Capítulo 12 Potência em Regime Permanente C.A.

DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 12

Potência em Regime Permanente C.A.


12.1 Potência Média

Em circuitos lineares cujas entradas são funções periódicas no tempo, as

tensões e correntes em regime permanente produzidas são periódicas.

Potência instantânea:

onde v e i possuem período T. Assim,

Potência instantânea é também periódica com período T.

p = vi

p t +T( ) = v t +T( )i t +T( )= v t( )i t( )= p t( )


Período fundamental T1 de p é o mínimo tempo no qual esta potência se repete.

T1 não é necessariamente igual a T mas deve ser seu divisor, isto é, para um

dado n positivo:

T = nT1


Exemplo: Resistor R percorrido por uma corrente i = Imcos(ωt) de período T = 2π/ω.

Então,

Note que T1 = π/ω ⇒ T = 2T1.

p = Ri2

= RIm2 cos2 ωt( )

=RIm2

21+ cos 2ωt( )!"

#$

Relação trigonométrica usada:

cos2 α( ) = 12 1+ cos 2α( )!

"#$


t

i(t), p(t)

T1

T

i(t)

p(t)


Se a corrente agora é i = Im[1 + cos(ωt)] de período T = 2π/ω.

Então,

Note que T1 = 2π/ω ⇒ T = T1.

p = Ri2

= RIm2 1+ cos ωt( )!"

#$2

t

i(t), p(t) T1 = T

i(t)

p(t)


Potência média para uma potência instantânea periódica p é dada por:

onde t1 é arbitrário.

Potência instantânea periódica p:

Assim, podemos escrever:

P = 1T1

p dtt1

t1+T1∫

p(t)

t t1 t1 + T1

P = 1mT1

p dtt1

t1+mT1∫


Se m é selecionado de tal forma que T = mT1 (período de v ou i), então

Portanto, a potência média pode ser obtida por integração no período de v ou i.

Integrais para funções senoidais e seus produtos:

f(t)

sen(ωt + α), cos(ωt + α) 0

sen(nωt + α), cos(nωt + α) 0

sen2(ωt + α), cos2(ωt + α) π/ω

sen(mωt + α) × cos(nωt + α) 0

cos(mωt + α) × cos(nωt + β) 0, m ≠ n

π[cos (α - β)]/ω, m = n

P = 1T

p dtt1

t1+T∫

f t( )dt, ω ≠ 00

2π ω∫

!"#

$#


Considere o seguinte bipolo genérico em regime permanente:

Impedância de entrada do dispositivo, no domínio da frequência:

Se

Então temos:

onde

A potência média entregue ao dispositivo, tomando t1 = 0 é

Bipolo

I

V +

-

Z = Z∠θ

v =Vm cos ωt +φ( )

i = Im cos ωt +φ −θ( )Im =

VmZ

P = 1T

p dtt1

t1+T∫ =ωVmIm2π

cos ωt +φ( )cos ωt +φ −θ( ) dt0

2π ω∫


Mas, da tabela temos que:

Fazendo m = n = 1, α = φ e β = φ – θ, obtemos:

ou seja, a potência absorvida pelo bipolo é determinada pelas amplitudes Vm e

Im e pelo ângulo θ pelo qual a tensão v antecede a corrente i.

cos mωt +α( )cos nωt +β( )dt0

2π ω∫ =

0 para m ≠ n

πωcos α −β( ) para m = n

$

%&

'&

P =ωVmIm2π

πωcos θ( )

P =VmIm2cos θ( )


Em termos de fasores:

então

onde ang V = φ e ang I = φ – θ.

Se o bipolo é um resistor, então θ = 0 e Vm = RIm, assim:

Note que se i = Idc (corrente constante), então ω = φ = θ = 0 e Im = Idc, então,

V =Vm∠φ = V ∠φ

I = Im∠ φ −θ( ) = I∠ φ −θ( )

P = 12V I cos angV − ang I( )

PR =12RIm2

PR = RIdc2


Se o bipolo é um indutor, então θ = 90º.

Se o bipolo é um capacitor, então θ = -90º.

Assim, para ambos os casos, temos:

ou seja, a potência média dissipada em um indutor ideal ou em um capacitor

ideal é zero.

P =VmIm2cos ±90°( ) = 0


Forma alternativa de muito útil, pode ser obtida lembrando:

e, portanto,

como Vm = |Z|Im, podemos re-escrever P como:

P =VmIm2cos θ( )

Z = Re Z{ }+ j Im Z{ }= Z∠θ

cos θ( ) =Re Z{ }Z

Re{Z}

Im{Z} Zθ

P =VmIm2cos θ( ) =

Z ImIm2

Re Z{ }Z

=12Im2 Re Z{ }

P = 12Im2 Re Z{ }


P =VmIm2cos θ( ) = 12 Im

2 Re Z{ }

Se o dispositivo é uma carga passiva, então a energia entregue a esta carga é

não negativa, logo:

ou de modo equivalente,

Se θ = 0, o dispositivo é equivalente a um resistor.

Se θ = π/2, o dispositivo é equivalente a uma indutância.

Se θ = -π/2, o dispositivo é equivalente a uma capacitância.

Para -π/2 < θ < 0, o dispositivo é equivalente a um circuito RC.

Para 0 < θ < π/2 , o dispositivo é equivalente a um circuito RL.

Para | θ | > π/2, então P < 0, o dispositivo atua como uma fonte (ativo).

Re Z jω( ){ }≥ 0

−π2≤θ ≤

π2


Exemplo: Cálculo da potência entregue pela fonte.

Impedância sobre a fonte:

Corrente máxima:

Potência entregue a Z:

ou de outro modo:

Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω#$ %&

Im =VmZ=

100100 2

=12

A!" #$

P =VmIm

2cosθ = 100

2 2cos45° = 25 W!" #$

P = 12Im

2 Re Z{ }= 12

12

!

"#

$

%&

2

100 = 25 W'( )*

1 H vg = 100cos(100t) [V]

100 Ω

+ -

i


Potência dissipada pelo resistor R = 100 Ω:

Portanto, o indutor não dissipa potência.

A potência consumida pela fonte é:

Sinal negativo: corrente sai pelo terminal positivo da fonte.

Ou seja, fonte entrega 25 W para Z.

PR =RIm

2

2=

100 12

!

"#

$

%&

2

2= 25 W'( )*

PR = −VmIm

2cosθ = −25 W"# $%


12.2 Superposição e Potência

Circuitos com mais de uma fonte:

Por superposição, temos i = i1 + i2, onde i1 e i2 são as correntes em R devido a

vg1 e vg2, respectivamente.

Potência instantânea:

Assim, a superposição não pode ser aplicada diretamente para potência

instantânea.

vg1

R

+ -

vg2 + -

i

p = R i1+ i2( )2= Ri1

2 + 2Ri1i2 + Ri22

= p1+ p2 + 2Ri1i2


No caso de p ser periódica com período T, a potência média será:

onde P1 e P2 são as potências médias de vg1 e vg2, respectivamente, atuando

isoladamente.

A superposição para a potência média só se aplica se:

o que faz com que:

P = 1T

pdt =0

T∫ 1

Tp1+ p2 + 2Ri1i2( )dt0

T∫

= P1+ P2 +2RT

i1i2 dt0

T∫

i1i2 dt0

T∫ = 0

P = P1+ P2


Im1cos ω1 t +T( )+φ1!"

#$+ Im2 cos ω2 t +T( )+φ 2!

"#$= Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ 2( )

Caso importante:

Assumindo que i = i1 + i2 é periódica com período T, temos:

Para que a igualdade da equação seja válida devemos ter que:

m e n inteiros positivos.

Portanto, se ω é um número tal que T = 2π/ω, então ω1 = mω e ω2 = nω.

i1 = Im1cos ω1t +φ1( )

i2 = Im2 cos ω2t +φ 2( )

ω1T = 2π m

ω2T = 2π n


Então,

Se m = n ⇒ ω1 = ω2 ⇒ a superposição não pode ser aplicada.

Se m ≠ n ⇒ a superposição pode ser aplicada.

i1 i2 dt0

T∫ = Im1Im2 cos mω t +φ1( )cos nω t +φ2( )dt0

2π ω∫

=

Im1Im2 cos φ1 −φ2( )ω

m = n

0 m ≠ n

$

%&

'&

Generalização para o caso de senóide periódica com qualquer número de

componentes senoidais de diferentes frequências:

A potência média devida à soma das componentes é a soma das potências

médias devida a cada componente atuando isoladamente.


Pode ser mostrado que a superposição da potência média é mantida para

senóides cujas frequências não são múltiplos inteiros de uma frequência ω:

Generalização da definição de potência média:

que pode ser aplicada também para o caso i = i1 + i2, onde

Neste caso i não é periódica, pois ω1/ω2 = 1/π não é um número racional, mas

P = limτ→∞

1τ

pdt0

τ∫

i1 = cos t

i2 = cosπ t

limτ→∞

1τ

i1i2 dt0

τ∫ = 0


Exemplo:

ω1 = ω2 ⇒ não se pode usar a superposição para a potência.

Superposição para calcular a corrente:

100 cos(377t + 60º) [V]

100 Ω

+ -

+ -

i

50 cos(377t) [V]

I1 =1∠60° A"# $%

I2 = −0,5∠0! A#$ %&

I = I1+ I2 = j0,866 A!" #$

P = 12RIm2 =12100 0,866( )

2= 37,5 W!" #$

Im = 0,866 A!" #$


Exemplo:

ω1 = 377 rad/s e ω2 = 0 rad/s ⇒ pode-se usar a superposição para a potência.

100 cos(377t + 60º) [V]

100 Ω

+ -

+ -

i

50 [V]

I1 =1∠60° A"# $% para ω1 = 377

I2 = −0,5 A"# $% para ω2 = 0

P1 =12RIm12 =

12100 1( )

2= 50 W!" #$

P2 = RIm22 =100 −0,5( )

2= 25 W"# $%

P = P1+ P2 = 75 W!" #$


Estendendo o procedimento do exemplo anterior para uma corrente periódica

que é a soma de N + 1 senóides de diferentes frequências,

Encontra-se a potência média entregue ao resistor R:

Assim, temos a superposição das potências:

i = Idc + Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ2( )+ ...+ ImN cos ωNt +φN( )

P = RIdc2 +

R2Im12 + Im2

2 + ...+ ImN2( )

P = Pdc + P1+ P2 + ...+ PN


Exemplo:

ω1 = ω2 ⇒ Não podemos usar a superposição para a potência, mas podemos

utilizar superposição de correntes.

10 cos(100t) [V]

10 Ω

+ -

+ -

i

I1 =1∠0° A"# $%

I2 = 2∠60° A"# $%

P = 12RIm

2 =12⋅10 ⋅ −1,732( )

2=15 W#$ %&

20 cos(100t + 60º) [V]

I = I1 − I2 =1− (1+ j1,732) = − j1,732 A"# $%


12.3 Valores Eficazes

Método de comparação da potência entregue por diferentes formas de onda.

Valor eficaz de uma corrente (ou tensão) periódica é sempre uma constante

igual à corrente c.c. (ou tensão c.c.) que iria entregar a mesma potência média

para um resistor R.

Se Ieficaz é o valor eficaz de i, podemos escrever:

De onde se tira a corrente eficaz:

P = RIeficaz2 =

1T

Ri2 dt0

T∫

Ieficaz =1T

i2 dt0

T∫


De modo similar, a tensão eficaz é:

Termo “eficaz” é a tradução da abreviatura de “root-mean-square (rms)”.

Valor rms = raiz quadrada da média do valor ao quadrado da corrente (tensão).

Considerando uma corrente senoidal , a corrente eficaz é

Assim, uma corrente senoidal de amplitude Im entrega a mesma potência média

a um resistor R, que uma corrente c.c. de valor igual a .

Veficaz =1T

v2 dt0

T∫

i = Im cos ωt +φ( )

Ieficaz =ω2π

Im cos ω t +φ( )!"

#$2dt

0

2π ω∫ = Im

2 ⋅ω2π

⋅πω

Im2

Ieficaz =Im2


De modo similar, para uma tensão senoidal , a tensão eficaz é:

Note que tanto a corrente como a tensão eficaz são independentes da

frequência ω e da fase φ.

Assim, a potência média para um bipolo é dada por:

ou

Veficaz =ω2π

Vm cos ω t +φ( )!"

#$2dt

0

2π ω∫

P =Veficaz Ieficaz cosθ

P = Ieficaz2 Re Z{ }

Veficaz =Vm2

Bipolo

I

V +

-

P =VmIm2cosθ

v =Vm cos ωt +φ( )


Exemplo:

Valores eficazes são empregados normalmente nas geração e distribuição de

potência.

O valor de tensão nominal de 127 V para uma rede é um valor eficaz.

A potência que é fornecida em 60 Hz às residências vem através de uma tensão

que tem o valor máximo igual a .

Valores máximos são geralmente empregados em eletrônica e

telecomunicações.

127 2 ≅180 V


Valor eficaz da corrente composta de senóides com diferentes frequências:

Potência média:

Portanto, o valor eficaz da corrente senoidal composta de diferentes frequências

é

De forma análoga,

i = Idc + Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ2( )+ ...+ ImN cos ωNt +φN( )

P = R Idc2 + I1eficaz

2 + I2eficaz2 + ...+ IN eficaz

2( )

Ieficaz = Idc2 + I1eficaz

2 + I2eficaz2 + ...+ IN eficaz

2

Veficaz = Vdc2 +V1eficaz

2 +V2eficaz2 + ...+VN eficaz

2


Exemplo: Cálculo do valor eficaz das correntes:

a)

i =

A para 0 ≤ t < 2

−A para 2 ≤ t < 4

#$%

&%

Ieficaz =1T

i2 dt0

T∫

Ieficaz =14

A2 dt0

2∫ + −A( )

2dt

2

4∫

#$%

&'(=

A2

4t0

2+ t

2

4#

$%

&

'( =

A2

42+ 2#$ &'

Ieficaz = A


b) i = 2t 0 < t < T

Ieficaz =

1T

i2 dt0

T∫

Ieficaz =1T

2t( )2dt

0

T∫ =

4T⋅t3

30

T

=4T⋅T 3

3

Ieficaz =2T3


c)

i =Im sen ωt( ) para 0 ≤ t < π ω

0 para π ω ≤ t < 2π ω

"#$

%$ T =

2πω

Ieficaz =1T

i2 dt0

T∫

Ieficaz =1T

Im2 sen2 ωt( )dt +00

π ω∫"#$

%&'=

ω Im2

2πsen2 ωt( )dt0

π ω∫ =

ω Im2

2π⋅π2ω

Ieficaz =Im2


12.4 Fator de Potência

Potência média entregue a uma carga em regime permanente c.a. é:

O produto VeficazIeficaz é denominado de potência aparente.

Unidade da potência aparente = voltamperes (VA) ou kilovoltamperes (kVA).

Potência média ≤ potência aparente

Fator de potência fp :

Fator de potência fp no caso senoidal:

P =Veficaz Ieficaz cosθ

f p =P

Veficaz Ieficaz= cosθ

f p =Potência Média

Potência Aparente


Cargas puramente resistivas ⇒ tensão e corrente em fase ⇒ θ = 0 ⇒ fp = 1 ⇒

potência média = potência aparente.

Cargas indutivas e capacitivas onde as reatâncias se cancelam ⇒ tensão e

corrente em fase ⇒ θ = 0 ⇒ fp = 1 ⇒ potência média = potência aparente.

Carga puramente reativa ⇒ tensão e corrente a ±90º ⇒ θ = ±90º ⇒ fp = 0 ⇒

potência média = 0.

f p =P

Veficaz Ieficaz= cosθ


Carga onde -90º < θ < 0 é equivalente a um circuito RC.

Carga onde 0 < θ < 90º é equivalente a um circuito RL.

Como cos(θ ) = cos(-θ), então fp é o mesmo para um circuito RC ou RL com

mesmo |θ |.

Para diferenciar: fp é caracterizado como adiantado ou atrasado pela fase da

corrente com relação à da tensão (referência).


Exemplo: Frequência = 60 Hz

ω = 2πf = 2π 60 = 377 rad/s

Fator de potência:

0,1 H vg

100 Ω

+ -

Z =100+ j37,7 =106,9∠22,95° Ω

f p = cos 22,95°( ) = 0,936 atrasado


Exemplo: O fator de potência afeta grandemente a conta de eletricidade.

Suponha que um moinho consuma 100kW de uma linha de 220 V eficazes, com

fp = 0,85 atrasado.

Corrente eficaz do moinho:

Potência aparente fornecida:

Suponha que fp é aumentado para 0,95 atrasado, então:

Assim, a potência aparente é reduzida para:

Ieficaz =P

Veficaz f p=

105

220 ⋅0,85= 534,8 A"# $%

Veficaz Ieficaz = 220 ⋅534,8 =117,65 kVA"# $%

Ieficaz =P

Veficaz f p=

105

220 ⋅0,95= 478,5 A"# $%

Veficaz Ieficaz = 220 ⋅478,5=105,26 kVA"# $%

56,3 A


Note que Ieficaz foi reduzida de 56,3 A.

Portanto, a usina precisa gerar uma corrente maior para fp menor.

Como as linhas de transmissão têm resistência, a usina precisa produzir uma

potência média maior para fornecer os 100 kW à carga.

Se a resistência for 0,1 Ω, então a potência gerada pela fonte deve ser:

Portanto,

A usina deve produzir 5,7 kW a mais de potência para fornecer à carga de fp

mais baixo.

Pg =100.000+0,1Ieficaz2

Pg =128,6 kW f p = 0,85

122,9 kW f p = 0,95

!

"#

$#


Método de correção do fator de potência de uma carga:

Pode-se alterar o fator de potência conectando uma impedância Z1 em paralelo

com a carga Z = R + jX.

Note que apenas a corrente I1 fornecida pelo gerador muda.

Associação das impedâncias:

Z1 Z = R + jX

I1 I

ZT

ZT =Z ⋅Z1Z+Z1


Selecionamos Z1 tal que:

•  Z1 absorva potência média = 0;

•  ZT tenha o fator de potência desejado fp = FP.

A primeira condição requer que Z1 seja puramente reativa:

A segunda condição requer que:

Substituindo ZT em termos de R, X e X1, temos:

11 jX=Z

cos tan−1Im ZT{ }Re ZT{ }

"

#$$

%

&''

(

)

**

+

,

--= FP

X1 =R2 + X 2

R tan cos−1 FP( )"#

$% − X

tan cos−1 FP( )"#

$% =

> 0 se FP é atrasado

< 0 se FP é adiantado

&'(

)(


Obtenção de X1:

mas

ZT =Z ⋅Z1Z+Z1

=R+ jX( ) jX1R+ jX + jX1

=−XX1+ jRX1R+ j X + X1( )

×R− j X + X1( )R− j X + X1( )

ZT =RX1

2 + jX1 R2 + X 2 + XX1( )

R2 + X + X1( )2

cos tan−1Im ZT{ }Re ZT{ }

"

#$$

%

&''

(

)

**

+

,

--= FP ⇒

Im ZT{ }Re ZT{ }

= tan cos−1 FP( )()

+,

X1 R2 + X 2 + XX1( )RX1

2= tan cos−1 FP( )"

#$% ⇒

R2 + X 2 + XX1X1

= R tan cos−1 FP( )"#

$%

R2 + X 2

X1+ X = R tan cos−1 FP( )!

"#$ ⇒ X1 =

R2 + X 2

R tan cos−1 FP( )!"

#$− X


Exemplo: Fator de potência alterado para 0,95 atrasado no circuito:

Fator de potência:

Desejamos fator de potência de 0,95, então tan(cos-1FP) é positiva:

1 H vg = 100cos(100t) [V]

100 Ω

+ -

i

Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω

f p = cosθ = cos45° = 0,707 atrasado

X1 =R2 + X 2

R tan cos−1 FP( )"#

$% − X

=1002 +1002

100 tan cos−1 0,95( )"#

$% −100

= −297,92 Ω


Como X1 < 0, a reatância é uma capacitância C = -1/ωX1 = 33,6 µF.

Impedância de carga torna-se:

Potência média para a carga corrigida:

que é a mesma entregue a Z.

Corrente atual:

Corrente sem correção do fator de carga:

ZT =ZZ1Z+Z1

=100+ j100( ) − j297,92( )100+ j100( )+ − j297,92( )

=190,0∠18,2°

P =Vm

2

2 ZTcos θ( ) = 1002

2 190,0( )cos 18,2°( ) = 25 W

A 372,02190

100==eficazI

A 5,0221

2=== m

eficazII

corrente reduzida de 0,128 [A] (25,6%)


12.5 Potência Complexa

Potência complexa em regime permanente c.a.

Útil para determinação e a correção de fatores de potência associados a cargas

interconectadas.

Representações fasoriais para e :

Fasores eficazes:

v =Vm cos ωt +φ( ) i = Im cos ωt +φ −θ( )

V =Vm exp jφ( ) I = Im exp j φ −θ( )"#

$%

Veficaz =V2=Veficaz exp jφ( ) Ieficaz =

I2= Ieficaz exp j φ −θ( )"

#$%


Potência média:

mas

onde I*eficaz é o complexo conjugado de Ieficaz. Logo,

Veficaz I*eficaz = potência complexa cuja parte real é a potência média:

onde Q é a potência reativa (unidade: VA reativo = var).

Módulo da potência complexa = potência aparente:

P =Veficaz Ieficaz cosθ =EulerRe Veficaz Ieficaz exp jθ( ){ }

VeficazIeficaz* =Veficaz Ieficaz exp jθ( )

P = Re VeficazIeficaz*{ }

S =VeficazIeficaz* = P + jQ

S = VeficazIeficaz* = Veficaz Ieficaz

* =Veficaz Ieficaz


Assim,

Para uma impedância Z, temos que senθ = Im{Z}/|Z|, logo

ou, de forma análoga:

Q = Im S{ }=Veficaz Ieficaz senθ

Q =Veficaz IeficazIm Z{ }Z

=VeficazZ

Ieficaz Im Z{ }= Ieficaz2 Im Z{ }

Q =Veficaz2 Im Z{ }

Z2

Ieficaz

Veficaz

θ

Im

Re

Componente em quadratura de Ieficaz

Componente em fase de Ieficaz

Produz a potência ativa P

Produz a potência reativa Q


Potência complexa em termos de um diagrama:

Carga indutiva (fp atrasado) 0 < θ ≤ 90º, Q > 0:

Carga capacitiva (fp adiantado) -90º ≤ θ < 0, Q < 0:

Carga com fp = 1 requer Q = 0, pois θ = 0:

Re

Im

P

Q S

θ

Im Re P

Q S

θ

θ = tan−1 QP"

#$

%

&'

Re

Im

S = P


Z1 Z2

Ieficaz

Veficaz

I1, eficaz I2, eficaz +

-

Potência complexa associada a uma carga composta de duas impedâncias:

A potência complexa entregue pela fonte às cargas interconectadas é igual a

soma das potências entregues a cada carga individual.

Princípio da conservação de potência!

S =VeficazIeficaz∗ =Veficaz I1,eficaz + I2,eficaz( )

∗

S =VeficazI1,eficaz∗ +VeficazI2,eficaz

∗


A conservação de potência complexa pode ser usada para corrigir o fator de

potência.

Exemplo:

Potência complexa entregue à carga original Z:

Conectando uma reatância pura Z1 em paralelo com Z resulta:

Pela conservação de potência complexa, para a carga resultante, temos:

A potência média P entregue a carga não se altera com o acréscimo de Z1.

Z1 Z = R + jX

I1 I

ZT

S = P + jQ

S1 = jQ1

ST = S+S1 = P + j Q+Q1( )


Exemplo: Mudar o fator de potência para FP = 0,95 (atrasado).

Potência complexa para a carga não corrigida:

Temos que QT = Q + Q1 , então

1 H vg = 100cos(100t) [V]

100 Ω

+ -

i

S =VeficazIeficaz∗ = P + jQ = 25+ j25

Veficaz = 70,7 V!" #$

Ieficaz =VeficazZ

= 0,3535 1− j1( ) A"# $%

θ = tan−1QTP

"

#$

%

&'

Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω

Ieficaz∗ = 0,3535 1+ j1( ) A"# $%


Portanto,

e

O valor de Q1 é:

Como e temos:

FP = cosθ = cos tan−1QTP

"

#$

%

&'

(

)**

+

,--

QT = P tan cos−1 FP( )"

#$%

= 25tan cos−1 0,95( )"#

$%

= 25tan 18,2°( )

= 8,22 vars"# $%

Q1 =QT −Q = 8,22− 25= −16,78 vars"# $%

Q1 =Veficaz2 Im Z1( )

Z12 Z1 = jX1

Q1 =Veficaz2

X1


Resolvendo para X1 obtemos:

Que representa uma capacitância C = -1/(ωX1) = 33,6 µF.

X1 =Veficaz

2

Q1=

70,7( )2

−16,78= −297,9 Ω

1 H vg = 100cos(100t) [V]

100 Ω

+ -

i

33,6 µF


Exemplo: Z1 representa uma carga de 10 kW com fp1 = 0,9 (atrasado) e Z2

representa uma carga de 5 kW com fp2 = 0,95 (adiantado):

Para Z1, temos:

onde

Z1 Z2

Ieficaz

Veficaz

I1, eficaz I2, eficaz +

-

S1 = P1+ jQ1

P1 =104 W!" #$

θ1 = cos-1 f p1( ) = cos-1 0,9( ) = 25,84°

Q1 = P1 tan θ1( ) = 4843 vars!" #$


Para Z2, temos:

onde

A potência complexa total é:

Portanto, para as cargas associadas:

S2 = P2 + jQ2

P2 = 5⋅103 W"# $%Q2 = P2 tan θ2( ) = −1643 vars"# $%

ST = S1+S2 = 104 + j4843( )+ 5⋅103 − j1643( )

=1,5⋅104 + j3200

θ = tan-1 32001,5⋅104"

#$

%

&' =12,04° f p = cosθ = cos 12,04°( ) = 0,978 atrasado( )

θ2 = cos-1 f p2( ) = cos-1 0,95( ) = −18,2°


12.5 Medição de Potência

Dispositivo que mede a potência média que é entregue a uma carga ⇒

wattímetro.

Wattímetro: possui uma bobina rotativa de alta resistência de tensão conectada

em paralelo com a carga e uma bobina fixa de baixa resistência de corrente, que

é conectada em série com a carga.

Conexão típica:

Carga

I

Bobina de corrente

Bobina de tensão

±

±

+ V -


Tensão na bobina de corrente = 0

Corrente na bobina de tensão = 0

Um terminal de cada bobina é marcado com o símbolo ± tal que, se a corrente

entra no terminal ± da bobina de corrente e o terminal ± da bobina de tensão é

positivo com relação ao outro terminal, então o medidor dá uma medida positiva.

Na figura anterior, isto corresponde a carga absorvendo potência.

Se a conexão dos terminais ou da bobina de corrente ou da bobina de tensão

(mas não ambas) for invertida a leitura será negativa.


O wattímetro abaixo está conectado para indicar:

Um medidor de potência aparente ou VA simplesmente mede o produto da

tensão eficaz pela corrente eficaz.

O varímetro mede a potência reativa.

P = V ⋅ I cosθ

Carga

I

Bobina de corrente

Bobina de tensão

±

±

+ V -

Capítulo 12 Potência em Regime Permanente C.A.

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