divisão de polinomios

1

Integração de funções racionais.

Sejam 0,)( 01

22

11 ≠+++++= −

− mm

mm

mm aaxaxaxaxaxP L

e 0,)( 01

22

11 ≠+++++= −

− nn

nn

nn bbxbxbxbxbxQ L

polinómios de variável real com coeficientes reais. Definição. Função racional é qualquer função )(xf representável por um quociente de

dois polinomios, isto é, )(

)()(

xQ

xPxf

n

m= .

Consideramos, sem restringir a generalidade, que estes polinómios não têm raizes comuns.

Se a ordem do polinómio ao numerador e inferior ao do denominador, nm< ,

diz-se que a função racional )(

)()(

xQ

xPxf

n

m= é regular.

Se a ordem do polinómio ao numerador e superior ou igual ao do denominador,

nm≥ , diz-se que a função racional )(

)()(

xQ

xPxf

n

m= é irregular.

Exemplos de funções racionais:

14

2734)(

3

245

+−−+−=

xx

xxxxf função racional irregular.

13

2)(

35

235

+−++−=

xxx

xxxxf função racional irregular.

1

23)(

24

23

+−−+=

xx

xxxf função racional regular.

14

3)(

3 +−=

xxxf função racional regular.

Se a função racional )(

)()(

xQ

xPxf

n

m= é irregular, dividindo o polinómio do

numerador pelo polinómio do denominador (segundo a regra de divisão dos polinómios) podemos representar a função inicial (irregular) como soma de um polinómio e uma função regular:

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxQ

xQ

xP

nn

m += ,

2

em que )(xQ é um polinómio e representa o quociente da divisão do polinómio do

numerador pelo polinómio do denominador e )(

)(

xQ

xR

n

uma fracção regular onde )(xR

é o resto da divisão.

Regra de divisão dos polinómios.

Para dividir o polinómio do numerador pelo polinómio do denominador aplicamos um algoritmo semelhante ao algoritmo da divisão utilisado na aritmética: Denotamos: Dividendo: 0,)( 01

22

11 ≠+++++= −

− mm

mm

mm aaxaxaxaxaxP L .

Divisor: 0,)( 012

21

1 ≠+++++= −− n

nn

nnn bbxbxbxbxbxQ L .

Quociente: )(xQ . Resto da divisão: )(xR . Passo 1. Esrevemos os polinómios )(xPm e )(xQn na ordem decrescente dos

expoentes dos seus termos e complectamo-los com os termos de coeficientes zero. Passo 2. Dividimos o termo de maior grau do dividendo )(xPm pelo termo de maior

grau do divisor )(xQn . Obtêm-se, desta forma, o primeiro termo do quociente )(xQ .

A seguir, multiplicamos o termo obtido pelo divisor e subtraímos o produto obtido do dividendo.

Caso o polinómio que representa a diferença obtida tenha grau maior ou igual ao do divisor, ele passa a ser um novo dividendo e repete-se o algoritmo a partir do 2º passo.

Caso o polinómio que representa a diferença obtida tenha grau inferior ao do divisor ele representa o resto )(xR e portanto obtemos a representação

)(

)()(

)(

)(

xQ

xRxQ

xQ

xP

nn

m += .

Exemplos de divisão de polinómios:

Exemplo 1. Sejam 2734)( 245

5 −+−= xxxxP e 14)( 33 +−= xxxQ .

Passo 1.

207034)( 23455 −⋅++⋅+−= xxxxxxP e 140)( 23

3 +−⋅+= xxxxQ .

Passo 2.

2

23

________________________________________________234

2345

2345

4

140

203163

41604

207034

x

xxx

xxxx

xxxx

xxxxx +−⋅+

−⋅+++−

+−⋅+

−⋅++⋅+−−

3

► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau maior ao do divisor e repetimos o passo 2. Repetição do Passo 2.

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

34

140

23916

31203

203163

41604

207034

2

23

_____________________________________________23

234

________________________________________________234

2345

2345

−+−⋅+

−+−+

−+⋅−−

−⋅+++−

+−⋅+

−⋅++⋅+−

−

−

► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau igual ao do divisor e repetimos o passo 2. Repetição do Passo 2.

1634

140

18879

1684016

23916

31203

203163

41604

207034

2

23

______________________________________________2

23

_____________________________________________23

234

________________________________________________234

2345

2345

+−+−⋅+

−+−

+−⋅+

−+−

−+⋅−−

−⋅+++−

+−⋅+

−⋅++⋅+−

−

−

−

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxxx

► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau inferior ao do divisor e portanto temos:

18879)( 2 −+= xxxR , 1634)( 2 +−= xxxQ e

14

188791634

14

188791634

14

27343

22

3

22

3

245

+−+−−+−=

+−−+−++−=

+−−+−

xx

xxxx

xx

xxxx

xx

xxx

Exemplo 2. Sejam 3)( 4

4 −= xxP e 1)( 22 += xxQ .

Passo 1.

3000)( 2344 −⋅+⋅+⋅+= xxxxxP e 10)( 2

2 +⋅+= xxxQ .

4

Passo 2.

2

2

________________________________________________2

234

234

10

30

0

3000

x

xx

xx

xxx

xxxx +⋅+

−⋅+−

+⋅+

−⋅+⋅+⋅+−

► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau igual ao do divisor e repetimos o passo 2. Passo 2.

1

10

2

10

30

0

3000

2

2

_________________________________________

2

________________________________________________2

234

234

−+⋅+

−

−⋅+−

−⋅+−

+⋅+

−⋅+⋅+⋅+

−

−

x

xx

xx

xx

xxx

xxxx

► O polinómio que representa a diferença obtida tem grau inferior ao do divisor e portanto temos:

2)( −=xR , 1)( 2 −= xxQ e

1

21

1

21

1

32

2

2

2

2

4

+−−=

+−+−=

+−

xx

xx

x

x.

Por conseguinte a integração de uma função racional irregular reduz-se a

integração de um polinómio e uma função racional regular. Como a integração de um polinómio não representa dificuldades o trabalho consiste em integrar as funções racionais regulares.

Decomposição das funções racionais regulares em fracções elementares.

Na álgebra demonstram-se : Teorema 1. Qualquer polinómio, cujos coeficientes são números reais, pode ser representado na forma

stss

tkrk

rrn qxpxqxpxxxxAxQ )...()()...()()()( 21

1122

21

1 ++++−−−= ααα . (1) onde: a) kααα ,...,, 21 são as raizes reais, respectivamente, de multiplicidades krrr ,...,, 21 do

polinómio )(xQn ;

5

b) Os polinómios quadraticos sjqxpx jj ,,1,2L=++ , não têm raizes reais e na

factorização de )(xQn têm, respectivamente, as multiplicidades sjt j ,,1, L= ;

c) nttrreNttrrRqpqp skskss =+++++∈∈ 2...2...,...,,,...,,,,...,, 111111 ;

A expressão (4) diz-se decomposição do polinómio )(xQn em factores do

primeiro ou segundo grau .

Teorema 2. Se a função racional )(

)(

xQ

xR

n

é regular e o polinómio )(xQn é na forma (1)

e verifica as condições a), b) e c), então a função pode ser representada num modo unívoco na forma

+−

++−

++−

++−

++−

++−

=kr

kr

kir

i

ir

ir

r

n x

C

x

C

x

B

x

B

x

A

x

A

xQ

xR

)(......

)(......

)(...

)(

)( 11

11

1

1

1

αααααα

s

ss

tss

tt

sst

tt

qxpx

VxU

qpx

VxU

qxpx

NxM

qxpx

NxM

)(......

)(...

22

11

112

112

11

1

11

++

+++

+++

++++

+++

+++

+ ; (2)

com Rxqxpx jj ∈∀≠++ ,02 e RqpqpVUNMBA issstst

∈α,,,...,,,,,...,,,...,,..., 111111

para todos sjki ,...,2,1;,...,2,1 == .

A expressão (2) representa o desenvolvimento de uma função racional regular

)(

)(

xQ

xR

n

em fracções elementares e tem significado para todos kix i ,,1, L=≠ α .

Os coeficientes st

VAA ,...,, 21 calculam-se aplicando o método dos coeficientes

indeterminados.

Nota: ► Se ix α= é uma raiz real de multiplicidade um do polinómio )(xQn da função

racional regular )(

)(

xQ

xR

n

então a essa raiz no desenvolvimento da função em fracções

elementares corresponde a fracção elementar ix

A

α−.

► Se ix α= é uma raiz real de multiplicidade 1>ir do polinómio )(xQn da função

racional regular )(

)(

xQ

xR

n

então a essa raiz no desenvolvimento da função em fracções

elementares corresponde a seguinte soma de ir fracções elementares:

6

444444 3444444 21termosirdesoma

iri

ir

ii x

A

x

A

x

A

)(...

)( 221

ααα −++

−+

−.

► Se o polinómio quadratico jj qxpx ++2 , não têm raizes reais e na factorização

de )(xQn têm a multiplicidade 1 então a esse polinómio quadratico no

desenvolvimento da função em fracções elementares corresponde a fracção elementar

qxpx

BAx

j +++

2.

► Se o polinómio quadratico jj qxpx ++2 , não têm raizes reais e na factorização

de )(xQn têm a multiplicidade it então a esse polinómio quadratico no

desenvolvimento da função em fracções elementares corresponde a seguinte soma de

it fracções elementares:

( ) ( )44444444444 344444444444 21

LL

termositdesoma

it

j

itit

jj qxpx

BxA

qxpx

BxA

qxpx

BxA

++

+++

++

++

++

+222

222

11.

Exemplos de decomposição das funções racionais regulares em fracções

elementares.

Exemplo 3. ( )( )3

2

21

33)(

+−+−=

xx

xxxf .

A função é regular e o polinómio do denominador é representado em produto de

factores de primeiro grau: o factor 1−x tem a multiplicidade 1 e o factor 2+x tem a multiplicidade 3. Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares ao

factor 1−x corresponde a fracção elementar 1−x

A e ao factor 2+x corresponde a

soma de três fracções elementares ( ) ( )3

32

21

222 ++

++

+ x

B

x

B

x

B.

Portanto

( )( ) ( ) ( )33

221

3

2

222121

33)(

++

++

++

−=

+−+−=

x

B

x

B

x

B

x

A

xx

xxxf .

Os coeficientes 321 ,,, BBBA calculam-se aplicando o método dos

coeficientes indeterminados.

7

Exemplo 4. ( )( )22

23

11

124)(

++

−−+=xx

xxxxf .

A função é regular e o polinómio do denominador é o produto do factor de primeiro grau 1+x de multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 12 +x de multiplicidade 2. Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares ao

factor 1+x corresponde a fracção elementar 1+x

A e ao factor 12 +x corresponde a

soma de duas fracções elementares ( )22

222

11

11 +

++

++

x

CxB

x

CxB.

Portanto

( )( ) ( )22

222

1122

23

11111

124)(

+

++

++

++

=++

−−+=x

CxB

x

CxB

x

A

xx

xxxxf .

Os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA calculam-se aplicando o método dos

coeficientes indeterminados.

Exemplo 5. ( ) ( ) ( )5411

12)(

2222

23

++++

−+=xxxx

xxxf .

A função é regular e o polinómio do denominador é o produto de 3 factores: do factor de primeiro grau 1+x de multiplicidade 2; do factor de segundo grau sem raizes reais 12 +x de multiplicidade 2; do factor de segundo grau sem raizes reais 542 ++ xx de multiplicidade 1; Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares temos:

ao factor 1+x corresponde a soma de duas fracções elementares ( )2

21

11 ++

+ x

A

x

A;

ao factor 12 +x corresponde a soma de duas fracções elementares

( )22

222

11

11 +

++

++

x

CxB

x

CxB;

ao factor 542 ++ xx corresponde a fracção elementar 542 ++

+xx

EDx

Portanto

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5411115411

12222

222

112

21

2222

23

++++

+

++

++

++

++

=++++

−+xx

EDx

x

CxB

x

CxB

x

A

x

A

xxxx

xx.

Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando o

método dos coeficientes indeterminados.

8

Exemplo 6. ( ) ( )94)(

222 ++=

xx

xxf .

A função é regular e o polinómio do denominador é o produto de 2 factores: do factor de segundo grau sem raizes reais 42 +x de multiplicidade 2; do factor de segundo grau sem raizes reais 92 +x de multiplicidade 1; Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares temos: ao factor 42 +x corresponde a soma de duas fracções elementares

( )22

222

11

44 +

++

++

x

CxB

x

CxB;

ao factor 92 +x corresponde a fracção elementar 92 +

+x

ExD.

Portanto

( ) ( ) ( ) 94494)(

222

222

11

222 ++

++

++

++

=++

=x

ExD

x

CxB

x

CxB

xx

xxf .

Os coeficientes EDCBCBAA ,,,,,,, 221121 calculam-se aplicando o

método dos coeficientes indeterminados.

Método dos coeficientes indeterminados.

Passo 1. Multiplicamos ambas partes da expressão (2) por )(xQn e fazemos as

operações de multiplicação e redução na parte direita obtendo uma igualdade entre dois polinómios; Passo 2. Igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau de x e obtemos um sistema de equações lineares com as incognitas

stVAA ,...,, 21 ,

Passo 3. Resolvendo o sistema obtemos os valores dos coeficientes

stVAA ,...,, 21 .

Exemplos de aplicação do método dos coeficientes indeterminados.

Exemplo 7. Desenvolver a função racional regular xxx

xxf

44

128)(

35

3

++−= em

fracções elementares. Resolução:

A função xxx

xxf

44

128)(

35

3

++−= é regular.

9

Representemos o denominador em produto de factores de primeiro ou segundo grau.

( ) ( )( ) ( )222222435 2444444 +=++=++=++ xxxxxxxxxxx .

Portanto ( ) 22

3

35

3

2

128

44

128)(

+

−=++

−=xx

x

xxx

xxf .

O polinómio do denominador é o produto do factor de primeiro grau x de

multiplicidade 1 com o factor de segundo grau sem raizes reais 22 +x de multiplicidade 2.

Portanto na decomposição dessa função em fracções elementares ao factor x

corresponde a fracção elementar x

A e ao factor 22 +x corresponde a soma de duas

fracções elementares ( )22

222

11

22 +

++

++

x

CxB

x

CxB, isto é,

( ) ( )22

222

1122

3

35

3

222

128

44

128)(

+

++

++

+=+

−=++

−=x

CxB

x

CxB

x

A

xx

x

xxx

xxf

Na continuação aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para calcular os coeficientes 2211 ,,,, CBCBA

Multiplicando as partes da expressão ( ) ( )22

222

1122

3

222

128

+

++

++

+=+

−

x

CxB

x

CxB

x

A

xx

x por

22 )2( +xx obtemos:

( ) ( ) ⇒++

+++

++

++=++

− 22

22

2222

2112222

22

3

)2(2

)2(2

)2()2(2

128xx

x

CxBxx

x

CxBxx

x

Axx

xx

x

( ) ( ) ⇒⋅+++⋅⋅+++=− xCxBxxCxBxAx 22

211

223 )2()2(128

( ) ( ) ⇒+++⋅++++=− xCxBxxCxBxxAx 22

23

11243 )2()44(128

( ) ( ) ⇒++++++++=− xCxBxCxCxBxBxxAx 2

221

31

21

41

243 22)44(128

AxCCxBBAxCxBAx 4)2()24()(128 212

213

14

13 ++++++++=− .

Igualando os coeficientes de 01234 ,,,, xxxxx obtemos o sistema:

10

−==+=++==+

124

02

024

8

0

21

21

1

1

A

CC

BBA

C

BA

Da quinta equação do sistema obtemos 3−=A e substituindo na primeira equação temos 31 =−= AB . Da segunda equação temos 81 =C e da quarta

162 12 −=−= CC . Da terceira equação obtemos 624 12 =−−= BAB . Portanto o desenvolvimento da função racional regular em fracções elementares é :

22235

3

)2(

166

2

833

44

128

+−+

+++−=

++−

x

x

x

x

xxxx

x.

Exemplo 8. Desenvolver a função racional regular ( )( )3

2

21

33)(

+−+−=

xx

xxxf em

fracções elementares. Resolução: Do exemplo 3 temos:

( )( ) ( ) ( )33

221

3

2

222121

33

++

++

++

−=

+−+−

x

B

x

B

x

B

x

A

xx

xx.

Multiplicando a expressão ( )( ) ( ) ( )3

32

213

2

222121

33

++

++

++

−=

+−+−

x

B

x

B

x

B

x

A

xx

xx

por ( )( )321 +− xx obtemos:

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ++−

+++−

−=+−

+−+− 3133

3

2

212

211

2121

33xx

x

Bxx

x

Axx

xx

xx

( )

( )( )( )

( )( ) ⇒+−+

++−+

+ 3

333

22 21

221

2xx

x

Bxx

x

B

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ⇒−++−++−++=+− 12121233 322

132 xBxxBxxBxAxx

( ) ( ) ( ) ( ) ⇒−+−++−+++++=+− 1243812633 3

22

231

232 xBxxBxxBxxxAxx

( ) ( ) ( ) +⋅+++⋅+++⋅+=+− xBBAxBBAxBAxx 32

221

31

2 123633

⇒−−−+ 321 248 BBBA

( ) ( ) ( ) +⋅+++⋅+++⋅+=+−+⋅ xBBAxBBAxBAxxx 322

213

123 1236330

⇒−−−+ 321 248 BBBA

11

Igualando os coeficientes de 0123 ,,, xxxx obtemos o sistema:

⇔

−=−=−=

=

=−−−−=++

=++=+

144

133

122

11

321

32

21

1

8

12

6

3248

312

136

0

LLL

LLL

LLL

LL

BBBA

BBA

BBA

BA

⇔

−=−=

==

=−−−−=++−

=+−=+

244

233

22

11

321

321

21

1

4

4

3212

312

13

0

LLL

LLL

LL

LL

BBB

BBB

BB

BA

⇔

−====

−=−−−=+−

=+−=+

344

33

22

11

32

32

21

1

216

73

13

0

LLL

LL

LL

LL

BB

BB

BB

BA

=−−=+−

=+−=+

133

73

13

0

3

32

21

1

B

BB

BB

BA

Então temos: 3

133 −=B ,

9

82 =B ,

27

11 −=B e

27

1=A

Portanto o desenvolvimento da função racional regular em fracções elementares é :

( )( ) ( ) ( )=

+

−+

++

+

−+

−=

+−+−

323

2

23

13

29

8

227

1

127

1

21

33

xxxxxx

xx

( ) ( )32 2

1

3

13

2

1

9

8

2

1

27

1

1

1

27

1

+⋅−

+⋅+

+⋅−

−⋅=

xxxx.

12

Integração de fracções racionais elementares. Na decomposição de funções racionais em fracções elementares (ver (2)) obtemomos quatro tipos de fracções elementares:

T1. ;α−x

A

T2. );,1(,)(

Nrrx

Ar

∈>− α

T3. ;04

0,2

2

2

<−⇔≠++

+++

qp

qpxxqpxx

BAx

T4. Nrrqp

qpxxqpxx

BAxr

∈>

<−⇔≠++

+++

,1,04

0,)(

22

2.

Os integrais das fracções elementares de tipos T1 e T2 são imediatos:

T1: .ln)(

CxAx

xdAdx

x

A +−⋅=−−⋅=

− ∫∫ ααα

α

T2:

.))(1(1

)()()(

)( 1

1

Cxr

AC

r

xAxdxAdx

x

Ar

rr

r+

−−−=+

+−−⋅=−−⋅=⋅

− −

+−−

∫∫ αααα

α

T3: Para integrar uma fracção de terceiro tipo separamos o quadrado perfeito em denominador:

.42

222 q

ppxqpxx +−

+=++

Substituindo 22

42aq

pet

px −=−=+ vem .

2dtdxe

ptx =−=

Por conseguinte

=+

⋅

−++

⋅=⋅+

+−=⋅

+++

∫∫∫∫ 2222222 22

at

dtApB

at

tdtAdt

at

BAp

Atdx

qpxx

BAx

=+

⋅

−++

⋅= ∫∫ 2222 2

2

2 at

dtApB

at

tdtA =+

⋅

−+++⋅ ∫∫ 2222

22

2

)(

2 at

dtApB

at

atdA

=+

⋅⋅

−++⋅= Ca

tarctg

a

ApBat

A 1

2ln

222

.2

1

2ln

22 C

a

p

a

xarctg

a

ApBqpxx

A +

+⋅

−+++⋅=

13

T4: Calculemos o integral de uma fracção de quarto tipo. Analogamente como acima

.42

222 q

ppxqpxx +−

+=++ 22

42aq

pet

px −=−=+

.2

dtdxep

tx =−=

Por conseguinte

.)(2)()(

2)( 2222222 ∫∫∫∫ +

⋅

−++

⋅=+

+−=

+++

rrrr at

dtApB

at

tdtAdt

at

BAp

Atdx

qpxx

BAx

Para calcular o primeiro integral fazemos a substituição )(2

1 22 atddtt +⋅= .

Então

.))(1(2

1)()(

2

1

)(

)(

2

1

)( 122

2222

22

22

22C

atratdat

at

atd

at

tdtr

r

rr+

+−=++=

++=

+ −

−

∫∫∫

Calculemos o segundo integral .)( 22

2

∫ + rat

dta Escrevemos o segundo integral na forma

.)(

122

2

2 ∫ + rat

dta

a

Na continuação fazendo em numerador a substituição 2222 tata −+= obtemos:

=⋅+

−+=+

=+ ∫∫∫ dt

at

tat

aat

dta

aat

dtarrr )(

1

)(

1

)( 22

222

222

2

222

2

=⋅+

⋅−⋅++⋅= ∫∫ dt

at

t

adt

at

at

a rr )(

1

)(

122

2

222

22

2

=⋅+

⋅−⋅+

⋅= ∫∫ − dtat

t

adt

ata rr )(

1

)(

1122

2

21222 (*)

Calculemos o segundo integral aplicando a integração por partes:

∫∫ ⋅−⋅=⋅ dUVVUdVU .

Fazendo

rat

tdtdVtU

)(,

22 +==

obtemos

,dtdU =

14

.)(

1

)1(2

1

)(

)(

2

1

)(

)(

2

1

)(

2

2

1

)( 12222

22

22

2

2222 −+⋅

−=

++=

+=

+=

+= ∫∫∫∫ rrrrr atrat

atd

at

td

at

tdt

at

tdtV

Portanto na continuação temos:

(*)= =

+−−

+−−

+ ∫∫ −−− 12212221222 )(22

1

))(22(

1

)(

11rrr at

td

ratr

t

adt

ata

.)(22

32

))(22(

11221222

Cat

dt

r

r

atr

t

a rr+

+−−+

+−= ∫ −−

Obtemos a fórmula de recorrência

Cat

dt

r

r

atr

t

aat

dtrrr

+

+⋅

−−+

+−=

+ ∫∫ −− 122122222 )(22

32

))(22(

1

)(

que permite diminuir o grau da expressão do denominador no integral ∫ + rat

dt

)( 22.

15

Exemplos de cálculo de integrais indefinidos. Integração de funções racionais.

►1) ∫ ⋅+−

+xd

xx

x

23

122

.

A função integranda é função racional regular. Determinamos as raizes do polinómio do denominador.

212

13

2

8930232 =∨=⇒

±=−±=⇒=+− xxxxx .

Portanto o polinómio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:

21)2()1(

12

23

122 −

+−

=−−

+=+−

+x

B

x

A

xx

x

xx

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o método dos coeficientes indeterminados:

⇒−+−=+⇒−

+−

=−−

+=+−

+BBxAAxx

x

B

x

A

xx

x

xx

x212

21)2()1(

12

23

122

( ) )2(12 BAxBAx −−++=+ .

Obtemos o sistema de equações lineares:

=−−=+

,12

,2

BA

BA

Determinemos a solução do sistema :

⇔

=−=+

⇔

+=++−−=+

⇔

=−−=+

,3

,2

,21)(2

,2

,12

,2

A

BA

BABA

BA

BA

BA

=−=

.5

,3

B

A

Portanto 2

5

1

3

)2()1(

12

23

122 −

+−

−=−−

+=+−

+xxxx

x

xx

x

e

=⋅−

+⋅−

−=⋅

−+

−−=⋅

+−+

∫∫∫∫ xdx

xdx

xdxx

xdxx

x

2

5

1

3

2

5

1

3

23

122

=−⋅−

+−⋅−

−=⋅−

+⋅−

−= ∫∫∫∫ )2(2

15)1(

1

13

2

15

1

13 xd

xxd

xxd

xxd

x

Cxnlxnl +−+−−= 2513 . ■

16

2) ∫ ⋅−++−

xdxx

xx

)1()2(

2432

2

.

A função integranda é função racional regular

−++−==

)1()2(

243

)(

)()(

2

2

3

2

xx

xx

xQ

xPxf .

O polinómio do denominador, )1()2()( 2

3 −+= xxxQ , tem três raizes reais:

2−=x de multiplicidade 2 e 1=x de multiplicidade 1.

Portanto a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:

1)2(2)1()2(

24322

2

−+

++

+=

−++−

x

C

x

B

x

A

xx

xx.

Determinemos os valores dos coeficientes A , B e C utilizando o método dos coeficientes indeterminados:

⇒−

++

++

=−++−

1)2(2)1()2(

24322

2

x

C

x

B

x

A

xx

xx

⇒++−+−+=+− 22 )2()1()1()2(243 xCxBxxAxx

⇒+++−+−+=+− )44()1()2(243 222 xxCxBxxAxx

⇒+++−+−+=+− CCxxCBxBAxAxAxx 442243 222

)42()4()(243 22 CBAxCBAxCAxx +−−+++++=+− .


=+−−−=++

=+

242

44

3

CBA

CBA

CA


⇔

=+−−=+

+−=⇔

=+−+−−−=+++−

+−=⇔

=+−−−=++

=+

86

73

3

24)3(2

443

3

242

44

3

CB

CB

CA

CBC

CBC

CA

CBA

CBA

CA

=

−=

=

⇔

=−−=+−=

⇔

=+−−−−−=+−=

9

13

229

26

19

37

3

86)37(

37

3

C

B

A

C

CB

CA

CC

CB

CA

17

Portanto 1

9

1

)2(3

22

29

26

)1()2(

24322

2

−+

+

−+

+=

−++−

xxxxx

xx

e

=⋅

−+

+

−+

+=⋅

−++−

∫∫ xdxxx

xdxx

xx

19

1

)2(3

22

29

26

)1()2(

24322

2

=⋅−

⋅+⋅+

⋅−⋅+

⋅= ∫∫∫ xdx

xdx

xdx 1

1

9

1

)2(

1

3

22

2

1

9

262

=−⋅−

⋅++⋅+

⋅−+⋅+

⋅= ∫∫∫ )1(1

1

9

1)2(

)2(

1

3

22)2(

2

1

9

262

xdx

xdx

xdx

=+−⋅++−

+⋅−+⋅=+−

Cxnlx

xnl 19

1

12

)2(

3

222

9

26 12

Cxnlx

xnl +−⋅++

⋅++⋅= 19

1

2

1

3

222

9

26. ■

►3) ∫ ⋅−−+−

xdxx

xx

32

2522

3

.

A função integranda é função racional irregular. Dividimos o polinómio do

numerador pelo polinómio do denominador e representamos a função integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular:

42

32

149

1284

24

642

252 2

2

2

23

3

+

−−

+−−

++

−−

+−

−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

x

xx

x

xx

xx

xxx

xx

Daqui resulta que a representação da função racional irregular como a soma de um polinómio e uma função racional regular é:

32

14942

32

25222

3

−−+++=

−−+−

xx

xx

xx

xx.

Portanto

=⋅

−−+++=⋅

−−+−

∫∫ xdxx

xxxd

xx

xx

32

14942

32

25222

3

18

( )*32

1494

22

32

14942

2

2

2=⋅

−−+++⋅=⋅

−−+++⋅= ∫∫∫∫ xd

xx

xx

xxd

xx

xxdxdx

No integral obtido a função integranda, 32

149)(

2 −−+=

xx

xxf , é racional regular.

Determinamos as raizes do polinómio do denominador.

312

42

2

12420322 =∨−=⇒

±=+±=⇒=−− xxxxx .

Portanto o polinómio do denominador tem duas raizes reais de multiplicidade um e a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:

31)3()1(

149

32

1492 −

++

=−+

+=−−

+x

B

x

A

xx

x

xx

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A e B utilizando o método dos coeficientes indeterminados:

⇒++−=+⇒−

++

=−+

+=−−

+BBxAAxx

x

B

x

A

xx

x

xx

x3149

31)3()1(

149

32

1492

( ) )3(149 BAxBAx +−++=+ .


=+−=+

,413

,9

BA

BA


⇔

=+−−=

⇔

=+−−−=

⇔

=+−=+

,14427

,9

,14)9(3

,9

,143

,9

B

BA

BB

BA

BA

BA

=

−=⇔

=

−=

.4

41

,4

5

,4

41,9

B

A

B

BA

Portanto 3

4

41

14

5

)3()1(

149

32

1492 −

++

−=

−++=

−−+

xxxx

x

xx

x

e na continuação obtemos

( ) =⋅−

⋅+⋅+

⋅−+=⋅

−+

+

−++= ∫∫∫ xd

xxd

xxxxd

xxxx

3

1

4

41

1

1

4

54

34

41

14

5

4* 22

Cxnlxnlxx +−⋅++⋅−+= 34

411

4

542 . ■

19

►4) ∫ ⋅−

++xd

x

xx

1

134

46

.


numerador pelo polinómio do denominador e representamos a função integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular:

13

1

23

1

13

33

13

2

4

2

4

24

26

46

+

−

+

−

++

−

++

−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

−

x

x

x

x

xx

xx

xx


1

2313

1

134

22

4

46

−+++=

−++

x

xx

x

xx.

Portanto

=⋅

−+++=⋅

−++

∫∫ xdx

xxxd

x

xx

1

2313

1

134

22

4

46

( )*1

23

33

1

233

4

23

4

22 =⋅

−+++⋅=⋅

−+++⋅= ∫∫∫∫ xd

x

xx

xxd

x

xxdxdx

No integral obtido a função integranda 1

23)(

4

2

−+=

x

xxf é racional regular.

Determinamos a representação do polinómio do denominador em produto de factores de primeira e segunda ordem.

( )( ) ( )( )( )111111 2224 ++−=+−=− xxxxxx . Na representação do polinómio do denominador em produto de factores de primeira e segunda ordem temos dois factores de primeiro grau e um factor de segundo grau todos de multiplicidade um. Portanto a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:

( )( )( ) 111111

23

1

2322

2

4

2

+++

++

−=

++−+=

−+

x

DCx

x

B

x

A

xxx

x

x

x.

Determinemos os valores dos coeficientes A , B , C e D utilizando o método dos coeficientes indeterminados:

( )( )( ) ⇒+++

++

−=

++−+=

−+

111111

23

1

2322

2

4

2

x

DCx

x

B

x

A

xxx

x

x

x

20

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ⇒+−+++−+++=+ 11111123 222 xxDxCxxBxxAx

( ) ( ) ( ) ⇒−−++−+−++++=+ DCxxDxCxxxBxxxAx 2323232 1123

( ) ( ) ( ) ( )DBAxCBAxDBAxCBAx −−+⋅−++⋅+−+⋅++=+ 232 23 .


=−−=−+=+−=++

2

0

3

0

DBA

CBA

DBA

CBA

Determinemos a solução do sistema aplicando o método de condensação:

⇔

−=′−=′−=′

−−−

−⇔

=−−=−+=+−=++

144

133

122

2

0

3

0

1011

0111

1011

0111

2

0

3

0

LLL

LLL

LLL

operações

DBA

CBA

DBA

CBA

−

−−−−

⇔

−=′

−−−−−−

1

0

3

0

2000

0200

1120

0111

2

0

3

0

1120

0200

1120

0111

244 LLLoperação

Então 4

5,

4

5,0,

2

1 =−=== ABCD ,

( )( )( ) 12

1

14

5

14

5

111

23

1

2322

2

4

2

++

+−

−=

++−+=

−+

xxxxxx

x

x

x


( ) =+

⋅++

⋅−−

⋅++=⋅

++

+−

−++= ∫∫∫∫ 12

1

14

5

14

5

12

1

14

5

14

5

*2

32

3

x

xd

x

xd

x

xdxxxd

xxxxx

Cxarctgxnlxnlxx +⋅++⋅−−⋅++=2

11

4

51

4

53 . ■

21

►5) ∫ ⋅−

xdxx

x4

5

.

A função integranda é função racional irregular. Representamos a função

integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular:

( ) ( ) ( ) ( ) 11111 33

2

3

25

3

225

3

5

4

5

−+=

−⋅+

−⋅−=

−⋅+−=

−⋅=

− x

xx

xx

x

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

x.

Portanto

( )*1211 3

2

334

5

=⋅−

+=⋅−

+⋅=⋅

−+=⋅

− ∫∫∫∫∫ xdx

xxxd

x

xxdxxd

x

xxxd

xx

x

No integral obtido a função integranda ( )1)1(1)(

23 ++⋅−=

−=

xxx

x

x

xxf é racional

regular. O trinómio 12 ++ xx não tem raizes reais e portanto

( ) 111)1(1 223 ++++

−=

++⋅−=

− xx

CBx

x

A

xxx

x

x

x.


( ) ⇒++

++−

=++⋅−

=− 111)1(1 223 xx

CBx

x

A

xxx

x

x

x

( ) ( )( ) ⇒−++++= 112 xCxBxxAx

( ) ( ) )(222 CAxCBAxBAxCBxCxxBAxAxAx −++−++=⇒−−++++=


=−=+−

=+

0

1

0

CA

CBA

BA

Determinemos a solução do sistema aplicando o método de substituição:

⇔

=−−=−=

⇔

=−=+

−=⇔

=−=++

−=⇔

=−=+−

=+

0

21

0

12

0

1

0

1

0

CA

AC

BA

CA

CA

BA

CA

CAA

BA

CA

CBA

BA

22

=

−=

=

⇔

=+−−=−=

⇔

=−−=−=

3

13

13

1

021

21

0

21

C

B

A

AA

AC

BA

CA

AC

BA

Então

( ) 13

1

3

1

13

1

13

1

3

1

13

1

1)1(1 2223 ++

−−

−=

++

+−+

−=

++⋅−=

− xx

x

xxx

x

xxxx

x

x

x


( ) =⋅

++

−−

−+=⋅

−+= ∫∫ xd

xx

x

x

xxd

x

xx

13

1

3

1

13

1

212*

2

2

3

2

=⋅++

−⋅−−⋅+=⋅++

−⋅−⋅−

⋅+= ∫∫∫ xdxx

xxnl

xxd

xx

xxd

x

x

1

1

3

11

3

1

21

1

3

1

1

1

3

1

2 2

2

2

2

=⋅+

−

+⋅⋅+

−⋅−−⋅+= ∫ xd

xx

xxnl

x

12

1

2

1

2

12

1

3

11

3

1

2 222

2

=⋅+

+

−⋅−−⋅+= ∫ xd

x

xxnl

x

4

3

2

1

1

3

11

3

1

2 2

2

=⋅+

+

−+⋅−−⋅+= ∫ xd

x

xxnl

x

4

3

2

12

3

2

1

3

11

3

1

2 2

2

=

⋅+

+−⋅

+

+

+⋅−−⋅+= ∫∫ xd

x

xd

x

xxnl

x

4

3

2

12

3

4

3

2

12

1

3

11

3

1

2 22

2

=⋅+

+⋅+⋅

+

+

+⋅−−⋅+= ∫∫ xd

x

xd

x

xxnl

x

4

3

2

1

1

2

1

4

3

2

12

1

3

11

3

1

2 22

2

23

=

+⋅+

+⋅+

+⋅+

+

+⋅⋅−−⋅+= ∫∫ 2

1

4

3

2

1

1

2

1

2

1

4

3

2

1

2

12

6

11

3

1

2 22

2

xd

x

xd

x

x

xnlx

=

+⋅

+

+

⋅++

+

+

+

⋅−−⋅+= ∫∫ 2

1

2

3

2

1

1

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

6

11

3

1

2 222

2

2

xd

xx

xd

xnlx

=+

+

⋅⋅++

+⋅−−⋅+= Cx

arctgxnlxnlx

2

32

1

2

3

1

2

1

4

3

2

1

6

11

3

1

2

22

Cx

arctgxxnlxnlx +

+⋅+++⋅−−⋅+=3

12

3

11

6

11

3

1

22

2

. ■

►6) ∫ ⋅+

xdx

x3

5

)1(.


numerador pelo polinómio do denominador e representamos a função integranda como a soma de um polinómio e uma função racional regular.

Porque 133)1( 233 +++=+ xxxx temos:

61510

618186

386

3993

33

3363

133

2___________________________

23

23____________________________

234

234___________________________

2345

2

235

−−−

+++

++

−−−−

−−−

++++−

+++

−

−

−

xx

xxx

xxx

xxxx

xxx

xxxxxx

xxxx


24

133

6151063

)1( 23

22

3

5

+++++−+−=

+ xxx

xxxx

x

x.

Portanto

=⋅

+++−+−=⋅

+ ∫∫ xdx

xxxxxd

x

x3

22

3

5

)1(

6151063

)1(

=⋅+

++−⋅+⋅−⋅= ∫∫∫∫ xdx

xxxdxxdxdx

3

22

)1(

6151063

( )*)1(

615106

23

3 3

223

=⋅+

++−+⋅−= ∫ xdx

xxx

xx

No integral obtido a função integranda 3

2

)1(

61510)(

+++=

x

xxxf é racional regular e o

polinómio de primeiro grau 1+x na factoração do denominador tem multiplicidade três. Portanto a representação da função integranda como soma de fracções elementares é:

323

2

)1()1(1)1(

61510

++

++

+=

+++

x

C

x

B

x

A

x

xx.


⇒+

++

++

=+

++323

2

)1()1(1)1(

61510

x

C

x

B

x

A

x

xx

⇒++⋅++⋅=++ CxBxAxx )1()1(61510 22

⇒+++⋅++⋅=++++⋅+⋅=++ )()(61510 222 CBAxBAxACBBxAxAxAxx

−===

⇔

=++=+

=

9

5

10

6

15

10

C

B

A

CBA

BA

A

Portanto

323

2

)1(

9

)1(

5

1

10

)1(

61510

+−

++

+=

+++

xxxx

xx

e na continuação temos:

25

( ) =⋅

+−

++

+−+⋅−= ∫ xd

xxxx

xx32

23

)1(

9

)1(

5

1

106

23

3*

=⋅+

⋅+⋅+

⋅−⋅+

⋅−+⋅−= ∫∫∫ xdx

xdx

xdx

xxx

32

23

)1(

19

)1(

15

1

1106

23

3

=+⋅+⋅++⋅+⋅−++⋅−+⋅−= ∫∫∫

−− )1()1(9)1()1(51

)1(106

23

332

23

xdxxdxx

xdx

xx

=++−

+⋅++−

+⋅−+⋅−+⋅−=+−+−

Cxx

xnlxxx

13

)1(9

12

)1(51106

23

3

131223

Cxx

xnlxxx +

+⋅−

+⋅++⋅−+⋅−=

2

23

)1(

1

2

9

1

151106

23

3. ■

divisão de polinomios

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