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Lógica Matemática

Professora: M.Sc. Juciara do Nascimento César

UNIDADE I

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A Lógica na Cultura Helênica

A Lógica foi considerada na cultura clássica e medieval comoum instrumento indispensável ao pensamento científico.

Era necessário argumentar com clareza, mediantedemonstrações rigorosas, respondendo as objeções dosadversários.

Uma ferramenta importante para argumentar com ossofistas.

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A Lógica de Aristóteles

• Aristóteles (384 a 322 a. C.) construiu

uma sofisticada teoria dos argumentos, cujo núcleo é a caracterização dos chamados silogismos.

• Exemplo:

– Todos os homens são mortais.

– Sócrates é homem.

– Portanto, Sócrates é mortal.

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Leibniz, o Precursor da Lógica Moderna

• A lógica moderna começou no séculoXVI, com o filósofo e matemático alemãoGottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

• O projeto de Leibniz tinha como baseuma lógica simbólica e de carátercompletamente algébrico, semelhante aocálculo diferencial, inventado por ele eNewton.

• Deduções lógicas deveriam ser feitasatravés de uma pura manipulaçãosimbólica, sem referência ao significado“real” destes símbolos.

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A Lógica Matemática noséculo XIX

•A passagem do século XVIII para o século XIX é conhecida como a idade áurea da matemática.

•Em especial, começam a ser delineados osfundamentos da ciência da computação.

•A lógica matemática, a partir daqui, tem o objetivoprincipal de tornar explícitas as formas deinferência, deixando de lado o conteúdo dasverdades que elas possam transmitir.

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Boole e os Fundamentos da Lógica Matemática e da Computação

• O inglês George Boole (1815-1864) é considerado o pai dalógica simbólica.

• Desenvolveu o primeiro sistemaformal para raciocínio lógico(lógica booleana).

•Foi o primeiro a enfatizar apossibilidade de aplicar o cálculoformal a diferentes situações

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Introdução ao Estudo da Lógica

Proposição - é todo o conjunto de palavras ou símbolos que

exprimem um pensamento de sentido completo, isto é, afirmam

fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de

determinados antes.

O estudo da lógica é o estudo dos princípios e métodos

usados para distinguir argumentos válidos dos não válidos.

Proposição é o ponto de partida.

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Exemplo:a) a lua é um satélite da Terra;

b) 2 + 1 é 5;

c) Brasília é a capital do Brasil.

Não proposição

Nenhuma das frases seguintes é uma proposição,porque não faz sentido questionar se alguma delas é verdadeiraou falsa.

Exemplo:

a) Venha à nossa festa!

b) Tudo bem com você?

c) Tchau, benzinho

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Tipos de Proposição

Simples ou Atômicos

Exemplo:

p : Oscar é prudente;

q : Mário é engenheiro;

r : Maria é morena.

Composta ou Molecular

Exemplo:

p : Walter é engenheiro E Pedro é estudante;

q : Mauro é dedicado OU Pedro é trabalhador;

r : SE Flávio é estudioso ENTÃO será aprovado.

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Conectivos - são palavras (ou símbolos) que se usam para

formar novas proposições a partir de outras.

Exemplo:

P : 6 é par E 8 é cubo perfeito;

Q : NÃO vai chover;

R : SE Mauro é médico, ENTÃO sabe biologia;

S : o triângulo ABC é isósceles OU equilátero;

T : o triângulo ABC é equilátero SE E SOMENTE SE é

equilátero.

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Operações Lógicas Fundamentais

•q

Negação - "não p“

Simbologia - "~ p", que se lê "não p".

Exemplo:

p : o sol é uma estrela

~p : o sol não é uma estrela

p ~p

V F

F V

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Conjunção :"p e q”Simbologia - "p ^ q ", que se lê "p e q".

p

•qp q p ^ q

V V V

V F F

F V F

F F F

Exemplo:

p : A neve é branca (V)

q : 2 < 5 (V)

p ^ q: A neve é branca E 2 < 5 ( V)

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Disjunção: "p ou q”Simbologia - "p v q ", que se lê "p ou q".

p q p V q

V V V

V F V

F V V

F F F

Exemplo:

p : Paris é a capital da França (V)

q : 9 – 4 = 5 (V)

p v q: Paris é a capital da França OU 9 – 4 = 5 (V)

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Disjunção Exclusiva : “ou p ou q”Simbologia - "p V q ", que se lê “ou p ou q".

p q p V q

V V F

V F V

F V V

F F F

Exemplo:

p : Mario é Alagoano (V)

q : Mario é Gaúcho (F)

p V q: OU Mario é Alagoano OU Mario é Gaúcho (V)

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Condicional: “ se p então q”Simbologia - "p q ", que se lê “se p então q".

p q p -> q

V V V

V F F

F V V

F F V

Exemplo:

p : Eu como muito (V)

q : Eu engordo (V)

p q: SE eu como muito ENTÃO eu engordo (V)

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Bicondicional : “p se e somente se q”

Simbologia - "p q ", que se lê “p se e somente q ".

p q p <-> q

V V V

V F F

F V F

F F V

Exemplo:

p : Roma fica na Europa (V)

q : A neve é branca (V)

p q: Roma fica na Europa SE E SOMENTE SE a neve é branca (V)

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Construção de Tabelas Verdade

Tabela Verdade de uma Proposição Composta dada

várias proposições simples p, q, r , ..., podemos combiná-

las pelos conectivos lógicos:

e construir proposições compostas, tais como:

P(p,q) = ~p V (p->q)

Q(p,q) = (p<-> ~ q) ^q

R(p,q,r) = (p-> ~ q V r ) ^ ~(q V (p <-> ~ r))

Negação ~

Conjunção

Disjunção v

Disjunção Exclusiva V

Condicional

Bicondicional

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Números de Linhas de uma Tabela Verdade

O número de linhas da tabela verdade de uma

proposição composta depende do número de proposições

simples que a integram, sendo dado pelo seguinte teorema:

A tabela-verdade de uma proposição composta com

proposições simples componentes contém 2 elevado a n

linhas.

Exemplo

Construir a tabela-verdade da proposição:P(p,q) = ~ (p ^ ~ q)

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p q ~ q p ^ ~ q ~ (p ^ ~ q)

V V F F V

V F V V F

F V F F V

F F V F V2º 3º 4º1º

1º Resolução

2º Resolução

p q ~ (p ^ ~ q)

V V V V F F V

V F F V V V F

F V V F F F V

V F V F F V F

4º 1º 3º 2º 1º

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3º Resolução

Diagrama Sagital

U={VV,VF,FV,FF}

P(p, q) : U {V, F}

~ (p ^ ~ q)

V V F F V

F V V V F

V F F F V

V F F V F

4º 1º 3º 2º 1º

VV

VF

FV

FF

V

F

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1º Resolução

Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r)

p q r ~r p v ~ r q ^ ~r (p v ~ r) (q ^ ~ r)

V V V F V F F

V V F V V V V

V F V F V F F

V F F V V F F

F V V F F F V

F V F V V V V

F F V F F F F

F F F V V F F

2º 3º 4º 5º1º

No caso de três proposições componentes, temos:

P(VVV, VVF, VFV, VFF, FVV,FVF,FFV,FFF)= FVFFVVFF

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3º Resolução

Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r)

(p v ~ r ) ( q ^ ~ r)

V V F V F V F F V

V V V F V V V V F

V V F V F F F F V

V V V F F F F V F

F F F V V V F F V

F F F F V V F F F

F V V V F F F V V

F F F F V F F F F

1º 3º 2º 1º 4º 1º 3º 2º 1º

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Exemplo: (p v ~ r) (q ^ ~ r)

VVV

VVF

VFV

VFF

FVV

FVF

FFV

FFF

V

F

Diagrama Sagital

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Valor Lógico de uma Proposição Composta

Quando conhecemos os valores lógicos da proposição composta é

possível determinar o valor lógico

Exemplo 1: Sabendo que os valores lógicos de p e q são

respectivamente V e F

P(p,q) = ~ (p v q) ~ p ~ q

Solução:

V(P) = ~ (V v F) ~ V ~ F = ~ V F V= F F=V

Exemplo 2: Seja p: = 3 e q: sendo V(p)=F e V(q)=F02

sen

P(p,q) = (p q) (p p q)

Solução:

V(P) = (F F) (F F F) = V (F F) = V V =V

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Ordem de procedência para os conectivos

(1) ~

(2) e V

(3)

(4)

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Tautologias, Contradições e Contigências

1 –TAUTOLOGIA Chama-se tautologia toda a proposição composta

cuja última coluna de sua tabela-verdade encerra somente a letra V

(verdadeira).

Exemplos:

a - A proposição "~ (p ^ ~ p)" (Princípio da não contradição) é

tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p ~ p p ^ ~ p ~ (p ^ ~ p)

V F F V

F V F V

Dizer que uma proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e

falsa é sempre verdadeiro

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Exemplos:

b - A proposição "(p v ~ p)" (Princípio do terceiro excluído) é

tautológica, conforme se vê pela sua tabela-verdade:

p ~ p p v ~ p

V F V

F V V

Dizer que uma proposição ou é verdadeira ou é falsa é sempre verdadeiro

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2 – CONTRADIÇÃO Chama-se contradição toda a proposição composta

cuja última coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra F

(falsidade).

Exemplos:

a - A proposição " (p ^ ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela sua

tabela-verdade:

Dizer que uma proposição pode ser simultaneamente verdadeira e falsa é

sempre falso.

p ~ p p ^ ~ p

V F F

F V F

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Exemplos:

b - A proposição " (p ~ p)" é uma contradição, conforme se vê pela

sua tabela-verdade:

p ~ p p <-> ~ p

V F F

F V F

c - A proposição " (p q) ~(p v q)" é uma contradição, conforme se vê

pela sua tabela-verdade:

p q p q p V q ~( p V q) ~( p q) ~ (p V q)

V V V V F F

V F F V F F

F V F V F F

F F F F V F

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3 – CONTINGÊNCIA Chama-se contingência toda a proposição composta

em cuja última coluna de sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada

uma pelo menos uma vez.

Exemplos:

a - A proposição " p ~ p" é uma contingência, conforme se vê pela sua

tabela-verdade:

p ~ p p -> ~ p

V F F

F V V

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Exemplos:

b - A proposição " p v q p" é uma contingência, conforme se vê pela

sua tabela-verdade:

p q p V q p v q -> p

V V V V

V F V V

F V V F

F F F V

c - A proposição " x=3 (xyx3) " é uma contingência, conforme se vê

pela sua tabela-verdade:

x=3 x = y x 3 x y x y x 3 x=3 (x y x 3)

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V F

F F V V V F

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Implicação Lógica

Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) implica logicamente ou

apenas implica uma proposição Q(p,q,r,...), se Q(p,q,r,...) é verdadeira (V)

todas as vezes que P(p,q,r,...) é verdadeira (V).

Definição de Implicação Lógica

P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...)

Observação importante:

Não confundir os símbolos e

Representa uma operação entre as proposições

Indica uma relação entre duas proposições dadas

33

Propriedades da Implicação Lógica

É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições

goza das propriedades reflexiva (R) e transitiva (T), isto é,

simbolicamente.

(R) P(p,q,r,...) => P(p,q,r,...)

(T) Se P(p,q,r,...) => Q(p,q,r,...) e

Q(p,q,r,...) => R(p,q,r,...), então

P(p,q,r,...) => R(p,q,r,...)

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Implicação Lógica

Exemplo:

Portanto, simbolicamente: p q p

p q q p

V V V

V F V

F V F

F F V

Comparando as tabelas verdade p e qp, verificamos que não

existe VF numa mesma linha. Portanto p qp

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Implicação Lógica

Exemplo:

p q p <-> q (p <-> q) ^ p (p <-> q) ^ p -> q

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F V F V

Portanto, simbolicamente: (p <--> q) ^ p => q

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Tautologia e Implicação Lógica

Teorema – A proposição P(p, q, r, ...) implica a proposição Q(p, q, r, ...) isto

é:

P(p,q,r, ...) => Q (p, q, r, ...)

Se e somente se a condicional:

P(p,q,r, ...) Q (p, q, r, ...) é tautológica.

p q pq (pq) p (pq) p q

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F V F V

Portanto, simbolicamente: (p <-> q) ^ p => q

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Equivalência Lógica

Diz-se que uma proposição P(p,q,r,...) é logicamente equivalente ou

apenas equivalentes a uma proposição Q(p,q,r,...), se as tabelas verdade

desta duas proposições são idênticas.

Definição de Equivalência Lógica

P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...)

Observação importante:

Não confundir os símbolos e

Representa uma operação entre as proposições

Indica uma relação entre duas proposições dadas

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Propriedades da Equivalência Lógica

É imediato que a relação de implicação lógica entre proposições

goza das propriedades reflexiva (R), simétrica (S) e transitiva (T),

isto é, simbolicamente.

(R) P(p,q,r,...) P(p,q,r,...)

(S) Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...), então

Q(p,q,r,...) P(p,q,r,...),

(T) Se P(p,q,r,...) Q(p,q,r,...) e

Q(p,q,r,...) R(p,q,r,...), então

P(p,q,r,...) R(p,q,r,...)

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Exemplo: p q (p q) V (~ p ~ q)

p q p q (p q) V (~p ~q)

V V V V V V V F F F

V F F V F F F F F V

F V F F F V F V F F

F F V F F F V V V V

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Tautologia e Equivalência Lógica

Teorema – A proposição P(p, q, r, ...) é equivalente a proposição Q(p,

q, r, ...) isto é:

P(p,q,r, ...) Q (p, q, r, ...)

Se e somente se a bicondicional:

P(p,q,r, ...) Q (p, q, r, ...) é tautológica.

Exemplo: “(p ~ q c) (p q)”, onde c é uma proposição cujo

valor lógico é F, é tautológico.

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Tautologia e Equivalência Lógica

p q (p ~q c) (p q)

V V V F F V F V V V V

V F V V V F F V V F F

F V F F F V F V F V V

F F F F V V F V F V F

1 3 2 4 1 5 1 2 1

Exemplo: (p ~ q c) (p q)

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Tautologia e Equivalência Lógica

(x =1 V x 3) ~ (x <3 X=1)

V V F F F V V V

V V V V V F F V

F F F F V V F F

F V V V V F F F

1 2 1 4 3 1 2 1

Exemplo: As proposições “x=1 V x 3” e ~ (x 3 x = 1)” não são

equivalentes pois, a bicondicional:

(x=1 V x 3) ~ (x 3 x = 1)

não é tautólogica, conforme a tabela-verdade e desta forma não são

equivalentes.

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Proposições associadas a uma condicional

Def. Dada a condicional p q, chamam-se proposições associadas a

p q as três seguintes proposições condicionais que contêm p e q

a) Proposição recíproca de p q: q p

b) Proposição contrária de p q: ~ p ~ q

c) Proposição contrapositiva de p q: ~ q ~ p

p q p q q q ~ p ~ q ~ q ~ p

V V V V V V

V F F V V F

F V V F F V

F F V V V V

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Exemplos:

Determinar:

a) A contrapositiva de p ~ qResolução

~ ~ q ~ p q ~ p

b) A contrapositiva de ~ p qResolução

~ q ~ ~ p ~ q p

c) A recíproca de p ~ q é ~ q p. E a contrapositiva de ~q p é:

Resolução

~ p ~ ~ q ~ p q

d) A contrapositiva de ~ p ~ q é:Resolução

~ ~ q ~ ~ p q p

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Exemplos:

Determinar:

a)A contrapositiva da recíproca de x = 0 x < 1

Resolução

A recíproca de x = 0 x < 1 é x < 1 x = 0 e a contrapositiva desta recíproca é ; x 0 x < 1

b) A contrapositiva da contrária de x < 1 x < 3

Resolução

A contrária de x < 1 x < 3 é x < 1 x < 3 e contrapositiva de desta contrária é x < 3 x < 1

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Negação conjunta de duas proposições

Def. Chama-se negação conjunta de duas proposições p e q a

proposição “ não p e não q”, isto é, simbolicamente “ ~p ~q”

Notação “p q”

p q p q

V V F

V F F

F V F

F F V

p q ~ p ~ q

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Negação disjunta de duas proposições

Def. Chama-se negação disjunta de duas proposições p e q a

proposição “ não p ou não q”, isto é, simbolicamente “ ~p V ~q”

Notação “p q”

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F V

p q ~ p V ~ q

Os símbolos “” e “” são chamados “conectivos de “SCHEFFER”

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Exemplos:

Determinar o valor lógico da seguinte proposição:

(~ p q) (q ~ r)

Resolução

(~ V V ) ( V ~ F)

(F V ) ( V V)

F F

F

Demonstrar que a seguinte proposição é contingente

(p q) V (~ q p)

V F V V F V V

V F F F V F V

F F V V F V F

F V F F V V F