Equações de 1º grau (1) CRB

400 cm 4 m

2x – 1 = x + 3

Equação Polinomial do 1º Grau na incógnita x.

4a3 – a2 + 3a – 2 = 0

Equação Polinomial do 2º Grau na incógnita y.

2y2 – 5y = 0

Equação Polinomial do 3º Grau na incógnita a.

Equação do 1º GrauCelso do Rosário Brasil Gonçalves

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

Um breve relato sobre a história das Equações.

As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da França, Henrique IV, o francês

François Viète, nascido em 1540. Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que

era mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta forma Viète teve uma

idéia simples mas genial: fez o contrário, ou seja, usou letras para representar os números nas

equações.

O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde (matemático inglês) que escreveu

em um de seus livros que para ele não existiam duas coisas mais parecidas que duas retas

paralelas. Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu colega e

começou a desenhar duas retas para representar que duas quantidades são iguais. Observe:

Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo nas equações de Viète.

Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram expressas em palavras e

eram resolvidas com muita dificuldade. A notação de Viète significou o passo mais decisivo e

fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: as equações. Por isso, Fraçois

Viète é conhecido como o Pai da Álgebra.

Podemos dizer que equação é uma igualdade entre duas expressões algébricas.

Observe:

1


Os termos localizados à esquerda do sinal de igualdade formam o 1º membro da

equação, e os localizados à direita formam o 2º membro. Observe:

2x - 1 ⏟1º membro

= x+3 ⏟2º membro

O valor atribuído à incógnita x para esta equação que torna verdadeira a igualdade é x =

4. Logo o 4 é a solução da equação, denominado raízes da equação.

4.1. Equação Polinomial do 1º Grau

Denomina-se equação do 1º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

4.1.1. Solução da equação polinomial do 1º Grau.

Resolver uma equação do 1º Grau significa determinar a suas raiz. Observe:

Exercícios resolvidos:

a) 2x - 1 = x + 3

2x – x = 3 + 1

x = 4 S = { 4 }

2

Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de

um problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber;

enigma; mistério.

(Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA)

ax + b = 0 , com a e b IR e a 0


b) 2(- 3 – y) + 4 = y + 6

- 6 – 2y + 4 = y – 6

- 2y – y = + 6 - 4 + 6

- 3y = + 8 . (- 1)

3y = - 8

y=−8

3 S = {−8

3 }

c)

3x - 22

- 3x + 1

3=4x - 6

5

m.m.c. (2, 3, 5) = 30

15 .(3 x−2)−10 .(3 x+1)=6 .(4 x−6 )30

15(3x – 2) – 10(3x + 1) = 6(4x – 6)

45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36

45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10

-9x = 4 .(- 1)

x= -

49 S =

{−49 }

VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL”

Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da equação dada. Os valores

numéricos devem ser iguais. Observe:

3


2x - 1 = x + 3

2 . 4 – 1 = 4 + 3

8 – 1 = 7

7 = 7

Logo a solução para x = 4 é verdadeira.

d) Qual é o número cujo dobro aumentado de 9 é igual ao seu quádruplo diminuído de 21?

Representamos o número desconhecido por x. Então,

2x + 9 = 4x – 21

2x – 4x = - 21 – 9

- 2x = - 30 .(- 1)

2x = 30

x=30

2

x = 15 S = {15}

e) Um litro do vinho A custa R$ 6,00, e o litro do tipo B, R$ 4,80. Quantos litros de vinho A se

deve misturar a 100 litros de vinho B para se obter um vinho C, que custe R$ 5,50 o litro?

A B C

Preço por litro (R$) 6,00 4,80 5,50

Volume (em Litros) x 100 100 + x

6 . x + 4,8 . 100 = 5,5 . (100 + x)

6x + 480 = 550 + 5,5x

6x – 5,5x = 550 – 480

0,5x = 70

4


x=700,5

x = 140

Logo, devem-se misturar 140 litros do vinho A.

Exercícios Propostos

1. Resolver as seguintes equações do 1º grau, sendo U = Q:

a) 5x – 40 = 2 – xb) 20 + 6x = -2x + 26c) 3,5x + 1 = 3 + 3,1x d) 7p + 15 – 5p 10 = - 17 + 13p e) 13y – 5 = 11 + 9y f) 9t – 14 = 7t + 20 g) 5 – a – 11 = 4a – 22h) 2y + 21 – 6y = - 12 + y – 7 i) 3(x – 2) – (1 – x) = 13 j) 6(4 – t) – 55 = - 5(2t+ 3) l) 5 – 4(x – 1) = 4x – 3(4x – 1) – 4 m) 3(y – 3) + 4 = 2[-(y – 5) – 4(2y + 1)]

2. Resolver as seguintes equações do 1° grau

1) 4m – 1 = 7

2) 3m – 9 = 11

3) 3x + 2 + 4x + 9

4) 5m – 2 + 12 = 6m + 4

5) 2b – 6 = 15

6) 2m – 4 + 12 = 3m – 4 + 2

7) 4m – 7 = 2m – 8

5


8) 6m – 4 = 12 – 9m

9) m + 4 – 3m = 4 +12 m

10) 3 + 4m – 9 = 6m – 4 + 12

11) –5 + 3x + 4 – 12 + 9x

12) 3x + 5 - 2 = 2x + 12

13) 3( x + 2}= 15

14) –2m ( -m + 2) = 3 ( 2m + 1)

15) 12m + 3 (m – 1) = -2(m +1) + 12

16) 2 ( x-1) = 0

17) –3 (m +2) = 1

18) 2 ( x + 2 ) = 12

19) m = -3 ( m – 4 )

20) 2 ( m + 5 ) = -3 ( m – 5 )

21) –2 ( y + 4 ) = -7+ 9 ( y – 1)

22) 5 ( x – 4) = -4 + 9 ( x – 1)

23) –5 ( x – 4 ) + 4 = 2 ( - 2 x – 2 ) + 9

24) -2 ( m – 5 ) + 3m = - ( m + 2 ) – 7

25) - ( x + 5) – 6 = -9 ( x – 3 ) – 2

26) x - 7 + 2 ( x – 4 ) = -3 ( x + 2 ) – 8

RESPOSTAS

1. { 2 }

2.

3. {1}

4. { 6}

5.

6. { 10}

7.

8.

6


9.

10. { -7 }

11.

12. { 9}

13.

14.

15.

16. { 4}

17.

18. {4}

19. { 3 }

20. { 1}

21.

22.

23. { 19 }

24.

25.

26.

1) Resolver as seguintes equações de 1º grau:

a) 4 x=8

b) −5 x=10

c) 7+x=8

d) 3−2x=−7

e) 16+4 x−4=x+12

f) 8+7 x−13=x−27−5 x

g)

2x3

=34

h)

14=3 x

10

i) 9 x+2−( 4 x+5 )=4 x+3

7


j) 3 . (2−x )−5 . (7−2 x )=10−4 x+5

l)

x−23

−12−x2

=5 x−364

−1

m)

5x+38

−3−4 x3

+ x2=31

2−9−5x

6

2) Resolva a equação literal 5x – 3a = 2x + 11a na incógnita x.

Equações Fracionárias do 1º grau

3. Nas equações seguintes, determine, no universo R, o domínio de validade (D) de cada uma delas e o conjunto verdade.

01) x + 3 /x + 4 = 3/5 (resp.D = R - {- 4}, V = {-3/2})

02) 2x +5 / x – 2 = 2/5(resp. D= R - {2}, V = {-29/8})

03) 3/x – 8 = 6/x+2 (resp. D = R - {-2, 8}, V = {18}

04) 2 / 2x-3 = 4 / x-5 (resp. D = R - {3/2, 5}, V = {1/3}

05) (x+1)² - 4 / x² +2x -3 = 1 (Resp. D = R -{-3,1}, V=D

06 ) 2 x ²x ²−1

− 3x−1

=2− 1x+1 (resp. D = R - {-1, 1}, V = ø)

07) x+1x−3

− x+2x−2

=13− 1+x

3 x−6 (resp. D = R - {2, 3}, V = {-1}

08)2

7 x−7+ 2

7= 1

14 x−14 (resp. D = R - {1}, V = {1/4})

09)5

3+x−3−x

2=2−15−x ²

6+2x (resp. D= R - {-3}, V = {1})

8


10)3

x ²−1− 2x−1

= 5x+1

+ 1x ²−1

(resp. D = R - {±1}, V = {5/7}

11)x−1

2

x+14

= x+ 1

2

x−14

( resp. resp. D= R - {±1/4})

4. O conjunto verdade da equação [(x-1)/2] + [(x+2) /3] = 8, no universo dos números racionais, é igual a: A) V={ - 47/5} B) V={ 48/5 } C) V={ 47/5} D) V={ - 48/5} E) n.d.a.

5. Dada a expressão x –2 . (3 –2x), qual deve ser o valor de x para que essa expressão seja igual a zero?

a) 11 b) 1 c) -1 xd) 65

6. A soma do quádruplo de um número com 63 é igual a 211. Qual é esse número?a) 35 b) 36 xc) 37 d) 38

7. A quarta parte com a sexta parte de um número é o mesmo que a diferença entre o número e 56. Qual é esse número?xa) 96 b) 95 c) 90 d) 88

8. Um reservatório estava totalmente cheio de água. Inicialmente, esvaziou-se 1/3 da capacidade desse reservatório e, a seguir foram retirados 400 l de água. O volume de água que restou no reservatório, após essas operações, corresponde a 3/5 da capacidade total do reservatório. Nestas condições, quantos litros de água cabem nesse reservatório?a) 3 600 litros b) 4 200 litros c) 5 000 litros xd) 6 000 litros

9. Em uma partida de basquete, Marcelo acertou x arremessos de 3 pontos e (x + 2) arremessos de 2 pontos. Se Marcelo marcou 29 pontos nesse jogo, quantos arremessos de 3 ponto ele acertou?

*a) 05 arremessos b) 14 arremessos c) 15 arremessos d) 07 arremessos

9


10. Dada a equação 2x - 30 = 120, determine o valor da incógnita x

a) X = 150 b) X = 90 c) X = 45 *d) X = 75

11. Na equação 3x - 10 = x - 30 , o valor de x que torna verdade esta equação é:

*a) X = 10 b) X = -20/3 c) X = 15 d) X = 0

12. Resolva a seguinte equação 5 . (m + 1) 3 . (2m + 1) = 4 . (5 m)

a) m = 32 b) m = 22 c) m = 18 d) m = 7

13. Ao triplo de um número adicionamos 90. O resultado é igual ao quíntuplo do mesmo número. Qual é esse número?

a) x = 90 b) x = 65 c) x = 50 d) x = 45

14. O quociente entre dois números naturais consecutivos é igual a 1,090909... Quanto vale a soma desses números? (resp. 23)

15. Dois quintos do meu salário são reservados para o aluguel, e a metade do que sobra para a alimentação. Descontados o dinheiro do aluguel e o da alimentação, coloco um terço do que sobrou na caderneta de poupança restando, então, R$ 1200,00 para gastos diversos. Qual é o meu salário? (resp. R$ 6.000,00).

16. De um recipiente cheio de água tiram-se 2/3 do seu conteúdo. Recolocando-se 30 litros de água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume inicial. Qual é a capacidade total do recipiente? (resp. 180 litros).

17) Numa divisão, o quociente é 8 e o resto, 24. Sabe-se que a soma do dividendo, do divisor, do quociente e do resto é 344. Então, quanto vale a diferença dividendo menos divisor? (resp. 248).

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18) Certa pessoa de morou 2 anos para realizar um trabalho. A outra levou 3 anos para realizar o mesmo trabalho. Se tivessem trabalhado juntas, em quantos dias poderiam fazer o trabalho?Obs: Considere o ano com 360 dias.

Solução:

Em 1 ano temos:

1a

pessoa executa: ½ do trabalho.

2a

pessoa executa: 1/3 do trabalho.

Trabalhando juntas executam: 1/x do trabalho.

Logo, temos o seguinte resultado:

12+ 1

3=1x

Resolvendo a equação encontramos para x = 6/5 de 1 ano. Como a resposta deve ser dada em dias devemos multiplicar 6/5 por 360.

65 x 360 = 432 dias (que é a resposta da questão).

19. Duas velas de mesma altura são acesas ao mesmo tempo. A 1ª é consumida em 4 horas e a 2ª em 3 horas. Supondo que cada vela queima-se a uma velocidade constante, pergunta-se: quantas horas depois de terem sido acesas a altura da primeira vela é o dobro da altura da segunda?

Solução:

Vamos chamar de “t” o tempo decorrido para que as velas atinjam determinada altura e , também, vamos considerar como “1” (um) a altura inicial de cada uma delas. Assim:

Em 1 hora temos o seguinte:

11


(1) Primeira vela: 1−14t (2) segunda vela: 2(1−1

3t)

Igualando as duas equações, temos o seguinte resultado:

1−14t=2(1−1

3t)

Resolvendo a equação acima obtemos para t o seguinte valor: 12/5 h. Fazendo as alterações e transformações necessárias encontramos como resposta: t = 2 horas e 24 minutos

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