Equações&Problemas do 2º Grau- CRBG

Equações e Problemas do 2º GrauCelso do Rosário Brasil Gonçalves

Equação Polinomial do 2º Grau

Denomina-se equação do 2º Grau na incógnita x, toda equação da forma:

Nas equações escritas na forma ax2 + bx + c = 0, chamamos de a, b e c de coeficientes.

E a equação está na forma reduzida.

Observe:

x2 – 5x + 6 = 0 a = 1, b = - 5 e c = 6

7x2 – x = 0 a = 7, b = 1 e c = 0

x2 – 36 = 0 a = 1, b = 0 e c = - 36

Solução de Equações de 2º Grau

Resolver uma equação do 2º Grau significa determinar as suas raízes. Observe os casos:

1º Caso. Se b = 0 e c = 0, dizemos que a equação é incompleta. Observe:

Exercício resolvido:

1) 3 x² = 0

x² =

03

x = 0 S = {0}

2º caso: Se c = 0 e b ¿ 0, dizemos que a equação é incompleta. Observe:

1

a x² = 0

a x² + bx = 0

ax2 + bx + c = 0 , com a, b e c IR e a 0



1) 3 x² - 12 x = 0

x . (3 x – 12) = 0

x’ = 0 ou 3 x – 12 = 0

3 x = 12

x” = 4 S = {0, 4}

3º caso: Se b = 0 e c ¿ 0, dizemos que a equação é incompleta. Observe:


1) x² - 4 = 0

x² = 4

x = ±√4

x’ = 2 ou x’’ = -2 S = {-2, 2}

Resolva as equações incompletas:

a) x2 + 9x = 0

b) y2 – 7y = 0

c) – 8 x2 + 2x = 0

d)

x2

4+ 3 x2

=0

e) 2y2 – 32 = 0

f) 3x2 – 4 = 0

g) 2 x2− 1

50=

0

4º caso: Se b ¿ 0 e c ¿ 0, dizemos que a equação é completa. Observe:

2

ax² + c = 0


A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de uma fórmula que foi

demonstrado por Bhaskara, matemático hindu nascido em 1114. Por meio dela sabemos que o

valor da incógnita satisfaz a igualdade:

x=−b±√b2−4 .a .c2a

Denominamos discriminante o radicando b2−4 .a .c que é representado pela letra grega

Δ (delta). Assim, Δ=b2−4 .a .c

Podemos escrever a fórmula de Bhaskara como: x=−b±√Δ2a

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:

Δ > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes;

Δ = 0 têm-se duas raízes reais e iguais;

Δ < 0 têm-se duas raízes imaginárias.

OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a equação de segundo grau visto que

o x² seria anulado.

3

ax2 + bx + c = 0



1) x2 – 9x + 20 = 0

a=1b=−9c=20

x=−b±√b2−4 .a .c2a

x=−(−9)±√(−9)2−4 .1 .202 .1

x=9±√81−802

x=9±√12

x=9±12

x '=9+12

=102

=5

x ''=9−12

=82

=4

S = {4, 5}

Relação entre os Coeficientes e as Raízes.

Essas relações permitem obter a soma e o produto das raízes sem resolver a equação.

Denominamos essas relações de Girard.

Soma das raízes (S) S = x’ + x”

Produto das raízes (P) P = x’ . x”

Logo, a equação será ax2 - Sx + P = 0

Importante: Esta relação só é verdadeira para a = 1.

Exercícios resolvidos:4


1) Se x’ = 4 e x” = 5 a equação será:

S = 4 + 5 = 9

P = 4 . 5 = 20

Logo a equação será x2 – 9 + 20 = 0

2) Se x2 – 8x - 9 = 0, as raízes da equação serão:

S = 9 – 1 = 8

P = 9 . (-1) = -9

Logo as raízes serão x’ = -1 e x” = 9

Use a relação do SP e determinar mentalmente as raízes das equações:

a) x2−6 x+5=0

b) x2+2 x−15=0

c) x2−4 x−12=0

d) x2−10x+21=0

e) x2+5 x−50=0

Fatorando um trinômio do 2º Grau

Podemos expressar um trinômio do 2º Grau ax2 + bx + c, com a 0, como um produto de

binômios. Para fatorar, basta encontrar as raízes da equação.

Exercícios resolvidos:

1. Fatorar o trinômio do 2º Grau x2 – 7x + 10.

As raízes da equação x2 – 7x + 10 = 0 pela relação SP são:

5

ax2 + bx + c = a.(x – x’).( x – x”)


S = 2 + 5 = 7

P = 2 . 5 = 10

Logo x’ = 2 e x” = 5. Como a = 1, temos a seguinte fatoração:

1.(x – 2)(x – 5) = (x – 2)(x – 5)

2. Fatorar o trinômio 2x2 – 5x – 3.

As raízes da equação 2x2 – 5x – 3 = 0 pela fórmula de Bhaskara são:

x’ = 3 e x” = −12 e como a = 2, temos a seguinte fatoração:

2 .( x−3)( x−(−12 )) = 2 .( x−3)( x+ 12 )

Fatore os trinômios:

a) x2 – 6x + 8 =

b) y2 – 2y – 8 =

c) x2 + 7x + 6 =

d) 3x2 – 12x + 9 =

e) 4y2 – 3y – 10 =

f) 9x2 – 12x + 4 =

:

EXERCÍCIOS PROPOSTOS,

1. Resolva as seguintes equações do 2º grau, sendo o conjunto U = R:

a) x2 + 7x = 0 S = {0, -7}

b) -3x2 + 9x = 0 S = {0, 3}

c) 2x2 + 3x = 0 S = {0, 3/2}

d) (y + 5)2 = 2x + 25 S = {0, - 8}6


d) x2 + 9x = 0 S = {0,-9 }

e) (y + 5)(y – 1) = 2y – 5 S = {0, - 2}

e) y2 + 10 = 0 S = { }

f) 2x2 + 50 = 0 S = { }

g) -5r2 + 20 = 0 S = {-2, 2}

h) 9a2 = 25 S = {-5/3, 5/3}

i) (b + 6)(b – 4) = 2b + 12 S = {-6, 6}

j) 5y2- 9y – 2 = 0 S = {2, -1/3}

k) x2 – 9x + 20 = 0 S = {4, 5}

l) y2 + 9y + 14 = 0 S = {-2, -7}

m) b2 – 3b – 10 = 0 S = {-2, 3}

n) 2y2 + 7y + 6 = 0 S = {-2, -3/2}

o) 4y2 – 4y + 2 = 0 S = { }

p) 5t2 – 9t + 4 = 0 S = {1, 4/5}

q) 21m2 –26x + 8 + 0 S = {2/3, 4/7}

r) 4p2 – 20p + 25 = 0 S = {5/2}

s) x(x + 3) = 5x + 15 S = {-3, 5}

t) 2(a – 5) = a2 – 13 S = {-1, 3}

u) x2 + 14x + 49 = 0 S = {-7}

v) 9y2 – 24y + 16 = 0 S = {4/3}

x) (3y + 2)(y – 1) = y(y + 2) S = {2, -1/2}

z) m2(m – 1) = m(m + 1)(m + 5) S = {0, -5/7}

2. A equação mx² + 4x +4 = 0 não admite raízes reais quando:a) m = 0 b) m < 1 c) m > 1 d) m < -1 e) m > -1

3. A equação x² + bx + 6 = 0 tem uma raiz igual a 6. Assim, a outra raiz vale:a) 1 b) -1 c) -6 d) -7 e) 2

7


4. A equação 2x² - 5x + 3m = 0 tem duas raízes reais e diferentes. Assim, qual é o valor de m? (resp. m < 25/24)

5. Determine o valor de p na equação x² - px + 9 =0 para que essa equação tenha uma única raiz real. (resp. p = ±6)

6. Qual deve ser o valor de m para que a equação 9x² - 9x + m = 0 não tenha raízes reais? (resp. m> 9/4)

7. Dada a equação (t – 1)x² + tx + 1 = 0 (com t ≠ 1), determine o valor de t para que a equação tenha uma única raiz real. (resp. t = 2)

8. Qual é a soma e o produto das raízes reais da equação 6x² - 8x – 3 = 0? (resp. 4/3 e – ½)

9. Dada a equação 12x² - (m + 2)x – 1 =0, na qual a soma das raízes é igual a 5/6. Qual é o valor de m? (resp. m = 8)

10. Na equação 3x² - 10x – 8 = 0, determine a soma dos inversos das raízes dessa equação. resp. – 5/4)

11- Determine o valor de p na equação 10x² - 2x + 3p = 0 de modo que uma raiz seja igual ao inverso da outra. (resp. p = 4)

12. Determine a soma dos quadrados das raízes da equação x² - 5x + 6 =0. (resp. (x’)² + (x”)² = 13)

13. Qual deve ser o valor do coeficiente c para que a equação:

−10 x2−5 x+c=¿ 0 tenha raízes reais e iguais? (resp. −58

¿

14. Uma das raízes da equação 2x² + mx + n = 0 é 1. Nessas condições, qual é o valor de m + n? (resp. -2)15. Determine o valor de k para que a equação 3x² + 4x + k – 6 = 0 tenha

raízes reais e diferentes. (resp. k<223

¿ )

16. Determine o valor de k para que a equação √3 x² + kx + √3 = 0 tenha única raiz real. ( resp. ±2√3)

8


17. No conjunto R, o conjunto solução da equação x³ - (x -2) (x² + x +2) = 8 é: a) (0;2) x b) (±2) c) (2;4) d) (-1;0) e) (-1;-2)

18. Uma das raízes da equação: 0,1x² - 0,7x + 1 = 0 é: a) 0,2 b) 0,5 c) 7 xd) 2 e) 1,4

19. Cortando-se pedaços quadrados iguais de uma cartolina retangular de 80 cm de comprimento por 60 cm de largura, obtém-se a figura representada abaixo. Se a área da região pintada for a terça parte da área retangular original, o tamanho do lado de cada quadrado é igual a:

a) 5√2cm b) 10√ 2cm c) 15√2cm xd)20√ 2cm e) 25√ 2c

20. Um automobilista faz uma viagem de 660 km, viajando com certa velocidade. Se a sua velocidade tivesse sido de mais 5 km por hora, teria demorado 1 hora a menos para percorrer aquela distância. Quanto tempo ele gastou na viagem?(resp. 12 horas)

21. A quantia de R$ 4.000,00 deve ser repartida em partes iguais por certo número de pessoas. No momento da partilha, 4 desistiram de sua parte. Assim, a parte dos restantes aumentou R$ 50,00. Qual era o número de pessoas que deveriam ser beneficiadas e quanto recebeu cada uma delas depois das desistências? (resp. 20 pessoas; R$ 250,00)

22. Na equação x² + mx + n = 0 uma das raízes é 6. Qual é o valor de m? (resp. -4).

9


23. A equação (1+x)² = 16x² é redutível ao 2º grau, então podemos afirmar que:

a) 1 não é raiz b) 2−3 √2 é raiz c) 3−2√2 é raiz *d) −3+2√2 é raiz

24. Qual deve ser o valor real de y para que as frações 2 y+1y+2 e

y+5y+3 sejam

numericamente iguais? (Resposta: ±√7)

25. Sendo x’ e x” as raízes da equação x + 1 = 8−xx

, determine o valor de

(x’)² + (x”)².(Resposta: 20)

26. Na equação 3x² - x + k – 1 = 0, o produto das duas raízes é 5/6. Assim, quanto vale k?(Resposta: 7/2).

27. Qual deve ser o valor do coeficiente “b” na equação 10x² - bx – 1 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 5/4? (Resposta: 25/2).

Problemas do 2° grau

1.Quais os números inteiros e consecutivos, cuja soma dos quadrados é 545? (resp. ±16 e ± 17)

10


2. O produto de dois números ímpares consecutivos excede a soma deles de 47 unidades. Quais são os números? (resp. ±7 e ±9)

3. A diferença entre dois números é 3 e a soma dos seus quadrados é 117. Quais são os números? ( resp. ±9 e ±6)

4. Duas torneiras funcionando juntas podem encher um reservatório em 24 minutos. Se funcionarem isoladamente, a segunda gastará 36 minutos mais que a primeira. Quais os tempos gastos por cada uma delas para encher o reservatório? (resp. 36 minutos e 72 minutos).

5. Ao quadrado de um número você adiciona 7 e obtém sete vezes o número, menos 3. Determine os possíveis valores deste número.

a) 5 e 2 b) -5 e 3 c) -6 e 5 d) 2 e -3

6. Em um retângulo, a área pode ser obtida multiplicando-se o comprimento pela largura. Em determinado retângulo que tem 54 cm2 de área, o comprimento é expresso por (x – 1) cm, enquanto a largura é expressa por (x – 4) cm. Nessas condições, determine o valor de x.

a) x = 2 b) x = 3 c) x = 4x d) x = 5

7. Observe a figura abaixo. Sabendo-se que a área dessa figura é 64 m2, determine o valor da medida y.

y + 6 a) y = -5 y - 6b) y = 10xc) y = 6d) y = -8

8. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? R: 15 cm

9. A área de um retângulo é de 64 2 cm . Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) m e a largura mede (x- 6) m. R: 16 cm e 4 cm

10. Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e do resultado, subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número? R: 11

11


11.Qual deve ser o valor real de y para que as frações2 y+1y+2 e

y+5y+3 sejam

numericamente iguais? (resp. 7)

12. Num Congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens. Justifique a resposta pelo método da equação do 2o grau. R: 27 mulheres e 23 homens

13. Determine os valores reais de x para que o valor numérico da expressão x² + 4x seja igual a - 3. R: x= - 1 ou x= - 3

14. Sendo x' e x" as raízes da equação x+1=8−xx

determine o valor de (x ' )2+¿.

R: 20

15. A soma de um número real com seu quadrado dá 30. Qual é esse número? R: 5 ou – 6

16. Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número? R: 10 ou – 6

17. Se você adicionar um número inteiro diferente de zero com o inverso do número, vai obter

174

. Qual é esse número inteiro? R: 4

18. A distância entre Curitiba e Florianópolis é de 300 km. Para cobrir essa distância, a certa velocidade média, um automóvel gastou x horas. Sabe-se que a mesma distância seria percorrida em 2 horas a menos se o automóvel aumentasse de 40 km/h a sua velocidade média. Qual o tempo x gasto para

percorrer os 300 km? Lembre-se: velocidade média= distânciatempo

. R: 5 h

19. Um tio deseja distribuir a importância de R$ 1.200,00 a seus sobrinhos. No dia da distribuição faltaram 2 sobrinhos e, desse modo, os presentes puderam ganhar R$ 30,00 a mais cada um. Quantos eram os sobrinhos? (resp. 10 sobrinhos)

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20. Duas torneiras podem encher um reservatório em 2 horas e 24 minutos. A primeira delas demora 2 horas a mais que a segunda, quando ambas funcionam isoladamente. O tempo que cada torneira leva para encher o reservatório é (em horas):

a) 3 e 1 b) 4 e 2 c) 6 e 4 d) 5 e 3 e) 7 e 5

21. Sabe-se que a soma de dois números naturais é 14. O MDC e o MMC desses dois números são 2 e 24, respectivamente, assim sendo, quais são os números?(resp. 6 e 8)

22. Um trem percorre 300 km com velocidade constante. Se aumentasse a velocidade de 5 km por hora, gastaria 2 horas a menos no percurso. Determine a velocidade do trem. (resp. 25 km/h)

23. Um automóvel, com certa velocidade média, percorre 240 km em “x” horas. Se aumentasse de 20 km /h a sua velocidade média, teria feito o mesmo percurso em 1 hora a menos. Qual foi o número “x” de horas que o automóvel gastou para fazer o percurso? (resp. 4 horas)

24.Duas torneiras podem, juntas, encher um recipiente em 18 horas. Qual o tempo que cada uma (separadamente) leva para encher esse recipiente, se a primeira gasta nessa operação 27 horas a mais que a segunda? (resp. 54h e 27h)

25. Um retângulo é equivalente a um quadrado de lado igual a 18 cm. Aumentando-se os lados desse retângulo de 2 cm cada, a área aumenta 82 cm². Calcule as dimensões desse retângulo. (resp. 12 cm e 27 cm)

26. Diminuindo-se 3 metros na base de um quadrado e 2 metros na sua altura, obtém-se um retângulo R. Diminuindo-se 4 metros na base e aumentando-se 3 metros na altura, obtém-se um outro retângulo R’. Determine qual é o lado do quadrado, sabendo-se que a razão entre as áreas de R e R’ é 3:4. (resp. 12 m e 5 m)

27. A área de um triângulo retângulo T é 36 cm². Aumentando-se 3 cm num cateto e diminuindo-se 3 cm do outro cateto, obtém-se um outro triângulo retângulo T’. Determine os catetos do primeiro triângulo, sabendo-se que a razão entre T’ e T é 5/6. (resp. 8 cm e 9 cm)

28. A área de um retângulo é 78 m². Se um lado mede 7 metros a mais que o outro, determine as dimensões desse retângulo. (resp. 6 m e 13 m)

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29. Determine três números inteiros, positivos e consecutivos tais que o quadrado do menor seja igual à diferença entre os quadrados dos outros dois. (resp. 3; 4 e 5)

30. Daqui a três anos a idade de Antônio será o quadrado da idade que ele tinha há três anos passados. Quantos anos tem Antônio hoje? (resp. 6 anos)

31. A soma dos inversos de dois números pares e consecutivos é 5/12. Quais são os números? (resp. 4 e 6)

32. Determine dois números ímpares, positivos e consecutivos cujo produto seja 240. (resp. 15 e 16)

33. Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente? A) 85% B) 65% c) 50 % d) 80% e) 75 %

34. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? R: 15 cm

35. A área de um retângulo é de 64 cm² . Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) m e a largura mede (x- 6) m. R: 16 cm e 4 cm

36. Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e do resultado, subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número? R: 11

37. Um campo de futebol de 3.200 m² de área vai ser totalmente gramado. Para isso ele foi dividido em 8 faixas retangulares iguais, sendo 4 horizontais e 4 verticais. O comprimento de cada faixa é o quádruplo da largura. Qual é o perímetro do campo de futebol? (resp. 240 metros)

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x 4x

38. Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Se multiplicarmos as idades que possuem hoje, o produto será igual a 3 vezes o quadrado da idade do filho. Quais as idades de cada um? (resp. pai: 45 anos e filho: 15 anos)

39. Um professor prometeu distribuir aos alunos de uma classe 140 livros. No dia da distribuição, faltaram 7 deles, e, assim, os que estavam presentes receberam 1 livro a mais cada um. Quantos eram os alunos? (resp. 35 alunos).

40. Uma classe comprou um presente de R$ 96,00 para o professor Alceu, dividindo o custo em partes iguais. Se a classe tivesse 16 alunos a mais, cada aluno teria dado R$ 1,00 a menos. Quantos alunos tem a classe? (resp. 32 alunos).41. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m² de parede. Qual é a medida de do lado de cada azulejo? (Resposta: 15 cm).

42. A área de um retângulo é de 64 cm². Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) cm e a largura mede (x-6) cm. (Resposta: 16 cm e 4 cm).

43. Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e, do resultado, subtrair 9, você obterá 11. Qual é o número? (resposta: 11).

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