Ensino Superior 9. Integrais Duplas Volumes Amintas Paiva Afonso Cálculo 3.
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Ensino Superior
9. Integrais DuplasVolumes
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 3
Integrais Duplas - Volume
• Na tentativa de resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de um sólido e, no processo, chegar à definição de integral dupla.
f : IR2 IR contínua no retângulo R = [a,b] x [c,d]
y
ba x
d
c
RR
• Consideremos uma função f de duas variáveis definida em um retângulo fechado
R = [a,b] x [c,d]= { (x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }
f 0 em IR Q = {(x,y,z) | (x,y) IR e 0 z f(x,y)}
x
y
z QQ
RR
Volume de QQ = V = ?
• e vamos, inicialmente, supor f(x,y) > 0. O gráfico de f é a
superfície de equação z = f(x,y).
• Seja Q o sólido que está contido na
região acima de R e abaixo do gráfico
de Q, ou seja,
Q = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 z f(x,y)}
• O primeiro passo consiste em dividir o retângulo R em sub-
retângulos. Faremos isso dividindo o intervalo [a,b] em m
subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento x = (b – a) / m,
e o intervalo [c,d] em n subintervalos [y j-1 , yj], de mesmo
comprimento y = (b – a) / n. traçando retas paralelas aos eixos
coordenados passando pelos extremos dos subintervalos,
formamos os sub-retângulos.
Rij = [xi-1,xi] x [yj-1,yj ] = {(x,y) | xi-1 < x < xi , yj-1 < y <
yj }cada um dos quais com área A = xy.
Partição de R
Partição de R
xi
x
ba x
d
c
RRy
x1 x2xi-1
y1
y2
yj-1
yjy
RRijij
(x(xijij , y , yijij))
Integrais Duplas - Volume
• Se escolhermos um ponto arbitrário (xij,yij) em cada Rij,
podemos aproximar a parte de Q que está acima de cada Rij
por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com base Rij e
altura f(xij,yij). O volume desta caixa é dado pela sua altura
vezes a área do retângulo da base:.
Vij = f(xij,yij)A.
Integrais Duplas - Volume
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retângulos e somarmos os volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximação do volume total de Q:
m
jijij
n
i
AyxfV11
),(
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retângulo, calculamos o valor de f no ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela área do sub-retângulo e, então, adicionamos os resultados.
V = x
y
z QQ
RR
f (xij , yij)
(xij , yij)
Vij
m
1jijij
n
1in,m
A)y,x(flim
Integrais Duplas - Volume
Integrais Duplas - Volume
Definição
• Considere uma função z = f (x, y) contínua e definida numa região fechada e limitada D do plano xy.
• Traçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região D por pequenos retângulos.
• Considere somente os retângulos Rk que estão totalmente
contidos em D, numerando-os de 1 a n.
Em cada retângulo Rk, tome o ponto Pk = (xk , yk) e forme a
soma• SOMA DE RIEMANN:
onde Ak = xk . yk é a área do retângulo Rk.
• Traçando-se mais retas paralelas aos eixos x e y, os retângulos ficam cada vez menores.Toma-se mais retas tal que a diagonal máxima dos retângulos Rk tende a zero quando n tende ao infinito.
Definição
• Então, se
existe, ele é chamado INTEGRAL DUPLA de f (xk ,yk)Ak sobre a região D.
Denota-se por:
Definição
n
ikkkn
DDAyxfdxdyyxfdAyxf
1
).,(lim),(),(
Interpretação Geométrica
• Se f (x, y) 0, f (xk , yk)Ak representa o volume de um
prisma reto, cuja base é o retângulo Rk e cuja altura é f
(xk , yk).• A soma de Riemann é a aproximação do
volume limitado abaixo da região z e acima de D.
Interpretação Geométrica
• Assim, se z = f (x, y) 0, então
é o VOLUME DO SÓLIDO delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y) e inferiormente pela região D.
Interpretação Geométrica
Se f(x, y) = 1 P(x, y) D, então, V = 1.áreaD.
Logo:
Área da Região D
Cálculo de Volumes - Aplicações
A Integral dupla dá o volume sob a superfície f(x,y)
Cálculo de Volumes - Aplicações
Para f (x, y) 0, a integral
nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pelo gráfico de z = f (x, y), inferiormente pela região D e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de D.
Exemplos
Calcular o volume do sólido delimitado superiormente pelo
gráfico de z = 4 - x - y inferiormente pela região delimitada
por x = 0, x = 2, y = 0 e e lateralmente pelo cilindro
vertical cuja base é o contorno de R. Resposta: V = 15/4 u.v.2
1x
4
1y
Representamos na Figura a região R (base deste sólido):
2
1x
4
1y0 Assim, 0 x 2 e
, logo a região é do Tipo I e
podemos integrar deste modo:
2
0
2
1x
4
1
0
dydxyx4V
Teorema de Fubini
b
a
b
a
d
c
dxdyyxfdxxAdxdyyxf ]).,([)(),(
Teorema de Fubini
d
c
d
c
b
a
dydxyxfdyyAdxdyyxf ]).,([)(),(
Exercícios
1) Determinar o volume do sólido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3, no 1º octante.
3
3
Exercícios
2) Determinar o volume do sólido limitado por z = 4 − x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0.
Resposta: 32 u.v
Exercícios
3) Determinar o volume do sólido limitado no 1º octante pelos cilindros x2 + y2 = a2 e x2 + z2 = a2.
Resposta: 2a3/3 u.v.
a
a
a
Exercícios
4) Determinar o volume do sólido limitado superiormente por z
= 2x + y + 4 e inferiormente por z = − x − y + 2 e lateralmente
pela superfície definida pelo contorno da região D limitada
pelas curvas y = x2 – 4 e 22
xy
2
Exercícios
Resposta: -22/15 u.v.
Exercícios
5) Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo
parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2
e os três planos coordenados.
Resposta: 48
Primeiro, observamos que S é o sólido que se encontra sob a superfície 22 216 yxz e acima de ].2,0[]2,0[ R
R
dAyxV )216( 22
2
0
232
03
1 216 dyxyxxx
x 2
0
243
88 dyy
482
0 3
4
3
88 3 yy
2
0
2
0
22 )216( dxdyyx
Exercícios
6)Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide
z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta
y = 2x e pela parábola y = x2.
y = 2x
y = x2
Resposta: 216/35
Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Exercícios
8) Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos
x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.
Resposta: 1/3
3
1
3
xxxdxxx21
dx4
x
2
xx
4
xx1
2
xxx2
dx4
x
2
xx
2
x1
2
x1x
2
x12
dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V
1
0
32
1
0
2
1
0
2222
1
0
222
1
0
2x1
2x
21
0
2x1
2/xD
Exercícios