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Difração de ElétronsRelatório, 09 de maio de 2008

Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

Difração de Elétrons

• Em torno do século XX, o modeloclássico da física divergia emresposta de diversos experimentos.Alguns novos modelos forampropostos que remendavam estemodelo clássico.

• Um dos modelos foi a proposta deLouis de Broglie, sobre a existênciade ondas de matéria.


Três anos após esta proposta, dois experimentos distintos confirmaram esta nova modelagem utilizando a difração

(efeito usualmente observado em ondas) de elétrons.

George Paget Thomson, na Universidade de Aberdeen, observou a passagem de um feixe de elétrons por uma fina camada de metal e observou o fenômeno proposto, medindo o

comprimento de onda efetivo.

Nos laboratórios da Bell, Clinton Joseph Davisson e Lester Halbert Germer guiaram um feixe de elétrons, incidindo sobre uma

estrutura cristalina (periódica) e observaram o mesmo fenômeno.

Comprimento de

onda associada a

um elétron

O modelo de de Broglie propõeassociarmos a qualquer partículauma onda, cujo comprimento deonda e energia estão bemdefinidos.


• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação

.p

h

h: constante de Planck.

p: momento.• Com isto, podemos modelar a

seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.


• De Broglie propôs como partidapara as novas teorias a asserção,para uma dada partículaqualquer, a relação

.p

h

h: constante de Planck.

p: momento.• Com isto, podemos modelar a

seguinte situação de forma bemsimples: imagine um feixe deelétrons que incide sobre ummaterial.

d A

B

C


A B

d

• Chamamos a distância d dedistância entre planos de incidência,sobre os quais o elétron realizará adifração.

• Este é um fator que necessitaremosde dados previamente calculadospor outras técnicas.

• As ilustrações anteriores nosfornecem como solução final,utilizando como argumento adiferença de caminho óptico (termoemprestado da óptica geométrica),

nd )sin(2

• Esta equação assemelha-seaos máximos associados aopadrão de difração. Ocomprimento de ondaassociada ao elétron pode,portanto, ser calculada apartir da difração de elétronsem uma rede cristalina.


• O que no entanto realmenteocorre está esquematizadoacima. Podemos, portanto,aproximar a relação acima,conhecida como Equação deBragg, apenas como

.l

rd

• Isto significa que, utilizando estaaproximação, podemos calcular ocomprimento de onda associadaao elétron.

• Parte de nossa experiência seráutilizar o padrão de difração pararealizar este cálculo.


• Suponha agora que um cátodoincandescente emite elétrons e osacelera com a ação de um potencialV. Sem nos preocupar com muitosdetalhes, podemos calcular avelocidade a partir da conservaçãode energia

.2

m

eVv

• Utilizando a proposta de de Broglie,conhecemos o comprimento de ondaassociada a esses elétrons,

.2meVh

• Conhecendo o comprimento deonda de um elétron, podemos entãocalcular a constante de Planck,

.2meV

h

• Podemos então obter a constante dePlanck de 2 formas parecidas: umadelas é calculando diversoscomprimentos de onda, para diferentespotenciais de aceleração, e calculando amedia das constantes de Planckcalculadas com cada particular valor;outra forma é utilizar um gráfico querelacione contra o inverso da raizquadrada do produto 2meV.

A difração de elétrons

e a constante de

Planck

Segundo nosso modelo, podemospropor um procedimento queresultará não apenas na mediçãodo comprimento de ondaassociada ao elétron, comotambém o valor da constante dePlanck.

O procedimento

• Sabemos o que calcular e o que devemos medir.Nos falta um procedimento, isto é, comomedir.

• O padrão de difração assemelha-semuito à figura abaixo. Esta figura trazconsigo detalhes que serão importantespara nossa modelagem e criação denosso procedimento para realizar asmedidas.

• Note que a resolução do feixe não émuito pequeno. Notamos que a largurado feixe observado pode chegar adiferir de 0.5cm, medida estarelevante para nosso experimento.

• Com base nisto, bolamos o seguinteprocedimento de medida: para cadatensão de aceleração, era possívelobservar duas circunferências distintas.Anotamos então o diâmetro de cadauma das duas circunferências,utilizando três métodos distintos.

• O raio das circunferênciasobservadas são os padrões dedifração. Cada circunferênciaretrata um plano de reflexãodistinto. Deveremos marcar,portanto, o raio de cada umadas circunferências que forempassíveis de leitura.

O procedimento

• Primeiro Passo: medimos o raiomais interno, fechando o paquímetrototalmente e o reabrindo até tocar,internamente, a circunferência.

1d

O procedimento

Primeiro Passo: medimos o raiomais interno, fechando o paquímetrototalmente e o reabrindo até tocar,internamente, a circunferência.

2d Segundo Passo: medimos o raiomais externo, abrindo o paquímetro atéultrapassar a circunferência e, emseguida, o fechando até tocar,externamente, a circunferência.

O procedimento

Primeiro Passo: medimos o raiomais interno, fechando o paquímetrototalmente e o reabrindo até tocar,internamente, a circunferência.

3d Segundo Passo: medimos o raiomais externo, abrindo o paquímetro atéultrapassar a circunferência e, emseguida, o fechando até tocar,externamente, a circunferência.

Terceiro Passo: medimos o raiomédio, entre o raio interno e o raioexterno, utilizando apenas o bom sensocomo discriminação.

O procedimento

• O procedimento descrito no slide anterior érepetido para cada um dos valores do potencialde aceleração.

• O paquímetro que utilizamos nos forneciaprecisão de ± 0.01 mm.

• Variamos o potencial partindo de 2.50kV,com passo de 0.50kV, até 9.50kV.

• Foi possível verificar duascircunferências diferentes, às quaisidentificaremos como circunferênciamenor e circunferência maior.

• Infelizmente, outras ordens eramobservadas apenas em altos valores dopotencial de aceleração (~8.00 ±0.05kV), o que é uma sugestão desimplesmente ignorá-los para todo oexperimento.

• Apresentaremos a seguir os resultados.

Potencial(kV, ± 0.01)

DiâmetroExterno

(mm, ± 0.01)

DiâmetroInterno

(mm, ± 0.01)

Diâmetromédio

(mm, ± 0.01)

Raio(mm, ± 0.01)

Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)

2.49 31.1 31.05 30.45 15.43 2.59

2.99 25 27.35 31 13.89 2.33

3.48 21.3 25 28 12.38 2.08

4.00 19 23.05 26.7 11.46 1.92

4.49 19.65 21.05 26.5 11.20 1.88

5.01 18.7 21.35 24.05 10.68 1.79

5.50 16.5 20.35 21.6 9.74 1.63

6.00 16.85 19.4 21.6 9.64 1.62

6.47 17 19 20 9.33 1.57

7.03 15.75 17.3 19.6 8.78 1.47

7.52 15.05 17 18.8 8.47 1.42

8.01 15.8 16.35 18.3 8.40 1.41

8.50 14.1 14.8 17 7.65 1.28

9.01 15.2 17 -- 8.05 1.35

9.50 14.85 15.55 16.35 7.79 1.31

Circunferência menor

• Os valores anteriores mostram como devem ser oscomprimentos de onda para o elétron. Notemos que aordem de grandeza de nossas medidas é

.10 111 m

• Este valor está dentro do valor esperado, mas ainda nãotem muito significado para nós.

• Podemos agora medir o valor da constante de Planck h,cujo valor é fornecido pelo CODATA com grandeprecisão. Para isto, utilizamos a relação

.2meVh


Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)

h(E-34 Js)

Erro(E-34 Js)

Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)

h(E-34 Js)

Erro(E-34 Js)

2.59 6.97 1.62 1.57 6.79 2.60

2.33 6.87 1.77 1.47 6.66 2.71

2.08 6.61 1.91 1.42 6.65 2.81

1.92 6.56 2.05 1.41 6.81 2.90

1.88 6.79 2.17 1.28 6.38 2.99

1.79 6.84 2.29 1.35 6.92 3.07

1.63 6.54 2.40 1.31 6.87 3.16

1.62 6.76 2.51


• Assim, podemos calcular amédia das constantes dePlanck, obtendo comoresultado

.10)2.085.6( 34 Jsh p

• Ao lado, vemos ocomportamento dos dadosmodelados em um gráfico.

• Ao relacionarmos com oinverso do quadrado dopotencial, o esperado é umareta cujo coeficiente angular édiretamente proporcional a h.

2.0x1022

2.5x1022

3.0x1022

3.5x1022

4.0x1022

1.2x10-11

1.4x10-11

1.6x10-11

1.8x10-11

2.0x10-11

2.2x10-11

2.4x10-11

2.6x10-11


Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV)1/2

)

Medidas obtidas para acircunferência de menor diâmetro.

Melhor reta fitada:

(6.9 ± 0.2)10-34

Js * x - (6 ± 5)10-13

Co

mp

rim

en

to d

e o

nd

a d

o e

létr

on

(m

)

Potencial(kV, ± 0.01)

DiâmetroExterno

(cm, ± 0.01)

DiâmetroInterno

(cm, ± 0.01)

Diâmetromédio

(mm, ± 0.01)

Raio(mm, ± 0.01)

Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)

2.49 5.11 5.24 5.16 25.85 2.50

2.99 4.59 4.89 5.25 24.55 2.38

3.48 4.36 4.60 4.80 22.91 2.22

4.00 3.72 4.43 4.20 20.58 1.99

4.49 3.65 4.00 4.22 19.78 1.92

5.01 3.54 3.85 4.11 19.15 1.85

5.50 3.46 3.62 3.83 18.17 1.76

6.00 3.25 3.50 3.80 17.57 1.70

6.47 3.00 3.40 3.60 16.67 1.61

7.03 2.86 3.17 3.40 15.70 1.52

7.52 2.81 3.07 3.26 15.22 1.47

8.01 2.86 2.94 3.16 14.92 1.44

8.50 2.70 2.90 3.00 14.33 1.39

9.01 2.69 2.60 3.10 13.98 1.35

9.50 2.60 2.80 2.85 13.76 1.33

Circunferência maior

• Temos mais novos dados sobre os comprimentos deonda do elétron, cuja ordem de grandeza concorda com oexperimento anterior,

.10 112 m

• Este valor, teoricamente, deveria manter-se o mesmo.Podemos notar que a discrepância entre estes doisvalores obtidos é de

.10)02.0( 11m

• Digamos de passagem que esta é uma discrepânciausualmente chamada de insignificante.


Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)

h(E-34 Js)

Erro(E-34 Js)

Comp. Onda(E-11 m, ± 0.06)

h(E-34 Js)

Erro(E-34 Js)

2.50 6.97 1.62 1.57 6.79 1.61

2.38 6.87 1.77 1.47 6.66 1.52

2.22 6.61 1.91 1.42 6.65 1.47

1.99 6.56 2.05 1.41 6.81 1.44

1.92 6.79 2.17 1.28 6.38 1.39

1.85 6.84 2.29 1.35 6.92 1.35

1.76 6.54 2.40 1.31 6.87 1.33

1.70 6.76 2.51


• Assim, podemos calcular amédia das constantes dePlanck, obtendo comoresultado

.10)02.064.6( 34 Jshg

• Ao lado, vemos o (bom)comportamento dos dadosmodelados em um gráfico.

• Ao relacionarmos com oinverso do quadrado dopotencial, o esperado é umareta cujo coeficiente angular édiretamente proporcional a h.

2.0x1022

2.5x1022

3.0x1022

3.5x1022

4.0x1022

1.2x10-11

1.4x10-11

1.6x10-11

1.8x10-11

2.0x10-11

2.2x10-11

2.4x10-11

2.6x10-11


Medidas obtidas para acircunferência de maior diâmetro.

Melhor reta fitada:

(6.55 ± 0.07)10-34

Js * x + (9 ± 2)10-13C

om

pri

me

nto

de

on

da

do

elé

tro

n (

m)

Prop. ao inverso da raiz quadrada do potencial (1/(2meV)1/2

)

Correção relativística

• Sabendo o potencial a que esta submetido umelétron, sua velocidade deverá ser

• Sem muito rigor, vamos propor a seguinte correção namassa eletrônica:

.2

1)(1

)(

2

0

0

2

0

cm

eV

m

c

Vv

mVm

.2

)(0m

eVVv

Correção relativística

• Infelizmente, ao propor esta correção não háqualquer modificação nos cálculos.

• Primeiramente, podemos argumentar que os potenciais nãosão suficientemente grandes para que diferenças sejam defato notórias.

• Também podemos lembrar que esta correção, segundo amodelagem relativística usual, não é correta: a massa seriauma função da velocidade, que é função do potencial. Dada avelocidade inicial, teríamos a aceleração destes elétrons e,então, a colisão nos planos cristalinos. Isto exigiria, paracorreções de maior ordem, a relatividade geral, o que não estádentro do escopo do estudo.

Conclusão e palavras

finais

Apresentaremos a seguir nossasconclusões e as referências queutilizamos para efetuas oscálculos e raciocínios.

Conclusão

• A constante de planck foideterminada pelo CODATA com ovalor

• Nesta experiência, utilizamosa difração de Bragg para obtero comprimento de onda,segundo De Broglie, doselétrons. Com o comprimentode onda, calculamos o valorda constante de Planck comerro relativo de 2%.

• Para realizar as medidas,propusemos uma modelagemsegura para a medida do raiode circunferências espessas.

• Utilizamos o programaOrigin para montar osgráficos.

.)10(626068.6 34 Jsh

• Nós obtemos o valor, dados osexperimentos realizados comodescrito acima,

.10)08.074.6( 34 Jsh

• Este valor indica um erro relativo aovalor esperado de 2%.

Obrigado pela atenção

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