ENG01140 – Turma C (Prof. Alexandre Pacheco)

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15 FLAMBAGEM DE COLUNAS Introdução

É de conhecimento comum que elementos submetidos a carregamentos axiais tendem a sofrer colapsos de natureza bastante brusca quanto maior forem suas relações de comprimento por área de seção transversal (experimento simples: régua escolar comprimida axialmente). Logo, fica bastante claro que um efeito devido a aspectos geométricos do elemento toma parte do fenômeno. Na medida em que o comprimento vai sendo encurtado, a carga de ruptura tende a aumentar. Ou seja, para um elemento como uma coluna curta, este tipo de ruptura passa a ser menos importante e as características do material de que a coluna é feita é que começam a pesar mais no comportamento do elemento frente às cargas. Assim, é de suma importância que se determine qual seria o comprimento, para uma coluna, por exemplo, que seria o divisor de águas entre um tipo de ruptura e outro. Tal questionamento e o tipo de ruptura por instabilidade geométrica é que são tratados nos problemas conhecidos tecnicamente por “flambagem”. Nesta seção, serão tratados somente a flambagem de colunas. Deve-se ter consciência, no entanto, que o fenômeno da flambagem pode ser crucial em diversas outras instâncias e tipos de elementos como, por exemplo, em vigas esbeltas. Coluna Ideal Bi-apoiada

O objetivo desta seção é a obtenção de uma expressão para a carga axial necessária para romper uma coluna por instabilidade do seu equilíbrio geométrico, isto é, cujo rompimento está associado à alteração da geometria do elemento estrutural, e não à falha do material de que a coluna é feita. A coluna ilustrada na figura abaixo é considerada simplesmente apoiada e ideal (feita de um material homogêneo e sem imperfeições de ordem geométrica).

A determinação de uma expressão para a flambagem da coluna ilustrada envolve

um equacionamento do seu equilíbrio no estado deformado. A carga P, ao flambar a coluna, faz com que ela sofra momentos fletores em cada ponto do seu comprimento afastado x unidades do apoio inferior que valem M(x) = – P v(x). Esta função precisa ser

x

v(x)

EI L

v(0) = 0

v(L) = 0

x

P

vmáx

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igual, pela teoria da flexão, a EI v”, onde v” é a derivada segunda de v(x) em relação a x. Ou seja, a equação diferencial ordinária homogênea, de segunda ordem, e de coeficientes constantes d2v/dx2 + P/EI v(x) = 0 é a equação que governa a flambagem da coluna bi-apoiada. Sua solução é a seguinte:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= x

EIPCx

EIPCxv cossin)( 21

onde as constantes C1 e C2 podem ser determinadas através das condições de contorno da coluna:

( ) ( )( ) ( )( )

( ) 0sin0sin00

0100000

1

221

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎯⎯→⎯+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒=

=⇒+=⇒=

≠ LEIPL

EIPCLv

CCCvC

Na segunda condição, para que o seno seja nulo, a quantidade entre parênteses precisa, obrigatoriamente, ser sempre múltipla de π radianos, isto é:

... 2, 1, , == nnLEIP π

Para n = 1, tem-se o valor da força crítica Pcr necessário para que a coluna saia da sua posição indeformada para assumir uma geometria arqueada, ou seja, para que sofra instabilidade do equilíbrio ou flambagem. Este valor é:

2

2

LEIPcr

π=

Assim, portanto, a carga crítica para a flambagem de uma coluna ideal bi-apoiada depende, como comentado inicialmente, do comprimento da coluna, L, e das características geométricas de sua seção transversal ou, mais precisamente, do seu momento de inércia, I. Ainda, o material de que a coluna é feita também é importante, pois a força Pcr é diretamente proporcional ao módulo de elasticidade, E, do material. Colunas com Outros Tipos de Apoios

Nem sempre as colunas terão as condições de contorno exigidas acima. A possibilidade de encontrarmos, por exemplo, colunas bi-engastadas ou engastadas-livre é grande e, portanto, a expressão para cálculo da carga crítica de flambagem precisa ser adequada a cada caso possível. Na figura a seguir apresentam-se os possíveis casos e suas deformadas, determinando-se, a partir de suas geometrias deformadas originais, os trechos em arco como aquele admitido para a coluna bi-apoiada. Assim, se a expressão anterior para a carga crítica de flambagem era baseada num comprimento equivalente, Le, igual ao comprimento total da coluna bi-apoiada, L, a partir de agora, para se considerar qualquer caso possível de vinculação, adota-se, na fórmula, a variável Le, que dependerá das condições de contorno da coluna. A expressão final é evidenciada abaixo, sendo conhecida na literatura como “Carga Crítica de Flambagem de Euler”. Esta fórmula,

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muitas vezes, aparece ligeiramente modificada para que a tensão, e não a carga, seja considerada.

Para tanto, deve-se lembrar do conceito de “raio de giração”, r, que nada mais é do que a raiz quadrada do momento de inércia, I, de uma seção transversal dividida pela área, A, desta seção, ou seja: r2 = I/A. Aplicando-se esta relação na fórmula da carga crítica de Euler, obtém-se que:

2

22

ecr L

EArP π=

ou

22

2

rLE

AP

e

cr π=

que, finalmente, resulta em:

rLEee

ecr == λ

λπσ ,2

2

Nesta última expressão, tem-se que a tensão crítica de flambagem de Euler, σcr, é

diretamente proporcional ao módulo de elasticidade, E, do material e inversamente proporcional ao quadrado do “índice de esbeltez equivalente ou efetivo”, λe, da coluna.

P

Le = L

P

Le = 2 L

P

Le = 0,5 L

P

Le = 0,7 L

π2 EI Le

2 Pcr =

Carga Crítica de Euler