II-1

II. FREQÜÊNCIA COMPLEXA 2.1. A Sinusóide Amortecida Até o momento foram estudadas as respostas de circuitos excitados por funções contínuas (CC) e por funções sinusoidais. Viu-se também que nas respostas transitórias dos circuitos RL, RC e RLC aparecem funções exponenciais decrescentes bem como funções sinusoidais amortecidas exponencialmente. Analise a função sinusoidal amortecida exponencialmente: f(t) = F me σt cos(ωt + θ) (1) que é uma sinusóide multiplicada por uma fator de amortecimento e σt. A constante σ é real e, geralmente, negativa ou zero, o que explica a expressão fator de amortecimento. A sinusóide amortecida exponencialmente inclui, como casos particulares, as funções contínua, sinu-soidal e exponencial. Se, na equação (1), σ = 0 e ω = 0, tem-se: f(t) = F m cos θ = F 0 (2) que é a função contínua. Por outro lado, se apenas σ for igual a zero na equação (1), tem-se: f(t) = F m cos(ωt + θ) (3) que é a função sinusoidal padrão. E, se na equação (1), apenas ω for igual a zero, tem-se: f(t) = F me σt cos θ = F 0e

σt (4) que é a função exponencial. O conceito de freqüência complexa unifica todas estas funções. 2.2. Freqüência Complexa Neste ponto do curso, interessa considerar circuitos onde as excitações e respostas forçadas são sinu-sóides amortecidas exponencialmente. Além disso, interessa determinar os fasores que estão associados a

II-2

sinusóides amortecidas exponencialmente. v(t) = V me σt cos(ωt + θ) (5) Da identidade de Euler, tem-se: e jα = cos α + j sen α (6) Portanto, a equação (5) pode ser reescrita como: v(t) = ReV m e

σt e j(ωt + θ) = ReV m e jθ e (σ +jω)t (7)

Definindo a constante complexa: s = σ + jω (8) onde σ é a freqüência neperiana, que normalmente é uma quantidade negativa, u(σ) = Np/s ω é a conhecida freqüência angular, u(ω) = rad/s pode-se reescrever a equação (7) como: ( ) stv t Re Ve= (9) onde j

mV V e θ= é o fasor no domínio freqüência estudado no método da análise fasorial e a constante

complexa s é denominada freqüência complexa associada à excitação, u(s) = s −1. Portanto, pode-se ex-pressar um fasor no domínio da freqüência complexa como: ( ) stV s Ve= (10) 2.3. Identificação das Freqüências Complexas Associadas a uma Excitação Matematicamente, qualquer uma das funções estudadas anteriormente pode ser escrita na forma: 1 2

1 2( ) ns ts t s tnf t K e K e K e= + + +… (11)

onde os termos K i e s i são independentes do tempo e a função f(t) é dita estar associada às freqüências complexas s 1, s 2, ..., s n. Portanto, para se determinar as freqüências complexas associadas a uma função, é necessário escrevê-

II-3

la na forma mostrada na equação (11). 2.3.1. Função Contínua f(t) = F 0 Pode ser escrita como: f(t) = F 0e

0t Portanto, a freqüência complexa associada a uma função contínua é:

0

00

sσω=⎧

= ⎨ =⎩

2.3.2. Função Exponencial Decrescente f(t) = F 0e

−at a qual já está na forma da equação (11). Portanto, a freqüência complexa associada a uma função expo-nencial decrescente é:

0

as a

σω= −⎧

= − ⎨ =⎩

2.3.3. Função Sinusoidal f(t) = F m cos(ω at + θ) Para expressá-la na forma da equação (11), deve-se utilizar a identidade de Euler. Tem-se que: e jα = cos α + j sen α (12) e −jα = cos α − j sen α (13) Somando membro a membro as equações (12) e (13), obtém-se: e jα + e −jα = 2 cos α

cos2

j je eα α

α−+

= (14)

II-4

Utilizando a equação (14), a forma padrão de sinusóide torna-se:

( ) ( )( )2

( )2 2

a a

a a

j t j tm

j jj t j tm m

Ff t e e

F e F ef t e e

ω θ ω θ

θ θω ω

+ − +

−−

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

= + (15)

Então a função sinusoidal possui duas freqüências complexas associadas a si, que são:

1 21 2 1

1 2

0 0 e a a

a a

s j s j sσ σ

ω ωω ω ω ω

∗= =⎧ ⎧= = − =⎨ ⎨= = −⎩ ⎩

2.3.4. Função Sinusoidal Amortecida Exponencialmente f(t) = F m e −at cos(ω at + θ) Para expressá-la na forma da equação (11), deve-se utilizar a identidade de Euler, como no caso ante-rior. Tem-se que:

( ) ( )

( ) ( )

( )2

( )2 2

a a

a a

atj t j tm

j ja j t a j tm m

F ef t e e

F e F ef t e e

ω θ ω θ

θ θω ω

−+ − +

−− + − −

⎡ ⎤= +⎣ ⎦

= + (16)

Então a função sinusoidal amortecida exponencialmente possui duas freqüências complexas associadas a si, que são:

1 21 2 1

1 2

e a aa a

a as a j s a j s

σ σω ω

ω ω ω ω∗= − = −⎧ ⎧

= − + = − − =⎨ ⎨= = −⎩ ⎩

Exemplo 1: Determine as freqüências complexas associadas às funções a seguir. a) i(t) = [−0,1 (1 − 2 e −0,6t cos 100t)] A A função é composta de uma parcela contínua e outra sinusoidal amortecida exponencialmente. Portanto, as freqüências complexas associadas à i(t) são: s 1 = 0 s 2 = −0,6 + j100 s 3 = −0,6 − j100 b) v(t) = [2 + 4 e −0,6t − 6 e −0,4t] V A função é composta de uma parcela contínua e duas parcelas exponenciais decrescentes. Portanto,

II-5

as freqüências complexas associadas à v(t) são: s 1 = 0 s 2 = −0,6 s 3 = −0,4 c) i(t) = [10 e −0,4t + 8 sen(100t + 15°)] A A função é composta de uma parcela exponencial decrescente e outra sinusoidal. Portanto, as fre-qüências complexas associadas à i(t) são: s 1 = −0,4 s 2 = j100 s 3 = − j100 2.4. Impedância e Admitância no Domínio s No domínio freqüência complexa, os fasores tensão e corrente estão relacionados pela lei de Ohm ge-neralizada (tal qual no domínio freqüência), isto é, V(s) = Z(s) I(s) ou I(s) = Y(s) V(s) (17) Além disso, recorde de (9) e (10) que: ( ) stv t Re Ve= → ( ) stV s Ve=

e ( ) sti t Re Ie= → ( ) stI s Ie=

(18)

2.4.1. Impedância e Admitância dos Elementos Puros a) Resistores Se uma corrente i(t) circula através de um resistor, tem-se nos seus terminais uma tensão: v(t) = R i(t) Portanto: st stRe Ve R Re Ie= → st stRe Ve Re RIe= → st stVe RIe= → V(s) = R I(s)

( ) ( )( )

V s Z s RI s

= = ( ) 1( )( )

I s Y s GV s R

= = =

b) Indutores

II-6

Se uma corrente i(t) circula através de um indutor, tem-se nos seus terminais uma tensão:

( ) div t Ldt

=

Portanto: st stRe Ve L Re sIe= → st stRe Ve Re sLIe= → st stVe sLIe= → V(s) = sL I(s)

( ) ( )( )

V s Z s sLI s

= = ( ) 1( )( )

I s Y sV s sL

= =

c) Capacitores Se uma tensão v(t) é aplicada aos terminais de um capacitor, circula através dele uma corrente:

( ) dvi t Cdt

=

Portanto: st stRe Ie C Re sVe= → st stRe Ie Re sCVe= → st stIe sCVe= → I(s) = sC V(s)

( ) 1( )( )

V s Z sI s sC

= = ( ) ( )( )

I s Y s sCV s

= =

2.5. Análise de Circuitos no Domínio Freqüência Complexa Os elementos de circuito R, L e C são substituídos por sua impedância Z(s) ou admitância Y(s) e se a-nalisa o circuito como se fosse puramente resistivo, tal como se fez no domínio freqüência. É conveniente escrever-se as excitações e respostas como funções de s e substituí-las ao final do cálculo. Exemplo 2: Calcule a tensão v o(t) para v i(t) = 60 e −t cos(2t + 10°) V.

+−vi

2 Ω 0,5 F

1 H

+

−

vo

+−Vi(s)

2

s

+

−

Vo(s)

2s

II-7

V i(s) = 60 ∠10° e (−1 + j2)t V

12 2 2( ) 2 sZ ss s

+= + =

2

2( ) ( ) ( )2 2 2 2o i is sV s V s V ss s ss

s

= =+ + ++

2

2

( 1 2) 60 10 100 63,1301 V( 1 2) 2( 1 2) 2o

jVj j− + ∠ °

= = ∠ °− + + − + +

v o(t) = 100 e −t cos(2t + 63,1301°) V Exemplo 3: Calcule v x(t) quando: a) v i(t) = 5 V b) v i(t) = 10 cos 2t V c) v i(t) = 10 e −3t cos 5t V

+

−

+

−

vi vx

2 Ω

1 F4

+

−

+

−

Vx(s)

2

4s

Vi(s)

44 2( ) ( ) ( ) ( )4 2 4 22

x i i isV s V s V s V s

s ss

= = =+ ++

a) V i(s) = 5 e 0t V

2.5 5 V0 2xV = =+

v x(t) = 5 V

b) V i(s) = 10∠0° e j2t V

2.10 0 7,0711 45 V2 2xV

j∠ °

= = ∠− °+

v x(t) = 7,0711 cos(2t − 45°) V

c) V i(s) = 10∠0° e (−3 + j5)t V

2.10 0 3,9223 101,3099 V3 5 2xV

j∠ °

= = ∠− °− + +

v x(t) = 3,9223 e −3t cos(5t − 101,3099°) V

II-8

2.6. Funções de Transferência Uma generalização de impedância e admitância é a chamada função de transferência (também chama-da função de rede). No caso de uma única excitação e resposta, é definida como a relação entre o fasor resposta e o fasor excitação.

Exemplo 4: Determine a função de transferência do circuito ( )( ) ( )o

g

V sH s V s= .

+

−

vg

+

−

vo

2 Ω 1 Ω

1 Ω

1 Ω

+

−

1 F4

1 F4

+

−

Vg(s)

+

−

Vo(s)

2 1

1

1

+

−

0

Va(s)

4s

4s

Vb(s)

1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 02 4 2 4

( ) 1 ( ) 04

(1 1) ( ) ( ) 0

a g b o

a b

b o

s sV s V s V s V s

sV s V s

V s V s

⎧⎛ ⎞+ + − − − =⎜ ⎟⎪⎝ ⎠⎪⎪⎛ ⎞⎨− + + =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪

+ − =⎪⎩

6 1( ) ( ) ( ) ( ) 04 2 4

4( ) ( ) 04

2 ( ) ( ) 0

a g b o

a b

b o

s sV s V s V s V s

sV s V s

V s V s

+⎧ − − − =⎪⎪

+⎨− + =⎪⎪ − =⎩

( 6) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0

4 ( ) ( 4) ( ) 02 ( ) ( ) 0

a g b o

a b

b o

s V s V s V s sV sV s s V s

V s V s

+ − − − =⎧⎪− + + =⎨⎪ − =⎩

1( ) ( )2b oV s V s=

14 ( ) ( 4) ( ) 02a oV s s V s− + + = 4( ) ( )

8a osV s V s+

=

04 1( 6) ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( ) 0

8 2o g oss V s V s V s sV s+

+ − − − = ( 6)( 4) 16 8 ( ) 2 ( )8 o g

s s s V s V s+ + − −=

2 2 8 ( ) 2 ( )

8 o gs s V s V s+ +

= 2

( ) 2.8( ) 2 8

o

g

V sV s s s

=+ +

2

16( )2 8

H ss s

=+ +

II-9

Exemplo 5: Uma rede elétrica possui uma função de transferência igual a:

12

( ) 2( )( ) 6 10g

I sH sV s s s

= =+ +

Se a tensão de entrada é v g(t) = 8 e −t cos t V, determine a corrente de saída da rede. V g(s) = 8∠0° e (−1 + j1)t V I 1(s) = H(s) V g(s)

1 2 22 2.8 0( ) ( ) 2,8284 45 A

6 10 ( 1 1) 6( 1 1) 10gI s V ss s j j

∠ °= = = ∠− °

+ + − + + − + +

i 1(t) = 2,8284 e −t cos(t − 45°) A 2.7. Plano s De um modo geral, pode-se escrever uma função no domínio freqüência complexa sob a forma:

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

m

n

s z s z s zF s Ks p s p s p− − −

=− − −

……

(19)

que é um quociente entre polinômios. Os números z 1, z 2, …, z m são chamados zeros da função H(s) porque são valores de s para os quais a função H(s) torna-se zero. Os números p 1, p 2, …, p n são valores de s para os quais a função torna-se infi-nita e são chamados pólos da função H(s). Os pólos e zeros são chamados freqüências críticas da função H(s). A localização destes pólos e zeros num gráfico jω × σ representa o plano da freqüência complexa ou plano s ou diagrama de pólos e zeros da função H(s). Os zeros e pólos são representados como:

Zeros: Pólos: Exemplo 6: Determine as freqüências críticas da função impedância de entrada Z ent(s) e represente o seu diagrama de pólos e zeros.

2,5 mH

5 Ω 50 µFent ⇒

2,5.10−3s

5Zent(s) ⇒42.10

s

II-10

4

5 3 4 53 3

4 4 4

2.105 1.10 2,5.10 (5 2.10 ) 1.10( ) 2,5.10 2,5.102.10 5 2.10 5 2.105

ents ssZ s s s

s ss

−− − + +

= + = + =+ ++

3 2 5 3 2 3 6

4 3

12,5.10 50 1.10 12,5.10 4.10 8.10( )5 2.10 5 4.10ent

s s s sZ ss s

− −+ + + += =

+ +

3 [ ( 2000 2000)][ ( 2000 2000)]( ) 2,5.10( 4000)ent

s j s jZ ss

− − − + − − −=

− −

Freqüências críticas: Zeros: z 1 = −2000 + j2000 z 2 = −2000 − j2000 Pólos: p 1 = −4000 p 2 = +∞ p 3 = −∞

−4000 −2000 0

j2000

−j2000

σ

jω2,5.10−3

Exemplo 7: Se os zeros de H(s) são z 1 = −1, z 2 = −1 + j1 e z 3 = −1 − j1, os pólos são p 1 = −2, p 2 = −1 + j2 e p 3 = −1 − j2 e H(0) = 4, determine H(s).

3 2

3 2

[ ( 1)][ ( 1 1)][ ( 1 1)] 3 4 2( )[ ( 2)][ ( 1 2)][ ( 1 2)] 4 9 10

s s j s j s s sH s K Ks s j s j s s s− − − − + − − − + + +

= =− − − − + − − − + + +

2(0) 410

H K= = 20K =

3 2

3 2

3 4 2( ) 204 9 10

s s sH ss s s

+ + +=

+ + +

2.8. Resposta Natural × Pólos e Zeros da Função Impedância Os pólos e zeros da função impedância permitem a determinação da resposta natural de circuitos. No domínio freqüência complexa, a função impedância para um par de terminais de um circuito é:

II-11

( )( )( )

V sZ sI s

= (20)

e, de uma forma geral, pode ser expressa como:

1 2

1 2

( )( ) ( )( )( )( ) ( )

m

n

s z s z s zZ s Ks p s p s p− − −

=− − −

……

(21)

2.8.1. A Resposta Natural de Corrente Cada zero de Z(s) é um valor particular de s para o qual a impedância se anula. À medida que a impe-dância decresce, menor é o valor de tensão necessário para manter a corrente, pois

( )( )( )

V sI sZ s

= (22)

Estendendo esta idéia até um limite extremo, tem-se que para Z(s) = 0 é possível existir corrente circu-lando pela impedância mesmo que a tensão nos terminais da mesma seja nula. Portanto, os zeros da fun-ção impedância fornecem os termos da resposta natural de corrente. Pode-se, então, concluir que: 1 2

1 2( ) mz tz t z tn mi t K e K e K e= + + +… (23)

2.8.2. A Resposta Natural de Tensão A tensão nos terminais de uma impedância é dada por: V(s) = Z(s) I(s) (24) Se a impedância for muito grande, mesmo uma pequena corrente produzirá uma tensão apreciável. En-tão, se a impedância tender ao infinito, pólos de Z(s), haverá tensão mesmo se a corrente através da impe-dância for nula. Percebe-se, portanto, que os pólos da função impedância Z(s) fornecem os termos da res-posta natural de tensão. Portanto, tem-se: 1 2

1 2( ) np tp t p tn nv t K e K e K e= + + +… (25)

II-12

Exemplo 8: Determine a resposta completa da corrente i(t) para t > 0.

+−[10 + 10 u(t)] V

1 Ω 1 Ω

1 F 1 Hi

a) Condições iniciais

+−10 V

1 Ω 1 Ω

i(0)+

−vC(0)

10(0) 5 A1 1

i = =+

(0) 1 (0) 1 5 5 VCv i= × = × =

b) Resposta natural

1 1

⇐ Z(s)

s

1s

211 1 1 1( ) 1 11 1 11

s s ssZ s s ss s

s

+ + + += + + = + + =

+ ++

2 2 2 [ ( 1 1)][ ( 1 1)]( )1 ( 1)

s s s j s jZ ss s+ + − − + − − −

= =+ − −

Zeros de Z(s): z 1 = −1 + j1 z 2 = −1 − j1 i n(t) = K 1 e

(−1 + j1)t + K 2 e (−1 − j1)t = K 1 e

−t e jt + K 2 e −t e −jt = e −t (K 1 e

jt + K 2 e −jt)

Recordando a identidade de Euler: e jα = cos α + jsen α e −jα = cos α − jsen α Pode-se reescrever i n(t) como: i n(t) = e −t [K 1 (cos t + jsen t) + K 2 (cos t − jsen t)] = e −t [(K 1 + K 2) cos t + j (K 1 − K 2) sen t] i n(t) = e −t (A 1 cos t + A 2 sen t) c) Resposta forçada

+−20 V

1 Ω 1 Ω

if

20 10 A1 1fi = =+

II-13

d) Resposta completa

+−20 V

1 Ω 1 Ω

1 F 1 Hi(0)+

−vC(0)

+

−

vL(0)

i(t) = i f + i n(t) = 10 + e −t (A 1 cos t + A 2 sen t)

1 2 1 2 1 2 2 1( sen cos ) ( cos sen )( ) [sen ( ) cos ( )]t t tdi e A t A t A t A t e e t A A t A Adt

− − −= − + + + − = − − + −

i(0) = 10 + A 1

2 1(0 )di A Adt

+ = −

i(0) = 5

(0 ) (0) 1 (0)(0 ) 5 1 5 01

L Cdi v v idt L

++ −= = = − × =

1

2 1

10 50

AA A+ =⎧

⎨ − =⎩ 1

2

55

AA= −= −

i(t) = [10 − 5e −t (cos t + sen t)] u(t) A Exemplo 9: Determine a tensão v x(t) para t > 0.

e−t cos2t At = 0

3 Ω 2 H 6 H

12 Ω

+

−

vx

a) Condições iniciais

e−t cos2t At = 0

3 Ω 2 H 6 H

12 Ω

iL1(0) iL2(0)

i L1(0) = 0 i L2(0) = 0

II-14

b) Resposta natural

3 2s 6s

12

Z(s) ⇒

1 1 1 1 2 (6 12) 3(6 12) 6( ) 3 2 6 12 6 (6 12)

s s s sZ s s s s s

+ + + += + + =

+ +

2 2

2 2

1 12 24 18 36 6 12 48 36( ) 36 72 36 72

s s s s s sZ s s s s s

+ + + + + += =

+ +

2 2

2 2

1 12 48 36 12 4 3 1 [ ( 1)][ ( 3)]( ) 36 72 36 2 3 [ ( 2)]

s s s s s sZ s s s s s s s

+ + + + − − − −= = =

+ + − −

[ ( 2)]( ) 3[ ( 1)][ ( 3)]

s sZ ss s

− −=

− − − −

Pólos de Z(s): p 1 = −1 p 3 = −3 3

1 2( )n

t txv t K e K e− −= +

c) Resposta forçada

3 2s 6s

12

Ix(s) = 1∠0° e(−1+j2)t A

+

−

Vx(s)

V x(s) = Z(s) I x(s)

2

2

2( ) 3 ( )4 3x x

s sV s I ss s

+=

+ +

2

2

( 1 2) 2( 1 2)3 1 0 2,6517 45 V( 1 2) 4( 1 2) 3x

j jVj j

− + + − += ∠ ° = ∠ °

− + + − + +

2,6517 cos(2 45 ) V

f

txv e t−= + °

d) Resposta completa 3

1 2( ) ( ) ( ) 2,6517 cos(2 45 )f n

t t tx x xv t v t v t e t K e K e− − −= + = + ° + +

31 22,6517 [ 2sen(2 45 )] cos(2 45 )( ) 3t t t txdv e t t e K e K e

dt− − − −= − + ° + + ° − − −

1 2(0 ) 1,8750xv K K+ = + +

1 2(0 ) 5,6251 3xdv K Kdt

+ = − − −

II-15

1 A 3 Ω 2 H 6 H

12 Ω

+

−

vx(0+)

ix(0+)

+

−

vL2(0+)

iL2(0)+

−

vL1(0+)

iL1(0)

1 2(0 ) 3[1 (0) (0)] 3[1 0 0]x L Lv i i+ = − − = − − (0 ) 3 Vxv + =

3 (0 ) 3 (0 )x xx x

dv div idt dt

+ += ⇒ =

1 21 2( ) cos 2 ( 2sen 2 ) cos 2 ( )t t tx L L

x L Ldi di dii t e t i i e t t edt dt dt

− − −= − − ⇒ = − + − − −

1 2(0 ) 1 (0 ) (0 )x L Ldi di didt dt dt

+ + += − − −

1 1(0 ) (0 ) 3(0 ) 1,5 A/s2 2 2

L L xdi v vdt

+ ++ = = = =

22 2 (0 ) 12 (0)(0 ) 3 12 0(0 ) 0,5 A/s6 6 6

x LL L v idi vdt

+++ − − ×= = = =

(0 ) 1 1,5 0,5) 3 A/sxdidt

+ = − − − = −

(0 ) 3 ( 3) 9 V/sxdvdt

+ = × − = −

1 2

1 2

1,8750 35,6251 3 9

K KK K

+ + =⎧⎨− − − = −⎩

1 2

1 2

1,12503 3,3749

K KK K+ =⎧

⎨− − = −⎩ 1

2

01,125

KK

==

3( ) [2,6517 cos(2 45 ) 1,125 ] ( ) Vt t

xv t e t e u t− −= + ° +

Exemplo 10: Resposta sub-amortecida do circuito RLC série

R Ls

Z(s) ⇒ 1Cs

2 2

21 1

1 1( )

R Rs s s sRCs LCs LC L LC L LCZ s R Ls LCs Cs C s s

+ + + ++ += + + = = =

As raízes do polinômio do numerador são:

II-16

2

2 2

1,2

14 12 2 2

R RR RL L LCsL L LC

⎛ ⎞− ± −⎜ ⎟ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠= = − ± −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Definido as constantes:

01

2RL LC

α ω≡ ≡

tem-se: 2 2

1,2 0s α α ω= − ± −

No caso sub-amortecido: α < ω 0

Então: 2 21,2 0s jα ω α= − ± −

Definindo a constante: 2 2

0dω ω α≡ − Tem-se: s 1 = −α + jω d s 2 = −α − jω d

[ ( )][ ( )]( ) d ds j s jZ s Ls

α ω α ω− − + − − −=

Zeros de Z(s): z 1 = −α + jω d z 2 = −α − jω d Portanto, a resposta natural da corrente é: ( ) ( )

1 2 1 2( ) d d d dj t j t j t j tt tni t A e A e A e e A e eα ω α ω ω ωα α− + − − −− −= + = +

1 2 1 2( ) [ ]d d d dj t j t j t j tt t tni t A e e A e e e A e A eω ω ω ωα α α− −− − −= + = +

1 2( ) [ (cos sen ) (cos sen )]tn d d d di t e A t j t A t j tα ω ω ω ω−= + + −

1 2 1 2( ) [( )cos ( )sen ]tn d di t e A A t j A A tα ω ω−= + + −

Definindo as constantes: 1 1 2 2 1 2( )K A A K j A A≡ + ≡ −

Obtém-se a resposta natural da corrente, que é: 1 2( ) ( cos sen )t

n d di t e K t K tα ω ω−= +