Curso de Engenharia - UNIVESP Disciplina Matemática

Bimestre 1

Exercícios da semana 4 - vídeoaulas 15 e 16 Exercícios da vídeoaula 15

1) Normalmente assumimos que a Terra é uma esfera para a maioria dos cálculos, porém, sua forma é aproximadamente a de um elipsóide, que é uma forma

tridimensional gerada a partir da rotação de uma elipse por um eixo de simetria, como se vê na figura.

Sabendo que o semieixo equatorial da Terra tem aproximadamente 6378137 km, e que seu semieixo polar tem aproximadamente 6356752 km, pede-se:

a) A excentricidade de (lembre-se que a excentricidade é definida como c/a).

Sendo a2 – b2 = (a+b) . (a-b) => a2 - ab + ab - b2 => a2 – b2

No exercício:

a = hipotenusa

b = cateto vertical

c = cateto horizontal

como a excentricidade é c/a, basta achar o "c".

a2 = b2 + c2 => c2 = a2 - b2 => c2 = (a+b) . (a-b) => c2 = (6.378.137 +

6.356.752) . (6.378.137 - 6.356.752)

c2 = (12.734.889) . (21.385) => c = √272.335.601.256 =~ 521.858

Logo, c/a => 521.858 / 6378.137 => 0,081.

Resposta: 0,081

b) A equação de considerando o referencial de eixos ortogonais indicado abaixo.

x2/a2 + y2/b2 = 1

2) Um estudante resolveu fazer um desenho (no chão) em escala da trajetória elíptica da Terra em torno do Sol utilizando barbante e giz. Na construção ele utilizou um pedaço de 2 metros de barbante para representar o eixo maior da elipse. Sabendo que a excentricidade da trajetória da Terra em torno do Sol é 0,0167, qual terá sido a medida da distância focal da elipse desenhada pelo estudante no chão? (dê sua resposta em centímetros)

2a = 200cm a = 100cm (lembrar que a=hipotenusa do triangulo retângulo formado entre o

ponto focal e o eixo vertical).

Como a excentricidade é dada, 0,0167 = 𝑐

𝑎 c = 0,0167 . 100 c = 1,67cm

Distância focal = 2c 2 . 1,67 3,34

3) A Terra está a aproximadamente 150 milhões de quilômetros do Sol, e o ano terrestre tem aproximadamente 365 dias. Sabendo que o ano em Mercúrio, que é o planeta mais próximo do Sol, tem aproximadamente 88 dias terrestres, calcule a distância que Mercúrio está do Sol utilizando a terceira lei de Kepler.

De acordo com a 3ª lei de Kepler “o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio médio”.

Assim, 𝑇2

𝑟3 =

𝑇2

𝑟3 sendo T = tempo e r = raio.

(365)2

(150.106) 2 = (88)2

𝑟3 r ≈ 58 milhões de quilômetros

Ou seja, a distância que o planeta Mercúrio está do sol é de aproximadamente 58 milhões de quilômetros.

Exercícios da vídeoaula 16 Dados: para os exercícios a seguir, considere a Terra como sendo uma esfera de raio 6370 km.

1) Sabendo que a distância entre as cidades de São Paulo e Moscou é de aproximadamente 11806 km, calcule o menor ângulo do arco de circunferência máxima que separa essas duas cidades.

Primeiro, achar o comprimento da terra que é dado por: Raio da terra (r) = 6.370km π ≈ 3,1415 Comprimeito da terra = 2r.π 40.022,71 km Com uma regra de três podemos achar o menor ângulo entre São Paulo e moscou, da seguinte maneira: 40.022,71 km --- 360º 11806 -------- x

x = 106°11’

2) O satélite Aqua da NASA está bem próximo da Terra. Sua órbita completa em torno da Terra leva cerca de 100 minutos, e ele está a cerca de 700 km da superfície da Terra. Determine sua velocidade média aproximada, em km/h, e o tempo aproximado que leva um sinal emitido por esse satélite para chegar a Terra, em milisegundos.

r = raio da terra (6370km) + altura que se encontra o satélite (700km)

Comprimento da órbita = 2πr C ≈ 44.422km

V = 44.422𝑘𝑚5

3ℎ𝑜𝑟𝑎

26.653,2 km/h

Tempo que o sinal chega na terra: Velocidade do sinal: 300.000 km/s Distância percorrida = 700km

Tempo = 𝑑

𝑣

700

300000 ≈ 0,00233 s ou 2,33ms