aula-32

Professor Lus Juvandes Aula 09/12/2003

Aula n 32

Aula Terica de 09 12 2003

Flexo Composta

Estruturas sujeitas flexo composta ou aco axial excntrica (continuao). Ncleo central de uma

seco. Principais propriedades. Exemplos de aplicao.

FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2

RESISTNCIA DE MATERIAIS 1 Ano lectivo 2003/2004


44 FLEXO COMPOSTA (continuao)

4.2 ESTADO DE TENSO (1 material)

Reduo das foras seco em anlise e aos eixos E.P.C.I (N, Mx, My)

==

=

i

i

i

My MyMx Mx

NN ( )( )

Esforos

Estado de tenso ()

Princpio da Sobreposio dos Efeitos (P.S.E.)

( ) MyMxNy,x ++=

(traco)

(comp.)

yI

MxI

MAN

x

x

y

y +=

isto

Centro de presso (CP) (x0; y0)

M

G

y

x MN

y

x

=

y

xxy G

y

x

N *

*

0

0

centro depresso (CP)

e.n. eixo neutro

passa pelos pontos

(x*; 0) e (0; y*)

Centro de Presso NM

x y0=

NM

y x0 =

Traduz as excentricidades nas duas

direces X e Y

Mx

y

x

My

N




Eixo neutro (e.n.)

( ) 0y,x =

ou a equao da recta dada por

0y,x

recta que passa pelos pontos( , 0)x*(0, )y*x*x

*y*yy =

expresso geral

eixo neutro passa pelos pontos

(x*; 0) e (0; y*)

=

=

0

2x

0

2y

yi

*y

xi

*x

=

=

AI

i

AI

i

yy

xx

O eixo neutro no um eixo baricentro como ocorre na flexo plana e flexo desvoada.

EXEMPLO DE APLICAO

Considere o pilar de seco constante representado na Figura 1, constitudo por um material resistente de igual forma a compresses e a traces. O pilar est sujeito s cargas N e H indicadas. Para a seco da base do pilar, determine: a) As tenses nos vrtices A, B, C e D. b) A posio do eixo neutro.

Seco do Topo do Pilar

H = 100 kN

3.0

m

N = 500 kN

0.15

A

0.15

0.40

H

D

CB

y

xN

Figura 1




RESOLUO

a)

Dados: N = 500 kN H = 100 kN

A

B C

D

H

y

x

N

H 0.4

0.15

0.15

3.0

N

Geometria de massas: Momentos de inrcia

43

344

3m 106.1

1240.030.0 m 109

1230.040.0 ==== yx II

Esforos resultantes na base do pilar: admitindo apenas flexo composta, so obtidos pela reduo das foras seco em anlise e nos EPCI.

Seco da base do pilar

mkN 20031002.05003H0.2NMmkN 7515.05000.15NM

kN -500N

y

x

=+=+====

=

A

B C

D

M M

x

y

y

x

N N = -500 kN M = 75 kNm

M = 200 kNm y x




Estado de tenso: a tenso normal resultante obtida por

yIMx

IMN

x

x

y

yyx +=),(

Para a seco referida vem:

X, Y = ECPI PONTO

x (m) y (m) (x,y) (MPa)

A 0,2 0,15 -16,667

B 0,2 -0,15 -41,667

C -0,2 -0,15 8,333

D -0,2 0,15 33,333

b) Eixo Neutro: a posio do e.n. determinada pelo lugar geomtrico dos pontos onde a tenso

nula.

====

=

+=

=+=+=

m )3(03.0x0y

m 05.0y0

1x30-y20

0.05x1.5y

0 752003.04.0

500 0),(

x

yI

xI

yIMx

IMN

xyx

x

y

yyx

A

B C

D

y

x

en




4.3 NCLEO CENTRAL (N.C.)

Conceitos gerais

Seco transversal: contorno convexo

Seco transversal de uma barra

contorno convexo

Condio: Ncleo central de uma seco transversal de uma barra o lugar geomtrico dos pontos dessa seco, tais que, foras N (paralelas ao eixo da barra) neles

aplicados (centro de presso (x0, y0)) toda a seco est sujeita a um s tipo de tenso (traco ou compresso)

Exemplo: seco rectangular

x

y

1

e.n.e.n.

e.n.

23

ncleo central

1

2

3

Centro de presso: ponto 1 - (x1; y1) ponto 2 - (x2; y2) ponto 3 - (x3; y3)

Eixos neutros respectivos:

e.n. 1 (x*; 0) e (0; y*) e.n. 2 (x*; 0) e (0; y*) e.n. 3 (x*; 0) e (0; y*)

eixo neutro passa pelos pontos (x*; 0) e (0; y*)

=

=

0

2x

0

2y

yi

*y

xi

*x




Propriedades

Vrtices do polgono convexo envolvente: correspondem a lados do ncleo central Lados do polgono convexo envolvente: correspondem a vrtices do ncleo central Centros de presso no contorno do NC: correspondem a eixos neutros tangentes

seco (contorno convexo)

Se o polgono convexo envolvente tiver n lados: o ncleo central tem n vrtices

Clculo: Os limites do ncleo central duma seco poligonal determinam-se considerando

hipotticos centros de presses (xi; yi) nos sucessivos vrtices do contorno convexo da seco. Os vrios troos dos eixos neutros (x*;0) e (0;y*) assim obtidos, contm tambm os centros de presses que correspondentes a eixos neutros que so sempre tangentes seco. A rea delimitada pelos vrios troos referidos constitui o ncleo central.

Vrtices do contorno convexo (centro de presso)

Lados do ncleo central (eixo neutro)

P1 ( )11 PP y;x =*P*P 11 y,x p1 ( )

22 PP2y;xP 2

*P

*P py,x 22 =

P3 ( )33 PP y;x =*P*P 33 y,x p3 ( )44 PP4

y;x P 4*P*P py,x 44 =

VRTICES DO CONTORNO

NCLEO CENTRAL

Ponto x0 y0 x* y*

x

y P3P4

P2P

p

p

p

p

c. convexo1

1

3

2

4

Procedimentos para o traado do NC




EXEMPLO DE APLICAO

A seco transversal representada na figura 2 refere-se a um pilar constitudo por um material que resiste de igual modo a traco e a compresses. a) Determine o ncleo central da seco. b) Para uma fora exterior vertical, de compresso, a actuar no ponto P e de valor igual a

3000 kN, calcule a tenso normal mxima instalada bem como a posio do eixo neutro.

0.50P

0.50

0.50 0.50 0.50 [m] Figura 2




RESOLUO

a) Os limites do ncleo central duma seco poligonal determinam-se considerando hipotticos centros de presses nos sucessivos vrtices do contorno convexo da seco. A rea delimitada pelos vrios

troos de eixo neutro obtidos define o ncleo central.

0.62

5

0.5

0.5

0.5 0.5 0.5

y

x

Geometria de massas: Centro de gravidade e raios de girao principais

=

==n

1ii

n

1iii

G

A

Ayy

[ ]=

+=n

1i

2Giixx y AII Gi

[ ]=

+=n

1i

2Giiyy x AII

Gi

=

=

AI

i

AI

i

yy

xx

( ) ( )

=+

+==

=++++

==

=++=

2

33

2

22

322

3

2

m 487

5.05.15.05.012

5.15.012

5.05.0

m 19213

5.05.15.05.0

625.075.05.05.112

5.05.125.0625.05.012

5.05.0

m 625.05.05.15.05.0

75.05.05.125.05.05.0

yy

xx

G

Ii

Ii

y

==

==

00

2

00

2

19213

487

yyiy

xxi

x

x

y




Clculo do ncleo central: a partir dos vrtices do contorno convexo da seco

eixo neutro passa pelos pontos (x*; 0) e (0; y*)

=

=

0

2x

0

2y

yi

*y

xi

*x

Vrtices do contorno convexo Lados do ncleo central

PONTO x0 (m) y0 (m) x* (m) y* (m) recta

Q1 0,75 -0,375 -0,19444 0,18056 1

Q2 0,75 0,125 -0,19444 -0,54167 2

Q3 0,25 0,625 -0,58333 -0,10833 3

Q4 -0,25 0,625 0,58333 -0,10833 4

Q5 -0,75 0,125 0,19444 -0,54167 5

Q6 -0,75 -0,375 0,19444 0,18056 6

ncleo central

1

2

3 4

5

6 Q

Q

Q Q

Q

Q

1 2

3 4

5 6

x

y




b)

P

M = -3000 0.125 = -375 M = -3000 0.25 = -750

x y

N = P = -3000 kN

y

x

en

N x

y M

M

esforos nos ECPI: 1 Q

2 Q

3 Q 4 Q

5 Q

6 Q

(x*,0)

(0,y*)

Momentos de inrcia:

( ) ( )

433

423

223

m 487

125.15.0

125.05.0

m 19213625.075.05.05.1

125.05.125.0625.05.0

125.05.0

=+=

=+++=

y

x

I

I

Equao do eixo neutro:

====

==+=+=

m 58333.0x0y

m 54167.0y0

54167.0x92857.0y 0 3757500.1

3000 0),(

x

yI

xI

yIMx

IMN

xyx

x

y

yyx

Clculo da max : pontos suspeitos Q4 e Q5: yIMx

IMN

x

x

y

yyx +=),(

( )

( ) kPa 451.7549125.037575.07500.1

30000.75,0.125-

kPa 253.7747625.037525.07500.1

30000.25,0.625-

5

4

+=

+=

xy

xy

IIQ

IIQ

A mxima tenso normal ocorre em Q4 que prova, por isso, ser o ponto mais afastado do eixo neutro.

mx

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