CRITÉRIOS PARA DETERMINAR OS EXTREMOS DE UMA … · 2018-05-22 · Microsoft Word - máximos e...

CRITÉRIOSPARADETERMINAROSEXTREMOSDEUMAFUNÇÃO

Teorema(Critériosdaderivadaprimeiraparadeterminaçãodosextremos)

Seja𝑓umafunçãocontínuanumintervalofechado[𝑎, 𝑏] quepossuiderivadaemtodo

opontodointervalo(𝑎, 𝑏),excetopossivelmentenumponto𝑐.

(i) Se𝑓' 𝑥 > 0 para todo𝑥 < 𝑐 e𝑓' 𝑥 < 0 para todo𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um

máximorelativoem𝑐.

(ii) Se𝑓' 𝑥 < 0 para todo𝑥 < 𝑐 e𝑓' 𝑥 > 0 para todo𝑥 > 𝑐 , então 𝑓 tem um

mínimorelativoem𝑐.

Exemplos:

(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos emínimosrelativosdafunção𝑓 𝑥 = 𝑥! − 7𝑥 + 6.

Esboçodográficodestafunção:

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Capítulo 5 – Título do Capítulo

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(ii) Seja𝑓 𝑥 =(𝑥 − 2)! − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 5(!!!)!

, 𝑠𝑒 𝑥 > 5

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Teorema(Critériodaderivada2aparadeterminaçãodeextremosdeumafunção)

Sejam𝑓 uma função derivável num intervalo(𝑎, 𝑏)e𝑐um ponto crítico de𝑓 neste

intervalo,istoé,𝑓’(𝑐) = 0,com𝑎 < 𝑐 < 𝑏.Sefadmiteaderivada𝑓’’ em(𝑎, 𝑏),temos:

(i) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 < 0, 𝑓temumvalormáximorelativoem𝑐.

(ii) 𝑆𝑒 𝑓'' 𝑐 > 0, 𝑓temumvalormínimorelativoem𝑐.

Exemplos:

Encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada

segunda.

(i) 𝑓 𝑥 = 18𝑥 + 3𝑥! − 4𝑥!.

(ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥(𝑥−1)!.

(iii) 𝑓 𝑥 = 6𝑥 − 3𝑥! + !!𝑥!.

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CONCAVIDADEEPONTOSDEINFLEXÃOOconceitodeconcavidadeémuitoútilnoesboçodográficodeumacurva.

Nafiguraacimaobservamosquedadoumpontoqualquer𝑐entre𝑎e𝑏,empontos

próximosde𝑐 ográficode𝑓estáacimadatangenteàcurvanoponto𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)).Dizemos

queacuratemconcavidadevoltadaparacimanointervalo(𝑎, 𝑏).

Como𝑓’(𝑥)é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se que podemos

descrever essa mesma situação afirmando que no intervalo(𝑎, 𝑏)a derivada𝑓’(𝑥)é

crescente. Geometricamente isso significa que a reta tangente gira no sentido anti-

horárioàmedidaqueavançamossobreacurvadaesquerdaparaadireita.

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Já na figura acima vemos que a tangente gira no sentido horário quando nosdeslocamossobreacurvadaesquerdaparaadireita.Aderivada𝑓’(𝑥)édecrescenteem(𝑎, 𝑏).DEFINIÇÃO:

(i) Umafunção𝑓éditacôncavaparacimanointervalo(𝑎, 𝑏), se𝑓’(𝑥)écrescentenesteintervalo.

(ii) Umafunção𝑓 écôncavaparabaixonointervalo(𝑎, 𝑏),se𝑓’(𝑥)fordecrescentenesteintervalo.

PROPOSIÇÃO:

(i) Se𝑓’’(𝑥) > 0paratodo𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),então𝑓écôncavaparacimaem(𝑎, 𝑏).(ii) Se𝑓’’ 𝑥 < 0paratodo𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),então𝑓écôncavaparabaixoem(𝑎, 𝑏).

DEFINIÇÃO:

Umponto𝑃(𝑐, 𝑓(𝑐)dográficodeumafunçãocontínua𝑓échamadoumpontodeinflexão, se existe um intervalo(𝑎, 𝑏)contendo𝑐, tal que uma das seguintes situaçõesocorra:

(i) 𝑓écôncavaparacimaem(𝑎, 𝑐) ecôncavaparabaixoem(𝑐, 𝑏)(ii) 𝑓écôncavaparabaixoem(𝑎, 𝑐)ecôncavaparacimaem(𝑐, 𝑏).

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Nográficotemos:

- ospontosdeabcissas𝑐!, 𝑐!, 𝑐!, 𝑐!àsãopontosdeinflexão.

- Valeobservarque𝑐!, 𝑐!sãopontosdeextremosdefequefnãoéderivávelnestes

pontos. Nos pontos𝑐!, 𝑐! existem derivadas𝑓’(𝑐!) 𝑒 𝑓’(𝑐!).Nos correspondentes

pontos(𝑐!, 𝑓 𝑐! ), (𝑐!, 𝑓 𝑐!) ,aretatangentecortaográficodef.

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EXEMPLOS:Determinarospontosde inflexãoe reconheceros intervalosondeas funções seguintestemconcavidadevoltadaparacimaouparabaixo.

(i) 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)!

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(ii) 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 𝑥!

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(iii) 𝑓 𝑥 = 𝑥!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 11− (𝑥 − 1)!, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 1

ATIVIDADES:

1) Determinarospontoscríticosdasseguintesfunções,seexistirem:

a) 𝑦 = 3𝑥 + 4

b) 𝑦 = 𝑥! − 3𝑥 + 8

c) 𝑦 = 𝑥! + 4𝑥!

d) 𝑦 = cos 𝑥

e) 𝑦 = 𝑒! − 𝑥

2) Determinar os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou

decrescentes.Fazerumesboçodográfico.

a) 𝑦 = 2𝑥 − 1

b) 𝑦 = 3𝑥! + 6𝑥 + 7

c) 𝑦 = 𝑥! + 2𝑥! − 4𝑥 + 2

d) 𝑦 = !!

!!!

e) 𝑦 = 2!

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3) Encontrarosintervalosdecrescimento,decrescimento,osmáximoseosmínimos

relativosdasseguintesfunções:

a) 𝑦 = 4𝑥! − 8𝑥!

b) 𝑦 = 3𝑥! + 6𝑥 + 1

c) 𝑦 = !!!!!!

d) 𝑦 = !!𝑥! + !

!𝑥! − 6𝑥 + 5

e) 𝑦 = 𝑥𝑒!

4) Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções

seguintestemconcavidadevoltadaparacimaouparabaixo.

a) 𝑦 = −𝑥! + 5𝑥! − 6𝑥

b) 𝑦 = 3𝑥! − 10𝑥! − 12𝑥! + 10𝑥 + 9

c) 𝑦 = !!!!

d) 𝑦 = 𝑥!𝑒!

e) 𝑦 = !!!!(!!!)!

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