Construções Lógico – Matemáticas – Aula 09 IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano...
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Construções Lógico – Matemáticas – Aula 09 IMES – Fafica Curso de Pedagogia – 2º Ano Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira [email protected]
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Construções Lógico –Matemáticas – Aula 09
IMES – Fafica
Curso de Pedagogia – 2º Ano
Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
Bolas Coloridas (I)
Ana quer colorir as bolinhas da Figura 1 a seguir de azul (A), preto (P) ou
vermelho (V) de modo que bolinhas ligadas por um segmento tenham cores
diferentes.Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 1.
a) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 1?
Figura 1
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Figura 1
1
2 3
Primeiramente vamos numerar as bolinhas para facilitar o raciocínio
(bolinha 1, 2 e 3).A bolinha 1 pode ser pintada de 3 maneiras diferentes (pode ser
vermelha, preta ou azul).
Vamos escolher, por exemplo, a cor vermelha.
2 3 2 3
Para pintar a bolinha 2 sobram duas cores para
pintá-la (pode ser azul ou preta).
Desta forma a cor da bolinha 3 fica
automaticamente determinada.Tudo isto ocorre se a bolinha 1 for pintada de
vermelho. Porém sabemos que ela pode ser
pintada de azul ou também de preta.
Bolas Coloridas (I) – RespostaLogo podemos elaborar uma árvore de
possibilidades:Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Então podemos pensar que para
cada cor da bolinha 1 temos duas
possibilidades de preenchimento,
ou seja, 2 + 2 + 2 = 3 x 2 = 6
possibilidadesOutra forma de pensar é:
Bolinh
a 1
Bolinh
a 2
Bolinh
a 3
3 2 1x x = 6
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Listando todas as possibilidades, temos:
Resposta: Ana pode colorir a Figura 1 de 6 maneiras diferentes.
Bolas Coloridas (II)
Veja a seguir duas maneiras diferentes de colorir a Figura 2.
b) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 2?
Figura 2
Bolas Coloridas (II) - RespostaNeste caso também é interessante numerar as bolinhas.
Figura 2
1 2
34
Para facilitar o trabalho é interessante dividí-lo em dois casos:
quando as bolinhas 1 e 3 possuem a mesma cor e quando tais
bolinhas possuem cores diferentes.
1º caso: Bolinhas 1 e 3
com cores iguais
2
34
Existem 3 maneiras de colorir a bolinha 1 (pode ser vermelha,
azul ou preta). Suponhamos que ela seja colorida de vermelho.
Como a bolinha 3 possui a mesma cor da bolinha 1 ela
necessariamente será vermelha.
4 4
Agora há duas maneiras de colorir a
bolinha 2 (azul ou preta).
Bolas Coloridas (II)
1º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores iguais
4
4
Para a bolinha 4 também há duas
possibilidades em cada caso.
Lembre-se que tudo isto ocorreu pois
colorimos a bolinha 1 de vermelho,
mas poderíamos ter colorido de azul
ou preto. Desta forma, temos:
Bolinh
a 1
Bolinh
a 2
Bolinh
a 3
3 2 1x x = 12
Bolinh
a 4
x 2
Mas e se as bolinhas 1 e 3 tivessem
cores diferentes?
Bolas Coloridas (II)
Figura 2
1 2
34
2º caso: Bolinhas 1 e 3com cores diferentes
2
34
Primeiramente temos que colorir a bolinha 1. Isto pode ocorrer
de 3 maneiras distintas. Suponhamos que a colorimos de
vermelho.Em seguida temos que colorir a bolinha 3. Isto pode ocorrer de 2
maneiras diferentes (pois sabemos que ela não pode possuir a
mesma cor que a bolinha 1).
2
4
2
4
Para colorir as bolinhas 2 e 4 resta, agora, apenas 1
possibilidade que trata-se da cor não utilizada. Desta forma,
temos:
Bolas Coloridas (II)
2º caso: Bolinhas 1 e 3 com cores diferentes
Reunindo as informações deste
caso, temos:
Bolinh
a 1
Bolinh
a 2
Bolinh
a 3
3 1 2x x = 6
Bolinh
a 4
x 1
Adicionando os resultados de ambos
casos, temos:
1º CasoCores iguais
em 1 e 3
12 6+ = 18 possibilidades
2º CasoCores diferentes
em 1 e 3
Bolas Coloridas (II) – RespostaNeste item podemos elaborar duas árvores de
possibilidades:Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4
1º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores iguais
Figura 2
1 2
34
12 possibilidadescom as bolinhas
1 e 3 com cores iguais
Bolas Coloridas (II) – RespostaA outra árvore de possibilidades:
Bolinha 1 Bolinha 2 Bolinha 3 Bolinha 4
2º caso: As bolinhas 1 e 3 têm cores diferentes
Figura 2
1 2
34
6 possibilidadescom as bolinhas
1 e 3 com cores diferentes
12 + 6 =18 possibilidades
ao todo
Bolas Coloridas (I) – Resposta
Listando todas as possibilidades, temos:
Resposta: Ana pode colorir a Figura 2 de 18 maneiras diferentes.
Bolas Coloridas (III)
c) De quantas maneiras diferentes Ana pode colorir a Figura 3?
Figura 3
Bolas Coloridas (III) - Resposta
Figura 3
Neste caso também é interessante numerar as bolinhas.
1 2
345
6 7
Para colorir as bolinhas de 1 a 4 existem 18 maneiras
(trata-se do item anterior deste exercício).
Como a bolinha 4 já está pintada (de alguma cor), restam
2 maneiras para pintar a bolinha 5 (as cores diferentes
da bolinha 4). Logo, temos:
Maneiras de colorir as
bolinhas 1 a 4
18 2x = 36 maneiras de coloriras bolinhas de 1 a 5
Maneiras de colorir a bolinha
5Agora devemos elaborar uma estratégia para colorir as
bolinhas 6 e 7.
Bolas Coloridas (III) - Resposta
Figura 3
Vamos dividir o trabalho em dois casos: as bolinhas 3 e 6
pintadas de mesma cor, e as bolinhas 3 e 6 pintadas de cores
diferentes.X X
3XX
6 7
1º caso: Bolinhas 3 e 6 com cores iguais
Para colorir a bolinha 6 existe uma única opção de cor, pois
ela precisa ser da mesma cor da bolinha 3. Desta forma,
restam duas cores possíveis para pintar a bolinha 7. Veja
alguns exemplos disso:
Bolinha 6
1 2x = 2
Bolinha 7
Então, temos:
Bolas Coloridas (III) - Resposta
2º caso: Bolinhas 3 e 6
com cores diferentes
Neste caso existe apenas 1 opção para colorir a bolinha 6, pois
ela não pode ter a mesma cor da bolinha 3 (condição imposta)
e não pode ser igual à bolinha 4.
Figura 3
X X
3XX
6 7
Para pintar a bolinha 7, também haverá apenas uma cor
disponível pois, como as cores das bolinhas 3 e 6 são
diferentes, restará apenas 1 possibilidade para colori-la.
Alguns exemplos deste caso:
Bolinha 6
1 1x = 1
Bolinha 7
Então, temos:
Bolas Coloridas (III) - Resposta
Reunindo todas as informações obtidas até o momento, temos:
Figura 3
1 2
345
6 7
Maneiras de colorir as
bolinhas 1 a 5
36 2x = 72 maneiras de coloriras bolinhas de 1 a 7
com as bolinhas 3 e 6 iguaisManeiras de colorir as bolinhas
6 e 7com as bolinhas 3
e 6 iguais
Maneiras de colorir as
bolinhas 1 a 5
36 1x = 36 maneiras de coloriras bolinhas de 1 a 7
com as bolinhas 3 e 6 diferentesManeiras de colorir as
bolinhas 6 e 7com as bolinhas 3 e
6 diferentes
1º CasoBolinhas 3 e 6
iguais
72 36+ = 108 possibilidades
2º CasoBolinhas 3 e 6
diferentes
Adicionando os resultados de ambos
casos, temos:
Desafio
De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura com uma
das cores amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um
segmento tenham sempre cores diferentes?
