Caracterização das Propriedades Mecânicas Equivalentes em … · Ao Pedro Daniel Teodoro que foi...

Caracterização das Propriedades Mecânicas Equivalentes em Placas

Teresa Sofia Marques Mesquita

Dissertação para obtenção de Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Júri Presidente: Doutor Luís Manuel Varejão de Oliveira Faria

Orientador: Doutor José Arnaldo Pereira Leite Miranda Guedes

Co-Orientador: Doutor Helder Carriço Rodrigues

Vogal: Doutor João Orlando Marques Gameiro Folgado

Outubro 2010

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"Um dia, o discípulo perguntou ao Mestre:

- Mestre, o que é a utopia?

O Mestre respondeu:

- Tu que és jovem e vês bem ao longe, vês a linha do horizonte? Caminhemos até lá.

... Assim caminharam durante três dias.

Ao fim do terceiro dia, quando o sol se estava a pôr, o Mestre perguntou ao discípulo:

- Diz-me, alcançámos já a linha do horizonte?

- Mestre - respondeu o discípulo - a linha do horizonte continua tão distante como ontem e anteontem... por

mais que caminhemos, nunca a poderemos alcançar...

- Pois é esse o significado da utopia - disse o Mestre - como a linha do horizonte, por mais que caminhemos

nunca a poderemos alcançar...

- Mas, Mestre - retorquiu o discípulo - se não é possível alcançá-la, para que serve então a utopia?

- A utopia serve para caminhar, caminhar, caminhar..."

(Eduardo Galeano)

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Agradecimentos

A autora agradece a todos os que ajudaram na elaboração desta tese.

Agradeço em primeiro lugar, à minha família e amigos pelo apoio e dedicação prestados ao longo da minha

vida. Em especial quero prestar uma pequena homenagem ao meu pai, Altino Mesquita, por ter acreditado

sempre em mim e pela cumplicidade demonstrada nos momentos mais difíceis da minha vida. Mais do que um

pai, és um grande amigo. E se aqui cheguei em grande parte devo-o a ti. Obrigada Pai.

Ao Pedro Daniel Teodoro que foi incansável na resolução de problemas relacionados com a tese, uma ajuda

sem a qual não teria sido possível realizar este trabalho. Destaco também a tua amizade, a forma como sempre

me ajudaste com muito empenho sem nunca esperar nada em troca. Muito obrigada pela tua simplicidade e

entrega.

Ao meu namorado, João Correia, pelo apoio incondicional nas fases críticas da vida. Obrigada pela tua

paciência, pelo teu amor, e por confiares em mim. Contigo, tudo se torna mais fácil e claro.

Ao meu orientador, Prof. José Miranda Guedes por ter sido um guia que me encaminhou até ao objectivo final.

Pelas dicas sempre úteis e por partilhar comigo todo o conhecimento sem o qual não teria sido possível chegar

tão longe. Muito obrigada.

Ao Eng. António Valente e também a PLY Engenharia o material cedido na elaboração desta tese e pela

disponibilidade demonstrada em esclarecer qualquer questão envolvida neste trabalho, pelo conhecimento e

experiência partilhadas que mesmo simples valem sempre a pena serem apreendidas.

Aos meus professores que foram mestres com quem aprendi a crescer como pessoa e como profissional. E aos

meus colegas, que ao longo desta minha caminhada como estudante me toleraram e me fizeram crescer.

Foi uma caminhada difícil, mas a todos vocês o devo. Do fundo do meu coração, um Obrigada sentido.

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Resumo

As estruturas Sandwich são amplamente usadas na indústria automóvel, aeroespacial. As estruturas existentes

no mercado trazem subjacentes processos de fabrico que exigem muitas vezes elevados custos, ou possuem

núcleos com aplicações muito específicas. Surge assim, um modelo inovador com elevado coeficiente

rigidez/peso denominado 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® (modelo real), desenvolvida pela PLY Engenharia, como objecto de

estudo desta tese.

O objectivo proposto é desenvolver um modelo teórico computacional que interaja entre softwares (ANSYS e

MATLAB) de placa uniforme que consiga aproximar tanto quanto possível as frequências naturais e a

deformada da estrutura real, optimizando através do método iterativo FMINSEARCH, as propriedades do

material e a espessura, utilizando a teoria clássica de placas e o método dos elementos finitos.

Este trabalho é uma mais-valia na medida em que teremos um modelo teórico previamente conhecido que

consiga aproximar o modelo real, respondendo com rapidez e consequentemente reduzidos custos a diversas

situações específicas.

As principais conclusões prendem-se com o facto do modelo teórico obtido depender muito das condições de

fronteira aplicadas, convém por isso saber à partida as aplicações a implementar à estrutura real. Para uma

estrutura simplesmente apoiada e livre em extremidades opostas teremos que ter uma espessura maior/maior

rigidez, face à condição de simplesmente apoiada em todas as extremidades. Depende também do

comportamento do material enquanto isotrópico ou ortotrópico (sendo que este aproxima melhor) e da

geometria da estrutura, para uma carga uniformemente distribuída. O modelo obtido satisfaz os critérios de

convergência das variáveis de projecto.

Palavras-Chave: Estruturas Sandwich

Teoria Clássica de Placas

Modelo computacional

Optimização de propriedades do material

Análise dinâmica

Método dos Elementos Finitos

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ABSTRACT

Sandwich structures are widely used in automotive and aerospace industry. Existing structures on the market

that brings the underlying manufacturing processes often require high costs, or have a core with very specific

applications. This leads to an innovative model with high coefficient rigidity / weight called 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® (real

model), developed by PLY Engineering, as case study for this thesis. The aim is to develop a theoretical model

that interacts between computational software (ANSYS and MATLAB) that can even approach as nearly as

possible the natural frequencies and deformed from the real structure, optimizing by an iterative algorithm

(FMINSEARCH), material properties and thickness, using the classical theory of plates and the finite element

method.

This work is an asset to the extent that we have a theoretical model previously known to be able to

approximate the real model, responding quickly and therefore reduced costs to various situations.

The main conclusions relate to the fact that the theoretical model obtained depend heavily on boundary

conditions applied, it is so telling in advance the applications to implement the actual structure. For a simply

supported structure at opposite ends and free we have a greater thickness / rigidity, when compared to the

condition of simply supported on all edges. It also depend on the behavior of the material as isotropic or

orthotropic (and this brings better) and the geometry of the structure to a uniformly distributed load. The

model meets the criteria of convergence of design variables.

Keywords: Sandwich Structures

Classical Theory of Plates

Computational model

Optimization of material properties

Dynamic analysis

Finite element method

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INDICE GERAL

Agradecimentos ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ iv

Resumo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- vi

ABSTRACT ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- viii

INDICE GERAL ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x

INDICE DE FIGURAS ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- xiv

INDICE DE TABELAS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- xviii

NOMENCLATURA -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------xx

CAPITULO I -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.1 Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1

1.2 Estruturas Sandwich ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1

1.2.1 Materiais em estruturas Sandwich ------------------------------------------------------------------------------------- 2

Materiais das Faces ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2

Materiais do Núcleo ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.2.2 Estruturas Periódicas Celulares ----------------------------------------------------------------------------------------- 2

1.2.3 Vantagens e Desvantagens dos painéis Sandwich ------------------------------------------------------------------ 3

1.2.4 Processos de Fabrico ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4

1.2.5 Campos de Aplicação ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6

1.3 Uma inovação denominada 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® ------------------------------------------------------------------------------ 11

1.3.1 O Conceito ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 12

1.3.2 Motivação e Objectivos ------------------------------------------------------------------------------------------------- 14

1.3.3 Estado de Arte ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 14

1.4 Problema e Metodologia usada -------------------------------------------------------------------------------------------- 17

1.5 Estruturação da Tese --------------------------------------------------------------------------------------------------------- 18

CAPITULO II - REVISAO TEORICA--------------------------------------------------------------------------------------------------- 19

2.1 Teoria Clássica de Placas ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 19

2.1.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 19

2.1.2 Hipóteses ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 19

2.1.3 Lei Constitutiva ou Lei de Hooke Generalizada -------------------------------------------------------------------- 20

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Placas de material Ortotrópico ------------------------------------------------------------------------------------------- 20

Placas de Material Isotrópico---------------------------------------------------------------------------------------------- 20

2.1.4 Campo de Deslocamentos --------------------------------------------------------------------------------------------- 21

2.1.5 Extensões ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 21

2.1.6 Tensões --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 21


Placas de material Isotrópico ---------------------------------------------------------------------------------------------- 22

2.1.7 Equações clássicas de Momentos Flectores e Esforços Transversos ----------------------------------------- 22



2.1.8 Equações Fundamentais de Equilíbrio estático-------------------------------------------------------------------- 24

2.2 Análise Dinâmica para Placas Rectangulares --------------------------------------------------------------------------- 25

2.2.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 25

2.2.2 Equações Fundamentais de equilíbrio dinâmico ------------------------------------------------------------------ 25



2.2.3 Condições de Fronteira ------------------------------------------------------------------------------------------------- 26

2.2.3.1 Placa Simplesmente Apoiada (SS_SS_SS_SS) ----------------------------------------------------------------- 26

2.2.3.2 Placa Simplesmente Apoiada e Livre (SS_F_SS_F) ---------------------------------------------------------- 27

2.2.4 Métodos Analíticos. Soluções para Frequência ------------------------------------------------------------------- 27

2.2.4.1 Método de NAVIER------------------------------------------------------------------------------------------------- 28

2.2.4.2 Método de LEVI ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 29

2.3 Análise de Elementos Finitos de Placas ----------------------------------------------------------------------------------- 30

2.3.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 30

2.3.2 Breve História do MEF -------------------------------------------------------------------------------------------------- 30

2.3.3 Formulação geral - Principio dos Trabalhos Virtuais ------------------------------------------------------------- 31

2.3.4 Equação do Movimento de um Elemento Finito Genérico ----------------------------------------------------- 31

2.4 Sumário -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 33

CAPITULO III - Caracterização de propriedades equivalentes numa placa usando optimização numérica ----- 35

3.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 35

3.2 Formulação do problema ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 35

3.2.1 Apresentação da OPENCELL ------------------------------------------------------------------------------------------- 36

3.2.2 Definição das Variáveis de Projecto ---------------------------------------------------------------------------------- 37

3.2.3 Função Objectivo para Placas Apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) ------------------------------- 38

Placa Rectangular - Estudo para ρ = constante = 7800Kg/m3 ------------------------------------------------- 38

3.2.3.1 Placa Rectangular - Estudo para densidade dependente da espessura h ------------------------------ 43

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3.2.3.2 Placa Quadrangular - Estudo para densidade dependente da espessura h --------------------------- 43

3.2.4 Função Objectivo para Placas Apoiadas e livres (SS_F_SS_F) -------------------------------------------------- 47

3.2.4.1 Placa Rectangular - Estudo para densidade dependente da espessura -------------------------------- 47

3.2.4.2 Placa Quadrangular - Estudo para densidade dependente da espessura ------------------------------ 49

3.3 Tipos de considerações e constrangimentos ----------------------------------------------------------------------------- 51

3.3.1 Tipo de Elemento, Malha, Constantes e Material ---------------------------------------------------------------- 51

3.3.2 Carregamentos aplicados e sistema de eixos ---------------------------------------------------------------------- 51

3.3.3 Constrangimentos ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 52

3.3.4 Análise Modal – Método Block Lanczos ----------------------------------------------------------------------------- 53

3.4 Critério de optimização usado ---------------------------------------------------------------------------------------------- 53

3.4.1 FMINSEARCH -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 54

3.4.2 O algoritmo Nelder – Mead -------------------------------------------------------------------------------------------- 54

3.4.3 Fluxograma de Simulação Computacional -------------------------------------------------------------------------- 55

3.5 Sumário -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 55

CAPITULO IV - RESULTADOS E DISCUSSÃO -------------------------------------------------------------------------------------- 57

4.1 Introdução ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 57

4.2 Apresentação dos Casos de Estudo ---------------------------------------------------------------------------------------- 57

4.3 Resultados – Material Isotrópico ------------------------------------------------------------------------------------------- 58

4.3.1 Caso A (Placa SS_SS_SS_SS Rectangular Isotrópica) -------------------------------------------------------------- 58

4.3.2 Caso B (Placa SS_F_SS_F Rectangular Isotrópica) ----------------------------------------------------------------- 63

4.3.3 Caso C (Placa SS_SS_SS_SS Quadrangular Isotrópica) ----------------------------------------------------------- 64

4.3.4 Caso D (Placa SS_F_SS_F Quadrangular Isotrópica) -------------------------------------------------------------- 65

4.3.5 Comentários --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 66

4.4 Resultados – Material Ortotrópico ----------------------------------------------------------------------------------------- 67

4.4.1 Caso E (Placa SS_SS_SS_SS Rectangular Ortotrópica) ------------------------------------------------------------ 68

4.4.2 Caso F (Placa SS_F_SS_F Rectangular Ortotrópica) --------------------------------------------------------------- 70

4.4.3 Caso G (Placa SS_SS_SS_SS Quadrangular Ortotrópica) --------------------------------------------------------- 71

4.4.4 Caso H (Placa SS_F_SS_F Quadrangular Ortotrópica) ------------------------------------------------------------ 73

4.4.5 Comentários --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 74

4.5 Sumário -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 75

CAPITULO V - CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHO FUTURO ------------------------------------------------------ 77

5.1 Conclusões ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 77

5.2 Propostas de trabalho futuro ----------------------------------------------------------------------------------------------- 79

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Fontes Bibliográficas ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 81

Anexo A – Geometria da Malha --------------------------------------------------------------------------------------------------- 83

Anexo B – Tabelas de consulta ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 85

Anexo C – Tabela Influência de Parâmetros ------------------------------------------------------------------------------------ 87

Anexo D – Tabelas Optimização Material Isotrópico ------------------------------------------------------------------------- 88

Anexo E – Tabelas Optimização Material Ortotropico ----------------------------------------------------------------------- 91

Anexo F - Algoritmo de Nelder - Mead------------------------------------------------------------------------------------------- 93

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INDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 - De Havilland Mosquito---------------------------------------------------------------------------------------------------1

Figura 1.2 – Estrutura de um painel Sandwich---------------------------------------------------------------------------------2

Figura 1.3 – Exemplo de alguns processos de produção de estruturas Sandwich: Fabrico de estruturas

honeycomb------------------------------------------------------------------------------------------------------5

Figura 1.4 – Exemplo de alguns processos de produção de estruturas Sandwich: Fabrico de estruturas em

núcleo piramidal e tetraédrico-------------------------------------------------------------------------------5

Figura 1.5 – Exemplo de processo de extrusão usada no fabrico de núcleos piramidais e triangulares-----------5

Figura 1.6 – Soldadura em Liquido abrasivo transiente--------------------------------------------------------------------6

Figura 1.7 – Avião Nemesis-----------------------------------------------------------------------------------------------------7

Figura 1.8 – a) Esquis aquáticos GOODE em estruturas Sandwich; b) Prancha de surf Jungle-----------------------7

Figura 1.9 – Iate de Luxo M.Y. Seashaw-------------------------------------------------------------------------------------8

Figura 1.10 – Barco “Spirit of Norway” em construção Sandwich-------------------------------------------------------8

Figura 1.11 – Navio militar em Sandwich-------------------------------------------------------------------------------------8

Figura 1.12 - Bombardier Talent---------------------------------------------------------------------------------------------9

Figura 1.13 – Camiões fabricados em materiais compósitos Sandwich desenvolvidos pela empresa ASEP------9

Figura 1.14 – Contentor de carga para transporte de dispositivos electrónicos--------------------------------------10

Figura 1.15 - Turbina eólica em Sandwich----------------------------------------------------------------------------------10

Figura 1.16 - Edifício na Suécia construído em estruturas Sandwich---------------------------------------------------11

Figura 1.17 – Permutadores de calor---------------------------------------------------------------------------------------11

Figura 1.18 – Diferentes estruturas desenvolvidas pela PLY Engenharia----------------------------------------------12

Figura 1.19 – Estruturas 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® curvas desenvolvidas pela PLY Engenharia-------------------------------------12

Figura 1.20 - Esquema do Funcionamento do Processo de Fabrico da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® – Corte das patilhas, Dobra

e ligamento à chapa Superior------------------------------------------------------------------------------13

Figura 1.21 – Modelo 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® desenvolvido nesta tese----------------------------------------------------------------14

Figura 1.22 - Placa Sandwich rectangular e respectivo Modelo Equivalente-----------------------------------------15

Figura 1.23 – Modelação computacional de um elemento de placa – Optimização de parâmetros geométricos

desenvolvido por Liu, Deng e Lu----------------------------------------------------------------------------16

Figura 1.24 – Configuração da Estrutura Sandwich Honeycomb desenvolvida por Kansas Structural

Composites---------------------------------------------------------------------------------------------------16

Figura 1.25 – Modelo uniforme com aproximação à estrutura 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® -------------------------------------------17

Figura 2.1 – Placa Uniforme-------------------------------------------------------------------------------------------------19

Figura 2.2 – Placa deformada originando um campo de deslocamentos [22] ---------------------------------------21

Figura 2.3 – Momentos Flectores actuantes no elemento infinitesimal [24] -----------------------------------------22

Figura 2.4 – Tensões aplicadas a um elemento de placa [22] -----------------------------------------------------------23

Figura 2.5 – Placa Simplesmente Apoiada a toda a volta (SS_SS_SS_SS) ----------------------------------------------26

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Figura 2.6 – Placa Simplesmente Apoiada e livre (SS_F_SS_F) ----------------------------------------------------------27

Figura 2.7 – Primeiros modos de vibração de placa simplesmente apoiada nas 4 extremidades

(SS_SS_SS_SS) ----------------------------------------------------------------------------------------------------28

Figura 2.8 – Modos de vibração que poderão corresponder à 2ª Frequência natural de uma placa quadrada--29

Figura 3.1 – Geometria 1 - 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® Rectangular -------------------------------------------------------------------------36

Figura 3.2 – Geometria 2 - 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® Quadrangular. a) Perspectiva Isométrica. b) Planta da placa-----------37

Figura 3.3 – Planta da Estrutura rectangular 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® - Vector Soma do campo de deslocamentos –

(훿 á = 0.000646 푚 , 훿 = 0 푚)------------------------------------------------------------------------------40

Figura 3.4 – Planta da Placa uniforme Equivalente Rectangular - Vector Soma do campo de deslocamentos –

(훿 á = 0.002269 푚 , 훿 = 0 푚) -----------------------------------------------------------------------------40

Figura 3.5 – Gráfico da função fornecida pelo software MATHEMATICA para uma espessura h entre 2 e 4 mm e

um módulo de Elasticidade E entre 100 e 200 GPa------------------------------------------------------42

Figura 3.6 – Planta da placa quadrangular 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® - Vector Soma do campo de deslocamentos –

(훿 á = 0.003223 푚 , 훿 = 0 푚)------------------------------------------------------------------------------45

Figura 3.7 – Planta da Placa uniforme Equivalente Quadrangular - Vector Soma do campo de deslocamentos –

(훿 á = 0.057477 푚 , 훿 = 0 푚) -----------------------------------------------------------------------------45

Figura 3.8 – Vector soma do campo de deslocamentos – Placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® – (훿 á = 0.011337 푚 ,

훿 = 0 푚) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------48

Figura 3.9 – Vector soma do campo de deslocamentos – Placa Uniforme Equivalente Rectangular – (훿 á =

3.251 푚 , 훿 = 0 푚) ----------------------------------------------------------------------------------------------48

Figura 3.10 – Vector soma do campo de deslocamentos – Placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® – (훿 á = 0.005788 푚 ,

훿 = 0 푚) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------50

Figura 3.11 – Vector soma do campo de deslocamentos – Placa Uniforme Equivalente Quadrangular –

(훿 á = 0.212373 푚 , 훿 = 0 푚) -----------------------------------------------------------------------------50

Figura 3.12 – Carregamentos aplicados a placas simplesmente apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS).

Placa Rectangular--------------------------------------------------------------------------------------------52

Figura 3.13 – a) Carregamento aplicado a placa simplesmente apoiada e livre (SS_F_SS_F). Placa Rectangular. b)

Sistema de eixos considerado nesta Tese-----------------------------------------------------------------52

Figura 3.14 – Principais diferenças entre FMINUNC e FMINSEARCH (Ponto 1 – Inicio da Optimização; Ponto 2 –

Solução óptima) ----------------------------------------------------------------------------------------------53

Figura 3.15 – Diagrama de sequência de operações realizadas computacionalmente -----------------------------55

Figura 4.1 – Gráfico (escala logarítmica) da função objectivo dependendo de E (GPa) e h (mm) para o

caso A-----------------------------------------------------------------------------------------------------------59

Figura 4.2 – Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso A – Pesos diferentes e Pesos iguais----60

Figura 4.3 – Convergência da Função Objectivo e da Variável de Projecto 퐸 ∗ ℎ em função do número de

iterações - Caso A-------------------------------------------------------------------------------------------62

Figura 4.4 - Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso B – Pesos diferentes e Pesos iguais----63

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Figura 4.5 – Convergência da Função Objectivo e da Variável de Projecto 퐸 ∗ ℎ em função do número de

iterações - Caso B--------------------------------------------------------------------------------------------63

Figura 4.6 - Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso C – Pesos diferentes e Pesos iguais-----64

Figura 4.7 - Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso D – Pesos diferentes e Pesos iguais-----65

Figura 4.8 – Convergência de Módulos de Young e de Elasticidade Transversal em função do número de

iterações - Caso E, Ponto 1---------------------------------------------------------------------------------68

Figura 4.9 – Convergência da Função objectivo, espessura e Coeficiente de Poisson em função do número de

iterações - Caso E, Ponto 1---------------------------------------------------------------------------------69


iterações - Caso F, Ponto 1----------------------------------------------------------------------------------70


iterações - Caso F, Ponto 1---------------------------------------------------------------------------------70


iterações - Caso G, Ponto 2----------------------------------------------------------------------------------71


iterações - Caso G, Ponto 2---------------------------------------------------------------------------------72

Figura 4.14 - Convergência de Módulos de Young e de Elasticidade Transversal em função do número de

iterações - Caso H, Ponto 3----------------------------------------------------------------------------------73


iterações - Caso H, Ponto 3----------------------------------------------------------------------------------73

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INDICE DE TABELAS

Tabela 1.1 – Tipos de Estruturas Periódicas Celulares---------------------------------------------------------------------------3

Tabela 1.2 - Vantagens e desvantagens da construção Sandwich (Tese de Mestrado de M.LEITE, 2004) ---------4

Tabela 3.1 – Propriedades do material e parâmetros geométricos da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® -----------------------------------37

Tabela 3.2 – Comparação dos modos de vibração da placa uniforme equivalente face ao Painel

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® para a placa rectangular e condição de simplesmente apoiada nas 4 extremidades------------------39

Tabela 3.3 – Frequências de vibração da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, e erro percentual de frequências. Modelo de placa

Rectangular.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------40

Tabela 3.4 – Resultados para o cálculo do mínimo da função fornecidos pelo MATHEMATICA para casos

diferentes de distribuição de pesos da função objectivo.----------------------------------------------------------------------42

Tabela 3.5 – Comparação dos modos de vibração da placa uniforme equivalente face ao Painel 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®

para a placa quadrangular e condição de simplesmente apoiada nas 4 extremidades.--------------------------------44

Tabela 3.6 – Frequências de vibração da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, e erro percentual de frequências. Modelo de placa

Quadrangular.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------46


para a placa rectangular e condição de simplesmente apoiada e livre.-----------------------------------------------------47

Tabela 3.8 - Frequências de vibração da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® e da placa uniforme equivalente. Modelo de placa

Rectangular.--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------48


푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® para a placa quadrangular e condição de simplesmente apoiada e livre.--------------------------------49


Quadrangular.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------50

Tabela 4.1 – Definição dos casos de estudo para optimização de parâmetros.-------------------------------------------57

Tabela 4.2 – Tabela Standard de frequências naturais (rad/s) e deformada (metros) para todos os casos de

estudo e desenhos do Modelo Equivalente Uniforme correspondente aos casos.--------------------------------------58

Tabela 4.3 – Pontos testados como condições iniciais de optimização para pesos iguais ------------------------60

Tabela 4.4 – Pontos testados como condições iniciais de optimização para pesos diferentes ------------------60

Tabela 4.5 – Valores óptimos para Placa Rectangular SS_SS_SS_SS – Caso A.--------------------------------------------61

Tabela 4.6 – Valores óptimos para Placa Rectangular SS_F_SS_F – Caso B.------------------------------------------------63

Tabela 4.7 – Valores óptimos para Placa Quadrangular SS_SS_SS_SS – Caso C.------------------------------------------64

Tabela 4.8 – Valores óptimos para Placa Quadrangular SS_F_SS_F – Caso D.---------------------------------------------65

Tabela 4.9 – Valor numérico dos parâmetros fixos não influentes.----------------------------------------------------------67

Tabela 4.10 – Pontos testados como condições iniciais de optimização no MATLAB para todos os casos

ortotrópicos.-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------68

Tabela 4.11 – Resultados testados para placa Rectangular SS_SS_SS_SS Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A2=A7=0,2; A3=A4=A5=A6=0,1) – Caso E.------------------------------------------------------------------------------------68

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Tabela 4.12 – Resultados testados para placa Rectangular SS_F_SS_F Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A3=0,4; A2=0,2) – Caso F.--------------------------------------------------------------------------------------------------------70

Tabela 4.13 – Resultados testados para placa Quadrangular SS_SS_SS_SS Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A4=0,3; A2=A3=0,2) – Caso G.---------------------------------------------------------------------------------------------------71

Tabela 4.14 – Resultados testados para placa Quadrangular SS_F_SS_F Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A3=0,4; A2=0,2) – Caso H.--------------------------------------------------------------------------------------------------------73

Tabela 4.15 – Comparação do somatório de erros para material isotrópico e ortotrópico (caso A e E)

considerando as mesmas condições iniciais de optimização para pesos iguais.------------------------------------------75

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NOMENCLATURA

Abreviaturas

SS Simply Suported – Simplesmente apoiado

SS_SS_SS_SS Simplesmente apoiado nas 4 extremidades de uma placa rectangular/quadrangular

F Free – Livre

C Clamped – Encastrado

SS_F_SS_F Simplesmente apoiado e livre em extremidades opostas de uma placa

rectangular/quadrangular

MEF Método dos elementos finitos

Simbologia

푥, 푦, 푧 Direcções principais dos eixos coordenados

푢 Deslocamento na direcção 푥

푣 Deslocamento na direcção 푦

휀 , 휀 , 휀 Extensões normais

휎 ,휎 ,휎 Tensões normais

휏 , 휏 , 휏 Tensões tangenciais de corte no plano 푥푧 , 푦푧 e 푥푦

{휎} Vector de Tensões

{휀} Vector de Extensões

퐸,퐸 ,퐸 Módulos de Elasticidade/Módulos de Young

, , Coeficientes de Poisson

Coeficiente de Poisson no plano 푥푦

Coeficiente de Poisson no plano 푥푧

Coeficiente de Poisson no plano 푦푧

퐺 Módulo de elasticidade transversal

퐺 , 퐺 , 퐺 Módulo de elasticidade transversal ao plano 푥푦, 푦푧 푒 푥푧

[퐷] Matriz constitutiva

푀 Momento flector normal ao plano 푦푧

푀 Momento flector normal ao plano 푥푧

푀 ,푀 Momento torsor normal aos planos 푥푧 e 푦푧

푄 ,푄 Esforços transversos segundo os eixos 푥 e 푦

퐷 ,퐷 ,퐷 Módulos de rigidez à flexão

퐷 Módulo de rigidez à torsão

___________________________________________________________________________________________

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퐵 Rigidez de torsão efectiva

ℎ Espessura da placa

휌 Densidade/massa volúmica

푃 Força actuante na placa na direcção 푧

푝∗ Força de inércia

휔 Frequência natural de vibração

푎 Comprimento da placa na direcção 푥

푏 Largura da placa na direcção 푧

푊 Amplitude de vibração da placa

푚 Parâmetro referente ao número de ondas sinusoidais na direcção 푥

푛 Parâmetro referente ao número de ondas sinusoidais na direcção 푧

[푀] Matriz de massa

[퐾] Matriz de rigidez

푋 Vector de variáveis de projecto

푓(푋) Função objectivo que depende das variáveis de projecto 푋

훿 Deformada da estrutura

푞 Carga de pressão uniformemente distribuída na estrutura

푤 Frequência natural de vibração do modo 푖 para o modelo teórico

푤 Frequência natural de vibração do modo 푖 para o modelo real

훾 Extensão de corte

___________________________________________________________________________________________

Página 1

CAPITULO I

1.1 Introdução

Na actualidade existem numerosas estruturas e de diversos modelos. Um dos géneros que se destacam são as

estruturas Sandwich. As suas primeiras aplicações apareceram na 1ª Guerra Mundial, em painéis com faces de

amianto e núcleo de fiberboard, no entanto, foi na 2ª Guerra que se começaram a produzir grandes

quantidades de laminados Sandwich destinados ao fabrico da aeronave Mosquito. [1]

Figura 1.1 - De Havilland Mosquito

Este avião britânico mostrado na figura 1.1 foi projectado como bombardeiro pela De Havilland em 1938 e

usado pela Royal Air Force durante a 2ª Guerra Mundial. Inicialmente o ministro do Ar não demonstrou

interesse no aparelho e arquivou-o. Só depois do inicio da guerra em 1940 foi permitido ao construtor começar

a produção. Quando o avião foi demonstrado aos militares e oficiais do governo, estes ficaram impressionados

porque o bombardeiro possuía capacidades de um caça, atingindo uma velocidade máxima de 650 km/h.

Terminados os testes oficiais começou a produção em série em Junho de 1941. A estrutura da aeronave era

constituída por estruturas Sandwich com núcleo em madeira balsa, tornando-a leve e resistente.

1.2 Estruturas Sandwich

Uma estrutura Sandwich convencional é geralmente constituída por três elementos base, as duas faces e o

núcleo, sendo estes elementos unidos por um adesivo. As faces são as camadas externas e têm pouca

espessura, encontrando-se separadas por um núcleo, que forma a camada intermédia, sendo este sempre o

elemento de maior espessura na Sandwich, como ilustrado na figura 1.2. As faces são geralmente fabricadas

em material de alta resistência (aços, compósitos fibrosos), enquanto no núcleo normalmente são utilizados

materiais com baixo peso específico (madeira balsa, espumas poliméricas, papel kraft em favo de abelha, etc.)

[4].

___________________________________________________________________________________________

Página 2

Figura 1.2 – Estrutura de um painel Sandwich

1.2.1 Materiais em estruturas Sandwich

Materiais das Faces

Os materiais que geralmente são usados nas faces podem ser divididos em dois grandes grupos: os metálicos e

os não metálicos. O comportamento das faces pode ser isotrópico, ortotrópico ou anisotrópico. Dentro dos

materiais metálicos destacam-se os aços e as ligas de alumínio, muito utilizados pela sua resistência. O grupo

dos não metálicos é mais variado, como os compósitos, a madeira, plásticos e cerâmicos. [1]

Materiais do Núcleo

O material do núcleo caracteriza-se pelo baixo peso específico. Sendo assim, o objectivo será sempre construir

uma estrutura cujo núcleo contenha um material de adição leve. Por isso são usados para esse fim diversos

tipos de material, tais como: as espumas poliméricas (este tipo de materiais caracteriza-se por ser barato,

frequentemente usados para amortecer choques, bons isoladores térmicos e acústicos, têm também a

capacidade de absorver energia e são leves, no entanto algumas contêm imperfeições, defeitos ou

irregularidades que as estruturas periódicas celulares não apresentam, como as espumas estocásticas de

alumínio), a madeira e ainda certos materiais compósitos. [6]

1.2.2 Estruturas Periódicas Celulares

Existem já diversas estruturas que apresentam núcleo celular periódico cuja grande vantagem é a elevada

rigidez combinado com o baixo peso, adquirindo desta forma uma melhor performance, e abrangendo um

vasto leque de aplicações, tornando-se multi-funcional, tendo no entanto como principal desvantagem a sua

complexidade em termos de produção industrial, acarretando desta forma custos elevados.

Este tipo de estruturas poderá dividir-se em 3 grupos diferenciados: Estruturas Honeycomb (Células fechadas,

são muito rígidas e leves, têm uma elevada resistência ao choque, tornando-as mais competitivas face as

espumas pois apresentam uma maior regularidade geométrica para alem de serem recicláveis pois são feitas

exclusivamente de materiais metálicos - aço ou alumínio), Estruturas Prismáticas (Células parcialmente

___________________________________________________________________________________________

Página 3

abertas, permitem a condução de calor ou água), e Estruturas Treliça (células completamente abertas,

facilitam a circulação de fluidos e são eficientes suportando elevadas cargas à flexão), ver tabela 1.1. A

geometria a seleccionar depende assim da aplicação que se pretende implementar à estrutura. [8], [6]

Estruturas Honeycomb (células

fechadas)

Estruturas Prismáticas (células

parcialmente abertas)

Estruturas Treliça (tetraédrica,

piramidal, e 3D Kagomé)

Outras Estruturas Treliça: estrutura

diamante e estrutura quadrada

Tabela 1.1 – Tipos de Estruturas Periódicas Celulares

As células que constituem os painéis Sandwich podem orientar-se segundo um determinado ângulo que é

optimizado para melhorar a performance e obter as melhores vantagens, por exemplo para uma melhor rigidez

ao corte e a flexão as células são fabricadas com uma orientação a 45 graus em aço inox. [6]

1.2.3 Vantagens e Desvantagens dos painéis Sandwich

As principais vantagens são de um modo geral: a elevada resistência mecânica e rigidez específica, bom

comportamento à flexão, baixa densidade relativa, boa resistência ao impacto e favorável isolamento térmico e

acústico. São também dotados de excelentes capacidades de absorver energia no choque.

As principais desvantagens prendem-se com a variedade de materiais que por vezes torna difícil ao projectista

uma escolha adequada dos mesmos, bem como fraca possibilidade de reciclagem, tornando desta forma uma

maior intervenção de custos em termos de matérias-primas. Para além disso existem também elevados custos

associados aos processos de fabrico.

Na tabela 1.2 apresentam-se resumidamente as mais importantes vantagens e desvantagens da construção dos

painéis Sandwich.

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Página 4

Tabela 1.2 - Vantagens e desvantagens da construção Sandwich (Tese de Mestrado de M.LEITE, 2004). [4]

1.2.4 Processos de Fabrico

Ao longo dos tempos, têm sido desenvolvidas numerosas aproximações para construir estruturas metálicas no

laboratório de materiais periódicos celulares da University of Virginia.

Para fabricar uma estrutura Sandwich em células abertas periódicas o mais complicado em termos industriais é

o núcleo e o que traz maiores custos de produção. Por exemplo, as conhecidas estruturas honeycomb

hexagonais são feitas a partir de laminagem de chapa em aço, para posteriormente serem soldadas a outras

chapas através de eléctrodos e cortadas com a altura pretendida do painel estrutural, ver figura 1.3. Este

método poderá também ser usado para núcleos quadrados ou triangulares.

Quanto às estruturas em núcleo tetraédrico ou piramidal primeiramente é cortada a chapa com um punção de

corte com a geometria pretendida (ou pode ser cortada através de métodos de jacto de agua ou laser) e depois

através de um punção angular e de um cunho com ângulos optimizados desenvolve-se o modelo pretendido,

ver figura 1.4. [2] A desvantagem deste último método é o desperdício de material (resultante das sobras do

punção de corte) trazendo consigo custos acrescidos.

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Figura 1.3 – Exemplo de alguns processos de produção de estruturas Sandwich: Fabrico de estruturas

honeycomb

Figura 1.4 – Exemplo de alguns processos de produção de estruturas Sandwich: Fabrico de estruturas em

núcleo piramidal e tetraédrico

Para além destes processos enunciados acima existem outros, tal como a extrusão, em que o material é

forçado a entrar num matriz aberta, ver figura 1.5.

Figura 1.5 – Exemplo de processo de extrusão usada no fabrico de núcleos piramidais e triangulares.

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Assim, as estruturas de topologia prismática podem ser fabricadas a partir de um punção que faz flectir a

chapa, Fig.1.4; através de operações de rolos progressivos, Fig.1.3, ou ainda através de técnicas de extrusão,

Fig.1.5. São métodos preferíveis quando a estrutura tem uma baixa densidade.

Os núcleos podem ainda ser executados através de injecção de uma cera ou de um polímero por molde (usado

por exemplo para núcleos de geometria complexa ou para chapas de tamanho e peso considerável) ou através

de prototipagem rápida (método mais automatizado). Exemplos de estruturas onde se aplicam estes métodos

são por exemplo as de núcleo piramidal, tetraédrico e 3D Kagomé. [3], [11]

Os processos de ligação dos nós das chapas que constituem o núcleo são geralmente soldadura em líquido

abrasivo, como mostra a figura 1.6. Para a maioria dos aços inox, superligas e ligas de cobre poderá ser usado

um processo de líquido de fase transiente, ver figura abaixo um tipo de soldagem feita através deste método.

[2]

Figura 1.6 – Soldadura em Liquido abrasivo transiente.

1.2.5 Campos de Aplicação

Um dos campos de aplicação onde tem havido enorme sucesso deste tipo de estruturas é nos aviões.

Por exemplo, nas corridas aéreas de aviões há alturas em que aqueles e os seus pilotos têm de suportar

elevadas forças G. Em 51 anos de corridas aéreas, uma das que teve maior sucesso foi a de Nemesis (figura

1.7), pois em apenas 8 anos este avião e o seu piloto registaram 15 recordes Mundiais de velocidade, devido ao

facto deste avião ter uma fuselagem e asas feitas com base em estruturas Sandwich de compósitos,

fornecendo desta forma a resistência necessária para suportar forças de elevados G, enquanto minimizava o

peso, conseguindo uma performance excepcional.

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Figura 1.7 – Avião Nemesis

Também nos desportos aquáticos atingiram-se novas marcas. Os esquis aquáticos assentes em Sandwich têm

dominado campeonatos regionais e nacionais nos Estados Unidos. Por exemplo, os esquis GOODE ganharam

mais medalhas nos campeonatos nacionais dos Estados Unidos comparativamente aos esquis convencionais.

Um dos factores que mais contribuiu para este desempenho foi o facto de desfrutarem deste tipo de estrutura

oferecendo maior leveza, flexibilidade e melhor controle hidrodinâmico que qualquer outro esqui.

Um outro exemplo típico é a estrutura das pranchas de surf, ou as pranchas de Snowboard também

construídas em Sandwich para ficarem mais leves e rígidas tornando-as mais competitivas, fig. 1.8.

Figura 1.8 – a) Esquis aquáticos GOODE em estruturas Sandwich; b) Prancha de surf Jungle

Os iates de luxo depressa começaram a aderir a esta tecnologia. O M.Y. Seashaw, na figura 1.9 é um verdadeiro

mega iate construído em Hong Kong em estruturas Sandwich com núcleo DIAB que providencia isolamento

térmico e acústico, excelentes acabamentos superficiais e um baixo peso estrutural, obtendo-se desta forma

elevado conforto e menor resistência ao deslocamento.

Outro exemplo é o barco Spirit of Norway da figura 1.10 que se consagrou campeão do mundo em 1998 por ter

beneficiado desta vantajosa construção.

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Página 8

Figura 1.9 – Iate de luxo M.Y. Seashaw

Figura 1.10 – Barco “Spirit of Norway” em construção Sandwich

Os navios militares da marinha também deram um salto qualitativo na concepção de máquinas que

ultrapassem desafios constantes. Estes navios exigem estruturas muito resistentes capazes de aguentar tanto

quanto possível explosões de minas submarinas, e as estruturas Sandwich com núcleo DIAB (DIAB é uma

empresa produtora de diferentes materiais de núcleo) foram a escolha para aumentar a ductilidade dos navios,

figura 1.11.

Figura 1.11 – Navio militar em Sandwich

No sector dos transportes (nomeadamente no sector automóvel, comboios, bicicletas) também tem vindo a

crescer este tipo de construção uma vez que ao usar-se este tipo de estrutura conduz-se a uma diminuição do

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consumo de combustível já que torna os mesmos mais leves. As suas boas propriedades isotérmicas também

são a razão da sua aplicação em transportes onde se requer este tipo de cuidados. Por exemplo, ao operar um

comboio mais leve e com melhor isolamento térmico, os caminhos-de-ferro podem poupar na energia gasta

para mover o comboio e na sua climatização, aspecto muito relevante nos dias que correm, caso do

Bombardier Talent na Alemanha, como se ilustra na figura 1.12.

Figura 1.12 - Bombardier Talent [10]

Após alguma pesquisa a empresa ASEP (empresa de engenharia) decidiu optar por um guincho de camião

fabricado em materiais compósitos Sandwich porque este proporcionaria um desempenho muito superior e

maior flexibilidade operacional oferecendo a combinação ideal de resistência e rigidez necessária a elevados

ciclos de carga a que os camiões estão sujeitos diariamente.Como a unidade inclui também uma cabine para os

operadores, as características de isolamento foram particularmente importantes para que o veículo fosse capaz

de operar em temperaturas agressivas, variando de -40 a 60 ° C, ver fig. 1.13.

Figura 1.13 – Camiões fabricados em materiais compósitos Sandwich desenvolvidos pela empresa ASEP.

Algumas empresas que se dedicam a desenvolver e produzir pequenos dispositivos electrónicos

(computadores, telemóveis, etc..) necessitam de contentores de carga com boas capacidades térmicas para

poder exportar os seus produtos. Os contentores terão de ser capazes de suportar acelerações e

desacelerações dos aviões e variações de temperatura. Uma das soluções possíveis é a construção Sandwich

que oferece excelentes propriedades mecânicas e condições de isolamento térmico, como se observa na fig.

1.14.

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Página 10

Figura 1.14 – Contentor de carga para transporte de dispositivos electrónicos.

Hoje em dia, a produção de energia barata é de grande importância e também neste aspecto a construção

Sandwich se aplica. A produção de energia eólica é um bom exemplo disto. A cabine da turbina da figura 1.15,

é construída em Sandwich puro, proporcionando isolamento sonoro, alta resistência (para suportar elevadas

pressões do vento) e baixo peso.

Figura 1.15 - Turbina eólica em Sandwich

Na construção civil, e no mobiliário também já existem aplicações a este nível. Em diversos países começou a

usar-se a Sandwich nas estruturas das casas. Estas placas tornam-se 75% mais leves que as tradicionais e

podem por isso ser facilmente colocadas em posição por apenas uma pessoa sem o risco de lesões: O

resultado? Um prédio construído em menos tempo de uma forma mais segura e por menos operários. É o que

acontece por exemplo, na Suécia, ver fig. 1.16. Esta construção é também vantajosa face à madeira pois não

absorve humidade nem apodrece, e possui também maior resistência à fadiga.

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Página 11

Figura 1.16 - Edifício na Suécia construído em estruturas Sandwich

Como se viu, existem numerosas e tão diversas aplicações no âmbito do mercado Sandwich. São múltiplas as

soluções que já percorrem o mundo, melhorando uma série de aspectos. De uma maneira geral, quando se

requer baixo peso, alta resistência, boas capacidades de isolamento térmico e acústico, as estruturas Sandwich

tornam-se muito competitivas.

Nos painéis solares também podemos aplicar esta tecnologia, bem como nos permutadores de calor, ver figura

1.17. O facto de existirem células abertas no núcleo permite que o fluxo de calor circule com maior facilidade.

Assim o ar frio entra num lado e havendo trocas de calor (devido à elevada capacidade de condutividade

térmica do material do núcleo – aço ou alumínio) permite a que o ar saia quente do lado oposto.

Figura 1.17 – Permutadores de calor [6]

1.3 Uma inovação denominada 푶푷푬푵푪푬푳푳®

Foi desenvolvida recentemente uma técnica inovadora de produzir estruturas Sandwich, na qual uma placa de

metal é cortada e dobrada para formar o núcleo do painel. Esta nova solução promete superar as tradicionais

estruturas Sandwich de metal pois é detentora de uma maior rigidez e menor peso (sem adição de material)

podendo ser repartida por diversos campos de aplicação.

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Página 12

O inventor desta surpreendente inovação é António Valente, Engenheiro Mecânico, da PLY Engenharia

(pequena empresa que desenvolve outros projectos) que faz parceria com Outokumpu para patentear a

invenção e expandir o projecto de pesquisa no desenvolvimento do conceito. Durante o desenvolvimento

deste conceito outras ideias foram aparecendo para novas estruturas, usando modelos computacionais para

estudar o comportamento mecânico das mesmas. [15]

Figura 1.18 – Diferentes estruturas desenvolvidas pela PLY Engenharia [15]

Foram desenvolvidas novas estruturas porque as primeiras apresentavam grandes deformações ao corte. E as

últimas desenvolvidas (Figura 1.18) foram as que conseguiram a melhor performance. Foram também

consideradas estruturas curvas para outro tipo de aplicações (estruturas de barcos, por exemplo – Figura 1.19).

O objectivo será sempre maximizar a rigidez específica do painel, pois é inversamente proporcional à deflexão

sofrida pela mesma [15].

Figura 1.19 – Estruturas 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® curvas desenvolvidas pela PLY Engenharia [16]

1.3.1 O Conceito

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® é um painel estrutural do tipo Sandwich inovador que promete revolucionar o mercado. Tem

capacidades para diversas aplicações nomeadamente nos seguintes campos (para além de conseguir dar

resposta a todas as outras aplicações apresentadas no capítulo anterior):

Estruturas navais, ferroviárias, rodoviárias

Permutadores de calor

Sistemas de absorção de energia

Isolamento térmico e acústico/Barreiras de som/ Portas Segurança e à prova de fogo

Contentores de Carga

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Página 13

Decoração de Interiores ou escritório/ Fachadas/Construção Civil

Estruturas sujeitas a choques

Plataformas de Helicópteros

Estruturas base de Ventoinhas Eólicas, etc …

Possui registo de patente solicitado na Finlândia, Estados Unidos e Portugal, e potencia a solução para diversos

constrangimentos dos painéis estruturais tradicionais, com vantagens diferenciadoras tais como:

Isotropia quando comparada com a tradicional chapa canelada e soluções similares;

Não tem adição de material para unir as placas do painel o que produz um aumento do

coeficiente rigidez/peso;

Utilização de materiais 100% recicláveis;

Adicionar funcionalidades extra para além da função estrutural;

Adaptação às necessidades específicas de cada sector e de cada cliente.

Este painel tanto pode ser aplicado a macroestruturas como a microestruturas. A inovação deste conceito

passa principalmente pelo processo industrial, tendo apenas 2 placas finas consegue-se criar patilhas através

de processo de corte e dobra da chapa inferior, o que vai fazer com que mantendo o mesmo material (menos

peso em relação aos painéis Sandwich que possuem adição de material) se aumente a rigidez e a resistência do

painel. A placa superior é depois unida por um processo de ligação (soldadura por exemplo) à placa inferior

(figura 1.20).

Figura 1.20 - Esquema do Funcionamento do Processo de Fabrico da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® – Corte das patilhas, Dobra

e ligamento à chapa Superior [15]

___________________________________________________________________________________________

Página 14

Esta tese aborda o estudo de uma das estruturas desenvolvidas pela PLY Engenharia, como ilustra a figura 1.21.

Figura 1.21 – Modelo 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® desenvolvido nesta tese.

1.3.2 Motivação e Objectivos

As placas Sandwich são amplamente usadas na indústria automóvel, aeroespacial e naval. Necessitam de uma

análise em termos de comportamento estático e dinâmico, entre outros aspectos, com o objectivo de conceber

aplicações específicas.

Apesar de haver já no mercado estruturas cada vez mais competitivas, pode sempre melhorar-se o que já

existe de forma a liderar a procura deste tipo de tecnologia para solucionar variados problemas. As estruturas

existentes no mercado trazem subjacentes processos de fabrico que exigem muitas vezes elevados custos, ou

possuem núcleos com aplicações muito específicas.

Surge assim a 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, estrutura desenvolvida pela PLY Engenharia, como objecto de estudo desta tese.

Pretende-se desenvolver um modelo computacional de placa uniforme que consiga aproximar as frequências

naturais e a deformada optimizando as propriedades de material e a espessura da placa uniforme,

aproximando-a da inovadora 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, prevendo assim o seu comportamento.

Futuramente, teremos um modelo equivalente que irá certamente responder com rapidez e reduzidos custos a

diversas situações.

1.3.3 Estado de Arte

Existem estruturas das quais não se conhecem modelos teóricos que permitem prever o seu comportamento

mecânico, por serem estruturas complexas. Desta forma torna-se essencial criar um modelo equivalente

teórico conhecido de forma a aproxima-lo o mais possível da estrutura que pretendemos estudar.

Em França, Franck Cléro recorreu ao processo de homogeneização numérico para aproximar as frequências de

um modelo equivalente com a estrutura honeycomb considerando material Ortotrópico, optimizando desta

forma determinados parâmetros influentes como sejam os módulos de rigidez e de elasticidade transversal (Ez,

Gyz e Gxz) entre as 9 propriedades Ortotropicas da honeycomb com o objectivo de aproximar o

comportamento dinâmico. Desta forma tornava-se previsível o comportamento da honeycomb. [12]

Um novo modelo computacional foi também desenvolvido por Liu, Deng, e Lu em 2007 para prever o

comportamento mecânico de 3 tipos de núcleo: Piramidal, Kagomé, e núcleo ondulado (geometrias mostradas

na figura 1.22). Utilizando a técnica de homogeneização uma vez mais pretende-se obter propriedades

macroscópicas do núcleo, através da modulação por elementos finitos (ANSYS) para prever o comportamento

___________________________________________________________________________________________

Página 15

estático e dinâmico do painel Sandwich. Aqui foram abordadas apenas estruturas quadrangulares com núcleos

celulares.

Figura 1.22 - Placa Sandwich rectangular e respectivo Modelo Equivalente [13]

Sujeitou-se a placa a um determinado carregamento e a uma determinada condição fronteira (lados todos

fixos). Outro dos estudos a ter em conta nesta análise foi a variação de carga de pressão na placa Sandwich,

bem como o comportamento da placa quanto à sua deflexão máxima e quanto a sua energia absorvida.

Também a variação de altura e espessura da estrutura Sandwich foram analisadas.

As frequências naturais também foram tidas em conta nesta modulação. Daqui conclui-se que o modelo

equivalente poderá ser considerado como uma boa ferramenta para futuros projectos em comportamento

estático e dinâmico de painéis Sandwich com núcleos celulares, como o núcleo piramidal e o 3D Kagomé, tendo

em conta material Ortotropico. [13]

Já antes disso em 2006 Liu, Deng, e Lu também optimizaram uma estrutura tendo em conta 3 tipos de variáveis

de projecto: topológica (associado ao numero óptimo de patilhas num elemento de placa); forma (interligada

com a dimensão da placa unitária D, e a altura do painel h); dimensões (relacionado com a espessura t das

placas finas que se juntam ao núcleo, e com os raios críticos das patilhas) – Figura 1.23. [17]

___________________________________________________________________________________________

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Figura 1.23 – Modelação computacional de um elemento de placa – Optimização de parâmetros geométricos

desenvolvido por Liu, Deng e Lu [17]

O modelo da figura 1.24 foi estudado por Justin Robinson, Julio F. Davalos, Pizhong Qiao, mas foi desenvolvido

por Kansas Structural Composites e consiste em 2 placas laminadas formadas por um núcleo com componentes

planas e sinusoidais. Concebido com o objectivo de aumentar a rigidez e a capacidade de suportar altas

deformações. As propriedades equivalentes das faces são obtidas usando modelos micro e macro mecânicos,

enquanto as propriedades Ortotrópicas do núcleo são obtidas através de um processo de homogeneização

usando uma combinação do método energético com abordagem da mecânica dos materiais.

Figura 1.24 – Configuração da Estrutura Sandwich Honeycomb desenvolvida por Kansas Structural Composites

[14]

Foi desenvolvido um modelo equivalente fazendo variar a orientação da fibra no que toca às faces laminadas

obtendo propriedades de rigidez para cada uma das combinações. Estas foram obtidas segundo a teoria

clássica dos laminados. Também no que toca ao núcleo se optimizaram as propriedades de rigidez.

Duas situações foram abordadas na procura do modelo equivalente: flexão em 3 pontos e flexão em 4 pontos

de apoio, segundo a orientação do núcleo longitudinal e transversal, para aproximar a tensão e a deformada.

Para além disto também se modelou a estrutura à torsão. [14]

___________________________________________________________________________________________

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Na sua tese de mestrado, Oghumu concebeu em 2002 uma estrutura equivalente em pontes para encontrar

propriedades geométricas e elásticas do material ortotrópico da estrutura FRP Honeycomb, observando o seu

comportamento no plano (axial) e fora do plano (flexão). O objectivo foi um aumento da rigidez com o peso

mínimo. [18]

Com isto conclui-se de uma forma geral que a proposta de um modelo equivalente poderá ser uma ferramenta

interessante na medida em que ajuda na decisão sobre a escolha dos parâmetros geométricos e mecânicos (ou

outros), alem de tornar a optimização mais rápida e com custos reduzidos, salvaguardando esforços acrescidos

na procura de soluções óptimas.

1.4 Problema e Metodologia usada

Esta tese tem como objectivo caracterizar as propriedades mecânicas do material de um modelo

computacional de placa uniforme (2D) para aproxima-lo da estrutura 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® em comportamento

dinâmico (frequências naturais) e em comportamento estático (deformada quando sujeita a uma carga de

flexão uniformemente distribuída), tal como demonstrado na figura 1.25.

Figura 1.25 – Modelo uniforme com aproximação à estrutura 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®

Para uma melhor avaliação do modelo final alguns parâmetros de estudo são abordados, tais como: 2 tipos de

geometria (para além da geometria apresentada na figura 1.25, foi estudada outro tipo), 2 tipos de condição de

fronteira, espessura fixa e variável, material isotrópico linear, e material ortotrópico linear.

A optimização é elaborada na procura de uma espessura ideal, e de propriedades mecânicas do material (como

sejam 퐸 퐸 ,퐺 ,휈 ) óptimas para aproximar as frequências naturais e a deformada de ambas as estruturas. A

ferramenta usada para tal é o software de cálculo matemático MATLAB em interacção com o programa de

elementos finitos ANSYS, bem como a Teoria Clássica de Placas.

___________________________________________________________________________________________

Página 18

1.5 Estruturação da Tese

Esta tese é constituída por 5 capítulos.

No capítulo 2 é elaborada uma análise teórica ao tema desenvolvido durante a tese. A teoria clássica de placas

aborda campo de deslocamentos, momentos flectores e esforços transversos, equações de equilíbrio estático e

dinâmico quer para material isotrópico quer para ortotrópico. Para além disso também neste capítulo são

referidas as condições de fronteira estudadas bem como os métodos de Levi e Navier que geram soluções para

frequências naturais de vibração e modos. Também é referido o método dos elementos finitos e a equação de

comportamento dinâmico na forma matricial.

No capítulo 3 são descritas as fases que integram um projecto de optimização estrutural, particularizando para

o caso desta tese. São referidas as funções objectivo e as variáveis de projecto para os casos abordados (tipos

de geometria, condições fronteira, e material isotrópico e ortotrópico). Ainda neste capítulo, será apresentado

o método de minimização da função objectivo usado – Fminsearch, bem como o algoritmo de optimização de

Nelder- Mead que está por trás do seu funcionamento. Por fim, é ilustrado um fluxograma de simulação

computacional, a fim de perceber o funcionamento da optimização do modelo em termos computacionais.

No capítulo 4 são apresentados os resultados em termos gráficos e sob a forma de tabelas, e discussão dos

mesmos. Com isto surge um modelo equivalente ao modelo real ( 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®) cumprindo assim o objectivo

declarado no capítulo 1.

Finalmente, no capítulo 5 são apresentadas as conclusões e propostas de continuação do trabalho em termos

futuros.

___________________________________________________________________________________________

Página 19

CAPITULO II - REVISAO TEORICA

2.1 Teoria Clássica de Placas

2.1.1 Introdução

A Teoria Clássica de Placas foi apresentada em 1816 por Germain e Lagrange. Em 1876 Kirkchhoff introduziu na

teoria de placas o efeito de membrana. Em 1910 Von Karman desenvolveu a teoria não linear de placas e em

1923 a teoria de placas ortotrópicas foi apresentada por Huber. Mais tarde em 1954 as teorias de placas

espessas foram desenvolvidas por Reissner e Mindlin.

As placas são elementos estruturais limitados por duas superfícies planas distanciadas entre si de uma

grandeza designada por espessura. No caso da dimensão da espessura ser muito menor que as dimensões

restantes, a placa é designada por Placa Fina, representada na Figura 2.1. A superfície média da placa é um

plano equidistante das superfícies externas da placa. No caso das placas finas é possível estabelecer a Teoria

Clássica de Placas Finas, desenvolvida por Lagrange em 1811 e para a qual são consideradas válidas as

chamadas hipóteses de Kirchhoff. [20,21]

Figura 2.1 – Placa Uniforme

No qual: u,v,w – deslocamentos; x,y,z – coordenadas

2.1.2 Hipóteses

As hipóteses básicas [20,21] da teoria clássica de placas são designadas por hipóteses de Kirkchhoff,

consideradas válidas para placas finas:

O material da placa é elástico, homogéneo e isotrópico;

A placa é inicialmente plana;

A espessura da placa é pequena em comparação com as outras dimensões, que são pelo menos 10

vezes maiores do que a espessura (a> 10h, b> 10h);

O deslocamento transversal é pequeno em comparação com a espessura h;

___________________________________________________________________________________________

Página 20

As deformações angulares da superfície média são pequenas comparadas à unidade;

As cargas dinâmicas ou estáticas são aplicadas perpendicularmente à superfície da placa;

A deformada da placa é tal que linhas rectas inicialmente perpendiculares à superfície média

permanecem rectas e perpendiculares;

As deformações devidas ao corte são desprezadas;

As deformações são tais que os planos normais à superfície média continuam perpendiculares à

superfície média depois da deformada ( = = 0);

As tensões normais que actuam perpendicularmente à superfície média podem ser desprezadas -

= 0, pois são irrelevantes quando comparadas com as tensões e ;

As extensões da superfície média são desprezáveis em comparação com as extensões de flexão (u=v=0

na superfície média).

2.1.3 Lei Constitutiva ou Lei de Hooke Generalizada

Placas de material Ortotrópico

Pelas hipóteses consideradas acima, as tensões , e são nulas e consequentemente temos um estado

de tensão plana cuja lei constitutiva [22, 24] de materiais ortotrópicos é:

{휎} = [퐷]{휀}휏

=

⎣⎢⎢⎢⎡

0

0

0 0 퐺푥푦⎦⎥⎥⎥⎤ 휀휀훾

(2.1)

Onde {휎} e {휀} são os vectores das tensões e extensões, E e E são os módulos de Elasticidade, 휈 푒 휈 são os

coeficientes de Poisson, 퐺 é o módulo de elasticidade transversal ao plano xy, 휏 é a tensão de corte no

plano xy, e 훾 é uma extensão de corte.

Sendo 휏 = 2퐺휀푥푦.

Placas de Material Isotrópico

Para material isotrópico com comportamento linear elástico a lei de Hooke generalizada simplifica-se.

Passamos a ter então o seguinte [22, 24]:

{휎} = [퐷]{휀}휏

= 1 휈 0휈 1 00 0

휀휀훾

(2.2)

Para material isotrópico 퐺 = ( )

___________________________________________________________________________________________

Página 21

2.1.4 Campo de Deslocamentos

Figura 2.2 – Placa deformada originando um campo de deslocamentos. [22]

Com referência à figura 2.2 e considerando as hipóteses definidas acima podemos expor o campo de

deslocamentos [22], salientando que este é apenas função do deslocamento transversal:

푢 = 푢 (푥,푦) − 푧 ( , )

푣 = 푣 (푥, 푦) = −푧 ( , )

푤 = 푤(푥,푦)

(2.3)

O campo de deslocamentos é análogo tanto no caso de material ortotrópico como isotrópico.

2.1.5 Extensões

O vector das extensões [22,24] é dado por:

{휀} =휀휀훾

=

⎩⎪⎨

⎪⎧

+ ⎭⎪⎬

⎪⎫

= −z

⎩⎪⎨

⎪⎧

2 ⎭⎪⎬

⎪⎫

(2.4)

2.1.6 Tensões


O vector das tensões é gerado pela aplicação da Lei de Hooke [22, 24] e é dado por:

{휎} = [퐷]{휀} =

⎣⎢⎢⎢⎡

0

0

0 0 퐺푥푦⎦⎥⎥⎥⎤

⎩⎪⎨

⎪⎧ −z

−z

−2z ⎭⎪⎬

⎪⎫

(2.5)

Expandindo a expressão resulta:

휎 = −E z

1− 휈 휈푑 푤푑푥 + 휈

푑 푤푑푦

휎 = −

+ 휈 (2.6)

휏 = −(2z)퐺푥푦 .

___________________________________________________________________________________________

Página 22

Placas de material Isotrópico

Da mesma forma para material isotrópico com comportamento linear elástico [21] temos:

{휎} = [퐷]{휀} = 1 휈 0휈 1 0 0 0

⎩⎪⎨

⎪⎧

2 ⎭⎪⎬

⎪⎫

(2.7)

Logo ficamos com:

휎 = −퐸푧

1 − 휈푑 푤푑푥 + 휈

푑 푤푑푦

휎 = − + 휈 (2.8)

휏 = −

2.1.7 Equações clássicas de Momentos Flectores e Esforços Transversos

Usando-se as hipóteses de teoria de placas e considerando-se um elemento de placa de dimensões 푑푥 e 푑푦,

submetido a uma carga distribuída q, o equilíbrio é obtido a partir dos momentos flectores 푀 e 푀 ,

momentos de torção 푀 e 푀 e esforços transversos 푄 e 푄 resultantes das forças de corte, que actuam

nas faces dos elementos de placa, figura 2.3.

Figura 2.3 – Momentos Flectores e Esforços Transversos actuantes no elemento infinitesimal. [24]

___________________________________________________________________________________________

Página 23


Os Momentos Flectores [22, 24] são dados por:

푀 = ∫ 휎 푧 푑푧 = −퐷 + 휈 = −( )

+ 휈

푀 = ∫ 휎 푧 푑푧 = −퐷 + 휈 = −( )

+ 휈

푀 = ∫ 휏 푧 푑푧 = −2퐷 = =

(2.9)

Sendo 퐷 = o módulo de rigidez à torção. Também 푀 = ∫ 휏 푧 푑푧 = 푀 pois 휏 = 휏 = 휏, figura

2.4.

Os deslocamentos da placa calculados pela Teoria da Elasticidade dependem da dimensão da placa, das

condições de fronteira, do carregamento, e das propriedades do material.

Figura 2.4 – Tensões aplicadas a um elemento de placa. [22]

Os esforços transversos [22, 24] para material ortotrópico são:

푄 =휕푀휕푥 +

휕푀휕푦 = −퐷

휕 푤휕푥 − 퐵

휕 푤휕푥휕푦

(2.10)

푄 =휕푀휕푦 +

휕푀휕푥 = −퐷

휕 푤휕푦 − 퐵

휕 푤휕푥 휕푦

퐵 = 휈 퐷 + 휈 퐷 + 4퐷 (2.11)


Os Momentos flectores por unidade de comprimento são os seguintes [22, 24]:

푀 = ∫ 휎 푧 푑푧 = −퐷 + 휈

푀 = ∫ 휎 푧 푑푧 = −퐷 + 휈

푀 = 푀 = ∫ 휏 푧 푑푧 = −퐷(1 − 휈)

(2.12)

Sendo D o coeficiente de rigidez de flexão da placa dado por: 퐷 =( )

___________________________________________________________________________________________

Página 24

As forças de corte estão relacionadas com as tensões tangenciais de corte, como se observa pela figura 2.4.

Para material isotrópico linear elástico são dadas por [22, 24]:

푄 = 휏 푑푧 = 휕푀휕푥 +


휕 푤휕푥 +

휕 푤휕푥휕푦

(2.13)

푄 = 휏 푑푧 = 휕푀휕푥 +


휕 푤휕푦 +

휕 푤휕푥 휕푦

2.1.8 Equações Fundamentais de Equilíbrio estático

Com referência à Figura 2.3, consideremos o equilíbrio de um elemento infinitesimal da placa ℎ 푑푥 푑푦 com

uma carga aplicada 푝 . Para haver equilíbrio é necessário que [22, 24]:

a) A soma dos momentos em torno do eixo dos y seja nula (∑푀 = 0)

b) A soma dos momentos em torno do eixo dos x seja nula (∑푀 = 0)

c) A soma das forças na direcção z seja nula (∑푃 = 0)

A soma das forças na direcção z é:

휕푄휕푥 푑푥푑푦 +

휕푄휕푦 푑푥푑푦 + 푃 푑푥푑푦 = 0

Ou

+ + 푃 = 0 (2.14)

A soma dos Momentos na direcção x é:

휕푀휕푥 푑푥푑푦 +

휕푀휕푦 푑푥푑푦 − 푄 푑푥푑푦 = 0

Ou

+ −푄 = 0 (2.15)

A soma dos Momentos na direcção y é:

+ −푄 = 0 (2.16)

Como 푀 = 푀 podemos escrever as três equações de equilíbrio:

휕푄휕푥 +

휕푄휕푦 + 푃 = 0

+ − 푄 = 0 + = 푄 (2.17)

휕푀휕푦 +

휕푀휕푥 − 푄 = 0 휕푀휕푦 +

휕푀휕푥 = 푄

Assim, podemos reduzir as três equações de equilíbrio acima a uma única equação de equilíbrio [22]:

+ 2 + + 푃 = 0 (2.18)

Finalmente usando a equação (2.12) para material isotrópico obtém-se a equação que caracteriza o equilíbrio

na teoria clássica de placas:

+ 2 + = (2.19)

___________________________________________________________________________________________

Página 25

De um modo análogo, usando a equação (2.9) para material ortotrópico obtém-se:

퐷 + 2퐵 +퐷 = 푃 (2.20)

2.2 Análise Dinâmica para Placas Rectangulares

2.2.1 Introdução

Muitas são as situações onde as estruturas são sujeitas a vibrações das quais podem resultar deformações ou

instabilidades, por exemplo: uma ponte sujeita a acção de um terramoto, ou até à própria acção do vento, ou

ainda um navio que aguenta com a agitação das marés ou de tempestades marítimas. Assim surge a

necessidade de efectuar um estudo do comportamento dinâmico das estruturas.

Na dinâmica de placas as forças transversais são funções do tempo. Assim é necessário uma força de inércia,

devido à aceleração da placa que por unidade de área é dada por:

푝∗ = −휌ℎ (2.21)

Onde 휌 = massa por unidade de volume; t = tempo; ℎ = espessura da placa

2.2.2 Equações Fundamentais de equilíbrio dinâmico


Consequentemente a equação diferencial de equilíbrio de dinâmica de placas ortotrópicas ou equação de

Lagrange para vibrações livres e harmónicas [19] é:

퐷 + 2 ∗퐵 +퐷 + 휌ℎ = 푃 (2.22)

Para vibrações livres e harmónicas considera-se que a deformação é dada por:

푤 = 푊 cos휔푡 (2.23)

Onde 휔 é a frequência natural da placa expressa em rad/s, W depende apenas das coordenadas de posição, e

푃 = 0.

Assim

휕 푤휕푡 = −휔 푊 cos휔푡 = −휔 푤

Simplificando vem:

퐷 + 2퐵 + 퐷 − 휌ℎ휔 푤 = 0 (2.24)


A equação de equilíbrio de dinâmica de placas simplifica-se para material isotrópico [19]:

퐷 + 2 + + 휌ℎ = 푃 (2.25)

___________________________________________________________________________________________

Página 26

E para vibrações livres e harmónicas é:

퐷 + 2 + − 휌ℎ휔 푤 = 0 (2.26)

2.2.3 Condições de Fronteira

Como a equação de equilíbrio de placas definida acima é do 4º grau são necessárias 2 condições de fronteira

em cada extremidade da placa, definidas a seguir.

Existem múltiplas combinações para condições fronteira simples (F – Free ou livre; SS – Simply Supported ou

simplesmente apoiado; C – Clamped ou encastrado) para placas.

2.2.3.1 Placa Simplesmente Apoiada (SS_SS_SS_SS)

O problema de placas com todos os lados simplesmente apoiados é o mais simples de resolver para uma placa

rectangular ou quadrangular.

A figura 2.5 apresenta a condição fronteira para lados simplesmente apoiados (SS_SS_SS_SS).

Figura 2.5 – Placa Simplesmente Apoiada a toda a volta (SS_SS_SS_SS)

As condições de fronteira para a placa simplesmente apoiada a toda a volta [19,20,23] são deslocamento nulo

e momento flector nulo (aplicadas a ambas as placas):

푤 = 0 ,푀 = 0 푝푎푟푎 푥 = 0 푒 푥 = 푎 (2.27)

푤 = 0 ,푀 = 0 푝푎푟푎 푦 = 0 푒 푦 = 푏 Ou seja, para material isotrópico temos:

푤 = 0 ,휕 푤휕푥 + 휈휕 푤

휕푦 = 0 푝푎푟푎 푥 = 0 푒 푥 = 푎

(2.28)

푤 = 0 ,휕 푤휕푦 + 휈휕 푤

휕푥 = 0 푝푎푟푎 푦 = 0 푒 푦 = 푏

Da mesma forma, para material ortotrópico aplica-se as equações (2.9) nas equações (2.27).

Como 푤 = 0 em 푥 = 0 푒 푥 = 푎 significa que = 0 nestes apoios. Da mesma forma = 0 ao longo de

푦 = 0 푒 푦 = 푏.

___________________________________________________________________________________________

Página 27

Daqui resulta as seguintes condições fronteira, válidas quer para material isotrópico como para ortotrópico:

푤 = 0 ,휕 푤휕푥 = 0 푝푎푟푎 푥 = 0 푒 푥 = 푎

(2.29)

푤 = 0 ,휕 푤휕푦 = 0 푝푎푟푎 푦 = 0 푒 푦 = 푏

2.2.3.2 Placa Simplesmente Apoiada e Livre (SS_F_SS_F)

A figura 2.6 indica a condição de fronteira para placa simplesmente apoiada (ao longo do eixo y) e livre (ao

longo do eixo x):

Figura 2.6 – Placa Simplesmente Apoiada e livre (SS_F_SS_F)

As condições de fronteira para x=0 e x=a são deslocamento nulo e momento flector nulo e para y=0 e y=b

momento flector nulo e esforço transverso nulo, tal como se segue [19,20,23]:

푤 = 0 , 푀 = 0 푝푎푟푎 푥 = 0 푒 푥 = 푎 (2.30)

푀 = 0 푒 푉 = 푄 +휕푀휕푦 = 0, 푝푎푟푎 푦 = 0 푒 푦 = 푏

Ou seja, aplicando as equações (2.12) e (2.13) em (2.30) para material isotrópico:

푤 = 0 ,−퐷휕 푤휕푥 + 휈휕 푤

휕푦 = 0, 푝푎푟푎 푥 = 0 푒 푥 = 푎

(2.31)

−퐷 휕 푤 휕푦 + 휈휕 푤

휕푥 = 0 푒 −퐷휕 푤휕푦 + 2(1 − 휈) 휕 푤

휕푥 휕푦 = 0, 푝푎푟푎 푦 = 0 푒 푦 = 푏

Para material ortotrópico teríamos que aplicar as equações (2.9) e (2.10) em (2.30).

푤 = 0 ,−퐷휕 푤휕푥 + 휈푦

휕 푤휕푦 = 0, 푝푎푟푎 푥 = 0 푒 푥 = 푎

(2.32)

−퐷 휕 푤 휕푦 + 휈푥

휕 푤휕푥 = 0 푒 −퐷

휕 푤휕푦 − 퐵

휕 푤휕푥 휕푦 +

휕휕푦

−퐺 ℎ6

휕 푤휕푥휕푦 = 0, 푝푎푟푎 푦 = 0 푒 푦 = 푏

Como 푤 = 0 em 푥 = 0 푒 푥 = 푎 significa que = 0 nestes apoios.

2.2.4 Métodos Analíticos. Soluções para Frequência

As soluções analíticas de problemas de placas rectangulares são muito limitadas, pois os métodos analíticos

existentes só se aplicam a placas com pelo menos 2 extremidades opostas apoiadas. Os métodos analíticos

mais usados em análise de placas são os métodos de Navier e de Levi. O método de Navier (data de 1820) só se

___________________________________________________________________________________________

Página 28

aplica a placas com 4 extremidades apoiadas e o método de Levi (data de 1899) a placas com pelo menos 2

extremidades opostas apoiadas, sendo as outras arbitrárias.

Para determinar as expressões das frequências naturais de vibração para uma placa rectangular considere-se

em separado cada uma das condições de fronteira especificadas acima. Apenas estas duas serão tema de

estudo nesta tese.

2.2.4.1 Método de NAVIER

O método de Navier aplica-se a placas rectangulares e apoiadas nas 4 extremidades (Figura 2.5) e assume-se a

expressão dos modos de vibração [19,23] sob a forma:

푤(푥, 푦) = 푊 sin sin (2.33)

Que satisfaz as condições de fronteira da equação (2.28). A expressão acima representa a forma dos modos de

vibração da placa (sinusoidais), em que 푊 são as amplitudes de vibração determinadas pela equação de

equilíbrio da placa; (푚, 푛) referem-se ao número de meias ondas sinusoidais na direcção x e y e são números

inteiros; (푎,푏) são respectivamente o comprimento e a largura da placa.

O 1º modo de vibração ou frequência fundamental representa-se como:

푤(푥, 푦) = 푊 sin sin (2.34)

A figura 2.7 ilustra os primeiros modos de vibração para esta condição de fronteira (simplesmente apoiado nas

4 extremidades).

Figura 2.7 – Primeiros modos de vibração de placa simplesmente apoiada nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS)

Utilizando a equação de equilíbrio de placas (2.26) e substituindo nela a expansão de Navier temos:

퐷휋 + = 휌ℎ휔 (2.35)

Consequentemente as frequências naturais para material isotrópico são obtidas directamente através da

expressão:

휔 = 휋 훽 + (2.36)

훽 = (2.37)

___________________________________________________________________________________________

Página 29

퐷 =( )

(2.38)

De notar que para placas quadradas o 2º e 3º modos têm frequências naturais idênticas. Daqui resulta, que

qualquer combinação linear dos 2 modos é um modo de vibração e os seguintes modos podem corresponder à

2ª frequência natural de uma placa quadrada, figura 2.8.

Figura 2.8 – Modos de vibração que poderão corresponder à 2ª Frequência natural de uma placa quadrada.

Para material ortotrópico chegamos à expressão que se segue que foi obtida por Hearmon substituindo a

equação (2.33) na equação (2.24), [19]:

휔 = 퐷 푚 + 2퐵푚 푛 +퐷 푛 (2.39)

2.2.4.2 Método de LEVI

O Método de Levi só se aplica a placas rectangulares com 2 extremidades opostas apoiadas, sendo as outras

arbitrárias. Para este caso os modos de vibração representam-se através da seguinte expressão [19,23,24]

desenvolvida em séries de Fourier:

푤(푥, 푦) = ∑ 푌 (푦)푠푒푛∞ (2.40)

Que satisfaz as condições de simplesmente apoiado.

Substituindo a equação (2.23) na equação (2.26) vem:

(훻 − 푘 )푊 = 0 (훻 + 푘 )(훻 − 푘 )푊 = 0 훻 푊1 + 푘 푊1 = 0훻 푊2 − 푘 푊2 = 0 (2.41)

Sendo k um parâmetro dado por:

푘 = (2.42)

Como observado acima, para esta condição de fronteira (SS_F_SS_F) não existe nenhuma solução explícita para

as frequências naturais. Apenas existem tabelas de aproximação de valores para 휔푎 para diferentes

relações geométricas de (a/b) e valor de coeficiente de Poisson = 0,3 (ANEXO B.2). A única solução existente é

para o caso particular em que α≫ 1, que se reduz a:

휔 = 휋 + , (2.43)

Sendo

α = (2.44)

___________________________________________________________________________________________

Página 30

2.3 Análise de Elementos Finitos de Placas

2.3.1 Introdução

Quando existe a necessidade de projectar uma estrutura, é habitual proceder-se a uma sucessão de análises e

modificações das suas características, com o objectivo de se alcançar uma solução satisfatória, quer em termos

económicos, quer na verificação dos pré-requisitos funcionais e regulamentares. Antes do aparecimento do

Método dos Elementos Finitos (MEF), a análise dos meios contínuos era efectuada por resolução directa dos

sistemas de equações de derivadas parciais que regem o fenómeno, tendo em consideração as necessárias

condições fronteira. Para facilitar a aplicação desta técnica a problemas não elementares, era comum recorrer

a séries de Fourier [26]. Devido à sua complexidade, estes procedimentos só eram aplicáveis a meios contínuos

homogéneos e de geometria simples. Para tentar ultrapassar algumas destas limitações, era frequente a

substituição de derivadas exactas por derivadas aproximadas, calculadas com base em grelhas de pontos. Da

aplicação desta técnica resulta o método das diferenças finitas, que, antes do aparecimento dos computadores,

apresentava o inconveniente de requerer a resolução de grandes sistemas de equações lineares. Devido à

morosidade associada à aplicação de qualquer um destes métodos, tornava-se muito atractiva a substituição

do problema real por outro semelhante, de modo a se poder recorrer a resultados publicados em tabelas ou

ábacos. Com o grande desenvolvimento que o MEF teve na década de 60 [27] e com a banalização do recurso

ao computador, passou a ser prática corrente a análise de estruturas de geometria arbitrária, constituídas por

múltiplos materiais e sujeitas a qualquer tipo de carregamento. Este avanço é tão significativo que os outros

métodos, atrás referidos, deixaram praticamente de ser utilizados. Actualmente, o seu interesse restringe-se

ao de fornecer soluções teóricas de problemas simples para validar métodos aproximados.

2.3.2 Breve História do MEF

Na generalidade dos casos, é muito difícil definir a data em que determinado avanço do conhecimento foi

efectuado. No caso particular do MEF, é referido por vários autores que a publicação mais antiga em que é

utilizada a designação “elemento finito” é o artigo [28], que data de 1960 e tem como autor Ray Clough.

Anteriormente eram já conhecidas algumas técnicas que vieram a ser incorporadas no MEF, sem este aparecer

ainda com as principais características que hoje em dia possui, atribuídas nomeadamente por Hrenikoff (1941)

e Courant (1943), e a sua apresentação formal fora facultada por Turner, Clough, Martin, e Tropp (1956) e

posteriormente por Argyris e Kelsey (1960) [36]. Os grandes passos do desenvolvimento do MEF, que o

conduziram ao formato que actualmente apresenta maior aceitação, foram dados na década de 60 e início da

de 70. Inicialmente os elementos finitos mais comuns eram os triangulares e os tetraédricos, passando-se mais

tarde a dar preferência aos quadriláteros e aos hexaedros. Ao contrário de outros métodos que eram utilizados

no passado, o MEF só tem utilidade prática se dispuser de um computador digital. Este requisito é devido à

grande quantidade de cálculos que é necessário realizar, nomeadamente na resolução de grandes sistemas de

equações lineares. Assim se compreende que o rápido desenvolvimento do MEF tenha praticamente coincidido

com a generalização da utilização de computadores nos centros de investigação. Com a proliferação de micro

___________________________________________________________________________________________

Página 31

computadores ocorrida no final da década de 80 e na década de 90, o MEF chega finalmente às mãos da

generalidade dos projectistas de estruturas.

2.3.3 Formulação geral - Principio dos Trabalhos Virtuais

Existe outras formas de apresentar as equações de equilíbrio dinâmico usando o MEF. Uma das maneiras é

através do Princípio dos Trabalhos Virtuais aplicado a um modelo contínuo [20].

O trabalho virtual das tensões 휎 numa deformação virtual 휀 e para o caso das placas, é:

훿푇 = ∫푧 푀 +푀 + 2푀 푑푉 (2.45)

Sendo 푤 - deslocamento virtual e o integral é calculado ao longo do volume da placa, V.

No caso da placa estar sujeita a acções externas normais ao plano médio, as deformações neste caso são

devidas ao efeito de flexão, a placa pode ser tratada como um estado plano de tensão. A equação (2.45) pode

ser modificada, tendo em conta as equações (2.2) e (2.4). Integrando ao longo da espessura, obtém-se:

훿푇 = 퐷∫ + + − (1− 휈) + − 2 푑푆 (2.46)

Onde 푤 = 훿푤 - representa o deslocamento virtual.

O trabalho virtual das forças exteriores deve igualar o trabalho virtual da deformação, 훿푇 , resultando no

Principio dos Trabalhos Virtuais. O trabalho virtual das forças exteriores é dado por:

훿푇 = ∫푃(푥,푦)푤 푑푥푑푦 (2.47)

2.3.4 Equação do Movimento de um Elemento Finito Genérico

Segundo Argyris (1991), para todo o sistema estrutural discreto utiliza-se o processo de expansão e

acumulação, obtendo-se finalmente a equação geral do movimento de um elemento finito genérico dada pelo

sistema de equações:

[푀]{푢̈} + [퐶]{푢̇} + [퐾]{푢} = {퐹푒(푡)} (2.48)

Cabe ressaltar que na equação anterior os esforços externos {퐹푒(푡)} dependem apenas do tempo. Já a matriz

de rigidez [퐾], a matriz de massas [푀], e a matriz de amortecimento [퐶]vão permanecer constantes durante

todo o procedimento de integração de um volume de cubo infinitesimal (푑푉 ), [24] e são descritas como:

[푀] = ∫ 휌 푑푉 (2.49)

[퐶] = ∫휇 푑푉 (2.50)

[퐾] = ∫퐵 [퐸]퐵 푑푉 (2.51)

Sendo 휇 = viscosidade, [퐸] = Matriz que contém os coeficientes elásticos do material, = matriz que contém as

funções de forma e relaciona os deslocamentos que ocorrem ao longo do eixo longitudinal com os

deslocamentos nodais do elemento. Também temos:

[퐵] = [퐿][] (2.52)

Sendo 퐿 a matriz que contém os operadores diferenciais.

Considerando que temos um sistema estrutural com comportamento linear, livre de carregamentos externos

dependentes do tempo e desprovido de qualquer tipo de mecanismo de amortecimento, a equação (2.48) que

rege o comportamento dinâmico estrutural reduz-se a [24]:

___________________________________________________________________________________________

Página 32

[푀]{푢̈} + [퐾]{푢} = 0 (2.53)

A solução analítica desta equação é dada por:

{푢} = {퐴}푠푒푛(휔푡) (2.54)

Sendo que esta descreve um movimento harmónico de todos os pontos nodais do sistema. Nesta equação,퐴 é

um vector formado pelas máximas amplitudes dos deslocamentos nodais.

Substituindo-se a solução dada (2.53) pela equação (2.54) vem a equação para vibração livre sem

amortecimento:

(−[푀]{퐴}휔 + [퐾]{퐴})푠푒푛(휔푡) = 0 [푀]{퐴}휔 = [퐾]{퐴} (2.55)

Multiplicando ambos os membros por "퐾 ", obtém-se:

([퐾 ][푀]){퐴} = {퐴}∗ (2.56)

Em que: ∗ é o valor próprio dado por:

∗ = (2.57)

Como [퐾 ][푀] resulta numa matriz não simétrica, será necessário aplicar métodos matemáticos com o

objectivo de transformar a equação (2.56) numa matriz simétrica para se conseguir resolver algebricamente.

Posteriormente uma vez obtido cada um dos valores próprios"∗ ", pode calcular-se as frequências naturais de

vibração da estrutura através da equação (2.57).

Sendo "휔 " as frequências naturais de vibração dadas em rad/s, relacionadas com as frequências naturais de

vibração “푓 ” dadas em Hz, através da equação:

푓 = (2.55)

Nesta tese, utilizou-se para modelação de elementos finitos o software de modulação e análise de elementos

finitos ANSYS 11.0.

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Página 33

2.4 Sumário

Neste capítulo foram apresentados no inicio o campo de deslocamentos, tensões e extensões. Foram também

desenvolvidas as equações clássicas de momentos flectores e forças de corte actuantes num elemento

infinitesimal e apresentaram-se as equações de equilíbrio estático. Todos estes tópicos tiveram em

consideração material isotrópico e ortotrópico com comportamento linear elástico. Posteriormente foram

abordadas as equações de equilíbrio dinâmico, bem como as condições de fronteira abordadas nesta tese. Para

além disto foram expostos os métodos analíticos para determinar as soluções de frequências naturais de

vibração de placas.

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Página 34

___________________________________________________________________________________________

Página 35

CAPITULO III - Caracterização de propriedades equivalentes numa

placa usando optimização numérica

3.1 Introdução

No projecto de optimização de uma estrutura existem determinadas etapas que servem de orientação para o

surgimento de um resultado óptimo que são expostas de seguida. São apresentados os casos de estudo para

uma melhor performance do modelo equivalente, bem como as propriedades geométricas e de material da

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® aplicando as várias fases da formulação do problema concretamente à estrutura abordada nesta

tese. Por fim, será exposto o fluxograma do algoritmo de optimização utilizado para encontrar as condições

óptimas das variáveis de projecto, bem como o esquema do respectivo programa definido no MATLAB.

3.2 Formulação do problema

A formulação de um problema de optimização envolve uma serie de etapas que estão na origem de uma

solução óptima, das quais se destacam [31]:

1) Identificar o problema – torna-se necessário nesta fase perceber bem os objectivos e definir o problema;

2) Reunir a informação - Para desenvolver uma formulação matemática para o problema, precisamos de

conhecer as propriedades do material, recursos disponíveis, conhecer o custo das matérias-primas, e recolher

outro tipo de informação que possa vir a ser útil.

3) Identificação/Definição das Variáveis de Projecto – Nesta fase identificam-se um conjunto de variáveis que

descrevem o problema, tendo em conta que diferentes escolhas de variáveis definem diferentes projectos. As

variáveis de projecto devem ser independentes umas das outras tanto quanto possível. Assim podemos definir

as variáveis de projecto como:

푋 = (푥 ,푥 ,푥 , … ) (3.1)

4) Identificação da função objectivo – É também conhecida como função custo, que pode ser minimizada ou

maximizada, dependendo dos requerimentos do projecto. Essa função objectivo tem que estar directa ou

indirectamente relacionada com as variáveis de projecto definidas. Um valor óptimo das variáveis de projecto

corresponde a um valor mínimo/máximo possível para a função objectivo. Alguns exemplos de minimização de

funções são: custo do material, peso de uma estrutura e a deformada, consumo de energia de uma habitação

ou meio de transporte; maximização de funções: lucro de uma empresa, resistência de uma placa, etc..

Podemos minimizar vários parâmetros ao mesmo tempo. A função objectivo na sua forma mais simples

representa-se por:

푓 = 푓(푋) (3.2)

5) Identificar os constrangimentos – O objectivo é identificar os constrangimentos e desenvolver expressões

matemáticas para eles, por exemplo: uma estrutura que não pode falhar sob determinadas condições normais

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Página 36

de carregamento, frequências de vibração de uma estrutura têm que ser diferentes da frequência de operação

da máquina que a suporta, caso contrário poderá haver ressonância causando uma falha catastrófica. Os

constrangimentos podem ser lineares ou não lineares, podem obedecer a restrições de igualdade ou

desigualdade e deverão depender das variáveis de projecto, como se segue:

Desigualdade: 푔 (푋) ≥ 0; 푗 = 1, … , 푛 (3.3)

Igualdade: ℎ (푋) = 0, 푘 = 1, … ,푛 (3.4)

De um modo geral a formulação de um problema de optimização estrutural pode ser descrito como:

Encontrar as variáveis de projecto óptimas 푋 = (푥 ,푥 ,푥 , … ) que:

Minimiza ou Maximiza:푓(푋)

Sujeito a : 푔 (푋) ≥ 0; 푗 = 1, … , 푛 (3.5)

ℎ (푋) = 0, 푘 = 1, … ,푛

Onde 푛 e 푛 representam o numero de constrangimentos de desigualdade e igualdade.

Particularizando para o assunto abordado nesta tese, queremos minimizar uma função objectivo, cujas

variáveis de projecto são as propriedades mecânicas do material (como sejam 퐸 퐸 ,퐺 ,휈 ) e a espessura h de

uma placa equivalente ao painel 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® apresentado anteriormente. O objectivo já definido atrás passa

por aproximar as frequências naturais (escolhidas a partir da forma dos modos de vibração) e a deformada do

modelo teórico às do modelo real. Para cada uma das condições de fronteira temos as funções custo definidas

mais a frente.

3.2.1 Apresentação da OPENCELL

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® é um painel estrutural do tipo Sandwich inovador. A fim de tornar o estudo mais real várias

abordagens foram feitas, uma delas incluía a variação do tipo de geometria, ver figura 3.1 e 3.2.

Figura 3.1 – Geometria 1 - 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® Rectangular.

___________________________________________________________________________________________

Página 37

Figura 3.2 – Geometria 2 - 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® Quadrangular. a) Perspectiva Isométrica. b) Planta da placa.

De seguida serão apresentadas as propriedades do material e as características geométricas da estrutura

inovadora 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®.

Propriedades do material e Parâmetros Geométricos da 푶푷푬푵푪푬푳푳®

Material Aço Inox Espessura de cada uma das 2 placas - h 0.002 m Densidade do material - 7800 Kg/푚

MATERIAL ISOTRÓPICO Módulo de Elasticidade - E

200 GPa

Coeficiente de Poisson -

0.3

GEOMETRIA RECTANGULAR Comprimento da dimensão dos 6 módulos - a 6 * 0.4 = 2.4 m Largura do painel - b 0.4 m Raio das patilhas Altura do Painel Ângulo de disposição das patilhas

0.02 m 0,084 m 45 graus

GEOMETRIA QUADRANGULAR Comprimento do painel - a 1,2 m Largura do painel - b Altura do painel

1,2 m 0,084 m

Tabela 3.1 – Propriedades do material e parâmetros geométricos da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®

3.2.2 Definição das Variáveis de Projecto

Depois de definidas as propriedades da estrutura e de conhecer a sua geometria, torna-se necessário

identificar as variáveis de projecto que são os parâmetros que se vão optimizar. Relembrando que o objectivo é

encontrar um modelo equivalente de placa uniforme que aproxime as frequências naturais e a deformada da

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, as variáveis de projecto possuem carácter do tipo:

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Página 38

a) Geométrico: h - espessura da placa uniforme

b) Material Isotrópico: E - Módulo de elasticidade

Material Ortotrópico: 퐄퐱 − Módulo de elasticidade segundo x

퐄퐳 − Módulo de elasticidade segundo z

퐆퐱퐳 − Modulo de Elasticidade Transversal no plano xz

훎퐱퐳 − Coe iciente de 푃표푖푠푠표푛 no plano xz

No caso do material ortotrópico não houve necessidade de optimizar os restantes parâmetros

(퐄퐲,퐆퐲퐳,퐆퐱퐲,훎퐲퐳,훎퐱퐲) uma vez que estes não influenciam no comportamento da estrutura pois são parâmetros

que estão fora do plano. Nas tabelas em anexo (ANEXO C) pode observar-se o estudo da influência de todos os

parâmetros em termos de frequências naturais e de deformada, realizado no programa ANSYS, para material

ortotrópico. Este teste foi realizado para a geometria rectangular, mas a geometria quadrada apresenta o

mesmo comportamento em termos de parâmetros influentes.

NOTA: O estudo feito no ANEXO C foi elaborado para uma placa uniforme no plano xy, embora os estudos

apresentados ao longo desta tese sejam realizados no plano xz.

3.2.3 Função Objectivo para Placas Apoiadas nas 4 extremidades

(SS_SS_SS_SS)

Placa Rectangular - Estudo para 훒 = 퐜퐨퐧퐬퐭퐚퐧퐭퐞 = ퟕퟖퟎퟎ퐊퐠/퐦ퟑ

A função objectivo depende das variáveis de projecto. Para a formular necessitamos de observar, em primeiro

lugar, o comportamento da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® e da correspondente placa uniforme (que possui as mesmas

dimensões – largura, comprimento da placa real 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®) numa análise dinâmica – ver como se

comportam as estruturas em termos de frequências naturais; e numa análise estática – observando o valor da

deformada quando se sujeita as mesmas a uma determinada carga de pressão uniformemente distribuída.

A placa uniforme foi analisada no ANSYS para uma espessura h = 2mm e um Módulo de elasticidade E = 200

GPa.

Numa primeira abordagem considera-se a densidade 휌 do material constante. A tabela 3.2 apresenta o

comportamento de ambas as estruturas em termos dinâmicos. Este estudo foi elaborado no ANSYS e foram

retirados por sua vez os valores numéricos das respectivas frequências naturais de vibração e deformada,

apenas dos modos semelhantes.

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Página 39

Modos De vibração

Comportamento da 푶푷푬푵푪푬푳푳®- ANSYS

Comportamento da Placa Uniforme Equivalente - ANSYS

Placas sem

vibração

1º

(Planta)

2º (Planta)

3º (Planta)

4º

(Planta)

5º (Planta)

6º (Planta)

7º (Planta)

7º (Vista por baixo)

IGUAL


푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® para a placa rectangular e condição de simplesmente apoiada nas 4 extremidades.

Observando a tabela acima e fazendo uma analogia entre os dois tipos de estrutura verifica-se que os 6

primeiros modos de vibração são idênticos, o 7º modo já começa a ter um comportamento mais localizado.

Para a função objectivo apenas podemos seleccionar os modos de vibração que apresentam semelhantes

curvas sinusoidais, ora no 7º modo a placa inferior da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® já não acompanha a placa superior, e os

modos aparecem como locais (ver 7º modo – vista por baixo – existe uma zona azul escura que se deforma

mais, comparativamente ao resto da estrutura) facto que não acontece nos modos anteriores. De referir

também que, os modos de vibração não dependem da espessura da placa uniforme equivalente, por isso pode

atribuir-se a esta a espessura que se quiser. Na tabela 3.3 apresentam-se os valores das frequências naturais

retirados do programa de elementos finitos ANSYS para os 6 modos seleccionados e que farão parte da função

objectivo e respectivo erro percentual face aos resultados teóricos.

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Página 40

흎 (rad/s)

푶푷푬푵푪푬푳푳® (ANSYS)

흎풐풑풆풏풄풆풍풍ퟐ

흎 (rad/s) Placa

Uniforme Equivalente

(ANSYS)

m

n

D 퐹Ó푅푀푈퐿퐴

2.38

휷

퐹Ó푅푀푈퐿퐴 2.37

흎 (rad/s) Teórico


Erro (%)

1º 274.45 75312.20 194.27 1 1 146.52 3.06 194.30 0.015 2º 294.56 86763.08 210.00 2 1 146.52 3.06 210.05 0.024 3º 322.83 104219.2 236.23 3 1 146.52 3.06 236.31 0.034 4º 353.43 124912.2 272.94 4 1 146.52 3.06 273.07 0.048 5º 379.44 143975.2 320.13 5 1 146.52 3.06 320.33 0.062 6º 390.5 152490.2 377.81 6 1 146.52 3.06 378.09 0.074

Tabela 3.3 – Frequências de vibração da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, e erro percentual de frequências. Modelo de

placa Rectangular.

Observando a tabela 3.3 e por comparação dos valores do ANSYS com os valores da fórmula (2.36) para as

frequências naturais (para material isotrópico - a vermelho) verifica-se que os valores estão muito próximos, o

que satisfaz a formulação clássica da teoria de placas. Estes valores teóricos foram obtidos através do

Microsoft Excel.

Segue-se a análise estática (deformada) para ambas as estruturas quando sujeitas a uma força de pressão de

1000N/m2 uniformemente distribuída. De notar que a deformada é máxima a meio da estrutura (zonas a

vermelho) e concentra-se na zona das patilhas onde existe uma maior concentração de tensões/esforços,

sendo mínima nos bordos (azul escuro) pois é onde se encontra simplesmente apoiada, por isso não sofre

deformação nas extremidades. A placa uniforme equivalente deforma-se mais uma vez que é menos espessa e

por isso menos rígida.

Figura 3.3 – Planta da Estrutura rectangular 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® - Vector soma do campo de deslocamentos –

(휹풎á풙 = ퟎ.ퟎퟎퟎퟔퟒퟔ 풎 , 훿 = 0 푚).

Figura 3.4 – Planta da placa Uniforme Equivalente Rectangular - Vector soma do campo de deslocamentos –

(휹풎á풙 = ퟎ.ퟎퟎퟐퟐퟔퟗ 풎 , 훿 = 0 푚).

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Página 41

A função objectivo possui 7 membros que se podem entender como percentagens de aproximação do modelo

equivalente ao modelo 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® para frequências e deformada. De uma forma geral a função objectivo

pode ser formulada através de um somatório:

푓 = ∑ 퐴

+ 퐴 (3.6)

Sendo n o número de modos de vibração equivalentes em ambos os modelos que neste caso fica: n = 6 e em

que os parâmetros 퐴 , 퐴 são pesos que se atribuem a cada um dos termos que constituem a função

objectivo para dar ênfase a determinadas frequências ou deformada na aproximação dos resultados da placa

uniforme equivalente à estrutura 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®. Queremos minimizar a função objectivo de modo a que as

frequências naturais e a deformada da estrutura da placa uniforme equivalente (modelo teórico) se aproximem

da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®.

As variáveis de projecto aparecem inseridas nos termos:

휔 (퐄,퐡),훿 (퐄,퐡)

Pelas equações 2.37 e 2.38 temos:

훽 =∗( )∗

= = (3.7)

Segundo a equação 2.36 temos:

푤 = (63.3985훽) = 푤 = 4019.37훽 = 0.047189퐸ℎ

푤 = (68.5389훽) = 푤 = 4697.583훽 = 0.055151퐸ℎ

푤 = (77.1063훽) = 푤 = 5945.379훽 = 0.069801퐸ℎ (3.8)

푤 = (89.1006훽) = 푤 = 7938.916훽 = 0.093206퐸ℎ

푤 = (104.5219훽) = 푤 = 10924.82훽 = 0.128262퐸ℎ

푤 = (123.3701훽) = 푤 = 15220.17훽 = 0.178691퐸ℎ

Para a deformada de uma placa simplesmente apoiada temos (Anexo B.1):

훿 = − (3.9)

Onde:

훿 = 푑푒푓표푟푚푎푑푎 푑푎 푝푙푎푐푎 (푚)

훼 = 0.1421 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒 푔푒표푚é푡푟푖푐푎 푞푢푒 푑푒푝푒푛푑푒 푑푎 푟푒푙푎çã표푎푏 = 6

푞 = 푝푟푒푠푠ã표 푎푝푙푖푐푎푑푎 푛푎 푝푙푎푐푎 푞푢푒 푑á 표푟푖푔푒푚 à 푑푒푓표푟푚푎푑푎 푁푚 표푢 푃푎

Aplicando uma pressão de 1000 푃푎 na superfície uniforme da estrutura ficamos com:

훿 = . (3.10)

Na figura 3.5 pode observar-se a curva da função objectivo, cujo mínimo é uma curva onde a relação entre

퐸 푒 ℎ varia. À medida que E aumenta, h diminui. São variáveis inversamente proporcionais.

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Página 42

Figura 3.5 – Gráfico da função fornecida pelo software MATHEMATICA para uma espessura h entre 2 e 4 mm e

um módulo de Elasticidade E entre 100 e 200 GPa

Queremos encontrar o mínimo da função, então fazemos:

( , ) = 0( , ) = 0

(3.11)

Segundo o programa MATHEMATICA a solução deste sistema é tabelada abaixo:

Pesos Diferentes Mínimo Pesos Iguais Mínimo 푨ퟏ = ퟎ.ퟐ

E = 1.09E12 Pa h = 6.795E-5 m

1/7

E = 9.30E11 Pa h = 7.166E-5 m

푨ퟐ = ퟎ.ퟐ 1/7 푨ퟑ = ퟎ.ퟏ 1/7 푨ퟒ = ퟎ.ퟏ 1/7 푨ퟓ = ퟎ.ퟏ 1/7 푨ퟔ = ퟎ.ퟏ 1/7 푨ퟕ = ퟎ.ퟐ 1/7

Tabela 3.4 – Resultados para o cálculo do mínimo da função fornecidos pelo MATHEMATICA para casos

diferentes de distribuição de pesos da função objectivo.

O Módulo de elasticidade (E) para densidade constante varia muito em comparação com a variação da

espessura, como observado na tabela 3.4, por isso será necessário colocar a densidade a depender da

espessura da placa, para que os valores de E e de h se apresentem de forma coerente. Além do mais pretende-

se que a massa da placa uniforme seja igual à massa do painel 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®. Por estas razões a partir de agora

ao longo desta tese irá considerar-se sempre que a densidade do material depende da espessura da placa. De

seguida apresenta-se o estudo para a densidade dependente da espessura.

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Página 43

3.2.3.1 Placa Rectangular - Estudo para densidade dependente da espessura h

Sabemos que:

휌 = (3.12)

Onde:

휌 = 푚푎푠푠푎 푣표푙ú푚푖푐푎 퐾푔푚

푚 = 푚푎푠푠푎 푑푎푠 푝푙푎푐푎푠 (퐾푔)

푉 = 푣표푙푢푚푒 푑푎푠 푝푙푎푐푎푠 (푚 )

Considera-se que a massa das duas placas do painel 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® é igual à massa da placa uniforme, sendo

assim:

푚 = 2푚 (3.13)

Logo temos:

휌 퐴푟푒푎 ℎ = 2휌 ç 퐴푟푒푎 ℎ (3.14)

Onde:

퐴푟푒푎 = 퐴푟푒푎

휌 ç = 7800 퐾푔/푚

ℎ = 0.002 푚 = 2푚푚

Daqui deduz-se a expressão da massa volúmica da placa uniforme em função da sua espessura:

휌 = ∗ . ∗

→ 휌 = .

(3.15)

As frequências do painel 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® e a deformada são iguais às referenciadas anteriormente (no caso de

휌 = 푐표푛푠푡푎푛푡푒). A única diferença está no seguinte parâmetro:

훽 = ( ) = ( ) .=

. (3.16)

Sendo que:

푤 = 4019.37훽 = 11.79725퐸ℎ

푤 = 4697.583훽 = 13.78787퐸ℎ

푤 = 5945.379훽 = 17.45028퐸ℎ (3.17)

푤 = 7938.916훽 = 23.30151퐸ℎ

푤 = 10924.82훽 = 32.06542퐸ℎ

푤 = 15220.17훽 = 44.67271퐸ℎ

Sempre que nesta tese houver referência a valores teóricos das frequências naturais, estas correspondem aos

valores do modelo equivalente uniforme.

3.2.3.2 Placa Quadrangular - Estudo para densidade dependente da espessura h

Da mesma forma que o caso anterior observou-se primeiro o comportamento de ambas as estruturas em

termos dinâmicos e estáticos. O quadro da tabela 3.5 ilustra os modos de vibração.

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Página 44

Modos De

vibração

푶푷푬푵푪푬푳푳®- ANSYS

Placa Uniforme Equivalente -

ANSYS

Placas

sem

vibração

Planta da Placa Vista por baixo Planta da Placa

1º Modo

IGUAL

2º Modo

IGUAL

3º Modo

IGUAL

4º Modo


para a placa quadrangular e condição de simplesmente apoiada nas 4 extremidades.

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Página 45

Os modos que são idênticos em termos de curva sinusoidal são os 3 primeiros, apenas esses são considerados

na função objectivo. De notar que no 2º e 3º modo as frequências naturais de vibração são as mesmas, uma

vez que a placa é quadrada. No 4º modo o comportamento dos modos já é diferente. De seguida estão

representadas as placas para a deformada sujeita à mesma carga de pressão testada anteriormente para os

outros casos.

Figura 3.6 – Planta da placa quadrangular 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® − Vector soma do campo de deslocamentos –

(휹풎á풙 = ퟎ.ퟎퟎퟑퟐퟐퟑ 풎 , 훿 = 0 푚).

Figura 3.7 – Planta da placa Uniforme Equivalente Quadrangular - Vector soma do campo de deslocamentos –

(휹풎á풙 = ퟎ.ퟎퟓퟕퟒퟕퟕ 풎 , 훿 = 0 푚).

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Página 46

Como observado acima, a deformada (para uma pressão uniformemente distribuída de 1000N/m2) é máxima a

meio da placa uma vez que esta é simétrica. De notar que na placa uniforme equivalente as linhas de simetria

da deformada são mais concêntricas em comparação com a 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® uma vez que não existem

concentração de tensões (as patilhas), e para alem disso existe também uma maior uniformização da malha

gerada pelo programa de elementos finitos ANSYS.

Na tabela que se segue apresentam-se os valores das respectivas frequências de vibração e da deformada de

ambas as placas, cujos cálculos foram realizados em Microsoft Excel.

Tabela 3.6 - Frequências de vibração da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® e erro percentual de frequências. Modelo de placa

Quadrangular.

Assim, utilizando a equação 3.6 e sabendo agora que n = 3 obtemos um novo problema de optimização.

Da equação 3.9 e tendo em conta que = 0.0444 (Anexo B.1) para a/b = 1 (Placa quadrada) e b = 1.2 m,

mantendo a pressão de 1000N/m2 uniformemente distribuída pela placa, resulta:

훿 = . (3.18)

Para as frequências naturais teóricas e tendo em conta a equação 2.36, 3.15 e 3.16 temos:

푤 = 푤 = 187.9033훽 = 0.551515퐸ℎ

푤 = 푤 = 1174.396훽 = 3.446968퐸ℎ (3.19)

푤 = 푤 = 1174.396 ∗ 훽 = 3.446968퐸ℎ

흎 (rad/s)

푶푷푬푵푪푬푳푳® (ANSYS)

흎풐풑풆풏풄풆풍풍ퟐ

흎 (rad/s) Placa

Uniforme Equivalente

(ANSYS)

m

n


D 퐹Ó푅푀푈퐿퐴

2.37


흎 (rad/s)

Teórico

Erro (%)

1º 119,36 14246,81 42,01 1 1 146.52 3.06 42,01 0 2º 185,78 34514,21 105,01 2 1 146.52 3.06 105,025 0.014 3º 185,88 34551,37 105,01 1 2 146.52 3.06 105,025 0.014

___________________________________________________________________________________________

Página 47

3.2.4 Função Objectivo para Placas Apoiadas e livres (SS_F_SS_F)

3.2.4.1 Placa Rectangular - Estudo para densidade dependente da espessura

Vamos agora abordar outra condição de fronteira – simplesmente apoiada e livre em extremidades opostas das

placas. De seguida observe-se o comportamento dos primeiros modos de vibração da placa rectangular.

Modos De vibração

Comportamento da 푶푷푬푵푪푬푳푳®- ANSYS

Comportamento da Placa Uniforme Equivalente - ANSYS

Placas sem vibração

1º Modo (Planta)

(Vista por baixo)

IGUAL

2º Modo (Planta)

(Vista por baixo)

IGUAL

3º Modo (Planta)

(Vista por baixo)

IGUAL


para a placa rectangular e condição de simplesmente apoiada e livre.

Como se verifica os dois primeiros modos são idênticos em ambas as situações, já o 3º Modo da

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® que é à flexão não se identifica em nada com o equivalente no caso da placa uniforme pois este

comporta-se como um modo de torsão. Nesse caso apenas podemos considerar as 2 primeiras frequências na

função objectivo a optimizar. De seguida estão tabelados os valores dessas frequências.

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Página 48

흎 (rad/s) 푶푷푬푵푪푬푳푳®

(ANSYS)

흎풐풑풆풏풄풆풍풍

ퟐ 흎 (rad/s)

Placa Uniforme (ANSYS)

m n

1º Modo 56.05 3141,60 5.02 1 1 2º Modo 109.296 11945,62 20.15 2 1


Rectangular.

Em termos de deformada, temos o seguinte:

Figura 3.8 - Vector soma do campo de deslocamentos – Placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®

(휹풎á풙 = ퟎ.ퟎퟏퟏퟑퟑퟕ 풎 , 훿 = 0 푚)

Figura 3.9 - Vector soma do campo de deslocamentos – Placa Uniforme Equivalente Rectangular

(휹풎á풙 = ퟑ.ퟐퟓퟏ 풎 , 훿 = 0 푚)

Observe-se que na figura 3.9 existe uma deformada demasiado elevada (3.25 metros) a meio vão devido ao

facto da carga de pressão a que a mesma foi submetida ter sido exageradamente elevada, mas teve que ser

considerada assim para efeitos comparativos com os restantes casos. Mais uma vez obtemos um novo

problema de optimização usando a equação 3.6 e fazendo n = 2.

___________________________________________________________________________________________

Página 49

3.2.4.2 Placa Quadrangular - Estudo para densidade dependente da espessura

Da mesma forma que os casos anteriores temos a tabela 3.9 com os primeiros modos de vibração da placa

rectangular para esta condição fronteira.

Modos De

vibração

푶푷푬푵푪푬푳푳®- ANSYS

Placa Uniforme Equivalente -

ANSYS

Placas sem

vibração

Planta da Placa Vista por baixo Planta da Placa

1º Modo

2º Modo

3º Modo


푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® para a placa quadrangular e condição de simplesmente apoiada e livre.

Nesta caso apenas podemos utilizar as 2 primeiras frequências de vibração, pois a ultima já apresenta um

comportamento mais local e por isso não é equivalente. Os valores correspondentes às frequências de vibração

estão expostos na tabela 3.10.

___________________________________________________________________________________________

Página 50

흎 (rad/s) 푶푷푬푵푪푬푳푳®

(ANSYS)

흎풐풑풆풏풄풆풍풍

ퟐ 흎 (rad/s)

Placa Uniforme (ANSYS)

m n

1º Modo 80,569 6491,36 20,499 1 1 2º Modo 108,341 11737,56 34,342 1 2

Tabela 3.10 - Frequências de vibração da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® e da placa uniforme equivalente. Modelo de

placa Quadrangular.

Quanto à análise estática, nas figuras 3.10 e 3.11 podemos observar o comportamento das estruturas face ao

carregamento de 1000 Pa uniformemente distribuído. Mais uma vez a deformada é máxima a meio da

estrutura e atinge o valor nulo (não se deforma) na zona de simplesmente apoiado.

Figura 3.10 - Vector soma do campo de deslocamentos – Placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®

(휹풎á풙 = ퟎ.ퟎퟎퟓퟕퟖퟖ 풎 , 훿 = 0 푚).

Figura 3.11 - Vector soma do campo de deslocamentos – Placa Uniforme Equivalente Quadrangular (휹풎á풙 =

ퟎ.ퟐퟏퟐퟑퟕퟑ 풎 , 훿 = 0 푚)

Este problema de optimização é obtido usando a equação 3.6 e fazendo com que n = 2, pois existem 2 modos

semelhantes entre modelo teórico e modelo real, como observado na tabela 3.9.

___________________________________________________________________________________________

Página 51

Para material ortotrópico a função objectivo para todos os casos abordados acima, mantém-se a mesma,

embora as variáveis de projecto se alterem, pois agora as propriedades do material alteram-se em cada

direcção.

De seguida procede-se à explicação das considerações admitidas no ANSYS e referência aos constrangimentos

admitidos nas condições fronteira e variáveis de projecto.

3.3 Tipos de considerações e constrangimentos

Para análise no ANSYS alguns tipos de considerações foram feitos. A seguir transcrevem-se as mais

importantes.

3.3.1 Tipo de Elemento, Malha, Constantes e Material

O tipo de elemento considerado é Shell 63 aplicado a placas de baixa espessura, ver Anexo A. A definição da

malha é constante ao longo da estrutura e possui um parâmetro de definição de 0.002, definido em Meshing –

Size Controls, no programa de elementos finitos ANSYS. A espessura das placas é especificada no Real

Constants. O modelo de material é definido com comportamento estrutural linear elástico

isotrópico/ortotrópico, dependendo do estudo em questão. Também na secção do material é mensurada a

densidade do mesmo, o coeficiente de Poisson e os módulos de elasticidade e de corte. Todos os parâmetros

são enunciados em unidades SI.

A modelação de cada uma das estruturas 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® no ANSYS (placa rectangular e quadrangular) foi feita

por módulos geométricos. O desenho de cada módulo foi realizado no programa SOLID WORKS como

superfície sem espessura, para ser importado para o ANSYS em formato IGS. Só dentro do ANSYS foi definida a

espessura em unidades SI bem como as outras propriedades e fez-se um Glue para unir todas as áreas do

módulo. Para reproduzir os módulos ao longo de cada eixo fez-se um Modeling/Copy/Areas e um Glue para

unir todas as novas superfícies modulares como uma única superfície.

3.3.2 Carregamentos aplicados e sistema de eixos

Os carregamentos são os que definem as condições de fronteira. Em termos dinâmicos, para as placas

simplesmente apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS), temos que definir no programa ANSYS o seguinte,

(fig.3.12):

No ponto A: Ux = 0, Uy = 0, Uz = 0 (para a placa de cima e de baixo)

No ponto B: Uy = 0, Uz = 0 (para a placa de cima e de baixo)

Nas linhas todas de ambas as placas: Uy = 0

___________________________________________________________________________________________

Página 52

Figura 3.12 – Carregamentos aplicados a placas simplesmente apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS).

Placa Rectangular.

Para a placa quadrangular os carregamentos serão os mesmos nos pontos A e B.

Em termos estáticos, para analisar a deformada das estruturas considerou-se a carga de pressão de 1000 Pa

uniformemente distribuída também ela definida dentro dos carregamentos. O mesmo acontecendo para a

placa quadrangular a fim de se poder comparar resultados.

Para a outra condição de fronteira (SS_F_SS_F) foi definido o seguinte, considerando que o ponto A e B se

encontram no mesmo local:

No ponto A: Ux = 0, Uy = 0, Uz = 0 (para a placa de cima e de baixo)

No ponto B: Uy = 0, Uz = 0 (para a placa de cima e de baixo)

Apenas nas linhas de z=0 e z=b para ambas as placas: Uy = 0

Figura 3.13 – a) Carregamento aplicado a placa simplesmente apoiada e livre (SS_F_SS_F). Placa Rectangular. b)

Sistema de eixos considerado nesta Tese.

O sistema de eixos considerado nesta tese para todas as placas esta ilustrado na figura 3.13. Ou seja o plano da

placa é o plano XZ.

3.3.3 Constrangimentos

No decorrer da optimização de variáveis de projecto houve necessidade de limitar a procura de resultados pois

houve alguns que eram demasiado elevados/baixos. Sendo assim, foram feitas as seguintes limitações para

material ortotrópico:

10 퐺푃푎 < 퐸 < 1000 퐺푃푎

10 퐺푃푎 < 퐸 < 1000 퐺푃푎

0.1 < < 0.4

3 퐺푃푎 < 퐺 < 160 퐺푃푎

___________________________________________________________________________________________

Página 53

3.3.4 Análise Modal – Método Block Lanczos

A equação fundamental usada pelo software ANSYS para solucionar problemas de análise modal é a seguinte:

[퐾]{∅ } = 휔 [푀]{∅ } (3.20)

Onde:

[퐾] = Matriz Rigidez {∅ } = Vector forma do modo i 휔 = Frequência natural do modo i [푀] = Matriz massa

Este é um método muito usado para placas do tipo Shell, de grande porte e de baixa espessura. Garante

soluções para as frequências naturais de vibração de uma forma rápida embora exija espaço na memória do

computador.

3.4 Critério de optimização usado

Na procura de soluções óptimas para as variáveis de projecto através do software MATLAB foi usado um

método de optimização que será descrito a seguir. Também nesta secção será feito um esquema ilustrativo do

funcionamento geral do programa de optimização que interage com o software de elementos finitos ANSYS.

Nesta tese foi usado o FMINSEARCH, um método de procura por iterações. Outro método possível seria o

FMINUNC (procura por derivadas), mas para este caso não seria aconselhável, uma vez que se partirmos de

condições iniciais de optimização na descida de um vale da função (ponto 1, figura 3.14) o FMINUNC como

funciona com gradientes já não consegue sair desse vale e acaba por optimizar no pico mais baixo desse

mesmo vale. O FMINSEARCH já é mais robusto, uma vez que se partirmos do mesmo ponto 1, se ele cair nesse

vale pode sair de lá e procurar outro valor mais baixo da função que esteja próximo desse vale onde caiu. Neste

caso, como veremos mais a frente, vão existir soluções locais concentradas, o que leva a concluir que será

melhor opção usar o FMINSEARCH. Em termos processuais, o FMINSEARCH no inicio do algoritmo baixa

rapidamente a função objectivo, demora no entanto mais tempo a convergir para a solução óptima quando já

se encontra próximo dela, o FMINUNC funciona exactamente ao contrario, no inicio demora a minimizar a

função, mas uma vez estando próximo do pico mais baixo rapidamente converge para ele.

Figura 3.14 – Principais diferenças entre FMINUNC e FMINSEARCH (Ponto 1 – Inicio da Optimização; Ponto 2 –

Solução óptima).

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Página 54

3.4.1 FMINSEARCH

Este é um método de optimização [32] que encontra o mínimo de uma função escalar de várias variáveis de

projecto a partir de uma estimativa inicial. É definida através da seguinte sintaxe:

[x, fval] = fminsearch (fun, x0)

Em que x0 é a estimativa inicial de optimização das variáveis e fun é a função objectivo que será minimizada e

que poderá apresentar-se sob a forma de um escalar, vector ou matriz. O valor x é o mínimo da função e fval é

o valor da função nesse ponto óptimo, que tem que atingir o mínimo valor possível. O ideal seria atingir o valor

nulo. Assim que se inicia o processo de optimização 3 coisas podem acontecer:

a) Código 1 – FMINSEARCH convergiu para uma solução x.

b) Código 0 – O número máximo de iterações foi atingido. O programa termina e não consegue convergir para

uma solução.

c) Código -1 – O algoritmo é denunciado pela função de saída. Ocorre erro.

Uma das limitações do método FMINSEARCH é o facto de apenas fornecer soluções locais, ou seja, é robusto

para este tipo de soluções, mas para encontrar soluções globais (vales de mínimos mais afastados) já é mais

restritivo.

3.4.2 O algoritmo Nelder – Mead

O método de optimização FMINSEARCH usa um método de procura simplex. Este é um método de procura

directo e que não utiliza gradientes numéricos ou analíticos.

Se n é o comprimento de x, o simplex no espaço n-dimensional é caracterizado pelo n +1 vectores distintos que

são os seus vértices. No espaço bidimensional, o simplex é um triângulo, no espaço tridimensional, é uma

pirâmide. Em cada etapa da pesquisa, um novo ponto no/perto do simplex actual é gerado. O valor da função

no novo ponto é comparado com os valores da função nos vértices do simplex e, geralmente, um dos vértices é

substituído pelo novo ponto, dando um novo simplex. Este passo é repetido até que o diâmetro do simplex seja

menor do que a tolerância especificada.

Este método é conhecido como o algoritmo simplex de Nelder- Mead [34], [35]. É um método muito popular de

procura directa para minimização de uma função objectivo multidimensional e usado em campos variados

como a química, a engenharia e a medicina. No anexo E será dada uma explicação acerca do processo de

convergência deste algoritmo.

Na secção seguinte será descrito o funcionamento do programa de optimização executado no MATLAB através

de um fluxograma geral representativo do mesmo.

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Página 55

3.4.3 Fluxograma de Simulação Computacional

De um modo geral, a simulação computacional realizada nesta tese representa-se através do seguinte

diagrama:

Figura 3.15 – Diagrama de sequência de operações realizadas computacionalmente.

3.5 Sumário

Ao longo deste capítulo foram introduzidas as fases necessárias para alcançar um modelo equivalente ao

modelo real 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® através das etapas integrantes de um projecto de optimização de estruturas.

Criando uma simulação computacional que consiga interagir entre softwares, consegue-se pré-determinar

condições óptimas para as variáveis de projecto que consigam responder mais depressa a situações específicas.

No capítulo que se segue, são apresentados os resultados para diversos casos estudados e gerado um modelo

que consiga responder às necessidades do cliente, resultantes da produção de um modelo computacional

eficaz.

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Página 56

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Página 57

CAPITULO IV - RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1 Introdução

Este capítulo tem como objectivo apresentar os resultados do algoritmo de optimização descrito no capítulo

anterior e discutir as soluções óptimas. São apresentadas as soluções para todos os casos de estudo, em forma

de gráficos e tabelas. Desta forma será depois mais fácil concluir quais os parâmetros relevantes na escolha de

um bom modelo equivalente para aproximar a estrutura 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®.

4.2 Apresentação dos Casos de Estudo

Para optimização numérica de parâmetros foram abordados alguns casos de estudo, variando o tipo de

geometria, as condições de fronteira e o tipo de material – com comportamento elástico isotrópico e

ortotrópico (tabela 4.1). Esses casos são apresentados a seguir.

Tipos de casos de Estudo Abordados nesta tese – Isotrópico

Tipos de casos de Estudo Abordados nesta tese – Ortotrópico

Caso A Geometria rectangular – Placas apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) – Material Isotrópico

Caso E Geometria rectangular – Placas apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) – Material Ortotropico

Caso B Geometria rectangular – Placas apoiadas e livres (SS_F_SS_F) – Material Isotrópico

Caso F Geometria rectangular – Placas apoiadas e livres (SS_F_SS_F) – Material Ortotrópico

Caso C Geometria quadrangular – Placas apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) – Material Isotrópico

Caso G Geometria quadrangular – Placas apoiadas nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) – Material Ortotrópico

Caso D Geometria quadrangular – Placas apoiadas e livres (SS_F_SS_F) – Material Isotrópico

Caso H Geometria quadrangular - Placas apoiadas e livres (SS_F_SS_F) – Material Ortotropico

Tabela 4.1 – Definição dos casos de estudo para optimização de parâmetros.

Segue-se uma tabela com os valores numéricos correspondentes a todas as frequências naturais de vibração e

deformada de cada um dos casos estudados. Estas servirão de modelo de comparação para os casos descritos à

frente. Para relembrar, o objectivo é aproximar o modelo uniforme da estrutura 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®. O modelo

uniforme standard apresentado na tabela 4.2 foi estabelecido para uma espessura de 2 mm e um módulo de

elasticidade de 200 GPa, admitindo a mesma geometria que a 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®.

___________________________________________________________________________________________

Página 58

Tabela 4.2 – Tabela Standard de frequências naturais (rad/s) e deformada (metros) para todos os casos de

estudo e desenhos do Modelo Equivalente Uniforme correspondente aos casos.

Como foi dito no capítulo anterior, a escolha do número de frequências que aparece na tabela 4.2 para cada

conjunto de casos de estudo tem a ver com o facto de se observar o número de frequências naturais (através

do programa ANSYS) que apresentem o mesmo tipo de comportamento do modo de vibração (em relação à

forma que ostenta) quando comparamos o modelo uniforme equivalente à estrutura a que nos propusemos

desde inicio atingir – a placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®. Para o algoritmo (descrito no capítulo anterior) se processar

necessita de um ponto de partida, o qual se denomina de condições iniciais de optimização.

4.3 Resultados – Material Isotrópico

Para todos os casos são apresentadas as tabelas com os resultados óptimos das variáveis de projecto e o

respectivo erro percentual por comparação face aos valores standard abordados na tabela 4.2, bem como

alguns gráficos de convergência desses mesmos valores consoante o número de iterações para material

isotrópico. Para o primeiro caso de estudo (caso A) será descrito em pormenor todo o procedimento a ter em

conta em cada um dos casos para material com comportamento linear isotrópico. Para os restantes casos B, C,

D apenas serão apresentados os aspectos mais relevantes resultantes de toda a análise decorrida desse mesmo

procedimento. Outros pormenores relativamente aos casos B, C e D estão em anexo D.

4.3.1 Caso A (Placa SS_SS_SS_SS Rectangular Isotrópica)

Antes de se começar uma optimização, uma das questões que se coloca é: Por onde começar a optimizar? Há

que definir bem as condições iniciais de optimização, pois estas definem o percurso que vai decorrer até atingir

a solução óptima. Por vezes é fácil e intuitivo o ponto de partida mas há também casos (como material

ortotrópico) em que não é simples de definir um ponto de partida. Partindo do senso comum, poderá elaborar-

Caso A, E Caso B, F Caso C, G Caso D, H

OPENCELL

Uniforme

OPENCEL

L

Uniforme

OPENCELL

Uniforme

OPENCELL

Uniforme

흎ퟏ 274,45 194,27 56,05 5,02 119,36 42,01 80,57 20,50

흎ퟐ 294,56 210,00 109,30 20,15 185,78 105,01 108,34 34,34

흎ퟑ 322,83 236,23 - - 185,88 105,01 - -

흎ퟒ 353,43 272,94 - - - - - -

흎ퟓ 379,44 320,13 - - - - - -

흎ퟔ 390,50 377,81 - - - - - -

휹 0,000646 0,002269 0,011337 3,25 0,003223 0,057477 0,005788 0,212373

___________________________________________________________________________________________

Página 59

se um gráfico tridimensional (figura 4.1) que define a função objectivo dependendo das variáveis de projecto

(E, h) para visualizar de uma maneira geral a zona mínima da função. Há que referir que isto é possível, uma vez

que existem neste caso (material isotrópico) apenas duas variáveis de projecto. Quando existem mais variáveis

(caso ortotrópico) não será assim tão simples de visualizar graficamente a função objectivo uma vez que esta

depende de mais variáveis. O gráfico está limitado a valores de E (entre 10 GPa e 1000 GPa) e h (entre 1 e 50

mm).

Figura 4.1 – Gráfico (escala logarítmica) da função objectivo dependendo de E (GPa) e h (mm) para o Caso A.

Pela figura 4.1 observa-se uma zona azul escura onde a função atinge os valores mais baixos e que servirá de

ponto de partida para as condições iniciais de optimização. Ao que parece todos os pares de h e E que

apresentam valores mínimos de F estão sobre uma hipérbole. Ou seja, matematicamente temos a equação

퐸ℎ = constante (que é similar a 푥푦 = constante - equação de uma hipérbole). Resta saber então qual a equação

da hipérbole e perceber o comportamento de F ao longo da mesma.

A função objectivo para o caso A é construída a partir da junção das equações 3.7, 3.10, 3.17 substituídas na

equação geral 3.6 com os valores apresentados na figura 3.3, sendo n = 6 e é dada por:

푓 =

퐴1 . ..

+ 퐴2 . ..

+ 퐴3 . ..

+

퐴4 . ..

+ 퐴5 . ..

+ 퐴6 . ..

+ 퐴7. .

.

(4.1)

Que assume o valor nulo quando todas as frequências naturais e a deformada do modelo equivalente uniforme

igualam as mesmas da placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®. Com isto, pretende-se então conhecer os valores que a função

apresenta ao longo da hipérbole representada na figura 4.1 (testando os pontos estimados de E e h) de modo a

ter uma noção quais os pontos de coordenadas (h, E) que apresentam valores mais baixos da função

expressada acima. Nas tabelas 4.3 e 4.4 estão todos os pontos (h, E) estimados, sobre essa hipérbole como condições iniciais de

optimização definidas no software MATLAB.

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Página 60

Caso A

훚ퟏ

(rad/s)

훚ퟐ

(rad/s)

훚ퟑ

(rad/s)

훚ퟒ

(rad/s)

훚ퟓ

(rad/s)

훚ퟔ

(rad/s)

휹

(m)

F

E

(GPa)

h

(mm)

푬풉ퟑ (Nm)

Nº iterações

Opencell (ANSYS)

274,45 294,56 322,83 353,43 379,44 390,50 0,000646 - - - - -

Uniforme ANSYS

194,27 210,00 236,23 272,94 320,13 377,81 0,002269 - - - - -

Ponto 1 255,81 276,52 311,05 359,39 421,53 497,48 0,00065427

0,033063

706,81 1,99 5544,93 91

Ponto 2 255,81 276,52 311,05 359,39 421,53 497,48 0,00065426

0,033063

223,32 2,92 5548,60 101

Ponto 3 255,81 276,52 311,05 359,39 421,53 497,48 0,00065427

0,033063

95,72 3,87 5547,99 99

Ponto 4 261,24 282,40 317,66 367,02 379,44 430,49 0,00062733

0,0081543

27,02 5,98 5778,15 99

Ponto 5 261,24 282,40 317,66 367,02 379,44 430,49 0,00062733

0,0081543

27,02 5,98 5778,15 99

Ponto 6 264,13 285,52 321,17 353,44 371,08 435,24 0,00061369

0,0076364

21,60 6,49 5904,56 87

Tabela 4.3 – Pontos testados como condições iniciais de optimização para pesos iguais

Caso A

훚ퟏ

(rad/s)

훚ퟐ

(rad/s)

훚ퟑ

(rad/s)

훚ퟒ

(rad/s)

훚ퟓ

(rad/s)

훚ퟔ

(rad/s)

휹

(m)

F

E

(GPa)

h

(mm)

푬풉ퟑ (Nm)

Nº iterações

Opencell (ANSYS)

274,45 294,56 322,83 353,43 379,44 390,50 0,000646 - - - - -

Uniforme ANSYS

194,27 210,00 236,23 272,94 320,13 377,81 0,002269 - - - - -

Ponto 1 260,06 281,12 316,22 365,36 428,54 505,75 0,00063305

0,026144

728,41 1,99 5731,66 80

Ponto 2 260,06 281,12 316,22 365,36 428,54 505,75 0,00063305

0,026144

222,28 2,96 5735,52 85

Ponto 3 260,06 281,12 316,22 365,36 428,54 505,75 0,00063306

0,026144

91,62 3,97 5732,73 90

Ponto 4 265,46 286,96 322,79 353,44 372,95 437,44 0,00060755

0,0065692

21,49 6,53 5983,79 109

Ponto 5 263,67 285,02 320,61 370,44 379,44 434,49 0,00061582

0,0073115

26,77 6,04 5898,74 86

Ponto 6 265,46 286,96 322,79 353,43 372,95 437,44 0,00060754

0,0065692

21,49 6,53 5983,79 86

Tabela 4.4 – Pontos testados como condições iniciais de optimização para pesos diferentes

Foram testados 6 pontos (definidos na figura 4.1) e conclui-se que o ponto 6 é considerado o ponto óptimo

uma vez que atinge o mínimo da função (ou seja, aproxima melhor as frequências naturais e deformada da

푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®) com menos iterações quando comparado com os restantes pontos. As especificações desse

ponto 6 óptimo para o caso A apresentam-se na tabela 4.3 bem como o erro percentual face aos valores

estipulados da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®. Para construir a hipérbole óptima, visualizada na figura 4.2 estimam-se pontos

fixando uma das variáveis (h ou E) e através de um algoritmo de interpolação obtém-se assim um valor de h

para um E fixo e um valor de E para um h fixo para os quais a função é mínima, resultando disto vários pontos

que garantem um F mínimo ao longo da hipérbole apresentada na figura 4.2.

___________________________________________________________________________________________

Página 61

Figura 4.2 – Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso A – Pesos diferentes e Pesos Iguais.

Observando a forma como F varia com estes pares de pontos, verifica-se que F é constante até aos 100 GPa

aproximadamente e decresce para um mínimo absoluto próximo do ponto (h, E) = (6mm, 30 GPa), que são as

coordenadas iniciais de optimização do ponto 6. De seguida volta a crescer à medida que a espessura aumenta.

Decorrida a optimização, constata-se que o ponto óptimo 6 é: (h, E) = (6,53 mm; 21,49 GPa). Apesar de se ter

logo a partida conhecimento de um mínimo absoluto, os outros pontos também foram testados, anexo D.

Sendo assim temos a equação da hipérbole óptima definida por: 퐸ℎ = 5975 e F = 0,0065692, para pesos

diferentes, e 퐸ℎ = 5915 e F = 0,0076364, para pesos iguais, ver tabela 4.5.

Tabela 4.5 – Valores óptimos para Placa Rectangular SS_SS_SS_SS – Caso A

Frequências Naturais e Deformada – Modelo Equivalente Uniforme Pesos Iguais Pesos Diferentes (A1=A2=A7=0.2;

A3=A4=A5=A6=0.1)

Modelo Equivalente

푶푷푬푵푪푬푳푳® Erro (%) Modelo Equivalente

푶푷푬푵푪푬푳푳® Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 264,13 274,45 3,76 265,46 274,45 3,28 흎ퟐ (rad/s) 285,52 294,56 3,07 286,96 294,56 2,58 흎ퟑ (rad/s) 321,17 322,83 0,51 322,79 322,83 0,012 흎ퟒ (rad/s) 353,44 353,43 0,003 353,43 353,43 0 흎ퟓ (rad/s) 371,08 379,44 2,20 372,95 379,44 1,71 흎ퟔ (rad/s) 435,24 390,50 11,46 437,44 390,50 12,02 휹 (m) 0,00061369 0,000646 5 0,00060754 0,000646 5,95

F 0,0076364 - - 0,0065692 - - 푬풉ퟑ (Nm) 5915 - - 5975 - -

Nº Iterações 87 - - 86 - -

Solução Manual (MATHEMATICA)

푬풉ퟑ(Nm) = 4915,05

F = 0,05183

푬풉ퟑ(Nm) = 5166,32

F = 0,045892

___________________________________________________________________________________________

Página 62

O erro é calculado através de:

Erro (%) = ó ( )

100% (4.2)

A solução manual representada na tabela 4.3 foi calculada no programa MATHEMATICA através de uma

mudança de variável simples: x = 퐸ℎ na função objectivo. O mesmo procedimento foi efectuado para o caso C,

tabela 4.5. Para se encontrar o mínimo da função recorreu-se a:

( )

=( )

= 0 (4.3)

Verifica-se à partida que a solução não é tão precisa como a obtida no MATLAB, pois o valor de F não está tão

baixo como deveria. Na tabela 4.2 e nas que se seguem, os termos A1,A2, A3, A4, A5, A6, A7 (∑퐴 =

1) associam-se aos pesos diferentes atribuídos a cada um dos parâmetros. Na atribuição de pesos diferentes

optou-se por dar maior ênfase às primeiras frequências e à deformada da estrutura. Um facto a ter em conta

foi que para material isotrópico e uma vez que a função objectivo varia dependendo do factor 퐸ℎ (para

densidade dependente da espessura) usou-se este parâmetro de optimização em vez de E e h optimizados de

forma separada, porque ambos variam de uma forma inversamente proporcional.

Na figura 4.3 apresentam-se os gráficos de convergência da função objectivo e da variável de projecto 퐸ℎ em

função do número de iterações realizadas para o ponto 6 (ponto óptimo).

Figura 4.3 – Convergência da Função Objectivo e da Variável de Projecto 퐸ℎ em função do número de

iterações - Caso A.

Note-se que a partir sensivelmente das 20 iterações os valores convergem. Os casos que se seguem, são

elaborados pelo mesmo método descrito neste caso A. São apresentadas apenas as tabelas referentes ao

ponto óptimo, bem como os respectivos gráficos de convergência e as hipérboles óptimas, já depois de

analisadas as condições iniciais de optimização no MATLAB para todos os pontos candidatos a óptimo referidos

no anexo D.

___________________________________________________________________________________________

Página 63

4.3.2 Caso B (Placa SS_F_SS_F Rectangular Isotrópica)

Frequências Naturais e Deformada – Modelo Equivalente Uniforme

Pesos Iguais Pesos Diferentes (A1=A3=0.4; A2=0.2)

Modelo Equivalente



흎ퟏ (rad/s) 54,84 56,05 2,16 56,45 56,05 0,71 흎ퟐ (rad/s) 220,21 109,30 101,5 226,70 109,30 107,4 휹 (m) 0,013607 0,011337 20,02 0,012839 0,011337 13,2

F 0,19928 - - 0,12339 - - 푬풉ퟑ(Nm) 382269 - - 405120 - -

Nº Iterações 84 - - 79 - - Tabela 4.6 – Valores óptimos para Placa Rectangular SS_F_SS_F – Caso B

Quanto à função objectivo como não existe nenhuma fórmula explícita para a frequência natural teórica (como

visto na teoria do capítulo 2) apenas conseguimos obter a seguinte função objectivo, com base nos valores da

tabela 3.8 e da figura 3.8 substituídos na equação geral 3.6, sendo n = 2:

푓 = 퐴1 ..

+ 퐴2 ..

+ 퐴3 . .

(4.4)

A única maneira de se obter uma solução será através de um método de optimização, usando para isso um

software específico. Nesta tese será usado o MATLAB, cujo método de optimização utilizado na procura de

soluções óptimas para as variáveis de projecto foi descrito na secção 3.4. A figura 4.4 ilustra as hipérboles

óptimas referentes ao caso B e a figura 4.5 os respectivos gráficos de convergência de valores.

Figura 4.4 – Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso B – Pesos diferentes e Pesos Iguais.

___________________________________________________________________________________________

Página 64

Figura 4.5 – Convergência da Função Objectivo e da Variável de Projecto 퐸ℎ em função do número de

iterações - Caso B.

4.3.3 Caso C (Placa SS_SS_SS_SS Quadrangular Isotrópica)


Pesos Iguais Pesos Diferentes (A1=A4= 0.3; A2=A3= 0.2)

Modelo Equivalente



흎ퟏ (rad/s) 107,07 119,36 10,3 111,61 119,36 6,5 흎ퟐ (rad/s) 267,66 185,78 44,1 279,02 185,78 50,2 흎ퟑ (rad/s) 267,66 185,88 44 279,02 185,88 50,1

휹(m) 0,0044232 0,003223 37,2 0,0040706 0,003223 26,3 F 0,16729 - - 0,14304 - -

푬풉ퟑ(퐍퐦) 20789 - - 22591 - - Nº Iterações 84 - - 88 - -

Solução Manual (MATHEMATICA)

푬풉ퟑ(Nm) = 15576,1

F = 0,360339

푬풉ퟑ(Nm) = 16566,6

F = 0,360198 Tabela 4.7 – Valores óptimos para Placa Quadrangular SS_SS_SS_SS – Caso C

A função objectivo é elaborada tendo por base as equações 3.19, 3.20 substituídas na equação 3.6 com n = 3 e

os valores da tabela 3.6 e da figura 3.6, descritos no capítulo anterior e apresenta-se da seguinte forma:

푓 =

퐴1 . ..

+ 퐴2 . ..

+ 퐴3 . ..

+ 퐴4. .

.

(4.5). A figura 4.6 refere-se as hipérboles óptimas do caso C.

___________________________________________________________________________________________

Página 65

Figura 4.6 – Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso C – Pesos diferentes e Pesos Iguais.

4.3.4 Caso D (Placa SS_F_SS_F Quadrangular Isotrópica)


Pesos Iguais Pesos Diferentes (A1=A3=0.4; A2=0.2)

Modelo Equivalente



흎ퟏ (rad/s) 78,47 80,57 2,6 81,02 80,57 0,56 흎ퟐ (rad/s) 131,46 108,34 21,34 135,73 108,34 25,28 휹 (m) 0,007246 0,005788 25,19 0,006798 0,005788 17,4

F 0,04879 - - 0,03521 - - 푬풉ퟑ(퐍퐦) 46892 - - 49983 - -

Nº Iterações 86 - - 82 - - Tabela 4.8 – Valores óptimos para Placa Quadrangular SS_F_SS_F – Caso D

A função objectivo é elaborada através dos valores apresentados na tabela 3.10 e na figura 3.10 substituídos na

equação geral 3.6 e é fornecida através da seguinte expressão, com n = 2:

푓 = 퐴1 ..

+ 퐴2 ..

+ 퐴3 . .

(4.6)

De seguida, encontram-se as hipérboles óptimas para pesos iguais e diferentes referentes ao caso D, figura 4.7.

___________________________________________________________________________________________

Página 66

Figura 4.7 – Perspectiva 3D e Planta da hipérbole óptima para o caso D – Pesos diferentes e Pesos Iguais.

4.3.5 Comentários

Uma das primeiras observações verificadas foi o facto dos valores numéricos atingidos para as variáveis de

projecto dependerem um pouco das condições iniciais de optimização, de certa forma estas é como se fossem

um primeiro indicador do caminho a seguir pelo algoritmo, uma vez que existem muitas soluções óptimas

(dependendo do numero de vales da função).

Como se pode observar nas tabelas 4.3,4.4,4.5 e 4.6 no caso de se atribuir pesos diferentes a cada um dos

parâmetros consegue aproximar-se com menor erro o modelo equivalente uniforme da 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® (nas

frequências naturais de vibração e na deformada) nos termos onde se incluiu maior peso, já nos restantes onde

se opta por dar menor ênfase o erro aumenta ligeiramente comparativamente à atribuição de pesos iguais.

Desta forma e consoante as aplicações a que se destina o modelo que se pretende desenvolver na vida real, há

que fazer escolhas quanto aos parâmetros da função objectivo a que se quer dar mais ou menos importância.

Quanto aos gráficos das figuras 4.3 e 4.5 observa-se a convergência de valores da função objectivo e da variável

de projecto 퐸ℎ , o que comprova a eficácia do modelo computacional utilizado no MATLAB. Outro facto

observado, é que a optimização do material e da espessura depende fortemente das condições de fronteira

aplicadas, uma vez que para o caso A e C em que a placa está simplesmente apoiada nas 4 extremidades

(SS_SS_SS_SS) precisaríamos de uma espessura inferior para o modelo equivalente uniforme em comparação

com a placa simplesmente apoiada e livre (SS_F_SS_F) utilizando o mesmo material. Por exemplo, se

empregássemos o aço inox (E = 200GPa) como material imposto à estrutura real 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, teríamos que

ter uma espessura de 3 mm (por observação da figura 4.2) para uma condição de fronteira simplesmente

apoiada nas 4 extremidades e assumindo a geometria rectangular. No entanto, se a aplicação passasse por ter

imposta uma condição de fronteira simplesmente apoiada e livre, teríamos que ter para a mesma geometria

cerca de 12 mm de espessura. Convém no entanto referir, que o comportamento do modelo teórico em

termos de modos de vibração nas extremidades de cada hipérbole (ou seja, para espessuras muito baixas e

módulos de elasticidade elevados ou vice-versa) não se identifica de maneira nenhuma com os modos do

modelo real. Por isso a zona óptima corresponde à zona da concavidade (a meio da hipérbole).

___________________________________________________________________________________________

Página 67

Com as hipérboles óptimas desenhadas torna-se mais fácil saber á partida quais as condições favoráveis que

garantem uma boa aproximação de comportamento em termos dinâmicos (frequências naturais) e estáticos

(deformada) de ambos os modelos. De modo análogo, podem retirar-se as mesmas conclusões em relação ao

outro tipo de geometria (casos C e D), caso o cliente precisasse de usar uma estrutura em alumínio (E = 120

GPa) teríamos uma espessura de cerca de 6 mm para placas simplesmente apoiada nas 4 extremidades (figura

C). As variáveis de projecto óptimas dependem assim também do tipo de geometria.

Por observação das hipérboles óptimas consegue estimar-se visualmente os pontos de coordenadas (E, h) que

estão sobre uma linha de pontos que garantem o mínimo da função, ou então resolvendo matematicamente a

equação dessa mesma hipérbole, uma vez que se conhece a sua constante de proporcionalidade k (퐸ℎ =k),

para os 4 casos isotrópicos em análise. Convém no entanto alertar para o facto de que os modos de vibração

do modelo teórico têm que ser idênticos aos modos do modelo real, ou seja, caso se retire um par de pontos

(h, E) assentes sobre essa hipérbole óptima é de extrema importância verificar o comportamento do modelo

teórico equivalente (que tem que ser igual ao modelo real) com essas propriedades óptimas adquiridas, porque

de outra forma, não fará sentido aplicar esse modelo.

4.4 Resultados – Material Ortotrópico

Como enunciado no capítulo anterior, para material ortotrópico nem todas as propriedades de material postas

em jogo devem ser optimizadas, uma vez que existem parâmetros de projecto que não influenciam no

comportamento dinâmico da estrutura (anexo C) e por isso são constantes. Será necessário então escolher

quais os valores numéricos (tabela 4.9) a oferecer a esses parâmetros. Para tal considera-se que E = 200GPa e G

= 80 GPa, assumindo que este valor advém da fórmula de G para material isotrópico.

Parâmetro Fixo Valor numérico 퐄퐲 200 GPa 훎퐲퐳 0.3 훎퐱퐲 0.3 퐆퐲퐳 80 GPa 퐆퐱퐲 80 GPa

Tabela 4.9 – Valor numérico dos parâmetros fixos não influentes.

Em que 퐺 =( )

para material isotrópico.

Os casos apresentados adiante para material ortotrópico têm em conta os parâmetros considerados na tabela

4.7. Uma vez que eles não influenciam os resultados óptimos (o que foi comprovado) não será necessário

apresentar soluções para outros valores numéricos além dos já enunciados.

Como referido no capítulo anterior, a função objectivo que corresponde ao caso E é a mesma do caso A; do

caso F é a mesma do caso B; do caso G é a mesma do caso C; e por ultimo a do caso H é a mesma que no caso

D, especificadas para material isotrópico (secção 4.3).

A tabela 4.8 apresenta os pontos que foram testados no modelo computacional do MATLAB como condições

iniciais de optimização para todos os casos E, F, G e H ortotrópicos.

___________________________________________________________________________________________

Página 68

Condições Iniciais de

Optimização

Espessura

(mm)

푬풙 (GPa)

푬풛 (GPa)

풙풛

푮풙풛

Caso E

Ponto 1 2 150 150 0.3 60 Ponto 2 4 150 50 0.15 60 Ponto 3 4 50 150 0.15 60

Caso F


Caso G


Caso H


Tabela 4.10 – Pontos testados como condições iniciais de optimização no MATLAB para todos os casos

ortotrópicos.

Seguidamente, serão exibidas as tabelas para pesos diferentes atribuídos aos parâmetros da função objectivo

com os resultados consequentes da optimização dos pontos iniciais da tabela 4.10 para todos os casos

ortotrópicos bem como os seus gráficos de convergência de parâmetros de projecto em função do número de

iterações calculado pelo FMINSEARCH. As tabelas com pesos iguais são mostradas em anexo E.

4.4.1 Caso E (Placa SS_SS_SS_SS Rectangular Ortotrópica)

푶푷푬푵푪푬푳푳® Ponto 1 (M.E.) *

Ponto 2 (M.E.) *

Ponto 3 (M.E.) *

Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 274,45 273,60 273,52 272,97 0,3

흎ퟐ (rad/s) 294,56 284,52 284,53 284,11 3,4 흎ퟑ (rad/s) 322,83 303,49 303,65 303,44 6,0

흎ퟒ (rad/s) 353,43 331,36 331,75 331,81 6,2 흎ퟓ (rad/s) 379,44 368,97 369,63 370,03 2,8

흎ퟔ (rad/s) 390,50 416,88 417,87 418,66 6,8

휹 (m) 0,000646 0,0005567 0,00055718 0,00055956 13,8 F - 0,0097891 0,0097937 0,0098098 -

Espessura (mm)

- 3,12 3,13 3,14 -

푬풙 (GPa) - 226,50 224,26 221,12 - 푬풛 (GPa) - 75,79 64,97 10,00 -

풙풛 - 0,209 0,117 0,102 -

푮풙풛 - 46,81 39,06 3,04 - Nº iterações - 198 227 473 -

Tabela 4.11 – Resultados testados para placa Rectangular SS_SS_SS_SS Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A2=A7=0,2; A3=A4=A5=A6=0,1) – Caso E.

* Nota: A sigla M.E. que aparece na tabela 4.9 e nas tabelas seguintes significa Modelo Equivalente.

___________________________________________________________________________________________

Página 69


iterações - Caso E, Ponto 1.


iterações - Caso E, Ponto 1.

___________________________________________________________________________________________

Página 70

4.4.2 Caso F (Placa SS_F_SS_F Rectangular Ortotrópica)

푶푷푬푵푪푬푳푳® Ponto 1 (M.E.)

Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 56,05 43,48 43,49 43,49 22,43

흎ퟐ (rad/s) 109,30 173,99 174,03 174,04 59,19

휹 (m) 0,011337 0,021535 0,021514 0,021533 89,95 F - 0,8579 0,85711 0,85848 -

Espessura (mm)

- 13,41 13,41 13,41 -

푬풙 (GPa) - 391,23 GPa 488,99 343,67 -

푬풛 (GPa) - 10,01 GPa 49,74 534,76 - 풙풛 - 0,1 0,10172 0,39737 -

푮풙풛 - 63,99 GPa 3 GPa 3 GPa -

Nº iterações - 357 362 400 -

Tabela 4.12 – Resultados testados para placa Rectangular SS_F_SS_F Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A3= 0,4; A2=0,2) – Caso F.

De notar que para todos os casos ortotrópicos e para cada um dos três pontos listados nas tabelas (caso E, F, G,

H) temos os seguintes constrangimentos impostos:

10 퐺푃푎 < 퐸 < 1000 퐺푃푎

10 퐺푃푎 < 퐸 < 1000 퐺푃푎

0.1 < < 0.4

3 퐺푃푎 < 퐺 < 160 퐺푃푎


iterações - Caso F, Ponto 1.

___________________________________________________________________________________________

Página 71


iterações - Caso F, Ponto 1.

4.4.3 Caso G (Placa SS_SS_SS_SS Quadrangular Ortotrópica)


Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 119,36 96,28 96,28 96,28 19,3

흎ퟐ (rad/s) 185,78 225,93 225,93 225,92 21,6 흎ퟑ (rad/s) 185,88 248,27 248,26 248,27 33,6

휹 (m) 0,003223 0,0054614 0,0054618 0,0054618 69,5 F - 0,35012 0,35012 0,35012 -

Espessura (mm)

- 5,58 5,58 5,58 -

푬풙 (GPa) - 71,66 71,68 71,65 -

푬풛 (GPa) - 128,98 67,46 97,79 - 풙풛 - 0,23069 0,1575 0,16785 -

푮풙풛 - 114,47 71,96 71,55 -

Nº iterações - 204 219 200 -

Tabela 4.13 – Resultados testados para placa Quadrangular SS_SS_SS_SS Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A4=0,3; A2=A3=0,2) – Caso G.

Observando os valores presentes na tabela 4.13 seria de esperar que os resultados para 퐸 e 퐸 fossem

aproximadamente iguais, uma vez que a placa tem geometria quadrangular, no entanto e devido ao facto

deste problema de optimização tratar material ortotrópico espera-se que a função objectivo apresente mais

vales mínimos face ao isotrópico, o que significa que o Ponto 1 (inicial de optimização) que apresenta valores

___________________________________________________________________________________________

Página 72

óptimos discrepantes dos módulos de elasticidade, poderá ter parado num vale mínimo da função que não

seria o esperado/aceitável.


iterações - Caso G, Ponto 2.


iterações - Caso G, Ponto 2.

___________________________________________________________________________________________

Página 73

4.4.4 Caso H (Placa SS_F_SS_F Quadrangular Ortotrópica)

Tabela 4.14 – Resultados testados para placa Quadrangular SS_F_SS_F Ortotrópica com pesos diferentes

(A1=A3=0,4; A2=0,2) – Caso H.


iterações - Caso H, Ponto 3.


Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

M.E. Erro (%)

M.E. Erro (%)

M.E. Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 80,57 77,07 4,3 76,67 4,8 81,59 1,3 흎ퟐ (rad/s) 108,34 132,22 22,0 131,69 21,6 129,07 19,1 휹 (m) 0,005788 0,0071446 23,4 0,0077641 34,1 0,0072604 25,4

F - 0,072773 - 0,068364 - 0,061316 - Espessura

(mm) - 7,78 - 7,76 - 7,37 -

푬풙 (GPa) - 379,31 - 999,99 - 26,84 - 푬풛 (GPa) - 10,00 - 64,44 - 214,93 -

풙풛 - 0,10349 - 0,16007 - 0,16872 - 푮풙풛 - 26,97 - 42,22 - 80,79 -

Nº iterações - 553 - 287 - 189 -

___________________________________________________________________________________________

Página 74


iterações - Caso H, Ponto 3.

4.4.5 Comentários

Para o estudo do material com comportamento linear ortotrópico seria de esperar que se aproximasse melhor

o modelo teórico do modelo real, no entanto e observando as tabelas, os erros são um pouco maiores quando

comparados com os casos isotrópicos correspondentes, talvez devido ao facto de se estar a comparar situações

diferentes, com condições iniciais diferentes de projecto. Por exemplo, observe-se o estudo realizado na tabela

4.15, para os casos A e E que são idênticos apenas variando o comportamento do material (isotrópico – caso A

e ortotrópico – caso E) chega-se à conclusão que partindo das mesmas condições iniciais de optimização temos

um somatório de erros menor no caso ortotrópico no seu balanço total, mas mais importante é o facto da

função objectivo ser de menor valor numérico no material ortotrópico face ao isotrópico. De facto o

ortotrópico aproxima melhor o modelo real, embora por exemplo o modelo isotrópico aproxime muito melhor

a deformada e as frequências naturais W3 e W4. Quer isto significar que de uma forma global o modelo

ortotrópico aproxima melhor o modelo real em comparação ao isotrópico para as mesmas condições

geométricas e mesmas condições de fronteira.

Também neste estudo de material ortotrópico a atribuição de pesos diferentes aos vários parâmetros da

função garante uma melhor aproximação do modelo real (comparar com tabelas para pesos iguais, Anexo E).

Outra observação retirada das tabelas é que é mais fácil optimizar a espessura do que as propriedades do

material. Assim sabemos que para o caso E temos uma espessura de 3mm, para o caso F temos um modelo

teórico com 13 mm de espessura, ou seja teríamos que ter um modelo mais rígido para uma boa aproximação

ao modelo real. Para o caso G a placa quadrangular teria que ter cerca de 5/6 mm e para o caso H o melhor

seria uma espessura de 7/8 mm. Por isso, também mediante a aplicação a que se destina a placa real, assim

temos variadas espessuras óptimas de modelo teórico para cada uma dessas situações. Também aqui nesta

secção os valores convergiram. Em relação às variáveis de projecto de material cada ponto analisado apresenta

___________________________________________________________________________________________

Página 75

valores numéricos diferentes, é mais difícil de encontrar um modelo teórico específico do que no caso de

material com comportamento linear isotrópico, uma vez que a função objectivo depende de mais variáveis de

projecto apresentando mais vales de mínimos, no entanto o comportamento em termos de modos de vibração

dos valores óptimos obtidos continuam a ser idênticos ao modelo real 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿® (valores foram testados

no ANSYS e foram observados os seus modos de vibração), à excepção do ponto 2 da tabela 4.14, em que Ex

assume um valor igual ao limite máximo estabelecido para essa variável para além do seu comportamento ser

totalmente diferente do modelo real em termos de modos de vibração. De notar também que é mais fácil

optimizar o Ex do que qualquer um dos outros parâmetros, uma vez que esse valor converge melhor para uma

solução próxima de 220 GPa (por exemplo no caso E) seja qual for o ponto de optimização de onde se parta, o

mesmo acontecendo para os outros casos.

Pesos Iguais

푶푷푬푵푪푬푳푳®

Condições Iniciais Caso A

Caso A

Isotrópico

Erro (%)

Condições Iniciais Caso E

Caso E

Ortotrópico

Erro (%)

흎ퟏ(rad/s) 274,45 194,27 255,81 6,79 194,27 277,31 1,04 흎ퟐ (rad/s) 294,56 210,00 276,53 6,12 210,00 287,64 2,35 흎ퟑ (rad/s) 322,83 236,23 311,05 3,65 236,23 305,53 5,36 흎ퟒ (rad/s) 353,43 272,94 359,39 1,69 272,94 332,09 6,04 흎ퟓ (rad/s) 379,44 320,13 421,53 11,09 320,13 368,11 2,99 흎ퟔ (rad/s) 390,50 377,81 497,48 27,40 377,81 414,20 6,07 휹 (m) 0,000646 0,002269 0,00065426 1,28 0,002269 0,00054171 16,14

F - - 0,033063 - - 0,010345 - E (GPa) - 200 222,71 - - - - h (mm) - 2 2,92 - 2 3,08 - Ex (GPa) - - - - 200 243,48 - Ez (GPa) - - - - 200 115,66 -

풙풛 - - - - 0,3 0,22150 - Gxz (GPa) - - - - 80 72,30 -

Soma Erros - - - 58,02 % - - 39,99 % Tabela 4.15 – Comparação do somatório de erros para material isotrópico e ortotrópico (caso A e E)

considerando as mesmas condições iniciais de optimização para pesos iguais.

4.5 Sumário

Este capítulo apresenta os resultados e descrição de todo o processo utilizado para vários casos de estudo

considerando algumas vertentes como sejam: geometria rectangular e quadrangular, condição de fronteira

simplesmente apoiada nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) e apoiada e livre em extremidades opostas

(SS_F_SS_F) e os dois casos de material com comportamento linear isotrópico e ortotrópico. Foram analisadas

várias condições iniciais de optimização, concluindo-se assim que as propriedades do modelo teórico

equivalente dependem fortemente das condições de fronteira estabelecidas (ou seja, das aplicações reais da

placa 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®) e da geometria escolhida. Para material isotrópico observou-se que é mais fácil especificar

um modelo teórico que aproxime o modelo real uma vez que este é mais previsível pois apresenta menos vales

___________________________________________________________________________________________

Página 76

mínimos da função em comparação com o material ortotrópico, que provavelmente apresentara múltiplos

vales de soluções mínimas locais, já que tem 5 variáveis de projecto.

___________________________________________________________________________________________

Página 77

CAPITULO V - CONCLUSÕES E PROPOSTAS DE TRABALHO FUTURO

5.1 Conclusões

As placas Sandwich são amplamente usadas na indústria automóvel, aeroespacial e naval e apesar de haver já

no mercado estruturas cada vez mais competitivas, pode sempre melhorar-se o que já existe de forma a liderar

a procura deste tipo de tecnologia para solucionar variados problemas. As estruturas existentes no mercado

trazem subjacentes processos de fabrico que exigem muitas vezes elevados custos, ou possuem núcleos com

aplicações muito específicas. Surge assim, um modelo inovador com elevado coeficiente rigidez/peso

denominado 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, desenvolvida pela PLY Engenharia, como objecto de estudo desta tese.

O objectivo proposto foi desenvolver um modelo teórico computacional de placa uniforme que interaja entre

softwares (ANSYS e MATLAB) e que conseguisse aproximar tanto quanto possível as frequências naturais e a

deformada da estrutura real 푂푃퐸푁퐶퐸퐿퐿®, optimizando através do método iterativo FMINSEARCH as

propriedades do material e a espessura.

Este trabalho é uma mais-valia na medida em que teremos um modelo teórico previamente conhecido que

consiga aproximar o modelo real, respondendo com rapidez e consequentemente reduzidos custos a diversas

situações específicas.

Recorrendo à teoria clássica de placas e partindo da comparação dos modos de vibração entre modelo real e

teórico definem-se as variáveis de projecto e as funções objectivo que se pretendem minimizar. Alguns casos

de estudo foram abordados variando a geometria e a orientação das patilhas, as condições de fronteira:

simplesmente apoiada nas 4 extremidades (SS_SS_SS_SS) e simplesmente apoiada e livre em extremidades

opostas (SS_F_SS_F), bem como comportamento linear isotrópico e ortotrópico do material, quando sujeito a

uma carga de pressão uniformemente distribuída.

As principais conclusões que se retiram dos resultados obtidos são:

As condições iniciais de optimização definem o caminho a percorrer pelo algoritmo de optimização, o

que implica que há que decidir o melhor possível por onde começar a optimizar;

As soluções óptimas dependem fortemente das condições fronteira, ou seja, para uma aplicação em

que temos placas simplesmente apoiadas e livres em extremidades opostas (SS_F_SS_F) teremos que ter uma

espessura superior/ maior rigidez do modelo teórico face a condição de fronteira de simplesmente apoiada nas

4 extremidades (SS_SS_SS_SS);

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Página 78

Dependendo da aplicação que se pretende dar ao modelo real, podemos trabalhar a função objectivo

dando maior relevância por exemplo às primeiras frequências e à sua deformada aumentando os pesos

atribuídos aos seus respectivos parâmetros;

Para material ortotrópico consegue obter-se uma melhor aproximação ao modelo real, face ao

material isotrópico, embora seja mais difícil de obter certezas quanto aos parâmetros óptimos uma vez que

como existem em jogo mais variáveis, a função objectivo provavelmente apresentará mais vales mínimos

(alguns desconhecidos), sendo no entanto mais fácil de dimensionar uma determinada espessura;

Para o caso em que o material é considerado isotrópico, é possível obter hipérboles óptimas que

apresentam uma equação matemática donde à partida será fácil de retirar (por observação dos gráficos ou

através de cálculos – E = k/h^3 ou h^3 = k/E) o módulo de elasticidade E para uma espessura h fixa, ou vice-

versa. Quer isto dizer, que se à partida se conhecer o material a aplicar ao modelo real, conseguimos obter

para o modelo teórico uma espessura óptima, ou caso se tenha uma ideia da espessura que se pretende dar ao

modelo real, chegar a uma conclusão rapidamente acerca do tipo de material que poderá ser implementado no

modelo real. No entanto, e recapitulando o que foi dito anteriormente, convém não esquecer que os modos de

vibração do modelo teórico óptimo obtido têm que ser iguais aos do modelo real. Por exemplo: se o 1º modo

de vibração do modelo real for à flexão, não faz sentido que o 1º modo do modelo teórico equivalente baseado

nas propriedades óptimas obtidas seja à torsão, necessita de ser também à flexão. Esse cuidado é importante

tê-lo em conta quando futuramente se for escolher um modelo com propriedades isotrópicas assentes sobre as

hipérboles óptimas ilustradas na secção 4.3. O mesmo se aplica ao material ortotrópico, caso se obtenha

modos de vibração em nada idênticos aos do modelo real, há que mudar os parâmetros de material, de forma

a alcançar-se o objectivo. Foi verificado que nas extremidades das hipérboles óptimas (espessuras muito baixas

e módulos de elasticidade muito elevados ou espessuras muito elevadas para módulos de elasticidade muito

baixos) o comportamento do modelo teórico em termos de modo de vibração era totalmente diferente do

modelo real, quer isto dizer que os valores das hipérboles na zona da concavidade (a meio) são realmente os

melhores, apresentando os mais baixos valores da função objectivo e o mesmo comportamento de modos de

vibração em comparação com o modelo real. O facto disto acontecer pode ser devido ao facto do programa de

elementos finitos ANSYS apresentar uma teoria de Mindlin (aplicável também a placas espessas) mais

sofisticada, que é diferente da usada na função objectivo implementada no modelo computacional desta tese

que se baseia na teoria clássica de placas (placas finas).

O modelo computacional utilizado é robusto, uma vez que faz convergir eficazmente as variáveis de

projecto, como demonstram os gráficos do capítulo anterior, para além de conseguir encontrar soluções locais

com mais facilidade que outro método por derivadas.

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5.2 Propostas de trabalho futuro

Como propostas de trabalho futuro relacionadas com esta tese proponho:

Acrescentar outras condições de fronteira, por exemplo com as 4 extremidades encastradas;

Serem também abordados outros casos de estudo nomeadamente uma análise dos resultados para

diferentes casos de cargas.

Outros modelos com diferentes geometrias podem também ser objecto de estudo futuro, fazendo

variar a disposição das patilhas ou os ângulos formados pelas mesmas com a placa inferior. Por exemplo:

comparar patilhas a 45 graus, 75 graus, e patilhas verticais.

Utilizar um outro algoritmo de optimização que forneça soluções óptimas mais globais e não tão

locais.

Encontrar um modelo equivalente considerando multi-camadas de diferentes materiais com

diferentes módulos de Young (E).

Introduzir em cada função objectivo uma interpretação dos modos a considerar, uma vez que o

modelo computacional desenvolvido nesta tese apenas aproxima numericamente o modelo real minimizando a

função objectivo, não garante no entanto que os modos de vibração sejam idênticos em ambos os modelos.

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Página 80

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Fontes Bibliográficas

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[13] T. Liu, Z. C. Deng, T. J. Lu, Structural modeling of sandwich structures with lightweight cellular cores, 2007

[14] Justin Robinson, Julio F. Davalos, Pizhong Qiao, MODELING AND CHARACTERIZATION OF HONEYCOMB FRP SANDWICH BEAMS IN TORSION

[15] Harri M. Katajisto, Antonio R. Valente, André Monicke, Design-optimisation of the innovative, high-

performance metal sandwich solution, 9th Internacional Conference on Sandwich Structures

[16] Antonio R. Valente, Mika J. Sirén, Jukka T. Säynäjäkangas, Design Manufacture and Properties of the novel opencell metal sandwich panel , 9th International Conference on Sandwich Structures. [17] Liu, T., Deng, Z.C., Lu, T.J., Design optimization of truss-cored sandwiches with homogenization,

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[18] Stanley Oghumu, Tese de Mestrado “FINITE ELEMENT MODELING APPROACH AND PERFORMANCE EVALUATION OF FIBER REINFORCED POLYMER SANDWICH BRIDGE PANELS”, Ahmadu Bello University, Nigeria, 2002 [19] Leissa, VIBRATION OF PLATES, National Aeronautics and Space Administration, Washington, 1969 [20] Timoshenko, THEORY OF PLATES AND SHELLS, 2nd Edition, New York: McGraw-Hill, 1959

[21] Mota Soares, C. A., TEORIA E ANÁLISES DE PLACAS: Métodos Analíticos e Aproximados, 1982

[22] Shames, D., SOLID MECHANICS, A variational approach, McGraw-Hill, International Student Edition, New York, 1973

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[23] Reddy, J.N., THEORY AND ANALYSIS OF ELASTIC PLATES AND SHELLS, Taylor & Francis Group, 2007 [24] Szilard, THEORY AND ANALYSIS OF PLATES. Classical and numerical methods, Prentice- Hall, Inc., 1974 [25] Arora, Jasbir S., INTRODUCTION TO OPTIMUM DESIGN , Elsevier Academic Press, 2004

[26] Timoshenko, S. P.; Goodier, J. N. Theory of Elasticity, Third Edition, McGraw-Hill, 1988

[27] Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E.; Witt, R. J. Concepts and Applications of Finite Element Analysis,

Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc., 2002

[28] Clough, R.W. The Finite Element in Plane Stress Analysis, Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation,

Pittsburgh, Pa., September 1960

[29] Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L., The Finite Element Method, Fourth Edition, McGraw-Hill, 1988.

[31] Jasbir S. Arora. Introduction to Optimum Design, Elsevier Academic Press, 2nd edition.

[32] MATLAB Programming Fundamentals. User´s Guide – Fminsearch.

[33] ANSYS. Structural Analysis Guide. Chapter 2- Structural Static Analysis [Online Documentation]. ANSYS 11 Help System (2007)

[34] Lagarias, J.C., J. A. Reeds, M. H. Wright, and P. E. Wright, "Convergence Properties of the Nelder-Mead Simplex Method in Low Dimensions", SIAM Journal of Optimization, Vol. 9 Number 1, pp. 112-147, 1998. [35] J. A. Nelder and R. Mead, A simplex method for function minimization, Computer Journal 7 (1965).

[36] J.N. Reddy, Introduction to the finite element method, McGraw Hill International, 3rd Edition, 2006

[37] Young C. Warren, Roark´s Formulas for Stress & Strain, 6th Edition, Mc GrawHill International Edition, New

York.

___________________________________________________________________________________________

Página 83

Anexo A – Geometria da Malha

Geometria do Shell 63

Apresenta-se em baixo a geometria do elemento finito usado no estudo das placas. Este elemento de placa é

definido por 4 nós (I, J, K, L), 4 espessuras, rigidez elástica, e propriedades de material ortotrópico. Este tipo de

elemento é aplicado a materiais de baixa espessura (placas finas), que é o caso do painel estrutural abordado

na tese. Tem 6 graus de liberdade por cada um dos quatro nós (três de translacção e três de rotação). No

programa ANSYS, a placa é representada através de áreas sem espessuras visíveis, assim sendo os elementos

finitos são elementos de áreas.

Figura A.1 – Geometria, localização dos nós e sistema de coordenadas para o tipo de elemento Shell 63.

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Página 85

Anexo B – Tabelas de consulta

B.1

De seguida apresenta-se uma tabela com o parâmetro 훼 para variadas relações geométricas, que entram no

cálculo da deformada das placas abordadas acima para placa simplesmente apoiada nas 4 extremidades

(SS_SS_SS_SS) e espessura constante ao longo da mesma:

훿 = −훼푞푏퐸ℎ

Figura B.1 – Fórmula e parâmetros para placa simplesmente apoiada. ([37], página 458).

Os casos abordados são para placa uniforme com espessura constante e com relação de a/b=6 (placa

rectangular) e a/b=1 (placa quadrangular).

B.2

Figura B.2 – Valores numéricos para placa rectangular SS_F_SS_F com coeficiente de Poisson = 0,3 e diferentes

rácios a/b. [19]

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Página 87

Anexo C – Tabela Influência de Parâmetros

O estudo de influência de parâmetros foi realizado no ANSYS para uma placa uniforme simples cujos eixos no

plano eram xy e z seria o eixo perpendicular ao plano. Na tabela mantêm-se fixos os valores

dos parâmetros (*) referentes à 1ªlinha e depois faz-se variar cada um dos parâmetros a fim de perceber a sua

variação em termos de frequências naturais e deformadas. Com a cor vermelha aparecem os valores das

variáveis que não entram no projecto uma vez que não influenciam o comportamento da estrutura nem em

termos dinâmicos nem em termos estáticos sendo desnecessária a sua optimização. Com isto reduz-se os 9

parâmetros a apenas 4 variáveis de projecto com comportamento material.

Tabela C.1 – a) Teste de Influência de parâmetros para Placa Rectangular simplesmente apoiada e livre em

extremidades opostas (SS_F_SS_F). b) Tabela de parâmetros constantes de referência.

Tabela C.2 – Teste de Influência de parâmetros para Placa Rectangular simplesmente apoiada nas 4

extremidades (SS_SS_SS_SS)

O que significa que, como nesta tese as placas se encontram no plano xz, passam a influenciar no seu

comportamento as variáveis de projecto Ex, Ez, Gxz, Poisson xz.

Para a placa quadrangular com ambas as condições de fronteira também foi realizado o teste de influência de

parâmetros e a conclusão foi igual. As variáveis de projecto mantêm-se.

훚ퟏ (rad/s)

훚ퟐ (rad/s)

Deformada (m)

Influencia?

Constantes (*) 0,59193 2,3747 5,916 - Ex = 55 GPa 0,59381 2,4001 5,916 Sim Ey = 55 GPa 0,41833 1,6758 11,807 Sim Ez = 55 GPa 0,59193 2,3747 5,916 Não Poisson xy = 0.15 0,59143 2,3675 5,907 Sim Poisson yz = 0.15 0,59193 2,3747 5,916 Não Poisson xz = 0.15 0,59193 2,3747 5,916 Não Gxy = 15 GPa 0,59161 2,3702 5,923 Sim Gyz = 15 GPa 0,59193 2,3747 5,916 Não Gxz = 15 GPa 0,59193 2,3747 5,916 Não

Parâmetros Constantes (*)

(Referência) Ex= 110 GPa Ey = 110 GPa Ez = 110 GPa

Poisson xy = 0.3 Poisson yz = 0.3 Poisson xz = 0.3

Gxy = 30 GPa Gyz = 30 GPa Gxz = 30 GPa

훚ퟏ (rad/s)

훚ퟐ (rad/s)

훚ퟑ (rad/s)

훚ퟒ (rad/s)

훚ퟓ (rad/s)

훚ퟔ (rad/s)

Deformada (m)

Influencia?

Constantes (*) 22,806 24,328 26,959 30,786 35,877 42,264 0,00413 - Ex = 55 GPa 17,311 19,361 22,739 27,421 33,391 40,646 0,007402 Sim Ey = 55 GPa 22,182 23,403 25,452 28,342 32,087 36,692 0,004334 Sim Ez = 55 GPa 22,806 24,328 26,959 30,786 35,877 42,264 0,00413 Não Poisson xy = 0.15 21,938 23,224 25,503 28,910 33,550 39,475 0,00444 Sim Poisson yz = 0.15 22,806 24,328 26,959 30,786 35,877 42,264 0,00413 Não Poisson xz = 0.15 22,806 24,328 26,959 30,786 35,877 42,264 0,00413 Não Gxy = 15 GPa 22,654 23,757 25,788 28,950 33,404 39,237 0,004147 Sim Gyz = 15 GPa 22,806 24,328 26,959 30,786 35,877 42,264 0,00413 Não Gxz = 15 GPa 22,806 24,328 26,959 30,786 35,877 42,264 0,00413 Não

___________________________________________________________________________________________

Página 88

Anexo D – Tabelas Optimização Material Isotrópico

D.1 Tabela optimização material isotrópico, Placa Rectangular apoiada e livre (SS_F_SS_F)

– Caso B

Tabela D.1 – Caso B – Estimativa de coordenadas de pontos candidatos a óptimos.

Caso B

훚ퟏ

(rad/s)

훚ퟐ

(rad/s)

휹 (m)

F

E

(GPa)

h

(mm)

푬풉ퟑ

(Nm)

Nº

itera

ções

Opencell 56,05 109,30 0,011337 - - - - -

Uniforme 5,02 20,15 3,25 - - - - -

Ponto 1 56,45 226,70 0,012839 0,12339 1010,95 7,37 404699 85

Ponto 2 56,45 226,70 0,012839 0,12339 663,50 8,48 404602,4 82

Ponto 3 56,45 226,70 0,012839 0,12339 120,79 14,97 405225,1 85

Ponto 4 56,45 226,70 0,012839 0,12339 82,54 16,99 404803,8 79

Ponto 5 56,45 226,70 0,012839 0,12339 30,72 23,63 405333,4 79

Tabela D.2 – Caso B – Pesos Diferentes

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Página 89

D.2 Tabela optimização material isotrópico, Placa Quadrangular simplesmente apoiada nas

4 extremidades (SS_SS_SS_SS) – Caso C

Tabela D.3 – Caso C – Estimativa de coordenadas de pontos candidatos a óptimos.

Caso C

훚ퟏ

(rad/s)

훚ퟐ

(rad/s)

훚ퟑ

(rad/s)

휹

(m)

F

E

(GPa)

h

(mm)

푬풉ퟑ

(Nm)

Nº

itera

ções

Opencell 119,36 185,78 185,88 0,003223 - - - - -

Uniforme 42,01 105,01 105,01 0,057477 - - - - -

Ponto 1 111,61 279,02 279,02 0,004071 0,14304 10,22 13,025 22583,13 85

Ponto 2 111,61 279,02 279,02 0,004071 0,14304 30,85 9,01 22564,7 93

Ponto 3 111,61 279,02 279,02 0,004071 0,14304 183,49 4,97 22525,87 80

Ponto 4 111,61 279,02 279,02 0,004071 0,14304 354,16 4,00 22666,24 88

Ponto 5 111,62 279,02 279,02 0,004071 0,14304 859,96 2,97 22529,29 91

Tabela D.4 – Caso C – Pesos Diferentes

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Página 90

D.3 Tabela optimização material isotrópico, Placa Quadrangular simplesmente apoiada e

livre (SS_F_SS_F) – Caso D

Tabela D.5 – Caso D – Estimativa de coordenadas de pontos candidatos a óptimos.

Caso D

훚ퟏ

(rad/s)

훚ퟐ

(rad/s)

휹 (m)

F

E

(GPa)

h

(mm)

푬풉ퟑ

(Nm)

Nº

itera

ções

Opencell 80,57 108,34 0,005788 - - - - -

Uniforme 20,50 34,34 0,212373 - - - - -

Ponto 1 81,02 135,73 0,006798 0,03521 858,98 3,88 50173,94 93

Ponto 2 81,02 135,73 0,006797 0,03521 411,38 4,95 49895,2 98

Ponto 3 81,02 135,73 0,006797 0,03521 261,07 5,76 49891,25 90

Ponto 4 81,02 135,73 0,006797 0,03521 155,65 6,85 50028,89 91

Ponto 5 81,02 135,73 0,006798 0,03521 81 8,51 49919,9 88

Ponto 6 81,02 135,73 0,006798 0,03521 20,81 13,39 49959,01 82

Tabela D.6 – Caso D – Pesos Diferentes

Pontos óptimos: No caso B, C e D qualquer um dos pontos poderia ser o ponto óptimo uma vez que todos eles

minimizam de igual forma a função objectivo por isso foi escolhido um ponto (usando como critério o mais

baixo numero de iterações) usado como referencia no estudo do material isotrópico na tese. Apesar de tudo

isto, o que interessa é sempre o factor 퐸ℎ . Neste anexo apenas estão as tabelas para pesos diferentes, no

entanto ao longo da secção 4.3 da tese são abordados nas figuras tanto os casos para pesos diferentes como

para pesos iguais.

___________________________________________________________________________________________

Página 91

Anexo E – Tabelas Optimização Material Ortotropico

Neste anexo são apresentadas as tabelas para material com comportamento ortotrópico e pesos iguais. As

tabelas para pesos diferentes são expostas ao longo da secção 4.4, no entanto os gráficos incluídos nessa

mesma secção referem-se aos pesos diferentes e pesos iguais para efeitos comparativos.


Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 274,45 277,23 277,23 277,23 1,0

흎ퟐ (rad/s) 294,56 287,55 287,56 287,55 2,4 흎ퟑ (rad/s) 322,83 305,55 305,55 305,55 5,4

흎ퟒ (rad/s) 353,43 332,11 332,11 332,11 6,0 흎ퟓ (rad/s) 379,44 368,09 368,09 368,09 3

흎ퟔ (rad/s) 390,50 414,14 414,15 414,15 6,1

휹 (m) 0,000646 0,00054144 0,00054143 0,00054144 16,2 F - 0,010345 0,010345 0,010345 -

Espessura (mm) - 3,08 3,09 3,08 -

푬풙 (GPa) - 243,82 243,82 243,81 - 푬풛 (GPa) - 56,95 57,55 19,93 -

풙풛 - 0,19771 0,13306 0,10128 -

푮풙풛 - 46,81 50,60 106,17 - Nº iterações - 217 235 387 -

Tabela E.1 – Resultados testados para placa Rectangular SS_SS_SS_SS Ortotrópica com pesos iguais

(A1=A2=A3=A4=A5=A6=A7=1/7) – Caso E.


Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 56,05 40,80 40,80 40,79 27,2

흎ퟐ (rad/s) 109,30 163,20 163,20 163,40 49,3

휹 (m) 0,011337 0,024449 0,024442 0,024533 115,7 F - 1,0237 1,023 1,034 -

Espessura (mm) - 12,85 12,85 12,84 - 푬풙 (GPa) - 688,41 GPa 999,99 167,24 -

푬풛 (GPa) - 10,00 GPa 51,14 10,82 - 풙풛 - 0,31744 0,10081 0,21732 -

푮풙풛 - 10,79 GPa 29,78 3 GPa -

Nº iterações - 405 320 394 -

Tabela E.2 – Resultados testados para placa Rectangular SS_F_SS_F Ortotrópica com pesos iguais

(A1=A2=A3=1/3) – Caso F.

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Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

Erro (%)

흎ퟏ (rad/s) 119,36 93,36 93,36 93,36 21,8

흎ퟐ (rad/s) 185,78 220,21 220,22 220,22 18,5

흎ퟑ (rad/s) 185,88 240,09 240,08 240,09 29,2 휹 (m) 0,003223 0,0058093 0,0058094 0,0058091 80,2

F - 0,35133 0,35133 0,35133 - Espessura (mm) - 5,46 5,46 5,46 -

푬풙 (GPa) - 73,78 73,80 73,79 -

푬풛 (GPa) - 171,40 55,86 135,12 - 풙풛 - 0,27098 0,1492 0,16906 -

푮풙풛 - 54,49 64,02 46,97 -

Nº iterações - 223 189 198 -

Tabela E.3 – Resultados testados para placa Quadrangular SS_SS_SS_SS Ortotrópica com pesos iguais

(A1=A2=A3=A4=1/4) – Caso G.


Ponto 2 (M.E.)

Ponto 3 (M.E.)

M.E. Erro (%) M.E. Erro (%) M.E. Erro (%) 흎ퟏ (rad/s) 80,57 74,26 7,8 74,35 7,7 79,76 1,0 흎ퟐ (rad/s) 108,34 127,52 17,7 127,64 17,8 125,29 15,6 휹 (m) 0,005788 0,0075775 30,9 0,0076001 31,3 0,0076483 32,1

F - 0,088902 - 0,090213 - 0,072525 - Espessura (mm) - 7,598 - 7,60 - 7,2 -

푬풙 (GPa) - 688,42 - 546,54 - 25,26 - 푬풛 (GPa) - 51,62 - 15,23 - 172,64 -

풙풛 - 0,1 - 0,4 - 0,19206 - 푮풙풛 - 176,44 - 118,01 - 66,51 -

Nº iterações - 570 - 429 - 264 - Tabela E.4 – Resultados testados para placa Quadrangular SS_F_SS_F Ortotrópica com pesos iguais

(A1=A2=A3=1/3) – Caso H.

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Página 93

Anexo F - Algoritmo de Nelder - Mead

Desde a sua publicação em 1965, o simplex Nelder – Mead tornou-se num dos métodos mais utilizados na

optimização não – linear sem constrangimentos, no qual tenta minimizar uma função escalar de valor não –

linear com n variáveis sem qualquer informação da derivada (implícita ou explícita). Existem 4 parâmetros

escalares que têm que ser especificados para definir o método de Nelder-Mead : coeficientes de reflexão (),

de expansão (), de contracção () e de redução (). De acordo com o artigo original de Nelder-Mead estes

parâmetros deveriam obedecer às seguintes condições:

> 0, > 1, > , 0 < < 1 e 0 < < 1 - usadas para análise a 1 dimensão

= 1, = 2, = e = - usadas para análise a 2 dimensões

Para se perceber melhor como funciona cada iteração deste processo de optimização será descrito de seguida

o algoritmo de Nelder-Mead (NM):

Order – Ordena os n+1 vértices que satisfazem 푓(푥 ) ≤ 푓(푥 ) ≤ ⋯ ≤ 푓(푥 ) usando regras de desempate.

Reflect – Calcula ou estima o ponto de reflexão 푥 através de:

푥 = 푥̅ + ( 푥̅ − 푥 ) = (1 + ) ∗ 푥̅ − ∗ 푥

Onde 푥̅ = ∑ é o centróide dos n melhores pontos (todos os vértices excepto para 푥 ).

De seguida calcula 푓 = 푓(푥 ).

Se 푓 ≤ 푓 < 푓 aceita o ponto de reflexão 푥 e a iteração termina.

Expand – Se 푓 < 푓 , calcula o ponto de expansão 푥 através de:

푥 = 푥̅ +*(푥 − 푥̅) = 푥̅ + ∗ ∗ (푥̅ − 푥 ) = (1 + ∗ ) ∗ 푥̅ − ∗ ∗ 푥

De seguida calcula 푓 = 푓(푥 ).

Se 푓 < 푓 aceita o ponto 푥 e termina a iteração. Caso contrário, se 푓 ≥ 푓 aceita o ponto 푥 e termina a

iteração.

Contract – Se 푓 ≥ 푓 comporta-se como uma contracção entre 푥̅ e o melhor de 푥 e 푥 .

Outside - Se 푓 ≤ 푓 < 푓 (isto é, 푥 é estritamente melhor que 푥 ) realiza uma contracção outside (fora

dos limites) e calcula:

푥 = 푥̅ +*(푥 − 푥̅) = 푥̅ +* ∗ (푥̅ − 푥 ) = (1 + ∗ ) ∗ 푥̅ − ∗ ∗ 푥

E calcula 푓 = 푓(푥 ).

Se 푓 ≤ 푓 aceita 푥 e termina a iteração. Caso contrário, segue para o passo 5.

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Página 94

Inside – Se 푓 ≥ 푓 realiza uma contracção inside (dentro dos limites) e calcula:

푥 = 푥̅ −*(푥̅ − 푥 ) = (1 − ) ∗ 푥̅ +∗ 푥

Calcula 푓 = 푓(푥 ).

Se 푓 ≤ 푓 aceita 푥 e termina a iteração. Caso contrário, segue para o passo 5.

Shrink Step – Avalia a função f nos n vértices 푣 = 푥 + (푥 − 푥 ), i= 2, … n+1.

Os vértices (desordenados) do simplex da iteração seguinte consistem em 푥 ,푣 , …푣 .

A figura 3.15 e 3.16 ilustra os efeitos da reflexão, expansão, contracção, e de redução para um simplex a 2

dimensões (triângulo), usando os parâmetros já definidos acima.

Figura 3.15 – Simplicidades Nelder-Mead após o passo de reflexão e expansão. O simplex original está

representado a tracejado.

Figura 3.16 – Simplicidades Nelder-Mead após contracção fora e dentro dos limites, e o shrink step. O simplex

original está ilustrado a tracejado.

Como conclusão geral acerca do algoritmo de Nelder-Mead é que o principal mistério a ser resolvido não será

se será atingida a convergência para um mínimo da função, mas antes porque é que o algoritmo tem tendência

na prática para decrescer inicialmente tão rápido os valores da função. [34], [35]

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Página 95

Em termos esquemáticos, para melhor visualização, o algoritmo de optimização de Nelder – Mead resume-se à

ilustração da figura 3.17:

-Calcular a função objectivo fipara as condições iniciaisdas variaveis de projecto xi

- Calcular xr -parametro de reflexão e fr

fr > f1?

fe < fr?

Yes (EXPANSÃO )

No

No

Substituir xn+1 por xe

No

INICIO

Yes (CONTRACÇÃO)

Yes(INSIDE)

fr > fn+1?

No(OUTSIDE)

- Calcular xe e fe

Substituir xn+1 por xr

- Calcular xcc e fcc

- Calcular xc e fc

fr > fn?

fcc > fn+1?

fc < fr?

Substituir xn+1 por xr

Yes

No

SAÍDA Yes

NoSubstituir xn+1 por xcc

Yes

Substituir xr por xc

Yes

SHRINK

O mínimo é atingido?

Figura 3.17 – Fluxograma de minimização do algoritmo proposto por Nelder – Mead.

Caracterização das Propriedades Mecânicas Equivalentes em … · Ao Pedro Daniel Teodoro que foi...

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