CURSO-DE-MATEMATICA-BASICA-PARA-O-ENSINO-MEDIO

CURSO DE MATEMTICA BSICA PARA O ENSINO MDIO Conjuntos Lgica Matemtica I Lgica Matemtica II Lgica Matemtica III Relaes Binrias Funes I Funes II Funes III Funes IV Certa funo Certa classe de funes Calcule o valor desta funo Mdulo I Mdulo II Mdulo III Produtos Notveis Exerccios de Aritmtica I Exerccios de Aritmtica II Nmeros congruentes Proporcionalidade entre grandezas Regra de trs composta Cuidado com a regra de trs MDC e MMC Sistema de numerao binrio Sistema de numerao romano Uma contagem na sala de aula Vlei, xadrez ou tnis? Potncias e radicais - parte I Potncias e radicais - parte II Trs problemas na mdia Uma questo antiga em Catanduva Um trem de trs vages Sobre o conjunto vazio Subconjuntos de um conjunto finito 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 11...11111 De um jeito mais fcil Fatorial de 18 Calcule o valor da funo Anlise do preo de uma torta de morangoINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.

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Coletnea de exerccios de funes Argumentos lgicos Um Problema interessante Domnio e conjunto imagem de uma funo real de varivel real Num Centro Esportivo Dois problemas, duas solues e duas propostas imperdveis Desen ROCK - se Contando elementos I Contando elementos II No reino da bicharada

Noes de Conjuntos

1 A teoria avanada dos conjuntos foi desenvolvida por volta do ano 1872 pelo matemtico alemo Georg Cantor (1845 / 1918) e aperfeioada no incio do sculo XX por outros matemticos, entre eles, Ernst Zermelo (alemo - 1871/1956), Adolf Fraenkel (alemo 1891/ 1965), Kurt Gdel (austraco - 1906 /1978), Janos von Newman (hngaro - 1903 /1957), entre outros. O que se estuda deste assunto ao nvel do segundo grau e exigido em alguns vestibulares, to somente uma introduo elementar teoria dos conjuntos, base para o desenvolvimento de temas futuros, a exemplo de relaes, funes, anlise combinatria, probabilidades, etc. 2 - Conjunto: conceito primitivo; no necessita, portanto, de definio. Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2, 4, 6 ,8 ,10 , 12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderamos escrever: P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }. 2.1 - Relao de pertinncia: Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x A, onde o smbolo significa "pertence a". Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamosINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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esse fato com a notao y A. O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por . Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo U. Assim que, pode-se escrever como exemplos: = { x; x x} e U = {x; x = x}. 2.2 - Subconjunto Se todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos que A subconjunto de B e indicamos isto por A B. Notas: a) todo conjunto subconjunto de si prprio. ( A A ) b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A) c) se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominado conjunto das partes de A e indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A tambm denominado parte de A. 3 - Conjuntos numricos fundamentais Entendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos so nmeros. Existem infinitos conjuntos numricos, entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais, a saber: 3.1 - Conjunto dos nmeros naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... } 3.2 - Conjunto dos nmeros inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Nota: evidente que N Z. 3.3 - Conjunto dos nmeros racionais Q = {x | x = p/q com p Z , q Z e q 0 }. (o smbolo | l-se como "tal que").INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/q onde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que no existe diviso por zero!. So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas: a) evidente que N Z Q. b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzima peridica na forma de uma frao. Exemplo: 0,4444... = 4/9 3.4 - Conjunto dos nmeros irracionais Q' = {x | x uma dzima no peridica}. (o smbolo | l-se como "tal que"). Exemplos de nmeros irracionais: = 3,1415926... (nmero pi = razo entre o comprimento de qualquer circunferncia e o seu dimetro) 2,01001000100001... (dzima no peridica) 3 = 1,732050807... (raiz no exata). 3.5 - Conjunto dos nmeros reais R = { x | x racional ou x irracional }. Notas: a) bvio que N Z Q R b) Q' R c) um nmero real racional ou irracional; no existe outra hiptese! 4 - Intervalos numricos Dados dois nmeros reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos nmeros reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os nmeros p e q so os limites do intervalo, sendo a diferena p - q , chamada amplitude do intervalo. ; Se o intervalo incluir p e q , o intervalo fechado e caso contrrio, o intervalo dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.TIPOS INTERVALO FECHADO REPRESENTAO [p;q] = {x R; p x q} OBSERVAO inclui os limites p e q

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INTERVALO ABERTO INTERVALO FECHADO A ESQUERDA INTERVALO FECHADO DIREITA

(p;q) = { x R; p < x < q} [p;q) = { x R; p x < q} (p;q] = {x R; p < x q}

exclui os limites p e q inclui p e exclui q exclui p e inclui q valores maiores ou iguais a p.

INTERVALO SEMI-FECHADO [p; ) = {x R; x p}

INTERVALO SEMI-FECHADO (- ; q] = { x R; x valores menores ou iguais a q. q} INTERVALO SEMI-ABERTO INTERVALO SEMI-ABERTO (- ; q) = { x R; x < q} (p; ) = { x > p } valores menores do que q. valores maiores do que p.

Nota: fcil observar que o conjunto dos nmeros reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( - ; + ). 5 - Operaes com conjuntos 5.1 - Unio ( ) Dados os conjuntos A e B, define-se o conjunto unio A B = {x; x A ou x B}. Exemplo: {0,1,3} { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto unio contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B. Propriedades imediatas: a) A A = A b) A = A c) A B = B A (a unio de conjuntos uma operao comutativa) d) A U = U , onde U o conjunto universo. 5.2 - Interseo ( ) Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseo A B = {x; x A e x B}. Exemplo: {0,2,4,5} { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseo contempla os elementos que so comuns aos conjuntos A e B. Propriedades imediatas: a) A A = A b) A = INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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c) A B = B A ( a interseo uma operao comutativa) d) A U = A onde U o conjunto universo. So importantes tambm as seguintes propriedades: P1. A ( B C ) = (A B) ( A C) (propriedade distributiva) P2. A ( B C ) = (A B ) ( A C) (propriedade distributiva) P3. A (A B) = A (lei da absoro) P4. A (A B) = A (lei da absoro) Observao: Se A B = , ento dizemos que os conjuntos A e B so Disjuntos. 5.3 - Diferena: A - B = {x ; x A e x B}. Observe que os elementos da diferena so aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas no pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}. Propriedades imediatas: a) A - = A b) - A = c) A - A = d) A - B B - A (a diferena de conjuntos no uma operao comutativa). 5.3.1 - Complementar de um conjunto Trata-se de um caso particular da diferena entre dois conjuntos. Assim , que dados dois conjuntos A e B, com a condio de que B A , a diferena A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relao a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relao ao conjunto universo U, ou seja , U - B , indicado pelo smbolo B' .Observe que o conjunto B' formado por todos os elementos que no pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x B}. bvio, ento, que: a) B B' = b) B B' = U c) ' = U d) U' = 6 - Partio de um conjunto Seja A um conjunto no vazio. Define-se como partio de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A)), que satisfaz simultaneamente, s seguintes condies: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) o conjunto vazio.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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2 - a interseo de quaisquer dois elementos de part(A) o conjunto vazio. 3 - a unio de todos os elementos de part(A) igual ao conjunto A. Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A sero: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - . Assim, o conjunto das partes de A ser: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X uma partio de A - cuja simbologia part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X . b) {2} {3, 5 } = c) {2} U {3, 5 } = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condies 1, 2 e 3 acima, o conjunto X uma partio do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } so outros exemplos de parties do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } uma partio do conjunto Z dos nmeros inteiros, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} {1, 3, 5, 7, ...} = e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = Z 7 - Nmero de elementos da unio de dois conjuntos Sejam A e B dois conjuntos, tais que o nmero de elementos de A seja n(A) e o nmero de elementos de B seja n(B). Nota: o nmero de elementos de um conjunto, tambm conhecido com cardinal do conjunto. Representando o nmero de elementos da interseo A B por n(A B) e o nmero de elementos da unio A B por n(A B) , podemos escrever a seguinte frmula: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B) 8 - Exerccios propostos I: 1) USP-SP - Depois de n dias de frias, um estudante observa que: a) choveu 7 vezes, de manh ou tarde; b) quando chove de manh no chove tarde; c) houve 5 tardes sem chuva; d) houve 6 manhs sem chuva. Podemos afirmar ento que n igual a: a)7 b)8 *c)9 d)10INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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e)11 2) 52 pessoas discutem a preferncia por dois produtos A e B, entre outros e conclui-se que o nmero de pessoas que gostavam de B era: I - O qudruplo do nmero de pessoas que gostavam de A e B; II - O dobro do nmero de pessoas que gostavam de A; III - A metade do nmero de pessoas que no gostavam de A nem de B. Nestas condies, o nmero de pessoas que no gostavam dos dois produtos igual a: *a)48 b)35 c)36 d)47 e)37 3) UFBA - 35 estudantes estrangeiros vieram ao Brasil. 16 visitaram Manaus; 16, S. Paulo e 11, Salvador. Desses estudantes, 5 visitaram Manaus e Salvador e , desses 5, 3 visitaram tambm So Paulo. O nmero de estudantes que visitaram Manaus ou So Paulo foi: *a) 29 b) 24 c) 11 d) 8 e) 5 4) FEI/SP - Um teste de literatura, com 5 alternativas em que uma nica verdadeira, referindo-se data de nascimento de um famoso escritor, apresenta as seguintes alternativas: a)sculo XIX b)sculo XX c)antes de 1860 d)depois de 1830 e)nenhuma das anteriores Pode-se garantir que a resposta correta : a)a b)b *c)c d)d e)e 9 - Exerccios propostos II:



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1 - Se um conjunto A possui 1024 subconjuntos, ento o cardinal de A igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 9 *e)10 2 - Aps um jantar, foram servidas as sobremesas X e Y. Sabe-se que das 10 pessoas presentes, 5 comeram a sobremesa X, 7 comeram a sobremesa Y e 3 comeram as duas. Quantas no comeram nenhuma? *a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 3) PUC-SP - Se A = e B = {}, ento: *a) A B b) A B = c) A = B d) A B = B e) B A 4) FGV-SP - Sejam A, B e C conjuntos finitos. O nmero de elementos de A B 30, o nmero de elementos de A C 20 e o nmero de elementos de A B C 15. Ento o nmero de elementos de A (B C) igual a: *a)35 b)15 c)50 d)45 e)20 5) Sendo a e b nmeros reais quaisquer, os nmeros possveis de elementos do conjunto A = {a, b, {a}, {b}, {a,b} } so: *a)2 ou 5 b)3 ou 6 c)1 ou 5 d)2 ou 6 e)4 ou 5

1 - INTRODUOINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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A Lgica Matemtica, em sntese, pode ser considerada como a cincia do raciocnio e da demonstrao. Este importante ramo da Matemtica desenvolveu-se no sculo XIX, sobretudo atravs das idias de George Boole , matemtico ingls (1815 - 1864), criador da lgebra Booleana, que utiliza smbolos e operaes algbricas para representar proposies e suas inter-relaes. As idias de Boole tornaram-se a base da Lgica Simblica, cuja aplicao estende-se por alguns ramos da eletricidade, da computao e da eletrnica. A lgica matemtica (ou lgica simblica), trata do estudo das sentenas declarativas tambm conhecidas como proposies , as quais devem satisfazer aos dois princpios fundamentais seguintes: Princpio do terceiro excludo: uma proposio s pode ser verdadeira ou falsa , no havendo outra alternativa. Princpio da no contradio: uma proposio no pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. Diz-se ento que uma proposio verdadeira possui valor lgico V (verdade) e uma proposio falsa possui valor lgico F (falso). Os valores lgicos tambm costumam ser representados por 0 (zero) para proposies falsas ( 0 ou F) e 1 (um) para proposies verdadeiras ( 1 ou V ). As proposies so indicadas pelas letras latinas minsculas: p, q, r, s, t, u, ... De acordo com as consideraes acima, expresses do tipo, "O dia est bonito" , "3 + 5" , "x um nmero real" , "x + 2 = 7", etc., no so proposies lgicas, uma vez que no poderemos associar a ela um valor lgico definido (verdadeiro ou falso). Exemplificamos a seguir algumas proposies, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lgico V ou F. Poderia ser tambm 1 ou 0. p: " a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180 " ( V ) q: " 3 + 5 = 2 " ( F ) r: " 7 + 5 = 12" ( V) s: " a soma dos ngulos internos de um polgono de n lados dada por Si = (n - 2) . 180 " ( V ) t: " O Sol um planeta" ( F ) w: " Um pentgono um polgono de dez lados " ( F )

2 - Smbolos utilizados na Lgica Matemtica



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no e ou se ... ento se e somente se tal que implica equivalente existe existe um e somente um qualquer que seja

3 - O Modificador NegaoDada a proposio p, indicaremos a sua negao por ~p . (L-se " no p " ). Ex.: p: Trs pontos determinam um nico plano ( V ) ~p: Trs pontos no determinam um nico plano ( F ) Obs.: duas negaes equivalem a uma afirmao ou seja, em termos simblicos: ~(~p) = p .

4 - Operaes lgicasAs proposies lgicas podem ser combinadas atravs dos operadores lgicos , , e , dando origem ao que conhecemos como proposies compostas. Assim, sendo p e q duas proposies simples, poderemos ento formar as seguintes proposies compostas: p q , p q , p q , p q (Os significados dos smbolos esto indicados na tabela anterior). Estas proposies compostas recebem designaes particulares, conforme veremos a seguir. Conjuno: p q (l-se "p e q " ). Disjuno: p q (l-se "p ou q ") . Condicional: p q (l-se "se p ento q " ). Bi-condicional: p q ( "p se e somente se q") . Conhecendo-se os valores lgicos de duas proposies simples p e q , como determinaremos os valores lgicos das proposies compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto conseguido atravs do uso da INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. 11 E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br Cascavel Cear Brasil

tabela a seguir, tambm conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. Sejam p e q duas proposies simples, cujos valores lgicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada:p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p q 1 0 0 0 p q 1 1 1 0 p q 1 0 1 1 p q 1 0 0 1

Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que:

a conjuno verdadeira somente quando ambas as proposies so verdadeiras. a disjuno falsa somente quando ambas as proposies so falsas. a condicional falsa somente quando a primeira proposio verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional verdadeira somente quando as proposies possuem valores lgicos iguais.

Ex.: Dadas s proposies simples: p: O Sol no uma estrela (valor lgico F ou 0) q: 3 + 5 = 8 (valor lgico V ou 1) Temos: p q tem valor lgico F (ou 0) p q tem valor lgico V (ou 1) p q tem valor lgico V (ou 1) p q tem valor lgico F (ou 0). Assim, a proposio composta "Se o Sol no uma estrela ento 3 + 5 = 8" logicamente verdadeira, no obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase! No quero lhe assustar, mas o fato das proposies verdadeiras (valor lgico 1) ou falsas (valor lgico 0), no podem estar associadas analogia de que zero (0) pode significar um circuito eltrico desligado e um (1) pode significar um circuito eltrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois , caros amigos, isto uma verdade, e a base lgica da arquitetura dos computadores! Seria demais imaginar que a proposio p q pode ser associada a um circuito srie e a proposio p q a um circuito em paralelo? INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. 12 E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br Cascavel Cear Brasil

Pois, as analogias so vlidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo! Paulo Marques - Feira de Santana - BA

Lgica Matemtica IIVimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lgico de uma proposio composta, conhecendo-se os valores lgicos das proposies simples que a compem.p 1 1 0 0 q 1 0 1 0 p q 1 0 0 0 p q 1 1 1 0 p q 1 0 1 1 p q 1 0 0 1

Nota: valor lgico verdadeiro = 1 ou V valor lgico falso = 0 ou F Podemos observar que muito fcil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para a conjuno, disjuno e equivalncia, ou seja: a conjuno "p e q" s verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. A disjuno "p ou q" s falsa quando p e q forem ambas falsas. A bi-condicional s e falsa quando p e q possuem valores lgicos opostos. Quanto condicional "se p ento q" , vamos analis-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento das regras ali contidas:p V V F F q V F V F p q V F V V



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O raciocnio a seguir, ser a base da nossa anlise: Se dada uma proposio p e possvel fazer-se um raciocnio vlido que nos conduza a outra proposio q, consideraremos que p q verdadeira. Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima: 1) p V e q V: somente atravs de um raciocnio vlido possvel partir de uma proposio verdadeira para outra tambm verdadeira. Logo, p q verdadeira. 2) p V e q F: no existe raciocnio vlido capaz de , partindo-se de uma proposio verdadeira chegar-se a uma proposio falsa. Logo, neste caso, p q falsa. 3) p F e q V: possvel partir de uma proposio falsa e chegarse atravs de um raciocnio vlido, a uma proposio verdadeira. Isto um pouco difcil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: Sejam as proposies: p: 10 = 5 (valor lgico F) q: 15 = 15 (valor lgico V) Atravs de um raciocnio vlido, vamos mostrar que possvel a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). Com efeito, se 10 = 5, ento podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 = 5+10 e, portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possvel, atravs de um raciocnio vlido chegar-se a q VERDADEIRA. Logo, p q verdadeira. 4) p F e q F: possvel partir de uma proposio falsa e chegarse atravs de um raciocnio vlido, a uma proposio tambm falsa. Seno vejamos: Sejam as proposies: p: 10 = 5 (valor lgico F) q: 19 = 9 (valor lgico F) Atravs de um raciocnio vlido, vamos mostrar que possvel a partir de p FALSA, chegarmos a q tambm FALSA. Com efeito, se 10 = 5, ento, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e, portanto 19 = 9, que a proposio q dada. Logo, p q verdadeira (V).

Exerccios:1) Sendo p uma proposio verdadeira e q uma proposio falsa, qual o valor lgico da proposio composta r: (p q) q? Soluo: Teremos, substituindo os valores lgicos dados: p = V , q = F e ~q = V . INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. 14 E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br Cascavel Cear Brasil

r: (V V) F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V F e portanto r falsa. Valor lgico F ou 0. 2) Qual das afirmaes abaixo falsa? a) se Marte um planeta ento 3 = 7 - 4. b) a soma de dois nmeros pares um nmero par e 72 = 49. c) 3 = 5 se e somente se o urso um animal invertebrado. d) se 102 = 100 ento todo nmero inteiro natural. e) 2 = 32 - 7 ou a Terra plana. Analisando os valores lgicos das proposies simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, concluiremos que apenas a proposio do item (d) falsa, uma vez que 102 = 100 V e "todo nmero inteiro natural" F ( o nmero negativo -3 por exemplo inteiro, mas no natural) . Portanto, temos V F , que sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).

Lgica Matemtica III

1 - Tautologias e Contradies Considere a proposio composta s: (p q) (p q) onde p e q so proposies simples lgicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposio s : Considerando-se o que j foi visto at aqui, teremos:p V V F F q V F V F p q V F F F p q V V V F (p q) (p q) V V V V

Observe que quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples p e q, a proposio composta s sempre logicamente verdadeira. Dizemos ento que s uma TAUTOLOGIA. Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposies: p: O Sol um planeta (valor lgico falso - F) e q: A Terra um planeta plano (valor lgico falso - F), podemos concluir que a proposio composta "Se o Sol um planeta e a Terra um planeta plano ento o Sol um planeta ouINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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a Terra um planeta plano" uma proposio logicamente verdadeira. Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposio composta, verificarmos que ela sempre falsa, diremos que ela uma CONTRADIO. Ex.: A proposio composta t: p ~p uma contradio, seno vejamos:p V F ~p F V p ~p F F

NOTA: Se uma proposio composta formada por n proposies simples, a sua tabela verdade possuir 2n linhas. Ex.: Construa a tabela verdade da proposio composta t: (p q) r Teremos:p V V V V F F F F q V V F F V V F F r V F V F V F V F (p q) V V F F F F F F (p q) r V V V F V F V F

Observe que a proposio acima no Tautologia nem Contradio. Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais voc poder verifica-las, simplesmente construindo as respectivas tabelas verdades: Sendo p e q duas proposies simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposies compostas, so TAUTOLOGIAS: 1) (p q) p 2) p (p q)INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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3) [p (p q)] q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 4) [(p q) ~q] ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") Voc dever construir as tabelas verdades para as proposies compostas acima e comprovar que elas realmente so tautologias, ou seja, na ltima coluna da tabela verdade teremos V V V V. NOTAS: a) as tautologias acima so tambm conhecidas como regras de inferncia. b) como uma tautologia sempre verdadeira, podemos concluir que a negao de uma tautologia sempre falsa, ou seja, uma contradio. 2 - lgebra das proposies Sejam p, q e r trs proposies simples quaisquer v uma proposio verdadeira e f uma proposio falsa. So vlidas as seguintes propriedades: a) Leis idempotentes p p = p p p = p b) Leis comutativas p q = q p p q = q p c) Leis de identidade p v = p p f = f p v = v p f = p d) Leis complementares ~(~p) = p (duas negaes eqivalem a uma afirmao) p ~p = f p ~p = v ~v = f ~f = v e) Leis associativas (p q) r = p (q r) (p q) r = p (q r)



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f) Leis distributivas p (q r) = (p q) (p r) p (q r) = (p q) (p r) g) Leis de Augustus de Morgan ~(p q) = ~p ~q ~(p q) = ~p ~q h) Negao da condicional ~(p q) = p ~q Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construo das tabelas verdades. Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h): Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p q) e de p ~q :

Tabela1:p V V F F q V F V F p q V F V V ~(p q) F V F F

Tabela 2:p V V F F q V F V F ~q F V F V p ~q F V F F

Observando as ltimas colunas das tabelas verdades 1 e 2, percebemos que elas so iguais, ou seja, ambas apresentam a seqncia F V F F, o que significa que ~ (p q) = p ~q . Exs.: 1) Qual a negao da proposio composta: "Eu estudo e aprendo"?INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Do item (g) acima, conclumos que a negao procurada : "Eu no estudo ou no aprendo". 2) Qual a negao da proposio "O Brasil um pas ou a Bahia um estado" ? Do item (g) acima, conclumos que a negao : "O Brasil no um pas e a Bahia no um estado". 3) Qual a negao da proposio: "Se eu estudo ento eu aprendo" ? Conforme a propriedade do item (h) acima, conclumos facilmente que a negao procurada : "Eu estudo e no aprendo"

Relaes BinriasINTRODUO Neste captulo, vamos estudar apenas os tpicos necessrios para um perfeito entendimento do assunto que ser abordado no captulo seguinte: Funes. PAR ORDENADO: conjunto ordenado de dois elementos, representado pelo smbolo (x; y) onde x e y so nmeros reais, denominados respectivamente de abscissa e ordenada. Ex: Par ordenado (6; -3) : abscissas = 6 e ordenada = -3. Propriedade: dois pares ordenados so iguais, quando so respectivamente iguais as abscissas e as ordenadas. Em termos simblicos: (x;y) = (w;z) x = w e y = z Ex: (2x - 4; y) = (- x; 7) 2x - 4 = - x e y = 7 x = 4/3 e y = 7. PLANO CARTESIANO: tambm conhecido como sistema de coordenadas retangulares; Trata-se de um conceito introduzido no sculo XVII pelo matemtico e filsofo francs Ren Descartes, para representar graficamente o par ordenado (xo;yo). Consiste basicamente de dois eixos orientados que se interceptam segundo um angulo reto, num ponto denominado origem. O eixo horizontal denominado eixo das abscissas e o eixo vertical denominado eixo das ordenadas. Denominamos o ponto O de origem do plano cartesiano, sendo nulas a sua abscissa e a sua ordenada, ou seja, O (0; 0). Observe que o plano cartesiano pode ser subdividido em quatro regies, que so denominadas Quadrantes. Temos ento o seguinte quadro resumo:INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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QUADRANTE 1 quadrante 2 quadrante 3 quadrante 4 quadrante

ABCISSA + +

ORDENADA + + -

Obs: 1) a equao do eixo Ox y = 0 e do eixo Oy x = 0. 2) o grfico de y = x uma reta denominada bissetriz do primeiro quadrante. 3) o grfico de y = -x uma reta denominada bissetriz do segundo quadrante. MDULO DE UM NMERO REAL : Entende-se por mdulo ou valor absoluto do nmero real a e escreve-se a , o seguinte: a = a se a 0 a = -a se a < 0 Por esta definio, o mdulo de um nmero positivo ou nulo (no negativo) o prprio nmero e o mdulo de um nmero negativo o simtrico desse nmero. Exs: 7 = 7 ; -5 = 5 ; 0 = 0 ; 7 - 10 = -3 = 3 So vlidas as seguintes propriedades relativas s igualdades e desigualdades modulares: P1) w = 0 w = 0 P2) w = b , onde b > 0 w = b ou w = - b P3) w b , onde b> 0 w b ou w - b P4) w b , onde b> 0 -b w b PRODUTO CARTESIANO: Dados dois conjuntos A e B , definimos o produto cartesiano de A por B , que indicamos pelo smbolo AxB , ao conjunto de todos os pares ordenados (x;y) onde x A e y B. Em termos simblicos, podemos escrever: AxB = { (x;y); x A e y B} Ex: {0;2;3} x {5; 7} = { (0;5) , (0; 7) , (2;5) , (2;7) , (3;5}, (3;7) } Obs.: Sendo A e B conjuntos quaisquer, temos: a) o produto cartesiano de um conjunto A por ele mesmo, ou seja, AxA representado por A2 . Assim, podemos escrever: A x A = A2. b) A x B B x A (o produto cartesiano uma operao no comutativa) c) A x = INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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d) n(A x B) = n(A) . n(B) , onde n(A) e n(B) representam os nmeros de elementos de A e de B, respectivamente. RELAO BINRIA Dados dois conjuntos A e B , chama-se relao de A em B , a qualquer subconjunto de AxB. Em termos simblicos, sendo uma relao de A em B , podemos escrever: = { (x;y) AxB ; x y } Ex: = { (0;3) , (2;5) , (3;0) } uma relao de A = { 0;2;3;4} em B = {3;5;0}. NOTAS: 1) AxB 2) o conjunto A o conjunto de partida e B o conjunto de chegada ou contradomnio. 3) se (x;y) , ento dizemos que y imagem de x , pela relao . 4) a expresso x y equivale a dizer que (x;y) . 5) dada uma relao = { (x;y) AxB ; x y } , o conjunto dos valores de x chama- se domnio da relao e o conjunto dos valores de y chama-se conjunto imagem da relao. 6 - o nmero de relaes possveis de A em B dado por 2n(A).n(B) . 7 - Dada uma relao = { (x,y) AxB ; x y } , define-se a relao inversa -1 como sendo: -1 = { (y,x) BxA ; y x }. Ex: F = { (0,2) , (3.5) , (4,8) , ( 5,5) } F-1 = { (2,0) , (5,3) , (8,4) , (5,5) }. Agora, tente resolver as questes a seguir. 1 - Sendo A = {x N; 1 < x < 4} e B = {x Z; 5 < x < 10}, o conjunto imagem da relao S = {(x, y) AXB; x + y = 9} : a) {4,5,6} *b) {6,7} c) {5,6,7} d) {7} e) {1} 2 - Sendo n(A) = 2 e n(B) = 3, ento o nmero de elementos de p(A) X p(B) : a)4 b)8 c)16 *d)32 e)64



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3 - UFBA - Sejam: A = { 1 , 5 } ; B = { -1 , 0 , 1 }; R = {(x , y) AxB } e F = conjunto dos pontos do plano, simtricos aos pontos de R em relao primeira bissetriz. Dos conjuntos e relaes dados, pode-se afirmar: I) A imagem da relao inversa de R o conjunto A. II) O domnio de F o conjunto B. III) R tem 5 elementos. IV) Em F h pontos pertencentes ao eixo Ox. V) Existe um nico ponto de R que pertence primeira bissetriz. So verdadeiras: a) todas b) nenhuma c) III e IV *d) I, II e V e)somente I 4 - UEFS - Sendo A = { 1, 3 } e B = [-2 , 2], o grfico cartesiano de AxB representado por: a) 4 pontos b) 4 retas c)um retngulo d)retas paralelas a Ox *e) dois segmentos de reta 5 - Sabendo-se que n(AxB) = 48 , n(BxC) = 72 , n(p(A)) = 256, podemos afirmar que n(AxC) : a)64 b)72 *c)96 d)128 e)192 6 - UFCE - Dado um conjunto C , denotemos por n(p(C)) o nmero de elementos do conjunto das partes de C. Sejam A e B dois conjuntos no vazios, tais que n(p(AxB)) = 128 e n(B) > n(A). Calcule n(p(B)) / n(p(A)). Resp: 64

Funes I1 - Definio Dados dois conjuntos A e B no vazios, chama-se funo (ou aplicao) de A em B, representada por f : A B ; y = f(x) , a qualquer relao binria que associa a cada elemento de INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. 22 E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br Cascavel Cear Brasil

A , um nico elemento de B . Veja o captulo Relaes Binrias Portanto, para que uma relao de A em B seja uma funo, exige-se que a cada x A esteja associado um nico y B, podendo, entretanto existir y B que no esteja associado a nenhum elemento pertencente ao conjunto A.

Obs : na notao y = f(x) , entendemos que y imagem de x pela funo f, ou seja: y est associado a x atravs da funo f. Exemplo: f(x) = 4x+3 ; ento f(2) = 4.2 + 3 = 11 e portanto , 11 imagem de 2 pela funo f ; f(5) = 4.5 + 3 = 23 , portanto 23 imagem de 5 pela funo f , f(0) = 4.0 + 3 = 3, etc. Para definir uma funo, necessitamos de dois conjuntos (Domnio e Contradomnio ) e de uma frmula ou uma lei que relacione cada elemento do domnio a um e somente um elemento do contradomnio . Quando D(f) R e CD(f) R, sendo R o conjunto dos nmeros reais , dizemos que a funo f uma funo real de varivel real . Na prtica , costumamos considerar uma funo real de varivel real como sendo apenas a lei y = f(x) que a define , sendo o conjunto dos valores possveis para x , chamado de domnio e o conjunto dos valores possveis para y , chamado de conjunto imagem da funo . Assim, por exemplo, para a funo definida por y = 1/x , temos que o seu domnio D(f) = R* , ou seja o conjunto dos reais diferentes de zero (lembre-se que no existe diviso por zero) , e o seu conjunto imagem tambm R* , j que se y = 1/x , ento x = 1/y e portanto y tambm no pode ser zero . Dada uma funo f : A B definida por y = f(x), podemos representar os pares ordenados (x,y) f onde x A e y B ,num sistema de coordenadas cartesianas . O grfico obtido ser o grfico da funo f .INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Assim , por exemplo , sendo dado o grfico cartesiano de uma funo f , podemos dizer que: a ) a projeo da curva sobre o eixo dos x , nos d o domnio da funo . b ) a projeo da curva sobre o eixo dos y , nos d o conjunto imagem da funo . c ) toda reta vertical que passa por um ponto do domnio da funo , intercepta o grfico da funo em no mximo um ponto . Veja a figura abaixo:

2 -Tipos de funes 2.1 - Funo sobrejetora aquela cujo conjunto imagem igual ao contradomnio . Exemplo:

2.2 - Funo injetora



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Uma funo y = f(x) injetora quando elementos distintos do seu domnio , possuem imagens distintas, isto : x1 x2 f(x1) f(x2) . Exemplo:

2.3 - Funo bijetora Uma funo dita bijetora , quando ao mesmo tempo , injetora e sobrejetora . Exemplo:

Exerccios resolvidos: 1 - Considere trs funes f, g e h, tais que: A funo f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A funo g atribui a cada pas, a sua capital A funo h atribui a cada nmero natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funes dadas, so injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas Soluo: Sabemos que numa funo injetora, elementos distintos do domnio, possuem imagens distintas, ou seja: x1 x2 f(x1) f(x2).INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Logo, podemos concluir que: f no injetora, pois duas pessoas distintas podem ter a mesma idade. g injetora, pois no existem dois pases distintos com a mesma capital. h injetora, pois dois nmeros naturais distintos, possuem os seus dobros tambm distintos. Assim que conclumos que a alternativa correta a de letra C. 2 - Seja f uma funo definida em R - conjunto dos nmeros reais - tal que f(x - 5) = 4x. Nestas condies, pede-se determinar f(x + 5). Soluo: Vamos fazer uma mudana de varivel em f(x - 5) = 4x, da seguinte forma: x-5=u x=u+5 Substituindo agora (x - 5) pela nova varivel u e x por (u + 5), vem: f(u) = 4(u + 5) f(u) = 4u + 20 Ora, se f(u) = 4u + 20, teremos: f(x + 5) = 4(x+5) + 20 f(x+5) = 4x + 40 Agora resolva este: A funo f em R tal que f(2x) = 3x + 1. Determine 2. f(3x + 1). Resp: 9x + 5 3 - Paridade das funes 3.1 - Funo par A funo y = f(x) par, quando x D(f) , f(- x ) = f(x) , ou seja, para todo elemento do seu domnio, f( x ) = f ( - x ). Portanto, numa funo par, elementos simtricos possuem a mesma imagem. Uma conseqncia desse fato que os grficos cartesianos das funes pares so curvas simtricas em relao ao eixo dos y ou eixo das ordenadas. Exemplo: y = x4 + 1 uma funo par, pois f(x) = f(-x), para todo x. Por exemplo, f(2) = 24 + 1 = 17 e f(- 2) = (-2)4 + 1 = 17 O grfico abaixo, de uma funo par.



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4.2 - Funo mpar A funo y = f(x) mpar , quando x D(f) , f( - x ) = - f (x) , ou seja, para todo elemento do seu domnio, f( - x) = - f( x ). Portanto, numa funo mpar, elementos simtricos possuem imagens simtricas. Uma conseqncia desse fato que os grficos cartesianos das funes mpares so curvas simtricas em relao ao ponto (0,0), origem do sistema de eixos cartesianos. Exemplo: y = x3 uma funo mpar pois para todo x, teremos f(- x) = - f(x). Por exemplo, f( - 2) = (- 2)3 = - 8 e - f( x) = - ( 23 ) = - 8. O grfico abaixo de uma funo mpar:

Nota: se uma funo y = f(x) no par nem mpar, dizemos que ela no possui paridade. Exemplo:INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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O grfico abaixo, representa uma funo que no possui paridade, pois a curva no simtrica em relao ao eixo dos x e, no simtrica em relao origem.

Funes II1 - FUNO INVERSA Dada uma funo f: A B, se f bijetora, ento se define a funo inversa f -1 como sendo a funo de B em A, tal que f -1 (y) = x. Veja a representao a seguir:

bvio ento que: a) para obter a funo inversa , basta permutar as variveis x e y . b) o domnio de f -1 igual ao conjunto imagem de f . c) o conjunto imagem de f -1 igual ao domnio de f . d) os grficos de f e de f -1 so curvas simtricas em relao reta y = x ou seja , bissetriz do primeiro quadrante . Exemplo: Determine a INVERSA da funo definida por y = 2x + 3. Permutando as variveis x e y, fica: x = 2y + 3 Explicitando y em funo de x, vem: 2y = x - 3 y = (x - 3) / 2, que define a funo inversa da funo dada.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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O grfico abaixo, representa uma funo e a sua inversa. Observe que as curvas representativas de f e de f-1, so simtricas em relao reta y = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exerccio resolvido: A funo f: R R, definida por f(x) = x2: a) inversvel e sua inversa f -1 (x) = x b) inversvel e sua inversa f -1(x) = - x c) no inversvel d) injetora e) bijetora. SOLUO: J sabemos que somente as funes bijetoras so inversveis, ou seja, admitem funo inversa. Ora, a funo f(x) = x2, definida em R - conjunto dos nmeros reais no injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a funo no bijetora e, em conseqncia, no inversvel. Observe tambm que a funo dada no sobrejetora, pois o conjunto imagem da funo f(x) = x2 o conjunto R + dos nmeros reais no negativos, o qual no coincide com o contradomnio dado que igual a R. A alternativa correta a letra C. 2 - FUNO COMPOSTA Chama-se funo composta ( ou funo de funo ) funo obtida substituindo-se a varivel independente x , por uma funo. Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) . Veja o esquema a seguir:



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Obs.: atente para o fato de que fog gof , ou seja, a operao " composio de funes " no comutativa . Exemplo: Dadas s funes f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x). Teremos: gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15 fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3 Observe que fog gof . Exerccios resolvidos: 1 - Sendo f e g duas funes tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrer se e somente se: a) b(1 - c) = d(1 - a) b) a(1 - b) = d(1 - c) c) ab = cd d) ad = bc e) a = bc SOLUO: Teremos: fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b fog(x) = acx + ad + b gof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d gof(x) = cax + cb + d Como o problema exige que gof = fog, fica: acx + ad + b = cax + cb + d Simplificando, vem: ad + b = cb + d ad - d = cb - b d(a - 1) = b(c - 1), que equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativa correta a letra A. 2 - Sendo f e g duas funes tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x ento f(x) : a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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*d) 5 - 2x e) uma funo par. SOLUO: Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1 Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1 Fazendo uma mudana de varivel, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova varivel. Portanto, x = 2 - u. Substituindo, fica: f(u) = 2(2 - u) + 1 f(u) = 5 - 2u Portanto, f(x) = 5 - 2x, o que nos leva alternativa D. Agora resolva esta: Dadas s funes f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k ocorrer gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a: *a) -1/3 b) 1/3 c) 0 d) 1 e) -1

Funes IIITipos particulares de funes 1 FUNO CONSTANTE Uma funo dita constante quando do tipo f(x) = k , onde k no depende de x . Exemplos: a) f(x) = 5 b) f(x) = -3 Nota : o grfico de uma funo constante uma reta paralela ao eixo dos x . Veja o grfico a seguir:



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2 FUNO DO 1 GRAU Uma funo dita do 1 grau , quando do tipo y = ax + b , onde a 0. Exemplos : f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 ) f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1). Propriedades da funo do 1 grau: 1) o grfico de uma funo do 1 grau sempre uma reta.

2) na funo f(x) = ax + b, se b = 0, f dita funo linear e se b 0 f dita funo afim. Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se iler) - excepcional matemtico suo - 1701/1783). 3) o grfico intercepta o eixo dos x na raiz da equao f(x) = 0 e, portanto, no ponto de abscissa x = - b/a . 4) o grfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b chamado coeficiente linear . 5) o valor a chamado coeficiente angular e d a inclinao da reta . 6) se a > 0, ento f crescente. 7) se a < 0, ento f decrescente. 8) quando a funo linear, ou seja, y = f(x) = ax, o grfico uma reta que sempre passa na origem. Exerccio resolvido:INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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1 - Determine a funo f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10. SOLUO: Podemos escrever: 5 = 2.a + b -10 = 3.a + b Subtraindo membro a membro, vem: 5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b) 15 = - a a = - 15 Substituindo o valor de a na primeira equao (poderia ser na segunda), fica: 5 = 2.(- 15) + b b = 35. Logo, a funo procurada : y = - 15x + 35. Agora resolva esta: A funo f definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, ento podemos afirmar que f(1) igual a: *a) 2 b) -2 c) 0 d) 3 e) -3 3 FUNO DO 2 GRAU Uma funo dita do 2 grau quando do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a 0 . Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ; y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 ) Grfico da funo do 2 grau y = ax2 + bx + c: sempre uma parbola de eixo vertical .



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Propriedades do grfico de y = ax2 + bx + c: 1) se a > 0 a parbola tem um ponto de mnimo. 2) se a < 0 a parbola tem um ponto de mximo 3) o vrtice da parbola o ponto V(xv, yv) onde: xv = - b/2a yv = - /4a, onde = b2 - 4ac 4) a parbola intercepta o eixo dos x nos pontos de abscissa x' e x'' , que so as razes da equao ax2 + bx + c = 0 . 5) a parbola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) . 6) o eixo de simetria da parbola uma reta vertical de equao x = b/2a. 7) ymax = - / 4a ( a < 0 ) 8) ymin = - /4a ( a > 0 ) 9) Im(f) = { y R ; y - /4a } ( a > 0 ) 10) Im(f) = { y R ; y - /4a} ( a < 0) 11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as razes da de f(x) = ax2 + bx + c , ento ela pode ser escrita na forma fatorada a seguir : y = a(x - x1).(x - x2) Exerccios Resolvidos 1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 so razes de uma funo quadrtica. Se o ponto (-1 , 8) pertence ao grfico dessa funo, ento: a) o seu valor mximo 1,25 b) o seu valor mnimo 1,25 c) o seu valor mximo 0,25 d) o seu valor mnimo 12,5 *e) o seu valor mximo 12,5. SOLUO: Sabemos que a funo quadrtica, pode ser escrita na forma fatorada: y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, so os zeros ou razes da funo. Portanto, poderemos escrever: y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3) y = a(x + 2)(x - 3) Como o ponto (-1,8) pertence ao grfico da funo, vem: 8 = a(-1 + 2)(-1 - 3) 8 = a(1)(-4) = - 4.a Da vem: a = - 2 A funo , ento: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3) y = -2x2 + 6x - 4x + 12 y = -2x2 + 2x + 12INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Temos ento: a = -2, b = 2 e c = 12. Como a negativo, conclumos que a funo possui um valor mximo. Isto j elimina as alternativas B e D. Vamos ento, calcular o valor mximo da funo. = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100 Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5 Logo, a alternativa correta a letra E. 2 - Que nmero excede o seu quadrado o mximo possvel? *a) 1/2 b) 2 c) 1 d) 4 e) -1/2 SOLUO: Seja x o nmero procurado. O quadrado de x x2 . O nmero x excede o seu quadrado , logo: x - x2. Ora, a expresso anterior uma funo quadrtica y = x - x2 . Podemos escrever: y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0. O valor procurado de x, ser o xv (abscissa do vrtice da funo). Assim, xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2 Logo, a alternativa correta a letra A . Agora resolva estes similares: 1 - A diferena entre dois nmeros 8. Para que o produto seja o menor possvel, um deles deve ser: a) 16 b) 8 *c) 4 d) -4 e) -16 2 - A diferena entre dois nmeros 8. O menor valor que se pode obter para o produto : a) 16 b) 8 c) 4 d) -4 *e) -16INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Funes IVExerccios resolvidos e propostos 1 - Se f(x) = 1/[x(x+1)] com x 0 e x -1, ento o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) : a)100 b) 101 c) 100/101 d) 101/100 e) 1 SOLUO: Temos:

Portanto, f(1) = 1/1 - 1/2 f(2) = 1/2 - 1/3 f(3) = 1/3 - 1/4 f(4) = 1/4 - 1/5 f(5) = 1/5 - 1/6 ......................... .......................... ........................... f(99) = 1/99 - 1/100 f(100) = 1/100 - 1/101 Somando membro a membro as igualdades acima (observe que os termos simtricos se anulam entre si), vem: f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(100) = 1 - 1/101 = 100/101, o que nos leva alternativa C. 2 - UCSal - Sejam f e g funes de R em R, sendo R o conjunto dos nmeros reais, dadas por f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condies, g(-1) igual a: a) -5 b) -4 c) 0 *d) 4 e) 5 SOLUO: Como f(x) = 2x -3, podemos escrever: f[g(x)] = 2.g(x) - 3 = - 4x + 1 Logo, 2.g(x) = - 4x +4 g(x) = -2x + 2INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Assim, g(-1) = -2(-1) + 2 = 4. Logo, a alternativa correta a letra D. 3 - O conjunto imagem da funo y = 1 / (x - 1) o conjunto: a) R - { 1 } b) [0,2] c) R - {0} d) [0,2) e) (-2 ,2] SOLUO: Se y = 1 / (x - 1), ento x - 1 = 1 / y. Como o conjunto imagem o conjunto dos valores de y, percebemos que y no pode ser nulo, pois no existe diviso por zero. Logo, o conjunto imagem R - {0}, o que nos leva alternativa C. 4 - Determine o domnio da funo y = (x+1) / (x - 2). SOLUO: Como no existe diviso por zero, vem imediatamente que: x - 2 0 x 2. Logo, o domnio da funo ser D = R - {2}, onde R o conjunto dos nmeros reais. Agora resolva estes: 1 - UFBA - Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , ento g(x) igual a: a) x - 2 b) x - 6 c) x - 6/5 d) 5x - 2 e) 5x + 2 Resp: C 2 - A funo f tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condies, f(3x + 2) igual a: a) 2x + 3 b) 3x + 2 c) (2x + 3) / 2 d) (9x + 1) /2 e) (9x - 1) / 3 Resp: D 3 - Qual o domnio da funo y = (x - 4)1/4 ? Resp: D = [4, ).



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4 - Qual o conjunto imagem da funo y = 1/x? Resp: Im = R - {0}. 5 - Qual o domnio da funo y = (senx)/x ? Resp: D = R - {0}. 6 - Sendo f(x) = senx e g(x) = logx, pede-se determinar o valor de g[f( /2)]. Resp: 0 7 - Elabore o grfico da funo y = [x] , de domnio R, onde [x] significa o maior inteiro contido em x, assim definido: [x] = maior inteiro que no supera x. Exemplos: [2] = 2 [2,01] = 2 [0,833...] = 0 [-3,67...] = -4 [-1,34...] = -2, etc. Resp:

UMA CERTA FUNOSeja f uma funo definida para todo x real, satisfazendo as condies:



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Ento, f(3) vale: a) 6 Soluo: Podemos escrever, usando as definies dadas no enunciado: Para x = -3: f(-3 + 3) = f(-3).f(3) ou f(0) = f(-3).2 Podemos tambm escrever: Para x = 0: f(0 + 3) = f(0).f(3) ou f(3) = f(0).f(3), de onde conclumos que o valor de f(0) : f(0) = f(3)/f(3) = 2/2 = 1. Da, vem, por substituio, lembrando que f(0) = f(-3).2 e que f(0) = 1: 1 = f(-3).2, de onde conclumos imediatamente f(-3) = 1/2, o que nos leva alternativa C. Agora resolva este: PUC-RS - Se f uma funo tal que f(1) = a, f( ) = b e f(x + y) = f(x) . f(y), x, y R, ento f(2 + ) igual a: a) a b) b c) a2b d) ab2 e) a + b b) 0 c) d) 2 e) 1

Resposta: alternativa C. Simbologia: - qualquer que seja, para todo. - pertence a - nmero irracional pi, cujo valor aproximado 3,1416.

Uma certa classe de funesDetermine todas as funes f tais que quaisquer que sejam os nmeros reais x, y.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Soluo: Fazendo x = y = 0, j que todas as funes f que satisfazem condio dada, pelo enunciado, esto definidas para todo x e y real, vem: f(02) f(02) + 2.0 + 1 = f(0 + 0).f(0 0) Da, vem: f(0) f(0) + 1 = f(0).f(0) = [f(0)] 2 . Como f(0) - f(0) = 0, vem: 0 + 1 = [f(0)] 2 1 = [f(0)] 2, de onde vem: f(0) = 1. Pelo conceito de funo , o elemento 0 no poder ter duas imagens (1 e 1), e, portanto, apenas um desses valores deve ser vlido. Fazendo y = x na igualdade dada no problema, vem: f(x2) f(x2) + 2x + 1 = f(x + x) . f(x x) Como f(x2) = f(x2), vem da igualdade acima: 2x + 1 = f(2x).f(0) Fazendo uma mudana de varivel, colocando 2x = u, vem: u + 1 = f(u).f(0) Supondo f(0) = 1 (do resultado obtido acima), fica: f(u) = u + 1 Supondo f(0) = -1 (tambm do resultado obtido acima), fica: f(u) = - (u + 1) Como indiferente usar o smbolo u ou x, teremos: f(x) = x + 1 ou f(x) = - (x + 1). Seriam estas duas funes, a soluo do problema proposto. Mas, como dito que f uma funo, f(0) no pode ter duas imagens (1 e 1), conforme j foi relatado anteriormente. Temos ento que verificar os dois resultados, para saber qual a que satisfaz ao problema proposto. Consideremos que y = f(x) = x + 1, seja uma soluo procurada. Como, j sabemos do enunciado que:

Vem, f(x) = x + 1INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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f(x2) = x2 + 1 y = f(x) y2 = [f(x)]2 = (x + 1)2 f(y2) = y2 + 1 = (x +1)2 + 1 f(x + y) = f[x + (x +1)] = f(2x + 1) = (2x + 1) + 1 = 2x + 2 f(x y) = f[x (x + 1)] = f(-1) = -1 + 1 = 0 Substituindo, vem: x2 + 1 [(x +1)2 + 1]+ 2x + 1 = (2x + 1).0 x2 + 1 (x2 + 2x + 1 + 1)+ 2x + 1 = 0 x2 + 1 x2 2x 2 + 2x + 1 = 0 Simplificando, vem 0 = 0, e, portanto, a funo y = f(x) = x + 1, satisfaz ao problema. Por extenso, sabendo que f uma funo, razovel supor que o valor de f(0) (que deve ser nico, pelo conceito de funo ) igual a f(0) = 1 e que o resultado f(0) = -1, no serve. Deixamos como exerccio para o visitante, verificar que f(x) = - (x+1), no satisfaz ao problema proposto. Isto fcil; basta seguir os passos indicados acima para f(x) = y = x + 1. Portanto, a nica funo que obedece ao critrio do enunciado do problema proposto, a funo y = x + 1. Resp: S existe uma funo que satisfaz condio dada no enunciado e esta funo y = f(x) = x + 1. Nota: esta questo apareceu na prova da 9 Olimpada de Matemtica do Cone Sul, realizada no ano de 1998, na cidade de Salvador - BA.

Calcule o valor da funoSeja f uma funo tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2 para todo n inteiro positivo e f(1) = 2. Nestas condies, o valor de f(101) : (a) 102 (b) 101 (c) 86 (d) 76 (e) 52 Soluo:INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Teremos, fazendo n = 1, 2, 3, 4, ... na expresso f(n+1) = [(2.f(n) + 1) / 2: n = 1 f(1 + 1) = f(2) = [2.f(1) + 1] / 2 = [2.2 + 1] / 2 = 5 / 2 n = 2 f(2 + 1) = f(3) = [2.f(2) + 1] / 2 = [2.(5 / 2) + 1] / 2 =3 n = 3 f(3 + 1) = f(4) = [2.f(3) + 1] / 2 = [2.3 + 1] / 2 = 7 / 2 n = 4 f(4 + 1) = f(5) = [2.f(4) + 1] / 2 = [2.(7 / 2) + 1] / 2 =4 ................................................................................................ ........... ................................................................................................ ........... Vamos resumir os valores obtidos acima: f(1) = 2 = 4 / 2 f(2) = 5 / 2 f(3) = 3 = 6 / 2 f(4) = 7 / 2 f(5) = 4 = 8 / 2 ........................ ........................ Observe que o denominador sempre 2 e o numerador o valor de n acrescido de 3 unidades, pois: f(1) = 4 / 2 e 4 = 1 + 3 f(2) = 5 / 2 e 5 = 2 + 3 f(3) = 6 / 2 e 6 = 3 + 3 f(4) = 7 / 2 e 7 = 4 + 3 f(5) = 8 / 2 e 8 = 5 + 3 ....................................... ....................................... Observe que a lei de formao para um n inteiro positivo qualquer ser ento

f(n) = (n + 3) / 2Portanto, o valor de f(101) ser obtido fazendo n = 101, o que resulta: f(101) = (101 + 3) / 2 = 104 / 2 = 52 Agora resolva este: Seja f uma funo tal que f(n + 1) = [(2.f(n) + 1)] / 2INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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para todo n inteiro positivo e f(1) = 2. Nestas condies, determine o valor de f(105) + f(109). Resposta: 110

Mdulo IMdulo ou valor absoluto O valor positivo do nmero real, desprezando-se o sinal. Escreve-se | x| . Por exemplo: | 3| = 3; | -4| = 4, e | 0| = 0". 1 - INTRODUO Genericamente, podemos dizer que o mdulo de um nmero real, o nmero sem o seu sinal. Assim, o mdulo de -7 7, o mdulo de -5 5, ... , etc. Para representar o mdulo de um nmero real a , usamos a notao | a| , que l-se mdulo de a. Podemos dizer que mdulo a operao de apagar o sinal, conforme pode-se perceber nos exemplos acima. 2 - GENERALIDADES 2.1 - Seja x um nmero real qualquer. Das consideraes do item (1) acima, seria correto dizer que | x| = x ?. Claro que no! Seno vejamos: Suponha x = -3; teremos: | -3| = 3 = -(-3) = - x. Portanto para x negativo, vale a igualdade | x| = -x. No se esquea do fato que se x negativo, ento -x positivo. Somente para x positivo ou nulo que vale a igualdade | x| = x. Das consideraes acima podemos concluir que o mdulo ou valor absoluto de um nmero real qualquer sempre positivo ou nulo. Lembre-se que | 0| = 0. Exerccios resolvidos. 1 - Qual o conjunto soluo da equao | x + 1| + | x - 1| = 10 ? Soluo: Considere a reta numerada abaixo onde -1 e +1 so os valores que anulam as expresses entre mdulo:



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Temos que considerar 3 casos: 1 caso: x < -1: neste caso, tanto x -1 como x+1 so negativos, e portanto: | x-1| = -(x-1) e | x+1| = -(x+1) . Assim, substituindo as expresses em mdulo pelos seus valores vlidos nesse intervalo, vem: -(x-1) + [-(x+1)] = 10 \ -x + 1 -x -1 = 10 e, portanto x = -5. 2 caso: -1 x < 1: neste caso, x + 1 positivo e x -1 negativo, e, portanto: | x+1| = x+1 e | x - 1| = -(x - 1). Assim, substituindo as expresses em mdulo pelos seus valores vlidos nesse intervalo, vem: x + 1 + [-(x - 1)] = 10 e, logo chegamos igualdade 0.x = 8 que impossvel, pois no existe diviso por zero. Logo, nesse intervalo, a equao no tem soluo. 3 caso: x 1 : nesse caso, tanto x + 1 quanto x - 1 so positivos e, portanto, teremos: | x - 1| = x - 1 e | x + 1| = x + 1; substituindo as expresses em mdulo pelos seus valores vlidos nesse intervalo, vem: x - 1 + x + 1 = 10 2x = 10 e, logo x = 5. Portanto, o conjunto soluo da equao dada : S = { -5, 5 }. 2 - Agora voc deve resolver a equao: | 2x + 6| + | 2x - 6| = 80. Resp: x = -20 ou x = 20 ou S = { -20, 20 }. 3 - Resolva a equao: | x| 2 - 10 | x| + 16 = 0. Soluo: Temos de considerar dois casos: 1 caso: x < 0 : neste caso, j sabemos que | x| = -x. Substituindo as expresses em mdulo pelos seus valores vlidos nesse intervalo, vem: (-x)2 - ( - 10x ) + 16 = 0 x2 + 10x + 16 = 0, que uma equao do 2 grau de razes -8 e -2 (verifique). 2 caso: x 0 : nesse caso, sabemos que | x| = x . Logo, substituindo, vem: x2 - 10x + 16 = 0, que uma equao do 2 grau de razes 2 e 8 (verifique). Logo, o conjunto soluo da equao dada : S = { - 8, - 2, 2, 8 }. 4 - Resolva a equao: | x| Resp: S = { -16, -4, 4, 16 } EXERCCIOS PROPOSTOS 1 - Sendo y = | x - 5| + | 3x - 21| + | 12 - 3x| , se 4 < x < 5, podemos afirmar que: a) y =14 - x b) y = x - 14INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.2

- 20 | x| + 64 = 0.


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c) y = 7x + 38 d) y = 0 e) y = 14x 2 - Resolva as seguintes equaes modulares em R, conjunto dos nmeros reais: a) 2x - 3 = 5 b) 3x = x + 2 c) x2 - 4 = 5 Resp: a) S = {-1, 4} b) S = {-1/2, 1} c) S = {-3, 3} 3 - UCSal/BA - O maior valor assumido pela funo y = 2 - x - 2 : a) 1 *b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 4 - UCSal/BA - O grfico da funo f de R em R, dada por f(x) = 1 - x - 2, intercepta o eixo das abscissas nos pontos (a,b) e (c,d), com a < c. Nestas condies o valor de d + c - b - a : *a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 0

Mdulo II1 Definio Das consideraes da aula anterior, sabemos que o mdulo de um nmero real sempre positivo ou nulo. Exemplos: | -6| = 6 , | 3| = 3 , | 0| = 0 , etc. Considere x = -10. Sabemos que | x| = | -10| = 10. Observe que sendo x = -10 um nmero negativo, o mdulo igual a 10, que exatamente o simtrico de 10, ou seja | -10| = -(-10) = 10. Fica fcil portanto, entender a definio genrica de mdulo de umINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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nmero real apresentada a seguir: Dado um nmero real x , define-se: | x| = x para x 0 | x| = -x para x < 0 Exemplos: a) Seja y = | x - 3| Para x = 3, temos x 3 = 0 e portanto | y| = 0 Para x > 3, temos x 3 > 0 e portanto | y| = x 3 Para x < 3, temos x 3 < 0 e portanto | y| = - (x 3) = -x + 3 = 3 x b) Seja y = | 2 - x| Para x = 2, temos 2 x = 0 e portanto | y| = 0 Para x > 2, temos 2 x < 0 e portanto | y| = - (2 x) = -2 + x = x 2 Para x < 2, temos 2 x > 0 e portanto | y| = 2 x c) Simplifique a expresso y = | 2x - 6| + | x- 3| , para o caso particular de x< 3. SOLUO: Ora, se x < 3 ento 2x 6 < 0 e, portanto | 2x - 6| = - (2x 6) = 6 2x Analogamente, se x < 3 ento x 3 < 0 e, portanto | x - 3| = - (x 3) =3-x Portanto, teremos finalmente: y = 6 2x + 3 x = 9 3x Ou seja, y = 9 3x para x < 3. Faa agora o mesmo problema para o caso de x > 3. Resposta: y = 3x 9 2 Outra definio importante para o mdulo de um nmero real x :

Exemplo: Resolva a equao a seguir:

SOLUO: Pela definio vem: | 2x-6| = 12 2x-6=12 ou 2x-6= -12 Portanto, x = 9 ou x = -3.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Agora tente resolver as duas questes a seguir: 1 - PUC/SP O nmero de solues da equao | | x| - 1| = 1, no universo R : a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 2 - VUNESP/SP As razes da equao | x| a) so positivas b) tem soma igual a zero c) tem soma igual a um d) tem produto igual a seis e) tem produto igual a menos seis Resp: 1D ; 2B2

+ | x| - 6 = 0:

Mdulo III - Inequaes Modulares 1 - IntroduoJ sabemos que o mdulo de um nmero real um nmero positivo ou nulo, o que nos leva a interpretar que o mdulo de um nmero real est diretamente associado noo de distncia. Assim, dado um nmero real x, o mdulo de x - representado por |x| igual geometricamente, distancia origem O, do ponto P, representativo do nmero x na reta real - tambm conhecida como reta numerada. Consideremos por exemplo a reta numerada a seguir:

Teremos: |x| = distancia de P a O = dP, O Vamos utilizar a interpretao geomtrica do mdulo vista acima, para resolver as desigualdades ou inequaes modulares. Inequaes do tipo |y| b, com b > 0. Resolver a inequao acima, significa determinar quais os nmeros reais cuja distancia origem O, so menores ou iguais ao nmero positivo b. Da figura abaixo, infere-se imediatamente que os nmerosINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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procurados esto situados no intervalo fechado [-b, b].

Assim, podemos escrever a seguinte regra geral:

|y| b - b y b, para b real e positivo.Inequaes do tipo |y| b, com b > 0. Resolver a inequao acima, significa determinar quais os nmeros reais cuja distancia origem O, so maiores ou iguais ao nmero positivo b. Utilizando o mesmo raciocnio anterior, conclumos imediatamente que os nmeros procurados esto situados nos intervalos (- , - b] ou [b, + ). Assim, podemos escrever a seguinte regra geral:

|y| b y b ou y - b, para b real e positivo.Veja a figura abaixo, a qual lhe ajudar no entendimento da importante propriedade vista acima.

2 - Exerccios resolvidosResolva em R - conjunto dos nmeros reais - as seguintes inequaes modulares:

|2x + 5| 11

SOLUO: Vem imediatamente que: -11 2x + 5 11 Somando -5 a todos os membros, fica: -16 2x 6 Da, ento, dividindo tudo por 2, conclumos finalmente: -8 x 3. Logo, o conjunto soluo da inequao dada ser o conjunto S dado por: S = {x R; -8 x 3} , que, representado na forma de um intervalo real, seria indicado por S = [-8, 3]. Graficamente, teramos:

Observe que no conjunto R dos nmeros reais, o conjunto soluo da inequao dada um conjunto infinito formado por todos os nmerosINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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reais a partir de - 8 at +3. Se, por exemplo, fosse pedido o conjunto soluo da mesma inequao no conjunto Z dos nmeros inteiros, o conjunto soluo seria FINITO, e igual a: S = {-8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Se, por exemplo, fosse pedido o conjunto soluo da mesma inequao no conjunto N dos nmeros naturais, o conjunto soluo seria FINITO, e igual a: S = {0, 1, 2, 3}. muito importante estar atento ao conjunto universo adotado na questo proposta. Caso no seja feita nenhuma referencia, deveremos considerar que o conjunto universo adotado sempre R - conjunto dos nmeros reais.

|x - 1| > 5

SOLUO: Teremos: x - 1 > 5 OU x - 1 < - 5 Portanto, x > 6 OU x < - 4. O conjunto soluo em R, ser ento: S = {x R; x > 6 ou x < - 4} . Na forma de intervalo, teremos: S = (- , -4) (6, ). Graficamente, teramos:

Observe que, utilizando o conceito de diferena de conjuntos, poderemos exprimir o conjunto soluo S tambm na forma: S = R - [-4, 6], onde R o conjunto dos nmeros reais.

|x + 3| + |2x - 8| 20

SOLUO: Como no podemos somar diretamente os mdulos, vamos considerar o que segue: Observe que as expresses entre mdulo, se anulam para x = -3 e x = 4. Temos tres casos a considerar: 1 caso: x < -3 Neste caso, teremos: x + 3 < 0 |x + 3| = - (x + 3) 2x - 8 < 0 |2x - 8| = - (2x - 8) Assim, a inequao dada ser equivalente a: - (x + 3) - (2x - 8) 20 ou, eliminando os parnteses: - x - 3 - 2x + 8 20 Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaam dupla desigualdade: x < - 3 e - x - 3 - 2x + 8 20. Resolvendo este sistema de inequaes, vem:INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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x < - 3 e x - 5, que equivalente a x - 5. Ento, a primeira parte da soluo do problema o conjunto S1 = {x R; x - 5} = ( - , -5]. 2 caso: - 3 x < 4 Neste caso, teremos: x + 3 > 0 |x + 3| = x + 3 2x - 8 < 0 |2x - 8| = - (2x - 8) Assim, a inequao dada ser equivalente a: x + 3 - (2x - 8) 20 Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaam dupla desigualdade: - 3 x < 4 e x + 3 - (2x - 8) 20 Resolvendo este sistema de inequaes, vem: -3 x< 4ex -9 Percebemos da figura abaixo, que a interseo vazia, portanto, S2 = . 3 caso: x 4 Neste caso teremos: x + 3 > 0 |x + 3| = x + 3 2x - 8 > 0 |2x - 8| = 2x - 8 Assim, a inequao dada ser equivalente a: x + 3 + 2x - 8 20 Portanto, teremos que determinar os valores de x que satisfaam dupla desigualdade: x 4 e x + 3 + 2x - 8 20 Resolvendo este sistema de inequaes, vem: x 4 e x 25/3, que equivalente a x 25/3, conforme podemos observar na figura abaixo.

Portanto, a terceira soluo parcial ser: S3 = {x R; x 25/3} = [25/3, ) A soluo geral da inequao dada ser ento: S = S1 S2 S3 = ( - , -5] [25/3, ) = ( - , -5] [25/3, ) S = ( - , -5] [25/3, ).

SOLUO: Observando que x2 - 10x + 25 = (x - 5)2 e lembrando que a2 = |a|, vem: Dificuldade? Procure revisar mdulo.INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Portanto, |x - 5| 1 -1 x - 5 1 -1 + 5 x - 5 + 5 1 + 5 4 x 6. Logo, o conjunto soluo da inequao dada, ser o intervalo real: S = [4, 6]. |3x - 9| 2x SOLUO: Observe que a expresso entre mdulo, se anula para x = 3. Teremos ento dois casos a considerar: 1 caso: x < 3 3x - 9 < 0 |3x - 9| = -(3x - 9) = - 3x + 9 Portanto, a inequao fica: -3x + 9 2x Teremos ento de resolver a dupla desigualdade: x < 3 e -3x + 9 2x Vem, x < 3 e 9 5x x < 3 e 9 /5 x 9 /5 x < 3 Portanto, para o primeiro caso, teremos o conjunto soluo parcial S1 = [9/5, 3) 2 caso: x 3 3x - 9 0 |3x - 9| = 3x - 9 Portanto, a inequao fica: 3x - 9 2x Teremos ento de resolver a dupla desigualdade: x 3 e 3x - 9 2x Vem, x 3 e - 9 - x 3 x e 9 x 3 x e x 9 3 x 9 Portanto, para o segundo caso, teremos o conjunto soluo parcial S2 = [3, 9] A soluo geral da inequao proposta ser ento: S = S1 S2 = [9/5, 3) [3, 9] = [9/5, 9]. S = [9/5, 9]. Graficamente, teramos na reta real:

Agora, resolva esta: |x - 3| + |x| + |x + 3| 9 Resposta: S = {x R; -3 x 3} = [-3, 3].

Produtos NotveisVamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notveis. 1 Quadrado da soma e da diferena (a + b)2 = a2 + 2ab + b2INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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(a b)2 = a2 2ab + b2 Das duas anteriores, poderemos concluir que tambm vlido que: (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) ou escrevendo de uma forma conveniente:

2 Diferena de quadrados (a + b).(a b) = a2 b2 3 Cubo de uma soma e de uma diferena (a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3 Para determinar o cubo da diferena, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo: (a b)3 = a3 3.a2.b + 3.a.b2 b3 Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expresso como segue: (a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3 Ou: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Esta forma de apresentao, bastante til. Exemplos: 1 A soma de dois nmeros igual a 10 e a soma dos seus cubos igual a 100. Qual o valor do produto desses nmeros? SOLUO: Temos: a + b = 10 e a3 + b3 = 100. Substituindo diretamente na frmula anterior, fica: 103 = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab Da, vem: 900 = 30.ab, de onde conclumos finalmente que ab = 30, que a resposta solicitada. Nota: os nmeros a e b que satisfazem condio do problema acima, no so nmeros reais e sim, nmeros complexos. Voc pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exerccio! Alerto para o fato de que muito trabalhoso. Mas, v l, faa! um bom treinamento sobre as operaes com nmeros complexos. PeloINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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menos, fica caracterizada a importncia de saber a frmula acima. Sem ela, a soluo DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa! 2 - Calcule o valor de F na expresso abaixo, para: a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.

SOLUO: Com a substituio direta dos valores dados, os clculos seriam tantos que seria invivel! Vamos desenvolver os produtos notveis indicados:

Se voc observar CUIDADOSAMENTE a expresso acima, ver que o numerador e o denominador da frao so IGUAIS, e, portanto, F = 1, INDEPENDENTE dos valores de a, b, x e y. Portanto, a resposta igual a 1, independente dos valores atribudos s variveis a, b, x e y. Resposta : 1

Exerccios de Aritmtica I1 Um reservatrio alimentado por duas torneiras A e B: a primeira possui uma vazo de 38 litros por minuto e a segunda 47 litros por minuto. A sada da gua d-se atravs de um orifcio que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a sada da gua, o reservatrio se enche em 680 minutos. Qual o volume do reservatrio? Soluo: fcil perceber que a cada minuto: a) entram 38 litros da torneira A b) entram 47 litros da torneira B c) saem 21 litros do reservatrio. Portanto: 38 + 47 21 = 64 litros/min, o saldo lquido da gua que abastece o reservatrio. Ora, se em 1 minuto so preenchidos 64 litros do reservatrio, nos 680 minutos, teremos: 680x64 = 43520 litros, que o volume do reservatrio. 2 Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalo. Enquanto o pai d 3 passos, o filho d 11 passos, porm 2INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos dever dar o pai para alcanar o filho? Soluo: Temos: 2 passos do pai = 9 passos do filho. Da, claro que: 1 passo do pai = 4,5 passos do filho 3 passos do pai = 3x4,5 = 13,5 passos do filho Em cada 3 passos, o pai se aproxima 13,5 11 = 2,5 passos do filho. Como a distancia entre eles de 200 passos, o pai, para vencer a distancia, dever dar 200/2,5 = 80 "seqncias" de 3 passos. Como cada "seqncia" constituda de 3 passos, teremos finalmente: 80x3 = 240 passos, que a resposta do problema. NOTA: resolvi este probleminha, quando cursava a 1 srie ginasial. Como o tempo passa depressa! Achei em minhas anotaes, e resolvi publicar aqui, como uma lembrana no tempo! 3 - Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende fazer o maior nmero possvel de ramalhetes iguais entre si. Quantos sero os ramalhetes e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles? Soluo: O nmero mximo de ramalhetes nas condies indicadas, ser igual ao Mximo Divisor Comum - MDC dos nmeros 100 e 60. Vamos ento, calcular o MDC(100,60): Sendo D(n) o conjunto dos divisores positivos de n , vem: D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100} D(60) = {1, 2, 4, 5, 12, 15, 20, 30, 60} Portanto, o mximo divisor comum ser: MDC(100,60) = 20 Logo, sero 20 ramalhetes. Para calcular o nmero de rosas conforme a cor, em cada um dos 20 ramalhetes, basta efetuar: 100/20 = 5 rosas brancas e 60/20 = 3 rosas vermelhas. Resp: 20 ramalhetes, contendo cada um, 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas. 4 Numa corrida de automveis, o primeiro piloto d a volta completa na pista em 10 segundos, o segundo em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Mantendo-se o mesmo tempo, no final de quantos segundos os trs pilotos passaro juntos pela primeira vez pela linha de partida e quantas voltas tero dado cada um nesse tempo?INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Soluo: Basta calcular o mnimo mltiplo comum MMC(10, 11, 12). Sendo M(n) o conjunto dos mltiplos positivos de n, vem: M(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, ... , 660, ...} M(11) = {11, 22, 33, 44, 55, 66, ... , 660, ...} M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ... , 660, ...} Temos: MMC(10, 11, 12) = 660 Portanto, os 3 pilotos passaro pela primeira vez no ponto de partida, aps 660 segundos (ou 660/60 = 11 minutos). Cada piloto ter dado ento: 1 piloto: 660 / 10 = 66 voltas 2 piloto: 660 / 11 = 60 voltas 3 piloto: 660 / 12 = 55 voltas NOTA: a determinao do MMC acima, tambm poderia ser feita pelo mtodo tradicional, ou seja: Portanto MMC(10,12,11) = 2x2x3x5x11 = 22x3x5x11 = 660 5 Converta a velocidade de 20 m/s em km/h. Soluo:

NOTA: 1 hora = 60 min = 60.60 = 3600 segundos 1h = 3600s e portanto, 1s = (1/3600)h. Exerccios propostos 1 - Um gato persegue um rato; enquanto o rato d 5 pulos, o gato d 3, porm 1 pulo do gato equivale a 2 pulos do rato. O rato leva uma dianteira equivalente a 50 pulos do gato. Quantos pulos o gato dever dar para alcanar o rato? Resp: O gato dever dar 300 pulos. 2 - Pretende-se dividir dois rolos de arame de 36 metros e 48 metros de comprimento, em partes iguais e de maior tamanho possvel. Qual dever ser o comprimento de cada uma destas partes? Resp: 12 metros 3 - Trs despertadores so ajustados da seguinte maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o segundo de 2 em 2 horas e o terceiro de 5 em 5 horas. Depois da primeira vez em que os trs relgios despertarem ao mesmo tempo, aps quantas horas isto INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO. 55 E-mail: [email protected] www.colegiocascavelense.com.br Cascavel Cear Brasil

voltar a ocorrer? Resp: 30 horas 4 - Converta a velocidade v = 144 km/h em m/s. Resp: 40 m/s

Exerccios de Aritmtica II1 Um carpinteiro deve cortar trs tbuas de madeira com 2,40m; 2,70m e 3m respectivamente, em pedaos iguais e de maior comprimento possvel. Qual deve ser o comprimento de cada parte? SOLUO: Transformando as medidas em centmetros, vem: 240, 270 e 300 cm. Agora, basta calcular o MDC (mximo divisor comum) entre estes nmeros. Teremos, ento: MDC(240,270,300) = 30. Logo, o carpinteiro dever cortar pedaos de madeira de 30 cm de comprimento. 2 Sabe-se que o MDC (mximo divisor comum) de dois nmeros igual a 6eo MMC(mnimo mltiplo comum) desses mesmos nmeros igual a 60. Calcule o produto desses nmeros. SOLUO: Uma propriedade bastante conhecida : Dados dois nmeros inteiros e positivos a e b , vlido que: MMC(a,b) x MDC(a,b) = a x b Da, vem imediatamente que: a x b = MMC(a,b) x MDC(a,b) = 6 x 60 = 360 3 Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 tivessem ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidncias iro ocorrer at o ano 2500? SOLUO: Trata-se de um clssico problema de MMC. MMC(20,30) = 60. Logo: A cada 60 anos haver uma coincidncia de aparies. Portanto elas ocorrero nos anos: (a partir de 1920) 1980, 2040, 2100, 2160, 2220, 2280, 2340, 2400, 2460, 2520, 2580, ... Portanto, at o ano 2500, ocorrero 09 (nove) aparies. 4 Qual o nmero de divisores positivos de 320? SOLUO: INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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Fatorando o nmero 320, vem: 320 = 26 x 51 Portanto, o nmero de divisores de 320 ser igual a: Nd = (6+1) x (1+1) = 7x2 = 14 Nota: o nmero de divisores positivos de am x bn dado pelo produto (m + 1).(n + 1) 5 Quantos divisores positivos o nmero 2000 possui? SOLUO: Fatorando o nmero 2000, vem: 2000 = 24 x 53 Portanto, o nmero de divisores positivos de 2000 ser: Nd = (4+1) x (3+1) = 5 x 4 = 20 divisores. So eles: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 40, 50, 80, 100, 125, 200, 250, 400, 500, 1000 2000, ou seja, 20 divisores positivos. Para saber mais, reveja Nmero de divisores positivos

Nmeros Congruentes1 - Introduo O conceito de nmeros inteiros congruentes devido a Gauss - Karl Friedrick Gauss - fsico, matemtico e astrnomo alemo (17777 1855), um dos estudiosos da Teoria dos Nmeros. A Teoria dos Nmeros estuda as propriedades dos nmeros inteiros, usando mtodos avanados. uma disciplina obrigatria nos cursos regulares de Matemtica, na Universidade. Entre outros precursores dos estudos da Teoria dos Nmeros, podemos citar: Diophantus - 210 d.C. /290 d.C. - matemtico grego Pierre de Fermat - 1601/1665 - matemtico francs Leonhard Euler - 1707/1783 - matemtico suio. Adrien Marie Legendre - 1752/1833 - matemtico francs A Teoria dos Nmeros, entretanto, tem os seus primrdios no mundo antigo. Por exemplo, Erathostenes (276 a.C./194 a.C - matemtico norte africano - nascido em Cyrene, uma colnia grega do norte da frica na poca) e Euclides (325 a.C./265 a.C. - matemtico grego, autor da clebre obra "Os elementos"), j tinham desenvolvidoINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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estudos sobre os nmeros primos, assunto que objeto da ateno especial dos matemticos, at os dias de hoje. 2 - Definio Sejam a e b dois nmeros inteiros. Diremos que o nmero a congruente ao nmero b mdulo m, onde m um nmero inteiro no nulo, se e somente se, a diferena a - b for divisvel por m 0. A congruncia dos nmeros a e b mdulo m, ser indicada pelo smbolo a b (mod m). Teremos, pela definio: a b (mod m) a - b = k . m , onde k e m so nmeros inteiros, com m no nulo. Podemos dizer que os nmeros a e b so cngruos ou congruentes segundo o mdulo m, ou simplesmente congruentes mdulo m. Exemplos: a) 10 2 (mod 4) porque 10 - 2 = 8, e 8 divisvel por 4. b) 35 10 (mod 5) porque 35 - 10 = 25 e 25 divisvel por 5. c) 12 2 (mod 5) porque 12 - 2 = 10 e 10 divisvel por 5. 3 - A congruncia uma relao de equivalncia em Z Vamos inicialmente, revisar o conceito de relao entre conjuntos. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, no vazios. Chama-se Relao F de A em B, a qualquer subconjunto do produto cartesiano AxB. Assim que, por exemplo, sendo A = {2, 3, 5} e B = {5, 7}, teremos AxB = {(2,5), (2,7), (3,5), (3,7), (5,5), (5,7)}. Podemos dizer como exemplo, que: F1 = {(2,5), (2,7), (3,5)} uma relao de A em B F2 = {(2,7), (3,5), (3,7), (5,5)} uma relao de A em B. F3 = {(3,5), (5,5)} uma relao de A em B. Sendo B = A, podemos dizer que qualquer subconjunto de AxA, uma relao de A em A, ou simplesmente, uma relao em A. Uma relao F de A em A, dita uma relao de eqivalncia em A, se satisfaz as seguintes propriedades: Propriedade Reflexiva: Para todo a A, (a, a) F. Propriedade Simtrica: Se (a,b) F ento (b, a) F, para quaisquer aINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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e b A. Propriedade Transitiva: Se (a,b) F e (b, c) F, ento (a, c) F. Exemplo: A relao F = {(2,2), (3,5), (5,2), (3,2), (3,3), (5,5), (2,5), (5,3),(2,3)} uma relao de eqivalncia em A = {2, 3, 5}, pois as trs propriedades acima so satisfeitas, conforme voc pode observar facilmente. Vamos considerar agora uma relao R em Z - conjunto dos nmeros inteiros - assim definida: (x, y) R x y (mod m), onde x y (mod m) significa x congruente a y mdulo m, conforme vimos acima. Podemos verificar que a relao R acima uma relao de eqivalncia em Z, pois so satisfeitas as trs propriedades vistas anteriormente. Vejamos: 1 - REFLEXIVA : para todo a Z, a a (mod m), pois a - a = 0 e 0 divisvel por m, com m no nulo. 2 - SIMTRICA : se a b (mod m) ento a - b = k.m . Ora se a - b divisvel por m, ento b - a tambm ser divisvel por m. 3 - TRANSITIVA : se a b (mod m) e b c (mod m) ento a c (mod m) . Com efeito, a b (mod m) a - b = k.m b c (mod m) b - c = k1.m Somando membro a membro, vem: (a - b) + (b - c) = k.m + k1.m. Logo, simplificando, fica: a - c = (k + k1).m e, sendo k + k1 = k2 tambm um nmero inteiro, conclumos pela transitividade da relao dada. Podemos dizer ento, que a relao de congruncia em Z uma relao de equivalncia. 4 - Uma aplicao prtica da relao de congruncia: os calendrios Vamos considerar, por exemplo, o calendrio do ms de Janeiro do ano 2000: D S T Q Q S S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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1 6 2 3 3 0

0 1 7 2 4 3 1

1 1 8 2 5

2 1 9 2 6

3 2 0 2 7

4 2 1 2 8

5 2 2 2 9

Observe que em cada coluna, esto dispostos nmeros que so congruentes, segundo o mdulo 7. No Na Na Na Na Na No Domingo, esto os nmeros congruentes com 2, mdulo 7. Segunda, esto os nmeros congruentes com 3, mdulo 7. Tera, esto os nmeros congruentes com 4, mdulo 7. Quarta, esto os nmeros congruentes com 5, mdulo 7. Quinta, esto os nmeros congruentes com 6, mdulo 7. Sexta, esto os nmeros congruentes com 7, mdulo 7. Sbado, esto os nmeros congruentes com 1, mdulo 7

Por exemplo, em que dia da semana vai cair o dia 25/01/2000, sem consultar o calendrio acima? Basta procurarmos um nmero congruente com 25, mdulo 7. Dividindo 25 por 7 d 3 e resto 4. Logo, 25 4(mod 7) e como 4 corresponde a uma Tera-feira, conclumos que o dia 25/01/2000 cair numa Tera-feira. Exerccio Resolvido Resolva a seguinte equao de congruncia em Z. Obs.: Z = conjunto dos nmeros inteiros. 5x 4 (mod 3) SOLUO: Teremos: 5x - 4 = 3.k onde k um nmero inteiro. 5x = 3k + 4 x = (3k + 4) / 5, com a condio de 3k + 4 ser mltiplo de 5 e k inteiro. Logo, como os mltiplos de 5 so 0, 5, 10, 15, 20, ... , vem: 3k + 4 = 0 k = -4/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = 5 k = 1/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = -5 k = -3 3k + 4 = 10 k = 2 3k + 4 = -10 k = -14/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = 15 k = 11/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = -15 k = -19/3 (no serve pois k tem de ser inteiro).INVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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3k + 4 = 20 k = 16/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = -20 k = - 8 3k + 4 = 25 k = 7 3k + 4 = -25 k = -29/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = 30 k = 26/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = -30 k = -34/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = 35 k = 31/3 (no serve pois k tem de ser inteiro). 3k + 4 = -35 k = -13 ....................................... ....................................... Observe que os valores de k que satisfazem ao problema, so: k = -3, 2, -8, 7, -13, ... Podemos inferir que: Valores positivos de k: 2, 7, 12, 17, ... Valores negativos de k: -3, -8, -13, -18, ... Ento, as solues da equao dada sero: x = (3k + 4) / 5 k = 2 x = 2 k = 7 x = 5 k = 12 x = 8 k = 17 x = 11 .......................... .......................... k = -3 x = -1 k = -8 x = -4 k = -13 x = -7 .......................... .......................... Os nmeros que satisfazem equao dada, escritos em ordem crescente, so: ... , -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ... Portanto, o conjunto soluo da equao dada o conjunto S = {..., -7, - 4, -1, 2, 5, 8, 11, ... } Observe que S um conjunto infinito. Agora, resolva a seguinte equao de congruncia em Z: x 2(mod 4) Resposta: S = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...}

Proporcionalidade entre grandezasINVISTA EM VOC, ESTUDE NO CC H 15 ANOS FAZENDO EDUCAO NESTE CHO.


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1 - O que uma grandeza? Entende-se por grandeza, como sendo qualquer entidade susceptvel de ser medida. As grandezas classificam-se em dois tipos fundamentais: Grandezas escalares - aquelas que ficam perfeitamente caracterizadas apenas pelo conhecimento de um nmero que expresse a sua medida numa determinada unidade. Exemplos: massa, 20 kg ; volume, 12 m3 ; comprimento, 50 m ; tempo, 60 s, etc. Grandezas vetoriais - aquelas que para ficarem perfeitamente caracterizadas, necessitam alm de um nmero que expresse a sua medida numa determinada unidade (o seu mdulo), que sejam especificados o sentido e a direo. So representadas atravs Vetores. Exemplos: fora, velocidade, acelerao, intensidade de campo eltrico, etc. Nota: no que se segue, poderemos nos referir as grandezas vetoriais, sem levar em conta o seu aspecto vetorial. Explico: ao nos referirmos a uma velocidade (grandeza vetorial) de 80 km/h, por exemplo, no estaremos interessados , na sua direo ou no seu sentido, e sim unicamente no seu mdulo, ou seja 80 km/h. O tratamento vetorial da velocidade, interessaria, se estivssemos dando uma abordagem do ponto de vista da Fsica. Para uma abordagem de proporcionalidade, como nos propomos aqui, no necessitamos de tal enfoque. conveniente ressaltar de passagem, que ao nos referirmos velocidade, por exemplo, estaremos nos referindo sempre velocidade mdia, uma vez que a velocidade instantnea de um mvel no tempo t = t0, teria que ser calculada usando-se Derivadas. 2 - Proporcionalidade direta Sejam G1 e G2, duas grandezas dependentes das variveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo: G1 X1 X2 X3 X4 ... ... Xn Wn

G2 W1 W2 W3 W4

Dizemos que G1 e G2 esto em proporo direta quando,



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Onde k denominado constante de proporcionalidade. Das igualdades acima, podemos inferir que genericamente, teremos X / W = k, de onde vem, X = k . W, sendo k a constante de proporcionalidade. Dizemos ento, que a varivel X diretamente proporcional varivel W, segundo a constante k. NOTA: se Y diretamente proporcional a X, indicamos simbolicament

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