Aula 05 - Derivadas Parciais
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Cálculo 3 – Professor Helber Almeida – Aula 05 – Derivadas Parciais 1 Derivadas Parciais Mais uma vez, vamos relembrar do cálculo 1. A definição de derivada em um ponto x = a no cálculo 1 era: h a f h a f a f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0 - + = → . Lembremos, entretanto, que pouco usamos esta definição para calcular derivadas de funções. O que utilizamos fora propriedades elementares para calcularmos tais derivadas. Pois bem, no cálculo 3 vamos proceder de forma semelhante, lembrando que agora as funções possuem mais de uma variável. Definição: Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f com relação a x e y, respectivamente, em um ponto (a,b) são dadas por: h b a f h b a f b a y f h b a f b h a f b a x f h h ) , ( ) , ( lim ) , ( e ) , ( ) , ( lim ) , ( 0 0 - + = ∂ ∂ - + = ∂ ∂ → → O Símbolo ∂ é a letra grega “Derrô” e x f ∂ ∂ lê-se “Derrô f Derrô x” que significa a derivada parcial de f com relação a x, analogamente y f ∂ ∂ significa a derivada parcial de f com relação a y. Exemplo 1: Encontre as derivadas parciais de xy y x f = ) , ( no ponto (1,2). 2 2 lim 2 lim 2 2 2 lim 2 . 1 2 ). 1 ( lim ) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( lim ) 2 , 1 ( ) 2 , 1 ( lim ) 2 , 1 ( 0 0 0 0 0 0 = = = - + = - + = - + = - + = ∂ ∂ → → → → → → h h h h h h h h h h h h h f h f h f h f x f Mostre aqui que 1 ) 2 , 1 ( = ∂ ∂ y f .
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Cálculo 3 – Professor Helber Almeida – Aula 05 – Derivadas Parciais
1
Derivadas Parciais
Mais uma vez, vamos relembrar do cálculo 1. A definição de derivada em um
ponto x = a no cálculo 1 era: h
afhafaf
h
)()(lim)('
0
−+=
→. Lembremos, entretanto,
que pouco usamos esta definição para calcular derivadas de funções. O que
utilizamos fora propriedades elementares para calcularmos tais derivadas. Pois
bem, no cálculo 3 vamos proceder de forma semelhante, lembrando que agora as
funções possuem mais de uma variável.
Definição: Seja f(x,y) uma função de duas variáveis. As derivadas parciais de f com
relação a x e y, respectivamente, em um ponto (a,b) são dadas por:
h
bafhbafba
y
f
h
bafbhafba
x
f
hh
),(),(lim),( e
),(),(lim),(
00
−+=
∂
∂−+=
∂
∂
→→
O Símbolo ∂ é a letra grega “Derrô” e x
f
∂
∂ lê-se “Derrô f Derrô x” que significa a derivada
parcial de f com relação a x, analogamente y
f
∂
∂ significa a derivada parcial de f com relação a
y.
Exemplo 1: Encontre as derivadas parciais de xyyxf =),( no ponto (1,2).
22lim2
lim222
lim
2.12).1(lim
)2,1()2,1(lim
)2,1()2,1(lim)2,1(
000
000
===−+
=
−+=
−+=
−+=
∂
∂
→→→
→→→
hhh
hhh
h
h
h
h
h
h
h
fhf
h
fhf
x
f
Mostre aqui que 1)2,1( =∂
∂
y
f.
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Geometricamente:
Algebricamente, quando calculamos a derivada parcial de f com relação a x o que
estamos fazendo é “enxergar” a variável y como sendo uma constante. Assim,
podemos usar as propriedades de derivadas vistas no cálculo 1.
Exemplo 2: Encontre as derivadas parciais de xyyxf =),( no ponto (1,2), usando
propriedades.
yyxfx
f=
∂
∂),( já que y é uma constante. Logo, substituindo no ponto (1,2) temos
2)2,1( =∂
∂
x
f. Analogamente, 1)2,1( =
∂
∂
y
f.
Exemplo 3: Encontre as derivadas parciais de f(x,y) nos itens abaixo:
a) 243²),( −+−= yxyxyxf
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b) yxyxf 32),( −=
c) yx
xyxyxf
3
2²),(
+
+=
d) ( )³)sin(),( xyyxyxf +−=
