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UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES

CAMPUS DE ERECHIM

DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

MARCIA BASSANEZE

O ESTUDO DAS EQUAÇÕES MATEMÁTICAS NO ENSINO

FUNDAMENTAL E MÉDIO

ERECHIM

2010

MARCIA BASSANEZE

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O ESTUDO DAS EQUAÇÕES MATEMÁTICAS NO ENSINO

FUNDAMENTAL E MÉDIO

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Matemática da Universidade Regional Integrada – Campus de Erechim, como requisito parcial à obtenção do título de Licenciatura em Matemática.

Profª: Hélia Valério Thibes

ERECHIM

2010

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Dedico este trabalho com todo o meu amor e carinho a

um grande homem , que é sem dúvida meu pai, foi ele a

pessoa que me deu a iniciativa de eu chegar aonde

cheguei.

AGRADECIMENTOS

3

Á Professora Hélia ValérioThibes, que além de

orientadora foi também uma amiga, dando incentivo,

orientação e além disso a segurança que transmitia.

Á minha mãe por estar ao meu lado o tempo todo.

Á meu irmão que sempre me deu força para seguir em

frente.

Á todos meus amigos e colegas de trabalho que

sempre me deram apoio e me ajudaram a não desistir

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“ A vida é como se fosse várias equações Matemáticas a nossa frente, nos deparamos o tempo todo com dificuldades, decisões a serem tomadas, raciocínio, uso de artifícios lógicos e ferramentas mentais .....qual o melhor caminho a seguir para solução dessas equações?!! Cristian

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO..........................................................................................................8

2 UM POUCO SOBRE O ESTUDO E A HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES.....................9

3 O PENSAMENTO ARITMÉTICO E O ENSINO DO NÚMERO...............................16

4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS............................................................................20

5 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DO USO DE EQUAÇÕES...............27

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS....................................................................................31

REFERÊNCIAS..........................................................................................................33

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RESUMO

O presente trabalho procurou investigar alguns aspectos relativos à resolução

de equações matemáticas, principalmente devido à importância que as mesmas

ocupam no ensino básico, e por estarem presentes em situações diárias vivenciadas

pelos alunos. Com o objetivo de investigar os significados da noção de equação no

ensino de Matemática e sua importância no Ensino Fundamental e Médio, foram

identificadas, sistematizadas e analisadas referências sobre o tema, buscando

verificar a importância da resolução de equações na solução de problemas, através

de pesquisa bibliográfica.

Palavra-chave: Equação do 1° grau; Resolução de Problemas; Números; Matemática

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1 INTRODUÇÃO

Não há dúvida quanto à utilidade de conhecimentos matemáticos na rotina

diária. Para que este conhecimento fique próximo dessa realidade, o ensino da

matemática deve estar integrado ao cotidiano do aluno, seja provido de significado,

se processe de forma prazerosa, sem gerar medo ou temor pela matemática.

Grande parte da geração passada viveu nos bancos escolares uma espécie

de pavor ao ter que solucionar problemas, realizar operações e utilizar o raciocínio

lógico em diferentes momentos sem saber como aplicar na vida prática. Hoje o aluno

tem nas mãos tecnologias, tais como, computadores, calculadoras, Internet, mas

ainda convive com o mito da “matemática difícil”. Os atuais métodos de ensino

escolar estão tentando reverter esta história, buscando caminhos para ligar o ensino

da matemática às situações do cotidiano de uma maneira mais prazerosa.

Este tema torna-se relevante devido à importância que as equações ocupam

na Educação Matemática, no ensino básico, sendo que as mesmas também estão

presentes em situações diárias vivenciadas pelos alunos.

O presente trabalho objetiva investigar os significados da noção de equação

no ensino de Matemática associado á resolução de problemas, e sua importância no

Ensino Fundamental e Médio. Para tanto, mais especificamente, foram identificadas,

sistematizadas e analisadas referências sobre o tema, buscando verificar a

importância da resolução de equações na solução de problemas.

A realização se deu através de pesquisa bibliográfica, onde procurou-se uma

maior interação com o assunto através de autores que discutem o mesmo, por meio

de leituras de livros e artigos científicos, fazendo uma retomada histórica e

resgatando diferentes conceitos sobre as equações matemáticas.

No primeiro capítulo será comentada um pouco da história das equações

matemáticas, bem como a sua importância. No segundo capítulo será abordado o pensamento aritmético e o ensino do número. Os problemas matemáticos serão

abordados no terceiro capítulo e suas resoluções através das equações, serão

vistas no quarto capítulo. Finalizando, serão feitas algumas considerações sobre o

assunto.

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2 UM POUCO SOBRE O ESTUDO E A HISTÓRIA DAS EQUAÇÕES

A Matemática faz parte da vida e do dia a dia de todos, mesmo assim é

comum encontrar pessoas que demonstram sentir grande dificuldade na

aprendizagem da disciplina, em relação à assimilação e compreensão de certos

conteúdos.

A partir da segunda metade do século XX, a preocupação com o ensino e a

aprendizagem da Matemática vem crescendo, e surgindo varias iniciativas, no

sentido de propor novas metodologias, através de atividades praticas em sala de

aula, para que através dessas mudanças os professores procurem acompanhar as

propostas concebidas pelos planos educacionais no processo de transformação na

Educação .

De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997), a história da

Matemática, mediante um processo de transposição didática e juntamente com

outros recursos didáticos pode oferecer uma importante contribuição no processo

ensino – aprendizagem da Matemática, isto é, esclarecendo idéias construídas pelos

próprios alunos.

O ensinar matemática é explorar do aluno o processo investigativo e

formulativo, onde ele consiga resolver situações problema, e não só o ensinar a

fazer “contas”, onde só se trabalha com fórmulas, algoritmos, modelos, macetes, etc.

Essa questão se agrava quando se trata do ensino e uso de equações, ou

seja, quando o aluno precisa transpor o pensamento aritmético para o algébrico,

pois para isso torna-se necessário abstrair, investigar possibilidades e

desenvolvimento de atividades para a resolução de equações, identificando e

compreendendo o como resolver. Nessa fase o que se observa, quase sempre, é

que os livros didáticos vêm sendo o material ainda mais utilizado, tanto pelos alunos

quanto pelos professores, talvez por ser um material de fácil aquisição e na maioria

das vezes gratuito.

A álgebra, como a conhecemos, é bastante recente, embora o pensamento

algébrico esteja a muitos anos presente, desde os estudos mais antigos de que se

tem conhecimento, no pensamento dos povos da Mesopotâmia, da China, dos

árabes, entre outros.

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O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente,

ao ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por

Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind

também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de

problemas relacionados à matemática. (MUNDO EDUCAÇÃO, 2010)

Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria,

realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas

na parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma

satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de

equações. (MUNDO EDUCAÇÃO, 2010)

Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, ele nasceu na cidade de

Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade grega de Atenas.

(MUNDO EDUCAÇÃO, 2010)

Em seus estudos, as equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos

que expressavam o valor desconhecido. Observe o seguinte problema.

“Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”.

Se notarmos a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse

problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a

representação do problema utilizando letras:

x + x/7 = 19.

“Qual o valor de Aha, sabendo aha mais um oitavo de aha resulta 19?”

x + x/8 = 19

Na lápide do túmulo de Diofanto, encontra - se uma inscrição que representa

uma equação relatando sua vida, e o resultado revela a idade que tinha quando

faleceu.

"Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um dozeavo da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu

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seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer". De acordo com esse enigma, Diofanto teria 84 anos. (MUNDO EDUCAÇÃO, 2010)

Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos

para as equações do 1º grau, 2º grau, 3º grau, 4º grau e nas maiores ou iguais ao

grau 5. A álgebra é considerada peça fundamental na Matemática Moderna,

contribuindo na elaboração e resolução de cálculos complexos. As inúmeras

aplicações estão presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao

desenvolvimento humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura,

Urbanismo, Transportes, Contabilidade, Economia, Administração e Informática,

entre outros. (MUNDO EDUCAÇÃO, 2010)

A matemática é vista como um alicerce de todas as áreas do conhecimento,

podendo ser utilizada nos diversos graus de escolaridade permitindo criar e resolver

problemas. À medida em que nos integramos ao que se denomina uma sociedade

da informação crescentemente globalizada, é importante que a Educação se volte

para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de resolver problemas,

de tomar decisões, de fazer inferências, de criar, de aperfeiçoar conhecimentos e

valores, de trabalhar cooperativamente. (BRASIL, 1997, PCN, p.40).

O professor, enquanto orientador da aprendizagem precisa buscar diferentes

maneiras de ensinar, utilizando-se de metodologias diferentes e de instrumentos

didáticos que subsidiem suas aulas e atividades. Precisa proporcionar aos seus

estudantes experiências matemáticas para que eles possam se tornar mais

autônomos, independentes e críticos.

Markarian (2004), lembra que

O objetivo da Matemática é um tanto imperceptível. A abstração das propriedades quantitativas ou geométricas que caracterizam as primeiras noções estudadas nos cursos de Matemática constituem um processo de complicada assimilação. Pequenos erros nesse processo tornam muito difíceis a assimilação de novos conceitos e procedimentos, gerando grandes traumas futuros. Por outro lado, a memorização de uma nomenclatura diferente e muito precisa introduz componentes que não são usuais na vida diária. (MARKARIAN 2004, p. 275)

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Sendo assim, o papel do professor torna-se ainda mais importante, pois o erro

poderá comprometer a aprendizagem dos alunos. E, além disso, “aceitação e

compreensão das dificuldades da Matemática e, por sua vez, da necessidade de sua

aplicação são básicas para poder analisar o problema do ensino da Matemática em

nível alto e com competência”. (MARKARIAN, 2004, p.275)

As grandes áreas em que a Matemática, tradicionalmente, se divide tiveram

origens, na sua maioria, em problemas envolvendo equações dos tipos mais

variados. O estudo das equações algébricas, ou equações polinomiais numa

variável levou ao aparecimento da Álgebra. Compreende-se que as equações sejam

de que tipo for, representam um conteúdo atraente de estudo podendo representar

um assunto central, de grande importância dentro da matemática e das suas

aplicações, principalmente na resolução de problemas.

Inúmeros problemas e processos da Ciência e da Tecnologia, e mesmo

da nossa vida cotidiana, podem ser descritos ou modelados por meio de equações.

Dessa forma, o estudo das equações deve ocupar um lugar de relevo no “currículo”

de Matemática, nos níveis apropriados. Pois, segundo Bezerra (2010), a ênfase nas

equações devolve significado, relevância e utilidade aos programas de Matemática.

Inserir o conteúdo num contexto mais amplo provocando a curiosidade do

aluno ajuda a criar a base para um aprendizado sólido que só será alcançado

através de uma real compreensão dos processos envolvidos na construção do

conhecimento.

Dentre os conhecimentos que as crianças possuem, Moreno (2006), faz

referência à recitação da série numérica oral, saber contar elementos de um

conjunto, fazendo a correspondência entre número e quantidade e finalmente a

numeração escrita.

Aprender matemática é “construir o sentido dos conhecimentos” (MORENO,

2006, p.59), e os problemas e a reflexão sobre os mesmos dão sentido, no momento

em que aparecem, como ferramentas para poder resolvê-los.

Para tanto é necessário propor situações didáticas em que os números

apareçam como ferramentas de resolução, utilizando os números em todos os

contextos possíveis. Dentre estes, como memória da quantidade, memória da

posição, como códigos, para expressar grandezas e para prever resultados.

(MORENO, 2006)

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Para um só problema podem aparecer várias resoluções por parte dos

alunos. Isso acontece devido aos conhecimentos prévios que eles possuem e que o

professor deverá reconhecer para, a seguir, poder estimulá-los “a encontrar

estratégias para tornar fáceis os cálculos que são difíceis para eles”. (MORENO,

2006, p.61)

Quanto à representação convencional, percebe-se que os alunos fazem “uma

justaposição de quantidades sem levar em conta as relações de hierarquia que os

sinais determinam” (MORENO, 2006, p.62).

Para Moreno e Sastre (1986, apud, MORENO, 2006), no ensino clássico, a

criança ao entrar na escola, se depara com outro tipo de aprendizagem.

A aprendizagem de procedimentos formais para expressar ações que antes realizava espontaneamente, e não de maneira institucionalizada. Antes acrescentava, reunia, tirava, dividia, separava os objetos que estavam ao seu alcance e que manipulava em função de seus interesses e necessidades; agora, essas ações são substituídas pelo lápis e pelo papel, com os quais deve fazer as contas que o professor lhe apresenta (MORENO e SASTRE, 1986, apud, MORENO 2006, p.62-63)

Moreno (2006), critica este tipo de aprendizagem porque é esperado que o

aluno reproduza no caderno, tal qual o que aprendeu, e isso não tem validade na

organização e resolução de problemas que surgem no dia-a-dia. Assim, ele defende

que em primeiro lugar deve ser apresentado ao aluno, uma situação problema, a fim

de que eles tentem resolver com os procedimentos que conhecem.

Moreno e Sastre (1986, apud, MORENO, 2006), mostram que a ordem do

processo construtivo deve ser a seguinte: linguagem oral, linguagem escrita,

desenho, sinais matemáticos.

A escrita aritmética é um dos muitos sistemas de simbolização com o qual uma criança pode expressar os conceitos que possui. Para favorecer seu uso com significado, não por imposição, é necessário que o professor conheça e aceite a existência dos diferentes sistemas simbólicos que o precedem. (MORENO e SASTRE, 1986, apud, MORENO 2006, p.64)

Ao abordar os problemas para o ensino no número Moreno (2006), mostra

que ultimamente têm surgido vários métodos diferentes de ensino, fazendo com que

muitas experiências boas, fossem jogadas fora para que houvesse uma “renovação”

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na metodologia. Isso ocasionou e ocasiona muitos fracassos, porque o que é bom e

útil em cada novo método é sempre descartado ao surgir outro.

Moreno (2006, p.66) afirma que

A didática da matemática não é um novo “método” de ensino. Não se dedica à produção de meios para atuar no ensino, na maior medida possível, os processos que acontecem no domínio do ensino escolar da matemática. Esses processos, como já vimos, dependem não somente dos tipos de problemas que são propostos, mas também da seqüência dos mesmos, das modificações intencionais (variáveis didáticas) que se realizam com o objetivo de fazer evoluir os conhecimentos dos alunos para o saber que se tenta transmitir, das interações que se promovem entre os alunos e dos tipos de intervenção docente durante os processos de ensino e de aprendizagem desse saber. (MORENO 2006, p.66)

A autora também faz alusão às situações em que os números são utilizados

como memória da quantidade, mostrando que

Para trabalhar essa função do número, são adequados todos os problemas que impliquem a comparação de quantidades, a determinação do cardinal de um conjunto de objetos, etc. O trabalho com configurações espaciais fixas [...] é um recurso eficiente para facilitar o reconhecimento das quantidades. (MORENO 2006, p.66)

Para Moreno (2006, p.73) “ensinar matemática no enfoque didático da

matemática implica aceitar uma mudança profunda nas relações entre os alunos, o

professor e o saber”.

Com relação ao trabalho do professor, a autora diz

Estou consciente de que nem sempre é fácil abandonar o conhecido, o provado, uma vez que isso dá segurança. No entanto, como professores comprometidos com a tarefa de ensinar, não podemos nos esquecer de nosso próprio prazer de aprender. Empreender novos caminhos pode ser uma experiência enriquecedora e apaixonante. Por que se privar disso? (MORENO, 2006, p.75)

O professor de matemática deve preocupar-se em oferecer experiências de

aprendizagem integradas e significativas de forma a desenvolver, tanto

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competências conceituais, como capacidades de pensamento crítico e tomada de

decisão, processos inerentes à eficácia da Resolução de Problemas. E como afirma

Smole & Diniz (2001), é falando, escrevendo e pintando que o aluno aprende e

comunica o que aprendeu. Papert (2001, p.58) complementa mostrando que é

necessário adquirir habilidades para participar da construção do novo, ou então nos

resignamos a uma vida de dependência. “A verdadeira habilidade competitiva é a

habilidade de aprender. Não devemos aprender a dar respostas certas ou erradas,

temos de aprender a solucionar problemas”.

Conforme Dante (1999) é preciso desenvolver no aluno a habilidade de

elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos

disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em

seu dia-a-dia, na escola, ou fora dela. As rápidas mudanças tecnológicas e sociais

nos impedem de fazer uma previsão de quais habilidades, conceitos ou algoritmos

são úteis para o preparo do aluno para seu futuro. Ensinar somente conceitos e

algoritmos que atualmente são relevantes, não parece o caminho. Razoável é

preparar o educando para lidar com situações novas que a ele se apresentam,

capacitá-lo para que possa intervir e transformar a sua realidade, e também resistir

aos obstáculos que se apresentam, pois “não se aprende matemática para resolver

problemas e, sim, se aprende matemática resolvendo problemas” (CARVALHO,

1993, p. 82).

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3 O PENSAMENTO ARITMÉTICO E O ENSINO DO NÚMERO

Há diferentes enfoques no ensino dos conteúdos da matemática. Isso ocorre

devido à diferença de formação entre professores e a carência de espaços de

reflexão sobre as práticas de ensino. Acredita-se que “toda prática pedagógica está

determinada por concepções sobre como se ensina e como se aprende”

(BAROODY, 1988, apud, MORENO, 2006, p.43). “Essas concepções muitas vezes

terminam por constituir teorias implícitas que condicionam e regulam o agir docente

[...]” (MORENO, 2006, p.43)

No Ensino Clássico diz-se que [...] se deve ensinar os números aos poucos, um a um, e na ordem que a série enumérica indica [...] A escrita convencional dos números é central [...] Uma das idéias principais é que o conhecimento entra pelos olhos, imitando, copiando, observando [...] considera-se que as crianças somente podem resolver problemas se previamente o professor lhes ensinou os procedimentos canônicos, como a escrita convencional nos números, as contas, etc. (MORENO, 2006, p.43-44)

Neste tipo de ensino a concepção de aprendizagem é colocada como

cumulativa, prima-se pelo treinamento através da repetição e memorização. Ainda

no Ensino clássico não é considerado nenhum conhecimento anteriormente

relacionado com os conteúdos que devem ser ensinados, e saber matemática é

dominar os procedimentos formais. (MORENO, 2006)

Com a reforma da Matemática Moderna o número passou a ser ensinado

como “uma propriedade dos conjuntos como classes de equivalências”. A noção de

número é entendida como “síntese de classificação e seriação”. (MORENO, 2006,

p.45)

“A concepção de ensino-aprendizagem tem como referencial teórico o

desenvolvimento que Jean Piaget fez sobre a pergunta ‘como aumentam os

conhecimentos? Por meio da psicologia genética”. (MORENO, 2006, p.45)

Esta pesquisa permitiu “postular que o conhecimento era o resultado de uma

construção levada a termo por meio das interações de um sujeito com a realidade.”

(MORENO, 2006, p.45)

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Em lugar de tomar a psicologia genética como teoria criada para compreender os grandes mecanismos do desenvolvimento e, nesse sentido, usá-la como uma teoria de referência, ela é tomada como se fosse uma teoria geral da aprendizagem, e é por essa razão que as noções operatórias e a conservação de quantidades passam a ser conteúdos de ensino e pré-requisito para poder utilizar os números. (MORENO, 2006, p.46)

Moreno (2006, p.46) comenta que “Para Piaget, o conhecimento – incluindo o

matemático – é produto de adaptação do sujeito ao seu meio”. Simons (2007)

mostra que a criança inicia sua comunicação através de gestos e aprende através

de experiências e conclusões próprias. Além disso, o processo de desenvolvimento

é analisado através da teoria de Piaget. O autor ainda afirma que “é comum

observarmos crianças pequenas tentando colocar um objeto maior dentro de um

menor [...] Vemos que essas noções são óbvias e não existem desde sempre na

mente da criança. São construções.” (SIMONS, 2007, p.26-27)

Para Simons (2007, p.27), “a criança pode chegar aos sete anos ainda com

um raciocínio totalmente pré-lógico”. Isso acontece por falta de estímulos entre os

dois e seis anos pelas escolas tradicionais que se preocupam mais com o currículo

de conteúdos. E alguns fatores que contribuem para isso é: o desconhecimento dos

processos de estruturação cognitiva da criança; a competitividade entre as escolas;

professores que só tem a teoria mas não a colocam em prática. “[...] o conhecimento

se constrói por meio da ação de um aluno diante de situações que lhe proporcionam

desequilíbrio”. (MORENO, 2006, p.49)

Saber matemática significa poder estabelecer relações lógicas entre conjuntos. Considera-se a linguagem da teoria de conjuntos como a mais adequada para que as crianças compreendam os números por meio das relações lógicas aplicadas sobre os conjuntos de elementos [...] o número é entendido como a síntese entre as operações de classificação e seriação. (MORENO, 2006, p.47)

Simons (2007) sobre o processo de aprendizagem da criança observa que

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[...] uma criança não é um adulto em miniatura. Ela passa por um amadurecimento neurológico paulatino, que lhe permite fazer novas descobertas a cada dia [...] A criança ao nascer, ainda nada conhece do mundo que a cerca [...] Havendo uma pessoa de relação que o coloque em contato com o mundo, irá fazendo suas descobertas aos poucos. (SIMONS 2007, p.25)

Bastos e Keller (2000, p.13 apud SIMONS, 2007, p.31), defendem que “[...] a

lógica é a disciplina que trata das formas de pensamento, da linguagem descritiva do

pensamento, das leis da argumentação e do raciocínio correto, dos métodos e dos

princípios que regem o pensamento humano”.

Simons (2007, p.34) afirma que “lógica significa a arte de pensar com acerto”.

Segundo ele, “a criança, antes dos sete anos, não consegue argumentar

logicamente; ela funciona de uma forma ainda indiossincrática, isto é, segue uma

lógica totalmente própria”. (SIMONS, 2007, p.36).

O autor comenta que os estudos feitos por Piaget revelam “a importância da

interação com o outro, da estimulação e o fato de que o pensamento lógico, apesar

de ser possível ao indivíduo, nem sempre é alcançado”. (SIMONS, 2007, p.37).

A criança apresenta-se no pensamento pré-lógico até mais ou menos seis ou

sete anos, distorcendo a realidade, justificando o ponto de vista e não distinguindo o

subjetivo do objetivo.

Todo conhecimento novo é construído apoiando-se sobre os conhecimentos anteriores que, ao mesmo tempo, são modificadores. Na interação desenvolvida por um aluno em uma situação de ensino, ele utiliza seus conhecimentos anteriores, submete-os à revisão, modifica-os, rejeita-os ou os completa, redefinindo-os, descobre novos contextos de utilização e dessa maneira, constrói novas concepções. (MORENO, 2006, p.49)

Sendo assim, “considera-se a matemática como uma modificação do

conhecimento que o aluno deve produzir por si mesmo e que o professor deve

somente provocar.” (BROUSSEAU, 1986 apud MORENO, 2006, p.49)

A didática traz a criança como “sujeito didático: aquele que, diante das

situações que o professor apresenta, realiza uma busca dentro de tudo o que sabe

para decidir aquilo que é mais pertinente e colocá-lo em jogo”. (MORENO, 2006,

p.49)

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Para que o sujeito seja sujeito didático é necessário um projeto e para isso é

também necessário que o professor convença o aluno a aceitar a sua

responsabilidade diante da situação de aprendizagem. (MORENO, 2006, p.49)

[...] o aluno constrói conhecimentos novos ao se adaptar a um meio que lhe crie desequilíbrios [...] Para aceitar sua responsabilidade naquilo que produz, o aluno deve poder considerar o que faz como uma escolha entre diferentes possibilidades, para assim poder estabelecer uma relação de causalidade entre as decisões que tomou e seus resultados. (MORENO, 2006, p.50)

Charnay (1994, apud MORENO, 2006, p.49) explica que “o aluno deve ser

capaz não somente de repetir ou de refazer, mas também se ressignificar em

situações novas, de adaptar, de transferir seus conhecimentos para resolver novos

problemas.”

Moreno (2006, p.50) afirma que a matemática produz ferramentas para

resolver problemas da vida cotidiana, problemas inerentes a outras ciências – como

a arquitetura, a física ou a economia – e também problemas internos da mesma

matemática, e “fazer aparecer cada noção matemática como uma ferramenta para

resolver problemas é o que permitirá a esses alunos construir o sentido do

conhecimento em jogo. O eixo fundamental é a resolução de problemas.”

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4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

Smole & Diniz (2001), vêem a Resolução de Problemas como forma de

desenvolver nos alunos a capacidade de pensar matematicamente. E um ensino da

Matemática que dê ênfase também a este aspecto requer que os professores

adotem uma perspectiva dinâmica para a sua prática letiva, ajudando os seus alunos

a construírem um conhecimento matemático através de uma integração ativa de

idéias e experiências.

Um dos objetivos que a escola deve atingir é o desenvolvimento das

capacidades de resolver problemas, no contexto das diferentes áreas e nos vários

níveis de ensino. Pois, serão os alunos de hoje que irão viver e atuar num mundo

em constante transformação, onde se torna cada vez mais necessário fazer uso das

capacidades de resolução de problemas, nomeadamente para fazer frente aos

constantes problemas sociais que ameaçam a sustentabilidade da sociedade.

De acordo com Diniz (2001), a Resolução de Problemas trata de situações

que não possuem soluções evidentes e que exigem que o “resolvedor” combine

seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da solução. Polya

(1978, p.139), acredita que “resolver problemas é uma atividade fundamental. De

fato, a maior parte do nosso pensamento consciente relaciona-se com problemas”.

O autor complementa dizendo que,

Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de imitação e prática. [...] se você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se tornar um bom “resolvedor de problemas” tem que resolver problemas. (POLYA, 1978, p. 65)

O nosso pensamento se dirige procurando meios para resolver problemas na

nossa vida, e é essa metodologia a ser utilizada, onde o professor propõe situações

problemas em que o aluno pode explorar e investigar novos conceitos. Essa

proposta de atividade visa a construção de conceitos através de situações que

estimulem a curiosidade matemática e criem um clima de pesquisa.

Pozo (1998), mostra que ensinar aos alunos a resolver problemas supõe

dotá-los da capacidade de aprender a aprender, no sentido de habituá-los a

encontrar por si mesmos, respostas às perguntas que os inquietam ou que precisam

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responder, ao invés de esperar uma resposta já elaborada por outros e transmitida

pelo livro-texto ou pelo professor. Apesar de que, ensinar a resolver problemas,

conforme Pozo e Echeverría (2001), não consiste somente em dotar os alunos de

habilidade e estratégias eficazes, consiste também em criar neles o hábito e a atitude de

enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual deve ser encontrada uma

resposta.

Diniz (2001) defende que a resolução de problemas, deve ser descrita em três

concepções: como meta, como processo ou como habilidade básica. Notamos que a

concepção dos professores segue apenas a dimensão da resolução de problemas como

meta, ou seja, todo o ensino estrutura-se primeiro em preparar o terreno, para que

depois o aluno possa resolver os problemas a partir das informações e os conceitos

envolvidos na resolução. Trata-se da concepção de que se ensina matemática para

resolver problemas.

Lester e Lambdin (1999), afirmam que

[...] no ensino por meio da resolução de problemas, os problemas são valorizados não só como um fim para aprender matemática, mas também como um meio primário para o fazer. O ensino de um tópico matemático começa com uma situação problema que incorpora os aspectos-chave do tema, e técnicas matemáticas são desenvolvidas como respostas razoáveis para problemas razoáveis. (LESTER e LAMBDIN, 1999, p.44)

A resolução de problemas é de fundamental importância para a educação

matemática. Ela dá suporte para aplicações da matemática do cotidiano, motivando

os estudantes, visto que adequa a matemática a situações reais que ocorrem com

os alunos.

Silveira (2010), defende que “um problema matemático é toda situação

requerendo de informações matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta

resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de um resultado matemático

dado”. Para Carvalho (1994, apud KRULIK, 1997, p.56), problema “é uma situação

que o aluno se depara, de pouca ou de muita complexidade, e para o qual não tem

uma resposta imediata, mas para o qual necessita de meios intelectuais para

resolvê-los”.

Na visão de Moura (2006), as habilidades adquiridas pelos alunos na

resolução de problemas os encoraja a buscar novas soluções.

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Os problemas matemáticos configuram-se como conteúdos procedimentais e são extremamente úteis, pois aprimoram, o pensamento, o raciocínio lógico, a autonomia, a capacidade de enfrentamento de situações adversas, o desenvolvimento da habilidade de criar estratégias para diversas circunstâncias. Nesse sentido, atividades de resolução de problemas são altamente produtivas nas escolas e os professores necessitam não só oferecer situações-problema, como também, instigar os estudantes a desejarem alcançar a solução das situações propostas, encorajando-os a buscar caminhos para a solução. (Moura, 2006, p.23)

Onuchic & Allevato (2003), concordam que

[...] ensinar com problemas é difícil. As tarefas precisam ser planejadas ou selecionadas a cada dia, considerando a compreensão dos alunos e a necessidade do currículo. É freqüentemente difícil planejar mais do que alguns poucos dias de aulas à frente. Se há um livro-texto tradicional, será preciso, muitas vezes, fazer modificações. (ONUCHIC & ALLEVATO, 2003,apud BARBOSA e SILVA, 2010, p.6)

Para estes autores o ensino da matemática através da resolução de

problemas, é necessária e importante, pois devido a algumas razões, como:

- Resolução de problemas coloca o foco da atenção dos alunos sobre idéias e sobre o ‘dar sentido’. Ao resolver problemas, os alunos necessitam refletir sobre idéias que estão inerentes e / ou ligadas ao problema [...];

- Resolução de problemas desenvolve a crença de que os alunos são capazes de fazer Matemática e de que Matemática faz sentido. Cada vez que o professor propõe uma tarefa com problemas e espera pela solução, ele diz aos estudantes: ‘Eu acredito que vocês podem fazer isso!’ [...];

- A formalização de toda teoria Matemática pertinente a cada tópico construído, dentro de um programa assumido, feita pelo professor ao final da atividade, faz mais sentido para os alunos. (Guimarães, 2004, p.161).

Quanto à resolução de problemas Moreno (2006), observa que A didática da matemática define os problemas como aquelas situações que criam um obstáculo a vencer, que promovem a busca dentro de tudo o que se sabe para decidir em cada caso aquilo que é mais pertinente, forçando assim, a utilização dos conhecimentos anteriores e mostrando-os ao mesmo tempo insuficientes e muito difíceis. (MORENO, 2006, p.51)

22

Só se aprende a resolver problemas resolvendo-os, mas também é preciso refletir

sobre eles e sobre os “procedimentos de resolução que possam surgir entre os integrantes

da turma” (MORENO, 2006, p.51)

[...] a expressão “resolução de problemas” tem gerado confusão por englobar diferentes perspectivas sobre o que é a educação e a Matemática, bem como sobre o ensino desta ciência e o ensino da própria resolução de problemas. É preciso compreender também o seu potencial educativo. Ou seja, a temática da resolução de problemas é fundamental para compreender a relação do trabalho do estudante com a disciplina Matemática e a atividade matemática. (Guimarães, 2004, p.161).

É importante que os alunos expliquem o que fizeram e como chegaram a tal

resultado. Para isso, é preciso uma linguagem adequada, voltada para a

matemática, com clareza, capaz de ser compreendida pelos colegas, pois a análise

conjunta dos resultados pode ser compreendida como “construção conjunta, original

e emergente da dinâmica interativa, produzida por meio das interações verbais que

as crianças realizam ao defender a compreensão que cada um teve do problema”

(MORENO, 2006). Segundo ele isso é importante porque

[...] possibilita a apropriação de estratégias utilizadas por outros que se evidenciam como mais adequadas, explicita os erros acontecidos, etc. Desse modo favorece a construção do sentido e, portanto, a aprendizagem dos conteúdos do ensino. (MORENO, 2006, p.52)

Moreno (2006, p.53) afirma que “o erro é fecundo e desempenha um papel

construtivo na aquisição de conhecimentos [...] o erro não é entendido como a

ausência de saber [...]”

O autor mostra ainda que no ensino tradicional o aluno resolve o problema e a

seguir o professor corrige individualmente avaliando e conceituando o trabalho do

aluno. Também é proposta a autocorreção onde o professor corrige no quadro e o

aluno faz a verificação no caderno. Outra prática é a prescrição, onde o aluno é

proibido de utilizar o material concreto. Todas estas práticas demonstram que o

aluno precisa cumprir com o que o professor deseja e não pode “construir novas

ferramentas que lhes são necessárias para poder enfrentar os problemas que

aparecem”. (MORENO, 2006, p.54)

23

Se o que se quer conseguir é que um aluno construa com sentido o saber que lhe é transmitido, o professor terá de constextualizar esse conhecimento realizando um processo semelhante ao que levaram adiante os produtores originais desse saber (BROUSSEAU, 1986). Terá, então, de permitir aos alunos interagir com os problemas que exigem esta ferramenta: provar, descartar, tentar de novo, modificar, etc. (MORENO 2006, p.54)

As crianças constroem o conhecimento matemático a partir de comparações e

correspondências. Brousseau (1986, apud, MORENO, 2006, p.55), acredita que a

partir deste conhecimento “[...] o aluno deverá, com a ajuda do professor,

redespersonalizar e re-descontextualizar o saber que construiu em um contexto

particular, para poder reconhecer naquilo que fez [...] um conhecimento cultural

reutilizável”. Mas é o professor que irá transformar este saber produzido em saber

reutilizável.

O autor também defende que os problemas devem ser iniciados desde muito

cedo, desde o primeiro dia de aula, levando em conta os conhecimentos que estas

crianças possuem, bem como a capacidade de resolverem problemas e

reconhecerem os números, desenvolvidas antes de chegarem à escola. (MORENO,

2006)

Na segunda década dos anos 90, foi difundido no Brasil os Parâmetros

Curriculares Nacionais (PCN) de matemática para o ensino fundamental e para o

ensino médio (PCNEM). E de acordo com estes documentos

[...] o domínio do saber fazer em Matemática passa por um processo lento, trabalhoso, cujo começo deve ser uma prolongada atividade sobre resolução de problemas de diversos tipos, com o objetivo de elaborar conjecturas, de estimular a busca de regularidades, a generalização de padrões, a capacidade de argumentação, elementos fundamentais para o processo de formalização do conhecimento matemático e para o desenvolvimento de habilidades essenciais à leitura e interpretação da realidade e de outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 1997, p.41)

Para os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) de Matemática (1998,):

A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca

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de conceitos e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança. (BRASIL, 1997, p. 40)

Os PCNs trazem a idéia de que os conhecimentos e habilidades referentes à

aprendizagem de objetos matemáticos podem ser ampliados com a utilização

sistemática da resolução de problemas em sala de aula. Este tipo de estratégia pode

proporcionar uma ampliação das atividades cognitivas inerentes a estes tipos de

procedimentos, isto é, há um deslocamento de olhares principalmente por parte dos

professores que, erroneamente, valorizam a resposta dada, em detrimento ao

processo de resolução.

Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam provar os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução. (BRASIL, Matemática de 5a. a 8ª séries, 1997, p. 42).

A rigor, não existe diferença considerável entre o papel que este conceito

desempenha, quer nas expressões numéricas, quer nas equações, quer nas

funções. No entanto, quando estamos falando de resolução de problemas, esta

diferença pode fazer mais sentido. A solução de um problema é algo procurado, é

algo que em princípio é desconhecido e se deseja conhecer. A expressão "termo

desconhecido" tem sido usada para nomear aquilo que se procura no problema.

Incógnita é quase um sinônimo para termo desconhecido, daí fazer sentido nos

referirmos à incógnita da equação quando ela expressa um problema. Por outro

lado, quando tomamos a equação enquanto objeto de estudo, esta característica de

desconhecido perde completamente o sentido. Não há nada de desconhecido na

solução da equação x = 4. Todos percebem que 4 é sua solução.

A crença de que a equação é um tópico simples e fácil do programa de

Matemática é compartilhada por muitos alunos e professores. No entanto, percebe-

se muito freqüentemente que diante de uma situação, como por exemplo, solucionar

25

a equação x + 30 = 23, os alunos sentem dificuldade em encontrar o valor numérico

que torne esta sentença verdadeira.

26

5 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ATRAVÉS DO USO DE EQUAÇOES

A resolução de situação problema, geralmente fica extensa, para facilitar essa

resolução podemos expressar esses problemas matemáticos em apenas uma linha

(equações).

A idéia de utilizar a equação na resolução de problemas, apareceu devido a

evolução do processo algébrico envolvendo igualdades. Com o uso de equações é possível

resolver problemas em várias áreas do conhecimento. Há certos problemas que envolvem só uma incógnita e que podem ser chamados determinados, para distinguir dos problemas de lugares. Há outros que envolvem duas incógnitas e que nunca podem ser reduzidos a uma só, estes são os problemas de lugares. Nos primeiros problemas, procuramos um ponto único, nos segundos uma curva. Mas se o problema proposto envolve três incógnitas, deve-se achar, para satisfazer à equação, não apenas um ponto ou uma curva, mas toda a superfície. Assim aparecem superfícies como lugares, etc (FERMAT,1996.)

A resolução de uma situação problema em matemática pode ser desenvolvida

de várias maneiras, desde que seja clara e atinja o resultado esperado. Um mesmo

problema pode ser resolvido utilizando a operação da multiplicação ou da adição ou

até mesmo de métodos diferentes.

Para aplicar esse método na resolução de situações problemas é preciso

obedecer alguns passos importantes:

• Retirar os dados importantes para a resolução do problema.

• Identificar qual será a incógnita, ou seja, saber o que o problema quer descobrir.

• Identificar as operações envolvidas.

• Montar a equação.

• Resolver a equação encontrada, obtendo o valor da incógnita.

• Verificar através da equação se o valor (raízes) encontrado é correto.

Como exemplo da forma citada, apresentaremos algumas situações

problemas resolvidas através de equações e como foi aplicada todos os passos

acima.

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Exemplo Pensei em três números consecutivos, cuja soma é -72. Em que números

pensei?

Os únicos dados que o problema ofereceu foram:

- são três números consecutivos.

- a soma deles é -72

Identificação da incógnita:

Primeiro: ele quer descobrir quais são esses três números cuja soma é -72.

Sabemos por exemplo que 2, 3, 4 são consecutivos, pois o número que vem depois

do 2 é 2 + 1 = 3 e o outro será 2+2 = 4, seguindo essa linha de raciocínio podemos

dizer que:

Como não temos conhecimento do valor de nenhum dos três números podemos

denominar o primeiro por x, então o próximo seria x + 1 e o terceiro seria x + 2.

Portanto, a seqüência dos números ficaria assim: x, x + 1, x + 2.

Identificar a operação:

A operação será adição, pois ele disse que a soma desses números é -72.

Montar e resolver a equação:

Agora somamos a seqüência dos números e igualamos a – 72.

x + x + 1 + x + 2 = - 72

3x + 3 = - 72

3x = - 72 - 3

3x = - 75

x = - 75 : 3

x = - 25

Descobrimos o valor de x, então x + 1 = - 25 + 1 = - 24 e x + 2 = - 25 + 2 = - 23.

Portanto, os três números consecutivos são: - 25, -24 , - 23.

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Para verificar se a solução encontrada é verdadeira, existem duas formas:

1ª maneira: a equação formada é x + x + 1 + x + 2 = - 72, como descobrimos o valor

de x, basta substituí-lo:

-25 + (-25) + 1 + (-25) + 2 = -72

-25 – 25 + 1 – 25 + 2 = - 72

- 72 = - 72

2ª maneira: como a soma dos três números deve ser - 72 e descobrimos os três,

basta somá-los e verificar se realmente a soma deles é – 72.

- 25 + (- 24) + (- 23) = -25 – 24 – 23 = -72.

Para resolver um problema matemático, quase sempre devemos transformar

uma sentença apresentada com palavras, em uma sentença que esteja escrita em

linguagem matemática. Esta é a parte mais importante e talvez seja a mais difícil na

matemática.

Sentença com palavras Sentença matemática

2 melancias + 2Kg = 14Kg 2 x + 2 = 14

Normalmente aparecem letras conhecidas como variáveis ou incógnitas. A

partir daqui, a matemática se posiciona perante diferentes situações e será

necessário conhecer o valor de algo desconhecido, que é o objetivo do estudo de

equações.

A partir daí podemos trabalhar com uma situação real e a partir dela, tirar

algumas informações importantes. Observe a seguinte balança:

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A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um "peso" de 2Kg e duas

melancias com "pesos" iguais. No prato direito há um "peso" de 14Kg. Quanto pesa

cada melancia?

2 melancias + 2Kg = 14Kg

Usaremos uma letra qualquer, por exemplo x, para simbolizar o peso de cada

melancia. Assim, a equação poderá ser escrita, do ponto de vista matemático, como:

2x + 2 = 14

Para resolver problemas matemáticos, é necessário usar a lógica. Através dela, você conseguirá transformar seus problemas cotidianos em "problema matemáticos". É o primeiro passo para você conseguir resolver uma equação, igualdade que possua pelo menos uma incógnita (valor que você não conhece), representada por letra. (CAMPAGNER, pág 3).

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6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

O estudo de equações está diretamente ligado com problemas matemáticos,

assim os desafios que envolvem equações são em sua maioria situações problemas

e se tendências para o ensino da matemática é a utilização da resolução de problemas

na sala de aula como metodologia para um processo ensino-aprendizagem, é

necessário buscar uma facilitação na compreensão de situações problemas,

apresentados, ligando a realidade vivida pelo aluno e a matemática estudada em sala

de aula. A resolução de problemas pode contribuir para a aprendizagem e o

desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos e na compreensão do significado

da incógnita na equação.

As reflexões feitas neste trabalho tiveram a pretensão de destacar a

importância da resolução de problemas como estratégia didática para um ensino que

desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa, estimula a curiosidade e

prepara o aluno para lidar com situações novas sendo motivado a desafiado,

conhecer, ousar e solucionar problemas matemáticos dentro e fora da escola.

A resolução de problemas é uma estratégia metodológica importante e

fundamental para o desenvolvimento intelectual do aluno e para o ensino da

matemática. Porém, em sala de aula, constata-se um uso exagerado de regras,

resoluções por meio de procedimentos padronizados, desinteressantes para

professores e alunos, empregando-se problemas rotineiros e que não desenvolvem

a criatividade e autonomia em matemática.

O professor, enquanto orientador da aprendizagem precisa buscar diferentes

maneiras de ensinar, utilizando-se de metodologias eficientes e de instrumentos

didáticos que subsidiem suas aulas e atividades. Precisa proporcionar aos seus

estudantes experiências matemáticas para que eles possam se tornar profissionais

independentes e críticos.

Certos de que há muito a se questionar sobre o fracasso no ensino da

matemática na vida dos educandos e o que se pode fazer para amenizar este grave

problema educacional, encontramos caminhos que possam ser trilhados, para que,

desta forma, possamos tornar a matemática uma disciplina agradável e

estimuladora, enfim despertar tanto nos educandos como nos professores a

importância que a matemática tem na construção do saber e como pode se tornar

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agradável para todos se for trabalhada de uma forma correta e estimuladora,

excluindo do nosso meio a distorcida idéia de que a matemática é uma disciplina

para os gênios ou que é sinônimo de fracasso para a grande maioria.

Diante da importância de se trabalhar no processo de ensino e aprendizagem

a resolução de problemas para o desenvolvimento intelectual do aluno, o professor

deve propor atividades que despertem o entusiasmo dos alunos, desenvolvendo sua

capacidade de criar, atuar em conjunto, aproximando-os uns dos outros,

demonstrando a importância de cada um. Mas, essa aprendizagem só será possível

se os problemas trabalhados desempenharem seu verdadeiro papel no processo de

ensino, o de desenvolver no aluno posicionamento crítico e independência diante de

situações novas e desafiadoras, pois, a resolução de problemas tem se apresentado

como uma atividade de reprodução por meio de procedimentos padronizados.

Assim concluímos que ao aproximar a matemática do cotidiano, teremos uma

grande oportunidade de aprendizagem significativa da matemática, através da

modelagem e resolução de problemas reais.. O grande ganho que se tem com esta

metodologia de trabalho é que o aluno passa a aprender matemática de forma

significativa, desenvolvendo o raciocínio lógico, o pensamento aritmético, o

pensamento algébrico, imprescindíveis na resolução de equações relacionadas aos

problemas.

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