Calculo II Modulo

UNIVERSIDAD ESTATAL DEL SUR DE MANABÍCARRERA DE INGENIERÍA EN COMPUTACION Y REDES

Calculo II Actividad presencial # 1 La integral definida

Sumario: Secciones1.1 Introducción1.2 Determinación del área de una región plana 5.11.3 Sumas de Riemann 5.21.4 La integral definida 5.21.5 Condiciones de integrabilidad de una función 5.21.6 Propiedades de la integral definida 5.3

Bibliografía:Texto: Análisis Matemático B. Demidovich Tomo I, Capítulo 5, Secciones 5.1, 5.2, 5.3 Pág. 230 – 251

Objetivos:

1. Definir e interpretar el concepto de sumas de Riemann.2. Describir, definir e interpretar geométricamente el concepto de integral

definida.3. Enunciar e interpretar las condiciones de integrabilidad de una función.4. Enunciar, interpretar y aplicar las propiedades de la integral definida en la

solución de ejercicios.5. Aplicar el concepto y propiedades de la integral definida en el cálculo del área

de determinadas regiones planas.

1.1 Introducción

El cálculo del área de una región plana fue uno de los problemas fundamentales que dio origen al Cálculo Integral. Entre los precursores del Cálculo Integral, vinculados a la determinación de áreas y volúmenes están el astrónomo y matemático alemán J. Kepler (1571-1630), el matemático italiano B. Cavaglieri (1598-1647), los franceses P. Fermat y B. Pascal (1623-1662). El inglés Barrow fue el primero que descubrió la conexión entre los problemas del Cálculo Diferencial e Integral, pero fueron su discípulo I. Newton y el matemático alemán W. Leibniz quienes desarrollaron en toda su amplitud el Cálculo a finales del siglo XVII y comienzos del siglo XVIII. Estos matemáticos concibieron el proceso de integración como el proceso inverso del de derivación, criterio que prevaleció durante todo el siglo XVIII.

Fue L. A. Cauchy a principios del siglo XIX quien definió el concepto de integral definida sin hacerlo depender del proceso de derivación, concepción que ratificaba la que tenían los antiguos griegos pero sin la falta de rigor producto de contar con la claridad del concepto de límite. Cauchy demostró (aún no de forma rigurosa, ésta es debido a Darboux, 1875) que si una función era continua entonces existía su integral definida. Fue Riemann quien definió el concepto de integral definida de una función, fuera o no continua, ofreciendo condiciones suficientes para la existencia de esta integral definida. Esta teoría permitió luego encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una función tenga integral definida en el sentido de Riemann.

MODULO DE: CALCULO II DOCENTE: ING. ARIEL MARCILLO PINCAY


Comencemos la actividad planteando cómo determinar el área de una región plana para luego ver su relación con el concepto de integral definida. Se le indica que previamente estudie las Pág. 230 y 231 del texto. 1.2 Determinación del área de una región plana

Supongamos que a toda región del plano le podemos asignar un número real no negativo que llamamos área de la región y denotamos A. ¿Cómo calcular ese número?

Veamos varios casos posibles de regiones R, comenzando por la más simple. Primero debemos hacer dos aclaraciones:

1. Recordamos que cuando nos referimos a la “curva f (x)” realmente estamos hablando del gráfico que determina una función continua de ecuación y = f (x).

2. El área bajo una curva definida por una función f (x) en un intervalo [a, b] es el área comprendida entre la gráfica de la función f (x), el eje x y las rectas x = a y x = b.

En todos los casos la región R que estamos considerando para calcular su área está delimitada por las rectas x = a, x = b, la función f (x) continua y no negativa en [a, b] y el eje x.

1. f(x) es constante, f(x)= C C > 0

A = C(b-a)

Fig. 1

2. f es constante por intervalos

A = A1 + A2 + A3

= C1(x1 – x0) + C2(x2 – x1) + C3(x3 – x2)

= Fig. 2

Observe que en estos dos casos hemos obtenido el valor exacto que corresponde al área.

3. f(x) es una curva cualquiera, siendo aMNb un trapecio curvilíneo (Fig. 3)


xba

C

y

A1

A2 A3

C1

C2

C3

x0=a x1 x2 x3=b


Fig. 3 Para determinar una aproximación del área de este trapecio consideremos una serie de rectángulos R1, R2,…, Rn con base en el eje x y cuyas alturas están determinadas por algún punto de la curva y = f(x). Las bases de dichos rectángulos dividen al intervalo [a, b] en subintervalos [a=x0, x1], [x1, x2],…, [xn-1, xn = b] (Fig. 4)

Entonces se tiene que A

Observe que:1. El área determinada es una aproximación al área bajo la curva y el error

cometido en esta aproximación es igual a la suma de las áreas de los triángulos curvilíneos que quedan fuera o adentro de los rectángulos. El valor obtenido depende de los subintervalos tomados y del valor i tomado en cada subintervalo.

2. Esta aproximación se mejora si tomamos mayor cantidad de rectángulos con bases de menor longitud que la mayor de las longitudes de los rectángulos originales.

3. Intuitivamente podemos sospechar que si denotamos x la mayor de las longitudes de las bases de los rectángulos originales, entonces el área que buscamos sería

.

¿Qué pasaría, por ejemplo, si la función no es continua? ¿Si f no es positiva para toda x en [a,b]? ¿Podemos abstraernos de una representación geométrica para el cálculo del área de una región como la última planteada?


ab

M

N

a= x0 1 x1 2 x2 xn -1 n xn = b

R1

R2

Rn


A continuación daremos algunas definiciones que nos llevan al concepto de integral definida en el sentido de Riemann. Aunque veremos su identificación con áreas de regiones como la del trapecio planteado en este epígrafe, su formulación no depende en forma alguna de ningún criterio geométrico.

1.3 Sumas de Riemann

Def. 1 Un conjunto P de puntos {x0, x1, …, xn} se dice que es una partición del intervalo [a,b] si se cumple que a = x0 < x1 < x2 <…< xn -1 < xn = bUna partición P de un intervalo [a,b] divide a éste en n subintervalos [xi, xi+1] 0 i n-1. La longitud del i-ésimo intervalo se denota por xi.Al máximo de estas longitudes se le denomina norma de la partición P y se denota ||P||.O sea, ||P|| = max{xi: 0 i n-1}.

Ejemplo 1 Sea n 2 un número natural. El conjunto P = {0, 1/n, 1/(n-1), …, ½, 1} es una partición del intervalo [0,1] para cada número natural n. En este caso x0 = 0, xi = 1/(n – i +1) si i = 1,…,n

Luego

Entonces ||P|| = ½.Existen muchas otras formas de definir una partición del intervalo [0,1], con diferentes valores de ||P||.

Def. 2Sea f (x) una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea P una partición de [a, b]. Sean i , números tomados en cada uno de los subintervalos respectivos [xi, xi+1] , 0 i n-1, definidos por la partición P. Una suma de Riemann de f para P con los valores i es una expresión (denotada RP,i ) de la forma

Observe que dada una función f (x) y un intervalo cerrado [a, b] donde f (x) está definida, existen infinitas sumas de Riemann RP,i asociadas, pues existen infinidad de particiones posibles del intervalo [a, b] y fijando una partición P existen infinitas elecciones posibles de los números i.

Vamos a considerar ahora las sumas de Riemann de una función f teniendo en cuenta cualquier partición P del intervalo [a, b] siempre y cuando la norma de la partición tienda a cero y cualquier elección posible de los números i en cada una de estas particiones.

Def. 3Sea f (x) una función definida en un intervalo cerrado [a, b] y sea I un número real.

Entonces significa que para todo > 0 existe un > 0 para el



cual si P es una partición de [a, b] con ||P|| < entonces para

cualquier suma de Riemann RP,i. El número I se llama límite de las sumas de Riemann.

Observaciones:1. En la Def. 3 el límite significa que si la norma de la partición está suficientemente cerca de cero, siendo P una partición cualquiera del intervalo, y siendo arbitrarios los números i en los subintervalos [xi, xi+1] de P, entonces cualquier suma de Riemann RP,i está cerca de I. Si el límite existe, no depende ni de la partición tomada (cuya norma tiende a cero), ni de los valores i en los subintervalos [xi, xi+1] de P.

2. En el caso de satisfacerse la Def. 3 se dice que f es integrable en el sentido de Riemann.

Justamente este límite de sumas de Riemann es lo que se denomina integral definida

1.4 La integral definida

Def. 4Sea f (x) una función definida en un intervalo cerrado [a, b]. La integral definida de f

entre a y b se denota por y está dada por:

siempre y cuando este límite exista, o sea, siempre y cuando sea integrable.

Observaciones:1. La integral definida es un número: el límite de las sumas integrales de Riemann.2. El valor del área planteada en la Fig. 4 coincide con la integral definida de f

entre a y b.3. El símbolo en la definición de integral definida es el símbolo de integral. Los

números a y b se llaman límites de integración. La función f (x) que aparece a la derecha del símbolo de integración se llama integrando. El símbolo diferencial dx a continuación de f(x) está relacionado con el incremento xi en las sumas de Riemann.

4. La letra x no tiene ninguna connotación en el símbolo de integral definida. Así:

Apoyándonos en las definiciones dadas es difícil, dada una función en general, determinar si dicha función es integrable y en caso afirmativo determinar su integral definida solo apoyándonos en tales definiciones. Por ello en el próximo epígrafe veremos condiciones que permitan garantizar la integrabilidad de una función en un intervalo.

1.5 Condiciones de integrabilidad de una función

Este primer criterio establece una condición necesaria para la integrabilidad de una función en un intervalo.

Teorema 1



Si f(x) es integrable en un intervalo [a,b] entonces f es acotada en [a,b].

De aquí se deduce que nuestra atención debe estar centrada en las funciones acotadas, pues solo para ellas es posible que exista la integral definida.

Así, por ejemplo, la función no es

integrable en el intervalo[0,1], pues no es acotada en el mismo, no importa cómo esté definida en x = 0 (Fig. 5 )

No obstante esta es una condición necesaria pero no suficiente. Luego veremos que no toda función acotada en un intervalo es integrable.

Fig. 5En el siguiente teorema resumimos algunas condiciones suficientes de integrabilidad de una función en un intervalo.

Teorema 2Una función f(x) es integrable en un intervalo [a,b] si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. f(x) es continua en el intervalo [a,b]2. f(x) es monótona en el intervalo [a,b]3. f(x) es acotada en el intervalo [a,b] y con solo un número finito de

discontinuidades en dicho intervalo.

1.6 Propiedades de la integral definida

A continuación resumimos algunas propiedades fundamentales de la integral definida. Previo a ello daremos la siguiente definición:

Def. 4

1. Si a > b y f es integrable en [b, a], entonces

2. Cualquiera sea el número real a entonces

Teorema 3Sea c un punto del intervalo (a,b). Una función f es integrable en el intervalo [a,b] si y solo si es integrable en los intervalos [a,c] y [c,b] y en ese caso



En el siguiente teorema resumimos las propiedades de la integral definida respecto a las operaciones aritméticas con funciones integrables.

Teorema 41. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en un intervalo [a,b] y y dos números reales cualesquiera entonces la función f +g es también integrable en [a,b] y se cumple que

Esta propiedad se conoce como propiedad de linealidad de la integral definida. Es válida cuando se trata de m funciones integrables en un intervalo [a,b] y m escalares.

2. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en un intervalo [a,b] la función f(x).g(x) es también integrable en [a,b]

3. Si f(x) y g(x) son funciones integrables en un intervalo [a,b] y existe m > 0 tal que | g(x) | m para todo x de [a, b] entonces la función f(x)/g(x) es también integrable en [a,b]

En el Teorema 5 resumimos las propiedades de la integral definida respecto a las desigualdades.

Teorema 51. Si f(x) es una función integrable en un intervalo [a,b] y f(x) 0 (> 0) para toda x en

[a,b] entonces

Como una consecuencia de esta propiedad tenemos que:Si f(x) y g(x) son funciones integrables en un intervalo [a,b] y f(x) g(x) para todo x

de [a, b] entonces

2. Si f(x) es una función integrable en un intervalo [a,b] entonces |f(x)| es también

integrable en [a,b] y se cumple que

3.Si f es integrable en [a, b] y para toda x en [a, b] se tiene que m f(x) M entonces

Observe que los números m y M tal que m f(x) M para toda x en [a, b] siempre existen pues al ser f integrable debe ser acotada.

4. Si f es integrable en [a, b] y para toda x en [a, b] se tiene que m f(x) M

entonces existe un valor tal que m M y

Una consecuencia de este teorema es que si se cumple además que f es continua en [a, b] entonces existe un valor c en [a, b] tal que = f(c), o sea,



Estudio IndependienteLea cuidadosamente las Secciones 5.1, 5.2 y 5.3 del Capítulo 5 del libro, Pág. 230 – 251 Preste atención a los ejercicios y problemas resueltos.

Resuelva los ejercicios:Del Ejercicio 5.1 de la Pág. 237: 1, 8, 10, 13, 14, 17, 20Del Ejercicio 5.2 de la Pág. 244: 1, 3, 7, 11, 15, 19, 24, 26Del Ejercicio 5.3 de la Pág. 251: 1, 9, 10, 13

1. Acote el valor de

Se dice que una función F es una antiderivada de la función f si se cumple que F ’ = f. En ocasiones se les llama primitivas a las antiderivadas.

A partir de esta definición:a. Calcule una antiderivada de cada una de las siguientes funciones:f (x) = senx; g (x) = 1/x; h (x) = ex

b. ¿Existirá más de una antiderivada de las funciones dadas en el inciso anterior? Justifique su respuestac. Demuestre que si f (x) = xn siendo n un número real, n -1, entonces una

antiderivada de f (x) es

2. Analice la integrabilidad de las siguientes funciones en los intervalos que se indican.



d)

Respuesta1) a) La función senx/x es continua para todo x 0. Además se cumple que

por lo tanto f es también continua en x = 0, de ahí

que f es continua en -1, 1. Entonces f es integrable en este intervalo.

b) . Luego si f no está acotada en [0,2] no puede ser

integrable en este intervalo.

c) La función está definida por tramos por funciones lineales, luego continuas. Los únicos puntos posibles de discontinuidad son x = 2 y x = 3. En efecto, f es discontinua en ambos puntos pues no tiene límite en ellos ya que

y

Puesto que f está acotada en 0, 4 y tiene un número finito de discontinuidades en 0, 4 entonces f es integrable en 0, 4.

d) Observe el gráfico de la función dada en la Fig. 1.La función es monótona en el intervalo dado (estrictamente creciente) luego es integrable.También puede verse que es acotada con un solo punto de discontinuidad.

Fig. 1

3). Demuestre que cualesquiera que sean los números reales a, b y c, a < b se tiene que

Respuesta

Si aplicamos la propiedad utilizada en el ejercicio anterior, tenemos que al ser f (x) constante igual a c entonces está acotada inferiormente y superiormente por c, de donde c f (x) c para toda x en [a,b], luego

. De donde



Utilizando directamente la definición vemos que cualquiera sea la partición P de [a,b] y cualquiera sea el valor i de cada subintervalo [xi, xi+1] se tiene que

4. Calcule la integral definida

Respuesta

La región delimitada por la recta y = 2x + 6, las rectas x = -3, x = 2 y el eje x es el triángulo rectángulo PQR (Fig. 2). El área de este triángulo es muy fácil de calcular pues es A = (PR)(QR) / 2 = (5)(10)/2 = 25. Puesto que esta área coincide con la

integral definida planteada se tiene que:

Fig. 2

5. Se dice que una función F es una antiderivada de la función f si se cumple que F ’ = f. En ocasiones se les llama primitivas a las antiderivadas.A partir de esta definición:a. Calcule una antiderivada de cada una de las siguientes funciones:f (x) = senx; g (x) = 1/x; h (x) = ex

b. ¿Existirá más de una antiderivada de las funciones dadas en el inciso anterior? Justifique su respuestac. Demuestre que si f (x) = xn siendo n un número real, n -1, entonces una

antiderivada de f (x) es

Respuestaa. F(x) = -cosx pues F ’(x) = (-cosx)’ = -(-senx) = senx G(x) = lnx pues G ’(x) = (lnx)’ = 1/x H(x) = ex pues H ’(x) = (ex)’ = ex b. En general existen infinitas antiderivadas de cada función, basta sumarle a cada una de ellas una constante cualquiera pues, por ejemplo, si F(x) = -cosx+ c, siendo c cualquier número real, esta será una antiderivada de f pues F’ (x) = (-cosx+ c)’= senx


-3 2

6

10

0P

Q

R

y=2x+6


c. Lo que debemos probar es que F’(x) = xn. En efecto,



Calculo II Actividad presencial # 2 Teoremas fundamentales del Cálculo Integral. Integral indefinida y cálculo de integrales inmediatas

Sumario: Secciones 2.1 Introducción -2.2 Antiderivada o primitiva de una función Sección 4.72.3 Teoremas fundamentales del Cálculo Integral Sección 5.42.4 La integral indefinida Secciones 5.5,7.4, 7.5, 8.4, 8.6 2.5 Propiedades de la integral indefinida Sección 5.52.6 Cálculo de integrales inmediatas

Bibliografía:Texto: Análisis Matemático B. Demidovich Tomo I, Capítulo 4, Sección 4.7 Pág. 218 – 226; Capítulo 5, Secciones 5.4 y 5.5 Pág. 251 – 267, Capítulo 7, Secciones 7.4 y 7.5 Pág. 368 – 382, Capítulo 8, Sección 8.4 Pág. 426 – 431 y Sección 8.6, Pág. 438 – 444

Objetivos:1. Enunciar e interpretar los dos teoremas fundamentales del Cálculo Integral.2. Definir e interpretar geométricamente el concepto de integral indefinida.3. Describir la relación existente entre el concepto de primitiva o antiderivada,

integral definida e integral indefinida de una función.4. Calcular integrales indefinidas “sencillas”.5. Calcular integrales definidas a partir de las integrales indefinidas y de la

aplicación del 2do. Teorema Fundamental del Cálculo.

2.1 Introducción

En esta actividad profundizaremos, en primer lugar, en el concepto de antiderivada de una función, de importancia en el planteamiento de los dos Teoremas Fundamentales del Cálculo Integral. Veremos las posibilidades que estos nos brindan, además de mostrar la relación entre la derivada y la integral. Daremos el concepto de integral indefinida y veremos cómo calcular integrales indefinidas inmediatas.

2.2 Antiderivada o primitiva de una función

En el Estudio Independiente de la actividad anterior se definió el concepto de antiderivada o primitiva de una función f en un cierto intervalo I como cualquier función F tal que F’ = f en I.Así, por ejemplo, dada la función f(x) = x2 + 1 se tiene que F(x) = x3/3 + x es una antiderivada de f(x) pues F ’(x) = x2 + 1 = f(x). ¿Será ésta la única antiderivada de f(x)? No, por ejemplo, G(x) = x3/3 + x +5 es otra antiderivada de f(x) pues también se cumple que G ’(x) = x2 + 1 = f(x). Nos preguntamos ahora:1. ¿Cuántas antiderivadas tiene una función dada?2. ¿Qué relación existe entre dos antiderivadas cualesquiera de una función dada?

La respuesta a ambas preguntas la veremos en el siguiente teorema:



Teorema 1

Si F1(x) y F2(x) son dos antiderivadas de una función f(x) en I entonces existe una constante C tal que F2(x) = F1(x) + C para toda x en I.

Demostremos que si F1(x) y F2(x) son dos primitivas de una función f(x) entonces ambas se diferencian en una constante. En efecto, si F1(x) y F2(x) son dos primitivas de f(x) entonces F1’(x) = F2 ’(x) = f(x) de donde F1’(x) - F2 ’(x) = (F1(x) - F2(x))’ = 0 lo que significa que F1(x) - F2(x) es constante en I, o sea, existe una constante C tal que F1(x) - F2(x) = C. Luego F2(x) = F1(x) + C para toda x en I. Esto quiere decir que si F(x) es una primitiva de f(x) en I entonces todas las demás primitivas son de la forma F(x) + C, siendo C una constante cualquiera.

Veremos en el transcurso de la clase la relación entre el concepto de primitiva o antiderivada, integral definida e integral indefinida.

2.3 Teoremas fundamentales del Cálculo Integral

Sea f(x) continua en [a, b] y f(x)>0. Como se vió anteriormente, el área bajo la

curva y = f(x) en [a, b] es . En

correspondencia, el área sombreada A(x)

(Fig. 1) será igual a la integral

Fig. 1Como f es continua en [a, b] también lo es en [a, x] para todo x en [a, b], y si es continua en [a, x] también es integrable en dicho intervalo, entonces existe la función

Aunque en la integral definida no tiene significado particular la variable indicada en el diferencial, siempre que coincida con uno de los límites de integración se utiliza otra variable para distinguirla. Así, por ejemplo, en el caso anterior escribimos

.

Esta integral se conoce como integral definida con límite superior variable, la cual en general no tiene por qué representar el valor de un área..



Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral.

Si f es continua en [a, b] y entonces F es derivable en [a, b] y

.Si x coincide con a ó b, se consideran las derivadas laterales correspondientes.

Observe que F(x) es justamente una antiderivada o primitiva de la función f(x).

Ejemplo 1

Calculemos

f(x) = exlnx es continua en [x, 2x+1] para cualquier x > 0. Entonces se cumple que:

.

Si consideramos

entonces F(x) = - G(x) + H(2x+1) y F’(x) = - G’(x) + H’(2x+1) G’(x) se calcula de manera inmediata al aplicar el teorema. Así: G’(x) = exlnxPara calcular H’(2x+1) debemos aplicar la Regla de la Cadena, pues H’(2x+1) = ex+1 ln(2x+1).(2x+1)’ = 2 ex+1 ln(2x+1)Luego se tiene que

El 2do. Teorema Fundamental del Cálculo establece una relación entre la integral definida y las antiderivadas de una función.

Sea f continua en [a, b]. Sea integral definida con límite superior

variable una antiderivada de f. Sea F otra antiderivada de f en [a, b] luego A(x) = F(x) + C (1)Hallemos C.

Si x = a entonces A(a)= F(a) + C pero luego C = - F(a)

Sustituyendo en (1)A(x) = F(x) – F(a) (2)

Por otra parte . Sustituyendo x por b en (2) se tiene que

A(b) = F(b)- F(a) de donde por carácter transitivo

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral.Si f es continua en [a, b] y F es una antiderivada o primitiva de f, entonces:

Observaciones:



1. En este teorema se relacionan el concepto de antiderivada y de integral definida de una función.2. Resulta interesante que el cálculo de un objeto tan complejo como una integral definida que involucra a todos los puntos del intervalo [a,b] se reduce a un “simple” cálculo en solo dos puntos, los extremos del intervalo.3. Desde el punto de vista práctico, el cálculo de una integral definida se reduce a hallar una antiderivada de dicha función y evaluarla en los límites de integración.

Usualmente se utiliza la notación

Ejemplo 2

Calcular:

Busquemos primero una antiderivada de la función f(x) = 5x4 + x3 + 4x + 3. La más simple es: F(x) = x5 + x4/4 + 2x2 + 3xLuego aplicando el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral se tiene que

2.4 La integral indefinida

Definición 1Si f(x) posee una antiderivada o primitiva F(x) en un intervalo I, el conjunto de todas las antiderivadas de f(x) en I se denomina integral indefinida de f(x) en I. Se denota por el símbolo .

O sea, siendo C una constante cualquiera. Luego el cálculo de una integral indefinida se reduce a la determinación de una antiderivada o primitiva del integrando. Este proceso se conoce con el nombre de integración.

Retornando al Segundo Teorema Fundamental del Cálculo Integral vemos que calculando la integral indefinida de una función podemos calcular la integral definida de la misma. Basta evaluar una de sus antiderivadas en los límites de integración.

Observación

La integral definida de una función es un número, mientras que la integral indefinida de dicha función es una familia de funciones que se diferencian todas en una constante.

La interpretación geométrica puede verla en la Fig. 2, donde la integral indefinida de f(x) se puede interpretar como la familia de curvas que se obtienen mediante una traslación paralela al eje x.



Fig. 2

Ejemplo 3

2.5 Propiedades de la integral indefinida

La primera propiedad se deriva de las propias definiciones de antiderivada e integral indefinida.

Teorema 21. Si f(x) es derivable en cierto intervalo I entonces

2. Si f(x) posee antiderivada en cierto intervalo I entonces

Análogo a como vimos en el caso de integrales definidas tenemos el siguiente resultado:

Teorema 3Si f(x) y g(x) son funciones que poseen primitivas en un intervalo [a,b] y y dos números reales cualesquiera entonces la función f +g también posee primitiva en [a,b] y se cumple que

Este teorema establece que la integral indefinida de una combinación lineal de funciones es la combinación lineal de las integrales indefinidas de las respectivas funciones.

2.6 Cálculo de integrales inmediatas



Existen integrales muy fáciles de calcular, que no se reducen únicamente a aquellas cuyo integrando es una función elemental como cosx.

Ejemplo 4

Calcular

Esta es también una integral simple de calcular. Si tenemos presente que una antiderivada de la función senx es –cosx y que aplicando la Regla de la Cadena (cos5x)’=-5sen5x entonces la integral dada podemos considerarla inmediata. Basta “completar” el diferencial multiplicando y dividiendo por –5, de donde:

Ejemplo 5

Calcular Sabemos que una antiderivada de xn es xn+1/(n+1). En el integrando no tenemos en la base de la potencia a x sino a 2x + 1, cuya derivada es 2, luego solo bastaría “completar” el diferencial con un 2 para que integre como potencia. Luego,

Ejemplo 6

Nos preguntamos ahora cómo calcular, por ejemplo, ¿Es esta integral también de las llamadas integrales inmediatas, donde a simple vista puede determinar una antiderivada de la misma?La respuesta depende mucho de la experiencia de la persona en el cálculo de integrales indefinidas.

Si tenemos siempre en mente que lo primero que intentamos hacer es pensar en una función cuya función derivada esté en el integrando (o salvo una constante por la que se puede multiplicar y dividir la integral), o sea, pensar en una antiderivada, y conocemos las antiderivadas de las funciones elementales fundamentales pudiéramos decir que la integral dada es inmediata, pues la antiderivada de la exponencial es ella misma y (esenx)’= esenx.cosx, luego

= esenx + C

De la misma manera pudiéramos decir que es inmediata, ya que la función sec2x integra como tgx (por cuanto (tgx)’= sec2x) y como aplicando la Regla de la Cadena se tiene que (tg4x)’= 4sec2 4x lo único que se necesita es “completar” el diferencial y tendremos que:

Hay otras integrales como donde puede ser más difícil encontrar una

antiderivada a simple vista. En la próxima actividad estudiaremos el primer método de integración en el caso de tener que calcular integrales más complicadas.



Estudio Independiente Estudie la clase leyendo además cuidadosamente la bibliografía orientada. Preste atención a los ejercicios y problemas resueltos.

Resuelva para la actividad presencial los ejercicios:1. Del Ejercicio 4.7 de la Pág. 224: 2,6,9,11,13,15,192. Del Ejercicio 5.4 de la Pág. 258: 3, 9, 32, 51 y 533. Del Ejercicio 5.5 de la Pág. 266: 1, 11, 174. Del Ejercicio 7.4 de la Pág. 373: 14, 16, 19 y 205. Del Ejercicio 8.4 de la Pág. 430: 1, 3, 4, 12 y 316. Del Ejercicio 8.6 de la Pág. 443: 31 y 35



Calculo II Actividad presencial # 3 Método de integración por sustitución

Sumario: Secciones 3.1 Introducción -3.2 Método de sustitución o cambio de variable Sección 5.53.3 Método de sustitución trigonométrica Sección 9.33.4 Sustituciones diversas Sección 9.2, 9.5, 9.6

Bibliografía:Texto: Análisis Matemático B. Demidovich Capítulo 5, Sección 5.5 Pág. 260 – 267, Capítulo 9 Secciones 9.2 y 9.3 Pág. 467 – 476, Secciones 9.5 y 9.6 Pág. 483 – 490.

Objetivos:1. Caracterizar el método de sustitución2. Aplicar diversas sustituciones al cálculo de integrales

3.1 Introducción

Hasta el momento hemos calculado integrales inmediatas, denominando así aquellas integrales donde es simple obtener una primitiva o antiderivada de la función integrando. Una gran cantidad de integrales no son de este tipo.

En esta actividad abordaremos uno de los métodos generales de integración: el método de sustitución. La fundamentación de este método es una consecuencia directa de una regla bien conocida: la Regla de la Cadena. La esencia de este método, como de otros, es transformar la integral dada en una integral inmediata o mucho más simple de calcular que la integral original.

3.2 Método de sustitución o cambio de variable en el cálculo de integrales

Sea F(u) una primitiva de la función f(u) en el intervalo I y sea u = g(x) una función con derivada continua en el intervalo J tal que g(J) I. Entonces aplicando la Regla de la Cadena se tiene que: Dx F(g(x)) = F ’(g(x)). g’(x) = f(g(x)). g’(x)Supongamos debemos calcular . Entonces se tiene que

= (1)

Puesto que u =g(x) entonces du = g’(x)dx y se tiene que Este resultado es conocido como método de cambio de variable o de sustitución. El objetivo del cambio de variable es reducir la integral a una integral más fácil de calcular.

ObservaciónCon la hipótesis que la función g(x) tenga derivada continua en el intervalo J estamos garantizando que la integral del miembro izquierdo en (1) exista, aunque no es una condición necesaria para ello. Pero esta condición sí garantiza algo necesario: que la función u =g(x) tenga inversa x =g -1(u).

Ejemplo 1



Calcular

Observe que la expresión x2dx es “casi” el diferencial de la función x3 + 1 pues d(x3 + 1) = 3x2dx. Entonces multiplicando y dividiendo por 3 en el integrando y aplicando la propiedad de linealidad tenemos que:

Si ahora hacemos la sustitución u = x3 + 1 tenemos que du = 3x2dx. Luego:

Esta es una integral inmediata. Puesto que:

, entonces

¿Por qué la sustitución realizada es exitosa? Porque se redujo a una integral indefinida mucho más simple de calcular, en este caso una integral inmediata.

Ejemplo 2

Calcular

Si hacemos u = lnx entonces du = (1/x)dx. De ahí

En general se cumple que

Un ejemplo de aplicación de lo anterior es el siguiente:

(u = cosx)

ObservaciónConstate en ambos ejemplos que una vez realizada una sustitución del tipo u = g(x) solo puede aparecer la variable u en el integrando de la integral transformada. Una vez calculada una primitiva de la misma en términos de u, se sustituye ésta por g(x) dando la respuesta en función de la variable original x.

En ocasiones al tratar de calcular la integral es conveniente aplicar una sustitución, pero de otro tipo. Si efectuamos el cambio de variable x = (t) donde es una función continua, con función inversa -1 y con derivada ’ continua, entonces se cumple que: Observe que la función f((t))’(t) que aparece en la integral en el miembro derecho es integrable por las hipótesis que asumimos. Se calcula la integral en función de la variable t y posteriormente usando la función -1 se sustituye la variable t por la variable x.Una de las sustituciones de este tipo, que resulta conveniente en el cálculo de algunas integrales, involucra funciones trigonométricas como veremos en el próximo epígrafe.



3.3 Método de sustitución trigonométrica

Ante todo queremos recordar algunas identidades trigonométricas muy utilizadas en el cálculo de integrales donde aparecen funciones trigonométricas o como las que abordaremos en este epígrafe:

sen2x = 2senxcos, cos2x = cos2x – sen2x,

Supongamos que tenemos en el integrando una expresión del tipo con a > 0. Entonces si hacemos la sustitución x = asent obtenemos que:

Observe que los valores que puede tomar t deben estar en el conjunto imagen o contradominio de la función inversa, en este caso de la función arcsenx. De esta manera hemos eliminado el radical.

¿Es la única sustitución posible? No, podríamos haber seleccionado la sustitución x = acost . En este caso 0 t

Veamos un ejemplo de este tipo de sustitución.

Ejemplo 3

Calcular

Si hacemos la sustitución x = 2sent (en este caso a = 2) obtenemos que: x2 = 4sen2t y dx = 2costdtEntonces:

Para expresar el resultado en función de la variable original utilicemos un método geométrico. Supongamos primero que 0 < t < /2Podemos interpretar el ángulo t como uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo con cateto opuesto de longitud x, hipotenusa de longitud 2, y por Pitágoras la longitud del otro cateto sería (Fig. 1)

Puesto que sen2t = 2sentcost, entonces sen2t =


tx2


Por tanto:

Puede demostrarse fácilmente que el análisis realizado es válido si -/2 < t < 0.En el texto en la Sección 9.3 aparecen otras sustituciones de este tipo que le recomendamos estudie con detenimiento.

3.4 Sustituciones diversas

Existen otros tipos de sustituciones que pueden utilizarse en el cálculo de una integral, pudiendo agruparse de acuerdo a las características de la función integrando. Presentaremos a continuación otros dos ejemplos con características diferentes a las abordadas hasta el momento y le proponemos en relación a otros tipos de sustituciones que estudie la Sección 9.2 del texto (Pág. 467 – 470) donde se abordan integrales con funciones trigonométricas y las Secciones 9.5, 9.6 (Pág. 483 – 490).

Ejemplo 4

Calcular

La función polinomial f(x) = x2 –4x +8 no puede descomponerse en el producto de dos factores del tipo (x - a) (x - b) con a y b reales, por cuanto f(x) = 0 no tiene raíces reales. Las integrales donde aparecen fracciones racionales de este tipo siendo el numerador una constante y el denominador un polinomio irreducible las encontrará (y necesitará saber calcularlas), al abordar un numeroso grupo de integrales cuyo integrando es una función racional más general, como veremos en la próxima actividad.

Veamos cómo proceder en este caso. Hagamos primero un completamiento cuadrático de la siguiente manera:x2 –4x +8 = (x2 –4x ) + 8 = (x2 –2(x)(2) ) + 8 = (x2 –2(x)(2) + (2)2) + 8 –(2)2

= (x – 2)2 + 4Hagamos ahora la sustitución u = x – 2. Puesto que du = dx tenemos que:

La integral obtenida podemos considerarla inmediata, pues si una antiderivada de

es arctanu entonces una antiderivada de es (compruébelo).

De donde:

Ejemplo 5



Calcular

En los casos donde aparecen en el integrando expresiones de la forma pudiera

ser recomendable una sustitución del tipo ó u =f(x).

En el ejemplo, donde aparecen dos expresiones de la forma mencionada, pero con diferentes valores de n, la sustitución se hace utilizando como valor de n el mínimo común múltiplo de ambos, con el objetivo de eliminar el radical.

Puesto que el mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, entonces planteamos la sustitución

Entonces

Observe que al realizar la sustitución se obtuvo una fracción racional impropia. Efectuando la división se obtuvo un polinomio y una fracción racional propia, ambos muy fáciles de integrar pues la integral de la fracción racional propia obtenida también es inmediata.

Estudio Independiente Estudie la clase leyendo además cuidadosamente la bibliografía orientada. Preste atención a los ejercicios y problemas resueltos.Resuelva para la actividad presencial los ejercicios:1. Del Ejercicio 5.5 de la Pág. 266: 3, 5, 72. Del Ejercicio 9.2 de la Pág. 470: 23. Del Ejercicio 9.3 de la Pág. 476: 3, 4, 11, 13, 194. Del Ejercicio 9.5 de la Pág. 486: 4, 95. Del Ejercicio 9.6 de la Pág. 489: 5, 8



Calculo II Actividad presencial # 4 Método de integración por sustitución

Objetivos:1. Caracterizar el método de sustitución2. Aplicar diversas sustituciones al cálculo de integrales

Desarrollo

Comenzar la actividad haciendo un resumen de los principales tipos de sustituciones abordadas en la Actividad no presencial # 15

1. Calcular las siguientes integrales:

a. b.

Respuesta

a. Busquemos primero una antiderivada de

Haciendo el cambio de variable u = arcsenx se tiene que . Luego

De ahí que una antiderivada de f(x) sea arcsen2x/2.Aplicando el 2do. Teorema Fundamental del Cálculo:

Observación: Pudo hacerse el cambio de variable en los límites de integración en función de u.

b. Haciendo el cambio de variable u = cosx se tiene que du = -senxdx. Luego:

Aplicando el 2do. Teorema Fundamental del Cálculo:

2. Calcular: a. b.

Respuesta

a. Haciendo el cambio de variable u = lnx se tiene que du =(1/x)dx. Entonces:



b. Haciendo el cambio de variable u = x3 se tiene que du =3x2dx. Entonces:

3.

RespuestaHaciendo x = 3tant dx = 3sec2tdt Entonces:

Aplicando el triángulo trigonométrico:

4. Calcular

Respuesta

Haciendo el cambio de variable u = tenemos que x = u2, dx = 2u Para x = 4 se tiene que u = 2. Para x = 9 entonces u = 3. Luego:

= 2[(3-2)-4(ln|u+4|) ] = 2 [1 – 4(ln7 – ln6)] = 2 + 8ln(6/7)


tx

3


Calculo II Actividad presencial # 5 Método de integración por partes e integración de fracciones racionales

Sumario: Secciones 5.1 Introducción -5.2 Método de integración por partes Sección 9.15.3 Integración de fracciones racionales Sección 9.4

Bibliografía:Texto: Análisis Matemático B. Demidovich Tomo II, Capítulo 9 Sección 9.1 Pág. 460 – 467; Sección 9.4 Pág. 476 – 483

Objetivos:1. Caracterizar el método de integración por partes.2. Calcular integrales aplicando este método3. Caracterizar el método de integración mediante descomposición en fracciones parciales o simples.4. Calcular integrales aplicando este método.

5.1 IntroducciónSupongamos que necesitamos calcular integrales como las siguientes:

Estas integrales no son inmediatas, y los métodos vistos hasta ahora para el cálculo de integrales no nos permiten hallar las antiderivadas de estas funciones. En ambos ejemplos el integrando está compuesto por el producto de dos funciones y no existe propiedad alguna que relacione la integral con las integrales

El método de integración por partes nos permitirá calcular integrales como las planteadas.

Concluiremos con un método para calcular integrales donde el integrando es un tipo particular de función: una función racional. Aplicaremos dicho método al cálculo de la

integral

5.2 Método de integración por partes

Teorema 1Sean f’(x) y g(x) funciones con derivada continua. Entonces:

Demostración Por la regla de la derivación del producto: Integrando ambos miembros

(1)

Puesto que , despejando en (1) se obtiene:



Quedando así demostrado el teorema.

Se acostumbra designar a f(x) por u y a g(x)dx por dv; es decir:

Luego la fórmula queda como sigue:

¿Cuándo es recomendable utilizar este método?

Cuando al intentar calcular la integral vemos que la expresión h(x)dx puede escribirse como el producto de dos factores u y dv, de modo que a través del proceso inverso sea sencillo hallar du y v y a su vez la integral sea inmediata o más

simple de calcular que la original, o sea, que .

Observación:Este teorema tiene su análogo en el caso de una integral definida, que podemos expresar como sigue:

Teorema 1’Sean f(x) y g(x) dos funciones con derivadas f ’(x) y g’(x) integrables en el intervalo [a, b]. Entonces:

Ejemplo 1

Calcular

Seleccionando u = x y dv = senxdx entonces se tiene que du = dx y Luego:

En la práctica en el cálculo de v lo que se selecciona es una antiderivada (la más simple, o sea, siendo , se selecciona aquella donde C = 0). Compruebe que

si hubiéramos planteado y hubiéramos trabajado con esta expresión, al final obteníamos el mismo resultado.

Veamos qué sucede si hacemos la otra selección.Si ahora consideramos u =sen x y dv = xdx entonces se tiene que

du = cosxdx y



Luego:

Observe que la integral: es más compleja que la inicial ( ).

Ejemplo 2

Calcular

Teniendo en cuenta que ya calculamos la integral indefinida y aplicando el Teorema 1’ tenemos que:

Ejemplo 3Calcular Seleccionando u = lnx y dv = xdx entonces se tiene que du = dx/x y Luego:

Observaciones:

1. Si la función integrando la constituye el producto de dos funciones, donde una de ellas es xn y la otra función es: senx, cos x o sec2 x; en general se hace u = xn. Pero si la otra función es cualquiera de las funciones: ln x, arctan x o arcsen x, entonces se toma dv = xndx.

2. En ocasiones es necesario aplicar reiteradamente el método de integración por partes. Suele ocurrir en integrales del tipo

, donde p(x) es un polinomio. En estos casos es conveniente seleccionar siempre u = p(x). Le proponemos calcule la integral

3. En otros casos el método permite, aplicado más de una vez, encontrar una ecuación que satisface la integral buscada. Dos casos de este tipo son e

que le proponemos trate de calcular.5.3 Integración de fracciones racionalesYa conoce que:1. Una función racional es el cociente de dos funciones polinomiales, o sea, toda función de la forma h(x) = f(x) / g(x), siendo f(x) y g(x) dos funciones polinomiales.

2. Una función racional es propia si el grado de f(x) es estrictamente menor que el grado de g(x). En caso contrario diremos que es impropia.



Una función racional h(x) = f(x) / g(x) es irreducible si los polinomios f(x) y g(x) no tienen ceros comunes. Nos interesará solo aquellos casos donde la función racional es irreducible, ya que en caso contrario, antes de integrar, los factores comunes en la descomposición en factores de f(x) y g(x) se simplifican.

Puede demostrarse que toda función racional propia se puede expresar de forma única como una suma de expresiones racionales cuyos denominadores son polinomios de grado menor o igual a dos; es decir:

donde cada término Fk es de la forma:

siendo A, B, p, q, a, b, c R , m, n N con b2 – 4ac < 0, es decir, ax2 + bx + c no se puede expresar como un producto de dos factores (x - ) (x - ) siendo y números reales.

La suma: es la descomposición en fracciones simples de .

A cada Fk se le llama fracción parcial.

El método que abordaremos para calcular integrales donde el integrando es una función racional se basa en descomponer la función racional (en caso de ser impropia) como una suma de una función polinomial y una función racional propia la cual se expresa como una suma de fracciones parciales de las descritas anteriormente. Entonces se reduce a integrar una función polinomial (muy simple) y las fracciones parciales que son relativamente sencillas de calcular. Los pasos a seguir para el cálculo de este tipo de integrales son los siguientes:

1. Determinar si la fracción racional es propia o impropia.2. Si es impropia reducirla a la suma de un polinomio más una fracción propia.3. Expresar la fracción propia como una suma de fracciones simples o parciales.4. Hallar los coeficientes de las fracciones simples obtenidas.5. Calcular las integrales.

¿Cómo abordar el paso 3? ¿Cómo se expresa una fracción propia como una suma de fracciones simples o parciales?

Sea q(x) el denominador de la fracción propia obtenida en el paso 2, el cual puede expresarse en el producto de factores irreducibles q(x) = (p1x + q1)m1... (pkx + qk)mk. (a1x2 + b1x + c1)n1... (asx2 + bsx + cs)ns

Puede demostrarse que:1. Cada factor del tipo (pix + qi)mi (con mi 1) en q(x) aporta mi sumandos a la

suma de fracciones simples:

siendo A1, ...,Ami números reales.



2. Cada factor del tipo (aix2 + bix + ci)ni (con ni 1) en q(x) aporta ni sumandos a la suma de fracciones simples:

siendo los Bi, Ci números

reales

Ejemplo 4

Descomponga en fracciones simples de las descritas anteriormente la función racional propia:

Puesto que x6 + 8x4 + 16x2 = x2(x2 + 4)2 tenemos que el factor x2 (del tipo 1 en la clasificación anterior) aporta dos sumandos, ambos con una constante en el numerador. El factor (x2 + 4)2 (del tipo 2 en la clasificación anterior) aporta dos sumandos, ambos con una función lineal en el numerador.Tenemos entonces que:

Si quisiéramos calcular la integral correspondiente, entonces en el paso 4 del método habría que calcular los coeficientes A, B, C, D, E y F.

Ejemplo 5

Apliquemos el método en el cálculo de la integral

La función integrando es una fracción la cual no es propia, por lo que hay efectuar la división entre los polinomios del numerador y del denominador para expresarla como una suma de fracciones parciales. De la división se obtiene:

Puesto que

Apliquemos el método de los coeficientes indeterminados estudiado en la Matemática Básica para determinar los coeficientes A, B y C.

x2 + x – 1 = A(x2 +1) + (Bx + C)(x – 2)Efectuando la multiplicación y agrupando términos semejantes obtenemos:x2 + x – 1 = (A + B) x2 + (-2B + C) x + (A – 2C)De donde se obtiene el sistema de ecuaciones lineales no homogéneo: A + B = 1 -2B + C = 1



A – 2C = – 1

Cuya solución es A = 1, B = 0, C = 1 (compruébelo). Entonces:

=

Método de integración por partes e integración de fracciones racionales

Calcule las integrales siguientes:

1.

2.

3.

4.



6. Calcular

La fracción del integrando es propia luego se puede expresar como una suma de fracciones parciales.

Para calcular los coeficientes A, B y C.

Multiplicando y agrupando convenientemente obtenemos el sistema de ecuaciones lineales: A + C = 2-4A + B + 2C = -25 cuya solución es A = 5, B = 1, C = -3-5A -5B + C = -33

7. Calcular

Puesto que: x3 + 3x – x2 – 3 = (x – 1)( x2 + 3) se tiene que:



.

Estudio IndependienteLea cuidadosamente la bibliografía orientada, prestando atención a los ejercicios y problemas resueltos.

Resuelva los ejercicios:Del Ejercicio 9.1 de la Pág. 465: 1 al 8, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 19.Del Ejercicio 9.4 de la Pág. 482: 1 al 7 , 9, 18.


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