GM

1AM3

2AG

A

B C

G

M1

M2 M3

A

B C D

A

I

B

E F

D C

A

B C

O

.

. .

.

A B M

m

A

.

m


Um triângulo tem três mediatrizes.

O centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o circuncentro, isto é, o ponto de encontro das mediatrizes.

64) Sendo G o baricentro do triângulo ABC, determine x, y, z.

65) Se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de AB , determine x.

D C

66) Sendo H o ortocentro de um triângulo ABC e B H C = 150º, determine Â.

67) Sendo H o ortocentro de um triângulo isósceles ABC de base BC e B H C = 50º, determine os ângulos do triângulo.

68) Se P é o incentro de um triângulo ABC e B P C = 125º, determine Â.

69) Sendo o ΔABC retângulo em A e M o ponto médio de BC , calcule x e y.

a) b)

c) d)

70) Na figura, Q é o ponto médio de AB . QP é paralelo a BC . Sendo AC = 30cm, determine PO .

71) Na figura, ABCD é retângulo, M é o ponto mádio de CD e o triângulo ABM é equilátero. Sendo AB = 15, calcule AP .

A

B C

O

M

P N

AG = 10

BG = y

CG = 14

A

B C

z

x

G y

6

DP = 16

PM = x

P

B A

M

x

A

B C M

x

y

20º

M

A

C

B

3x

y/3 12

M

A

C

B

60º

x

y

Bissetriz

M

A

C

B

y

20º

x

Altura

A B

C

Q

O

P


7.5 – Teorema de Tales Um feixe da paralelas determina, em duas transversais quaisquer,

segmentos que são proporcionais.

72) Determine o valor de x em cada caso abaixo, sendo r, s, e t retas paralelas:

a) b)

c) d)

73) Nas figuras, as retas r, s, e t são paralelas. Determine os valores de x e y.

a) b) c)

74) Na figura, MN é paralela à base BC do triângulo ABC. Calcule o valor de x.

A B

C D

P

M

t1

t2

A

B

C

F

E

D

r2

r1

r3

r1 // r2 // r3

t1 e t2 são transversais AB = DE

BC EF

s

r

t

6

4

8

x s

r

t

8

9

x

6

s

r

t

6

4

9

x

r

s

t

3

x

4

x

s

r

t

6

x

5

4 s

r

t

5x - 1

4

7 2x + 3

s

r

t

5

y

3

x 2

6

A

B C

M

x

10

N 12

30


75) Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos que medem 5cm, 6cm e 9cm, respectivamente.

Determine os comprimentos dos seguimentos que esse mesmo feixe determina sobre uma outra transversal, sabendo que o

seguimento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 60cm.

7.6 – Teorema da bissetriz interna Considere o ΔABC e a bissetriz interna ao vértice A.

Da figura, temos:

A bissetriz do ângulo interno de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros

dois lados.

76) Se AS é a bissetriz de Â, calcule x nos casos:

a) b) c)

7.7-Teorema da bissetriz externa

77) Se AP é bissetriz do ângulo externo em A, determine x.

a) b)

78) Na figura, AD é bissetriz externa do ângulo Â. Calcule x.

8-Semelhança de triângulos

8.1-Definição: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e

os lados homólogos proporcionais.

~:SEMELHANTE: Dois lados homólogos (homo = mesmo,logos = lugar)são tais que um deles está em um dos triângulos e

ambos são opostos a ângulos congruentes.

8.2 – Razão de semelhança

Sendo k a razão entre os lados homólogos, 'C'B

BC

'C'A

AC

'B'A

AB = k, é chamado razão de semelhança de triângulos.

Se k = 1, os triângulos são congruentes.

79) Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.

BD = AB

DC AC

A

B C D

6

x

8

C

A

B S 3

6

S

C A

B

12

8

x

x

3

5

C

A

B S 4

A

A

B B C C P P x x

12

12

6

6

12

8

A

B C D x

3

4

2

A

B C

A

’

B

’ C

’

A

C B

x

28

20 P

Q

R

10 8

y

'''~ CBAABC

'ˆˆ

'ˆˆ

'ˆˆ

CC

BB

AA

e

'C'B

BC

'C'A

AC

'B'A

AB


80) Se o ΔKLM é semelhante as ΔFGH, determine x.

81) Se DE é paralelo a BC , determine x nos casos:

a) b) x = AD

82) Se α = β, determine x e y nos casos:

a) b)

83) Determine x e y nos casos:

a) b)

84) Na figura abaixo, determine o valor de x.

85) Nas figuras, determine x.

a) b)

86) Dada a figura, determine o valor de x.

87) Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. Determine o perímetro do quadrado de lado x.

K

L M 42

18

12

x G H

F

A

B C

D

6

3

E 8

E

D A 10

27 36

x

C

B

α x

y

β

8 6

12

8

2

4 6

8

x α

β

y

A B

C

4

5

5

x

α

α

α α y

y 5

6

4

x

A

B C

α

α

x R

S

5

8

10

4

x

10

α

α

5

C

15

17

8

x

A

B C

D

E

x

10

15 15

20


88) Determinar a medida do lado do quadrado da figura abaixo:

9-Relações Métricas no Triângulo Retângulo 89) Complete durante a aula:

a) x.y =

b) u.v =

c) y2 =

d) v.z =

e) x2+y2 =

90) Calcular x nas figuras:

a) b) c)

91) Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A. A alternativa correta é:

a) h = 36; x = 45 e y = 60

b) h = 1,2; x = 1,5 e y = 2

c) h = 12; x = 15 e y = 20

d) h = 3,6; x = 4,5 e y = 6

e) h = 10; x = 8 e y = 6

92) (MAUÁ) No ΔABC retângulo em A, o cateto AB vale 5m. Sua projeção BH sobre a hipotenusa vale 13

25m. Calcular o

valor da hipotenusa BC e do cateto AC .

93) (PUC) Na figura abaixo, os segmentos são medidos em m. O seguimento de x vale:

x

6

9

A B

C

D

6

4

E

F

u

y x w

v

z

8

9

17

x

x

20

15

24

1 5

3

x

16

y x h

9

A

B C

5

H 25

13

A

B C


a) 11m

b) 105m

c) impossível, pois 43 não tem raiz exata

d) 7m

e) n.d.a.

94) (PUC) Sabendo-se que o triângulo ABC é retângulo e AH = h é a medida da altura do triângulo, quais das relações são

válidas:

a) x = b.c

b) x2 = h.c

c) x2 = b.d

d) x2 = b.c

e) n.d.a.

10 – Área das figuras planas a) Quadrado

b) Retângulo

c) Círculo

d) Paralelogramo

e) Losango

f) Trapézio

g) Triângulo

95) Determine a área dos polígonos nos casos abaixo, sendo o metro a unidade das medidas indicadas.

A

B

C

x 4

8 13

A

B C

x

h

d

b

c

A = a.b

A = a.a = a2

r

A = π.r2, onde π = 3,14

b

.

h

h

b

.

a

a

b

a

D

d

A = b.h

A = D.d

2

b

B

.

h A = (B + b) . h

2

A = b.h

2


a) quadrado b) retângulo c) paralelogramo

d) losango e) quadrado f) losango

g) trapézio h) paralelogramo i)

j) k) l)

96) Determine a área do triângulo nos casos a seguir, sendo o metro a unidade das medidas.

a) b) c)

97) A área de um retângulo é de 40cm2 e sua base excede em 6cm sua altura. Determine a altura do retângulo.

98) Um retângulo tem 24cm2 de área e 20cm de perímetro. Determine suas dimensões.

99) A base de um retângulo é o dobro de sua altura. Determine suas dimensões, sendo 72cm2 sua área.

100) As bases de um trapézio isósceles medem, respectivamente, 4cm e 12cm. Determine a área desse trapézio, sabendo-se

que o semiperímetro do trapézio é igual a 13cm.

101) Uma das bases de um trapézio excede a outra em 4cm. Determine as medidas dessas bases, sendo 40cm2 a área do

trapézio e 5cm a altura.

102) Determine o lado de um quadrado, sabendo-se que, se aumentarmos seu lado em 2cm sua área aumenta 36cm2.

103) Determine a área de um triângulo equilátero com:

a) perímetro de 30m. b) altura de 6m.

104) Determine a área do círculo e o comprimento da circunferência nos casos:

a) b) c)

105) determine a área de cada setor circular sombreado nos casos abaixo:

a) b)

c) d)

6 8

5

6

5 3

6

8

5

8 5

4

5 6

10 4

2

6 3

4

5

8

6

5 6 2

5 6 8

10

8 8 8

8 17

10 10

12

5m

12m

5

d

40º 70º

6m


106) Calcule a área da parte sombreada, sabendo-se que o quadrilátero dado é um quadrado.

a) b) c)

107) Calcule a área da superfície sombreada.

a) b) c)

108) Determine a área sombreada, nas figuras abaixo, sabendo que os três quadrados ABCD têm lado medindo 2cm.

a) b) c)

109) Determine a área da região sombreada.

a) b)

Geometria Plana - Gabarito 1) a) 31º 10’ b) 111º3’ c) 47º30’ d) 31º e)65º41’3’’

2) a) 46º 15’ b) 26º 5’

3) a) 15º 5’ b) 10º 55’ c) 44º 44’ 30” d) 39º 29’ 15”

4) a) 21º 11’ 30” b) 31º 17’ 30”

5) a) 23º 24’ 27” b) 10º 30’ 55” c) 10º 36’ 45”

6) a) 20º b) 55º c) 60º d) 23º e) 25º

7) a) 25º b) 30º

8) a) 65º b) 43º

9) a) 108º b) 39º

10) Em classe

11) 60º

12) 67º 30’

13) 72º

14) 36º

15) 83º

16) 70º

17) 40º e 140º

18) 156º

19) x = 10º e y = 150º

20) 72º

21) 100º

22) 52º

23) 100º

24) 5º

25) a) 110º b) 55º,70º c) 70º

26) 15º

27) 65º

28) x = 70º e y = 125º

29) 130º

30) B = 70º e C = 40º

31) 110º

32) 40º

33) 80º

34) 70º

35) x = 40º, β = 50º, γ = 40º

36) 20º

37) Em classe

38) a) Não há caso de congruência b) I = III (ALA)

c) I = III (Caso especial)

39) a) 30º b) 55º c) 80º d) 36º e) 105º f) 25º

40) Em classe

a a a

a a a

A B

C D

A B

D C

A B

C D

10 10

10 10

5 5

5 5


41) 1260º

42) 1440º

43) 3240º

44) Dodecágono (12 lados)

45) 35

46) 170

47) Eneágono (9 lados)

48) Undecágono (11 lados)

49) Hexágono (6 lados)

50) a) 35º b) 10º

51) a) 35º b) 100º c) 60º d) 25º e) 50º f) 20º

52) a) 80º b) 90º c) 52º

53) 35º

54) 80º

55) 109cm e 35cm

56) 130º

57) 50º, 130º, 50º, 130º

58) 60º, 120º, 60º, 120º

59) 30m e 12m

60) 70º, 110º, 70º, 110º

61) 70º, 110º, 70º, 110º

62) 10cm

63) 12cm e 8cm

64) x = 7, y = 12, z = 5

65) Trace a diagonal BD e P é o baricentro do triângulo

ABD, x = 8

66) 30º

67) 25º, 25º, 130º

68) 70º

69) a) x = 40º e y = 20º b) x = 4º e y = 36º

c) x = 30º e y = 15º d) x=50º e y=70º

70) Em classe

71) 10, note que P é baricentro do triângulo ACD

72) a) 3 b) 12 c) 15 d) 6

73) a) x = 10/3 b) x = 25/6 c) x = 10/3 e y =

18/5

74) 25

75) x = 15cm, y = 18cm e z = 27cm

76) a) 4 b) 15 c) 20/3

77) a) 12 b) 4

78) 8

79) 16, 14

80) 28

81) a) 12 b) 40

82) a) 9, 32/3 b) 7, 10

83) a) 6, 10/3 b) 15/2, 5

84) 4

85) a) 8/3 b) 21

86) 45/4

87) 16

88) 12/5

89) Em classe

90) a) 12 b) 7 c) 2 11

91) C

92) BC = 13m AC = 12m

93) D

94) D

95) a) 36m2 b) 40m2 c) 18m2

d) 24m2 e) 32m2 f) 40m2 g) 40m2

h) 12m2 i) 18m2 j) 15m2

k) 21m2 l) 24m2

96) a) 60m2 b) 48m2 c) 16 3 m2

97) 4cm

98) 4cm, 6cm

99) 12cm, 6cm

100) 24m2

101) 10cm, 6cm

102) 8cm

103) a) 25 3 m2 b) 12 3 m2

104) a) 25π m2, 10π m b) 36π m2, 12π m

c) 4

d2, πd

105) a) 4π m2 b) 7π m2 c) 30m2

d) 18m2

106) a) 4

a).4( 2 b)

2

a).2( 2 c)

4

a).4( 2

107) a) 4

a).2( 2 b)

2

a).4( 2 c)

2

a).2( 2

108) a) 2

)8( cm2 b) 2(π - 2) cm2 c) (4 - π) cm2

109) a) 100(4 - π) b) 2

25(2 3 - π)

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