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Funções Reais de Várias Variáveis Reais

Matemática II

Jorge Marques

Faculdade de EconomiaUniversidade de Coimbra

Ano lectivo de 2008/2009

Jorge Marques Matemática II


Programa

1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais



Função Composta

Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia - Caso I

Seja f : D ⊆ R2 → R uma função de classe C1 em Int(D). Se{x = φ(t)y = ψ(t)

em que φ e ψ são funções diferenciáveis em I ⊆ R entãoF : I → R definida por F (t) = f (φ(t), ψ(t)) é diferenciável e

F ′(t) =∂f∂x

(φ(t), ψ(t))dxdt

+∂f∂y

(φ(t), ψ(t))dydt

=∂f∂x

(φ(t), ψ(t))φ′(t) +∂f∂y

(φ(t), ψ(t))ψ′(t)



Função Composta

Exemplo - Regra da Cadeia - Caso I

Consideremos f : R2 → R definida por f (x , y) = sin (xy), onde{x = t2 + 1y = t3

Então F : R → R definida por F (t) = sin (t5 + t3) édiferenciável e

F ′(t) = [t3 cos (t5 + t3)]2t + [(t2 + 1) cos (t5 + t3)]3t2

= (5t4 + 3t2) cos (t5 + t3)



Função Composta

Derivada da Função Composta - Regra da Cadeia - Caso II

Seja f : D ⊆ R2 → R uma função de classe C1 em Int(D). Se{x = φ(r , t)y = ψ(r , t)

em que φ e ψ são funções de classe C1 em I ⊆ R2 entãoF : I → R definida por F (r , t) = f (φ(r , t), ψ(r , t)) é de classe C1

em I e

∂F∂r

(r , t) =∂f∂x

(φ(r , t), ψ(r , t))∂x∂r

(r , t) +∂f∂y

(φ(t), ψ(t))∂y∂r

(r , t) ;

∂F∂t

(r , t) =∂f∂x

(φ(r , t), ψ(r , t))∂x∂t

(r , t) +∂f∂y

(φ(t), ψ(t))∂y∂t

(r , t)



Função Composta

Exemplo - Regra da Cadeia - Caso II

Consideremos f : R2 → R definida por f (x , y) = x2 − y2, onde

x = r cos t ∧ y = r sin t

Então F : R2 → R definida por F (r , t) = (r cos t)2 − (r sin t)2 éde classe C1 em R2 e

∂F∂r

(r , t) = (2r cos t) cos t + (−2r sin t) sin t

= 2r(cos2 t − sin2 t) = 2r cos (2t)

∂F∂t

(r , t) = 2r cos t(−r sin t) + (−2r sin t)r cos t

= −4r2 cos t sin t = −2r2 sin (2t)Jorge Marques Matemática II


Função Composta

Funções Homogéneas

A função f : D ⊆ Rn → R diz-se que é homogénea de graup ∈ Q se

f (tx1, . . . , txn) = tpf (x1, . . . , xn)

para (x1, . . . , xn) ∈ D e para t ∈ R tais que (tx1, . . . , txn) ∈ D.Caso a igualdade seja apenas válida para t ≥ 0 diz-se que afunção é positivamente homogénea.

NotaSe x = (0,0, . . . ,0) ∈ D então f (x) = 0.



Função Composta

Exemplos de Funções Homogéneas1 O polinómio com coeficientes reais definido por

f (x , y) = ax + by , a 6= 0 ∨ b 6= 0

é uma função homogénea de grau 12 O polinómio com coeficientes reais definido por

f (x , y) = a2 0x2+a1 1xy+a0 2y2 , a2 0 6= 0∨a1 1 6= 0∨a0 2 6= 0

é uma função homogénea de grau 23 A função racional f : R2 − {(0,0)} −→ R definida por

f (x , y) = 3xyx2+y2 é uma função homogénea de grau 0

4 A função f : R2 −→ R definida por f (x , y) =√

x2 + y2 épositivamente homogénea de grau 1



Função Composta

Funções Homogéneas

A soma de funções homogéneas de grau p é uma funçãohomogénea de grau pO produto de funções homogéneas é uma funçãohomogénea cujo o grau é a soma dos graus dehomogeneidade das funções dadasO quociente de uma função homogénea de grau p poruma função homogénea de grau q é uma funçãohomogénea de grau p − qA potência de expoente s de uma função homogénea degrau p é uma função homogénea de grau sp



Função Composta

Interpretação Geométrica

Seja f : D ⊆ R2 → R uma função homogénea de grau p.Consideremos um ponto qualquer P = (a,b) ∈ D, não-nulo,então

{(x , y) ∈ R2 : (x , y) = (ta, tb), t ∈ R }

é uma recta r que passa por P e pela origem. O valor que ftoma em (x , y) ∈ r é igual a tp vezes o valor de f em P.

Nota

Uma função f : D ⊆ R2 → R homogénea de grau p éunivocamente determinada pelo valor de f em todos os pontosde

{(x , y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1 }



Função Composta

Função de Cobb-Douglas

Sejam k , α e β parâmetros reais positivos. A função deprodução

f : [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R(x , y) 7−→ z = kxαyβ

designa-se por função de Cobb-Douglas, em que x e yrepresentam respectivamente a quantidade de capital e detrabalho usados na produção.Esta função é homogénea de grau α+ β. Diz-se que:

Se α+β > 1 então f tem rendimentos crescentes à escalaSe α+β = 1 então f tem rendimentos constantes à escalaSe α+ β < 1 então f tem rendimentos decrescentes àescala



Função Composta

Propriedade das Funções Homogéneas

Seja f : D ⊆ Rn → R uma função homogénea de grau p. Sex1 6= 0 então f (x1, . . . , xn) = xp

1 g(

x2x1, . . . , xn

x1

).

Teorema de Euler

Se a função f : D ⊆ Rn → R é de classe C1 em Int(D) ehomogénea (ou positivamente homogénea) de grau p então

x1∂f∂x1

(x) + . . .+ xn∂f∂xn

(x) = pf (x)

sendo x = (x1, . . . , xn). Esta igualdade chama-se identidade deEuler e pode ser reescrita como

xT ∇f (x) = pf (x)



Função Composta

Exemplo - Função de Produção

Sejam k e α parâmetros reais tais que 0 < α < 1 e k > 0. Afunção de Cobb-Douglas

f : D = [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R(x , y) 7−→ z = kxαy1−α

é homogénea de grau 1. Então para y > 0 obtemos

f (x , y) = f(

y(

xy,1

))= yf

(xy,1

)= yg

(xy

)

ou seja,f (x , y)

y= g

(xy

), o que significa que a produtividade

média do trabalho é uma função da razão entre capital etrabalho.



Função Composta

O Reciproco do Teorema de Euler

Se f : D ⊆ Rn → R satisfaz a identidade de Euler então f éhomogénea (ou positivamente homogénea) de grau p.

Homogeneidade das Derivadas Parciais

Seja f : D ⊆ Rn → R de classe Ck em Int(D), 1 ≤ k ≤ p. Se fé homogénea (ou positivamente homogénea) de grau p entãoas suas derivadas parciais de ordem k são homogéneas (oupositivamente homogéneas) de grau p − k .



Função Composta

Exemplo - Função de Produção

Sejam k e α parâmetros reais tais que 0 < α < 1 e k > 0. Afunção de Cobb-Douglas

f : D = [0,+∞[×[0,+∞[ −→ R(x , y) 7−→ z = kxαy1−α

é homogénea de grau 1, logo as produtividades marginais docapital e do trabalho, fx e fy respectivamente, são homogéneasde grau 0, ou seja, para todo o (x , y) ∈ Int(D) e para todo ot > 0 obtemos

fx(tx , ty) = fx(x , y) ; fy (tx , ty) = fy (x , y)



Função Composta

Isoquantas

Consideremos a isoquanta de equação f (x , y) = f (a,b) tal quef (a,b) > 0. Então a semi-recta

S = {(x , y) ∈ R2 : (x , y) = (ta, tb), t > 0 }

intersecta a isoquanta em P = (a,b). Para qualquer outroponto Q ∈ S obtemos fx(Q)/fy (Q) = fx(P)/fy (P).

Taxa Marginal de Substituição Técnica

Em termos económicos, ao quociente fx(P)/fy (P) chama-se ataxa marginal de substituição técnica em P.Assim a taxa é a mesma em P e em Q e portanto a taxamantém-se constante ao longo de S.



Função Composta

Interpretação Geométrica

A taxa marginal de substituição técnica num ponto P é igual aovalor absoluto do declive da recta tangente à isoquanta deequação f (x , y) = f (a,b) em P.

Propriedades das Isoquantas

As isoquantas de equação f (x , y) = c, para todo o c > 0, sãointersectadas pela semi-recta S em diferentes pontos. Emqualquer um desses pontos X ∈ S, as rectas tangentes àsisoquantas têm o mesmo declive.



Função Composta

Funções Homotéticas

A função f : D ⊆ Rn → R diz-se que é homotética se f é afunção composta, f = g ◦ h, em que h : D ⊆ Rn → R éhomogénea e g : B ⊆ R → R é estritamente monótona.

ResultadoToda a função homogénea é homotética. Mas uma funçãohomotética pode não ser homogénea.



Função Composta

Exemplos de Funções Homotéticas1 A função f : R2 → R definida por

f (x , y) =e3x

ey

2 A função f : {(x , y) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > 0 } → R definidapor

f (x , y) = 2 ln x + ln y

3 A função f : R2 −→ R definida por f (x , y) =√

x2 + y2



Função Composta

Função Implícita

Seja F (x , y) = 0 uma curva que contém o ponto P = (a,b).Diz-se que F (x , y) = 0 define implicitamente y como função dex numa vizinhança de P, y = f (x), ou então que y = f (x) estádefinida sob a forma implícita por F (x , y) = 0 se verifica

F (x , f (x)) = 0 , para todo o x ∈ I

onde I é um intervalo aberto contendo a.Geometricamente, o gráfico de f é o lugar geométrico definidopor

{(x , y) ∈ R2 : x ∈ I ∧ y = f (x) ∧ F (x , f (x)) = 0 }



Função Composta

Exemplo - Função Implícita

Como determinar o declive da recta tangente a x2 + y2 − 4 = 0no ponto P = (1,−

√3)? A função f :]− 2,2[→ R tal que

f (x) = −√

4− x2 está definida implicitamente pelacircunferência numa vizinhança de P. Vamos agora calculary ′(x) derivando ambos os membros da equação em ordem a xpela regra da cadeia. Assim vem

2x + 2yy ′ = 0

ou seja,y ′ = −x

y∧ y 6= 0

e portanto

m = y ′(1) = − 1−√

3=

√3

3Jorge Marques Matemática II


Função Composta

Teorema da Função Implícita - Caso I

Sejam F : D ⊂ R2 → R uma função de classe C1 em D e(a,b) ∈ Int(D). Se

(i) F (a,b) = 0(ii) Fy (a,b) 6= 0

então F (x , y) = 0 define implicitamente y como função de xnuma vizinhança de (a,b). Além disso y é diferenciável em a e

y ′(a) = −Fx(a,b)

Fy (a,b)



Função Composta

NotaPara calcular y ′(a) procede-se da seguinte forma:

1 Deriva-se ambos os membros da equação pela regra dacadeia

Fx(x , y) + Fy (x , y)dydx

= 0

2 Isola-se y ′ = dydx , ou seja,

y ′(x) = −Fx(x , y)

Fy (x , y)

3 Substitui-se x por a, isto é,

y ′(a) = −Fx(a,b)

Fy (a,b)



Função Composta

Exemplo

Vamos mostrar que ln (xy) + (y − 1)x2 = 0 define localmente(na vizinhança de (1,1)) y como função implícita de x .A função F : D = {(x , y) : xy > 0 } → R definida porF (x , y) = ln (xy) + (y − 1)x2 é de classe C1 em D pois F e assuas derivadas parciais:

Fx(x , y) =1x

+ 2(y − 1)x ∧ Fy (x , y) =1y

+ x2

são contínuas em D. Como F (1,1) = 0 e Fy (1,1) = 2 6= 0então y é localmente função de x:

y = f (x) ; x ∈ I =]1− ε,1 + ε[ , ε > 0

e f ′(1) = −Fx(1,1)

Fy (1,1)= −1

2.



Função Composta

Teorema da Função Implícita - Caso II

Sejam F : D ⊂ R3 → R uma função de classe C1 em D e(a,b, c) ∈ Int(D). Se

(i) F (a,b, c) = 0(ii) Fz(a,b, c) 6= 0

então F (x , y , z) = 0 define implicitamente z como função de xe y numa vizinhança de (a,b, c). Além disso as derivadasparciais de z em (a,b) são dadas por

zx(a,b) = −Fx(a,b, c)

Fz(a,b, c)∧ zy (a,b) = −

Fy (a,b, c)

Fz(a,b, c)



Função Composta

Exemplo

Vamos mostrar que x2 + y2 + z2 = 25 define localmente (navizinhança de (0,3,4)) z como função implícita de x e y .A função F : R3 → R definida por F (x , y , z) = x2 + y2 + z2− 25é de classe C1 em R3 pois F e as suas derivadas parciais:

Fx(x , y , z) = 2x ∧ Fy (x , y , z) = 2y ∧ Fz(x , y , z) = 2z

são contínuas em R3. Como F (0,3,4) = 0 eFz(0,3,4) = 8 6= 0 então z é localmente função de x e de y :

z = f (x , y) ∧ (x , y) ∈ I = Bε(0,3) , ε > 0

e

zx(0,3) = −Fx(0,3,4)

Fz(0,3,4)= 0 ∧ zy (0,3) = −

Fy (0,3,4)

Fz(0,3,4)− 3

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