Apostila Fundamentos de Topografia

1o Edio

A primeira inteno ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didticos das

disciplinas de Topografia Terica e Prtica, do Centro Federal de Educao Tecnolgica de Minas Gerais.

Alm deste objetivo, que j justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura

das cincias geodsica e topogrfica.

com muita satisfao que repasso este conhecimento famlia

cefetiana e aos demais leitores de outras instituies, reconhecendo que ao

elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixo e finalizei-o

com satisfao.

Agradeo a minha famlia compreenso pelas horas dedicadas na

confeco deste documento, e ao Centro Federal de Educao Tecnolgica pelo

apoio de recursos humanos e materiais.

13 de fevereiro de 1998.

Marcelo Tuler de Oliveira Engenheiro Agrimensor [email protected]

2o Edio

Com satisfao fao a apresentao deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor

desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaborao a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita

dedicao, esforo e pesquisa. A sua grande preocupao com o ensino e sua capacidade e competncia, criou

uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das reas de Topografia e Geodsia.

ii

Esta 2a Edio, revisada e ampliada bastante didtica e bem

organizada em captulos por assuntos, facilitando a leitura e o

entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de

aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos.

Com certeza uma importante contribuio literatura tcnica.

Com contedo atualizado, bem ilustrado, com vrios

exemplos e exerccios, este trabalho demonstra dedicao a anos de

estudos e pesquisa na rea. Com sua experincia em docncia, o

Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo.

Com certeza esta obra ajudar muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos

estudantes dos Cursos Tcnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura.

A exemplo da 1a Edio, que fonte de consulta bibliogrfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a

Edio, ainda melhorada, contribuir ainda muito mais comunidade tcnica.

04 de maro de 2002.

Srgio Luiz Costa Saraiva Engenheiro Civil

[email protected]

iii

pg.

Prefcio ............................................................................................................................................................. ii

Sumrio ............................................................................................................................................................ iv

Lista de Figuras ................................................................................................................................................ x

Lista de Quadros e Tabelas ............................................................................................................................... xvi

Captulo 1 - Generalidades e Definies

1 - Introduo ................................................................................................................................................... 1

2 - Resumo Histrico ........................................................................................................................................ 2

2.1 - Das Primeiras Civilizaes Idade Antiga ......................................................................................... 2

2.2 - Da Idade Mdia Revoluo Cientfica ............................................................................................. 6

2.3 - Da Revoluo Industrial ao Contemporneo ...................................................................................... 7

3 - Conceitos Fundamentais da Geodsia ......................................................................................................... 8

3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esfrica ................................................................................................... 9

4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ...................................................................................................... 14

4.1 - Diviso da Topografia ......................................................................................................................... 14

4.2 - Importncia e Aplicaes .................................................................................................................... 16

5 - Sistemas de Referncia na Geodsia e Topografia ...................................................................................... 17

5.1 - Sistema de Coordenadas Astronmicas e Geodsicas ........................................................................ 18

5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronmicas .................................................................................... 18

5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodsicas ........................................................................................ 19

5.1.3 - Relao entre as Coordenadas Astronmicas e Geodsicas ..................................................... 19

5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topogrficas ................................................................................... 20

5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ................................................................................................. 20

5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topogrficas ..................................................................................... 22

5.2.3 - Relao entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topogrficas .............................................. 23

iv

v

6 - Sistema Geodsico Brasileiro ...................................................................................................................... 23

6.1 - Situao Atual do SGB ....................................................................................................................... 24

6.2 - Novas Propostas para Implantao de Redes Fundamentais ............................................................... 26

Captulo 2 - Planimetria

1 - Introduo ................................................................................................................................................... 29

2 - Sistemas de Unidades de Medidas .............................................................................................................. 29

2.1 - Unidade de Medida Linear .................................................................................................................. 30

2.2 - Unidade de Medida de Superfcie ....................................................................................................... 32

2.3 - Unidade de Medida de Volume ........................................................................................................... 34

2.4 - Unidade de Medida Angular ............................................................................................................... 34

2.4.1 - Sistema Sexagesimal ................................................................................................................ 34

2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ................................................................................................. 37

3 - Gramometria ................................................................................................................................................ 40

3.1 - Processos Diretos ................................................................................................................................ 40

3.2 - Processos Indiretos .............................................................................................................................. 43

3.2.1 - Distncia Horizontal - Plano Horizontal .................................................................................. 43

3.2.2 - Distncia Horizontal - Plano Inclinado .................................................................................... 45

3.2.3 - Diferena de Nvel .................................................................................................................... 46

3.2.4 - Distncias Mximas e Mnimas ................................................................................................ 47

4 - Goniologia ................................................................................................................................................... 50

4.1 - ngulos Horizontais ............................................................................................................................ 50

4.1.1 - ngulos Azimutais ................................................................................................................... 51

4.1.2 - ngulos Goniomtricos ............................................................................................................ 52

4.1.3 - Azimutes Calculados ................................................................................................................ 53

4.2 - ngulos Verticais................................................................................................................................. 54

4.2.1 - ngulo de Inclinao ................................................................................................................ 54

4.2.2 - ngulo Zenital .......................................................................................................................... 54

4.3 - Magnetismo Terrestre ......................................................................................................................... 55

4.3.1 - Declinao Magntica .............................................................................................................. 55

5 - Mtodos de Levantamento Planimtrico ..................................................................................................... 58

5.1 - Mtodos Principais e Secundrios ...................................................................................................... 59

5.1.1 - Mtodos Principais ................................................................................................................... 59

5.1.2 - Mtodos Secundrios ............................................................................................................... 61

5.1.3 Exemplo 30 Ponto Inacessvel .............................................................................................. 62

5.2 - Poligonal Topogrfica ......................................................................................................................... 65

6 - Planilha de Coordenadas ............................................................................................................................. 69

vi

6.1 - Clculo do Fechamento Angular ......................................................................................................... 69

6.1.1 - Determinao do Erro Angular ................................................................................................ 70

6.1.2 - Tolerncia do Erro Angular ...................................................................................................... 72

6.1.3 - Distribuio do Erro Angular ................................................................................................... 73

6.2 - Clculo de Azimutes ........................................................................................................................... 74

6.3 - Clculo das Coordenadas Relativas No Corrigidas ........................................................................... 76

6.4 - Clculo do Fechamento Linear ........................................................................................................... 78

6.4.1 - Determinao do Erro Linear ................................................................................................... 78

6.4.2 - Tolerncia do Erro Linear ........................................................................................................ 78

6.5 - Clculo das Coordenadas Relativas Corrigidas .................................................................................. 79

6.6 - Clculo das Coordenadas Absolutas ................................................................................................... 80

6.7 - Exemplos de Clculos de Planilhas de Coordenadas .......................................................................... 81

6.7.1 - Exemplo 39 .............................................................................................................................. 81

6.7.2 - Exemplo 40 .............................................................................................................................. 87

7 - Clculo de reas Planas .............................................................................................................................. 94

7.1 - Mtodo Analtico pela Frmula de Gauss ........................................................................................... 94

7.2 - Mtodo de Decomposio em Polgonos ............................................................................................ 97

7.3 - Mtodo de Comparao por Quadrculas ............................................................................................ 98

Captulo 3 - Altimetria

1 - Introduo ................................................................................................................................................... 101

1.1 - Superfcies de Referncia de Nvel ..................................................................................................... 101

1.1.1 - Erro de Nvel Aparente ............................................................................................................. 103

1.2 - Altitude, Cota e Diferena de Nvel .................................................................................................... 105

2 - Instrumentos Altimtricos ........................................................................................................................... 107

2.1 - Plano de Visada Horizontal ................................................................................................................. 107

2.2 - Plano de Visada Inclinado ................................................................................................................... 110

2.3 - Acessrios ........................................................................................................................................... 111

2.4 - Barmetros .......................................................................................................................................... 111

3 - Processos de Nivelamento ........................................................................................................................... 112

3.1 - Introduo ........................................................................................................................................... 112

3.2 - Nivelamento Geomtrico .................................................................................................................... 112

3.3 - Nivelamento Trigonomtrico .............................................................................................................. 113

3.4 - Nivelamento Baromtrico ................................................................................................................... 115

3.5 - Nivelamento Taqueomtrico ............................................................................................................... 116

3.6 - Fatos Atuais em Altimetria ................................................................................................................. 116

3.6.1 - Normas Tcnicas Nivelamento segundo a ABNT .................................................................... 117

3.6.2 - Nivelamento Geodsico ........................................................................................................... 117

vii

3.6.3 - Nivelamento GPS ..................................................................................................................... 120

4 - Nivelamento Geomtrico ............................................................................................................................ 121

4.1 - Nivelamento Geomtrico Simples ....................................................................................................... 121

4.2 - Nivelamento Geomtrico Composto ................................................................................................... 124

4.3 - Verificao dos Clculos da Caderneta ............................................................................................... 126

4.4 Erro no Nivelamento Topogrfico ...................................................................................................... 127

4.4.1 Determinao do Erro .............................................................................................................. 128

4.4.2 - Definio da Tolerncia ........................................................................................................... 129

4.4.3 - Distribuio do Erro Admissvel .............................................................................................. 130

4.5 - Exemplo de Clculo de Nivelamento Geomtrico .............................................................................. 130

5 - Perfis Longitudinais e Transversais ............................................................................................................ 133

5.1 - Perfil Longitudinal .............................................................................................................................. 134

5.2 - Perfil Transversal ................................................................................................................................ 134

5.2.1 - Nivelamento das Sees Transversais a Nvel ......................................................................... 135

5.2.2 - Nivelamento das Sees Transversais a Rgua ........................................................................ 135

5.2.3 - Nivelamento das Sees Transversais a Clinmetro ................................................................ 137

6 - Representao Altimtrica .......................................................................................................................... 138

6.1 - Planta Baixa ........................................................................................................................................ 139

6.2 - Perfil .................................................................................................................................................... 140

Captulo 4 - Planialtimetria

1 - Introduo ................................................................................................................................................... 143

2 Levantamento Planialtimtrico ................................................................................................................... 143

3 - Exemplo de Clculo Planialtimtrico .......................................................................................................... 144

3.1 Planimetria Planilha de Coordenadas .............................................................................................. 147

3.2 Altimetria Nivelamento Estadimtrico ............................................................................................ 152

3.3 Planialtimetria ..................................................................................................................................... 154

Captulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satlites - Aspectos Bsicos

1 - Introduo e Histrico ................................................................................................................................. 159

2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS .................................................................................. 160

3 - Princpios de Observao e Tcnicas de Posicionamento GPS ................................................................... 162

3.1 - Observaes no Modo Relativo ou Diferencial .................................................................................. 164

4 - Informaes Bsicas para Utilizao do Sistema ........................................................................................ 167

5 - Transformao de Referenciais Geodsicos ................................................................................................ 167

viii

6 - Instrumento Receptor .................................................................................................................................. 168

7 - Preciso e Classificao dos Levantamentos GPS ...................................................................................... 168

8 Aplicaes do Sistema GPS ....................................................................................................................... 170

Captulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Bsicos

1 - Definies e Generalidades ......................................................................................................................... 173

2 - Cmaras Areas ........................................................................................................................................... 174

2.1 Cmaras Areas Digitais ....................................................................................................................... 175

3 - Formao do Modelo Estereoscpico ......................................................................................................... 177

3.1 - Restituio Fotogramtrica ................................................................................................................. 178

4 - Medio Aproximada de Altura .................................................................................................................. 180

5 - Plano de Vo Aerofotogramtrico .............................................................................................................. 182

5.1 - Informaes Complementares para Projeto Aerofotogramtrico ........................................................ 186

5.2 - Problema de Orientao das Fotos ...................................................................................................... 187

6 - Produtos Aerofotogramtricos .................................................................................................................... 189

6.1 - Aplicaes na Fotointerpretao ......................................................................................................... 190

Captulo 7 - Ajustamento de Observaes Topogrficas - Aspectos Bsicos

1 - Generalidades e Definies ......................................................................................................................... 193

2 - Conceitos e Classificao dos Erros de Observao ................................................................................... 195

2.1 - Conceitos Iniciais ................................................................................................................................ 196

2.2 - Classificao dos Erros de Observao ............................................................................................... 197

2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ........................................................................... 198

3 - Aplicaes Estatsticas ................................................................................................................................ 201

3.1 - Exemplo 1 ........................................................................................................................................... 202

3.2 - Exemplo 2 ........................................................................................................................................... 204

3.3 - Exemplo 3 ........................................................................................................................................... 207

Captulo 8 Locao Aspectos Bsicos

1 Generalidades e Definies ........................................................................................................................ 213

2 Locao para Construo de Estradas ........................................................................................................ 214

2.1 Locao das Tangentes e PIs ............................................................................................................. 215

2.2 Locao das Curvas ............................................................................................................................ 217

2.1.1 Curva Circular Simples ............................................................................................................ 218

Captulo 9 Animais Peonhentos Aspectos Bsicos

1 Introduo ................................................................................................................................................... 249

ix

2 Animais Perigosos ...................................................................................................................................... 250

2.1 Aranhas ............................................................................................................................................... 252

2.2 Escorpies .......................................................................................................................................... 253

2.3 Abelhas, vespas e marimbondos ......................................................................................................... 253

2.4 Taturanas e Lacraias ........................................................................................................................... 254

2.5 Cobras ................................................................................................................................................. 255

2.5.1 Identificao de Cobras ........................................................................................................... 255

3 Preveno de Acidentes .............................................................................................................................. 259

Referncias Bibliogrficas ................................................................................................................................ 263

pg.


Figura 1.1: Determinao do raio da Terra, por Erasttenes ............................................................................ 4

Figura 1.2: Narrativa da experincia de Erasttenes ........................................................................................ 5

Figura 1.3: Astrolbio ....................................................................................................................................... 6

Figura 1.4: Elipside de Revoluo .................................................................................................................. 9

Figura 1.5: Extenso do campo topogrfico ..................................................................................................... 12

Figura 1.6: Sistema de coordenadas astronmicas ........................................................................................... 17

Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodsicas ............................................................................................... 18

Figura 1.8: Relao entre superfcies da Geodsia ........................................................................................... 19

Figura 1.9: Algumas superfcies de projeo ................................................................................................... 20

Figura 1.10: Projeo UTM .............................................................................................................................. 20

Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM ..................................................................................................... 21

Figura 1.12: Deformaes do sistema de projeo UTM ................................................................................. 21


Figura 2.1: Mltiplos e submltiplos do metro ................................................................................................ 30

Figura 2.2: Sistema sexagesimal ...................................................................................................................... 35

Figura 2.3: Sistema centesimal ......................................................................................................................... 37

Figura 2.4: Sistema radiano .............................................................................................................................. 38

Figura 2.5: Medio horizontal do alinhamento AB ........................................................................................ 40

Figura 2.6: Horizontalidade do diastmetro ...................................................................................................... 41

Figura 2.7: Erro de catenria ............................................................................................................................ 42

Figura 2.8: Desvio vertical da baliza ................................................................................................................ 42

Figura 2.9: Desvio lateral do diastmetro ......................................................................................................... 42

Figura 2.10: Distncia horizontal estadimtrica I ............................................................................................. 43

Figura 2.11: Fios estadimtricos ....................................................................................................................... 44

x

xi

Figura 2.12: Tipos de luneta ............................................................................................................................. 45

Figura 2.13: Distncia horizontal estadimtrica II ............................................................................................ 45

Figura 2.14: Diferena de nvel estadimtrica .................................................................................................. 46

Figura 2.15: Mxima distncia terica conferindo ........................................................................................... 48

Figura 2.16: Mxima distncia terica sem conferncia .................................................................................. 48

Figura 2.17: Mnima distncia terica conferindo ............................................................................................ 48

Figura 2.18: Distncia horizontal e diferena de nvel pelo processo estadimtrico ........................................ 49

Figura 2.19: ngulos na Topografia ................................................................................................................. 50

Figura 2.20: ngulo horizontal ..................................................................................................................... 51 Figura 2.21 : Medio de azimutes ................................................................................................................... 51

Figura 2.22: Azimute de vante e r ................................................................................................................... 51

Figura 2.23: Medio dos rumos ...................................................................................................................... 52

Figura 2.24: Converso azimutes em rumos ..................................................................................................... 52

Figura 2.25: Medio de ngulos horrios internos e externos ........................................................................ 52

Figura 2.26: Medio dos ngulos de deflexo ................................................................................................ 53

Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo ............................................................................................. 53

Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexo ........................................................................................ 53

Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ngulo horrio .............................................................................. 54

Figura 2.30: ngulo de inclinao e zenital ..................................................................................................... 54

Figura 2.31: Declinao magntica .................................................................................................................. 55

Figura 2.32: Simulao de clculo da declinao para BH .............................................................................. 57

Figura 2.33: Azimute magntico e verdadeiro .................................................................................................. 57

Figura 2.34: Levantamento por triangulao .................................................................................................... 59

Figura 2.35: Levantamento por caminhamento ................................................................................................ 60

Figura 2.36: Levantamento por interseo de ngulos ..................................................................................... 60

Figura 2.37: Levantamento por interseo de distncias .................................................................................. 61

Figura 2.38: Levantamento por irradiao ........................................................................................................ 61

Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares ............................................................................... 62

Figura 2.40: Pontos inacessveis ....................................................................................................................... 62

Figura 2.41: Acessrios ao levantamento da poligonal topogrfica ................................................................. 66

Figura 2.42: Poligonal topogrfica ................................................................................................................... 66

Figura 2.43: Levantamento planimtrico de uma propriedade ......................................................................... 67

Figura 2.44: Erro de fechamento angular I ....................................................................................................... 71

Figura 2.45: Erro de fechamento angular II ...................................................................................................... 72

Figura 2.46: Clculo de azimutes I ................................................................................................................... 75

Figura 2.47: Clculo de azimutes II .................................................................................................................. 76

Figura 2.48: Clculo das coordenadas relativas I ............................................................................................. 77

xii

Figura 2.49: Clculo das coordenadas relativas II ............................................................................................ 77

Figura 2.50: Poligonal topogrfica I ................................................................................................................. 82

Figura 2.51: Poligonal topogrfica II ............................................................................................................... 87

Figura 2.52: Clculo de rea I .......................................................................................................................... 95

Figura 2.53: Clculo de rea II ......................................................................................................................... 95

Figura 2.54: Clculo de rea III ........................................................................................................................ 97

Figura 2.55: Clculo de rea IV ....................................................................................................................... 98


Figura 3.1: Superfcie terrestre, geide e elipside .......................................................................................... 101

Figura 3.2: Alturas ortomtricas ....................................................................................................................... 102

Figura 3.3: Superfcie de referncia verdadeira e aparente .............................................................................. 103

Figura 3.4: Altitudes de pontos topogrficos ................................................................................................... 105

Figura 3.5: Cotas de pontos topogrficos ......................................................................................................... 106

Figura 3.6: Nveis esfricos .............................................................................................................................. 108

Figura 3.7: Nvel cilndrico .............................................................................................................................. 108

Figura 3.8: Nveis de luneta .............................................................................................................................. 108

Figura 3.9: Nvel de pedreiro ............................................................................................................................ 109

Figura 3.10: Nveis laser ................................................................................................................................... 109

Figura 3.11: Nvel de mangueira ...................................................................................................................... 109

Figura 3.12: Corpos suspensos ......................................................................................................................... 110

Figura 3.13: Clinmetro ................................................................................................................................... 110

Figura 3.14: Estao Total ................................................................................................................................ 111

Figura 3.15: Miras ............................................................................................................................................ 111

Figura 3.16: Altmetro ...................................................................................................................................... 111

Figura 3.17: Nivelamento geomtrico .............................................................................................................. 113

Figura 3.18: Nivelamento trigonomtrico ........................................................................................................ 114

Figura 3.19: Nivelamento baromtrico ............................................................................................................. 115

Figura 3.20: Nivelamento geomtrico simples ................................................................................................. 122

Figura 3.21: Nivelamento geomtrico composto I ........................................................................................... 124

Figura 3.22: Nivelamento geomtrico composto II .......................................................................................... 131

Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal ................................................................................................... 134

Figura 3.24: Nivelamento de seo transversal a rgua ................................................................................... 135

Figura 3.25: Perfil transversal .......................................................................................................................... 136

Figura 3.26: Nivelamento de seo transversal clinmetro ........................................................................... 137

Figura 3.27: Planta com pontos cotados ........................................................................................................... 139

Figura 3.28: Planta com curvas de nvel ........................................................................................................... 139

xiii

Figura 3.29: Planta com cores hipsomtricas ................................................................................................... 140

Figura 3.30: Desenho de perfil ......................................................................................................................... 141

Figura 3.31: Desenho em perspectiva ............................................................................................................... 141


Figura 4.1: Croqui de rea ................................................................................................................................ 144

Figura 4.2: Planta planialtimtrica do terreno .................................................................................................. 154

Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno ................................................................................................... 154


Figura 5.1: Segmento de controle ..................................................................................................................... 160

Figura 5.2: Segmento dos usurios ................................................................................................................... 161

Figura 5.3: Princpio de observao ................................................................................................................. 163

Figura 5.4: Fase codificada ............................................................................................................................... 163

Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial .......................................................................................... 164

Figura 5.6: Mtodo diferencial utilizando as ondas portadoras ........................................................................ 165

Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS ............................................................................................... 168

Captulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Bsicos

Figura 6.1: Escala da fotografia area .............................................................................................................. 173

Figura 6.2: Cmaras terrestre e area ................................................................................................................ 174

Figura 6.3: Relao entre distncia focal e escala ............................................................................................ 176

Figura 6.4: Estereoscpio de espelhos .............................................................................................................. 177

Figura 6.5: Restituidor universal ...................................................................................................................... 179

Figura 6.6: Medio aproximada de altura ....................................................................................................... 180

Figura 6.7: Plano de vo ................................................................................................................................... 183

Figura 6.8: Apoio terrestre ................................................................................................................................ 187

Figura 6.9: Ortofotocarta .................................................................................................................................. 190

Figura 6.10: Construo de cartas e mapas ....................................................................................................... 190

Figura 6.11: Fotointerpretao urbana .............................................................................................................. 191


Figura 7.1: Acurcia x Preciso ........................................................................................................................ 196

Figura 7.2: Relao entre a freqncia observada e freqncia terica ............................................................ 201

Figura 7.3: Nivelamento geomtrico ................................................................................................................ 207

Captulo 8 Locao Aspectos Bsicos

Figura 8.1: Estaca testemunha .......................................................................................................................... 213

xiv

Figura 8.2: Referncia do greide ...................................................................................................................... 213

Figura 8.3: Utilizao de cruzetas .................................................................................................................... 213

Figura 8.4: Exemplo da marcao de off-set .................................................................................................... 215

Figura 8.5: Marcao das tangentes e PIs ........................................................................................................ 215

Figura 8.6: Amarrao de um PI por interseo de ngulos ............................................................................. 216

Figura 8.7: Amarrao de um PI por interseo de distncias .......................................................................... 217

Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples ...................................................................................... 217

Figura 8.9: Elementos de uma curva de transio ............................................................................................ 218

Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada ............................................................................................ 218

Figura 8.11: Elementos as curva circular ......................................................................................................... 219

Figura 8.12: Clculo da tangente externa ......................................................................................................... 220

Figura 8.13: ngulo AC ................................................................................................................................... 220

Figura 8.14: Clculo das estacas do PC e PT ................................................................................................... 221

Figura 8.15: Clculo das estacas do PI ............................................................................................................. 222

Figura 8.16: Distncia PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento ............................................. 223

Figura 8.17: Diferena entre distncia reta e curva .......................................................................................... 226

Figura 8.18: Locao das curvas atravs da corda ........................................................................................... 228

Figura 8.19: Locao I. Arcos de 20 m ............................................................................................................ 229

Figura 8.20: Locao II. Arcos de 10 m ........................................................................................................... 230

Figura 8.21: Locao III. Arcos de 5 m............................................................................................................. 231

Figura 8.22: Clculo do afastamento ................................................................................................................ 232

Figura 8.23: Aplicao do clculo de afastamento ........................................................................................... 232

Figura 8.24: Grau da curva ............................................................................................................................... 233

Figura 8.25: Deflexo ....................................................................................................................................... 233

Figura 8.26: Deflexo total I ............................................................................................................................ 234

Figura 8.27: Deflexo total II ........................................................................................................................... 234

Figura 8.28: Deflexo acumulada I .................................................................................................................. 235

Figura 8.29: Deflexo acumulada II ................................................................................................................. 236

Figura 8.30: Deflexo acumulada III ................................................................................................................ 237

Figura 8.31: Clculo da cordas I ....................................................................................................................... 238

Figura 8.32: Clculo da cordas II ..................................................................................................................... 238

Figura 8.33: Clculo das coordenadas da curva ............................................................................................... 242

Figura 8.34: Clculo dos azimutes dos alinhamentos ....................................................................................... 243

Figura 8.35: Esquema de clculo de azimutes .................................................................................................. 243

Figura 8.36: Esquema para locao de curva atravs das deflexes ................................................................ 245

Figura 8.37: Ilustrativo da locao por deflexo .............................................................................................. 245

Figura 8.38: Ilustrativo da locao por coordenadas ........................................................................................ 246

xv


Figura 9.1: Animais perigosos .......................................................................................................................... 251

Figura 9.2: Espcies de aranhas ........................................................................................................................ 252

Figura 9.3: Escorpio ........................................................................................................................................ 253

Figura 9.4: Lacraia ............................................................................................................................................ 254

Figura 9.5: Espcies de cobras .......................................................................................................................... 255

Figura 9.6: Fosseta loreal .................................................................................................................................. 256

Figura 9.7: Esquema no confivel de identificao de cobras ........................................................................ 257

Figura 9.8: Identificando cobras ....................................................................................................................... 258

Figura 9.9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ..................................................................... 259

Figura 9.10: Equipamentos de segurana ......................................................................................................... 259

Figura 9.11: Bote .............................................................................................................................................. 260

pg.


Quadro 1.1: Classificao dos Levantamentos Geodsicos .............................................................................. 24

Tabela 1.1: Alguns elipsides e seus parmetros ............................................................................................. 10

Tabela 1.2: Transformao entre sistemas geodsicos ..................................................................................... 26


Quadro 2.1: Outros sistemas lineares ............................................................................................................... 30

Tabela 2.1: Relao entre sistemas de unidades de medidas angulares ............................................................ 38

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ..................................................................... 39

Tabela 2.3: Classificao dos processos diretos segundo a preciso ................................................................ 40

Tabela 2.4: Resumo das equaes estadimtricas ............................................................................................ 47

Tabela 2.5: Levantamento Planimtrico Poligonais ...................................................................................... 68

Tabela 2.6: Classificao dos teodolitos ........................................................................................................... 68

Tabela 2.7: Classificao dos MED ................................................................................................................. 68

Tabela 2.8: Classificao de estaes totais ..................................................................................................... 68

Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b ................................................................................................................... 72

Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d ................................................................................................................. 79


Tabela 3.1: Valores de distncias versus erro de nvel aparente ...................................................................... 104

Tabela 3.2: Instrumentos altimtricos .............................................................................................................. 107

Tabela 3.3: Classificao dos instrumentos (nveis) ......................................................................................... 117

Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e sees ................................................................................. 117

Tabela 3.5: Especificaes para nivelamento geomtrico IBGE ................................................................... 119


Tabela 4.1: Resumo das equaes taqueomtricas ........................................................................................... 144

xvi

xvii

Tabela 4.2: Altimetria Exemplo .................................................................................................................... 153


Tabela 5.1: Configurao Original do NAVSTAR-GPS .................................................................................. 161

Tabela 5.2: Configurao em 1990 do NAVSTAR-GPS ................................................................................. 161

Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS ........................................................................................................... 169

Tabela 5.4: Tcnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Preciso ........................................................ 169


Tabela 7.1: Experimento de Bradley ................................................................................................................ 199

Tabela 7.2: Medidas de uma base geodsica .................................................................................................... 202

Tabela 7.3: Resumo dos clculos I ................................................................................................................... 203

Tabela 7.4: Medidas do ngulo horizontal ....................................................................................................... 205

Tabela 7.5: Resumo dos clculos II .................................................................................................................. 206

Tabela 7.6: Medidas da diferena de nvel ....................................................................................................... 208

Tabela 7.7: Resumo dos clculos III ................................................................................................................. 208


Quadro 9.1: Acidentes x soro ........................................................................................................................... 261

29

11 -- IInnttrroodduuoo

Considerando que a topometria a parte da Topografia responsvel pela avaliao de grandezas pa-

ra representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, mtodos e instrumentos de medi-

da de ngulos e distncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da planimetria, divide-se inicial-

mente o contedo em dois temas, baseado nas duas grandezas bsicas a serem avaliadas em campo, ou seja,

as distncias (Gramometria - Item 3) e ngulos (Goniologia - Item 4).

No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os mtodos de levantamento planimtrico. Nos pr-

ximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e reas de polgonos topogrficos. Como o assunto est associa-

do interpretao e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma reviso associada aos

sistemas de unidades de medidas.

22 -- SSiisstteemmaass ddee UUnniiddaaddeess ddee MMeeddiiddaass

Medir uma grandeza consiste em compar-la com outra, denominada padro,

e verificar quantas vezes ela maior ou menor que aquela tomada como padro.

J est bem difundido a utilizao do Sistema Internacional de Unidades -

SI, apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqncia. A seguir so co-

mentadas as unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfcie, volum-

tricas e angulares, e ao final um resumo dos vrios sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.


30

22..11 -- UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa LLiinneeaarr

A unidade de medida internacional para medidas lineares o metro (m), que corresponde dcima

milionsima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema mtrico decimal envolve seus mltiplos e

submltiplos (Figura 2.1):

Figura 2.1: Mltiplos e submltiplos do metro.

Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos mltiplos e submltiplos do metro.

Soluo:

10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm.

98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.

Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km.

Soluo:

21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.

Apesar da tendncia de utilizao do sistema mtrico decimal, unidade antigas ainda so utilizadas,

como:

Quadro 2.1: Outros sistemas lineares.

# 1 polegada inglesa1 = 25,4 mm; # 1 p = 30,479 cm; # 1 jarda = 3 ps = 0,91438 m; # 1 milha terrestre = 1.609,34 m; # 1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; # 1 milha nutica ou martima = 1.852,35 m; # 1 vara = 5 palmos = 1,10 m; # 1 milha (bras.) = 2.200 m; # 1 braa2 = 2 varas = 2,20 m; # 1 corda = 15 braas = 33 m; # 1 lgua de sesmaria = 6.600 m. # 1 lgua geomtrica = 6.000 m.

Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 ps em metros.

1 Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm

31

Soluo:

1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m

1 p = 30,479 cm, logo 5 ps = 152,39 cm, ou 1,524 m

Saiba desta ... !

Curiosidades sobre o Metro A comisso de acadmicos constituda por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda,

formulando um esboo do sistema de medidas, encarregou os astrnomos Joo Delambre e

Pedro Nadr Mechain, a proceder os trabalhos geodsicos necessrios para a medida de

10o do meridiano, que vai de Dunquerque, no norte da Frana, a Monjony, prximo a Bar-

celona.

Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 ps), do qual se dedu-

ziria a quarta parte do mesmo meridiano para, ento, ser determinado o padro da unidade

fundamental escolhida.

O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas,

cuja dcima-milionsima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominao proposta por

Borda, de metro (metron = medida).

O padro, prottipo em platina, que d o comprimento legal do metro, construdo pelo fsico fran-

cs Fortin, de seo retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado MTRE VRAI ET

DFINITIF e depositado nos arquivos do Estado Francs.

Em 1909 aps seus trabalhos geodsicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre

10.002,286, chegando a concluso que o metro dos arquivos possua 1/5 de mm a mais ou seja, o metro ar-

quivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, no modificar o metro dos arquivos, razo por que na

Conveno Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais pases do mundo

entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil, prximo a Paris, para a

sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos trabalhos de metrologia. Foram

ento confeccionadas 30 cpias do metro, de seo especial, numa liga de 90% de platina e 10 % de irdio,

e por deliberao da primeira conferncia geral, realizado em 26/09/1899, a cpia mais aproximada seria o

metro prottipo internacional, e as outras distribudas pelos pases participantes da conferncia, seriam os

prottipos nacionais.

2 Braa: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas).


32

Saiba tambm ... !

Por que a milha nutica diferente da milha terrestre ? A origem da milha terrestre sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos

esta no Mille passus, unidade de comprimento utilizada pelo exrcito romano que correspondia a 1.000

passos dados por um centurio, o comandante das suas milcias. Os passos do centurio tomados como base

eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente a 63.360 polegadas, ou

1.690,34 metros. J a milha nutica foi esta estabelecida de forma cientfica. Como a terra possui um for-

mato arredondado, qualquer linha a contorn-la ter 360o. A linha do equador mede aproximadamente

40.000 quilmetros. Dividiu-se, ento esse permetro por 360 partes (1o) e depois por 60 (1). Ou seja, 1 mi-

nuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que a milha martima. Por conveno internacional, esse va-

lor foi arredondado para 1.852 metros.

Saiba ainda... !

Qual a medida da LGUA ? Do latim leuca, esta medida itinerria cujo valor primitivo no est bem fixado e possui vrias

interpretaes, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a poca e o povo. A lgua de sesmaria equivale a

3.300 braas ou a 6, 6 km. A lgua de uma hora, lgua de 4,875 km. Lgua geomtrica possui 6.000 metros

enquanto a lgua martima, a 20a parte do grau, contada num crculo mximo da terra, que vale 3 milhas,

ou cerca de 5,556 km. Esta ltima tambm denominada de lgua de vinte ao grau. Tem-se ainda a lgua

quilomtrica (4 km) e a lgua terrestre ou comum, lgua de 4,445 km, tambm chamada de vinte e cinco ao

grau.

No satisfeitos, tem-se ainda a lgua de beio, distncia indicada por uma pessoa que a expressa

esticando o lbio inferior, para dar a entender que longe, principalmente se for precedida de um logo a-

li do mineirinho.

22..22 UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee SSuuppeerrffcciiee

A unidade padro o metro quadrado (m2), porm em topografia, em razo da avaliao de gran-

des extenses da superfcie, utiliza-se com mais freqncia o mltiplo hectare, correspondente a 10.000 m2.

Are (a) => 100 m2

Mltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2 = 100 a

Submltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2 = 0,01 a

Exemplo 4: Seja transformar:

33

# 23,34 ha = 233.400 m2 # 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 = 1.000.000 mm2 # 1 km2 = 1.000.000 m2

Existem ainda algumas unidades antigas de superfcie utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (An-

tigo Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regies; citando:

# 1 alqueire geomtrico = 100 x 100 braas = 48.400 m2 = 4,84 ha # 1 alqueire paulista = 50 x 100 braas = 24.200 m2 = 2,42 ha # 1 alqueire mineiro = 75 x 75 braas = 27.224 m2 = 2,7225 ha # 1 alqueire goiano = 96.800 m2

Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2 e em alqueires geomtricos.

Soluo:

200 ha = 2.000.000,000 m2 = 41,3223 alqueires geomtricos.

Algumas outras utilizadas em algumas regies brasileiras e outros pases (e at curiosas !), como:

# 1 milha quadrada = 2,788 x 107 ps2 = 640 acres # 1 p quadrado = 929,0 cm2 # 1 acre3 = 43.560 ps2 = 4.046,8 m2 (cerca de 0,4 ha) # 1 Braa quadrada = 4,84 m2

Saiba desta ... !

# Cinqenta uma unidade de medida agrria empregada na Paraba e equivale 50 x 50 bra-as, tambm chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paran a Quarta vale 50 x 25 braas.

# Colnia uma unidade de superfcie usada no estado do Esprito Santo, equivalente a 5 alquei-res de 100 x 100 braas.

# Geira uma unidade de medida agrria e equivale a 400 braas quadradas. # Tarefa uma unidade agrria de valor varivel de estado a estado. Na Bahia corresponde

superfcie de um quadrado de 30 braas de lado, por exemplo.

# Morgo uma unidade de superfcie empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, se-ja um quadrado de 50 m de lado.

# Lote uma unidade de superfcie empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.

22..33 UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee VVoolluummee

3 Acre uma unidade de medida agrria empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos.


34

A unidade padro o metro cbico (m3), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.

Tm-se ainda as seguintes unidades volumtricas:

# 1 litro = 1 dm3; # 1 jarda cbica = 0,7645 m3.

Exemplo 6: Transforme:

1 m3 = 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3

= 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3

Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3, de uma caixa de gua com as seguintes di-

menses (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm).

Soluo:

Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3

Capacidade = 200 m3 = 200.000 litros

Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cbi-

cas por viagem.

Soluo:

1 jarda cbica = 0,7645 m3

24 jardas cbicas = 18,348 m3

Capacidade = 18,348 m3

22..44 UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa AAnngguullaarr

As unidades de medidas dos ngulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e

o radiano.

22..44..11 -- SSiisstteemmaa SSeexxaaggeessiimmaall

o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o crculo trigonomtrico divi-

dido em 360 partes, tendo como unidade bsica o grau (Figura 2.2).

35

Figura 2.2: Sistema sexagesimal.

Crculo: 360o

Unidade bsica: 1o

Submltiplos:

Minuto: 60 = 1o

Segundo: 3.600 = 1o

Logo: 1o = 60 = 3.600

Geralmente tem-se a origem da medio na direo do Norte, em sentido horrio. As modalidades

de ngulos horizontais e verticais utilizados na topografia so comentados no item 4 (Item 4 Goniologia).

Exemplo 9: 30o 49 32,5 (l-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois vrgula cin-

co segundos).

Pode-se executar as seguintes operaes algbricas:

a) Adio

# Adicionar as unidades comuns.

Exemplo 10: Some 50o 20 30 e 20o 45 43

Soluo:

50o 20 30 + 20o 45 43 70o 65 73 = 71o 06 13 Logo, 70o 65 73 = 70o 66 13 = 71o 06 13

b) Subtrao


36

# Subtrair as unidades comuns e iguais.

Exemplo 11: Subtraia 50o 20 30 e 10o 42 40

Soluo:

50o 20 30 50o 19 90 49o 79 90 10o 42 40 10o 42 40 10o 42 40 39o 37 50

c) Multiplicao

# Multiplicar apenas por nmeros adimensionais; # No multiplicar ngulos por ngulos.

Exemplo 12: Multiplique 80o 20 30 por 5

Soluo:

80o 20 30 x 5 400o 100 150 Corretamente tem-se 401o 42 30

d) Diviso

# Dividir apenas por nmeros adimensionais. # No dividir ngulos por ngulos.

Exemplo 13: Divida 80o 40 20 por 4.

Soluo:

80 40' 20' ' 4 20 10' 05'o

o= '

Deve ser claro que relaes trigonomtricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes

devem ser decimalizados, ou seja, por exemplo:

# sen 30o 30 sen 30,30o (erro muito comum em operaes trigonomtricas). pois sen 30o 30 = 0,507538362921

sen 30,30o = 0,504527623815

A operao da decimalizao j uma rotina existente na maioria das calculadoras cientficas, de-

vendo ser executada antes de qualquer operao matemtica relacionada ngulos sexagesimais.

Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule:

a) 30o 30

37

b) 20o 06 18

c) tan 30o 20 01,20

Soluo:

a) 60 equivalem a 1o, logo, 30 equivale a 0,5o, ento:

30o 30 = 30o + 0,5o = 30,5o

b) 60 equivale a 1o, logo 06 equivale a 0,1o; e 3600 equivale a 1o, logo, 18 equivale a 0,005o;

ento:

20o 06 18 = 20o + 0,1o + 0,005o = 20,105o

c) tan 30o 20 01,20 = tan 30,3336666667 = 0,585141328646

22..44..22 -- SSiisstteemmaa CCeenntteessiimmaall ee RRaaddiiaannoo

O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, no ocorrendo com freqncia na atu-

alidade. No sistema centesimal o crculo trigonomtrico dividido em 400 partes, tendo como unidade bsi-

ca o grado (Figura 2.3). Crculo - 400g Unidade bsica: 1g

Submltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g

Figura 2.3: Sistema centesimal.

Exemplo 15: 382,4839g (l-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta

e nove decimiligrados).


38

O radiano o ngulo central correspondente um arco de comprimento igual ao raio (Figura 2.4).

2 R ==> 360o a ==>

'18573,572

360Rase

R2a360

000

0

===

Logo 1 radiano 57 180 ' =

Figura 2.4: Sistema radiano.

Na tabela 2.1 tem-se a converso de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormen-

te.

Tabela 2.1: Relao entre sistemas de unidades de medidas angulares.

Graus Grados Radianos 0o 0gr 0 rd

90o 100gr /2 rd 180o 200gr rd 270o 300gr 3/2 rd 360o 400gr 2 rd

Geralmente necessrio transformar os valores entre os vrios sistemas angulares, principalmente

ao confeccionar algum programa de clculo. Alguns equipamentos modernos (Estaes Totais, por exemplo)

possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima.

39

Exemplo 16: Seja transformar:

a) 358o (para grado) = 397,7g

b) 120o (para grado) = 133,3g

c) 76o (para grado) = 84,4g

d) 104g (para grau) = 93,60 = 93o 36

e) 96g (para grau) = 86o 24

f) 78g (para grau) = 70o 12

g) 100o (para radiano) = 1,74 rd

h) 2 rd (para grau) = 114o 36

A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqentemente nas medies em geral.

Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI).

Grandeza Nome Smbolo Definio

Comprimento Metro m ... a distncia percorrida pela luz no vcuo em 1/299.792.458 do segundo. (1983).

Massa Quilograma kg ... este prottipo (um determinado cilindro de platina e i-rdio) ser, daqui em diante, considerando a unidade de massa. (1889).

Tempo Segundo s ... a durao de 9.192.631.770 perodos da radiao cor-respondente transio entre os dois nveis hiperfinos do estado fundamental do tomo de csio 133. (1967).

Corrente eltrica Ampre A

... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilneos paralelos de comprimento infinito e seo circu-lar transversal desprezvel, situados no vcuo e distantes um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores uma fora igual a 2 x 10-7 newton por metro. (1946).

rea Metro quadrado m2 - Volume Metro cbico m3 -

Freqncia Hertz Hz s-1 Densidade Quil. por metro cbico kg/m3 - Velocidade Metro por segundo m/s - Acelerao Metro por seg. quadr. m/s2 -

Fora Newton N kg . m/s2 Presso Pascal Pa N/m2

Trabalho/Energia Joule J N.m Potncia Watt W J/s

33 -- GGrraammoommeettrriiaa

A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinaes de distncias entre

dois pontos. Esta distncia pode ser obtida por processos direto ou indireto.


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33..11 -- PPrroocceessssooss DDiirreettooss

Pelo mtodo direto, as distncias so determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamen-

te os instrumentos destinados a medida direta so denominados de diastmetros.

Geralmente as trenas so constitudas de uma fita de lona, de ao ou de nylon, enrolada no interior

de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m. As fitas

de ao temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e at 100 metros. Na tabela abaixo (Tabela 2.3) tem-se

uma classificao dos processos diretos segundo sua respectiva preciso.

Tabela 2.3: Classificao dos processos diretos segundo a preciso.

* Passo (por ex.: p 0,80 m) * Rgua graduada (por ex.: bambu) Baixa preciso * Medidor topogrfico

- De ao * Fitas - De fibra de vidro - De lona - De ao

Mdia preciso * Trenas

- De fibra de vidro Alta preciso * Fio nvar

Na operao das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeo horizontal dos

pontos considerados. Como os alinhamentos so representados em planta por suas projees num plano hori-

zontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distncias devem ser feitas na horizontal. Logo, caso

o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto, e a ou-

tra num ponto mais baixo, com auxlio de duas balizas (Figura 2.5).

Ainda, na medio de uma distncia, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro

total ao executar uma medida a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo so citados os erros mais

comuns.

a) Erro no comprimento do diastmetro

Deve ser corrigido.

Figura 2.5: Medio horizontal do alinhamento AB.

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Exemplo 17: Suponha um diastmetro, inicialmente, com a marcao de 25 metros.

Em segunda anlise, suponha que foi feita uma aferio (constatao em laboratrio), e sua verda-

deira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usurio estar medindo 25m, mas na realidade teria apenas

24,9 m.

Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distncia no campo igual 100 m, qual seria a

distncia real ?

Soluo:

100 m 25,0 m x m 24,9 m x = 99,60 m (distncia real medida pelo usurio)

Exemplo 19: Ainda, para obter a distncia real de 100 m, com o diastmetro acima, quanto deve-se

medir no campo ?

Soluo:

x m 25,0 m 100 m 24,9 m x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)

b) Erro de dilatao do diastmetro

Deve ser corrigido.

e L T t= * *( ) , onde: e - Erro; L - Distncia medida; - Coeficiente de dilatao; T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferio ( 20o C).

c) Falta de horizontalidade do diast-

metro

Como os pontos A e B devem ser proje-

tados considerando um plano horizontal, caso o-

corra uma inclinao do diastmetro, a distncia

tomada ser sempre maior que a real. Deve ser evi-

tado, por exemplo, com auxlio de uma 3o pessoa

verificando a posio do diastmetro (Figura 2.6).

d) Erro de catenria

Figura 2.6: Horizontalidade do diastmetro.


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Erro devido ao peso do diastmetro. Para evit-lo deve-se esticar o diastmetro, avaliar trechos me-

nores ou adotar escoras intermedirias. (Figura 2.7).

e) Desvio vertical da baliza

Em virtude das balizas no estarem perfeita-

mente na vertical, a distncia medida pode ser maior ou

menor que a distncia real AB (Figura 2.8).

Deve ser evitado, por exemplo, com a utiliza-

o de um nvel de cantoneira.

f) Erro de desvio lateral do diastmetro

Considerando dois pontos topogrficos, a dis-

tncia horizontal entre eles deve ser tomada materiali-

zando um alinhamento reto, ou seja um trao da interse-

o do terreno com apenas um plano vertical que contm

estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, atravs do

balizamento (Figura 2.9).

g) Enganos

Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posio do ze-

ro no diastmetro, erro de leitura, omisso de trenadas, anotao errada, etc. Este erro tem de ser evitado.

33..22 -- PPrroocceessssooss IInnddiirreettooss

Na medio indireta de distncias, estas so determinadas sem percorrer o alinhamento. Os ins-

trumentos de medida indireta de distncia so denominados distancimetros. Estes podem ser:

# ticos # Mecnicos # Eletrnicos Os instrumentos ticos e mecnicos so designados de taquemetros ou taqumetros.

Figura 2.7: Erro de catenria.

Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.

Figura 2.9: Desvio lateral do diastmetro.

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O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de

levantamento muito aplicado em levantamentos topogrficos, contudo com o avano da utilizao de instru-

mentos eletrnicos para obteno de distncias, reafirma-se a diviso proposta.

Taqueometria a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distncias horizontais e

das diferenas de nvel, quer por meios ticos, quer por meios mecnicos, empregando-se instrumentos de-

nominados taquemetros.

Os taquemetros estadimtricos ou normais so teodolitos com luneta portadora de retculos esta-

dimtricos, constitudos de trs fios horizontais e um vertical. Com os fios de retculo, associados s miras

verticais ou horizontais, pode-se obter a distncia horizontal e a diferena de nvel entre dois pontos.

Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), d-se nfase ao processo de obteno de distncias e

diferenas de nvel com uso de taquemetros, associados miras verticais.

33..22..11 -- DDiissttnncciiaa HHoorriizzoonnttaall -- PPllaannoo HHoorriizzoonnttaall

O princpio de construo est ilustra-

do figura 2.10, onde:

ACAF

BCEF

= (01)

ACAF

CDFG

= (02)

ACAF

BC CDEF FG

BDEG

= ++ = (03)

sendo

AC - Distncia a ser determinada (D)

AF - Distncia focal (f)

BD - Leitura estadimtrica (m) (FS - FI)

EG - Altura dos fios do retculo (h)

hf*m

Dhm

fD == (04)

)tetancons(ghf =

D m g=

onde

# D - Distncia horizontal; # m - Leitura estadimtrica onde: m = FS - FI;

Figura 2.10: Distncia horizontal estadimtrica I.


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onde FS - Fio superior do retculo;

FI - Fio inferior do retculo;

FM - Fio mdio do retculo;

# g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;

Existe ainda a seguinte relao:

Obs.: Muitas vezes considerando a igualdade ao invs da aproximao da igualdade.

Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distncia (Figura 2.11):

Soluo:

FS = 2,800 m; FI = 1,200 m

g = 100

2 . FM (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200) => 4,000 = 4,000 OK !

m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m

D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m

Em alguns taquemetros, a luneta pode no coincidir com o

centro do instrumento (altica) ou coincidir (analtica) (Figura 2.12).

No caso da luneta altica, para determinao das distncias ho-

rizontal e vertical, deve-se considerar a constante c mais a distncia focal f.

A maioria das lunetas dos taquemetros analtica.

Figura 2.12: Tipos de luneta Altica e Analtica.

33..22..22 -- DDiissttnncciiaa HHoorriizzoonnttaall -- PPllaannoo IInncclliinnaaddoo

2 . FM FS + FI

Figura 2.11: Fios estadimtri-cos.

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Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado:

BD = m - Leitura estadimtrica com a mira na vertical;

FG = n - Leitura estadimtrica com a mira normal visada;

AC = n . g (05);

AE = AC . cos (06) AE = n . g . cos (07) Dos tringulos FBC e DCG (considerando serem retngulos semelhantes ao tringulo ACE) (Figu-

ra 2.13), os ngulos:

FCB DCG CAE= = = (08)

==

//==

cosmnmncos

m2

2ncos

2m2n

cos

n = m . cos (09) (09 em 07)

D = m . g . cos . cos (10)

Obs.: Se o ngulo vertical corresponde ao ngulo zenital (ngulo com origem no znite) (Item 4

Goniologia), a frmula estadimtrica ser:

33..22..33 -- DDiiffeerreennaa ddee NNvveell

Considere a figura 2.14, para avaliar a diferena de nvel FG, ou seja, a distncia vertical entre o

ponto F e a projeo do ponto A.

BD => Leitura estadimtrica - m;

FG => Diferena de nvel;

LE => D = m . g . cos2 (12) CF => Leitura feita na mira com o fio mdio - alvo;

EG => i - Altura do instrumento.

Figura 2.13: Distncia horizontal estadimtrica II.

D = m . g . cos2

D = m . g . sen2 Z


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Definio:

FG = CG - CF (13)

CG = CE + EG (14)

(14) em (13)

FG = CE + EG - CF (15)

CE = LE . tg (16)

(16) em (15)

FG = LE . tg + EG - CF (10) (17)

Substituindo, tem-se:

dn = m . g . cos2 . tg + i alvo (18)

( )dn m g

seni l= +

22

Obs.: Se o ngulo vertical corresponde ao ngulo zenital (ngulo com origem no znite) (Item 4

Goniologia), a frmula taqueomtrica ser:

( )li

2Z2sen

gmdn +=

Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equaes taqueomtricas para avaliar distncias horizontais e

diferenas de nvel.

Tabela 2.4: Resumo das equaes estadimtricas.

Analtica Plano horizontal

Distncia horizontal D = m . g

Plano inclinado Distncia horizontal

D = m . g . cos2 ()

D = m . g . sen2 Z (Z) Plano inclinado

Diferena de nvel ( )dn m g sen i l=

+ 2

2 ()

Figura 2.14: Diferena de nvel estadimtrica.

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( ) li2

Z2sengmdn +

= (Z)

Igualmente medida direta de uma distncia, ao avaliar indiretamente uma distncia por taqueome-

tria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como:

# Na leitura da mira - Distncia imprpria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causa-dos pela refrao atmosfrica;

# Erros nas constantes c, f, g; # Falta de verticalidade da mira; # Erro na medio do ngulo de inclinao ( ou Z).

33..22..44 -- DDiissttnncciiaass MMxxiimmaass ee MMnniimmaass

Atravs de exemplos, pode-se demonstrar as mximas e mnimas distncias que podem ser obtidas

pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto terico, ou seja, matematicamente, ou pelo aspec-

to prtico, ou seja, a real distncia que se pode obter pelo taquemetro.

Na considerao terica esto em questo o tamanho da mira e sua menor subdiviso, e o valor

da constante g.

Para a prtica, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distncias superiores a

150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto comea a ficar prejudicada.

Exemplo 21: S

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