Dominios de Deformação

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DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO: UMA NOVA ABORDAGEM PARA O ENSINO Kléos M Lenz César JR [email protected] Universidade Federal de Viçosa, Departamento de Engenharia Civil UFV/DEC 36570-000 – Viçosa - MG Reginaldo Carneiro da Silva [email protected] Universidade Federal de Viçosa, Departamento de Engenharia Civil UFV/DEC 36570-000 – Viçosa - MG Resumo: Apesar de consolidados por várias décadas, algumas das hipóteses básicas para o dimensionamento de estruturas em concreto armado não são satisfatoriamente explorados em seus conceitos o origem por parte da norma brasileira NBR 6118:2003, e nem mesmo pela literatura tradicional do assunto. Ilustrações, que deveriam esclarecer o entendimento de fenômenos, muitas vezes são simplistas e fora de contexto. Valores constantes são atribuídos por convenção sem uma adequada argumentação técnica. Além disso, as abordagens típicas (muito comumente advinda das definições da norma brasileira) tendem ao cálculo simplificado, situação em que o engenheiro não dispunha de recursos computacionais e ferramentas automáticas como as que se dispõe hoje.Este trabalho tem o objetivo de apresentar uma nova abordagem para o domínio de deformações. Procurou-se resgatar os fundamentos para os valores das deformações limites e melhorar as ilustrações relativas a cada um dos 5 domínios (incluindo diagramas-exemplo de deformações para uma dada posição da linha neutra). Além disso, buscou-se uma abordagem algorítmica, evitando-se a inclusão de variáveis adimensionais. As formulações encontradas para as deformações que interessam ao dimensionamento de seções transversais em concreto armado estão resumidas no final do artigo. Palavras-chave: domínio de deformações, linha neutra, concreto armado.

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  • DOMNIOS DE DEFORMAO EM ESTRUTURAS DE CONCRETO:

    UMA NOVA ABORDAGEM PARA O ENSINO Klos M Lenz Csar JR [email protected] Universidade Federal de Viosa, Departamento de Engenharia Civil UFV/DEC 36570-000 Viosa - MG Reginaldo Carneiro da Silva [email protected] Universidade Federal de Viosa, Departamento de Engenharia Civil UFV/DEC 36570-000 Viosa - MG Resumo: Apesar de consolidados por vrias dcadas, algumas das hipteses bsicas para o

    dimensionamento de estruturas em concreto armado no so satisfatoriamente

    explorados em seus conceitos o origem por parte da norma brasileira NBR 6118:2003,

    e nem mesmo pela literatura tradicional do assunto. Ilustraes, que deveriam

    esclarecer o entendimento de fenmenos, muitas vezes so simplistas e fora de contexto.

    Valores constantes so atribudos por conveno sem uma adequada argumentao

    tcnica. Alm disso, as abordagens tpicas (muito comumente advinda das definies da

    norma brasileira) tendem ao clculo simplificado, situao em que o engenheiro no

    dispunha de recursos computacionais e ferramentas automticas como as que se dispe

    hoje.Este trabalho tem o objetivo de apresentar uma nova abordagem para o domnio

    de deformaes. Procurou-se resgatar os fundamentos para os valores das deformaes

    limites e melhorar as ilustraes relativas a cada um dos 5 domnios (incluindo

    diagramas-exemplo de deformaes para uma dada posio da linha neutra). Alm

    disso, buscou-se uma abordagem algortmica, evitando-se a incluso de variveis

    adimensionais. As formulaes encontradas para as deformaes que interessam ao

    dimensionamento de sees transversais em concreto armado esto resumidas no final

    do artigo.

    Palavras-chave: domnio de deformaes, linha neutra, concreto armado.

  • 1 INTRODUO

    O dimensionamento de elementos estruturais em concreto armado pressupe uma srie de hipteses bsicas e valores constantes prefixados (confirmados por ensaios laboratoriais ou pela conveno emprica). Muitas dessas pressuposies permanecem inalteradas ao longo do tempo, o que no significa terem sido suficientemente exploradas e compreendidas. As sete hipteses bsicas que norteiam o dimensionamento de elementos lineares sujeitos s solicitaes normais no estado limite ltimo (ELU), conforme numeradas no item 17.2.2 da NBR 6118:2003, no so abordadas em profundidade (especialmente em seus conceitos e origens), nem mesmo so bem ilustradas. A literatura corrente tambm no explora de forma significativa e didtica os conceitos e fundamentos considerados base para o dimensionamento em concreto armado. No caso especfico dos domnios de deformao (ilustrados e brevemente descritos na hiptese g da norma brasileira), constata-se que o diagrama no suficientemente detalhado, de forma a proporcionar um contexto didaticamente necessrio compreenso das etapas futuras do dimensionamento. Na literatura corrente (bem como na prtica de ensino), tem sido dada muito pouca importncia ao diagrama dos domnios de deformao. Os valores constantes nele mostrados no so, em sua grande parte, bem esclarecidos. Entende-se que a seqncia da abordagem atualmente praticada, bem como o conjunto de ilustraes e suas conseqentes interpretaes no so plenamente adequadas ao ensino de concreto armado. Da mesma forma, o desenvolvimento das equaes das deformaes nas armaduras e na regio comprimida do concreto passa por um raciocnio que parece reportar poca em que o clculo automtico era de difcil acesso. Naquele contexto, as simplificaes do clculo eram bem vindas. Hoje, no entanto, o aluno vem sendo cada vez mais estimulado a usar recursos eletrnicos para automatizar processos. O uso de calculadoras programveis e planilhas eletrnicas instaladas em computadores portteis so de uso corrente nas escolas, e imprescindveis nos escritrios de engenharia. Enquanto de um lado o excesso de automao pode tirar do aluno a necessria capacidade de anlise crtica de resultados, do outro a no utilizao das ferramentas disponveis pode provocar o mesmo resultado, e com fatores agravantes.

    2 DEFORMAES CONVENCIONAIS LTIMAS NO ELU

    Estudos mostram que o esgotamento da capacidade resistente de uma pea estrutural em concreto armado sujeita flexo normal composta no ELU se d, tradicionalmente, pelo rompimento da regio comprimida de concreto, quer a armadura tenha escoado ou no. No entanto, de acordo com FUSCO (1981), sentiu-se a necessidade de se limitar a deformao da armadura tracionada em virtude do desconforto provocado por fissuras excessivamente grandes. Portanto, teoricamente, passou-se a assumir que a capacidade resistente de uma seo se d:

    pela ruptura da regio comprimida de concreto e/ou pela deformao plstica excessiva da armadura tracionada.

  • muito difcil, no entanto, identificar os parmetros que levam a obteno dos valores relativos resistncia mecnica da pea de concreto. Sendo assim, convencionou-se admitir que o concreto se rompe sob compresso quando este atinge um valor de deformao a partir do qual o risco de ruptura significativo. Este valor vem sendo justificado e confirmado experimentalmente. Portanto, considera-se um ELU convencional (conhecido como ELU de ruptura) e um estado limite de deformao plstica excessiva.

    2.1 O concreto na regio comprimida

    Sussekind (1985) mostra que nos ensaios com carregamentos de curta durao realizados por E. Grasser, considerando as mais diversas resistncias caractersticas

    compresso do concreto, a uma taxa crescente e constante de deformao, a tenso resistente mxima ocorre quando o concreto atinge uma deformao especfica bem prxima a 2, enquanto que na ruptura (propriamente dita), a deformao especfica atinge o valor mdio de 3,5, podendo variar significativamente. A Figura 1 ilustra o diagrama tenso x deformao ( ) tpico proveniente dos ensaios realizados com corpos de prova de concretos com as mais diferentes resistncias caractersticas. Note que a tenso resistente mxima ocorre (com bastante regularidade) quando a deformao especfica atinge o valor 2. A deformao residual (na qual a ruptura

    de fato ocorre) funo da resistncia caracterstica do concreto, podendo variar significativamente. Quanto maior a resistncia do concreto, menor ser a deformao de ruptura ltima da seo. O valor convencional 3,5 , portanto, um valor mdio vlido para concretos de resistncias relativamente baixas. Concretos de alta resistncia podem romper-se ao ser atingido uma deformao especfica menor que o convencional. A NBR 8953:1992 classifica os concretos para fins estruturais em categorias do grupo I aqueles que vo da resistncia caracterstica compresso igual a 10MPa (C10) a 50MPa (C50). Embora a NBR 6118:1980 no faa aluso a qualquer restrio sobre limite de resistncia, a NBR 6118:2003 (no item 1.2) deixa claro que "... aplica-se s estruturas de concreto... do grupo I de resistncia (C10 a C50), conforme classificao da NBR 8953". Conclui-se assim, que no ELU convencional, a deformao de ruptura compresso (cu) do concreto varia entre 2 (na compresso uniforme) e 3,5 (na flexo pura), dependendo da posio efetiva da linha neutra, considerando toda a seo transversal comprimida. Seja qual for a resistncia do concreto compresso, sua deformao de ruptura dita no ultrapassar tais valores.

    2.2 O ao tracionado

    Figura 1. Diagrama tenso x deformao

    de concretos de vrias resistncias

    compresso.

  • Da mesma forma, o alongamento ltimo (su) tolerado pela armadura mais tracionada de 10. Na prtica, porm, segundo Sussekind (1985), a deformao de ruptura dos aos para concreto armado bem maior, chegando a valores da ordem de 70 (CA 60). O valor su=10 arbitrado com a considerao de que, desprezando-se o alongamento do concreto tracionado, essa deformao corresponde a uma fissurao de 10, ou seja, a fissuras de 1mm de abertura para cada 10cm de comprimento da pea. No que diz respeito ruptura por compresso, limita-se a deformao mxima do ao ao mesmo valor que a deformao convencional para o concreto, uma vez que os dois materiais trabalham solidariamente. No ELU convencional, o concreto se rompe quanto atinge a deformao cu, enquanto que a armadura no necessariamente se rompe quando alongada de su. O alongamento excessivo da armadura tracionada acarreta uma fissurao exagerada na superfcie do concreto, levando ao ELU sem que tenha ocorrido, necessariamente, a ruptura do concreto na regio comprimida. Isso implica que su um limite de deformao para evitar excessos na fissurao do concreto.

    3 OS DOMNIOS DE DEFORMAO

    Para ser alcanado o ELU, a deformao de ruptura do concreto cu ou a deformao plstica excessiva su deve ser atingida. Admitindo-se a hiptese bsica da manuteno da forma plana da seo transversal at o ELU, as deformaes normais so, em cada ponto da seo transversal, proporcionais sua distncia linha neutra, inclusive quando a pea atinge o ELU. A NBR 6118:2003, item 17.2.2, Figura 17.1 mostra o diagrama de deformao da seo transversal pouco antes de sua ruptura. Nela esto mostrados os casos de solicitao possveis para cada um dos domnios de deformao, variando-se a posio da linha neutra de - a +, ou seja, variando-se as solicitaes da trao uniforme compresso uniforme. A Figura 2 ilustra uma seo transversal qualquer sujeita aos esforos Nd e Md aplicados no seu centro de gravidade (CGAc). Em virtude do carregamento imposto, a regio comprimida est (por exemplo) limitada pela rea hachurada (de comprimento x) da seo transversal, supondo-se a linha neutra (LN) passando no ponto indicado. Imediatamente abaixo da seo transversal, v-se uma elevao que corresponde ao diagrama de deformaes no ELU convencional (uma adaptao da Figura 17.1 da norma) para a linha neutra indicada passando distncia x da face mais comprimida da seo transversal.

    Figura 2. Domnio de deformaes de uma

    seo transversal sujeita flexo normal

    composta (adaptado da NBR 6118:2003).

    hd1d2

    c1s1

    Posio relativa da LN

    Nd

    Md

    0-x x+

    Alongam

    ento

    Encurtamento

    h

    CGAcc

    Acc

    AcLN

    xCG

    x

    CGAc

    As2 As1Md

    Nd

    10

    2,0

    3,5

    yd

  • Admitindo-se que a linha neutra pode assumir qualquer posio entre - e +, surgem vrias situaes especficas que podem caracterizar as deformaes (convencionais) ltimas de clculo. So os chamados domnios de deformao.

    3.1 Caracterizao do domnio 1

    Particularidades (Figura 3): A linha neutra encontra-se a uma distncia x fora da seo transversal (-

  • 1)32lim( dh

    5,310

    x

    5,3

    +

    =

    ( )1)32lim( dh5,135,3

    x =

    Tambm por semelhana de tringulos, conhecidas a altura da seo transversal e a posio relativa das armaduras:

    xxdh

    10 2c

    1

    =

    xdh

    x10

    12c =

    2

    2s

    1 dxxdh

    10

    =

    ( )

    xdh

    dx10

    1

    22s

    =

    E, convencionalmente, 101s = , 101c =

    3.3 Caracterizao do domnio 3

    Caractersticas (Figura 5): A linha neutra encontra-se dentro da seo transversal, x variando entre xlim(2-3) e

    xlim(3-4) (limite entre os domnios 3 e 4). Parte da seo est comprimida e a

    Encurtamento

    Alongam

    ento

    x+-x0

    2

    MdNd

    Posio relativa da LN

    hd1d2

    c1s1

    yd

    c2 s2

    xlim(2-3) x

    Regio do domnio

    Diagrama de deformaes

    3,5

    2,0

    2,0

    3,5

    10

    10

    linha neutra

    Encurtamento

    Alongam

    ento

    x+-x0

    3

    MdNd

    Posio relativa da LN

    hd1d2

    c1s1

    yd

    xlim(3-4)x

    xlim(2-3)

    s2

    c1s1

    Regio do domnio

    Diagrama de deformaes

    c2=

    y

    3,5

    2,0

    2,0

    3,5

    10

    10

    linha neutra

    Figura 4. Representao do domnio 2 de

    deformaes e diagrama de deformaes.

  • Encurtamento

    Alongam

    ento

    x+-x0

    4

    MdNd

    Posio relativa da LN

    hd1d2

    c1s1

    yd

    s2

    c1s1

    x

    Regio do domnio

    Diagrama de deformaes

    y

    3,5

    2,0

    2,0

    3,5

    10

    10

    linha neutra

    Figura 6. Representao do domnio 4 de

    deformaes e diagrama de deformaes.

    outra parte, tracionada. Situaes tpicas: flexo simples (seo subarmada) ou composta com ruptura compresso do concreto e ao em escoamento. Ruptura dctil, com a pea deformando-se consideravelmente nas proximidades da ruptura.

    A runa da pea ocorre pela ruptura da regio comprimida do concreto ( deformao c2=3,5) e pelo escoamento da armadura tracionada do ao ( deformao mnima de -yd).

    A seo resistente composta pelas armaduras em escoamento, uma vez que o concreto ruiu deformao c2=3,5.

    Clculo das deformaes em funo da posio da linha neutra: por semelhana de tringulos, determina-se a posio da linha neutra no limite entre os domnios 3 e 4 (xlim(3-4)):

    )43lim(1

    yd

    x

    5,3

    dh

    5,3

    =

    +

    ( )1yd

    )43lim( dh5,3

    5,3x

    +=

    Convencionalmente, 5,32c = E, por semelhana de tringulos,

    x

    5,3

    d

    5,3

    2

    2s =

    x

    d5,35,3 22s =

    x

    5,3

    dh

    5,3

    1

    1s =

    x

    dh5,35,3 11s

    =

    x

    5,3

    h

    5,3 1c =

    x

    h5,35,31c =

    Observe que quando c1

  • Clculo das deformaes em funo da posio da linha neutra: por semelhana de tringulos, e conhecidas a altura da seo transversal e a posio relativa das armaduras: Convencionalmente, 5,32c = E ento, por semelhana de tringulos,

    x

    5,3

    d

    5,3

    2

    2s =

    x

    d5,35,3 22s =

    x

    5,3

    dh

    5,3

    1

    1s =

    ( )

    x

    dh5,35,3 11s

    =

    x

    5,3

    h

    5,3 1c =

    x

    h5,35,31c =

    x

    5,3

    d

    5,3

    2

    2s =

    x

    d5,35,3 22s =

    x

    5,3

    dh

    5,3

    1

    1s =

    ( )

    x

    dh5,35,3 11s

    =

    x

    5,3

    h

    5,3 1c =

    x

    h5,35,31c =

    3.5 Caracterizao do domnio 5

    Caractersticas (Figura 7): A linha neutra encontra-se fora da seo

    transversal, x variando entre h a . Toda a seo est comprimida. Situaes tpicas: compresso no uniforme, sem trao (h

  • h7

    32

    x2c2c =

    , x2xh

    7

    32c2c = ,

    h7

    3x

    x22c

    = x

    h3x7

    142c =

    2

    2s

    2

    2s

    dh7

    32

    dx

    =

    , ( )222s2s22s2s dx2dxdh73

    =+

    ( )22s dx2xh73

    =

    , ( )

    h7

    3x

    dx2 22s

    = ( )22s dxh3x7

    14

    =

    1

    1s2c

    dhxx +

    =

    , x

    dhx 12c1s

    += ( )11s dhxh3x7

    14+

    +=

    hxx1c2c

    =

    , x

    hx

    h3x7

    x141c

    = ( )hxh3x7

    141c =

    4 CONCLUSO

    O conhecimento dos domnios de deformao fundamental para o ensino do dimensionamento de elementos estruturais submetidos s solicitaes normais. Eles so tambm essenciais no estudo dos modos de ruptura flexo de vigas de concreto armado. Nas disciplinas da rea, os estudantes esto ansiosos para aprender o dimensionamento de elementos, relegando, muitas vezes, ao segundo plano a fundamentao terica. Esta nova abordagem no ensino dos domnios de deformao, associada a um projeto pedaggico da disciplina, com atividades adequadas visa proporcionar uma aprendizagem mais consistente. Com o intuito de testar as equaes desenvolvidas para cada um dos domnios expostos acima, bem como ilustrar o comportamento das deformaes no ELU para as faces opostas da seo e das armaduras de compresso e trao, criou-se uma planilha eletrnica destinada ao clculo das deformaes para diversas posies da linha neutra. A planilha, disposta em linha, representa vrias posies da linha neutra (variando de -500 a 500cm, passando pela seo transversal) e define as deformaes c2, s2, s1 e c1. A Figura 8 um diagrama obtido pela plotagem dos dados obtidos na planilha. Nela foram acrescentadas informaes para melhor representar o comportamento da seo: os limites dos domnios de deformao e a extenso da seo transversal. Embora o diagrama da Figura 8 no seja necessariamente til sob o ponto de vista do dimensionamento, pode ser para o ensino de concreto armado. Por exemplo, nota-se no diagrama, a convergncia das deformaes para -10 medida que a linha neutra

  • afasta-se para a esquerda (trao uniforme), e a convergncia para 2 quando a linha neutra tende ao infinito (compresso uniforme). Nota-se tambm que no domnio 1 a seo est completamente tracionada, enquanto que no domnio 5, comprimida. A fim de facilitar a implementao de programas e/ou planilhas, organizou-se na Tabela 1 as frmulas que resolvem as deformaes c2, s2, s1 e c1, funo da geometria da seo, da posio do centro de gravidade das armaduras de trao e compresso, e da deformao de clculo de escoamento do ao empregado.

    -11,0

    -10,0

    -9,0

    -8,0

    -7,0

    -6,0

    -5,0

    -4,0

    -3,0

    -2,0

    -1,0

    0,0

    1,0

    2,0

    3,0

    4,0

    -500

    -400

    -300

    -200

    -100

    0 10

    20

    30

    40

    140

    240

    340

    440

    Figura 8. Diagrama x- no estado limite ltimo de uma seo tpica de concreto armado

    Tabela 1

    Se D c2 () s2 () s1 () c1 ()

    0x

  • REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

    ABNT. NBR 6118:1980 Projeto e execuo de obras de concreto armado. So Paulo: ABNT, 1980. ABNT. NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto - Procedimentos. So Paulo: ABNT, 2003. ABNT. NBR 8953:1992 Concreto para fins estruturais classificao por grupos de resistncia. So Paulo: ABNT, 1992. FUSCO, P. B. F. Estruturas de concreto: Solicitaes normais. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois, 1981. SANTOS, L. M. Clculo de concreto armado. Volume 1. So Paulo: Ed. LMS, 1983. SUSSEKIND, J. C. Curso de concreto: Volume I. Rio de Janeiro: Ed. Globo, 1985.

  • STRAIN DISTRIBUTION IN CONCRETE STRUCTURES

    A NEW APPROACH TO TEACHING Klos M Lenz Csar JR [email protected] Universidade Federal de Viosa, Departamento de Engenharia Civil UFV/DEC 36570-000 Viosa - MG Reginaldo Carneiro da Silva [email protected] Universidade Federal de Viosa, Departamento de Engenharia Civil UFV/DEC 36570-000 Viosa - MG Abstract:

    Although already consolidated for several decades, some of the basic assumptions for

    the reinforced concrete design are not satisfactorily explored in its concepts and rules

    of origin by the Brazilian standard NBR 6118:2003, and even by the traditional and

    current literature of this subject. Illustrations, which should clarify the understanding of

    phenomena, are often simplistic and out of context. Constant values are assigned by

    convention without adequate technical reasons. Moreover, the typical approaches (most

    commonly arising from the Brazilian standard definitions) tend to unnecessary

    simplified calculation, in which the engineer did not have computational resources and

    automated tools such as those available today. This paper aims to review the concept of

    strain distribution. We tried to rescue the foundation for the values of the deformation

    limits and improve illustrations on each of the five strain reas (including sample of

    deformation diagrams for a given position of the neutral line). In addition, we sought an

    algorithmic approach, avoiding the inclusion of dimensionless variables. The

    formulations found for the deformation of interest to the design of reinforced concrete

    cross sections are summarized at the end of the article.

    Key-words: strain distribution, neutral line, reinforced concrete.