Controle de Sistemas MecânicosControle de Sistemas MecânicosIntroduçãoIntrodução

Sistemas de controle

Malha aberta

Malha fechada

Realimentação

Visão histórica

Controle hoje

Sistemas de ControleSistemas de Controle

Controlar é atuar sobre um dado sistema de modo a atingirresultados de acordo com objetivos previamenteestabelecidos.

O sistema controlado é chamado de planta ou processo.

Há um atuador transformando os objetivos em esforço deatuação

Os resultados obtidos na saída da planta, devem seaproximar dos objetivos desejados.

Métodos BásicosMétodos Básicos

● Controle em malha aberta– disparo de uma flecha

– chuveiro elétrico comum

– máquina de lavar

● Controle em malha fechada– nível do tanque/pressão d’água

– míssil teleguiado

– ar-condicionado

Controle em malha abertaControle em malha aberta

● Esquema geral

PlantaControlador

atuaçãoobjetivos resultados

Controle em malha fechadaControle em malha fechada

● Esquema geral

PlantaControlador

atuação resultados

-

objetivos erro

medição

RealimentaçãoRealimentação negativa negativa

● Sistemas de controle– Controle de temperatura

– Controle de nível

● Sistemas naturais– relação predador/presas

– temperatura do corpo/evaporação do suor

Visão históricaVisão histórica

● Interação leme/vela em embarcações

● Controle de nível

● Fontes decorativas

● Relógios mecânicos

● Caixas de música

● Controle de temperatura e pressão

● Controle de rotação de máquina a vapor

Visão históricaVisão histórica

● Controle de nível

Visão históricaVisão histórica

● Controle de rotação de máquina a vapor

Modelagem de Sistemas LinearesModelagem de Sistemas Lineares

Equação Diferencial Geral

Solução da Equação Homogênea

Solução da Equação Particular

Solução Completa

Diagrama de Blocos

Resposta ao Impulso e Convolução

Modelagem matemáticaModelagem matemática

● Linearidade– obedece aos princípios da superposição e

homogeneidade

● Parâmetros concentrados– equações diferenciais ordinárias no tempo contínuo

● Invariância no tempo– coeficientes da equação constantes

● Causalidade– sistemas só respondem após a excitação

LinearizaçãoLinearização

Quando o modelo matemático de um dado sistema é nãolinear, adota-se um método de linearização.

O método mais comum é a linearização pela expansão dafunção em série de Taylor em torno do ponto de operaçãoda planta.

Trunca-se a série de Taylor respectiva, desprezando-se ostermos de derivadas de segunda ordem e acima.

Os resultados são bons apenas para pequenas variações emtorno do ponto de operação.

Expansão em serie de TaylorExpansão em serie de Taylor

�+−′′+−′+=!2

)()(

!1

)()()()(

20

00

00

xxxf

xxxfxfxf

Equação Diferencial GeralEquação Diferencial Geral

● Sistemas Lineares

● Parâmetros concentrados

● Invariantes no tempo

● Mônico (an = 1)

u t( ) y t( )

)(...)(

)()(

...)()(

0

011

1

1

tubdt

tudb

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyd

m

m

m

n

n

nn

n

++

=++++ −

−

−

R

nm ≤● Admite-se sempre

Operador derivativoOperador derivativo

)(...)(

)()(

...)()(

0

011

1

1

tubdt

tudb

tyadt

tdya

dt

tyda

dt

tyd

m

m

m

n

n

nn

n

++

=++++ −

−

−

)()...(

)()...(

01

011

1

tubpbpb

tyapapapm

m

nn

n

+++

=++++ −−

Definindo o operadorderivativo dt

dp =

Equação Geral SimplificadaEquação Geral Simplificada

D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=

)()...()()...( 01011

1 tubpbpbtyapapap mm

nn

n +++=++++ −−

)( pD )( pN

O resultado fica

Operador do SistemaOperador do Sistema

D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=

)()(

)()( tu

pD

pNty =

)()()( tupLty =

)( pL Operador do Sistema

Sistema próprionm ≤

Sistema bi-próprionm =

Sistema estritamente próprionm <

Comportamento do sistemaComportamento do sistema

● Excitação nula– Equação homogênea

– Condições iniciais nulas: permanece em repouso

– Condições iniciais não nulas: resposta natural

● Excitação não nula– Integral particular

– Resposta forçada

– Resposta completa: natural+forçada

Solução da Equação DiferencialSolução da Equação Diferencial

● Solução da equação homogênea

● Solução da equação particular

● Solução completa

D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=

Equação HomogêneaEquação Homogênea

● Equação diferencial

● Equação característica

● Polinômio característico

D p y t( ) ( ) = 0

D p y t N p u t( ) ( ) ( ) ( )=

0... 011

1 =++++ −− apapap n

nn

Sistema mecânico deSistema mecânico de translacão translacão

A figura abaixo apresenta um sistemamassa/mola/amortecedor, para o qual é aplicadauma força u(t) e obtido como resposta odeslocamento y(t).

cK

m

y

u

Exemplo Lei de Exemplo Lei de NewtonNewton

Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se a equaçãodiferencial do sistema

Aplicando o operador derivativo a equação fica

ukyycym =++ ���

uykcpmp =++ )( 2

Polinômio característicoPolinômio característico

Dividindo-se pela massa (para a eq. ficar mônica)

os seguintes polinômios são obtidos

m

kp

m

cppD ++= 2)(

um

ym

kp

m

cp

12 =

++

mpN

1)( =

)(

)()(

pD

pNpL =

Visualização do operadorVisualização do operador

● Esquema geral

PlantaControlador

atuação resultados

-

objetivos erro

medição

2

1

( ) mL pc k

p pm m

=+ +

cK

m

y

u

Circuitos elétricosCircuitos elétricos

Aplica-se as leis de Kirchhoff: das malhas e dos nós;

Aplica-se a lei de cada elemento: resistência,capacitor e indutância.

Circuito RC:

+

-

C

R

v(t) vC(t)

+

-

Solução do circuito RCSolução do circuito RC

Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas, obtém-se aequação

considerando a lei de Ohm

e do capacitor

e notando que estão em série

CR vvv +=

dt

dvCi

Riv

CC

RR

=

=

CR ii =

Continuação circuito RCContinuação circuito RC

Levando em conta o operador derivativoa segunda equação fica

Substituindo na lei das malhas, obtém-se

CC Cpvi =

CC vRCpvv +=

Continuação RCContinuação RC

Conduzindo à seguinte EDG

e respectivo operador do sistema

uRC

yRC

p11 =

+

RCpRC

pD

pNpL

1

1

)(

)()(

+==

●

2

1

( ) mL pc k

p pm m

=+ +

Visualização do operadorVisualização do operador

PlantaControlador

atuação resultados

-

objetivos erro

medição

cK

m

y

u

+

-

C

R

v(t) vC(t)

+

-

1( )

1RCL p

p RC

=+

Sistemas Mecânicos RotativosSistemas Mecânicos Rotativos

Modelo de um pêndulo torcionalConsiderando uma inércia associada a uma mola

torcional e um amortecimento viscoso

c

J

K

Exemplo RotativoExemplo Rotativo

Aplicando-se a 2ª Lei de Newton, obtém-se aequação diferencial do sistema

Aplicando o operador derivativo a equação fica

τθ =++ )( 2 kcpJp

τθθθ =++ kcJ ���

Polinômio característicoPolinômio característico

Dividindo-se pela inércia

os seguintes polinômios são obtidos

J

kp

J

cppD ++= 2)(

uJ

yJ

kp

J

cp

12 =

++

JpN

1)( =

)(

)()(

pD

pNpL =

Circuitos RLCCircuitos RLC

Aplicando-se a lei das malhas para o circuito abaixo

obtém-se

+

-

C

R

v(t)

+

-

vC(t)

L

CLR vvvv ++=

Solução do circuito RLCSolução do circuito RLC

Considerando a lei de Ohm, do capacitor

e do indutor

e notando que estão em série

LL

L

CC

C

RR

Lpidt

diLv

Cpvdt

dvCi

Riv

==

==

=

LCR iii ==

Continuação RLCContinuação RLC

Substituindo na lei das malhas, obtém-se

com a EDG

e o operador

CCC vvLCpRCpvv ++= 2

uLC

yLC

pL

Rp

112 =

++

( ) ( )( )

LCpRLp

LCpD

pNpL

1)(

1

2 ++==

Uso do MatlabUso do Matlab

● Definição de vetor e matriz– usar exemplo MMA: m=1, c=1, k=25

– pc=[1 1 25]; t=0:0.05:4; rz=[-1 -2];

● Processamento de raízes de polinômio– r=roots(pc); pol=poly(rz);

● Determinação da função seno e cosseno– y=sin(t); z=cos(t);

● Traçar gráficos de função– plot(t, y,’r’, t, z,’b’)

– usar help comando