Algumasentas graficas como Derive,

-e. _Wathead, Mathematiea e 0

azem derivac;ao simb61ica.~ fazem derivac;ao numeric a

do a derivada usandoula

f(x + ~x) - {(x - ~x)= 2~;

1" e urn numero pequeno, por.0.0,001. Voce pode no tar

=ado no ultimo metodo?~LIlplo,usando 0 segundo

"" . qual a derivada da func;ao= xl no ponto x = O?

l~ [j(x) - j(c)] = l~ [(x - c)(j(x; = ~(c))J[I' ( )J[I' j(x) - j(c)j= 1m x - c 1m

x~c x~c X - C

= (O)[f'(c)]=0

Como j(x) - j(c) se aproxima de zero, segue que!im j(x) = j(c). Portanto,je con-" X---7C

tlllua no ponto x = c.

- fcios 1e 2, de urn valor aproximado da inclinac;ao dodefnos pontos (X1'Y1) e (xz,Yz)·

As afirmas;6es abaixo sintetizam a relas;ao entre os conceitos de continuidade ederivabi!idade.

1. Se uma funs;ao e derivavel no ponto x = c, entao ela tambem e continua nesteponto. Logo, derivabi!idade implica continuidade.

2. Uma funs;ao pode ser continua num ponto x = c sem que ela seja derivavel nesteponto. Logo, continuidade nao implica derivabilidade.

'cios 3 e 4, use 0 grafieo da figura abaixo. (Na paginalIO"w.mathgraphs.com pode-se imprimir uma versaodo grafieo.)

3. Identifique au esboce na figura cada item abaixo.

(a) f(1) andf(4) (b) f(4) - f(1)

(c) y = f(~ = {(1) (x - 1) + f(1)

4. Preencha os espac;os em branco abaixo usando 0 sfmbolo« ou » de forma correta.

(a) f(4) - f(l)4 - 1

(b) f(4) - f(l)4 - 1

f(4) - f(3)4-3

Nos Exercicios 5 a 10, determine 0 eoeficiente angular da retatangente ao grafieo da func;ao no ponto dado.

5. f(x) = 3 - 2x,

7. g(x) = XZ - 4,

9. f(t) = 3t - t2,

6. g(x) = ~x + 1,

8. g(x) = 5 - x2,

10. h(t) = t2 + 3,

(-2,-2)

(2, 1)

(-2,7)

(-1,5)

(1, -3)

(0,0)

Nos Exercicios 11 a 24, ealcule a derivada da func;ao dadausando a definic;ao via limite.

11. f(x) = 3

13. f(x) = - 5x

15. h(s) = 3 + ~s

17. f(x) = 2x2 + x-I

19. f(x) = x3 - 12x

121. f(x) = x-I

23. f(x) = J.X+l

12. g(x) = -514. f(x) = 3x + 2

16. f(x) = 9 - !x

18. f(x) = 1 - x2

20. f(x) = x3 + x2

122. f(x) = 2

x

424. f(x) = h

~NOS Exercicios 25 a 32, (a) determine a equac;ao da reta tan-gente ao grafieo da func;ao f no ponto dado, (b) use uma fer-ramenta gnifiea para desenhar 0 grafieo da func;ao e da sua

reta tangente no ponto dado, (c) use 0 recurso de derivafiio daferramenta grafica para confirmar suas respostas.

41. Areta tangente ao grafico da func;;aoy = g(x) no ponto (5, 2)passa pelo ponto (9, 0). Encontre 0 valor de g(5) e g'(5).

42. Areta tangente ao grafico da func;;ao y = hex) no ponto(- 1, 4) passa pelo ponto (3, 6). Encontre 0 valor de h( -1) eh'(-I).

25. f(x) = x2 + 1, (2,5)26. f(x) = x2 + 2x + 1, (-3,4)

27. f(x) = x3, (2, 8) 28. f(x) = x3 + 1, (1,2)

29. f(x) = h, (1, 1) 30. f(x) =~, (5,2)

4 131. f(x) = x + -, (4,5) 32.f(x) = --1' (0,1)

x x +Nos Exercicios 33 a 36, encontre uma reta tangente ao graficoda fum;ao f e que seja paraleia it reta dada.

Questoes ConceituaisNos Exercicios 43 a 46, de urn esbo-.o do grafico de 1'.Justifique como obteve a sua resposta.

44. y

xx -4 -2 2 4

-2

f

-6

46. y

76

Funfiio

33. f(x) = x3

34. f(x) = x3 + 2

135. f(x) = h

136. f(x) = ~

yx - 1

Reta

3x-y+I=0

3x - y - 4 = 0

Nos Exercicios 37 a 40, e dado 0 grafico da fun-.ao f. Escolhacorretamente 0 grafico de 1'.

x xx -1 12345678

x 47. Fac;;aurn esboc;;o do grafico de urna func;;ao cuja derivada-3 -2-1 1 2 3 em todo ponto seja negativa.

39. 40.48. Fac;;aurn esboc;;o do grafico de urna func;;ao cuja derivada

y y em todo ponto seja positiva.5 Nos Exerdcios 49 a 52 0 limite dado representa f'(c) da4

3fun-.ao f no ponto x = c. Determine a fun-.ao f e 0 ponto c.

249. Iirn [5 - 3(1 + Lix)] - 2 (- 2 + Lixp + 8

1 50. Iirn Lix~x--.o Lix ~--.ox x

-1 1 2 3 4 5 -3 -2-1 1 2 3 -x2 + 36 2h- 651. lirn

x - 652. lirn

x-9x--.6 X--.79

(a) y (b) y

5 4 Nos Exercicios 53 a 55, determine a fun-.ao f que tern as ca·4 3 racteristicas dadas. A seguir, fa-.a urn esbo-.o do grafico da3 2

f' fun-.ao.2

1 f' x 53. f(O) = 2; 54. f(O) = 4;f' (0) = 0;-3 -2-1 1 2 3x

f'(x) = -3, -00 < x < 00 rex) < 0 para x < 0;-I 1 2 3 4 5 -2rex) > o para x > 0

(c) y (d) y 55. f(O) = 0;/'(0) = O;r(x) > 0 se x oF 03

2 f'56. Assurna que r(c) = 3. Calcule 1'( -c) se (a) f e urna func;;ao

1 impar e se (b) f e urna func;;aopar.x x

Nos Exercicios 57 e 58, encontre a equa-.ao das duas retas tan-

~

1 2 3gentes ao grafico da fun-.ao f e que passam pelo ponto dado.

-3 57. f(x) = 4x - x2 58. f(x) = x2

:: 0 que voce pode deduzir sobre 0 gnifico de g sabendoque g'(1) = -~?

o que voce pode deduzir sobre 0 gnifico de g sabendoque g'( -4) = ~?

:= 0 valor g(6) - g(4) e positivo ou negativo? Justifique asua resposta.

Pode-se obter 0 valor de g(2) a partir do gnifico acima?Justifique a sua resposta.

- r;rumentariio Gra.fica Use uma ferramenta gnifica para:es.enhar 0 gnifico das fun,<oes abaixo e das suas retas tan-

nos pontos x = -1, x = 0 e x = 1. Usando os resul-obtidos como base, determine se os coeficientes angu-

~:: das retas tangentes ao gnifico de uma fun,<ao SaD todos.,...;tos.

Grdfica, Numerica e Analitica Nos Exercicios 61 e 62,ferramenta gratica para desenhar 0 gnifieo da func;ao

al0 [-2,2]. A partir do gnifieo obtido, fac;a uma esti-da inclinac;ao nos pontos indieados e use-a para

:J!E:~d:tler a tabela. A seguir, ealcule a inclinac;ao analitica-compare seus resultados com os obtidos grafieamente.

======-=2=~-.1' = ix3 62. j(x) = ~X2

!:.~l":=~1af,'iio Grd.fica Nos Exercicios 63 e 64, use uma ferra-gnifiea para desenhar os grafieos das func;oes j e g najanela. A func;ao g e dada por

j(x + 0,01) - j(x)0,01

Nos Exercicios 65 e 66, ealeulef(2) ef(2,1) e use os resultadospara dar urn valor aproximado de 1'(2).

Argumentariio Grdfica Nos Exercicios 67 e 68, esboee os gra-fieos de f el' na mesma janela, usando uma ferramenta grafi-ca. Identifique eada grafieo e desereva a relac;ao existente entreeles.

167. j(x) = .JX x3

68. j(x) = 4 - 3x

Redariio Nos Exercicios 69 e 70, eonsidere as func;oes f e SAxonde

SAx(X) = f(2 + ~~ - f(2) (x - 2) + f(2)

rn (a) Desenhe os grafieos de f e SAx na mesma janela usan-do uma ferramenta grafiea, para l1x = 1, 0, 5 e 0,1.

(b) Desereva 0 grafieo da func;ao S para os varios valoresde l1x dados em (a).

170. j(x) = x + -

x

Nos Exercicios 71 a 80, use a formulac;ao alternativa de deriva-da para eneontrar a derivada no ponto x = c, easo esta exista.

71. j(x) = x2 - 1, C = 2

72. g(x) = x(x - 1), C = 1

73. j(x) = x3 + 2x2 + 1, C = -2

74. j(x) = x3 + 2x, C = 1

75. g(x) =~, C = 0

76. j(x) = l/x, C = 3

77. j(x) = (x - 6)2/3, C = 6

78. g(x) = (x + 3)1/3, C = -3

79. h(x) = Ix + 51, C = -5

80. j(x) = Ix - 41. C = 4

Nos Exercicios 81 a 86, desereva os valores de x nos quais afunc;ao f e derivaveI.

181. j(x) =--x + 1

\

2 ,I-II

I,-2I

-4 -2 +-4+

Nos Exercicios 91 a 94, encontre a derivada lateral it esquerdae a derivada lateral it direita no ponto x = 1, caso estas exis-ta~n';~Lnopontox = 1?

91. f(x) =lx - 1192. f(x) = v"T - x2

93. f(x) = {(x - 1)3, x:S;(x - 1)2, x >

94 f(x) = {x, x :s; Mostre que f e continua em x = 0 mas nao e derivavel n. x2, x > I ponto.

N E ,. 95 96 d . f - d d 'd . , I Mostre que g e derivavel em x = 0 e calcule g'(O).os xerClCIOS e , etermme se a un.;ao a a e envaveno ponto x = 2. ff 104. Redafiio Fa9a urn esb090 dos graficos das fun9--

{

2 + 1 x:s; 2 f(x) = x2 + I e g(x) = Ixl + 1 na mesma janela, us95. f(x) = x , uma ferramenta grafica. Usando os recuros de "zoom-

4x - 3, x > 2 "trace" analise os graficos em torno do ponto (0, 1). Ese

( ) _ {~x + 1, x < 2 urn paragrafo curto descrevendo 0 significado geometrico96. f x - r;> d . b'I'd d-v 2x, x 2': 2 enva 11 a e em urn ponto.

x2

84. f(x) = x2 _ 4

{x2 - 4,

86. f(x) = 4 _ x2,x:S;Ox>O

~Analise Grafica Nos Exercicios 87 a 90, utilize uma ferra·menta gnifica para achar os valores de x nos quais a fun.;ao fseja derivavel.

87. f(x) = Ix + 312x

88. f(x) = x-I

89. f(x) = x2/5

90. f(x) = I;:= ~~ + 3x,x:s;

x>

97. Argumentafiio Grafica Uma reta com coeficiente angularm passa pel0 ponto (0, 4) e sua equa9ao e y = mx + 4.

(a) Determine a distiincia d entre a reta dada e 0 ponto (3, 1)como fun9ao de m.

Ad (b) Usando uma ferramenta grafica desenhe 0 grafico dafun9ao d. Tomando 0 grafico como base, a fun9ao d ederivavel para todos os valores de m? Caso nao sejaencontre os pontos em que ela nao e derivavel.

98. Conjectura Considere as fun90es f(x) = x2 e g(x) = x3.

(a) Fa9a urn esb090 do grafico de f e de f' na mesma figura.

(b) Fa9a urn esb090 do grafico de g e de g' na mesma figura

(c) Encontre uma rela9ao entre f e g e suas derivadas. Uesta rela9ao para formular uma conjectura sobre h'(x)hex) onde hex) = x", com n urn inteiro e n 2': 2.

(d) Se f(x) = x4 encontre f'(x). Compare 0 resultado comsua conjectura. Isto prova a sua conjectura? Justifiquesua resposta.

Verdadeiroou Falso? Nos Exercicios 99 a 102, verifique se Ieafirma.;oes sao verdadeiras ou falsas. No caso em que a af'ir·ma.;ao seja falsa, justifique a sua resposta ou de urn exemplmostrando que e falsa.

99. 0 coeficiente angular da reta tangente ao grafico da fun '

derivavel f no ponto (2,f(2)) e dado por f(2 + ~~ - f(2) .

100. Uma fun9ao que e contInua num ponto tambem e deriv,hneste ponto.

101. Se uma fun9ao possui derivadas laterais a esquerda e ad'ta num determinado ponto, entao esta fun9ao e deriva\neste ponto.

102. Se uma fun9ao e derivavel num ponto dado, entao ela tar::-bem e contInua neste ponto.

103 S d f() {xsenl, x =1= 0 () {x2sen-L.enox= x egx= x0, x = 0 0,