UNIVERSIDADE PARANAENSE

MANTENEDORA Associao Paranaense de Ensino e Cultura APEC

REITOR

Carlos Eduardo Garcia

Vice-Reitora Executiva Neiva Pavan Machado Garcia

Vice-Reitor Chanceler Candido Garcia

Diretorias Executivas de Gesto Administrativa

Diretorias Executivas de Gesto Acadmica

Diretor Executivo de Gesto dos Assuntos Comunitrios Cssio Eugnio Garcia

Diretora Executiva de Gesto da Cultura e da Divulgao Institucional Cludia Elaine Garcia Custdio

Diretora Executiva de Gesto e Auditoria de Bens Materiais Permanentes e de Consumo Rosilamar de Paula Garcia

Diretor Executivo de Gesto dos Recursos Financeiros Rui de Souza Martins

Diretora Executiva de Gesto do Planejamento Acadmico Snia Regina da Costa Oliveira

Diretor Executivo de Gesto das Relaes Trabalhistas Jnio Tramontin Paganini

Diretor Executivo de Gesto dos Assuntos Jurdicos Lino Massayuki Ito

Diretora Executiva de Gesto do Ensino Superior Maria Regina Celi de Oliveira

Diretor Executivo de Gesto da Pesquisa e da Ps-Graduao Evellyn Cludia Wietzikoski

Diretor Executivo de Gesto da Extenso Universitria Adriano Augusto Martins

Diretor Executivo de Gesto da Dinmica Universitria Jos de Oliveira Filho

Diretorias dos Institutos Superiores das Cincias Diretora do Instituto Superior de Cincias Exatas, Agrrias, Tecnolgicas e Geocincias Giani Andra Linde Colauto

Diretora do Ncleo dos Institutos Superiores de Cincias Humanas, Lingustica, Letras e Artes, Cincias Sociais Aplicadas e Educao Fernanda Garcia Velsquez

Diretora do Instituto Superior de Cincias Biolgicas, Mdicas e da Sade Irinia Paulina Baretta

Diretorias das Unidades Universitrias Diretor da Unidade de Umuarama Sede Nlvio Ourives dos Santos

Diretor da Unidade de Toledo Roberto Ferreira Niero

Diretora da Unidade de Guara Sandra Regina de Souza Takahashi

Diretora da Unidade de Paranava Edwirge Vieira Franco

Diretor da Unidade de Cianorte Jos Aparecido de Souza

Diretor da Unidade de Cascavel Gelson Luiz Uecker

Diretor da Unidade de Francisco Beltro Claudemir Jos de Souza

SEMEAD SECRETARIA ESPECIAL MULTICAMPI DE EDUCAO

A DISTNCIA

Secretrio Executivo Carlos Eduardo Garcia

Coordenao Geral de EAD Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato

Coordenador do Ncleo de Cursos Superiores nas reas de Educao, Lingustica, Letras e Artes e Cincias Humanas

Heiji Tanaka

Coordenador do Ncleo de Cursos Superiores da rea de Cincias Sociais Aplicadas

Evandro Mendes Aguiar

Ficha catalogrfica elaborada pela Biblioteca da UNIPAR Reviso de Normas Bibliogrficas Ins Gemelli Diagramao e Capa Sandro Luciano Pavan * Material de uso exclusivo da Universidade Paranaense UNIPAR com todos os direitos da edio a ela reservados.

CLCULOS FINANCEIROS

Apresentao ....................................................................................................................... 7

Introduo............................................................................................................................11

UNIDADE I: MATEMTICA ELEMENTAR ................................................... 13

Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 13

Operaes Matemticas e Ordem de Resoluo .................................................. 14

Operaes com Sinais .................................................................................................... 16

Operaes de Soma e Subtrao ................................................................................ 18

Multiplicao de Fraes ............................................................................................... 20

Diviso de Fraes ........................................................................................................... 20

Outra Particularidade de Fraes ............................................................................. 21

Razo e Proporo ........................................................................................................... 21

Regra de Trs Simples e Composta ........................................................................... 25

Potenciao ......................................................................................................................... 32

Potncia com Expoente Negativo .............................................................................. 35

Radiciao ............................................................................................................................ 35

Atividades ............................................................................................................................ 40

UNIDADE II: MATEMTICA ELEMENTAR, FLUXO DE CAIXA E JUROS SIMPLES ............................................................................................................ 43

Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 43

Porcentagem ....................................................................................................................... 47

Fator de Aumento Sucessivo ....................................................................................... 49

Fator de Desconto Sucessivo ....................................................................................... 51

Aumento e Desconto Sucessivo .................................................................................. 51

Uso da Hp12c ..................................................................................................................... 52

Iniciando Seu Uso ............................................................................................................. 53

Tabela de Erros da Hp12c............................................................................................. 54

Clculos Aritmticos ....................................................................................................... 54

Armazenamento e Recuperao de Memria Numrica ................................. 55

Funes de Percentagem .............................................................................................. 56

Funes Matemticas ..................................................................................................... 57

Funes de Calendrio ................................................................................................... 59

Fluxo de Caixa .................................................................................................................... 60

Diagrama de Fluxo de Caixa ......................................................................................... 61

Juros Simples ...................................................................................................................... 63

Capitalizao Simples ..................................................................................................... 64

Equivalncia de Taxas de Juros Simples ................................................................. 65

Clculo do Montante e Capital .................................................................................... 67

Calculando Juros Simples na Hp12c ......................................................................... 69

Desconto Simples ............................................................................................................. 71

Desconto Simples para Srie de Ttulos de Mesmo Valor ............................... 74

Atividades ............................................................................................................................ 76

UNIDADE III: JUROS COMPOSTOS E O SISTEMA HAMBURGUS DE CLCULO ................................................................................................................... 79

Objetivos da Unidade ...................................................................................................... 79

Clculo do Montante e Capital dos Juros Compostos ........................................ 81

Equivalncia de Taxas Compostas ............................................................................ 85

Juros Compostos na Hp12c .......................................................................................... 87

Equivalncia de Taxas Compostas na Hp12c ....................................................... 90

Programao da Hp12c para Converso de Taxa de Juros Compostos ..... 90

Desconto Composto ......................................................................................................... 93

Sistema Hamburgus de Clculo ................................................................................ 96

Atividades ......................................................................................................................... 100

UNIDADE IV: SRIES UNIFORMES E SISTEMAS DE AMORTIZAO .......................................................................................................... 103

Objetivos da Unidade ................................................................................................... 103

Fator de Acumulo de Capital (FAC) ....................................................................... 105

Fator de Formao de Capital (FFC) ..................................................................... 109

Fator de Valor Atual (FVA) ........................................................................................ 111

Fator de Recuperao de Capital (FRC) ............................................................... 114

Sistema de Amortizao Francs ............................................................................ 117

Sistema de Amortizao Constante (SAC) .......................................................... 127

Valor Presente Lquido (VPL) .................................................................................. 131

Taxa Interna de Retorno (TIR) ................................................................................ 135

Atividades ......................................................................................................................... 139

Respostas das Atividades ........................................................................................... 141

Referncias ....................................................................................................................... 145

Apresentao

Diante dos novos desafios trazidos pelo mundo contemporneo e o surgimento de

um novo paradigma educacional frente s Tecnologias de Informao e

Comunicao disponveis que favorecem a construo do conhecimento, a revoluo

educacional est entre os mais pungentes, levando as universidades a assumirem a

sua misso como instituio formadora, com competncia e comprometimento,

optando por uma gesto mais aberta e flexvel, democratizando o conhecimento

cientfico e tecnolgico, atravs da Educao a Distncia.

Sendo assim, a Universidade Paranaense - UNIPAR - atenta a este novo cenrio

e buscando formar profissionais cada vez mais preparados, autnomos, criativos,

responsveis, crticos e comprometidos com a formao de uma sociedade mais

democrtica, vem oferecer-lhe o Ensino a Distncia, como uma opo dinmica e

acessvel estimulando o processo de autoaprendizagem.

Como parte deste processo e dos recursos didtico-pedaggicos do programa da

Educao a Distncia oferecida por esta universidade, este Guia Didtico tem

como objetivo oferecer a voc, acadmico(a), meios para que, atravs do

autoestudo, possa construir o conhecimento e, ao mesmo tempo, refletir sobre a

importncia dele em sua formao profissional.

Seja bem-vindo(a) ao Programa de Educao a Distncia da UNIPAR.

Carlos Eduardo Garcia

Reitor

Seja bem-vindo caro(a) acadmico(a),

Os cursos e/ou programas da UNIPAR, ofertados na modalidade de educao a

distncia, so compostos de atividades de autoestudo, atividades de tutoria e

atividades presenciais obrigatrias, os quais individualmente e no conjunto so

planejados e organizados de forma a garantir a interatividade e o alcance dos

objetivos pedaggicos estabelecidos em seus respectivos projetos.

As atividades de autoestudo, de carter individual, compreendem o cumprimento

das atividades propostas pelo professor e pelo tutor mediador, a partir de mtodos

e prticas de ensino-aprendizagem que incorporem a mediao de recursos

didticos organizados em diferentes suportes de informao e comunicao.

As atividades de tutoria, tambm de carter individual, compreendem atividades

de comunicao pessoal entre voc e o tutor mediador, que est apto a:

esclarecer as dvidas que, no decorrer deste estudo, venham a surgir; trocar

informaes sobre assuntos concernentes disciplina; auxili-lo na execuo das

atividades propostas no material didtico, conforme calendrio estabelecido,

enfim, acompanh-lo e orient-lo no que for necessrio.

As atividades presenciais, de mbito coletivo para toda a turma, destinam-se

obrigatoriamente realizao das avaliaes oficiais e outras atividades,

conforme dispuser o plano de ensino da disciplina.

Neste contexto, este Guia Didtico foi produzido a partir do esforo coletivo de

uma equipe de profissionais multidisciplinares totalmente integrados que se

preocupa com a construo do seu conhecimento, independente da distncia

geogrfica que voc se encontra.

O Programa de Educao a Distncia adotado pela UNIPAR prioriza a interatividade,

e respeita a sua autonomia, assegurando que o conhecimento ora disponibilizado

seja construdo e apropriado de forma que, progressivamente, novos

comportamentos, novas atitudes e novos valores sejam desenvolvidos por voc.

A interatividade ser vivenciada principalmente no ambiente virtual de aprendizagem

AVA, nele sero disponibilizados os materiais de autoestudo e as atividades de

tutoria que possibilitaro o desenvolvimento de competncias necessrias para que

voc se aproprie do conhecimento.

Recomendo que durante a realizao de seu curso, voc explore os textos

sugeridos e as indicaes de leituras, resolva s atividades propostas e participe

dos fruns de discusso, considerando que estas atividades so fundamentais

para o sucesso da sua aprendizagem.

Bons estudos!

e-@braos.

Ana Cristina de Oliveira Cirino Codato

Coordenadora Geral da EAD

Caro(a) acadmico(a),

Este Guia Didtico composto de informaes e exerccios de anlise,

interpretao e compreenso dos contedos programticos da disciplina de

Clculos Financeiros do Curso de Graduao em que voc se encontra

matriculado.

O Guia Didtico foi elaborado por um Professor Conteudista, embasado no plano

de ensino da disciplina, conforme os critrios estabelecidos no Projeto

Pedaggico do Curso. Abaixo, apresentamos, resumidamente, o currculo do

Professor Conteudista responsvel pela elaborao deste material:

Disciplina: Clculos Financeiros

Autor: Evandro Mendes de Aguiar

Ps-graduado em Gesto Estratgica de Negcios, pela Universidade Anhanguera-

UNIDERP (2012); graduado em Tecnologia em Gesto Comercial e Rep.

Comerciais, pela Universidade Paranaense (2007); graduado em Cincia da

Computao, pela Universidade Paranaense (2000). Coordenador do Ncleo EAD

de Cursos de Cincias Sociais Aplicadas da Unipar; Professor de Clculos

Financeiros na Universidade Paranaense, nos cursos de Administrao

(Bacharelado Presencial), Administrao (Bacharelado EAD), Gesto Comercial

(Presencial), Gesto Comercial (EAD) e Gesto Financeira (EAD); scio consultor da

ATTA Consultores Associados Ltda; consultor credenciado SEBRAE-PR em

Marketing e Vendas.

Alm do professor conteudista, existe uma equipe de professores e tutores

mediadores devidamente preparados para acompanh-lo e auxili-lo, de forma

colaborativa, na construo de seu conhecimento.

Bons momentos de estudos!

e-@braos.

Evandro Mendes Aguiar

Coordenador do Ncleo de Cursos Superiores da rea de

Cincias Sociais Aplicadas

INTRODUO

Caro aluno, ol, seja bem vindo disciplina de Clculos Financeiros.

O presente material foi criado com o objetivo de conduzir e auxili-lo nos estudos

na rea de Clculos Financeiros, alguns chamam esta disciplina tambm de

No se prenda apenas ao estudo deste material, como todo contedo de

matemtica, voc deve exercitar muito, como faz-lo? Simples, resolvendo o

maior nmero de exerccios que puder, pois, clculos necessitam de prtica.

Vale lembrar que a ao de resolver exerccios, para muitos, feita de maneira

!

Os exerccios devem sempre ser resolvidos apurando seus conhecimentos,

imprescindvel saber at onde chega seus conhecimentos e habilidades, pois

desta forma poder focar melhor nas dificuldades e obter melhores resultados.

Muitos insistem em dizer que matemtica coisa de outro planeta, mas garanto,

no ! Seu sucesso depende de sua dedicao em estudar, pesquisar e resolver

os exerccios. Seguindo essas dicas, voc no s aprender melhor, como

tambm desmistificar todo o suspense e chegar a concluso que no fundo no

h segredos, apenas sua dedicao.

Ento venha logo, vamos aprender um pouco sobre o mundo dos nmeros!

OBJETIVOS DA UNIDADE

Caro aluno, esta etapa ajudar voc a recordar alguns assuntos da matemtica bsica

ou elementar, desta forma iremos relembrar operaes j vistas no passado, no crie

barreiras matemtica, poder ser mais fcil do que imagina. Tudo gira a favor do

exerccio, muito treino, que o levar a compreender questes e raciocnios lgicos.

Nessa unidade em especial voc ver:

Operaes matemticas;

A to famosa razo e proporo, abrangendo regra de trs;

Potenciao e suas propriedades;

Radiciao e suas propriedades;

Equaes Exponenciais.

Ao trmino desta Unidade, os estudos, atividades e exerccios o capacitaro a

resolver questes j estudadas no passado. As operaes matemticas sero

explanadas apenas para reforo do assunto, o estudo da razo e proporo servem

para noes de proporo, muito til no s em clculos financeiros, mas tambm

em outras disciplinas que ver ao longo de seus estudos.

J potenciao, radiciao e as equaes exponenciais, so teis para o

entendimento e resoluo de questes de clculo financeiro que envolvam o estudo

dos juros compostos.

DICA!

Se tiver a oportunidade de adquirir uma calculadora financeira, a

HP12c, faa, pois de grande valia para seus estudos, e quanto

mais cedo aprender a trabalhar com sua metodologia, melhor ser a

absoro da lgica de trabalho, caso no possa ou no tenha o

interesse em compr-la, voc pode usar os chamados emuladores,

disponveis para smartphones e computadores.

Mas devo avisar, no so todos 100%, por isso, use apenas os indicados no

material, so muitos os oferecidos sem qualquer custo. Porm, no h confiabilidade

nos resultados, e na dvida, pergunte! Voc poder encontrar um emulador on-line

para computador no endereo: http://www.epx.com.br/ctb/hp12c.php.

OPERAES MATEMTICAS E ORDEM DE RESOLUO

Lembrar das operaes matemticas realmente muito simples, relembrando

aquelas pequenas contas que fazamos na escola, lembrou-se? So elas:

Soma;

Subtrao;

Diviso; e

Multiplicao.

Com essas quatro operaes, podemos criar as expresses numricas, ou at

mesmo simples operaes combinando-as. Desta forma eu pergunto, qual o

resultado de: 2 + 2 3? Pense antes de olhar qualquer resposta.

A experincia de sala de aula que tenho me diz que muitos iro responder 12, uns

poucos, acredito, que se estivssemos numa sala, diria 8. Ento pergunto: 12 ou

8? Consegue justificar sua resposta?

O que muitos acabam se esquecendo e cometendo o erro de responder 12, est no

fato que no colocaram em prtica o conceito de ordem das operaes, isso mesmo

se esquecem disso, e se voc se

esqueceu tudo bem, venha, vou te ajudar a resgatar essas regras.

Bom, se respondeu 8, comeou bem, parabns, ento vamos justificar a resposta: as

operaes demandam uma ordem para serem resolvidas, nesse caso, a expresso

proposta composta com duas operaes diferentes, a soma e a multiplicao. Na

matemtica aprendemos que as expresses numricas devem ser resolvidas da

esquerda para a direita.

Porm, no exemplo, a multiplicao tem prioridade sobre a soma, logo devemos

primeiro multiplicar para depois somar. Mas por que? Simples, digamos que a

multiplicao e a diviso possui prioridade 1, a soma e a subtrao por sua vez,

possui prioridade 2. Desta forma, voc obrigatoriamente resolver multiplicao e

depois a soma.

Ento se pergunta: por que estou vendo algo to simples, acredite, muitos erram isso!

timo e se tivermos as operaes concorrentes iguais numa expresso numrica?

Por exemplo: 4 2 3. Essas possuem a mesma prioridade, tente visualizar uma

escada, a soma e a subtrao esto no mesmo degrau, j a multiplicao e diviso

num mesmo, mas acima. J que ambas esto no mesmo degrau de escada nesse

novo exemplo, deve-se resolver com o mtodo de leitura e soluo da esquerda

para direita, obtendo assim como resposta: 6.

numricas, e so usados para dar prioridade ou preferncia para alguma operao.

Quando encontrados esses smbolos, a ordem de soluo 1: parnteses, 2: o

colchete e em 3 e ltimo lugar, as chaves. Podendo tambm ocorrer o

aparecimento apenas dos parnteses, desta forma, voc deve observar o

parnteses mais interno, e ento, resolver a ex

mais interno for o parnteses, maior ser sua prioridade para soluo.

Desta forma, se aplicarmos o uso do parnteses no nosso primeiro exemplo, o 2 + 2

3, acrescentando o parnteses para a soma, ficando ento (2 + 2) 3, agora sim

poder responder que o resultado 12, resolvendo o que h dentro do parnteses

para em seguida multiplicar.

DICA!

Para agilizar a resoluo de expresses, procure sempre eliminar

o que h dentro dos parnteses, depois de resolver essa etapa

que voc ir se preocupar com o que est fora.

OPERAES COM SINAIS

As operaes com sinais, podemos dizer que so aquelas que os nmeros possuem

a indicao de nmeros positivos (+), este que normalmente no apresenta o sinal, e

os nmeros negativos (-), representados com o sinal de menos antecedendo o

algarismo.

Ao realizar a soluo de problemas matemticos envolvendo sinais de conotao

posi

Para os casos de operaes de soma ou subtrao voc utilizar a seguinte regra:

(+) (+) = voc ir somar (+);

(+) (-) = voc ir subtrair (-);

(-) (+) = voc ir subtrair (-); e

(-) (-) = voc ir somar (+), mas o resultado negativo!

Para no esquecer mais esse jogo de sinais, vou dar um exemplo bastante

corriqueiro nos dias atuais, veja, suponhamos que voc tenha uma conta bancria

com R$ 1.000,00 de saldo positivo, tambm chamado de saldo credor, se voc

depositar R$ 200,00, como ficar seu saldo no banco? Muito simples como temos

dois valores positivos, seu saldo ser de R$ 1.200,00.

Agora, para exemplificar com operaes com sinais negativos, imagina esse mesma

conta corrente bancria com o saldo de R$ 1.000,00 positivos, saldo credor, voc

ento realiza um saque no caixa da agncia bancria no valor de R$ 800,00, veja

bem, voc est sacando dinheiro, portanto uma operao que ir subtrair, desta

forma R$ 1.000,00 R$ 800,00 = R$ 200,00.

Legal, mas imagine agora, realizando um segundo saque, no valor de R$ 300,00,

como ficar seu saldo bancrio? Claro, devedor, isso mesmo, voc est com saldo

negativo de R$ 100,00, que pode ser representado da seguinte forma: R$ 100,00.

Mas vou mais longe agora, caso voc efetue um terceiro saque no valor de R$

400,00, se representarmos matematicamente essa operao temos: 100,00

400,00, isso significa que ( ) com ( ), somamos! Ento o saldo final ser de R$

500,00. Viu como o saldo devedor aumentou, perfeito, foi somado o saldo devedor

anterior ao novo saque realizado.

Bom, espero ter deixado claro essas operaes, se persistirem as dvidas, fale com

o tutor, no deixe dvidas para adiante, dvidas so como bolas de neve no alto da

montanha, se no a resolvermos no incio, medida que desce, aumenta de

tamanho se tornando mais difcil de ser solucionado!

timo, voc relembrou as operaes com sinais para soma e subtrao, mas

tambm temos para a multiplicao e diviso, no diferente, mas vale rever os

procedimentos:

(+) (+) = +

(+) ( ) =

( ) (+) =

( ) ( ) = +

No esquea que na diviso sero os mesmos resultados, quando realizar uma

diviso entre nmeros com sinais diferentes, enxergue a diviso de sinais como se

fosse uma multiplicao.

OPERAES COM FRAES

O prximo passo uma nfase nas fraes, lembra-se delas?

so os nmeros fracionrios que conhecemos, uma maneira simples de

compreender a frao usar o exemplo da pizza ou um bolo se preferir, ao

cortarmos a exatamente no meio, pode-se assim dizer que cada parte corresponde a

, cortando em quatro partes, cada parte desta ento chamada de .

De modo simples, posso dizer que uma frao, de modo genrico, pode ser

representada como , onde o nosso numerador e corresponde ao

denominador.

IMPORTANTE!

No esquea que numa frao, temos uma diviso, e no existe

diviso por 0 (zero), logo em nossa frao ,

(diferente) de 0 (zero).

Operaes de soma e subtrao

Para as operaes de soma ou subtrao utilizando fraes voc sempre dever

usar o MMC (Mnimo Mltiplo Comum), isto mesmo o velho MMC, caso no se

recorde, no se preocupe, irei recapitular esse assunto. Para tal, vamos a um

exemplo prtico, vamos fazer a seguinte operao:

Para iniciarmos o processo de resoluo, nosso 1 passo o MMC com todos os

denominadores das fraes, logo temos:

2, 3, 3, 4

1, 3, 3, 2

1, 3, 3, 1

1, 1, 1, 1

2

2

3

= 2 2 3

= 12

Veja que sempre usar o menor divisor primeiro, no nosso caso, o menor divisor

comum para o MMC foi o 2, desta forma dividimos apenas aqueles que so mltiplos

de 2, na linha seguinte perceba que foi necessrio a utilizao do 2, afim de

transformarmos todos os mltiplos de 2 por meio de diviso at que o resultado seja

finalizar multiplicamos a sequncia de mltiplos utilizados (lado direto), portanto 2

2 3 = 12, conclui-se que o MMC 12, agora vamos ao nosso prximo passo:

Voc deve estar se perguntando como fiz isso, vou explicar, o 12 que acabamos de

encontrar no MMC deve ser

ou seja, temos: 12 2, 12 3, 12 4 e 12 3 novamente, os resultados dessa diviso

deve ento ser multiplicado pelo numerador da frao, respectivamente temos: 6 1, 4

1, 3 1 e 4 2. Como resposta obtm-se: 6, 1, 3 e 8.

O que deve ser observado agora a utilizao dos sinais originais da expresso,

so eles o (+) e o ( ).

No ltimo passo resolva a expresso localizada apenas no numerador:

IMPORTANTE!

Os denominadores sempre maiores que 10 utiliza-se a palavra

POR QUE SE USA A TERMINAO "AVOS" NAS FRAES?

Utiliza-se "avos" quando o denominador de uma frao maior do que

dez - como 1/12 (que se l "um doze avos"). O termo tem origem em

octavus (em latim, "oitavo"), que passou a ser escrito oit'avos (a sim para

representar uma frao). Desde ento, a terminao "avos" passou a ter o uso atual. Essa

variao entre palavras, com perda de letras e eventual mudana de sentido, chamada de

falsa segmentao - como ocorreu entre descendere (em latim, que significava descer) para

scendere (em italiano, com o mesmo significado).

Fonte: Revista Nova Escola (2012)

Multiplicao de fraes

O caso de temos multiplicaes entre fraes para ser solucionado, bem mais

Isso mesmo, realizei a multiplicao direta, 1 7 e 5 3, por sua vez totalizando 7

sobre 15 avos.

Diviso de fraes

Na diviso de fraes, existem mtodos diferentes usados pelas pessoas,

particularmente eu utilizo o seguinte: conservo o primeiro e inverto o segundo

transformando numa multiplicao. Vejamos como isso acontece:

Veja que temos ento dois teros divididos por trs quintos, a primeira frao foi

conservada, invertendo a segunda frao, os trs quintos viraram cinco teros, desta

forma, sendo ento realizada a simples multiplicao, resultado por sua vez em dez

sextos, o que fiz na sequncia foi o que chamamos de simplificao de fraes, mas

o que isso? simples aluno, observe que tanto o 10 quanto o 6 so mltiplos de 2,

logo simplifiquei dividindo por 2, por isso a resposta final cinco teros, mas

apenas uma mera coincidncia com os cinco teros na expresso.

A diviso de frao tambm por ser representada como:

Isso no muda nada, apenas uma forma de representao, continuamos com a

mesma diviso e o mesmo mtodo de resolver.

Outra particularidade de fraes

Agora que voc j reviu as operaes com fraes, quero abrir aqui um parnteses

sobre uma particularidade das fraes, na verdade apenas relembrar uma situao

que poder ocorrer, e qual seria essa? Vamos para o exemplo:

O 2 um nmero inteiro, no est representado no formato de frao, porm para

esses casos, e isso uma regra importante, voc ir considerar o denominador para

o 2 sendo 1, logo aplicando essa regra ter:

Concluso, sempre que encontrar nmeros inteiros em operaes com fraes,

considere 1 no denominador.

RAZO E PROPORO

Razo

Podemos dizer que a razo uma forma de comparar duas grandezas, mas para

isso as duas devem estar na mesma unidade de medida, sempre uso um exemplo

onde acredito que no ir se esquecer: como possvel somarmos 2 kg de carne

com 10 km? Consegue resolver isso? Obviamente que no, uma operao

impossvel por se tratar de unidades de medida diferentes uma da outra, s

podemos somar peso com peso e distncia com distncia, e no peso com

distncia, espero que tenha ficado claro o exemplo.

A razo entre dois nmeros, representados por e , obtida pela diviso de por

, temos ento : , ou simplesmente , logo a razo de 12 : 4 3.

Numa razo, seguindo a representao utilizada de e , temos que chama-se

antecedente e de consequente.

Proporo

A proporo nada mais do que uma igualdade de razes, mas no simplesmente

igualar duas razes e j consideramos isso como uma proporo. Para ser

considerada uma proporo, essa igualdade de razes deve atender um quesito,

chamado de propriedade fundamental da proporo, tal propriedade diz que o

produto dos meios deve ser igual ao produto dos extremos, se isso for verdade,

ento temos uma proporo. Observe a prtica:

5 : 8 = 10 : 16

Meios

Extremos

Qual multiplicamos os meios, 8 10, e multiplicamos os extremos, 5 16, obtemos

o mesmo resultado, ou seja, 80. Havendo igualdade entre os produtos temos uma

proporo.

Na proporo existem cinco propriedades, porm voc ir apenas rever duas

propriedades, a propriedade da soma e a da diferena, para o seu estudo nesta

disciplina se faz necessrio apenas essas descritas.

1 Propriedade: soma

Numa proporo, a soma dos dois primeiros termos est para o 2 (ou 1) termo,

assim como a soma dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

Fonte: S Matemtica (s.d.).

Podemos representar essa propriedade por intermdio da seguinte expresso:

Vamos para um exemplo prtico, como aplicar a propriedade da soma em

propores.

Exemplo 1: Determine e na proporo , sabendo que + = 84.

Aplicando a propriedade, temos:

timo, agora que conhecemos o valor de , basta ento substituir na equao

conhecida de + = 84, portanto:

2 Propriedade: diferena

Numa proporo, a diferena dos dois primeiros termos est para o 2 (ou 1)

termo, assim como a diferena dos dois ltimos est para o 4 (ou 3).

Fonte: S Matemtica (s.d.).

Podemos representar essa propriedade por intermdio da seguinte expresso:

No h praticamente diferenas quanto ao modo de resolver a propriedade da

assim vou exemplificar.

Exemplo 1: Sabendo-se que = 18, determine e na proporo .

Partindo do mesmo raciocnio, pode-se solucionar da seguinte forma:

Tomando conhecimento do valor de , ser possvel realizar a substituio do valor

na equao conhecida de = 18, desta forma tm-se:

REGRA DE TRS SIMPLES E COMPOSTA

Agora que j reviu os conceitos bsicos de razo e proporo, iremos aprofundar um

pouco mais nesse assunto, o objetivo agora relembrar ou at mesmo reforar os

conceitos inseridos quando estudou regra de trs simples e composta.

Apesar de clculos extremamente simples, a regra de trs se mostra muito til no dia

a dia, pois seus conceitos podem ser utilizado para clculos de proporo na

Minha primeira abordagem ser sobre a regra de trs simples.

Regra de trs simples

Bom, para iniciarmos, vale lembrar que o estudo das propores est sobre a

relao entre grandezas, ou seja, para um melhor entendimento quero lembrar-lhe

operar a soma de uma distncia a um peso. Como vimos isso no possvel!

Logo, voc deve entender que sempre dever trabalhar com unidades de grandezas

iguais, se trabalhar com distncia, usar unidades de medida de distncia de mesma

proporo, se for de peso ou massa, far a mesma coisa.

IMPORTANTE!

Nunca use grandezas diferentes, chamadas incompatveis, isso

ir prejudicar seus clculos e comprometer totalmente o resultado,

procure sempre criar uma relao entre as propores para saber

se possvel opera-las.

UM POUCO DE HISTRIA

O conhecimento e a utilizao de conceitos semelhantes regra de trs so

muito antigos, tendo sua provvel origem na China antiga, podendo ser

observados em tempos muito distantes. Vrios problemas envolvendo

manipulaes muito prximas do que hoje conhecemos como regra de trs

podem ser vistos no Papiro Rhind, documento confeccionado no Egito h cerca de 3000

anos. Mais recente que o Papiro Rhind, o livro Liber Abaci do matemtico italiano Leonardo

Fibonacci (1175-1250) revela vrios problemas envolvendo a regra de trs.

Apesar de sua criao ser to remota, as aplicaes relativas regra de trs so as mais variadas.

Tratando da matemtica utilitria, podemos dizer que a regra de trs primordial a nossa vida,

pois soluciona questes corriqueiras com muita simplicidade e economia de tempo.

Fonte: S (s.d.).

Quando se trabalha com regra de trs, na verdade estamos igualando duas, nos

casos de regra de trs simples, ou mais razes, para os casos de regra de trs

composta. Essa igualdade pode ser considerada diretamente proporcional ou

inversamente proporcional, mas como identificar sua caracterstica?

Identificar se inversamente ou diretamente proporcional uma tarefa fcil,

demandando apenas de ateno e um pouco de raciocnio lgico. De incio entenda

alterada para mais, a outra razo da igualdade reduz.

No se preocupe, so conceitos que exercitando a prtica ir conseguir sem

problemas assimilar o assunto.

Para um melhor entendimento da regra de trs simples, vamos exemplificar com um

problema.

Exemplo 1: Quatro pedreiros constroem uma pequena casa em 90 dias. Dois

pedreiros construiro a mesma casa em quanto tempo?

Soluo: veja que o exerccio bem simples e lgico, mas iremos comear por

prticas simples para uma boa assimilao do contedo, o primeiro passo montar

as razes e a igualdade das mesmas, lembrando que muito importante voc

identificar as colunas que representam as razes de modo a localizar o alvo no

exerccio.

Pedreiros Dias 4 90 2 x

Segundo passo: na coluna onde se posiciona o da equao, voc dever colocar

uma seta apontando para baixo, essa seta ser nosso ponto de apoio nas

comparaes de grandezas direta ou inversamente proporcionais. Desta forma

ficamos com:

Pedreiros Dias

4 90 2 x

No terceiro passo: voc far a comparao da outra coluna com a coluna de , isso

vale tanto para a regra de trs simples quanto para a composta, aqui a metodologia

igual, simplesmente teremos mais colunas que devero ser comparadas com a

coluna de . Mas como como comparar a coluna?

A resposta fcil, voc dever fazer a seguinte pergunta, e nesse momento

esquea a linha do 2 e do , pois se ficar olhando para elas ser induzido ao erro, a

pergunta : se aumentarmos o nmero de dias, o que vai acontecer com o nmero

de pedreiros? H de concordar comigo que o nmero de pedreiros ir reduzir, mas

como assim? Simples, veja que quando aumentamos o prazo de dias da obra,

poderei ento empregar menos pessoas para trabalhar, pois no necessitaremos de

tantos trabalhando para a concluso.

Entendeu a questo? Bom, com essa resposta nota-se que sempre que

aumentamos o nmero de dias, e a pergunta sempre ser caso aumentarmos a

coluna de , recomendo que no faa diferente, ento aumentando os dias tenho

menos pedreiros, podemos dizer que inversamente proporcional, isso mesmo,

sempre que aumentamos um lado o outro reduz, caracterstica das grandezas

inversamente proporcionais.

Deste modo, recomendo que assinale com uma seta apontando para cima, por ser

inversa. Temos:

Pedreiros Dias 4 90 2 x

Excelente, essas setas, so nossas referencias para apurao da proporo, j que

temos uma grandeza inversa, devemos tomar um cuidado com a montagem da

proporo, vamos ao nosso prximo passo.

Quarto passo:

As setas nos auxiliam na leitura, ditando o sentido que devemos ler a razo.

Agora basta multiplicar cruzado para realizao do clculo e pronto, encontra-se o

valor de . Vamos aos clculos:

Percebeu como simples? No h segredos, basta observar o sentido de leitura das

setas para que saia a correta leitura da razo na grandeza, e lembre-se no tem

qualquer relao do sentido da seta com os nmeros que esto na coluna, muitos

cometem o erro de achar que por estar aumentando de 2 para 4 na coluna de

pedreiros, acabam acreditando que a seta indica o aumento da coluna, no h

qualquer relao, no entanto voc lembra que solicitei que no olhasse a linha do 2

e do ? Fez sentido a voc? Espero ter ficado claro.

Fao agora um segundo exemplo onde voc ver uma grandeza diretamente

proporcional, e j vou avisando, no muda muita coisa, apenas o sentido da leitura,

no demais, permanecemos com a mesma metodologia.

Exemplo 2 simplificadamente para representar quilograma

(Kg)) de farinha de trigo suficiente para fazer 12 pes. De quanta farinha necessito

para fazer 18 pes?

Nosso primeiro passo montar as colunas posicionando o onde desejamos

conhecer a resposta, temos:

Quilos Pes 1 12 x 18

Simples no? Agora posicione a seta na coluna de .

Kg Farinha Pes 1 12

x 18

pes? Se sua resposta : teremos mais pes, est correto! Portanto, a seta da coluna

de pes apontar para baixo, ento poder surgir uma dvida: mas se est

aumentando o nmero de pes por que devo colocar a seta apontando para baixo?

Fcil, a seta no diz se esto aumentando ou no a coluna de pes, est dizendo que

sempre que aumentamos os quilos de farinha, teremos mais pes, uma relao

aumenta-aumenta, ou seja, temos uma grandeza diretamente proporcional,

posicionando a seta:

Kg Farinha Pes 1 12 x 18

Vamos aos clculos:

Notou que em termos de clculos no h diferenas, o cuidado a ser tomado apenas

no momento da construo da proporo, representada pela igualdade de razes.

IMPORTANTE!

Alguns autores usam as setas para referncia do tipo de

proporo, inversamente ou diretamente proporcionais, de maneira

invertida, ou seja, a abordagem usada no material aponta o uso da

seta inicial de referncia (coluna de ) com seta apontada para baixo, fica a ressalta

que alguns autores a utilizam incialmente para cima, mas apenas esse detalhe, a forma

metodolgica de descobrir o tipo da proporo exatamente a mesma.

Regra de trs composta

Chamamos de regra de trs composta quando estivermos trabalhando com trs ou

mais grandezas, tambm podendo essas serem diretamente ou inversamente

proporcionais, no necessariamente apenas um tipo no problema, podendo este

apresentar as duas situaes na mesma problemtica.

No que diz respeito resoluo, se faz como na regra de trs simples, tendo apenas

mais colunas a serem comparadas coluna base (coluna de localizao do ).

Para deixar claro essa questo, vamos usar um exemplo.

Exemplo 1: Se 8 homens levam 12 dias montando 16 mquinas, ento, nas

mesmas condies, 15 homens levaro quantos dias para montar 50 mquinas?

Soluo: No primeiro momento, iremos montar a estrutura das razes assim como

construdo na regra de trs simples, a diferena aqui ser uma coluna a mais.

Qtde. de homens Dias Nmero de mquinas

8 12 16 15 x 50

timo, agora no segundo passo, posicionar a seta para comparao das colunas, e

-se a nossa

incgnita.

Qtde. de homens Dias Nmero de mquinas

8 12 16 15 x 50

Lembre-se a pergunta ser sempre do tipo, se aumentarmos o valor da coluna da

incgnita, o que acontece com a coluna comparada? Essa a chave de todo o

exerccio. Logo, aumentando os dias de montagem, o que acontece com a quantidade

de homem necessrios para o trabalho? Ir diminuir, pois entende-se que a existncia

de um prazo maior demandar de menos pessoas para concluir o trabalho.

Qtde. de homens Dias Nmero de mquinas 8 12 16

15 x 50

A prxima pergunta, e sempre tratando as colunas separadas, : se aumentarmos o

nmeros de dias, o que acontece com o nmero de mquinas montadas, aumentar

ou montaremos menos mquinas? Se pensou em mais mquinas est correto, pois

se aumentarmos o tempo de montagem, consequentemente aumentaremos o

resultado, no caso aqui, o nmero de mquinas montadas. Logo:

Qtde. de homens Dias Nmero de mquinas 8 12 16 15 x 50

Tem-se ento duas grandezas, as setas indicaro o sentido da leitura das razes,

mas aqui voc encontrar uma diferena em relao regra de trs simples, est no

fato de termos uma igualde onde o lado da incgnita continua com uma razo

apenas, j o outro lado teremos duas razes, e poder ocorrer, dependendo do

exerccio, mais razes. E como proceder?

Muito simples, faremos uma multiplicao por entra as razes, desta forma o

exerccio montado ser:

Como a multiplicao de fraes direta, basta ento multiplicar e apurar apenas

uma simples razo na igualdade, desta forma, poder prosseguir com a resoluo.