Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Dayse Regina Batistus - UTFPR Derivadas: introdução.
17
Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Dayse Regina Batistus - UTFPR Derivadas: introdução
Transcript of Cálculo Diferencial e Integral I Profª Drª Dayse Regina Batistus - UTFPR Derivadas: introdução.
Cálculo Diferencial e Integral ICálculo Diferencial e Integral I
Profª Drª Dayse Regina Batistus - UTFPR
Derivadas:introdução
Objetivo:Objetivo: Dada uma função Dada uma função f e um f e um ponto P(xponto P(x00,y,yoo) no seu gráfico, ) no seu gráfico, determine o coeficiente angular da determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em Preta tangente ao gráfico em P
DerivadaDerivada
DerivadaDerivada
DerivadaDerivada
A reta em vermelho é a reta tangente ao
gráfico da função?
Mas ela está tocando o gráfico da função em mais do que um
ponto! E agora?
Devido as dúvidas surgidas anteriormente, Devido as dúvidas surgidas anteriormente, devemos ter uma definição mais precisa devemos ter uma definição mais precisa
do conceito de reta tangente ao gráfico da do conceito de reta tangente ao gráfico da função num ponto dado.função num ponto dado.
DerivadaDerivada
DerivadaDerivada
P(x0, y0)
Q(x, y)
0
0sec
)()(
xx
xfxfm
Coeficiente angular da reta secante:
DerivadaDerivada
Quando o ponto Q se aproxima do ponto P, a reta secante vai inclinando até atingir uma posição limite. Essa posição limite é o que chamamos de reta tangente.
tangenteretasecante)(retalim PQ
DerivadaDerivada
Portanto definimos o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto P(x0,y0) por:
0
0
sectan
)()(lim
lim
xx
xfxf
mm
o
o
xx
xx
DerivadaDerivada
0
0tan
)()(lim
xx
xfxfm
oxx
Como vimos, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma equação num ponto é P(x0,y0)
Usando a mudança de variável h=x-x0 , temos:
h
xfhxfm
h
)()(lim 00
0tan
DerivadaDerivada
Definição: A função f’ definida pela fórmula
h
xfhxfxf
h
)()(lim)(' 00
0
é chamada de derivada de f em relação a x. O domínio de f’ consiste de todo x para o qual o limite existe.
Exemplo 1: Exemplo 1: Dado o gráfico da função y=f(x), conforme Dado o gráfico da função y=f(x), conforme a figura abaixo, determine o gráfico de a figura abaixo, determine o gráfico de f’(x)f’(x)..
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Observe o comportamento do coeficiente angular Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:da reta tangente ao gráfico da função:
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Variação do coef. angular da reta tangente ao gráfico da
função
Gráfico de f ’(x)
Exemplo 2: Exemplo 2: Dado o gráfico da função y=f(x), conforme Dado o gráfico da função y=f(x), conforme a figura abaixo, determine o gráfico de a figura abaixo, determine o gráfico de f’(x)f’(x)..
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Observe o comportamento do coeficiente angular Observe o comportamento do coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função:da reta tangente ao gráfico da função:
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Gráfico da DerivadaGráfico da Derivada
Variação do coef. angular da reta tangente ao gráfico da
função
Gráfico de f ’(x)
Adaptado de:Wellington D. Previero
