O Axioma da Escolha em Anlise Real

Catarina Isabel Pereira Carrilho

Trabalho realizado no mbito do Seminrio Matemtico

Disciplina da Licenciatura em Matemtica

Orientador: Gonalo Gutierres

Resumo

O tema deste trabalho o Axioma da Escolha, foi elaborado com base no livro

Axiom of Choice de Horst Herrlich, neste trabalho apenas so exploradas algumas

implicaes do Axioma da Escolha na rea da Anlise Real, de modo que se inicia

com as denies de Axioma da Escolha e com denies j conhecidas da Topologia

(conjunto fechado, espao sequencial, espao de Frchet...).

No terceiro captulo so mostrados exemplos de teoremas que apesar da sua prova

mais familiar usar o Axioma da Escolha, podem ser provados sem este. E na segunda

parte deste mesmo captulo so apresentadas algumas equivalncias do Axioma da

Escolha na recta real.

Palavras Chave: Seminrio Matemtico, Axioma da Escolha, Anlise Real

i

Contedo

1 Introduo 1

2 Algumas denies 1

2.1 Axioma da Escolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2.2 Denies de Anlise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Axioma da escolha em anlise real 4

3.1 Escolha desnecessria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.2 Formas de escolha em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4 Referncias Bibliogrcas 8

ii

1 Introduo

O Axioma da escolha, AC, abreviatura de Axiom of choice, um dos axiomas mais controver-

sos e discutidos na matemtica, formulado por Ernst Zermelo em 1904, e arma que para toda

a famlia de conjuntos no vazios o produto associado no vazio, isto , tendo uma famlia de

conjuntos possvel fazer uma regra de escolha de modo a obter um elemento de cada conjunto

dessa famlia.

Ainda no incio do sculo XX, Ernst Zermelo apresenta um conjunto de axiomas para

a Teoria dos Conjuntos que actualmente conhecida como Teoria dos conjuntos de Zermelo-

Fraenkel, denotada por ZF, sem o Axioma da escolha, e por ZFC, com o Axioma da escolha.

Actualmente, em reas como a lgebra, a Anlise, a Teoria dos Conjuntos e a Topologia

existem resultados que dependem do Axioma da Escolha, isto , no so provados em ZF mas

so provados em ZFC, aqui sero mostrados alguns resultados na rea da Anlise que dependem

do Axioma da escolha, mas tambm sero abordados alguns resultados que so demonstrados

com e sem o Axioma da escolha, que so verdadeiros em ZF (como em ZFC).

2 Algumas denies

Neste captulo so apresentadas denies que sero usadas noutros captulos. Comea com as

denies de funo escolha, Axioma da escolha e denies mais fracas do Axioma da escolha,

por exemplo o Axioma da escolha para conjuntos numerveis, CC. Alguns matemticos que

rejeitam o Axioma da Escolha aceitam estas formas mais fracas, outros rejeitam todas. Ainda

neste captulo so expostas algumas denies da Topologia j conhecidas.

2.1 Axioma da Escolha

Denio 2.1. Seja (Xi)iI uma famlia de conjuntos no vazios, uma funo escolha na

famlia (Xi)iI uma funo e : I

Xi tal que e(i) Xi, isto , para cada conjunto de(Xi)iI, a funo escolha seleciona um elemento desse conjunto.

Consideremos alguns exemplos para perceber a funo escolha:

Se (Xn)nN uma famlia de conjuntos no vazios de {1, 2, 3, ...}, podemos denir a funoescolha e com e(n) o menor valor de (Xn).

Se Xn = [n, n+ 1] podemos denir e : N R com e(n) = n+ 12 .

Note-se que estas duas funes no precisam do axioma da escolha para estarem denidas,

pois possvel estabelecer uma regra de escolha.

Denio 2.2. Axioma da escolha (AC): Existe uma funo escolha para a toda a famlia

(Xi)iI de conjuntos no vazios.

1

A noo de funo escolha permite entender, o produto cartesiano,

iI Xi, como o con-

junto dado por {e : I Xi|e(i) Xi}, isto , o produto cartesiano formado pelo conjuntodas funes de escolha em (Xi)iI. Assim podemos denir o Axioma da escolha de uma forma

alternativa: Dada uma famlia (Xi)iI, com Xi conjuntos no vazios, o produto dado poriI Xi

no vazio.

Como em anlise muitos dos resultados esto relacionados com conjuntos numerveis, em

que a famlia (Xi)iI uma sucesso, ou seja I = N, usada a denio mais fraca do Axioma

da escolha, (se necessrio a denio de numervel encontra-se no subcaptulo seguinte). De

seguida so apresentadas trs formas mais fracas do Axioma da Escolha que sero necessrias

para resultados posteriores.

Denio 2.3. CC - Axioma da escolha para conjuntos numerveis: Para cada sucesso

(Xn)nN de conjuntos no vazios, o produto dado pornN Xn no vazio.

Designamos por CC(R) o axioma da escolha para conjuntos numerveis de subconjuntos de

R, ou seja, para cada sucesso (Xn)nN de subconjuntos no vazios de R, o produto associado

no vazio. A funo escolha de CC(R) e : N R tal que e(i) Xn.

Denio 2.4. PCC - Axioma da escolha parcial para conjuntos numerveis: Para

cada sucesso (Xn)nN de conjuntos no vazios, existe um subconjunto innito M de N tal quemM 6= .

Teorema 2.5. CC PCCProva (CC PCC): bvio, pois se temos uma sucesso (Xn)nN de conjuntos novazios tal que o seu produto no vazio ento uma subsucesso M de N tambm tem um produto

no vazio.

(PCC CC): Considere-se a sucesso (Xn)nN de conjuntos no vazios. Seja Yn =mn Xm

ento (Yn)nN uma sucesso de conjuntos no vazios. Por PCC existe um subconjunto M

de N e um elemento (ym)mM demM Ym. Ento ym = (x

m1 , ..., x

mm)

km Xk. Para cada

n N seja m(n) = min{m M|n m}. Ento (xmn (n)) um elemento denN Xn.

Corolrio 2.6. Como existe fn : Rn R bijectiva, ento PCC(R) CC(R).

2.2 Denies de Anlise Real

De seguida so apresentadas algumas denies j conhecidas da Anlise real e da Topologia,

que sero importantes nos prximos captulos. A partir de agora todos os conjuntos considerados

so subconjuntos de R.

Denio 2.7. x um ponto aderente a A se > 0 A ]x , x+ [ 6= . O conjunto dospontos aderentes designa-se por aderncia de A ou fecho de A, e representa-se por A.

Denio 2.8. x um ponto de acumulao de A se > 0 : A ]x , x+ [\a 6= .

Denio 2.9. O conjunto A fechado se coincidir com o seu fecho, isto , A = A.

2

Denio 2.10. Seja A B, A fechado em B se AB = A A B = A.

Denio 2.11. Diz que uma sucesso (xn)nN convergente, se

> 0 ,no N : n n0 |xn a| < , e denota-se por xn a.

Denio 2.12. Uma sucesso (xn)nN uma sucesso de Cauchy se

> 0 ,n0 N : m,n n0 |xm xn| < .

Denio 2.13. X completo se toda a sucesso de Cauchy convergente em X.

Denio 2.14. B espao de Frchet se A B, x A B (xn) uma sucesso em Atal que xn x.

Denio 2.15. B sequencial se A B, AB = A (xn) uma sucesso em A(xn x B x A).

Nota: A sequencialmente fechado em B se para qualquer sucesso (xn) em A conver-

gente para x em B, ento x A.

Denies 2.16.

a) Uma funo f : X R diz-se contnua no ponto a X se

> 0, > 0 : x X |x a| < |f(x) f(a)| < .

b) Uma funo f : X R uniformemente contnua se

> 0, > 0, x, y X : |x y| < |f(x) f(y)| < .

Lema 2.17. A funo f : X R contnua se e s se para A R fechado, a imagem inversade A por f , f1(A) fechado em X.

Denio 2.18. Uma funo f sequencialmente contnua se sempre que uma sucesso

(xn) converge para x, ento (f (xn))nN converge para f (x).

Denio 2.19. A um conjunto numervel quando nito ou quando existe uma bijeco

f : N A, neste ltimo caso A diz-se innito numervel.

Denio 2.20. X separvel se existe um subconjunto A numervel denso em X, ou seja,

X separvel, se o fecho de A contm X, isto , X A.

Denio 2.21. Seja X um subconjunto de R uma cobertura uma sucesso (Ui)iI de R,

tal que X iI Ui, isto , para todo o x X existe um i I tal que x Ui. Quando Ui umasucesso de conjuntos abertos designa-se por cobertura aberta.

Uma subcobertura nita de uma cobertura aberta de X (Ui)iF com F I e nito, talque X iF Ui.

3

Denies 2.22.

a) X limitado se X [a, b] com a < b. Caso contrrio X ilimitado;

b) Uma sucesso (xn)n limitada, se existem a < b tais que a xn b para todo n N. Casocontrrio (xn)n uma sucesso ilimitada.

Denio 2.23. Seja X um subconjunto de R, X compacto se X fechado e limitado.

Teorema 2.24. X compacto se e s se toda a cobertura aberta de X contm uma subcobertura

nita.

Como no relevante para o trabalho a demonstrao deste teorema no ser apresentada,

por curiosidade a demonstrao usual deste teorema no depende do Axioma da Escolha.

Note-se alguns exemplos das denies anteriores:

O fecho do conjunto Q dos nmeros racionais a recta R.

R\Q separvel, existe A = {2+q|q Q} numervel denso em R pois AR\Q = R\Q.

Q numervel denso em R, ou seja, R separvel.

3 Axioma da escolha em anlise real

Como j foi referido existem resultados que so vlidos em ZF (como em ZFC), neste captulo

dividido em duas partes, so apresentados resultados que so vlidos nos dois conjuntos de

axiomas e resultados que so equivalentes ao axioma da escolha, mais concretamente ao axioma

da escolha para conjuntos numerveis de subconjuntos de R.

3.1 Escolha desnecessria

It is a historic irony that many of the mathematicians who later opposed the Axiom of Choice

had used it implicitly in their own researches.- Gregory H. Moore

Existem teoremas que usamos normalmente em anlise real e nem reparamos que usamos

o axioma da escolha para os provar. Por exemplo o teorema: Seja X compacto. Toda a funo

contnua f : X R uniformemente contnua, um teorema cuja prova mais familiar usao axioma da escolha, mas a escolha pode ser evitada apenas fazendo um pequena alterao na

prova mais familiar, mas s vezes as provas sem escolha so completamente diferentes das mais

conhecidas.

Teorema 3.1. Toda a funo contnua f : [0, 1] R uniformemente contnua.

Prova com AC: Seja > 0. Para cada x [0, 1] f contnua em x, ento existe x > 0tal que y [0, 1], |y x| < 2x |f(y) f(x)| < 2 . Seja Ux = [0, 1]]x x, x + x[, a

4

cobertura [0, 1] xX Ux admite uma subcobertura nita [0, 1] Ux1 Uxn . Seja = min{x1 , ..., xn}, se x, y [0, 1] e |xy| < , temos x Uxj para algum j, onde |xxj | < xje |y xj | |y x|+ |x xj | < 2xj que implica |f(x) f(xj)| < 2 e |f(y) f(xj)| < 2 o queimplica que |f(x) f(y)| < . Nesta prova a escolha usada para seleccionar um x.Prova sem AC: Dena-se x =

1nxonde

nx = min{n N : y [0, 1]]x 1n, x+

1

n[ |f(y) f(x)| <

2}.

Teorema 3.2. Toda a funo f : R R sequencialmente contnua contnua.

Prova com AC: Suponhamos que f sequencialmente contnua mas no contnua num

ponto a R ento > 0, > 0 : x X, |x a| < |f(x) f(a)| > . Escolhemos para todoo n N, um xn em R com |xn a| < 1n e |f(xn) f(a)| > , ento (xn) converge para a, mas asucesso f(xn) no converge para f(a), o que contraria a hiptese de que f sequencialmente

contnua.

Na prova acima usamos a o axioma da escolha para conjuntos numerveis de subconjuntos

de R, CC(R), pois escolhemos xn em R.

Prova sem AC: Seja f sequencialmente contnua, usando o facto que Q numervel denso

em R, Q = R, para cada x R a restrio de f ao conjuntoQ{x}, isto , f |Q{x} : Q{x} R contnua, ento para qualquer > 0 existe x > 0 tal que r Q |xr| < x |f(x)f(r)| < 2 ,seja agora y R tal que |x y| < , como f |Q{y} tambm contnua, existe y > 0 tal quer Q|y r| < |f(y) f(r)| < 2 . Consideremos r Q um elemento situado entre x e y,sabemos que este elemento existe sempre, como Q denso podemos escolh-lo to prximo de y

como queiramos (no usamos o Axioma da Escolha), tal que |x r| < x e |y r| < y, ento|f(x) f(y)| |f(x) f(r)|+ |f(r) f(y)| < 2 + 2 = , ento f contnua em x.

Note-se que o teorema acima provado com e sem axioma da escolha, mas de facto o teorema

Toda a funo f : R R sequencialmente contnua em x R, contnua em x, (que implicao teorema acima), precisa do axioma da escolha na sua prova, como vamos ver no Teorema 3.4,

que foi o que foi feito na primeira prova.

3.2 Formas de escolha em R

Como j vimos existem teoremas que podem ser provados em ZF (como em ZFC). Agora vo

ser mostrados teoremas que so vlidos apenas em ZFC, pois as propriedades dos conjuntos,

mais especicamente de conjuntos numerveis, dependem de CC(R).

Teorema 3.3. equivalente:

1. Todo o subconjunto ilimitado de R, contm uma sucesso ilimitada;

2. CC(R).

5

Prova: (1) (2) Sejam (Xn) uma sucesso de subconjuntos no vazios Xn de R,f : R]0, 1[ uma funo bijectiva, e para cada n N, seja n : R R denida por n(x) = x+n.Dena-se Yn = n(f(Xn)). Ento Yn ]n, n+ 1[, e Y =

nN Yn um subconjunto ilimitado

de R. Por hiptese existe uma sucesso ilimitada yn em Y. Assim M = {m N : n Nyn Ym} um subconjunto innito de N com

mM Ym 6= . Seja (ym)mM um elementodeste produto. Dena-se xm o nico elemento de XM com m(f(Xm)) = ym e pelo Corolrio

2.6 temos (xm) mM Xm.

(2) (1) Seja A R ilimitado. Suponhamos que A ilimitado direita, n A [n,+[ 6=. Denindo An := A [n,+[, vem que (An)nN uma famlia numervel de subconjuntosde R.

Teorema 3.4. As seguintes condies so equivalentes:

1. R Frchet;

2. Cada subespao de R sequencial;

3. Uma funo f : X R, denida num subespao de X de R contnua, se e s se sequencialmente contnua;

4. Cada subespao de R separvel;

5. Uma funo f : R R contnua em x, se e s se sequencialmente contnua em x;

6. CC(R).

Prova: Vamos provar que todas so equivalentes provando as implicaes

(1) (2) (3) (6) (5) (1) e (6) (4) (1).(1) (2) Temos que cada subespao de R Frchet, ento sequencial.(2) (3) Se f : X R sequencialmente contnua ento a imagem inversa de f de cadaconjunto fechado de R sequencialmente fechado em X, assim por (2) fechado em X. Por

consequncia f contnua.

(3) (6) Pelo Teorema 3.3 suciente mostrar que perante (6) todo o subconjunto ilimitadoA R contem uma sucesso ilimitada, seja h : R ]0, 1[ uma funo crescente, sem perda degeneralidade, suponhamos que A ilimitado esquerda, n N x A x n. A funo

h contnua ento 0 h(A). Seja X = h(A) {0} e f(x) =

0, x h(A)1, x = 0 . Ento f no contnua, que por (3) implica que no sequencialmente contnua. Ento existe uma sucesso

(bn) em h(A) que converge para 0, que leva a que h1(bn) uma sucesso ilimitada em A.

(6) (5) Ver prova com o Axioma da Escolha do Teorema 3.2.(5) (1) Seja a um ponto de acumulao de X R. Se nenhuma sucesso em X con-

verge para a ento a / X e a funo f : R R denida por f(x) =

1, x X0, caso contrrio , sequencialmente contnua em a, mas no contnua em a, o que contradiz (5).

6

(6) (4) Q numervel denso em R, seja A um subespao de R, dena-se o conjuntoA = {]p, q[: p < q Q ]p, q[A 6= 0}, A numervel porque existe f : A Q Q injectiva,ento seja A = (]pn, qn[)nN por CC(R) escolhe-se xn ]pn, qn[A 6= , dena-se o conjuntoB = {xn : n N} que numervel denso em A. Queremos provar quex A, > 0, ]x , x+ [B 6= . Existem px, qx tais que x < pn < x < qn < x+ ouseja xn ]pn, qn[B ]x , x+ [ B 6= .(4) (1) Seja a um ponto aderente de um subconjunto de X R. Se X separvel entocontm um subconjunto numervel denso D = {yn|n N}, ento por consequncia a pontoaderente de D, isto , k ]a 1k , a + 1k D 6= , como D numervel podemos considerarDk =]a 1k , a+ 1k D e (k) = min{n N|yn Dk}, assim D contm uma sucesso (y(k))kNque converge para a.

Para o prximo resultado vamos precisar do seguinte lema.

Lema 3.5. Seja A uma famlia dos subconjuntos fechados de R. Ento existe uma funoescolha em A.Prova: Seja A fechado em R. Se A limitado esquerda ento escolhe-se uma funo e de

N para R tal que e(A) seja o mnimo de A. Se A no limitado esquerda, podemos considerar

a mesma funo e tal que e(A) seja o mximo do conjunto A ], 0[.

Teorema 3.6. So equivalentes:

1. R sequencial;

2. Cada subespao completo de R fechado;

3. Cada subespao completo de R separvel;

4. Cada subespao completo e ilimitado de R contm sucesses ilimitadas;

Prova:

(1) (2) Seja A R completo. Seja (xn)n uma sucesso a tomar valores em A tal que(xn) x R. Por ser convergente, (xn)n uma sucesso de Cauchy, o que, pela completudede A, implica x A. Portanto, A sequencialmente fechado. Por (1), todo o subespao de Rsequencialmente fechado fechado, pelo que A fechado.

(2) (3) Seja X completo, consideremos o conjunto M de todos os pares (p, q) Q Q,tais que X [p, q] = C(p,q) no vazio. Por hiptese X fechado, e portanto C(p,q) tambm fechado. Pelo Lema 3.5 existe (xn)nM

nM, por consequncia {xn|n M} numerveldenso em X, ento X separvel.

(3) (4) Seja A R completo e ilimitado. Por hiptese A separvel, ento existe umsubespao B numervel denso em A. Como A ilimitado e B A = A, B ilimitado. Pelanumerabilidade de B, existe : N B injectiva com ((x))n ilimitada.(4) (1) Seja X sequencialmente fechado em R, mas no fechado em R. Consideremosque existe um ponto de acumulao a de X em R com a / X. Sem perda de generalidade,

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assumimos X ] pi2 , pi2 [ e a = pi2 . Seja h : ] pi2 , pi2 [ R com h(x) = tanx, ento para cada par(x, y) ] pi2 , pi2 [ ] pi2 , pi2 [ se tem |x y| |h(x) h(y)|. Temos que h(X) completo, uma vezque sendo (xn)n uma sucesso de Cauchy em h(X) ento (h

1(xn))n de Cauchy em X, pelo que

(h1(xn))n x X, por X ser sequencialmente fechado. Portanto, (xn)n h(x) h(X). Poroutro lado h(X) ilimitado, logo, por hiptese, existe uma sucesso (yn)n em h(X) ilimitada, tal

que a sucesso (h1(yn))n converge para a = pi2 , que contraria o facto de X ser sequencialmente

fechado em R. Assim, se X sequencialmente fechado ento fechado em R. O recproco

sempre verdadeiro, pelo que R sequencial.

Todas as condies do teorema acima resultam de CC(R), mas no so equivalentes a

este. Por outro lado no so demonstrveis em ZF.

[1]

4 Referncias Bibliogrcas

Referncias

[1] Horst Herrlich. Axiom of Choice. Springer, 2006.

[2] Elon Lages Lima. Curso de anlise volume 1. Projecto Euclides, 1989.

[3] Gonalo Gutierres. O Axioma da Escolha Numervel em Topologia, 2004

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