Apostila de Sapata Da Universidade Estadual Paulista
298
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III NOTAS DE AULA SAPATAS DE FUNDAÇÃO Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos) Bauru/SP Agosto/2012 APRESENTAÇÃO Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto. Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas. SUMÁRIO 1. DEFINIÇÕES......................................................
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
UNESP - Campus de Bauru/SP
FACULDADE DE ENGENHARIA
Departamento de Engenharia Civil
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III
NOTAS DE AULA
SAPATAS DE FUNDAÇÃO
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos)
Bauru/SP
Agosto/2012 APRESENTAÇÃO
Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru.
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os
procedimentos contidos na NBR 6118/2003 - “Projeto de estruturas de concreto –
Procedimento”.
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao
aluno Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto.
Esta é a primeira versão da apostila, e críticas e sugestões serão muito bem-vindas. SUMÁRIO
1. DEFINIÇÕES...........................................................................................................................1
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL............................................................................................1
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO ...............................................................................................1
1.3 TIPOS DE SAPATAS........................................................................................................1
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS ........................................................................................3
2. SAPATAS ISOLADAS............................................................................................................3
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ ......................................................................4
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL.............................................................................5
2.2.1 Sapatas Rígidas ...........................................................................................................5
2.2.2 Sapatas Flexíveis.........................................................................................................6
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO.....................................................................6
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA .................................................................................................................................7
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções ..............................................7
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB).......................................................8
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70..................................................................................9
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior ....................................................................9
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................................10
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão..........................................................................13
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada.................14
2.5.5 Força Cortante Limite ...............................................................................................16
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO..........................................................................................16
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante .........................................................................18
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C..................................................................................................................19
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção ........................................................................................................20
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA ...............................................................21
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS...........................................................................................29
2.9 MÉTODO DAS BIELAS .................................................................................................29
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida ...........................................................................33
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS.............................................34
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção...............................................................................34
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções ............................................................................36
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor....................40
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA ..............................48
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA..................................54
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO bW ≥
5d 56
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível....................................................................................57
3. SAPATA CORRIDA .............................................................................................................62
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME...........................................64
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME ......................65
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA...............................................................67
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................69 3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL..........................................................69
3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................73
4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS...................................................74
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM
SAPATAS.......................................................................................................................................75
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO .....................................................76
6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO...............................................................................................78
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO.........................................78
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO..........................................81
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA......................................................81
6.5 EXEMPLO 8 ....................................................................................................................83
6.6 TAREFA...........................................................................................................................90
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA ..........................................................90
6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO ...............................................................................................91
7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ................................................................................92
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)....................................................95
8.1 SAPATA RETANGULAR...............................................................................................95
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO..................................................................98
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL.......................................................................100
8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ ....................................................101
8.5 EXEMPLO 9 ..................................................................................................................102
9. QUESTIONÁRIO................................................................................................................111
10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ..............................................................................112UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 1
1. DEFINIÇÕES
As definições apresentadas a seguir tomam como base a norma NBR 6122/2010.
1.1 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL
A fundação superficial é também chamada fundação rasa ou direta. É definida como:
“elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas sob a
base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à
fundação é inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.”
Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de
dimensionamento geométrico e de calculo estrutural.
1.2 SAPATA DE FUNDAÇÃO
Sapata de fundação é um “elemento de fundação superficial, de concreto armado,
dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo emprego
de armadura especialmente disposta para esse fim.”
1.3 TIPOS DE SAPATAS
Sapata Isolada: transmite ações de um único pilar, que pode estar centrado ou
excêntrico; pode ser retangular, quadrada, circular, etc., (Figura 1).
h=cte h = var
Figura 1 – Sapata isolada.
Sapata corrida: “Sapata sujeita à ação de uma carga distribuída linearmente ou de
pilares ao longo de um mesmo alinhamento.”, (Figura 2).
parede
sapata OU
Figura 2 – Sapata corrida para apoio de parede. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 2
Sapata associada: é a sapata comum a mais de um pilar, sendo também chamada sapata
combinada ou conjunta (Figura 3). Transmitem ações de dois ou mais pilares e é utilizada como
alternativa quando a distância entre duas ou mais sapatas é pequena.
PLANTA
VR
A
A
P1 P2
ELEVAÇÃO CORTE AA
Viga de
rigidez
Figura 3 – Sapata associada (viga de fundação).
Viga alavanca ou viga de equilíbrio: “elemento estrutural que recebe as cargas de um
ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às
fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das
cargas dos pilares nelas atuantes.” É comum em pilar de divisa onde o momento fletor
resultante da excentricidade da ação com a reação da base deve ser resistido pela “viga de
equilíbrio” (VE), Figura 4.
sapata 2
VA
Viga alavanca (VA)
sapata 1
Figura 4 – Sapata com viga de equilíbrio. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 3
A configuração das vigas baldrames (VB) em relação à sapata pode variar, conforme
alguns casos indicados na Figura 5.
VB
VB
Viga
baldrame
(VB)
Figura 5 – Posicionamento da viga baldrame em relação à sapata.
1.4 DETALHES CONSTRUTIVOS
“A base de uma fundação deve ser assente a uma profundidade tal que garanta que o
solo de apoio não seja influenciado pelos agentes atmosféricos e fluxos d’água. Nas divisas com
terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for assente sobre rocha, tal profundidade não deve
ser inferior a 1,5 m” (NBR 6122/96, item 6.4.2). A Figura 6 mostra alguns detalhes construtivos
sugeridos para as sapatas.
≥
20 cm
3/h
h0
> 3
1
Lastro de concreto simples
( ≥ 5cm, fck ≥ σ )
solo, rocha
h
h0
3 a 10 cm
α
Figura 6 – Sugestão para alguns detalhes construtivos da sapata.
α ≤ 30° (ângulo do talude natural do concreto fresco – não é obrigatório).
2. SAPATAS ISOLADAS
Nas sapatas isoladas, o centro de gravidade da sapata deve coincidir com o centro de
aplicação da ação do pilar; a menor dimensão deve ser ≥ 60 cm (NBR 6122/96, 6.4.1); a relação UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 4
entre os lados deve ser A/B ≤ 2,5. Regularmente, os lados A e B devem ser escolhidos de modo
que cA ≈ cB , mostrados na Figura 7.
Se cA = cB :
A – ap = B – bp
A – B = ap – bp ⇒ Asx ≈ Asy (ou AsA ≈ AsB)
B
A
bp
ap
CB
CA CA
CB
Figura 7 – Notação para a sapata isolada.
2.1 CLASSIFICAÇÃO QUANTO À RIGIDEZ
Conforme a NBR 6118/03 (item 22.4.1), a classificação das sapatas quanto à rigidez é:
Sapata rígida:
3
(A a - )
h
p
≥
Sapata flexível:
3
(A a - )
h
p
<
h
A
ap Pilar
Figura 8 – Altura h da sapata.
com: h = altura da sapata (Figura 8);
A = dimensão (lado) da sapata numa determinada direção;
ap = dimensão do pilar na direção do lado A.
Nota: a classificação acima deve ser verificada segundo as duas direções da sapata, ou seja,
segundo as direções dos lados A e B de sapatas retangulares. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 5
Pelo CEB-70, a sapata é rígida quando:
0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6º ≤ β ≤ 56,3º)
tg β = h / c
h
ap Pilar
β
C
Balanço
Figura 9 – Ângulo β e balanço c.
A sapata será considerada flexível se:
tg β < 0,5
tg β > 1,5 ⇒ bloco de fundação - dispensa-se a armadura de flexão porque o concreto
resiste a σt
.
2.2 COMPORTAMENTO ESTRUTURAL
(NBR 6118/03, 22.4.2)
2.2.1 Sapatas Rígidas
São aquelas com alturas “grandes” e tem a preferência no projeto de fundações.
a) há flexão nas duas direções (A e B), com a tração na flexão sendo uniformemente distribuída
na largura da sapata. As armaduras de flexão AsA e AsB são distribuídas uniformemente nas
larguras A e B da sapata (Figura 10).
Sapata
rígida
As B
A As A
Figura 10 – Armadura positiva de flexão de sapata isolada.
b) há atuação de força cortante nas duas direções (A e B), não apresentando ruptura por tração
diagonal, e sim por compressão diagonal, a ser verificada conforme o item 19.5.3.1 (Figura 11).
Não há possibilidade de punção, porque a sapata fica inteiramente dentro do cone de punção. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 6
Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
σI
σII
Figura 11 – Tensões principais na sapata isolada.
2.2.2 Sapatas Flexíveis
São aquelas com alturas “pequenas”. “Embora de uso mais raro, as sapatas flexíveis são
utilizadas para fundação de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” (NBR 6118/03).
a) há flexão nas duas direções, mas a tração na flexão não é uniforme na largura (Figura 12);
b) há a necessidade da verificação à punção.
N
p
M
(variável)
Figura 12 – Momento fletor na sapata flexível.
2.3 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO
As principais variáveis que afetam a distribuição de tensões são: características das
cargas aplicadas, rigidez relativa fundação-solo, propriedades do solo e intensidade das cargas.
(ver Velloso e Lopes – Fundações, v.1, ed. Oficina de Textos).
A distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, admite-se
a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 13). A
NBR 6122 (6.3.2) admite a distribuição uniforme, exceto no caso de fundações apoiadas sobre
rocha. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 7
Rígida
distribuiçao
admitida
distribuição
real
Areia
Flexível
Areia
Figura 13 – Distribuição de tensões no solo.
A NBR 6118/03 (item 22.4.1) declara: “Para sapata rígida pode-se admitir plana a
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações
mais detalhadas a respeito.”
2.4 ESTIMATIVA DAS DIMENSÕES DE SAPATAS ISOLADAS COM CARGA
CENTRADA
A area de apoio da sapata pode ser estimada como:
solo
sap
05,1 N
S
σ
= ou
solo
sap
1,1 N
S
σ
=
onde os fatores 1,05 e 1,1 estimam o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
2.4.1 Sapata com Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções
Conforme as dimensões mostradas na Figura 14, tem-se:
A = 2cA + ap
B = 2cB + bp
Com cA = cB , fica:
A – B = ap – bp
B
S
S A B A
sap
sap = ⋅ → =
p p
sap B a b
B
S
− = −
Multiplicando por B:
S B (ap
bp )B
2
sap − = −
( ) ( ) sap
2
p p bp
ap S
4
1
b a
2
1
B = − + − +UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 8
A e B devem ser múltiplos de 5 cm. É indicado que a dimensão seja no mínimo 80 cm no
caso de sapata de edifícios, e 60 cm para sapatas de residências térreas e de dois pavimentos
(sobrado).
B
A
bp
ap
CB
CA
CB
CA
Figura 14 – Sapata isolada com balanços iguais nas duas direções.
2.4.2 Balanços não Iguais nas Duas Direções (cA ≠ cB)
Neste caso recomenda-se obedecer a seguinte relação:
0,3
B
A
≤
Sendo R a relação entre as dimensões (Figura 15), tem-se:
R A B R
B
A
= → = ⋅ Ssap = A . B ⇒ Ssap = R . B2
R
S
B
sap
= , com A e B múltiplos de 5 cm.
B
A
bp
ap
CB
CA CA
CB
Figura 15 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 9
2.5 PROJETO CONFORME O CEB-70
O método proposto pelo CEB-70 pode ser aplicado a sapatas com:
c ≤ 2h e
2
h
c ≥
ou seja: c 2h
2
h
≤ ≤
Se
2
h
c < → bloco de fundação.
h
C C
Figura 16 – Balanço c na sapata isolada.
Admite-se que o solo tem comportamento elástico, e daí que as reações do solo sobre a
superfície de apoio da sapata seguem uma linha plana (Figura 17).
N
M("pequeno")
(LN fora da
seção)
Superfície
plana
N
M("grande")
x
Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata
Figura 17 – Reação do solo na base da sapata.
2.5.1 Dimensionamento da Armadura Inferior
Os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma seção de
referência (S1A e S1B), que dista 0,15 vezes a dimensão do pilar normal à seção de referência, e se
encontra internamente ao pilar (Figura 18).
d1 = d ≤ 1,5cA ap
0,15ap
CA
d1
S1A A
Figura 18 – Seção de referência S1 . UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 10
O momento fletor é calculado levando-se em conta o diagrama de tensões no solo, entre a
seção S1 e a extremidade da sapata, como indicado na Figura 19.
S1
σ1
σ2
Figura 19 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 .
No cálculo da armadura de flexão que atravessa a seção S1 consideram-se as
características geométricas da seção de referência S1.
O menor momento fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a
relação entre as armaduras de flexão ortogonais deve ser ≥ 1/5.
2.5.2 Momentos Fletores em Sapatas Isoladas com Carga Centrada
Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1 , conforme indicados na
Figura 20. Supondo balanços iguais, cA = cb :
2
A a
c
p
A
−
= =
2
B b
c
p
B
−
=
p
0,15
ap
0,15ap
bp
S1A
S1B
CB xB
B
CA xA
A
bp
N
S1A
Figura 20 – Notações e seção de referência S1 . UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 11
Pressão da sapata no solo:
A .B
05,1 N
p =
onde o fator 1,05 considera o peso próprio e do solo sobre a sapata. Outros valores podem ser
adotados.
As distâncias xA e xB são:
xA = cA + 0,15ap
xB = cB + 0,15bp
Áreas de referência nas duas direções (Figura 21):
A1A = xA B
A1B = xB A
B
A
xB
xA
A1A
A1B
Figura 21 – Áreas de referência.
Resultantes da pressão (tensão) no solo (Figura 22):
R1A = p . xA . B
R1B = p . xB . A
xA
S1A
R1A
p
Figura 22 – Resultante da pressão no solo.
Momento fletor em cada direção: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 12
2
x M R
A
1A = 1A ⇒2
x M .p B
2
A
1A =
2
x M R
B
1B = 1B ⇒2
x M .p A
2
B
1B =
No cálculo da armadura de flexão, embora a seção comprimida A’c seja um trapézio, o
cálculo pode ser feito simplificadamente considerando-se a seção retangular (Figura 23). Se
considerar-se o trapézio deve-se fazer σcd = 0,8 fcd .
As
A'c
LN
Figura 23 – Área de concreto comprimida pela flexão (A’c).
Como na flexão simples, com auxílio dos coeficientes K tabelados:
d
2
w 1
c M
b d
K = ⇒ na tabela de valores de Kc e Ks
encontra-se βx , o domínio e Ks
com bw = A ou B.
1
d
s s
d
M A = K ≥ As,mín
Simplificadamente também pode-se fazer:
1 yd
d
s
85,0 d f.
M A = ≥ As,mín
Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída
na largura da sapata.
A armadura deve se estender de face à face e terminar com gancho nas duas
extremidades.
Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado menor (B) deve-se obedecer:
a) quando B ≥ ap + 2h (Figura 24):
A armadura é calculada como sendo:
A B
2B
As
+UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 13
B Armadura
B
A
ap
bp
Figura 24 – Distribuição de As quando B ≥ ap + 2h.
b) no caso de B < ap + 2h (Figura 25):
A armadura é calculada como sendo:
( )
A a 2h
2 a 2h
A
p
p
s
+ +
+
Armadura
B
A
ap
bp
a + 2h p
Figura 25 – Distribuição de As quando B < ap + 2h.
2.5.3 Ancoragem da Armadura de Flexão
1ºcaso: se a aba de comprimento c superar a altura h, a armadura deve ser ancorada a partir da
seção distante h da face do pilar, e deve se estender até as bordas da sapata (Figura 26). lb é o
comprimento de ancoragem básico, considerado sem gancho.
C > h
h
h
lb
Figura 26 – Ancoragem da armadura quando c > h. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 14
2ºcaso: se o comprimento c da aba for inferior a h, a armadura deve ser totalmente ancorada na
vizinhança imediata da borda da sapata, sendo o comprimento de ancoragem medido a partir da
extremidade retilínea da barra (Figura 27).
C < h
h
lb
Figura 27 – Ancoragem da armadura quando c < h.
2.5.4 Força Cortante de Referência em Sapatas Isoladas com Carga Centrada
No dimensionamento, a força cortante a ser considerada é calculada numa seção de
referencia S2 , em cada direção da sapata, perpendicular à base de apoio da sapata e distante d/2
da face do pilar em cada direção, como indicado na Figura 28.
ap
B
C2A
bp
N
d
2
C2A
A
h
d
C2B
d
2
45°
S2B
S2A
A
h0
p
d2A
Figura 28 – Seções de referência S2A e S2B relativas as duas direções da sapata. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 15
com:
2A
p
0
2A
c5,1
A a
h h
d d 1 <
−
−
= −
2B
p
0
2B
c5,1
B b
h h
d d 1 <
−
−
= −
No caso de sapata alongada (c > 1,5B) a seção S2 é considerada na face do pilar (Figura
29).
C
B
S na face do pilar 2A
Figura 29 – Seção de referência S2 em sapata alongada (c > 1,5B).
A largura b2A da seção de referência S2A é tomada conforme indicado na Figura 30.
ap
S2A
C2A
N
d
2
d
A
d2A
1,5 C2A ≤
bp
45°
+ d
b2A
b p
B
Figura 30 – Dimensão b2A da seção de referência S2A . UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 16
Com relação às dimensões A e B da sapata:
b2A = bp + d
b2B = ap + d
2.5.5 Força Cortante Limite
Na seção de referência S2, a força cortante de cálculo não deve ultrapassar os valores
seguintes:
2 2 ck
C
lim,d
b d f
5,1
V ⋅ ρ ⋅γ
= , para fck em kN/cm2
;
2 2 ck
C
d,lim b d f
,0 474 V ⋅ ρ ⋅
γ
= , para fck em MPa.
com: Vd,lim em kN;
γc = coeficiente de segurança do concreto;
b2 e d2 em cm;
ρ = taxa de armadura longitudinal da seção de referência S2 :
01,0
b d
A
2 2
S ≤
⋅ρ = (não se dispõe de resultados de ensaios com ρ > 1 %);
As = área da armadura longitudinal disposta na largura b2 da seção S2 .
Vd,lim pode ser aumentada com o acréscimo de armadura transversal.
Se Vd ≤ Vd,lim não é necessário colocar armadura transversal. Se essa condição não
ocorrer, deve-se aumentar a altura da sapata, de modo a evitar a armadura transversal.
NOTA: se a força cortante atuante for maior que a força cortante limite, uma possibilidade para
resolver o problema é adotar uma nova altura útil para a sapata, tal que:
lim,d
d
novo V
V
d = d
2.6 VERIFICAÇÃO À PUNÇÃO
A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118/03 -
“Dimensionamento de lajes à punção”.
A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 31.
x
d
tg α = , fazendo α = 27°
2d
51,0
d
x
x
d
tg 27º = → = ≅UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 17
superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
punção
α = 25º a 30º
d
As
x
pilar
-
laje
Figura 31 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção.
“O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais
superfícies críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica
(contorno C), do pilar ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de
compressão diagonal do concreto, através da tensão de cisalhamento.” A Figura 32 ilustra as
superfícies críticas C e C’.
C
C'
C
C'
C
C
C'
C'
2d 2d 2d
Borda livre
B. livre
2d
B. livre
Figura 32 – Superfícies críticas C e C’.
“Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga
concentrada, deve ser verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à
tração diagonal. Essa verificação também se faz através de uma seção de cisalhamento, no
entorno C’. Caso haja necessidade, a ligação deve ser reforçada por armadura transversal. A
terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser verificada quando for necessário
colocar armadura transversal.”
No estudo aqui apresentado de punção aplicado às sapatas serão apresentados somente os
itens relacionados à dispensa da armadura transversal.
A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies
críticas, com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118/03 para cada
superfície crítica. Dispensa-se a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 . UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 18
2.6.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante
2.6.1.1 Pilar Interno com Carregamento Simétrico
A tensão de cisalhamento solicitante é:
u d
FSd
Sd
⋅τ =
onde:
( )
2
d d
d
x + y
= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’;
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais;
u = perímetro do contorno crítico C’;
u . d = área da superfície crítica;
FSd = força ou reação concentrada, valor de cálculo.
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). A
força de punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro
do contorno considerado na verificação, C ou C’ (isso será mostrado no Exemplo 5).
2.6.1.2 Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado
Neste caso, o efeito da assimetria deve ser considerado, e a tensão de cisalhamento
solicitante é:
W d
K M
u d
F
p
Sd Sd
Sd
⋅⋅+
⋅τ =
sendo:
K = coeficiente que representa a parcela do momento fletor MSd que é transmitida ao pilar
por cisalhamento, dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1);
C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 33;
C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força.
Tabela 1 - Valores de K em função de C1 e C2 .
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0
K 0,45 0,60 0,70 0,80
Notas: - é permitida interpolação para valores intermediários da Tabela 1;
- quando C1/C2 > 3,0 considera-se K = 0,8.
Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode ser calculado desprezando a
curvatura dos cantos do perímetro crítico por:
W e dl
u
0
p ∫
=
dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u; UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 19
e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento
fletor MSd .
1
2
1 2 2
2
1
p C C 4C d 16d 2 d C
2
C W = + + + + π (pilar retangular)
2 2
p W = r4 +16r d +16d (pilar circular; r = raio)
ou
( )
2
p W = D + 4d (D = diâmetro)
Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118/03 (item 19.5).
C'
e
e1
c1 2d
c2
dl
Msd
Fsd
≡
Msd
Fsd
e1
Fsd
Figura 33 – Sapata submetida à força normal e momento fletor.
2.6.2 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na
Superfície Crítica C
(NBR 6118, 19.5.3.1)
“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou
sem armadura”.
τSd ≤ τRd2
τRd2 = 0,27αv fcd
onde
α = −
250
f
1
ck
v
, com fck em MPa.
A superfície crítica C, corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, deve
ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, por meio da tensão de
cisalhamento (Figura 34).
A tensão de cisalhamento solicitante é:
u d
F
o
Sd τSd =
com: FSd = força solicitante de cálculo; UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 20
uo = perímetro de contorno crítico C;
uo = 2 (ap + bp)
uo d = área da superfície crítica C;
d = altura útil ao longo do contorno crítico C.
C
d
Fsd
τsd
ap
bp
Figura 34 – Tensão de cisalhamento na sapata.
2.6.3 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos
sem Armadura de Punção
(NBR 6118, 19.5.3.2)
A tensão de cisalhamento resistente na superfície crítica C’deve ser calculada por:
( )3
1
Rd1 ck 100 f
d
20 13,0 1 ⋅ρ
τ = +
onde:
x y ρ = ρ . ρ ;
( )
2
d d
d
x + y
= = altura útil em C’(cm);
ρ = taxa geométrica de armadura de flexão aderente;
ρx e ρy = taxas de armadura nas duas direções ortogonais;
fck em MPa.
No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é:
cd2
3
Rd1 ck f5,0
a*
2d
100 f
d
20 13,0 1 ρ ≤
τ = +
fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas.
a* ≤ 2d UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 21
f (MPa)
250
f
f 6,0 1 cd
ck
cd2
= −
u* = 2ap + 2bp + 2πa*
Superfície C'
(perímetro = u*)
d
ap
a* A
Figura 35 – Distância a*
.
Para pilares com momento fletor solicitante, τSd é:
τ = +
p Sd
Sd Sd
Sd W F
K M u *
1
u * d
F
2.7 EXEMPLO 1 – SAPATA ISOLADA RÍGIDA
(Exemplo extraído do curso de Lauro Modesto dos Santos - “Edifícios de Concreto Armado”, 1988,
p.11-31 – Escola Politécnica da USP)
Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção 20 x 75cm, sendo a
taxa admissível do solo ( σsolo ) de 2,5 kgf/cm2
(0,25 MPa), sendo também conhecidos:
Nk = 1.303 kN momentos fletores Mx = My = 0
materiais: concreto C25 , aço CA-50
φl,pil = 20 mm (pilar interno) γc = 1,4
Resolução
Dimensões da sapata (Figura 36), considerando um fator de 1,1 para considerar o peso
próprio da sapata e o solo sobre a sapata:
57.332 cm ,5 7332
,0 025
1,1 N 1,1 1303 S
2
solo
k
sap = =
⋅=
σ
= m
2UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 22
Fazendo a sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata
em planta é:
sap
2
p p b( p
ap
) S
4
1
b( a )
2
1
B = − + − +
20( 75) 57332 213 5,
4
1
20( 75)
2
1
B
2
= − + − + = cm
como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se B como o
múltiplo superior, B = 215 cm. O lado maior da sapata é:
266 7,
215
57332
B
S
A
sap
= = = cm (adota-se A = 270 cm), e
2
sap S = 270.215 = 58.050 cm
Os balanços resultam:
97 5,
2
270 75
2
A a
c c c
p
A B =
−
=
−
= = = cm
A altura da sapata, fazendo como sapata rígida, é:
NBR 6118 → 65
3
270 75
3
A a
h
p
≥
−
≥
−
≥ cm
Pelo CEB-70: 5,0 ≤ tg β ≤ 5,1 com
97 5,
h
c
h
tg β = =
5,1 48 8, h 146 3,
97 5,
h
5,0 ≤ ≤ → ≤ ≤ cm
Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da
sapata, a altura deve ser superior ao comprimento de ancoragem da armadura do pilar:
h ≥ ,b φ,pil l
,b φ,pil l = 53 cm (com gancho, região de boa aderência, C25, 20 φl,pil = mm)
Adotando h = 90 cm ≥ bφ,pil l = 53 cm, a sapata é rígida. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 23
75
B
20
215cm
A
270cm
p
97,5 97,5
97,5 97,5
bp
ap
h = 90
d = 85
0,15 = 11,25 ap
CB CB
CA CA
108,75
xA
≥ 30
Figura 36 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1 .
Para a altura útil pode-se considerar:
d = h – 5 cm → d = 85 cm
Pressão no solo:
,0 0247
270 215
1,1 1303
A B
1,1 N
p
k =
⋅⋅=
⋅= kN/cm2
Para aplicar o processo do CEB-70 deve-se verificar:
c 2 90
2
90
c 2h
2
h
≤ ≤ → ≤ ≤ ⋅ 45 ≤ c = 97,5 cm ≤ 180 cm → ok!
Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B :
2
x
; M p A
2
x M p B
2
B
1B
2
A
1A = ⋅ = ⋅xA = cA + 15,0 ap = 97 5, + 15,0 ⋅75 =108 75, cmUNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 24
xB = cB + 15,0 bp = 97 5, + 15,0 ⋅20 =100 5, cm
31.402
2
108 75, M ,0 0247.215
2
1A = = kN.cm
33.679
2
100 5, M ,0 0247.270
2
1B = = kN.cm
O menor momento fletor deve ser ao menos 20 % do maior:
5
1
93,0
33679
31402
M
M
1B
1A = = > → ok!
A Figura 37 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata.
MA
33679
31402
MB
M = 31402 A
A = 270
B = 215
S1A M = 33679 B
Figura 37 – Momentos fletores atuantes na sapata.
Armadura segundo a dimensão A da sapata:
M1A,d = 1,4 . 31402 = 43.963 kN.cm
35 3,
43963
215 85.
M
b d
k
2
d
2
c = = =
observe que M1A,d atua segundo a dimensão menor da sapata (lado B).
Na tabela de kc e ks
resulta: βx = 0,03 (domínio 2) e ks
= 0,023.
85
43963 ,0 023
d
M
A k
1A d,
sA = s =
AsA = 11,90 cm2
Armadura segundo a dimensão B da sapata: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 25
M1B,d = 1,4 . 33679 = 47.151 kN.cm
85
47151 ,0 023
d
M
A k
414, 02,0 , dom k,2. ,0 023
47151
270 85.
k
1 d,B
sB s
x s
2
c
=
= = ⇒ β = =
AsB = 12,76 cm2
Como opção para o cálculo da armadura tem-se a fórmula simplificada:
2
yd
1 d,B
sB
2
yd
1A d,
sA
15 00, cm
85,0 85. 43. 48,
47151
85,0 f.d
M
A
14 00, cm
085 85. 43. 48,
43963
85,0 f.d
M
A
= = =
= = =
A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio de uma tabela de armadura em laje
(cm2
/m). É necessário tranformar a armadura em cm2
/m:
Na dimensão A: 51,6
15,2
14 00,
= cm
2
/m (φ 10 mm c/12 cm – 6,67 cm2
/m)
Na dimensão B: 56,5
70,2
15 00,
= cm
2
/m (φ 10 mm c/14 cm – 5,71 cm2
/m)
O detalhamento das armaduras está mostrado adiante.
Verificação das forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B, conforme as
dimensões indicadas na Figura 38.
As forças cortantes nas seções de referência S2A e S2B são:
VA = p B c2A VB = p A c2B
55cm
2
270 75 85
2
A a d
c
p
2A =
− −
=
− −
=
55cm
2
215 20 85
2
B b d
c
p
2B =
− −
=
− −
=
VA = ,0 0247.215 55. = 2921, kN
VB = 0,0247 . 270 . 55 = 366,8 kN
As forças cortantes de cálculo, com γf
= 1,4 são:
VA,d = 1,4 . 292,1 = 408,9 kN
VB,d = 1,4 . 366,8 = 513,5 kN UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 26
75
20
B
215cm
A
270cm
d
2
42,5
p = 0,0247
55
bp
ap
h
90
d
85
S2A
55
d
2
42,5
C2B
C2A
S2A
S2B
d2A
h
30
0
58,8
75
20
d
2
42,5
bp
ap
d
2
42,5
S2A
S2B
b
105
2A
160
b2B
d2A
b2A
Figura 38 – Dimensões e seções de referência S2A e S2B .
Dimensões d2Ae d2B :
adotado h 30
20 cm
30 cm
3
90
3
h
h0 → 0 =
= =
≥ cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 27
2A
p
0
2A
c5,1
A a
h h
d d 1 ≤
−
−
= −
c5,1 2A = c5,1 2B = 5,1 ⋅55 = 82 5, cm
58 8,
270 75
90 30 d2A 85 1 =
−
−
= − cm ≤ 82,5 cm → ok!
2B
p
0
2B
c5,1
B b
h h
d d 1 ≤
−
−
= −
58 8,
215 20
90 30 d2B 85 1 =
−
−
= − cm ≤ 82,5 cm → ok!
d d 44 3, cm 938, cm ok! 2B = 2A = ≤ →
Larguras das seções S2:
b2A = bp + d = 20 +85 =105cm
b2B = ap + d = 75 + 85 =160cm
Forças cortantes limites conforme o CEB-70:
2 2 ck
c
d,lim b d f
,0 474 V ⋅ ⋅ ρ ⋅γ
=
Cálculo das taxas de armadura à flexão (ρ):
2A
sA
A
100d
A
ρ = ,0 00113
100 58 8,
67,6
=
⋅= = 0,113 % ≤ 1 %
2B
sB
B
100d
A
ρ = ,0 000971
100 58 8,
71,5
=
⋅= = 0,0971 % ≤ 1 %
105 58 8, ,0 00113 25 352 0,
4,1
,0 474 VA d, ,lim = ⋅ ⋅ ⋅ = kN
VA d, = 408 9, > VA lim,d, = 352 0, kN
160 58 8, ,0 000971 25 496 3, kN
4,1
,0 474 V lim,d,B = ⋅ ⋅ ⋅ =V d,B = 5135, > V d,B ,lim = 496 3, kN
A força cortante limite sugerida pelo CEB-70 é rigorosa (muito baixa), por isso, para
sapatas rígidas, Machado (1988) sugere o seguinte valor para sapatas isoladas rígidas: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 28
2 2
c
ck
lim,d b d
f
V 63,0
γ
=
Aplicando ao exemplo:
105 58 8, .1 389
10 4,1
25 V 63,0 A lim,d,
⋅ =⋅= kN >> VA,d = 408,9 kN
Caso se considere apenas o CEB-70, existem soluções, como aumentar o fck , as
dimensões A e B, a altura h, a quantidade de armadura de flexão, etc.
Nota: como a sapata é rígida não é necessário verificar a punção. Entretanto, a NBR 6118
recomenda verificar a tensão na diagonal de compressão (item 19.5.3.1), como mostrado a
seguir.
Verificação da Diagonal Comprimida:
uo = perímetro do pilar (superfície crítica C - Figura 39).
uo = 2 (20 + 75) = 190 cm
FSd = NSd = γf
⋅ N = 4,1 ⋅1303 = .1 824 kN
(sem redução da força pela reação contrária da base da sapata)
C
ap
bp
75
20
Figura 39 – Superfície crítica C – contorno do pilar.
Tensão de cisalhamento atuante:
,0113
190 85
1824
u d
F
o
Sd
Sd =
⋅τ = = kN/cm2
= 1,13 MPa
Tensão de cisalhamento resistente:
43,0
4,1
5,2
250
25
Rd 2, 27,0 V fcd 27,0 1 =
τ = α ⋅ = − kN/cm2
= 4,3 MPa
13,1 MPa 3,4 MPa τSd = < τRd 2, =
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.
Detalhamento (Figura 40)
Como a largura da sapata (B) é próxima do comprimento A, a armadura AsB será
distribuída uniformemente no comprimento A.
Para a armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 29
c = 97,5 cm > h = 90 cm
φ 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho: lb = 38 cm.
cnom = 4,0 cm (cobrimento), φl,pil = 20 mm (lb = 75 cm).
lgancho,incl ≥ 38 – [(97,5 – 4,0 – 90) + 20] ≥ 14,5 cm
30
N1 - 17 c/12
(215 - 8)/12 = 17,2
N2 - 19 c/14
(270 - 8)/14 = 18,7
97,5
83
≥ , pilar lbØl
Øl,pil
h = 90
20
N1 - 17 Ø12,5 C = 340
20
260 20
N2 - 19 Ø12,5 C = 285
205
20
20
AsB
AsA
≥ 14,5
AsA
AsB
20
20
20
20
lanc≥ ≥ lb 38 cm
Figura 40 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
2.8 EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1
o
) Ver Alonso (1983), pg. 14 (sapata isolada). Dimensionar e detalhar as armaduras de uma
sapata para um pilar de seção 30 x 100 cm, com carga de 3000 kN, com:
σsolo = 0,3 MPa Mx = My = 0
C25 θl,pilar = 22,5 mm
2
o
) Resolver o Exercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de
base circular.
2.9 MÉTODO DAS BIELAS
O método ou teoria das bielas surgiu após numerosos ensaios realizados por Lebelle
(1936), e se aplica às sapatas rígidas, corridas ou isoladas. A carga é transferida do pilar para a UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 30
base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que induzem tensões de tração na
base da sapata (Figura 41), que devem ser resistidas por armadura.
Biela de compressão
Armadura necessária para
resistir à força de tração
Figura 41 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata.
Segundo Gerrin (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das
bielas de concreto, e sua verificação pode ser dispensada.
A Figura 42 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas.
P
0
y
x
A
B
d0
dTx dx
dy
dT
dN
dTy
p d dx y
Figura 42 – Esquema de forças segundo o método das bielas.
Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 43), tem-se
as equações: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 31
p
P
d
=
A . d
(A - )
p
d 0
β ≥ 45°
A
2
A
2
dx
As
ap
α
ds
2dP
d
α
dT
x
p d x
= dP
d0
A
0
α dN
dT
dP
Figura 43 – Forças na direção x da sapata.
−
⋅−
=
= ⋅ = −
= ⋅α
α =
α
=
= ⋅ α= ⋅ α∫
2
2
p
x
2
2
0
2
A
x
0
x
0
x
4
A
A d
p (A a )
2
1
T
x
4
A
d
p
2
1
x dx
d
p
T
d
x
p dx
tg
dP
cos
sen
dP dT
dP dN sen
dT dN cos
Para x = 0, Tx = Tmáx :
d
(A a )
8
P
T
4
A
A d
(A a )
A
P
2
1
T
p
x
2
p
x
−
→ =
⋅−
=UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 32
De forma análoga para a direção da sapata isolada:
d
(B b )
8
P
T
p
y
−
=
A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações:
s
c
d
dN
σ = onde
α
=
sen
dx ds
A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (α = αo) e a tensão máxima
ocorre no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta:
( )
−
−
σ = + 2
0
2
p
p
c
4 d
A a
1
a
P
A Figura 44 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o método das bielas.
B
A
x
y
P
h
d ≥
1
2
(A - ) ap
Asx ou AsA
P
Asy ou AsB
d ≥ 1
2
(B - ) bp
ap
bp
Figura 44 – Armaduras de flexão da sapata.
As armaduras são:
yd
xd
sx sA f
T
A = A = ;
yd
yd
sy sB f
T
A = A =
Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 33
( ) ( )
− λ
− + −
+
⋅λ ⋅σ =
2
0
2
2
p
2
p
p p
,c máx
d
1
1
4
A a B b
1
a b
p
Onde
B
b
A
ap P λ = = (áreas hometéticas).
No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas:
− λ
−
+
⋅λ ⋅σ =
2
0
p
p
,c máx
d
1
1
A a
2
1
1
A a
p
2.9.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida
Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pela “Teoria ou Método das
Bielas”.
Resolução
Verificação do ângulo β:
,0 8718 41 º1, 45º
97 5,
85
(270 75)
2
1
85
(A a )
2
1
d
tg
p
= = → β = <
−
=
−
β = → não ok!
portanto, a altura útil da sapata deve ser aumentada para um valor igual ou superior a 97,5 cm, de
modo a resultar um ângulo β igual ou superior a 45°. Considerando h = 105 cm e d = 100 cm
tem-se:
,10256 45 º7, 45º
97 5,
100
tg β = = → β = ≥ → ok!
Forças de tração:
349 4,
100
(270 75)
8
1,1 1303
d
(A a )
8
P
T
p
x =
−
⋅⋅=
−
= kN
349 4,
100
(270 75)
8
1,1 1303
d
(B b )
8
P
T
p
y =
−
⋅⋅
=
−
= kN
1125,
15,1
50
4,1 349 4,
Asx AsA =
⋅= = cm
2
= Asy = AsBUNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 34
A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal comprimida (item 19.5.3.1), como
feito no Exemplo 1, porém, para as sapatas rígidas com ângulo β igual ou superior a 45°, não
deve ocorrer esmagamento da diagonal comprimida.
2.10 SAPATAS ISOLADAS SOB AÇÕES EXCÊNTRICAS
Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou
força horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de
gravidade da base da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 45).
N
e
divisa
N
H
M
N
MA
HA
A
N
B
MB
HB
Figura 45 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas.
2.10.1 Excentricidade em Uma Direção
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia (Figura 46)
Ocorre quando
6
A
e < . Tem-se: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 35
A
B
A
6
B
6
e
N
σmáx
σmín
N núcleo
Figura 46 – Ponto de aplicação da força dentro do
núcleo central de inércia.
I
M y
A B
N ⋅±
⋅σ =
)
A
e6
1(
A B
N
máx +
⋅σ =
)
A
e6
1(
A B
N
máx −
⋅σ =
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central )
6
A
e( = (Figura 47)
A
A
6
σmáx
N
Figura 47 – Ponto de aplicação da força no
limite do núcleo central.
A B
N
máx 2
⋅σ =
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central )
6
A
e( > (Figura 48)
Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (σmín < 0). Neste caso, um novo
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo
coincidente com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 36
A
A
6
σmáx, 1
N
e
B σmín LN
6
A0
σmáx
LN
3(A/2 - e)
A0
Figura 48 – Ponto de aplicação da força fora
do núcleo central.
−
σ =
e
2
A
3B
2N
máx
2.10.2 Excentricidade nas Duas Direções
A Figura 49 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas
direções.
y
e
x
B
eA
A
B
N
Figura 49 – Sapata com excentricidade nas duas direções.
O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da
sapata, e:
I
M x
I
M y
A B
N B A
⋅±
⋅±
⋅σ =UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 37
N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
Figura 50 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata.
h M 'A base MA HA = + ⋅ , h M 'B base MB HB = + ⋅N
M e
A
A = ,
N
M e
B
B =
a) Quando
6
1
B
e
A
eA B + ≤ (Figura 51)
y
e
x
B
eA
A
B
N
CG
σmáx
σmín
Figura 51 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
eA B + ≤ .
+ +
⋅σ =
B
e6
A
e6
1
A B
N A B
máx
− −
⋅σ =
B
e6
A
e6
1
A B
N A B
min
(toda seção seta comprimida) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 38
b) Quando
6
1
B
e
A
eA B + > (Figura 52)
y
x
eB
eA
A
B
N
2
1
4
3
σmáx
σmín
α
seção
comprimida
Figura 52 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
eA B + > .
K A B
N
1
máx 1
⋅ ⋅σ = σ =
σmín = σ4 = K4 σ1 (fictício, não considerado)
σmín = σ4 < 0
K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 53.
Num ponto qualquer de coordenadas (x, y) a tensão é:
( )
+ α
+ α
σ = σ + σ − σ
tg
A
B
1
tg
A
B
B
y
A
x
mín 4 1 4UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 39
Figura 53 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas
para ação com dupla excentricidade (Montoya, 1973).UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 40
Notas:
- Em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais
desfavorável, máx solo σ = 3,1 σ ;
- Para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente
comprimida, isto é:
6
1
B
e
A
eA g, g,B
+ ≤ (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 54).
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
Figura 54 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata.
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo
menos a metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo:
9
1
B
e
A
e
2
B
2
A
≤
+
2.11 EXEMPLO 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor
(Exemplo extraído de Newton C. P. Ferro, Notas de Aula, 2005, Departamento de Engenharia Civil,
UNESP – Bauru/SP)
Para um pilar de 20 x 60 cm submetido a uma força de compressão de 820 kN e um
momento fletor atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar de 6200 kN.cm,
dimensionar a fundação em sapata isolada, sendo conhecidos:
concreto C25, aço CA-50, σsolo = 0,022 kN/cm² (0,22 MPa), armadura do pilar: 10 φ 12,5 mm.
Resolução
1) Calculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor.
Área do apoio da sapata:
41.000
,0 022
1,1 N 1,1 820 S
solo
sap =
⋅=
σ
= cm
2
Dimensão em planta da sapata, com abas (balanços - c) iguais nas duas direções:
( ) ( ) sap
2
p p bp
ap S
4
1
b a
2
1
B = − + − + = ( ) ( ) 20 60 41000 183 5,
4
1
20 60
2
1 2
− + − + = cm
adotando um valor múltiplo de 5 cm: B = 185 cm. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 41
A – ap = B – bp
A = ap – bp + B = 60 – 20 + 185 = 225 cm
Tensões na base da sapata (Figura 55):
I
M y
A B
N ⋅±
⋅σ =
2
A
y = ;
12
B A
I
3
⋅=
9,6
1,1 820
6200
1,1 N
M e =
⋅= = cm
37 5,
6
225
6
A
= = cm
37 5,
6
A
e = 9,6 < = cm → a força está aplicada dentro do núcleo central de inércia.
,0 0257
225
6 9,6
1
225 185
1,1 820
máx =
⋅+
⋅⋅σ = kN/cm2
> σsolo = ,0 022 ∴ não ok!
Aumentando a seção da base da sapata para:
A = 240 cm ; B = 200 cm
Obedecendo:
p p A −B = a − b → 240 – 200 = 60 – 20
A tensão máxima passa a ser : σmáx = 0,022 kN/cm2
= σsolo → ok!
) ,0 0156
240
6 9,6
1(
240 200
1,1 820
mín =
⋅−
⋅⋅σ = kN/cm2
> 0 (como esperado!) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 42
60
20
185
225
N
M
1,1N
A B
M
M
I
My
0,0220
0,0156
Figura 55 – Dimensões da sapata e esquema da reação do solo.
2) Altura da sapata
Fazendo como sapata rígida, conforme o CEB-70:
90
2
240 60
2
A a
5,0 tg 5,1 c
p
=
−
=
−
≤ β ≤ → = cm
5,1 45 h 135
90
h
5,0 ≤ ≤ → ≤ ≤ cm
Pelo critério da NBR 6118/03:
60
3
240 60
3
A a
h
p
≥
−
≥
−
≥ cm
É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem
da armadura longitudinal do pilar (10 φ 12,5 mm): considerando situação de boa aderência, com
gacho, C25, CA-50 (nervurado): lb = 33 cm.
Adotado h = 60 cm > lb = 33 cm (sapata rígida)
3) Cálculo dos momentos fletores e forças cortantes segundo o CEB-70 UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 43
Verificação: ≤ ≤ → ≤ c ≤ 2⋅2
60
c 2h
2
h
60
30 ≤ c = 90 ≤ 120 cm → ok!
Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 56):
a
60
B
b
20
200cm
A
240cm
0,022
0,0156
C
90
C
90
C
90
C
90
bp
ap
h
60
d
55
x
99
a
0,15 a = 9p
S1A
P1A
KNcm²
CB CB
CA CA
0,022
0,01936
P1A
99
49,5
66 33
49,5
1,917
0,131
Figura 56 – Seção de referência S1A .
Dimensão A:
( )
99 ,0 01936
240
,0 022 ,0 0156
p ,0 022 1A =
−
= − kN/cm2
(ver Figura 56)
M1A = ( ,1917⋅49 5, + ,0132⋅66) 200 = 20.708 kN.cm
Dimensão B (considerando a pressão média e diagrama retangular – ver Figura 57):
,0 0188
2
,0 022 ,0 0156
pméd =
+
= kN/cm2
19.512
2
90( 15,0 20)
,0 0188 240
2
x M p A
2 2
B
1B =
+ ⋅= ⋅ = ⋅ kN.cm
Armaduras de flexão: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 44
14 26,
85,0 55 435,
4,1 20708 AsA =
⋅ ⋅⋅= cm
2
100 13,7
200
14 26,
= cm
2
/m → φ 10 mm c/11 cm (7,27 cm2
/m)
13 43,
85,0 55 43 5,
4,1 19512 AsB =
⋅ ⋅⋅= cm
2
100 60,5
240
13 43,
= cm
2
/m → φ 10 mm c/14 cm (5,71 cm2
/m)
Nota-se que: ok!
5
1
94,0
14 26,
13 43,
= ≥ →
S2A
S2B
p2A = 0,0203
0,022
0,022
0,0188
(valor médio)
0,0156
0,0156
Figura 57 – Esquema de reações do solo na base da sapata.
Forças cortantes nas seções de referência S2 (Figura 58):
62 5,
2
240 60 55
2
A a d
c
p
2A =
− −
=
− −
= cm
62 5,
2
200 20 55
2
B b d
c
p
2B =
− −
=
− −
= cm
adotado h 25cm
20 cm
20 cm
3
60
3
h
h0 → 0 =
= =
≥UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 45
a
60
b
20
B
200cm
A
240cm
0,022 KNcm²
0,0156
d
2
27,5
b
C
62,5
bp
ap
h
60
d
55
S2A
P2A
d
2
27,5
C2B
b2A
C
62,5
C2A
S2A
S2B
h
25
h0
d 2A
= 0,0203
Figura 58 – Seção de referência S2A .
2A
p
0
2A
c5,1
A a
h h
d d 1 ≤
−
−
= −
c5,1 2A = c5,1 2B = 5,1 ⋅62 5, = 938, cm
44 3,
240 60
60 25 d2A 55 1 =
−
−
= − cm
d 44 3, cm 938, cm ok!
2A = ≤ →
2B
p
0
2B
c5,1
B b
h h
d d 1 ≤
−
−
= −
2B 2B
c5,1
200 20
60 25 d 55 1 ≤
−
−
= −
d d 44 3, cm 938, cm ok!
2B = 2A = ≤ →UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 46
Larguras b2A e b2B :
b2A = bp + d = 20 + 55 = 75cm
b2B = ap + d = 60 + 55 =115cm
A méd 2A V = p B c 200 62 5, 264 4,
2
,0 0220 ,0 0203 ⋅ =
+
= kN
V 4,1 264 4, 3701,
dA = ⋅ = kN
VB na seção S2B :
B méd 2B V = p A c 240 62 5, 282 0,
2
,0 022 ,0 0156 ⋅ =
+
= kN
V 4,1 282 0, 394 8,
dB = ⋅ = kN
Força cortante limite (CEB-70):
2 2 ck
c
d,lim b d f
,0 474 V ⋅ ⋅ ρ ⋅γ
=
2A
sA
A
100d
A
ρ = ,0 00164
100 44 3,
27,7
=
⋅=
2B
sB
B
100d
A
ρ = ,0 00129
100 44 3,
71,5
=
⋅=
75 44 3, ,0 00164 25 227 9,
4,1
,0 474 VdA lim, = ⋅ ⋅ ⋅ = kN
VdA = 3701, > VdA lim, = 227 9, kN
115 44 3, ,0 00129 25 309 6, kN
4,1
,0 474 VdBlim, = ⋅ ⋅ ⋅ =VdB = 3941, > VdBlim, = 309 6, kN
Como as forças cortantes solicitantes são maiores que os valores limites, é necessário
colocar armadura transversal, pelo menos segundo o CEB-70. Se forem considerados os limites
sugeridos por Machado (1988) para sapata rígida:
2 2
c
ck
lim,d b d
f
V 63,0
γ
=UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 47
75 44 3, 747 6, kN
10
25
4,1
63,0
VdA lim, = ⋅ ⋅ =V 3701, V 747 6, kN ok!
dA = < dA,lim = →
115 44 3, .1 146 3, kN
10
25
4,1
63,0
VdBlim, = ⋅ ⋅ =V 394 8, V .1 146 3, kN ok!
dB = < dB,lim = →
com esses limites não é necessário colocar armadura transversal.
Verificação da diagonal comprimida:
cm u 20(2 60) 160 o = + = (Figura 59)
60
ap
20
bp
Figura 59 – Perímetro do pilar – superfície crítica C.
FSd = NSd = γf
⋅ N = 4,1 ⋅820 = .1 148 kN
Tensão de cisalhamento atuante:
,01305
160 55
1148
u d
F
o
Sd
Sd =
⋅τ = = kN/cm2
= 1,305 MPa
Tensão de cisalhamento resistente:
43,0
4,1
5,2
250
25
Rd 2, 27,0 v
fcd 27,0 1 =
τ = α = − kN/cm2
= 4,3 MPa
,1305 MPa 3,4 MPa τSd = < τRd 2, =
Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas.
Detalhamento (Figura 60)
As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, pois A ≅ B. Para a
armadura de flexão recomenda-se 10 cm ≤ espaçamento ≤ 20 cm.
Comprimento dos ganchos das armaduras de flexão, considerando: φ 10 mm, C25, boa
aderência, sem gancho: lb = 38 cm.
Comprimento de ancoragem existente na horizontal e na extremidade da barra (ver Figura
60):
90 − 4 − 60 = 26cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 48
Portanto, o comprimento do gancho na vertical deve ser:
ℓgancho = 38 – 26 = 12 cm ≈ 15 cm
Tem-se também os valores: cnom = 4,0 cm, lφ,pilar = 33 cm.
60
25
N1 - 17 c/11
N2 - 16 c/14
90
54
≥ l Ø , pilar b Øl
Ø , pilar l
16 Ø10
17 Ø10
c/ 11
h
60
90 - 4 - 60 = 26cm }
}
c h
12
N1 - 17 Ø10 C = 260
15
230 15
N2 - 16 Ø10 C = 220
190
15
15
Figura 60 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata.
2.12 EXEMPLO 4 – SAPATA ISOLADA SOB FLEXÃO OBLÍQUA
(Exemplo de Edja L. Silva, Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP)
Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando:
- seção do pilar: 40 x 60 cm ; φl,pilar = 22 φ 20 mm, sendo parte tracionada;
- N = 1.040 kN;
- concreto C20; aço CA-50; cnom = 4,5 cm
- σsolo = 500 kN/m2
;
- momentos fletores: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m
Resolução
a) Estimativa das dimensões da sapata UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 49
2
solo
sap ,2 288 m
500
1,1 N 1,1 1040 S =
⋅=
σ
=
Fazendo abas (balanços) iguais: cA = cB = c:
( ) ( ) sap
2
p p bp
ap S
4
1
b a
2
1
B = − + − +
( ) ( ) 4,0 6,0 ,2 288 42,1 m
4
1
4,0 6,0
2
1
B
2
= − + − + =
adotado B = 1,40 m
63,1 m adotado A 60,1 m
40,1
,2 288
B
S
A
sap
= = = → =
b) Verificação das tensões na base da sapata
Excentricidades da força vertical (Figura 61):
B
140cm
A
160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
Figura 61 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata.
N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m
,0 270m 27cm
1040
280
ex = = =
,0183m 18 3, cm
1040
190
ey = = =UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 50
Cálculo da tensão máxima σ1 com auxílio do ábaco (ver Figura 53):
13,0
140
18 3,
B
e
17,0
160
27 0,
A
e
y
y
x
x
η = = =
η = = =
→ ábaco (Figura 53) → λ1 = 0,34, zona C
3,1 3,1 500 650
A B
F
solo
1
V
1 ≤ σ ≤ ⋅ =λ ⋅ ⋅σ = kN/m2
.1 502
34,0 6,1 4,1
1,1 1040
1 =
⋅ ⋅⋅σ = kN/m2
>> solo 3,1 σ = 650 kN/m2 → não ok!
As dimensões da sapata devem ser aumentadas!
Nova tentativa com A = 220 cm e B = 200 cm (cA = cB = c = 80 cm):
12,0
220
27 0,
ηx = =
09,0
200
18 3,
ηy = =
Verifica-se que:
há( tração na base)
6
1
21,0
B
e
A
e
x y
x y
+ = η + η = >
no ábaco (Figura 53): λ1 = 0,44, α = 36°, λ4 = 0,10 e zona C.
Tensões nos vértices da sapata (Figura 62):
591
44,0 0.2.2,2.
.1,1 1040
σ1 = = kN/m2
< solo 3,1 σ = 650 kN/m2 → ok!
10,0 .591 591, 1
4 σ = −λ4 σ = − = − kN/m2
(fictícia)
° + °
°
= − +
α + α
α
σ = σ − σ − σ
sen 36 cos 36
sen 36 591 (591 59 )1,
sen sen
sen ( ) 2 1 1 4
σ2 = 317,4 kN/m2
° + °
°
= − +
α + α
α
σ = σ − σ − σ
sen 36 cos 36
sen 36 591 (591 59 )1,
sen sen
sen ( ) 3 1 1 4
σ3 = 214,5 kN/m2UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 51
215 591
-59
317 LN
Figura 62 – Tensões nos vértices da sapata.
c) Verificação do tombamento da sapata
,0111
9
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2
y
2
x
≤ ⇒ η + η ≤ ≤
+
12,0 09,0 ,0 023 ,0111 ok!
2
+
2
= < →
Deve ainda ser verificada a equação:
6
1
B
e
A
e g,x g,y
+ ≤
d) Determinação da altura (sapata rígida)
Pelo critério do CEB-70:
5,1 40 h 120 cm
80
h
5,0 ≤ tg β ≤ 5,1 → 5,0 ≤ ≤ → ≤ ≤
Pela NBR 6118/03:
53 3,
3
(220 60)
3
(A a )
h
p
≥
−
≥
−
≥ cm
Para a armadura do pilar (22 φ 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o
comprimento de ancoragem e a altura necessária para a sapata. Para φ 20, C20, boa aderência,
com gancho, resulta lb = 61 cm, e, considerando a distância do gancho à base da sapata = 7 cm:
h ≥ 61 + 7 cm ≥ 68 cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 52
Será adotado h = 75 cm, d = 75 – 5 = 70 cm.
adotado h 35 cm
20cm
25 cm
3
75
3
h
ho → o =
= =
≥
e) Determinação dos esforços solicitantes conforme o CEB-70
Verificação: 80 2 75
2
75
c 2h
2
h
≤ ≤ → ≤ ≤ ⋅ ! 37 5, ≤ c = 80 ≤150 cm → ok
e1) Momentos fletores nas seções de referência S1 (Figura 63)
Para simplificação pode-se admitir uma tensão uniforme de referência como:
σ
σ
σ ≥
méd
máx
ref 3
2
215 591
-59
317
403 439
E F
G H
D
B
C
A
454
x B
86
B = 200
165
xA
89
A = 220
473
97
S1B
S1A
302
Figura 63 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 .
Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas
na metade dos lados A e B.
Dimensão A (S1A):
2
89,0
454 0, 0,2
2
x M p B
2 2
A
A = ⋅ ⋅ = ⋅UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 53
454 0,
2
591 317
p =
+
= kN/m2
MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm
MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm
Dimensão B (S1B):
2
86,0
403 0, 2,2
2
x M p A
2 2
B
B = ⋅ = ⋅ ⋅403 0,
2
591 215
p =
+
= kN/m2
MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm
MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm
e2) Forças cortantes na seção S 2 (Figura 64)
215 591
-59
317
514
H
D
C B
C
45
B = 200
C
45
A = 220
240
S2B
S2A
A
C2B
C2A
153
F
G
E
529
Figura 64 – Seções de referência S2 .
45 cm
2
220 60 70
2
A a d
c
p
2A =
− −
=
− −
=
45cm
2
200 40 70
2
B b d
c
p
B =
− −
=
− −
=
As forças cortantes nas direções A e B da sapata são os volumes mostrados na figura. A
força VA por exemplo é o volume da figura compreendida entre as áreas ABCD e EFGH. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 54
45,0 0,2 374 0,
4
240 317 514 591 VA
⋅ =+ + +
= kN
45,0 2,2 368 3,
4
153 215 529 591 VB
⋅ =+ + +
= kN
Valores de cálculo:
VA,d = 1,4 . 374,0 = 523,6 kN
VB,d = 1,4 . 368,3 = 515,6 kN
Tarefa: Fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras.
2.13 SAPATA ISOLADA FLEXÍVEL SOB CARGA CENTRADA
Sapatas flexíveis são aquelas onde:
3
(A a - )
h <
p
− segundo o critério da NBR 6118/03;
tg β < 0,5 – segundo o critério do CEB-70.
São menos utilizadas que as sapatas rígidas, sendo indicadas para cargas baixas e solos
relativamente fracos (NBR 6118, item 22.4 2.3). A verificação da punção é obrigatória.
Os momentos fletores podem ser calculados em cada direção segundo quinhões de carga,
determinados geometricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”. O
mesmo critério é adotado para cálculo das forças cortantes. As áreas podem ser retangulares,
triangulares ou trapezoidais (Figura 65):
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1 A1
A4
A3
A2
N
4
A1
A4
A3
A2
N
4
2 2
1
1
Figura 65 – Áreas relativas aos quinhões de carga: retangular, triangular e trapezoidal.
Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente
idênticos, e com área retangular são exagerados.
a) Área triangular
3
a
4
N
-
3
A
4
N M =
p
A
UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 55
(A a - )
12
N M = A p
N
4
ap
bp
B
A
A
3
Figura 66 – Quinhões de carga por área triangular.
(A a - )
2
1
(B b + )
2
1
V p = A p p
−
−
A
a
1
B
b
1
4
N
V =
p p
A
onde: N = força vertical aplicada pelo pilar na sapata;
p = reação do solo na base da sapata.
Na outra direção:
(B b - )
12
N M = B p
−
−
A
a
1
B
b
1
4
N
V =
p p
B
b) Área de trapézio
2 2
1
1
ap
bp
xCG
B
A
2
ap
N
4
Figura 67 – Quinhões de carga por área trapezoidal.UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 56
A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com:
p
p p
CG b + B
2B b +
6
A a -
x =
Os momentos fletores no centro da sapata são:
+
+
− +
6
a
B b
2B b
6
A a
4
N M =
p
p
p p
A
+
+
− +
6
b
A a
2A a
6
B b
4
N M =
p
p
p p
B
As forças cortantes nas seções 1 e 2 são:
−
−
A
a
1
B
b
1
4
N
V =
p p
A
−
−
A
a
1
B
b
1
4
N
V =
p p
B
2.14 VERIFICAÇÃO DE SAPATA FLEXÍVEL À FORÇA CORTANTE QUANDO
bW ≥ 5d
A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ≥ 5d (NBR
6118, item 19.4). As lajes não necessitam de armadura transversal à força cortante quando:
VSd ≤ VRd1
(bw = largura da sapata na direção considerada)
com:
V [ = k (1,2 40 + + ) 0,15 ]b d Rd1 Rd ρ1 σcp w
τ
onde: τRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento;
k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o
apoio; para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros;
0,02
b d
A
=
w
s1 ρ1 ≤
c
Sd
cp A
N
σ =
NSd = força longitudinal na seção derivada à protenção ou carregamento (compressão
positiva); UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 57
As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção
considerada.
2.15 EXEMPLO 5 – Sapata Flexível
Resolver a sapata do Exemplo 3 como sapata flexível.
Resolução
A sapata foi resolvida como rígida, com h = 60 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata
será flexível se h < 60 cm. Como a armadura principal do pilar tem lb = 33 cm, deve-se atender
esse valor. A sapata será flexível adotando:
h = 55 cm e d = 50 cm > lb = 33 cm
a) Momentos fletores e forças cortantes
a.1) Área por triângulos (Figura 68)
As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste
exemplo, onde ocorre momento fletor e a pressão na base não é unifforme, é necessário adotar
um critério para uniformizar a pressão. Um critério é:
=
+
=
σ + σ
σ = ⋅ == σ ≥
,0 0188
2
,0 022 ,0 0156
2
8,0 8,0 ,0 022 ,0 0176
p
máx mín
máx
base
p = σbase = 0,0188 kN/cm2
N
4
a
60
p
b
20
p
B
200
A
240
A
3
0,022 KNcm²
0,0156
p = 0,0188
Figura 68 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 58
Com p pode-se determinar N:
N p = A = B 0,0188 240 200
A B
N
= p → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ N = 902,4 kN (já majorado em 1,1)
(240 60) = 13.536
12
902,4 (A a = )
12
N MA
= − p − kN.cm
Esse momento representa 65 % do momento fletor M1A calculado segundo o CEB-70.
(200 20) 13.536
12
902 4,
(B b )
12
N MB = − p = − = kN.cm
Tarefa: se para o cálculo de M1B (CEB-70) também foi utilizada a pressão média, por que os
momentos fletores tem uma diferença de 30 %?
Forças cortantes:
⋅ −
= −
⋅ −
= −
240
60 1
200
20 1
4
902 4,
A
a
1
B
b
1
4
N
V
p p
A
VA = VB = 152,3 kN
a.2) Área por trapézios (Figura 69)
a
60
p
b
20
p
B
200
A
240
= 0,0188 KN
pméd cm²
B
Figura 69 – Área de um trapézio e reação do solo.
152 3, kN
A
a
1
B
b
1
4
N
V V
p p
A B =
⋅ −
= = − (igual à área por triângulos) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 59
+
+
+
⋅
−
=
6
a
B b
2B b
6
A a
4
N M
p
p
p p
A
+
+
⋅ +⋅
−
=
6
60
200 20
2 200 20
6
240 60
4
902 4, MA
MA = 15.177 kN.cm
+
+
+
⋅
−
=
6
b
A a
2A a
6
B b
4
N M
p
p
p p
A
+
+
⋅ +⋅
−
=
6
20
240 60
2 240 60
6
200 20
4
902 4, MA
MB = 12.934 kN.cm
MB
MA
B
A
Figura 70 – Indicação dos momentos fletores solicitantes.
b) Armadura de flexão
Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se:
2
yd
d
sA 1149, cm
85,0 50 435,
4,1 15117
85,0 d f
M A =
⋅ ⋅⋅=
⋅= → contra 14,26 cm2
do Exemplo 3
2
sB 79,9 cm
85,0 50 43 5,
4,1 12934 A =
⋅ ⋅⋅= → contra 13,43 cm2
do Exemplo 3
A NBR 6118/03 não prescreve armadura mínima para sapata, porém, para as sapatas
flexíveis pode-se considerar:
d A mín 10,0 % b ,s = ⋅ ⋅2
sA,mín A = ,0 0010⋅200⋅50 =10 00, cm
2
sB,mín A = ,0 0010⋅240⋅50 =12 00, cm
Portanto:
2
sA A =1149, cm (5,75 cm2
/m → φ 10 mm c/14 cm = 5,71 cm2
/m) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 60
2
sB A =12 00, cm (5,00 cm2
/m → φ 10 mm c/16 cm = 5,00 cm2
/m)
,0 00114
100 50
71,5
A =
⋅ρ =
,0 00100
100 50
00,5
B =
⋅
ρ =
c) Verificação da punção
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 71)
B
200
A
240
a*
a*
C
C'
Figura 71 – Superfície critica C’ e distância a*.
cB = cA = 90 cm
2d = 2 . 50 = 100 cm > cB e cA
Portanto a* = cB = cA = 90 cm
Adotar 2d para a*; se 2d > cA ou cB , adotar para a* o menor entre cA e cB .
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd) para sapata com um momento fletor externo
solicitante:
W d
M K
u* d
F
p
Sd Sd τSd = +
Área limitada pelo contorno C’:
( )
2
cont 'C, p p p p A = a ⋅b + a2 *a + a2 *b + π a*
( )
2
cont 'C, A = 60⋅20 + 2⋅90⋅60 + 2⋅90⋅20 + π 90
Acont, C’ = 41.046 cm2
Pressão média na base da sapata: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 61
,0 0188
2
,0 0156 ,0 022
pméd =
+
= kN/cm2
Força na área Acont, C’ devido à reação do solo:
∆ = γ ⋅ = 41046
1,1
,0 0188 F p( A ) 4,1 Sd f médio cont 'C,
1,1 é para não considerar o solo sobre a sapata.
∆FSd = 982,0 kN
Força sobre a sapata reduzida da reação do solo:
FSd,red = FSd - ∆FSd
kN F 4,1 820 982 165 9, Sd,red = ⋅ − =
Perímetro u* do contorno C’:
u* 725 5, cm
u* 2 60 2 20 2 90
u* a2 2b 2 a* p b
=
= ⋅ + ⋅ + ⋅π= + + π
Parâmetro K:
C
a
1
p
C
b
1
p
e
N
1 Msd
Figura 72 – Parâmetros C1 e C2 .
C1 = ap = 60 cm 3
C
C
2
1 = → na Tabela 1, K = 0,80
C2 = bp = 20 cm
1
2
1 2 2
2
1
p C C 4C d 16d 2 + d C
2
C W = + ⋅ + ⋅ + ⋅π ⋅ (sapata retangular)
com d = a*:
60 20 4 20 9 0 16 90 2 + 90 60
2
60 W 2
2
p = + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅π ⋅UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 62
Wp = 173.728 cm2
173728 20
4,1(8,0 6200)
725 5, 20
165 9,
Sd
⋅⋅+
⋅τ =
onde d = h0 – 5 = 25 – 5 = 20 cm (d é a altura útil em C’)
τSd = 0,0134 kN/cm2
= 0,134 MPa
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
cd2
3
Rd1 ck f5,0
a*
2d
100 f
d
20 13,0 1 ρ ≤
τ = +
90
2 20 100 ,0 001 25
20
20 13,0 1
3
Rd1
⋅⋅ ⋅
τ = + (utiliza-se o menor ρ1)
τRd1 = 0,157 MPa = 0,0157 kN/cm2
cd
ck
cd2
f
250
f
f5,0 5,0 6,0 1
= −
4,1
5,2
250
25 f5,0 5,0 6,0 1 cd2
= −
0,5 fcd2 = 0,482 kN/cm2
= 4,82 MPa
τRd1 = 0,187 MPa < 0,5 fcd2 = 4,82 MPa → ok!
Não é necessário colocar armadura para punção, pois:
τSd = 0,134 MPa < τRd1 = 0,157 MPa
Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal
necessidade a fim de simplificar a execução da sapata.
c2) Verificação da superfície crítica C
Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na
superfície C.
3. SAPATA CORRIDA
Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por
isso uma dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as
sapatas corridas são classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118/03 já
apresentado.
Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na
armadura principal As
, que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 63
cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e
espaçamentos menores.
Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser
obrigatoriamente verificada.
45°
fissura
A
(principal)
s
biela
comprida
armadura
secundária
Figura 73 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida.
Recomenda-se adotar para a altura:
h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares)
ho ≥ 10 / 15 cm
h h
h0
Figura 74 – Altura h da sapata corrida.
A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo
de solo. No cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura
75:
A) B) C) N N N
Figura 75 – Distribuição de pressão no solo.
A indicação de Guerrin (1967) é:
a) solos rochosos
- sapata rígida: diagrama bi triangular (a);
- sapata flexível: diagrama retangular (b); UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 64
b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos;
c) solos arenosos
- sapata rígida: diagrama retangular (b);
- sapata flexível: diagrama triangular (c).
3.1 SAPATA CORRIDA RÍGIDA SOB CARGA UNIFORME
As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas
relativamente altas e sobre solos com boa capacidade de suporte.
As sapatas corridas rígidas, quando
3
(A a - )
h
p
≥ e β < 45°, podem ter os esforços
solicitantes (M e V) calculados nas seções de referência S1 e S2, conforme o CEB-70. As
verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de modo semelhante
às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m.
Quando β ≥ 45°, o “Método das bielas” pode ser utilizado, em opção ao CEB-70.
ap
A
h
β≥45º
Figura 76 – Sapata rígida de acordo com o Método das Bielas.
O fenômeno da punção não ocorre, mas conforme a NBR 6118, a tensão de compressão
na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1), já estudado.
Segundo o “Método das bielas”, a armadura principal deve ser dimensionada para a força
Tx (Figura 77):
ap
A
d
β≥45º
Tx
N
d0
ρ
Figura 77 – Força Tx conforme o Método das bielas. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 65
p
0 A a
A d.
d
−
=
yd
xd
sx sA
xd f x
p
x
f
T
A A
T T
d
A a
8
N
T
= =
= γ
−
=
3.2 SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL SOB CARGA LINEAR UNIFORME
O momento fletor principal, atuante na direção da largura da sapata, é considerado
máximo no centro da sapata. A força cortante é calculada na seção 1 (Figura 78), junto à face da
área carregada. Os esforços são calculados sobre faixas unitárias ao longo do comprimento da
sapata (B = 1 m).
d h
Ø , pilar l
ap
N
50,00
A , princ. s
I
h0
I
A , sec s
ρ
M
V
Figura 78 – Sapata corrida flexível.
Pressão no solo:
A
N
p =UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 66
Pressão sob a parede:
p
par
a
N
p =
Força cortante na seção 1:
( )
= −
= −
A
a
1
2
N
V
A a p
2
1
V
p
p
Momento fletor máximo no centro da sapata:
( ) p
2
par p
2
2
p
par
2
A a
8
N M
8
p a.
8
pA
2
a
p
2
1
2
A
p
2
1 M
= −
= −
−
=
A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área:
≥
9,0 cm /m
A
5
1
A
2
,s princ
,s sec
As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como
indicado na Figura 79.
Øl
Figura 79 – Reforço das bordas com barras adicionais.
A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis
(Figura 80).
45°
45°
superfície de ruptura por
punção, segundo Leonhardt
Figura 80 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 67
3.3 EXEMPLO 6 – SAPATA CORRIDA RÍGIDA
Dimensionar a sapata rígida sob uma parede de concreto de 20 cm de largura com carga
vertical N = 20 tf/m = 200 kN/m. Dados:
C20; σsolo = 1,1 kgf /cm2
= 1,1 tf /m2
= 0,011 kN /cm2
= 0,11 MPa
d = h – 5 cm ; CA-50 ; cnom = 4,5 cm
a = 20p
A
d
β≥45º
N
h
ρ
h0
C
90
Figura 81 – Sapata rígida conforme o Método das bielas.
Resolução
Cálculo da largura da sapata, considerando que B = 1 m = 100 cm:
,0 011
1,1 N 1,1 0,2
A
solo
⋅=
σ
=
A = 200 cm
Os balanços terão o valor:
90
2
200 20
2
A a
c
p
=
−
=
−
= cm
Cálculo da altura h:
- pela NBR 6118: 60 cm
3
(200-20)
3
(A a- )
h
p
≥ ≥ ≥
- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter β ≥ 45º:
c
d
tg β = , com β = 45º ⇒ d = c = 90 cm → h = 95 cm
- pelo CEB-70: 5,1 5,0 90 h 5,1 90 45 h 135 cm
c
h
5,0 ≤ ≤ → ⋅ ≤ ≤ ⋅ → ≤ ≤UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 68
Considerando o “Método das bielas”, h = 95 cm.
Força de tração na armadura principal:
55
90
200 20
8
1,1 200
d
A a
8
N
T
p
x =
⋅ −
=
−
= kN/m
77,1
43 48,
4,1 55
f
T
A A
yd
xd
sX sA
=
⋅= = = cm
2
/m
para φ 8 mm (1 φ 8 = 0,50 cm2
):
28 2,
77,1
100 5,0
s =
⋅= cm ≤ 20 ou 25 cm
O espaçamento deve ser diminuído. Adotando φ 6,3 mm (0,31 cm2
):
17 5,
77,1
100 31,0
s =
⋅= cm ≤ 20 cm (ok!)
Portanto:
AsA = As,princ = φ 6,3 mm c/17 cm (1,82 cm2
/m)
Para a armadura de distribuição pode-se considerar:
A 9,0 cm /m
35,0
5
77,1
9,0 cm /m
A
5
1
9,0 cm /m
A
2
,s distr
2
,s princ
2
,s distr ∴ =
=
≥
≥
φ 5 mm c/22 cm ou φ 5 mm c/20 cm (1,00 cm2
/m)
sdistr ≤ 33 cm, mas na prática sdistr ≤ 20 ou 25 cm.
Notas:
a) o cálculo pelo Método das Bielas dispensa a verificação da força cortante, isto é, segundo
Montoya, no caso de sapata rígida a força cortante não precisa ser verificada;
b) conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal
verificada (item 19.5.3.1);
c) Guerrin (1967) aplica o Método das Bielas fazendo:
45 cm h( 50 cm)
4
200 20
4
A a
d
p
= =
−
=
−
=
Detalhamento: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 69
h 30 cm
20 cm
317, cm
3
95
3
h
h0 → 0 =
= =
≥
d = 90
h = 95
h = 300
Ø6, 3 c/ 17 Ø5 c/ 20
Figura 82 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras.
A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da
sapata, fazendo o gancho vertical com ho – 10 cm.
Considere:
1º) Resolver a sapata com h = 60 cm, pelo método do CEB-70;
2º) Comparar as armaduras e o volume de concreto das sapatas.
3.4 EXERCÍCIO PROPOSTO
Dimensionar a sapata corrida para uma parede de largura 20 cm, com:
cnom = 4,0 cm; N = 30 tf/m = 300 kN/m; σsolo = 0,2 kgf/cm2
; C20; CA-50.
Fazer sapata rígida e como sapata flexível. Comparar os resultados.
3.5 EXEMPLO 7 – SAPATA CORRIDA FLEXÍVEL
Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível.
Dados:
ap = 20 cm ; N = 200 kN/m; C20; σsolo = 0,011 kN/cm2
Resolução
Para a sapata flexível, que tem peso próprio menor, tem-se:
191cm
,0 011
05,1 N 05,1 0,2
A
solo
=
⋅=
σ
=
adotado A = 190 cm.
Balanço da sapata: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 70
85 = cm
2
190 20
2
A a
c
p −
=
−
=
Cálculo da altura da sapata (h):
- NBR 6118 – sapata rígida: 56 7, cm
3
(190 20)
3
(A a )
h
p
≥
−
≥
−
≥ ;
- CEB-70: 0,5·85 ≤ h ≤ 1,5·85 → 42,5 ≤ h ≤ 127,5 cm → sapata rígida
Seguindo o critério da NBR 6118, para sapata flexível (h < 56,7 cm) será adotado h = 50
cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura do pilar.
Esforços solicitantes:
939,
190
20 1
2
05,1 200
A
a
1
2
N
V
p
=
−
⋅=
= − kN/m (V na face da parede)
(190 20) .4 463
8
05,1 200 (A a )
8
N M p − =
⋅= − = kN.cm/m (M no centro da parede)
Os esforços V e M ocorrem em 1 m de de comprimento da sapata corrida: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 71
d = 45
h = 50
a = 20p
N
A = 190
h = 200
ρ
M
V
C
85
V
+
100 20
C
Figura 83 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata.
≥
,s princ
2
,s distr A
5
1
9,0 cm /m
A
64,0
5
19,3
A ,s princ = = cm
2
/m
A 9,0 ,s distr = cm
2
/m
φ 5 c/20 cm (1,00 cm2
/m)
Dimensionamento à flexão, tomando bw = 1 m = 100 cm:
32 4,
4,1 4463
100 45
M
b d
K
2
d
2
w
c =
⋅⋅= =
Ks
= 0,023 (dom. 2) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 72
19,3
45
4,1 4463 A ,0 023 s =
⋅= cm
2
/m
φ 6,3 mm c/9 cm (3,50 cm2
/m)
φ 8 mm c/15 cm (3,33 cm2
/m)
s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática)
Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C, considerando 1 m de
comprimento da sapata:
uo = 2 (20 + 100) = 240 cm
280 F N 4,1 200 Sd = Sd = ⋅ = kN/m
Tensão de cisalhamento atuante:
,0 0259
240 45
280
u d
F
o
Sd
Sd =
⋅=
⋅τ = kN/cm2
/m
Nota: não foi considerada a redução de FSd proporcionada pela reação do solo.
Tensão de cisalhamento resistente:
τRd2 = 0,27αv fcd = ,0 355
4,1
0,2
250
20 27,0 1 =
− kN/cm2
τSd = 0,259 MPa < τRd2 = 3,55 MPa → ok!
A força cortante pode ser verificada como laje, com bw ≥ 5d, onde bw é o comprimento da
sapata paralelo à parede. Deve-se ter VSd ≤ VRd1 para se dispensar a armadura transversal.
VRd1 = [τRd k (1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d
,0 00074
100 45
33,3
1 =
⋅ρ =
k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1
τRd = 0,25 fctd = ,0 276
4,1
7,0 3,0 20 25,0
3 2
=
⋅ MPa
VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,00074)] 100 . 45
VRd1 = 175,6 kN/m
VSd = 1,4 . 93,9 = 131,5 kN/m < VRd1 = 175,6 kN/m
→ ok! não é necessário colocar armadura transversal.UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 73
Comparação:
Sapata rígida Sapata flexível
As 1,77 3,19
h 95 50
Detalhamento
Ø8 c/ 15 Ø5 c/ 20
h = 200
d = 45
h = 50
Figura 84 – Detalhamento indicativo das armaduras.
3.6 EXERCÍCIO PROPOSTO
Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos:
- C20 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; σsolo = 2,0 kgf/cm2
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de
argamassa);
- muro em alvenaria de blocos de concreto;
- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro;
- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo;
- fazer verificações da estabilidade da sapata;
- tipo de solo = argila rija.
3,0m
muro
Figura 85 – Sapata corrida sob muro. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 74
4. VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS
Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante
verificar as possibilidades de escorregamento e tombamento.
a) Segurança ao tombamento
A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de
um ponto 1 (Figura 86).
P
N
M
FH
h
A
2
A
2
1
Figura 86 – Forças atuantes na sapata.
Momento de tombamento:
Mtomb = M + FH . h
Momento estabilizador:
Mestab = (N + P) A/2
O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de
segurança deve ser ≥ 1,5:
5,1
M
M
tomb
estab γtomb = ≥
b) Segurança ao escorregamento (deslizamento)
A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a
ação das forças horizontais aplicadas.
O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua
atuação permanente. Da Figura 86 tem-se:
FH esc (N + tg)P ϕ = γ⋅onde: tg ϕ = µ = coeficiente de atrito;
φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que
o ângulo de atrito interno do solo. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 75
Um outro modelo que pode ser adotado é:
Festab = atrito + coesão =
+
+ ⋅ φ c
3
2
A
3
2
(N )P tg
onde: φ = ângulo de atrito interno do solo;
c = coesão do solo;
A = dimensão da base em contato com o solo.
5,1
F
F
H
estab γesc = ≥
5. VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO
EM SAPATAS
No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior, e de feixes de barras, é
importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento.
O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 87:
∆x
Rc
Rs
V
M z
d
Øl
Rc+ R∆ c
Rs+ R∆ s
C
M + ∆M
Figura 87 – Esforços atuantes no elemento de comprimento ∆x.
Tem-se que: M = Rs
· z = Rc · z, daí:
z
M Rs
∆
∆ =
∆Rs
= fb · u ·∆x
onde: fb = resistência de aderência;
u = perímetro de φl
{
f u z
x
M f u x
z
M
b
v
b = ⋅ ⋅∆
∆
= ⋅ ⋅∆ →
∆
V = fb . u . z
tomando d z ≅ 87,0 e fazendo valores de cálculo:
c V 87,0 f u d bd ≅ ⋅ ⋅fazendo o perímetro como u = n π φl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão:
d V 87,0 f n d bd l ≅ ⋅ φ⋅π⋅ ⋅UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 76
com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura.
Vd = V1dA na seção de referência S1A ;
Vd = V1dB na seção de referência S1B .
Se Vd for maior haverá o escorregamento.
6. SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO
A viga de equilíbrio também é comumente chamada “viga alavanca” (Figura 88).
Os pilares posicionados na divisa dos terrenos ficam excêntricos em relação ao centro da
sapata, o que faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”,
vinculada à sapate de um outro pilar, interno à construção. A viga também atua transferindo a
carga do pilar para o centro da sapata (Figura 89).
divisa
V. E.
Figura 88 – Sapata sob pilar de divisa e com viga de equilíbrio. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 77
2,5cm
A
b
a
b
B
A
b
A
a
1
bw
ap1
bp1
bp2
ap2
A2
B2
N1
N2
VE
B1
VE
R1
R2
p1
p2
h
h
h
0
1
v
e1
z
divisa
N1
N2
R2
R1
e1
z
Figura 89 – Notações da sapata com viga de equilíbrio.
Área da sapata sob P1:
S1 A1 B1 = ⋅solo
1
1
R
S 1,1
σ
=
Excentricidade e1 e reação R1:
M )z( 0 N z R z( e ) 1 = 1 − 1 ∑ = → ⋅1
1
1
z e
N z
R
−
⋅
=
2
b
2
B
e
1 1p
1 = −UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 78
6.1 ROTEIRO DE CÁLCULO
1) Assumir um valor para R1’:
R1’ = 1,2 N1
2) Calcular a área de apoio da sapata 1 (divisa):
solo
1
1
R '
S ' 1,1
σ
=
3) Escolher as dimensões da sapata 1:
3
B
A
1
1 ≤
A1 = 2B1
(adotando-se) → S1’ = A1’ . B1’
2
S '
S ' 2B ' B ' B '
1
1 = 1
⋅1 → 1 = → inteiro múltiplo de 5 cm.
4) Cálculo da excentricidade e1 :
2
b
2
B '
e '
1 1p
1 = −
5) Cálculo do R1’’ :
z e '
z
R '' N
1
1 1
−
=
6) Comparar R1’ e R1’’
6.1) Se
1
1
1 1 1 1 1 1
B
S '
R '= R '' = R → B = B ,' A =
6.2) Se 95,0 R '' R ' 05,1 R ''
1 ≤ 1 ≤ 1
1
1
1
solo
1
1 1 1
B
S
A
R ''
B B ' S 1,1 → =
σ
= → =
6.3) Se R1’ ≠ R1”
Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1” .
6.2 ESFORÇOS SOLICITANTES NA VIGA DE EQUILÍBRIO
Esquema estático (Figura 90): UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 79
N2
R2
p1
q1 (pilar 1)
bp1
(1)
B1
(2) (3)
-
V1L
M1L Vmáx
-
M2L
V2L
M
V
x
Figura 90 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
1p
1
1
b
N
q =
1
1
1
B
R
p =
1
1 1p
p
q b
x =
a) Seção 1 ) 0( x b ≤ ≤ 1p
- Figura 91
p1
q1
V1
M1
q1x
x
ρ1x
Figura 91 – Seção 1. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 80
( )
( ) 1 1
2
1
2
1
2
1 1
1 1 1 1 1 1
v
p q
2
x M
0
2
x
p
2
x M 0 M q
q x V p x 0 V x p q
F 0
= −
= → + + − =
⋅ + − ⋅ = → = −
=
∑
∑
para x = bp1 ( limite da seção):
( )
( ) 1 1
2
1p
1L
1L 1p 1 1
p q
2
b
M
V b p q
= −
= −
b) Seção 2 ( ) b(
1p ≤ x ≤ B1
- Figura 92
p1
q1
q1bp1
M2
x
p1x
Figura 92 – Seção 2.
1
1 1p
2
2 1 1p 1 2 1 1 1p
V
p
q b
para : V 0 x
V q b p x 0 V p x q b
F 0
⋅= → =
+ ⋅ − ⋅ = → = ⋅ − ⋅∑ =
0
2
x
p
2
b
M 0 M q b x
2
1
1p
2 1 1p − =
∑ = → + ⋅ −
= − ⋅ −2
b
q b x
2
x M p
1p
1 1p
2
2 1
Para 1 2L 1 1 1 1p
x = B → V = p ⋅B − q − bUNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 81
= − ⋅ −2
b
q b x
2
B M p
1p
1 1p
2
1
2L 1
c) Seção 3
≤ ≤ +
2
b
B x z
1p
1
- Figura 93
p1
q1
bp1
B
x
1
V3
M3
Figura 93 – Seção 3.
− ⋅ −
= ⋅ − =
− ⋅ −
= → + ⋅ −= ⋅ − ⋅ = ∆ =
= → + ⋅ − ⋅ =∑
∑
2
b
q b x
2
B M p B x
0
2
B
p B x
2
b
M )3( 0 M q b x
V p B q b N cte
F 0 V q b p B 0
1p
1 1p
1
3 1 1
1
1 1
1p
3 1 1p
3 1 1 1 1p
V 3 1 1p 1 1
6.3 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA VIGA DE EQUILÍBRIO
a) Largura: cm b a 5 w ≥ 1p + (pode ser alterado);
b) Altura: V 1
h ≥ h (h1 = altura da sapata 1);
V b
d > l (lb = comprimento de ancoragem da armadura do pilar).
Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx (tarefa).
6.4 DIMENSIONAMENTO DA SAPATA DA DIVISA
Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata é aquele proposto pelo CEB-
70, já apresentado.
a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 94 UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 82
A
b
a
b
1
bw
ap1
bp1
d
2 0,15bw
S2A
S1A
B1
A
A
d
2
0,15bw
C2A
d2A
S1A
S2A
bw
ap1
h
h
h
0
1
v
A1
xA
p
CORTE AA
Figura 94 – Sapata sob o pilar da divisa. Seções de referência S1 e S2 .
Resultante da reação do solo na sapata (F1A):
F1A p B1 xA = ⋅ ⋅sendo:
1 1
1
A B
R
p
⋅=
w
1 w
A
15,0 b
2
A b
x +
−
=
Momento fletor:
2
x M p B
2
x M F
2
A
1A 1
A
1A 1A = → = ⋅b) Cálculo da altura da sapata
Pode ser definida em função do critério da NBR 6118:
3
A b
h
1 w
1
−
≥ → para sapata rígida; d1 = h1 – 5 cm (pode ser mais)
c) Verificação da força cortante na seção S2A
Força cortante de referência (ou atuante):
dA f 1 2A V = γ ⋅p⋅B ⋅c2
d
2
A b
c
1 w 1
2A −
−
=UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 83
Força cortante resistente (ou limite):
2A 2A ck
c
lim,d
b d f
,0 474 V ⋅ ⋅ ρ ⋅γ
= (fck em MPa)
com: b2A = B1
3
h
c5,1 ; h
A b
h h
d d 1
1
2A 0
1 w
1 0
2A 1 ≤ ≥
−
−
= − (inteiro e múltiplo de 5cm) ou cm h 30 0 ≥
Se V lim,d ≥ VdA → dispensa–se a armadura transversal;
Se V lim,d < VdA → recomenda-se aumentar a altura útil da sapata;
lim,d
dA
n 1 V
V
d = d
d) Armadura à flexão
Armadura principal:
f 1A
2
1 1
c M
B d
K
γ
⋅= →
βx
Ks
domínio
na tabela:
1
f 1A
1,s A s
d
M A K
γ
= ou
1 yd
f 1A
1,s A
85,0 d f
M A
⋅γ
=
As,mín = 0,10 % B1 d1
A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 .
Armadura de distribuição (paralela à B1):
≥
9,0 cm /m
A
5
1
A
2
1,s A
,s distr , com s ≤ 33 cm.
6.5 EXEMPLO 8
(Exemplo de Ferro, N.C.P., Notas de Aula, 2005)
Dimensionar uma sapata para o pilar da divisa, fazendo a viga alavanca (Figura 95).
Dados: C20; CA-50; N1 = 550 kN; N2 = 850 kN;
σsolo = 02,0 kN/cm2
;
Armadura pilar = 10 φ 12,5 mm ; c = 4,0 cm. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 84
30
20
2,5
400cm
30
30
divisa
Figura 95 – Esquema dos pilares.
Resolução
1) Dimensionamento da sapata
1.1) Assumir um valor para R’1
'R 1 = 2,1 N1 = 2,1 ⋅550 = 660 kN
1.2) Área de apoio da sapata – S1
2
solo
1
1
36.300 cm
02,0
660 1,1
'R
'S 1,1 = =
σ
=
1.3) Cálculo da dimensão B1
134 7, cm
2
36300
2
'S
'B
1
1 = = =
Portanto, 'B1 =135 cm
1.4) Excentricidade e1
5,2 50 cm
2
30
2
135 f
2
b
2
'B
'e
1 1p
1 = − − = − − =
f = distância da face do pilar à linha de divisa.
1.5) Cálculo de R’’1
628 6, kN
400 50
400 550
z 'e
z
''R N
1
1 1 =
−
=
−
=
1.6) Comparação entre R’1 e R’’1
1 1 1 95,0 ''R ≤ 'R ≤ 05,1 ''R
95,0 ⋅628 6, = 5971, ≤ 660 ≤ 05,1 ⋅628 6, = 660 → ok!UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 85
2561, cm A 260 cm
135
34573
B
S
A
B 'B 135 cm
34.573 cm
02,0
628 6,
1,1
''R
S 1,1
1
1
1
1
1 1
2
solo
1
1
= = = → =
= =
= =
σ
=
2) Esforços máximos na viga alavanca
2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1
p( q ) ; b 30 cm
2
b
V b p( q ) ; M 1 1 1p
2
1p
1L = 1p 1 − 1 1L = − =
,4 656
135
628 6,
B
R
p
1
1
1 = = = kN/cm
18,333
30
550
b
N
q
1p
1
1 = = = kN/cm
( ) ,4 656 18,333 .6 155
2
30 M
2
1L = − = − kN.cm
V 30 ( ,4 656 18,333) 410 3, 1L = − = − kN
2.2) Momento fletor máximo, V2L e M2L (seção x = B1)
M 24.234 kN cm
2
30 18,333 30 1181,
2
1181,
,4 656
2
b
q b x
2
x M p
1181, cm
,4 656
18,333 30
p
q b
x
máx
2
1p
1 1p máx
2
máx
máx 1
1
1 1p
máx
= − ⋅
= − ⋅ −
= − ⋅ −=
⋅=
⋅=
V p B q b ,4 656 135 18,333 30 2L 1 1 1 1p = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅V2L = 78 6, kN
= − ⋅ −2
b
q b B
2
B M p
1p
1 1p 1
2
1
2L 1
23.571
2
30 18,333 30 135
2
135 M ,4 656
2
2L = −
= − ⋅ − kN.cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 86
Diagrama de esforços (Figura 96):
N2
R2
p1
q1
30
bp1
B = 135 1
(3)
-
-
V (KN)
x = 118,1
= 18,333 KN
cm
= 4,656
410,3
78,6
6.155 24.234 23.571 M ( KN
cm )
Figura 96 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio.
3) Largura da viga alavanca
bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm
Por outra forma, estimando que dv = 2bw :
( )
máx
3
w
máx
3
w
máx
2
w w
c M
b
86,2
4,1 M
4b
4,1 M
b 2b
K = = =
3
w Kc Mmáx b = 35,0
Kc pode ser adotado 6/fck para o domínio 3:
b 35,0 ( 0,2/6 )24234 29 4,
3
w = = cm → adotaremos bw = 35 cm
4) Altura da sapata da divisa
Para sapata rígida:
NBR 6118 → h1 ≥ (A1 – bw)/3 ≥ (260 – 35)/3 ≥ 75 cm
Pelo CEB-70 → 0,5 ≤ h1/c ≤ 1,5 UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 87
112 5,
2
260 35
2
A b
c
1 w =
−
=
−
= → 0,5 ≤
112 5,
h1 ≤ 1,5
56,3 cm ≤ h1 ≤ 168,8 cm → adotado h1 = 75 cm = hv
d1 = 75 – 5 = 70 cm = dv
O pilar tem armadura φ 12,5 mm, com lb = 38 cm (com gancho), e:
d1 = 70 cm > lb = 38 cm → ok!
5) Dimensionamento da viga alavanca
A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata 1 pode ser
calculada fazendo-se a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga
fletida.
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata 1 (B1)
= 260 A1
P1 P2
B = 135 1
VE
h
=
75
0
h1
C = 112
5 C = 112
5
sapata 2
sapata 1
hv
= 35 bw
Figura 97 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa.
bw = 35 cm ; hv = h1 = 75 cm ; dv = d1 = 70 cm ; Md = 1,4 . 24234 = 33.928 kN.cm
1,5
33928
35 70
M
b d
K
2
d
2
c =
⋅= = → βx = 0,22 (domínio 2), Ks
= 0,025
1212,
70
33928 A ,0 025 s = = cm
2 → 6 φ 16 mm (12,00 cm2
) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 88
Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte.
Armadura mínima: As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2
Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 φ 16 ou 5 φ
10).
5.2) Armadura transversal
No trecho da sapata: Vk = 410,3 kN → VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN
Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I,
apresentadas na apostila de Dimensinamento de Vigas à Força Cortante, com concreto C20 e dv
= 70 cm:
VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd → ok!
VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd
17,0 35 14 97,
70
574 4,
17,0 b 55,2
d
V
A 55,2 w
Sd
sw = − = − ⋅ = cm
2
/m
( )
35 09,3
10 50
20 3,0 20 b
f
20f
A
3 2
w
ywk
ctm
sw,mín =
⋅= = cm
2
/m
Com Asw = 14,97 cm2
/m, fazendo estribo com quarto ramos tem-se Asw1ramo = 14,97/4 =
3,74 cm2
/m, e na Tabela A-1 da apostila citada, encontra-se: φ 8 mm c/13 cm (3,85 cm2
/m).
Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 574,5 kN, por coincidência igual a VSd .
s ≤ 0,6d ≤ 30 cm → s ≤ 0,6 . 70 = 42 cm ≤ 30 cm
∴ s ≤ 30 cm
0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd → st ≤ 0,6d ≤ 35 cm
st ≤ 0,6 . 70 ≤ 42 cm ≤ 35 cm → ok!
No trecho da viga coincidente com a sapata (B1) convém colocar a armadura calculada
para a força cortante máxima. No trecho fora da sapata 1, a armadura deve ser calculada para a
menor seção transversal, 35 x 40 na união com a sapata 2 (pilar interno):
kN V 4,1 78 6, 110 Sd = ⋅ =V 35,0 35 35 4288, kN V ok! Rd2 = ⋅ ⋅ = > Sd →
Sd,mín VSd Asw,mín V = ,0101⋅35⋅35 =123 7, kN> →
09,3 cm m
10 50
20 3,0( 20 35)
A
2
3 2
sw,mín =
⋅⋅=UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 89
Estribo φ 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2
/m) com 2 ramos:
Rd2 VSd 67,0 V = 287 3, kN > → s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm
s ≤ 0,6 · 35 ≤ 21 cm ≤ 30 → s ≤ 21 cm
Rd2 Sd VRd2
2,0 V = 85 8, kN → V > 2,0
cm s 6,0 d 35cm s 21 t ≤ ≤ → t ≤
Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com 2 ramos resulta 26,4cm (35-4,3-
4,3), maior que o valor st
= 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de 2 ramos. Por exemplo,
estribo com 4 ramos φ 5 mm:
,0 0309 s 25 9, cm s 21cm
s
4 20,0
= → = > máx =
⋅ Então: estribo φ 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2
/m)
5.3 Armadura de pele
Asp quando h > 60 cm
A 10,0 % b h ,0 0010 35 75 63,2 cm porface 2
sp = w
⋅ = ⋅ ⋅ = 5 φ 8 mm = 2,50 cm2
por face
5.4 Armadura de costura
A armadura de costura é colocada abaixo da armadura longitudinal negativa e serve para
aumentar a resistência e ductilidade da viga.
Pode ser adotada como: ,s cost As A = 4,0
A 10 ,s cost = 4,0 ⋅1212, = 85,4 cm2 → φ 8 mm = 5,00 cm2
6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 90
N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20
A N1 - 6 Ø16
A
N3
N2
N3
5N4
6N1
CORTE AA
N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)
N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)
N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)
N4 - 5 Ø10 C =
3 laços (6N1)
N5 - 10 x 2 Ø8 C =
N6 - x 2 Ø5 C = VAR.
Detalhe dos laços sob
o pilar P1
Figura 98 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca).
Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura
constante;
b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de
momentos fletores.
6.6 TAREFA
a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1;
b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ;
c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A,
aumentado, quais as implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca?
6.7 VIGA ALAVANCA NÃO NORMAL À DIVISA
a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca;
b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o
efeito do momento de torção;
c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa). UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 91
B1
e1
P1
P2
CGsap
e1h
B1R
divisa
eixo da viga alavanca
Figura 99 – Viga alavanca não normal à divisa.
Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2)
Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa.
N1 N2
R1 R2
P1 pilar P2
Figura 100 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa.
N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1
R1 – N1 = ∆N
Ssap = 1,1 (N2 - ∆N/2)
6.8 EXERCÍCIO PROPOSTO
Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2,
sendo conhecidos: σsolo = 0,018 kN/cm2
; C20 ; CA-50; NP1 = 520 KN; NP2 = 970 KN ; φl,pil =
12,5 mm.
40
20
80
P1
P2
2,5 285
40
20
divisa
Figura 101 – Dimensões a serem consideradas. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 92
7. SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA
Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de
equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria
sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes,
etc.
A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear
na maioria dos casos.
bp
B
Divisa
não linear
N
Figura 102 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa.
Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma
que: B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B.
Em função do valor da excentricidade da força N, os seguintes casos são considerados:
a)
p B < 5,1 b (e < B/6) - Figura 103
bp
A
6
B
e 6
A
B
pmín.
pmáx.
N
Figura 103 – Caso onde
p B < 5,1 b (e < B/6).
máx 3,1 solo B
e6
1
A B
N
p ≤ σ
+
⋅=
−
⋅=
B
e6
1
A B
N
pmín
b)
= =
6
B
B 5,1 b , e p
- Figura 104 UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 93
B
e 6
A
B
pmáx.
N
Figura 104 – Caso onde
= =
6
B
B 5,1 b , e p
máx solo 3,1
A B
2N
p ≤ σ
⋅=
c)
> >
6
B
B 5,1 b , e p
- Figura 105
B
e 6
A
B
pmáx.
N
3 ( B
2 - e )
Figura 105 – Caso onde
> >
6
B
B 5,1 b , e p
máx solo 3,1
e
2
B
3A
2N
p ≤ σ
−
=
A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas
pequenas) ou variável. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 94
N
divisa
divisa
viga
enrijecedora
Figura 106 – Sapata isolada sob pilar de divisa.
Para casas onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa,
como ilustrado nos exemplos.
Para não ocorrer torção na viga convém coincidir o centro da viga com o centro do pilar.
A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa.
h
viga
Figura 107 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 95
A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do
pilar/sapata.
H
H
l
P
pilar
flexível
e
R
M H
H
P pilar
rígido
M
e R
Figura 108 – Estrutura para absorver forças horizontais.
8. SAPATA ASSOCIADA (CONJUNTA, CONJUGADA)
No Projeto de fundações de um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele
com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas de dois ou mais pilares superpõem-se, é
necessário fazer a sapata associada. A NBR 6122 chama “viga de fundação” quando os pilares
têm os centros alinhados.
Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais
pilares, de pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com
desenho em planta retangular, trapezoidal, etc.
Dependendo da capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada
pode ter uma viga unindo os pilares (viga de rigidez). Essa é a sapata mais comum no Brasil.
8.1 SAPATA RETANGULAR
O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste
modo a pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme.
A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar
flexível ou rígida.
Os seguintes casos podem ser considerados: UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 96
C1
C2
P1 P2
B
2
B
2
A
B
N1 N2
C1 ap1 ap2 C2
l1
l2
x
lcc
R
ρ ≅ σsolo
q1 N1
ap1
= ____ q2 N2
ap2
= ____
ρ = R
A.B.
V
M
Figura 109 – Sapata conjunta.
a) N1 ≠ N2 e largura B previamente fixada
R = (N1 + N2)1,05 (ou 1,1)
∑ M (N1) = 0
N2
⋅lcc − R ⋅x = 0
cc
2
l
R
N
x =
solo
R
A B
σ
⋅ =UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 97
As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e:
cc
2
solo
1
l
R
N
2B
R
l −
σ⋅=
cc
1
solo
2
l
R
N
2B
R
l −
σ⋅=
1 cc 2 A = l + l + l
Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das
sapatas com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da
dimensão A, pode-se simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro
de ap1 ao invés da carga q1 em ap1).
A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento
fletor positivo.
b) N1 ≠ N2
e comprimento A previamente fixado
cc
2
l
R
N
x = ; R = 1,05 (N1 + N2)
x
2
A
l1 = − ; l( )x
2
A
l2 = − cc −
Largura da sapata:
A solo
R
B
σ⋅=
c) N1 ≅ N2 ou N1 < N2
e comprimento l1fixado
Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1
não é muito diferente de N2. O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as
faces externas dos pilares.
cc
2
l
R
N
x =
Comprimento da sapata: A 2(l x) = 1 +
Largura da sapata:
A solo
R
B
σ⋅
=UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 98
P1 P2
A
B
N1 N2
ap1 ap2
x
R
ρ
l1
lcc l2
bp1
bp2
divisa
h
Figura 110 – Sapata conjunta com pilar de divisa.
No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o
dimensionamento econômico é conseguido com os balanços sendo A/5.
A
5
3
5 A A
5
P1 P2
A
B
Figura 111 – Balanço econômico para a sapata conjunta.
8.2 VERIFICAÇÕES E DIMENSIONAMENTO
Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas
rígidas deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica c.
Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem
ser verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, etc. ramos
podem ser usados.
Momentos Fletores - Armaduras de Flexão: na direção longitudinal a armadura de
flexão deve ser dimensionada conforme os momentos fletores, e posicionadas de acordo com o
sinal do momento. Na direção transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com
largura d/2 além das faces do pilar. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 99
P1
P2
B
bp1
bp2
h
ap1
d
2
d ap2 2
d
f 2
AI AIII
I II III IV
d
A
a + 0,5d + f ap1 a + d ap1
Figura 112 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV.
obs.: f = distância da face do pilar P1 à divisa.
Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro:
AsII = AsIV = ρmín · h (cm2
/m)
Região I:
B
N
q
1
1 =
2
2
B-b
M q
2
p1
1 1
=
yd
f 1
s
0,85d f
M A
⋅γ
= ;
As, mín. = ρ mín·(f + ap1 + 0,5d)h ;
(f a 0,5d)h
A
p1
s
+ +
ρ =
ρ ≥ ρmín
Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2, a largura ap2 + d e
vão B - bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e
(ap2 + d), respectivamente. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 100
8.3 SAPATA DE FORMA TRAPEZOIDAL
Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com
forma de trapézio (Figura 113).
P1
C ap1
P2
B1
B2
N1 N2
A
lcc
x R
ρ = . ρ 2 B2
ρ = . ρ 1 B1
Figura 113 – Sapata conjunta com planta em trapézio.
As dimensões A e c são adotadas, e:
R=(N1 + N2)1,1 (ou 1,05)
solo
sap
R
S
σ
=
A
2
B B
S
1 2
sap
+
=
∑M(P1
) = 0
N2 . lcc – R . x ==00
R
N l.
x
2 cc =
Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R),
tem-se:
+
+
+ + =
1 2
1p 1 2
B B
B 2B
3
A
c
2
a
x
Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 . UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 101
A
2
B B
S
1 2
sap
+
=
P1
C ap1
P2
B1
B2
N1 N2
A
lcc
x R
ρ = . ρ 2 B2
ρ = . ρ 1 B1
Figura 114 – Sapata conjunta com planta em trapézio.
8.4 SAPATA ASSOCIADA COM VIGA DE RIGIDEZ
Nas sapatas associadas sob pilares com cargas altas é recomendável associar a sapata com
uma “viga de rigidez”, que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção,
diminui a deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim,
aumenta a rigidez da sapata.
d
2
0,15bw
d
S1
S2
bw
h
CORTE AA
dv
hv
As
ρ
sapata
V.R.
1m
B
A
A
A
Figura 115 – Sapata conjunta com viga de rigidez. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 102
A B
N N
p
1 2
⋅+
=
Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada
sem viga de rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços,
determinados segundo a direção longitudinal da sapata.
+
+
≥
b 5cm
b 5cm
b
p2
1p
w
(5 cm = valor mínimo)
dv ≥ lb,φpil ; hv ≥ h
A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção de B.
Como modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. No
caso do CEB-70 devem ser consideradas as seções de referência como indicadas na Figura 115
(S1 e S2). O dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura As
.
8.5 EXEMPLO 9
Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 116), sendo: N1 = 900 kN, N2 =
1.560 kN, C20, γsolo = 1.925 kg/m3
, carga do piso de 500 kgf/m2
, φl,pil = 12,5 mm, c = 4,0 cm,
altura de solo entre a base da sapata e o piso de 2,08 m, 1915, σsolo = KPa.
30
45
divisa
P1 P2
40
17,5cm 6.10m
Figura 116 – Medidas para a sapata associada do exemplo.
Resolução
Neste exemplo, as cargas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata serão
consideradas diminuindo a tensão admissível do solo:
gsolo + gsap + gpiso = 2,08 . 1925 + 500 = 4.504 kgf/m2
a) Dimensões da sapata
Tensão admissível líquida do solo:
1915, 45 0, 146 5, σsolo líq, = − = kPa = 146,5 kN/m2
= 0,1465 MPa UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 103
Área da sapata:
16 8,
146 5,
900 1560 Ssap =
+
= m
2
Centro de cargas: cc
1 2
2
l
N N
N
x
+
= ;
;; N1 + N2 = R
10,6 87,3
900 1560
1560
x =
+
= m
Comprimento da sapata: A 2(l x) = 1 +
A = 2(0,175 + 3,87) = 8,09 m ≅ 8,10 m
Largura da sapata:
A
S
B
sap
=
07,2
10,8
16 8,
B = = m ≅ 2,10 m
,0 01446
810 210
900 1560
A B
N N
p
1 2 =
⋅+
=
⋅+
= kN/cm2
Considerando a largura da sapata:
pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 104
30
45
divisa
P1 P2
17,5
A
810
1625
CP
x
387
223 1825
B
210
900KN 1560
610
53,1
846,9 554,3
1005,7
= 3,037 KN ρB cm
V (KN) k
M (KN.cm) k
-
+
331
465
50575
117605
ou
115959
Figura 117 – Esforços solicitantes na sapata associada.
b) Altura da sapata
Conforme a NBR 6118: h ≥ (A – ap)/3
No caso de sapata isolada, A – ap = 2c. Para a sapata associada, o maior valor de c ocorre
no lado direito do pilar circular, onde c = 162,5 cm, e:
108 3,
3
2 162 5,
h ≥
⋅≥ cm
Fazendo a sapata como rígida com h = 108 cm, não será necessário verificar a punção.
No entanto, o consumo de concreto resulta exagerado (18,4 m3
). Como alternativa será adotada a
sapata flexível, com h = 85 cm (14,5 m3
, − 21 %), e neste caso deve-se verificar a possibilidade
de punção. Antes disso, é necessário calcular as armaduras de flexão. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 105
c) Armadura de flexão na direção longitudinal
Momento fletor negativo:
M = − 117.605 kN.cm → Md = 164.647 kN.cm ; d = 80 cm
2,8
164647
210 80
M
b d
K
2
d
2
c =
⋅= = → Ks
= 0,024 (domínio 2)
49 39,
80
164647 ,0 024
d
M A K
d
s = s = = cm
2 → 17 φ 20 mm = 53,55 cm2
Momento fletor positivo:
M = 50.575 kN.cm → Md = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm
19 0,
70805
210 80
M
b d
K
2
d
2
c =
⋅= = → Ks
= 0,024 (domínio 2)
2124,
80
70805 ,0 024
d
M A K
d
s = s = = cm
2 → 21 φ 12,5 mm = 26,25 cm2
d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 118)
30
= 45
divisa
P1 P2
+ 0,5d + f
72,5
+ d
120
1225
B = 210cm
bp1
ap1
ap2 ap1
40
ap2
Figura 118 – Regiões para a armadura de flexão.
Região do pilar P1:
29,4
210
900
B
N
q
1
1 = = = kN/cm
14.600
2
2
210 45
29,4
2
2
B b
M q
2
2
1p
1 1 =
−
=
−
= kN.cm
M1d = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 106
22 7,
20440
72 5, 80
M
b d
K
2
d
2
c =
⋅= = → Ks
= 0,023 (domínio 2)
88,5
80
20440 ,0 023
d
M A K
d
s = s = = cm
2 → 7 φ 12,5 mm = 8,75 cm2
Região do pilar P2:
43,7
210
1560
B
N
q
2
2 = = = kN/cm
26.841
2
2
210 40
43,7
2
2
B b
M q
2
2
1p
2 2 =
−
=
−
= kN.cm
M2d = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm
19 9,
37577
120 79
M
b d
K
2
d
2
c =
⋅= = → Ks
= 0,023 (domínio 2)
10 94,
79
37577 ,0 023
d
M A K
d
s = s = = cm
2 → 12 φ 12,5 mm = 15,00 cm2
e) Verificação da punção na superfície crítica C’
e1) Pilar circular P2 (Figura 119)
2d
160
40
2d
C'
Figura 119 – Superfície critica C’.
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):
u d
FSd
Sd
⋅τ =
dx = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm
dy = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 107
79 8, 80
2
d d
d
x y
= ≅+
= cm
Como 2d = 160 cm estende-se além da sapata, será considerada a distância a* (Figura
120):
a*
85
C' 105 105
Figura 120 – Distância a*.
85
2
210 40
2
a
2
B
*a
p2
=
−
= − = cm ; a* ≤ 2d ≤ 160 cm
u* = 2π r = 2π . 105 = 659,7 cm
Acont,C’ = π 2102
/4 = 34.635 cm2
∆FSd = 1,4 (0,01446 . 34635) = 701,2 kN
Força reduzida: FSd,red = 1,4 . 1560 – 701,2 = 1.482,8 kN
Tensão atuante:
,0 028
659 7, 80
1482 8,
Sd =
⋅τ = kN/cm2
= 0,28 MPa
As taxas de armadura ρx e ρy devem ser determinadas na distância 3d além das faces do
pilar. Pelos cálculos já efetuados:
ρ = ρx ρy
ρx = ρy = ρmín = 0,0015 = ρ
ρx ρy
Figura 121 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 108
Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
cd2
3
Rd1 ck f5,0
a*
2d
100 f
d
20 13,0 1 ⋅ρ ≤
τ = +
85
2 80 100 ,0 0015 20
80
20 13,0 1
3
Rd1
⋅⋅ ⋅
τ = + (utiliza-se o menor ρ1)
τRd1 = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2
cd
ck
cd2
f
250
f
f5,0 5,0 6,0 1
= −
4,1
0,2
250
20 f5,0 5,0 6,0 1 cd2
= −
0,5 fcd2 = 0,394 kN/cm2
= 3,94 MPa
Portanto, τSd = 0,28 MPa < τRd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura da
sapata por punção, na posição do pilar P2.
e2) Pilar retangular P1 (Figura 122)
O momento fletor, que atua na direção de B, na região próxima ao pilar P1, será
desprezado.
32
105 105
82
a*
82
a*
82
a*
45
5
5 5
5
82
a*
B = 210
Figura 122 – Distância a* no pilar da divisa.
Tensão de cisalhamento solicitante (τSd):
u*d
FSd τSd = ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN
d = 80 cm
u* = 32,5 + 32,5 + 45 + π . 82,5 = 369,2 cm UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 109
Tensão atuante:
,0 0427
369 2, 80
1260
Sd =
⋅τ = kN/cm2
= 0,427 MPa
A taxa de armadura será calculada considerando as armaduras longitudinal negativa na
direção x e transversal positiva na direção y (B).
As, cosntr.
85
d = 80
Ø12,5
17 Ø12,5
Figura 123 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa.
,0 003
210 85
53 55,
x =
⋅ρ =
ρy = ρmín = 0,0015
A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, mas
não será considerada.
,0 003 ,0 0015 ,0 00212 ρ = ρx ρy = ⋅ = Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’:
* cd2
3
Rd1 ck f5,0
a
2d
100 f
d
20 13,0 1 ⋅ρ ≤
τ = +
82 5,
2 80 100 ,0 00212 20
80
20 13,0 1
3
Rd1
⋅⋅ ⋅
τ = +
τRd1 = 0,612 MPa
τSd = 0,427 MPa < τRd1 = 0,612 MPa → ok!
f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal
Na direção longitudinal a sapata é considerada como uma viga, e:
bw = B = 210 cm < 5d < 5 . 80 < 400 cm
desse modo os cálculos devem ser feitos como viga e não como laje. UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 110
Adotando o Modelo de Cálculo I (concreto C20):
VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN
VSd = VSd,máx = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN < VRd2 → ok!
VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN
VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN → Asw = Asw,mín
( )
210 18 56,
10 50
20 3,0 20 b
f
20f
A
3 2
w
ywk
ctm
sw,mín =
⋅= = cm
2
/m
Espaçamento máximo:
0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd
s ≤ 0,6d ≤ 0,6 . 80 ≤ 48 cm ≤ 30 cm → s ≤ 30 cm
Espaçamento máximo entre ramos verticais:
0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd
st ≤ 0,6d ≤ 48 cm ≤ 35 cm → st ≤ 35 cm
Fazendo estribo φ 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2
):
,01856
s
86,1
= → s = 10 cm < 30 cm
st
= 200/5 = 40 cm ≈ st,máx = 35 cm (como a armadura transversal é a mínima, será aceito
um espaçamento um pouco superior para st).
g) Detalhamento das armaduras (Figura 124) UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 111
P2
N1 - 80 c/10
70
70
200
N1 - 80 Ø12,5 C = 340
N2 - 80 c/10
N3 - 2 x 80 c/10
N4 - 17 Ø20 C = N5 - 6 Ø8
N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR
N7 - 10 Ø8 C = N8 - 21 Ø12,5 C =
70
75
202
77
N2 - 80 Ø6,3 C =
40
77
N3 - 160 Ø6,3
21 N8
4 N6
17 N4
Figura 124 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata.
Atividade de casa: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares.
Comparar o consumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85
cm) pode ser alterada.
9. QUESTIONÁRIO
1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapata
associada, sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio.
Exemplificar com desenhos.
2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até
2,5?
3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório?
4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o
critério do CEB-70.
5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis.
6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas?
7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis?
8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversos
fatores. Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos).
Procure saber as simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível e
das características do solo (rocha, areia, argila, etc.). UNESP – Bauru/SP – Sapatas de Fundação 112
9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor na
sapata. Qual o carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentos
fletores.
10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva.
11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de
referência.
12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando?
13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando?
14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado?
15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas
com momentos fletores aplicados.
16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais
elementos estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes?
17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas
corridas?
18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E
no caso das sapatas flexíveis?
19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como é
disposta a armadura principal? E a armadura secundária?
20) Foi proposto um exercício de sapata corrida sob muro de divisa (p. 71.7). Não deixe de fazer,
esse tipo de sapata é muito comum na prática. Alguns dados numéricos não foram
fornecidos, propositadamente: procure, ou adote quando for o caso. Dúvidas? o Professor
está esperando-o!
21) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento e
escorregamento? Não esqueça de fazer essas verificações no exercício da sapata corrida da
questão anterior.
22) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas?
23) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa?
24) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca?
25) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção?
26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os
casos de pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata?
27) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado
colocar vigas na sapata?
28) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada?
29) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que?
30) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal
à viga de rigidez?
10. RERERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 221p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações,
NBR 6122. Rio de Janeiro, ABNT, 2010, 91p.
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Ações e segurança nas estruturas –
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