Aula0 Admin Financeira INSS 60684

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O contedo deste curso de uso exclusivo de Nome99999999999, vedada, por quaisquer meios e a qualquer ttulo, a sua reproduo, cpia,divulgao e distribuio, sujeitando-se os infratores responsabilizao civil e criminal.

AULA 00

Noes de Administrao Financeira - INSS

PROFESSOR CSAR FRADE

Prof. Csar de Oliveira Frade www.pontodosconcursos.com.br

1

Ol pessoal!

Primeiramente, irei fazer uma breve apresentao. Meu nome Csar de

Oliveira Frade, sou funcionrio de carreira do Banco Central do Brasil

BACEN aprovado no concurso de 1997.

Sou formado em Engenharia Civil pela Universidade Federal de Minas Gerais

UFMG. Possuo uma Ps-graduao em Finanas e Mercado de Capitais pelo

IBMEC, outra em Derivativos para Reguladores na Bolsa de Mercadorias e

Futuros BM&F e uma especializao em Derivativos Agrcolas pela Chicago Board of Trade CBOT1. Sou Mestre em Economia2 com nfase em Finanas na

Universidade de Braslia e o Doutorado, pela mesma Universidade, est faltando apenas a defesa da Tese3, sendo que os crditos j foram concludos.

Comecei no Banco Central trabalhando com a emisso de ttulos da dvida

pblica externa. De 2005 a 2008 fui Coordenador-Geral de Mercado de Capitais

na Secretaria de Poltica Econmica do Ministrio da Fazenda, auxiliando em

todas as mudanas legais e infralegais, principalmente aquelas que tinham

ligao direta com o Conselho Monetrio Nacional CMN. Voltei ao BACEN

para trabalhar na rea de risco com derivativos em um Departamento da rea

de Fiscalizao. No incio de 2012 fui cedido para a Presidncia da Repblica e

sou Coordenador da rea de Estudos e Planejamento na Secretaria de Aviao

Civil.

Sou professor de Finanas, Microeconomia, Macroeconomia, Matemtica,

Sistema Financeiro Nacional, Mercado de Valores Mobilirios, Estatstica e

Econometria. Leciono na rea de concursos pblicos desde 2001, tendo dado

aula em mais de uma dezena de cursinhos em vrias cidades do pas, desde

presenciais at via satlite.

1 A Chicago Board of Trade - CBOT a maior bolsa de derivativos agrcolas do mundo. 2A dissertao Contgio Cambial no Interbancrio Brasileiro: Uma Anlise Emprica defendida em 2003 foi publicada na Revista da BM&F, o paper aceito na Revista Estudos Econmicos e em alguns dos mais importantes Congressos de Economia da Amrica Latina LAMES. Versava sobre o risco sistmico a ser propagado via mercado de cmbio e as contribuies da Cmara de Compensao de Cmbio da BM&F para a mitigao desse risco. 3 Tese de Doutorado um parto e a gestao j est durando alguns anos. Acho que pode ser que ela no saia.

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Vamos ao que interessa! Como ser o curso? Essa uma matria muito ampla

e, no edital, o examinador apenas escreveu Noes de Administrao

Financeira. A pergunta que devemos fazer : o que so noes de alguma

coisa? E a resposta ser: depende do referencial. Para um aluno de 2 grau,

economia da graduao bem apertado, mas para um aluno de doutorado, a

graduao apenas uma noo do que a economia. Como o examinador no

foi claro, melhor irmos alm do que aqum, no mesmo? Dessa forma, estou

fazendo um curso bastante abrangente.

Possuo um estilo peculiar de dar aulas. Prefiro tanto em sala quanto em aulas

escritas que elas transcorram como conversas informais. Entretanto, quando

tenho que dar aulas de Teoria, gosto de explicar no apenas a matria, mas

tambm a forma como vocs devem raciocinar para acertar a questo.

Acredito que todos aqui esto muito mais interessados em passar no concurso

do que aprender tudo de Microeconomia.

Desta forma, estarei fazendo uma mescla entre um papo informal (papo que

ocorrer sempre que for possvel) e a teoria formal. Mas nunca deixarei de

ensinar qual o raciocnio que vocs devem utilizar para acertar as questes.

Acredito que a matria sendo exposta de forma informal torna a leitura mais

tranqila e isso pode auxiliar no aprendizado de uma forma geral. Exatamente

por isso, utilizo com freqncia o Portugus de uma forma coloquial.

Assim, a Aula Demonstrativa mostrar para vocs um pouco do que ser

esse curso. Ser uma aula menor que as outras, mas apenas para vocs

sentirem o gostinho de que essa matria no to complicada como a maioria

pensa. No h a necessidade de nenhum conhecimento prvio dos assuntos a

serem abordados.

Contedo Programtico (uma por semana): Aula 0 Risco x Retorno, Custo de Oportunidade

Aula 1 Anlise de Investimentos Parte 2: Processos de Deciso

Aula 2 Anlise de Investimentos Parte 3: Ferramentas Avanadas - Custo

de capital (taxa mnima de atratividade, custo mdio ponderado de capital

WACC e modelo de precificao de ativos - CAPM)

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Aula 3 Risco x Retorno, Custo de Oportunidade

Aula 4 Risco x Retorno, Custo de Oportunidade

Aula 5 Avaliao de Empresas e metodologia de avaliao (mtodos de

mltiplos de mercado, fluxo de caixa descontado, taxa de crescimento,

perpetuidade e valor de mercado).

Aula 6 Alavancagem e Endividamento, Planejamento Financeiro e

Oramentrio, Administrao do Capital de Giro.

Aula 7 Fontes de Financiamento a Longo Prazo. Captao de recursos

prprios e de terceiros de longo prazo. Proposices Modigliani & Miller. Leasing

financeiro.

Espero que este curso seja bastante til a voc e que possa, efetivamente,

auxili-lo na preparao para o concurso do INSS e na conseqente conquista

da to sonhada vaga. As dvidas sero sanadas por meio do frum do curso, a

que todos os matriculados tero acesso. Caso tenha exerccios da matria e

queira me enviar, farei todos os esforos para que eles sejam, medida do

possvel, includo no curso. Envie para meu e-mail abaixo (e-mail do Ponto).

As crticas ou sugestes podero ser enviadas para: [email protected].

Prof. Csar Frade

AGOSTO/2013

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Pessoal,

fundamental que saibamos uma boa parte da matemtica financeira para

podermos estudar Administrao Financeira.

Dessa forma, eu irei mostrar para vocs aquilo que tem que ser aprendido da

matemtica financeira para que possamos ter o perfeito desenvolvimento de

nossa matria, combinado?

1. Matemtica Financeira

A matemtica financeira tem como objetivo o estudo das mudanas das

variveis monetrias na linha do tempo.

Determinada pessoa que possui recursos financeiros empresta-o ou aluga-o a

outro agente e receber por isso uma quantia a ttulo de aluguel. Essa quantia

denominada juro.

Esses juros so necessrios porque o agente emprestador dever ficar por um

determinado tempo sem usufruir do benefcio que aquele recurso poderia lhe

trazer, incorrendo, portanto, em um custo de oportunidade.

Imagine a situao em que eu lhe solicito o seu apartamento emprestado por

dois anos uma vez que eu no possuo lugar para morar na sua cidade. claro

que voc se prontificaria a me emprestar, mas sabe que enquanto ele tiver

emprestado no ser possvel vend-lo e, portanto, incorrer em um custo de

oportunidade. Para fazer face a essa falta de liquidez do seu ativo

(apartamento) voc opta por exigir uma compensao financeira que

chamada de aluguel. Essa situao descrita uma prtica comum no Brasil e

que todos ns no vemos com maus olhos.

Entretanto, no h a menor diferena entre esse emprstimo do apartamento

com a devida remunerao do aluguel para o emprstimo do recurso financeiro

com a devida cobrana do juro.

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Sendo assim, podemos definir que o juro o aluguel devido pelo emprstimo

do recurso financeiro.

2. Juros

Determinada pessoa que possui certo capital poder coloc-lo disposio de

outra pessoa. Quando efetuar essa operao receber em um futuro prximo o

seu recurso de volta e mais um determinado valor a ttulo de aluguel.

Observe que tal fato anlogo ao aluguel de um apartamento. medida que

emprestamos o nosso apartamento a uma determinada pessoa, ela dever

pagar, frequentemente um aluguel e, no final do contrato, devolver o

apartamento, no mesmo? Vejam que a situao muito semelhante ao que

ocorre na matemtica financeira.

A quantidade de recursos que o emprestador ter no final do perodo ser

chamado de montante e se constitui pela soma dos juros com o capital inicial

emprestado.

Montante = Capital + Juros

Os juros so representados por uma taxa percentual por unidade de tempo.

Voltemos ao caso do apartamento. Quando voc aluga o apartamento, voc

aluga um bem que possui um valor de venda. Logo, a proprietria do

apartamento est impossibilitada de vender ou utilizar esse apartamento para

outro fim e, por isso, receber esse recurso que ser combinado como um

valor fixo. Entretanto, esse valor fixo combinado, de certa forma, guarda uma

proporo com o valor venal do apartamento. No h uma proporo fixa em

termos percentuais, mas h uma proporo de tal forma que o aluguel em

locais mais valorizados maior.

Enfim. A taxa de juros ser fixada em termos percentuais ao capital por

unidade de tempo. Ela poder ser mensal, bimestral, trimestral, semestral, e

assim por diante.

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Neste curso, utilizaremos a letra i para representar a taxa de juros. A letra i

vem da palavra interest, que significa juros em ingls.

Uma taxa de juros de 6% ao ms poder ter diferentes notaes, quais sejam:

5% ao ms

05,0100

5=

Se uma determinada pessoa efetuar um emprstimo de R$ 1.000,00 por um

ms a uma taxa de 5% ao ms, ela dever receber no ms seguinte o valor de

00,5005,01000 = a ttulo de juros. Entretanto, dever ser acrescido a esse valor

o capital emprestado.

Observe que para calcularmos o valor a ser pago de juros devemos utilizar o

formato decimal da taxa.

3. Regimes de Capitalizao e Denominaes

O regime de capitalizao a forma como adicionamos os juros ao capital

aplicado.

Existem trs regimes de capitalizao. So eles:

capitalizao simples;

capitalizao composta; e

capitalizao contnua.

Neste curso iremos estudar os dois primeiros e as suas relaes.

Vamos agora definir as grandezas que iremos utilizar ao longo dessas aulas:

Capital (C): tambm chamado de valor presente ou valor vista de um

ativo. Ser o valor emprestado no instante zero.

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Taxa de juros (i): a taxa peridica cobrada pelo emprstimo do capital a

outra pessoa.

Juros (J): o valor produzido, em reais, a ttulo de emprstimo do capital a

uma determinada taxa de juros.

Montante (M): o valor a ser devolvido ao proprietrio do recurso financeiro.

Ser constitudo do capital mais os juros relativos ao emprstimo.

Tempo (n): o nmero de perodos em que os recursos ficaram

emprestados.

Vamos a um exemplo para tentarmos definir todas essas grandezas. Suponha

que o Srgio v a um Banco e capte um emprstimo de R$ 1.000,00 pelo

prazo de 1 ano. A taxa de juros cobrada pelo Banco de 20% ao ano.

Se esta operao acontecesse, o Srgio teria captado um emprstimo de R$

1.000,00 e deveria devolver ao Banco, dentro de um ano, o valor emprestado

e outro valor a ttulo de juros.

O capital seria de R$1.000,00. A taxa de juros da operao seria de 20% ao

ano. A operao ocorreria pelo prazo de um ano e como devemos, neste caso,

determinar o nmero de perodos em anos, teramos 1 perodo. E o montante

seria o valor a ser devolvido pelo Srgio ao Banco. Poderamos representar da

seguinte forma:

C = 1.000,00

i = 10% ao ano

n = 1 ano 001001001000 ,, ==J

M = C + J = 1.000,00 + 100,00 = 1.100,00

4. Capitalizao Simples

O regime de capitalizao simples se caracteriza pelo fato de o capital de um

determinado perodo ser idntico ao do perodo inicial. Ou seja, o tempo

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AULA 00




8

vai passando e com isso os juros gerados vo sendo incorporados ao

Montante, mas no aumentam o capital sobre o qual incidiro no perodo

seguinte. O capital estar sempre fixo independentemente do perodo em que

estejamos.

sempre muito mais fcil mostrar matematicamente do que descrever o que

ocorre. Portanto, vamos l. Vamos tentar compreender o que ocorre por meio

de um exemplo.

Srgio foi a um Banco e captou um emprstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de

5 anos. Por esse emprstimo, pagar uma taxa de juros de 20% ao ano.

Inicialmente, vamos definir as grandezas existentes:

Capital (C) = R$ 10.000,00

Prazo (n) = 5 anos

Taxa de Juros (i) = 20% ao ano = 20% a.a.

A frmula utilizada para o clculo dos juros no regime de capitalizao simples

:

niCJ =

Portanto, no exemplo que estamos desenvolvendo, o resultado dos juros seria

igual a:

00000212000000010 ,.,,. ===

J

niCJ

Entretanto, importante observar que este o valor devido a ttulo de juros

para cada perodo. Quando estamos no perodo 2, h um acmulo de mais

R$2.000,00. Como o valor do perodo 1 era o mesmo, h um juros acumulado

nos dois perodos da ordem de R$ 4.000,00.

Se estivermos interessados em saber qual o valor devido a ttulo de juros no

final de cinco anos, basta proceder da seguinte forma:

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




9

000001052000000010 ,.,,. ===

J

niCJ

Da mesma forma, podemos desenvolver a frmula para o clculo do montante

devido a ttulo de juros e principal em um perodo qualquer:

niCCM

JCM

+=

+=

( )niCM += 1

Observe que se desejarmos determinar o valor devido no final do quinto

perodo basta procedermos da seguinte forma:

( )

( )( )

0000020

1100010

5200100010

1

,..

,.

=

+=

+=

+=

M

M

M

niCM

Veja o desenvolvimento dos juros e montante devidos perodo a perodo

utilizando o regime de capitalizao simples:

Observe que o capital em todos os perodos se mantm constante, ou seja, se

mantm em R$10.000,00. Com isso, os juros de cada perodo sero

constantes e equivalero a R$2.000,00. Essa uma caracterstica nica do

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




10

regime de capitalizao simples, pois o montante do perodo 1 no se

transformar em capital do perodo seguinte.

Para fazer esse exemplo, tive que usar uma premissa, a de que estamos

sempre no incio do perodo. Ou seja, o recurso emprestado na data focal

zero e o primeiro perodo ocorrer h um ano da data de hoje. Portanto,

quando digo que os recursos esto no perodo 1, estou afirmando que aquele

valor ocorre h um ano da data atual.

5. Capitalizao Composta

O regime de capitalizao composta se caracteriza pelo fato de o capital de

um determinado perodo ser exatamente igual ao montante do perodo

anterior. Ou seja, os juros proporcionados em um determinado perodo

passaro a compor o montante e, consequentemente, o capital do perodo

subseqente.

A frmula utilizada para o caso do regime de capitalizao composta :

( )niCM += 1

exatamente a operao de exponenciao que faz com que haja a ocorrncia

de juros sobre juros. Observe que no primeiro perodo, os juros incidem

apenas sobre o capital emprestado e, portanto, ser igual a R$2.000,00, como

nos juros simples. Entretanto, esse valor dever ser somado ao capital inicial

para a formao do Montante no perodo 1 e, em seguida, transformado no

capital do perodo 2. Logo, a nova incidncia de juros ocorrer sobre o capital

inicial e os juros at ento incorridos e no pagos.

Se utilizarmos o mesmo exemplo do Srgio com o Banco, temos o seguinte

resultado.

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




11

Acompanhe pelas setas azuis que o montante de um perodo passa a ser o

capital do perodo subseqente.

Apesar das crticas sobre a existncia do anatocismo4 nesta prtica, h uma

lgica por trs dela.

Imagine que o Srgio tenha solicitado um emprstimo de R$10.000,00 nesse

banco e que alguma ordem judicial proba o banco da cobrana dos juros sobre

juros. Restariam duas opes. A primeira delas seria o aumento da taxa de

juros de tal forma que o resultado final a ser pago, ao final de 5 anos, seja

igual a R$24.883,20 na aplicao de juros simples. A segunda opo, e

provavelmente a que seria utilizada, seria a obrigatoriedade de pagamento dos

juros a cada final de perodo e a obteno de um novo emprstimo.

Com isso, vemos que a medida seria incua. At porque a partir do momento

em que h a ocorrncia dos juros, esses se tornam uma dvida e seu no

pagamento faz com que haja uma incorporao ao saldo devedor.

Uma medida como essa seria acompanhada de outra medida das instituies

financeiras que obrigariam as pessoas, nesse caso o Srgio, a quitar

anualmente os juros sobre o capital relativos quele perodo. Se o tomador

no tivesse recursos seria obrigado a captar um novo emprstimo e, nesse

caso, ao invs de ter um emprstimo de R$ 10.000,00 passaria a ter um

emprstimo de R$ 10.000,00 e outro de R$ 2.000,00 sendo que este ltimo foi

obtido com o intuito de quitar os juros relativos ao primeiro.

4 Anatocismo a prtica do juros sobre os juros e isto ocorre porque ele incorporado ao capital.

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




12

6. Juros Simples x Juros Compostos

um exerccio muito interessante montar uma tabela comparativa que tem

como objetivo comparar os dois regimes de capitalizao. Entretanto,

usaremos para esse mesmo exemplo perodos de capitalizao menores, iguais

e maiores do que 1 e um capital constante e igual a R$ 10.000,00.

Observe que iremos utilizar as frmulas dadas para a capitalizao composta e

simples, usando a taxa de juros de 20% ao ano e capital de R$10.000,00.

Variaremos os perodos (n) e encontraremos os resultados para o montante e

juros.

Veja a Tabela abaixo:

Observe que se utilizarmos perodos inferiores a um, os juros proporcionados

pela capitalizao simples so maiores que aqueles da capitalizao composta.

Isto ocorre porque quando usamos a exponenciao para nmeros inferiores a

um estamos nos utilizando da radiciao. Ou seja, elevar um nmero a outro

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




13

menor do que um provoca resultado idntico ao de fazer uma operao com

raiz.

Faamos uma comparao simples:

16416

8501650 ==

=,

,

Se utilizarmos perodos superiores a um, os juros obtidos com o regime de

capitalizao simples sero sempre menores que aqueles obtidos no regime de

capitalizao composta.

Se utilizarmos perodos iguais a um, os juros obtidos com o regime de

capitalizao simples sero idnticos queles obtidos no regime de

capitalizao composta.

Resumindo:

Se n < 1 Juros Simples > Juros Compostos

Se n = 1 Juros Simples = Juros Compostos

Se n > 1 Juros Simples < Juros Compostos

Veja o que relatei, graficamente:

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

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m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

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9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




14

No grfico acima, utilizei uma taxa de 100% e um capital inicial de

R$10.000,00. Optei por trocar o valor da taxa de juros apenas para que ficasse

mais evidente o grfico. Apenas por motivos didticos.

Observe que os juros simples formam uma reta enquanto que os compostos

formam uma curva.

7. Classificao das Taxas de Juros

As taxas de juros so classificadas em vrios tipos, quais sejam:

taxa proporcional;

taxa equivalente;

taxa nominal;

taxa efetiva;

taxa real; e

taxa aparente

Em um dos livros mais famosos de matemtica financeira, seu autor, Jos

Dutra Vieira Sobrinho diz que:

No mercado financeiro brasileiro, mesmo entre os tcnicos e

executivos, reina muita confuso quanto aos conceitos de taxas de

5000

10000

15000

20000

25000

30000

0 1 2 3

Juros Simples Juros Compostos

No

m

e

9

9

9

9

9

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9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

N

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m

e

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9

N

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m

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N

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9

9

N

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9

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9

N

o

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e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

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9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




15

juros, principalmente no que se refere s taxas nominal, efetiva e

real. O desconhecimento generalizado desses conceitos tem

dificultado o fechamento de negcios pela conseqente falta de

entendimento entre as partes.

Dentro dos programas dos diversos cursos de matemtica financeira

existe uma verdadeira poluio de taxas de juros. Alm das

mencionadas, temos ainda a simples (ou linear), a composta (ou

exponencial), a equivalente, a proporcional, a aparente, a antecipada,

etc, (...).

As causas da confuso reinante so antigas e numerosas, em cujo

mrito no entraremos. Preferimos concentrar-nos nas medidas que

entendemos necessrias para amenizar e, se possvel, solucionar o

problema existente. E a medida principal reside justamente numa

conceituao simples e clara das taxas mencionadas, que nos

propomos fazer.

a) Taxas Proporcionais

Segundo Sobrinho:

O conceito de taxas proporcionais utilizado somente para

capitalizao simples, no sentido de que o valor dos juros

proporcional apenas ao tempo.

Assim, a taxa proporcional de:

3% ao ms para 10 meses de 30%: %meses ms ao % 30103 = ;

Isso significa que a taxa proporcional a 3% ao ms para o perodo de 10

meses a taxa de 30%. Observe que essa taxa de 30% no ao ms, mas

sim para o perodo de 10 meses.

12% ao ano para 3 meses de 3%: %meses meses

ano ao %33

12

12=

No

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

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9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

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9

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9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

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m

e

9

9

9

9

9

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9

N

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m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

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9

9

9

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9

9

9

9

9

9

N

o

m

e

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




16

Isso significa que a taxa proporcional a 12% ao ano para o perodo de 3 meses

a taxa de 3%.

E assim sucessivamente. Observe que as taxas proporcionais variam de forma

linear e, exatamente, por esse motivo devem ser utilizadas nas transformaes

da capitalizao simples.

b) Taxas Equivalentes

Segundo Sobrinho:

A conceituao de equivalncia de taxas estabelece que duas taxas,

referentes a perodos distintos de capitalizao, so equivalentes

quando produzem o mesmo montante no final de determinado

tempo, pela aplicao de um capital inicial de mesmo valor.

Com isso, se aplicarmos um capital a uma taxa mensal pelo prazo de 12 meses

e esse mesmo capital a uma taxa anual pelo prazo de 1 ano e as duas

aplicaes resultarem no mesmo montante, temos que as taxas anuais e

mensais utilizadas so equivalentes.

Matematicamente, temos:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )112

112

1

12

11

11

1

1

am

am

aa

mm

ii

iCiC

iCM

iCM

+=+

+/=+/

=+=

+=am M anual taxa com MontanteM mensal taxa com Montante

Como no dia-a-dia os perodos a que se referem as taxas que se tem e as

taxas que se quer so os mais variados, vamos apresentar uma frmula

genrica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:

( ) 11 += t

q

tq ii

No

m

e

9

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N

o

m

e

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N

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m

e

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N

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N

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




17

Sendo:

iq taxa que se quer

it taxa que se tem

q perodo da taxa que se quer

t perodo da taxa que se tem

c) Taxa Nominal

Segundo Sobrinho:

A taxa nominal a taxa calculada com base no valor nominal da

aplicao ou do emprstimo, ou seja, com base no valor explicitado

no ttulo ou no contrato; caso ela seja conhecida, podemos afirmar

que a taxa que incide sobre o valor nominal da aplicao ou do

emprstimo.

muito simples identificar uma taxa nominal. Sempre que uma taxa for

nominal a sua unidade ser diferente da unidade de capitalizao do capital. J

sei. Voc no sabe o que unidade de capitalizao, certo?

Pois ento. Vimos que no regime de capitalizao composta, montante de um

perodo ser o capital do perodo seguinte, concorda? Ento, o perodo de

capitalizao de quanto em quanto tempo o montante de um perodo passa a

ser o capital do perodo seguinte. Importante ressaltar que quanto menor for

esse prazo maior ser o montante final.

Imagine que determinada pessoa captou um emprstimo de R$10.000,00 a

uma taxa de 12% ao ano. Observe qual ser o montante a ser pago no final de

2 anos nos mais diferentes tempos de capitalizao.

No

m

e

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N

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m

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N

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




18

Observe que tnhamos uma taxa nominal de 12% ao ano. O primeiro passo foi

encontrar a taxa proporcional a 12% ao ano no perodo da capitalizao e,

posteriormente, pudemos efetuar nossos clculos utilizando a capitalizao

composta. Vamos fazer o exemplo da capitalizao mensal.

Pegamos a taxa anual de 12% ao ano com capitalizao mensal e encontramos

a taxa proporcional a essa ao ms. Para encontrar, basta dividir por 12 uma

vez que um ano tem 12 meses5. Logo, a taxa proporcional encontrada foi de

1%. Como o perodo total de 2 anos, temos que o nmero de perodos a

serem utilizados de 24 meses. Com isso, basta fazermos o seguinte clculo:

( )( ) 3569712010100010

124 ,.,. =+=

+=

M

iCMn

Importante observar as setas presentes na Tabela. Elas nos mostram que

quanto menor for o prazo da capitalizao menor ser a taxa mas por outro

lado maior ser o prazo, pois mais rapidamente o montante de um perodo

virar capital do perodo seguinte. Dessa forma, conclumos que quanto menor

for o prazo de capitalizao maior ser o montante ao final de um determinado

tempo.

5 Observe que quando fizemos a taxa diria, utilizamos um ano com 360 dias.

No

m

e

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N

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N

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




19

d) Taxa Efetiva

Segundo Sobrinho:

obtida pela diviso dos juros pagos pelo valor do capital

efetivamente colocado pelo banco disposio da empresa na data

do contrato.

Observe que a aplicao de R$10.000,00 pelo prazo de dois anos a uma taxa

de 12% ao ano com capitalizao mensal resultou em um montante de

R$12.697,35. Desse valor, R$2.697,35 foram devidos aos juros. Logo, a taxa

efetiva para o perodo de dois anos foi de 26,97%.

%,10.000,002.697,35

10.000,0010.000,00-12.697,35

Efetiva Taxa 9726===

Suponha que o capital de R$10.000,00 seja aplicado pelo perodo de um ano a

uma taxa de 12% ao ano com capitalizao mensal. Dessa forma, taxa efetiva

ser dada por:

( )

( )

ano ao %,,.,.

,.,.,.

Efetiva Taxa

,.M,,.M

,,.M

i1CM

68120000010

252681

0000010

00000102526811

2526811

0110000010

12

12010000010

12

12

==

=

=

=

+=

+= n

Portanto, a taxa efetiva da aplicao de um taxa nominal de 12% ao ano com

capitalizao mensal de 12,68% ao ano.

e) Taxa Aparente

a taxa encontrada dividindo-se o valor de resgate (montante) pelo capital.

No

m

e

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




20

f) Taxa Real

Segundo Sobrinho:

O clculo feito de forma anloga, dividindo-se o juro real pelo

capital inicial corrigido com base na taxa de inflao do perodo. O

juro real obtido pela diferena entre o valor de resgate e o capital

inicial corrigido pela inflao do perodo; o capital inicial corrigido

igual ao capital inicial adicionado da correo monetria do perodo.

a taxa encontrada utilizando-se a seguinte equao:

Inflao1Aparente Taxa

Real Taxa+

+=

1

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




21

QUESTES RESOLVIDAS Enunciado para a questo 1

Tendo em vista que um emprstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi

entregue no ato, sem prazo de carncia, ser amortizado pelo sistema Price,

taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestaes mensais e consecutivas, e

considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05e 1,05,

respectivamente, julgue os itens subsequentes.

Questo 1

(CESPE BRB Escriturrio 2011) A taxa efetiva anual do emprstimo

superior a 75%.

Enunciado para as questes 2 a 6

Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.

Questo 2

(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado

por 3 anos, taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalizao

trimestral, o juro auferido por essa aplicao, em reais, ao final do perodo,

ser igual a 5.000 (1,0412 - 1).

Questo 3

(CESPE BRB Escriturrio 2011) No regime de juros simples, as taxas de

3% ao ms e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo

de dois anos, so proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$

172,00.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




22

Questo 4

(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se um investidor aplicar a quantia de

R$ 500,00 em uma instituio financeira, pelo prazo de 2 anos, taxa de juros

simples de 4% ao ano, e, ao final desse prazo, ele reinvestir todo o montante

recebido na mesma aplicao, por mais 2 anos e nas mesmas condies

iniciais, ento, ao final desses 4 anos, esse investidor receber o montante de

R$ 580,00.

Questo 5

(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se uma aplicao de R$ 10.000,00 pelo

perodo de um ano produzir juros no valor de R$ 3.200,00, e se a inflao

nesse perodo for de 20%, ento a taxa de juros real da aplicao nesse

perodo ser inferior a 11%.

Questo 6

(CESPE BRB Escriturrio 2011) O montante produzido pela aplicao de

R$ 1.000,00 em uma instituio financeira, em 2 anos, taxa de juros

compostos de 10% ao ano, ser de R$ 1.210,00 na data do resgate.

Enunciado para as questes 7 e 8

Considere que um capital de R$ 10.000,00 tenha sido aplicado em

determinado investimento, em regime de juros simples, pelo perodo de 5

meses. Com base nessas informaes, julgue os itens que se seguem.

Questo 7

(CESPE CBM/ES Oficial 2011) Obtendo-se a quantia de R$ 13.000,00

ao final do perodo, correto afirmar que a taxa de juros simples mensal da

aplicao foi de 6%.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




23

Questo 8

(CESPE CBM/ES Oficial 2011) Se a taxa de juros mensal da aplicao

for de 5%, ento o montante auferido no perodo ser de R$ 12.000,00.


Uma dvida de R$ 8.000,00, contrada em um banco que pratica taxas de juros

nominais anuais com capitalizao mensal, no regime de juros compostos, foi

paga em um ano, por R$ 12.800,00. Tomando 1,04 como o valor aproximado

de 1,6 , julgue os itens seguintes.

Questo 9

(CESPE PC/ES Perito 2011) O valor dessa dvida, aplicado por um ano

a determinada taxa de juros simples mensais, produziria a mesma quantia a

ser paga pelo devedor. Nesse caso, essa taxa de juros simples seria inferior a

4,8% ao ms.

Questo 10

(CESPE PC/ES Perito 2011) A taxa de juros nominal anual praticada

pelo banco nessa transao foi superior a 45%.

Questo 11 (Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)

Um capital C, submetido ao regime de juros simples durante 5 meses, propicia

um rendimento correspondente metade de C. A taxa mensal de juros

utilizada de

a) 2%

b) 5%

c) 10%

d) 20%

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




24

e) 50%

Questo 12

(Cesgranrio Petrobrs Tcnico em Administrao e Controle Jnior 2009)

Hugo emprestou certa quantia a Incio a juros simples, com taxa mensal de

6%. Incio quitou sua dvida em um nico pagamento feito 4 meses depois. Se

os juros pagos por Incio foram de R$ 156,00, a quantia emprestada por Hugo

foi

a) menor do que R$ 500,00.

b) maior do que R$ 500,00 e menor do que R$ 1.000,00.

c) maior do que R$ 1.000,00 e menor do que R$ 2.000,00.

d) maior do que R$ 2.000,00 e menor do que R$ 2.500,00.

e) maior do que R$ 2.500,00.

Questo 13

(Cesgranrio BNDES Contador 2009) Um investidor aplicou, no Banco

Atlntico, R$ 10.000,00, por um perodo de 17 dias, a uma taxa de juros

simples de 1,2% ao ms. No dia do resgate, a rentabilidade obtida pelo

investidor, em reais, foi

a) 60,00

b) 64,20

c) 65,60

d) 66,00

e) 68,00


Considere a situao a seguir para responder s questes de nos 22 e 23.

Henrique aplica R$ 750,00, durante 2 meses, com taxa de juros compostos de

20% ao ms. Ao final desse perodo, Henrique resgatou o montante M

proporcionado por essa aplicao.

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




25

Questo 14


O ganho obtido por Henrique nessa aplicao, em reais, foi

a) 330,00

b) 320,00

c) 310,00

d) 300,00

e) 290,00

Questo 15


Para que Henrique aplique a mesma quantidade e obtenha, sob regime de

juros simples, o mesmo montante M aps 4 meses, preciso que a taxa

mensal de juros seja de

a) 21%

b) 20%

c) 11%

d) 10%

e) 5%

Questo 16 (Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)

Um capital de R$ 2.400,00 ser aplicado taxa de 5% ao ms, durante 2

meses, sob regime de juros compostos. O valor final obtido, em reais, ser

a) 2.520,00

b) 2.640,00

c) 2.646,00

d) 2.650,00

e) 2.652,00

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




26

Questo 17

(Cesgranrio BNDES Contador 2009) O investimento, que proporcionou

a um investidor obter um montante de R$ 15.000,00 aplicado a uma taxa de

juros compostos de 1,5% ao ms, pelo perodo de seis meses, em reais, foi

a) 12.222,22

b) 13.718,13

c) 13.761,46

d) 14.061,75

e) 14.138,93

Questo 18

(Cesgranrio Petrobrs Biocombustvel Administrador Jnior 2010) Um

investimento foi remunerado taxa de juro nominal bruta ps-fixada de IGP

(ndice Geral de Preos) acrescida de 5% ao ano. O prazo do investimento foi

de um ano e, neste ano, o IGP teve variao de 4%. A alquota de imposto de

renda do investimento de 20% e incide sobre o ganho nominal bruto de

capital. As taxas de juros nominal e real anuais lquidas do investimento so,

respectivamente,

a) 7,20% e 3,07%

b) 7,20% e 5,00%

c) 7,36% e 3,23%

d) 9,00% e 5,00%

e) 9,20% e 5,00%

Questo 19

(Cesgranrio Petrobrs Distribuidora Tcnico em Administrao 2010)

Um capital foi aplicado, sob regime de juros compostos, durante dois meses,

taxa de juros de 20% ao ms. A taxa de inflao, durante esse mesmo

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




27

perodo, foi de 8%. A verdadeira taxa de rendimento obtida nessa aplicao

de, aproximadamente,

a) 30%

b) 32%

c) 33%

d) 35%

e) 36%

Questo 20

(Cesgranrio Banco do Brasil 2009) Um investimento obteve variao

nominal de 15,5% ao ano. Nesse mesmo perodo, a taxa de inflao foi 5%. A

taxa de juros real anual para esse investimento foi

a) 0,5%.

b) 5,0%.

c) 5,5%.

d) 10,0%.

e) 10,5%.

Questo 21

(Cesgranrio Petrobrs Administrador Pleno 2005) Qual a taxa

trimestral equivalente taxa de 10% ao ms?

a) 30%

b) 30,2%

c) 31,1%

d) 32%

e) 33,1%

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




28

QUESTES RESOLVIDAS Enunciado para a questo 1

Tendo em vista que um emprstimo no valor de R$ 32.000,00, que foi

entregue no ato, sem prazo de carncia, ser amortizado pelo sistema Price,

taxa de juros de 60% ao ano, em 8 prestaes mensais e consecutivas, e

considerando 0,68 e 1,80 valores aproximados para 1,05e 1,05,

respectivamente, julgue os itens subsequentes.

Questo 1

(CESPE BRB Escriturrio 2011) A taxa efetiva anual do emprstimo

superior a 75%.

Resoluo:

Para encontrarmos a taxa efetiva anual devemos pegar a taxa mensal de 5% e

aplicarmos pelo perodo de 12 meses, da seguinte forma:

1 1 1 1,05

No entanto, o enunciado da questo nos informou que 1,0512 igual a 1,80.

Portanto, temos:

1 1,05 1,80

1,80 1 80%

Portanto, a taxa efetiva anual igual a 80% e, assim, a questo est CERTA.

Em geral, os dados fornecidos pelo enunciado das

questes de matemtica do CESPE so utilizados.

Gabarito: C

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




29

Enunciado para as questes 2 a 6

Acerca de juros e taxas de juros, julgue os itens a seguir.

Questo 2

(CESPE BRB Escriturrio 2011) Se o capital de R$ 5.000,00 for aplicado

por 3 anos, taxa de juros compostos de 12% ao ano com capitalizao

trimestral, o juro auferido por essa aplicao, em reais, ao final do perodo, ser igual a 5.000 (1,0412 - 1).

Resoluo:

Essa questo pode ser resolvida de duas formas. A primeira , simplesmente,

olhando para ela e verificando o absurdo demonstrado. A segunda efetuando

as contas.

Veja que a questo solicita o valor do juro e diz que ele ser o produto do

capital por (1,0412 1). Isso mostra que a taxa de juro do perodo da ordem

de 4,12%. Entretanto, o capital foi aplicado pelo prazo de 3 anos com uma

taxa anual nominal de 12% ao ano. Com isso, a taxa efetiva anual maior do

que 12% ao ano e, portanto, o resultado da taxa de juro tem que ser maior

que esse valor.

Logo, j conseguimos ver, sem fazer qualquer tipo de operao matemtica,

que a questo est errada.

Vamos aos clculos. Se a taxa de 12% ao ano com capitalizao trimestral, o

simples fato de a unidade do prazo ser diferente da unidade de capitalizao

faz com que a taxa seja considerada nominal. O primeiro passo achar a taxa

ao trimestre.

12%#$#%$4'()*+'(*+

3%#$'()*+'(*

No

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N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

N o m e 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9


AULA 00




30

Como o capital ficar aplicado pelo prazo de 3 anos, e como cada ano tem 4

trimestres, esse capital ficar aplicado pelo prazo de 12 trimestres. Dessa

forma:

-$%'#%'* .#/'#0 1

Sendo:

Capital = 5.000,00

Taxa (i) = 3% ao trimestre

Prazo (n) = 12 trimestres

- 5.000 1,03 - 5000 1,4258 7.129,00

Como a questo nos solicita o valor dos juros, temos:

-$%'#%'* .#/'#0 56($+ 56($+ 7.129 5.000 2.129,00

Sendo assim, a questo est ERRADA.

Observe que o examinador queria que voc fizesse a questo da primeira

forma, sem resolv-la, tanto que ele nem se preocupou em definir o valor de 1,03.

Gabarito: E

Questo 3

(CESPE BRB Escriturrio 2011) No regime de juros simples, as taxas de

3% ao ms e 36% ao ano, aplicadas sobre o capital de R$ 100,00 e pelo prazo

de dois anos, so proporcionais, pois ambas produzem o montante de R$

172,00.

Resoluo:

No

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Aula0 Admin Financeira INSS 60684

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