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Progresses aritmticas

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IntroduoQuando escrevemos qualquer quantidadede nmeros, um aps o outro, temos o que chamamos de seqncia. Asseqncias so, freqentemente, resultado da observao de um determinadof a t oou fenmeno.

Imagine, por exemplo, que uma pessoa da cidade de Mag (Rio de Janeiro)tenha anotado as temperaturas mximas em cada dia do ms de abril de 1995.O resultado pode ser visto na seguinte tabela:

DIA

TEMPERATURAM`XIMA ( C)

Na linha de cima, temos a seqncia dos dias e, na de baixo, a seqncia dastemperaturas. Nessa seqncia, dizemos que o primeiro termo 31, osegundo termo 32, o sexto termo 34.

conveniente representar cada termo de uma seqncia pela letra a,seguida de um ndice que indica a sua ordem.

Assim, na seqncia das temperaturas, temos:

a1 = 31a2 = 32a6 = 34a9 = 26 etc.

Quando desejamos falar sobre um termo qualquer de uma seqncia,escrevemos an. Assim, no exemplo que acabamos de dar, an representa atemperatura mxima registrada no dia n.

Para que voc entenda bem o significado desta ltima frase, e de outras domesmo tipo, substitua n por nmeros naturais: 1, 2, 3 etc. Fazendo isso, vocobtm as seguintes frases:

l a1 representa a temperatura mxima registrada no dia 1;l a2 representa a temperatura mxima registrada no dia 2; e assim por diante.

Voc pode usar as seqncias para registrar diversas observaes, como aproduo de uma fbrica em cada ms, o nmero de telefonemas que voc d

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ...

31 32 32 29 31 34 33 34 26 25 28 27 30 29 ...

Acesse: http://fuvestibular.com.br/

P/ as outras apostilas de Matemtica, Acesse: http://fuvestibular.com.br/telecurso-2000/apostilas/ensino-medio/matematica/

33A U L A por dia, a taxa de inflao mensal etc.

Nesta aula e nas prximas, vamos estudar certas seqncias muito espe-ciais. Por sua regularidade, conhecendo alguns termos, podemos calcularqualquer outro. A primeira delas chama-se progresso aritmtica.

Uma progresso aritmtica uma seqncia na qual, dado um primeirotermo, obtemos todos os outros acrescentando sempre a mesma quantidade.Por exemplo, vamos partir do nmero 7 e acrescentar 3, diversas vezes:

7 10 13 16 19 22 ...

+3 +3 +3 +3 +3

O valor que acrescentamos a cada termo para obter o seguinte chama-serazo (R). Portanto, nesse exemplo, temos:

a1 = 7 e R = 3.

Veja agora outros exemplos de progresses aritmticas e sua classificao:

l 3, 7, 11, 15, 19, 23 ...Temos R = 4. uma progresso crescente.

l 9, 7, 5, 3, 1, - 1, - 3, - 5, ...Temos R = - 2. uma progresso decrescente.

l 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, ...Temos R = 0. uma progresso estacionria.

Dada uma progresso aritmtica, como calculamos sua razo? Pense!No difcil. Como a razo a quantidade que acrescentamos a cada termo

para obter o seguinte, podemos dizer que:

A razo de uma progresso aritmtica a diferenaentre qualquer termo e o anterior.

Assim, retomando os trs ltimos exemplos, temos:

na 1 progresso: R = 7 - 3 = 4R = 11 - 7 = 4R = 15 - 11 = 4 etc.

na 2 progresso: R = 7 - 9 = - 2R = 5 - 7 = - 2 etc.

na 3 progresso: R = 4 - 4 = 0

Nossa aula



33A U L APassamos ento a generalizar o que vimos nos exemplos. Considere a

seguinte progresso aritmtica (de agora em diante representada por PA) derazo R:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 .... an ....

+ R + R + R + R + R + R .... + R

Suponha que voc conhea o primeiro termo (a1), e a razo (R). Comofaremos para calcular qualquer outro termo? Observe as igualdades:

a2 = a1 + Ra3 = a1 + 2Ra4 = a1 + 3Ra5 = a1 + 4R...................a10 = a1 + 9R

Vemos ento que, para calcular um termo qualquer (an) preciso somarao 1 termo, n ----- 1 vezes a razo, ou seja:

Frmula do termo geralan = a1 + (n ----- 1) R

Para entender bem o que estamos fazendo, imagine que voc est no1 degrau de uma escada e deseja chegar ao 10. Quantos degraus deve subir? claro que so 9. Se voc est no 1 degrau e deseja chegar ao 25, quantos devesubir? Deve subir 24, lgico. Ento, para chegar ao degrau nmero n, devemossubir n ----- 1 degraus.

Observe a aplicao dessa frmula nos exemplos seguintes.

EXEMPLO 1

Qual o trigsimo (30) termo da progresso aritmtica: 10, 17, 24, 31, 38,...?

Soluo: A razo da progresso R = 17 ----- 10 = 7 e o primeiro termo a1 = 10. Desejamos calcular o trigsimo termo, ou seja, a30.A partir da frmula do termo geral:

an = a1 + (n - 1)R

Substituindo a letra n por 30, obtemos:

a30 = a1 + (30 - 1)RDa ,

a30 = 10 + 29 . 7

a30 = 213Portanto, o trigsimo termo da progresso dada 213.



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1 A

NO

2 A

NO

EXEMPLO 2

Um aluno escreveu todos os nmeros mpares desde 17 at 63. Quantosnmeros ele escreveu?

Soluo: A progresso desse exemplo a seguinte:

17, 19, 21, 23, ..., 63.

O primeiro termo 17, o ltimo termo 63 e a razo 2. Escrevemos ento:

a1 = 17an = 63R = 2

Substituindo esses valores na frmula do termo geral, calcularemos n que o nmero de termos da progresso:

an = a1 + (n - 1)R63 = 17 + (n - 1) . 263 - 17 = 2n - 246 = 2n - 248 = 2nn = 24

A progresso tem, portanto, 24 termos.

EXEMPLO 3

Em janeiro de certo ano, Joo estava ganhando R$ 70,00 por ms. Seu patroprometeu aumentar seu salrio em R$ 4,00 todos os meses. Quanto Jooestar ganhando em dezembro do ano seguinte?

Soluo: Se o salrio de Joo aumenta R$ 4,00 todos os meses, ento aseqncia dos salrios uma progresso aritmtica de razo 4.Vamos organiz-la assim:

janeiro _ a1 = 70fevereiro _ a2 = 74........................................................................................dezembro _ a12 =

janeiro _ a13 =........................................................................................dezembro _ a24 =



33A U L AUsando a frmula do termo geral, temos:

a24 = a1 + 23R

a24 = 70 + 23 . 4

a24 = 70 + 92

a24 = 162

Portanto, com esses pequenos aumentos mensais, Joo estar ganhando,em dezembro do ano seguinte, R$ 162,00.

Algumas propriedades da progresso aritmtica

O grfico

Podemos visualizar os termos de uma progresso aritmtica por meio deum grfico como este:

Os valores dos termos so representados pelas barras verticais que for-mam o desenho de uma escada. Nessa escada, a altura de cada degrau a razoda progresso aritmtica.

Uma outra frmula

Se voc est no 6 degrau de uma escada e deseja chegar ao 10, quantosdegraus deve subir? A resposta simples: 4 degraus. Podemos escrever isso emlinguagem matemtica:

a10 = a6 + 4R

De modo geral, se estamos no degrau de nmero n e desejamos chegar aodegrau de nmero m, devemos subir m ----- n degraus. A nossa nova frmula, querelaciona dois termos quaisquer, ento a seguinte:

am = an + (m ----- n)R

6

RR

RR

R

a1

a2

a3

a4

a5

a

1 2 3 4 5 6



33A U L A EXEMPLO 4

Todos os anos, uma fbrica aumenta a produo, em uma quantidadeconstante. No 5 ano de funcionamento, ela produziu 1.460 peas, e no8 ano, 1.940. Quantas peas ela produziu no 1 ano de funcionamento?

Se a produo aumentada a cada ano em uma quantidade constante,temos que a seqncia das produes anuais forma uma progressoaritmtica. Nessa progresso, sabemos que a5 = 1.460 e a8 = 1.940. Devemoscalcular a1, ou seja, a produo inicial. Tomemos ento nossa ltima frmula:

am = an + (m - n)R

e faamos m = 8 e n = 5. Ela fica assim:

a8 = a5 + (8 - 5)R

Substituindo os valores conhecidos, temos:

1.940 = 1.460 + 3R1.940 - 1.460 = 3R480 = 3RR = 160

Sabemos agora que a razo 160, ou seja, a produo da fbrica aumentaem 160 peas a cada ano. Para calcular o primeiro termo da progresso,faamos m = 5 e n = 1 na frmula que estamos usando. Ela fica assim:

a5 = a1 + (5 - 1)R ou

a5 = a1 + 4R

Como os valores de a5 e R so conhecidos, podemos fazer as substituies:

1.460 = a1 + 4 . 160

1.460 = a1 + 640

1.460 - 640 = a1

a1 = 820

Conclumos ento que, no primeiro ano de funcionamento, essa fbricaproduziu 820 peas.

Para terminar, repare que temos duas frmulas, muito parecidas, pararelacionar dois termos de uma progresso aritmtica e sua razo. A segunda mais geral. Ela capaz de calcular qualquer termo de uma PA se vocconhece a razo e, tambm, um outro termo qualquer.



33A U L AExercciosExerccio 1

Calcule o 25 termo da PA: 5, 8, 11, 14, ...

Exerccio 2Uma caixa dgua de 1.000 litros est completamente cheia e vaza 7 litros por hora.

a) Complete alguns termos da progresso sugerida abaixo:caixa cheia _ a1 = 1.000 litros1 hora depois _ a2 = 993 litros2 horas depois _ a3 = .............................3 horas depois _ a4 = .............................4 horas depois _ a5 = .............................

b) Quantos litros ter a caixa 24 horas depois do instante em que estavacheia?

Exerccio 3Uma criana est brincando de fazer quadrados com palitos de fsforocomo mostra o desenho:

Quantos quadrados ela fez com 250 palitos?Sugesto: Forme uma progresso da seguinte forma:

1 quadrado = 4 palitos _ a1 = 42 quadrados = .... palitos _ a2 = ....

Exerccio 4Faa um grfico mostrando os 6 primeiros termos da progresso aritm-tica de razo - 3 cujo primeiro termo 11.

Exerccio 5Em uma PA, a10 = 33 e a17 = 68. Calcule a32.

Exerccio 6Um menino tem R$ 19,00 no seu cofre e, a partir de certo ms, passou a tirarR$ 0,80 todos os dias para um sorvete.a) Organize uma PA mostrando a quantia que resta no cofre aps o sorvete

dirio. Assim:1 dia _ a1 = 18,202 dia _ a2 = ..........................3 dia _ a3 = ..........................4 dia _ a4 = ..........................5 dia _ a5 = ..........................

b) Que quantia havia no cofre aps o sorvete do 15 dia?c) Qual foi o 1 dia em que ele no pde tomar sorvete?

Exerccio 7No acostamento de uma estrada, existem dois telefones para pedidos de socorromecnico: um no km 51 e outro no km 117. Entre eles, sero colocados mais 10telefones, de modo que entre um e o seguinte se tenha sempre a mesmadistncia. Determine em que quilmetros ficaro os novos telefones.Sugesto: Se j existem 2 telefones e mais 10 sero colocados entre eles, entoa progresso ter, ao todo, 12 termos. Considere ento a1 = 51 e a12 = 117.Com a frmula do termo geral, voc pode calcular a razo.



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