Departamento de Estudos Básicos e...
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5 – OscilaçõesFísica II
Prof. Roberto Claudino Ferreira
1
Universidade Estadual do
Sudoeste da Bahia
Departamento de Estudos Básicos e Instrumentais
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2
ÍNDICE
1. Algumas Oscilações;
2. Movimento Harmônico Simples (MHS);
3. Pendulo Simples;
4. Velocidade MHS;
5. Aceleração MHS;
6. Energia MHS;
7. MHS amortecido;
8. Oscilações Forçadas e Ressonância.
Prof. Roberto Claudino
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3
OBJETIVO GERAL
Alcançar um entendimento das leis,
princípios, grandezas e unidades de
medidas que envolvem o estudo da
oscilações, assim como suas aplicações
práticas, através de abordagens
conceituais, históricas e demonstrações
matemáticas.
Prof. Roberto Claudino
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4
O que é Oscilação
Efeito exprimível como uma quantidade
que repetidamente e regularmente flutua acima
e abaixo de algum valor médio.
Prof. Roberto Claudino
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5
Algumas Oscilações
Prof. Roberto Claudino
Ondas.
Ondas de superfície.
O Pêndulo.
As principais formas de oscilação podem ser reduzidas
a sistemas do tipo.
Massa - Mola.
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Generalidade das Oscilações
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7
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Prof. Roberto Claudino
A
BC
h
As oscilações de um corpo se
caracterizam pelo período que apresentam e
pela amplitude que alcançam.
É possível explicar o
(MHS) fazendo uma
analogia com o sistema
de pendulo simples.
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8
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Prof. Roberto Claudino
A
BC
h
O seu valor também pode ser medido
pela frequência (f), conhecendo o número
de oscilações por unidade de tempo
O período (T)
corresponde ao intervalo
de tempo de uma
oscilação completa
(vaivém).
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9
Movimento Harmônico Simples (MHS)
Prof. Roberto Claudino
O período (T) tem unidade de medida no SI emsegundos (s). E a frequência (f) em hertz, ondeT = 1/f.
)cos()( txtx m
Deslocamento
Amplitude
Frequência Angular
tempo
Ângulo de Fase
f 2
(1)
(2)
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Movimento do Pêndulo Simples
cteEEE MCMBMA
max
0
0
P
C
C
E
E
v
max
0
0
P
C
B
E
E
v
A A
B
A
BC
h
Num sistema conservativo, a energia
mecânica total permanece constante.
0
max
max
P
C
E
E
v
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11
Analogia: Pendulo e Oscilador
Massa - Mola
Prof. Roberto Claudino
O movimento executado pelo pêndulo
simples é semelhante ao do sistema
massa-mola.
0 0
0 0
0 0
0 0
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12
Velocidade do MHS
Derivando (1) obtemos a expressão da
velocidade de uma partícula em movimento harmônico
simples.
(3)
Velocidade (4)
Prof. Roberto Claudino
)]cos([)(
)( txdt
d
dt
tdxtv m
)()( tsenxtv m
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13
Aceleração do MHS
Derivando (4) obtemos a expressão da
aceleração de uma partícula em movimento harmônico
simples.
(5)
Aceleração (6)
Combinando (1) com (6), temos:
(7)
Prof. Roberto Claudino
)]([)(
)( tsenxdt
d
dt
tdvta m
)cos(²)( txta m
)(²)( txta
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14
A lei do MHS
Conhecendo como a aceleração de uma
partícula varia com o tempo, podemos substituí-la na
2ª lei de Newton:
(8)
(9)
(10)
A equação (10) é uma força restauradora proporcional
ao deslocamento, (Que é a Lei de Hooke).
(11)
(12)Prof. Roberto Claudino
xmF
xmF
maF
)(
)(
2
2
2mk
kxF
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15
A lei do MHS
A equação (10) pode ser uma definição alternativa
para o MHS:
O (MHS), é um movimento executado por uma
força proporcional ao deslocamento da partícula e de
sinal oposto.
Isolando a frequência angular em (12):
(13)
1º Problema: Mostre que: Combinando (13) com a
frequência, encontramos o período do oscilador linear:
(14)
Prof. Roberto Claudino
m
k
k
mT 2
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16
2º Problema: Um bloco cuja massa m é 680gestá preso a uma mola cuja constante elástica ké 65 N/m. O bloco é puxado sobre uma superfíciesem atrito por uma distância x = 11cm a partir daposição de equilíbrio em x = 0 e liberado a partirdo repouso no instante t = 0. (a) Quais são afrequência angular, a frequência e o período domovimento resultante?(b) Qual a amplitude das oscilações?(c) Qual a velocidade máxima (vm) do bloco eonde se encontra o bloco quando tem essavelocidade?(d) Qual o módulo (am) da aceleração máxima dobloco?
Prof. Roberto Claudino
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17
A Energia do MHS
Energia Potencial: (15)
Substituindo (1) em (15):
(16)
Energia Cinética: (17)
Substituindo (4) em (16):
(18)
Prof. Roberto Claudino
²2
1)( kxtU
²2
1)( mvtk
)²(cos2
1²
2
1)( 2 tkxkxtU m
)²(2
1²
2
1)( 22 tsenxmmvtK m
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18
A Energia do MHS
Substituindo (13) em (18):
(19)
Energia Mecânica é dado por: E = K + U, substituindo
(16) e (19), temos:
(20)
(21)
(22)Prof. Roberto Claudino
)(2
1)(cos
2
1 2222 senkxkxE mm
)²(2
1)( 2 tsenmx
m
ktK m
)]()([cos2
1 222 senkxE m
2
2
1mkxE
1
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Pendulo Simples
Prof. Roberto Claudino
T
P
mgP
Eixo horizontalDo movimento
F
S
L
P
x
FP
F
S
Como θ é muito Pequeno h = L
L
xgmF
Sendo: amF
L
xgmam
L
xga
L
g
x
a
2T
g
LT 2
L
gT
2
xa 2 (7)x
a
(22)
Período do Pêndulo Simples
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20
MHS Amortecido
Prof. Roberto Claudino
Ocorre quando uma força externa reduz seu
movimento. Ex: Um pendulo tende a perder seu
movimento com o passar do tempo, devido aos
efeitos da força de atrito do ar que “rouba”
energia do pendulo.
Para um sistema massa mola com uma força
amortecedora, como o atrito com a água, temos:
b = Constante de amortecimento.
v = velocidade do bloco.
bvFa Força de amortecimento
KxFm Força exercida pela mola no bloco
(23)
(24)
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21
MHS AmortecidoA força resultante no sistema fica:
Substituindo (v) e (a) por suas derivadas:
A solução desta equação fica:
Onde ω’ é a frequência angular que é dada por:
Se b=0 eq.(27) se torna eq. (1).
A energia
makxbv
)cos()( '2/ textx mbt
m
(25)
(26)0²
² kx
dt
dxb
dt
xdm
(27)
²4
²'
m
b
m
k (28)
mbt
mekxtE /2
21)( (29)
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22
3º Problema: Para um oscilador amortecido
composto de um sistema massa mola fixado num
teto e amortecido por uma palheta que fixada no
bloco, mergulha em um recipiente de água a qual
causa resistência ao movimento. Sendo m =
250g, k = 85 N/m e b = 70 g/s.
(a) Qual o período do movimento?
(b) Qual é o tempo necessário para que a
amplitude das oscilações amortecidas se reduza
à metade do valor inicial?
(c) Quanto tempo é necessário para que a
energia mecânica se reduza à metade do valor
inicial?Prof. Roberto Claudino
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23
Oscilações Forçadas e Ressonância
Prof. Roberto Claudino
Ocorre quando uma força externa aumenta seu
movimento. Ex: Uma criança no balanço sem que
ninguém o empurre, constitui uma oscilação livre.
Porém se alguém o empurra temos uma
oscilação forçada.
A ressonância ocorre quando a frequência
angular natural (ω) coincide com a frequência
angular da força externa (ωe). (ω=ωe). Dando
valores máximos para a velocidade e a
amplitude.
Efeitos da ressonância.
)cos()( txtx em (29)
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Efeito do vento na estrutura de uma ponte incorretamente projetada.
Ponte de Tacoma (1940)
Simulação computacional do efeito dovento na estrutura de uma ponte.
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Resumo das
equações